Blog de Matemáticas y Contabilidad

Monomios: suma, resta, multiplicación, división y potencia

2012-10-13T14:33:00.001+02:00

Nuevo vídeo-clase de Álgebra: Monomios y operaciones con monomios ;-)

Monomios: suma, resta, multiplicación, división y potencia

Área y perímetro cuadrado y triángulo:superficie semejante. Geometría ES...

2012-10-10T00:19:00.001+02:00

Área y perímetro rectángulo, con ecuación segundo grado. Geometría ESO b...

2012-10-10T00:18:00.001+02:00

Calcular área y perímetro cuadrado y triángulo: superficies semejantes - Nivel ESO

2012-10-10T00:16:00.001+02:00

Calcular área y perímetro cuadrado y triángulo: superficies semejantes - Nivel ESO

Enésima configuración de triángulos de cerillas-fósforos

2012-08-31T10:53:00.002+02:00

a) La configuración 1 está formada por 3 cerillas, la 2 lo está por 9 cerillas, etc. Mediante una búsqueda inductiva, determina cuál es el número de cerillas que tendrá la configuración número 12, si se mantiene el mismo criterio de construcción.

b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima configuración?

SOLUCIÓN:

a) Tenemos varias configuraciones formadas por triángulos equiláteros cuyos lados son fósforos. Observamos que conforme aumenta el número de lados de los triángulos el número de fósforos que componen la figura crece. Realicemos una tabla de los 4 primeros casos para intentar encontrar alguna “regularidad”.

Lados	Nº triángulos	Fósforos por triángulo	Fósforos total configuración
1	1	X3	3
2	3	X3	9
3	6	X3	18
4	10	X3	30

Observamos cómo cada configuración nos da una cantidad distinta de triángulos, para obtener los fósforos totales basta con multiplicar por 3 (fósforos que tiene cada triángulo) por el número de triángulos que obtenemos.

Sin necesidad de dibujar el resto de configuraciones hasta la número 12, podemos completar la tabla hasta la doceava configuración si seguimos los criterios de construcción que se pueden observar en la tabla anterior. Un criterio puede ser que si sumamos al número de triángulos de la configuración n=1 el valor del siguiente n, es decir 2, obtenemos el número de triángulos para la configuración 2, que es 3, si al número de triángulos que tiene la configuración n=2, que son 3 triángulos, sumamos el valor de la siguiente configuración que es n=3, nos da 6, que es el número de triángulos de la configuración n=3, y así sucesivamente hasta llegar a n=12.

Completemos la tabla hasta obtener el número de fósforos para la configuración de 12 lados, bastará con multiplicar por 3 el número de triángulos que tenga esa configuración.

Lados	Nº triángulos	Fósforos por triángulo	Fósforos total configuración
1	1	X3	3
2	3	X3	9
3	6	X3	18
4	10	X3	30
5	15	X3	45
6	21	X3	63
7	28	X3	84
8	36	X3	108
9	45	X3	135
10	55	X3	165
11	66	X3	198
12	78	X3	234

Por lo tanto, el número de fósforos que tendrá la configuración nº 12 es de 234.

b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima configuración?

Para hallar esta regularidad nos hemos tenido que dar cuenta antes de que el número de triángulos va creciendo conforme a la suma de las configuraciones n, es decir, estamos ante la suma de los “n” primeros números naturales, y esto nos facilita mucho las cosas...

Si deseamos obtener la suma de los n primeros números naturales tenemos que sumar término a término la expresión de dicha suma pero escrita en el orden opuesto, así:

S(n)=1+2+3+… +(n-2)+(n-1)+n

S(n)=n+(n-1)+(n-2)+… +3+2+1

2S(n)=n+1+(n-1)+2+(n-2)+3+… +3+(n-2)+2+(n-1)+1+n

2S(n)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+… +(n+1)+(n+1)+(n+1)

Dado que, lógicamente, el sumando (n+1) se repite n veces, tenemos que:

2S(n)=n(n+1)

Despejando S(n) nos da:

Que es la expresión que nos indica la suma de los n primeros números naturales.

