Cientista Daniel

Função Exponencial

2013-08-18T17:51:00.001-03:00

função exponencial natural é a função exp:RR+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Exemplos:

Ln[exp(5)]=5

exp[ln(5)]=5

Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2

exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2

exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³

exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk

exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).

exp[Ln(y)]=y para todo y>0.

Ln[exp(x)]=x para todo x real.

exp(x+y)=exp(x) exp(y)

exp(x-y)=exp(x)/exp(y)

exp(x.k)=[exp(x)]k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

exp[Ln(3)]=3.

Ln[exp(20x)]=20x.

exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.

exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

axay=ax+y

ax/ay=ax-y

(ax) y=ax.y

(a b)x=axbx

(a/b)x=ax/bx

a-x=1/ax

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

EQUAÇÕES RECÍPROCAS

2013-08-18T17:48:00.001-03:00

Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + ... + an = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , ... , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.

Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:

2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie
2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma.

Seja resolver a equação recíproca 2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 .
Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.
Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 - 3.14 - 5.13 + 5.12 + 3.1 - 2 = 0 .

Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x - 1, de modo a abaixar o grau da equação.

Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:

2 -3 -5 5 3 -2
1 2 -1 -6 -1 2 0

Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:

(x - 1). (2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2) = 0
Logo, 2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2 = 0

Dividindo ambos os membros por x2 , vem:

2x2 - x - 6 - 1/x + 2/x2 = 0
2x2 + 2/x2 - x - 1/x - 6 = 0
2(x2 + 1/x2) - (x + 1/x) - 6 = 0

Observe agora, que:

(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2

Portanto,

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2

Substituindo na equação em negrito acima, fica:

2[(x + 1/x)2 - 2] - (x + 1/x) - 6 = 0
2(x + 1/x)2 - 4 - (x + 1/x) - 6 = 0

Fazendo x + 1/x = y , vem:

2y2 - 4 - y - 6 = 0
2y2 - y - 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .

Substituindo em x + 1/x = y, vem:

x + 1/x = 5/2 \ 2x2 - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:

S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}

Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Fonte: www.terra.com.br

DETERMINANTES

2013-08-18T17:39:00.001-03:00

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

Se In é a matriz identidade, então:

det(In) = 1

Se N é uma matriz nula, então:

det(N) = 0

Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det(A) = 0

A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det(At) = det(A)

Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det(B) = k det(A)

Se B=kA, onde k é um escalar, então:

det(B) = kn det(A)

Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

det(B) = - det(A)

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

det(A) = 0

Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

det(A) = 0

Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det(A) = 0

Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.

Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

DESIGUALDADES REAIS

2013-08-18T17:38:00.003-03:00

O sistema ordenado dos números reais

Trabalhar com desigualdades é muito importante em Matemática, mas são necessários alguns conceitos de ordem sobre o conjunto R dos números reais para dar sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho admite que você já sabe o que é um número real e que também já conhece as principais propriedades dos reais.

O conjunto R dos números reais pode ser construído a partir dos 11 postulados (afirmações aceitas sem demonstração) listados abaixo:

1. Fecho aditivo: Para quaisquer aR e bR, a soma de a e b, indicada por a+b, também é um elemento de R.

2. Associatividade aditiva: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a+b)+c=a+(b+c).

3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a+b=b+a.

4. Elemento neutro aditivo: Existe 0R, denominado zero, tal que 0+a=a, para todo aR.

5. Elemento oposto: Para cada aR, existe -aR tal que a+(-a)=0.

6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aR e bR, o produto (ou multiplicação) de a e b, indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por ab, também é um elemento de R.

7. Associatividade multiplicativa: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a.b).c=a.(b.c).

8. Comutatividade multiplicativa: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a.b=b.a.

9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1R, denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que seja aR.

10. Elemento inverso: Para cada aR, sendo a diferente de zero, existe a-1R tal que a.a-1=1. É bastante comum usar a-1=1/a

11. Distributividade: Quaisquer que sejam aR, bR e cR, tem-se que a.(b+c)=a.b+a.c

A reta numerada

Geometricamente, a reta real pode ser vista como uma linha reta horizontal tendo a origem em um ponto O. Ao marcar um outro ponto U, determinamos um segmento de reta OU e assim o sentido de O para U é tomado como positivo e o sentido contrário como negativo.

___________O__________U___________

A origem O recebe o valor zero, que é o elemento neutro da adição. O segmento OU deve medir uma unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

___________0__________1___________

Uma relação de ordem sobre R

Construiremos agora uma relação de ordem. Para dois números reais a e b, escrevemos a<b para entender que "a é menor do que b". Esta mesma relação pode ser escrita na forma b>a para significar que "b é maior do que a". Esta situação ocorre quando o número a está localizado à esquerda do número b na reta numerada.

___________a__________b___________

Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.

___________0__________c___________

Esta relação de ordem satisfaz a uma série de axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem demonstração), conhecidos como axiomas de ordem:

1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e b, somente pode valer uma das três situações abaixo:

a<b, ou a=b, ou a>b

2. Translação: Se a<b então a+c<b+c para todo c em R.

______a______b______a+c____b+c______

3. Positividade: Se a<b e c>0 então a.c<b.c.

______a______b______a.c____b.c______

4. Transitividade: Se a<b e b<c, então a<c.

______a______b______c________

Módulo de um número real

O módulo (ou valor absoluto) de um número real a é definido como o valor máximo entre a e -a, denotado por:

|a|=max{a,-a}

Exemplo:

1. |0|=0, |-7|=|7|=7, |-a|=|a|, |a²|=a²

2. |a+b||a|+|b|

3. |a-b||a|-|b|

4. |a+b|²|a|²+|b|²+2|a||b|

Desigualdades reais

Uma desigualdade em uma variável real x é uma relação matemática de uma das formas abaixo:

f(x)<0, f(x)>0, f(x)<0, f(x)>0

onde f=f(x) é uma função real de variável real. As duas primeiras desigualdades são estritas e as duas últimas são não-estritas.

A desigualdade do tipo f(x)<0 é não-estrita e equivale a duas relações: uma desigualdade estrita f(x)<0 e uma igualdade f(x)=0.

Exemplos: Dos quatro tipos acima citados.

2x+3<0, 2x+3>0, 2x+3<0, 2x+3>0

Produto de uma desigualdade por um real

Ao multiplicar uma desigualdade por um número real positivo, obtemos outra desigualdade equivalente com o mesmo sinal que a primeira, mas se multiplicarmos a desigualdade por um número real negativo, a nova desigualdade terá o sinal de<trocado por >.

Desigualdade	Sinal	Produto
f(x)<0	a>0	a.f(x)<0
f(x)>0	a>0	a.f(x)>0
f(x)<0	a>0	a.f(x)<0
f(x)>0	a>0	a.f(x)>0

Desigualdade	Sinal	Produto
f(x)<0	a<0	a.f(x)>0
f(x)>0	a<0	a.f(x)<0
f(x)>0	a<0	a.f(x)<0
f(x)>0	a<0	a.f(x)<0

Conjunto solução de uma desigualdade

Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o conjunto solução, que é o conjunto de todos os números reais para os quais vale a desigualdade. Para a desigualdade f(x)<0, o conjunto solução será dado por

S = {xR: f(x)<0 }

As outras três formas são semelhantes.

Desigualdades equivalentes

Duas desigualdades são equivalentes se os seus conjuntos soluções são iguais.

Exemplo: São equivalentes as desigualdades:

2x-4<0 e 2-x>0

pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:

S = {xR: x<2} = (-,2]

Observação: Para construir o conjunto solução de uma desigualdade da forma f(x)<0, devemos garantir que os valores de x só podem pertencer ao conjunto solução se estiverem no domínio de definição da função f=f(x).

Exemplo: Consideremos a desigualdade (x-2)/x<0, que aparece nos livros na forma:

x-2
-----<0
x

Se cometermos o erro de multiplicar a desigualdade acima por x (sem analisar o sinal de x), obteremos x-2<0 e chegaremos ao conjunto

S = {xR: x<2} = (-,2]

pois nesse caso, x=0 pertence ao conjunto S mas não pertence ao domínio da função real f(x)=(x-2)/x.

Devemos então assumir que x=0 não pertence ao conjunto solução desta desigualdade. Na sequência, mostraremos como resolver corretamente esta desigualdade.

Sistema de desigualdades

Em sistemas matemáticos aplicados (por exemplo, na área de otimização), é comum a ocorrência de sistemas formados por várias desigualdades e nesse caso, torna-se importante obter o conjunto solução do sistema e não somente de uma das desigualdades do sistema.

