202031069-Puput Amaliyah

Puput Amaliyah - 202031069 - Tekkom G

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Tue, 20 Jun 2023 22:16:00 -0700

Teknik Kompilasi

14. Apa saja metode yang dipakai untuk mengirimkan parameter pada teknik kompilasi, jelaskan masing-masing metode tersebut dengan studi kasus?

15. Salah satu peran pengurai dalam teknik kompilasi adalah mengatasi kesalahan syntax, jelaskan 4 strategi dalam pemulihan kesalahan tersebut?

JAWABAN

14. Metode yang dipakai untuk mengirimkan parameter pada teknik kompilasi yaitu :

a. Metode Pemindahan Nilai (Pass-by-Value) :

Metode ini mengirimkan nilai parameter ke fungsi atau prosedur yang dipanggil. Dalam metode ini, salinan nilai parameter dibuat di dalam memori dan digunakan oleh fungsi atau prosedur tersebut. Perubahan pada nilai parameter di dalam fungsi tidak akan mempengaruhi nilai aslinya di luar fungsi. Metode ini digunakan untuk melindungi nilai asli parameter dari perubahan yang mungkin terjadi di dalam fungsi.

Contoh :

Outputnya :

b. Pengiriman Parameter melalui Referensi (Pass-by-Reference):

Metode ini mengirimkan alamat memori parameter ke fungsi atau prosedur yang dipanggil. Dalam metode ini, perubahan yang dilakukan pada nilai parameter di dalam fungsi akan mempengaruhi nilai aslinya di luar fungsi. Metode ini digunakan ketika kita ingin mengubah nilai parameter yang dilewatkan dan ingin menghindari pembuatan salinan yang tidak perlu.

Contoh :

Outputnya :

c. Pengiriman Parameter melalui Nilai Kembali (Pass-by-Result):

Metode ini mengirimkan parameter dengan membuat salinan nilai awal sebelum memasuki fungsi atau prosedur. Setelah fungsi selesai dieksekusi, nilai yang diubah di dalam fungsi dikembalikan dan diterapkan pada nilai asli parameter di luar fungsi. Metode ini jarang digunakan dalam praktik karena memerlukan alokasi memori tambahan untuk salinan nilai parameter.

Contoh :

15. Empat strategi dalam Pemulihan Sintaks :

1. Strategi Injeksi Token (Token Injection):

Strategi ini melibatkan penyisipan token tambahan ke dalam aliran masukan (input stream) untuk mengatasi kesalahan syntax. Pengurai mencoba memasukkan token tambahan ke dalam aliran masukan dan melanjutkan proses analisis. Hal ini dilakukan untuk mengatur ulang keadaan parser agar cocok dengan sintaks yang diharapkan dan mungkin memulihkan parsing yang benar. Namun, strategi ini bisa menjadi rumit karena pengurai harus memastikan bahwa token tambahan yang disisipkan tidak mengubah makna dari program.

2. Strategi Penghilangan Token (Token Deletion) :

Dalam strategi ini, pengurai mencoba menghapus token yang salah atau tidak cocok dari aliran masukan untuk melanjutkan proses parsing. Dengan menghilangkan token yang tidak valid, pengurai dapat mencoba kembali parsing dari titik yang lebih lanjut. Namun, strategi ini juga memiliki kelemahan karena penghilangan token yang salah bisa menyebabkan informasi yang hilang dan kesalahan dalam proses parsing.

3. Strategi Penggantian Token (Token Substitution) :

Ketika terjadi kesalahan syntax, pengurai dapat mencoba mengganti token yang salah atau tidak cocok dengan token yang valid. Dengan melakukan penggantian token, pengurai dapat melanjutkan proses parsing dari titik yang benar. Strategi ini bergantung pada pemahaman yang baik tentang sintaksis bahasa pemrograman yang digunakan dan daftar token yang valid.

4. Strategi Pemulihan Sinkronisasi (Synchronization Recovery) :

Strategi ini fokus pada sinkronisasi kembali pengurai dengan struktur sintaksis yang benar dalam kode program. Jika pengurai menemui kesalahan, ia mencoba mencari token yang valid untuk dilanjutkan, seperti tanda kurung penutup, tanda titik koma, atau kata kunci tertentu. Dengan menemukan token yang valid, pengurai dapat melanjutkan proses parsing dengan harapan memulihkan struktur sintaksis yang benar.

TEKNIK KOMPILASI - KELAS G

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Wed, 7 Jun 2023 07:41:00 -0700

Peningkatan Efisiensi Perangkat Lunak melalui Teknik Kompilasi di Perusahaan Nestlé

Studi kasus yang melibatkan Teknik Kompilasi di perusahaan Nestle mungkin akan fokus pada penggunaan kompilasi otomatis dan optimasi kode untuk meningkatkan efisiensi dan kinerja perangkat lunak yang digunakan oleh perusahaan. Berikut adalah contoh deskripsi studi kasus potensial:

A. Latar Belakang

Perusahaan Nestlé, sebagai salah satu perusahaan makanan dan minuman terbesar di dunia, mengoperasikan berbagai sistem perangkat lunak yang mencakup aspek penting bisnis mereka, termasuk manajemen rantai pasok, manufaktur, logistik, dan analisis data. Perangkat lunak ini mendukung berbagai proses operasional seperti pemantauan persediaan, pengelolaan produksi, analisis penjualan, dan keputusan bisnis strategis.

Seiring dengan skala global dan kompleksitas operasi Nestlé, sistem perangkat lunak yang digunakan oleh perusahaan ini terus berkembang dan semakin kompleks. Dalam lingkungan yang semakin dinamis dan kompetitif, perusahaan harus memastikan bahwa perangkat lunak yang mereka gunakan bekerja secara efisien dan memberikan hasil yang optimal.

Salah satu aspek yang dapat memengaruhi efisiensi dan performa perangkat lunak adalah proses kompilasi. Kompilasi adalah proses mengubah kode sumber menjadi kode mesin yang dapat dijalankan oleh komputer. Namun, proses kompilasi yang lambat atau tidak efisien dapat menghambat produktivitas dan menyebabkan penundaan dalam pengembangan perangkat lunak.

Selain itu, peningkatan dalam kompleksitas perangkat lunak dan perubahan dalam kebutuhan bisnis sering kali mengakibatkan pertambahan kode sumber yang lebih besar. Hal ini dapat memperpanjang waktu kompilasi dan meningkatkan risiko kesalahan pada saat kompilasi.

Oleh karena itu, Nestlé memperhatikan perlunya meningkatkan efisiensi dan performa sistem kompilasi mereka. Melalui penerapan teknik kompilasi yang canggih dan optimal, Nestlé berharap dapat mengatasi tantangan ini dan mempercepat proses kompilasi, mengurangi kesalahan, dan meningkatkan kualitas kode yang dihasilkan.

Selain itu, efisiensi dalam proses kompilasi juga dapat berdampak pada produktivitas tim pengembangan perangkat lunak. Dengan waktu kompilasi yang lebih singkat, tim dapat beralih lebih cepat antara siklus pengembangan, melakukan eksperimen, dan menguji fitur baru. Hal ini akan meningkatkan kecepatan dan fleksibilitas dalam merespons perubahan pasar atau kebutuhan pelanggan.

Lebih lanjut, dengan menerapkan teknik kompilasi yang canggih, Nestlé berharap dapat mengoptimalkan penggunaan sumber daya perangkat keras. Dalam skala operasi global seperti Nestlé, setiap peningkatan efisiensi yang diperoleh dari proses kompilasi akan berdampak pada infrastruktur yang lebih efisien, mengurangi biaya operasional dan meningkatkan profitabilitas perusahaan.

Dengan latar belakang ini, Nestlé memiliki motivasi yang kuat untuk menjalankan studi kasus yang berkaitan dengan Teknik Kompilasi, dengan tujuan utama meningkatkan efisiensi perangkat lunak dan memaksimalkan nilai bisnis melalui optimalisasi sistem kompilasi yang mereka gunakan.

B. Tujuan

Tujuan diadakan studi kasus pada perusahaan Nestle adalah sebagai berikut :

Dapat meningkatkan efisiensi sistem perangkat lunak yang digunakan oleh Nestlé. Dengan menerapkan teknik kompilasi yang canggih, diharapkan waktu kompilasi dapat dikurangi, mempercepat proses pengembangan dan penerapan perangkat lunak, serta mengurangi waktu yang dibutuhkan untuk menghasilkan kode mesin yang dapat dijalankan.
Dapat mengoptimalkan penggunaan sumber daya perangkat keras yang digunakan oleh perusahaan. Dengan mempercepat proses kompilasi dan mengurangi waktu yang diperlukan untuk menghasilkan kode mesin, dapat mengurangi beban komputasi yang diperlukan, mengoptimalkan infrastruktur, dan mengurangi biaya operasional yang terkait.
Dapat meningkatkan kualitas kode yang dihasilkan oleh perangkat lunak Nestlé. Dengan melakukan analisis dan optimasi pada kode sumber, dapat mengidentifikasi dan mengatasi potensi kesalahan, meningkatkan keamanan, dan memastikan kepatuhan terhadap standar pengkodean yang ditetapkan.

C. Langkah - Langkah yang Diambil

Langkah 1 : Tim teknis di Nestlé akan bekerja sama dengan tim pengembangan perangkat lunak untuk menganalisis kebutuhan sistem kompilasi saat ini dan mengevaluasi area-area yang memerlukan perbaikan. Mereka akan mempertimbangkan faktor seperti waktu kompilasi yang panjang, kesalahan kompilasi yang sering, dan ketergantungan pada pengujian manual.

Langkah 2 : Tim akan melakukan penelitian tentang teknik kompilasi otomatis dan optimasi kode terbaru yang sesuai dengan kebutuhan Nestlé. Mereka akan menjalankan eksperimen dengan berbagai alat dan teknik kompilasi untuk mengukur kinerja dan efisiensi.

Langkah 3 : Setelah teknik kompilasi terbaik dipilih, tim akan mengimplementasikan alat kompilasi otomatis yang dapat mengidentifikasi kesalahan kode, mengoptimalkan performa, dan mengurangi waktu kompilasi. Ini akan memungkinkan tim pengembangan untuk fokus pada penulisan kode berkualitas tinggi.

Langkah 4 : tim akan melakukan serangkaian pengujian untuk mengevaluasi efisiensi dan kinerja perangkat lunak yang ditingkatkan. Pengujian ini akan mencakup waktu kompilasi, peningkatan performa, penggunaan sumber daya, dan validitas hasil kompilasi.

