AYUDA EN MATEMATICA

Bosquejo - Funciones Trigonométricas Inversas

2009-12-20T23:35:00.008-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
¿Cómo hallo el valor del ángulo determinado por cada una de las siguientes funciones?

arctan(1)
arctan(2)
arcsec(-1)
arcctg(-2)
arcsen(1/2)
arccos(-1/2)

Bosquejo:

En el triángulo rectángulo de 30° y 60°:

Sabemos que:

De aqui:

Es decir podemos establecer la siguiente regla:

donde:
F.T : función trigonométrica
F.T.I : función trigonométrica inversa

Desde el punto de vista gráfico:

¿Cuál es el sen(30°)?
Para ello, en la gráfica de la función sen(x) localicemos el valor que le corresponde al ángulo de 30°.

vemos que este valor es 1/2, es por ello que decimos que:

¿Qué ángulo corresponde a arcSen(1/2)?

En la gráfica de la función inversa arcSen(x) localicemos el ángulo que corresponda al arcSen(1/2)

vemos que este valor es 30°, es por ello que decimos que:

Conclusión: Para resolver este tipo de problemas debes de conocer las funciones trigonométricas de los ángulos( de los ángulo notables o usados con regularidad ) de tal forma que puedas hallar la correspondencia entre ángulo y número facilmente.

Nota:
Generalmente se suele expresar los ángulos en grados sexagesimales o en radianes, podemos ver esto en el último gráfico.

Bosquejo - Razonamiento lógico

2009-12-18T17:11:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Con 6250 soles en billetes de 10 soles se pueden hacer tantos fajos iguales a estos billetes.¿Cuántos billetes tiene cada fajo?, ¿Cuál es el valor de cada fajo?

Bosquejo:

Fácilmente se deduce que tenemos 625 billetes.
Estos billetes debemos agruparlos en fajos que contengan el mismo número de billetes.
luego, se debe cumplir:

Es decir debemos de encontrar 2 números que multiplicados resulten 625, donde el 1er número represente el # de billetes que contiene un fajo y el 2do número represente el # de fajos que hay en total.

Encontrarás 3 formas de de acomodar los billetes en fajos de igual cantidad de billetes, como sugerencia guíate de los divisores de 625.

Teoría - Regla de Tres Simple y Compuesta

2009-12-15T21:18:00.012-05:00

En vista que he recibido frecuentemente varios problemas sobre regla de tres, presento esta pequeña teoría de regla de tres simple y regla de tres compuesta, espero con esto despejar sus dudas.

Regla de Tres
Consiste en hallar un valor de una magnitud en una proporción geométrica o hallar ese valor mediante la comparación de 3 o más magnitudes proporcionales.

1) Regla de Tres Simple Se dice que es simple porque en el problema solo intervienen 2 magnitudes.: a) Regla de Tres Simple Directa
Se dice que es directa porque en el problema las 2 magnitudes que intervienen son Directamente proporcionales (DP). La forma de resolver un problema de Regla de tres simple directa en esencia será la siguiente:; b) Regla de Tres Simple Inversa
Se dice que es inversa porque en el problema las 2 magnitudes que intervienen son Inversamente proporcionales (IP). La forma de resolver un problema de Regla de tres simple inversa en esencia será la siguiente:
2) Regla de tres Simple Compuesta Se dice que es compuesta porque en el problema intervienen más de 2 magnitudes. La forma de resolver un problema de Regla de tres simple compuesta en esencia será el siguiente, suponemos que en el problema se reconocen 4 magnitudes:

Bosquejo - Regla de Tres Compuesta

2009-12-09T23:10:00.004-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800m² en 50 días ¿Cuánto tiempo necesitarán 100 hombres 50% más eficaces para cavar una zanja de 1200m² cuya dureza es 3 veces de la del terreno anterior?

Bosquejo:

Considerando los datos y estableciendo si son Directamente proporcionales (D.P) o Inversamente proporcionales (I.P) las magnitudes que intervienen en el problema con la magnitud # de días(que es la magnitud que contiene la incognita), una forma de plantear el problema sería:

Según el cuadro:

Resolviendo lo anterior calcularás el número de días pedido.

