Blog da Professora Ju

Solução do enigma Botânica, Zoologia e Genética

2013-02-22T21:37:00.000-03:00

Olá galerinha,

O probleminha proposto pode ser resolvido utilizando o diagrama de Venn abaixo:

Do diagrama acima, concluímos que 78 estudantes (9+24+6+1+15+5+18 = 78) irão se especializar em, no mínimo, alguma das áreas da Biologia. Portanto, 2 estudantes (80 – 78 = 2) não irão se especializar em nenhuma das áreas, ou seja, 2 estudantes não gostam nem de botânica, nem de zoologia e nem de genética.

Certinho?

*** Qualquer dúvida, é só perguntar. ***

Até mais,
Ju

Enigmas da Ju: Botânica, Zoologia e Genética

2013-02-16T13:41:00.000-02:00

Olá pessoal,

Vamos tentar resolver mais um probleminha?

O curso de biologia de uma grande Universidade promoveu um estudo sobre as áreas em que seus alunos pretendiam se especializar. Dentre os 80 estudantes de Biologia investigados, percebeu-se que 50 pretendem especializar-se em botânica, 40 em zoologia e 30 em genética. Dentre os futuros botânicos, 15 não pensam em mais nenhuma outra área, 6 gostam de zoologia, botânica e genética, 24 simpatizam também com zoologia e não pensam em se aperfeiçoar em genética. Sabe-se que apenas um destes estudantes gosta de zoologia e genética e não gosta de botânica.

Pergunta-se: Quantos estudantes não gostam nem de botânica, nem de zoologia e nem de genética?

Daqui alguns dias postarei a resposta, ok?

Faça sua análise e a publique no link comentários. Será muito bom receber a sua resposta.

Abraços!
Ju

Solução do enigma quantos quadrados você vê?

2013-02-15T07:26:00.000-02:00

Olá,

E aí, achou fácil?

É fácil né, mas já vi várias pessoas dando respostas diferentes para este problema. Realmente, ele não é difícil, no entanto, requer bastante atenção na hora de selecionar e contar os quadrados.

Vamos lá:

Enfim, são 40 quadrados.

Abraços,
Ju

Enigmas da Ju: Quantos quadrados você vê?

2013-02-03T14:53:00.000-02:00

Olá pessoal,

Probleminha rápido e fácil para analisar, ok?

Quantos quadrados você vê na figura abaixo. Simples assim. Fáça a análise e publique sua resposta no link “comentários”, localizado abaixo do título da postagem.

Vamos lá. Quem irá começar?

Daqui uns dias voltarei aqui para publicar a minha resposta.

Ahh para recordar:

Definição:

Quadrado é uma figura plana limitada por quatro segmentos, de
forma que os seus lados sejam todos iguais entre si.

Algumas propriedades:

• Os ângulos deste quadrilátero são todos de 90º;
• As suas diagonais formam entre si ângulos de 90º;
• Cada diagonal forma um triângulo isósceles.

Até lá.
Abraços,
Ju

Referência:
http://www.ipg.pt/user/~mateb1.eseg/doc/Classifica%C3%A7%C3%A3o%20de%20pol%C3%ADgonos.pdf

Tira dúvidas

2013-02-02T22:14:00.000-02:00

Olá galerinha,

Na postagem passada (Pensem nisso… Você sabe como as chaves funcionam?) recebi a seguinte mensagem de um colega leitor do blog:

“E já vi em muitos filmes a pessoa abrir fechaduras com um grampo. Será que na realidade é possível?”

É sim. Veja a animação abaixo:

Você insere um objeto fino (um clipe para papel, por exemplo) para forçar a fechadura a girar. Depois, insere outro objeto fino para mover cada pino. Quando todos eles se moverem para cima, a fechadura gira e você abre a porta sem uma chave.

Curioso, não!?

Abraços,
Ju

Referência:
http://imgur.com/r/gifs/Txh5y

Pense nisso… Você sabe como as chaves funcionam?

2013-01-31T17:44:00.000-02:00

Olá pessoal,

Todo mundo tem uma chave no bolso, leva uma chave dentro da bolsa, quer seja da porta de casa, do trabalho, do carro e, a utilizamos toda hora. Mas, vocês já pararam para pensar como elas funcionam?

Ontem ao fechar a porta de casa me surgiu esta dúvida então, resolvi fazer esta postagem com as informações que encontrei aqui na net.

Vejam só:

Dentro de uma fechadura há uma espécie de quebra-cabeça que somente a chave correta pode resolver. A variação principal na confecção das fechaduras é a natureza desse quebra-cabeça. Um dos quebra-cabeças mais comuns é o modelo com pino e tranqueta, mostrado abaixo.

Os principais componentes do modelo com pino e tranqueta são uma série de pequenos pinos de comprimento variável. Os pinos são divididos em pares. Cada par fica assentado num canal que atravessa o cilindro central e o suporte em volta do cilindro. As molas na parte superior dos canais mantêm os pares de pinos na posição dentro do cilindro. Quando nenhuma chave é introduzida, o pino inferior de cada par fica completamente dentro do cilindro, ao passo que o pino superior fica posicionado metade no cilindro e metade no suporte. A posição desses pinos superiores não permite que o cilindro gire.

Quando você introduz uma chave, a série de entalhes da chave empurra os pares de pinos para níveis diferentes. A chave incorreta empurra os pinos de modo que a maioria dos pinos superiores fica parte no cilindro e parte no suporte.

A chave correta empurrará cada par de pinos o suficiente para que o ponto onde os dois pinos ficam juntos se alinhe perfeitamente com o espaço onde o cilindro e o suporte ficam juntos (esse ponto é chamado de linha de transição). Em outras palavras, a chave empurrará os pinos para cima de modo que todos os pinos superiores ficam inseridos completamente no suporte, e os inferiores ficam completamente dentro do cilindro. Sem nenhum pino do suporte em seu caminho, o cilindro gira livremente e você pode empurrar a lingueta para dentro e para fora.

Esse modelo simples de quebra-cabeça é muito eficaz. Como os pinos estão escondidos dentro da fechadura, é bastante difícil para a maioria das pessoas girar o cilindro sem a chave correta.

Vejam as figuras:

Os pinos em uma fechadura com pino e tranqueta, quando nenhuma chave é introduzida:

Quando a chave correta é introduzida, todos os pinos são empurrados para cima, ficando na mesma altura e nivelados com a linha de transição:

Se ainda ficou com alguma dúvida, reparem nesta animação:

Enfim, os pinos precisam se alinhar e sair do caminho para a chave conseguir girar a fechadura. Simples assim.

Interessante, não!?
Espero que tenham gostado.

Abraços,
Ju

Referência:
http://casa.hsw.uol.com.br/violacao-de-fechaduras.htm
http://img.gawkerassets.com/img/18c7sna7bc6spgif/original.gif

Conheça os sete problemas mais difíceis do século 21

2012-02-14T13:32:00.001-02:00

Ser matemático e milionário no Brasil parece uma ideia paradoxal. Mas, se você realmente entender de matemática, talvez consiga. O Clay Mathematics Institute lançou, em 2000, um desafio: quem resolver um dos sete "problemas do milênio" ganha o prêmio de US$ 1 milhão. Ao todo, foram US$ 7 milhões destinados aos matemáticos que se atreveram a solucionar os teoremas e questões propostos pela entidade.
"São equações muito abstratas, é bem difícil até de entendê-las", comenta Pedro Luiz Aparecido Malagutti, professor do departamento de matemática da Universidade Federal de São Carlos (Ufscar).
Apresentados no Collège de France, em Paris, onde quase cem anos antes o matemático alemão David Hilbert havia feito semelhante proposta, questionando seus colegas com 23 casos insolúveis, os sete problemas desafiam a matemática contemporânea. Dos sete, apenas um já foi solucionado e, como prometido, o prêmio foi amplamente anunciado. O ganhador, no entanto, recusou-se a recebê-lo.
Conheça aqui os sete problemas mais difíceis da matemática no século 21.

Fonte: www.terra.com.br

Questões da OBMEP

2011-10-10T22:11:00.000-03:00

Carregando...

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 3

2011-05-18T12:05:00.000-03:00

(OBM 2003 – 1ª Fase – Nível 3)

Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, .... O 2003^o termo desta sequência é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resposta:

Uma parte da sequência, com 8 algarismos, se repete: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2003 por 8, obtemos 3 como resto, e deste modo, o 2003^o termo corresponde ao terceiro elemento da parte da sequência que se repete, isto é, 3.

Resposta correta letra C.

(OBM 2006 – 1ª Fase – Nível 3)

Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

Qual a medida do ângulo x?

A) 39º
B) 41º
C) 43º
D) 44º
E) 46º

Resposta:

Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:

Então os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respectivamente 180º – 126º – 30º = 24º e 90º – 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são respectivamente 180º – 75º – 66º = 39º e 90º – 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x = 90º – 51º = 39º.

Resposta correta letra A.

(OBM 2007– 1ª Fase – Nível 3)

Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que:

A) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.
B) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua.
C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares.
D) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares.
E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.

Resposta:

Para ter menos de 5 andares, a soma dos algarismos do número do prédio deve ser menor que 5. As possibilidades são, do lado direito (par), 4, 22, 40, 12, 30, 2, 20, 10, 100. Do lado esquerdo (ímpar), são 13, 31, 3, 21, 11, 1. Temos então, mais prédios com menos de 5 andares do lado direito da rua.

Resposta correta letra B.

Referência: www.obm.org.br

Abraços,
Ju

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 2

2011-05-12T15:52:00.000-03:00

(OBM 2000 – 1ª Fase – Nível 2)

Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado, de modo que cada caixa contém 8 latas. Para poderem ser melhor transportadas, essas caixas são colocadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é:

A) 576
B) 4.608
C) 2.304
D) 720
E) 144

Resposta:
Em cada caixote de madeira cabem caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Logo, em cada caixote cabem latas de palmito.

Resposta correta letra A.

(OBM 2002 – 1ª Fase – Nível 2)

O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:

A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B.
B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.
C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos.
D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.
E) a diferença entre os faturamentos totais no semestre excedeu os 20 milhões de reais.

Resposta:

- A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o faturamento de A é o dobro do faturamento de B;

- A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões;

- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro);

- A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões;

- A alternativa E é falsa, pois a diferença de faturamento no semestre foi menor que 20 milhões.

Resposta correta letra D.

(OBM 2006 – 1ª Fase – Nível 2)

Efetuando as operações indicadas na expressão

obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Resposta:

Portanto, a soma dos algarismos do número 4012 é 7.

Resposta correta letra D.

Referência: www.obm.org.br

Abraços,
Ju

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 1

2011-05-08T02:40:00.001-03:00

(OBM 2003 – 1ª Fase – Nível 1)

Um troféu formado por cinco recipientes cúbicos foi construído da seguinte maneira: sob o cubo de lado 10 cm foi soldado o cubo de lado 20 cm, sob este foi soldado o cubo de lado 30 cm, e assim por diante. Toda a superfície externa desse troféu deverá ser coberta com um certo tipo de revestimento. Quantos metros quadrados desse revestimento serão necessários?

A) 1,5
B) 2,5
C) 2,7
D) 2,75
E) 3

Resposta:

Juntando-se as partes das faces superiores dos cubos, obtemos uma face do cubo maior, de aresta 50 cm. A face inferior do cubo também é revestida. As quatro faces laterais dos cinco cubos deverão ser revestidas. Portanto, a área total é igual a

Resposta correta letra C.

(OBM 2006 – 1ª Fase – Nível 1)

Em um tanque há 4000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10h. Após 6 horas, havia no tanque 3520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o tanque ficaria com 2000 bolinhas?

A) às 11h do dia seguinte
B) às 23h do mesmo dia
C) às 4h do dia seguinte
D) às 7h do dia seguinte
E) às 9h do dia seguinte

Resposta:

Em 6h de trabalho foram retiradas bolinhas e como a velocidade de retirada é constante, saem bolinhas por hora.

Para que 2000 bolinhas saiam do tanque são necessárias horas.

Portanto, o tanque ficou com 2000 bolinhas às 11h do dia seguinte.

Resposta correta letra A.

(OBM 2007 – 1ª Fase – Nível 1)

A soma de todos os números positivos ímpares até 2007 menos a soma de todos os números positivos pares até 2007 é igual a:

A) 1003
B) 1004
C) 2005
D) 2006
E) 2007

Resposta:

A soma de todos os números positivos ímpares até 2007 menos a soma dos números positivos pares até 2007 é (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (2005 – 2006) + 2007 = –1003 + 2007 = 1004.

Resposta correta letra B.

Referência: www.obm.org.br

É isso aí. Qualquer dúvida, é só perguntar.
Bons estudos!

Abraços,
Ju

JUra? Por que não posso somar frações do modo como as multiplico?

2011-04-25T15:55:00.000-03:00

Bom, se quiser, pode - estamos num país livre. Supostamente. Mas isso não vai lhe dar a resposta certa.

Na escola, aprendemos uma maneira fácil de multiplicar frações: basta multiplicarmos os números de cima (os numeradores) e os de baixo (os denominadores), assim:

Mas a regra para somá-las é muito mais complicada. “Coloque-as sobre um denominador comum (o número de baixo), depois some os numeradores (os números de cima)”. Porque não podemos somá-las da mesma maneira? Porque está errado? E o que devemos fazer em vez disso?

A resposta curta é que não podemos somar frações dessa maneira porque não vamos encontrar a resposta certa! Como é quase igual a , e o mesmo vale para , quando somamos essas frações, o resultado deve ser no mínimo . Mas é menor que , porque metade de 12 é 6. O erro é ainda mais evidente quando tentamos somar , porque , não faz sentido: como , isto seria o mesmo que dizer que .

Tudo muito bem, mas por que a regra da multiplicação funciona, e o que devemos usar para a adição?

A maneira mais fácil de enxergarmos por que as regras são diferentes - como devem ser - é usando figuras. Eis uma figura para .

A barra vertical mostra uma linha com cinco pedaços iguais, dos quais dois foram pintados de laranja. Isso representa : duas partes de cinco. Da mesma forma, a barra horizontal representa . Os retângulos representam a multiplicação, porque a área do retângulo é o que obtemos quando multiplicamos os dois lados. O retângulo grande contêm quadrados. O retângulo laranja contêm quadrados. Portanto, o retângulo laranja é do retângulo grande.

Quando estamos somando, a figura correspondente é a seguinte:
Encontramos do retângulo grande pegando as duas primeiras fileiras dentre as cinco, e pegando as três colunas da esquerda dentre as sete. Estas regiões estão mostradas na figura acima, nas cores em amarelo, azul e verde. A cor verde é para indicar a sobreposição das regiões.

Para contar quantos quadrados existem no total, temos de contar os quadrados sobrepostos duas vezes, ou então, fazer uma cópia adicional, como na figura abaixo.

De qualquer forma, ficamos com 29 quadrados dentre 35, portanto, a soma deve ser .

Para entender como o 29 se relaciona com os números originais basta contarmos os quadrados das duas fileiras, , e somá-los aos das três colunas à esquerda, . Então, . Portanto, a regra da adição é .

É daí que vem a receita habitual “coloque as duas frações sobre o mesmo denominador”.

Referência: Incríveis Passatempos Matemáticos, do autor Ian Stewart, editora Zahar.

Vou ficando por aí.

Grande abraço,
Ju

JUra? O coelhinho da Páscoa não tem data fixa para aparecer

2011-04-20T15:40:00.000-03:00

Todos nós já sabemos que a Páscoa cai sempre num domingo, no entanto, não necessariamente é celebrada no mesmo dia, tão pouco, ela ocorre no mesmo mês.

A partir do dia da Páscoa, outras datas comemorativas são estabelecidas: 2 dias antes do domingo de Páscoa é a Sexta-Feira Santa; 40 dias antes é a Quarta-Feira de Cinzas; (sem contar os domingos - que não são incluídos na Quaresma); 41 dias antes é o Carnaval; e o dia de Corpus Christi acontece 60 dias depois da páscoa. (Todos os dias bem lembrados pela gente, afinal, são FERIADOS!!!)

Então, para sabermos o dia exato da Páscoa Cristã em cada ano, temos de efetuar uma divisão de números. Afinal, a Matemática está presente mesmo em tudo!

O dia da Páscoa, por ser uma festa móvel, varia de ano para ano. Para se calcular o dia da Páscoa, utiliza-se o seguinte algoritmo (é uma sequência finita de instruções bem definidas e não ambíguas, cada uma das quais pode ser executada mecanicamente num período de tempo finito e com uma quantidade de esforço finita):

1. Divide-se o ano em que estamos por 19 (divisão inteira) e anota-se o resto.

2. Ao resto obtido, na divisão efetuada no passo anterior, adiciona-se 1 unidade.

3. O número que se obtém é um “número dourado” que corresponde a uma data específica dada na tabela abaixo (vale para os anos de 1900 a 2199). A Páscoa é celebrada no domingo a seguir a esta data.

OBS.: Caso a data já seja um domingo, a Páscoa é o domingo da semana seguinte.

Vamos ver se funciona mesmo???

Vejamos o exemplo deste ano de 2011:

1. Dividindo 2011 por 19, obtemos o quociente 105 e o resto 16.

2. Se ao resto 16 adicionarmos 1 unidade, obtemos a soma 17.

3. Consultando a tabela acima dos “números dourados”, verificamos que ao número dourado 17 corresponde a data 17 de Abril. O Domingo imediatamente a seguir a esta data é precisamente no dia 24 de Abril, que será a data do Domingo de Páscoa deste ano.

Ahh, só para lembrar, ainda dá tempo de comprar meu ovo de Páscoa… rsrsrrsrs

Que tal agora você tentar: Sem recorrerem ao calendário do próximo ano, procure determinar a data exata do Domingo de Páscoa de 2012. (Para ajudar nos cálculos, utilize a calculadora que tem na barra lateral direita na página do blog).

Curiosidade:

Este é o maior ovo de páscoa do mundo feito totalmente de chocolate. Ele foi produzido na Bélgica em 2005. Ele possuía 8 metros de altura e 6 metros de diâmetro, pesando 1.9 toneladas. Para produzir este ovo gigante foram necessários 8 dias e 6 funcionários de uma empresa de chocolates belga. Hummm deve ser uma delícia! Será que vou ganhar um destes??? rsrsrsrs

Para finalizar, gostaria de já antecipar e deixar aqui meus votos de uma FELIZ PÁSCOA COM MUITO CHOCOLATE a todos os leitores do blog.

Abraços,
Ju

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 3

2011-04-15T19:27:00.000-03:00

(OBM 2005 – 1ª Fase – Nível 3)

Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é:

A) 10
B) 13
C) 18
D) 22
E) 25

Resposta:

Os números em questão são 12, 23, 34, 45, …, 89 (8 números);
123, 234, 345, …, 789 (7 números);
1234, 2345, …, 6789 (6 números) e, por fim, 12345, um total de 8 + 7 + 6 + 1 = 22
números.

Resposta correta letra D.

(OBM 2008 – 1ª Fase – Nível 3)

Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições:

Quanto vale a soma ?

A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
E) 49

Resposta:

Se são cinco inteiros maiores que um, então , e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação , onde 5 e 31 são primos, temos que e . Portanto,

Obs.: Note que a = 4, b = 5, c = 7, d = 9 e e = 11 é solução do sistema.

Resposta correta letra D.

(OBM 2010 – 1ª Fase – Nível 3)

Quatro números inteiros positivos a < b < c < d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é maior do que 1, mas mdc(a, b, c, d) = 1. Qual é o menor valor possível para d?

A) 10
B) 12
C) 15
D) 30
E) 105

Resposta:

Nenhum dos inteiros em questão é uma potência de um primo p pois caso contrário todos os outros inteiros teriam o fator p em comum e isso não é permitido. Logo d possui pelo menos dois fatores primos distintos. Além disso, um dos números a, b, c, d é ímpar; caso contrário mdc (a, b, c, d) = 2. Assim, como o menor número ímpar com dois fatores primos distintos é 15,
Para d = 15, temos como exemplo a = 6, b = 10, c = 12 e d = 15.

Resposta correta letra C.

É isso aí.
Bons estudos, e qualquer dúvida, é só perguntar.

Abraços,
Ju

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 2

2011-04-12T14:02:00.001-03:00

(OBM 2005 – 1ª Fase – Nível 2)

Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas?

A) 100
B) 150
C) 250
D) 300
E) 430

Resposta:
Em 600 números inteiros consecutivos positivos, há múltiplos de 3 e múltiplos de 4; entretanto, alguns desses números aparecem duas vezes nessa contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos de 12. Como há desses múltiplos, concluímos que o número de páginas com defeito é .

Resposta correta letra D.

(OBM 2007 – 1ª Fase – Nível 2)

Observe as multiplicações a seguir:

Qual é a soma dos algarismos do número obtido quando multiplicamos 101 pelo número ?

A) 1001
B) 2007
C) 2009
D) 4008
E) 4014

Resposta:
No resultado da multiplicação de 101 por , o dígito 1 aparece 4 vezes e o dígito 2 aparece 2007 – 4 = 2005 vezes. Portanto a soma dos algarismos desse número é .

Resposta correta letra E.

(OBM 2009 – 1ª Fase – Nível 2)

Para cada número natural n, seja a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é ?

A) 2925
B) 3025
C) 3125
D) 3225
E) 3325

Resposta:

Logo,

Resposta correta letra B.

Na sexta-feira, publicarei as questões de nível 3.
Aguardem!

Grande abraço,
Ju

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 1

2011-04-08T19:13:00.000-03:00

Primeiramente, vamos entender como são divididos os níveis. A Olimpíada Brasileira de Matemática é realizada em quatro níveis, a saber:

Nível 1 - para alunos matriculados no 6^oou 7^o anos do ensino fundamental quando da realização da primeira fase da OBM.
Nível 2 - para alunos matriculados no 8^o ou 9^o anos do ensino fundamental quando da realização da primeira fase da OBM.
Nível 3 - para alunos matriculados em qualquer série do ensino médio quando da realização da primeira fase da OBM ou que, tendo concluído o ensino médio menos de um ano antes, não tenham ingressado em curso de nível superior até a data da realização da primeira fase da OBM.
Nível Universitário - para alunos que ainda não tenham concluído o curso superior (normalmente estudantes universitários em nível de graduação, podendo ser estudantes de qualquer curso e qualquer período).

Agora que você já sabe em qual nível se enquadra, vamos começar os estudos???

(OBM 2004 – 1ª Fase – Nível 1)

Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos?

A) 7
B) 10
C) 12
D) 13
E) 14

Resposta:

Vamos começar usando 1 peso, logo, temos 3 possibilidades: 1, 3 e 10;

Colocando dois pesos num único prato, temos as seguintes possibilidades:

1 + 3 = 4; 1 + 10 = 11; 3 + 10 = 13;

Colocando três pesos num prato, pesamos:

1 + 3 + 10 = 14;

Colocando um peso em cada prato temos:

3 – 1 = 2; 10 – 1 = 9; 10 – 3 = 7;

Colocando dois pesos num prato e um peso no outro, temos:

10 – (1 + 3) = 6; (10 + 1) – 3 = 8; (10 + 3) – 1 = 12

Portanto, os valores de n são: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (treze valores)

Resposta correta letra D.

(OBM 2005 – 1ª Fase – Nível 1)

Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?

A) 30^o
B) 40^o
C) 50^o
D) 60^o
E) 70^o

Resposta:

Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos internos medem 60^o.

Daí, analisando o triângulo AGD, podemos escrever:

Logo,

No triângulo CGH, .

Resposta correta letra B.

(OBM 2008 – 1ª Fase – Nível 1)

Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares?

A) 20
B) 48
C) 100
D) 125
E) 225

Resposta:

Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades para o algarismo C: 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os algarismos A e B deverão ser preenchidos com algarismos ímpares, 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada um. Logo, 5*5*5 = 125 números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.

Resposta correta letra D.

Não necessariamente essas são as únicas estratégias de resolução, ok??? Se você fez de outra forma e encontrou o mesmo resultado, envie sua resposta que publicarei aqui.

Na próxima postagem sobre as questões da OBM colocarei as do nível 2.
Aguardem!

Um abraço,
Ju

Solução da sequência veja e diga

2011-04-05T19:44:00.000-03:00

É isso aí Sotero, sua resposta está correta. Obrigada pela participação.

Vamos à solução:

É mais fácil enunciar a regra da formação da sequência usando palavras. O primeiro termo é “1”, que pode ser lido como “um um”, portanto o próximo termo é 11. Isso é lido como “dois um” que leva a 21. Isto é lido como “um dois, um um” e então entendemos de onde veio o 1211, e assim por diante.
Portanto, o próximo número da sequência será o 31131211131221.

Abraços.
Até mais,
Ju

Enigmas da Ju: A sequência veja e diga

2011-04-03T16:53:00.000-03:00

Uma das sequências mais estranhas da matemática foi inventada por John Horton Conway. Ela começa com

1 11 21 1211 111221 312211 13112221 1113213211 …

Qual é a regra para formar esta sequência??? Qual o próximo número???
O título desta postagem dá uma dica. Vamos descobrir???

Daqui a dois dias, ou seja, na terça-feira à noite, postarei a resposta.

Até lá.
Um abraço,
Ju

Inscrições abertas para a 33ª Olimpíada Brasileira de Matemática

2011-04-01T22:31:00.001-03:00

Estão abertas até o dia 30 de abril as inscrições para a 33ª Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). A competição envolve a participação de professores e alunos das redes pública e particular de todo o país. As instituições interessadas devem fazer o cadastro pelo site www.obm.org.br. As inscrições são gratuitas.

A participação dos estudantes é dividida em quatro níveis. A primeira fase será realizada no dia 18 de junho, a segunda fase, em 3 de setembro e a terceira e última fase, nos dias 15 e 16 de outubro. Os resultados serão divulgados em dezembro e os vencedores serão convidados a participar da 15ª Semana Olímpica, evento a ser realizado em janeiro de 2012. Além das medalhas e prêmios, os vencedores participam do processo de seleção para formar as equipes que representam o Brasil nas diversas olimpíadas internacionais de Matemática.

A competição é uma iniciativa realizada nas modalidades de Ensino Fundamental, Médio e Universitário, atingindo atualmente mais de 350 mil estudantes, e que desempenha um importante papel relacionado à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em matemática. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) com o Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCTMat).

Acesse a página da Olímpiada Brasileira de Matemática (www.obm.org.br) para ficar por dentro de todos os detalhes. Não perca esta grande oportunidade para mostrar o seu talento.

Constatando que, assim como a Olimpíada Brasileira de Matemática, este blog pretende essencialmente despertar nos alunos o gosto pelo estudo da Matemática através da resolução de problemas novos, estimulando o desenvolvimento da imaginação e da criatividade, irei postar, sempre que possível, questões resolvidas (passo a passo) que já foram cobradas em olimpíadas passadas, como forma de preparação e treino para a 33ª competição que vem por aí.

Para quem tiver interesse, será um prazer “discutirmos” sobre algumas questões. Aguardem.

Um abraço!
Ju

União dos Blogs de Matemática

2011-03-12T22:05:00.000-03:00

Através da excelente iniciativa dos professores Paulo Sérgio C. Lino (Blog Fatos Matemáticos) e do professor Kleber Kilhian (O Baricentro da Mente), foi criada a União dos Blogs de Matemática com objetivo de agregar, compartilhar experiências e divulgar os blogs de Matemática.

Transcrevo a seguir o texto de divulgação original, encontrado nos blogs citados acima.

“Sabemos que a matemática é fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, que auxilia no processo de construção do conhecimento e desenvolve a autonomia do raciocínio e da criação de soluções das mais variadas situações problema. Neste contexto, esperamos que o uso da internet crie situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos, auxiliando neste aprendizado contínuo da matemática.

Com esta ideia, criamos a União dos Blogs de Matemática (UBM), um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.

Além disso, o blog possui um pequeno estatuto, uma página com a descrição de todos os blogs filiados e também dicas para melhorar o seu blog.

Para filiar-se é muito simples, basta ter um blog de Matemática com publicações periódicas, ser um seguidor da UBM, cumprir o estatuto e adicionar o banner da UBM (click aqui) a sua escolha.

Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática de forma gratuita e interessante na internet. Para saber mais visite a UBM (http://ubmatematica.blogspot.com/).”

Referências:
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2011/03/uniao-dos-blogs-de-matematica.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2011/03/uniao-dos-blogs-de-matematica.html

Abraços,
Ju

Tira dúvidas

2011-01-16T01:09:00.001-02:00

Olá pessoal, tudo bem com vocês???

Sim, estou sumida, eu sei…Ainda estou devagar com as postagens, mas estou aproveitando estas dúvidas que estão aparecendo para tentar entrar no ritmo.

“Bom dia, poderia me ajudar: Um triângulo isósceles de perímetro 32 cm, a altura relativa a base mede 12 cm , qual é a área do triângulo, faz por favor.” Dilson

Olá Dilson,

Primeiramente, veja a figura abaixo.

Em qualquer triângulo isósceles, a altura relativa à base divide a base em dois segmentos iguais.

Do triângulo isósceles ABC:

x + x + L + L = 32
2x + 2L = 32
2L = 32 - 2x
L = 16 - x (equação 1)

Do triângulo retângulo ADC:

L² = x² + h² (Teorema de Pitágoras)
L² = x² + 12²L² = x² + 144 (equação 2)

Substituindo o valor de L da equação 1 na equação 2, temos:

    (16 - x)² = x² + 144
    256 - 32x + x² = x² + 144
    32x = 112
    x = 3,5cm

Portanto, a base do triângulo isósceles ABC é:

base = x + x
base = 3,5 + 3,5 = 7cm

Calculando a área através da fórmula: A = base*altura/2, temos:

A = 7*12/2 = 42 cm²

Espero ter ajudado.
Se não entender qualquer etapa é só perguntar.

Um abraço a todos.
Ju

Tira dúvidas

2011-01-06T17:35:00.001-02:00

Olá pessoal,

Hoje resolvi dar uma passadinha por aqui para esclarecer uma dúvida em relação a um exercício que recebi via e-mail.

“OLÁ PROFESSORA JULIANA. NÃO NOS CONHECEMOS, MAS PRECISAVA DE UMA AJUDA EM MINHA CURIOSIDADE MATEMÁTICA. PROCUREI A SOLUÇÃO OU AUXÍLIO NA INTERNET PARA RESOLVER UMA QUESTÃO QUE FUI SUBMETIDO EM UMA AVALIAÇÃO PARA EMPREGO MAS, COMO NÃO TIVE SUCESSO, CONSEGUI O SEU CONTATO ATRAVÉS DE SEU BLOG, EM UMA DAS MINHAS PESQUISA POR AJUDA. SE VOCÊ PUDER ME AJUDAR, FICARIA MUITO GRATO. EMBORA, EU JÁ SAIBA A RESPOSTA POR RACIOCÍNIO LÓGICO.

GOSTARIA DE ENCONTRAR A EXPRESSÃO MATEMÁTICA PARA ACHAR O RESULTADO QUE JÁ SEI. O QUE LEMBRO DO EXERCICÍO É O SEGUINTE:

A soma das idades de Marcelo, João e Fernando é 53; Marcelo tem o dobro da idade de João de cinco anos atrás; Marcelo é dois anos mais velho que Fernando. Qual a idade do mais velho?

NA HORA, FIZ POR SUPOSIÇÃO E DEU CERTO NAS SOMAS DAS IDADES. IMAGINEI O SEGUINTE:

SE MARCELO TEM O DOBRO DA IDADE DE JOÃO DE CINCO ANOS ATRÁS SUPUS ENTÃO, QUE A CINCO ANOS ATRÁS JOÃO TIVESSE 10 ANOS. SE JOÃO TINHA 10 ANOS A CINCO ANOS ATRÁS E MARCELO TEM O DOBRO DISSO, ENTÃO ELE TEM HOJE 20 ANOS. E, SE JOÃO TINHA 10 ANOS A CINCO ANOS ATRÁS, HOJE ELE TEM 15. SE MARCELO É 2 ANOS MAIS VELHO QUE FERNANDO, ENTÃO FERNANDO TEM 18. SOMANDO AS IDADES: 20 DE MARCELO + 15 DE JOÃO + 18 de FERNANDO É = 53

AGORA GOSTARIA DA EXPRESSÃO MATEMÁTICA PARA APRENDER MAIS. ADOROS DESAFIOS.

AGUARDO CONTATO
WELLITON”

Caro Welliton, como vai???
Seu raciocínio está correto, mas "matematicamente" escrevendo, poderíamos expressar os dados do problema da seguinte forma:

Vou chamar de M a idade de Marcelo, J a idade de João e F a idade de Fernando, ok???

Informação 1:
"A soma das idades de Marcelo, João e Fernando é 53": M + J + F = 53

Informação 2:
"Marcelo tem o dobro da idade de João de cinco anos atrás": 2*(J - 5) = M

Informação 3:
"Marcelo é dois anos mais velho que Fernando": M = F + 2

Com essas três informações, podemos montar um sistema de três equações e três incógnitas:

M + J + F = 53 (equação 1)
2*(J - 5) = M -> 2J - 10 = M -> 2J = M + 10 -> J = (M + 10)/2 (equação 2)
M = F + 2 -> F = M - 2 (equação 3)

Substituindo as equações 2 e 3 na equação 1, temos:
M + (M + 10)/2 + M - 2 = 53

Tirando o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) de toda a equação, obtemos:
2M + M + 10 + 2M - 4 = 106
5M + 6 = 106
5M = 100
M = 20
Logo, a idade de Marcelo é 20 anos.

Substituindo o valor de M na equação 2:
J = (M + 10)/2
J = (20 + 10)/2 = 15 anos.
Idade de João = 15 anos.

E, por fim, substituindo o valor de M na equação 3, temos:
F = M - 2
F = 20 - 2 = 18
Idade de Fernando = 18 anos.

Portanto, a idade do mais velho é 20 anos, ou seja, idade de Marcelo.

Espero ter ajudado.
Se não entender alguma etapa da resolução, não hesite em perguntar.

No mais, vou ficando por aqui. Agora, estou tirando férias das férias. rsrsrsrs
Aos poucos, vou colocando novas postagens. Aguardem!
Um grande abraço e um feliz 2011 repleto de realizações.
Ju

Solução do enigma forme os números 6, 24 e 100

2010-11-02T20:01:00.000-02:00

Olá,

O único participante deste enigma foi o Ziulab. Parabéns e obrigada pela participação. Algumas de suas respostas foram diferentes das minhas, portanto, sugiro também que confiram suas soluções no link comentários da postagem do enunciado do enigma.

Vamos às minhas soluções:

(1 + 1 + 1)! = 6

2 + 2 + 2 = 6

3 x 3 - 3 = 6

4 + 4 - raiz(4) = 6

5 + (5 / 5) = 6

6 + 6 - 6 = 6

7 - (7 / 7) = 6

8 - raiz[raiz(8 + 8)] = 6

raiz(9) x raiz(9) - raiz(9) = 6

2)

(3+(3/7)) x 7 = 24

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 x 9) = 100

123 - 45 - 67 + 89 = 100

123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100

Abaixo, apresento também a solução enviada, dia 24 de março de 2011, pelo Patrick:

“Olá, professora Ju!!! Tudo bem?! Espero que sim...
Vi nos seu desafios aquele para formar o número 24 com os algarismos 3; 3; 7; e 7.
A resposta que você postou também foi a que encontrei um tempo atrás. Mas, além destas conheço mais duas: uma descoberta por um outro professor e outra por um aluno da sétima série (oitavo ano).
São elas:

3 x sqrt(7x7) + 3 –> aluno

sqrt[(7-3)! x (7-3)!] -> professor.

Grande Abraço!!!”

Um abraço,
Ju

Enigmas da Ju: Forme os números 6, 24 e 100

2010-10-29T16:05:00.000-02:00

Olá pessoal,

Hoje vou postar três probleminhas bastante parecidos. Vamos tentar resolvê-los???

1) Encontre 9 formas para representar o número 6 com 3 algarismos iguais, colocando os sinais entre eles. Pode ser usado qualquer sinal matemático, contanto que não apareçam mais números.

Por exemplo: 2 + 2 + 2 = 6, ok??

Agora tente encontrar as outras 8 formas. Uma já foi dada de brinde para vocês.

2) Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se achar necessário.

3) Represente de três formas o número 100 utilizando apenas uma vez cada um dos 9 algarismos, na sua ordem natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), só utilizando números inteiros.

Qualquer dúvida é só perguntar.

Um ótimo final de semana!
Ju

Pense nisso… Frase de Anísio Teixeira

2010-10-28T21:58:00.000-02:00

“Educar é crescer. E crescer é viver. Educação é, assim, vida no sentido mais autêntico da palavra.” (Anísio Teixeira)

Um abraço,
Ju