En nuestro ejercicio, dicha suma coincide con el número de triángulos de cada configuración; como cada triángulo tiene 3 fósforos (no olvidemos que nos piden el número de cerillas para la enésima configuración), bastará con multiplicar dicha expresión por 3, de este modo:

Comprobamos que para n=12 lados obtenemos el mismo resultado que mediante la anterior tabla de la búsqueda inductiva del punto a):

Demostración de J.A. Garfield del TEOREMA DE PITÁGORAS

2012-08-31T10:34:00.004+02:00

MODELO VISUAL GEOMÉTRICO (TEOREMA DE PITÁGORAS)

Explicación de cómo se puede demostrar el teorema de Pitágoras a partir del modelo visual de la figura indicada, debido a J. A. Garfield (1876), que fue Presidente de los Estados Unidos de América.

Garfield giró +90º un triángulo rectángulo en el sentido de las agujas del reloj y de centro el vértice de ángulo menor, como indicamos a continuación:

A este triángulo fruto del giro del original le aplicó una traslación de vector la hipotenusa del primer triángulo, de esta forma:

Uniendo los dos vértices obtuvo un trapecio rectángulo como el del siguiente dibujo:

Garfield calculó, primeramente, el área del trapecio resultante mediante la conocida fórmula del área del trapecio

Después, Garfield calculó el área de cada uno de los 3 triángulos que componen el trapecio de la figura, mediante la conocida fórmula del área de un triángulo

Siendo “c” la hipotenusa de cada uno de los 2 triángulos rectángulos que forman el trapecio.

Posteriormente, sumó las 3 áreas con la intención de obtener el área total del trapecio, que está compuesto por los 3 triángulos, así:

Nota: el 2/2 se va y nos queda

Para terminar, si igualamos el área del trapecio obtenida mediante su fórmula correspondiente, y ésta última obtenida mediante la suma de las áreas de los 3 triángulos que componen el trapecio, obtenemos lo siguiente:

¡¡OBTENEMOS LA EXPRESIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS¡¡ ;-)

El cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma del cuadrado de los catetos (a y b).

Razón Áurea o Número de Oro. Construye gráficamente un rectángulo áureo a partir de un cuadrado de lado 8 cm.

2012-08-30T13:31:00.003+02:00

RAZÓN ÁUREA. RECTÁNGULO ÁUREO. Construye gráficamente un rectángulo áureo a partir de un cuadrado de lado 8 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones? Comprueba que el rectángulo construido es áureo. Determina, en mm², la superficie del citado rectángulo.

El rectángulo áureo aparece con frecuencia en la naturaleza, así como en muchas obras artísticas y objetos inventados por el hombre. Se le denomina también como rectángulo de oro, y es el rectángulo cuyos lados están en “razón áurea”. La razón áurea, o número de oro, es un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes.

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

Este valor numérico nos debe arrojar el siguiente resultado:

La actividad nos pide que construyamos gráficamente un rectángulo áureo a partir de un cuadrado de 8 cm de lado. Para que ese rectángulo pueda ser considerado áureo se debe cumplir lo siguiente:

Siendo “a” el lado mayor del rectángulo y “b” el lado menor.

Vamos a construir nuestro rectángulo áureo utilizando el programa GeoGebra.

Primero, dibujamos un cuadrado ABCD de lado 8 cm.

Segundo, tomamos el punto medio del lado del cuadrado AB, a dicho punto medio lo llamamos E y lo unimos, mediante un segmento al vértice C.

Tercero, con radio EC (valor 8,94) y centro en E, trazamos una circunferencia que corta a la recta horizontal en el punto F (valor 12,94)

Cuarto, unimos F con G y con C y se obtiene el rectángulo áureo ABGF:

Gracias al programa Geogebra, podemos hallar rápidamente las medidas y dimensiones de nuestro rectángulo áureo.

- Lado AF y DG = 12,94 cm

- Lado AD y FG = 8 cm

- Área del rectángulo: base x altura = 12,94 x 8 = 103,52 cm²

- Superficie del rectángulo en mm²: 10352 mm²

Vamos a comprobar que nuestro rectángulo cumple con las medidas del rectángulo áureo:

¡¡¡¡NUESTRO NÚMERO DE ORO!!!!

