Algebra lineal prof Paula Bustos

Contenido del blog

2010-03-10T11:25:00.002-04:30

Bibliografia

2009-11-29T19:45:00.003-04:30

Libros de Álgebra lineal

Enlace con la página de Google Book

Bernard Kolman
Proskuriakov, I Problemario
Heinhold, Joseph, Bruno Reidmuller Determinantes y sistemas de ecuaciones
Julia García Cabello
Manuel Iglesias Cerezal problemas

Producto Interior

2009-11-23T21:00:00.000-04:30

Producto Interior

Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real ‹u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.

‹u, v› = ‹v, u› Axioma de la simetría

2. ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› Axioma de aditividad

3. ‹ku, v›=‹u, kv › = k ‹u, v› Axioma de la homogeneidad

4. ‹u, u› ≥ 0 donde ‹u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad

Fórmula

u= (u₁ ,u₂,….u_n) y v=(v₁ ,v₂,……,v_n)

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

‹u, v›= 1*0+2*3=0+6=6

Ejercicios

1.- Sea ‹u, v› el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)

K=4

Encontrar

a) ‹u, v›=‹v, u› b) ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› c) ‹k u, v›=‹u, k v › = k ‹u, v›

2.- Calcular ‹u, v›

Propiedades del producto interior

1.- ‹0, v› = ‹v, 0›=0

2.- ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w›

3.- ‹k u, v›=‹u, k v› = k ‹u, v›

4.- ‹u- v, w › = ‹u, w› - ‹ v, w›

5.- ‹u, v- w › = ‹u, v› + ‹u, w›

Norma de un vector

Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:

u= (u₁ ,u₂,….u_n)

Comparando las fórmulas

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Se puede concluir que

║u║=‹u, u›^1/2

Ejemplo

U=(1,2)

Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar

1.- ║u║≥0

2.- ║u║= 0 si y solo si u=0

3. -║k u║ = 1k1 ║u║

4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo

Distancia entre dos vectores

Se define como

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

Propiedades

1.- d (u,v)≥0

2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v

3.- d (u,v)= d (v,u)

De acuerdo a lo antes expuesto

Ejercicios

1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores

U = (-1,2) p=-2+3x+2x²

2.- Hallar la distancia entre los vectores

U=(-1,3) v=(3,0)

P=3+3x q= 2+4x-x²

3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;

‹u, v›=2 ‹u, w›= 5 ‹w, v›= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7

Hallar

‹u+ v, v + w› ‹2v-w, v-u›

║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║

Rango y Nulidad de una Matriz

2009-11-23T19:01:00.000-04:30

Rango y Nulidad de una Matriz

La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).

Propiedad

Rango (A)= Rango (A^T)

Teorema de la dimensión

Si es una matriz A con n columnas, entonces:

Rango (A) + nulidad (A) = n

El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente

Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.

El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).

Ejemplo

Sea A. determinar su rango y nulidad

Por procesos elementales

–f₁+f₂→f_{2 ^}–f₁+f₃→f₃f₂+f₃→f₃

rango (A)= 2

Ejercicios

Calcule el rango y la nulidad de A

En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay A^T

	^a	^b	^c	^d	^e	^f	^g
^{Tamaño de A}	^3x3	^3x3	^3x3	^5x9	^9x5	^4x4	^6x2
^{Rgo A}	³	²	¹	²	²	⁰	²

Base y Dimensión

2009-11-20T23:09:00.001-04:30

Espacio Vectorial

Base y Dimensión

Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v₁ ,v₂,…….v_n} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

S es linealmente independiente

S genera V

Reciben el nombre de base natural o canónica

Ejemplo

El conjunto S={ v₁,v₂,v₃,v₄}, donde v₁=(1,0,1,0),v₂=(o,1,-1,2),v₃=(0,2,2,1), V₄=(1,0,0,1) es una base para R⁴

En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,

C₁ v₁ +c₂ v₂ + c₃ v₃ + c₄ v₄ =0

Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)

Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base

Se realiza la eliminación guassiana –f₁ +f₄~f₄

Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.