Langkah 5 : Tim akan memberikan pelatihan kepada tim pengembangan Nestlé tentang penggunaan alat kompilasi otomatis dan praktik terbaik dalam pengembangan perangkat lunak. Mereka juga akan membantu dalam penyesuaian dan adaptasi alat tersebut agar sesuai dengan kebutuhan spesifik perusahaan.

D. Manfaat yang Diharapkan dari Studi Kasus

Perusahaan Nestlé dapat mengurangi waktu kompilasi perangkat lunak, mempercepat pengembangan dan penerapan, serta mengurangi biaya operasional terkait.
Nestlé dapat mengurangi konsumsi energi dan biaya infrastruktur yang terkait dengan operasional perangkat lunak.
Waktu kompilasi yang lebih singkat memungkinkan tim pengembangan Nestlé untuk bekerja lebih efisien, mengimplementasikan fitur baru dengan cepat, dan merespons perubahan bisnis dengan lebih fleksibel.
Perusahaan dapat meningkatkan kualitas perangkat lunak, mengurangi kesalahan, dan meningkatkan keamanan serta keandalan.
Kinerja perangkat lunak yang ditingkatkan akan memberikan pengalaman pengguna yang lebih lancar dan responsif, meningkatkan kepuasan pelanggan.
Dengan mengoptimalkan efisiensi, kualitas, dan pengalaman pengguna perangkat lunak, Nestlé dapat memperoleh keunggulan kompetitif di pasar yang kompetitif, menarik lebih banyak pelanggan dan meningkatkan pangsa pasar mereka.

E. Kesimpulan

Berdasarkan latar belakang dan penjelasan pada studi kasus diatas maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

Teknik kompilasi yang canggih dapat secara signifikan meningkatkan efisiensi operasional perusahaan dengan mengurangi waktu kompilasi perangkat lunak, mempercepat pengembangan, dan mengurangi biaya infrastruktur terkait.

Implementasi teknik kompilasi yang tepat dapat menghasilkan penghematan biaya infrastruktur dengan mengoptimalkan penggunaan sumber daya perangkat keras dan mengurangi konsumsi energi. Penggunaan teknik kompilasi yang lebih efisien dapat meningkatkan produktivitas tim pengembangan perangkat lunak, memungkinkan implementasi fitur baru dengan cepat, dan memberikan fleksibilitas dalam merespons perubahan bisnis.

Dengan menerapkan teknik kompilasi yang canggih, perusahaan dapat meningkatkan kualitas perangkat lunak dengan mengurangi kesalahan, meningkatkan keamanan, dan meningkatkan keandalan.

Kinerja perangkat lunak yang ditingkatkan akan memberikan pengalaman pengguna yang lebih baik, meningkatkan kepuasan pelanggan, dan memperkuat hubungan dengan mereka. Penerapan teknik kompilasi yang efektif memberikan keunggulan kompetitif di pasar yang kompetitif dengan meningkatkan efisiensi, kualitas, dan pengalaman pengguna perangkat lunak.

Dengan demikian, studi kasus ini menunjukkan bahwa penggunaan teknik kompilasi yang canggih memiliki manfaat yang signifikan bagi Nestlé, termasuk peningkatan efisiensi operasional, penghematan biaya, peningkatan produktivitas, peningkatan kualitas perangkat lunak, pengalaman pengguna yang lebih baik, dan keunggulan kompetitif di pasar.

SUMBER

Smith, B., & Nair, R. (2010). Compiler Design and Construction. Springer.
Cooper, K. D., Torczon, L., & Kennedy, K. (2011). Engineering a Compiler. Morgan Kaufmann.
https://www.analyticsinsight.net/nestle-driving-innovation-through-ai-and-other-disruptive-tech/
Academic research papers and case studies on compiler optimization techniques and their impact on software efficiency.

BANDWIDTH (KOMUNIKASI DATA)

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Sat, 23 Oct 2021 04:14:00 -0700

BANDWIDTH

PENGERTIAN BANDWIDTH

Secara bahasa, bandwidth memiliki makna lebar pita.

Menurut istilah, bandwidth adalah istilah yang digunakan merujuk pada nilai konsumsi pada transfer data yang digunakan antara perangkat client dan server dalam kurun waktu tertentu, yang mana nilai tersebut dihitung dalam satuan bit per second (bps) atau bit/detik.

Bandwidth juga bisa didefinisikan sebagai lebar atau luas dari cakupan frekuensi yang digunakan oleh sinyal pada medium transmisinya.

Pada jaringan komputer, istilah bandwidth ini sering juga digunakan untuk merujuk pada sinonim dari Data Transfer Rate, yaitu jumlah data yang dikirim atau ditransfer dari satu lokasi ke lokasi lain dalam kurun waktu tertentu, biasanya dihitung dalam kurun waktu detik.

Bandwidth (lebarpita) dalam ilmu computer adalah suatu penghitungan konsumsi data diukur dalam bitrate bukan bits per second, dan sering digunakan sebagai data transfer rate atau jumlah data yang dapat dibawa dari sebuah titik ke titik lain dalam jangka waktu tertentu. Ukuran bandwidth dalam bps (bit per second).

BANDWIDTH PADA MEDIA TRANSMISI

a). Tidak ada fasilitas transmisi yang dapat mengirimkan sinyal tanpa kehilangan beberapa kekuatannya selama proses.

b). Jika semua komponen Fourier sama-sama berkurang, sinyal yang dihasilkan akan berkurang dalam amplitudo tetapi tidak terdistorsi (akan memiliki bentuk square-off).

c). Bandwidth merupakan properti fisik media transmisi. ◦ Biasanya dari 0 Hz hingga n Hz.

d). Bandwidth juga digunakan untuk mengacu kapasitas pembawa data dari media dalam bit per detik (bps).

e). Bandwidth tinggi berarti bandwidth mempunyai laju data yang tinggi.

f). Bandwidth adalah properti fisik dari media transmisi. Tergantung pada ketebalan, konstruksi, dan panjang media.

BANDWIDTH PADA SALURAN TELEPON

a). Jumlah bit yang dapat ditransmisikan tiap satu satuan waktu disebut dengan kapasitas channel (bit rate), dinyatakan dengan C bits/sec (bps), artinya ada C bit yang dapat diangkut media dalam waktu satu detik.

b). Jika jumlah bit yang ditransmisikan ada 8, maka waktu yang diperlukan oleh 1-bit untuk sampai ditujuan (T) adalah 8/C detik.

c). Karena periode (T) adalah inverse dari frekuensi (f) maka frekuensi harmonisa pertama yang sampai di penerima adalah C/8 Hertz.

d). Saluran telepon mempunyai cut-off frekuensi sekitar 3000 Hz (frekuensi voice saluran telepon 300 Hz – 4 kHz), jumlah harmonisa pertama adalah 3000/f = 3000/(C/8) = 24000/C. Dari sini dapat ditentukan besar periode (T), frekuensi yang digunakan (f), jumlah harmonisa pertama.

JENIS-JENIS BANDWIDTH

1). Analog Bandwidth

Adalah luas atau lebar cakupan sinyal frekuensi tinggi dan sinyal frekuensi rendah yang digunakan didalam media transmisi. Contoh: Bandwidth sinyal suara sekitar 3 kHz, analog TV broadcast sekitar 6 MHz.

2). Digital Bandwidth

Adalah jumlah atau volume data yang dapat dikirimkan melalui sebuah saluran komunikasi dalam satuan bits per second tanpa distorsi. Satuannya adalah bits, Byte, Kilo, Mega, Giga.

FUNGSI BANDWIDTH

1). Sebagai jalur atau Media dalam Pengiriman Data

Fungsi pertama bisa dilihat dari pengertian bandwidth itu sendiri, yakni sebagai jalur penghubung atau media yang menghubungkan dalam proses transfer data yang dilakukan. Salah satu contoh misalnya adalah adanya kabel fisik LAN yang merupakan media yang menghubungkan antara koneksi LAN dan perangkat komputer yang digunakan. Nah, jalur atau jaringan yang memungkinkan adanya pertukaran data atau transfer antara perangkat yang digunakan oleh pengguna di satu lokasi dengan media lainnya ini tepatnya berada di dalam kabel LAN fisik tersebut.

2). Pembatas Kecepatan Transfer atau Pengiriman Data

Fungsi kedua dari bandwidth ini adalah untuk membatasi kecepatan aktivitas pengiriman atau transfer data. Fungsi ini pada umumnya dimanfaatkan oleh administrator jaringan dalam mengelola jaringan agar menghindarkan dari tindak kecurangan dari penggunanya. Hal-hal tidak baik yang sering dilakukan oleh pengguna intenet misalnya mengunduh ataupun memutar video dengan resolusi High Display (HD). Tindakan ini adalah tindakan yang sangat tidak disarankan karena bisa menyedot bandwidth dalam jumlah banyak. Ketika bandwidth yang disediakan hanya tersedot oleh sau pengguna, maka pengguna inernet lain juga akan terganggu karena kecepatan aksesnya jadi semakin melambat atau terganggu. Jadi inilah maksud dari pembatasan kecepatan pengiriman data itu, yaitu administrator akan memberikan batas bandwidth bagi setiap pengakses dalam jumlah yang seimbang. Sehingga pengguna sama-sama bisa menikmati kecepatan akses yang seimbang pula.

3). Membatasi Data yang Bisa Dikirim

Fungsi terakhir dari adanya bandwidth ini adalah untuk membatasi data yang bisa ditransfer atau dikirim dalam satuan waktu tertentu. Fungsi ini juga biasanya dapat dilakukan oleh administrator hosting maupun administrator jaringan. Contoh mudahnya misalnya adalah penyediaan bandwidth dengan jumlah tertentu dalam kurun waktu tertentu, misal 1 GB per bulan. Dengan begitu bisa disimpulkan bahwa jumlah 1 GB ini akan berlaku tidak peduli berapa banyak jumlah perangkat yang mengaksesnya ataupun kecepatan aksesnya, maka jumlah maksimal data yang bisa dikirimkan hanya sebesar 1 Gb dan tidak lebih dari itu.

CARA KERJA BANDWIDTH DALAM JARINGAN

Sebagai sebuah komponen yang penting dalam suatu hosting maupun suatu jaringan, maka segala aktivitas pengiriman data atau transfer tidak akan mungkin bisa dilakukan. Maka dari itu bandwidth memiliki peran penting dalam proses pengiriman data tersebut. Lalu bagaimanakah cara kerja bandwidth ini?

Cara kerja bandwidth ini tidak akan jauh-jauh dari 3 fungsi yang sudah dijelaskan di atas. Jadi, diakses oleh seorang pengguna, maka bandwidth akan bekerja secara otomatis sesuai 3 fungsi di atas. Namun ketika sedang bekerja, terjadi gangguan maka hal tersebut bisa disebabkan oleh banyak hal misalnya latency, packet loss dan bahkan karena faktor bandwidt itu sendiri.