Esferas y cubo. Volúmen y área de esfera y cubo.

2012-08-30T12:55:00.001+02:00

ESFERAS Y CUBO. Un niño construyó un cubo macizo de plastilina, de 6 cm de arista. Luego lo deformó y construyó, con toda la plastilina que componía el cubo, tres bolas esféricas macizas iguales.

a) ¿Cuál es el radio, en mm, de cada una de las bolas?

b) ¿Cuál es la superficie, en dm², de cada una de las bolas?

Representa gráficamente tanto el cubo como las bolas.

Representamos, en primer lugar, y mediante el programa Cabri 3D, el cubo de arista 6 cm que construyó el niño.

Para averiguar la cantidad de plastilina que utilizó el niño para realizar este cubo macizo debemos hallar el volumen del mismo, como conocemos la arista a=6cm, sólo tenemos que emplear la fórmula del volumen del hexaedro regular o cubo.

Esta cantidad de plastilina la dividió en 3 bolas esféricas macizas iguales, por lo que el volumen de cada una de las esferas es de 216:3 = 72cm³

Conociendo el dato del volumen de las esferas macizas es muy fácil obtener el radio, en mm, de cada una de las bolas, que es lo que nos pide el ejercicio en su punto a). Podemos despejar el radio ( r ) de la fórmula del volumen de la esfera, de esta forma:

Como el radio nos lo pide en mm, basta con multiplicar por 10 el resultado obtenido en cm.

r = 2,5808cm x 10 = 25,808 mm

También podríamos haber hallado directamente el radio en mm si hubiéramos pasado el volumen de cm cúbicos a mm cúbicos. ¿Lo hacemos? ¡Adelante! Los cm³ se pasan a mm³ multiplicando por 1000, por lo que 72cm³=72000mm³

Una vez que conocemos el radio, r = 2,58 cm, podemos dibujar las 3 esferas con el Cabri 3D, quedando de esta forma:

Para terminar la actividad, y el plan completo por fin, nos piden que hallemos la superficie, en dm², de cada una de las bolas. Como son iguales, la superficie será la misma para cada una de ellas.

Como conocemos el radio r = 2,58 cm, podemos usar directamente la fórmula del área de la superficie esférica:

Como el ejercicio nos pide el área expresada en dm², tenemos que dividir la cantidad obtenida entre 100, así:

83,64cm² : 100 = 0,8364 dm²

También, podríamos haber hallado directamente el área en dm. cuadrados si hubiéramos expresado el radio en decímetros (2,58 cm = 0,258 dm) para hallar el área de la esfera, de este modo:

Las pelotas de tenis. Área del cilindro y el ortoedro.

2012-08-30T12:13:00.003+02:00

LAS PELOTAS DE TENIS. Un fabricante de pelotas de tenis, de 6,8 cm de diámetro,

quiere empaquetarlas en paquetes de diez. El diseñador de la fábrica presenta dos

alternativas:

1) En tubos cilíndricos, una bola encima de otra.

2) En cajas ortoédricas, con las diez bolas en posición de rectángulo (5x2).

Los dos envases se construirían con el mismo material. El ingeniero jefe elige la que utiliza menos materia prima, ¿cuál elegirá?

La alternativa que menos materia prima utilizará será aquella que tenga una menor superficie,

por lo que se trata de hallar el área de dos figuras geométricas: un cilindro y un ortoedro. La

menor área será la elegida por el ingeniero jefe. Empezamos dibujando a escala (o eso

intentamos al menos) las figuras que intervienen en la actividad.

Haciendo uso del programa Cabri 3D dibujamos, en primer lugar, una pelota de tenis. Se trata de una esfera de diámetro 6,8 cm, o lo que es lo mismo, de radio 3,4 cm.

En segundo lugar, dibujamos un tubo cilíndrico de 10 pelotas de tenis de altura, es decir, de 10x6,8 cm = 68 cm de altura, con una base de radio 3,4 cm.