La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V

Ejemplo

La dimensión de R² es 2, la dimensión de R³ es tres.

En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4

Espacio vectorial

2009-11-20T21:38:00.002-04:30

Espacio vectorial

Independencia Lineal.

Los vectores v₁, v₂, …..v_n de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c₁, c₂,……..c_n no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C₁ v₁ + c ₂v₂+……c_n v_n =0

En caso contrario se dice que v₁, v₂, …..v_nson linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c₁= c₂=…….=.c_n=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.

Ejemplo:

Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.

Formando la ecuación

C₁ (-1,1,0,0) + c₂ (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)

-c₁ -2c₂ =0

C₁+ 0c₂ =0

C₂=0

La única solución de este sistema es c₁= c₂=0

Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente:

Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior

-2f₁ +f₂ → f₂

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal.

Considerando los vectores

p₁ (t)= t²+ t + 2 p₂ (t)= 2t²+ t p₃ (t)= 3t² + 2t + 2

son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
_{Algebra lineal Bernard Kolman pág 301}

Transformación Lineal

2009-11-18T22:29:00.001-04:30

Transformación Lineal

Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que

T(u+v)=Tu+Tv

T(cu)= cTu

En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.

Propiedades

Si T: V→W

T(0)=0

T(-v)= -T(v)

T(u-v)= T(u)-T(v)

Ejemplo

Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'

T(f+g)= Tf +Tg

(fx+gx)'= (fx)' +(gx)'

Esto se cumple

T(cf)= cT(fx)

(cfx)'=c(fx)'

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

T(A+B)≠ T(A)+T(B)

A+B ≠ A+ B

TcA ≠ cTA

cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.

Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.

Mas ejercicios

Espacio Vectorial

2009-11-18T21:43:00.001-04:30

Combinación Lineal

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,……….v_nSi se puede expresar de la forma

W = k₁ v₁ + k₂ v₂ + k₃ v₃ +……………….+ k_n v_n

donde k_{1 ,} k₂ k₃………k_n son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v₁
_, v₂ ,v₃ …. v_n}

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R³ se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R³. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k₁ u + k₂ v

(9,2,7)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂,4 k₂,2 k₂ )

Igualando

9= k₁ +6k₂
2= 2k₁ +4k₂
7 = -k₁ +2k₂
Resolviendo el sistema k₁ = -3 k₂= 2

La respuesta es:

W= -3 u +3 v

(4,-1,8)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)

(4,-1,8)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂,4 k₂,2 k₂ )

Igualando

4= k₁ +6k₂
-1= 2k₁ +4k₂
8= -k₁ +2k₂

Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

Ejercicio

1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v₁ v₂,v₃} donde

V₁=(1,0.0,1) v₂=(1,-1,0.0) v₃=(0,1,2,2)

V=(-1,4,2,2)

V =(1,2,01)

V=(-1,1,4,3)

V=(0.1.10)

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

Espacio Vectorial y sub espacio

2009-11-15T23:02:00.001-04:30

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen las siguientes axiomas:

Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
u + v = v + u
Ley conmutativa
u + (v + w) = (u + v) + w
Ley Asociativa
Existe un elemento 0 en tal u
que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u. Elemento Neutro para la suma
Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0
Elemento Simétrico o Negativo
Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
c (u + v) = cu + cv , para todo
real c y todo elemento u y v en V. Ley Distributiva
(c+d) u = cu + du
para todo número real c y d
y todo elemento u en V.
Ley Distributiva
c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
y todo elemento u en V. Ley asociativa de la multiplicación
1u =u, para u en V.

Ejemplos:

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
c(x,y,0) = (cx, cy 0)

Comprobando cada axioma:

Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'',y^',0) + (x, y, 0)

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}
(x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )
(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)

(X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)
(X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)
Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
c(x,y,0) = (cx, cy 0)
- c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)
  c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
  (c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)
- (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0)
  {(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)
- (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0))
  {(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)
- 1(x,y,0) = (x, y, 0)

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
(X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)
c(x,y,z) = (cx, y z)
Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
Comenzar por el axioma 7

c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')
c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
(c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')
(c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z)
{(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
{(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
no se cumple este axioma

Ejercicios.
Algebra lineal una introduccion moderna David Poole pag 445

Algebra Lineal Escrito por Romano Aportela, Pedro,Lozano Mora, Claudia
Sub espacio Vectorial

Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.

Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

(a,b,2)
(a,b,c) donde c= a+b

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.

Bernard Kolman Algebra lineal

Ejercicios de Espacio Vectorial

2009-11-02T20:13:00.001-04:30

Ejercicios de Espacio Vectorial

1.-Sea (x,y,z) en R3
(x, y, z) + (x’,y’,z’) = (x’,y+y’,z’)

C(x, y, z) = (cx, cy, cz)

2.- Sea (x,y,z) en R3
(x, y, z) + (x’,y’,z’) = (x+x’,y+y’,z+z’)

C(x, y, z) = (x, 1, z)

3.- El conjunto de los números reales positivos u con operaciones u+v = u.v
Y cu = uc

4.- El conjunto de los números reales definidos por operaciones
u+v = 2 u-v y cu = cu

5.- El conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y) con adición en R2 y la multiplicación por un escalar a(x,y) = (x, y)

6.- El conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y) con las operaciones
(x, y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’)

C(x, y,) = (0, 0)

7.-V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2+ bt +c, donde a, b y c son números reales con b=a+1

(at2 + bt +c) + (a1 t2+ b1 t +c1) = (a+a1) t2 + (b+b1) t+ (c+c1)

r (at2 + bt +c)= rat2+ rbt + rc

8.- El conjunto V de todas las matrices 2x2, la adición usual M22 y la multiplicación por un escalar definida por cA=c AT.

tipos de matrices

2009-11-02T19:05:00.000-04:30

Tipos de Matrices

Tipo de matriz	Definición	Ejemplo
VECTOR FILA	Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
VECTOR COLUMNA	Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR	Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA	Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por A^t ó A^T
OPUESTA	La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA	Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA	Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a₁₁ , a₂₂ , ..., a_nn Diagonal secundaria : son los elementos a_ijcon i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
SIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = A^t , a_ij= a_ji
ANTISIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -A^t , a_ij= -a_ji Necesariamente a_ii = 0
DIAGONAL	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL	Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A^-1 = A^T La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL	Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA	Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A^-1 = A^-1·A = I

Algebra de Matrices

2009-10-31T21:45:00.000-04:30

Algebra de Matrices

Suma de Matrices

Dadas dos matrices de la mismo orden, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (-A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Video de explicación de esta operación

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

Propiedades

Asociativa

a · (b · A) = (a · b) · A A M_mxn, a, b son constantes

Distributiva

a · (A+B) = a · A + a · B A,B M_mxn , a

(a+b) · A = a · A+b · A A M_mxn , a, b

Elemento Neutro

1 · A = A A M_mxn

Traspuesta

(aA)^t = a A^t

Video de explicación

Video 2

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p}= M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A^-1 = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1 = A

(k · A)^-1 = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1 = (A ^-1)^t

Video de explicación

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Considerando una matriz 3x3 arbitraria

Se amplía con la matriz identidad de orden 3.

2º
Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La
matriz
inversa
es:

Otro ejemplo

Video de explicación

Forma matricial de un sistema lineal de ecuaciones

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma

ç

Donde:

A= es la matriz de coeficientes del sistema.
X= es la matriz de incógnitas.
B= es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A·X=B
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A^-1·A·X=A^-1·B => X=A^-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A^-1) por la matriz de términos independientes (B)

.Video de explicación por Gauss Jordan

Ejercicios

Encontrar la inversa de las siguientes matrices

Despeje x de Ax=b si

Traza de una Matriz

La traza de una matriz cuadrada A de n x n está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

Es decir,

donde aij representa el elemento que está en la fila i ésima y en la columna j ésima de A

Propiedades

Potencia de Matrices

Consiste en multiplicar tantas veces la matriz como lo indica el exponente.