Sebagai salah satu komponen yang memiliki fungsi yang sangat penting dalam proses pengiriman data dalam suatu jaringan komunikasi, bandwidth menjadi komponen yang selalu banyak dicari. Semakin besar bandwidth yang disediakan maka semakin besar pula jumlah atau kapasitas data yang bisa ditransfer. Namun ada beberapa hal yang harus dihindari jika Anda ingin menghemat penggunaan bandwidth ini. Misalnya mengunduh dan mengunggah file terlalu banyak di dalam website juga bisa menyebabkan cepatnya kapasitas bandwidth Anda habis. Selain itu, tampilan website yang diakses juga tidak kalah mempengaruhi. Untuk mencegah bandwidth lebih cepat habis maka sebisa mungkin untuk menghindari hal-hal tersebut.

BANDWIDTH UPLINK DAN DOWNLINK

1). Bandwidth Uplink atau Upload (Batas kecepatan upload)

Upload merupakan sebuah proses dimana kita mengunggah atau mengirim data dari perangkat kita berupa text, pesan, gambar, video, dll ke perangkat lain menggunakan jaringan komputer/internet.

Contohnya seperti ketika mengunggah sebuah foto ke Sosial Media seperti Facebook. Meskipun kita hanya mengirim sebuah pesan melalui FB, WA, BBM, dsb itu sudah disebut dengan upload.

2). Bandwidth Downlink atau Download (Batas kecepatan download)

Download adalah sebuah proses dimana kita mengambil/mengunduh data dari perangkat lain atau internet berupa text, pesan, gambar, video, dll ke komputer kita menggunakan jaringan komputer atau internet.

Contoh sederhananya seperti ketika Kamu browsing, Kamu sudah melakukan kegiatan yang disebut dengan download karena komputer atau perangkat yang sedang kamu gunakan sudah mengambil data dari internet.

PERMASALAHAN BANDWIDTH

1). Atenuasi (redaman)

Sinyal kehilangan energi karena jarak. Frekuensi yang berbeda jumlah energi yang hilang jumlahnya juga berbeda, karena sinyal yang asli terdistorsi.

2). Delay distorsi

Frekuensi yang berbeda-beda merambat dengan kecepatan yang berbeda dalam kabel, sehingga pada jarak jauh sinyal tersebut terdistorsi.

3). Noise - noise termal dalam sebuah kabel

Interferensi dari kabel lainnya. Lonjakan dalam daya.

Untuk masalah 1 dan 2 dapat diselesaikan dengan: repeater dan amplifier, jangan gunakan frekuensi tertentu (di atas titik cut-off).

Untuk semua masalah error dapat diselesaikan dengan deteksi error.

MENGUKUR KECEPATAN BANDWIDTH INTERNET

a). Paket Dedicated rasio 1:1

Misalnya, pelanggan memperoleh 512kbps 1:1 dari ISP artinya Bandwidth 512 kbps menjadi hak penuh satu pelanggan.

b). Paket Dedicated rasio 1:2

Misalnya, 512 kbps 1:2, artinya bandwidth 512 kbps dipakai secara bersamaan untuk dua pelanggan.

c). Paket Burstable atau Up to

Sejumlah bandwith dengan ukuran tertentu dibagi pakai untuk banyak pelanggan, misalnya paket Up to 1 Mbps artinya satu pelanggan bisa memperoleh bandwidth sampai satu mega bit per second.

ISTILAH PADA BANDWIDTH

Egree Bandwidth merupakan atribut yang dipakai untuk menentukan kecepatan unggah atau membatasi kecepatan internet dari sisi hosting.

Manajemen Bandwidth merupakan istilah umum yang menunjukkan sekumpulan tools dan teknik yang bisa dipakai untuk institusi ketika mengurangi kebutuhan kritikal segmen jaringan. Tujuan manajemen bandwidth tidak lain adalah untuk mengptimalkan resource yang ada.

Unmetered Bandwidth adalah jumlah traffic dan juga transfer data untuk akses akun atau situs yang sudah Anda lakukan. Traffic artinya jumlah kunjungan yang masuk ke dalam website.

MENGHITUNG BANDWIDTH

1). Misal: bandwidth di berikan oleh ISP= 512KBps.

Artinya: 512KBps = 512000bps

= 512000: 8 = 64000bps = 62,5Kbps.

Maka speed download dari bandwidth 512KBps adalah 62,5Kbps.

2). Misal: file yg akan di download = 80Mb.

Bandwidth yg di gunakan= 512KBps, dik: 1 megabyte = 1024 kilobit maka, 80x1024 = 81920KBps = 81920KBps: 62,5 KBps = 13170,725 detik dibulatkan menjadi 1310 detik = 1310: 60 = 21 menit 50 detik (penggunaan waktu download).

3). Misal: Besar Bandwidth per user standar Asia; (recomended) 10kbps/terminal, dan minimal 1kbps.

4). Misal: Jumlah terminal di corporate adalah: 50, maka bandwidth sebesar: 50 x 10kbps = 500kbps, artinya corporate dpt menyewa 512 kbps dan jika minimal 50 x 1kbps = 50 kbps. Dalam hal ini anda dapat menyewa bandwidth 64kbps.

Bandwidth internet dr ISP: 384 kbps, 512 kbps, 1024 kbps dan seterusnya.

KOMUNIKASI DATA

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Fri, 10 Sep 2021 18:57:00 -0700

MULTIPLEXING

-) PENGERTIAN MULTIPLEXING

Multiplexing adalah Teknik menggabungkan beberapa sinyal untuk dikirimkan secara bersamaan pada suatu kanal transmisi.

Dimana perangkat yang melakukan Mulpelexing disebut Multiplexer atau disebut juga dengan istilah Transceiver/Mux.Dan untuk di sisi penerima, gabungan sinyal-sinyal itu akan kembali di psisahkan sesuai dengan tujuan masing-masing. proses ini disebut dengan Demultiplexing.Receiver atau perangkat yang melakukan Demultiplexing Disebut dengan Demulplexer atau disebut juga dengan istilah Demux.

Pada gambar di bawah ini menyatakan fungsi multiplexing secara umum.Multiplexer mengkombinasikan (me-Multiplex) data dari n input dan mentransmisi melalui kapasitas data link yang tinggi. Demultiplexer menerima aliran data yang di-multiplex/pemisahan (demultiplex) dari data tersebut tergantung pada channel dang mengirimnya ke line output yang diminta.

-) TUJUAN MULTIPLEXING

Tujuan utamanya adalah untuk menghemat jumlah saluran fisik misalnya kabel, pemancar dan penerima (transceiver) atau kabel optik.Contoh aplikasi dari teknik multiplexing ini pada jaringan transmisi jarak jauh, baik yang menggunakan kabel maupun yang menggunakan media udara (wireless atau radio).

-) KEUNTUNGAN DARI PENGGUNAAN MULTIPLEXING

1). Host hanya butuh satu port I/O untuk n terminal.

2). Hanya satu line transmisi yang dibutuhkan.

3). Menghemat biaya penggunaan saluran komunikasi.

4). Memaatkan sumber daya se-efisien mungkin.

5). Menggunakan kapasitas saluran semaksimun mungkin.

6). Lebih dari satu sinyal bisa dikirim melalui media tunggal atau link.

7). Efektif dalam segi penggunaan dari bandwidth medium (kapasitas saluran transmisi).

-) TEKNIK-TEKNIK MULTIPLEXING

1). Frequency Division Multiplexing (FDM)

Frequency Division Multiplexing (FDM) adalah teknik menggabungkan banyak saluran input menjadi sebuah saluran output berdasarkan frekuensi.Jadi total bandwith dari keseluruhan saluran dibagi menjadi sub-sub saluran oleh frekuensi.Prinsip dari FDM adalah pembagian bandwidth saluran transmisi atas sejumlah kanal (dengan lebar pita frekuensi yang sama atau berbeda) dimana masing-masing kanal dialokasikan ke pasangan entitas yang berkomunikasi.

Pada gambar dibawah ini, dapat dilihat 6 sumber sinyal dimasukkan ke dalam suatu multiplexer, yang memodulasi tiap sinyal ke dalam frekuensi yang berbeda (f1, ..., f6).Tiap sinyal modulasi memerlukan bandwidth center tertentu disekitar frekuensi carriernya, dinyatakan sebagai suatu channel. sinyal input baik analog maupun digital akan ditransmisikan melalui medium dengan sinyal analog.

Kelebihan FDM :

FDM tidak sensitif terhadap perambatan/perkembangan kerterlambatan.teknik persamaan saluran (channel equalization) yang diperlukan untuk sistem FDM tidak sekompleks seperti yang digunakan pada sistem TDM.

Kekurangan FDM :

Adanyakebutuhan untuk memfilter bandpass, yang harganya relatif mahal dan rumit untuk dibangun (pengugunaan filter tersebut biasanya digunakan dalam transmitter dan receiver).Penguat tenaga (power amplifier) di transmitter yang digunakan memiliki karakteristik nonlinear (penguat linear lebih kompleks untuk dibuat), dan amplifikasi nonlinear mengarah kepada pembuatan komponen spektral out-of-bandyang dapat menganggu saluran FDM yang lain.

2). Time Division Multiplexing (TDM)

Time Division Multiplexing (TDM) yaitu Terminal/channel pemakaian bersama-sama kabel yang cepat dengan setiap channel membutuhkan waktu tertentu secara bergiliran (roud-robin time-slicing).TDM menerapkan prinsip penggiliran waktu pemakaian saluran transmisi dengan mengalikasikan satu slot waktu (time slot) bagi setiap pemakaisaluran (user). artinya bandwisth yang ada dipisahkan menjadi channel-channel kecil (baseband) berdasarkan waktunya.

Salah satu permasalahan utama dari TDM ini adalah bandwidth yang dialokasikan ke sejumlah koneksi ganya dialokasikan ke koneksi tersebut, baik yang sedang digunakan maupun tidak. JAdi kita tetap membayar untuk kapasitas yang tidak digunakan, hal ini mengakibatkan TDM cukup mahal.

Kelebihan TDM :

1. System TDM tidak memerlukan filter-filter yang mahal, dan jumlah filter yang digunakan lebih sedikit.Karena itu harga peralatan terminal system ini lebih murah.

2. Kabel yang mempunyai spesifikasi rendah, misalnya kabel yang digunakan untuk frekuensi pembicara (VF) masih dapat digunakan untuk sistem TDM, karena regeneratife repeating dapat menghilangkan pengaruh buruk dari noice, kecacatan dan crasstalk.