Exemplo: O conjunto solução que satisfaz às desigualdades

2x-8>0 e x>20

é S={xR:x>20}=(20,), que é a interseção dos conjuntos soluções das duas desigualdades.

Desigualdades importantes

Desigualdades triangulares: Para quaisquer números reais a e b, tem-se que:

|a+b|<|a|+|b|

|a-b|<|a|+|b|

|a|-|b|<|a-b|

||a|-|b||<|a-b|

Desigualdades entre médias: Para quaisquer números reais positivos a e b, tem-se que:

sendo que o termo à esquerda é a média harmônica, o termo do meio é a média geométrica e o termo à direita é a média aritmética entre a e b.

Para aprender mais sobre médias e desigualdades, veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta Página Matemática Essencial.

Principais tipos de desigualdades

Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades com números reais. Na sequência, apresentaremos as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos soluções para os seguintes tipos: Linear, Quadrática, Fração linear, Produto de fatores, Produto e quociente de fatores, uma forma alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e Exponencial

Desigualdade Linear

O nome linear provém do fato que a equação da reta no plano, quase sempre pode ser escrita na forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de desigualdades lineares

ax+b<0, ax+b>0, ax+b<0, ax+b>0

cujos conjuntos soluções dependem fortemente da solução (raiz) de ax+b=0.

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax+b<0	a>0	S=(-,-b/a)
ax+b>0	a>0	S=(-b/a,)
ax+b<0	a>0	S=(-,-b/a]
ax+b>0	a>0	S=[-b/a,)

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax+b<0	a<0	S=(-b/a,)
ax+b>0	a<0	S=(-,-b/a)
ax+b<0	a<0	S=[-b/a,)
ax+b>0	a<0	S=(-,-b/a]

Desigualdade quadrática

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c de uma equação quadrática ax2+bx+c=0, poderemos ter duas raízes reais diferentes, apenas uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real. Este fato influencia fortemente na obtenção do conjunto solução de uma desigualdade quadrática. O símbolo significa infinito e U é o símbolo de reunião de conjuntos. Existem 24 tipos básicos distribuídos em 6 tabelas, quando ax²+bx+c=0

1. possui raízes reais r e s com r<s

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax²+bx+c<0	a>0	S=(r,s)
ax²+bx+c>0	a>0	S=(-,r)U(s,)
ax²+bx+c<0	a>0	S=[r,s]
ax²+bx+c>0	a>0	S=(-,r]U[s,)

2.possui somente a raiz real dupla r

3. não possui raízes reais

4. possui raízes reais r e s com r<s

5. possui somente a raiz real dupla r

6. não possui raízes reais

Desigualdade com fração linear (I)

Uma desigualdade tem a forma de fração linear se pode ser escrita em um dos quatro tipos básicos

Se c=0 e d0, estas frações se tornam casos particulares de desigualdades lineares, razão pela qual tomaremos c0. Para obter o conjunto solução, devemos eliminar a fração.

Estudaremos apenas a primeira desigualdade, pois as outras são semelhantes. Consideremos

Sabemos que cx+d>0 ou cx+d<0 ou cx+d=0. Se cx+d=0 então x=-d/c não pertence ao conjunto solução. Para os valores de x tal que cx+d é diferente de zero, temos que (cx+d)²>0. Ao multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0, eliminaremos a fração e passaremos a ter

(cx+d)(ax+b)<p(cx+d)²

Passando as expressões algébricas para o primeiro membro, obteremos

(cx+d)[(ax+b)-p(cx+d)]<0

que ainda pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou quadrática, como o produto de dois fatores lineares.

Desigualdade com produto de fatores lineares

Se uma desigualdade possui um produto de fatores lineares, existe o método dos intervalos que facilita a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar com um exemplo como funciona este método.

Exemplo: Seja a desigualdade

2(x+3)(x-5)(x-7) > 0

Decompomos a desigualdade acima em três desigualdades lineares, obter a raiz da expressão algébrica de cada desigualdade linear, analisar o sinal de cada uma delas separadamente e realizar o "produto dos sinais". As raízes das equações associadas às desigualdades lineares são r=-3, s=5 e t=7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.

Como o produto dos fatores deve ser positivo, o conjunto solução é S=(-3,5)U(7,).

Desigualdade com produto e quociente de fatores lineares

Quando uma desigualdade possui produtos, divisões de fatores lineares, ou ambos, o método dos intervalos facilita a obtenção do conjunto solução. Mostraremos de novo com um exemplo

Exemplo: Seja a desigualdade

De novo, decompomos esta desigualdade em três desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada expressão algébrica da desigualdade linear, analisamos cada uma delas separadamente e realizamos as operações de produto de sinais ou divisão de sinais ou ambos

O conjunto solução é S=(-3,5)U(7,)

Desigualdade com Fração linear (II)

Seja uma desigualdade que é uma fração linear, como por exemplo

que pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Os zeros da função

f(x) = (cx+d)(mx+n) = c.m.(x+d/c)(x+n/m)

são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r<s e analisando cada desigualdade separadamente e na sequência realizando o "produto dos sinais"

Se c.m>0 o conjunto solução será S=(r,s), mas se c.m<0 o conjunto solução deverá ser S=(-,r)U(s,).

Exemplo: Seja a desigualdade

Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)², obtemos:

(2x+7)(3x+11)<2(3x+11)²

isto é

(3x+11)[(2x+7)-2(3x+11)]<0

ou seja

(3x+11)(-4x-15)<0

Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos

-12(x+11/3)(x+15/4)<0

Multiplicando esta última desigualdade por -1/12, obtemos

(x+11/3)(x+15/4) > 0

A função f(x)=(x+11/3)(x+15/4) se anula para r=-11/3 e s=-15/4.

O conjunto solução é S=(-,-15/4)U(-11/3,).

Desigualdade Irracional

É um tipo de desigualdade que contém expressões algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas situações possíveis, mas só usaremos o sinal<para apresentar alguns casos

A raiz quadrada de um número real z>0, será indicada por R[z], para reduzir a inserção de gráficos na página.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade R[2x+3]+R[x-3]<1 depende de trabalharmos um pouco com os radicais. Passamos um dos radicais para o segundo membro

R[2x+3] < 1-R[x-3]

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

2x+3 < 1+(x-3)-2R[x-3]

Simplificando, obtemos

x+5 < -2R[x-3]

Elevamos de novo ao quadrado para obter uma desigualdade quadrática (ou linear)

(x+5)² < 4(x-3)

Não continuaremos a análise deste exemplo, pois este tipo já foi tratado antes.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade

deve ser obtido com cuidado. Não basta multiplicar por x-2 e elevar ao quadrado, mas devemos eliminar a fração, multiplicando toda a desigualdade por (x-2)²

(x-2) R[x+6] < 3 (x-2)²

Elevando os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6) < 9 (x-2)4

Passando todas as expressões para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)- 9(x-2)²] < 0

que pode escrito como

(x-2)²(9x² +37x -30) < 0

Também não obteremos o conjunto solução, pois já tratamos desse caso antes.

Desigualdade Modular

É uma desigualdade com uma ou mais expressões algébricas dentro de módulos. Também aqui existe uma infinidade de situações possíveis, mas só usaremos o sinal < para apresentar alguns casos

|f(x)|<k, |f(x)| ± |g(x)|<k, |f(x)| ± g(x)<k

Exemplo: Obteremos o conjunto solução da desigualdade

pela eliminação da fração ao multiplicar a desigualdade por (x-2)²

(x-2)|x+6|<3 (x-2)²

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6)²<9 (x-2)4

Passando todas as expressões algébricas para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)²- 9(x-2)²]<0

que pode escrito como

(-x)(x-2)²(x-6)<0

Não mostraremos como obter o conjunto solução.

Desigualdade Exponencial

São desigualdades onde aparecem funções nos expoentes e as bases das potências devem ser números positivos diferentes de 1, condição importante, pois só podemos definir logaritmos reais com as bases tendo tais valores. Existe uma infinidade de casos, mas apenas apresentaremos dois casos com o sinal >

ax>b, af(x)>b

Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da desigualdade

24x-3<8

primeiro pela simplificação à forma

24x-3<2³

A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é crescente para todo x positivo e a sua aplicação a ambos os membros da desigualdade, nos garante que

4x-3<3

que é equivalente a

x < 3/2

Assim, o conjunto solução é

S = {x em R: x<3/2 }

Exemplo: Obtemos o conjunto solução da desigualdade

2(x-3)(x-4) > 1

pela aplicação da função logaritmo de base 2 a ambos os membros da desigualdade. Dessa forma

(x-3)(x-4) > 0

O conjunto solução é S={xR: x<3 ou x>4}.