Nota:
1)Decir 50% más eficaces es equivalente a decir 1.5 más eficaces.
2)Decir cuya dureza es 3 veces de la del terreno anterior podríamos interpretarlo comos si tuviésemos el triple del terreno anterior.

Problemas relacionados:
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Bosquejo - Mezclas

2009-12-03T01:23:00.008-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
En un cilindro se tiene 72 litros de mezcla de alcohol y agua en relación de 3 a 5 respectivamente, ¿Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que la relación sea de 8 a 9?

Bosquejo:

Una forma de resolver seria la siguiente.

Si:
H representa la cantidad de litros de alcohol que contiene el cilindro y
A representa la cantidad de litros de agua que contiene el cilindro.
Luego:

De (i) y (ii) calcularás la cantidad de litros de alcohol(H) y agua(A) que contiene el cilindro.

Si:
x representa la cantidad de litros de alcohol a añadir al cilindro.

Resolviendo la ecuación (iii) hallarás la cantidad de litros de alcohol a añadir.

Bosquejo - Identidades Trigonométricas

2009-12-03T00:21:00.002-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Resolver:

Bosquejo:

Efectuamos:

Multiplicamos por 2 a ambos miembros de la ecuación.

Resolviendo la ecuación (i) encontrarás el valor del ángulo A.

Nota:
Multiplicamos por 2 para poder hallar la expresión equivalente a Sen 2A.

Bosquejo - Regla de Tres Compuesta

2009-12-02T17:19:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Se han pagado $ 144000 a 24 obreros que han trabajado 5 días de 8 horas diarias ¿Cuánto se abonara en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

Bosquejo:

Considerando los datos y estableciendo si son Directamente proporcionales (D.P) o Inversamente proporcionales (I.P) las magnitudes que intervienen en el problema con la magnitud Pago(que es la magnitud que contiene la incognita), tenemos:

Según el cuadro:

Resolviendo lo anterior calcularás el pago a abonar.

Nota:
En (i) la forma de colocar las fracciones esta supeditado a como son las magnitudes (D.P o I.P).

Bosquejo - Rectas

2009-12-01T05:28:00.005-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Determine el valor de "k" para que las rectas 3x+ky+7=0 y kx-3y-2=0 sean perpendiculares.

Bosquejo:

Una forma de resolver este problema es la siguiente.
Toda recta puede ser expresada de la forma:

donde:
m es la pendiente de la recta, este parámetro nos permite averiguar si dos rectas son paralelas o perpendiculares.

Por ejemplo supongamos que tenemos las siguientes rectas:

Caso I : Rectas Paralelas
Ocurrirá cuando:

Caso II : Rectas Perpendiculares
Ocurrirá cuando:

Luego, las rectas pueden ser expresadas de la siguiente forma:

Además como:

Concluimos que estas 2 rectas son perpendiculares cuando k toma cualquier número real ().

Nota:
Cuando k = 0 se comprueba que ambas rectas siguen siendo perpendiculares.

Bosquejo - Planteo de Ecuaciones

2009-11-26T22:26:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

arly
nos escribió:

mi pregunta es entre Abel y Beto tienen 900 soles. Si Abel le obsequia 150 soles a Beto, resulta que ahora ambos tendran la misma cantidad de dinero.¿Cuál es la cantidad que tiene Beto?

Bosquejo:

a : Representa la cantidad de dinero que tiene Abel.
b : Representa la cantidad de dinero que tiene Beto.

Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii) calcularás que cantidad tiene Beto.

Bosquejo - Regla de tres

2009-11-23T15:57:00.004-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Una caja de tornillos pesa 3/4 de kilogramo. si tenemos almacenados en total 4 kilogramos y medio de tornillos ¿Cuántas cajas hay?

Bosquejo:

4 kilogramos y medio es equivalente a 4.5 kilogramos y a su vez esto es equivalente a 9/2 kilogramos.

Luego, resolviendo la siguiente regla de 3 simple encontrarás el número de cajas.

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Bosquejo - Ecuaciones

2009-11-22T19:44:00.004-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Resolver la ecuación: 2(x-7)+5(3-2x)+6=0

Bosquejo:

Luego agrupamos términos semejantes, por un lado los términos que contengan la variable "x" y por otro lado los números.

Resolviendo esta ecuación obtendrás el valor de x.

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Bosquejo - Problema sobres Sistemas de Medición Angular

2009-11-17T14:06:00.005-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
La medida de un ángulo es de 265°,¿A cuántos radianes equivale?

Bosquejo:

Sabemos que:

Mediante una regla de 3 simple encontrás el valor equivalente de 265° en radianes.

Problemas relacionados:
1)La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es...[Leer Más]
2)Halle la mitad del complemento...[Leer Más]

Bosquejo - Problemas sobre edades

2009-11-16T16:26:00.008-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Nos escribieron:
Hace dos años ana tenia 11 veces la edad de su hijo y dentro de 5 años será el cuadruplo
¿Cuánto suman las edades actuales?

Bosquejo:

Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii) encontrarás las edades actuales de Ana y de su hijo.

Problema relacionado:
Diana le dice a Carlos mi edad es 4 años menor...[Leer Más]

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO DOBLE

2009-10-29T16:12:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Calcular el cos36°

Solución:

Por un problema anterior sabemos:

Si colocamos el sen18° en un triángulo rectángulo:

Vemos que no conocemos la longitud del lado AB

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto AB

Entonces el triángulo rectángulo de 18° y 72° es:

Del triángulo:

Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo doble:

Luego de (I),(II) y (III):

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO TRIPLE

2009-10-25T07:17:00.005-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Calcular el Sen18°

Solución:

Sabemos que:
Si la suma de dos ángulos agudos es 90° entonces el seno de uno es igual al coseno del otro, es decir:

Por otro lado de la siguiente igualdad:

deducimos que:

Sabemos por identidades trigonométricas de ángulo triple:

De (I) en (III):

Operamos tratando de expresar la ecuación en función de una sola razón trigonométrica.

Pasando todo al primer miembro de la ecuación trigonométrica:

Notamos que (IV) es una ecuación de 2do grado cuya variable es "senx", por tanto al calcular las soluciones de esta ecuación calcularemos las soluciones del "senx"

Tenemos 2 soluciones, la 1ra solución resulta ser mayor que cero y la 2da solución resulta ser menor que cero.

Pero el senx debe tomar solo una solución ¿Cuál elegimos?

De (II) vemos que x=18°, es decir x es un ángulo agudo.

Sabemos que las razones trigonométricas de los ángulos agudos siempre son mayores que cero por lo tanto el senx tomara el valor de la 1ra solución.

Dado que x=18°, concluimos:

NOTA:
En el paso (i) al ser el cosx distinto de cero se procede a eliminarlo sin problemas.

INECUACIONES

2009-10-20T01:13:00.006-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Calcular el conjunto solución de la siguiente inecuación:

Solución:

Teoria Relacionada gracias a WIKIPEDIA
- Recta real
- Inecuación

Al factorizar el polinomio obtenemos 2 factores:

Igualando a cero cada uno de los factores obtenemos los puntos críticos.

Teniendo en cuenta (I) la inecuación será:

Luego dibujemos en la recta real los puntos críticos calculados.
Notamos que obtenemos 3 regiones

El método nos dice que:
La región 1 será representada por el signo +.
La región 2 será representada por el signo -.
La región 3 será representada por el signo +.

Nota: Si tendríamos mas regiones solo alternaríamos los signos.

Notamos que en la inecuación:

el signo de desigualdad es el menor, esto nos indica que debemos tomar la región negativa, en este caso la región 2.

Es decir los valores que toma x son:

o también:

CIRCUNFERENCIA

2009-10-19T03:46:00.005-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema

Una persona deja un balon flotando en el agua, el agua se enfrio y se congelo y la esfera fue extraida del hielo dejando un agujero de 8cm de profundidad y de 24 cm de diametro (OJO refiriendose solo al agujero). ¿Cuál es el radio de la esfera (pelota) en centímetros?

Solución:

Dibujemos una vista frontal de la esfera(pelota) y con los datos dados obtenemos:

En el triángulo rectángulo OAB aplicando el teorema de pitágoras tendremos:

TEORIA DE EXPONENTES

2009-04-14T14:56:00.002-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Calcular "x" si:

Solución:

Primero debemos saber que se cumple lo siguiente:

Si damos valores tanto a la variable "a", como a la varible "b", tendremos:

es decir:

De la misma forma anterior, se cumple lo siguiente:

Observemos el siguiente término algebraico:

Ahora multiplicamos por 2 el término raiz de 3 y lo dividimos entre 2 y efectuamos.

Teniendo en cuenta ( I ), resulta:

Ahora observemos el siguiente término y teniendo en cuenta ( II ), tendremos:

Luego, ¿Qué resulta de la siguiente diferencia?

Reemplazando los resultados anteriores equivalentes del término de color verde y color rojo, tendremos:

Racionalizando:

Ahora efectuando el ejercicio, tendremos:

Reemplazando el valor equivalente del interior del parentesis y efectuando:

Tengamos en cuenta las siguientes equivalencias:

Reemplazando los resultados anteriores en ( III ):

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

2009-04-06T10:33:00.002-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 2

Anónimo escribió:

Demostrar que:

Sen(&+B).Cos& -Cos(&+B)Sen& = Sen B

Solución:

Sabemos que:

Si hacemos que:

Reemplazando lo anterior en ( i ):

ALPHAMETICS

2009-04-06T09:36:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Anónimo escribió:

Resolver, si:

they + sell = water

además:

t * t = r
r * t = e

Solución:

Vemos que tanto t, h, e, y, s, l, w, a , r representan un número de 1 sola cifra.
Luego calculemos los valores que toma t.

t no puede ser 4 por que txt sería 16 y r no puede ser un número de 2 cifras. Además no puede ser cero por que el número they empieza por t.
Por condiciones del problema, sabemos que:

Reemplazando ( i ) en ( ii ):

Calculemos los valores que toma t:

Vemos que e no puede ser 27(número de 2 cifras) por lo tanto t no puede ser 3.
Luego los valores de t,r y e serán:

Prestemos atención a la columna de color marron.

e aparece tanto en el sumando como en el resultado, para que esto ocurra debe de ocurrir una de estas condiciones.

Luego de

Luego de

Luego de

Luego de

Las sumas que cumplen con la condición del problema serán:

Nota
w toma el valor de 1 por que el máximo valor de la suma de 2 números de un digito es 18.

SISTEMA DE MEDICION ANGULAR

2009-04-01T06:37:00.002-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Anónimo escribió:

La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es (20+x)º y en el sistema centesimal (20-x).Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.

Solución:

Sabemos que la relación entre los sistemas sexagesimal y centesimal es:

donde:
S : Representa al número de grados sexagesimales
C : Representa al número de grados centesimales

Por ejemplo en 10º, el valor que toma S es : ¿ S = 10 ó S = 10º ?
S toma el valor de 10 , es decir S = 10, es por ello que se dice que representa solo al número.

Luego reemplazando los valores de S y C en la ecuación ( i ):

Reemplazando el valor de x en (20 + x)º conoceremos la medida del ángulo pero en grados sexagesimales.

Como en el problema nos piden que calculemos la medida del ángulo en radianes, realizamos la conversión:

Planteo de ecuaciones

2009-03-31T04:41:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Lucero escribió:

El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres. ¿Cuántos hombres hay?

Solución:

Según el problema, supongamos que:
H : número de hombres
M : número de mujeres

En la frase del problema:" El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres "
Al traducirlo a matemática, tenemos:
H = 5M ..........( i )

En la frase del problema:" en total hay 42 personas entre hombres y mujeres "
Al traducirlo a matemática, tenemos:
H + M = 42 ..........( ii )

Vemos que con estas 2 condiciones del problema obtuvimos 2 ecuaciones, bastará con resolverlas para hallar los valores de H y M.

Luego reemplazando la ecuación ( i ) en la ecuación ( ii ):
H + M = 42
→ 5M + M = 42
→ 6M = 42
→ M = 42/6
→ M = 7

Vemos que hay 7 mujeres, para calcular el número de hombres usamos la ecuación ( i ):
H = 5M
→ H = 5(7)
→ H = 35

Por lo tanto hay 35 hombres.

Conjuntos

2009-03-28T04:24:00.004-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Anónimo escribió:

Ana se ganó una bici nueva y se lo contó a dos amigos suyos, quienes 10 minutos después le repitieron la noticia a otros dos amigos suyos cada uno. Otros diez minutos después estos amigos se lo contaron a 2 amigos cada uno, si siguiera corriendo la noticia de la misma forma
¿Cuántos personas se habrán enterado a los 80 minutos?

Solución:

Según el problema, sucede los siguiente:

Ana cuenta la noticia a sus 2 amigos, esta es la 1ra vez que se divulga la noticia, se puede considerar como el minuto cero.

Estos 2 amigos, cada uno a su vez cuentan la noticia a otros 2 amigos, es decir esta es la 2da vez que se divulga la noticia, luego de 10 minutos.

La 8va vez que se divulga la noticia, el número de amigos que se habrá enterado será:

Es decir:

Luego para conocer el número de amigos que saben la noticia bastará con sumar la columna # de amigos del cuadro anterior.

# de amigos = 2+ 4 + 8 + ... + 256

Notamos que esta suma hace referencia a una progresión geométrica de razón igual a 2, de 1er término igual a 2 y de último término igual a 256.

Luego, la suma de una progresión geométrica esta dada por:

Por lo tanto se habrán enterado que Ana tiene una bici nueva 510 personas luego de 80 minutos.

Sumatoria

2009-03-27T07:32:00.007-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Christopher escribió:

Sea S = (x+20)+(x+21)+(x+22)+ . . . +(x+100), donde x es un entero positivo. Halle el menor valor de x para que S sea un cuadrado perfecto.

Solución:

Notamos que tenemos una suma de n términos.

Luego de separar las variables x por un lado y por el otro los números, tenemos:

Tenemos la siguiente suma:

Notamos que es una progresión aritmética de razón igual a 1.
Nos preguntamos ¿Cuántos términos tiene esta suma?, Calculamos el número de términos aplicando la siguiente fórmula:

Por lo tanto esta suma tiene 81 términos.
Para calcular la suma de esta progresión aritmética usamos la siguiente formula.

Sabemos que la siguiente suma tiene 81 términos.

Es decir, al calcular la suma resulta:

Luego:

Por condición del problema S es un cuadrado perfecto.
Por ejemplo podemos decir que 9 es un cuadrado perfecto porque 9 = 3².
Por ejemplo podemos decir que 25 es un cuadrado perfecto porque 25 = 5².
Por ejemplo podemos decir que 64 es un cuadrado perfecto porque 64 = 8².

De aqui podemos decir que la raiz cuadrada de 9 es 3, o también la raiz cuadrada de 25 es 5. Luego en S.

Como el problema pide hallar el menor valor de x, tendríamos:

Luego el menor valor de x es 4.

Numeración

2009-03-26T06:57:00.003-05:00

Aprendiendo matemáticas con ejercicios propuestos por ustedes

Problema 1

Anónimo dijo:

Un número de dos cifras es iguala "p" veces la suma de sus cifras, en cambio el mismo número, pero con las cifras en orden invertido resulta ser "q" veces la suma de sus cifras, entonces (p+q) es:

Solución:

Antes de resolver el problema veamos los siguientes. Supongamos un número de 2 cifras por ejemplo:
25

Pero sabemos que : 25 = 20 + 5

Además sabemos que : 20 = 10(2)

Entonces : 25 = 10(2) + 5

Para referirnos a un número de 2 cifras cualquiera, vamos a utilizar la siguiente notación:

Además por la deducción anterior sabemos que:

En la frase del problema:"Un número de dos cifras es iguala "p" veces la suma de sus cifras"
Al traducirlo a matemática, tendremos:

Luego de la expresión ( i ), tendremos:

En la frase del problema:"el mismo número, pero con las cifras en orden invertido resulta ser "q" veces la suma de sus cifras"
Al traducirlo a matemática, tendremos:

Sumando la ecuación ( i ) y ( ii ):

Luego factorizando 11 en el 1er Miembro de la ecuación:

Pasando a dividir (a+b) del 2do Miembro al 1er Miembro de la ecuacion:

Nota: el 2do Miembro de la ecuación resultante al sumar ( i ) y ( ii ), resulta de factorizar (a+b).