3. Perubahan level (level fluctuation) kanal hanya dipengaruhi oleh karakteristik peralatan terminal itu sendiri dan tidak tergantung sama sekali dari perubahan saluran. Oleh karena itu net-loss circuit yang diberikan oleh sistem ini rendah.

Kekurangan TDM :

1. Pemborosan bandwidth

2. User telah memiliki slot waktu yang telah ditentukan sebelumnya

3. multipath distortion.

Jenis-jenis TDM

a). Synchronous TDM

Disebut synchronous karena time slot-nya di alokasikan ke sumber-sumber tertentu dimana time slot untuk tiap sumber di transmisikan.Dan dapat mengendalikan sumber-sumber dengan kecepatan yang berbeda-beda.

b). Asynchronous TDM

Untuk mengoptimalkan penggunaan salurang dengan cara menghindari adanya slot waktu yang kosong akibat tidak adanya data (atau tidak aktifnya pengguna) pada saat sampling setiap input line, maka pada asynchronous TDM proses sampling hanya dilakukan untuk input line yang aktif saja.Konsekuensi dari hal tersebut adalah perlunya menambahkan informasi kepemilikan data pada setiap slot waktu berupa identitas pengguna atau identitas input line yang bersangkutan.

3). Statistical Time Division Multiplexing (STDM)

Statistical time division multiplexing (STDM) merupakan TDM yang bekerja seperti FDM atau lanjutan dari versi TDM di mana alamat terminal kedua-duanya.TDM yang bekerja seperti FDM mengurangi/menghapus alokasi "idhe time" pada terminal yang tak aktif dan menghapus/mengurangi blok-blok kosong dalam blok-bl0k pesan campuran.statistical TDM dikenal juga sebagai asynchronous TDM dan intelligent TDM, sebagai altenatif synchronous TDM. Efisiensi penggunaan saluran secara lebih baik dibandingkan FDM dan TDM, karena mengalokasikasikan time slot secara dinamis sesuai permintaan. Memberikan kanal hanya pada terminal yang membutuhkannya dan memanfaatkan sifat lalu lintas yang mengikuti karakteristik statistik.

Kelebihan STDM :

a). Efisiensi penggunaan saluran secara lebih baik dibandingkan FDM dan TDM.

b). Memberikan kanal hanya pada terminal yang membutuhkannya dan memanfaatkan sifat lalu lintas yang mengikuti karakteristik statistik.

c). STDM dapat mengidentifikasi terminal mana yang mengganggur/terminal mana yang membutuhkan transmisi dan mengalokasikan waktu pada jalur yang dibutuhkannya.

4). Code Division Multiplexing (CDM)

Code Division Multiplexing (CDM) adalah penggabungan beberapa saluran menjadi satu saluran dengan membagi kode tertentu.Code Division Multiplexing juga dikenal sebagai kode akses beberapa divisi.Sebuah teknik canggih yang memungkinkan beberapa perangkat untuk mengirimkan data pada frekuensi yang sama dan pada saat yang bersamaan.

Kelebihan CDM :

a). Baik untuk diterapkan pada jaringan telekomunikasi jarak jauh/long distance.Baik juga untuk sistem point to pint maupun topologi ring.

b). Lebih fleksibel untuk mengatisipasi pertumbuhan traffic yang tidak terprediksi.

c). Transparan terhadap beberapa bit rate dan protocol jaringan.

d). Tepat untuk diterapkan pada daerah dengan perkembangan kebutuhan bandwidth yang cepat.

Kekurangan CDM :

Direkomendasikan untuk kapasitas yang besar saja/tidak di rekomendasikan pada kapasitas kecil.

5). Wavel- length Divison Multiplexing (WDM)

Wavelength Divison Multiplexing (WDM) adalah teknik multiplexing yang di gunakan pada transmisi data melalui serat optik (optical fiber) dimana sinyal yang ditransmisikan berupa sinar. Pada WDM prinsip yang diterapkan mirip seperti pada FDM, hanya dengan cara pembedaan panjang gelombang (Wavelength) sinar.

Kelebihan WDM :

a). Kapasitas pengiriman data yang lebih besar.

b). Transmisi data melalui serat optik dapat berjalan dengan kecepatan 2,5 sampai 10 Gbits/sec lebih cepat dari mediatransmisi lainnya.

Kekurangan WDM :

WDM membutuhkan biaya yang mahal untuk pemasangan dari perawatnnya.

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU - KALKULUS 1

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Thu, 3 Jun 2021 18:58:00 -0700

-) BENTUK TAK TENTU

Pada limit fungsi trigonometri, yang telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x → 0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Pada bab ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesainnya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.

Berikut Dua Teorema Penting Untuk Mempelajari Limit-limit Tak Tentu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1). Bentuk Tak Tentu 0/0

Cara Penyelesaian :

Ubahlah bentuk f(x) / g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk Tak Tentu ∞/∞

Cara Penyelesaian :

Ubahlah bentuk f(x) / g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut

Contoh Bentuk ∞/∞

3. Bentuk Tak Tentu 0 . ∞

Contoh Bentuk Tak Tentu 0 . ∞

4. Bentuk Tak Tentu ∞ - ∞

Contoh Bentuk Tak Tentu ∞ - ∞

Rabu, 09 juli 2021

TURUNAN/DIFERENSIAL

Rabu, 16 juni 2021

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0. dengan "y" sebagai fungsi dalam "x".

Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) di sebut fungsi eksplisit, yaitu antara perubahan bebas dan tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka di katakana fungsi implisit. Dikenal juga bentuk fungsi implisit yaitu f(x, y) = 0.

Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh :

Jika fungsi implisit {f (x, y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan cara yang sudah dibicarakan yaitu :

Jika fungsi implisit {f (x, y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu dibicarakan bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti yang akan dibahas barikut ini.

Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya.Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkannya fungsi dalam bentuk implisit berikut :

Rabu, 23 juni 2021

APLIKASI TURUNAN : NILAI MAKSIMUN DAN MINIMUN

Definisi :

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c, kita katakan bahwa:

1. F(c) adalah nilai maksimun pada S jika f (c) f(x) untuk semua x di S

2. F(c) adalah nilai minimum pada S jika f (c) f(x) untuk semua x di S

3. F(c) adalah nilai ekstrim f pada S ia nilai maksimun atau nilai minimum.

Teorema A

(Teorema eksitensi Maks-Min).Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka ‘’ f “ mencapai nilai maksimun dan nilai minimum.

Teorema B

(Teorema Titik Kritis).Andaikan “ f ” didefinisikan pada selang “I” yang memuat titik “c”. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis : yakni c berupa salah satu :

1. Titik ujung

2. Titik stasioner dari f '(x) = 0

3. Titik singular dari f '(x) tidak ada.

1. Titik-titik Ujung

Biasanya fungsi yang akan kit acari nilai maksimun dan minimumnya dibatasi oleh suatu selang (interval) sebagai daerah asalnya. Beberapa selang memiliki titik ujung, Sebagian lagi tidak. Misal interval

Nilai-nilai ekstrim yang terdefinisi pada selang tertutup dapat terjadi pada titik-titik ujung intervalnya.

2). Titik Stasioner

Jika c sebuah titik dengan f ' (c) = 0, maka c adalah titik stasioner.Faktanya garis singgung pada titik stasioner sejajar sumbur x. Nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik stasioner.

3). Titik Singular

Titik Singular merupakan titik pada grafik, dalam keadaan sudut tajam, garis singgung vertical, atau berupa lompatan. Walaupun dalam masalah praktis hal ini sangat langka, nilai ekstrim dapat terjadi pada titik singular.

Contoh :

Rabu, 30 Juni 2021

TITIK STASIONER DAN TITIK BELOK

Titik Stasioner

Titik stasioner adalah titik pada kurva suatu fungsi, dimana garis singgung pada titik tersebut mempunyai gradien nol.

Jenis-jenis titik stasioner

Menentukan titik stasioner.

1. Uji Turunan Pertama

2. Uji Turunan Kedua

Contoh :

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - KALKULUS 1

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Fri, 26 Mar 2021 23:12:00 -0700

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Fungsi 'f ' adalah suatu aturan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua (daerah hasil).

Persamaan fungsi, ditulis dengan y = f(x) dengan x disebut variabel bebas dan y veriabel tak bebas, dimana nilai y tergantung pada nilai variabel bebas x.

Grafik fungsi y = f(x)adalah himpunan semua titik (x, y) di R² , sedemikian rupa sehingga (x, y) merupakan pasangan bilangan berurut.

Model - model Matematika

Aplikasi Termodinamika.Menurut hukum gas ideal, besarnya tekanan P tergantung pada volume (V) dan temperatur (T). Persamaannya adalah :

Aplikasi Fisika.Kecepatan dan tinggi peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo pada sudut 'A' dari horizontal diberikan oleh persamaan :

Aplikasi Kimia. Jika konsetrasi suatu zat ,mula-mula nol,dan jika laju perubahan konsetrasi adalah konstan, maka konsentrasi pada waktu tertentu diberikan oleh persamaan :

Klasifikasi Fungsi :

-) Fungsi-fungsi Aljabar

Fungsi Polinomial.
Fungsi Rasional.
Fungsi Irrasional.

-) Fungsi-fungsi Khusus

Fungsi dengan banyak persamaan.
Fungsi dengan nilai mutlak.
Fungsi genap/ganjil.
Fungsi periodik
Fungsi tangga satuan.

-) Fungsi-fungsi Transendent

Fungsi trigonometri.
Fungsi invers trigonometri.
Fungsi logaritma asli
Fungsi eksponensial

Contoh :

-) Fungsi Surjektif

Fungsi Surjektif merupakan fungsi yang daerahnya merupakan hasil dari sekelompok teman, yang artinya setiap anggota di daerah teman, mempunyai pasangan dengan anggota himpunan daerah asal (sepasang anggota himpuanan asli dengan daerah kawan boleh bersamaan).

Jadi maksudnya jumlah anggota daerah asal ≥ jumlah anggota daerah kawan.

Contoh :

Manakah dari empat diagram panah berikut yang merupakan fungsi surjektif.

-) Fungsi Injektif

Contoh :

Manakah diantara berikut ini yang merupakan diagram panah yang menunjukkan fungsi injeksi ?

-) Fungsi Bijeksi

Fungsi bijeksi yaitu fungsi dimana setiap anggota di daerah asal cuma mempunyai satu mitra dengan daerah sahabat, dan sebaliknya setiap anggota perkumpulan daerah sahabat hanya mempunyai satu mitra dengan daerah asal. Fungsi bijak adalah kombinasi dari fungsi subjektif dan fungsi injeksi dan sering disebut sebagai korespondensi satu-ke-satu.