Fonte:pessoal.sercomtel.com.br

Conjuntos Numéricos, Parte 4

2013-08-18T17:31:00.001-03:00

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

NATURAIS

INTEIROS

RACIONAIS

REAIS

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

" Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? "

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fraccionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

A representação matemática deste conjunto é:

Q = Z ? { números fraccionários }

NÚMEROS REAIS

Os pitagóricos ao aplicarem o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida.

A representação matemática deste conjunto é:

R = Q ? { números irracionais }

Fonte: www.proformar.org

Conjuntos Numéricos, Parte 3

2013-08-18T17:28:00.001-03:00

1- Naturais (IN)

N = {0,1,2,3,4,5...}

Convém destacar um subconjunto: N* = N - {0} = {1,2,3,4,5...}

É importante lembrar que sempre é possível efetuar a adição e a multiplicação, isto é, a soma e o produto de dois números naturais sempre terá como resultado um número natural, já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural, como por exemplo 2 - 5, não pertence aos N, temos então o surgimento do conjunto dos números inteiros.

2- Inteiros (Z)

Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:

Z* = Z - {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}

Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)

Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)

Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)

Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)

Neste conjunto sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração entre números inteiros, isto é, sempre estas operações resultam em um número inteiro. Já a divisão nem sempre resulta em um número inteiro, como por exemplo, 7 : 2 ,não pertence aos inteiros surgindo assim o conjunto dos racionais.

3-Racionais (Q)

Q = {x tal que x = a/b (a sobre b) onde aÎ (pertence) Z a b E Z* (Z menos o zero)}.

O conjunto dos números racionais Q é a união do conjunto dos números naturais (N), inteiros (Z) e as frações positivas e negativas, como por exemplo:

Q = -5 ; - 4/3 ; - 1; 0; 0,25 ; 1/2 ; 3/4 ; 1; 6/5 ; 2

Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4,5555 (período 5) , 10,878787 (período 87) e 9,8545454... (período 54, parte não periódica 8)

Exemplo: transformar em frações irredutíveis os números:

a) 0,1111....

x=0,111...

10x=1,111...

daí,

10x-x=1

x=1/9

portanto, 0,111...=1/9

b) 2,1343434...

x=2,1343434...

10x=21,3434...

1000x=2134,3434....

daí,

1000x-10x=2113

x=2113/990

portanto, 2,1343434...=2113/990

4-Irracionais (I) - É todo número decimal não-exato e não periódico, bem como toda raiz não-exata.

- raiz quadrada de dois = 1,414...;
- raiz quadrada de três = 1,73...;
- dízimas não periódicas;

5-Reais (IR)

Fonte: www.ficharionline.com

Conjuntos numéricos, Parte 2

2013-08-18T17:26:00.000-03:00

Conjuntos Numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z

III) Números Racionais

- São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,...

-Números decimais exatos são racionais

Pois 0,1 = 1/10

2,3 = 23/10 ...

- Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

-São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Exs:

V) Números Reais

- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:

Intervalos :

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b:

Intervalo fechado em a e aberto em b:

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos também:

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Conjuntos numéricos, Parte 1

2013-08-18T17:22:00.000-03:00

Alguns conceitos primitivos

Conjunto

O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

1 pertence ao conjunto dos números naturais.

-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2-4=0.

Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo , que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural, escrevemos:

Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:

Um símbolo matemático para a negação é a barra /.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

A = { a, e, i, o, u }

N = { 1, 2, 3, 4, ... }

M = { João, Maria, José }

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

AB = { x: aA ou xB }

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

AB = { x: aA e xB }

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.

Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

AA = A e A A = A

1. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

AAB, BAB, ABA, ABB

2. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

AB equivale a AB = B
AB equivale a AB = A

3. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A(BC) = (AB)C
A(BC) = (AB)C

4. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

AB = BA
AB = BA

5. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A

6. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø

7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
A ( B C ) = ( A B ) (A C )

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = { x: a e x B

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C BA, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

C BA = A-B = { x: x A e x B }

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

O complementar da reunião de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(AB)c = Ac Bc

O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

O complementar da interseção de dois conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(AB)c = Ac Bc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

AB = { x: xAB e xAB }

A situação gráfica para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=AB.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. AA=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:

A(BC) = (AB)(AC)

7. AB está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:

AB (AC)(BC)

conjuntos numéricos

I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Análise Combinatória, parte 2

2013-08-18T17:13:00.004-03:00

Análise Combinatória - Princípio Fundamental da Contagem

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem:Português, matemática, história e geografia.

Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira?

Vamos pensar sobre o problema.

Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda não colocamos nenhum livro nela, temos então quatro livros a escolher: Português, matemática, história e geografia.

Se começarmos a pilha com o livro de português, na escolha do próximo livro a ser colocado sobre ele, temos 3 possibilidades:matemática, história e geografia.

Se escolhermos o livro de história como o segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2 possibilidades apenas: matemática e geografia.

Se colocarmos na pilha o livro de geografia, para o último livro temos obviamente 1 possibilidade: matemática.

Veja pela figura ao lado que as 4 possibilidades do primeiro livro podem ser combinadas com cada uma das 3 possibilidades do segundo livro, que podem ser combinadas com cada uma das 2 possibilidades do terceiro livro, que podem finalmente ser combinadas com 1 possibilidade do quarto livro.

Matematicamente o número total de possibilidades seria:

4 . 3 . 2 . 1 = 24

Neste cálculo utilizamos o princípio fundamental da contagem.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m₁ maneiras, a segunda situação ocorrendo de m₂ maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de m_n maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:

Exemplos

Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?

Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades.

A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.

Logo:

São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?

Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto.

Portanto:

Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R?

Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R.

Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades.

Assim temos:

Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que neste caso teríamos mais um livro, digamos de ciências, que sempre seria colocado na pilha por último.

Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.

Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem com 17?

Neste exemplo iremos fazer o cálculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos são os números com três algarismos.

Como neste caso na primeira posição não podemos ter o dígito zero, o número de possibilidades para cada posição é respectivamente: 9, 10 e 10.

Portanto temos 900 números naturais com três dígitos.

Agora vamos calcular quantos deles começam com 16 ou 17.

Para a primeira posição temos apenas uma possibilidade, o dígito 1. Para a segunda temos 2, pois servem tanto o dígito 6, quanto o 7.

Para a terceira e última posição temos todos os dígitos possíveis, ou seja, 10 possibilidades.

Multiplicando tudo temos 20.

Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.

Existem 880 números naturais nestas condições.

São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares?

Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.

A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis para a primeira posição.

Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.

Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.

Assim sendo:

São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.

Fonte: www.matematicadidatica.com.br

Análise Combinatória, parte 1

2013-08-18T17:13:00.003-03:00

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação:

É muito frequente encontrarmos na literatura sobre os termos: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Notações comuns neste trabalho

Expressão geral	Exemplo numérico
Sinal de divisão	/
n! = 1.2.3...n	6!=1.2.3.4.5.6=720
C(n,p)=n!/[p!(n-p)!]	C(6,2)=6!/[2!4!]=15
A(n,p)=n!/(n-p)!	A(6,4)=6!/4!=30

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

A_s={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

A_r={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2.

Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

P_ABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

P_DEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: P_s(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: P_s(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P_s={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x₁,x₂,x₃,...,x_n}, faremos a suposição que existem m₁ iguais a x₁, m₂ iguais a x₂, m₃ iguais a x₃... , m_n iguais a x_n, de modo que m₁+m₂+m₃+...+m_n=m.

Fórmula: Se m=m₁+m₂+m₃+...+m_n, então

P_r(m)=C(m,m₁).C(m-m₁,m₂).C(m-m₁-m₂,m₃) ... C(m_n,m_n)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m₁=4, m₂=2, m₃=1, m₄=1 e m=6, logo:

P_r(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez.

As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P_r={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: P_c(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

P_c={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC

o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:

P_c={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Combinação simples: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

C_s={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: C_r(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: C_r(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada.

De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

C_r={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma

A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto

A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo

Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r₁, r₂, r₃, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s₁, s₂, s₃, ..., sn.

De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos.

Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.

Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, ..., c_m-2, c_m-1, c_m

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, ..., c_m-2, c_m-1, c_m

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada.

Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c₁, c₂, c₃, c₄, c₅, ..., c_m-2, c_m-1, c_m

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada	Número de possibilidades
1	m
2	m-1
3	m-2
...	...
p	m-p+1
No.de arranjos	m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes?

O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem.

A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada	Número de possibilidades
1	m
2	m-1
...	...
p	m-p+1
...	...
m-2	3
m-1	2
m	1
No.de permutações	m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantas formas podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?

O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR?

O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como:

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp.