Ahora, introducimos las 10 pelotas en nuestro tubo cilíndrico, quedando tal que así:

La cantidad de material empleado en la construcción de este tubo cilíndrico, incluidas las dos tapas (bases) del mismo, viene determinado por la superficie del cilindro, la cual la podemos hallar fácilmente, puesto que conocemos su altura h=68 cm, y su radio r=3,4 cm. Basta con aplicar la fórmula del área de la figura espacial cilindro circular recto.

Ahora, dibujamos una caja ortoédrica en forma de rectángulo (5x2) de 5 pelotas de tenis de largo, es decir, de 5x6,8 cm = 34 cm de largo, con una altura de 1 pelota de tenis, es decir, de 1x6,8 cm = 6,8 cm de alto, y con un ancho de 2 pelotas de tenis, es decir, de 2x6,8 = 13,6 cm de ancho; nos queda algo tal que así:

Introducimos las 10 pelotas en la caja ortoédrica en posición de 5x2.

La cantidad de material empleado en la construcción de este ortoedro, incluidas las dos tapas (bases) del mismo, viene determinado por la superficie del ortoedro, la cual la podemos hallar fácilmente, puesto que conocemos la medida de sus 3 lados: a=34 cm, b=13,6 cm y c=6,8 cm. Basta con aplicar la fórmula del área de la figura espacial ortoedro.

Conclusión:

Si comparamos las dos áreas obtenidas:

Vemos que la que menos superficie necesita, por lo tanto la que menos material empleará, es la formación en tubos cilíndricos, una bola encima de otra. Además, resulta ser la forma más útil de guardar las pelotas, ya que los que jugamos al tenis no nos imaginamos colocando las pelotas, tras un duro partido, en forma de rectángulo de 5x2 y cubriéndolo con una enorme tapadera. :-)

Área y perímetro de polígono pato en el PPTC geoplano

2012-08-29T21:21:00.001+02:00

ÁREA Y PERÍMETRO DE POLÍGONOS EN EL PPTC

En relación con el polígono de abajo (pato), que se ha trazado en el PPTC (papel punteado de trama cuadrada):

a) Determina su área mediante el método de adición (división del polígono dado en figuras elementales convenientemente construidas y determinación de la suma de las áreas de cada una de ellas).

b) Calcula su área mediante el método de complementación (inclusión del polígono en un rectángulo o cuadrado, que tenga la menor área posible, y la posterior sustracción al área de dicho rectángulo o cuadrado del área de la “figura complementaria”, es decir, la figura exterior al polígono dado, pero interior al rectángulo. Nótese que para la obtención del área de dicha “figura complementaria” hay que subdividirla previamente, de forma conveniente, en figuras elementales.

c) Comprueba el área obtenida en los apartados anteriores mediante la Fórmula de Pick.

d) Halla tanto el valor exacto de su perímetro (suma simplificada de números reales), como su valor aproximado (expresión decimal con aproximación hasta las milésimas).

Matesyconta resuelve este ejercicio en el siguiente vídeo de youtube:

El método de adición consiste en descomponer la figura en otras cuyas áreas podemos obtener de forma sencilla (a veces, mediante un simple recuento de cuadrados unitarios), para realizar la posterior suma de sus áreas y así obtener el área total de la figura.

Mostramos la descomposición que hemos hecho utilizando un geoplano.

- 16 cuadrados de color amarillo de 1 uc cada uno: A(amarillos)= 1 uc x 16 = 16 uc.

- 9 triángulos de color gris de 0,5 uc cada uno: A(grises)= 0,5 uc x 9 = 4,5 uc.

- 5 triángulos de color azul celeste de 1 uc cada uno: A(azules celestes)= 1 uc x 5 = 5 uc.

(nota: el área de cada uno de los 5 triángulos celestes es 1 pues cualquiera de ellos puede considerarse como la mitad de un rectángulo cuya área es 2, toda vez que cada uno de esos rectángulos está formado por dos cuadrados unitarios y dado que una diagonal de todo rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes, es decir, geométricamente iguales.

- 1 triángulo verde de 1,5 uc cada uno: A(verde)= 1,5 uc x 1 = 1,5 uc.