Jumlah anggota dari daerah asal = jumlah anggota kawasan sahabat.

Contoh :

Manakah dari diagram panah berikut yang menunjukkan fungsi bijak ?

Jawaban :

Fungsi f : A -> B disebut fungsi korespondensi satu-ke-satu, jika f merupakan fungsi subjektif serta fungsi injeksi. Berdasarkan konsep ini, maka diagram panah yang menunjukkan fungsi bijak yaitu gambar (2) dan (4).

Rabu, 31 Maret 2021

-) FUNGSI KUADRAT

A. Definisi

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel pengubahnya tertinggi dua.

Bentu umum : y = ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ϵ R

B. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola .

1. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas.

2. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

C.Titik Potong Terhadap Sumbu-sumbu koordinat.

1. Titik potongterhadap sumbu-y

Jika y = ax² + bx + c memotong sumbu-y, maka x = 0 sehingga y = ax² + bx + c, y = 0

2. Titik potong terhadap sumbu - x

Agar fungsi kuadrat memotong sumbu - x, maka y = 0 sehingga ax² + bx + c = 0

(x – x₁)(x - x₂) = 0

Koordinat titik potongnya (x₁ , 0) dan (x₂, 0).

D. Harga Ekstrim Fungsi Kuadrat

1. Harga Maksimum.

Jika a > 0 (grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah), y = ekstrim maksimum koordinat titik maksimum.

2. Titik Minimun.

Jika a > 0 (grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas), y = esktrim minimum koordinat titik minimum.

E. Menentukan Persamaan Fungsi

1. Apabila diketahui koordinat puncak (xp - yp), Pergunakan rumus

y = a (x - xp) + yp

2. Apabila diketahui titik potong dengan sumbu - x, yaitu (x₁ , 0) dan (x₂, 0),Pergunakan rumus.

y = a (x - x₁) (x - x₂).

3. Untuk lainnya, pergunakan rumus y = ax² + bx + c

-) Kegunaan Distriminan Pada Fungsi Kuadrat.

a. Hubungan parabola dengan sumbu -x

D > 0 --> parabola memotong sumbu - x di dua titik.
D = 0 --> parabola menyinggung sumbu - x
D < 0 --> parabola tidak memotong ataupun menyinggung.

Jika D < 0 --> fungsi kuadrat memiliki harga definit.

1). Definit Positif :

D < 0 dan a > 0 --> parabola di atas sumbu - x.

2). Definit Negatif :

D < 0 dan a < 0 --> parabola di bawah sumbu - x.

b. Hubungan parabola dengan garis lurus.

D > 0 --> garis memotong parabola di dua titik.
D = 0 --> garis menyinggung parabola.
D < 0 --> garis tidak memotong ataupun menyinggung parabola.

Contoh Soal :

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah...

-) GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Grafik fungsi trigonometri adalah penyajian fungsi trigonometri kedalam bentuk diagram cartesius.

Persamaan dan perbedaan antara grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen.

1. Persamaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah ketiganya merupakan fungsi berkala atau fungsi periodik yang berulang untuk periode tertentu.

2. Perbedaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut :

	Kekontinuan	Periodik	Range
sinus	Kontinu di tiap titik sudut	P = 2x	-1 ≤ sin x ≤ 1
cosinus	Kontinu di tiap titik sudut	P = 2x	-1 ≤ cos x ≤ 1
Tangen	Diskontinu . Asimtosis di x = k . п + л/2	P = п	-∞ ≤ sin x ≤ ∞

Grafik fungsi trigonometri dasar sanggup dibagi menjadi beberapa grafik fungsi y = sin x, y = tan x dan y = cos x. Grafik trigonometri tersebut di gambarkan dalam kondinat cartesius dua sumbu yakni sumbu x untuk nilai sudut maupun sumbu y untuk nilai fungsi.

Berikut citra umum grafiknya.

Sumbu x pada grafik fungsi trigonometri di atas merupakan nilai sudut yang panjangnya sama ibarat keliling bulat (2пr).Sumbu tersebut mempunyai 360^°yang setiap satuan derajatnya bernilai 1^° . Namun nilai sudutnya setiap satuan radiannya diubah dalam bentuk п radian. Sedangkan sumbu y dalam grafik trigonometri diatas melambangkan nilai fungsi. Cara menghitungnya sama dengan jari-jari bulat setiap satu satuan nilai fungsinya.

Dalam grafik fungsi trigonometri terdapat beberapa komponen pentin g yaitu diantarannya :

Nilai fungsi maksimum yakni nilai koordinat fungsi paling tinggi yang sanggup dicapai.
Nilai fungsi minimum yakni nilai koordinat fungsi paling rendah yang sanggup dicapai.
Perioda fungsi yakni besar interval sudut yang diharapkan dalam melaksanakan satu putaran fungsi.

Dibawah terdapat klasifikasi lengkap mengenai gambar grafik fungsi trigonometri dasar ibarat fungsi y = sin x, y = tan x dan y = cos x. Berikut klasifikasi selengkapnya :

Grafik Sinus

Grafik fungsi trigonometri yang pertama akan saya bahas ialah grafik fungsi sinus Grafik trigonometri untuk fungsi sinus dasar ialah fungsi y = sin x .

Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

● Nilai fungsi maksimumnya iala 1.

● Nilai fungsi minimumnya ialah -1.

● Perioda fungsinya ialah 360^° , jadi setiap kelipatan 360^°fungsinya akan berulang terus.

2. Grafik Cosinus

Selanjutnya saya akan membahas grafik fungsi trigonometri yaitu grafik fungsi consinus.Grafik trigonometri untuk fungsi cosinus dasar ialah fungsi y = cos x. Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

· Nilai fungsi maksimumnya iala 1.

· Nilai fungsi minimumnya ialah -1.

· Perioda fungsinya ialah 360^° , jadi setiap kelipatan 360^°fungsinya akan berulang terus.

3. Grafik Fungsi Tangen.

Selanjutnya saya akan membahas grafik fungsi trigonometri yaitu grafik fungsi tangen.Grafik trigonometri untuk fungsi tangan dasar ialah fungsi y = tan x. Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

· Nilai fungsi maksimumnya ialah ∞.

· Nilai fungsi minimumnya ialah -∞.

· Perioda fungsinya ialah 180^° , jadi setiap kelipatan 180^°fungsinya akan berulang terus.

Contoh soal Grafik Fungsi Trigonometri :

Tentukan nilai minimum, nilai maksimum dan perode fungsi dari :

1. y = 4.sin (2x - 90^°)

2. y = 4. cos (3x + 60^°)

3. y = 8.tan 4x

4. y = 2 + 3 cos 2x

Jawab :

1. y = 4.sin (2x - 90^°)

Nilai maksimum = 4 . (1) = 4

Nilai minimum = 4 . (-1) = -4

Periodenya = 360^° / 2 = 180^°

2. y = 4. cos (3x + 60^°)

Nilai maksimum = 4 . (1) = 4

Nilai minimum = 4 . (-1) = -4

Periodenya = 360^° / 3 = 120^°

3. y = 8.tan 4x

Nilai maksimum = 4 . (∞) = ∞.

Nilai minimum = 4 . (-∞.) = -∞.

Periodenya = 180^° / 4 = 45^°

4. y = 2 + 3 cos 2x

Nilai maksimum = 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5

Nilai minimum = 2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1

Periodenya = 360^° / 2 = 180^°

-) LIMIT FUNGSI

Limit fungsi merupakan teori yang mendasari kalkulus (diferensi) dan integral), yang konsepnya dirumuskan pertama kali oleh Matematikawa Prancis Augustin - Louis Cauch (1789 - 1821) pada tahun 1821. secara intuitif, pengertian limit fungsi dapat didefinisikan sebagai :

yang berarti bahwa jika x mendekati (x ≠ a), mendekati nilai L.

1). Limit Fungsi f(x) untuk x --> a, a ≠ 0.

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x --> a, a ≠ 0 atau ditulis, dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu substitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar.

Jika dengan cara substitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu .

,maka perhingga limit dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar.

2). Limit Fungsi F(x) untuk x →0

Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → 0 atau di tulis

Pada prinsipnya sama seperti perhitungan pada

3). Limit Fungsi f(x) → ~

^{Perhitungan limit fungsi yang berbentuk}

^{Jika disubstitusikan
langsung menghasilkan bentuk tak tentu

     Sehingga
perhitungannya dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan
penyebut f(x) dan penyebut g(x) dengan xn, yang mana n adalah pangkat
tertinggi dari penyebut  f(x). Perhitungan limit fungsi yang
berbentuk

   Jika
disubsitusikan langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu.Sehingga
perhitungan dilakukan dengan cara mengalikan denga faktor lawan yaitu:

^{Dalam
perhitungan limit fungsi aljabar x --> ~ , berlaku :}

^{Untuk
setiap n bilangan positif dan a bilangan real, maka}

Nilai limit
fungsi aljabar untuk x →~ pada contoh soal nomor 1 - 3, dapat pula ditentukan dengan menggunakan Rumus berikut ini :

   Nilai limit fungsi aljabar untuk x → ~ pada soal nomor
6-8 dapat pula ditentukan dengan menggunakan Rumus berikut ini :

-)
Teorema Limit

  Berikut ini adalah teorema
limit yang memuat sifat-sifat limit fungsi.

-) Limit
Fungsi Trigonometri

  Limit fungsi trigonometri memiliki bentuk lim
x-->a f(x)  dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
perbandingan trigonometri.

   Dari rumus-rumus limit fungsi trigonomteri di atas dapat diperoleh
rumus-rumus limit

    fungsi trigonometri yang lain, yaitu :

     Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah
fungsi pada limit fungsi trigonometri adalah :

-) Teorema L'Hospital


  Dalam
Menentukan nilai

   yang menghasilkan
bentuk tak tentu (0/0), dapat digunakan teorema L'Hospital yaitu sebagai
berikut :

    Apabila juga masih
menghasilkan bentuk (0/0), maka nilai dapat ditentukan dari turunan kedua,
yaitu :

   Contoh 1 :

   Hitunglah
nilai limit fungsi aljabar berikut ini !
   Pembahasan :

   Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak
dapat dilakukan dengn cara  memasukkan nilai langsung, melainkan
harus di faktorkan terlebih dahulu.