Indicamos isto por:

A_rep(m,p) = m^p

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Consideremos o conjunto A = (a,b,c,d,e) e p = 6. As coleções (a,a,b,d,d,d); (b,b,b,c,d,e); (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos com pontos ¤ e vazios Ø onde cada ponto ¤ é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6 ¤ e 4 Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente.

Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos.

Assim:

C_rep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

C_rep(m,p) = C(m+p-1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10) = C(11,10)+C(11,9)=11×55=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de um número real r qualquer tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais indicar como sendo a combinação C(r,p). Como Pi=3,1415926535...,

então:

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos C(m,p) =mp.

Então:

(a+b)^m = a^m+m₁a^m-1b+m₂a^m-2b²+m₃a^m-3b³+...+m_mb^m

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a+b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

(a+b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4 ab³ + b⁴

(a+b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + b⁵

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)^m=a^m+m₁a^m-1b+m₂a^m-2b²+m₃a^m-3b³+...+m_mb^m

P(1) é verdadeira pois (a+b)¹ = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k): (a+b)^k=a^k+k₁a^k-1b+k₂a^k-2b²+k₃a^k-3b³+...+k_kb^k

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)^k+1=a^k+1+(k+1)₁a^kb+(k+1)₂a^k-1b²+...+(k+1)_(k+1)b^k+1

(a+b)^k+1=	(a + b).(a + b)^k
=	(a + b).[a^k + k₁ a^k-1 b + k₂ a^k-2 b² + k₃ a^k-3 b³ + ... + k_k b^k]
=	a.[a^k + k₁ a^k-1 b + k₂ a^k-2 b² + k₃ a^k-3 b³ + ... + k_k b^k] + b.[a^k + k₁ a^k-1 b + k₂ a^k-2 b² + k₃ a^k-3 b³ + ... + k_k b^k]
=	a^k+1 + k₁ a^k b + k₂ a^k-1 b² + k₃ a^k-2 b³ + ... + k_k a b^k + a^kb + k₁ a^k-1 b² + k₂ a^k-2 b³ + k₃ a^k-3 b⁴ + ... + k_k b^k+1
=	a^k+1 + [k₁+1] a^k b + [k₂+k₁] a^k-1 b² + [k₃+k₂] a^k-2 b³ + [k₄+k₃] a^k-3 b⁴ + ... + [k_k-1+k_k-2] a² b^k-1 + [k_k+k_k-1] a b^k + k_k b^k+1
=	a^k+1 + [k₁+k₀] a^k b + [k₂+k₁] a^k-1 b² + [k₃+k₂] a^k-2 b³ + [k₄+k₃] a^k-3 b⁴ + ... + [k_k-1+k_k-2] a² b^k-1 + [k_k+k_k-1] a b^k + k_k b^k+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k₁+k₀=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)₁

k₂+k₁=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)₂

k₃+k₂=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)₃

k₄+k₃=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)₄

_{.....................}

k_k-1+k_k-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)_k-1

k_k+k_k-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)_k

E assim podemos escrever:

(a+b)^k+1 =

a^k+1 + (k+1)₁ a^k b + (k+1)₂ a^k-1 b² + (k+1)₃ a^k-2 b³ +
(k+1)₄ a^k-3 b⁴ + ... + (k+1)_k-1 a² b^k-1 + (k+1)_k a b^k + k_k b^k+1

que é o resultado desejado.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Planeta KOI 102,72

2013-08-17T23:17:00.004-03:00

KOI 172,02 é um exoplaneta descoberto em 2013.

Comparação entre KOI 102,72 (esquerda) e Terra. A imagem é uma concepção artística do planeta, e não uma fotografia.

Em março de 2009, foi lançada a sonda espacial Kepler com o objetivo de observar as 100 mil estrelas mais brilhantes do céu durante quatro anos. O observatório estrelar foi construído pela Nasa e vaga pelo espaço em busca de exoplanetas que se assemelhem à Terra. O observatório coleta uma foto a cada três segundos e seu desenvolvimento custou cerca de 470 milhões de dólares. Atualmente, a sonda está em operação no espaço e começou a fornecer seus primeiros registros em janeiro de 2010, revelando importantes descobertas astronômicas.

Até o momento, a missão Kepler já relatou 1.235 estrelas candidatas a planetas, 288 super-Terras, 54 exo-Terras orbitando em zonas habitáveis ao redor de suas estrelas com possibilidade de existência de água em suas superfícies e cinco planetas do mesmo tamanho que a Terra orbitando em zonas habitáveis.

O Planeta KOI 172,02 é uma das mais importantes descobertas da missão Kepler. A Nasa divulgou no dia sete de janeiro de 2013 a descoberta de um exoplaneta que se enquadra na categoria de super-Terra, já que seu diâmetro é bem maior que o da Terra. Foram feitos apenas registros iniciais de sua existência, mas acredita-se que esse exoplaneta esteja em uma região habitável e que possua água em estado líquido. De qualquer forma, é uma das descobertas mais importantes da astronomia nos últimos anos.

No entanto, o Planeta KOI 172,02 não é o único que pode apresentar condições para vida semelhantes à Terra, mas se tornou emblemático ao revelar uma nova realidade que considera nossa existência no espaço. A partir de sua descoberta e dos resultados que já foram auferidos com a missão de observação estrelar da sonda Kepler, calcula-se que exista aproximadamente 17 bilhões de planetas semelhantes ao nosso no universo.

Ainda há muito que pesquisar sobre a condição de vida desses planetas. As descobertas da sonda Kepler apenas relataram a ocorrência de muitos planetas que podem abrigar condições de vida adequadas. Mais três planetas foram identificados como KOI 102,02, simbolizando um tipo de planeta com água em estado líquido. Entre todos os planetas em zonas habitáveis, o KOI 102,72 é aquele que mais se aproxima das condições de vida que temos na Terra e por isso ganhou tanta repercussão e importância no mundo científico.

Fontes:
http://noticias.uol.com.br/ciencia/ultimas-noticias/bbc/2013/01/08/galaxia-pode-ter-17-bilhoes-de-terras-diz-estudo.htm
http://www.nasa.gov/home/hqnews/2013/jan/HQ_13-008_KEPLER_New_Planets.html
http://www.space.com/19201-most-earth-like-alien-planet.html
Ilustração: http://fr.wikipedia.org/wiki/KOI-172.02

Missões Canceladas: Apollo 18, 19 e 20

2013-08-17T23:15:00.002-03:00

O Programa Apollo foi criado pela Nasa, agência responsável pelos programas especiais dos Estados Unidos, com o objetivo de levar o homem à Lua. O programa de viagens espaciais se desenvolveu no contexto da Guerra Fria, no qual Estados Unidos e União Soviética competiam intensamente em uma disputa ideológica. Os estadunidenses polarizavam o mundo em defesa do capitalismo, enquanto os soviéticos faziam o contraponto em defesa do socialismo. O confronto em nível ideológico colocava tudo em disputa, os dois lados queriam mostrar que eram mais poderosos em todos os aspectos. Nesse contexto, a corrida espacial foi um dos fatores mais marcantes do conflito. A União Soviética saiu na frente ao enviar o primeiro ser vivo ao espaço, forçando os Estados Unidos a dar uma resposta equivalente.

A partir de 1961, os Estados Unidos investiram alto para cravar sua bandeira na Lua. A chegada ao satélite natural da Terra tinha grande valor simbólico em uma disputa que se travava no plano ideológico contra a União Soviética. A Nasa coordenou o programa espacial e, inicialmente, lançou sete missões que não foram tripuladas. Essas missões forneceram o conhecimento científico necessário que os Estados Unidos necessitavam para enviar o homem cada vez mais longe no espaço. A partir da missão Apollo 8, as viagens começaram a ser tripuladas e se aproximavam do objetivo final que era a Lua. O auge desse programa espacial estadunidense aconteceu no ano de 1969, quando, no dia 20 de julho, a missão espacial Apollo 11 pisou na Lua. Foi a primeira vez na história que o homem chegou tão longe, o que repercutiu intensamente no contexto de disputa ideológica do período.

Depois da Apollo 11, outras missões espaciais ocorreram com o objetivo de explorar o território lunar. A missão Apollo 17, em 1972, foi a última do Programa Apollo para exploração da Lua. Naquele ano, o governo estadunidense cortou as verbas, o congresso retirou o apoio e a opinião pública já mostrava desinteresse pelo assunto. Em função do corte orçamentário, algumas missões previstas para integrar o Programa Apollo foram readaptadas com o nome de Programa Skylab. A nave espacial da Apollo continuou sendo usada até 1975. O Projeto Apollo 18 estava previsto para ser lançado em 1972 e era composta por três integrantes. Foi uma missão inédita realizada em conjunto com o programa espacial soviético Soyuz. Por isso, a missão recebeu também o nome de Apollo-Soyuz.

A missão Apollo 18 foi ao espaço, mas não voltou da maneira adequada. Há, contudo, muitos mistérios em torno do que foi feito e visto na Lua. Supostamente, seus tripulantes teriam feito contato com formas de vida alienígena em um encontro hostil que matou dois dos três integrantes da missão. A Nasa nunca se pronunciou sobre o caso. Somente em 2011, quando foi lançado um filme com o nome da missão contando o que supostamente teria ocorrido no espaço, que a agência especial estadunidense declarou ser tudo ficção. Ainda assim, as mortes dos tripulantes da missão não foram explicadas.

Suposta nave alienígena na superfície oculta da lua. O comprimento do objeto seria de 3,3 Km.

O Projeto Apollo 19 estava programado para pousar na Lua em sua região mais oculta, onde, supostamente, integrantes da missão Apollo 15 teriam fotografado destroços de uma nave alienígena. A missão Apollo 19 seria composta por três integrantes e, segundo a Nasa, sairia em julho de 1972. A missão foi cancelada, de acordo com declarações oficiais. Mas há relatos de que a missão realmente existiu, explorou o lado oculto da Lua e fez contato com muitos artefatos alienígenas. Inclusive com corpos desses seres. Durante a missão Apollo 19, todos os equipamentos teriam falhado inexplicavelmente. A Nasa exibe no Texas o Módulo de Comando e Serviço, o módulo lunar e o foguete saturno V que seriam utilizados na missão e nunca foram concluídos. Mas a Nasa também nunca se pronunciou sobre as declarações acerca da viagem e do contato com artefatos alienígenas.

O Projeto Apollo 20 estava previsto para ser lançado em dezembro de 1972 e tinha como objetivo a exploração do lado oculto da Lua. Dois anos antes, a Nasa declarou a suspensão da missão em função da restrição orçamentária imposta na época. Há pessoas que alegam que a missão existiu secretamente e foi impactante. O Projeto Apollo 20 teria pousado no lado oculto da Lua e explorado o local onde alienígenas teriam habitado há muitos anos. O retorno ao satélite natural da Terra seria em função das supostas fotos de naves alienígenas tiradas durante a missão tripulada Apollo 15. Com o retorno, os astronautas teriam explorado com mais calma o local e encontrado diversos artefatos alienígenas que foram recolhidos e analisados na Terra e também o corpo de uma fêmea alienígena que se encontrava em ótimas condições de preservação, a qual se deu o nome de Monalisa. Há vários depoimentos afirmando que muitas ruínas de cidades alienígenas foram encontradas e também formas de escrita jamais vistas antes.

Fontes:http://news.discovery.com/space/the-lost-apollo-missions-110902.htm http://www.ufo.com.br/noticias/apollo-18-provoca-resposta-da-nasa-sobre-sua-autenticidade http://www.ufo.com.br/noticias/missao-apollo-20-nunca-existiu-na-realidade http://www.mundogump.com.br/a-fraude-da-apollo-20-e-o-ovni-caido-na-lua/http://www.ufosfacts.com/2012/04/os-misterios-da-missao-apollo-20.html#.UTXu0VeJnYU http://news.discovery.com/space/history-of-space/apollos-after-17-121220.htm

Água fora do sistema solar

2013-08-17T22:25:00.002-03:00

Em 2011, um grupo de cientistas representantes de diversas instituições e nacionalidades encontraram, por meio de análise de imagens obtidas por telescópio, a presença de vapor d’água na atmosfera de um exoplaneta situado há cerca de 60 anos-luz da Terra. O termo exoplaneta refere-se a um planeta que está fora ao sistema solar. Desde que as pesquisas a respeito de exoplanetas foram iniciadas, os cientistas já suspeitavam da existência de água nesses planetas. O estudo foi chefiado por Giovanna Tinetti, integrante da Agência Espacial Européia , e publicado na revista Nature. A pesquisa também teve a participação de estudiosos da Universidade de Harvard, EUA, e de países França, Taiwan e Reino Unido. Por meio desse estudo, foi a primeira vez que se detectou vapor de água num exoplaneta em grande quantidade. As imagens foram recolhidas pelo telescópio espacial infravermelho Spitzer. Além de vestígios de águas, há moléculas de água dominante na atmosfera. Esse exoplaneta é conhecido como HD 189733b, é um corpo que possui uma inclinação em sua órbita e brilha pouco perante sua estrela por transitar em frente à mesma. Nesse estudo, os cientistas utilizaram uma técnica particular, realizaram suas observações quando o planeta transitava diante da estrela e não por meio de a ocultação do planeta por parte da estrela para estudar a emissão na região infra-vermelha do espectro. A diferença de tamanho que o planeta expõe ao telescópio corresponde a um grau de maior ou menor absorção por parte da molécula de água. Tradicionalmente, a possibilidade de existência de vida inteligente e biológica fora do planeta Terra sempre esteve atrelada à existência de água em outros planetas, tendo como similaridade a existência de vida idêntica à humana. Em nosso sistema solar, apesar de Marte apresentar determinada quantidade de água congelada e em forma de vapor, não há a presença de vida, portanto, a existência de água num determinado planeta pode não significar a existência de vida. Em Marte, a presença de água sólida e gasosa numa superfície 150 vezes menor do que na Terra, sugere que já houve vida biológica no planeta num passado remoto. O meteorito ALH84001 que veio de Marte, apresenta restos de minerais que os cientistas ainda não conseguiram identificar se seriam restos de nanobactérias, compostos orgânicos simples ou elementos da própria Terra que contaminaram o material encontrado.

Fontes:
http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1751332-EI302,00.html http://astro.if.ufrgs.br/vida/index.htm http://noticias.bol.uol.com.br/ciencia/2011/09/12/novo-planeta-semelhante-a-terra-tem-potencial-para-vida.jhtm

Microorganismos podem habitar planetas fora do sistema solar

2013-05-31T16:34:00.002-03:00

SÃO PAULO (Agência USP) - A possibilidade de sobrevivência de seres vivos em planetas que não orbitam o Sol foi estudada no Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas (IAG) da USP. Os chamados extremófilos, micro-organismos que vivem sob condições físicas excepcionais, como temperatura, pressão, radiação e pH, foram o objeto da pesquisa desenvolvida por Luander Bernardes. Por intermédio do estudo reforçou-se a teoria da panspermia, já que se comprovou a possibilidade destes seres transitarem em uma grande zona fora e dentro do sistema solar. A panspermia defende a ideia de que a vida chegou à Terra externamente, trazida por fragmentos de massa planetária, poeira interestelar, meteoritos ou até mesmo por cometas.

O físico Luander Bernardes deu enfoque aos planetas que orbitam outras estrelas, que não o Sol, chamados exoplanetas. A Zona Habitável destes outros sistemas é atualmente definida como a coroa esférica, a partir da estrela central, em que as condições físicas permitem a existência de água líquida. Porém, como os extremófilos podem habitar lugares em outras condições, não só as semelhantes à Terra, Bernardes sentiu necessidade de considerar em sua pesquisa uma ampliação do conceito de Zona Habitável — a Zona Extremófila. “Analisar a possibilidade de sobrevivência além do limite imposto pela definição usual de habitabilidade, ou seja, entender como a vida pode eventualmente se desenvolver na Zona Extremófila foi desafiador”, afirma o físico.

Simulando a atmosfera primordial da Terra — constituída por nitrogênio, água e dióxido de carbono — e baseando-se nas leis físicas conhecidas, foi inferida a temperatura média e a pressão parcial do dióxido de carbono na superfície de alguns dos quase mil exoplanetas conhecidos atualmente. O acesso às informações foi feito pela Exoplanet Encyclopedia Database, catálogo que registra informações sobre estes planetas. Além disso, foi investigada a possibilidade de haver satélites naturais (as exoluas) orbitando os exoplanetas gigantes. Ao modelo atmosférico reproduzido foi adicionada uma simulação da localidade na qual uma exolua poderia se estabilizar, em torno da órbita do planeta hospedeiro.

Por meio das simulações, Bernardes concluiu que as Zonas Habitáveis e Extremófilas dos sistemas extrasolares têm condições para abrigar planetas e luas. Porém, se exoplanetas semelhantes à Terra (com relação à massa e à composição atmosférica) estivessem na posição orbital dos gigantes estudados, eles somente teriam água líquida em sua superfície se apresentassem altas concentrações de dióxido de carbono em sua atmosfera. Bernardes explica que “assim, o modelo utilizado funcionou como um ‘filtro’ na busca de posições orbitais onde exoplanetas podem ser potencialmente habitáveis”.

Outro resultado indica que, no caso de planetas do tipo Super Terra, com massa entre duas e dez massas terrestres, orbitando estrelas de baixa massa, estes só poderiam abrigar exoluas massivas o suficiente para manterem atividade geológica e reterem atmosfera por bilhões de anos, se estivessem localizados no limite exterior ou além da Zona Extremófila. Planetas Gigantes Gasosos são os melhores candidatos a hospedar exoluas com ampla variedade de massa dentro das Zonas Habitável e Extremófila. Mesmo além da Zona Extremófila, algumas exoluas poderiam abrigar extremófilos, pois podem adquirir energia para a sobrevivência dos micro-organismos de outras fontes que não o calor estelar, como a força de maré, por exemplo.

Panspermia

A conclusão geral da pesquisa diz respeito ao modo de transporte dos extremófilos. Se há uma chamada Zona Extremófila, estes seres vivos devem estar se movimentando dentro dela, ou seja, pelos sistemas solar e extrassolares. Bernardes ressalta que “o conceito de Zona Extremófila é mais um argumento posto em favor da ratificação da hipótese de que materiais orgânicos e até mesmo micro-organismos podem ter atingido a superfície da Terra, de exoplanetas e exoluas — hipótese da panspermia”.

Outro resultado que reforça esta teoria é a diversidade de condições em que os extremófilos podem viver, principalmente quando comparadas às bactérias mesófilas. Estas últimas, importantes em aplicações médicas, veterinárias e agrárias, têm uma faixa de temperatura específica em que vivem (entre aproximadamente 15 e 50 graus celsius), ou seja, a faixa de temperatura mais comum na superfície da Terra. As extremófilas, por outro lado, se adaptam a diversas variedades de ambientes, o que pode indicar a existência delas em diversos cenários distintos dos conhecidos na Terra.

A pesquisa, iniciada em 2010, foi defendida em novembro de 2012 pelo Programa de Pós Graduação em Astronomia e orientada pelo professor Eduardo Janot-Pacheco do IAG. Ela deu origem à dissertação de mestrado Exoplanetas, extremófilos e habitabilidade.

Marte é atingido anualmente por mais de 200 pequenos asteroides e fragmentos de cometas

2013-05-31T16:29:00.004-03:00

Cientistas estimam que Marte é atingido, anualmente, por mais de 200 pequenos asteroides e fragmentos de cometas, que formam crateras com pelo menos quase quatro metros de diâmetro, informou hoje a NASA em comunicado.
Dada a sua pequena dimensão, estes asteroides (corpos rochosos e metálicos que orbitam o Sol) e fragmentos de cometas nunca poderiam criam crateras no solo terrestre, lembra a agência espacial norte-americana.
Segundo a NASA, os cálculos relativos a Marte baseiam-se em imagens recolhidas a partir da sonda MRO, que examina o "planeta vermelho" há sete anos.
Os investigadores identificaram, na última década, 248 novas crateras na superfície marciana, usando as imagens da sonda para determinar quando é que as crateras apareceram.
A média anual estimada de crateras baseia-se na frequência com que novas crateras, com pelo menos 3,9 metros de diâmetro, foram escavadas na superfície de Marte. A frequência foi estudada a partir da avaliação sistemática de uma parte do planeta.
Uma câmara da MRO captou imagens em alta resolução de crateras recentes em zonas onde outras imagens foram registadas por outras câmaras, antes e depois de os impactos ocorrerem.
A combinação da informação obtida irá de futuro, de acordo com a NASA, ajudar os cientistas a calcularem melhor a idade de recentes fenómenos em Marte, sendo que alguns deles poderão ter sido uma consequência das alterações climáticas.
Os asteroides e os fragmentos de cometas que atingem Marte não têm mais do que um ou dois metros de diâmetro e, por isso, são demasiado pequenos para criar crateras no solo terrestre, sublinha a NASA.
Contudo, o seu impacto no "planeta vermelho" acaba por ser maior, porque Marte tem uma atmosfera mais fina, quando comparada com a da Terra.
Estimativas anteriores, baseadas em estudos das crateras da Lua e das idades das rochas lunares recolhidas nas missões Apollo da NASA nas décadas de 60 e 70, elevaram três a dez vezes o número médio anual de crateras em Marte.

Asteroide passa "perto" da Terra nesta sexta

2013-05-31T16:06:00.001-03:00

Um asteroide cinco vezes maior que um navio transatlântico vai passar nesta sexta-feira, 31, a 5,8 milhões de quilômetros da Terra, uma distância curta em termos astronômicos, informou a agência espacial norte-americana (Nasa).

Chamado 1998 QE2, ele será observado por meio de telescópios e radar pelos cientistas, que esperam obter "imagens de alta resolução que poderão revelar muita coisa sobre as suas características", disse o astrônomo Lance Benner.

Seguindo a trajetória atual, o 1998 QE2 atingirá às 21h59 (hora de Lisboa, 1h59 no Brasil) de amanhã o ponto mais próximo da Terra e só voltará a aproximar-se dentro de cerca de 200 anos.

O asteroide, que mede cerca de 2,7 quilômetros de diâmetro, não poderá ser observado a olho nu ou com binóculos: sua baixa luminosidade só o torna visível aos telescópios mais potentes.

O interesse público nos objetos celestes que passam perto da Terra reacendeu-se depois da queda do meteorito de Chelyabinsk, na Rússia, em fevereiro passado.

Além da Nasa, a Casa Branca seguirá com atenção o trajeto do asteroide, uma vez que a administração norte-americana aposta em convencer o Congresso a liberar mais verbas para vigiar os objetos que se aproximam da Terra.

"Temos que encontrar os asteroides antes que eles nos encontrem", disse o assessor de Política Espacial da Casa Branca, Phil Larson.

O programa espacial dos Estados Unidos prevê o envio de astronautas que "capturem" um asteróide até o ano 2020.

2013-05-14T22:55:00.004-03:00

1º Passo: Solução da cruz na face amarela.

O primeiro passo do Método Básico é solucionar uma cruz com as peças brancas ao redor do centro amarelo.

Para realizar este passo não é necessário nenhum tipo de formula. Eu aconselho que você se dedique bastante para que consiga sem muitas dicas solucionar a cruz branca ao redor do centro amarelo. Como você pode ver na imagem a seguir, as únicas peças que importam no momento são as que estão com cor, ou seja, ignore todo o restante do cubo não importando o caso que você encontre. Se dedique apenas para colocar as quatro peças brancas ao redor do centro amarelo, que deve ser o oposto do centro branco.

Seu objetivo para este passo é este:
Cruz branca solucionada no centro amarelo.

Exemplo geral com a cruz branca solucionada ao redor do centro amarelo:

Matemática- operações fundamentais

2013-05-14T22:48:00.002-03:00

Em matemática, uma operação é qualquer tipo de procedimento que é realizado sobre certa quantidade de elementos, e que obedece sempre a uma mesma lógica (regra). Conforme o número de termos necessários em uma operação, esta pode ser classificada como operação unária, operação binária, operação ternária e assim por diante.

Uma operação binária genérica normalmente é representada como:
X * Y
que se lê: (xis asterisco ipsilon)
onde "*" é o operador binário, "X" e "Y" são os operandos (ou termos da operação), "X" é o primeiro termo e "Y" é o segundo termo.

Os dois exemplos de operações binárias mais clássicos são:

X + Y: "+" é o símbolo do operador adição, o resultado da operação é soma e os termos são as parcelas.
X . Y: "." é o símbolo do operador multiplicação, o resultado da operação é o produto de X por Y e os termos são os fatores.

Adição

Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples, adição combina dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma ou total. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão a adição de 0, um ou um número infinito de números pode ser definida, veja abaixo.

Para uma definição da adição no âmbito dos números artificiais

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
Multiplicação

Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador .
Divisão

Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por um elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.
Fração

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").
Subtração

Subtração é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico (minuendo) se dele for removido outro valor numérico (subtraendo).

Uma subtração é representada por:
a - b = c

a é o minuendo,b é o subtraendo e c é a diferença ou resto.

A subtração é o mesmo que a adição por um número de sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição.

Termoquímica

2013-05-14T22:35:00.002-03:00

Termoquímica estuda a liberação ou absorção de calor em reações químicas ou em transformações de substâncias como dissolução, mudanças de estado físico,...
As transformações termoquímicas podem ser:

Transformações endotérmicas: absorvem energia.

Transformações exotérmicas: liberam energia.

A energia transferida entre dois corpos (ou entre diferentes partes de um mesmo corpo), que têm temperaturas diferentes é denominada CALOR. A unidade para medir energia é a caloria (cal), que equivale à quantidade de calor necessária para elevar em 1°C a temperatura de 1 g de água.
1 cal = 4,18 J
aparelho utilizado – calorímetros

                                                    Entalpia (H)
    É o total de energia liberada ou absorvida em uma transformação de um dado sistema, a pressão constante.

Transformação exotérmica: libera calor para o meio ambiente.

A + B→ C + D + calor
     Hi           Hf        ∆H

    Sendo que:

Hf < Hi

   ∆ H = Hf - Hi

       ∆ H < 0
Transformação endotérmica: absorve (retira) calor do meio ambiente.

A + B + calor → C + D
Hi          ∆H          Hf
Sendo que:

Hf > Hi

∆ H = Hf - Hi

∆ H > 0
Casos particulares de entalpias: Entalpia de formação corresponde à variação de entalpia envolvida na formação de um mol de substância, a partir de substâncias simples, no estado padrão.
Ex. da reação da síntese (formação) e da variação de entalpia, para um mol de metano:

Cgrafite   +   2 H2 (g)  →   CH4 (g)        ∆H = - 74,8 kJ/mol

Dicas Do cubo magico

2013-04-28T17:44:00.000-03:00

Cubo Mágico quebrado:

Atenção! Esta é uma situação muito comum que provavelmente já aconteceu ou ainda vai acontecer com você.
- Seu cubo quebra, no sentido de sair todas ou algumas peças e você o re-monta de qualquer forma e, chegando nos últimos passos da solução acontece algo que está fora dos padrões do cubo. Fique avisado que nenhuma fórmula sera capaz de solucionar qualquer outro caso que não esteja aqui no site.

Aconselhamos que você retire todas as peças e monte o cubo novamente com cada peça em seu lugar; ou então continue a solução normalmente, caso você se deparar com uma situação impossível, apenas inverta uma das peças que aparentemente esteja errada.

Movimentos:

Antes de tentar solucionar o cubo aplicando as fórmulas, decore qual face do cubo cada letra representa.

A pior parte para quem está iniciando é diferenciar os movimentos horários dos anti-horários.
Para não errar, use a dica do relógio! Para cada movimento imite um relógio com seu dedo, fazendo um circulo horário ou anti-horário na face do cubo. Assim você vai ter certeza de que está girando no sentido certo.

Como decorar as fórmulas:

Este é um assunto que assusta quem está apenas iniciando ou quem está aprendendo o Método Avançado; mas fique tranquilo, não é algo difícil e muito menos impossível. Segue as dicas:

- Método Básico: Procure antes de tudo, entender as fórmulas; preste muita atenção nos movimentos que cada uma faz e os resultados que acontecem em seu cubo. Feito isso com muita calma, tente passo a passo solucionar o cubo sem nenhum tipo de leitura da fórmula; use apenas o que você aprendeu ao entender as fórmulas. Na teoria, você estará com todas em sua memória; é algo natural e difícil de esquecer se for feito da maneira certa.

- Método Avançado: 119 casos diferentes realmente assusta, mas tenha muita paciência. Inicie aprendendo o F2L pois é um passo mais intuitívo e fácil de entender. Depois aprenda os 7 casos de OLL com a cruz amarela pronta, decore então os 21 casos de PLL e por fim, os 50 restantes do OLL. Procure não apenas decorar os movimentos, mas sim entender; fica mais fácil e o resultado é melhor!

Peças do Cubo Mágico:

Parece até mesmo obvio, mas vale a dica aos iniciantes: Nunca uma peça do meio vai ocupar o lugar de uma peça da quina. Lembre-se que os meios possuem 2 cores, e as quinas 3 cores.

Conhecendo o Cubo Mágico

2013-04-28T17:43:00.002-03:00

Antes de iniciar qualquer método ou tentar aplicar alguma fórmula, você precisa conhecer as peças e as partes que formam o Cubo Mágico. Estarei demonstrando em um cubo 3x3x3 que serve como padrão para os demais.

O Cubo Mágico contem 3 tipos de peças: Centros, meios e quinas:

Centros

Meios

Quinas

Também deve-se saber a diferença entre "face" e "camada":

Face resolvida

Camada resolvida

LOGICA- Validade de um argumento: Verifcação por tabela verdade

2013-04-28T17:39:00.000-03:00

VALIDADE DE UM ARGUMENTO: VERIFICAÇÃO POR TABELA VERDADE.
Com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula
A1Ù A2ÙA3 Ù... Ù An ® B é tautologia.
Exemplo: O argumento p, q® r, ~ r, ~ q é válido pois a fórmula
(p Ù (q ® r) Ù~ r ) ® ~ q é uma tautologia.
O que verificamos nas linhas onde as premissas são verdadeiras que a conclusão também é verdadeira
(tabela verdade abaixo, linha 4).

p	q	r	p	q ® r	~ r	~ q
V	V	V	V	V	F	F
V	V	F	V	F	V	F
V	F	V	V	V	F	V
V	F	F	V	V	V	V
F	V	V	F	V	F	F
F	V	F	F	F	V	F
F	F	V	F	V	F	V
F	F	F	F	V	V	V

VALIDADE DE UM ARGUMENTO: DEMONSTRAÇÃO Podemos verificar a validade de um argumento através de métodos de demonstração :
1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO
4. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO

1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA
Consiste em demonstrar ou deduzir a conclusão B a partir das premissas A1 , A2 , A3 ,... , An , aplicando as EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS e as REGRAS DE INFERÊNCIA . Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q ® r , ~ r , ~ q
Demonstração :
1. p                  premissa
2. q ® r          premissa
3. ~r                premissa
4. ~q               Conclusão (2 e 3 : Modus Tollens)
Exemplo :Demonstrar a validade do argumento ~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
Demonstração :
1. ~p ® q         premissa
2. q ® ~ r        premissa
3. r Ú s              premissa
4. ~p ®~r      1.2. Silogismo Hipotético
5. ~r ® s        3. Def. de implicação
6. ~p ® s       4.5. Silogismo Hipotético
7. ~s ®~~p 6. Contraposição
8. ~s ® p       Conclusão 7. Negação

2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo B ® C , considera-se o antecedente B, como uma premissa adicional e o conseqüenteC será a conclusão a ser demonstrada.
De fato, sendo:
1. A1 , A2 , A3 ,... , An , B , C válido então
2. A1 , A2 , A3 ,... , An , B |¾ C isto é,
3. ((A1 Ù A2 ÙA3 Ù... Ù An ) Ù B ) ® C é tautologia
4. (A1 Ù A2 ÙA3 Ù... Ù An ) ® (B ® C) é tautologia (Importação e Exportação) e portanto
5. A1 , A2 , A3 ,... , An |¾ B ® C ou ainda,
6. A1 , A2 , A3 ,... , An, B ® C é válido
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento ~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
Demonstração :
1. ~p ® q   premissa
2. q ® ~ r   premissa
3. r Ú s         premissa
4. ~s             premissa adicional
5. r             3.4. Silogismo Disjuntivo
6. ~p ®~ r 1.2. Silogismo Hipotético
7. r ® p       6. Contraposição
8. p               Conclusão 5.7. Modus Ponens

3.DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A2 , A3 ,..., An, B considera-se a negação da conclusão~B como premissa adicional e conclui-se uma fórmula F (fórmula falsa do tipo a Ù~a)
De fato, sendo:
1.A1 , A2 , A3 ,..., An , ~ B |¾ F válido, temos
2.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾~ B ® F isto é,
3.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾~~ B Ú F (Def. implicação)
4.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾ B Ú F (Negação)
5.A1 , A2 , A3 ,..., An |¾B (Propriedade de F) ou ainda,
6.A1 , A2 , A3 ,... , An , B é válido.
Exemplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento
~p ® q , q ®~ r , r Ú s , ~ s ® p
1.~p ® q                premissa
2. q ® ~ r               premissa
3. r Ú s                     premissa
4. ~(~ s ® p)    premissa adicional
5.~p ®~ r             1.2. Silogismo Hipotético
6. ~r ® s               3. Def. de implicação
7. ~p ® s              5.6. Silogismo Hipotético
8. ~s ® p              7. Contraposição
9. ~(~ s ® p) Ù (~ s ® p) 4. 8. Conjunção
10. F

LOGÍCA- Tabela Verdades

2013-04-28T17:37:00.002-03:00

AS TABELAS VERDADE
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
· Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p	~p
V	F
F	V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.

p	q	p Ù q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.

p	q	p Ú q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p	q	p ® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

p	q	p « q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)

p	q	((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)
V	V	V	F	F	V	V
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	V	V	F	F
F	F	F	V	V	F	F

·NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2ⁿ. Assim, para duas proposições são 2² = 4 linhas; para 3 proposições são 2³ = 8; etc. Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :

p	q					r	((p Ù q) ® r )
V		V			V		V V
V		V			F		V F
V		F			V		F V
V		F			F		F V
F		V			V		F V
F			V	F			F V
F			F	V			F V
F			F	F			F V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (disjunção) Ú ("vel") e exclusivo Ú ( "aut") onde p Úq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).

p	q	((p Ú q) Ù ~ (p Ù q))
V	V	V F F V
V	F	V V V F
F	V	V V V F
F	F	F F V F

Cubo Magico

2012-12-28T14:51:00.001-02:00

O cubo de Rubik, também conhecido como cubo mágico, é um quebra-cabeça tridimensional, inventado pelo húngaro Ernő Rubik em 1974. Originalmente foi chamado o "cubo Mágico" pelo seu inventor, mas o nome foi alterado pela Ideal Toys para "cubo de Rubik". Nesse mesmo ano, ganhou o prémio alemão do "Jogo do Ano" (Spiel des Jahres). Ernő Rubik demorou um mês para resolver o cubo pela primeira vez. O cubo de Rubik tornou-se um ícone da década de 1980, década em que foi mais difundido.

O Cubo de Rubik é um cubo geralmente confeccionado em plástico e possui várias versões, sendo a versão 3x3x3 a mais comum, composta por 6 faces de 6 cores diferentes, com arestas de aproximadamente 5,5 cm. Outras versões menos conhecidas são a 2x2x2, 4x4x4 e a 5x5x5.

É considerado um dos brinquedos mais populares do mundo, atingindo um total de 900 milhões de unidades vendidas, bem como suas diferentes imitações.

Descrição

O invento, descendente dum protótipo 2x2x2, criado por Larry Nichols (Lavourensis Plenus) em Março de 1970, é um quebra-cabeça que consiste num cubo. Cada uma das suas seis faces está dividida em nove partes, 3x3, num total de 26 peças que se articulam entre si devido ao mecanismo da peça interior central fixa, oculta dentro do cubo.

História

O primeiro protótipo do cubo foi fabricado em 1974 quando Ernő Rubik era professor do Departamento de Desenho de Interiores da Academia de Artes e Trabalhos Manuais Aplicados de Budapeste (Hungria). Quando Rubik criou este quebra-cabeça, a sua intenção era criar uma peça que fosse perfeita, no que se refere à geometria, para ajudar a ilustrar o conceito da terceira dimensão aos seus alunos de arquitetura. A primeira peça que realizou foi em madeira e pintou os seus seis lados com seis cores distintas, para que, quando alguém girasse as faces do cubo, tivesse uma melhor visualização dos movimentos realizados.

Número de combinações possíveis no cubo de Rubik

Rotação de uma das partes do cubo.

Por uma parte podemos combinar entre si, de qualquer forma, todos os vértices, o que dá lugar a possibilidades.
Também temos as combinações dos cubos das arestas que são 12, existindo assim possibilidades.

Entretando, apenas metade dessas possibilidades são verdadeiras, uma vez que não é possível trocar duas arestas de lugar sem trocar também a posição de dois vértices, ou vice-versa.
Além disso, podemos girar todos os vértices, salvo um, sem mudar nada mais no cubo. A orientação do último vértice será determinada pela que orientação dos outros sete, e isto cria possibilidades. O mesmo deve ocorrer com as arestas, pois aparecem mais possibilidades.
No total, o número de combinações possíveis no Cubo de Rubik é:
= 43.252.003.274.489.856.000^[3]
Se alguém pudesse realizar todas as combinações possíveis a uma velocidade de 1 movimento por segundo, demoraria 1400 trilhões de anos, supondo que nunca repetisse a mesma combinação.

Teorias sobre a Resolução

O cubo de Rubik é um teste básico para problemas de busca e enumeração." diz Gene Cooperman . "Busca e enumeração é uma enorme área de pesquisas, abrangendo muitos pesquisadores trabalhando em diferentes disciplinas - da inteligência artificial às operações. O cubo de Rubik permite que os pesquisadores de diferentes disciplinas comparem seus métodos em um problema único e bem conhecido.
Os movimentos executados para resolver o cubo, na realidade são comutadores, definidos pela fórmula:
[a,b] = a * b * a ^ (-1) * b ^ (-1)

Solução ótima

Utilizando a teoria dos grupos, Gene Cooperman e Daniel Kunkle testaram não apenas movimentos individuais, mas também grupos de movimentos, de forma a otimizar a solução. Foram 100 milhões de movimentos por segundo, até chegar ao resultado final.
E parece haver espaço para melhorias nos cálculos. Em 1997, o professor de ciência da computação Richard Korf afirmou que a solução ótima para o cubo de Rubik é de 18 movimentos. Até então, o melhor método, chamado de método Fridrich, elaborado por Jessica Fridrich, possibilitava a resolução do cubo em menos de 1 minuto.

Algoritmo de Deus

Um algoritmo que conseguisse resolver qualquer cubo de Rubik no menor número de movimentos possíveis é designado por "algoritmo de Deus". Em 2005, o menor número de movimentos para resolver o cubo era de 28. Em 2007, passou a 26. Em 2010, foi provado que o número exato é 20. Para chegar a esse cálculo, alguns matemáticos, um engenheiro do Google e um programador dividiram o problema em 2.217.093.120 partes. A partir daí, os pesquisadores usaram a infraestrutura da companhia americana para processar os dados, chegando à conclusão.

Permutações, grupos e as Configurações do Cubo

Uma permutação é um rearranjo de um conjunto de objetos. Matrizes são convenientes para descrever permutações. Mas há um modo mais simples: a notação de ciclos. Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 →…→ Sn → S1 Os movimentos R; L; F; B; U; D permutam o conjunto das facetas. Um fato importante surge quando usamos a notação de ciclos: toda permutação se decompõe como "produto" de ciclos disjuntos.

Aplicação Prática

Uma das possíveis aplicações práticas desse algoritmo é, por exemplo, na Criptografia de Dados através da Permutação.

Recorde

O recorde mundial de menor tempo para solucionar o enigma do cubo mágico é de 5.66s conseguido pelo australiano Feliks Zemdegs em janeiro de 2011.

Variantes

Algumas variantes do cubo de Rubik:

Pocket Cube
(2×2×2)
Cubo de Rubik original
(3×3×3)
A vingança de Rubik
(4×4×4)
O cubo do Professor
(5×5×5)

Foram também criados versões 6×6×6 e 7×7×7, foram inventados por Panagiotis Verdes e são hoje vendidos pela V-Cubes.

Outras variantes

Outras das variantes consistem em interligar o poliedro utilizado. Na maioria foram inventadas por Uwe Mèffert:

Pyraminx
Skewb
MegaMinx
Skewb Diamond (Diamante) Fonte: Wikipédia

ASTRONOMIA: Família de estrelas e galáxias (Parte 1)

2012-08-28T19:47:00.001-03:00

Na astronomia moderna, uma constelação é uma área internacionalmente definida da esfera celeste. Essas áreas são agrupadas em torno deasterismos, padrões formados por estrelas importantes, aparentemente próximas umas das outras no céu noturno terrestre.

Há 88 constelações reconhecidas pela União Astronômica Internacional(UAI) desde 1922. A maioria delas inclui-se nas 48 constelações definidas por Ptolomeu em seu Almagesto, no século II; as outras foram definidas nos séculos XVII e XVIII, sendo que as mais recentes se encontram no céu meridional, definidas por Nicolas Louis de Lacaille em Coelum australe stelliferum (1763).

Existem também numerosas constelações históricas não reconhecidas pela UAI, bem como constelações reconhecidas em tradições regionais da astronomia ou astrologia, como a chinesa, a hindu ou a aborígine australiana.

AGLOMERADOS ESTELARES

Aglomerados estelares ou nuvens estelares são grupos de estrelas, dos quais se definem dois tipos: aglomerados globulares são grupos concentrados de centenas ou milhares de estrelas muito velhas que são gravitacionalmente ligadas, enquantoaglomerados abertos são grupos mais dispersos de estrelas, geralmente contendo menos que algumas centenas de membros, normalmente muito jovens. Aglomerados abertos são rompidos com o tempo pela influência gravitacional de nuvens moleculares gigantes, à medida que se movem pela galáxia, mas os membros do aglomerado continuam a mover-se aproximadamente na mesma direção, mesmo sem estarem mais gravitacionalmente ligados; eles então são conhecidos como associações estelares e, às vezes, de grupos em movimento.

Exemplos de aglomerados estelares visíveis a olho nu são as Plêiades, Híades e Praesepe (Messier 44).