(nota: el área del triángulo verde es 1,5 pues este triángulo puede considerarse como la mitad de un rectángulo cuya área es 3, por la misma razón que el caso anterior).

- 1 triángulo azul oscuro. Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos del rectángulo donde está contenido el triángulo de área 6 uc (2x3), y le restamos las áreas de los triángulos de 3 uc (la mitad del área total del rectángulo) y 1,5 uc (la mitad del área del rectángulo de 3x1 uc): A(azul oscuro)=6 uc – 3 uc – 1,5 uc = 1,5 uc.

- 1 triángulo blanco del cuello del pato. Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos del rectángulo donde está contenido el triángulo de área 6 uc (2x3), y vemos que el área de nuestro triángulo blanco del cuello del pato es la mitad del área de dicho rectángulo: A(blanco cuello) = 6 uc – 3 uc = 3 uc.

- 1 triángulo blanco de la cola del pato. Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos del cuadrado donde está contenido el triángulo de área 4 uc (2x2), y restamos el área del triángulo cuya área es la mitad del área del cuadrado, por lo tanto tiene 2 uc, y le restamos también el área del triángulo de 1 uc: A(blanco cola) = 4 uc – 2 uc – 1 uc = 1 uc.

El área total del pato del geoplano será la suma del área de todas las figuras geométricas halladas:

A(total) = A(amarillos) + A(grises) + A(azules celestes) + A(verde) + A(azul oscuro) + A(blanco cuello) + A(blanco cola) = 16 + 4,5 + 5 + 1,5 + 1,5 + 3 + 1 = 32,5 uc.

Este método puede usarse de la siguiente forma: inscribimos toda la figura en un cuadrado de área 9x9 = 81 uc, y subdividimos la superficie exterior al polígono “pato” cuya área queremos determinar en figuras elementales. A continuación, calculamos el valor de esa área y lo restamos al área del cuadrado en el que hemos inscrito el polígono pato. La diferencia de áreas nos proporcionará el área buscada.

A continuación, mostramos la subdivisión que hemos realizado:

El área del cuadrado exterior es: 9 filas de 9 ul en cada fila = 81 uc, por lo que el área del cuadrado exterior es 81 uc.

Ahora hallamos el área de las figuras internas al cuadrado y externas a la figura del pato siguiendo los mismos criterios que en el método de adición:

- 26 cuadrados amarillos de 1 uc cada uno: A(amarillos) = 26 x 1uc = 26 uc.

- 11 triángulos grises de 0,5 uc cada uno: A(grises) = 11 x 0,5uc = 5,5 uc.

- 6 triángulos verdes de 1 uc cada uno: A(verdes) = 6 x 1uc = 6 uc.

- El área de la figura azul celeste del cuello del pato la vamos a calcular, a su vez y debido a su complejidad, por complementación. La mostramos aparte, a continuación:

La insertamos en un rectángulo de 3x2 uc = 6 uc. Le restamos el triángulo rectángulo de área 3 uc. y el cuadrado de área 1 uc, y obtenemos: A(azul celeste) = 6 uc – 3 uc – 1 uc = 2 uc.

- El área de la figura azul oscuro del lomo del pato la vamos a calcular, a su vez y debido a su complejidad, por complementación. La mostramos aparte, a continuación:

La insertamos en un rectángulo de 4x3 uc = 12 uc. Le restamos el triángulo rectángulo de área 1.5 uc. y le restamos el área del triángulo blanco; para calcularla insertamos, a su vez, dicho triángulo en un rectángulo de área 6 uc, y le restamos 1,5 uc y 3 uc. por lo que el triángulo blanco tiene un área de 6 – 1,5 – 3 = 1,5 uc, que es el área a restar al primer rectángulo de 12 uc, y obtenemos: A(azul oscuro) = 12 uc – 1,5 uc – 1,5 uc = 9 uc.

Por lo que ya podemos calcular el área de la figura pato:

A(pato) = A(total) – A(amarillos) – A(grises) – A(verdes) – A(azul celeste) – A(azul oscuro)

A(pato)= 81 – 26 – 5,5 – 6 – 2 – 9 = 32,5 uc.

c) Comprueba el área obtenida en los apartados anteriores mediante la Fórmula de Pick.