   Jadi, hasil faktornya adalah :}

^{Contoh 2
:

    Hitunglah nilai limit dibawah ini :

   Pembahasan :

    Dengan substitusi langsung

   Karena diperoleh bentuk tidak
tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar
sekawan :

Rabu, 07
April 2021

-) LIMIT FUNGSI ALJABAR

  Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu
batas, sesuatu yang bersahabat tetapi tidak dapat dicapai. Pada bahsa
matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karena limit menjelaskan suatu fungsi bila batas
tertentu didekati.

Kenapa harus
didekati? alasannya ialah pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi
pada suatu titik
tertentu.Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu.Akan tetapi masih dapat dicari tahu berapa nilai yang
didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu limit.

-) Rumus
Limit

  Dalam dunia matematika,
limit biasa di tuliskan sebagia berikut.
  Keterangan :

Apabila
x mendekati a tetapi x tidak sam dengan maka f(x) mendekati L.
Pendekatan x ke a dapat dilihat
dari dua sisi yaitu pada sisi kiri kanan ataupun dengan kata lain x dapat
mendekati dari arah kiri dan arah kanan sampai menghasilkan limit kanan.

-) Sifat Fungsi Limit Aljabar

  Jika n ialah bilangan
lingkaran positif, k konstanta, f dan g ialah
fungsi yang memiliki limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu :

-) Macam-macam Metode Limit Aljabar.

Metode  subsitusi.
Metode pemfaktoran.
Metode membagi dengan pangkat
tertinggi penyebut.

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

   1. Metode Subsitusi


Metode subsitusi hanya mengganti perubah yang mendekati nilai
tertentu dengan fungsi aljabarnya.


  Contoh :

  2. Metode
Pemfaktoran


Metode pemfaktoran digunakan bila metode substusi yang
menghasilakn nilai limit tidak terdefinisi.


      Contoh :

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut


   Contoh 1 :


      Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari

       Contoh 2 :


           Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari :



4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan


      Contoh :


      Tentukan nilai limit dari

Rabu, 14 April 2021

LIMIT BILANGAN EULER (FUNGSI KHUSUS) & LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

-) LIMIT BILANGAN EULER (Fungsi Khusus)
Nilai 'e'
pertama dikenal di matematika memiliki sejarah yang sebaiknya kita ketahui.
Tahun 1618 ketika, Napier bekerja pada logaritma (ada pada lampirannya).

'e'
adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..

Pada
tahun 1647 saint-vincent menghitung suatu daerah dibawah
hiperbola persegi panjang. Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah dibawah
hiperbola persegi panjang berhubungan dengan logaritma?Hal ini masih
diperdebatkan. Saat tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola
persegi panjang dengan logaritma.Dia memeriksa secara ekslisit dan intensif
hubungan antara daerah dibawah persegi panjang hiperbola "yx = 1" dan
logaritma. Tentu saja, nilai e adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah
hiperbola persegi panjang dari 1 samapai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak
benar-benar diakui karena dia tidak menyebutkan bilangan 'e' secara jelas atau
eksplisit.

Namun hal
yang mengejutkan, pekerjaan pada logaritma begitu dekat dengan bilangan e,
ketika e pertama "ditemukan" itu bukan melalui konsep logaritma sama
sekali melainkan melalui studi bunga majemuk.Pada 1683 Jacob Bernoulli
memandang masalah bunga majemuk dan dalam memeriksa bunga majemuk kontinyu, ia
mencoba untuk menemukan batas dari (1 + 1/n)n sebagai n cenderung tak
terhingga.

jacob Bernoulli  menggunakan
teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas itu harus terletak antara
2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi pendekatan pertama
ditemukannya e.Dia juga menerima ini sebagai definisi e.Akan tetapi jelas tidak
mengakui hubungan antara karyanya ada katanya dengan pada logaritma.
saat ini tentu saja dari
persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x dimana basis log nya a.Dari
sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah sebuah fungsi, sementara awal
logaritma terfikirnya atau diciptakan adalah sebagai alat bantu
perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami
bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.
Pada tahun yang sama
itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia
menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e
punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu yang
diakui.Mungkin sekarang sobat allmipa bertanya kenapa kita tidak belajar sajarah
bilangan 'e' dari pertama kali nilai 'e' muncul. Alasannya adalah karena
walaupun pekerjaan yang sebelumnya kita bahas tidak menyebutkan atau mengatur
tentang apa itu 'e', perlahan-lahan setelah 'e' didefinisikan kita mulai
menyadari bahwa karya sebelumnya relevan. Kilas bagian dari pemahaman tentang
nlai 'e'.

-) LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Limit fungsi trigonometri merupakan nilai terdekat sebuah sudut fungsi
trigonometri. Untuk menghitung limit fungsi trigonometri bisa langsung anda
subsitusikan seperti halnya fungsi aljabar. Namun meski demikian ada pula
fungsi trigonometri yang perlu diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri
untuk limit yang tak tertentu yakni jika anda langsung subsitusikan nilainya
bernilai 0, atau bisa pula untuk limit yang tak tentu tidak harus menggunakan
identitas namun menggunakan teorema limit trigonometri.Bahkan ada pula yang
menggunakan identitas dan juga teorema.

Limit
fungsi trigonometri x mendekati suatu bilangan

Untuk
dapat menentukan berapa nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati
sebuah bilang c sebenarnya bisa dilakukan dengan mudah. Caranya adalah dengan
melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometri. Berikut ini adalah
persamaan rumus limit fungsi trigonometri:

Limit
Fungsi Trigonometri Untuk x mendekati 0

Ketika
membahas mengenai limit fungsi trigonometri, ada banyak sekali rumus yang
disebut dengan property untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri. Untuk
kumpulan property tersebut bisa anda lihat dalam daftar rumus limit trigometri
berikut ini :

Rabu, 21 April 2021

KONTINUITAS

Kontinuitas
atau continuity dalam istilah Bahasa inggrisnya.Kontinuitas dapat disamakan
artinya dengan kesinambungan.Lawan kontinuitas adalah diskontinuitas, dimana
jika kontinuitas itu kesinambungan maka diskontinuitas adalah tak kesinambungan.Kontinuitas
suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi.

-) syarat kontinuitas suatu
fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu
atau tidak apabila memenuhi beberapa syarat.Simaklah defini berikut ini :

Jika salah satu diantara ketiga syarat tidak terpenuhi, maka
fungsi f(x) tidak kontinu pada interval x = a.}

SISTEM BILANGAN REAL - KALKULUS 1

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Wed, 10 Mar 2021 20:12:00 -0800

Assalamu'alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh,

Nama : Puput Amaliyah

NIM : 202031069

Kelas : B

Dosen Pengampu : Ibu Efy Yosrita S.Si.,M.Kom.

Fakultas : Telematika Energi

Program Studi : S1 Teknik Informatika

SISTEM BILANGAN (REAL)

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan ril dan bilangan imajiner yang dilambangkan dengan a + ib. Dengan a dan b merupakan bilang real.

Bilangan tersebut menjadi bilangan kompleks sebab keberadaan "i" atau dapat disebut sebagai bilangan imajiner. Pada bilangan kompleks berbentuk a+ib, bagian "a" merupakan bagian real, sedangkan "ib" merupakan bilangan bagian imajinernya.

Bilangan kompleks terbagi menjadi dua yaitu Bilangan Ril dan Bilangan Imajiner :

1.Bilangan Imajiner (i)

Bilangan imajiner adalah bilangan yang didefinikan dengan i^{2 = -1,}

dengan i merupakan simbol angka imajiner. Bilangan i dalam bahasa inggris disebut juga imaginary number.

2. Bilangan Real (R)

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka yang berbasis 10 yang di bentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol R.

Contoh : -2, 3, 0, 0, 75

Bilangan real terbagi menjdi dua yaitu Bilangan Irrasional dan Rasional :

Bilangan Irrasional (I)

Bilangan irrasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b (a per b).

Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irrasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.

contoh : √2, π, dan e.B

- Bilangan π = 3, 14 atau π = 22/7

penggunaannya belum tepat karena nilai π yang sebenarnya yaitu 2, 141592653589793....

- Bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818…

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk sembarang pecahan a/b (a per b ), dengan ketentuan seperti, a dan b adalah bilangan bulat dimana bilangan a melambangkan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional, dan juga b ≠ 0. Jika penyebut dari bilangan pecahan atau rasional ini bernilai 0, maka bilangan ini menjadi tidak terdefinisi.

Bilangan Rasional terbagi menjadi 2 yaitu :

-) Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk a/b (a per b) atau dengan kata lain mempunyai pembilang dan penyebut, yang dimana a dan b merupakan bilangan bulat, b tidak sama dengan nol, dan bilangan a bukan kelipatan bilangan b.

Bilangan pecahan terbagi menjadi menjadi 2 yaitu :

1. Pecahan Berulang

Contoh : 0, 66.... = 4/6

2. Pecahan Berhenti

Contoh : 0,5 = 1/2

-) Bilangan Bulat (Z)

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan dan negatifnya. Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Contoh : -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Bilangan bulat terbagi menjadi 2 yaitu :

1). Bilangan Bulat Negatif (-)

Merupakan bilangan yang terletak disebelah kiri angka nol (0) pada sebuah garis bilangan.

Contoh : -1, -2, -3, -4, -6, -7, -8, ... dst.

2). Bilangan Cacah (W)

Bilangan cacah adalah himpunan bagian dari bilangan bulay yang dimulai dari angka 0 dan di lanjutkan dengan bilangan bulat positif, yaitu {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Bilangan cacah terbagi menjadi dua yaitu :

-) Bilangan Nol

-) Bilangan Asli

Merupakan bilangan yang terletak disebelah kanan angka nol pada sebuah garis bilangan.

Contoh : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... dst

Bilangan asli terbagi menjadi 4 yaitu :

1). Bilangan Komposit

Bagian dari bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor, sehingga bilangan komposit dapat dibagi lagi oleh bilangan lain selain angka 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh : 4, 6, 8, 9

2). Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan lebih dari 1 dan hanya bisa dibagi dengan angka 1 atau bilangan itu sendiri

Contoh : 2, 3, 6, 8

3). Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ...

4). Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat yang ada pada bilangan asli

Sifar-sifat urutan :

1). Trikotomi

Yaitu jika x dan y elemen bilangan-bilangan riil maka berlaku sebagai berikut :

x < y atau x = y atau x > y

2). Ketransitifan

Yaitu jika x < y maka y < z, maka x < z

3). Penjumlahan

Yaitu jika x < y maka x + z < y + z

4). Perkalian

Misalkan z > 0, dan x < y maka z.x < z.y dan

Misalkan z < 0, dan x < y maka z.x > z.y

PERTIDAKSAMAAN

DAN

NILAI MUTLAK

1. Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yang mempunyai variabel dengan menggunakan tanda penghubung separti :

< (kurang dari)

≤ (kurang dari sama dengan)

> (lebih dari)

≥ (lebih dari sama dengan)

≠ (tidak sama dengan)

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan

1). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

jika a < b maka :

a + b < b + c

a - b < b - c

2). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

jika a < b,dan c adalah bilangan positif, maka :

a.c < b.c

a/b < b/c

3). Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka :

a.c > b.c

a/b > b/c

4). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas posisif masing-masing di kuadratkan.

jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka : a² < b²

3. Jenis-jenis pertidaksamaan

1). Pertidaksamaan linear

2). Pertidaksamaan Kuadrat

3). Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

4). Pertidaksamaan Pecahan

5). Pertidaksamaan Bentuk Akar (Irrasional)

6). Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah beberpa jenis dari pertidaksamaan :

1). Pertidaksamaan Linear

Peridaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang dimana salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linear di dalam x.

pertidaksamaan terbagi menjadi dua yaitu :

a. Pertidaksamaan Linear satu variabel (PLSV)

Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan suatu kalimat terbuka yang hanya mempunyai satu variabel dan berderajat satu serta memuat hubungan (<, >, ≥ atau ≤).

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel,diantaranya yaitu:

sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dapat dilakukan dengan cara subsitusi, mengurangkan, menjumlahkan, mengkali, ataupun membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.

Pertidaksamaan A < B equivalen dengan :

A + B < B + C

A - C < B - C

AxC < BxC, bila C > 0 untuk seluruh x

AxC > BxC, bila C < 0 untuk seluruh x

A/C < B/C, bila C > 0 untuk seluruh x

A/C > B/C, bila C < 0 untuk seluruh x

Perlu kalian catat, beberapa sifat diatas juga berlaku untuk lambang ">" atau "<".

Contoh : x + 6 ≥ 8

x + 6 - 6 ≥ 8 - 6

x ≥ 2

b. Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang didalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (<, >, ≥ atau ≤).

Maka, bentuk dari pertidaksamaan linier bisa kita tuliskan seperti berikut ini:

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel,diantaranya yaitu :

1). Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linier dua variabel.

2). Lukis grafik/garis dari persamaan linier dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius.

3). Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyantaan yang benar,artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, nama=un apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Contoh :

Tentukan daerah penyelesaian dan pertidaksamaan linier dua variabel berikut.

3x + y < 9

Grafik penyelesaian :

(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan).

uji titik (0, 0)

3(0) + 0 < 9

0 < 9 (benar)

Karena pernyataan menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesainya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesainya.Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesainya dari pertidaksamaan.

2). Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat adalah bentuk "penghubung" antara ruas kanan dan kiri merupakan penggunaan tanda pertidaksamaan seperti kurang lebih (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>), lebih dari sama dengan (≥) dengan pangkat tertinggi adalah 2.

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diantaranya yaitu:

1). Ruas kanan dibuat menjadi nol

2). Faktorkan

3). Menentukan titik uji

4). Menentukan tanda untuk masin-masing daerah penyelesain

5). Menentukan himpunan penyelesaian

• Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol.

1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam (•)

2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih (°)

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

•Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda.

Cara menentukan himpunan penyelesaian :

- Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+).

- Jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–).

Contoh :

3). Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Pertidaksamaan Pangkat Tinggi merupakan pertidaksamaan dengan derajat lebih dari dua.

bentuk dari “penghubung” antara ruas kanan dan kiri meliputi diantaranya yaitu: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).

Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi, diantaranya yaitu:

1). Memindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas, yaitu pindahkan pada ruas kiri sehingga tidak akan menyisakan suku atau bersisa nol pada ruas kanan.

2). Memfaktorkan bentuk tersebut ke dalam bentuk dengan derajat lebih rendah.

3). Buat garis bilangan dan tentukan Himpunan penyelesaiannya.

Contoh :

4). Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, pertidaksamaan pecahan ini berbentuk hampir sama dengan pecahan pada bilangan real. Bentuk umumnya juga masih sama dengan pertidaksamaan sebelumnya yang terdiri dari: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).

Bentuk baku dari pertidaksamaan pecahan yaitu :

Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:

1). Ruas kanan dijadikan nol

2). Samakan penyebut di ruas kiri

3). Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)

4). Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

5). Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah

• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval.

Contoh :

5). Pertidaksamaan Bentuk Akar (Irrasional)

Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar.

Pertidaksamaan mempunyai bentuk baku yaitu :

Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:

1). Menguadratkan kedua ruas.

2). Pengecekan syarat akar, di mana kita akan memastikan apabila fungsi di dalam akar pangkat dua haruslah bernilai positif atau sama dengan nol begitu juga dengan konstanta di ruas lainnya.

3). Tentukan interval yang memenuhi penyelesaiannya, Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).

Contoh :

6). Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak adalah suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.

Nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–).

Nilai Mutlak

Nilai mutlak dituliskan dengan (x) didefisinikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan = -x jika

x < 0

Misal : | 5 | = 5, | -5 | = -5, | 0 | = 0

-) SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

1). | ab | = | a | | b |

2). | a/b | = | a | / | b |

3). | a + b | = | a | + | b |

4). | a - b | = | a | - | b |

Contoh Soal :

-) DAFTAR INTERVAL

Cara Menentukan Garis Bilangan :

1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam ( • )

2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih ( ° )

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

TRANSFORMASI LINIER

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Wed, 13 Jan 2021 04:12:00 -0800

TRANSFORMASI LINIER

Defini :

#Penjelasan tambahan

BARIS RUANG DENGAN BARIS,BASIS RUANG DENGAN KOLOM,RANK,NULITAS

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Thu, 7 Jan 2021 02:42:00 -0800

#DIMENSI

Definisi:

Suatu ruang vektor tak nol V di sebut berdimensi terhingga {v1, v2, ..., vn} yang membentuk suatu baris.jika tak ada himpunan yang seperti itu,maka V di sebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga.

TEOREMA:

jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1, v2, ...., vn} adalah sembarang basis,maka:

* Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear.

* Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

TEOREMA:

* Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

* Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V,yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Contoh:

Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dan SPL homogen.

x + y + z + w = 0

-x + 2y - w = 0

Penyelesaian:

kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai berikut:

Jadinya:

merentang ruang solusi tersebut.Karena v1 dan v2 tidak saling berkelipatan satu sama lain maka kedua vektor ini saling bebas linear.Jadi (v1, v2) adalah basis bagi ruang solusi SPL yang dimaksud yang berdimensi 2.

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

* Jika A adalah matrik mxn maka sub ruang Rⁿyang di rentang oleh vektor-vektor

baris dari A disebut ruang baris dari A.Subruang dari R^myang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A di sebut ruang kolom dari A.

TEOREMA

* Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U.

misalkan matriks :

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,lakukan OBE pada A^t, sehingga diperoleh :

kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama bersesuian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

Definisi RANK dan NULITAS

Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A dinyatakan sebagai nulitas (A).Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut ini :

karena terdapat 3 baris tak nol (atau secara ekuivalen,3 satu utama),ruang baris dan ruang kolom keduanya berdimensi 3 sehingga rank dari (A)=3.Untuk menentukan nutulitas dari A,maka kita harus menentukan dimensi dari ruang solusi linier Ax=0.Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

Kedua vektor tersebut membentuk basis untuk ruang solusi,sehingga nulitas (A) = 4

Diagonalisasi Matriks

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Thu, 17 Dec 2020 19:09:00 -0800

Diagonalisasi Matriks

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedekimian rupa sehingga, P-'AP adalah matrik diagonal.Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

1. Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

2. carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai dengan eigen, P1, P2, ....., Pn,

3. Bentuklah matrik P = [P1, P2, ...., Pn]

4. Hitunglah invers dari P

5. Hitunglah D = P-'AP dengan hasil diagonal utamanya 𝜆1, 𝜆2, ...., 𝜆n

Contoh soal :

Carilah diagonalisasi matrik

Jawab :

* Bentuk, 𝜆|-A yaitu :

* Persamaan Karakteristiknya adalah :

* Vektor eigen x dari A di peroleh dari :

* Matriks P yang mendiagonalisasi A adalah :

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A

secara ortogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :

(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,

(2). A matrik simetris,

(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.

Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.

(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,

dari vektor basis pada langkah (1).

(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]

Contoh :

Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana

Jawab :

Menentukan nilai eigen dan vektor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :

det( 𝜆| – A) = 0

Persamaan karakteristiknya adalah : l3 – 3l2 – 9l + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = –3.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

Sistem Persamaan Linier (SPL),Metode Crammer, Nilai Eigen, dan Vektor Eigen

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Sat, 5 Dec 2020 23:42:00 -0800

assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh

Hallo semua,

Pada blog saya kali ini,saya akan menjelaskan materi Sistem Persamaan Linier (SPL),dengan Metode Crammer dan Vektor Eigen.

1. Metode Crammer

Andaikan AX = B adalah sistem per.linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui.

Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan 0,maka sistem persamaan linier dan n variabel yang tidak di ketahui.

Dimana di = det(A) yaitu :

Contoh :

Jawab :

Bentuk matrik SPL, AX = B,

Karena,

2. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A matriks bujur sangkar berordo n x n, vektor tak nol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika terdapat skalar taknol sehingga,

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

untuk menghitung nilai eigen matrik A berordo n x n tulislah:

Dimana syaratnya adalah :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2):

Contoh :

Contoh:

Sistem Persamaan Linier-Puput Amaliyah-

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Fri, 27 Nov 2020 07:19:00 -0800

PERSAMAAN LINIER

1. Sebuah garis dalam bidang x dan y secara umum dapat ditulis dalam bentuk

2.secara umum didefinisikan sebuah persamaan linier dengan n buah variabel.

3.Dimana a1,a2,a3,....,an adalah konstanta bilangan real.

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

1.Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier di dalam variabel-variabel

di sebut dengan sistem persamaan linier atau sistem linier.

2.Urutan bilangan S1,S2,S3, ..... Sn di namakan sebuah pemecahan dari sistem tersebut jika

adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap

persamaan dalam sistem tersebut.

MENCARI PENYELESAIAN SPL :

1. Metode grafik

langkah 1 :

Gambarkan grafik masing-masing persamaan pada bidang cartesius.

langkah 2 :

a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki

satu anggota.

b. Jika kedua garis sejajar,maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota.

Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga

banyaknya.

a.Memiliki Solusi

B.Tidak Memiliki Solusi

C.Soulusi Tak Terhingga

2.Metode Substitusi

Langkah 1 :

pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana),kemudian nyatakan x sebagai

fungsi y atau y sebagai fungsi x

Langkah 2 :

Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain.