A =	(	1	-2	)
		5	3

A ^. A = A²	=	(	-9	-8	)
			20	-1

Propiedades

Regla de Cramer

2009-10-25T21:48:00.000-04:30

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A. Proseguir solo si el determinante de A es distinto de cero. El hecho de que este sea igual a 0 indica que dos filas o columnas son combinaciones lineales entre si y este método no sería el indicado.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
3x - 2y =1
x +5y = 3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
x y

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
|A|= 3.5- (-2. 1)= 15 +2=17

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
|B|= 1.5- (-2.3)= 11

|C|= 3.3 -1.1 = 9 -1 = 8

Solución trivial (11/17,8/17)
Ejercicios para resolver por la Regla de Cramer
1.-" -2x+3y-z=1"
"X+2y-z=4"
" -2x-y+z=-3"

2. "2x+4y+6z=2"
x+2z=0
2x+3y-z=-5"

Determinantes

2009-10-25T21:39:00.000-04:30

EL DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n (cuadrada), un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por A( las barras no significan valor absoluto). El cálculo se realiza con la permutación de los elementos de la matriz sin repetir filas ni columnas, el signo que se le asigna es por ser par o impar de acuerdo a la ubicación del número según la columna que ocupan

Determinante de una matriz de orden 1
Si A es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

, entonces det(A)=-2 o

,Sientonces det(A)=0 o

Si entonces det(A)=2 o

Menor de una matriz de orden n
Sea A una matriz de orden , se define como el menor M_ij asociado al elemento a_ij de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

Sea
	el menor asociado a a11.
	el menor asociado a a12.
	el menor asociado a a21.
	el menor asociado a a22.

Cofactor de una Matriz de orden n

El cofactor c_ijasociado al elemento a_ij de A esta dado por c_ij = (-1)^{i +j} │M_ij│ .

	El cofactor asociado al elemento a₁₁.
	El cofactor asociado al elemento a₁₂.
	El cofactor asociado al elemento a₂₁.
	El cofactor asociado al elemento a₂₂.

Determinante de una matriz de orden superior (Método de Lagrange)
Si A es una matriz de orden entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de cualquiera de las filas o columnas de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

.
Hallar el determinante de la matriz

Previamente se había calculados los cofactores. Este cálculo se realizó con la primera fila

Comprobando que se puede aplicar con cualquier columna a continuación se realizara con la segunda.

│A│= a₁₂ c₁₂ + a₂₂ c₂₂= (-1)(-3) +(1)(2)= 3+2= 5

Se demuestra de esta forma que el resultado del determinante no varía por la selección de una fila o una columna.

Sea

Para determinantes de orden 2 se realiza como regla mnemotécnica la multiplicación en cruz de los elementos. Si se aprecia la permutación de los elementos sin repetir filas ni columnas. Se llega esta fórmula

Calcular el determinante de la matriz

Hallar el determinante de la matriz de orden 3

Solución
Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se calcula el determinante de la matriz resultante.

De manera similar, para encontrar el menor, se elimina el primer renglón y la segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.

Para encontrar el menor, se elimina el primer renglón y la tercera columna de A

los cofactores son

el determinante de la matriz A se calcula así

video 1

video 2

Regla de Sarrus

Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación

a₁₁ a₁₂ a₁₃ │a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂ a₂₃_│ a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃_│ a₃₁ a₃₂

Paso 2 Calcule los productos indicados por los diferentes colores las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.

+ + + - - -

Paso 3 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2

Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 2.5 usando la regla de Sarrus.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

OBSERVACIÓN
La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3.
video de explicación
Teorema

Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por

	Desarrollo del i-ésimo renglón

o tal vez
	Desarrollo del j-ésima columna

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.A^t= A

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2. A=0 Si:

Posee dos filas y columnas iguales

Todos los elementos de una fila y columna son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. A·B =A·B

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

video de explicación

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

video de explicación

Matrices

2009-10-25T21:18:00.000-04:30

Matrices

Concepto de Matriz

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, se trabajará exclusivamente con matrices formadas por números reales. Estas se denotan con corchetes o paréntesis.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Hay algunas matrices que tienen sus propias letras como se estudiara posteriormente.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, se designa por a₃₂ el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. Estos se denotan como i-ésimo para filas y j-ésimos para columnas

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama orden de la matriz. Se denota de la siguiente manera 3x3, donde el primer elemento representa el número de filas totales de la matriz y luego él de columnas totales.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Ejemplo

Columna

Orden 3x3 a₃₂= 2

Algebra lineal

2009-10-25T20:42:00.005-04:30

Ecuaciones

Concepto

Es una expresión matemática definida por una igualdad, la cual contiene uno o varios términos que involucran más de dos variables

Las ecuaciones pueden tener la siguiente forma;

Donde

a y b	coeficientes de las variables
x.y	variables
c	Término constante

Generalmente las variables se denotan las últimas letras de abecedario (x,y,z) aunque en algunas ocasiones se pueden encontrar con subíndices de la misma variable(x₁,x₂,x₃). Mientras que para los coeficientes se utilizan las primeras letras del alfabeto en minúscula (a,b,c).

Tipos de sistema de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema inconsistente si no tiene ninguna solución.
Sistema consistente si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible o consistente determinado cuando tiene una solución. Esta recibe el nombre de solución trivial
Sistema compatible o consistente indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles o consistentes indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es 0.5 y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero

Sistemas inconsistentes

De un sistema se dice que es inconsistente cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, el siguiente sistema:

-->

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Métodos de resolución

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que pudiese seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, hay que seleccionar la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja, obteniendo la siguiente ecuación.

y=22-3x

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

Al resolver la ecuación se obtiene el resultado X=5 , y si ahora sustituir esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se tiene y=7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.

-->

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, despejar la incógnita y en ambas ecuaciones queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que se afirma que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y conocer el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra despejada.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtener dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

-->

Por ejemplo, en el sistema

no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

Sumándose esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, da directamente el valor de la incógnita x:

x=-6

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de 17/3

Sistemas homogéneos.

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.

Considerar los siguientes sistemas homogéneos de m ecuaciones con n incógnitos:

Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente, pues al menos siempre habrá valores x=0 x=0 x=0 que satisfagan el sistema. A esta solución se le denomina solución trivial.

Un sistema homogéneo tiene dos posibilidades:

Consistente determinado: Solución trivial. Todas iguales a cero
Consistente indeterminado: Un número infinito de soluciones.

Para Resolver un sistema homogéneo se le aplica el Método de Gauss o bien el de Gauss-Jordan. Otra forma de resolver este sistema es asumir la última variable como una nueva y despajarla como si fuera una constante. Y Posteriormente se trabaja con cualquiera de los métodos antes explicados.

Este sistema sólo tiene una solución (0,0) puesto que no se pueden satisfacer las dos en forma simultanea. De igual modo se realiza con sistemas de ecuaciones mas grandes.

Ejercicios:

Guía de ejercicios click

clase de álgebra lineal

2009-10-25T20:39:00.001-04:30

Algebra lineal prof Paula Bustos

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Bibliografia

Producto Interior

Rango y Nulidad de una Matriz

Base y Dimensión

Espacio vectorial

Transformación Lineal

Espacio Vectorial

Espacio Vectorial y sub espacio

Algebra Lineal Escrito por Romano Aportela, Pedro,Lozano Mora, Claudia

Ejercicios de Espacio Vectorial

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Algebra de Matrices

Propiedades de la suma de matrices

Matriz traspuesta

Producto de un escalar por una matriz

Propiedades

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Producto de matrices

Propiedades del producto de matrices

Matriz inversa

Propiedades

Cálculo por el método de Gauss

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Cálculo de un determinante de cualquier orden

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