El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en su interior y en su borde que tengan también coordenadas enteras.

La Fórmula de Pick es:

Es decir, el área de la figura de nuestro geoplano es igual al número de puntos internos, más el número de puntos de su borde dividido entre dos, menos uno.

A(total)=

d) Halla tanto el valor exacto de su perímetro (suma simplificada de números reales), como su valor aproximado (expresión decimal con aproximación hasta las milésimas).

Para el cálculo del perímetro de la figura “pato” debemos obtener la medida de cada uno de los segmentos que lo limitan. La medida de los segmentos horizontales o verticales se obtiene de forma inmediata. Para hallar la medida de los segmentos oblicuos vamos a aplicar el Teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos que hemos coloreado como apoyo para esta actividad, tal y como se muestra en el siguiente dibujo:

De esta manera, si comenzamos por el vértice del pico de la figura “pato” y recorremos el contorno en el sentido de las agujas del reloj, el perímetro vendrá dado por la suma que sigue:

Y ya hemos terminado el ejercicio. Existen muchos problemas de este tipo con varias formas geométricas (pez, pájaro, cocodrilo, etc.)… He elegido éste del pato, en concreto, porque aparecen casi todas las dificultades que los problemas de este tipo os pueden plantear, no obstante, si necesitáis ayuda con cualquier otra figura en el PPTC o tenéis alguna duda sobre este ejercicio, sólo tenéis que plantearla con un comentario y os ayudaremos gustosamente.

Nos hemos puesto y lo hemos conseguido… demostrando que todo se puede conseguir en esta vida… ¡¡¡es cuestión sólo de ponerse!!! ¡¡¡Hasta la próxima!!!

¿Falta 1 euro?

2012-08-29T16:55:00.006+02:00

¿Falta 1 euro?

Van tres amigos a comer a un restaurante. Después de hacerlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío:

- Amigos: Camarero, ¿nos trae la cuenta, por favor?
- Camarero: Son 30 euros, caballeros.
Y cada uno de ellos pone 10 euros.
Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice:
- Jefe: No, esos son amigos míos, cóbrales solo 25 euros.

El camarero se da cuenta que si devuelve las 5 euros. puede haber problemas para repartirlas y decide lo siguiente:

- Camarero: Ya está. Me quedaré 2 euros. y les devuelvo 3, uno para cada uno.

Les devuelve a cada uno 1 euro.

Ahora es cuando viene el verdadero problema. Si cada uno puso 10 euros, y le devuelven 1 euro, realmente puso cada uno de ellos 9 euros, entonces, 9 x 3 = 27 euros. Si añadimos las 2 euros que se queda el camarero, 29 euros..... ¿Dónde está el euro que falta?

¿Cuál es el número más pequeño que hay que restar a 381 para que sea divisible entre 8?

2012-08-29T09:43:00.002+02:00

Si dividimos 381 entre 8 nos da 5 de resto, por lo tanto, el número más pequeño que hay que restar a 381 para que sea divisible entre 8 es 5

Cómo cambiar tipo de IVA al 21% en CONTAPLUS a partir del 01/09/2012

2012-08-28T01:07:00.002+02:00

Explicamos cómo hacer el cambio del tipo de IVA del 18% al 21% y del 8% al 10% en programa Contaplus con motivo de la subida de impuestos aplicable a partir del 01 de septiembre de 2012.

También explicamos cómo modificar el asiento predefinido de compras de mercaderías a proveedores para transformarlo del 18% al 21%.

Espero que os haya resultado de ayuda... Si tenéis cualquier duda, me podéis dejar un comentario y gustoso os trataré de ayudar....

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Actividad Geometría "Área de las cabras que pastan dentro del redil"

2012-08-19T01:00:00.004+02:00

Dentro de un recinto vallado que tiene forma de cuadrado de 60 m de lado, hay 4 cabras, cada una está atada a un vértice del cuadrado mediante una cuerda de 30 m de longitud. El propietario, tras vender 3 de las cabras, alargó la cuerda de la cabra que le quedaba atada a un vértice, de forma que la superficie sobre la que podía pastar era equivalente a la superficie sobre la que podían pastar anteriormente las 4 juntas. ¿Qué longitud le dio a la cuerda?

Matesyconta resuelve este ejercicio en el siguiente vídeo:

Solución:
Se nos presenta un problema de Geometría en el que debemos encontrar el área de varios sectores circulares así como el radio de uno de ellos. Para ello, comenzamos dibujando la situación que se nos plantea:

En la figura de la izquierda se muestra la situación de partida (4 cabras), mientras que en la de la derecha se muestra la forma que tendrá la superficie a la que debe poder acceder una sola cabra (la atada en D) cuando las otras 3 ya no estén presentes. Dado que no hemos calculado aún la medida del radio, R, la representación de la derecha no es, por ahora, exacta, sino que sólo nos sirve de orientación, es decir, nos permite saber que la superficie buscada es un sector circular de radio R≤60 (m) y de 90º de amplitud.

- Calculemos ahora el área total en la situación inicial (4 cabras):

La superficie a la que puede acceder una cualquiera de las cabras es un sector circular de 30 m de radio y de 90º de amplitud. Por lo tanto, el área total será la de un círculo de 30 m de radio, es decir,

- En la situación final, la superficie a la que puede acceder la única cabra que queda es un sector circular de R (m) de radio y de 90 de amplitud. Por tanto, el área total será:

Como ambas áreas deben ser iguales, haremos:

De donde despejando R obtenemos y ya tenemos resuelto el ejercicio.

Observad como la medida del radio de la cuerda debe coincidir con la del lado del cuadrado.

¡Y ya está resuelto el problema! Espero que os haya servido de ayuda... y si tenéis cualquier duda podéis dejar vuestros comentarios y os atenderemos gustosamente... ¡Hasta la próxima!... ;-)

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Actividad Geometría "Área de la cabra que pasta fuera del redil"

2012-08-18T22:38:00.000+02:00

Una cabra está atada, mediante una cuerda de 6 m de longitud, a una esquina exterior de un redil de forma rectangular de 5 m de largo y 4 m de ancho. Halla el área de la superficie en la que puede pastar la cabra.

Matesyconta os explica cómo resolver este ejercicio fácilmente en este vídeo:

Solución:

Nos presentan un problema de áreas. Debemos hallar el área de la superficie en la que puede pastar la cabra. Empezamos dibujando la situación:

En este dibujo pueden verse las tres superficies (sectores circulares A1, A2, y A3) en las que puede pastar la cabra que se encuentra atada mediante una cuerda de 6 m. La cuerda está atada por uno de sus extremos al vértice superior izquierdo del redil y éste se encuentra vallado, por lo que la cuerda no puede estar sobre su superficie.

La dificultad de este problema nos viene dada por el redil. Si no existiera, es decir, si la cabra estuviera atada en medio del campo, sin obstáculos alrededor, con una cuerda de 6 m, la situación sería la siguiente, y el problema se resolvería hallando el área del círculo.

Bastaría con aplicar la fórmula del área del círculo: A= π r², de donde A= 6²π

Pero en nuestro caso, tenemos un redil que nos divide la superficie en tres sectores circulares, por lo que debemos emplear la fórmula del área del sector circular.

Aplicaremos esta fórmula para cada uno de los 3 sectores circulares en los que nuestra cabra puede pastar.

Sector A1.

Medida del radio: r = 6 m.

Grados del sector circular: n = 360º - 90º = 270 º

Sector A2.

Medida del radio: r = 6-4= 2 m.

Grados del sector circular: n = 90 º

Sector A3.

Medida del radio: r = 6-5= 1 m.

Grados del sector circular: n = 90 º

Por lo que el ÁREA TOTAL en la que podrá pastar la cabra viene dada por la suma de las áreas de los 3 sectores circulares, esto es:

Atotal = A1+A2+A3 = 27π+π+0,25π = 28,25π (m²)

¡Y ya está resuelto el problema! Espero que os haya servido de ayuda... y si tenéis cualquier duda podéis dejar vuestros comentarios y os atenderemos gustosamente... ¡Hasta la próxima!... ;-)

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