CONTOH :

Diketehui ada dua persamaan

x + y = 4 (1)

4x + 3y = 13 (2)

dari persamaan (1) x + y = 4 di dapat dari y = 4 - x (3)

persamaan (3) di substitusikanke persamaan (2)

4x + 3y = 13

ax + 3(4 - x) = 13

4x + 12 - 3x = 13

x + 12 = 13

x = 1

nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 - x.diperoleh

y = 4 - 1

y = 3

jadi solusi untuk persamaan (1) dan (2) adalah {(1,3)}

3.Metode Eliminasi

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi perubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara

mengeliminasi perubah x

CONTOH :

4.Elimasi Gaus

Merubah sistem persamaan linier menjedi bentuk matriks [A][X] = [C]

Terdiri dari 2 tahap :

(1). Forward elimination of unknowns (membentuk Eselon Baris)

(2). Back substitution.

a.Eselon Baris

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari angka nol,maka bilangan tak nol

pertama adalah 1 (dinamai 1 utama)

2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0,maka baris seperti itu

dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Didalam sebarang dua baris yang beruntun yang tidak terdiri seluruhnya dari 0,

maka 1 utama pada baris yang lebih rendah,letaknya lebih jauh ke kanan dari pada

1 utama pada baris yang lebih tinggi.

CONTOH :Bentuk Eselon Baris

Gunakan OBE (operasi baris elementer) untuk membentuk matrik ke dalam bentuk

eselon baris.

CONTOH KASUS :

Forward Elimination :

b.Back Substitution

-) Setelah didapat hasil x4 = 4

-) Lakukan subsitutisi x4 ke pers.diatasnya untuk mencari x3.

-) Lakukan lagi subsititusi x3,dan x4 ke pers.diatasnya untuk mendapatkan x2.

-) Terakhir lakukan subsititusi x2,x3,x4 ke pers.Pertama untuk mendapatkan x1.

5. Metode Gauss-Jordan

Proses lanjutan dari eliminasi gauss.Menggunakan bentuk matrik eselon baris yang di reduksi.

Contoh :

-Invers Matrik- Metode Partisi Matriks - Puput Amaliyah

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Wed, 25 Nov 2020 05:10:00 -0800

assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh

Hallo semua,

Pada blog saya kali ini,saya akan menjelaskan materi partisi matriks

Partisi Matrik

Matrik partisi adalah membagi matrik menjadi beberapa matrik yang ukurannya lebih

kecil dengan memasukkan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matrik-matrik yang ukurannya kecil hasil partisi matrik di sebut sub matriks.

Partisi matrik di gunakan untuk menyederhanakan matrik yang ukurannya besar menjadi matriks

kecil sehingga lebih mudah dioperasikan tujuan tertentu.

setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat di kembalikan ke dalam matriks asalnya.

CONTOH:

Kasus n = 4

Aljabar Linear Matriks 1

noreply@blogger.com (202031069-Puput Amaliyah) — Fri, 2 Oct 2020 05:11:00 -0700

NAMA : PUPUT AMALIYAH

NIM : 202031069

FAKULTAS : TELEMATIKA ENERGI

PROGRAM STUDI : TEKNIK INFORMATIKA

MATERI : RESUME MATRIKS

NAMA DOSEN : IBU Efy Yosrita S.Si.,M.Kom

MATRIKS

Apa itu Matriks?

matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan elemen-elemen atau komponen-komponen matriks.Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Pada gambar diatas disebut matriks A dengan banyak unsur "m x n", banyaknya unsur disebut juga sebagai ordo sehingga matriks A dapat disebut sebagai matriks yang berordo "m x n".

Istilah- istilah Matriks

Lambang matrik di gunakan untuk huruf besar (A,B,C,....Z)
Elemen matrik digunakan untuk huruf kecil (a,b,c,...,z)
Bagian mendatar disebut baris
Bagian tegak disebut kolom
Indeks-I menyatakan baris dan indeks-J menyatakan kolom
Jumlah baris = m sedangkan jumlah kolom = n
Ukuran Matrik di sebut ordo
Matrik dengan jumlah baris=m dan jumlah kolom=n disebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn).

Contoh:

Perhatikan jaringan berikut!

aij=1,jika node i dan j terhubung dan 0, jika node i dan j tidak terhubung.

Matrik jaringan adalah sebagi berikut!

JENIS-JENIS MATRIK

1.Matrik bujur sangkar

A Dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama.Matrik A dikatakan berordo n.

Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11,a22,a33,a44, .... .

2.Matrik Segitiga Atas

matrik bujur sangkar yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol.

3.Matrik Segitiga Bawah

Kebalikan dari segitiga atas,matriks ini berbentuk bujur sangkar Yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai 0

4.Matrik Diagonal = D

Matrik bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol dan elemen diagonal utama tak nol.kecuali elemen-elemen pada diagonal utama.

5.Matrik Identitas = I

matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1, dan semua elemen-elemen selain diagonal utama 0.matriks ini biasa dilambangkan dengan I

6.Transpose Matrik =AT

Transpose matrik A` ditulis AT adalah 2sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolom A,dan kolom AT adalah baris A.bila A berukuran 1(mxn),AT berukuran (nxm)

7.Matrik Simetrik A=AT

A dikatakan metrik simetrik,bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimna,AT=A

8.Matrik Baris

Matrik baris adalah matrik yang terdiri dari satu baris

contoh : [1 3 4 9 ]

9. Matrik kolom

matrik kolom adalah matrik yang terdiri dari satu kolom

10.Matrik Nol

Matrik nol adalah semua elemennya bernilai nol

contoh:

11.Matrik skalar

matriks skalar adalah yang elemen-elemen diagonal utaman semuanya sama

contoh:

12.Matrik mendatar

matrik mendatar adalah matrik yang jumlah kolom lebih banyak dari jumlah baris

contoh :

13. Matrik Tegak

matrik tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak dari jumlah kolom.

contoh :

14.Matrik Skew Simetris

Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan

A

adalah matriks persegi. Matriks

A

dikatakan skew simetris jika dan hanya jika

A^T=-A

. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

contoh :

OPERASI MATRIKS

1. kesamaan A=B

matrik A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya A dan B berukuran sama dan setiap elemen yang seletak nilainya sama,aij=bij

contoh :

A dan B berukuran sama (2x3),tetapi A ≠ B,karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

2.perkalian dengan skalar,KA

perkalian matrik,A =[aij] dengan skalar tak nol K ditulis kA,didefinikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k,yakni : KA=k[aij]=[kaij]

contoh:

3.Penjumlah (A+B)

Matrik,A=(aij) dan B (bij) dikatakan dapat dijumlahkan apabila A dan B berukuran atau berordo sama.bilamana A+B = C,maka elemen matrik diberikan : (aij) + (bij) = (cij) elemen yang seletak di jumlahkan.

contoh :

Maka :

Sifat Penjumlah Matrik

Terdapat matrik A,B,C dan matrik nol O sedemikian rupa sehingga berlaku:

A + B = B + A (sifat komutatif)
( A + B ) + C = A + ( B+C) ( sifat asosiatif)
A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan )
4 + (-A) = ( -A ) + A =Z (-A merupakan invers penjjumlahan dari A)

4. Pengurangan Matrik

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

5.Perkalian Matrik ( AB= C )

matrik A = [aij] (m=n) dan B=[bij] (pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana

jumlah kolom A dan jumlah baris B sama.[n=p]

DETERMINAN MATRIK

Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det (A) = |A|. didefinisi sebagai

jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda " A".

Kasus n=1

A = [a]. det(A) = |a| = a

pada kasus "n=2"

, maka

det (A) = ad - bc

pada kasus "n=3",menggunakan metode sarrus

dengan menggunakan metode sarrus,det (A)=|A|

Metode ekspansi laplace

A adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn)

1. minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij diartikan sebagai

determinan matriks yang berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara

menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

2.kofaktor elemen matriks A merupakan baris ke-i dan kolom ke-j ditulis c-ij

didefinikan sebagai :

contoh:

Contoh Minor :

METODE CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan

semua bilangan real.Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh A atau det(A).

terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu

metode sarrus,Ekspasi kofaktor,dan kondensasi (penyusutan) CHIO.Kondensasi CHIO

merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan

matriks yang memiliki ordo 𝑛×n dengan .Kondensasi chio menyusutkan

determinan matriks ordo 𝑛×n menjadi ordo (n-1) x (n-1) dan dikalikan dengan elemen a11.

Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matrik ordo 2x2. tanpa mengurangi perumunan,

dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen.Apabila nilai

elemen maka dilakukan proses operasi baris atau kolom pada determinan matriks.

menentukan determinan 3x3 dengan metode chio memiliki syarat sebagai berikut :

contoh soal :

Hitunglah Det.A dari :

karena a11= 2 dan n=3,maka :

contoh :

Hitung lah det (A) dari :

Metode Crout Dekomposisi

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode crout adalah :

kasus n=3

Dalam membahas metode reduksi crout,tinjau matriks 3x3 berikut:

Karena LU=A,maka hasil perkalian L dan U itu dapat ditulis sebagai:

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi 5

CONTOH :

Hitunglah determinan matriks 3x3 berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

kasus n=4 ( metode crout)

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Metode Dekomposisi Doolittle

metode doolittle merupakan sebuah algoritma faktorisasi LU yang mensyaratkan

elemen-elemen pada diagonal utama matrik L bernilai 1,sehingga matrik L berbentuk:

rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

untuk kasus n=3

Rumus perhitungannya:

untuk kasus n=4

Rumus perhitungannya:

Invers Matriks Dengan Metode Adjoint

Pengertian Invers Matriks:

Contoh : AB = BA = I

Metode Adjoint matriks
jika A dalah matriks bujur sangkar berordo (nxn). maka kofaktor elemen matrik ^a_ij.

dimana,

Untuk kasus n=2

untuk kasus n=3

Contoh :

Jawab:

Untuk kasus n=4

contoh soal:

det (A) =-1

Pembuktian A x B

METODE OBE

Ketentuan :

- Menukar baris dengan baris lainnya

- Mengkalikan sebuah baris dengan billangan bukan nol

- Menjumlahkan kelipatan baris dengan baris lainnya

CONTOH:

Perkalian Matrik Elementer

(1) Matrik elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang

dikenakan pada matriks identitas.

(2) Setiap matriks elementer mempunyai invers,dan setiap

matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers equivalen

baris terhadap matriks identitas.

(3)Akibatnya,jika:

CONTOH : 3X3

Menghitung E1,E2:

CONTOH: 4 x 4

Menghitung E1,E2

Menghitung E3:

Menghitung E4 dan Invers: