Ciência de Garagem

Matemática - Volume 2 - Referências bibliográficas

2020-12-03T11:05:00.001-03:00

[1]	Leitão, H “Pedro Nunes e o Libro de Algebra”, Quaderns d’història de l’Enginyieria, volum XI, 2010, pp 09-18.
[2]	Areán-García, N. “A divisão do galego-português em português e galego, duas línguas com a mesma origem”, Revista Philologus, ano 17, No. 49, Jan/Abr 2011, pp 07-15.
[3]	Wikipedia, “História de Portugal”, acessado em Setembro de 2015: https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_de_Portugal
[4]	Mark, J. J. “Alexandria”, Ancient History Encyclopedia, April 2011: http://www.ancient.eu.com/alexandria/
[5]	Deaking, M. A. B. “Hypatia and her mathematics”, The American Mathematical Monthly, March 1994, volume 101, No. 3, pp 234-243.
[6]	Riddle, L. H. “Biographies of women mathematicians”, Agnes Scott College: http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/chronol.htm
[7]	de Heinzelin, J. "Ishango", Scientific American, 206:6 (June 1962) pp 105-116
[8]	Pereira, A. B. S. “A teoria da metempsicose pitagórica”, Universidade de Brasília, dissertação de mestrado em filosofia, 2010.
[9]	Cornelli, G. “O pitagorismo como categoria, historiográfica”, Centro de estudos clássicos e humanísticos da Universidade de Coimbra, 2011.
[10]	Fonseca, R. V. “Teoria dos números”, Centro de Ciências Sociais e Educação, Unversidade do Estado do Pará, 2011.
[11]	Commandino, F. “Elementos – livros I a VI, XI e XII”, Edições Cultura, 1944
[12]	Araújo, H.; Garapa, M.; Luís R. “Elementos de Euclides – Livros VII e IX”, Universidade do Funchal, 2005.
[13]	Wikipedia “Algoritmo de Euclides”, acessado em Setembro de 2015: http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_Euclidiano
[14]	Grenfell, B. P.; Hunt, A. S. “The Hibeh papyri”, London, 1906.
[15]	Abdulaziz, A. A. “On the Egyptian method of decomposing 2/n into unit fractions”, Historia Mathematica 35, 2008, pp 01–18.
[16]	Fowler, D. H.; Turner, E. G. "Hibeh papyrus i27: an early example of greek arithmetical notation", Historia Mathematica 10, 1983, pp 344-359.
[17]	Knorr, W. "Techniques of fractions in ancient egypt and greece", Historia Mathematica 9, 1982, pp 133-171.
[18]	Dey, S. K.; Dey, R. "Teaching arithmetic of fractions using geometry", Journal of Mathematics Education, 2010, vol. 3, No. 2, pp 170-182.
[19]	Lafferty, J. "Ancient wisdom: primes, continued fractions, the golden ratio and Euclid's GCD", Carnegie Mellon University, 2006, notas de aula.
[20]	Beeckmans, L. "The splitting algorithm for Egyptian fracions", Journal of Number Theory 43, 1993, pp 173-185.
[21]	Pitts, M. "Maya numbers & the Maya calendar - A Non-Technical Introduction to Maya gliphs – Book 2", Foundation for the advancement of mesoamerican studies, inc., 2009, acessível em Setembro de 2015: http://www.famsi.org/research/pitts
[22]	Maher D. W.; Makowski J. F. "Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions", Classical Philology 96, 2001, pp 376–399.
[23]	Collins D. C. "Continued fractions", MIT undergraduate journal of mathematics, pp 11-18.
[24]	Sykorova, I. "Fractions in ancient Indian mathematics", WDS'10 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 2010, pp 133–138.
[25]	Kosheleva O.; Kreinovich V. "Egyptian fractions revisited", Informatics in Education, 2009, Vol. 8, No. 1, pp 35–48.
[26]	Baptista, J. P.; Ferracioli, L. "Os grandes números", Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, no. 1, 2001, pp 130-140.
[27]	Tahan, M. (Prof. Júlio César de Mello e Souza) “O homem que calculava”, Grupo editorial Record.
[28]	Aiden H. "Anything but square: from magic squares to sudoku", Plus magazine, acessado em Setembro de 2015: https://plus.maths.org/content/anything-square-magic-squares-sudoku
[29]	Berryman, S. “Ancient atomism”, Stanford Encyclopedia of Philosophy: http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/atomism-ancient/, 2005.
[30]	Parry, R. “Empedocles”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2012: http://plato.stanford.edu/entries/empedocles/
[31]	Pereira, H. S. “Poliedros Platônicos”, Universidade Federal de Minas Gerais, monografia de pós-graduação em matemática para professores do ensino básico, 2011.
[32]	Russel, B. “History of Western Philosophy”, Simon & Schuster, 2007.

Matemática - Volume 4 - Ebook gratuito em PDF

2018-11-15T16:19:00.001-02:00

Os tópicos apresentados neste blog para o volume IV foram compilados em um livro eletrônico (e-book) em PDF: "Matemática: Uma abordagem histórica - Volume IV". Aborda a história da álgebra, desde os babilônios e egípcios, passando pelos gregos e hindus, adentrando na idade média e renascentismo até os tempos modernos. Em formato A5 (14,8 x 21 cm) e 264 páginas, é adequado para leitura em smpartphones e tablets. Possui um tamanho em arquivo de 14 MB. Para baixá-lo gratuitamente, clique aqui.

Boa leitura!

Matemática - Volume 4 - Epílogo

2018-11-15T15:59:00.000-02:00

A disciplina e o esforço empregados na aprendizagem sempre compensam.

Depois de muitas páginas e diversas histórias, chegamos ao fim de mais uma jornada pelas estradas da matemática. E nessa trajetória foi possível perceber os muitos percalços enfrentados pela mente humana para que a notação matemática alcançasse a maturidade de que usufrui presentemente. Porém, percebe-se que somente as boas idéias, ou antes as boas abordagens, é que serviram de alicerce para a construção do saber, haja vista as técnicas babilônicas e egípcias para lidar com a álgebra, com seus enunciados tanto do problema quanto da solução em linguagem natural: como deve ter sido difícil aos alunos aspirantes a escribas dessas civilizações aprenderem algo com tamanha aridez simbólica! Eis porque essas 'pedagogias' dissolveram-se com as areias do tempo, esquecidas no passado, ainda que em seu devido tempo tenham sustentado os conhecimentos algébricos que as sucederam. Séculos depois vieram os gregos com sua brilhante geometria e esta foi uma ferramenta eficaz e duradoura, o alicerce a partir do qual os árabes foram capazes de dar um passo além na álgebra, ampliando-a. Mas ainda era preciso mais, e de uma linguagem natural – associada a complexas construções geométricas – os matemáticos partiram para uma estruturação retórica, que serviu de base para a criação paulatina de símbolos, dos quais sobreviveram e se perpetuaram apenas os que se ajustaram adequadamente à progressiva abstração do cálculo algébrico, chegando à semiótica de que fazemos intensivo uso nas escolas. Mas se a notação matemática algébrica é tão mais eficaz que as abordagens anteriores, porque é tão difícil aprendê-la? A resposta para esta e outras questões associadas à dificuldade dos alunos de se interessarem pelas disciplinas talvez esteja justamente na forma de ensiná-las: começando sua vida escolar no jardim da infância, onde o lúdico e o poético são a tônica dos ensinamentos, ao entrarem no ensino fundamental essas mesmas crianças são colocadas em salas de aula com carteiras geometricamente dispostas como numa matriz numérica, posicionados de frente a uma lousa ou painel onde são escritas ou projetadas as lições pelo professor, por horas a fio, ao longo de semanas e anos sem fim. O que se conclui dessa metodologia é que a escola opera como uma nefasta maquinaria de doutrinação, onde as crianças são subitamente atiradas a um programa de ensino que privilegia o não pensar, o não imaginar, o não sonhar, mas tão somente o cumprimento às regras e procedimentos, padronizados e ajustados a uma conduta previsível e desejável, cronometrada e mensurada, numa estrutura taylorista imutável e excruciante, mas apropriada para suprirem no futuro, como mão-de-obra descartável, o serviço repetitivo e implacável das indústrias e dos grandes conglomerados empresariais, onde a cada um caberá um papel, uma função, um portar-se e um vestir-se rigidamente delimitados e restritos, ao longo de todas as suas vidas úteis, até que não reste a essas infelizes criaturas a condição de autômatos que se iludem bem sucedidos e realizados apenas porque foram capazes de comprar um teto, adquirir um ou outro carro do ano, realizar duas dúzias de viagens atropeladas nas férias e, claro, de terem colocado no mundo filhos para os quais desejam ardentemente o mesmo futuro ignóbil e abjeto, de tão eficiente que é essa doutrinação falaciosa do êxito.

É bem verdade que muitas iniciativas da área pedagógica têm buscado melhorar o ambiente escolar: salas com menos alunos, melhor disposição das carteiras para facilitar a comunicação, o convívio e a socialização de crianças ou adolescentes, além de técnicas pedagógicas as mais variadas e inovadoras, tão em voga nas melhores escolas. Melhores escolas em que?

Em preparar os alunos para melhor atenderem às demandas do mercado, é claro! A criatividade deve atender tão somente ao propósito de se fazer mais, melhor e por menos, com características 'disruptivas', cativando multidões ávidas a consumir, movimentando incalculáveis somas de dinheiro. Condicionados desde tenra idade a desejar coisas, através de uma propaganda de massa cientificamente ajustada, homens e mulheres gastam seus anos dourados trabalhando como nem as legiões de escravos trabalharam para construir pirâmides, no intuito desvairado de adquirir a última palavra em quinquilharia eletrônica, o mais novo supra-sumo tecnológico automotivo – fabricado aos milhões mas propagandeado como exclusivo – o imóvel, a roupa, o perfume, com o propósito de mostrar ao amigo, ao vizinho e ao alheio a medida de seu miserável sucesso. A crua verdade mostra apenas o retumbante fracasso de um modelo econômico e social que não se sustenta e que vem apertando o pescoço da humanidade como um laço de fôrca, a quem todos se entregam com júbilo, como se a condenação fosse a conclusão exitosa da vida. Quanta diferença da pedagogia dos antigos gregos, que buscavam estudar os mistérios do mundo e da vida através dos sentidos e da razão! Mestres e discípulos esmiuçavam os diversos ramos da filosofia por entre árvores e flores, em jardins cercados de fontes e obras de arte, procurando apreender o belo e o justo, no melhor laboratório de que dispomos até hoje: a natureza!

Resta-nos a pergunta: afinal, que educação queremos? Ou tornando a questão mais ampla: que vida desejamos?

Até o próximo volume!

O triângulo de Pascal e divisões com polinômios

2018-11-03T16:38:00.000-03:00

Blaise Pascal, pintura de autor anônimo, executada por volta de 1690.

O triângulo aritmético é certamente um dos objetos mais familiares na história da matemática, sendo atualmente mais conhecido como triângulo de Pascal, em homenagem ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662) que publicou os resultados de seus estudos nesta área na obra Traité du triangle arithmétique, em 1.653. O triângulo aritmético recebe o seu nome porque foi Pascal quem mais contribuiu na generalização de resultados já conhecidos, bem como apresentou novas propriedades, formuladas em um total de dezenove teoremas.

Fragmento do livro Traité du triangle arithmétique, de Blaise Pascal, destacando-se o triângulo aritmético, que hoje leva o seu nome.

Pascal foi uma criança prodígio, educado pelo pai – um coletor de impostos na cidade francesa de Rouen (a mesma onde Joana D’Arc morreu). Em 1.642, contando apenas 19 anos, Pascal iniciou um trabalho pioneiro projetando uma máquina de calcular, com a intenção de auxiliar o pai, que fazia muitas contas em seu trabalho. Após três anos de trabalho e 50 protótipos, ele apresentou sua primeira calculadora mecânica ao público em 1.645. Pascal projetou sua máquina para somar e subtrair dois números diretamente e multiplicar e dividir através de somas ou subtrações sucessivas. Foram produzidas e vendidas cerca de 20 destas máquinas, que posteriormente ficaram conhecidas pelo nome de Pascalinas.

Uma pascalina, a máquina de calcular projetada por Blaise Pascal e assinada pelo próprio.

Fato é que muitos séculos antes o triângulo aritmético já era conhecido, especificamente pelos gregos (com seus números figurados) e pelos hindus (em seus estudos relativos à combinatória e números binomiais). Por volta do século II a.C. o estudioso hindu Pingala já conhecia uma fórmula aditiva para a geração dos coeficientes binomiais que compõem o triângulo, cujo trabalho (do qual somente restam poucos fragmentos) é atestado posteriormente pelo comentarista hindu Varahamihira por volta de 505 d.C., quando fornece uma descrição detalhada da fórmula utilizada por Pingala. Por volta de 850 d.C. o matemático hindu Mahavira desenvolve uma fórmula diferente daquela apresentada por Pingala, utilizando-se da multiplicação para a geração dos coeficientes binomiais. O triângulo aritmético também foi estudados pelos árabes, sendo que o matemático persa Al-Karaji (953 a 1.029 d.C.) é o primeiro a fazer referência a ele; esse objeto matemático será abordado novamente pelo matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam.

O triângulo de Pascal, num texto árabe de 1.228 atribuído ao matemático Ibn Munim.

O triângulo aritmético também era conhecido na China no início do século XI d.C., quando aparece na obra Shi Suo Suan Shu – infelizmente perdida – do matemático chinês Jia Xian (1.010 a 1.070). Posteriormente, no século XIII, o matemático Yang Hui (1.238 a 1.298) apresenta o triângulo aritmético em sua obra Xiangjie Jiuzhang Suanfa, fazendo referência ao trabalho de Jia Xian.

O triângulo de Pascal composto por numerais de varas, conforme descrito em uma publicação do matemático chinês Zhu Shijie em 1.303. O título da página, traduzido, é: o antigo método gráfico dos sete quadrados multiplicadores.

A construção manual de um triângulo aritmético é bastante simples: tomando como base a ilustração do matemático Zhu Shijie, a primeira linha, que formará o topo do triângulo, terá uma única célula, cujo valor é 1; e cada linha subjacente terá, em seus extremos, células contendo o número 1 e células entre os extremos contendo o resultado da soma do valor das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente. Bom, mais fácil mostrar que falar! Comece então o triângulo com a primeira célula, contendo o valor 1:

Agora, na linha subjacente, as células (que se encontram ambas nos extremos) conterão o valor 1:

Na terceira linha, temos as células nos extremos com o valor 1:

E a célula intermediária conterá a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente, resultando no valor 2:

Na quarta linha o procedimento é o mesmo, com as células nos extremos assumindo o valor 1:

E as células intermediárias conterão a soma das células à esquerda e à direita da linha sobrejacente: para a primeira célula intermediária seu valor será a soma das células com os valores 1 e 2, resultando 3. E para a segunda célula intermediária seu valor será a soma das células contendo os números 2 e 1, também resultando 3:

Seguindo esta mesma linha de raciocínio, teremos para a quinta linha o seguinte resultado:

O resultado para as próximas seis linhas será:

Coeficientes binomiais são os termos de uma expressão binomial, que por sua vez é a soma, ou diferença, entre esses termos. Por exemplo:

$$ x+2 $$

$$ 3y+5z $$

$$ a-b $$

São todas expressões binomiais, cada uma contendo dois termos distintos. Quando elevamos uma expressão binomial a certa potência, há duas maneiras de expandí-la: uma é pela multiplicação sucessiva da expressão por ela mesma e outra é utilizando-se de um triângulo aritmético. Por exemplo, considere a expressão abaixo:

$$ \left ( a-b \right )^{3} $$

Calculando manualmente a potenciação deste binômio, temos:

$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left( a-b \right )\times \left ( a-b \right )\times \left ( a-b \right ) $$

$$ \left ( a-b \right )^{3}= \left ( a^{2}-2ab+b^{2} \right )\times \left ( a-b \right ) $$

$$ \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $$

Observe: o primeiro termo do binômio expandido, a, começa com a máxima potência (cubo) e vai decrescendo de uma potência a cada novo coeficiente até chegar à unidade no último termo:

$$ a^{0}b^{3}=1b^{3}=b^{3} $$

Por outro lado, o segundo termo, b, começa com a mínima potência (unidade) e vai crescendo até à máxima potência a cada novo coeficiente. Como o binômio consiste numa subtração entre seus dois termos, a expressão expandida contém coeficientes positivos e negativos, alternadamente. Saber o “jeitão” do binômio expandido é importante, pois quando utilizamos o triângulo de Pascal para obter essa mesma expressão, o que temos são apenas os valores numéricos multiplicados aos coeficientes; já as potências de cada coeficiente e se eles serão positivos ou negativos dependerá da expressão binomial original. Por exemplo, considere o binômio abaixo:

$$ \left ( 3y-2z \right )^{4} $$

Para saber como resulta este binômio expandido usando o triângulo aritmético, observamos o valor da potência: a correspondente linha do triângulo contém os valores dos coeficientes que serão multiplicados pelos termos do binômio. Assim, da quinta linha, temos:

E o binômio expandido ficará:

$$ \left [ \left ( 3y \right )^{4}\left ( 2z \right )^{0} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{3}\left ( 2z \right )^{1} \right ]+6\left [ \left ( 3y \right )^{2}\left ( 2z \right )^{2} \right ]-4\left [ \left ( 3y \right )^{1}\left ( 2z \right )^{3} \right ]+\left [ \left ( 3z \right )^{0}\left ( 2z \right )^{4} \right ] $$

$$ 81y^{4}-216y^{3}z+216y^{2}z{2}-96yz^{3}+16z^{4} $$

Como o binômio original consiste numa subtração entre seus dois termos, os coeficientes da expansão são positivos e negativos, alternadamente. Se o binômio original fosse uma soma, todos os coeficientes da expansão seriam positivos. O triângulo aritmético possui algumas características bem interessantes, por exemplo: a soma das células de uma linha corresponde a uma potência de 2:

$$ Linha=2^{n} $$

Observe:

Obtenção de potências de 2 a partir da soma das células de uma linha.

O triângulo aritmético também gera a sequência de Fibonacci, através da soma de suas linhas diagonais, conforme esquematizado em vermelho, a seguir:

Obtenção da sequência de Fibonacci a partir do triângulo de Pascal.

Se pintarmos de preto os elementos ímpares e de branco os elementos pares, o triângulo de Pascal assemelhar-se-á ao fractal conhecido como triângulo de Sierpinski. Esta semelhança torna-se mais precisa à medida que mais linhas do triângulo de Pascal são utilizadas; no limite, quando a quantidade de linhas tende a infinito, o padrão resultante no triângulo de Pascal torna-se de fato em um fractal de Sierpinski. De modo genérico, os números podem ser coloridos por outros parâmetros que não pares e ímpares, por exemplo, se são múltiplos de 3, 4, etc., resultando em outros padrões similares, mas todos gerando triângulos de Sierpinski. A figura a seguir mostra um triângulo de Pascal onde os números ímpares foram pintados de preto e os pares de branco, em um total de 31 linhas.

Triângulo de Pascal com números ímpares pintados de preto e pares pintados de branco. Observe a formação do padrão fractal de Sierpinski.

Este capítulo não estaria completo, e de resto toda a álgebra, se não o finalizássemos falando de um matemático árabe, neste caso de al-Samawal (1.130 a 1.180 d.C.). Ibn Yahya al-Maghribi al-Samawal nasceu em Bagdá e, apesar de pertencer a uma família judia, converteu-se ao islamismo em 1.163 depois de ter um sonho que lhe dizia para fazê-lo. Além de matemático, foi também astrônomo e um médico popular, tendo viajado por regiões hoje pertencentes ao Irã para tratar de seus pacientes, que incluíam príncipes. Escreveu um tratado matemático denominado Al-Bahir fi'l-jabr (O brilhante livro de cálculo), onde fornece as regras de sinais ao criar os conceitos de números positivos (excessos) e negativos (deficiências). Forneceu também regras para subtração de potências, como abaixo:

	$$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=-\left ( ax^{n}-bx^{n} \right ) $$	Se a > b

	$$ \left ( -ax^{n} \right )-\left ( -bx^{n} \right )=+\left ( bx^{n}-ax^{n} \right ) $$	Se a < b

Al-Samawal também descobriu e forneceu exemplos de divisão entre polinômios complexos. Seu primeiro exemplo mostra como resolver a divisão:

$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$

Para resolver esta divisão al-Samawal fazia uso de um quadro, tendo na primeira linha – abaixo, em amarelo – os nomes das potências em ordem decrescente; na linha seguinte – em azul – vinha o quociente (resultado da divisão) e na terceira linha – em branco – o dividendo (o polinômio que sofre a divisão); o divisor fica abaixo do dividendo, iniciando na mesma posição da maior potência do dividendo (ainda que a potência do divisor não bata) e preenchendo com zeros a colunas cuja potência é nula, conforme abaixo:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal

20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Al-Samawal começa dividindo 20x⁶ por 2x³, resultando 10x³, que é posicionado na respectiva coluna na linha azul:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Em seguida, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo. Deste modo, 10x³ é multiplicado por 2x³ resultando 20x⁶, que subtraído de 20x⁶ dá zero. Em seguida, 10x³ é multiplicado por zero que dá zero, que subtraído de 2x⁵ resulta 2x⁵; e assim sucessivamente seguindo este raciocínio para cada coluna, obtemos:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2	8	25	25	96	94	140	50	90	20

Finalizada esta etapa temos um novo dividendo, que é o que restou da divisão anterior. Mais uma vez, posicionamos na maior potência deste novo divisor o dividendo. Observe:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Em seguida, procedemos à divisão de 2 por 2, cujo resultado é 1, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do primeiro quociente:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0

Agora, uma nova linha branca é acrescentada à anterior e inicia-se a multiplicação do primeiro fator do quociente pelas potências do divisor, seguido de subtrações do dividendo, como apresentado no passo anterior:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8	20	20	86	94	140	50	90	20

Na última linha temos o novo dividendo, após o resultado desta nova divisão. Seguindo o procedimento indicado, o divisor é posicionado abaixo do dividendo, começando pela maior potência:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0

Agora, procedemos à divisão de 8 por 2, cujo resultado é 4, que é posicionado na linha azul imediatamente à esquerda do segundo quociente:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0
		4	20	0	66	54	140	50	90	20

Repetindo esta sequência tantas vezes quantas forem possíveis, temos o resultado final indicado no quadro abaixo, completo:

x⁶	x⁵	x⁴	x³	x²	x¹	x⁰	x^-1	x^-2	x^-3	x^-4
cubo cubo	mal cubo	mal mal	cubo	mal	coisa	número	parte	parte mal	parte cubo	parte mal mal
			10	1	4	10	0	8	2
20 2	2 0	58 5	75 5	125 10	96 0	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
0	2 2	8 0	25 5	25 5	96 10	94 0	140 0	50 0	90 0	20 0
	0	8 2	20 0	20 5	86 5	94 10	140 0	50 0	90 0	20 0
		0	20 2	0 0	66 5	54 5	140 10	50 0	90 0	20 0
			0	0 2	16 0	4 5	40 5	50 10	90 0	20 0
				0	16 2	4 0	40 5	50 5	90 10	20 0
					0	4 2	0 0	10 5	10 5	20 10
						0	0	0	0	0

Ou seja, o resultado da divisão dos polinômios longos:

$$ \frac{20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}} $$

Resulta exata e igual ao quociente obtido na linha azul com suas respectivas potências:

$$ 10x^{3}+1x^{2}+4x+10+8x^{-2}+2x^{3} $$

Esta descoberta de al-Samawal para a divisão de polinômios representou um avanço significativo e uma grande contribuição à álgebra de seu tempo. Apesar da aparente frivolidade, muito esforço e aplicação prática nula, isto não é uma verdade: por exemplo, a divisão de polinômios é fartamente encontrada como resultado do projeto e construção de filtros eletrônicos analógicos ou digitais de áudio (para a aplicação de efeitos sonoros os mais diversos) e vídeo (aplicação de efeitos visuais) que são, afinal, recursos de extrema importância na criação de conteúdo midiático.

Referências bibliográficas:

[1]	Rogers, E. “Islamic mathematics”, MATH 390: Islamic Mathematics, Univesity of Illinois at Urbana-Champaign, August 2008.
[2]	Wikipedia, “Pascal’s triangle”, acessado em Fevereiro/2018. Site: https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle.
[3]	Weisstein, E. W. "Figurate Number" From MathWorld. Acessado em Abril/2018. Site: http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html

Equações algébricas do 3° e 4° graus

2018-10-18T16:16:00.001-03:00

Pagode Ulun Danu do lago Bratan no Bali, Indonésia.

O estudo das seções cônicas auxiliaram em grande medida os primeiros estudos das equações algébricas do terceiro grau entre os árabes, pelas mãos do matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam (1.048 d.C. a 1.131 d.C.).

Um rubi acende na videira – Ilustração de 1.905 elaborada por Adelaide Hanscom Leesom para a tradução de Edward Fitzgerald do Rubayat de Omar Khayyam.

Khayyam em persa significa 'fabricante de tendas' e Omar teria adotado esse nome em memória de seu pai, que exercia esse ofício. Este brilhante matemático também é muito conhecido por sua famosa obra poética: Rubayat, que é o plural da palavra persa rubai, que significa quadras ou quartetos. Sendo um poema, o rubai consiste de quatro versos, dos quais o primeiro, o segundo e o quarto são rimados (no original) e o terceiro é branco. A poesia de Rubayat canta a existência humana, a brevidade da vida, o êxtase e o amor. Omar Khayyam desenvolveu em sua obra poética a concepção do êxtase do vinho como transcendência do homem, como se pode observar abaixo:

Rubai 5

Busca a felicidade agora, não sabes de amanhã.

Apanha um grande copo cheio de vinho,

Senta-te ao luar, e pensa:

Talvez amanhã a Lua me procure em vão.

Rubai 6

Não procures muitos amigos, nem busques prolongar

A simpatia que alguém te inspirou;

Antes de apertares a mão que te estendem,

Considera se um dia ela não se erguerá contra ti.

Rubai 7

Alcorão, o livro supremo, pode ser lido às vezes,

Mas ninguém se deleita sempre em suas páginas.

No copo de vinho está gravado um texto de adorável

Sabedoria que a boca lê, a cada vez com mais delícia.

Rubai 9

Que pobre o coração que não sabe amar

E não conhece o delírio da paixão.

Se não amas, que Sol pode te aquecer,

Ou que Lua te consolar?

Porém, Omar Khayyam foi famoso durante sua vida como matemático. Dos tratados que escreveu e que chegaram aos nossos dias temos Um comentário das dificuldades relativas aos postulados dos Elementos de Euclides, finalizado em 1.077 d.C., Da divisão de um quadrante de um círculo, sem data definida e por fim aquele que interessa a este capítulo: Das provas para problemas relativos a álgebra, este finalizado em 1.079 d.C[1]. Ele foi o primeiro a resolver geometricamente todo tipo de equação cúbica no que se refere às raízes positivas (nessa época os números negativos não eram aceitos). É no tratado de álgebra que encontraremos seus estudos sobre equações cúbicas, dividido em três partes: (i) equações que podem ser resolvidas com régua e compasso, (ii) equações que podem ser resolvidas por meio de seções cônicas e (iii) equações que envolvem o inverso da incógnita.

[1] Omar escreveu posteriormente um tratado sobre a extração da n-ésima raiz de números naturais, que infelizmente se perdeu.

Equações cúbicas e intersecção de seções cônicas – a primeira página de um manuscrito em dois capítulos, mantido na Universidade de Teerã – Irã.

Khayyam foi o primeiro matemático a classificar equações de um modo compreensivo, ainda que em termos modernos ele estivesse apenas verificando o grau de uma equação. O primeiro conjunto de equações com dois termos, ou binômios, ele as denominava equações simples, indicadas abaixo:

Binômios lineares, quadráticos e cúbicos
1.	$$ a=x $$
2.	$$ a=x^{2} $$
3.	$$ a=x^{3} $$
4.	$$ bx=x^{2} $$
5.	$$ cx^{2}=x^{3} $$
6.	$$ bx=x^{3} $$

O segundo conjunto era o que Omar denominava equações compostas, divididas em trinômios (equações com três termos) ou quadrinômios (equações com quatro termos), descritas abaixo:

Trinômios quadráticos
7.	$$ x^{2}+bx=a $$
8.	$$ x^{2}+a=bx $$
9.	$$ bx+a=x^{2} $$
Trinômios cúbicos redutíveis a equações quadráticas
10.	$$ x^{3}+cx^{2}=bx $$
11.	$$ x^{3}+bx=cx^{2} $$
12.	$$ cx^{2}+bx=x^{3} $$
Trinômios cúbicos
13.	$$ x^{3}+bx=a $$
14.	$$ x^{3}+a=bx $$
15.	$$ bx+a=x^{3} $$
16.	$$ x^{3}+cx^{2}=a $$
17.	$$ x^{3}+a=cx^{2} $$
18.	$$ cx^{2}+a=x^{3} $$
Quadrinômios em que a soma dos 3 termos é igual ao quarto termo
19.	$$ x^{3}+cx^{2}+bx=a $$
20.	$$ x^{3}+cx^{2}+a=bx $$
21.	$$ x^3+bx+a=cx^{2} $$
22.	$$ cx^{2}+bx+a=x^{3} $$
Quadrinômios em que os termos somados dois a dois igualam-se
23.	$$ x^{3}+cx^{2}=bx+a $$
24.	$$ x^{3}+bx=cx^{2}+a $$
25.	$$ x^{3}+a=cx^{2}+bx $$

Omar comenta em seu manuscrito quais equações já haviam sido anteriormente solucionadas, bem como descreve o seu método de solução de acordo com cada uma das 25 categorias de equações. Algebricamente falando, algumas destas categorias são idênticas, mas suas construções geométricas podem diferir. Em um excerto traduzido da obra de Khayyam, ele estabelece que um 'quadrado quadrado' – em linguagem moderna, o termo x⁴, é algo que “não existe na realidade de modo algum, mas sim no domínio da filosofia”. Ele continua sua explanação afirmando que “o que quer que seja obtido pela álgebra é obtido através de quatro termos: número, coisa ou raiz (x), quadrado (x²) e cubo (x³)”. A dimensionalidade fornecia a justificativa para isso, ao especificar que “número é um estado da mente independente de todas as magnitudes, não existindo na realidade”. Khayyam ia além, afirmando que “número somente vem à existência quando manifestado em alguma causa material”. Para o matemático, uma linha reta exprimia o objeto familiar aos leitores modernos como x. O quadrado, que expressamos por x², para Khayyam é “simbolizado por um quadrilátero de lados iguais e ângulos retos, cujo lado é igual à linha reta”. Finalmente, ele descrevia o cubo, que para nós seria o x³, como “um sólido limitado por seis superfícies iguais de quatro lados cada, todos os lados iguais, e com ângulos retos”. Estes quatro lados eram todos objetos do tipo linha reta (para nós, o x) e cada superfície era um quadrado (em nossa notação, o x²). Khayyam faz referência ao Elementos, de Euclides, para a construção de um cubo e afirma que “um objeto com mais de três dimensões é impossível”. De modo geral, as obras matemáticas árabes foram fortemente influenciadas pelos textos geométricos gregos, como os de Euclides, Arquimedes e Apolônio e, de modo mais específico, pela idéia de que um problema matemático não estaria totalmente solucionado sem uma prova, e estas provas eram geométricas. Por esse motivo, parte do projeto da matemática islâmica medieval foi justificar regras algébricas através da geometria, como o são as obras de Khayyam e outros matemáticos árabes, que resolveram algumas equações cúbicas propostas por Arquimedes através da intersecção de seções cônicas. Vejamos como se davam essas provas através de um dos problemas propostos por Omar Khayyam para um quadrinômio do tipo “um cubo, um quadrado e lados são iguais a um número”, ou seja:

$$ x^{3}+cx^{2}+b^{2}x=a^{3} $$

Em termos geométricos, pode-se afirmar que, dadas três quantidades substituídas por três segmentos de reta: verde, azul e vermelho, tais que possam ser representados conforme abaixo:

Todos com magnitudes conhecidas, construir um quarto segmento de reta laranja:

Cuja magnitude se deseja descobrir, tal que:

Um cubo perfeito construído com segmentos de reta laranja, somado a outro sólido cuja base é uma área com lados constituídos de segmentos de reta laranja e altura igual ao segmento de reta verde, somados a um terceiro sólido cuja base é uma área com lados constituídos de segmentos de reta azuis e altura igual ao segmento de reta laranja, forneçam uma magnitude igual ao volume do cubo cuja base é uma área com lados construídos de segmentos de reta azul e altura igual ao segmento de reta vermelho. Em termos algébricos, o somatório desses volumes é:

$$ x^{3}+cx^{2}+b^{2}x=a^{3} $$

O termo x³ (cubo para Khayyam) é o sólido laranja, o primeiro da esquerda para a direita na figura acima. A constante c corresponde à magnitude conhecida do segmento verde e o termo x² (quadrado para Khayyam) corresponde à área laranja do segundo sólido. A constante b² corresponde à área azul de magnitude conhecida do terceiro sólido e o termo x (raiz ou coisa para Khayyam) corresponde à magnitude do segmento laranja. Finalmente, a constante a³ corresponde ao sólido vermelho e azul de magnitudes conhecidas. Como a prática matemática daquele tempo insistia na manutenção da dimensionalidade, cada termo da equação polinomial era visto essencialmente como uma caixa retangular tridimensional. Assim, para Khayyam, encontrar a solução da equação cúbica reduzia-se à questão geométrica de encontrar um segmento de linha (no exemplo, o segmento laranja) a partir do qual três caixas pudessem ser construídas de tal modo que seus volumes combinados se igualassem a um volume conhecido. A solução do matemático para este problema depende do resultado de um par de áreas iguais, uma baseada na proposição 13 do Livro VI do Elementos de Euclides, que afirma que, dados três segmentos de reta com diferentes magnitudes:

Que unidos formam o diâmetro de um semi-círculo:

E sendo esse diâmetro perpendicular a outro segmento cuja altura toca a circunferência e divide o diâmetro conforme segue:

Então, a área de um quadrilátero formado pelo segmento laranja é igual à área de outro quadrilátero formado pelos segmentos do diâmetro dispostos da seguinte forma:

O outro resultado fornecendo um par de áreas iguais vem da proposição 12 do Livro II do Cônicas de Apolônio, que estabelece uma propriedade das hipérboles, afirmando que o produto das distâncias de um ponto qualquer sobre a curva em relação às assíntotas é uma constante. Assim, dados dois pontos quaisquer A e B sobre uma hipérbole retangular, cujas assíntotas[2] estão indicadas por retas tracejadas, abaixo:

[2] Assíntota é toda reta que é tangente a uma curva no infinito. Neste caso, a curva em questão é a hipérbole. Quando as assíntotas dessa hipérbole são perpendiculares entre si, diz-se que a hipérbole é retangular.

Os quadriláteros formados pelas distâncias destes pontos às assíntotas, assim definidos:

Guardam entre si a seguinte relação de igualdade em termos de área:

Para obter essas duas áreas iguais, Khayyam arranja os segmentos verde, azul e vermelho (todos com magnitudes conhecidas) da seguinte forma:

Em seguida, o matemático desenha um semi-círculo cujo diâmetro é a soma dos segmentos verde e vermelho:

A partir do segmento azul, duas retas perpendiculares entre si são traçadas, conforme indicado abaixo:

Em seguida, uma hipérbole é construída a partir do ponto localizado na extremidade esquerda do segmento de reta vermelho. Para desenhar essa hipérbole, o segmento vermelho foi dividido em quatro partes iguais; da intersecção das retas perpendiculares, quatro linhas auxiliares são traçadas, cada uma cruzando uma divisão do segmento vermelho. Por fim, são definidos pontos de cruzamento entre essas linhas auxiliares com outras quatro linhas auxiliares horizontais, cada uma das quais é traçada a partir do encontro das linhas auxiliares que saem da interseção das retas perpendiculares com a última divisão da linha vermelha (à esquerda), conforme abaixo:

Unindo adequadamente estes cruzamentos com segmentos de reta, obtém-se uma hipérbole retangular, onde as retas perpendiculares entre si são suas assíntotas, conforme a seguir:

Para atender à proposição 12 do Livro II de Cônicas o primeiro ponto sobre a hipérbole encontra-se na extremidade esquerda do segmento de reta verde; o segundo ponto é obtido do cruzamento da hipérbole com o semi-círculo; ligando-o à assíntota vertical, obtém-se o segmento de reta laranja:

Construindo os retângulos e nomeando seus vértices, temos:

Omar Khayyam apresenta sua solução em cinco etapas, sendo que a primeira consiste em mostrar que as áreas dos retângulos DFGH e ABCD são iguais. Como comentado antes, Apolônio estabeleceu uma propriedade das hipérboles definindo que o produto das distâncias às assíntotas entre dois pontos quaisquer sobre a curva é uma constante. Uma vez que os pontos H e A estão ambos na mesma hipérbole, com assíntotas FG e BC, conclui-se que os retângulos ABEF e CEGH possuem a mesma área. Como estes dois retângulos compartilham a área CEFD, significa que os retângulos subtraídos de CEFD – ou seja, DFGH e ABCD – também possuem a mesma área.

O segundo passo consiste em desenvolver a proporção:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{\left ( EC \right )^{2}}{\left ( CD \right )^{2}} $$

Uma vez que as áreas dos retângulos DFGH e ABCD são iguais, significa que:

$$ DA\times CD=HD\times FD $$

Ou ainda, na forma de uma proporção:

$$ \frac{DA}{HD}=\frac{FD}{CD} $$

Como EC é igual a FD, então podemos alterar a proporção anterior para:

$$ \frac{DA}{HD}=\frac{EC}{CD} $$

Se as razões acima são proporcionais, então seus quadrados também o são. Assim:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{\left ( EC \right )^{2}}{\left ( CD \right )^{2}} $$

[1]

No terceiro passo, Omar faz uso do semi-círculo para obter a seginte proporção:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{DJ}{HD} $$

Como o triângulo JAH está inscrito no diâmetro de um semi-círculo, pelo teorema de Tales ele é um triângulo retângulo. Então, os triângulos DHA e DJA também são retângulos e, de fato, são semelhantes. Sendo semelhantes, vale a proporção:

$$ \frac{HD}{DA}=\frac{DA}{DJ} $$

E, portanto:

$$ \left ( DA \right )^{2}=HD\times DJ $$

Dividindo ambos os termos por (HD)², vem:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{HD\times DJ}{\left ( HD \right )^{2}} $$

Finalmente:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{DJ}{HD} $$

[2]

No quarto passo, Khayyam demonstra a seguinte relação:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD=DJ\times \left ( DC \right )^{2} $$

Para chegar a esse resultado, ele combina os resultados obtidos previamente no segundo passo pela equação [1]:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{\left ( EC \right )^{2}}{\left ( CD \right )^{2}} $$

E no terceiro passo pela equação [2]:

$$ \frac{\left ( DA \right )^{2}}{\left ( HD \right )^{2}}=\frac{DJ}{HD} $$

Igualando as duas equações pelo termo comum [(DA)²/(HD)²]:

$$ \frac{\left ( EC \right )^{2}}{\left ( CD \right )^{2}}=\frac{DJ}{HD} $$

Basta multiplicar em cruz para chegar à relação desejada:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD=DJ\times \left ( DC \right )^{2} $$

[3]

Khayyam interpretou este resultado como um fato geométrico em termos de sólidos geométricos, afirmando que um sólido cuja base é um quadrado com lados de magnitudes iguais a EC e altura HD terá um volume igual a outro sólido cuja base seja um quadrado com lados de magnitudes iguais a DC e altura DJ. Finalmente, no quinto e último passo, Omar verifica que a magnitude do segmento construído e denominado DC satisfaz a equação cúbica. Para chegar a essa conclusão, ele afirma que uma vez que o ponto C está entre D e J, então vale a igualdade:

$$ DC+CJ=DJ $$

[4]

Isto significa que é possível dividir uma caixa cuja base tenha uma área igual a (DC)² e altura DJ em duas caixas menores: um cubo com volume (DC)³ mais uma caixa cuja base tenha uma área igual a (DC)² e altura CJ, que combinados com a equação [3] do quarto passo fornecem:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD=DJ\times \left ( DC \right )^{2} $$

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD=\left [ DC+CJ \right ]\times \left ( DC \right )^{2} $$

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD=\left ( DC \right )^{3}+CJ\times \left ( DC \right )^{2} $$

Somando agora cada lado da equação resultante com o volume:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times DC $$

Obtemos:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HD+\left ( EC \right )^{2}\times DC=\left ( DC \right )^{3}+CJ\times \left ( DC \right )^{2}+\left ( EC \right )^{2}\times DC $$

$$ \left ( EC \right )^{2}\times \left [HD+DC \right ]=\left ( DC \right )^{3}+CJ\times \left ( DC \right )^{2}+\left ( EC \right )^{2}\times DC $$

Como:

$$ HD+DC=HC $$

Então:

$$ \left ( EC \right )^{2}\times HC=\left ( DC \right )^{3}+CJ\times \left ( DC \right )^{2}+\left ( EC \right )^{2}\times DC $$

[5]

Observe: EC corresponde ao segmento azul, de magnitude conhecida; HC corresponde ao segmento vermelho, cuja magnitude também é conhecida; e finalmente o segmento CJ corresponde ao segmento verde, cuja magnitude também se conhece. Logo, o segmento DC, à direita da equação [5] é o valor da incógnita e, portanto, a solução da equação de terceiro grau, correspondendo ao segmento laranja.

Se a equação de Khayyam tivesse os seguintes valores para as constantes a (segmento verde), b (segmento azul) e c (segmento vermelho) e fosse representada desta maneira:

$$ y=x^{3}+7,9x^{2}+1,3x-2,1^{3} $$

E, a partir daqui, construíssemos uma tabela de pares ordenados, escolhendo uma faixa de valores para x, tal que:

$$ x=-8, -7, ..., -1, 0, +1, ..., +10, +11 $$
e obtivéssemos os correspondentes valores para y, facilmente montaríamos um gráfico para encontrar a curva correspondente a esse polinômio, semelhante ao indicado abaixo:

A distância entre a origem do gráfico até o ponto em que a curva corta a abcissa (indicado pela seta amarela) corresponde, na prova geométrica do matemático persa, ao segmento laranja, ou incógnita, com uma magnitude tal que permite construir as caixas cujos volumes combinados se igualam. É preciso observar que essa prova geométrica valeria para qualquer outra combinação dos segmentos. Por exemplo, se permutássemos as posições dos segmentos vermelho e azul da configuração original, obteríamos um semi-círculo cujo diâmetro seria a soma das magnitudes dos segmentos verde e azul, ao invés da soma dos segmentos verde e vermelho. Como resultado uma nova hipérbole regular e um novo segmento laranja, com magnitudes diferentes da solução anterior, seriam obtidos a partir desta construção; ainda assim, a prova geométrica permaneceria válida nos termos em que foi apresentada, pois não estariam sendo violadas nem a proposição de Apolônio, nem a de Euclides, nem o teorema de Tales, mas os volumes combinados das caixas obtidas com estes novos segmentos não se igualariam. Significa dizer que apenas uma das possíveis combinações geométricas entre os segmentos verde, azul e vermelho resulta em um segmento laranja cuja magnitude é a solução da equação cúbica. Uma das equações cúbicas apresentada na obra Das provas para problemas relativos a álgebra, de Omar Khayyam, foi parar na corte de Frederico II, do Sacro Império Romano, e envolveu nosso velho conhecido Fibonacci. Depois de sua viagem de estudos à Argélia – iniciada em 1.192 – onde seu pai mantinha um entreposto comercial e diplomático na cidade de Bugia, Fibonacci publica em seu retorno a Pisa o seu monumental Liber Abacci em 1.202. Porém, em 1.225, já amplamente reputado como um grande professor de matemática e escritor, lhe é concedida uma audiência formal com o imperador Frederico II, então um patrono do saber que desejava um encontro com esse expoente em matemática da Europa. Um dos membros dessa audiência, o matemático da côrte João de Palermo, propôs três problemas para Fibonacci resolver:

1. Três homens compartilhavam libras esterlinas, não sei quantas, das quais a metade pertencia ao primeiro, um terço ao segundo e um sexto ao terceiro; como eles queriam mantê-las em um lugar seguro, cada um deles tomou das libras alguma quantia, até que nada tenha restado. O primeiro devolveu metade do que tomou, o segundo devolveu um terço e o terceiro devolveu um sexto. Quando o total devolvido foi dividido igualmente entre os três homens, percebeu-se que cada um havia recebido o que lhe era por direito. Quantas libras esterlinas havia inicialmente e quanto cada homem tomou desse montante?

2. Encontre o número racional r tal que tanto r² + 5 quanto r² – 5 sejam quadrados racionais.

3. Encontre uma raiz da equação cúbica x³ + 2x² + 10x = 20.

O primeiro problema já foi abordado anteriormente no capítulo Os números negativos, no terceiro volume desta série, e envolve uma equação linear. O segundo problema foi explicado por Fibonacci em um tratado publicado naquele mesmo ano, chamado Liber Quadratorum (Livro dos Quadrados) e envolve uma equação quadrática.

Iluminura do livro “De arte venandi cum avibus”, tratado em latim sobre ornitologia e falcoaria escrito por Frederico II em 1.240 e dedicado a seu filho Manfred. Na imagem, o imperador com um falcão.

A solução para o terceiro problema é apresentado por Fibonacci em seu manuscrito Flos (Flor, também publicado em 1.225), bem como os dois problemas anteriores, e detalha como obter a raiz da equação cúbica, que ele denomina por μ, provando que esta raiz não é um inteiro, nem um racional, nem nenhuma das outras formas apresentadas no Livro X do Elementos, de Euclides. Ou seja, trata-se de um número irracional. Nesse estudo, Fibonacci afirma: “E porque não é possível resolver esta equação por nenhum dos métodos acima, trabalhei para reduzir a solução a uma aproximação”, e por fim ele estabelece que a raiz dessa equação é, aproximadamente:
$$ \mu \cong 1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 $$
Cuja notação sexagesimal traduzida para uma soma de frações fica:
$$ \mu \cong \frac{1}{60^{0}}+\frac{22}{60^{1}}+\frac{07}{60^{2}}+\frac{42}{60^{3}}+\frac{33}{60^{4}}+\frac{04}{60^{5}}+\frac{40}{60^{6}} $$
Em notação decimal, esta soma de frações corresponde a:
$$ \mu \cong 1,368808107\overline{85}... $$
Uma aproximação correta até a nona casa decimal! É possível que, para resolver essa equação cúbica, Leonardo de Pisa dispusesse de algum método numérico com o qual estava familiarizado. Um desses possíveis métodos é conhecido por Ruffini-Horner. Apesar do nome dado a dois matemáticos europeus que viveram entre os séculos XVIII e XIX – o italiano Paolo Ruffini (1.765 a 1.822) e o inglês William Horner (1786 – 1837), este método foi descrito pela primeira vez, ao que se sabe, no século XI pelo matemático chinês Jia Xian (~1.010 a ~1.070) em seu manuscrito Shi Suo Suan Shu (A chave para a matemática), obra esta que se perdeu. A primeira coisa a se fazer para utilizar este método é modificar a equação cúbica original, deixando-a como abaixo:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+2x^{2}+10x-20 $$
Em seguida, adotamos diferentes valores para x no intuito de zerar, ou encontrar a raiz, de f(x). Definindo para x o valor zero, temos:
$$ f\left ( 0 \right )=0^{3}+2.0^{2}+10.0-20 $$
$$ f\left ( 0 \right )=-20 $$
Como f(x) está longe de ser zero, escolhemos um novo valor para x, por exemplo, 1. Como resultado, temos:
$$ f\left ( 1 \right )=1^{3}+2.1^{2}+10.1-20 $$
$$ f\left ( 1 \right )=1+2+10-20 $$
$$ f\left ( 1 \right )=-7 $$
Ainda não foi desta vez que f(x) zerou, pois continua negativo. Então, adotando para x o valor 2, vem:
$$ f\left ( 2 \right )=2^{3}+2.2^{2}+10.2-20 $$
$$ f\left ( 2 \right )=8+8+20-20=36-20 $$
$$ f\left ( 2 \right )=16 $$
Observa-se que, além de f(x) não ter zerado, ele agora é positivo. Então o valor correto para x encontra-se entre 1 e 2, ou seja:
$$ 1< x< 2 $$
Com essa informação em mãos, podemos iniciar a aplicação do método Ruffini-Horner. Monte o esquema abaixo, posicionando à direita as constantes da equação cúbica:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+2x^{2}+10x-20 $$

Em seguida, à esquerda, colocamos a primeira estimativa para o valor da nossa raiz. Como a raiz é maior que 1 e menor que 2, então ela vale 1 vírgula alguma coisa. Nossa primeira estimativa, portanto, será 1:

Agora, aplica-se o algoritmo que caracteriza o método: multiplica-se o valor estimado da raiz (1) pela primeira constante (1), somado ao valor abaixo da primeira constante (que não há). O resultado é 1, que posicionamos abaixo da segunda constante (2):

Repete-se o algoritmo: multiplica-se a raiz (1) pela segunda constante (2), cujo resultado (2) é somado ao valor abaixo da segunda constante (1). O resultado é 3, que posicionamos abaixo da terceira constante (10):

Mais uma vez: multiplica-se a raiz (1) pela terceira constante (10), cujo resultado (10) é somado ao valor abaixo da terceira constante (3). O resultado é 13, que posicionamos abaixo da quarta constante (-20):

Feito isso, agora somamos os resultados parciais das colunas à direita, conforme abaixo:

Repete-se o procedimento anterior para a linha das somas parciais (números vermelhos), exceto para a última coluna à direita (-7 em cinza), que compõe o primeiro resultado da rodada. Executando o algoritmo, multiplica-se a raiz (1) pela primeira constante vermelha (1), cujo resultado (1) é somado ao valor abaixo da primeira constante vermelha (que não há). O resultado é 1, que posicionamos abaixo da segunda constante vermelha (3):

Mais uma vez: multiplica-se a raiz (1) pela segunda constante vermelha (3), cujo resultado (3) é somado ao valor abaixo da segunda constante vermelha (1). O resultado é 4, que posicionamos abaixo da terceira constante (13):

Agora, somam-se os resultados parciais das colunas à direita, conforme abaixo:

Repete-se o procedimento anterior para a nova linha de somas parciais (números azuis), exceto para a última coluna à direita (17 em cinza), que compõe o segundo resultado da rodada. Executando o algoritmo, multiplica-se a raiz (1) pela primeira constante azul (1), cujo resultado (1) é somado ao valor abaixo da primeira constante azul (que não há). O resultado é 1, que posicionamos abaixo da segunda constante azul (4):

Como não há mais números a serem multiplicados (pois o próximo já está destacado em cinza), resta-nos somar os resultados parciais das colunas à direita, conforme abaixo:

Esta rodada está completa, e os números em cinza formam a nova equação cúbica após a aplicação do algoritmo:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+5x^{2}+17x-7 $$
O próximo passo consiste em dilatar esse polinômio, multiplicando cada termo por um fator de dez, conforme abaixo:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}\times \left ( 10^{0} \right )+5x^{2}\times \left ( 10^{1} \right )+17x\times \left ( 10^{2} \right )-7\times \left ( 10^{3} \right ) $$
$$ f\left ( x \right )=x^{3}\times 1+5x^{2}\times 10+17x\times 100-7\times 1000 $$
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+50x^{2}+1700x-7000 $$
Com o polinômio dilatado, estimamos mais uma vez o valor de x de modo a zerar f(x). Fazendo x = 2, temos:
$$ f\left ( 2 \right )=2^{3}+50\times 2^{2}+1700\times 2-7000 $$
$$ f\left ( 2 \right )=8+200+3400-7000 $$
$$ f\left ( 2 \right )=-3392 $$
Como f(x) resultou negativo, aumentamos o valor de x para 3, resultando:
$$ f\left ( 3 \right )=3^{3}+50\times 3^{2}+1700\times 3-7000 $$
$$ f\left ( 3 \right )=27+450+5100-7000 $$
$$ f\left ( 3 \right )=-1423 $$
Como f(x) ainda é negativo, aumentamos o valor de x para 4, obtendo:
$$ f\left ( 4 \right )=4^{3}+50\times 4^{2}+1700\times 4-7000 $$
$$ f\left ( 4 \right )=64+800+6800-7000 $$
$$ f\left ( 4 \right )=664 $$
Como agora f(x) é positivo, então o número que compõe a raiz fica entre 3 e 4, ou seja:
$$ 3< x< 4 $$
O valor de x é 3 vírgula alguma coisa. Então nossa nova estimativa é 3. Aplicando o algoritmo como descrito nos passos anteriores, o resultado já consolidado será:

Esta rodada está completa, e os números em cinza formam a nova equação cúbica após a aplicação do algoritmo:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+59x^{2}+2015x-1747 $$
Ao dilatarmos esse polinômio, multiplicando cada termo por um fator de dez, temos:
$$ f\left ( x \right )=x^{3}\times \left ( 10^{0} \right )+59x^{2}\times \left ( 10^{1} \right )+2015x\times \left ( 10^{2} \right )-1747\times \left ( 10^{3} \right ) $$
$$ f\left ( x \right )=x^{3}+590x^{2}+201.500x-1.747.000 $$
A nova estimativa para x na tentativa de zerar o f(x), seguindo o procedimento anterior, será 6 vírgula alguma coisa. Então nossa nova estimativa é 6. Aplicando o algoritmo como descrito nos passos anteriores o resultado, já consolidado, será:

E assim sucessivamente vamos gerando o número irracional procurado. A raiz obtida até aqui é:
$$ \mu \cong 1,36... $$
Condizente com o resultado fornecido por Fibonacci. Havia, porém, um segundo método que ele poderia ter utilizado para resolver a equação cúbica, apresentado no capítulo 13 do Liber Abaci, intitulado Aqui começa o capítulo treze sobre o método Elchataym e como com ele quase todos os problemas de matemática são resolvidos. Leonardo explica que o método árabe al-khata’ayn (literalmente: “os dois erros”) pode ser traduzido como o método da posição falsa dupla, e que hoje conhecemos como interpolação linear. No início do capítulo 14 do Liber Abaci, Fibonacci usa uma modificação desta técnica para aproximar raízes cúbicas; portanto, esta técnica poderia ter sido utilizada para encontrar a resposta do terceiro problema proposto por João de Palermo. Esta técnica é semelhante àquela apresentada no capítulo Os números irracionais, no terceiro volume desta série. Para aplicar o método elchataym, adotamos o procedimento inicial apresentado no método Ruffini-Horner, em que estimamos o valor de x, de modo a zerar o valor de f(x). Nessa abordagem, para x igual a 1, f(x) vale -7; e para x igual a 2, f(x) vale 16. Para que f(x) seja igual a zero, x deve estar entre 1 e 2. Colocando em um gráfico (sem escala), temos:

Ligando os pares ordenados (x, f(x)) obtidos com as estimativas iniciais através de uma reta (vermelha, acima) interpolamos linearmente o eixo x de modo que o ponto em que este eixo é cortado corresponderá, aproximadamente, à raiz da equação cúbica. Deste modo, por semelhança de triângulos (respectivamente verde e azul), temos a seguinte proporção:
$$ \frac{16-\left ( -7 \right )}{2-1}=\frac{-7-0}{1-x} $$
Resolvendo, obtém-se:
$$ \frac{16+7}{1}=\frac{-7}{1-x} $$
$$ \frac{23}{1}=\frac{-7}{1-x} $$
$$ 23\left ( 1-x \right )=-7 $$
$$ 23-23x=-7 $$
$$ 23+7=23x $$
$$ x=\frac{30}{23}\cong 1,30434782... $$
A reta corta o eixo x no ponto 30/23. Apesar de aproximada, esta fração, ou número racional, não representa adequadamente a raiz da equação cúbica, pois a raiz é um número irracional. Assim, se substituirmos, na equação cúbica, o valor de x pelo valor decimal (aproximado) de 30/23, obteremos:
$$ f\left ( 1,3 \right )=\left ( 1,3 \right )^{3}+2\times \left ( 1,3 \right )^{2}+10\times \left ( 1,3 \right )-20 $$
$$ f\left ( 1,3 \right )=2,197+3,38+13-20 $$
$$ f\left ( 1,3 \right )=18,577-20 $$
$$ f\left ( 1,3 \right )=-1,423 $$
Nota-se que f(30/23) gera um racional negativo, ou seja, a interpolação está subestimada. Como o número irracional procurado está entre 1 e 2, outra estimativa válida seria calcular a média entre estes dois números, ou seja:
$$ x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=1,5 $$
Substituindo, na equação cúbica, o valor de x pelo valor decimal de 3/2, obtém-se:
$$ f\left ( 1,5 \right )=\left ( 1,5 \right )^{3}+2\times \left ( 1,5 \right )^{2}+10\times \left ( 1,5 \right )-20 $$
$$ f\left ( 1,5 \right )=3,375+4,5+15-20 $$
$$ f\left ( 1,5 \right )=22,875-20 $$
$$ f\left ( 1,5 \right )=2,875 $$
Observe: f(3/2) agora gera um racional positivo, ou seja, a média entre 1 e 2 gera um resultado superestimado. Se dispuséssemos estas frações em uma régua, a razão 30/23 seria posicionada proporcionalmente entre o número 1 e a fração 3/2:

Se 30/23 é menor que o número procurado e 3/2 é maior, então este número irracional encontra-se entre estes limites fracionários. Obtendo-se a média entre estas razões:

$$ x=\frac{\frac{30}{23}+\frac{3}{2}}{2}=\frac{\frac{60+69}{46}}{2}=\frac{129}{92}\cong 1,40217391... $$
Numa régua, a razão 129/92 será posicionada bem no meio entre as frações 30/23 e 3/2:

Substituindo, na equação cúbica, o valor de x pelo resultado decimal (aproximado) da fração 129/92, obtém-se:
$$ f\left ( 1,4 \right )=\left ( 1,4 \right )^{3}+2\times \left ( 1,4 \right )^{2}+10\times \left ( 1,4 \right )-20 $$
$$ f\left ( 1,4 \right )=2,744+3,92+14-20 $$
$$ f\left ( 1,4 \right )=20,664-20 $$
$$ f\left ( 1,4 \right )=0,664 $$
Observa-se que a fração 129/92 é maior que o número irracional procurado, pois a equação cúbica resultou positiva. Se 30/23 é menor que o número procurado e 129/92 é maior, então este número irracional encontra-se entre estes dois novos limites. Obtendo-se a média entre estas frações:
$$ x=\frac{\frac{30}{23}+\frac{129}{92}}{2}=\frac{\frac{120+129}{92}}{2}=\frac{249}{89}\cong 1,35326086... $$
Numa régua, a razão 249/184 será posicionada bem no meio entre as frações 30/23 e 129/92:

Substituindo, na equação cúbica, o valor de x pelo resultado decimal (aproximado) da fração 249/184, obtém-se:
$$ f\left ( 1,35 \right )=\left ( 1,35 \right )^{3}+2\times \left ( 1,35 \right )^{2}+10\times \left ( 1,35 \right )-20 $$
$$ f\left ( 1,35 \right )=2,460375+3,645+13,5-20 $$
$$ f\left ( 1,4 \right )=19,605375-20 $$
$$ f\left ( 1,4 \right )=-0,394625 $$
Observa-se que a fração 249/184 agora é menor que o número irracional procurado, pois a equação cúbica resultou menor que zero. Seguindo este procedimento de médias e cálculos da equação cúbica com as frações resultantes, aproximamo-nos, a cada rodada, do número irracional procurado. As frações obtidas nas próximas nove sequências, seguindo este método, são:
$$ \frac{507}{368}\cong 1,37771739... $$
$$ \frac{1.005}{736}\cong 1,36548913... $$
$$ \frac{2.019}{1.472}\cong 1,37160326... $$
$$ \frac{4.029}{2.944}\cong 1,36854619... $$
$$ \frac{8.067}{5.888}\cong 1,37007472... $$
$$ \frac{16.125}{11.776}\cong 1,36931046... $$
$$ \frac{32.241}{23.552}\cong 1,36892832... $$
$$ \frac{64.473}{47.104}\cong 1,36873726... $$
$$ \frac{128.995}{94.208}\cong 1,36883279... $$
Com mais algumas iterações, é possível alcançar a mesma precisão de nove casas decimais obtida por Fibonacci e até mais. Entretanto, a resposta ao problema está incorreta na última representação fracionária dada pelo matemático, cujo original é:
$$ 1;22,07,42,33,04,40 $$
Esta representação sexagesimal da raiz cúbica é um fato curioso, uma vez que toda a matemática apresentada em Liber Abaci está desenvolvida em base decimal. De todo modo, a expansão correta da raiz cúbica real tem continuidade com os termos a seguir:
$$ 1;22,07,42,33,04,38,30,50 $$

É possível que Fibonacci tenha cometido esse erro deliberadamente, pelo mesmo motivo que ocultou o seu método de solução: para que ninguém mais pudesse duplicar os seus resultados. Na época de Leonardo, os métodos de um estudioso eram valiosas moedas de troca para obter posições remuneradas com a nobreza, a realeza ou a igreja. Como tal, os estudiosos mantinham seus métodos em segredo de rivais e concorrentes. A audiência de Fibonacci com o imperador Frederico II foi uma excelente oportunidade para mostrar suas habilidades sem revelar seus métodos; para ele, o matemático João de Palermo representaria uma real ameaça ao segredo dos cálculos de que fazia uso, tendo sido uma razão mais que suficiente para que escondesse seus métodos, ao cobrir suas pegadas com um erro premeditado em sua resposta. Por fim, sabe-se que Fibonacci estudara os textos de Khayyam, de quem João de Palermo tomara emprestado o polinômio cúbico de seu terceiro enigma. As equações cúbicas voltariam a ser abordadas, porém sem uma solução geral, por algebristas italianos da região de Florença: em 1.463, Benedetto de Florença, ou Maestro Benedetto, conclui seu trabalho intitulado Trattato di praticha d'arismetica, um volume de 500 páginas dos quais os capítulos 13, 14 e 15 tratam especificamente de equações algébricas, começando com a reghola de algebra amuchable, que trata da solução de seis tipos de equações lineares e quadráticas, cujo texto é considerado uma tradução literal para o italiano de uma tradução latina da álgebra de al-Khwarizmi, seguido das bem conhecidas nomenclaturas para as potências de uma incógnita, tais como segue:

$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=censo=c\\ x^{3}=cubo=b\\ x^{4}=censo\,\, di\,\, censo=cc\end{matrix}\right. $$

O livro 14 deste tratado apresenta uma sequência de 140 problemas numéricos derivados de um manuscrito perdido denominado Trattato di Praticha, escrito pelo mestre florentino Biaggio, falecido por volta de 1.340. Vinte e oito destes problemas são mercantis. Os demais são teóricos, todos conduzindo a equações algébricas pertencentes a tipos solucionados por Benedetto no livro 13. Um destes problemas conduz à equação:

$$ \frac{1}{12}x^{2}+\left ( 2+\frac{1}{12} \right )x+12=x $$

Que, de acordo com Benedetto e Biaggio, non può essere (não pode ser) pois, de fato, essa equação não possui raízes reais. Já no livro 15 deste tratado, Maestro Benedetto inclui uma pequena biografia sobre Maestro Antonio Mazzinghi, que possuía um ateliê em Santa Trinità em Florença e que se tornou famoso não apenas com aritmética e geometria, como também com astrologia e música, tendo falecido por volta de 1.390. Deste outro algebrista, Benedetto cita vários problemas mais complexos, tal como este:

Encontrar três números em proporção contínua tais que sua soma seja igual a 19 e a soma de seus quadrados seja igual a 40.

Em notação moderna, teríamos:

$$ \left\{\begin{matrix}x+y+z=19\\ \frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=40\end{matrix}\right. $$

Porém, em nenhum destes trabalhos encontra-se uma solução geral para as equações cúbicas, de modo que na primeira obra publicada pelo frade e matemático italiano Luca Pacioli em 1.494 (o influente Summa de arithmetica...) ele conclui que para equações cúbicas e quárticas não foi possível até agora formar regras gerais, chegando a afirmar que a resolução das cúbicas era tão impossível quanto a quadratura do círculo! Interessante observar que a postura adotada pelos matemáticos medievais e renascentistas de guardar segredo de seus métodos de cálculo serviu de estopim para descobrir-se enfim a fórmula geral para encontrar as raízes de equações cúbicas e descortina uma história, no mínimo, rocambolesca, que começa por um lado com o matemático italiano Nicolau Fontana Tartaglia (1.499 /1.500 a 1.557).

O matemático italiano Nicolau Fontana Tartaglia.

Além de matemático, foi engenheiro (projetava fortificações), topógrafo (estudava o relevo na busca dos melhores pontos de defesa ou ataque), e um guarda-livros da então República de Veneza. Publicou muitos livros, entre os quais a primeira tradução para o italiano das obras de Arquimedes e de Euclides bem como uma aclamada compilação de matemática. Tartaglia também foi o primeiro a aplicar matemática na investigação da trajetória de projéteis, ou balística, em sua obra Nova Scientia (Nova Ciência); tempos depois, esse trabalho foi parcialmente validado e parcialmente superado pelos estudos de Galileu sobre as quedas de corpos livres.

Trajetória de uma bala de canhão, segundo a concepção de Tartaglia em seu Nova Scientia. Observa-se claramente pela ilustração que a trajetória da bala não é parabólica, um dos aspectos incorretos e posteriormente superados pelos estudos de Galileu Galilei.

Nicolau também chegou a publicar um tratado sobre a recuperação de navios afundados e ainda desenvolveu uma fórmula para calcular o volume de tetraedros (inclusive irregulares), conhecida por fórmula de Tartaglia. Nascido em Brescia e filho de Michele Fontana, um despachante que trabalhava na entrega de correspondências em cidades vizinhas, levava uma existência humilde, porém honesta, com seus pais e suas duas irmãs, tendo começado a frequentar a escola aos quatro anos de idade. A vida poderia ter sido muito diferente para Nicolau não fosse uma tragédia envolvendo sua família quando, em 1.506, então com seis anos de idade, Nicolau viu-se, junto com sua mãe e irmãs, entregues à pobreza após o assassinato de seu pai por assaltantes. Outra tragédia em 1.512 veio somar-se à anterior quando o rei francês Luis XII invadiu Brescia com suas tropas durante a guerra da Liga de Cambrai contra Veneza. As forças militares de Brescia defenderam a cidade por sete dias, sendo enfim derrotadas pelas tropas de Luis XII que, por vingança, mataram mais de 45.000 habitantes de Brescia ao final da batalha. Nicolau, então com doze anos, e sua família refugiaram-se no santuário da catedral da cidade durante a matança, mas o menino foi encontrado por um soldado francês, que com uma espada cortou sua mandíbula e seu pálato, sendo deixado para morrer. Sua mãe, sem dinheiro para pagar um médico, conseguiu salvar o filho lambendo-lhe as feridas; apesar dos desvelos de sua mãe, Nicolau nunca mais recuperaria sua fala normal e, já adulto, usava uma espessa barba para cobrir as fundas cicatrizes que carregava no rosto. Por conta das dificuldades na fala, Nicolau ganhou o apelido de Tartaglia, que significa “gago”. Há uma história que conta que sua mãe, com muito sacrifício, conseguiu juntar dinheiro suficiente para lhe pagar um tutor; os recursos – escassos – acabaram e com eles as aulas, quando Nicolau estava ainda na metade do alfabeto, valendo-se de seu próprio esforço para aprender o restante das letras e alfabetizar-se sozinho. Como auto-didata, possuía uma capacidade extraordinária para a matemática. Entretanto, todas as suas tentativas para aprender o latim fracassaram, motivo que o levou a escrever seus livros apenas em italiano, o que não era muito bem visto naquela época: ser erudito exigia o latim como pré-requisito. Fato é que ele e seus contemporâneos, trabalhando fora das universidades e academias, foram os grandes responsáveis pela difusão das obras clássicas em línguas modernas entre a então emergente classe burguesa letrada. O primeiro contato de Tartaglia com as equações cúbicas deu-se em 1.530, contando então com apenas 24 anos, mas um já respeitado matemático, quando um tal Zuanne de Tonini da Coi – um professor de matemática em Brescia de pouca relevância – mais por ousadia que por prudência, propôs a Tartaglia que solucionasse as duas equações cúbicas abaixo:

$$ \left\{\begin{matrix}x^{3}+3x^{2}=5\\ x^{3}+6x^{2}+8x=1000\end{matrix}\right. $$

Este evento é narrado por Tartaglia em sua obra Quesiti, notadamente no quesito XIV, nestes termos:

QUESITO XIV, proposto a mim em Verona por um Mestre Zuanne de Tonini da Coi, que possui uma escola em Brescia, e trazido a mim por Messer Antonio da Cellatico no ano de 1.530.

Mestre Zuanne – Encontre um número que multiplicado por sua raiz, incrementado de três, seja igual a cinco. De modo análogo, encontre três números tais que o segundo seja maior por dois que o primeiro e o terceiro seja maior por dois que o segundo e onde o produto dos três seja mil.

Nicolau – M. Zuanne: enviaste-me estas suas duas questões como algo impossível de resolver ou, ao menos, como não conhecidas por mim; porém, desenvolvendo-as pela álgebra, a primeira leva à equação de um cubo e 3 censos igual a 5, e a segunda conduz a um cubo e 6 censos e 8 coisas igual a 1.000. De acordo com Fra Luca e outros estas equações tem sido, até agora, consideradas de solução impossível por meio de uma regra geral. Acreditas que com tais questões, possas te colocar acima de mim, tentando aparentar-se um grande matemático. Ouvi dizer que fazes isto com todos os professores desta ciência em Brescia para que eles, por medo dessas perguntas, não se atrevam a conversar contigo; e talvez eles conheçam mais desta ciência que tu mesmo.

Mestre Zuanne – Entendo tanto quanto o que me escrevestes, e que consideras que tais casos são impossíveis.

Nicolau – Eu não disse que tais casos são impossíveis. De fato, para o primeiro caso, em que o cubo e o censo igualam-se a um número, estou convencido de ter encontrado a regra geral, mas no momento quero mantê-la em segredo por diversas razões. Para o segundo caso, em que o cubo e o censo e a coisa igualam-se a um número, confesso não ter sido capaz até o momento de encontrar uma regra geral. Entretanto, estou disposto a apostar contigo 10 ducados contra 5 de que não és capaz de resolver por uma regra geral as duas questões que me propusestes. E isto é algo pelo qual deverias corar, ao propor para outros aquilo que tu mesmo não compreendes, mas finges compreender, buscando alcançar a reputação de ser alguém grande.

O segundo capítulo desta curiosa história descerra-se com o matemático italiano Scipione Del Ferro (1.465 a 1.526). Nascido em Bolonha e professor de matemática na universidade desta mesma cidade, credita-se a ele a primazia pela descoberta de um método de solução de equações cúbicas reduzidas. Nos tempos de Del Ferro, sabia-se que a equação cúbica geral podia ser simplificada para um dos dois casos denominados equações cúbicas reduzidas, para quaisquer números positivos p, q e x. Por exemplo, considere a equação cúbica geral abaixo:
$$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $$
Onde a, b, c e d são reais e a é diferente de zero. Fazendo:
$$ x=y+z $$
Com z a ser determinado, substituindo na cúbica geral, vem:
$$ a\left ( y+z \right )^{3}+b\left ( y+z \right )^{2}+c\left ( y+z \right )+d=0 $$
Expandindo o polinômio:
$$ a\left ( y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3} \right )+b\left ( y^{2}2yz+z^{2} \right )+c\left ( y+z \right )+d=0 $$
$$ \left ( ay^{3}+3ay^{2}z+3ayz^{2}+az^{3} \right )+\left ( by^{2}2byz+bz^{2} \right )+\left ( cy+cz \right )+d=0 $$
Agrupando os termos comuns:
$$ ay^{3}+\left ( 3az+b \right )y^{2}+\left ( 3az^{2}+2bz+c \right )y+\left ( az^{3}+bz^2+cz+d \right )=0 $$
Impondo que:
$$ 3az+b=0 $$
Isolando z desta equação resulta:
$$ z=-\frac{b}{3a} $$
O primeiro par de parênteses do polinômio expandido (que está sendo multiplicado por y²) é nulo. A substituição do valor de z no segundo par de parênteses da equação com os termos comuns agrupados fornece:
$$ \left ( 3az^{2}+2bz+c \right ) $$
$$ \left ( 3a\left ( \frac{-b}{3a} \right )^{2}+2b\left ( \frac{-b}{3a} \right )+c \right ) $$
$$ \left ( 3a\frac{b^{2}}{9a^{2}}-\frac{2b^{2}}{3a}+c \right ) $$
$$ \left ( \frac{b^{2}}{3a}-\frac{2b^{2}}{3a}+c \right ) $$
$$ \left ( -\frac{b^{2}}{3a}+c \right ) $$
E a substituição do valor de z no terceiro par de parênteses da equação com os termos comuns agrupados fornece:
$$ \left ( az^{3}+bz^{2}+cz+d \right ) $$
$$ \left ( a\left ( \frac{-b}{3a} \right )^{3}+b\left ( \frac{-b}{3a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b}{3a} \right )+d \right ) $$
$$ \left ( \left ( \frac{-b^{3}}{27a^{2}} \right )+\left ( \frac{b^{3}}{9a^{2}} \right )+c\left ( \frac{-b}{3a} \right )+d \right ) $$
$$ \left ( \left ( \frac{-b^{3}+3b^{3}}{27a^{2}} \right )+c\left ( \frac{-b}{3a} \right )+d \right ) $$
$$ \left ( \frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{cb}{3a}+d \right ) $$
Assim, a equação cúbica:
$$ ay^{3}+\left ( 3az+b \right )y^{2}+\left ( 3az^{2}+2bz+c \right )y+\left ( az^{3}+bz^2+cz+d \right )=0 $$
Fica modificada conforme abaixo:
$$ ay^{3}+\left ( -\frac{b^{2}}{3a}+c \right )y+\left ( \frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{cb}{3a}+d \right )=0 $$
Por fim, multiplicando toda a equação por 1/a resulta:
$$ \frac{1}{a}\left [ ay^{3}+\left ( -\frac{b^{2}}{3a}+c \right )y+\left ( \frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{cb}{3a}+d \right ) \right ]=0 $$
$$ a\frac{1}{a}y^{3}+\frac{1}{a}\left ( -\frac{b^{2}}{3a}+c \right )y+\frac{1}{a}\left ( \frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{cb}{3a}+d \right )=0 $$
$$ y^{3}+\left ( -\frac{b^{2}}{3a^{2}}+\frac{1}{ca} \right )y+\left ( \frac{2b^{3}}{27a^{3}}-\frac{cb}{3a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=0 $$
Renomeando o segundo termo para:
$$ \left ( -\frac{b^{2}}{3a^{2}}+\frac{1}{ca} \right )=p $$
E renomeando o terceiro termo para:
$$ \left ( \frac{2b^{3}}{27a^{3}}-\frac{cb}{3a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=q $$
A equação cúbica geral fica reduzida a:
$$ y^{3}+py+q=0 $$
O que os matemáticos daquela época consideravam como os dois casos para equações cúbicas reduzidas seriam:
$$ \left\{\begin{matrix}y^{3}+py=q\\ y^{3}=py+q\end{matrix}\right. $$
Como os valores de a, b, c e d são conhecidos e como:
$$ \left\{\begin{matrix}x=y+z\\ z=-\frac{b}{3a}\end{matrix}\right. $$
Encontrando-se o valor de y facilmente chega-se ao valor de x, que é a raiz da equação cúbica original. Entretanto, nenhum manuscrito de Del Ferro sobreviveu, em grande parte devido à sua resistência em comunicar os resultados de seus trabalhos, prática comum naquela época. Ao invés de publicar suas idéias, ele as teria mostrado somente a um pequeno e seleto grupo de amigos e estudantes. Como visto no desafio de João de Palermo contra Fibonacci, era costume entre os matemáticos desafiarem-se uns aos outros. Quando um matemático aceitava o desafio de outro, geralmente cada matemático tinha que solucionar um conjunto de problemas propostos pelo seu oponente, dentro de um prazo fixado, numa quantidade previamente acordada e cujo conteúdo era mantido em segredo até a data da troca das listas contendo os problemas. Curiosamente, esses eventos atraíam grandes multidões, entre estudiosos das universidades, partidários dos desafiantes, membros da nobreza, da burguesia e a população em geral. Muitas vezes o perdedor era abandonado por seu patrono (que o financiava) ou era obrigado a deixar a posição que ocupava na universidade em que lecionasse. Ao vencedor desses confrontos a recompensa se traduzia essencialmente em estabilidade no emprego, novas ofertas de trabalho e até um reforço no aporte monetário oferecido por seu patrono, a quem era prestada assessoria matemática para assuntos, em geral, financeiros. É possível que Del Ferro temesse ser desafiado, daí porque mantivesse seu maior segredo profissional a salvo da concorrência, para que pudesse ser utilizado nessas situações. Especula-se que Scipione tenha trabalhado na busca dessa solução como consequência da breve passagem do prestigiado Luca Pacioli pela Universidade de Bolonha, entre 1.501 e 1.502, para proferir algumas palestras. Acredita-se que Pacioli tenha incentivado Del Ferro a tentar resolver esse problema, dada sua manifesta destreza em manipulações algébricas com radicais. Posteriormente, em 1.509, Pacioli publicaria sua tradução para o italiano do Elementos de Euclides, que acabou por se tornar uma fonte de conhecimento matemático para os seus conterrâneos não versados em latim. Os estudiosos italianos, dando continuidade ao trabalho desenvolvido por Euclides em seu livro X, aprofundaram-se no estudo das somas e diferenças de raízes quadradas, tais como:
$$ \left\{\begin{matrix}a+\sqrt{b}\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \sqrt{a}-\sqrt{b}\end{matrix}\right. $$
Estas somas eram denominadas binomiais (binomiums em latim) e as diferenças, restos (no latim, apotemes).

O frade franciscano Luca Bartolomeo de Pacioli, com um estudante à sua direita (talvez Guidobaldo da Montefeltro). Pintura atribuída a Jacopo de Barbari, de 1.495. Observe um sólido platônico no canto inferior direito da tela.

Ao longo dessas pesquisas, os estudiosos perceberam que a diferença de raízes quadradas representada por:
$$ x=\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}} $$
Ao ser elevada ao quadrado:
$$ x^{2}=\left ( \sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}} \right )^{2} $$
E desenvolvido o lado direito da igualdade:
$$ \left ( \sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}} \right )\times \left ( \sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}} \right ) $$
$$ \left ( \sqrt{a+\sqrt{b}} \right )^{2}-\sqrt{\left ( a+\sqrt{b} \right )\left ( a-\sqrt{b} \right )}-\sqrt{\left ( a-\sqrt{b} \right )\left ( a+\sqrt{b} \right )}+\left ( \sqrt{a-\sqrt{b}} \right )^{2} $$
$$ a+\sqrt{b}-\sqrt{a^{2}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}-\sqrt{a^{2}+a\sqrt{b}-a\sqrt{b}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}+a-\sqrt{b} $$
$$ 2a-\sqrt{a^{2}-b}-\sqrt{a^{2}-b} $$
Resultava em:
$$ x^{2}=2a-2\sqrt{a^{2}-b} $$
Ou seja, obtemos uma equação quadrática que perdeu o termo linear x. Não se sabe qual a abordagem utilizada por Del Ferro para gerar a sua fórmula, porém, do mesmo modo que os estudiosos faziam uso da soma e diferença de raízes quadradas para produzir equações quadráticas reduzidas (sem o termo x), procedimento similar teria sido utilizado por Del Ferro, somando e subtraindo raízes cúbicas para se chegar a uma equação cúbica reduzida (sem o termo quadrático: x²). Supondo que sua linha de raciocínio tenha seguido algo como a diferença entre raízes cúbicas, conforme abaixo:
$$ x=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-\sqrt[3]{a-\sqrt{b}} $$
Fazendo-se, por simplificação, as seguintes substituições:
$$ \left\{\begin{matrix}\alpha =\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}\\ \beta =\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}\end{matrix}\right. $$
Resulta:
$$ x=\alpha -\beta $$
Elevando ao cubo:
$$ x^{3}=\left ( \alpha -\beta \right )^{3} $$
Expandindo o binômio:
$$ x^{3}=\left ( \alpha -\beta \right )\times \left ( \alpha -\beta \right )\times \left ( \alpha -\beta \right ) $$
$$ x^{3}=\left ( \alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2} \right )\times \left ( \alpha -\beta \right ) $$
$$ x^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\beta ^{3} $$
Colocando 3αβ em evidência:
$$ x^{3}=\alpha ^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha -\beta \right )-\beta ^{3} $$
Mas x = (α – β), o que nos conduz à cúbica reduzida:
$$ x^{3}=\alpha ^{3}-\beta ^{3}-3\alpha \beta x $$
Restituindo a α e a β seus valores originais, temos:
$$ x^{3}=\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )^{3}-\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right )^{3}-3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right )x $$
Desenvolvendo o lado direito desta igualdade:
$$ x^{3}=a+\sqrt{b}-a+\sqrt{b}-3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right )x $$
$$ x^{3}=2\sqrt{b}-3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right )x $$
Rearranjando os termos:
$$ x^{3}+3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right )x=2\sqrt{b} $$
O que equivale a:
$$ x^{3}+px=q $$
Onde:
$$ p=3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right ) $$
E:
$$ q=2\sqrt{b} $$
Isolando a constante b da equação acima, temos:
$$ \frac{q}{2}=\sqrt{b} $$
$$ \left (\frac{q}{2} \right )^{2}=\left (\sqrt{b} \right )^{2} $$
$$ \left (\frac{q}{2} \right )^{2}=b $$
Seguindo o mesmo procedimento para isolar a constante a, vem:
$$ p=3\left ( \sqrt[3]{a+\sqrt{b}} \right )\left ( \sqrt[3]{a-\sqrt{b}} \right ) $$
$$ \frac{p}{3}=\sqrt[3]{\left (a+\sqrt{b} \right )\times \left (a-\sqrt{b} \right )} $$
$$ \left (\frac{p}{3} \right )^{3}=\left (\sqrt[3]{\left (a+\sqrt{b} \right )\times \left (a-\sqrt{b} \right )} \right )^{3} $$
$$ \left (\frac{p}{3} \right )^{3}=\left (a+\sqrt{b} \right )\times \left (a-\sqrt{b} \right ) $$
$$ \left (\frac{p}{3} \right )^{3}=a^{2}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b $$
$$ \left (\frac{p}{3} \right )^{3}=a^{2}-b $$
Como o valor de b já foi estabelecido temos que:
$$ \left (\frac{p}{3} \right )^{3}=a^{2}-\left ( \frac{q}{2} \right )^{2} $$
$$ a^{2}=\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3} $$
$$ a=\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3}} $$
Substituindo a e b na equação original:
$$ x=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-\sqrt[3]{a-\sqrt{b}} $$
Resulta:
$$ x=\sqrt[3]{\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3}}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}}}-\sqrt[3]{\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3}}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}}} $$
$$ x=\sqrt[3]{\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3}}+\left ( \frac{q}{2} \right )}-\sqrt[3]{\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left (\frac{p}{3} \right )^{3}}-\left ( \frac{q}{2} \right )} $$
$$ x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} $$
Finalmente, a fórmula tão zelosamente guardada por Del Ferro e descoberta por volta de 1.515, fica:
$$ x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} $$
Apesar da diligência de manter em sigilo a fórmula de solução da cúbica reduzida, Scipione possuía um caderno de anotações onde apontava todas as suas descobertas. Após sua morte em 1.526, esse caderno de anotações foi herdado pelo seu genro Aníbal della Nave, casado com a filha de Del Ferro, Filipa. Nave também foi um matemático formado por Scipione e, com a morte do sogro, acabou por substituí-lo na Universidade de Bolonha. Outro aluno de Scipione que teve acesso à solução da equação cúbica reduzida foi Antônio Maria del Fiore, que, ademais, não passava de um matemático irrelevante. Tal como seu mestre, não publicou a fórmula de que detinha a posse, mas resolveu usar este conhecimento secreto em um momento apropriado. De algum modo a notícia de que Tartaglia encontrara uma solução para a provocação de Zuanne da Coi com suas equações cúbicas chegou aos ouvidos de Del Fiore e este, desejoso de obter fama e prestígio entre os matemáticos, e acreditando no potencial de seu segredo, em 1.535 desafia publicamente o consagrado Tartaglia para uma disputa, que prontamente a aceita – acostumado que estava a estes embates matemáticos – principalmente porque nunca ouvira falar de Del Fiore. Os termos do desafio foram estabelecidos: cada um deveria propor a seu oponente uma lista de 30 problemas a serem encaminhados em um envelope, lacrado, a um tabelião. Uma vez de posse do envelope que lhe cabia, a cada desafiante seria dado um prazo de até 50 dias para solucionar sua lista, saindo vencedor aquele que resolvesse corretamente o maior número de problemas. Segundo certos historiadores, ao perdedor caberia pagar a conta de um banquete, a ser oferecido ao vencedor e a mais 30 de seus amigos. Por conta de sua experiência neste tipo de contenda, Tartaglia desconfiava que Del Fiore tivesse algum trunfo poderoso guardado na manga, do contrário não o teria desafiado, suspeita essa confirmada quando Tartaglia obteve a informação de que Del Fiore de fato conhecia um método de resolução para as equações cúbicas. Pressentindo que esta seria a tônica da lista de problemas de seu oponente, Tartaglia mergulhou de cabeça na tentativa de resolução das cúbicas do tipo:
$$ \left\{\begin{matrix}ax^{3}+bx=c\\ ax+b=x^{3}\end{matrix}\right. $$
no que foi plenamente coroado de êxito apenas uma semana antes da retirada dos envelopes; como já soubesse resolver as cúbicas do tipo:
$$ x^{3}+ax^{2}=b $$
aquando do desafio proposto por Zuanne da Coi, Tartaglia finalmente supunha-se bem municiado para enfrentar Del Fiore com segurança. Chega o dia 23 de Fevereiro de 1.535, data do confronto. Contando com uma grande platéia reunida para assistir à disputa, os envelopes são abertos e as suspeitas de Tartaglia ratificadas: a lista de seu oponente continha apenas problemas envolvendo equações cúbicas do tipo solucionado por seu mestre Del Ferro, do tipo:
$$ ax^{3}+bx=c $$
Já a lista de Tartaglia abordava diversos temas matemáticos e, entre as equações cúbicas, todas as formas por ele estudadas e solucionadas, para mostrar que eu tinha pouca consideração por Del Fiore e não tinha motivos para temê-lo, segundo suas próprias palavras. O resultado foi que em pouco mais de duas horas Tartaglia resolveu por completo a lista proposta por Del Fiore! Este, por sua vez, no mesmo intervalo de tempo não conseguiu resolver sequer um único problema da lista que tinha em mãos. Tartaglia completou a humilhação imposta a Del Fiore ao não aceitar deste o custeio do banquete a que tinha direito, desejando nada receber de um tão mau jogador. Depois deste triste episódio, ao pobre Del Fiore restou a obscuridade completa, e até hoje é lembrado apenas por ter pretendido obter fama e fortuna desafiando alguém muito mais competente que ele próprio... O último desdobramento desta história peculiar tem como personagem principal o matemático italiano Girolamo Cardano (1.501 – 1.576), também conhecido por sua alcunha latina Hieronymus Cardanus ou ainda Jérôme Cardan, em francês.

O matemático italiano Gerolamo Cardano.

Cardano foi um polímata (quem estuda ou domina muitas ciências), cujos interesses e proficiências abrangiam áreas tão díspares quanto matemática, medicina, biologia, física, química, astronomia, astrologia, filosofia, literatura e jogos. Atribui-se a ele a invenção parcial e a descrição de diversos dispositivos mecânicos, incluindo: o cadeado de combinação e o eixo cardan com juntas universais.

À esquerda: cadeado de combinação.À direita: o eixo cardan com juntas universais.

Acima: eixo cardan com juntas universais conectado entre o motor e o eixo traseiro do carro.

Filho ilegítimo do advogado Fazio Cardano – que por sua vez era amigo de Leonardo Da Vinci e a quem chegou a prestar auxílio em questões sobre geometria, tal era a sua experiência em matemática – com a jovem viúva Chiara Micheria. Além de sua prática jurídica, Fazio lecionava geometria, tanto na Universidade da Pávia quanto, por um período mais prolongado, na fundação Piatti em Milão. Com cerca de cinquenta anos, Fazio veio a conhecer Chiara Micheria, que era uma jovem viúva na faixa dos trinta, lutando para criar seus três filhos. Deste relacionamento, Chiara fica grávida de Girolamo, mas, antes de dar à luz, a peste bubônica atinge Milão e Chiara é persuadida a deixar a cidade para a segurança relativa da vizinha Pávia, junto aos ricos amigos de Fazio, onde Girolamo viria a nascer. Entretanto, a alegria de sua mãe dura pouco, quando pouco depois recebe a notícia de que seus três primeiros filhos haviam morrido em Milão, atingidos pela peste. Chiara morou afastada de Fazio por longos anos, porém, mais tarde na vida, vieram a se casar. Depois de uma infância deprimente, adoecendo com frequência e enfrentando a áspera educação de seu pai dominador, finalmente em 1.520 Cardano entra para a Universidade de Pávia atraído pela filosofia e ciências, contra o desejo de seu pai, que o queria estudando direito. No entanto, durante a guerra italiana de 1.521-1.526, as autoridades de Pávia foram obrigadas a fechar a universidade em 1.524. Cardano retomou seus estudos na Universidade de Pádua, formando-se em medicina em 1.525. Pouco tempo depois de sua mudança para Pádua seu pai falece, mas nesse interregno estava em plena campanha para o cargo de reitor. Apesar de aluno brilhante, era franco e deveras crítico, chegando ele mesmo a afirmar:

Isto reconheço eu como único e notável entre as minhas falhas: o hábito, no qual persisto, de preferir dizer, acima de tudo, o que sei que desagradará aos ouvidos dos meus ouvintes. Estou ciente disso, contudo mantenho-o deliberadamente, de modo algum ignorante de quantos inimigos faço para mim.

Todavia, sua campanha para reitor foi bem sucedida, superando o seu rival por um único voto. Por outro lado, Cardano desperdiçou a pequena herança que recebeu de seu pai ao transformá-la em apostas para aumentar suas finanças: jogos de cartas, dados e xadrez foram as ferramentas utilizadas para ganhar a vida. O jogo tornou-se-lhe um vício que por anos o consumiu, roubando-lhe valioso tempo, dinheiro e reputação. Sua facilidade em calcular probabilidades nos jogos que disputava (onde mais ganhava que perdia, apesar de tudo) fez com que escrevesse, em 1.526, o Liber de ludo aleae (Livro dos jogos de azar), antecipando-se em quase um século aos trabalhos que viriam a ser desenvolvidos nessa área por Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Já formado em medicina, Cardano busca unir-se ao Colégio de Médicos em Milão, onde sua mãe ainda vivia, lançando sua candidatura. O Colégio, porém, recusa-se em admití-lo, apesar do respeito que ganhara como estudante excepcional, dada sua reputação de homem de difícil trato; além disso, a descoberta do nascimento ilegítimo de Cardano ofereceu à junta do Colégio um motivo a mais para rejeitar seu pedido.

Batalha de Pávia, parte das guerras italianas – artista flamengo desconhecido (posterior a 1.525). Esta guerra colocou o rei Francis I da França e a República de Veneza contra o sacro imperador romano Carlos V, o rei Henrique III da Inglaterra e os estados Papais.

Nestas circunstâncias, e a conselho de um amigo, dirige-se a Sacco, uma pequena aldeia a 15 km de Pádua, iniciando uma não muito bem sucedida carreira médica. No final de 1.531 Cardano casa-se com Lucia Bandarini, filha de seu vizinho Aldobello Bandarini, um capitão da milícia local. Antes da morte da esposa, em 1.546, ganham três filhos: Giovanni Battista (1.534), Chiara (1.537) e Aldo (1.543); Cardano posteriormente escreveu que estes foram os anos mais felizes de sua vida. O ofício de médico em Sacco, todavia, não lhe proporcionava renda suficiente para sustentar uma esposa, de modo que, em abril de 1.532, mudam-se para Gallarate, perto de Milão. Novamente candidata-se ao Colégio de Médicos, e novamente tem seu pleito rejeitado. Incapaz de praticar a medicina em Gallarate, Cardano volta a jogar numa tentativa de ganhar dinheiro para pagar suas contas, mas as coisas correm tão mal que se vê forçado a penhorar as jóias de sua esposa e até mesmo parte da mobília. Buscando desesperadamente uma mudança de rumo, os Cardano mudam-se para Milão em 1.533, mas uma vez aqui a situação piora ainda mais, forçando-os a entrar ignominiosamente na pobreza. Mas então a sorte decide enfim sorrir ao desafortunado matemático quando lhe é oferecido o antigo posto de professor de matemática que pertencia a seu pai, Fazio, na fundação Piatti em Milão, dando-lhe tempo livre que foi logo aproveitado para tratar de alguns pacientes, apesar de não ser um membro do Colégio dos Médicos. Quis o destino que Cardano alcançasse algumas curas quase milagrosas e sua crescente reputação como médico o levou a ser consultado às ocultas até mesmo por membros do Colégio dos Médicos. Seus pacientes, curados e agradecidos, bem como seus familiares, tornaram-se seus adeptos fervorosos e, desta forma, Cardano constrói uma base influente de patrocinadores. Apesar do êxito logrado, ele ainda estava furioso com a sua contínua exclusão do Colégio e, em 1.536, publica de forma precipitada um livro atacando não só a habilidade médica, mas o caráter dos membros dessa instituição:

As coisas que mais reputação imprimem a um médico hoje em dia são os seus modos, serviçais, carruagens, roupas, esperteza e perspicácia, todos exibidos de uma maneira artificial e insípida...

Como o leitor poderá imaginar, definitivamente esta não é a melhor maneira de tratar um grupo de pessoas de quem se espera obter um favor; portanto, é óbvio que o novo pedido de Cardano, feito em 1.537 pleiteando uma vez mais o seu ingresso no Colégio de Médicos de Milão, foi uma vez mais rejeitado. No entanto, dois anos depois, após muita pressão de seus admiradores, o Colégio modificou a cláusula relativa a nascimentos legítimos, admitindo Cardano em seu quadro de associados. Ainda nesse mesmo ano (1.539), ele viria a publicar seus dois primeiros livros sobre matemática, sendo que o Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis (Prática da aritmética e medição simples) indica que feitos maiores estavam por vir. Este foi o início da prolífica carreira literária de Cardano em uma diversidade de temas: medicina, filosofia, astronomia e teologia, além de matemática. Foi ainda em 1.536, após os ataques de Girolamo contra a liga médica de Milão que entra em cena o último personagem desta trama: Ludovico Ferrari. Seu avô, Bartolomeu Ferrari, viu-se forçado a deixar o seu lar em Milão para instalar-se em Bolonha devido às guerras italianas – em que não somente as famílias poderosas do norte da Itália lutavam pelo controle das cidades dessa região, expandindo suas áreas de influência pela força, como também a França, o sacro imperador romano e o Papa tentavam abocanhar esses territórios com seus exércitos. Bartolomeu tinha dois filhos: Vicente e Alexandre, este último pai de Ludovico. Inicialmente criado na casa de seu pai, Ludovico passa a viver com seu tio Vicente depois que seu pai foi morto. Vicente tinha um filho, Luca, rapaz difícil, que um belo dia decide sair de casa e procurar emprego; viajando para Milão, descobre que Cardano está à procura de um criado. Conseguindo a vaga, porém, não se adapta ao trabalho e percebe algum tempo depois que sua situação era bem melhor na casa paterna, para onde volta sem dar satisfação alguma ao patrão.

Vista moderna da Galeria Vittorio Emanuele II, tradicional ponto turístico de Milão.

Mas Cardano entra em contato com Vicente Ferrari solicitando que lhe mande de volta o rebento para retomar o emprego como criado. Vicente, entretanto, vê neste retorno do filho rebelde uma oportunidade de mantê-lo por perto, e joga a responsabilidade do emprego nas costas do sobrinho. Assim, em 30 de Novembro de 1.536, contando apenas catorze anos, Ludovico chega à casa de Cardano para substituir o primo como criado da casa. O patrão, depois de descobrir que o menino sabia ler e escrever, escusa-o do serviço de criadagem para torná-lo seu secretário. Em pouco tempo constata que o jovem rapaz tem uma mente excepcional e decide ensinar-lhe matemática. Ferrari recompensou o seu mestre auxiliando-o em seus manuscritos e, quando contava apenas 18 anos, começou a lecionar. Em 1.541 Cardano declina gentilmente de sua posição na fundação Piatti de Milão, recomendando em seu lugar o jovem pupilo, que facilmente derrota em um debate o único rival para o posto, ninguém menos que o nosso já conhecido Zuanne da Coi! Deste modo, contando apenas vinte anos, Ferrari torna-se um conferencista público em geometria pela fundação. Um dos livros em que Ferrari prestou auxílio ao patrão e tutor foi o Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis, de 1.539. Durante a elaboração desta obra, Cardano estudou o Summa de arithmetica e leu os comentários de Luca Pacioli quanto à impossibilidade de solução das cúbicas; também, por muitos anos, tentou descobrir uma fórmula geral que as solucionasse, sem sucesso. Porém, no mesmo ano da publicação desta obra, Cardano tomou conhecimento da vitória retumbante na contenda de Tartaglia sobre Del Fiore envolvendo a resolução de equações cúbicas, ocorrida quatro anos antes, e ensaia uma aproximação com o matemático gago ao enviar o livreiro Zuan Antonio de Bassaro, seu preposto, para solicitar a Tartaglia que fornecesse o seu método de solução, pois que as fórmulas poderiam ser incluídas em um livro que estava para ser publicado em breve. Tartaglia recusou a proposta, informando que publicaria suas fórmulas em um livro de sua própria autoria. Cardano não desiste e escreve muitas e muitas vezes a Tartaglia, implorando para que revele seu segredo e, em todas, seu pedido é recusado. Mudando de estratégia, Cardano convida Tartaglia à sua residência com a promessa de apresentá-lo ao vice-rei e comandante-em-chefe espanhol em Milão, Alfonso D’Avalos, ciente que estava dos recentes progressos de Tartaglia nos estudos de balística com a publicação de seu livro Nova Scientia. Este contato soava tentador, pois poderia fornecer uma boa renda caso o vice-rei contratasse Tartaglia para prestar serviços relacionados à artilharia. O ardil funcionou e após aceitar o convite, em 25 de Março de 1.539 Tartaglia chega em Milão para hospedar-se na residência de Cardano, cuja promessa de apresentar o vice-rei mostra-se falaciosa. Para compensar o embuste, Cardano recebe Tartaglia com toda a hospitalidade e fidalguia possíveis, sem desistir de seu intento, solicitando ainda uma vez mais que o segredo de solução das cúbicas fosse revelado. Tartaglia, talvez lisonjeado com o tratamento recebido, enfim cede e aceita revelar sua fórmula, porém apenas mediante solene juramento, exigindo que Cardano jamais revelasse o método a ninguém, nem o publicasse. Girolamo assente a contragosto, proferindo o seguinte juramento:

Juro a você, pelas Sagradas Escrituras de Deus, e como verdadeiro homem honrado, não apenas jamais publicar suas descobertas se você me ensiná-las, como também prometo, e empenho minha fé como verdadeiro cristão, anotá-las em código, de forma que, após a minha morte, ninguém será capaz de entendê-las.

Não obstante, Tartaglia envia a resposta encriptada na forma de um poema, cujos versos (no original, em italiano) são os seguintes:

Quando che'l cubo con le cose appresso

se agguaglia a qualche numero discreto

trovan dui altri differenti in esso.

Da poi terrai questo per consueto

che il loro prodotto sempre sia eguale

al terzo cubo delle cose netto,

El residuo poi suo generale

delli lor lati cubi ben sottratti

varrà la tua cosa principale.

In el secondo dei codesti atti

quando che'l cubo restasse lui solo

tu osserverai quant'altri contratti.

Del numero farai due tal partà volo

che l'una in l'altra si produca schietto

el terzo cubo delle cose in stolo.

Dalla quale poi, per commun precetto

torra li lati cubi insieme gionti

et cotal somma sarà il tuo concetto.

El terzo poi de questi nostri conti

se solve col secondo se ben guardi

che per natura son quasi congianti.

Questi trovai, et non con passi tardi

nel mille cinqucente, quatro e trenta

con fondamenti ben saldi e gagliardi

Nella città dal mare intorno centa.

A tradução do poema para o português e sua equivalência matemática estão indicados abaixo:

Quando o cubo e a coisa juntos
correspondem a algum número discreto,	$$ x^{3}+px=q $$
encontre outros dois números subtraídos dele.	$$ u-v=q $$

Desde então, tenho mantido este costume
que o seu produto sempre deve ser igual
exatamente ao cubo de um terço da coisa.	$$ uv=\left ( \frac{p}{q} \right )^{3} $$

O resto, assim, como regra geral
de suas raízes cúbicas subtraídas
será igual à coisa principal.	$$ x=\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v} $$

No segundo destes atos,
quando o cubo permanece sozinho	$$ x^{3}=px+q $$
observarás estes outros contratos:

Dividirás a um só tempo o número em duas partes	$$ q=u+v $$
de modo que um vezes o outro produza claramente
o cubo de um terço da coisa exatamente.	$$ uv=\frac{p^{3}}{3} $$

Então, destas duas partes, como regra habitual
tomarás as raízes cúbicas somadas entre si
e esta soma será sua reflexão.	$$ x=\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v} $$

O terceiro destes cálculos	$$ x^{3}+q=px $$
é solucionado como no segundo se tomares bom cuidado,
pois em suas essências, estão quase equiparados.

Estas coisas encontrei, e não com passos vagarosos
no ano de mil quinhentos e trinta e quatro
com fundações fortes e resistentes
na cidade cercada pelo mar.	[Veneza]

Nas primeiras sete estrofes do poema, Tartaglia apresenta as soluções codificadas para as cúbicas do tipo:
$$ \left\{\begin{matrix}x^{3}+px=q\\ x^{3}=px+q\\ x^{3}+q=px\end{matrix}\right. $$
Fato é que Cardano consegue decifrar o poema de Tartaglia, ainda que tenha implorado, através de uma carta, que Tartaglia lhe explicasse como montar a equação com base no sexto e no décimo quinto versos que contêm, ambos, instruções dúbias. A solução encontrada por Cardano inicia-se com a equação cúbica geral abaixo:
$$ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 $$
Novamente, a, b e c são reais. A seguir, ele efetua a seguinte substituição:
$$ x=y-\frac{a}{3} $$
Com y a ser determinado, resultando na expressão abaixo:
$$ \left (y-\frac{a}{3} \right )^{3}+a\left (y-\frac{a}{3} \right )^{2}+b\left (y-\frac{a}{3} \right )+c=0 $$
Expandindo o polinômio:
$$ \left ( y^{3}-3y^{2}\frac{a}{3}+3y\frac{a^{2}}{9}-\frac{a^{3}}{27} \right )+a\left ( y^{2}-2y\frac{a}{3}+\frac{a^{2}}{9} \right )+b\left ( y-\frac{a}{3} \right )+c=0 $$
$$ \left ( y^{3}-y^{2}a+y\frac{a^{2}}{3}-\frac{a^{3}}{27} \right )+\left ( y^{2}a-2y\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{3}}{9} \right )+\left ( yb-b\frac{a}{3} \right )+c=0 $$
Agrupando os termos comuns:
$$ y^{3}+\left ( a-a \right )y^{2}+\left ( \frac{a^{2}}{3}-\frac{2a^{2}}{3}+b \right )y+\left ( \frac{a^{3}}{9}-\frac{a^{3}}{27}-\frac{ba}{3}+c \right )=0 $$
$$ y^{3}+\left ( -\frac{a^{2}}{3}+b \right )y=\left ( -\frac{2a^{3}}{27}+\frac{ba}{3}-c \right ) $$
Renomeando o segundo termo para:
$$ \left ( -\frac{a^{2}}{3}+b \right )=p $$
E renomeando o terceiro termo para:
$$ \left ( -\frac{2a^{3}}{27}+\frac{ba}{3}-c \right )=q $$
A equação cúbica geral fica reduzida a:
$$ y^{3}+py=q $$
Com a cúbica reduzida em mãos, Cardano lança mão de um cálculo volumétrico, agrupando cubos e paralelepípedos reais, certamente guiado pela prática árabe da “completude do quadrado” de Khwarizmi e pela “completude do cubo” de Khayyam; neste caso, u e v compõem os lados de um cubo completo:

Observe:

·	Volume do cubo rosa:	$$ v^{3} $$
·	Volume do cubo verde:	$$ \left ( u-v \right )^{3} $$
·	Volume do paralelepípedo incolor:	$$ uv\left ( u-v \right ) $$
·	Volume do paralelepípedo azul:	$$ uv\left ( u-v \right ) $$
·	Volume do paralelepípedo amarelo:	$$ v^{2}\left ( u-v \right ) $$
·	Volume do paralelepípedo vermelho:	$$ v\left ( u-v \right )^{2} $$

O volume total será igual à soma dos volumes parciais:

$$ u^{3}=v^{3}+\left ( u-v \right )^{3}+uv\left ( u-v \right )+uv\left ( u-v \right )+v^{2}\left ( u-v \right )+v\left ( u-v \right )^{2} $$

Resolvendo:
$$ u^{3}-v^{3}=\left ( u-v \right )^{3}+2uv\left ( u-v \right )+uv^{2}-v^{3}+v\left ( u^{2}-2uv+v^{2} \right ) $$
$$ u^{3}-v^{3}=\left ( u-v \right )^{3}+2u^{2}v-2uv^{2}+uv^{2}-v^{3}+u^{2}v-2uv^{2}+v^{3} $$
$$ u^{3}-v^{3}=\left ( u-v \right )^{3}+3u^{2}v-3uv^{2} $$
$$ u^{3}-v^{3}+3uv\left ( u-v \right )-\left ( u^{3}-v^{3} \right )=0 $$
Fazendo:
$$ y=u-v $$
A expressão cúbica anterior transforma-se em:
$$ y^{3}+3uvy-\left ( u^{3}-v^{3} \right )=0 $$
Novamente temos uma cúbica reduzida, ou seja, u – v é uma solução para:
$$ y^{3}+py+q=0 $$
Assim, fazendo:
$$ p=3uv $$
E:
$$ q=-\left ( u^{3}-v^{3} \right ) $$
Isolando-se v de p, vem:
$$ v=\frac{p}{3u} $$
Substituindo-se v em p na expressão com q:
$$ q=-u^{3}+\frac{p^{3}}{27u^{3}} $$
Multiplicando-se esta expressão por u³, vem:
$$ u^{3}q=-u^{6}+\frac{p^{3}}{27} $$
$$ u^{6}+u^{3}q-\frac{p^{3}}{27}=0 $$
Podendo ser reescrita como:
$$ \left ( u^{3} \right )^{2}+\left ( u^{3} \right )q-\frac{p^{3}}{27}=0 $$
Que é quadrática em u³, cuja solução é conhecida:
$$ u^{3}=\frac{q\pm \sqrt{q^{2}-4\times 1\times -\frac{p^{3}}{27}}}{2} $$
Simplificando a expressão acima, obtemos duas raízes:
$$ u_{1}^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}} $$
$$ u_{2}^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}} $$
Extraindo-se as raízes cúbicas:
$$ u_{1}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}}} $$
$$ u_{2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}}} $$
Para encontrar o valor de v³, temos:
$$ q=\left ( u^{3}-v^{3} \right ) $$
$$ v^{3}=u^{3}-q $$
Encontrando-se, também, duas soluções:
$$ v_{1}^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}}-q=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{p}{3} \right )^{2}} $$
$$ v_{2}^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}-q=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}} $$
Extraindo-se as raízes cúbicas:
$$ v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}} $$
$$ v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}} $$
Assim, as soluções da cúbica reduzida serão:
$$ y=u_{1}-v_{1} $$
$$ v_{2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}} $$
Ou ainda:
$$ y=u_{2}-v_{2} $$
$$ v_{2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}} $$
A segunda solução gera números negativos, de modo que Cardano aceitava apenas a primeira solução como resposta de uma cúbica. Vejamos um exemplo de como utilizar esta fórmula, baseada nos versos de Tartaglia, através da equação cúbica abaixo:
$$ x^{3}+6x=20 $$
Como esta expressão já é uma cúbica reduzida, onde p = 6 e q = 20, bastará aplicar a primeira solução da cúbica, ou fórmula de Cardano para encontrar a raiz cúbica da equação:
$$ x=\sqrt[3]{\frac{20}{2}+\sqrt{\left ( \frac{20}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{6}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{20}{2}+\sqrt{\left ( \frac{20}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{6}{3} \right )^{3}}} $$
$$ x=\sqrt[3]{10+\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{\left ( 10 \right )^{2}+\left ( 2 \right )^{3}}} $$
$$ x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{108}} $$
Finalmente, chega-se ao resultado:
$$ x=\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}-\sqrt[3]{-10+6\sqrt{3}} $$
Se calcularmos as raízes quadradas e cúbicas da resposta acima, chegaremos à conclusão de que x vale rigorosamente 2, algo que Cardano também observou, mas não foi capaz de provar. Outra situação com que ele se defronta é que sua fórmula às vezes gerava raízes quadradas de números negativos, algo insolúvel e sem significado naquela época. Uma das equações estudadas pelo matemático que conduz a esse resultado está indicada abaixo:
$$ x^{3}-15x=4 $$
Onde p = –15 e q = 4. Aplicando a fórmula, obtemos:
$$ x=\sqrt[3]{\frac{4}{2}+\sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{-15}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{4}{2}+\sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{-15}{3} \right )^{3}}} $$
$$ x=\sqrt[3]{2+\sqrt{\left ( 2 \right )^{2}+\left ( -5 \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{\left ( 2 \right )^{2}+\left ( -5 \right )^{3}}} $$
$$ x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}} $$

Por conta destes resultados com raízes quadradas negativas, em 4 de Agosto de 1.539 Cardano escreve outra carta a Tartaglia que começa com o seguinte teor:

Venho por meio desta questioná-lo, após a solução de vários problemas para os quais não me destes nenhuma resposta, um dos quais diz respeito ao cubo igual a uma incógnita mais um número. Tenho a certeza de que compreendi esta regra, mas quando o cubo de um terço da incógnita é maior em valor que o quadrado da metade do número, então, ao que parece, não consigo ajustá-los à fórmula.

Tartaglia tampouco conhecia os números complexos e a esta altura encontrava-se já muito arrependido por ter ensinado sua fórmula a Cardano, de modo que tentou confundí-lo nestes termos:

... e por isso digo-te em resposta que ainda não dominastes o verdadeiro método para solucionar problemas deste tipo, e de fato diria que teus métodos são totalmente falsos.

Mesmo com as tentativas de Tartaglia de confundir Cardano e Ferrari, a verdade é que essa dupla fez progressos notáveis e tiveram até uma ajudinha do pertinaz Zuanne Tonini da Coi quando este, em 1.540, importuna Cardano propondo-lhe o seguinte problema (que até então ninguém havia solucionado, e do qual – julgavam os matemáticos – fosse insolúvel):

Encontre-me três números, em proporção contínua, dos quais a soma seja dez e o produto do segundo pelo terceiro seja seis.

Este problema colocado em termos matemáticos:

$$ \left\{\begin{matrix}\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\\ x+y+z=10\\ y\times z=6\end{matrix}\right. $$

E desenvolvido, conduz à problemática equação quártica:

$$ y^{4}+6y^{2}+36=60y $$

Depois de desistir de encontrar uma solução, Cardano entrega o problema a Ferrari, que em 1.540, de forma brilhante, com um belo argumento algébrico e utilizando radicais, descobre a solução geral das equações quárticas. A abordagem utilizada por Ferrari é indicada a seguir. Do mesmo modo que para equações quadráticas e cúbicas, uma equação quártica geral qualquer:

$$ ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0 $$

Poderá ser simplificada, de modo a eliminar o seu termo cúbico (ou seja, o x³), gerando uma nova equação quártica reduzida. Sendo a, b, c, d e e reais, com a diferente de zero e fazendo:

$$ x=y+z $$

Com z a ser determinado, substituindo na quártica geral, vem:

$$ a\left ( y+z \right )^{4}+b\left ( y+z \right )^{3}+c\left ( y+z \right )^{2}+d\left ( y+z \right )+e=0 $$

Expandindo os polinômios, temos:

$$ \left ( y+z \right )^{4}=\left ( y^{4}+4y^{3}z+6y^{2}z^{2}+4yz^{3}+z^{4} \right ) $$

$$ \left ( y+z \right )^{3}=\left ( y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3} \right ) $$

$$ \left ( y+z \right )^{2}=\left ( y^{2}+2yz+z^{2} \right ) $$

Multiplicando pelas respectivas constantes:

$$ a\left ( y^{4}+4y^{3}z+6y^{2}z^{2}+4yz^{3}+z^{4} \right )=ay^{4}+4ay^{3}z+6ay^{2}z^{2}+4ayz^{3}+az^{4} $$

$$ b\left ( y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3} \right )=by^{3}+3by^{2}z+3byz^{2}+bz^{3} $$

$$ c\left ( y^{2}+2yz+z^{2} \right )=cy^{2}+2cyz+cz^{2} $$

$$ d\left ( x+y \right )=dx+dy $$

Agrupando os termos comuns:

$$ ay^{4} $$

$$ \left ( 4az+b \right )y^{3} $$

$$ \left ( 6az^{2}+3bz+c \right )y^{2} $$

$$ \left ( 4az^{3}+3bz^{2}+2cz+d \right )y $$

$$ \left ( az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e \right ) $$

Impondo que:

$$ \left ( 4az+b \right )=0 $$

Isolando z desta equação resulta:

$$ z=\frac{-b}{4a} $$

O primeiro par de parênteses do polinômio expandido (que está sendo multiplicado por y³) é nulo. A substituição do valor de z no segundo par de parênteses da equação com os termos comuns agrupados fornece:

$$ \left ( 6az^{2}+3bz+c \right ) $$

$$ \left ( 6a\left ( \frac{-b}{4a} \right )^{2}+3b\left ( \frac{-b}{4a} \right )+c \right ) $$

$$ \left ( 6a\frac{b^{2}}{16a^{2}}-\frac{3b^{2}}{4a}+c \right ) $$

$$ \left ( \frac{3b^{2}}{8a}-\frac{3b^{2}}{4a}+c \right ) $$

$$ \left ( \frac{-3b^{2}}{8a}+c \right ) $$

E a substituição do valor de z no terceiro par de parênteses da equação com os termos comuns agrupados fornece:

$$ \left ( 4az^{3}+3bz^{2}+2cz+d \right ) $$

$$ 4a\left ( \frac{-b}{4a} \right )^{3}+3b\left ( \frac{-b}{4a} \right )^{2}+2c\left ( \frac{-b}{4a} \right )+d $$

$$ 4a\left ( \frac{-b^{3}}{64a^{3}} \right )+3b\left ( \frac{b^{2}}{16a^{2}} \right )+2c\left ( \frac{-b}{4a} \right )+d $$

$$ \left ( \frac{-b^{3}}{16a^{2}} \right )+\left ( \frac{3b^{3}}{16a^{2}} \right )-2c\left ( \frac{b}{4a} \right )+d $$

$$ \left ( \frac{-b^{3}}{16a^{2}}+\frac{3b^{3}}{16a^{2}} \right )-2c\left ( \frac{b}{4a} \right )+d $$

$$ \left ( \frac{2b^{3}}{16a^{2}}-\frac{cb}{2a}+d \right ) $$

Assim, a equação quártica fica modificada conforme abaixo:

$$ ay^{4}+\left ( \frac{-3b^{2}}{8a}+c \right )y^{2}+\left ( \frac{2b^{3}}{16a^{2}}-\frac{cb}{2a}+d \right )y+\left ( az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e \right )=0 $$

Por fim, multiplicando toda a equação por 1/a resulta:

$$ y^{4}+\left ( \frac{-3b^{2}}{8a^{2}}+\frac{c}{a} \right )y^{2}+\left ( \frac{2b^{3}}{16a^{3}}-\frac{cb}{2a^{2}}+\frac{d}{a} \right )y+\left ( z^{4}+\frac{bz^{3}}{a}+\frac{cz^{2}}{a}+\frac{dz}{a}+\frac{e}{a} \right )=0 $$

Renomeando o segundo termo para:

$$ \left ( \frac{-3b^{2}}{8a^{2}}+\frac{c}{a} \right )=p $$

Renomeando o terceiro termo para:

$$ \left ( \frac{2b^{3}}{16a^{3}}-\frac{cb}{2a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=q $$

E renomeando o quarto termo para:

$$ \left (z^{4}+\frac{bz^{3}}{a}+\frac{cz^{2}}{a}+\frac{dz}{a}+\frac{e}{a} \right )=r $$

A equação quártica geral fica reduzida a:

$$ y^{4}+py^{2}+qy+r=0 $$

Para resolver esta quártica reduzida, Ferrari a reescreveu como:

$$ y^{4}+py^{2}=-qy-r $$

Em seguida, ele somou py² + p² em ambos os lados da equação para obter, do lado esquerdo, um binômio quadrado perfeito:

$$ y^{4}+py^{2}+py{2}+p^{2}=-qy-r+py^{2}+p^{2} $$

$$ y^{4}+2py^{2}+p^{2}=py^{2}-qy+p^{2}-r $$

$$ \left (y^{2}+p \right )^{2}=py^{2}-qy+p^{2}-r $$

O toque de genialidade de Ferrari começa quando introduz uma nova variável, t, a ser determinada posteriormente, somando-a dentro do binômio quadrado perfeito:

$$ \left (y^{2}+p+t \right )^{2}=py^{2}-qy+p^{2}-r $$

Expandindo o agora trinômio, temos:

$$ \left (y^{2}+p+t \right )^{2}=\left (y^{2}+p+t \right )\times \left (y^{2}+p+t \right ) $$

$$ y^{4}+2py^{2}+p^{2}+2y^{2}t+2pt+t^{2} $$

Mas observe que após esta operação, temos novamente entre parênteses os termos do binômio quadrado perfeito:

$$ \left (y^{4}+2py^{2}+p^{2} \right )+2y^{2}t+2pt+t^{2} $$

$$ \left (y^{2}+p \right )^{2}+2y^{2}t+2pt+t^{2} $$

Ou seja: somar t dentro do binômio teria sido o mesmo que somar ao binômio (y² + p)² a expressão:

$$ 2y^{2}t+2pt+t^{2} $$

Logo, para manter a igualdade, a expressão acima será somada no lado direito da equação:

$$ \left ( y^{2}+p+t \right )^{2}=\left ( py^{2}-qy+p^{2}-r \right )+2y^{2}t+2pt+t^{2} $$

Agrupando os termos do lado direito da equação, obtém-se:

$$ \left ( y^{2}+p+t \right )^{2}=\left ( p+2t \right )y^{2}-qy+\left ( p^{2}-r+2pt+t^{2} \right ) $$

O desafio passa a ser a busca de um valor para t de modo que o lado direito da equação também forme um binômio quadrado perfeito, uma vez que, agora, já conseguimos formar desse lado uma equação quadrática. Para isso, a equação quadrática do lado direito da igualdade tem que assumir a forma do binômio abaixo:

$$ \left [ \left ( \sqrt{p+2t} \right )y\pm \sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right ]^{2} $$

A razão é simples. Ao expandirmos esse binômio, chega-se a:

$$ \left ( p+2t \right )y^{2}\pm \left ( 2\sqrt{p+2t}\sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right )y+\left ( p^{2}-r+2pt+t^{2} \right ) $$

Observe: o termo –q, que aparentemente havia desaparecido do binômio, na verdade equivale a:

$$ -q=\pm \left ( 2\sqrt{p+2t}\sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right ) $$

Elevando esta expressão ao quadrado:

$$ q^{2}=4\left ( p+2t \right )\left ( p^{2}-r+2pt+t^{2} \right ) $$

[7]

Expandindo e reagrupando em função de t, temos:

$$ 8t^{3}+20pt^{2}+\left ( 16p^{2}-8r \right )t+\left ( 4p^{3}-4pr-q^{2} \right )=0 $$

Chegamos a uma expressão cúbica geral em t. De fato, fora comentado que o valor de t seria determinado posteriormente: este é o momento. Reduzindo a cúbica geral e utilizando a expressão de Cardano, Ferrari encontra o valor de t, pois os valores das constantes p, q e r são conhecidos:

$$ \left ( \frac{-3b^{2}}{8a^{2}}+\frac{c}{a} \right )=p $$

$$ \left ( \frac{2b^{3}}{16a^{3}}-\frac{cb}{2a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=q $$

$$ \left ( z^{4}+\frac{bz^{3}}{a}+\frac{cz^{2}}{a}+\frac{dz}{a}+\frac{e}{a} \right )=r $$

O valor de z também havia sido determinado e vale:

$$ z=\frac{-b}{4a} $$

Sendo que os valores das constantes a, b, c, d e e constam da equação quártica geral, que obviamente são fornecidos. Assim, considerando-se que o valor de t tenha sido determinado, então finalmente o lado direito da expressão:

$$ \left ( y^{2}+p+t \right )^{2}=\left ( p+2t \right )y^{2}-qy+\left ( p^{2}-r+2pt+t^{2} \right ) $$

Formará o almejado binômio quadrado perfeito:

$$ \left ( y^{2}+p+t \right )^{2}=\left [ \left ( \sqrt{p+2t} \right )y\pm \sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right ]^{2} $$

Agora que temos quadrados perfeitos em ambos os lados da igualdade, extrai-se a raiz quadrada destas expressões:

$$ \left ( y^{2}+p+t \right )=\pm \left [ \left ( \sqrt{p+2t} \right )y\pm \sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right ] $$

[8]

A equação [8] é a fórmula de Ferrari e o resultado de seu brilhante e criativo exercício algébrico. Note que a fórmula apresenta quatro soluções, ou raízes, como indicado pelos sinais ±. Parte de sua genial argumentação, porém, baseia-se na solução de Tartaglia e, em função do juramento prestado por Cardano e sem poder quebrá-lo, não poderia tornar-se pública. Porém, aos poucos, Cardano deve ter percebido que Del Fiore não teria desafiado Tartaglia para uma contenda matemática anos antes se não conhecesse uma fórmula para resolver equações cúbicas, mesmo não sendo um matemático talentoso e, portanto, deve ter concluído que Del Ferro (professor de Del Fiore) a tivesse descoberto ou soubesse de algo importante sobre esse assunto, além do próprio Tartaglia. Assim, em 1.543, Cardano e Ferrari decidem viajar até Bolonha e visitar seu colega Della Nave. É Ferrari quem comenta sobre esta passagem, em Abril de 1.547:

Quatro anos atrás, quando Cardano dirigiu-se à Florença e eu o fiz acompanhar, encontramo-nos em Bolonha com Aníbal Della Nave, um homem inteligente e humano que nos mostrou uma pequena caderneta outrora pertencente a Del Ferro, seu sogro, escrita muito tempo atrás, na qual aquela descoberta [fórmula das cúbicas] é apresentada com elegância e eruditismo.

De fato, Cardano e Ferrari satisfizeram a curiosidade de Della Nave, mostrando-lhe que eram capazes de resolver o onipresente problema da coisa e cubo, ou seja, a quártica; em troca, Della Nave lhes mostra a caderneta de anotações do sogro, de que detinha a posse. Percebendo que Del Ferro chegara à solução das cúbicas de forma independente cerca de 20 anos antes do próprio Tartaglia, Cardano considerou sem valor o juramento que lhe fizera. Livre de tal compromisso, em 1.545 publica uma das grandes obras de matemática: o Ars Magna (A Grande Arte). Em edições posteriores aparece também com o nome Artis Magnæ. Apesar de Cardano citar Tartaglia nominalmente como tendo descoberto de forma independente de Del Ferro a solução das cúbicas em duas passagens distintas em seu livro, fato é que Tartaglia nunca o perdoou por ter quebrado o seu juramento e divulgado a sua fórmula, talvez porque soubesse que com essas descobertas era Cardano quem entraria para a história e não ele. Seja como for, vejamos um exemplo de solução de uma equação quártica reduzida apresentada no Ars Magna:

$$ x^{4}-12x+3=0 $$

Note que esta quártica reduzida, além da ausência do termo x³, também não possui o termo quadrático x². Nestas condições, temos:

$$ p=0 $$

$$ q=-12 $$

$$ r=3 $$

Fazendo uso da equação cúbica [7], vem:

$$ q^{2}=4\left ( p+2t \right )\left ( p^{2}-r+2pt+t^{2} \right ) $$

$$ \left ( -12 \right )^{2}=4\left ( 0+2t \right )\left ( 0^{2}-3+2.0.t+t^{2} \right ) $$

$$ 144=8t\left ( -3+t^{2} \right ) $$

$$ 8t^{3}-24t=144 $$

Simplificando, chega-se finalmente a:

$$ t^{3}-3t=18 $$

Fazendo p = –3 e q = 18 e aplicando a fórmula de Cardano para encontrar a raíz cúbica positiva, temos:
$$ t=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left ( \frac{q}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{p}{3} \right )^{3}}} $$
$$ t=\sqrt[3]{\frac{18}{2}+\sqrt{\left ( \frac{18}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{-3}{3} \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{18}{2}+\sqrt{\left ( \frac{18}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{-3}{3} \right )^{3}}} $$
$$ t=\sqrt[3]{9+\sqrt{\left ( 9 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{3}}}-\sqrt[3]{-9+\sqrt{\left ( 9 \right )^{2}+\left ( -1 \right )^{3}}} $$
$$ t=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{-9+\sqrt{80}} $$
$$ t=\sqrt[3]{9+4\sqrt{4}}-\sqrt[3]{-9+4\sqrt{5}} $$
$$ t=3 $$
Substituindo agora o valor de t na quártica de Ferrari, temos:
$$ \left ( y^{2}+p+t \right )=\pm \left [ \left ( \sqrt{p+2t} \right )y\pm \sqrt{p^{2}-r+2pt+t^{2}} \right ] $$
$$ \left ( y^{2}+0+3 \right )=\pm \left [ \left ( \sqrt{0+2.3} \right )y\pm \sqrt{0^{2}-3+2.0.3+3^{2}} \right ] $$
$$ \left ( y^{2}+3 \right )=\pm \left [ \left ( \sqrt{6} \right )y\pm \sqrt{-3+9} \right ] $$
$$ \left ( y^{2}+3 \right )=\pm \left [ \left ( \sqrt{6} \right )y\pm \sqrt{6} \right ] $$
Chegando-se às quatro equações quadráticas:
$$ \left\{\begin{matrix}y^{2}-\left ( \sqrt{6} \right )y+\left ( 3-\sqrt{6} \right )=0\\ y^{2}-\left ( \sqrt{6} \right )y+\left ( 3+\sqrt{6} \right )=0\\ y^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )y+\left ( 3-\sqrt{6} \right )=0\\ y^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )y+\left ( 3+\sqrt{6} \right )=0\end{matrix}\right. $$
Resolvendo a primeira das quatro equações por Báskara, temos:
$$ y=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{\left ( -\sqrt{6} \right )^{2}-4\times 1\times \left ( 3-\sqrt{6} \right )}}{2\times 1} $$
$$ y=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{6-12+4\sqrt{6}}}{2} $$
$$ y=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{-6+4\sqrt{6}}}{2} $$
De modo análogo, a segunda equação fornece:
$$ y=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{-6-4\sqrt{6}}}{2} $$
A terceira equação fornece:
$$ y=\frac{-\sqrt{6}\pm \sqrt{-6+4\sqrt{6}}}{2} $$
E a quarta equação fornece:
$$ y=\frac{-\sqrt{6}\pm \sqrt{-6-4\sqrt{6}}}{2} $$

Sendo que somente a primeira e a terceira respostas eram consideradas válidas no Ars Magna, já que a segunda e a quarta respostas continham raízes quadradas de números negativos, gerando números complexos, não conhecidos por Cardano. Apesar dos exemplos relativamente complexos envolvendo as equações cúbicas e quárticas apresentadas no Ars Magna, é possível (ao menos para as cúbicas) a proposição de problemas cujo enunciado e respectiva solução tenham algum significado ou utilidade prática. É o caso, por exemplo, do problema geométrico constante na Proposição IV do Livro II da obra Da Esfera e do cilindro, de Arquimedes, que o estudou, mas que foi incapaz de resolvê-lo por completo, alegando haver um diorismos. Diorismos é um termo técnico grego que no contexto indica limites para os quais o problema possui uma solução, cujo enunciado – adaptado[3] – é o seguinte:

Cortar uma dada esfera por um plano de modo que os volumes obtidos pelos dois segmentos formados estejam em uma dada razão.

[3] O enunciado original é este: Cortar a esfera dada, de modo que os seus segmentos guardem entre si a mesma razão dada.

O problema pode ser reduzido a uma forma ainda mais simples que a apresentada no enunciado, conforme abaixo:

Cortar um segmento de reta dado, de comprimento a, em duas partes, tais que o primeiro segmento, de comprimento x, multiplicado pelo segundo segmento, de comprimento (a – x), igualem-se a um dado volume c.

Foi o matemático persa Muhammad ibn Isa al-Mahani que, por volta de 850 d.C. em Bagdá, obteve sucesso na conversão do problema em uma equação algébrica cúbica:

$$ x^{3}+c=ax^{2} $$

E no século seguinte esta equação foi resolvida através de seções cônicas. Porém, em 1.290 d.C., outro matemático persa – Sharaf al-Din al-Tusi – também em Bagdá, foi além ao indagar-se quão grande poderia ser esse volume c e ainda admitir a existência de uma solução. A proposição é a seguinte:

Sami é um funcionário de manutenção de um hospital em Bagdá. Foi-lhe solicitado encobrir com cortinas uma área ao redor da cama de um paciente, por privacidade. A cama fica no canto de uma ala, de modo que a cortina precisa proteger apenas dois de seus lados: haverá uma cortina quadrada protegendo o lado comprido da cama e uma cortina retangular menor cobrindo o pé da cama. As duas cortinas serão penduradas em hastes, suspensas a igual distância do teto da enfermaria. Mas é aí que Sami enfrenta um problema: por causa da guerra e da falta de suprimentos em Bagdá, o único material disponível para montar as hastes é uma vara de madeira de seis metros, que ele pode cortar como quiser para obter as duas hastes onde serão penduradas as cortinas. Sami deseja saber qual o maior volume retangular que será capaz de obter com essas hastes.

A figura a seguir ilustra o problema de Sami:

A disposição das cortinas ao redor da cama

O problema impõe algumas restrições: uma das cortinas é quadrada, e o tamanho da vara para montar os dois suportes é de apenas seis metros. Da figura acima, o volume do espaço privado é calculado como:

$$ Volume=x^{2}\times y $$

E a restrição entre as larguras das cortinas (que, somadas, não podem exceder os seis metros) será dada por:

$$ y=6-x $$

Onde x corresponde às dimensões da cortina quadrada bem como à altura da cortina retangular (já que ambas devem ter a mesma altura) e y corresponde à largura da cortina retangular. Observe ainda que não é especificada nenhuma limitação quanto a altura mínima ou máxima que essas cortinas podem ter. Assim, para calcular o máximo volume possível, montamos a tabela abaixo:

x (m)	x² (m²)	y (m)	Volume (m³)
0	0	6	0
1	1	5	5
2	4	4	16
3	9	3	27
4	16	2	32
5	25	1	25
6	36	0	0

Observe: a primeira coluna apresenta as possíveis dimensões da cortina quadrada e a altura da cortina retangular, começando de zero metro (o que na prática não tem significado) até seis metros, que corresponde ao tamanho total da vara. Na segunda coluna, temos a área da cortina quadrada. Na terceira coluna, temos a largura da cortina retangular, que corresponde ao tamanho total da vara (seis metros) menos o valor de x. Finalmente, na quarta e última coluna temos o volume total obtido. A linha destacada em laranja indica o maior volume possível, que é obtido com:

· Uma cortina quadrada de 4 metros de altura por 4 metros de largura;

· Uma cortina retangular de 4 metros de altura por 2 metros de largura.

Se montássemos um gráfico com base nos valores de x e do volume, obteríamos:

Concluímos, com este exemplo prático, o estudo das origens das equações algébricas do 3° e do 4° graus.

Referências bibliográficas:

[1]	Khayyam, O. “Os Rubayat”, tradução para o português por Alfredo Braga, disponível no sítio: http://alfredo-braga.pro.br/poesia/rubaiyat.html. Acessado em Dezembro/2017.
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[9]	Guilbeau, L. “The history of the solution of the cubic equation”, Mathematics News Letter, Vol. 5, No. 4, pags. 8-12, 1930.
[10]	Santos, S. R. “As equações polinomiais do 3° e 4° graus – Sua história e suas soluções”, dissertação de mestrado profissional em matemática, Universidade Federal de Sergipe, 2013.
[11]	Anderson, M.; Katz, V.; Wilson, R. “Sherlock Holmes in Babylon: And Other Tales of Mathematical History”, Mathematical Association of America, 2004. ISBN: 0-8838-5546-1, 978-0-8838-5546-1.
[12]	Contreras, J. N. “An Episode of the Story of the Cubic Equation: The del Ferro-Tartaglia-Cardano’s Formulas”, Journal of Mathematical Sciences & Mathematics Education, Volume 10, No. 2, pags. 24-37, 2015.
[13]	Glaz, S. “Poetry inspired by mathematics: a brief journey through history”, Journal of Mathematics and the Arts, Vol. 5, No. 4, pags. 171-183, 2011.
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[15]	Roberts Jr., C. E. “Introduction to mathematical proofs – a transition to advanced mathematics”, Second Edition, CRC Press, 2015. ISBN-13: 978-1-4822-4688-9.
[16]	Morley, H. “Jerome Cardan: The life of Girolamo Cardano, of Milan, physician, Volumes 1-2”, Chapman and Hall, 1854.
[17]	Netz, R. “The works of Archimedes – Translation and commentary. Volume 1: The two books On the sphere and the cylinder”, Stanford University, 2009. ISBN-13: 978-0-5211-1798-2.

Lei de Newcomb-Benford como ferramenta de auditoria

2018-10-18T16:00:00.000-03:00

Nota introdutória
Este artigo introduz o leitor aos aspectos matemáticos elementares e a um exemplo de aplicação prática da lei de Newcomb-Benford. Esta lei é aderente a diversos fenômenos de caráter financeiro, contábil, físico, entre outros. Recomenda-se fortemente a leitura de outras fontes de pesquisa para um aprofundamento dos tópicos abordados.

Lei de Newcomb-Benford como ferramenta de auditoria
A administração de uma empresa em um cenário competitivo e globalizado exige recursos, metodologia e ferramental adequados que ofereçam suporte às tomadas de decisão da alta administração de modo a preservar, legitimar e manter íntegras as atividades nela desenvolvidas [1]. Com esse objetivo em mente as empresas constituem, através de políticas internas ou por determinação legal, um setor de auditoria interna que sustente a alta administração com informações e sugestões que auxiliem e dêem suporte às atividades pelas quais são responsáveis [2]. E dentro desse contexto, o auditor interno tem que transmitir uma posição de igualdade e justiça quando aborda assuntos muitas vezes sensíveis e até controversos, transmitindo confiança e responsabilidade na apuração e geração de informações fidedignas [3].

Nenhuma empresa, seja qual for a esfera ou porte, estará imune a fraudes ou falhas de segurança em seus processos, mesmo aquelas organizações que aderiram à Lei Sarbanes-Oxley (SOX). A SOX obriga a criação de mecanismos de controle que fortaleçam as regras de governança corporativa, melhorando a transparência dos mecanismos de gestão [4]. Nesse sentido, a lei de Newcomb-Benford transforma-se numa interessante ferramenta auxiliar na detecção de indícios de: faturamentos irregulares; alterações, desvios ou furtos nos estoques; pagamentos indevidos ou fictícios; inconsistências em demonstrações econômico-financeiras; lançamentos contábeis inconsistentes.

Exemplos de aplicações da Lei de Newcomb-Benford na auditoria

Credita-se a Carslaw [5] a primeira aplicação contábil da lei de Newcomb-Benford. Em seu artigo, ele afirma que quando as receitas líquidas corporativas encontram-se ligeiramente abaixo de um ‘limite psicológico’, os gerentes tenderiam a arredondá-las para cima, de modo que os primeiros números parecessem maiores, ainda que fossem apenas marginalmente maiores em termos percentuais. Seus resultados mostraram que havia mais 0s e menos 9s no segundo dígito que o esperado, o que sugere que houve arredondamentos nos dados coletados.

Já Nigrini e Mittermaier [6] utilizaram a base matemática da lei de Newcomb-Benford para testes numéricos a serem aplicados pelos auditores como procedimentos analíticos nos estágios de planejamento da auditoria, testando a autenticidade de listas numéricas pela comparação das freqüências reais e esperadas dos primeiros dígitos em uma companhia de petróleo. Seus resultados mostraram a validade da lei quando aplicados testes de análise digital no primeiro e segundo dígitos, na duplicação de números e nos arredondamentos, entre outros.

Por sua vez, Durtschi, Hillison e Pucini [7] afirmam que, apesar da lei de Newcomb-Benford ser uma ferramenta simples e efetiva na detecção de fraudes, o auditor deve estar atento aos conjuntos de dados aos quais essa lei é aplicável, como por exemplo: contas a pagar e a receber, desembolsos, vendas e despesas, balanços anuais entre outros conjuntos de números contábeis. Analisam também o poder dos testes estatísticos para determinar em que ponto da análise um desvio pode ser considerado grande o suficiente para ser uma indicação significativa de fraude e apontam o uso da distribuição qui-quadrática e da estatística Z para a determinação desses limites. Concluem que a lei de Newcomb-Benford, quando utilizada corretamente, é uma ferramenta útil na identificação de contas suspeitas para posterior análise.

Já Lu e Boritz [8] analisaram conjuntos de dados incompletos e argumentam que o problema entre esses conjuntos de dados e a lei de Newcomb-Benford tradicional é que as freqüências dos dígitos observados tornam-se inflacionados quando computados como uma probabilidade e propõem um algoritmo em que definem um fator de escalonamento a ser utilizado para preencher os dados faltantes da distribuição de freqüências dos primeiros dígitos. Com esse algoritmo, os autores tentaram detectar anomalias que pudessem ser indicativas de atividade fraudulenta em um conjunto incompleto de dados de reembolsos financeiros do plano de saúde de uma empresa, no período de 2003 a 2005. Segundo afirmam, o algoritmo seria mais preciso ao reportar uma seqüência menor de dígitos anômalos que a lei de Newcomb-Benford tradicional, tendo-se utilizado um nível de confiança de 95% como limiar da existência de anomalias.

No Brasil, os artigos técnicos relacionados ao tema estão basicamente centralizados na análise de contas públicas nas esferas municipal, estadual e federal. Dos Santos, Diniz e Corrar [9] evidenciam o modelo contabilométrico fundamentando-o na relação entre a lei de Newcomb-Benford e os testes de hipóteses (estatística Z e a distribuição qui-quadrática) envolvendo 20 municípios da Paraíba e utilizando-se um total de 104 mil notas de empenho. Concluem pela existência de fortes indícios de superfaturamento e fracionamento de despesas para burlar os limites estabelecidos pela Lei 8.666, das licitações.

Por seu lado, Lagioia e outros [10] verificaram a aplicabilidade da auditoria digital em empresas prestadoras de serviços em um município do nordeste brasileiro, a fim de identificar a sinalização de desvios em notas fiscais paralelas, calçadas e não escrituradas. Concluem que a lei de Newcomb-Benford é aplicável à fiscalização do imposto sobre serviços e salientam a urgência de se alterarem as formas e regras para se auditarem as empresas bem como a divulgação desses resultados aos demais municípios por não exigir novos investimentos em sua implantação.

Por fim, Costa, Dos Santos e Travassos [11] aplicam a lei de Newcomb-Benford na análise de mais de 134 mil notas de empenho emitidas por vinte unidades gestoras de dois estados da União. O estudo indica excesso de ocorrências no primeiro dígito para notas de empenho iniciadas por 7 e 8 e escassez de ocorrências para notas de empenho iniciadas por 6 e 9, sugerindo um comportamento de fuga à realização de processos licitatórios nos gastos públicos. Observam também que, quanto ao segundo dígito, os maiores desvios em excesso ocorrem para os dígitos 0 e 5, indicando arredondamentos nos valores dos empenhos, sugerindo que estes não estejam sendo formados pela aplicação direta de uma margem de lucro ao montante dos seus custos e despesas para produzir e vender.

A origem da lei de Newcomb-Benford

A lei de Newcomb-Benford estabelece empiricamente que em determinadas fontes de dados o primeiro dígito não apresenta uma distribuição uniforme de ocorrências dos algarismos de 1 a 9, mas antes uma distribuição logarítmica decrescente quanto maior for o algarismo. Este tipo de distribuição ocorre para uma ampla gama de conjuntos de dados: número do endereço residencial, população por cidade, taxas de mortalidade, bem como constantes físicas e matemáticas. Por outro lado, o conjunto amostral relativo à altura de adultos em uma cidade, por exemplo, não é aderente à lei.

Simon Newcomb, astrônomo e matemático canadense, foi o primeiro a identificar este princípio estatístico, ou pelo menos a reportá-lo formalmente em seu artigo de 1881, onde afirma: “Que os dez dígitos não ocorrem com igual freqüência está evidente a qualquer um que faça muito uso de tabelas logarítmicas e nota quão rapidamente as primeiras páginas desgastam-se em relação às últimas. O primeiro número significativo é comumente o 1 mais que qualquer outro, e a freqüência diminui até 9” [12]. Porém, coube a Frank Benford, engenheiro eletricista e físico norte-americano, redescobrir e generalizar este princípio em seu artigo de 1938, dando-lhe a formatação matemática conhecida atualmente.

Equacionamento da lei de Newcomb-Benford

Supondo que exista uma distribuição de probabilidades P(x) que englobe o espaço amostral caracterizado pelos dígitos escalares de 1 a 9, então essa distribuição deve ser invariante sob uma mudança de escala k [13][14], ou seja:

$$ P\left ( kx \right )=f\left ( k \right )P\left ( x \right ) $$

(1)

Definindo ainda que a área sob a curva da distribuição de probabilidades seja normalizada e igual a um, vem:

$$ \int P\left ( x \right )dx=1 $$

Temos por igualdade que:

$$ \int P\left ( kx \right )dx=\int f\left ( k \right )P\left ( x \right )dx $$

Pelo método da substituição, vem:

$$ u=kx $$

$$ \frac{du}{dx}=k\rightarrow dx=\frac{du}{k} $$

E assim:

$$ \frac{1}{k}\int P\left ( u \right )du=f\left ( k \right )\int P\left ( x \right )dx $$

Donde se conclui que a função que define a mudança de escala é dada por:

$$ f\left ( k \right )=\frac{1}{k} $$

Diferenciando agora a equação (1) em relação a k, vem:

$$ \dot{P}\left ( kx \right )=P\left ( x \right )\dot{f}\left ( k \right ) $$

$$ \dot{P}\left ( kx \right )x+P\left ( kx \right )\dot{x}=P\left ( x \right )\dot{f}\left ( k \right ) $$

$$ \dot{P}\left ( kx \right )x=P\left ( x \right )\dot{f}\left ( k \right ) $$

E para f(k) = 1/k e k = 1, tem-se:

$$ \dot{P}\left ( x \right )x=P\left ( x \right )\left ( \frac{-1}{k^{2}} \right ) $$

$$ x\dot{P}\left ( x \right )=-P\left ( x \right ) $$

(2)

Finalmente, integrando a diferencial da equação (2), vem:

$$ x\dot{P}\left ( x \right )dx=-P\left ( x \right )dx $$

$$ \frac{\dot{P}\left ( x \right )}{P\left ( x \right )}dx=\frac{-1}{x}dx $$

$$ \int_{1}^{x}\frac{\dot{P}\left ( x \right )}{P\left ( x \right )}dx=\int_{1}^{x}\frac{-1}{x}dx $$

$$ ln\left [ P\left ( x \right ) \right ]=ln\left ( x^{-1} \right ) $$

$$ P\left ( x \right )=\frac{1}{x} $$

(3)

Observa-se facilmente pela equação (3) que a área sob a curva da densidade de probabilidades P(x) é logarítmica para:

$$ x\in \left \{ 1 ...9 \right \} $$

De fato, uma escala logarítmica não distribui uniformemente o espaço amostral em questão, como se pode observar na figura 1:

Figura 1 – Distribuição logarítmica dos algarismos de 1 a 9

Assim, pode-se afirmar que a probabilidade de que uma constante qualquer comece com o dígito d é proporcional ao comprimento desse dígito na escala logarítmica, ou seja:

$$ P\left ( d\leq x\leq d+1 \right )=\frac{\int_{d}^{d+1}P\left ( x \right )dx}{\int_{1}^{10}P\left ( x \right )dx} $$

$$ P\left ( d\leq x\leq d+1 \right )=\frac{ln\left ( d+1 \right )-ln\left ( d \right )}{ln\left ( 10 \right )-ln\left ( 1 \right )}=\frac{ln\left ( 1+\frac{1}{d} \right )}{ln\left ( 10 \right )} $$

Ou, genericamente:

$$ P\left ( d \right )=log_{10}\left ( 1+\frac{1}{d} \right ) $$

(4)

A equação (4) matematiza a lei de Newcomb-Benford e descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer primeiro dígito para determinados conjuntos de dados numéricos, cujas proporções estão indicadas na tabela 1.

Tabela 1 – Probabilidade de ocorrência do primeiro dígito, segundo a lei de Newcomb-Benford

Testes de hipótese e a lei de Newcomb-Benford

Uma hipótese estatística é uma afirmação que confirma ou nega uma suposição formulada em relação aos parâmetros de uma ou mais populações (testes paramétricos) ou em relação à distribuição da população (testes de ajustamento). A metodologia de construção de um teste de hipótese parte da fixação do nível de significância ou confiança α (que é usado para decidir se a diferença amostral obtida é estatisticamente significante) e dos graus de liberdade n (ou seja, a quantidade de variáveis livres que serão utilizadas para o cálculo estatístico).

Para este estudo, dois testes de hipótese serão aplicados: estatística Z e a distribuição Qui-quadrática. A estatística Z é um teste estatístico utilizado para determinar se duas médias de população são diferentes quando as variâncias são conhecidas e o tamanho da amostra é grande, e cuja fórmula é dada por [9]:

$$ Z=\frac{\left | p_{o}-p_{e} \right |-\frac{1}{2n}}{\sqrt{\frac{p_{e}\left ( 1-p_{e} \right )}{n}}}x $$

(5)

Onde n é o número de observações, p_o é a probabilidade obtida para os eventos em análise e p_e é a probabilidade esperada segundo a lei de Newcomb-Benford. O termo 1/2n só é aplicado se for menor que | p_o - p_e|. E a distribuição Qui-quadrática será utilizada para encontrar um valor de dispersão entre duas variáveis, avaliando a existência ou não de algum tipo de associação ou dependência entre ambas. Sua fórmula é dada por [9]:

$$ \chi ^{2}=\sum_{d=1}^{9}\frac{\left ( P_{o}-P_{e} \right )}{P_{e}} $$

(6)

Onde n é o número de observações, P_o são as proporções obtidas (definidas como p_o.n) e P_e são as proporções esperadas (definidas como p_e.n). Os testes de hipótese enfim serão utilizados para corroborar estatisticamente os números obtidos com aqueles esperados pela lei de Newcomb-Benford, oferecendo uma metodologia conhecida que dê respaldo aos resultados encontrados.

Aplicação da lei de Newcomb-Benford em números de endereços

A título de constatação da lei de Newcomb-Benford e da validade dos resultados obtidos a partir dos testes de hipótese, será apresentada nos próximos sub-tópicos a densidade de probabilidades para números de endereços de três municípios do Estado de São Paulo. As amostras foram obtidas após levantamento e mineração de dados comerciais.

Densidade de probabilidades para números de endereços

Para esta análise será utilizado um nível de significância de 5% (ou, dito de outra forma, um nível de confiança de 95%), que corresponde a um valor crítico para Z de 1,960 (vide tabela T-student abaixo, no Anexo B, com os valores destacados em amarelo). E para este nível de significância, com 8 graus de liberdade ([9 – 1] dígitos), o valor crítico para χ² será de 15,507 (vide tabela Qui-quadrado no Anexo A com os valores destacados em amarelo).

Município de São José dos Campos

O gráfico da figura 2 apresenta as probabilidades obtidas após a extração do primeiro dígito do número de endereço dos 191.102 imóveis cadastrados nesse município.

Figura 2 – Densidade de probabilidades do primeiro dígito do número de endereço dos imóveis do município de São José dos Campos

E a tabela 2 apresenta as probabilidades e proporções obtidas e esperadas, bem como os respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis de São José dos Campos:

Tabela 2 – Probabilidades e proporções obtidas e esperadas e respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis do município de São José dos Campos

Observa-se para este exemplo uma grande convergência entre as probabilidades obtidas e aquelas esperadas pela lei de Newcomb-Benford, corroborando a informação do gráfico da figura 2. Note que na coluna da estatística Z não há nenhum valor acima do crítico de 1,960 e na coluna do Qui-Quadrado a somatória de 2,2583 está muito abaixo do valor crítico de 15,507.

Município de Presidente Prudente

O gráfico da figura 3 apresenta os resultados obtidos após a extração do primeiro dígito do número de endereço dos 82.212 imóveis cadastrados.

Figura 3 – Densidade de probabilidades do primeiro dígito do número de endereço dos imóveis do município de Presidente Prudente

E a tabela 3 apresenta as probabilidades e proporções obtidas e esperadas, bem como os respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços das ligações de água de Presidente Prudente:

Tabela 3 – Probabilidades e proporções obtidas e esperadas e respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis do município de Presidente Prudente

Observa-se para este exemplo uma convergência razoável entre as probabilidades obtidas e aquelas esperadas pela lei de Newcomb-Benford, concordante com a informação do gráfico da figura 3. Note que na coluna da estatística Z há apenas um valor (para o dígito 2) ligeiramente acima do crítico de 1,960 e na coluna do Qui-Quadrado a somatória de 15,2675 está muito próximo do valor crítico de 15,507, mas ainda abaixo.

Município de Mongaguá

O gráfico da figura 4 apresenta os resultados obtidos após a extração do primeiro dígito do número de endereço dos 37.626 imóveis cadastrados.

Figura 4 – Densidade de probabilidades do primeiro dígito do número de endereço dos imóveis do município de Mongaguá

E a tabela 4 apresenta as probabilidades e proporções obtidas e esperadas, bem como os respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis de Mongaguá:

Tabela 4 – Probabilidades e proporções obtidas e esperadas e respectivos testes de hipótese para o primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis do município de Mongaguá

Observa-se para este exemplo uma não convergência entre as probabilidades obtidas e aquelas esperadas pela lei de Newcomb-Benford, concordante com a informação do gráfico da figura 4. Note que na coluna da estatística Z há apenas um valor (para o dígito 4) abaixo do crítico de 1,960 e na coluna do Qui-Quadrado a somatória de 209,1152 está muito acima do valor crítico de 15,507.

Considerações Finais

Da análise feita para os números residenciais dos três municípios em questão, observa-se que a metodologia utilizada por São José dos Campos para a numeração dos seus imóveis é eficaz, organizada e muito bem controlada. No caso de Presidente Prudente, constata-se que a incidência do primeiro dígito na numeração dos seus imóveis é, no geral, boa e convergente com as previsões. Finalmente, para o caso de Monguaguá, as discrepâncias entre as incidências do primeiro dígito dos números dos imóveis e a previsão da lei de Newcomb-Benford podem apontar para duas possíveis causas: uma é um cadastro de imóveis desatualizado ou não tão bem organizado como o existente nos outros dois municípios analisados; a outra causa pode ser uma grande quantidade de áreas invadidas ou irregulares dentro do município. Como nessas áreas a presença do Estado não se faz tão presente, a numeração dos imóveis segue, em geral, o gosto do proprietário. Uma vez que os números dos imóveis são definidos aleatoriamente, acabam por não obedecer ao comportamento logarítmico da lei de Newcomb-Benford, e essa aleatoriedade manifesta-se nos resultados estatísticos. Observa-se com este simples exemplo o potencial do uso dessa ferramenta estatística na detecção de indícios de algum tipo de irregularidade, cabendo ao auditor a análise, o rastreamento e o aprofundamento de suas pesquisas antes de chegar a um veredito.

Anexo A - Tabela Qui-quadrado

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Anexo b - Tabela t-student

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Dica técnica de informática
Suponha que você possua um SGBD (Sistema Gerenciador de Banco de Dados) com uma tabela denominada MUNICIPIO com duas colunas: uma contendo o código dos municípios estudados, que chamaremos de CD_MUNICIPIO, e outra coluna contendo os números dos endereços dos imóveis, que chamaremos de NR_IMOVEL, do tipo INT(10). Um possível script SQL (padrão ANSI 92) a ser utilizado para a obtenção do primeiro dígito do número dos endereços dos imóveis está indicado a seguir:

select substr(cast((nr_imovel(format 'zzzzzzzzzz')) as char(10)),1,1) as digito, count(digito)
from municipio where cd_municipio = 100 and digito in ('1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9') group by 1, order by 1;

Note que, talvez, a parte mais trabalhosa seja justamente o levantamento dos municípios e respectivos números de imóveis e seu armazenamento em um SGBD, e não a aplicação da lei de Newcomb-Benford, que é bastante direta já que basta dividir a quantidade de ocorrências de cada dígito pela quantidade total de imóveis. A proporção obtida em cada caso deve ser igual, ou muito próxima, à proporção prescrita pela lei.

Referências Bibliográficas

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[3] “O Auditor”, Senac – Boletim Fiscal, ano 2 – No. 8, Julho/Agosto de 2003.

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[7] Durtschi C., Hillison W., Pacini C., “The effective use of Benford’s law to assist in detecting fraud in accounting data”, Journal of Forensic Accounting, vol. 5, págs. 17-34, 2004.

[8] Lu F. e Boritz J. E., “Detecting fraud in health insurance data: learning to model incomplete Benford’s law distributions”, Lecture Notes in Computer Science, vol. 3720, págs. 633-640, 2005.

[9] Santos J. et alii, “O foco é a teoria amostral nos campos da auditoria contábil tradicional e da auditoria digital: testando a lei de Newcomb-Benford para o primeiro dígito nas contas públicas”, Brazilian Business Review, vol. 2 No. 1, págs. 71-89, Junho/2005.

[10] Lagioia U. C. T. et alli, “Aplicabilidade da lei de Newcomb-Benford nas fiscalizações do imposto sobre serviços – ISS”, Revista Contabilidade & Finanças, vol. 22, No. 56, págs. 203-224, Agosto/2011.

[11] Costa J. I. de F., Dos Santos J., Travassos S. K. de M., “Análise de conformidade nos gastos públicos dos entes federativos: estudo de caso de uma aplicação da lei de Newcomb-Benford para o primeiro e segundo dígito em dois estados brasileiros”, 11º Congresso USP de Controladoria e Contabilidade, Julho/2011.

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[14] Benford F., "The Law of Anomalous Numbers", Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 78, No. 4, pp. 551-572, 1938.

Biografias curtas

Frank Albert Benford Jr. (1883 – 1948) foi um engenheiro eletricista e físico estadunidense mais conhecido por redescobrir e generalizar a lei de Benford. Também é conhecido por ter concebido, em 1937, um instrumento para medição do índice de refração do vidro. Especialista em medições óticas, publicou 109 artigos nos campos da ótica e da matemática e obteve a concessão de 20 patentes em dispositivos óticos. Trabalhou na General Electric, primeiro no laboratório de engenharia de iluminação por 18 anos e depois no laboratório de pesquisas por mais 20 anos.

Simon Newcomb (1835 – 1909) foi um astrônomo e matemático canadense. Em 1878 iniciou o planejamento de uma nova e precisa medição da velocidade da luz, que era necessária para calcular os valores exatos de muitas constantes astronômicas. Em 1881 descobriu o princípio estatístico mais conhecido como lei de Benford. Escreveu sobre economia e livros de ciência popular e seu nome é citado no famoso conto de ficção científica de H. G. Wells: A Máquina do Tempo.

Nota Final

O texto aqui reproduzido faz parte do primeiro capítulo de minha monografia para a conclusão de um MBA em Gestão de Negócios, finalizada em 2014 na BSP - Business School São Paulo. Caso haja interesse na obtenção de uma cópia em PDF da monografia completa, clique aqui. Um exemplo bastante simples de aplicação desta lei, que inclusive pode ser aproveitada em sala de aula para turmas que estejam aprendendo logaritmos, pode ser encontrada neste breve artigo: Bancando o detetive com a lei de Newcomb-Benford.

As seções cônicas

2018-05-25T09:04:00.001-03:00

A belíssima Catedral de Brasília. Os pilares de concreto são arcos de parábola, com duas funções: estrutural e estética.

O clássico problema grego da duplicação do cubo, ou problema de Delos, tem duas versões conhecidas. Uma delas, atribuída ao grego Eratóstenes de Cirene (matemático, poeta e astrônomo, 276 a.C. a 194 a.C.), conforme citação do comentador Téon de Esmirna, afirma o seguinte:

Eratóstenes, em seu trabalho intitulado Platonicus, relata que, quando o deus [Apolo] proclamou aos cidadãos de Delos através do oráculo que, para se livrarem de uma praga, eles deveriam construir um altar com o dobro daquele existente, seus artesãos quedaram em grande perplexidade em seus esforços para descobrir como um sólido poderia tornar-se o dobro de um sólido similar; eles foram, por esse motivo, perguntar a Platão sobre isso, ao que ele respondeu que o oráculo não disse que o deus quisesse um altar com o dobro do tamanho, mas que desejava, ao exigir o cumprimento da tarefa, envergonhar os gregos por negligenciarem a matemática e desprezarem a geometria.

Retrato de Eratóstenes

A praga a que se refere o texto foi sem dúvida um evento marcante na história de Atenas, uma vez que a quarta parte da população pereceu. O fato ocorreu por volta de 430 a.C. e, se há alguma verdade nele, então sabe-se com certa precisão quando o problema da duplicação do cubo surgiu. Os atenienses dobraram as dimensões do altar, mas essa não era a resposta certa, porque o volume do altar aumentou de oito vezes. A segunda versão, dada pelo matemático grego Eutócio de Ascalão (480 d.C a 540 d.C.) em seus comentários na obra Da esfera e do cilindro, de Aristóteles, alega que o problema surgiu em uma carta escrita por Eratóstenes ao rei Ptolomeu; apesar dessa carta ser uma farsa, o escritor cita alguns escritos genuínos de Eratóstenes:

Eratóstenes ao Rei Ptolomeu, saudações.

A história diz que um dos antigos poetas trágicos representou Minos tendo um túmulo construído para Glauco e que, quando Minos descobriu que o túmulo media cem pés de cada lado, disse: "Muito pequeno é o túmulo que você demarcou como o local de repouso real. Torne-o duas vezes maior. Sem prejudicar a forma, apenas duplique cada lado do túmulo". Este foi claramente um erro. Pois se os lados forem duplicados, a superfície será quadruplicada e o volume, octuplicado.

Esta história, mais que fatos históricos, relata um episódio da mitologia grega. Entretanto, descobertas arqueológicas em Cnossos, na ilha de Creta, mostram que ao menos em parte estas histórias mitológicas são baseadas em eventos reais. A mitologia relata que Glauco, filho do rei Minos de Creta e de sua esposa Parsífae, morreu quando criança ao cair em um grande jarro cheio de mel.

O templo de Apolo, na cidade de Corinto (região do Peloponeso), na Grécia. Observe que a parte principal do templo possui um volume cúbico. O templo de Delos seria semelhante.

Seja qual for a origem dessa história, atribui-se ao matemático e geômetra grego Hipócrates de Quios (470 a.C. a 410 a.C.) ter encontrado uma maneira de abordar o problema da duplicação do cubo simplificando-o para o problema das duas médias proporcionais. Os matemáticos pitagóricos sabiam como converter a área um retângulo de lados a e b em um quadrado de mesma área cujo lado fosse a média proporcional entre a e b através da seguinte proporção, em álgebra moderna:
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{b} $$

Onde x é a média proporcional entre a e b que fornecerá o lado do quadrado com a mesma área do retângulo. Resolvendo a proporção acima, temos:
$$ x^{2}=a\times b $$
$$ x=\sqrt{a\times b} $$
Quer dizer, o lado do quadrado será proporcional à raiz quadrada do produto dos lados do retângulo. No caso específico em que a e b fossem quadrados perfeitos, por exemplo, a = 49 (que é 7²) e b = 16 (que é 4²), o valor de x seria também um número inteiro:
$$ x=\sqrt{49\times 16}=\sqrt{784}\Rightarrow x=28 $$
Para o caso da duplicação do cubo, os pitagóricos sabiam que entre quaisquer dois números cúbicos, tais como 8 e 216 (que são respectivamente iguais a 2³ e 6³) existem duas médias proporcionais tais que:
$$ \frac{8}{24}=\frac{24}{72}=\frac{72}{216} $$
O fator de proporcionalidade entre as razões neste caso é 3; observe:
$$ \frac{8}{8\times 3}=\frac{24}{24\times 3}=\frac{72}{72\times 3}\Rightarrow \frac{8}{24}=\frac{24}{72}=\frac{72}{216} $$
Assim, dado um cubo de aresta a e seu dobro 2a, encontrar duas arestas x e y (suas médias proporcionais) que permitam construir outro cubo cujo volume seja o dobro do volume do cubo original, tais que respeitem a seguinte proporção:
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a} $$

Comparando as duas primeiras razões, temos:
$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{y} $$
Multiplicando em cruz, vem:
$$ x\cdot x=ay $$

$$ x^{2}=ay $$

[1]

Comparando agora a segunda com a terceira razão, vem:
$$ \frac{x}{y}=\frac{y}{2a} $$
Multiplicando em cruz:
$$ y\cdot y=2ax $$

$$ y^{2}=2ax $$

[2]

Finalmente, comparando a primeira com a terceira razão, temos:
$$ \frac{a}{x}=\frac{y}{2a} $$
Multiplicando em cruz, vem:

$$ xy=2a^{2} $$

[3]

Trabalhando com as equações [1] e [2]:
$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=ay\\ y^{2}=2ax\end{matrix}\right. $$
Isolando o y na equação [1] vem:
$$ y=\frac{x^{2}}{a} $$
Substituindo o resultado em [2]:
$$ \left ( \frac{x^{2}}{a} \right )^{2}=2ax $$
$$ \frac{x^{4}}{a^{2}}=2ax $$

$$ x^{3}=2a^{3} $$

[4]

A equação [4] indica que o volume de um cubo de aresta x corresponde ao dobro do volume de outro cubo de aresta a. Obtivemos o valor da aresta x utilizando as equações [1] e [2], mas esse mesmo valor teria sido obtido se tivéssemos utilizado as equações [2] e [3] ou as equações [1] e [3], o que é lógico, uma vez que as três razões são proporcionais entre si. Encontrar a aresta de um cubo com o dobro do tamanho de um cubo com aresta conhecida utilizando a álgebra moderna é algo quase trivial, mas a 'álgebra' grega era toda geométrica e o problema não era tão simples quanto possa parecer. As médias proporcionais propostas por Hipócrates de Quios provaram-se corretas, mas foi outro grego quem teve a primazia em apresentar uma solução geométrica: o matemático, líder político e filósofo Árquitas de Tarento (428 a.C. a 347 a.C.). Sua solução foi preservada graças a Eutócio de Ascalão, que colecionou por volta de onze soluções para o mesmo problema como parte de seus comentários no segundo livro de Arquimedes, Da esfera e do cilindro.

Busto atribuído a Árquitas; atualmente supõe-se que seja de Pitágoras.

A solução de Árquitas é baseada em uma arrojada geometria tridimensional, porém baseada em conceitos geométricos razoavelmente simples e bem conhecidos naquela época, e que constam da obra Elementos de Euclides como parte de suas proposições. O primeiro conceito diz que quando duas cordas são desenhadas passando por um ponto dentro de um círculo, então o produto dos dois segmentos de uma corda iguala-se ao produto dos dois segmentos da outra corda. Observe:

Na figura anterior, o produto dos segmentos AM e MB da corda AB iguala-se ao produto dos segmentos CM e MD da corda CD, ou seja:
$$ AM\times MB=CM\times MD $$
Ou ainda:
$$ \frac{AM}{CM}=\frac{MD}{MB} $$
Este princípio está embutido na proposição 35 do Livro III, assim declarada:

Se dentro de um círculo qualquer duas linhas retas se cortarem, será o retângulo, compreendido pelos segmentos de uma, igual ao retângulo compreendido pelos segmentos da outra.

O segundo conceito geométrico está associado ao Teorema de Pitágoras e ao seu inverso, respectivamente tratados nas proposições 47 e 48 do Livro I, assim declaradas:

Proposição 47

Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto.

Proposição 48

Se o quadrado feito sobre um lado de um triângulo for igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por estes dois lados será reto.

Observe:

Seja EPA um triângulo retângulo, EA sua hipotenusa e PM sua altura. Então:
$$ EM\times EA=EP^{2} $$
$$ EM\times MA=PM^{2} $$
Ao contrário, se EPA é um triângulo qualquer e PM uma altura, tal que:
$$ EM\times EA=EP^{2} $$
Ou:
$$ EM\times MA=PM^{2} $$
Então, o triângulo EPA é retângulo. Finalmente, o terceiro conceito está relacionado à construção geométrica da solução de Hipócrates de Quios para duas médias proporcionais. Observe:

Sejam A, E, P, M e Q cinco pontos, tais que:

O segmento AE seja igual ao dobro do segmento AQ;
Os segmentos PE e QM sejam ortogonais a AP e, de modo análogo, que o segmento PM seja ortogonal a AE.

Sendo PM a altura do triângulo retângulo AEP, do primeiro conceito, vem:

$$ AM\times AE=AP^{2} $$

[5]

Assim como QM a altura do triângulo retângulo APM, temos que:

$$ AQ\times AP=AM^{2} $$

[6]

Da equação [6]:

$$ AP=\frac{AM^{2}}{AQ} $$

Substituindo este resultado em [5]:

$$ AM\times AE=\left ( \frac{AM^{2}}{AQ} \right )^{2} $$

Desenvolvendo:

$$ AM\times AE=\frac{AM^{4}}{AQ^{2}} $$

$$ AE=\frac{AM^{3}}{AQ^{2}} $$

Como previamente estabelecido que AE seja o dobro de AQ, temos:

$$ 2AQ=\frac{AM^{3}}{AQ^{2}} $$

$$ AM^{3}=2AQ^{2} $$

Isto é, P e M são a solução de Hipócrates para o problema, ou dito de outro modo, AM e AQ são as duas médias proporcionais entre AP e AE. De modo análogo, a solução de Árquitas parte de dois segmentos de reta AC e BD dos quais se quer encontrar suas duas médias proporcionais, conforme indicado abaixo:

Seja também uma reta tangente à circunferência passando por C e um segmento de reta passando por AD e tocando a reta tangente em E:

A visualização tridimensional da figura acima facilitará o entendimento da construção idealizada por Árquitas, colocada abaixo em um ângulo um tanto excêntrico:

A partir deste ponto, Árquitas estabelece a construção de três sólidos de revolução, começando por uma circunferência com diâmetro AC perpendicular ao plano da circunferência definida pelos pontos ABCD e alinhada à AC; a partir dela e girando ao redor do ponto A, constrói-se um toróide com diâmetro interno nulo, conforme indicado a seguir:

O segundo sólido de revolução é um cilindro de diâmetro AC perpendicular ao plano da circunferência ABCD. Este cilindro atravessa o toróide, como se pode observar a seguir:

Finalmente, girando-se o triângulo retângulo ACE ao redor de seu lado menor AC, produz-se o cone abaixo:

O ponto P, indicado pela seta amarela, é o único local em que os três sólidos de revolução interseccionam-se. Visto por cima, temos:

Ao gerarmos o cone, uma linha saindo do ponto D descreverá um semicírculo acompanhando este sólido de revolução até atingir o ponto B. Este semicírculo encontra um ponto que chamaremos de Q quando alinhado ao segmento AP, e a projeção deste ponto atinge perpendicularmente o plano do círculo ABCD em N. De modo análogo, a projeção de P atinge perpendicularmente o plano do círculo ABCD em M. O segmento AC’, como se observa facilmente, corresponde ao mesmo segmento AC, pois trata-se do raio da circunferência ABCD. Os triângulos retângulos APC’, AMP e AQN são semelhantes entre si, donde é válida a seguinte proporcionalidade:

$$ \frac{AC'}{AP}=\frac{AP}{AM}=\frac{AM}{AQ} $$

Mas como AC’ = AC, decorre:

$$ \frac{AC}{AP}=\frac{AP}{AM}=\frac{AM}{AQ} $$

Como AC, AP, AM e AQ estão em proporção contínua, chega-se à duplicação do cubo como demonstrado acima, ou seja:

$$ AM^{3}=2AQ^{2} $$

Não se sabe o que levou Árquitas a produzir este incrível exercício de imaginação espacial para construir os triângulos com as proporções apropriadas, chegando ao resultado definido por Hipócrates.

Apesar de sua genialidade, Árquitas foi mais famoso em sua época e ainda é mais famoso na atualidade por ter enviado um navio para resgatar Platão do tirano de Siracusa, Dionísio III, em 361 a.C. Nas duas biografias antigas que sobreviveram sobre esse matemático incrível (uma pelo historiador e biógrafo de filósofos gregos Diógenes Laércio, por volta do século III d.C. e outra constante da Suda, enciclopédia bizantina sobre o mundo mediterrâneo, escrita no século X d.C.) a primeira coisa que se diz dele, depois de seu nome e do seu pai, é o resgate a Platão.

Diógenes Laércio

Curiosamente, Plutarco de Queronéia, em I d.C. relata que Platão teria criticado a solução de Árquitas por fazer uso de "construções que usam instrumentos e que são mecânicas". Platão argumentou que o valor da geometria e, de resto, da matemática, residia em sua capacidade de transformar a alma do reino manifesto para o inteligível.

Busto de Plutarco de Queronéia

O cubo do qual a geometria trata não é um cubo físico nem mesmo o desenho de um cubo, mas sim um cubo inteligível que se ajusta à definição de cubo, mas que não é um objeto tangível. Ao empregar instrumentos físicos, que "exigiam muito artesanato comum" e, na verdade, construindo máquinas para determinar as duas médias proporcionais, Árquitas não se concentrava no mundo inteligível, mas no mundo físico, destruindo, portanto, o valor da geometria. A discussão de Platão com Árquitas é uma história curiosa, mas é difícil conciliá-la com a solução real de Árquitas, que, como demonstrado, não aplica nenhum instrumento ou máquina. Pode ser que a história de Plutarco sobre uma discussão entre Platão e Árquitas sobre o uso de dispositivos mecânicos em geometria seja uma invenção da tradição posterior e talvez tenha servido de base para o mito da ciência mecânica, que explicou a separação entre a mecânica e a filosofia como resultado de uma discussão entre os dois filósofos. Na República, Platão é crítico da geometria sólida de seu tempo, mas sua crítica não menciona o uso de instrumentos; em vez disso, enfoca o fracasso da geometria sólida em uma disciplina coerente, ao lado da geometria e da astronomia. A história da disputa, que é relatada pela primeira vez por Plutarco, também é difícil de conciliar com a fonte mais antiga para a história do problema de Delos: Eratóstenes de Cirene. Nascido por volta de 276 a.C., contemporâneo de Arquimedes e Apolônio, foi prodigioso em quase todos os ramos do conhecimento de seu tempo, distinguindo-se como matemático, geógrafo, astrônomo, historiador, poeta, filósofo e atleta! Para solucionar o problema da duplicação do cubo, Eratóstenes inventou um instrumento para determinar as médias proporcionais: o mesolábio ("gerador de médias"), e ele conta a história do problema de Delos precisamente para enfatizar que as soluções anteriores, incluindo a de Árquitas, eram demonstrações geométricas que não poderiam ser empregadas para fins práticos. Ele denomina a solução de Árquitas como dysmêchana, ou seja, "dificilmente mecânica".

Um mesolábio construído para fins didáticos

O mesolábio de Eratóstenes consiste em uma estrutura retangular formada pelos pontos ABCD, conforme a seguir:

Ao longo do comprimento desta estrutura deslizam três triângulos retângulos formados, respectivamente, pelos pontos AEF, IGH e JKL, sendo que este último tem seu cateto maior dividido em duas partes iguais pelo seu ponto médio M. Para se duplicar um cubo de aresta a, a altura AD da estrutura retangular deve ser igual a 2a. Mantendo-se o triângulo AEF fixo, movemos os outros dois ao longo do comprimento da estrutura retangular, de modo que o lado EF do primeiro triângulo interseccione a hipotenusa IG do segundo triângulo no ponto N; analogamente, o lado HG do segundo triângulo deve interseccionar a hipotenusa JK do terceiro triângulo no ponto O, de tal forma que um segmento de reta ligando os pontos A e M deve passar igualmente pelos pontos N e O, até tocar a base DC da estrutura retangular no ponto P, conforme abaixo.

Da figura, observa-se que os triângulos APD, NPE, OPG e MPK são semelhantes entre si. Logo, vale a proporcionalidade:
$$ \frac{MK}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{AD} $$
Observa-se que os segmentos MK, OG, NE e AD estão em proporção contínua, segundo postulado por Hipócrates. Se os segmentos OG e NE são as médias proporcionais procuradas e AD = 2a, então MK = a, e assim:
$$ \frac{a}{OG}=\frac{OG}{NE}=\frac{NE}{2a} $$
Obtendo-se as equações a seguir:
$$ \left\{\begin{matrix}a\times NE=OG^{2}\\ 2a\times OG=NE^{2}\end{matrix}\right. $$
Isolando NE na primeira equação e substituindo o resultado na segunda, vem:
$$ 2a\times OG=\left ( \frac{OG^{2}}{a} \right )^{2} $$
$$ 2a\times OG=\frac{OG^{4}}{a^{2}} $$
$$ 2a\times a^{2}=\frac{OG^{4}}{OG} $$
$$ 2a^{3}=OG^{3} $$
Ou seja, o volume de um cubo de aresta OG é o dobro do volume de um cubo de aresta a (onde a = MK). E mais uma vez chegamos ao resultado da duplicação do cubo.

É aí que entra em cena outro matemático e geômetra grego: Menecmo de Atenas (~380 a.C. a ~320 a.C.). Pertencente à Academia de Platão e tendo sido aluno de Eudoxo de Cnido, atribui-se a ele a introdução ao estudo das seções cônicas para a solução do problema da duplicação do cubo, como citado por Eutócio (que faz referência a uma carta escrita por Eratóstenes ao rei Ptolomeu II do Egito, onde afirmaria que a autoria das tríades de cônicas é de Menecmo) ou na citação de Proclo de Lícia no século V d.C., em seus comentários no primeiro livro dos Elementos de Euclides, em que atribui a Menecmo a invenção das cônicas a partir de seus estudos com cones. Na Grécia dos séculos IV e III a.C., um cone era obtido rotacionando-se um triângulo retângulo ao redor de seu cateto maior. Era designado cone oxigonal (ou acutângulo) quando o ângulo no vértice do cone era agudo; cone ortogonal (ou retângulo) se fosse um ângulo reto; e finalmente cone ambligonal (ou obtusângulo) se o ângulo no vértice desse cone fosse obtuso, conforme indicado abaixo:

À esquerda: cone oxigonal, com ângulo do vértice α menor que 90º. Ao centro: cone ortogonal, com ângulo do vértice β igual a 90º. À direita: cone ambligonal, com ângulo do vértice γ maior que 90º.

No estudo das seções cônicas, Menecmo concentrou-se na geração de um cone acutângulo a partir de um triângulo retângulo com ângulo de rotação (formador do vértice do cone) de 45º. Observe:

No movimento de rotação indicado na figura acima, a hipotenusa é a geratriz do cone. Para a resolução do problema de Delos, Menecmo estudou as curvas que poderiam ser obtidas a partir de seccionamentos do cone por planos em ângulos variados em relação ao eixo de rotação ou à hipotenusa. Assim, um plano perpendicular a esse eixo de rotação produz um seccionamento circular no cone, conforme a seguir:

Quando esse plano é paralelo à hipotenusa, o seccionamento do cone produz uma parábola, conforme abaixo:

Fazendo agora com que esse plano fique paralelo ao eixo de rotação, o seccionamento do cone produz uma hipérbole, como indicado:

Finalmente, quando o plano está em um ângulo tal que não o torne nem paralelo à hipotenusa nem paralelo ao eixo de rotação, o seccionamento do cone produz uma elipse:

Dos seccionamentos, obtém-se:

Um círculo, em vermelho;
Uma elipse, em amarelo;
Uma parábola, em verde;
Uma hipérbole, em azul.

A elipse, a parábola e a hipérbole formam a tríade de cônicas, cuja descoberta é atribuída a Menecmo. Suas descobertas resultaram de uma busca por curvas que possuíssem propriedades compatíveis ao cálculo das médias proporcionais indicadas na redução de Hipócrates. Como revisado nos comentários de Eutócio, as soluções de Menecmo permitiam obter a aresta do cubo duplicado a partir da intersecção de duas cônicas. A chamada primeira solução de Menecmo envolvia duas parábolas e a segunda solução envolvia uma parábola com uma hipérbole. Relembrando as equações [1], [2] e [3] apresentadas no início deste capítulo como soluções algébricas modernas da duplicação do cubo, temos:

	$$ x^{2}=ay $$	[1]
	$$ y^{2}=2ax $$	[2]
	$$ xy=2a^{2} $$	[3]

Gerando um gráfico para a primeira solução de Menecmo, obtemos uma parábola azul para a equação [1] e uma parábola verde para a equação [2], conforme se observa abaixo:

O ponto de intersecção entre as duas parábolas, indicado pela seta amarela, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde ao tamanho da aresta do cubo duplicado. Considerando-se que o cubo original tenha uma aresta de tamanho igual a 1, o cubo duplicado terá uma aresta igual a:
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times Aresta_{original}^{3} $$
$$ Aresta_{duplicada}^{3}=2\times 1^{3}=2 $$
$$ Aresta_{duplicada}=\sqrt 2\cong 1,26 $$
Que é o valor observado no eixo x do gráfico. Gerando agora um novo gráfico utilizando a parábola da equação [1] em conjunto com a hipérbole da equação [3], obtemos a segunda solução de Menecmo, como se observa a seguir:

Mais uma vez, o ponto de intersecção entre a parábola azul e a hipérbole verde, indicado pela seta vermelha, representa a solução do problema da duplicação do cubo: o valor desse ponto no eixo x corresponde à aresta do cubo duplicado que, como é de se esperar, tem o mesmo valor da primeira solução, aproximadamente igual a 1,26. Vale lembrar que um gráfico obtido com a parábola da equação [2] em conjunto com a hipérbole da equação [3] fornecerá o mesmo resultado para a segunda solução de Menecmo, já que se trata de equações que respeitam a média proporcional proposta por Hipócrates. Observe que a geometria fazia para os gregos o que a álgebra faz por nós atualmente, mas a um custo e esforço de imaginação consideravelmente maiores. Aliás, tendo sido Menecmo tutor de Alexandre Magno, existe uma anedota – atribuída a Platão – em que o monarca, apressado talvez em sair para o campo e conquistar o mundo, pede a seu mestre para lhe mostrar um jeito mais fácil de aprender geometria. Alega-se que Menecmo tenha respondido: “Ó meu rei, para viajar através do país existem estradas privadas e estradas reais, mas para aprender geometria existe uma única estrada para todos”. Porém, foi com outro matemático grego que as seções cônicas atingiram o seu auge no mundo antigo: Apolônio de Perga (262 a.C. a 190 a.C.); na antiguidade já era conhecido como 'O Grande Geômetra' e lecionou em Alexandria. De sua grande produtividade científica, somente uma obra se preservou substancialmente, as Cônicas. Nesta obra-prima da geometria antiga, Apolônio apresenta um estudo aprofundado das seções cônicas em oito livros, dos quais sete sobreviveram somente através de traduções árabes realizadas entre os séculos IX e XI d.C.

Tradução para o árabe de Cônicas, por Thabit ibn Qurra, fólios 6b e 7a.

As Cônicas, de Apolônio de Perga ‘o grande geômetra’, fólios 162b e 164a, traduzido para o árabe por Thabit ibn Qurra no século IX d.C. Atualmente encontra-se na Biblioteca Bodleian, prateleira MS. Marsh 667, na Universidade de Oxford. Thabit ibn Qurra foi um matemático, médico, astrônomo e tradutor de obras gregas que viveu em Bagdá durante o califado Abássida.

As Cônicas formam uma obra extensa e rigorosa, escritas num estilo matemático euclidiano, contendo postulados, teoremas e provas, e descrições verbais dos objetos, além da ausência de qualquer notação algébrica, sem coordenadas e, de resto, sem figuras. É uma geometria de objetos estáticos, sem movimento e considerada de leitura difícil. Entretanto essa obra retrata, em grande parte, o que se conhecia sobre geometria no mundo antigo, suplantando manuscritos anteriores, a exemplo daqueles produzidos por Menecmo e Euclides. Apolônio fez uma definição das seções cônicas numa abordagem diferente daquela adotada por seus antecessores, definindo elipses, parábolas e hipérboles como curvas em um plano através de um conjunto de segmentos de linha ordenados e paralelos em relação a um eixo, um conceito muito próximo da idéia de coordenadas geométricas.

Outra tradução para o árabe das Cônicas de Apolônio. Observe o uso de segmentos de linhas paralelos e ordenados em relação a um eixo, utilizados para a construção das curvas.

As Cônicas possuem uma variedade de belos teoremas pouco conhecidos atualmente, e os principais resultados matemáticos desta obra concentram-se em similaridades e médias geométricas. Estes teoremas foram utilizados intensamente ao longo do século XVII d.C. De fato, todos os matemáticos desse século estudaram Apolônio, a ponto de alguns desses teoremas terem sido utilizado por Isaac Newton em sua obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, de 1687, para a discussão das órbitas planetárias. Para Apolônio, um cone é uma figura geométrica formada pela conformação de todas as linhas no espaço que atravessam um círculo fixo em um plano e se concentram em um ponto fixo externo ao plano do círculo. Em outras palavras, uma linha passando por um ponto P (fixo, porém articulado) percorrendo um círculo em um plano, externo a P, perfaz um cone. O círculo é chamado de base, ou circunferência geratriz do cone. O ponto P é chamado de vértice do cone. Como o cone é definido por linhas retas (e não por segmentos), ele forma duas folhas, opostas entre si; além disso, o cone se estende indefinidamente nas duas direções. Ele não termina no círculo delimitado pelo plano, como se fosse um cone de sorvete. A figura a seguir demonstra a idéia geral contida nos conceitos utilizados nessa construção geométrica.

Apolônio foi o primeiro geômetra a demonstrar que um cone não precisa ser retângulo para a obtenção de elipses, parábolas e hipérboles, ao mostrar que essas curvas não eram diferentes ao serem obtidas a partir de planos cortando cones oblíquos (como os da figura acima) ou cones retos. A substituição de um cone de folha única por cones de folhas duplas também foi outra generalização importante apresentada nesse tratado. Vejamos então como se dá a construção dessas três famosas curvas, começando pela elipse. Desenhe um retângulo ABCD e encontre seus pontos médios E, F, G e H, dividindo-o em quadrantes, conforme abaixo:

Agora divida os segmentos AH e HO em oito partes iguais cada um:

A partir do ponto E desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento AH; de modo análogo, a partir do ponto G desenhe segmentos de linha conectando-se às divisões do segmento HO, como a seguir:

Selecione a intersecção entre cada dois segmentos de reta, na seguinte sequência: a intersecção de um segmento de reta, de baixo para cima no segmento AH, para cada segmento de reta, da esquerda para a direita no segmento HO. Conecte estes pontos para formar a primeira parte da elipse, conforme se observa a seguir:

Para formar uma elipse completa, basta seguir o mesmo procedimento nos demais quadrantes do retângulo. Agora vamos construir uma parábola: comece desenhando um retângulo ABCD e determine os pontos médios E do segmento AB e F do segmento CD, unindo-os em seguida, conforme abaixo:

Divida os segmentos AD e DF em seis partes iguais cada um, onde serão construídas linhas auxiliares, como indicado abaixo:

Agora, conecte o ponto E às divisões do segmento AD, como indicado abaixo:

Como último passo das construções auxiliares, desenhe retas paralelas ao segmento EF, passando pelas divisões do segmento DF, como indicado abaixo:

Construa metade de uma parábola conectando cada uma das intersecções das linhas auxiliares, de baixo para cima partindo do segmento AD e da esquerda para a direita, partindo do segmento DF, como indicado abaixo em azul:

Para formar uma parábola completa, basta seguir o mesmo procedimento na outra metade do retângulo. Finalmente, vejamos como construir uma hipérbole. Comece desenhando um segmento de reta e coloque sobre ele três pontos A, B e C, de tal modo que a distância BA seja igual à distância AC. Em seguida, posicione um ponto D acima do segmento de reta e à direita de C, como indicado a seguir:

Em seguida, desenhe um retângulo CEDF e divida os lados ED e DF em oito partes iguais, como mostrado abaixo:

Conecte o ponto B às divisões do lado DF do retângulo através de segmentos de reta; faça o mesmo ligando o ponto C às divisões do lado ED do retângulo através de segmentos de reta, conforme indicado na figura a seguir:

Basta conectar as intersecções entre os segmentos de reta que ligam as divisões do lado DF do retângulo (de baixo para cima) aos segmentos de reta que ligam as divisões do lado ED do retângulo, da esquerda para a direita, formando a hipérbole em azul, conforme abaixo:

Encerramos com estas curiosas construções geométricas o capítulo sobre as seções cônicas.

Referências bibliográficas:

[1]	Luiz, A. A. et alli “Eratóstenes, um gênio do tamanho da Terra”, XIX Semana da Matemática, IBILCE/UNESP, 2010.
[2]	Huffman, C. “Archytas (Stanford Encyclopedia of Philosophy)”, The Metaphysics Research Lab, Center for the Study of Language and Information, Stanford University, 2016 – https://plato.stanford.edu/entries/archytas.
[3]	Rivest, F.; Zafirov, S. “Duplication of the cube”, McGill School of Computer Science (http://www.cs.mcgill.ca/~cs507/projects/1998/zafiroff/DC.html acessado em Nov/2017).
[4]	Dennis, D.; Addington, S. “Apollonius and Conic Sections”, Mathematical Intentions, 2009 (http://www.quadrivium.info).
[5]	Heath, T. L. “Treatise on conic sections – Edited in modern notation – with introductions including an essay on the earlier history of the subject”, Cambridge: at the university press, 1896. Digitalizado e disponibilizado em PDF pela Google Books.

As origens dos gráficos

2018-05-22T08:59:00.002-03:00

Tyrrell-P34, o revolucionário carro de Fórmula 1 com seis rodas, criado pelo projetista Derek Gardner. Este carro participou das temporadas de 1.976 e de 1.977 da F-1. Atualmente, todos os parâmetros de desempenho dos carros de corrida são acompanhados em tempo real através de gráficos.

O movimento das estrelas no céu noturno sempre maravilhou a humanidade. Desde eras ignotas, o homem eleva seus olhos para as profundezas do espaço, buscando encontrar ali respostas a todas as suas perguntas, fossem relacionadas a assuntos prementes, como a expectativa de boas colheitas, fossem questões intangíveis, como seu destino após a morte. Civilizações pré-históricas, sumérios, babilônios, egípcios, maias, gregos, todos sem exceção observaram os céus e estudaram o deslocamento dos corpos celestes. Esses movimentos uniformes eram bem conhecidos pelos antigos matemáticos gregos. O astrônomo, matemático e geógrafo grego Autólico de Pitane (360 a.C. a 290 a.C.) em sua obra Sobre a esfera móvel, estudou o movimento circular uniforme das estrelas nos céus, ao afirmar que um objeto movia-se uniformemente se percorresse distâncias iguais em tempos iguais, ou seja, que para períodos fixos de tempo o objeto percorre sempre a mesma distância. Arquimedes fez uso das definições de Autólico para provar que um objeto movendo-se uniformemente percorrerá distâncias proporcionais ao tempo. Significa que a distância x percorrida em um intervalo de tempo t será proporcional a uma distância y percorrida em um intervalo de tempo s:
$$ \frac{x}{y}=\frac{t}{s} $$
Observe que a proporção acima não faz menção a velocidades, apenas distâncias percorridas e tempos, pois os gregos antigos aceitavam apenas razões cujas magnitudes fossem da mesma natureza, no caso, distância com distância (x e y) e tempo com tempo (t e s). Assim, temos uma razão entre duas distâncias igualada a outra razão entre dois intervalos de tempo. Se os gregos aceitassem razões mistas, envolvendo magnitudes de naturezas distintas, a proporção acima poderia ser alterada para:
$$ \frac{x}{t}=\frac{y}{s} $$
Que interpretamos atualmente como a velocidade x/t que se iguala à velocidade y/s, ou seja, um objeto que se move uniformemente quando se desloca a uma velocidade constante.

Inscrições rupestres pré-históricas escavadas na rocha, provavelmente representando estrelas, com estimados 6.000 de idade, elaboradas por comunidades indígenas e identificadas como itacoatiaras (ou 'pedras riscadas' em tupi-guarani) no sítio arqueológico Pedra do Ingá, no Estado da Paraíba, Brasil.

Fragmento de um calendário estelar circular babilônio, da biblioteca subterrânea do rei Assurbanípal (668 a 627 a.C.) na cidade de Nínive, atual Iraque.

Carta estelar da tumba de Senemute, um arquiteto e oficial de governo da 18ª dinastia do antigo Egito.

O movimento de rotação da Terra faz parecer que as estrelas no céu deslocam-se circularmente ao longo da noite.

Posteriormente, por volta da metade do século XIV d.C., o movimento uniforme já não despertava mais questionamentos; ao contrário, era o movimento não uniforme que se buscava compreender, quer dizer, quando a velocidade de um objeto não era constante. Um pequeno grupo composto de quatro escolásticos do colégio Merton (conhecidos como calculadores de Oxford) debruçou-se sobre esta questão. Eram eles:

· Thomas Bradwardine (~ 1.290 a 1.349) – físico e matemático. Era um lógico talentoso, com teorias sobre os insolúveis – em particular sobre o paradoxo do mentiroso[1];

· William Heytesbury – foi tesoureiro do colégio Merton até os finais da década de 1.330, bem como administrou propriedades do colégio na Nortúmbria;

· Richard Swineshead – matemático, lógico e filósofo naturalista. Entrou para o grupo dos calculadores de Oxford em 1.344. Foi considerado pelo polímato italiano Girolamo Cardano no século XVI como um dos dez maiores intelectos de todos os tempos, ao lado de Arquimedes, Aristóteles e Euclides. Em seu tempo já era conhecido pela alcunha de “o calculador”;

· John Dumbleton – tornou-se membro dos calculadores de Oxford entre 1.338-1.339.

Apesar de não serem capazes de definir velocidade com precisão, trabalharam com velocidades como se fossem quantidades reais. Além disso, compreenderam que quando a velocidade variava, havia uma taxa de mudança: a aceleração (ou desaceleração, quando a velocidade fosse negativa; mas estes casos não eram considerados, pois eles não conheciam os números negativos). Suas descobertas sobre certos movimentos não uniformes recebeu o nome de Teorema da velocidade média de Merton. Diz-se que, se um objeto se move com uma aceleração constante, então a distância que percorre é igual à distância que teria percorrido se estivesse se movendo a uma velocidade constante, onde tal velocidade seria a média entre as velocidades inicial e final desse objeto. Nessa mesma época outro escolástico – francês – ampliou o estudo analítico de quantidades variáveis: Nicolau Oresme, bispo de Lisieux. Foi um filósofo que escreveu influentes trabalhos em economia, matemática, física, astronomia, filosofia e teologia.

[1] O paradoxo do mentiroso consiste na declaração de um mentiroso absoluto que afirma: “Estou mentindo”. Se a afirmação do mentiroso é verdadeira, então a sentença é falsa, pois o mentiroso mente sempre; mas se a sentença é falsa, então o mentiroso estaria dizendo a verdade, o que não é possível; logo, a sentença tem que ser verdadeira, e assim por diante. O paradoxo surge desta incoerência lógica cíclica.

Página do livro: “Tratado da esfera; Aristóteles, do céu e do mundo”. Tradução para o francês por Nicolau Oresme, que aparece no alto da página, escrevendo, com um globo à direita.

Atribui-se a Oresme o surgimento da primeira tentativa de construção de um gráfico para expressar quantidades variáveis, que aparece em sua obra Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, escrito por volta de 1.370.

Fac-símile de uma página da obra "Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum", de Nicolau Oresme. Observe as construções geométricas à esquerda e ao final da página para descrever quantidades variáveis.

É interessante observar que o físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano Galileu Galilei, em sua obra Discorsi, de 1.656, apresenta sua prova para a lei da queda livre com um diagrama muito semelhante ao utilizado por Nicolau Oresme, como se pode observar abaixo:

Página da obra "Discorsi", de Galileu. Observe o gráfico na metade inferior esquerda, que utiliza uma construção geométrica muito semelhante à de Oresme para descrever um corpo em queda livre.

Na ilustração a seguir temos um bom exemplo de como Nicolau lidava com suas interpretações gráficas:

Neste exemplo, Oresme representava o tempo como uma linha horizontal, neste caso o segmento AB, à qual denominava de longitude. Dado um objeto em movimento, a cada instante no tempo esse objeto possui uma velocidade, representada por linhas verticais que Oresme denominava de latitudes, como é o caso do segmento EF. Em conjunto, estas latitudes formam a região plana ABDC, à qual dava o nome de forma, delimitada em sua base pela longitude AB, à esquerda pela primeira latitude, AC – representando a velocidade inicial – à sua direita pela última latitude, BD – representando a velocidade final – e no topo pela curva CFD, à qual dava o nome de curva cimeira. Por fim, Oresme afirmava que a área da forma ABDC era proporcional à distância percorrida. Nicolau montou os vários comprimentos proporcionais a distâncias ou tempos uma vez que, tal como pensavam os antigos gregos, esses comprimentos representavam coisas de naturezas diferentes, mas é provável que ele fizesse uso da linguagem da igualdade: traçavam-se longitudes cujos comprimentos fossem iguais ao tempo decorrido e latitudes cujos comprimentos fossem iguais à velocidade naquele instante. Oresme ainda publicaria outra obra em que faria extenso uso dessas formas para descrever quantidades variáveis: o Tractatus de latitudinibus formarum, que só viria a ser publicado em 1.486. Nesta obra, é possível identificar diversos elementos gráficos diferentes, com curvas ou composições geométricas que buscavam traduzir fenômenos físicos.

Página do livro Tractatus de latitudinibus formarum, de Nicolau Oresme, publicado em 1.486. Observe as longitudes e latitudes nas figuras à direita para descrever quantidades variáveis associadas a fenômenos físicos.

Com suas latitudes e longitudes, Oresme foi capaz de tabular duas magnitudes variáveis que guardam entre si uma relação de dependência e representá-las graficamente, trazendo implicitamente a idéia de um sistema proto-cartesiano. Porém, os gráficos só atingiriam sua maturidade mais de 150 anos depois das publicações de Nicolau Oresme, quando René Descartes lança o seu Discurso sobre o método, em 1.637, demonstrando o uso de um sistema de coordenadas para a construção de linhas e curvas, no volume Geometria.

Fragmento do volume Geometria, da obra Discurso sobre o método, de Descartes. Observe os eixos cartesianos e a construção da curva, neste que é o protótipo dos gráficos atuais.

O interesse inicial de Descartes em matemática estava relacionado às leis dos corpos em queda livre e ele utilizou-se em seus estudos de diagramas semelhantes àqueles existentes nos trabalhos de Oresme. Porém, é indubitável que Descartes evitou meticulosamente qualquer referência a seu antecessor e não se pode dizer com certeza que ele estivesse familiarizado com o trabalho de Nicolau, ainda que tudo indique que sim.

Outro exemplo de um sistema de coordenadas de Descartes para a construção de linhas e curvas, representando geometricamente a solução de raízes positivas de equações algébricas.

O conceito de função emergiu no século XVII como resultado do desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo infinitesimal. Porém, o embrião de quantidades variáveis independentes e dependentes, que caracterizam as funções, surge com os trabalhos de Nicolau Oresme. A partir da obra de Descartes, os matemáticos foram capazes de trabalhar com problemas envolvendo curvas e equações algébricas como relações entre coordenadas variáveis x e y em um plano cartesiano. Mas o termo “função” passou a ser utilizado com mais frequência nas correspondências trocadas entre o gigante da matemática – o alemão Gottfried Leibniz – e o não menos importante matemático, o suíço Johann Bernoulli, para descrever uma quantidade associada a uma curva (como a inclinação de uma curva em um ponto específico).

O matemático suíço Johann Bernoulli

Bernoulli começou a chamar as expressões compostas de uma única variável como funções. Em 1.698 ele concordou com a proposição de Leibniz de que qualquer quantidade formada “de um modo algébrico e transcendental” poderia ser chamada uma função de x. Em 1.718, Bernoulli passou a considerar uma função “qualquer expressão composta de uma variável e algumas constantes”. Finalmente, por volta de 1.714, o matemático francês Alexis Claude Clairaut e outro dos gigantes da matemática, o suíço Leonhard Euler, introduziram a notação agora familiar de “f(x)” para o valor de uma função.

O matemático francês Alexis Claude Clairaut

Em matemática, uma função é a relação entre um conjunto de dados de entrada e um conjunto admissível de dados de saída, com a propriedade de que cada entrada está associada exatamente a uma saída. Um exemplo é a função que relaciona cada número real x com o seu quadrado x². A função pode ser visualizada como uma máquina processadora: o conjunto de dados de entrada são as quantidades variáveis independentes (que denotamos por x), e o conjunto de dados de saída são as admissíveis quantidades variáveis dependentes, que denominamos f(x). A função f é a máquina que processa cada valor de x na entrada, transformando-a em outro valor f(x). A figura a seguir demonstra este conceito:

A máquina função f, que recebe quantidades variáveis independentes (x) e as transforma em quantidades variáveis dependentes f(x).

O conjunto de dados de entrada também é conhecido como domínio da função e os dados de saída como imagem da função e o conjunto de todos os pares entradas-saídas é denominado de gráfico. Vejamos o uso de funções na otimização de problemas, como este:

Um belo dia, um rei medieval convocou seu engenheiro real e ordenou que iniciasse a construção de um novo castelo em uma de suas propriedades de repouso. De modo particular, o rei deseja ter uma janela normanda em seu quarto, que ficará na face norte do castelo. Esta janela deve permitir tanta entrada de luz solar e ar fresco quanto possível. Por limitações técnicas construtivas naquela época, o engenheiro informou ao seu rei que o perímetro externo total da janela deveria ter, no máximo, 18 metros lineares. O rei, que não entendia de matemática, não se incomodou muito e aceitou esta restrição. O engenheiro, porém, precisa agora encontrar as melhores medidas para que a janela normanda tenha a máxima área possível para a entrada de luz solar e ar fresco que o rei tanto deseja.

A questão principal do problema, como enunciado, é maximizar a área da janela normanda. O primeiro passo neste caso é definir as medidas das figuras geométricas que compõem a janela, como indicado a seguir:

A parte retangular da janela tem base igual a x e altura y; a parte arredondada – um semi-círculo – tem raio igual a r. Nestas condições, podemos estabelecer que perímetro externo total da janela normanda é dado e igual a 18 metros lineares. A equação que define este perímetro será:

$$ P=2y+x+\pi r $$

$$ 18=2y+x+\pi r $$

Onde P representa o perímetro e vale 18 metros; 2y + x corresponde às alturas e base da parte retangular da janela e πr corresponde ao perímetro do semi-círculo que, somados, perfazem o perímetro externo total. Da figura, é possível observar que o raio do semi-círculo corresponde à metade da base retangular da janela, ou seja:

$$ r=\frac{x}{2} $$

Finalmente, a área da janela normanda será dada por:

$$ A=xy+\frac{\pi r^{2}}{2} $$

Onde A é a área da janela que se deseja maximizar, xy é a área da parte retangular da janela e πr²/2 é a área da parte semi-circular. Vamos agora transformar a área da janela na variável dependente em relação à base x da janela, ou seja, ela assumirá valores que dependem das possíveis dimensões de x, que passa a ser a variável independente do problema (poderíamos fazer o mesmo para a altura y ou para o raio r). Em resumo, a área passará a ser uma função da dimensão x da janela:

$$ A(x)=xy+\frac{\pi r^{2}}{2} $$

Mas para que isso seja verdade, temos que fazer com que as demais dimensões (y e r) fiquem também em função de x. Já sabemos que o raio r corresponde à metade da base x da janela:
$$ r=\frac{x}{2} $$
Resta agora calcular a relação de dependência entre a altura y da parte retangular da janela com sua base x, o que pode ser obtido através da fórmula do perímetro:
$$ 18=2y+x+\pi r $$
Isolando y na equação acima, temos:
$$ 2y=18-x-\pi r $$
$$ 2y=18-x-\pi \frac{x}{2} $$
$$ y=9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} $$
A fórmula da área da janela normanda agora tem como ser uma função de sua base x. Com os devidos cálculos, temos:
$$ A(x)=x\left [ 9-\frac{x}{2}-\pi \frac{x}{4} \right ]+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{4}+\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x^{2}}{8} $$
$$ A(x)=9x+x^{2}\left [ \frac{-4-\pi }{8} \right ] $$
A equação obtida condiciona a área da janela como uma função de uma de suas medidas, neste caso, sua base x. Esta área – como não poderia deixar de ser – resulta em uma equação quadrática. Tabulando as variáveis x, A, y, r e P e utilizando as fórmulas calculadas, temos:

x	A(x)	y	r	P
0	0	9	0	18
1	8,11	7,72	0,5	18
2	14,43	6,43	1	18
3	18,97	5,14	1,5	18
4	21,72	3,86	2	18
5	22,68	2,57	2,5	18
6	21,86	1,29	3	18
7	19,56	0,002	3,5	18

A linha destacada em laranja indica a máxima área que se pode obter na janela normanda dada a restrição de seu perímetro. Observe que na última linha da tabela a medida da variável y praticamente zera. Montando um gráfico cartesiano com base nas dimensões x e área A, temos:

No gráfico, o topo da curva quadrática indica, respectivamente, o valor em que a área da janela é máxima. Note que, se a base x da janela corresponde a 5 metros e a altura y da parte retangular vale, aproximadamente, 2,57 metros, então a aparência desta janela de fato será:

Com essa área, certamente não faltará luz solar e ar fresco no quarto do rei!

Referências bibliográficas:

[1]	Benestad, C.; Sanguinet, W.; Winders, M. “Origin of the fundamental theorem of calculus”, Math 121, Calculus II, Clark University. Acessado em Abril/2018 no sítio: https://mathcs.clarku.edu/~ma121/.
[2]	Wikipedia “Autólico de Pitane”, acessado em Abril/2018 no sítio: https://pt.wikipedia.org/wiki/Autólico_de_Pitane.
[3]	Restall, G. “Modal models for bradwardine’s theory of truth”, Review of Symbolic Logic 1, págs. 225-240, 2008.
[4]	Eastman, T. E.; Epperson, M.; Griffin, D. R. "Physics and Speculative Philosophy: Potentiality in Modern Science", Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2016. ISBN: 3-1104-5181-6, 978-3-1104-5181-8.
[5]	Boyer, C. B. “History of analytic geometry”, Dover Books on Mathematics, 2012. ISBN: 0-4861-5451-3, 978-0-4861-5451-0.
[6]	Wikipedia, “History of the function concept”, acessado em Dez/2015. Site: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept.
[7]	Wikipedia, “Function (mathematics)”, acessado em Dezembro/2015. Site: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics).

As triplas ou ternos pitagóricos

2018-05-22T08:59:00.001-03:00

Plaqueta de argila cozida babilônica conhecida pelo nome Plimpton 322, atualmente mantida na Biblioteca de Manuscritos e Livros Raros da Universidade de Colúmbia, em Nova Iorque.

Uma tripla ou terno pitagórico consiste de três números inteiros positivos a, b e c que respeitem a seguinte condição:

$$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $$

O nome tem origem no teorema de Pitágoras, que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros, então os valores desses lados formarão um terno pitagórico, expresso como (a, b, c). Uma tripla pitagórica será dita primitiva se os números a, b e c forem primos entre si. A tripla primitiva mais conhecida entre todas é (3, 4, 5) que, expressa geometricamente, forma a figura abaixo:

Tripla pitagórica primitiva.

Nesta imagem temos um triângulo retângulo de lados iguais a 3, 4 e 5. Os lados deste triângulo são também um dos lados de três quadrados distintos, cada um dos quais possui uma área que representa o quadrado de seus lados. Assim, o lado do triângulo igual a 3 é o lado de um quadrado, cuja área é 9; de modo análogo, o lado do triângulo igual a 4 é o lado de outro quadrado, cuja área é 16; finalmente, o lado do triângulo igual a 5 é o lado de terceiro quadrado, cuja área é 25. Fazendo a = 3, b = 4 e c = 5, temos:

$$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $$

$$ 3^{2}+4^{2}=5^{2} $$

$$ 9+16=25 $$

$$ 25=25 $$

Porém, triângulos retângulos com lados cujos comprimentos não sejam números inteiros não formam um terno pitagórico. É o caso de um triângulo retângulo de lados (1, 1, √2), pois √2 é irracional. Os ternos pitagóricos são conhecidos desde muito antes dos gregos: seu registro mais antigo está inscrito na plaqueta de argila babilônica Plimpton 322, confeccionada provavelmente entre 1.822 e 1.762 a.C. durante o reinado de Hamurabi, que foi o sexto rei da primeira dinastia babilônica. Tendo sido descoberta por volta de 1.900 pelo arqueologista, acadêmico e aventureiro Edgar James Banks, foi vendida por volta de 1.920 ao filantropo George Arthur Plimpton pela bagatela de 10 dólares!

Edgar J. Banks, foto de 1922. Ele serviu de inspiração para criar a personagem Indiana Jones.

Esta plaqueta está segmentada em 15 linhas divididas em 4 colunas, cada uma contendo um cabeçalho; a primeira coluna está parcialmente ilegível em função de danos na peça, mas as demais são claramente legíveis.

Desenho reproduzindo a parte frontal da Plimpton 322.

Contendo um padrão de números composto de ternos pitagóricos, estudos recentes revelam que a Plimpton 322 descreve as formas de triângulos retângulos utilizando um tipo de trigonometria baseada em razões ao invés de ângulos e círculos, tornando-a não apenas a mais antiga tabela trigonométrica como a única totalmente precisa, devido à abordagem peculiar dos babilônios com a aritmética e a geometria, assuntos estes já abordados em capítulos anteriores, tais como A álgebra dos babilônios e dos egípcios, no primeiro capítulo deste volume, em Operações aritméticas com frações, no segundo volume desta série, ou ainda em As origens da raiz quadrada, no terceiro volume. A plaqueta Plimpton 322 foi uma ferramenta poderosa que pode ter sido usada para fazer cálculos arquitetônicos na construção de palácios, templos e zigurates (pirâmides de degraus babilônicos).

Templo de Nanna, zigurate mandado erigir por Ur-Nammu, rei de Ur, atual Iraque.

Apesar da genialidade dos babilônios, coube ao grego Euclides – em sua obra Elementos – apresentar uma fórmula que permite encontrar infinitas triplas trigonométricas. A fórmula é a seguinte:

$$ \left\{\begin{matrix}a=m^{2}-n^{2}\\ b=2mn\\ c=m^{2}+n^{2}\end{matrix}\right. $$

Onde m e n são dois inteiros quaisquer que respeitam as condições abaixo:

$$ \left\{\begin{matrix}m> n\\ m,\ n> 0\end{matrix}\right. $$

O terno gerado pela fórmula de Euclides será primitivo se, e somente se, m e n forem primos entre si e ambos não sejam ímpares. Se m e n forem ambos ímpares, então a, b e c serão pares e não formarão uma tripla primitiva.

Uma demonstração possível toma como ponto de partida o teorema de Pitágoras:

$$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $$

Passando o termo a para o lado direito da igualdade, vem:

$$ b^{2}=c^{2}-a^{2} $$

A nova expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

$$ b\cdot b=\left ( c+a \right )\left ( c-a \right ) $$

Rearranjando, fica:

$$ \frac{b}{\left ( c-a \right )}=\frac{\left ( c+a \right )}{b} $$

Como ambas as frações são racionais, podemos igualá-las a uma terceira fração racional, assim representada:

$$ \frac{b}{\left ( c-a \right )}=\frac{\left ( c+a \right )}{b}=\frac{m}{n} $$

Trabalhando com as frações duas a duas, obtemos as equações:

$$ \left\{\begin{matrix}\frac{b}{\left ( c-a \right )}=\frac{m}{n}\\ \frac{\left ( c+a \right )}{b}=\frac{m}{n}\end{matrix}\right. $$

Trabalhando com a primeira equação, vem:

$$ \frac{b}{\left ( c-a \right )}=\frac{m}{n}\Rightarrow \frac{\left ( c-a \right )}{b}=\frac{n}{m} $$

Rearranjando:

$$ \frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m} $$

[1]

Operando agora com a segunda equação:

$$ \frac{\left ( c+a \right )}{b}=\frac{m}{n} $$

Rearranjando:

$$ \frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n} $$

[2]

Isolando a fração c/b na equação [1], tem-se:

$$ \frac{c}{b}=\frac{n}{m}+\frac{a}{b} $$

Substituindo este resultado na equação [2], obtemos:

$$ \frac{n}{m}+\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n} $$

Desenvolvendo:

$$ \frac{n}{m}+2\frac{a}{b}=\frac{m}{n} $$

$$ 2\frac{a}{b}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m} $$

$$ 2\frac{a}{b}=\frac{m^{2}-n^{2}}{nm} $$

$$ \frac{a}{b}=\frac{m^{2}-n^{2}}{2nm} $$

[3]

Comparando os numeradores e os denominadores de ambas as frações da expressão [3] podemos constatar que:

$$ \left\{\begin{matrix}a=m^{2}-n^{2}\\ b=2nm\end{matrix}\right. $$

Isolando agora a fração a/b na equação [2], temos:

$$ \frac{a}{b}=\frac{m}{n}-\frac{c}{b} $$

Substituindo este resultado na equação [1], obtém-se:

$$ \frac{c}{b}-\left ( \frac{m}{n}-\frac{c}{b} \right )=\frac{n}{m} $$

Desenvolvendo:

$$ \frac{c}{b}-\frac{m}{n}+\frac{c}{b}=\frac{n}{m} $$

$$ 2\frac{c}{b}=\frac{n}{m}+\frac{m}{n} $$

$$ 2\frac{c}{b}=\frac{n^{2}+m^{2}}{mn} $$

$$ \frac{c}{b}=\frac{n^{2}+m^{2}}{2mn} $$

[4]

Comparando os numeradores e os denominadores de ambas as frações da expressão [4] podemos constatar que:

$$ \left\{\begin{matrix}c=n^{2}+m^{2}\\ b=2mn\end{matrix}\right. $$

Como a ordem dos fatores abaixo não altera a soma:

$$ n^{2}+m^{2}=m^{2}+n^{2} $$

Nem altera o produto:

$$ 2nm=2mn $$

Chega-se, enfim, à fórmula inicial de Euclides que fornece a geração das triplas pitagóricas a partir das expressões [3] e [4]:

$$ \left\{\begin{matrix}a=m^{2}-n^{2}\\ b=2mn\\ c=m^{2}+n^{2}\end{matrix}\right. $$

Representação gráfica dos ternos pitagóricos com c < 4500. A abcissa corresponde aos números a e a ordenada corresponde aos números b. A distância entre o par ordenado (a, b) e a origem corresponde aos números c. Observe o padrão parabólico obtido com essas triplas.

Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Referências bibliográficas:

[1]	Mansfield, D. F.; Wildberger, N. J. “Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal, trigonometry”, Historia Mathematica, 2017.
[2]	Joyce, D. E. “A Quick Trip through the Elements”, Department of Mathematics and Computer Science - Clark University, 2002. Site visitado em Nov/2017 (https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/trip.html).

A álgebra medieval, renascentista e moderna

2018-05-18T09:14:00.005-03:00

Iluminura do livro “As mui ricas horas do duque de Berry”, encomendado em 1.410.

Uma das primeiras coleções de problemas na forma de jogos ou enigmas matemáticos escritos em latim já encontrados no mundo ocidental é o manuscrito atribuído ao monge da Nortúmbria, Alcuíno de Iorque, com o título Propositiones ad Acuendos Juvenes, ou Proposições para Instruir os Jovens, escrito por volta de 800 d.C.

Manuscrito carolíngio, cerca de 831 d.C. com Alcuíno (em segundo plano) apresentando seu aluno Rábano Mauro (à esquerda), que carrega nas mãos a obra de seu mestre, manuscrito este dedicado ao arcebispo Odgar de Mainz (à direita).

Tendo-se encontrado em 781 com o monarca Carlos Magno em Parma, recebe deste o convite para ajudá-lo a instruir e reformar a corte e o clero de seu reino. Como resultado deste convite, Carlos Magno manda erigir, por volta de 790, a catedral de Aquisgrão (ou Aachen), na Alemanha, onde viria a ser sepultado em 814. Na então capela original (Capela Palatina), o monge Alcuíno funda o Palácio-Escola (Aula Palatina), onde eram ensinadas as sete artes liberais: o trívio (gramática, lógica e retórica) e o quadrívio (aritmética, geometria, astronomia e música).

Vista geral atual da catedral de Aquisgrão, ou Aachen: coro gótico à esquerda, a Capela Palatina com cúpula ao centro e torre à direita.

Como o Propositiones ad acuendos juvenes foi escrito antes do advento da prensa gráfica, suas cópias eram feitas à mão por escribas, cujas reproduções sempre continham pequenas diferenças em relação ao original, tanto devido a erros de cópia quanto a mudanças deliberadas com o intuito de 'melhorar' ou atualizar o texto original. Por esse motivo, há versões que contém 53 jogos matemáticos, e outros contendo 56. A maioria dos historiadores acredita que o documento original continha 56 problemas e aqueles com 53 são versões posteriores com defeitos de cópia. Muitos destes problemas eram conhecidos em outras culturas mais antigas, mas alguns deles não são encontrados em nenhum manuscrito anterior e talvez tenham sido compostos pelo próprio Alcuíno. É atribuído a ele a versão mais antiga do problema do fazendeiro, do lobo, da cabra e do repolho, que no original era apresentado nestes termos:

Um homem, um lobo, uma cabra e um repolho tem que

atravessar um rio em um pequeno barco. No barco, o

homem só pode levar ou o lobo, ou a cabra, ou o

repolho, e ele não pode deixar, do lado do rio, o lobo

sozinho com a cabra, nem a cabra sozinha com o

repolho. Como fazer esta travessia?

A estrutura retórica deste problema é aquela de um diálogo entre um mestre e o seu aluno e é típico na formulação de questões desde a antiguidade. Rima e cadência na forma de enigmas e histórias forneciam auxílios mnemônicos valiosos e facilitavam a tradição oral de resolução de problemas. Muitos dos problemas mais antigos eram colocados em verso. Os problemas de Alcuíno apresentam claramente um caráter de declamação, típico para o sistema medieval de aprendizagem por hábito de repetição. Os estudantes medievais eram obrigados a calcular mentalmente a solução dos problemas propostos e a memorizar regras e exemplos. Esta solução depende de preceitos e de regras fáceis de lembrar para resolver problemas semelhantes, sem a necessidade de incluir uma explicação. Por exemplo, o problema 26 do Propositiones lida com álgebra simples, e usa algarismos romanos:

XXVI. propositio de cursu cbnks. bc. fvgb. lfp:rks.

Est campus qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt?

Solutio.

Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

Traduzindo para o português, temos:

26. Proposição sobre a perseguição do cão e o vôo da lebre.

Existe um campo com 150 pés de comprimento. Em um extremo havia um cachorro, no outro, uma lebre. O cão avançou atrás [da lebre], ou seja, para perseguir a lebre. Mas enquanto o cão percorria nove pés por passada, a lebre percorria [somente] sete. Diga-o, quem desejar, quantos pés e quantos saltos o cão levou para perseguir a lebre que fugia até que fosse capturada?

Solução.

O comprimento deste campo era de 150 pés. Tomando metade de 150 faz 75. O cão estava cobrindo nove pés por passada, e nove vezes 75 faz 675. O cão correu assim muitos pés perseguindo a lebre até que a capturou com seus dentes tenazes. E, de fato, porque a lebre fazia sete pés por passada, pegue 75 sete vezes. Isto é, quantos pés a lebre que fugia percorreu antes de ser apanhada.

O enigma do cão e da lebre. Não foi possível identificar se esse manuscrito é o original de Alcuíno ou se é uma das cópias existentes.

A solução de Alcuíno é engenhosa, porém cifrada. Ainda que se possa resolver este problema com duas equações e duas incógnitas, o monge percebe que as diferentes taxas de corrida dos animais são a chave para todo o problema: após x passadas, o cão percorreu 9x pés de distância e a lebre 7x pés. Logo, a distância entre ambos é reduzida por 2x pés a cada passada. Para que o cão capture a lebre é necessário que dê 2x = 150 passadas, onde 150 pés é o comprimento do campo; logo, x = 75 passadas. Assim, o cão percorre 9 vezes 75, ou seja, 675 pés e a lebre 7 vezes 75, quer dizer, 575 pés de distância em 75 passadas antes de ser capturada. Este tipo de problema já era conhecido na China 2.000 anos antes de Alcuíno. O magro currículo do quadrívio clássico, durante os primeiros séculos da idade média, foi cada vez mais empobrecido para se adaptar a fins educacionais, a propósito, o estudo dos textos religiosos, que utilizava uma matemática quase supérflua. A situação não degringolou de vez porque nesse período surgiu um novo problema de relevância eclesial que foi capaz de manter vivo o interesse em estudos matemáticos: o computus, ou seja, o cálculo da data da Páscoa, essencial para a liturgia, e porque nela eram baseados outros importantes feriados religiosos. A dificuldade deste cálculo decorre do fato de que os resultados do calendário cristão partiam de uma combinação entre o calendário juliano (baseado no movimento anual da Terra em relação ao Sol) e o hebraico, este baseado nos ciclos lunares. Embora o cálculo dos dias do ano ocorra de acordo com o calendário juliano, a data da Páscoa está associada às fases lunares; assim, em comparação com o juliano, essas datas podem variar dentro de limites bem definidos de um ano para o outro. Para calcular a data da Páscoa, portanto, é necessário combinar a duração do ano civil com a dos meses lunares. Infelizmente, não há um número inteiro de dias que forneçam um valor exato de meses lunares e anos solares, assim como não existe um número inteiro de meses lunares para dar um valor exato de anos civis. Para combinar as fases da lua com o ano solar em termos de um número inteiro de dias é necessário utilizar um sistema de adaptações apropriadas. O monge inglês Bede, o venerável, foi quem deu uma solução para este problema que ainda hoje é considerado um dos mais claros e abrangentes, exposto no panfleto De temporum ratione (A contagem do tempo). A fim de facilitar a execução dos cálculos necessários, Bede também demonstrou um método claro e eficaz de cálculo digital, ou seja, feito com a ajuda das mãos. É um sistema de origem antiga, em que todos os números de 1 a 9999 podem ser representados com posições adequadas dos dedos, punhos e braços. Em particular, o cálculo digital de Bede é baseado em 14 falanges de uma mão, para que as 28 falanges das duas mãos perfaçam o ciclo de 28 anos em que se baseia o seu computus. Finalmente, deve-se lembrar de que, naquela época, os números eram representados por algarismos romanos e os cálculos foram realizados com um ábaco greco-romano, com o qual é simples executar a adição, a subtração, a multiplicação e a ainda mais elaborada divisão.

Fragmento de um manuscrito bíblico, posterior a 1.066 d.C., contendo dois esquemas orbitais cósmicos, associados ao De temporum ratione, do monge inglês Bede.

De fato, embora o ensino de matemática em conventos e escolas da catedral fosse baseado no quadrívio, na realidade eles ensinavam apenas os rudimentos da aritmética e da geometria prática necessários à vida cotidiana. Este também é, no entanto, o nível de educação matemática necessário para ler o Propositiones ad Acuendos Juvenes. Os documentos mais antigos do continente europeu que falam de álgebra são: o ibérico Liber Mahamaleth, que compartilha passagens tanto do De Divisione Philosophiae[1], sendo posterior a 1.180 d.C., quanto com a regra de três ou regula del chataina toledana, atribuída com precisão a Johannes Hispalensis e escrita por volta de 1.147 d.C.; o Liber algebre, elaborado por volta de 1.145 d.C. pelo arabista inglês Robert de Chester; e um terceiro escrito por volta de 1.170 d.C. pelo tradutor italiano de obras científicas Gerardo de Cremona, todos os três do século XII d.C. Passando para o século XIII d. C. vamos encontrar no ano de 1.228 d.C. o capítulo de álgebra do Liber Abbaci de Fibonacci (a primeira edição de 1.202 provavelmente era muito semelhante, mas não se sabe quão similar). Contemporâneo ao Liber Abbaci temos também o De Numeris Datis, escrito por volta de 1.225 d.C., do estudioso e matemático (possivelmente italiano) Jordanus Nemorarius, ainda que na obra ele evitasse de falar explicitamente sobre álgebra, mas deixando a dica para os conhecedores de textos algébricos ao utilizar-se de muitos exemplos numéricos familiares; e finalmente, em 1.307 d.C. temos o manuscrito Tractatus Algorismi, do italiano Jacopo da Firenze[2].

[1] Obra cujo provável autor tenha sido o arquidiácono Dominicus Gundissalinus (ou Gundisalvis), residente à catedral de Toledo, cidade pertencente ao então reino de Castela e outrora uma capital provincial do califado de Córdoba.

[2] Interessante observar que o texto completo do Kitab al-muhtasar fih isab al-jabr wa al-muqabala de al-Khwarizmi só se tornou disponível em 1831 por Frederic Rosen, através da tradução questionável para o inglês de um único manuscrito árabe de 1.342 atualmente pertencente à biblioteca Bodleian, da universidade de Oxford.

Ponte de Alcazar, em Toledo. A Escola de Tradutores de Toledo foi um grupo de estudiosos que trabalharam em conjunto durante os séculos XII e XIII d.C. na tradução de muitas obras filosóficas e científicas de clássicos árabes.

Muito do conteúdo do manuscrito Liber Mahamaleth vem da tradição mu’amalat, ou seja, a matemática das relações sociais, que no Iraque do século VIII d.C. estava associado principalmente à determinação aritmética de transações e operações de crédito sobre os cultivos das regiões árabes, e sobre os subterfúgios pelos quais os juros, proibidos então, poderiam ser disfarçados de negócios legais. Posteriormente, para além do século XI d.C., o termo mu’amalat – menos que a matemática abordada nos temas – representava os tipos de transações implícitas, notadamente aquelas que um juiz deveria envolver-se: venda e arrendamento, casamento e divórcio, queixas e provas legais, depósitos e empréstimos, legados e heranças. Na região Andaluzia, e de acordo com Gundissalinus em seu De Divisione Philosophiae, os ramos da aritmética prática são: compra e venda, troca, arrendamento, pagamento e poupança, medições de profundidades, larguras, alturas e outras extensões de coisas, o que em árabe é chamado Mahamalech. Veja, por exemplo, um dos muitos problemas de proporção associado a compra e venda do Liber Mahamaleth:

$$ \left\{\begin{matrix}\frac{3}{8}::\frac{Q}{P}\\ Q\cdot P=216\end{matrix}\right. $$

Nada é dito no problema sobre frações, mas a regra dada baseia-se na multiplicação em cruz entre as duas expressões acima:

$$ \frac{3}{8}\times 216=\frac{Q}{P}\times \left ( Q\cdot P \right )\Rightarrow \frac{3}{8}\times 216=Q^{2} $$

O que nos leva a:

$$ \frac{3}{8}\times 216=Q^{2} $$

$$ 3\times 27=Q^{2} $$

$$ 81=Q^{2} $$

$$ Q=\sqrt{81}=9 $$

A segunda formulação é:

$$ \frac{8}{3}\times 216=\frac{P}{Q}\times \left ( P\cdot Q \right )\Rightarrow \frac{8}{3}\times 216=P^{2} $$

Resolvendo:

$$ \frac{8}{3}\times 216=P^{2} $$

$$ 8\times 72=P^{2} $$

$$ 576=P^{2} $$

$$ P=\sqrt{576}=24 $$

Em nosso senso comum este exemplo pode ser visto como álgebra elementar, mas certamente não era entendido como álgebra no século XII. Outro exemplo semelhante no capítulo seguinte do Liber Mahamaleth trata do mesmo assunto, agora com coisas:
$$ \frac{4}{20+2\ res}=\frac{1\frac{1}{2}}{2\ res+3} $$
Onde a palavra latina res significa coisa, ou para a álgebra moderna, o x. De início, é feito o seguinte arranjo numérico, trabalhando-se com os numeradores de ambas as frações:
$$ 4\div 1\frac{1}{2}=4\div \frac{3}{2}=4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3} $$
Multiplicando este valor aos termos da fração à direita da equação, temos:
$$ \frac{4}{20+2\ res}=\frac{1\frac{1}{2}\times 2\frac{2}{3}}{\left (2\ res+3 \right )\times2\frac{2}{3}} $$
Resultando:
$$ \frac{4}{20+2\ res}=\frac{4}{5\frac{1}{3}\ res+8} $$
Levando a:
$$ 20+2\ res=5\frac{1}{3}\ res+8 $$
Resolvendo:
$$ 20-8=5\frac{1}{3}\ res-2\ res $$
$$ 12=\frac{16}{3}\ res-2\ res $$
$$ 12=\frac{16\ res-6\ res}{3} $$
$$ 36=10\ res $$
$$ res=\frac{36}{10}=\frac{18}{5} $$

Para outros tópicos clássicos de mu’amalat (lucro e juros, parcerias, etc.), encontramos sucessivas sequências de problemas, envolvendo, por exemplo, soma, subtração e produto de capital e lucro, muitas vezes construídos de acordo com a aplicação da teoria das proporções. Interessante observar que as frações são escritas ao estilo de Magrebe, com numerais hindus e linhas para representar as frações, como se faz ainda hoje. Também são abundantes os cálculos efetuados às margens do texto principal, dentro de molduras retangulares, de modo similar aos cálculos nas lousas de argila (as chamadas lawha). Já o texto de Gerardo de Cremona é uma tradução fiel do manuscrito de al-Khwarizmi, na medida em que não existem números hindus nem linhas de fração, sendo tudo completamente verbal. Robert de Chester utiliza numerais hindus em sua tradução, mas tirando isso o restante do texto também é completamente verbal. Por outro lado, atribui-se ao De Numeris Datis de Jordanus Nemorarius a primeira ocorrência de uma álgebra simbólica; de fato, ele emprega letras na representação de números. Observe o exemplo a seguir:

Se um dado número é dividido em dois e se o produto de um pelo outro é dado, cada um deles também será dado por decorrência.

Seja o número dado abc dividido em ab e c, e seja o produto de ab com c dado por d, e de modo análogo seja o produto de abc consigo mesmo como e. Então o quádruplo de d é tomado, que é f. Quando este é retirado de e, resta g, e este será o quadrado da diferença entre ab e c. Portanto a raiz de g é extraída, e ela será b, a diferença entre ab e c. E como b será dado, c e ab também serão dados.

É possível observar que Jordanus não opera em seus símbolos, pois cada cálculo conduz à introdução de uma nova letra. Logo, o que Jordanus inventou foi a representação simbólica de um algoritmo.

Uma página do “Manuscrito Jerba” de ibn al-Haim. Observe a farta quantidade de cálculos marginais ao redor do texto principal. O Liber Mahamaleth possui essa característica.

A notação de Magrebe persiste em um texto anônimo escrito por volta de 1.300 que contém uma seção denominada Qualiter figurentur census, radices et dragma (Como são representados os censos – x², raízes – x e dragmas – inteiros neste caso). Nesse manuscrito, censo é escrito como c, raiz como r e dragma como d ou apenas um número, como se pode observar abaixo:

À esquerda: trecho do manuscrito anônimo datado por volta de 1.300, Lyell 52, Bodleian Library, Oxford. À direita: a tradução deste trecho; observe como eram escritos os numerais 4 e 5 nesse texto.

Se um elemento da equação é negativo, um ponto é colocado abaixo dele. Os símbolos aritméticos são escritos abaixo dos coeficientes, ao estilo de Magrebe. As linhas verticais, da esquerda para a direita, são traduzidas e representadas pelas seguintes equações:

2 censos menos 3 raízes	$$ 2x^{2}-\sqrt{3} $$
2 censos menos 4 dragmas	$$ 2x^{2}-4 $$
5 raízes menos 2 censos	$$ \sqrt{5}-2x^{2} $$
5 raízes menos 4 dragmas	$$ \sqrt{5}-4 $$

Fora desta seção essa notação não é utilizada, o que indica que seja algo que o autor do texto aprendeu alhures e que, como ele afirma, facilita o ensino do cálculo algébrico. Existem ainda referências não apenas a operações de soma e subtração, mas também de multiplicação, estabelecendo neste último caso apenas as multiplicações de coisa com coisa (x × x) e de coisa com número (x × 2, por exemplo).

Trattato di praticha d'arismetriche, de Benedetto da Firenze. A imagem mostra a página 114, que contém um trabalho em aritmética mercantil, com uma discussão da regula del chataina (em vermelho), ou regra da cadeia, usada no cálculo de taxas de câmbio.

A notação algébrica se apresenta com poucas alterações por volta de 1.460 quando Benedetto da Firenze, ou Maestro Benedetto, conclui seu trabalho intitulado Trattato di praticha d'arismetriche, um volume de 500 páginas dos quais:

O capítulo XIII contém uma introdução do autor sobre a álgebra, começando com um excerto de 23 linhas de uma tradução de 1.250 de Guglielmo de Lunis (agora perdida), de al-Khwarizmi , seguido das bem conhecidas nomenclaturas para as seis potências fundamentais de uma incógnita - acompanhada de suas provas geométricas – tais como as que seguem:

censo = x²

cubo = x³

censo di censo = x⁴

O capítulo XIV apresenta uma sequência de 140 problemas numéricos derivados de um manuscrito perdido denominado Trattato di Praticha, escrito pelo mestre florentino Biaggio, falecido por volta de 1.340. Vinte e oito destes problemas são mercantis. Os demais são teóricos, todos conduzindo a equações algébricas pertencentes a tipos solucionados por Benedetto nos exemplos fornecidos no capítulo XIII;
Finalmente, o capítulo XV contém uma tradução para o italiano do capítulo de álgebra do Liber Abaci de Fibonaci, adicionado de “alguns esclarecimentos, especificação das regras em relação aos casos apresentados no capítulo XIII e a completude dos cálculos, que o antigo mestre geralmente negligenciava, indicando apenas os resultados”, bem como uma coleção de problemas copiados de um tratado algébrico escrito por volta de 1.380, pelo algebrista italiano Antônio de Mazzinghi.

O simbolismo algébrico de Benedetto pode ser resumido a isto: usa um símbolo parecido com ρ ou c para censo, e a raiz é abreviada no texto corrente com o símbolo:

Interessante observar que Luca Pacioli praticamente fez uma cópia literal do método de solução algébrica de De Mazzinghi em seu Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità, escrito em 1.494, sem grandes alterações na notação algébrica adotada. Por outro lado, na França, o matemático Nicolas Chuquet escreveria dez anos antes do Summa (1.484) o seu manuscrito Triparty en la science des nombres, que não foi publicado enquanto estava vivo; a maior parte dele, porém, foi copiada sem atribuição da autoria por outro matemático francês, Estienne de La Roche, em seu livro l’Arismetique, de 1.520. Esta obra apresenta uma notação algébrica diferente das anteriores, ao utilizar-se de expoentes:

Na última linha da imagem acima, temos:

$$ \Re ^{4}.54\hat{p}.\Re ^{2}.980. $$

Cuja transcrição para a nomenclatura atual resulta:

$$ \sqrt[4]{54+\sqrt{980}} $$

Uma profusão de experiências notacionais matemáticas surgiria a partir do século XVI, como é o caso do uso de mais de uma incógnita em expressões algébricas, tal qual na obra Practica arithmeticae et mensurandi singularis (1.539) do matemático italiano Girolamo Cardano, indicada abaixo.

Fragmento do Practica Arithmeticae, de Girolamo Cardano.

O texto original de Cardano, indicado na figura acima, e sua respectiva notação algébrica moderna, são as seguintes:

7co.æquales151.p.27.quã 10co.æquales1018.p.18.quã	$$ 7x=151+27y $$ $$ 10x=1018+18y $$	[a]
1 co.æquales21 4/7.p.3 6/7.quã 1 co.æquales101 4/5.p.1 4/5.quã	$$ x=21\ 4/7+3\ 6/7y $$ $$ x=101\ 4/5+1\ 4/5y $$	[b]
80 8/35æqualia2 2/35quã. 35	$$ 80\ 8/35=2\ 2/35y $$ $$ 35 $$	[c]
2008.æqualia 72.quã. 39. Valor quã.	$$ 2008=72y $$ $$ y=39 $$	[d]

Em [a], Cardano inicia o cálculo apresentando duas equações com as duas incógnitas x e y. Em [b], cada equação é dividida pelo respectivo número que multiplica a incógnita x. Em [c], as duas equações são igualadas em x, isolando-se e somando-se os números à esquerda da equação e, do mesmo modo, isolando-se e somando-se as variáveis em y à direita. Na linha abaixo, o número 35 indica que ele será multiplicado em ambos os lados da equação, de modo a eliminá-lo dos denominadores. Finalmente, em [d] temos uma equação linear em y e seu respectivo valor na linha abaixo: 39. Por outro lado, para a nomenclatura adotada por Stifel, indicada na figura abaixo, a linha destacada em amarelo contém as letras A e B para definir as incógnitas, do mesmo modo como definimos x e y.

Fragmento do Arithmetica Integra, de Michael Stifel.

O texto é o seguinte:

Volo multiplicare 3A in 9B, fiunt 27AB, hoc est, 27A multiplicatae in 1B.

E na linha destacada em azul, temos 2гρ fazendo as vezes de 2y³ e 4Az fazendo as vezes de 4x². O texto é o seguinte:

Volo multiplicare 2гρ in 4Az, fiunt 8гρAz, hoc est, 8гρ multiplicati in 1 Az.

Então, na linha destacada em amarelo, em álgebra moderna, Stifel estaria estabelecendo a seguinte regra multiplicativa:

Ao multiplicar 3x com 9y faz-se 27xy, que é 27x multiplicado por 1y.

E na linha destacada em azul, Stifel estabeleceria a seguinte regra multiplicativa em álgebra moderna:

Ao multiplicar 2y³ com 4x² faz-se 8y³x², que é 8y³ multiplicado por 1x².

Percebe-se claramente certa ambiguidade de Michael Stifel no uso e aplicação das mesmas variáveis com símbolos diferentes, pois na primeira frase B seria y e na segunda frase гρ torna-se y³; de modo análogo, A na primeira frase seria o nosso x e na segunda frase Az torna-se o seu quadrado (x²). Outro matemático que desenvolveu uma curiosa nomenclatura algébrica foi o italiano Francesco Ghaligai em sua obra Pratica d’Arithmetica, de 1.552.

Duas páginas do livro Pratica d’Arithmetica, de Francesco Ghaligai.

Observe na figura acima, à esquerda, a simbologia por ele adotada para designar as potências de uma incógnita: a abreviação n° para número, um estranho símbolo que fica entre um zeta (ζ) e um sigma (ς) gregos para cosa (coisa, ou o nosso x), seguido de um quadrado para censo (ou x²), dois quadrados alinhados horizontalmente para cubo (ou x³) e assim sucessivamente para outras potências: relato para x⁵, pronico para x⁷, tromico para x¹¹ e dromico para x¹³. Note que as potências definidas com símbolos específicos são todos números primos. Na página à direita Ghaligai ilustra o uso de sua notação para calcular potências de 2, sequencialmente, até a décima-quinta potência. Em 1.553 surge a primeira obra sobre álgebra em alemão: o Die Coss, cujo autor – Christoff Rudolff (1.499 a 1.545) – desenvolveu uma notação algébrica onde um dos símbolos por ele idealizado tornou-se um padrão na linguagem matemática moderna, que é o símbolo de raiz.

Fragmento do Die Coss, de Christoff Rudolff, com o símbolo de raiz quadrada.

Observe o conteúdo do texto destacado pelo retângulo rosa:
$$ \sqrt{18}\ von\ \sqrt{50}\ \cdot \ facit\ \sqrt{8} $$
Traduzindo para a álgebra moderna, temos:
$$ \sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{8} $$
A explicação dada por Rudolff, apresentada no parágrafo acima do exemplo dado, demonstra um curioso método para efetuar a subtração entre raízes quadradas. Para chegar ao resultado deste exemplo, primeiro ele soma o conteúdo das raízes:
$$ 50+18=68 $$
Em seguida, ele multiplica o conteúdo das raízes entre si:
$$ 50\times 18=900 $$
Na etapa seguinte, ele multiplica 900 por 4:
$$ 900\times 4 = 3600 $$
Agora, ele extrai a raiz quadrada deste novo número:
$$ \sqrt{3600}=60 $$
Depois, ele subtrai 60 do resultado da soma dos conteúdos originais das raízes, que é 68:
$$ 68-60=8 $$
A raiz quadrada de 8 constitui a subtração entre √50 e √18. De fato:
$$ \left\{\begin{matrix}\sqrt{50}\cong 7,071067...\\ \sqrt{18}\cong 4,242640...\\ \sqrt{8}\cong 2,828427...=\sqrt{50}-\sqrt{18}\end{matrix}\right. $$

Apesar de muito interessante, infelizmente nem sempre se consegue obter quadrados perfeitos com este método... Rudolff também aborda em Die Coss a solução de problemas algébricos quadráticos utilizando o método da completude do quadrado, conforme ilustrado abaixo. Note a vigorosa influência árabe na matemática européia em plena Renascença, mesmo após mais de 700 anos da publicação da memorável obra Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala, de al-Khwarizmi.

Fragmento do Die Coss contendo solução algébrica pelo método da completude do quadrado.

A exemplo de seu conterrâneo Michael Stifel, o alemão Rudolff também utiliza o símbolo z para descrever a incógnita x e zz para descrever o x². À direita do quadrado observa-se a seguinte equação:

208z – 1zz sind gleych 9216

Que na notação algébrica moderna indica uma expressão quadrática, obtida através da multiplicação entre as partes que compõem o quadrado, algo diferente da técnica de al-Khwarizmi:
$$ \left ( 208-x \right )\times 1x=96\times 96\Rightarrow 208x-x^{2}=9216 $$
De fato, o matemático nomeia essa técnica de solução da completude do quadrado (sem nenhuma modéstia) de Regra Cristófora. Em 1.559 é a vez de o matemático francês Jean Buteo lançar seu livro Logistica com uma nomenclatura algébrica própria e expressões com mais de uma incógnita.

Fragmento do Logistica, de Jean Buteo.

No retângulo verde destacado acima, a primeira linha está assim representada:
$$ 3A,\ 12B,\ 3C\ [\ 96 $$
Que em notação moderna poderia ser expressa como:
$$ 3x+12y+3z=96 $$
A vírgula representa, para Buteo, o sinal aritmético da soma. A segunda linha em notação moderna fica:
$$ 3x+y+z=42 $$
Um traço longo indica que outra operação aritmética será executada entre as duas expressões: subtração que, entretanto, não é indicada por nenhum sinal aparente. Para além da própria explicação de Buteo no texto à esquerda, o resultado indicado na terceira linha é auto-explicativa, pois indica que a primeira expressão foi subtraída da segunda, restando:
$$ 11y+2z=54 $$
Vejamos a sequência completa do exercício proposto:

3A, 12B, 3C [ 96 3A, 1B, 1C [ 42	$$ 3x+12y+3z=96 $$ $$ 3x+y+z=42 $$	[a]
11B . 2C [ 54	$$ 11y+2z=54 $$	[b]
3A . 3B . 15C [ 120 3A . 1B . 1C [ 42	$$ 3x+3y+15z=120 $$ $$ 3x+y+z=42 $$	[c]
2B . 14C [ 78	$$ 11y+2z=54 $$	[d]
22B . 154C [ 858 22B . 4C [ 108	$$ 22y+154z=858 $$ $$ 22y+4z=108 $$	[e]
150C [ 750	$$ 150z=750 $$	[f]

Em [a] e [c] quatro expressões algébricas com três incógnitas são apresentadas. Em [b] temos o resultado da subtração das duas expressões indicadas em [a]; de modo análogo, [d] é o resultado da subtração das expressões indicadas em [c]. Em [e], a primeira expressão é o resultado obtido em [d] multiplicado por 11 e a segunda expressão é o resultado obtido em [b] multiplicado por 2. Em [f] as expressões indicadas em [e] são subtraídas. Observe que o método utilizado por Buteo visa eliminar as incógnitas até que reste apenas uma (neste caso, a variável z), cujo valor passa a ser conhecido. Substituindo-se o valor de z em qualquer uma das expressões indicadas em [b] ou [d] permitirá encontrar o valor de y. Finalmente, substituindo-se z e y em qualquer uma das quatro expressões indicadas em [a] ou [c] permitirá encontrar o valor de x, tal como aprendemos até hoje na escola. Observe no texto original que a vírgula é substituída por um ponto para indicar somas, como se pode observar no conjunto de equações de [c] a [e]. É mais provável que isso se deva a uma falha de atenção do tipógrafo que algo intencional da parte de Jean Buteo; naquela época a impressão de livros era algo ainda recente e erros tipográficos eram muito comuns e constantes. Outro matemático que também se utiliza de nomenclatura própria para descrever equações quadráticas e cúbicas é o português Pedro Nunes em sua obra Libro de algebra en arithmetica y geometria, de 1.567.

O matemático português Pedro Nunes.

Fragmento do "Libro de algebra en arithmetica y geometria", de Pedro Nunes.

Vejamos os dois exemplos de soma de polinômios no fragmento indicado na figura acima, tanto na linguagem de Nunes quanto na notação algébrica moderna:

Exemplo desta Regra	$$ 35.\tilde{p}.10.co.\tilde{p}.4.ce $$ $$ 40.\tilde{p}.12.co.\tilde{p}.7.ce $$	$$ 35+10x+4x^{2} $$ $$ 40+12x+7x^{2} $$	[a]
Soma	$$ 75.\tilde{p}.22.co.\tilde{p}.11.ce $$	$$ 75+22x+11x^{2} $$	[a]
Outro exemplo	$$ 30.\tilde{p}.15.co.\tilde{p}.2.ce.\tilde{m}.3.cu $$ $$ 80.\tilde{m}.13.co.\tilde{m}.5.ce. .\tilde{m}.2.cu $$	$$ 30+15x+2x^{2}-3x^{3} $$ $$ 80-13x-5x^{2}-2x^{3} $$	[b]
Soma	$$ 110.\tilde{p}.2.co.\tilde{m}.3.ce.\tilde{m}.5.cu. $$	$$ 110+2x-3x^{2}-5x^{3} $$	[b]

Em [a] temos a soma de duas equações quadráticas em que todos os termos são positivos; em [b] temos a soma de duas equações cúbicas em que há termos positivos e negativos, aplicando-se neste caso a regra de sinais. O matemático usa as letras p e m com um til para indicar, respectivamente, os sinais aritméticos da soma e da subtração; co é a abreviação de coisa (o nosso x), ce é a abreviação de censo, ou x², e finalmente cu é a abreviação de cubo, ou x³. Uma última observação digna de nota deste fragmento pode ser vista na quarta e quinta linhas do texto explicativo que Pedro Nunes faz para a soma de duas quantidades iguais, porém com sinais opostos:

Y si fueren yguales, la suma sera una çifra.

Que em português se traduz por:

E se forem iguais, a soma será uma cifra.

Aqui, cifra é a antiga denominação em português para o numeral zero! Em 1.572 é a vez de o italiano Rafael Bombelli publicar sua obra, o L’Algebra opera, onde inova na notação algébrica para descrever as incógnitas e suas respectivas potências.

Fragmento da obra L’Algebra opera, de Rafael Bombelli.

A expressão matemática destacada pelo retângulo vermelho é:
$$ \overset{2}{\hat{1}}.p.R.q.\overset{1}{\hat{8}}.p.\overset{1}{\hat{2}}.p.3.p.R.q.8.\ Eguale\ a\ 23.p.R.q.8. $$
Cuja notação, traduzida para a moderna, resulta:
$$ x^{2}+\sqrt{8x}+2x+3+\sqrt{8} $$
Observe esta simbologia:
$$ \overset{2}{\hat{1}} $$
Aqui, o número 1 representa o inteiro que é multiplicado pela incógnita. E o número 2 corresponde à potência da incógnita, ou seja, trata-se de 1x². Veja este outro exemplo:
$$ \overset{1}{\hat{8}} $$
Neste caso, o número 8 representa o inteiro que é multiplicado pela incógnita. E o número 1 representa a potência desta incógnita, ou seja, trata-se de 8x. Semelhante à nomenclatura de Nunes, p corresponde ao sinal aritmético da soma, m corresponde ao sinal aritmético da subtração e R.q corresponde à raiz quadrada (quando Bombelli trabalha com raízes cúbicas, o símbolo muda para R.c). Em 1.585 outra obra matemática com uma notação algébrica peculiar é publicada: o L’arithmétique, do flamengo Simon Stevin, semelhante à adotada para potências em frações e devidamente descrita em outra obra de sua autoria nesse mesmo ano, o De Thiende, tema este já abordado no capítulo Os números racionais emnotação decimal, no terceiro volume desta série.

O matemático holandês Simon Stevin.

Fragmento da obra L’arithmétique, de Simon Stevin.

Na caixa marrom em destaque na figura anterior, temos:

$$ Ergo\ 1\circledast -6\circledcirc +12\odot -8,\ seront\ egales\ a\ 12\odot -392. $$

Que traduzindo para a notação algébrica moderna, fica:

$$ x^{3}-6x^{2}+12x-8=12x+392 $$
Nota-se nesta nomenclatura o uso consolidado dos sinais aritméticos da soma e da subtração, com a incógnita e suas potências representadas por números dentro de círculos. Porém, em 1.591 surgirá uma obra que mudará os rumos da matemática, pelas mãos do matemático e advogado francês Francisco Vieta (no original: François Viète), intitulada In Artem Analyticem Isagoge (Na arte analítica).

O matemático e advogado francês Francisco Vieta.

A arte analítica de Vieta compreendia três etapas: a primeira, denominada zetética – que se traduz por um método de investigação ou conjunto de preceitos para a resolução de um problema, seja ele matemático ou geométrico – é transcrito neste novo sistema simbólico ou semiótico, por Vieta designado logisticae speciosa (logística bela), na forma de uma equação. A segunda etapa, denominada porística – que se traduz pelo problema que tem por solução uma verdade que se tira do próprio enunciado – as equações previamente estruturadas são transformadas de acordo com regras em formas canônicas. Finalmente, na terceira etapa, denominada exegética – que se traduz por um comentário ou dissertação para esclarecimento ou minuciosa interpretação de um texto ou uma palavra – uma solução para o problema é encontrada com base nas equações derivadas previamente das regras canônicas. Como o próprio Vieta enfatiza, nesta terceira etapa o analista torna-se o geômetra, “executando uma verdadeira construção” ou o aritmético, “solucionando numericamente qualquer potência [algébrica]”. Vieta ensinou sua arte em oito ensaios publicados entre 1.591 e 1.631, agregando-os em um único volume, o Opera Mathematicae (As Obras de Matemática), em 1.646. Tanto na introdução do In Artem Analyticem, quanto na dedicatória que a precede, Vieta destaca a estreita conexão entre a sua arte e os trabalhos gregos clássicos, destacando-se o conceito do método analítico aplicado à geometria, como delineado por Papus em seu sétimo livro da obra Coleção Matemática, o tratamento de problemas aritméticos estabelecido por Diofanto, usando letras tanto para incógnitas quanto para suas potências, em seu Aritmética, e ainda a teoria geral de proposições de Eudoxo, como apresentado no Livro V do Elementos, de Euclides. Vieta visava fornecer um método geral de solução tanto para os problemas aritméticos abordados por Diofanto quanto para os problemas geométricos discutidos por Papus; observe abaixo este fragmento do Opera Mathematicae:

Na primeira linha, temos a seguinte equação:

A quad. + B in A 2, æquari Z plano

A logistice speciosa que Vieta introduz em sua arte analítica faz uso de dois diferentes tipos de letras maiúsculas: vogais para incógnitas e consoantes para parâmetros conhecidos do problema. Assim, o termo A quad. corresponde ao nosso x². O termo B in A 2 pode ser traduzido como 2Bx, onde B assume um valor conhecido a priori. O termo æquari equivale ao sinal aritmético de igualdade (=). Por fim, a consoante Z seguida da palavra indicativa da espécie (plano) possui função específica na arte de Vieta: como exigido pela lei da homogeneidade, em que “termos homogêneos devem ser comparados entre si”, a palavra serve para lembrar o analista de que, se na última etapa de solução de um problema (exegética) ele se tornar um geômetra, a consoante Z deverá ser substituída pela magnitude correta, o que significa dizer que somente uma figura plana (por exemplo: um quadrado, ou um triângulo) poderá substituir plano; de modo análogo, o parâmetro B seria um comprimento. Por outro lado, se o analista tornar-se um aritmético, qualquer número poderá substituir as consoantes B e Z. Algebricamente falando, a expressão de Vieta seria transcrita em notação moderna como:
$$ x^{2}+2Bx=Z $$
A diferença, para nós, é que não importa se a expressão algébrica acima estará lidando com geometria ou aritmética, pois ela se presta igualmente bem a ambas. Observe este outro exemplo:

Na primeira linha, temos a equação:

A cubus + B in A quad.3 + D plano in A, æquari Z solido

Aqui, temos a vogal A operando como incógnita, as consoantes B, D e Z como valores conhecidos a priori e, no geral, uma expressão cúbica, que em notação algébrica moderna poderia ser transcrita como:
$$ x^{3}+3Bx^{2}+Dx=Z $$

Mais uma vez, a logistice speciosa de Vieta estabelece que, se o problema for geométrico, B será um comprimento, D será uma área e Z será um volume; por outro lado, se o problema for aritmético, B, D e Z serão tão somente números. A logistice speciosa, por assim dizer, não é uma linguagem matemática estritamente falando, mas sim um cálculo não interpretado, uma ferramenta para encontrar respostas onde nem os problemas nem suas soluções podem ser formulados. Vieta conclui seu raciocínio afirmando que “A arte analítica reivindica para si mesma o maior problema de todos, que é resolver qualquer problema”. Mas o matemático que traria a semiótica matemática para um novo e superior patamar foi o francês René Descartes, com sua obra Discours de la méthode (Discurso sobre o método), publicado em 1.637 em conjunto com outras três obras (A Dioptria, Os Meteoros e A Geometria), e cuja inspiração para elaborá-la teria tido início a partir de certos fatos ocorridos em 10 de Novembro de 1.619, assim narrados por Descartes:

“Durante a noite tive três sonhos consecutivos, que julguei só poderem ter sido inspirados por um poder superior. Tendo caído no sono, imaginei ter visto fantasmas e fiquei aterrorizado por tais aparições. Vi-me andando através de ruas, e fiquei tão horrorizado pelas visões que tive de me curvar para o lado esquerdo para alcançar meu objetivo, pois sentia uma grande fraqueza do lado direito, sendo incapaz de manter-me em pé. Envergonhado por ter de caminhar dessa forma, fiz grande esforço para endireitar-me, mas fui apanhado violentamente por um vento, como um redemoinho, que me fez girar três ou quatro vezes sobre meu pé esquerdo. Não foi isso, no entanto, o que me assustou mais. Eu achava tão difícil avançar que tinha medo de cair a cada passo até que, percebendo abertos [os portões] de um colégio em meu caminho, entrei, procurando refúgio e auxílio em minha aflição. Esforcei-me para alcançar a capela do colégio, onde meu primeiro pensamento foi rezar; todavia, percebendo que havia passado por um conhecido sem havê-lo cumprimentado desejei, por polidez, voltar para fazê-lo. [Tentando fazê-lo, no entanto] fui atirado para trás com violência pelo vento, que soprava através da igreja. No mesmo instante notei outro homem no pátio do colégio, que me chamou delicadamente pelo meu nome e me informou que, se eu estava à procura do Sr. N., ele tinha algo para mim. Tive a impressão de que tal objeto seria um melão que havia sido trazido de algum país exótico. Grande foi meu espanto quando reparei que o povo que havia se aglomerado em torno do homem para conversar entre si era capaz de manter-se firmemente em pé enquanto eu, no mesmo local, tinha que caminhar curvado e de modo irregular, ainda que o vento, que havia ameaçado derrubar-me por várias vezes, tivesse enfraquecido consideravelmente. Nesse ponto acordei, sentindo uma angústia definida. Eu temia que ela fosse o efeito dos maus espíritos, determinados a desviar-me do caminho. Imediatamente, deitei-me sobre meu lado direito, pois havia sido sobre o lado esquerdo que havia adormecido e tido aquele sonho. Pedi a Deus que me protegesse das consequências maléficas de meu sonho e me preservasse de todos os infortúnios que pudessem ameaçar-me como punição para meus pecados. Reconhecia que meus pecados eram repugnantes a ponto de atrair a ira dos céus, embora até então, aos olhos dos homens, houvesse levado uma vida irreprochável. Permaneci deitado por duas horas, ponderando sobre o problema do bem e do mal nesse mundo, e então adormeci.

O matemático e filósofo francês René Descartes, considerado o pai da matemática moderna.

Outro sonho se seguiu imediatamente. Pensei ter ouvido um violento e penetrante estampido, que tomei por um trovão. Fiquei tão aterrorizado que acordei na mesma hora. Ao abrir os olhos, percebi uma profusão de centelhas ígneas espalhadas pelo quarto. Isso já havia acontecido comigo antes, e não me era incomum que acordasse no meio da noite para descobrir que minha visão era clara o bastante para permitir que percebesse objetos próximos. Dessa vez, contudo, decidi recorrer a explicações tiradas da filosofia e, abrindo e fechando os olhos e observando a natureza dos objetos que enxergava, cheguei a conclusões favoráveis, que pareceram convencer minha mente. Assim meu medo desapareceu, e com uma mente tranquila novamente caí no sono.

Pouco depois tive um terceiro sonho, que não foi tão terrível quanto os anteriores. Nesse último sonho, encontrei um livro em minha mesa, não sabendo que o havia depositado. Abri e alegrei-me ao ver que era um dicionário, esperando que me fosse bastante útil. No mesmo instante, outro livro apareceu, tão novo para mim quanto o primeiro, e de origem igualmente desconhecida. Notei que era uma coleção de poemas de diferentes autores, intitulado Corpus latinorum. Fiquei curioso para saber o conteúdo, e ao abrir o livro meus olhos caíram sobre a linha “Quod vitae sectabor iter?” (Que caminho seguirei eu na vida?). Ao mesmo tempo, vi um homem a quem não conhecia, que me mostrou um poema começando com as palavras “Est et non” (Sim e não), exaltando sua excelência. Respondi que conhecia o poema, que estava entre os idílios de Ausônio [poeta e político romano], e estava incluído na grande coletânea que estava sobre a mesa. Quis mostrá-lo ao homem e comecei a virar as páginas, gabando-me de conhecer-lhes perfeitamente a ordem e o arranjo. Enquanto procurava, o homem perguntou-me onde havia conseguido o livro. Respondi que não seria capaz de dizer onde o havia conseguido mas que, um segundo antes, tivera outro livro em minhas mãos, que acabara de desaparecer, sem que soubesse quem o havia trazido ou levado embora. Mal terminara de falar quando o livro reapareceu no outro lado da mesa. Verifiquei, no entanto, que o dicionário não mais estava completo, embora antes parecesse sê-lo. Enquanto isso, encontrei Ausônio na antologia de poetas; mas, sendo incapaz de encontrar o poema começando por “Est et non”, disse ao homem que conhecia um poema ainda mais bonito do mesmo autor, começando por “Quod vitae sectabor iter?”. O homem pediu-me para vê-lo, e eu estava diligentemente procurando por ele quando me deparei com alguns pequenos retratos de gravuras em cobre que me fizeram maravilhar-me ante a beleza do livro; todavia, não era a mesma edição que eu conhecia. Nesse ponto, homem e livros desapareceram e sumiram dos olhos de minha mente, mas não despertei. O mais notável é que, em dúvida se essa experiência tinha sido um sonho ou uma visão, não somente decidira, ainda adormecido, que se tratava de um sonho, como também o interpretara antes de acordar. Concluí que o dicionário significava a conexão entre todas as ciências e que toda a coleção intitulada Corpus Poetarum apontava particular e claramente para a íntima união entre filosofia e sabedoria, pois pensei não haver surpresa na descoberta de que os poetas, mesmo aqueles cuja obra parece ser um tolo passatempo, produzem pensamentos muito mais profundos, sensatos e melhor expressos do que os encontrados nos escritos dos filósofos. Atribuí essa maravilha à divina qualidade do entusiasmo e ao poder da imaginação, que permite à semente da sabedoria (existente nas mentes de todos os homens como as centelhas de fogo na pederneira) germinar muito mais facilmente e mesmo com maior esplendor do que a “razão” dos filósofos. Prosseguindo com a interpretação em meu sono, concluí que o poema sobre “que caminho seguirei eu na vida”, começando com “Quod vitae sectabor iter”, apontava para o sólido conselho de um sábio, ou mesmo para a Teologia Moral. Ainda em dúvida sobre se estava dormindo ou meditando, acordei pacificamente e com os olhos abertos continuei a interpretar meu sonho, dentro do mesmo espírito. Os poetas representados na coleção de poemas interpretei como a revelação e o entusiasmo que me haviam sido concedidos. O poema “Est et non” que é o “Sim e não” de Pitágoras, entendi como sendo a verdade e o erro de todo conhecimento humano e da ciência profana. Quando vi que todas estavam tão satisfatoriamente se conformando aos meus desejos, ousei acreditar que era o espírito da verdade que desejava, através desse sonho, revelar-me os tesouros de todas as ciências. Nada mais havia a ser explicado a não ser os pequenos retratos em cobre que encontrara no segundo livro, os quais não mais procurei elucidar depois de receber, no dia seguinte, a visita de um pintor italiano.”

O caminho filosófico percorrido por Descartes é longo e inicia-se, simbolicamente, com os filósofos gregos pré-socráticos, assim denominados naturalistas ou filósofos da natureza, pois buscavam o princípio das coisas (arché) nas manifestações físicas (phýsis) como realidade primeira, originária e fundamental. Ao observarem que a aparência (phainômena) das coisas mudava, ao se questionarem sobre o que a coisa que muda realmente é, concluíram que seria a substância: o princípio das coisas que permanece imutável, mesmo na mudança, aquilo que realmente existe. Faziam parte desse grupo:

ü Tales de Mileto, para quem o arché seria a água;

ü Anaximandro de Mileto, discípulo e sucessor de Tales, para quem nosso mundo seria apenas um entre uma infinidade de mundos que evoluíam e se dissolviam em algo que ele denominava ilimitado ou infinito (e cujo elemento básico, portanto, talvez não fosse algo tão simples quanto a água);

ü Diógenes de Apolônia, para quem o único princípio primordial seria o ar, buscando explicar os mais variados fenômenos a partir dele;

ü Demócrito de Abdera, que acreditava que todas as coisas seriam formadas por uma infinidade de "pedrinhas minúsculas, invisíveis, cada uma delas sendo eterna, imutável e indivisível", às quais denominava átomos;

ü Parmênides de Eléia, para quem “nada nasce do nada e nada do que existe se transforma em nada” e que as transformações que se podiam observar na natureza não seriam mudanças reais, mas aparentes;

ü Entre outros filósofos, tais como: Anaxímenes de Mileto, Heráclito de Éfeso, Empédocles de Agrigento e Xenófanes de Colófon.

Para este grupo, a apreensão, o estudo e o entendimento do princípio das coisas fiavam-se nos sentidos, exceção feita a Parmênides, que passou a confiar mais na razão como fonte primária de nosso conhecimento do mundo, dando origem aos racionalistas. Uma ruptura com este viés filosófico surge com Platão, discípulo de Sócrates, para quem o númeno (ou realidade superior), que é abstrato, não material – porém substancial – eterno e imutável, é que seria dotado do maior grau de realidade e não o mundo material, mutável, conhecido por nós através das sensações. Haveria assim um mundo das idéias, que conteria a forma pura e essencial de todas as coisas do mundo material, dos objetos comuns (coisas ou seres), que herdam os atributos – forma e essência – de modo rudimentar e inferior; segundo esse princípio, somente o estudo das formas no mundo das idéias (residindo no mundo inteligível, fora do tempo e do espaço e não no mundo sensível ou material) levaria o indivíduo ao conhecimento verdadeiro. Para ilustrar alguém que alcance a luz da verdade através do conhecimento, libertando-se da escuridão da ignorância em que se encontra aprisionado, Platão faz uso da alegoria da caverna, descrito no Livro VII de sua obra A República, assim descrita:

No interior da caverna permanecem seres humanos, que nasceram e cresceram ali. Ficam de costas para a entrada, acorrentados, sem poder mover-se, forçados a olhar somente a parede do fundo da caverna, sem poder ver uns aos outros ou a si próprios. Atrás dos prisioneiros há uma fogueira, separada deles por uma parede baixa, por detrás da qual passam pessoas carregando objetos que representam "homens e outras coisas viventes". As pessoas caminham por detrás da parede de modo que os seus corpos não projetam sombras, mas sim os objetos que carregam. Os prisioneiros não podem ver o que se passa atrás deles e vêem apenas as sombras que são projetadas na parede em frente a eles. Pelas paredes da caverna também ecoam os sons que vêm de fora, de modo que os prisioneiros, associando-os, com certa razão, às sombras, pensam ser eles as falas das mesmas. Desse modo, os prisioneiros julgam que essas sombras sejam a realidade. Imagine que um dos prisioneiros seja libertado e forçado a olhar o fogo e os objetos que faziam as sombras (uma nova realidade, um conhecimento novo). A luz iria ferir os seus olhos e ele não poderia ver bem. Se lhe disserem que o presente era real e que as imagens que anteriormente via não o eram, ele não acreditaria. Na sua confusão, o prisioneiro tentaria voltar para a caverna, para aquilo a que estava acostumado e podia ver. Caso ele decida voltar à caverna para revelar aos seus antigos companheiros a situação extremamente enganosa em que se encontram, os seus olhos, agora acostumados à luz, ficariam cegos devido à escuridão, assim como tinham ficado cegos com a luz. Os outros prisioneiros, ao ver isto, concluiriam que sair da caverna tinha causado graves danos ao companheiro e, por isso, não deveriam sair dali nunca. Se o pudessem fazer, matariam quem tentasse tirá-los da caverna.

O mito da caverna, de Platão.

Platão não buscava as verdadeiras essências na simples phýsis, como o fizeram Tales, Anaximandro, Diógenes, Demócrito e seus seguidores. Sob a influência de Sócrates, ele buscava a essência das coisas para além do mundo sensível. E o personagem da caverna, que por acaso se liberte correrá, como Sócrates, o risco de ser morto por expressar seu pensamento e em querer mostrar um mundo totalmente diferente, de possibilidades muito mais amplas.

Os conceitos de Platão sobre a essência das coisas será contestado por seu notório discípulo, Aristóteles, através de uma série de tratados escritos no século IV a.C. e organizados em quatorze livros pelo filósofo grego Andrônico de Rodes no século I a.C. Foi Andrônico, inclusive, quem chamou esse conjunto de Metafísica. Aristóteles desenvolve um trabalho que busca conciliar a substância física dos naturalistas pré-socráticos com a substância imaterial de Platão, ao propor que a matéria participa da substância, do mesmo modo que a madeira necessita da forma mesa para que a forma substancial mesa (composição de matéria e forma) possa existir. Por outro lado, a forma substancial não esgota em si a substância; por exemplo, mesmo que o objeto mesa deixe de existir, persistirá sua idéia, o que permite que existam ou que se façam outras mesas; o conceito está descrito abaixo:

Daí, ao definir a natureza de uma casa, os que a descrevem como pedras, tijolos e madeira, descrevem a casa em potência, já que essas coisas são sua matéria; os que a descrevem como “recipientes para conter utensílios e corpos”, ou alguma outra coisa, com idêntico objetivo, descrevem a casa em ato, ou seja, sua realidade. Entretanto, os que combinam essas duas definições, descrevem um terceiro tipo de substância, a que é composta de matéria e forma.

Uma forma substancial estaria assentada em quatro causas primárias:

ü Causa material: a matéria de que uma coisa é feita, ou seja, a matéria na qual consiste a forma substancial. No exemplo da casa, a matéria de que é feita são pedras, tijolos e madeira;

ü Causa formal: é a forma da coisa, ou seja, uma forma substancial define sua essência pela sua forma. A casa em si define sua forma;

ü Causa eficiente: é a origem da coisa, aquilo ou aquele que tornou possível a forma substancial. A construção da casa é o que a torna possível;

ü Causa final: é a razão de uma coisa existir, a finalidade da forma substancial. A finalidade da casa é servir de recipiente para conter utensílios e corpos.

Para Aristóteles, na natureza todas as formas substanciais movem-se em direção a um fim, tenham disso ciência ou não; seguindo essa linha de raciocínio, quando uma flecha é arremessada contra um alvo, o alvo torna-se a causa final da flecha. Muito embora a flecha não conheça a causa final, um agente inteligente dotado de vontade a conhece, tornando-se por isso mesmo a causa eficiente do arremesso da flecha. Por toda a idade média, as hermenêuticas platônica e aristotélica formaram a base dos estudos científicos e principalmente religiosos, destacando-se a metafísica patrística (dominante entre os séculos II e VIII d.C.) tendo como principal influência o conjunto da obra de Santo Agostinho – de viés platônico – e uma segunda fase, com a metafísica escolástica (dominante entre os séculos IX e XV d.C.) tendo como principal influência o conjunto da obra de Tomás de Aquino – de viés aristotélico – em que ambas buscavam provar filosoficamente a existência de Deus. Portanto, é no final do período da ainda vigorosa metafísica escolástica que Descartes apresenta sua obra científico-filosófica, fazendo forte oposição ao pensamento aristotélico em dois pontos fundamentais:

ü Rejeição às formas substanciais como princípios interpretativos na física;

ü Negação da tese de que todo o conhecimento deve provir da sensação.

Uma forma substancial era pensada como um princípio imaterial da organização material, resultando em uma coisa específica de um determinado tipo. Considere, por exemplo, o

pássaro denominado andorinha: o princípio imaterial, ou idéia, do ser andorinha une-se ao princípio material de modo a organizá-la, pela causa eficiente, para ser a coisa do tipo andorinha. Quaisquer que sejam os atributos que uma andorinha tenha em virtude de ser esse tipo de coisa são explicados pela causa final ou razão de ser de uma andorinha. Assim, poder-se-ia afirmar que a razão de ser de uma andorinha é a causa última que lhe dá a habilidade de voar, o que significa que uma andorinha voa pelo fato de ser uma andorinha; ainda que isto seja

verdadeiro, esse pensamento não acrescenta nada de novo ou de útil sobre estes pássaros. Outra razão para Descartes rejeitar as formas substanciais e as causas finais para o estudo da phýsis era sua crença de que essas noções eram o resultado da confusão dos conceitos de corpo e de mente, aplicando-os na ação da gravidade sobre uma pedra para justificar o seu ponto de vista. Pelo pensamento escolástico, a razão de ser de uma pedra é a tendência de mover-se para o centro da Terra. Esta explicação implica em que a pedra tem conhecimento de sua razão de ser, do centro da Terra e de como chegar até lá. Mas como pode uma pedra saber alguma coisa, se ela não pensa? Assim, é um erro imputar propriedades mentais como o conhecimento a coisas puramente físicas e, para evitá-lo, imperioso se torna distinguir o conceito de mente do conceito de corpo. Descartes concluiu que a ciência e a filosofia escolásticas eram incapazes de descobrir o que quer que fosse de conhecimento científico novo ou útil. Assim, ao expulsar os princípios metafísicos das formas substanciais e das causas finais ao afirmar que “a dialética ordinária não serve para aqueles que desejam investigar a verdade das coisas”, Descartes abre caminho para uma nova metafísica, na qual a sua física mecanicista estava baseada e com a qual explicações mais prolíficas e claras poderiam ser obtidas acerca da phýsis.

A obra O Discurso do método está dividida em seis partes, onde Descartes elege a autoridade da razão como fio condutor para uma busca pela compreensão das leis naturais. Na primeira parte, Descartes apresenta o método que desenvolveu e que seguia para conduzir o indíviduo àquilo que era verdadeiro, ressalvando não ser sua intenção apresentar um método que cada qual devesse adotar para bem conduzir sua razão, mas tão somente mostrar de que maneira ele próprio havia se esforçado para conduzir a sua. Na segunda parte, Descartes apresenta quatro preceitos lógicos, necessários no seu entender para discernir entre o verdadeiro e o falso, a saber:

1. Receber escrupulosamente as informações, examinando sua racionalidade e sua justificação. Verificar a verdade, a boa procedência daquilo que se investiga aceitando apenas o que seja indubitável[1];

2. Análise ou divisão do assunto em tantas partes quantas forem possíveis ou necessárias;

3. Síntese ou elaboração progressiva de conclusões abrangentes e ordenadas a partir de objetos mais simples e fáceis até os mais complexos e difíceis;

4. Enumerar e revisar minuciosamente as conclusões, garantindo que nada seja omitido e que a coerência geral exista.

[1] Este preceito de Descartes relaciona-se muito ao ceticismo filosófico grego, doutrina que tem como maior expoente o filósofo e médico greco-romano Sextus Empiricus, que viveu entre os séculos II e III d.C. Sextus define o ceticismo como “a faculdade de opor de todas as maneiras possíveis os fenômenos e os númenos, para daí chegarmos, pelo equilíbrio das coisas e das razões opostas, primeiro à suspensão do julgamento (epokhé, ou seja, a atitude de não aceitar nem julgar uma determinada posição ou juízo) e, depois, à indiferença (ataraxia, ou seja, ausência de inquietude ou preocupação, tranquilidade de ânimo). Segundo este filósofo, as coisas existem, porém só o que podemos saber e dizer delas é de que maneira nos afetam – e não o que são em si mesmas.

Na terceira parte desta obra, Descartes estabelece para si mesmo as máximas morais que deve perseguir:

1. Obedecer às leis e aos costumes de meu país, retendo constantemente a religião em que Deus me concedeu a graça de ser instruído desde a infância, e governando-me em tudo o mais;

2. Ser o mais firme e o mais resoluto possível em minhas ações, e em não seguir menos constantemente do que se fossem muito seguras as opiniões mais duvidosas, sempre que eu me tivesse decidido a tanto;

3. Procurar sempre antes vencer a mim próprio do que à fortuna, e de antes modificar os meus desejos do que a ordem do mundo; e, em geral, a de acostumar-me a crer que nada há que esteja inteiramente em nosso poder, exceto os nossos pensamentos;

4. Passar em revista as diversas ocupações que os homens exercem nesta vida, para procurar escolher a melhor.

Na quarta parte do Discurso, Descartes tenta provar a existência de Deus, fazendo a seguinte análise:

"Julguei necessário fazer o contrário (do que fiz em relação à moral) e rejeitar, como absolutamente falso, tudo o que pudesse ser objeto da menor dúvida, a fim de verificar se, depois disso, não me restava, em minha certeza, alguma coisa totalmente indubitável. Ao pensar que tudo era falso, era necessário que, eu que pensava, fosse alguma coisa; e observando que essa verdade: "Cogito, ergo sum" (ou seja, "Penso, logo sou") era tão firme e tão certa, de modo que todas as mais extravagantes suposições dos céticos já não eram capazes de abalá-la, julguei que poderia recebê-la como o primeiro princípio da filosofia que eu procurava. Percebi, então, que era uma substância cuja essência, ou natureza, consiste em pensar e que para ser não precisa de lugar algum, nem depende de coisa alguma material. Em consequência, o eu, a alma, que permite ao filósofo ser o que é (um pensador), é inteiramente distinta do corpo, cujo conhecimento é mais fácil que o do corpo, pois mesmo que deixasse de existir, a alma não deixaria de ser o que é. Assim como o mais perfeito não pode ser consequência do menos perfeito, e, nada poder provir, tal idéia, do ser perfeito, ou da perfeição do ser, só pode ter sido posta em nós por uma natureza mais perfeita do que a nossa, e que inclui todas as perfeições, quer dizer, Deus".

Na quinta parte, Descartes apresenta algumas aplicações do seu método a questões físicas e outras relativas à medicina, onde faz uma minuciosa descrição do coração e da circulação do sangue no corpo humano. Finalmente, na sexta parte o filósofo francês explica as razões que o levaram a escrever este tratado e aquilo que ele acredita ser essencial para o progresso do conhecimento. Os três volumes seguintes ao Discurso do método (Dioptria, Meteoros e Geometria) são denominados ensaios, aos quais aplica o seu método mecanicista ou cartesiano. Observe a semiótica algébrica de Descartes na figura abaixo (constante do volume Geometria), em que a representação geométrica entre segmentos de linha forma uma expressão alternativa às expressões simbólicas de soma, diferença, produto, divisão e raiz quadrada:

Fragmento do ensaio Geometria, de Descartes.

Neste exemplo, Descartes constrói geometricamente as raízes positivas da expressão quadrática (destacada em azul), replicada abaixo em notação moderna:

$$ z^{2}=az+b^{2} $$

Para encontrar a raiz desta equação, ele constrói o triângulo NLM, onde LM equivale a b e LN equivale a 1/2a. Desenhando-se um círculo cujo raio seja igual a LN e estendendo-se o segmento MN até que alcance a circunferência em O, temos que o segmento NO é igual ao segmento LN, com o segmento OM sendo a incógnita z. Aplicando agora a seguinte proporção:

$$ \frac{OM}{LM}=\frac{LM}{PM} $$

Obtemos:

$$ OM\times PM=LM^{2} $$

Observe que:

$$ OM=z $$

$$ LM^{2}=b^{2} $$

$$ PM=\left ( OM-OP \right )=\left ( OM-2\times NO \right )=\left ( OM-2\times LN \right )=\left ( z-2\times \frac{1}{2}a \right ) $$

$$ PM=\left ( z-a \right ) $$

Logo:

$$ OM\times PM=LM^{2} $$

$$ z\times \left ( z-a \right )=b^{2} $$

$$ z^{2}-az=b^{2} $$

Portanto:

$$ z^{2}=az+b^{2} $$

Um olhar mais atento permite identificar um fácil intercâmbio entre as semióticas matemáticas de Vieta e Descartes; porém, enquanto para Vieta a linguagem simbólica (sua logistice speciosa) é entendida como um cálculo não interpretado, uma linguagem formal vazia cujos símbolos manipulam-se de acordo com regras previamente declaradas que podem ser interpretadas tanto geométrica quanto aritmeticamente, em Descartes a linguagem simbólica, algébrica, é totalmente significativa, ao representar integralmente um ente geométrico. Observe a seguir outro exemplo da obra Geometria de Descartes, em que uma construção geométrica equivale a uma equação algébrica e a semiótica adotada, semelhante à atual:

Fragmento do ensaio A Geometria.

Na primeira linha do texto encontramos a seguinte equação:

$$ x\propto \sqrt{-\frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}aa+bb}} $$

Que pode ser representada atualmente como:

$$ x=\sqrt{-\frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}a^{2}+b^{2}}} $$

Ou ainda o uso de expoentes para as potências das incógnitas, como se pode observar na terceira linha do texto reproduzido abaixo:

$$ z^{2}\propto az-bb $$

Representado atualmente pela expressão algébrica:

$$ z^{2}=az-b^{2} $$

Note que Descartes faz o uso das letras x, y e z para definir suas incógnitas (destacado em amarelo, abaixo), tal como nos ensinam na escola até hoje:

Outro fragmento do ensaio A Geometria.

Dada a clareza e significância do simbolismo matemático de Descartes, e os princípios que nortearam sua busca pela verdade, todo este arcabouço acabou por tornar-se, pouco a pouco, num padrão, difundindo-se por toda a comunidade matemática, o que facilitou a comunicação e a troca de conhecimentos entre os matemáticos.

Referências bibliográficas:

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[33]	Wikipedia “Discurso sobre o método”, página acessada em Março/2018. Sítio: https://pt.wikipedia.org/wiki/Discurso_sobre_o_M%C3%A9todo.

A álgebra dos gregos, dos árabes e dos hindus

2018-05-16T08:32:00.002-03:00

Ilustração de Edmund Dulac para uma edição de 1908 do livro “As 1001 noites”

A civilização grega começou lidando com problemas algébricos através da geometria; Tales de Mileto (~624 a.C. – 546 a.C.) é considerado por Aristóteles como o primeiro filósofo da tradição grega, reconhecido por romper com a mitologia para explicar o mundo e o universo, substituindo-a por teorias e hipóteses para justificar os fenômenos naturais. Considerava que o princípio originador da natureza e da natureza da matéria provinha de uma única substância: a água. Na matemática, supõe-se que Tales tenha estudado com sacerdotes egípcios e seus métodos de tentativa e erro para a solução de problemas matemáticos e astronômicos. Logo, ele superou seus professores e começou a questionar como os números combinavam-se entre si, acreditando que o método egípcio carecia de elegância e verificação. É também a primeira pessoa conhecida a aplicar o raciocínio dedutivo à geometria, através do qual chegaria ao que hoje é conhecido por Teorema de Tales. Observe:

Se dois segmentos de reta interceptam-se em um ponto A e são cortados por duas retas paralelas entre si, os triângulos formados por essa configuração e suas medidas respeitam a relação entre as razões abaixo:

$$ \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE} $$

Esta semelhança de triângulos era amplamente utilizada pelos egípcios para a solução de problemas algébricos lineares através da regra da falsa posição, mas Tales aplicou-a também para calcular a altura de pirâmides. Observe a figura a seguir:

Nesta imagem temos uma pirâmide e uma vara, cuja altura é conhecida e vale 10,5. Com a luz do Sol, tanto a pirâmide quanto a vara projetam suas sombras no chão. Medindo o tamanho das projeções de suas sombras e aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte relação por semelhança entre os triângulos ABC e DEF:

$$ \frac{Altura_{piramide}}{Altura_{vara}}=\frac{Sombra_{piramide}}{Sombra_{vara}} $$

Ou seja:

$$ \frac{x}{10,5}=\frac{30}{15} $$

Resolvendo a igualdade, vem:

$$ 15x=10,5\times 30 $$

$$ 15x=315 $$

$$ x=\frac{315}{15}=21 $$

Portanto, a altura da pirâmide vale 21. Outro grego que se valeu da geometria para solucionar problemas que resolvemos por álgebra foi Euclides. Em sua obra Elementos, no livro II, proposição 5, temos:

Se uma reta é cortada em partes iguais e desiguais, o retângulo contido pelas partes desiguais do todo, junto com o quadrado contido pela reta entre os pontos da seção, é igual ao quadrado contido pela metade.

A solução desta proposição dada por Euclides é como segue:

Para que uma linha reta AB seja cortada em segmentos iguais em C e em segmentos desiguais em D, digo que o retângulo contido por AD, DB juntamente com o quadrado em CD é igual ao quadrado em CB.

A seguir, demonstra-se sua solução geometricamente, iniciando com o segmento de reta AB dividido em partes iguais em C e em partes desiguais em D:

Apesar de não demonstrado, toda a construção geométrica aplicada na solução é obtida com a utilização do compasso e da régua. Em seguida, Euclides começa a descrever sua solução:

Para que o quadrado CEFB seja descrito em CB, e sejam unidos. Através de D, que o segmento de reta DG seja traçado paralelamente a CE ou BF. Através de H novamente deixe que o segmento de reta KM seja desenhado paralelamente a AB ou EF, e novamente através de A deixe que o segmento de reta AK seja desenhado paralelamente a CL ou BM. Então, como o complemento CH é igual ao complemento HF, adiciona-se DM a cada um. Portanto, o todo CM é igual ao todo DF. Mas CM é igual a AL, uma vez que AC também é igual a CB; portanto AL também é igual a DF. Faça CH ser adicionado a cada um. Portanto, o todo AH é igual ao gnômon NOP.

O resultado obtido até aqui está indicado na figura a seguir, acrescido do gnômon NOP. Em geometria, gnômon corresponde à parte remanescente de um paralelogramo após a retirada de outro similar que continha um de seus ângulos. Neste caso, o gnômon NOP representa o paralelogramo CEFB retirado de LEGH, restando a soma das áreas de três paralelogramos: CLHD com DHMB com HGFM:

Prossegue Euclides:

Mas AH é o retângulo AD, DB, para DH sendo igual a DB, portanto o gnômon NOP também é igual ao retângulo AD, DB. Deixe LG, que é igual ao quadrado em CD, ser adicionado a cada um; Portanto o gnômon NOP e LG são iguais ao retângulo contido por AD, DB e o quadrado em CD. Mas o gnômon NOP e LG são o quadrado inteiro CEFB, que é descrito em CB; Portanto, o retângulo contido por AD, DB juntamente com o quadrado em CD é igual ao quadrado em CB.

Em resumo, Euclides afirma que a área do paralelogramo AKHD somado à área do quadrado LEGH iguala-se à área do quadrado CEFB:
$$ Area\left ( AKHD \right )+Area\left ( LEGH \right )=Area\left ( CEFB \right ) $$
Podemos representar este problema proposto por Euclides como uma multiplicação de lados para obtenção de áreas, da seguinte forma:
$$ \left ( AD\times AK \right )+\left ( LH\times LE \right )=\left ( CB\times CE \right ) $$
Chamando o tamanho do segmento AD de a e sabendo que DB = AK e chamando seus tamanhos de b, temos:

Com base nestas considerações, é possível observar que LH = LE e que estes segmentos medem:
$$ \left ( \frac{a+b}{2}-b \right ) $$
E também que CB = CE e que estes segmentos medem:
$$ \left ( \frac{a+b}{2} \right ) $$
Desta forma, a proposição de Euclides é o equivalente geométrico da identidade algébrica:
$$ ab+\left [ \left ( \frac{a+b}{2}-b \right )\times \left ( \frac{a+b}{2}-b \right ) \right ]=\left [ \left ( \frac{a+b}{2} \right )\times \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \right ] $$
Ou seja:
$$ ab+\left ( \frac{a+b}{2}-b \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
Desenvolvendo, vem:
$$ ab+\left ( \frac{a+b-2b}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
$$ ab+\left ( \frac{a-b}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} $$
$$ ab+\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4} $$
$$ ab+\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
$$ \frac{4ab+a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
$$ \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} $$
Esta igualdade prova algebricamente o que Euclides provou por meio da geometria, ao afirmar que a área do paralelogramo AKHD somado à área do quadrado LEGH iguala-se à área do quadrado CEFB.

Ao contrário de Euclides e de outros geômetras gregos, como Arquimedes e Apolônio, Diofanto de Alexandria inaugura um novo tipo de matemática distanciada da estrutura lógica e dedutiva de seus conterrâneos, ao tratar problemas aritméticos e algébricos por si mesmos, sem aplicação da geometria e sem exposição dedutiva, antes aplicando uma álgebra sincopada, em que algum simbolismo é utilizado, ainda que ausentes as características da álgebra simbólica moderna. Assim, por exemplo, aquilo que escrevemos algebricamente como:
$$ x^{3}-2x^{2}+10x-1=5 $$

Diofanto teria escrito:

$$ K^{\Upsilon }\bar{\alpha }\varsigma \bar{\iota }\Psi \Delta ^{\Upsilon }\bar{\beta }M\bar{\alpha }\iota\sigma M\bar{\varepsilon } $$

Onde os símbolos representam o seguinte:

Símbolo	Significado
$$ \bar{\alpha } $$	Representa o número 1
$$ \bar{\beta } $$	Representa o número 2
$$ \bar{\varepsilon } $$	Representa o número 5
$$ \bar{\iota } $$	Representa o número 10
$$ \varsigma $$	A incógnita ou variável, representa o x
$$ \iota\sigma $$	Abreviatura de ισος, representa o símbolo de igual (=)
$$ \Psi $$	Representa a subtração para tudo que o segue, até ισ
$$ M $$	Representa uma constante
$$ \Delta ^{\Upsilon } $$	Do grego δυυναμις, dinâmis, representa o x²
$$ K^{\Upsilon } $$	Do grego κυβος, cubus, representa o x³

Outros símbolos utilizados pelo matemático estão indicados abaixo:

Símbolo	Significado
$$ \Delta ^{\Upsilon }\Delta $$	Representa o x⁴
$$ \Delta K^{\Upsilon } $$	Representa o x⁵
$$ K^{\Upsilon }K $$	Representa o x⁶

Na obra de Diofanto não existia um símbolo para a soma, de modo que os termos positivos da equação eram simplesmente justapostos; também, os termos negativos eram todos agrupados após o Ψ (esta letra de fato aparece de cabeça para baixo em sua obra). Desta forma, os termos positivos ou somados (o x³ e o 10x) estão agrupados, onde x³ é:

$$ K^{\Upsilon }\bar{\alpha } $$

E 10x está indicado como:

$$ \varsigma \bar{\iota } $$

Os termos negativos ou subtraídos da equação (o -2x² e o -1) estão agrupados após o Ψ até aquilo que Diofanto define como um sinal de igual, ou seja, ισ. Assim, -2x² está indicado por:

$$ \Delta ^{\Upsilon } \bar{\beta } $$

E o -1, por ser uma constante negativa, está indicado por:

$$ M\bar{\alpha } $$

Ambos os termos são negativos pela indicação do símbolo Ψ. E finalmente o resultado é igual (ισ) à constante 5, representada por Με. Quase nada se conhece da vida de Diofanto e até mesmo a época em que viveu é incerta; estimativas baseiam-se no fato dele próprio citar Hipsicles (astrônomo e geômetra grego nascido em Alexandria) que viveu por volta de 180 a.C. e que também é citado por Téon de Alexandria, que viveu de 335 a 395 d.C., de modo que aceita-se que Diofanto tenha vivido entre 200 e 280 d.C. Sua fama é devida basicamente por ter escrito 13 livros conhecidos por Arithmetica, uma coleção de 130 problemas envolvendo equações de diversos tipos. Por exemplo, ele estava interessado nas soluções numéricas de equações determinadas e indeterminadas, estas últimas solucionadas por um método hoje conhecido como análise diofantina. Destes livros, apenas 6 originais gregos sobreviveram, além de outros 4 traduzidos para o árabe. Apesar de nada se saber sobre sua vida, deduz-se com que idade veio a falecer em função de um problema algébrico que segundo a tradição foi inscrito em sua lápide, cujos termos são estes:

Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e adicionando uma duodécima parte a isso, vestiu suas bochechas com barba; Acendeu a luz do casamento depois de uma sétima parte, e cinco anos depois o matrimônio lhe concedeu um filho. Infelizmente! Miserável filho tardio; Após atingir a metade da vida de seu pai, o Destino o arrebatou. Depois de consolar seu sofrimento com a ciência dos números por quatro anos, ele encerrou sua vida.

A equação algébrica em notação moderna que representa este epitáfio é:

$$ x=\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4 $$

Onde x é a idade de Diofanto. Resolvendo a equação, temos:

$$ x=\frac{14x+7x+12x+420+42x+336}{84} $$

$$ 84x=14x+7x+12x+420+42x+336 $$

$$ 84x-14x-7x-12x-42x=420+336 $$

$$ 9x=756 $$

$$ x=\frac{756}{9}=84 $$

Diofanto é considerado por muitos como o 'pai da álgebra', em parte por ter sido responsável pela introdução do simbolismo ao tema. Este título de paternidade, porém, é igualmente atribuído a outro matemático: o persa al-Khwarizmi. Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi (seu nome completo) viveu por volta de 800-847 d.C., mas estas datas não são precisas. O epíteto “al-Khwarizm” refere-se ao local de seu nascimento, Khwarizm ou Khorezm, localizada ao sul do delta do rio Amu Darya e do Mar do Aral, na Ásia central.

Estátua pictórica de al-Khwarizmi, localizada nos portões ocidentais (Ata Darwaza) da cidade de Khiva, no Uzbequistão.

Al-Khwarizm cresceu próximo a Bagdá, sob o reinado do califa al-Mamun (que durou de 813-833 d.C.), um grande promotor da ciência. Conta-se que al-Mamun teve um sonho no qual Aristóteles apareceu para ele; depois disso, o califa resolveu traduzir para o árabe todas as obras gregas que pôde adquirir. É dessa época que surgem o Almagesto de Ptolomeu e uma versão completa do Elementos de Euclides. Segundo a tradição, os originais gregos foram trazidos a Bagdá através de tratados com o país de Roma (que era o nome dado na época ao império Bizantino, e com quem mantinham uma paz “inquieta”) por uma delegação enviada por al-Mamun. É interessante notar que antes dele, seu pai – o califa al-Rashid, cujo reinado foi de 786-809 d.C. – já iniciara uma tradução rigorosa de clássicos matemáticos em grego e sânscrito para o árabe, entre os quais algumas partes do Elementos, bem como mandou erigir a Casa da Sabedoria, um centro intelectual que floresceu sob o reinado do prestimoso filho e do qual al-Khwarizmi foi um membro ativo, tanto que boa parte de sua obra é dedicada a al-Mamun. Além de compilar as mais antigas tabelas astronômicas conhecidas até então, al-Khwarizmi também compôs o mais antigo trabalho de aritmética e de álgebra.

Foto moderna de um pátio na Casa da Sabedoria, construída sob o reinado de al-Rashid.

A versão árabe completa de seu trabalho mais famoso consiste de três volumes: um de álgebra propriamente, cobrindo suas regras com 40 exercícios, uma seção sobre a regra de três e problemas sobre mensurações (em que delineia as regras para o cálculo de áreas e volumes), e uma longa seção compreendendo problemas e soluções relativos a heranças, envolvendo aritmética simples e equações lineares. As leis de herança recebem o devido tratamento no Quran (que significa literalmente 'a recitação'), que é nada mais que o principal texto religioso do Islã, e que os muçulmanos creditam como tendo sido uma revelação de Alá.

Emblema do Quran

Legislando sobre o casamento, divórcio e herança, lida com complicadas partilhas envolvendo razões em diferentes circunstâncias ou condições, como no exemplo abaixo:

Alá, portanto, lhe determina quanto aos seus filhos (herança): ao varão uma porção igual à de duas varoas: se apenas filhas, duas ou mais, a parte que lhes cabe é dois terços da herança; se apenas uma, recebe a metade. Para os pais, uma sexta parte da herança para cada um, se os filhos forem falecidos; se não há filhos e os pais são os únicos herdeiros, a mãe recebe a terça parte; se o falecido deixou irmãos (ou irmãs), a mãe recebe a sexta parte. (A distribuição em todo caso ocorre) após o pagamento de legados e dívidas. Você não sabe se seus pais ou seus filhos estão mais próximos de você em benefícios. Estas são as partes estabelecidas e ordenadas por Alá, e Alá é Todo-Conhecedor, Todo Sábio. Do que suas esposas deixarem, sua participação é metade, se elas não tiveram nenhum filho, mas se elas tiveram uma criança, você recebe a quarta parte, após o pagamento de legados e dívidas. Do que você deixar, elas recebem a quarta parte, se você não teve nenhum filho; mas se você teve uma criança, elas recebem a oitava parte, após o pagamento de legados e dívidas. Se o homem ou mulher cuja herança está em questão, não deixaram ascendentes nem descendentes, mas deixaram um irmão ou uma irmã, cada um dos dois recebe uma sexta parte; Mas se houver mais que dois irmãos, eles compartilharão a terça parte, após o pagamento de legados e dívidas; De modo que nenhuma perda seja causada (a qualquer um). Assim é ordenado por Alá; E Alá de tudo está sabendo, assaz tolerante.

Seja como for, é no primeiro volume, cujo título é Kitab al-muhtasar fih isab al-jabr wa al-muqabala, que a resolução de problemas algébricos forneceu as maiores contribuições de al-Khwarizmi à matemática. O termo al-jabr em árabe significa colocar junto, restaurar, e deu origem ao termo álgebra. No dicionário encontramos até um significado (agora em desuso) para a palavra algebrista, que além de ser uma pessoa versada em álgebra, na idade média era aquele que tratava de fraturas ou deslocação de ossos, coerente com o significado árabe de restauração, mas era utilizada por al-Khwarizmi em conjunto com a movimentação de quantidades subtraídas para o outro lado de uma equação. E o termo al-muqabala significa confrontação, e era usado para combinar termos semelhantes em lados opostos da equação. Estas duas palavras, além de outras – como ikmal (concluindo) e radd (retornando) – foram aplicadas de diferentes maneiras, para nomear os passos do processo algébrico. De fato, al-Khwarizmi principia seu livro cobrindo as definições e regras da álgebra, para em seguida tratar dos problemas. Uma solução algébrica consistia de três passos:

Ø Estabelecer uma equação em termos de números algébricos;

Ø Simplificar a equação para um dos seis tipos padronizados;

Ø Aplicar o procedimento adequado para obter a resposta.

Os termos de uma equação eram declarados através do verbo adala (ser igual a ou equilibrar), e os três tipos de números algébricos eram definidos como:

Tipo	Tradução	Transcrição simbólica
măl	Soma de dinheiro, propriedade...	x²
jidhr	Raiz	x
adad mufrad	Números simples	1, 2, 3, ... (unidades)

Na solução de problemas, a palavra xái (coisa) era geralmente utilizada no lugar de jidhr e as unidades eram contadas em dirhams, uma unidade monetária árabe. Uma equação retórica aplicando todos os números algébricos podia ser enunciada da seguinte forma:

Oito coisas e um terço de uma coisa, menos cinco sextos de măl é igual a cem dirhams menos vinte raízes.

Que na notação algébrica moderna seria:

$$ 8\frac{1}{3}x-\frac{5}{6}x^{2}=100-20x $$

A palavra jabr era aplicada na movimentação de uma quantidade subtraída em um lado da equação, por exemplo:

$$ 48+3x^{2}-8x=33 $$

Movendo −8x para o outro lado da igualdade, temos:

$$ 48+3x^{2}=33+8x $$

E o termo muqabala combinava termos semelhantes em lados opostos da equação, por exemplo:

$$ 3\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x=x $$

Combinando os termos em x, vem:

$$ 3\frac{1}{3}+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x=x-\frac{1}{3}x $$

Chegando a:

$$ 3\frac{1}{3}=\frac{2}{3}x $$

Al-Khwarizmi classificava seus problemas algébricos em seis categorias normalizadas e reduzidas:

Ø Quadrados iguais a raízes. Exemplo: ax² = bx;

Ø Quadrados iguais a números. Exemplo: ax² = b;

Ø Raízes iguais a números. Exemplo: ax = b;

Ø Quadrados e raízes iguais a números. Exemplo: ax² + bx = c;

Ø Quadrados e números iguais a raízes. Exemplo: ax² + c = bx;

Ø Quadrados iguais a raízes e números. Exemplo: ax² = bx + c;

Onde a, b e c representam números inteiros positivos quaisquer. Percebe-se que as seis formas descritas por al-Khwarizmi são meras variações de uma mesma expressão quadrática (ax² + bx + c = 0) em notação moderna.

Página do manuscrito de álgebra “Kitab al-jabr wa l’muqabala”, escrito por Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, mostrando a solução de um tipo de equação quadrática pelo remate das partes de um quadrado.

A solução para estes problemas algébricos estava fortemente associada a conceitos geométricos, onde números e raízes eram representados como comprimentos dos segmentos de linhas e os termos quadráticos equivaliam a áreas. Um exemplo clássico é a solução, por al-Khwarizmi, do seguinte problema equivalente à quarta categoria (Quadrados e raízes iguais a números. Exemplo: ax² + bx = c ):

$$ x^{2}+10x=39 $$

Neste exemplo, o matemático começa construindo um quadrado cujos lados valem x e cuja área vale x.x, ou x²:

Em seguida, ele constrói retângulos, cujos comprimentos valem x e as alturas valem 5/2, com área igual a 5x/2, como abaixo:

Estes retângulos são anexados ao quadrado original:

A soma destes quatro retângulos resulta no segundo termo da equação original:
$$ \frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{5x}{2}=\frac{20x}{2}=10x $$
Finalmente, para completar o quadrado maior, al-Khwarizmi incluía em suas extremidades outros quatro quadrados pequenos:

Como a altura dos retângulos é 5/2, os quadrados anexados terão lados com esse mesmo valor e, portanto, suas áreas serão iguais a 25/4. A soma das áreas desses pequenos quadrados verdes resulta:
$$ \frac{25}{4}+\frac{25}{4}+\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=\frac{100}{4}=25 $$
Na equação original, al-Khwarizmi soma 25 a ambos os termos:
$$ x^{2}+10x+25=39+25 $$
Lembrando que o termo à esquerda da equação é uma forma fatorada:
$$ x^{2}+10x+25=\left ( x+5 \right )^{2} $$
A equação original reduz-se a:
$$ \left ( x+5 \right )^{2}=64 $$
Tirando a raiz quadrada, vem:
$$ \sqrt{\left ( x+5 \right )^{2}}=\sqrt{64} $$
O que nos leva a:
$$ \left ( x+5 \right )=8 $$
E portanto a incógnita x vale:
$$ x+5=8\rightarrow x=8-5\rightarrow x=3 $$
Este exemplo demonstra porque al-Khwarizmi não aceitava raízes e coeficientes negativos. Trabalhando com quantidades concretas como comprimentos e áreas, era impossível criar figuras geométricas com dimensões negativas. Sem condições de lidar adequadamente com os números negativos, o matemático recusava sua existência. É importante observar neste ponto que a álgebra de al-Khwarizmi era basicamente retórica, utilizando-se da linguagem natural para ser expressa. Um bom exemplo disto pode ser observado no problema abaixo:

Dividi dez em duas partes. Em seguida, multipliquei um deles pelo outro, e vinte e um resultaram. Então, agora você sabe que uma das duas seções de dez é uma coisa (xái). Portanto, multiplique-o com dez com uma coisa removida, e diga: dez com uma coisa removida vezes uma coisa são dez coisas, com um măl (x²) removido, que se torna igual a vinte e um. Portanto, restaure (jabr) dez coisas por um măl, e some um măl a vinte e um, e diga: dez coisas se tornam iguais a vinte e um e um măl. Portanto, reduza à metade as raízes (jidhr) e elas serão cinco, que você multiplica por ele mesmo, e resultam vinte e cinco. Destes, retire vinte e um, restando quatro. Cuja raiz você extrai, que é dois, que você subtrai da metade das coisas. Restarão assim três, que é uma das partes.

O enunciado está dividido em duas partes. A primeira, em azul, é uma redução retórico-algébrica mais ou menos auto-explicativa. A segunda parte, em vermelho, é um algoritmo de solução sem uma correspondente explicação, bem como uma referência para uma das seis categorias de algoritmos aplicáveis à solução de equações do segundo grau normalizadas e reduzidas, mais especificamente uma equação da quinta categoria (Quadrados e números iguais a raízes. Exemplo: ax² + c = bx). O problema acima e sua descrição em notação algébrica moderna, estão indicadas a seguir:
$$ \left\{\begin{matrix}10=x+\left ( 10-x \right )\\ x\times \left ( 10-x \right )=21\end{matrix}\right. $$
$$ 10x-x^{2}=21 $$
$$ x^{2}-10x+21=0 $$
Resolvendo a equação do segundo grau segundo Báskara, temos:

$$ x_{1}=3 $$

$$ x_{2}=7 $$

Porém, Al-Khwarizmi valia-se somente da geometria para demonstrar sua solução; retomando a equação na quinta categoria normalizada e reduzida (quadrados e números iguais a raízes), temos:
$$ x^{2}+21=10x $$
Para resolvê-la, ele começa com um quadrado de lado igual a x, cuja área é x²:

Em seguida, desenhava um retângulo adjacente ao quadrado, com área igual a 21:

Nestas condições, o matemático afirmava que o retângulo maior, englobando o quadrado azul e o retângulo laranja, tem uma área igual a 10x; observe: a altura do retângulo laranja (que é também o lado do quadrado) vale x, e a largura do retângulo maior (que é a da largura do retângulo laranja somada ao lado do quadrado) vale 10, o que fornece uma área igual a 10x. Prosseguindo, al-Khwarizmi dividia o retângulo maior ao meio através de uma linha perpendicular à sua largura e com tamanho igual à metade da largura do retângulo maior:

Feito isso, ele completava o quadrado grande:

No pedaço deste quadrado grande que extrapola o retângulo laranja, o matemático criava um novo quadrado, indicado em verde abaixo:

Observe que sobrou um retângulo branco, adjacente ao quadrado verde. Vamos pintá-lo de vermelho:

Este retângulo vermelho tem o mesmo tamanho do retângulo laranja pequeno, que está entre o quadrado azul e o quadrado grande. Observe:

Bom, se o quadrado grande tem a metade da largura do retângulo grande (que vale 10), então seus lados valem 5 e sua área, 25. O pedaço do retângulo laranja dentro do quadrado grande, somado ao retângulo vermelho, resulta na área total do retângulo laranja, que é 21. Logo, a área do quadrado verde vale 4 e seus lados valem 2. Portanto, se a largura do retângulo grande vale 5 e a altura do retângulo vermelho vale 2 (pois tem o mesmo tamanho do quadrado verde), então a soma do lado do quadrado azul (que vale x) mais a altura do retângulo vermelho (que vale 2) tem que totalizar 5, que é a metade da largura do retângulo grande. Ou seja:
$$ x+2=5 $$
Aplicando a muqabala, temos:
$$ x+2-2=5-2 $$
$$ x=3 $$
Que é o valor da incógnita, ou xái (coisa) para os árabes, ou x para nós. A completa ausência de uma notação algébrica pode estar relacionada à natureza oral da cultura islâmica medieval. O conhecimento ainda era visto como algo a ser comunicado oralmente e recitar de memória era a base do aprendizado. Os alunos eram instruídos por seus xáiqs (professores) a memorizar um texto lendo-o em voz alta, pois “aquilo que o ouvido escuta, fica firmemente estabelecido no coração”. Os livros de álgebra, bem com os de aritmética, exibiam traços desta tradição de aprendizagem oral, com problemas começando com “se alguém lhe disser” e em geral na solução o aluno era instruído a “ter em mente” um valor intermediário. Os livros também não eram a única 'mídia' escrita: muitos livros de aritmética, incluindo aqueles de Khwarizmi, apresentavam algoritmos para serem escritos em alguma superfície apagável, entre as quais destaca-se a takht (placa de areia), uma plaqueta plana coberta de areia fina na qual as figuras eram desenhadas através de um estilo. Outra superfície apagável comum era a lawha (lousa, tabuleta), cuja superfície de argila macia podia ser raspada e reutilizada inúmeras vezes. Ambas as mídias são semelhantes ao quadro-negro e ao quadro-branco de hoje, pois são ideais para resolver problemas, mas não são adequados para gravar permanentemente um texto[1]. Entretanto, no século XII d.C. surgiu no Magrebe (região noroeste da África) e possivelmente também na Andaluzia (península Ibérica) uma notação específica para a álgebra: a primeira letra do nome da potência era posicionada acima do coeficiente, e uma letra árabe lam alongada, semelhante a um “L” invertido, servia como sinal de igual.

[1] Em Portugal, nas décadas de 1930/1940, todo aluno possuía uma pequenina lousa de ardósia, em que escreviam com giz e apagavam com um pano as lições de matemática aplicadas pelo professor em sala de aula. O aprendizado era pautado na memorização, uma vez que não se utilizavam cadernos para anotar os exercícios nem as soluções dos problemas. Meu pai estudou matemática dessa forma. Talvez por isso tenha uma memória tão boa e faça contas tão bem!

Observe:

O texto destacado em amarelo será ampliado para melhor visualização:

Traduzindo da direita para a esquerda, e utilizando a letra m para măl (a incógnita ao quadrado) e c para xái (coisa ou incógnita), teremos:

m	c			m	c
5	4	3	=	2	3	6

Que em notação moderna corresponde a:
$$ 5x^{2}+4x+3=2x^{2}+3x+6 $$

Poucos livros práticos foram escritos utilizando essa notação. Todos foram elaborados na região do Magrebe e Andaluzia (que afinal foram regiões dominadas pelo califado Omíada, o segundo após a morte de Maomé, entre 661 e 750 d.C., sendo posteriormente suplantado pelo califado Abássida, que durou de 750 até 1.299 d.C.) e nenhum desses manuscritos veio das mãos de matemáticos árabes famosos como al-Khwarizmi, al-Karaji, al-Samawal, entre outros. Outro matemático que se valeu de uma notação algébrica própria foi o hindu Báskhara II (1.114 a 1.185 d.C.), provavelmente o principal matemático do século XII; em seu tratado de álgebra Vija Ganita, ele apresenta as regras aritméticas da soma, subtração, multiplicação, divisão e raiz quadrada iniciando o texto com uma invocação muito peculiar, típica dos hindus, como se observa a seguir:

Revelo a matéria primária inaparente, que os Sanchyas declaram serem produtivas do princípio inteligente, sendo dirigidas a essa produção pelo ser consciente: pois é o único elemento de tudo o que é aparente. Adoro o poder dominante, que os sábios familiarizados com a natureza da alma pronunciam como sendo a causa do conhecimento, assim explicado por uma pessoa consagrada: porque é o único elemento de tudo o que é aparente. Eu venero essa computação inaparente, que aqueles que calculam afirmam como sendo o meio da compreensão, sendo expostas por uma pessoa apta: pois é o elemento único de tudo o que é aparente.

Uma vez que a aritmética da quantidade aparente [ou conhecida], que já foi proposta em um tratado anterior, se baseia na quantidade inaparente [ou desconhecida]; e uma vez que as questões a serem resolvidas dificilmente podem ser entendidas por qualquer um, e de modo algum por meio de apreensões maçantes, sem a aplicação de uma quantidade inaparente; Eis que proponho as operações de análise.[...]

Resumidamente, Báskhara demonstra sua profunda admiração pela arte do cálculo algébrico (ainda que ele não a chamasse assim) para encontrar o valor de uma incógnita e de como operá-la aplicando as regras aritméticas apresentadas por ele em um tratado anterior. Por exemplo, considere a equação abaixo:
$$ \left ( 5x-1 \right )\times \left ( 3x+2 \right ) $$
Na notação de Báskhara, a mesma expressão inicial era formulada conforme abaixo:
$$ ya\ 5\ ru\ \hat{1} $$
$$ ya\ 3\ ru\ 2 $$
Efetuando a multiplicação entre os termos, temos:
$$ \left ( 5x-1 \right )\times \left ( 3x+2 \right ) $$
$$ 15x^{2}+10x-3x-2 $$
$$ 15^{2}+7x-2 $$
A equação quadrática resultante na notação do hindu fica:
$$ ya\ v\ 15\ \ ya\ 7\ \ ru\ \hat{2} $$
A marcação acima dos números 1 e 2 na notação hindu (como um acento circunflexo) indica que eles são números negativos. Porém, Brahmagupta (598 – 668 d.C.), de quem o próprio Báskhara considerava “uma jóia entre os matemáticos”, é quem fornece as duas regras para a solução de equações quadráticas. Brahmagupta (cujo sufixo gupta sugere que sua família pertencia à casta Vaisya, composta principalmente por fazendeiros e comerciantes) teve a oportunidade de viver, estudar e ensinar em Ujjain, uma cidade no estado de Gwalior, na Índia.

Ilustração do século XIX de um hindu astrônomo. Legenda original: “Dybuck, um astrônomo, calculando um eclipse”. Ilustração de Frans Balthazar Solvyns, publicado em seu livro “Les hindous”, em 1808.

Naquela época, Ujjain era o centro da matemática e astronomia hindus e contava com o melhor observatório de toda a Índia. É também nesse estado que se encontra o forte de Gwalior, que possui um pequeno templo dedicado ao deus Vishnu onde, na parte interna da nave, há uma placa com a primeira evidência indubitável do número zero, como já comentado no capítulo: Zero, o número filosofal, constante do primeiro volume desta série. Sem dúvida que Brahmagupta não é o descobridor dessas duas regras para a solução de equações quadráticas; mas talvez pela primeira vez na história da álgebra encontramos o processo para solucioná-las de modo tão claro. O original em sânscrito da primeira regra está apresentado a seguir:

Cuja tradução é:

O quadrático: a quantidade absoluta multiplicada por 4, vezes o coeficiente do quadrado da incógnita, são somados ao quadrado do coeficiente do meio (isto é, da incógnita); a raiz quadrada do resultado, subtraído do coeficiente do meio e dividido por duas vezes o coeficiente do quadrado da incógnita, é o valor da incógnita.

Lembrando que a equação quadrática pode ser expressa como:
$$ ax^{2}+bx+c=0 $$

Temos que:

a → é o coeficiente da incógnita ao quadrado;

b → é o coeficiente do meio;

c → é a quantidade absoluta;

Transformando a regra de Brahmagupta em uma expressão matemática, obtemos:
$$ x=\frac{\sqrt{4ac+b^{2}}-b}{2a} $$
O matemático empregou o termo madhya (meio) para designar a incógnita x e seu respectivo coeficiente, b. O original em sânscrito da segunda regra pode ser observado a seguir:

E sua tradução é:

O termo absoluto, multiplicado pelo coeficiente do quadrado da incógnita, é somado pelo quadrado da metade do coeficiente da incógnita; a raiz quadrada do resultado, subtraído da metade do coeficiente da incógnita, e dividido pelo coeficiente do quadrado da incógnita, é o valor da incógnita.

Transformando novamente a regra de Brahmagupta em uma expressão matemática, obtemos:
$$ x=\frac{\sqrt{ac+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}-\left ( \frac{b}{2} \right )}{a} $$
A segunda regra, com um pouco de álgebra, reduz-se a:
$$ x=\frac{\sqrt{4ac+b^{2}}-b}{2a} $$
Estas expressões, obtidas a partir das duas regras, são idênticas. A fórmula que resolve qualquer equação quadrática foi obtida pela primeira vez somente em 1.585 pelo matemático holandês Simon Stevin, em sua obra L’Arithmetique; no Brasil é conhecida como fórmula de Bháskara e apresentada no formato abaixo:
$$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $$
Mas, rigorosamente falando, não foi Brahmagupta quem criou a fórmula, tampouco Bháskara, que viveu quase 600 anos depois; é um conhecimento de origem incerta, que se perde nas brumas do passado longínquo, sendo que seus rastros mais antigos encontram-se nas soluções dadas pelos babilônios.

Referências bibliográficas:

[1]	Heath, T. “A history of Greek mathematics”, volumes I and II, Oxford at the Clarendon Press, 1921.
[2]	Becker, R. L. “A algebra geométrica de Euclides”, trabalho de conclusão de curso no curso de matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, 2004.
[3]	Ramos, M. D. C. P. “Da álgebra geométrica grega à geometria analítica de Descartes e de Fermat”, dissertação de mestrado, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto em Matemática, 2013.
[4]	Stillwell, J. “Mathematics and its history”, Third edition, Springer, 2010.
[5]	Radford, L.; Empey, H. “Culture, knowledge and the self: Mathematics and the formation of new social sensibilities in the Renaissance and medieval Islam”, Revista Brasileira de História da Matemática, Especial no 1 – Festschrift Ubiratan D’Ambrosio, dezembro/2007.
[6]	Hettle, C. “The symbolic and mathematical influence of Diophantu’s Arithmetica”, Journal of Humanistic Mathematics, volume5, issue 1, January 2015.
[7]	Christianidis, J. “The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution”, Historia Mathematica 34, pgs. 289-305, 2007.
[8]	Rogers, E. “Islamic mathematics”, MATH 390: Islamic Mathematics, Univesity of Illinois at Urbana-Champaign, August 2008.
[9]	Rashed R. (reviewed by Jeffrey Oaks) “Abu Kamil. Algèbre et analyse Diophantienne”, Scientia Graeco-Arabica 9, Berlin/Boston: Walter de Gruyter, 2012.
[10]	Hoyrup, J. “Advanced arithmetic from twelfth-century Al-Andalus, surviving only (and anonymously) in latin translation? A narrative that disappeared”, Contribution to the Conference: Narratives on Translations, Max-Planck Institut für Wissenschaftsgeschichte, Berlin, 11–20 November 2015.
[11]	Oaks, J. A.; Alkhateeb, H. M. “Simplifying equations in Arabic algebra”, Historia Mathematica, 2006.
[12]	Awan, N. M. “Quran and mathematics – I”, Jihat al-Islam, Vol. 3, No. 1, July-December 2009.
[13]	Oaks, J. “The series of problems in al-Khwarizmi’s algebra”, class annotations.
[14]	Colebrooke, H. T. “Arithmetic and mensuration from the sanscrit of Brahmegupta and Bhascara”, London, John Murray, Albermale Street, 1817.
[15]	Sharma, A. R. S. “Brahma-Sphuta Siddhanta with Vasana, Vijnana - Sanskrit and Hindi Commentaries, Vol. 1”, edited by Acharyavara Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966.
[16]	Stevin, S. (Autor); Dijksterhuis, J. (Editor) “The principal works of Michael Stevin”, C. V. Swets & Zeitlinger, 1955.

A álgebra dos babilônios e dos egípcios

2018-05-11T09:34:00.001-03:00

Plaqueta de argila cozida babilônica, encontrada no sul da Mesopotâmia, datada entre 2.000 e 1.600 a.C. Contém um total de 24 problemas 'algébricos' envolvendo as formas mais simples de equações do segundo grau. Encontra-se no Museu Britânico sob a denominação BM13901.

A álgebra é um dos grandes ramos da matemática, junto com a geometria, a teoria dos números e a análise numérica. Na definição atual, álgebra são o estudo dos símbolos matemáticos e as regras que manipulam esses símbolos. Seu nascimento, porém, teve diversos percalços e enfrentou uma longa caminhada até alcançar a semiologia e o simbolismo tal como a conhecemos hoje e nos é ensinada nas escolas. Seguindo os passos da história, comecemos essa trajetória pelos babilônios. Para esta civilização, os problemas algébricos eram propostos e solucionados em um mesmo enunciado, com representações funcionalmente abstratas por meio de segmentos mensuráveis (como comprimento, largura ou lado do quadrado) e áreas retangulares utilizadas para tratar problemas de primeiro e segundo graus, resolvidos por meio de procedimentos de corte e projeções, como o descrito abaixo, retirado da plaqueta de argila BM13901:

1. A superfície e meu confronto eu acumulei: 45', é ele. 1, a projeção,

2. Você propõe. A metade de 1 você quebra 30' e 30' você mantém.

3. 15' para 45' você acrescenta: por 1, 1 é igual. 30' que você manteve.

4. Dentro de 1, você rasga fora: 30' o confronto.

Este truncado enunciado lida com equações quadráticas utilizando figuras geométricas; assim, o lado de um quadrado é denominado confronto, cujo valor se quer descobrir. Na primeira linha do enunciado, a soma (acúmulo) da área do quadrado com o seu lado (confronto) é igual a 45'. Como não havia uma representação para frações entre os babilônios, essa soma entre a área do quadrado com o seu lado vale efetivamente 45/60, ou simplificando: 3/4.

O acúmulo é uma operação simétrica de soma, ou seja, juntam-se em uma soma duas magnitudes ou seus números de medição. Entende-se como números de medição a junção de magnitudes de diferentes tipos (comprimentos e áreas – áreas e volumes – trabalhadores, tijolos e dias de trabalho), o que permite que uma área seja somada com um lado do quadrado. Afim de que essa soma tenha um significado concreto, o lado do quadrado (confronto) é fornecido como uma projeção, isto é, algo que se sobressai ou se projeta. A projeção do lado do quadrado monta um retângulo, de modo que montar significa gerar uma área. Este retângulo tem comprimento igual a 1; observe:

Na segunda linha do enunciado temos que o retângulo é quebrado ao meio, de modo que 30' é descartado e 30' é mantido. Mais uma vez, a simbologia babilônica trata de frações, de modo que 30' corresponde de fato à razão 30/60 e a divisão do comprimento do retângulo ao meio resulta em dois retângulos com comprimentos iguais a 30/60, ou simplificadamente, 1/2:

A projeção do retângulo branco (o retângulo cinza foi descartado) é rebatida no lado adjacente do quadrado:

Na terceira linha do enunciado temos o acréscimo de 15' à área 45' inicial. Este acréscimo também é uma área, resultante das projeções, pois um quadrado de lados iguais a 1/2 geram uma área igual a 1/4 (destacada em azul); e 1/4 é o mesmo que 15/60, que é a representação fracionária babilônica para 15':

A área resultante com este novo acréscimo é 1, ou seja: 15/60 + 45/60 = 60/60. Na quarta linha, afirma-se que desta área, rasga-se fora 30', que é o confronto. Rasgar tem aqui o sentido de subtrair, ou seja, subtrai-se 30' que corresponde em nossa notação à razão 30/60, ou ainda: 1/2, que é o valor do confronto ou lado do quadrado procurado, ou seja, C = 1/2.

Os demais problemas contidos nessa plaqueta de argila cozida envolvem equações do segundo grau e os resultados são sempre positivos, pois os babilônios não conheciam os números negativos. Na atualidade, o problema babilônico poderia ser enunciado da seguinte forma: a área de um quadrado, somada ao seu lado, vale 3/4. Quanto mede o lado deste quadrado? Como a área de um quadrado é a multiplicação de um lado por ele mesmo, em notação algébrica moderna teríamos:

$$ x^{2}+x=\frac{3}{4} $$

Onde x é o tamanho do lado desse quadrado; x² corresponde à sua área, e a soma deles é igual a 3/4. Ao somarmos a área resultante das projeções do exemplo babilônico, temos:
$$ x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{3}{4}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} $$
A nova área resultante deste acréscimo será igual a 1:
$$ x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1 $$
Por outro lado, a expressão:
$$ x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} $$
É a forma fatorada de:
$$ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2} $$

Basta lembrar que (x + 1/2)² é o mesmo que (x + 1/2).(x + 1/2); assim, aplicando a propriedade distributiva na expressão acima, temos:
$$ \left ( x+\frac{1}{2} \right )\times\left ( x+\frac{1}{2} \right ) $$
$$ x^{2}+x\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} $$
$$ x^{2}+2x\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} $$
$$ x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} $$
Que é a forma não fatorada original. Isto posto, vem que:
$$ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=1 $$
Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da igualdade:
$$ \sqrt{\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}}=\sqrt{1} $$
$$ x+\frac{1}{2}=1 $$
Rasgando 1/2 conforme a descrição babilônica, quer dizer, subtraindo 1/2 de cada lado da equação, temos:
$$ x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2} $$
Finalmente, chegamos ao que os babilônios chamavam de confronto, ou seja, ao valor procurado do lado do quadrado:
$$ x=\frac{1}{2} $$
De fato, existem inúmeras plaquetas de argila babilônicas lidando com equações quadráticas, utilizando o mesmo algoritmo geométrico do exemplo acima, aplicado a lados e áreas de retângulos em 5 passos, como é o caso da tabuleta YBC3879 (um documento jurídico contendo equações quadráticas) produzida por volta de 2.000 a.C. e a YBC4663, produzida entre os séculos XIX e XVII a.C. e contendo problemas relativos à escavação de trincheiras.

Plaqueta de argila YBC3879

Plaqueta de argila YBC4663

Em notação moderna, estes problemas envolvem geralmente a solução de um par de equações da forma:
$$ \left\{\begin{matrix}x+y=b\\ x\times y=c\end{matrix}\right. $$
Cujo desenvolvimento produz uma equação quadrática. Observe:
$$ x\times y=c\rightarrow y=\frac{c}{x} $$
Substituindo a equação acima nesta:
$$ x+y=b $$
Obtemos:
$$ x+\frac{c}{x}=b $$
$$ \frac{x^{2}+c}{x}=b $$
$$ x^{2}+c=bx $$
Finalmente, a equação quadrática fica assim:
$$ x^{2}-bx+c=0 $$

O algoritmo babilônico de 5 passos é o seguinte:

1. Calcule a metade de b;

Considerando-se que x e y sejam segmentos de reta, onde x seja maior que y, e que a soma destes segmentos vale b, então sua metade será:

Observe: b/2 é um segmento menor que x e maior que y. Mas quanto ele vale em relação a x e a y? Uma relação possível é esta:
$$ \frac{b}{2}+\square =x $$
Onde a cartela branca é o pedaço que falta para que o segmento b/2 atinja o tamanho do segmento x. Mas sabemos que:
$$ \frac{b}{2}=\frac{x+y}{2} $$
Como enunciado pelo algoritmo no passo 1. Substituindo esta equação na anterior, temos:
$$ \frac{x+y}{2}+\square =x $$
$$ \square =x-\frac{x+y}{2} $$
$$ \square =\frac{2x-x-y}{2} $$
$$ \square =\frac{x-y}{2} $$
Ou seja, o segmento b/2 pode ser expresso como:
$$ \frac{b}{2}=x-\frac{x-y}{2} $$
Ou pode ser expresso como:
$$ \frac{b}{2}=y+\frac{x-y}{2} $$

Prosseguindo com o algoritmo, temos:

2. Eleve o resultado ao quadrado;

O resultado de que fala o algoritmo diz respeito ao segmento obtido no primeiro passo, ou seja, elevar b/2 ao quadrado. Geometricamente falando, temos:

3. Subtraia c;

A área verde obtida – um quadrado – não é igual àquela que seria obtida pela multiplicação dos segmentos x e y, que formariam um retângulo de área c:

Sobrepondo as duas figuras geométricas, temos:

O quadrado verde excede o retângulo em área na altura, como indicado pela região laranja, mas é inferior em área na largura, como apontado pela região azul. Comparando estas áreas, temos:

Note que a área laranja é maior que a área azul de uma quantia igual à área quadrada marrom. Em resumo: o quadrado verde é maior que o retângulo vermelho e azul de um valor igual à área marrom, e a área marrom corresponde ao quadrado do segmento representado pela cartela branca. A área do quadrado verde vale:
$$ \left ( \frac{b}{2} \right )^{2}=x\times y+\square ^{2} $$
$$ \left ( \frac{b}{2} \right )^{2}=x\times y+\left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2} $$
Mas como sabemos que:
$$ c=x\times y $$
Então, substituindo x×y por c, vem:
$$ \left ( \frac{b}{2} \right )^{2}=c+\left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2} $$
Ou seja, subtraindo c de (b/2)² como apontado no passo 3:
$$ \left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c $$

4. Encontre a raiz quadrada usando uma tabela de quadrados;

Tirando a raiz quadrada do lado do quadrado marrom na equação anterior, obtemos:

$$ \sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c} $$
$$ \left ( \frac{x-y}{2} \right )=\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c} $$

5. Some os resultados dos passos (1) e (4) para obter o valor de x e de y.

Vimos no passo 1 que o segmento b/2 pode ser expresso tanto em função de x quanto de y:

$$ \frac{b}{2}=x-\frac{x-y}{2} $$
$$ \frac{b}{2}=y+\frac{x-y}{2} $$
Substituindo o resultado do passo 4 na primeira equação, vem:
$$ \frac{b}{2}=x-\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c} $$
$$ x=\frac{b}{2}+\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c} $$

E substituindo o resultado do passo 4 na segunda equação:

$$ y=\frac{b}{2}-\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c} $$

Evoluindo a equação que fornece o valor de x, temos:

$$ x=\frac{b+2\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-c}}{2} $$

$$ x=\frac{b+2\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}}{2} $$

$$ x=\frac{b+2\sqrt{\frac{b^{2}-4c}{4}}}{2} $$

$$ x=\frac{b+2\frac{\sqrt{b^{2}-4c}}{\sqrt{4}}}{2} $$

$$ x=\frac{b+\sqrt{b^{2}-4c}}{2} $$

E seguindo o mesmo procedimento para a equação que fornece o valor de y chega-se a:

$$ y=\frac{b-\sqrt{b^{2}-4c}}{2} $$

Estas são as equações quadráticas reduzidas e se assemelham muito à lei de Báskara. Também a civilização egípcia lidava com equações algébricas, tanto lineares quanto quadráticas, em problemas de cunho prático. Um exemplo envolvendo equações algébricas lineares pode ser devidamente apreciado no papiro de Ahmes, datado de cerca de 1550 a.C. e que atualmente se encontra no Museu Britânico sob as denominações pBM10057 e pBM10058.

O papiro matemático de Ahmes

O problema de número 28 estabelece o seguinte:

Pense em um número e some 2/3 desse número a ele mesmo. Desta soma, subtraia 1/3 de seu valor, resultando 10; diga qual é o seu número. Suponha que a resposta seja 10. Depois, subtraia 1/10 destes 10, obtendo 9. Então 9 foi o primeiro número pensado.

O escriba Ahmes então apresenta a seguinte "prova":

Se o número original era 9, então 2/3 é 6, que somado resulta 15. Então, 1/3 de 15 é 5, que na subtração deixa 10. É assim que se faz.

Uma das técnicas egípcias para a solução de equações lineares baseia-se no método da falsa posição, já abordada no capítulo Razão e proporção, no terceiro volume desta série. Assume-se uma resposta conveniente, mas provavelmente incorreta para encontrar a resposta que depois é ajustada usando proporcionalidade. Em notação algébrica moderna, Ahmes faz a seguinte proposição:

$$ x+\frac{2x}{3}-\frac{1}{3}\left ( x+\frac{2x}{3} \right )=10 $$

Atribuindo o valor 10 à incógnita, temos:

$$ x+\frac{20}{3}-\frac{1}{3}\left ( 10+\frac{20}{3} \right )=10 $$

Efetuando o mínimo múltiplo comum entre 10 e 20/3, que é 3:

$$ \frac{30+20}{3}-\frac{1}{3}\left ( \frac{30+20}{3} \right )=10 $$

Chegando a:

$$ \frac{50}{3}-\frac{1}{3}\left ( \frac{50}{3} \right )=10 $$

$$ \frac{50}{3}-\frac{50}{9}=10 $$

Obtendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores, vem:

$$ \frac{150-50}{9}=10 $$

Finalmente, chegamos ao resultado:

$$ \frac{100}{9}=10 $$

Este resultado, claro está, não corresponde à resposta correta, pois 100/9 é um valor próximo, porém maior que 10; aqui entra em operação a regra da falsa posição, baseada no esquema geométrico a seguir:

No desenho acima, o lado AE representa o número procurado (o escriba chutou 10) como sendo a solução da equação linear, e o lado DE representa o resultado obtido a partir dessa estimativa (100/9). Então, considerando o lado BC como o resultado esperado da equação linear, que é 10, temos que o lado AC corresponde ao número que resolve o problema. Assim, chega-se à proporção:

$$ \frac{AE}{DE}=\frac{AC}{BC} $$

Substituindo os segmentos pelos respectivos valores:

$$ \frac{10}{\frac{100}{9}}=\frac{x}{10} $$

Desenvolvendo a proporção, temos:

$$ \frac{90}{100}=\frac{x}{10} $$

$$ 100x=900 $$
$$ x=\frac{900}{100} $$
$$ x=9 $$

Portanto, a resposta ao problema é 9. De fato, substituindo a incógnita na equação linear por 9, obtemos:

$$ x+\frac{2\left ( 9 \right )}{3}-\frac{1}{3}\left ( x+\frac{2\left ( 9 \right )}{3} \right )=10 $$

$$ x+\frac{18}{3}-\frac{1}{3}\left ( 9+\frac{18}{3} \right )=10 $$
$$ 9+6-\frac{1}{3}\left ( 9+6 \right )=10 $$
$$ 15-\frac{1}{3}\left ( 15 \right )=10 $$
$$ 15-5=10 $$
$$ 10=10 $$
A igualdade indica que 9 é o número que somado a 2/3 dele mesmo e subtraído de 1/3 dessa soma resulta 10. Os egípcios também lidavam com problemas envolvendo equações quadráticas, entre os quais é possível apreciar um exemplo no papiro de Moscou, um manuscrito datado de aproximadamente 1.850 a.C. contendo 25 problemas matemáticos e atualmente sob custódia do Museu Estadual Pushkin de Belas Artes em Moscou.

Papiro de Moscou contendo o problema do volume de uma pirâmide truncada.

O problema 14 possui uma fórmula relacionada ao volume de uma pirâmide truncada (indicado na imagem acima), cujo enunciado é este:

Se alguém lhe diz: uma pirâmide truncada possui 6 de altura por 4 de base e 2 de topo, você deve elevar este 4 ao quadrado; o resultado é 16. Você duplica o 4; o resultado é 8. Você eleva este 2 ao quadrado; o resultado é 4. Você soma o 16 e o 8 e o 4; o resultado é 28. Você retira 1/3 de 6; o resultado é 2. Tome 28 duas vezes; o resultado é 56. Eis que o volume é 56. Você verá que isto é correto.

O desenho no papiro indica a forma desta pirâmide truncada, com suas respectivas medidas:

Traduzindo o problema para a linguagem algébrica moderna, chamando a largura da base maior de x, a largura da base menor de y e a altura de h, o volume fornecido corretamente pelos egípcios seria representado através da fórmula:
$$ V=\frac{h}{3}\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right ) $$
Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado, temos:
$$ V=\frac{6}{3}\left ( 4^{2}+4\times 2+2^{2} \right ) $$
$$ V=2 \left (16+8+4 \right ) $$
$$ V=2 \left (28 \right )=56 $$
Se ao invés de truncada a pirâmide fosse completa, bastaria zerar o valor da base menor na fórmula para obtermos o novo volume:
$$ V=\frac{hx^{2}}{3} $$
Supondo que a altura h da pirâmide completa fosse 9, teríamos:
$$ V=\frac{9\left (4^{2} \right )}{3}=\frac{9\left ( 16 \right )}{3}=3\left ( 16 \right )=48 $$
É possível que os egípcios tivessem conhecimento também desta fórmula, já que é preciso um entendimento bem avançado de álgebra para se obter o volume de uma pirâmide truncada partindo de outra completa; todavia, não se sabe ao certo como os egípcios descobriram esse algoritmo de cálculo. O cálculo algébrico para se chegar à fórmula do volume de uma pirâmide truncada pode ser feito intuitivamente a partir de um cubo, cujas arestas opostas são unidas entre si, conforme ilustrado em linhas pontilhadas vermelhas, a seguir:

Observe: as linhas vermelhas pontilhadas formam um total de 6 pirâmides de bases quadradas, cujas alturas correspondem à metade do lado do cubo, ou seja:
$$ altura_{p}=h=\frac{x}{2} $$
Como o volume de um cubo é a multiplicação do comprimento pela largura pela altura, temos:
$$ volume_{c}=x^{3} $$
Logo, se temos 6 pirâmides idênticas dentro do cubo, o volume de cada pirâmide corresponderá a 1/6 do volume do cubo:
$$ volume_{p}=\frac{1}{6}volume_{c}=\frac{1}{6}x^{3} $$
Podemos fazer a seguinte manipulação algébrica com a expressão acima:
$$ volume_{p}=\frac{1}{6}x^{3}=\frac{1}{3}\times x^{2}\times \frac{x}{2} $$
Como a área da face do cubo é igual a x², que corresponde à área da base das pirâmides, e x/2 corresponde à altura h das pirâmides, o volume de cada pirâmide poderá ser expresso como:
$$ volume_{p}=\frac{hx^{2}}{3} $$
Agora que já temos o volume de uma pirâmide completa, vejamos como obter o volume de uma pirâmide truncada. Considere a figura em perspectiva, abaixo:

Esta imagem mostra uma pirâmide completa de base retangular que foi segmentada longitudinalmente, formando outras duas pirâmides completas: uma grande e outra pequena. Ao destacarmos a pirâmide pequena, resta a pirâmide truncada. E abaixo temos a vista superior dessa pirâmide completa, incluindo o corte longitudinal:

Desta vista superior, podemos encontrar a seguinte proporção, obtida por semelhança de triângulos:
$$ \frac{AQ_{2}}{AP_{2}}=\frac{Q_{1}Q_{2}}{P_{1}P_{2}}=\frac{c}{a} $$
E também esta outra proporção:
$$ \frac{AQ_{2}}{AP_{2}}=\frac{Q_{2}Q_{3}}{P_{2}P_{3}}=\frac{d}{b} $$
Donde é possível concluir que:

$$ \frac{Q_{1}Q_{2}}{P_{1}P_{2}}=\frac{Q_{2}Q_{3}}{P_{2}P_{3}}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{d}{b} $$

(1)

Agora, observando a figura em perspectiva, temos que o volume da pirâmide truncada é igual ao volume da pirâmide completa grande subtraído do volume da pirâmide completa pequena:
$$ V_{pt}=V_{pg}-V_{pp} $$
Como já conhecemos o volume de uma pirâmide completa, a igualdade acima pode ser reescrita da seguinte maneira:

$$ V_{pt}=\frac{h_{pg}\times a\times b}{3}-\frac{h_{pp}\times c\times d}{3} $$

(2)

Onde h_pg é a altura da pirâmide grande e corresponde ao segmento MA, e h_pp é a altura da pirâmide pequena e equivalente ao segmento NA. A multiplicação do comprimento pela largura da pirâmide grande (a × b), bem como da pirâmide pequena (c × d) corresponde à área das bases, que na fórmula original do volume foi apresentada como x², pois a base era quadrada. Por semelhança de triângulos, podemos obter – a partir da imagem em perspectiva – a seguinte proporção:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{P_{1}M}{Q_{1}N} $$
O tamanho do segmento P₁M pode ser obtido através do teorema de Pitágoras:
$$ \left ( P_{1}M \right )^{2}=\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4} $$
Portanto, o segmento P₁M vale:
$$ P_{1}M=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2} $$
Seguindo a mesma linha de raciocínio para calcular o tamanho do segmento Q₁N, obtemos:
$$ \left ( Q_{1}N \right )^{2}=\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{d}{2} \right )^{2}=\frac{c^{2}}{4}+\frac{d^{2}}{4} $$
Resultando:
$$ Q_{1}N=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+\frac{d^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{2} $$
Portanto, a proporção obtida será:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{P_{1}M}{Q_{1}N}=\frac{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}} $$
Se, na razão à direita da igualdade, multiplicarmos o numerador por b/b e o denominador por d/d, não alteramos em nada o seu valor:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{\frac{b}{b}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\frac{d}{d}\sqrt{c^{2}+d^{2}}} $$
Passando os denominadores b e d para dentro das raízes, temos:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{b\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}}{d\sqrt{\frac{c^{2}+d^{2}}{d^{2}}}}=\frac{b\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}}}}{d\sqrt{\frac{c^{2}}{d^{2}}+\frac{d^{2}}{d^{2}}}}=\frac{b\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+1}}{d\sqrt{\frac{c^{2}}{d^{2}}+1}}=\frac{b\sqrt{\left (\frac{a}{b} \right )^{2}+1}}{d\sqrt{\left (\frac{c}{d} \right )^{2}+1}} $$
Mas como é válida a seguinte proporção, obtida em (1):
$$ \frac{c}{a}=\frac{d}{b} $$
Se multiplicarmos ambas as razões desta igualdade por a/d não alteraremos a proporção existente entre as mesmas, ou seja:
$$ \frac{c}{a}\times \frac{a}{d}=\frac{d}{b}\times \frac{a}{d} $$
Restando:
$$ \frac{c}{d}=\frac{a}{b} $$
Com esta nova igualdade, podemos concluir que:
$$ \sqrt{\left ( \frac{c}{d} \right )^{2}+1}=\sqrt{\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}+1} $$
E finalmente a proporção entre as alturas das duas pirâmides completas pode ser reescrita simplificadamente como:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{b}{d} $$
Da equação acima pode-se obter ainda a seguinte proporção:

$$ \frac{MA}{NA}=\frac{b}{d}=\frac{a}{c} $$

(3)

Vamos procurar agora uma relação entre a altura da pirâmide truncada e as alturas das pirâmides completas; para chegar a essa relação, devemos nos lembrar de que essa altura corresponde à altura da pirâmide grande subtraída da altura da pirâmide pequena, ou seja:
$$ h_{pt}=h_{pg}-h_{pp}=MA-NA $$
Então, manipulando algebricamente a equação (3) sem alterar a proporção existente entre suas razões, temos:

$$ \frac{MA-NA}{NA}=\frac{b-d}{d}=\frac{a-c}{c} $$

(4)

A equação (4) pode ser reescrita como a seguinte proporção:
$$ \frac{MA-NA}{NA}=\frac{a-c}{c} $$
Sendo MA – NA a altura da pirâmide truncada (h_pt) e NA a altura da pirâmide completa pequena (h_pp), temos:

$$ \frac{h_{pt}}{h_{pp}}=\frac{a-c}{c}\Rightarrow h_{pp}=\frac{h_{pt}\times c}{a-c} $$

(5)

De modo análogo, a partir da equação (3) temos:
$$ \frac{MA}{NA}=\frac{a}{c} $$
Sendo MA a altura da pirâmide completa grande (h_pg) e MA – NA a altura da pirâmide truncada (h_pt):
$$ \frac{MA}{MA-NA}=\frac{a}{a-c} $$
Ou seja:

$$ \frac{h_{pg}}{h_{pt}}=\frac{a}{a-c}\Rightarrow h_{pg}=\frac{h_{pt}\times a}{a-c} $$

(6)

Substituindo as equações (5) e (6) na equação (2), temos:
$$ V_{pt}=\frac{h_{pg}\times a\times b}{3}-\frac{h_{pp}\times c\times d}{3}=\frac{\frac{h_{pt}\times a}{a-c}\times a\times b}{3}-\frac{\frac{h_{pt}\times c}{a-c}\times c\times d}{3} $$
Simplificando:
$$ V_{pt}=\frac{\frac{h_{pt}\times a^{2}\times b}{a-c}}{3}-\frac{\frac{h_{pt}\times c^{2}\times d}{a-c}}{3}=\frac{h_{pt}\times a^{2}\times b}{3\left ( a-c \right )}-\frac{h_{pt}\times c^{2}\times d}{3\left ( a-c \right )} $$
$$ V_{pt}=\frac{1}{3}\times\frac{h_{pt}}{\left (a-c \right )}\times\left [ a^{2}b-c^{2}d \right ] $$
Da proporção:
$$ \frac{c}{a}=\frac{d}{b} $$
Temos que:
$$ b=\frac{a\times d}{c} $$
Então:
$$ V_{pt}=\frac{1}{3}\times \frac{h_{pt}}{\left ( a-c \right )}\times \left [ a^{2}\frac{a\times d}{c}-c^{2}d \right ] $$
$$ V_{pt}=\frac{1}{3}\times \frac{h_{pt}}{\left ( a-c \right )}\times \left [ \frac{a^{3}d}{c}-c^{2}d \right ] $$
$$ V_{pt}=\frac{1}{3}\times \frac{h_{pt}}{\left ( a-c \right )}\times \left [ \frac{a^{3}d-c^{3}d}{c} \right ] $$
$$ V_{pt}=\frac{1}{3c}\times \frac{h_{pt}}{\left ( a-c \right )}\times \left [ a^{3}d-c^{3}d \right ] $$
$$ V_{pt}=\frac{h_{pt}\times d\times \left [ a^{3}-c^{3} \right ]}{3c\times \left ( a-c \right )} $$
Lembrando que a forma fatorada da diferença de dois cubos é:
$$ \left ( a^{3}-c^{3} \right )=\left ( a-c \right )\times\left ( a^{2}+ac+c^{2} \right ) $$
Substituindo na equação anterior, vem:
$$ V_{pt}=\frac{h_{pt}\times d\times \left ( a-c \right )\times \left ( a^{2}+ac+c^{2} \right )}{3c\times \left ( a-c \right )} $$
Simplificando, obtemos:
$$ V_{pt}=\frac{h_{pt}\times d\times \left ( a^{2}+ac+c^{2} \right )}{3c} $$
Este é o volume de uma pirâmide truncada cuja base é retangular, e onde c e d são as medidas da base da pirâmide completa pequena. Se ao invés de uma pirâmide de base retangular tivermos uma pirâmide de base quadrada, as medidas c e d são iguais, ou seja, podemos afirmar que o volume de uma pirâmide truncada de base quadrada é um caso particular do volume de uma pirâmide truncada de base retangular; neste caso, a fórmula ficará reduzida a:
$$ V_{pt}=\frac{h_{pt}}{3}\times \left ( a^{2}+ac+c^{2} \right ) $$
Que é a fórmula que produz o mesmo resultado para o volume da pirâmide truncada do problema 14 no papiro de Moscou.

Do exposto, observa-se que a álgebra babilônica e egípcia envolvia problemas lineares (cuja solução era baseada na regra da falsa posição) e quadráticos (através da projeção geométrica de quadrados e retângulos). A matemática dessa época era estudada por sacerdotes e escribas especializados a serviço e benefício dos governos para os quais trabalhavam e estavam subordinados, em atendimento às demandas pertinentes, tais como: coleta de impostos, mensuração de terras para plantio ou criação de gado, construção civil, trocas comerciais, confecção de calendários baseada na movimentação dos astros e práticas ritualísticas diversas. No caso dos egípcios, a construção de pirâmides estava associada à religião, fortemente pautada na crença da vida após a morte; reservada a poucos privilegiados, a mumificação dos corpos garantia a seus legítimos possuidores todos os requisitos e recursos necessários para viver do outro lado da vida de modo semelhante ao que tinham deste lado. Para isso, contavam ainda com o Livro dos Mortos, uma coletânea de feitiços, fórmulas mágicas, orações e hinos escritos em rolos de papiros e colocados nos túmulos das múmias. O objetivo desses textos era ajudar o morto em sua viagem para o outro mundo, afastando eventuais perigos que este poderia encontrar em sua viagem para o além. A idéia central do Livro dos Mortos é o respeito à verdade e à justiça, sendo crença geral que diante da deusa Maat de nada valeriam as riquezas nem a posição social do falecido, mas que apenas os atos seriam levados em conta. Para os egípcios esse conjunto de textos era considerado como obra do deus Thoth. As fórmulas contidas nesses escritos podiam garantir ao morto uma viagem tranquila para o paraíso; com o passar do tempo esses cânticos passaram a ser grafados sobre um material de baixo custo, permitindo que qualquer pessoa pudesse tentar o acesso a uma terra bem-aventurada, o que antes só estava ao alcance do rei e da nobreza.

Este detalhe de cena, do papiro de Hunefer (datado de cerca de 1.275 a.C.) mostra o coração do escriba Hunefer sendo pesado no prato esquerdo da balança da deusa Maat contra a pena da verdade (no prato direito), pelo deus-chacal Anúbis. O deus com cabeça da ave íbis, Thoth, como escriba dos deuses, anota o resultado da pesagem à direita da cena. Se o coração do morto tivesse exatamente o mesmo peso da pena, Hunefer estaria apto a passar para a outra vida. Do contrário, ele seria devorado por Ammit, a criatura quimérica com cabeça de crocodilo e juba de leão e corpo de leão e hipopótamo, que aguarda ferozmente o resultado embaixo da balança.

Uma das passagens mais simbólicas e conhecidas do Livro dos Mortos é o cântico 125: Julgamento, que descreve o ritual de pesagem do coração, onde se pode apreciar um pedaço do prólogo, abaixo:

“Salve, grande deus, Senhor da Justiça! Eu vim a ti, meu senhor, para que te mostres a mim para que eu possa ver a tua beleza, porque eu te conheço e conheço o teu nome e conheço os nomes dos quarenta e dois daqueles deuses que estão contigo neste Salão de Justiça, que vivem dos que amam o mal e que bebem seu sangue naquele dia da contagem de indivíduos na presença de Wennefer [outro nome para Osíris]. Eis o duplo filho das tranças das Canções; O Senhor da Verdade é o seu nome. Eis que eu vim a vós, trouxe-vos a verdade; Eu não fiz falsidade contra os homens, eu não empobreci meus associados, eu não fiz nada de errado no Lugar da Verdade, eu não aprendi o que não é ...[etc.]”

Depois deste prólogo, a alma fala então a Confissão Negativa e é questionada pelos deuses e pelos quarenta e dois juízes. Neste ponto, algumas informações muito específicas eram necessárias para serem justificadas pelos deuses. Era preciso conhecer os nomes dos diferentes deuses e do que eles eram responsáveis, mas também importava saber detalhes como os nomes das portas e do andar no Salão de Justiça pelos quais a alma deveria atravessar; necessitava-se até mesmo saber os nomes dos próprios pés. Quando a alma respondia a cada divindade e objeto com a resposta correta, ouvia como réplica: "Você nos conhece, passe por nós" e poderia continuar o seu trajeto, como neste trecho:

Eu não vou deixar você pisar em mim, diz o andar deste Salão de Justiça.

Por que não? Eu sou puro.

Porque eu não sei os nomes de seus pés com que você pisaria em mim. Diga-os a mim.

’A imagem secreta de Há’ é o nome do meu pé direito, 'Flor de Hathor' é o nome do meu pé esquerdo.

Você nos conhece, passe por nós.

O feitiço conclui com aquilo que a alma deverá vestir durante o julgamento e como se deve recitá-lo:

“O procedimento correto neste Salão de Justiça: deve-se pronunciar este feitiço puro e limpo e vestido com roupas brancas e sandálias, pintado com tinta de olho preta e ungido com mirra. Ser-lhe-ão oferecidas carne e aves de capoeira, incenso, pão, cerveja e ervas, quando tiveres colocado este procedimento escrito num chão limpo de ocre coberto de terra, sobre o qual nenhum porco ou gado pequeno pisou.”

Depois disso, o escriba que escreveu o feitiço felicita-se pelo trabalho bem feito e garante ao leitor que ele, o escriba, florescerá – bem como seus filhos – por sua parte em fornecer o feitiço. “Farei bem”, diz, “quando eu mesmo chegar ao julgamento e for introduzido com os reis do Alto Egito e os reis do Baixo Egito e estiver na casa de Osíris. Uma questão um milhão de vezes verdade”. Por ter fornecido o feitiço para o morto, o escriba considerou-se parte da engrenagem da vida após a morte e assim também lhe foi assegurada uma recepção favorável no submundo e sua passagem para o paraíso. Dada a importância capital do pós-vida, valia a pena para os escribas ter uma matemática avançada o suficiente para saber calcular o volume de pirâmides, pois isto envolvia: o custo para cortar e transportar a quantidade correta de pedras que preencheriam o volume da pirâmide, o total de horas-homens trabalhadas, envolvendo alimentação, abrigo e baixas por acidentes de trabalho, e ter tudo pronto enquanto o dono da obra (o faraó ou algum membro da nobreza) fosse vivo. Se esse procedimento soa obsoleto e um tanto bizarro, para os egípcios era, literalmente, uma questão de vida ou morte e, por isso mesmo, levada muito a sério.

Referências bibliográficas:

[1]	Hoyrup, J. “Old Babylonian 'algebra' and what it teaches us about possible kinds of mathematics”, ICM Satellite Conference, Mathematics in ancient times, Kerala School of Mathematics, 2010.
[2]	Clagett, M. "Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics", Memoirs of the American Philosophical Society 232, Philadelphia: American Philosophical Society, 1999.
[3]	Katz, V. J. “A history of mathematics – an introduction”, Addison-Wesley, third edition, 2013.
[4]	Friberg, J. “A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”, Cuneiform Digital Library Journal 2009:3.
[5]	Hoyrup, J. “Pre-modern ‘algebras’: a concise survey of that which was shaped into the technique and discipline we know”, The way through science and philosophy: Essays in honour of Stig Andur Pedersen, pp. 1 – 15, London: College Publications, 2006.

Matemática - Volume 4 - Introdução

2018-05-11T09:32:00.002-03:00

Neste quarto volume sobre a instigante história da matemática o assunto é basicamente um só: álgebra. Apesar da origem árabe desta palavra e da inegável influência desta civilização para o estudo e os avanços obtidos neste ramo da matemática, a verdade é que civilizações mais antigas já lidavam com problemas cotidianos envolvendo proporções, áreas e volumes que, de algum modo, exigiam conhecimentos (ainda que primários) dessa ferramenta para a obtenção das respectivas respostas. Babilônios, egípcios, gregos e hindus dominavam métodos às vezes esquisitos, porém surpreendentes, para solucionar problemas que se transformavam em equações quadráticas e cúbicas que, hoje, são resolvidas através de operações algébricas relativamente simples, aprendidas pelos adolescentes no ensino fundamental.

Deste modo, uma vez mais veremos o nascimento, evolução e maturação da notação matemática para aquilo que convencionou-se denominar álgebra, desde os seus primórdios – iniciando-se com a aplicação de enunciados intrincados até a apresentação da resposta que soluciona o problema, sem maiores detalhamentos – passando pela geometria grega (onde toda resposta a um problema passa a depender de uma prova, à moda de Euclides), herdada e aprimorada com zelo pelos árabes, como é o caso do uso de seções cônicas na solução de problemas quadráticos e cúbicos, para depois alcançar um novo patamar a partir da Renascença, onde se observa uma gradual redução da geometria em favor de uma retórica baseada na linguagem natural para descrição das equações, avançando com o progressivo acréscimo de um sem número de simbolismos personalistas (que dificultavam sua compreensão para os não iniciados) até finalmente alcançar a maturidade com a convenção universal de uma semiótica particular: a notação algébrica, que lhe determina sua feição moderna. Se o estudo da matemática, e da álgebra em particular, a partir de um viés histórico, é capaz de estimular a quem aqui pousou seus olhos a continuar a leitura destas humildes linhas, então que a leitura seja prazerosa e eterna enquanto dure!

Divisibilidade-Sudoku

2018-01-16T13:12:00.005-02:00

Por David Nacin

Preencha as células de modo que cada linha, coluna e caixa gradeada três-por-três contenha, exatamente e sem repetições, os números de 1 até 9. Uma linha pontilhada aparece na fronteira entre duas células se, e somente se, o número escolhido numa célula dividir sem resto o número da outra célula. Abaixo, temos uma caixa gradeada de amostra, com essa situação.

Abaixo, temos um quebra-cabeça fácil para você começar a brincar.

Uma vez que você já esteja aquecido com o jogo, tente resolver o quebra-cabeça a seguir. Divirta-se!

Sobre o autor: David Nacin é um professor na Universidade William Paterson. Este quebra-cabeça saiu na revista MAA Focus, edição de Out-2017/Nov-2017. Há outro quebra-cabeça baseado em sudoku de sua autoria divulgado neste blog. Clique aqui para conhecer.

Boas cercas

2018-01-16T13:12:00.004-02:00

Por Craig S. Kaplan

No gradeado abaixo, construa "uma boa cerca" ao redor do pentaminó-L hachurado. Você deve contornar a figura com cópias dela mesma, onde cada cópia tenha ao menos um ponto em comum com a original. As cópias podem ser rotacionadas, refletidas, ou ambas, e elas não podem sobrepor-se umas às outras, exceto coadunadas* em suas fronteiras. Qual é o número máximo de cópias que podem ser dispostas deste modo, todas tocando o pentaminó original? Como este quebra-cabeça pode ser apagado e redesenhado inúmeras vezes, imprima mais de uma cópia do gradeado, se necessário.

Abaixo temos uma variação do quebra-cabeças, agora com um gradeado hexagonal. Como na proposta anterior, você deve cercar a figura com cópias dela mesma; nesta estrutura hexagonal, cada figura compartilhará uma borda com a original. Estas cópias podem ser rotacionadas, e não podem sobrepor-se umas às outras, exceto coadunadas* em suas fronteiras. Além disso, o arranjo final das figuras não pode deixar uma célula vazia completamente cercada. Para aquecer, cerque esta figura com 4 de suas cópias. Depois, veja se consegue cercar a figura original com 9 de suas cópias, que é o máximo possível para este formato de figura. Imprima o gradeado quantas vezes forem necessárias para que alcance a resposta do quebra-cabeça.

*Coadunar: juntar, incorporar, reunir, para a formação de um todo (Fonte: Dicionário Aurélio).

Sobre o autor: Craig S. Kaplan é um professor da Universidade de Waterloo, Ontario, Canada. O quebra-cabeça com pentaminó saiu na revista MAA Focus, na edição de Jun-2016/Jul-2016. E o quebra-cabeça com a figura hexagonal saiu na edição de Ago-2017/Set-2017 da mesma revista.

Média-sudoku

2018-01-16T13:12:00.003-02:00

Por David Nacin

Preencha as células de modo que cada linha, coluna e caixa gradeada três-por-três contenha, exatamente e sem repetições, cada um dos números de 1 até 9. Um quadrado indica que a média dos números contidos entre duas células adjacentes é igual a 5. Um trapézio com a base maior virada para cima indica que a média é maior que 5, e um trapézio com a base maior virada para baixo indica que a média é menor que 5.

Sobre o autor: David Nacin é um professor associado na Universidade William Paterson em Nova Jersey. Este artigo saiu na revista MAA Focus, na edição de Abr - 2017/Mai - 2017.

Solução do Média-sudoku: Da esquerda para a direita, de cima para baixo, o valor de cada célula (para cada uma das caixas gradeadas três-por-três) que fornece o correto preenchimento deste quebra-cabeça está indicado abaixo.

7-5-4-2-9-8-3-6-1
1-3-6-4-5-7-8-9-2
8-2-9-3-6-1-4-5-7
5-9-1-7-2-3-6-4-8
4-8-2-9-1-6-7-3-5
3-6-7-8-4-5-2-1-9
9-4-8-1-3-2-5-7-6
2-1-5-6-7-4-9-8-3
6-7-3-5-8-9-1-2-4

Barra-Sudoku

2018-01-16T13:11:00.001-02:00

Por Lai Van Du Thinh

Posicione uma barra vertical (|), duas barras (||) ou três barras (|||) em cada uma das células vazias do tabuleiro, de modo que o número contido em uma célula iguale-se à quantidade de barras verticais nas células que circundam esse número. Além disso, a soma de barras na horizontal, na vertical ou na diagonal do tabuleiro deve ser sempre igual a 10. Não pode haver barras verticais em nenhuma célula que já contenha um número.

Sobre o autor: Lai Van Du Thinh trabalha na Munigeni Studio Game, Nha Trang, Khanh Hoa, Vietnã. Este quebra-cabeça saiu na revista Mathematics Magazine, Volume 90, No. 1, Fev-2017.

Solução do barradoku: a solução deste quebra-cabeça está indicada na figura abaixo.

Matemática - Volume 3 - Referências bibliográficas

2017-03-24T10:07:00.001-03:00

[1]	Fowler, D. H. “Ratio in early Greek mathematics”, Bulletin (new series) of the American Mathematical Society, volume 1, number 6, Nov/1979.
[2]	Abdounur, O. J. “Ratios and music in the late Middle Ages: a preliminar survey”, Max Plank Institute for the History Science, Preprint 181, 2001.
[3]	Guiness, I. G. “Numbers, magnitudes, ratios and proportions in Euclid’s Elements: how did he handle them?”, Historia Mathematica 23, pp 355 – 375, 1996.
[4]	Stein, H. “Eudoxos and Dedekind: on the ancient Greek theory of ratios and its relation to modern mathematics”, Synthese 84, pp 163 – 211, 1990.
[5]	Fett, B. “An in-depth investigation of the divine ratio”, The Montana Mathematics Enthusiast, volume 3, No. 2, pp 157 – 175, 2006.
[6]	Silva, D. P. C. “Alguns marcos históricos relativos a um conceito matemático elementar: um estudo sobre proporções”, Universidade do Minho, dissertação de mestrado, 2012.
[7]	Rossi, C.; Tout, C. A. “Were the Fibonacci series and the golden section known in ancient Egypt?”, Historia Mathematica 29, pp 101 – 113, 2002.
[8]	Falbo, C. “The golden ratio – a contrary viewpoint”, The College Mathematics Journal, volume 36, No. 2, March 2005.
[9]	Markowsky, G. “Misconceptions about the golden ratio”, The College Mathematics Journal, volume 23, No. 1, January 1992.
[10]	Ávila, G. “Aristarco e as dimensões astronômicas”, Revista do Professor de Matemática No. 55.
[11]	Hannah, J. “False position in Leonardo of Pisa’s Liber Abacci”, Historia Mathematica, volume 34, issue 3, pp 306 – 332, August 2007.
[12]	Høyrup, J. ““Proportions” in and around the Italian Abbacus Tradition”, Physis, rivista internazionale di storia della scienza, January 2010.
[13]	Boman, E. C. “False position, double position and Cramer’s rule”, The College Mathematics Journal, volume 40, No. 4, pp 279 – 283, Sep/2009.
[14]	Wikipedia “History of coins in Italy”, acessado em Outubro/2015, site: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_coins_in_Italy.
[15]	Medeiros, C. F.; Medeiros, A. “O método da falsa posição na história e na educação matemática”, Ciência & Educação, volume 10, No. 3, pp 545 – 557, 2004.
[16]	Russell, B. “The history of western philosophy”, Simon and Schuster, New York, 1945.
[17]	Taani, O. "Multiple Paths to Mathematics Practice in al-Kashi’s Key to Arithmetic: A Preliminary Report" MAA Session on Treasures from the Past: Using Primary Sources in the Classroom, Joint Mathematics Meetings, New Orleans, January 2011.
[18]	Araújo, M. P. F. “Introdução ao conceito de números reais: uma proposta didática baseada na história da matemática”, Universidade Federal do Rio de Janeiro, tese de mestrado, 2011.
[19]	Wu, H. "Fractions, Decimals, and Rational Numbers", Learning Processes Task Group of the National Mathematics Advisory Panel, revised 2014.
[20]	Kak, S. C. “Three old indian values of π”, Indian Journal of History of Science, 32(4), pp 307 – 314, 1997.
[21]	King, A. “Finding pi with Archimede’s exhaustion method”, Mathematics Teaching in the Middle School, volume 19, No. 2, Sep/2013.
[22]	Borwein, J. M. "The Life of Pi: From Archimedes to Eniac and Beyond", prepared for Mathematics in Culture, Draft 1.4/1.5, Canada Research Chair & Director Dalhousie Drive.
[23]	Høyrup, J. “Egyptian mathematics”, contribution to The Cambridge History of Science, 2001.
[24]	Zahrt, K. R. “Thoughts on ancient Egyptian mathematics”, Undergraduate Research Journal – Indiana University South Bend, volume 3, pp 90 – 93, 2000.
[25]	Katz, V. J. “A history of mathematics – An introduction”, Third Edition, Addison-Wesley.
[26]	Ramanujan, S. “Squaring the circle”, Journal of the Indian Mathematical Society, V, pag. 132, 1913.
[27]	Fowler, D.; Robson, E. “Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context”, Historia Mathematica 25, pp 366 – 378, 1998.
[28]	Hahn, H. K. “The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”, arXiv:0801.4422.
[29]	Dumbrava, C. at alli “Euclidean division and the continued fractions, periodicity and irrational number”, European Student Conference in Mathematics, Greece, 2015.
[30]	Nunes, C. A. “Diálogos de Platão – Teeteto Crátilo”, Editora Universitária UFPA, 2001.
[31]	Parakh, A. “Aryabhata’s root extraction methods”, Indian Journal of History of Science, 42.2, pp 149 – 161, 2007.
[32]	Archibald, R. C. “Mathematics before the Greeks”, Science, pp 109 – 121, 1930
[33]	Junior, L. P. S. “Construções geométricas por régua e compasso e números construtíveis”, Universidade Federal de Campina Grande, mestrado profissional, Abril/2013
[34]	Heeffer, A. “Negative numbers as an epistemic difficult concept - some lessons from history”, Center for Logic and Philosophy of Science, Ghent Univeristy, 2014.
[35]	Kilhamn, C. “Making sense of negative numbers”, Göteborgs Universitet, Doctoral thesis, 2011.
[36]	Mumford, D. “What’s so baffling about negative numbers? – a crosscultural comparison”, Brown Univeristy, 2015.
[37]	Brown, E. “Square roots from 1; 24, 51, 10 to Dan Shanks”, The College Mathematics Journal, volume 30, No. 2, 1999.
[38]	Kosheleva, O. “Babylonian method of computing the square root: justifications based on fuzzy techniques and on computational complexity”, Fuzzy Information Processing Society, 2009. NAFIPS 2009. Annual Meeting of the North American.
[39]	Allen, G. D. “The remarkable number 1”, Science & Education, volume 23, No. 7, Jul/2014.
[40]	Stanford Encyclopedia of Philosophy “Supertasks”, acessado em 2016
[41]	Internet Encyclopedia of Philosophy “Infinite”, acessado em 2016.
[42]	Wikipedia “Georg Cantor’s first set theory article”, acessado em 2016.
[43]	Wikipedia “Cantor’s diagonal argument”, acessado em 2016.

Bancando o detetive com a Lei de Newcomb-Benford

2017-03-20T13:11:00.001-03:00

Uma das situações mais frustrantes para os estudantes é deparar-se com um novo conceito matemático sem a devida contextualização, ou ainda, sem a apresentação de situações práticas e reais onde esse conceito possa ser aplicado, dando-lhe um significado e um sentido. Este é precisamente o caso quando estudamos logaritmos na escola: aprendemos as regras para operá-los, trabalhando com as identidades logarítmicas (produto, quociente, potência, raiz), mudanças de base, etc. Mas na boa: para que servem os logaritmos, afinal? A verdade é que logaritmos são aplicados em temas tão diversos quanto probabilidade e estatística, algoritmos computacionais, fractais, música, entre outros; o problema neste caso é que são necessários conhecimentos sobre uma enorme variedade de outros assuntos para entender e contemplar a beleza e o poder dos logaritmos nessas aplicações, uma tarefa inglória para o estudante do ensino fundamental. Existe, porém, uma forma de aplicar logaritmos em situações práticas bem próximas da realidade do aluno através da chamada Lei de Newcomb-Benford. A lei de Newcomb-Benford estabelece empiricamente que em determinadas fontes de dados numéricos o primeiro dígito não apresenta uma distribuição uniforme de ocorrências dos algarismos de 1 a 9, mas antes uma distribuição logarítmica decrescente quanto maior for o algarismo. Este tipo de distribuição ocorre para uma ampla gama de conjuntos de dados: número do endereço residencial, população por cidade, taxas de mortalidade, balanços contábeis, bem como constantes físicas e matemáticas. Simon Newcomb, astrônomo e matemático canadense, foi o primeiro a identificar este princípio estatístico, ou pelo menos a reportá-lo formalmente em seu artigo de 1881, onde afirma:

“Que os dez dígitos não ocorrem com igual frequência está evidente a qualquer um que faça muito uso de tabelas logarítmicas e nota quão rapidamente as primeiras páginas desgastam-se em relação às últimas. O primeiro número significativo é comumente o 1 mais que qualquer outro, e a frequência diminui até 9”.

Simon Newcomb

Porém, coube a Frank Benford, engenheiro eletricista e físico norte-americano, redescobrir e generalizar este princípio em seu artigo de 1938, dando-lhe a formatação matemática conhecida atualmente.

Frank Benford

A esta altura você talvez esteja pensando: “Tá, e que formatação matemática é essa?”. Observe abaixo sobre o quê Newcomb estava falando:

$$ P(d)=log_{10}\left ( 1+\frac{1}{d} \right ) $$

Essa fórmula informa qual a probabilidade P de um dígito d ocorrer num conjunto de números, e que essa probabilidade tem um comportamento logarítmico. Na fórmula, d é o primeiro dígito de um número, podendo ser os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Substituindo um algarismo de cada vez na fórmula, obtemos a probabilidade de ocorrência de cada algarismo em um conjunto numérico, conforme indicado na tabela abaixo:

d	P(d)
1	30,1%
2	17,6%
3	12,5%
4	9,7%
5	7,9%
6	6,7%
7	5,8%
8	5,1%
9	4,6%

Por exemplo, a probabilidade do algarismo 1 ocorrer como o primeiro dígito em um conjunto de números é de:

$$ P(1)=log_{10}\left ( 1+\frac{1}{1} \right )=log_{10}\left ( 1+1 \right )=log_{10}\left ( 2 \right )\cong 0,301 $$

Ou seja: 30,1%; para o algarismo 2, a probabilidade cai para 17,6%; e assim sucessivamente até o algarismo 9, cuja probabilidade de ocorrência cai para apenas 4,6%. É isto o que Newcomb quis dizer quando afirmou que “o primeiro número significativo é comumente o 1 mais que qualquer outro, e a frequência diminui até 9”. Pois é, havíamos prometido uma demonstração prática, correto? Então é chegada a hora de utilizarmos essa preciosa ferramenta empírica, atuando como verdadeiros detetives. Para quem mora em apartamento, provavelmente já viu chegar à casa a correspondência da administradora contendo o demonstrativo de despesas do seu condomínio. Pois bem, vejamos um pequeno exemplo dessas demonstrações de despesas:

Despesas	01/2016	02/2016	03/2016
*Despesas com pessoal*
Salários	4.088,00	5.068,00	9.020,65
INSS	2.609,12	5.420,44	2.582,46
PIS	69,02	61,46	71,48
Vale Transporte	199,40	98,80	98,00
FGTS	863,15	650,98	571,50
Contribuição Confederativa	106,12	110,65	110,65
Adiantamento	2.217,00	1.630,00	1.851,00
Cesta Básica	403,58	398,54	323,82
Despesas com refeitório	63,00	48,00	97,60
*Tarifas Públicas*
Luz	1.773,96	2.214,26	2.289,06
Telecomunicações	316,34	310,05	310,97
*Conservação*
Materiais Elétricos	115,45	19,80	580,65
Outros Materiais e Equipamentos	869,46	549,46	558,61
Material de Limpeza	606,00	47,71	672,71
Outros Serviços Prestados por Terceiros	658,00	1.922,00	1.186,00
Material de Reformas e Reparos	809,20	1.617,24	2.177,09
Retirada de Entulho	340,00	240,00	85,00
Manutenção de Piscina/Sauna	402,84	292,33	549,28

Vamos agora iniciar a seleção do primeiro dígito de cada uma dessas despesas, destacando-os com a cor vermelha:

Despesas	01/2016	02/2016	03/2016
*Despesas com pessoal*
Salários	4.088,00	5.068,00	9.020,65
INSS	2.609,12	5.420,44	2.582,46
PIS	69,02	61,46	71,48
Vale Transporte	199,40	98,80	98,00
FGTS	863,15	650,98	571,50
Contribuição Confederativa	106,12	110,65	110,65
Adiantamento	2.217,00	1.630,00	1.851,00
Cesta Básica	403,58	398,54	323,82
Despesas com refeitório	63,00	48,00	97,60
*Tarifas Públicas*
Luz	1.773,96	2.214,26	2.289,06
Telecomunicações	316,34	310,05	310,97
*Conservação*
Materiais Elétricos	115,45	19,80	580,65
Outros Materiais e Equipamentos	869,46	549,46	558,61
Material de Limpeza	606,00	47,71	672,71
Outros Serviços Prestados por Terceiros	658,00	1.922,00	1.186,00
Material de Reformas e Reparos	809,20	1.617,24	2.177,09
Retirada de Entulho	340,00	240,00	85,00
Manutenção de Piscina/Sauna	402,84	292,33	549,28

A seguir, totalizamos a quantidade de ocorrências de cada um dos dígitos destacados em vermelho:

Dígito:	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ocorrências:	12	8	6	5	7	7	1	4	4

Temos um total de 18 itens de despesa ao longo de três meses, totalizando 54 itens. A razão entre o total de ocorrências de cada dígito e o total de itens de despesa nos fornece a porcentagem de ocorrências para cada dígito:

Dígito:	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Razão:	12/54	8/54	6/54	5/54	7/54	7/54	1/54	4/54	4/54
Porcentagem:	22,2%	14,8%	11,1%	9,26%	12,9%	12,9%	1,8%	7,4%	7,4%

Comparando os valores obtidos com aqueles estabelecidos pela lei de Newcomb-Benford, temos:

Dígito:	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Porcentagem:	22,2%	14,8%	11,1%	9,26%	12,9%	12,9%	1,8%	7,4%	7,4%
Lei N-B:	30,1%	17,6%	12,5%	9,7%	7,9%	6,7%	5,8%	5,1%	4,6%

Importante: para que a lei de Newcomb-Benford tenha significância, o conjunto numérico deveria ter, pelo menos, 100 itens. Significa dizer que, numa análise mais rigorosa, seria necessário juntarmos vários meses de demonstrativos de despesa a fim de obtermos uma quantidade significativa de itens. Seja como for, o resultado acima mostra uma convergência entre as porcentagens encontradas e aquelas esperadas pela lei para os dígitos 1, 2, 3 e 4. E nota-se uma divergência para os dígitos 5, 6, 7, 8 e 9. Se ao longo dos meses constatar-se que as porcentagens de todos os dígitos convergem para as porcentagens da lei de Newcomb-Benford, significa que o seu condomínio é bem administrado. Senão... é bom os condôminos começarem a acompanhar as despesas mais de perto, pois a participação e o envolvimento de todos é que permite o bom andamento de um condomínio, de uma empresa e até de um país. Observe que você teve de lidar com diversas ferramentas matemáticas bem conhecidas e ensinadas na escola: somas, frações e porcentagens além, é claro, de logaritmos. E com essas ferramentas e o conhecimento da lei de Newcomb-Benford fomos capazes de analisar o comportamento de um balancete contábil, atuando como verdadeiros detetives, e de um modo que poucos conhecem! Não é qualquer conjunto de números que obedece a essa lei empírica; para maiores informações, consulte na internet: lei de Benford, ou para quem domina o inglês: Benford’s law. Para finalizar, aqueles que quiserem se aprofundar um pouco mais neste assunto, podem pesquisar também este link: Lei de Newcomb-Benford como ferramenta de auditoria.

Bibliografia:

Newcomb S., "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers", American Journal of Mathematics, vol. 4 – No. 1, 39-40, 1881.

Benford F., "The law of anomalous numbers". Proceedings of the American Philosophical Society 78 (4), 551–572, March-1938.

Vídeos de matemática do Ciência de Garagem

2017-03-20T12:26:00.000-03:00

Agora, o CdG passará a divulgar seus próprios vídeos de matemática, versando sobre diversos tópicos entre aqueles já abordados nas postagens e disponíveis nos e-books. Aproveite para se inscrever em nosso canal e deixar a sua curtida!

Breve introdução às frações:

Soma de frações:

Soma de frações: visualização geométrica

Matemática - Volume 3 - Ebook gratuito em PDF

2017-03-20T12:13:00.002-03:00

Os tópicos apresentados neste blog para o volume III foram compilados em um livro eletrônico (e-book) em PDF. Em formato A5 (14,8 x 21 cm) e 183 páginas, é adequado para leitura em smartphones e tablets. Possui um tamanho em arquivo de 26 MB. Para baixá-lo gratuitamente, clique aqui.

Matemática - Volume 3 - Epílogo

2017-03-10T08:15:00.001-03:00

A beleza imponderável da mãe natureza.

Para o leitor que teve a paciência de acompanhar estas páginas e seu humilde conteúdo pôde constatar, incontinênti, a importância da história para a contextualização da matemática. Tudo aquilo que aprendemos no ensino fundamental está baseado em um conhecimento adquirido há milênios por diversas civilizações, todas elas extintas. Os problemas e seus enunciados pouco mudaram desde que foram propostos pela primeira vez; seja numa prova no colégio, numa questão de um concurso público, ou até mesmo na busca de uma solução para uma situação corriqueira do dia-a-dia, em quase nada mudou a maneira de se calcular. Mas o contexto em que surgiram e as abordagens utilizadas para se encontrar uma resposta satisfatória são permeados de muita lenda, filosofia, hábitos, costumes e contextos histórico-geográficos peculiares e quase esquecidos. Porém, é nesse rico mosaico que a matemática surge esplendorosa e farta de detalhes, tantos que quase nos esquecemos de que são contas o que estamos buscando aprender.

Quantas vezes não assistimos, na sala de aula, à exposição de definições sem provas ou maiores explicações, como são típicos os casos da racionalização de frações ou das regras de sinais? Como pode um professor entusiasmar-se e ensinar com fervor essas definições que às vezes ele próprio desconhece a origem? E como pode um aluno, principalmente aquele que não leva muito jeito com o cálculo, ter algum apreço por essa disciplina, se tudo o que ela tem de belo e surpreendente é vigorosamente amputado e simplificado ao extremo? Se a natureza é bela ao infinito, e a matemática traduz a natureza, como pode ser estudada de forma fria e absolutamente racional? Há que se ter um pouco de poesia, mesmo no infinito imponderável dos números...

A discussão de Oberon e Titânia; tela pintada em 1.849 por Joseph Noel Paton.

Para além destas breves considerações, este volume procurou mostrar o quanto é importante o estudo das frações e de como essa notação matemática aparentemente tão simples pavimentou o caminho para outras descobertas matemáticas igualmente importantes, tais como: as raízes quadradas e os números irracionais, ambos largamente empregados em qualquer ciência exata. O que significa que se não entendermos a fundo a conceituação do que são frações e de como operá-las aritmeticamente com destreza, é certo que os nossos problemas com a matemática apenas começam com a introdução a este tema, e se aprofundam à medida que os tópicos avançam. O estudo das frações não deveria limitar-se à aritmética, mas deveria avançar sobre seus desdobramentos (acima citados), o que envolve rever muitas vezes, por exemplo, a divisão longa e a geometria: a primeira, execrada pelos alunos; a segunda, negligenciada pelas diretrizes curriculares nacionais da educação básica. Uma nação não se desenvolve sem educação de qualidade, sem professores qualificados e que amam o que fazem, sem alunos que saibam respeitar seus professores, e sem pais que exijam de seus filhos uma conduta adequada dentro e fora das escolas. O resto será o retrato irônico de nossas hipocrisias e de nosso escárnio às leis e às regras, que existem para todos, igualmente. Não nos esqueçamos nunca de que, sem disciplina, não há progresso.

Até o próximo volume!

O infinito: uma breve abordagem

2017-03-09T13:11:00.001-03:00

Pirâmides de Sierpinski. Esta estrutura é um fractal formado por triângulos equiláteros que podem replicar-se no mesmo padrão infinitamente.

O infinito suscita variadas interpretações. Para o pintor renascentista, o infinito está nos pontos de fuga de suas telas, dando a sensação de uma distância infinita ao observador, e servem para retratar realisticamente o espaço, as distâncias e os objetos de um determinado ponto de vista.

Técnica da aplicação dos pontos de fuga, obra de Hans Vredeman de Vries, de 1.608

Para os místicos, por outro lado, o infinito pode significar Deus ou o Absoluto, e para os filósofos estar relacionado com a eternidade. Já para o trovador medieval, infinito são o amor por sua donzela e a dor de não ser correspondido. Porém, é na matemática que o infinito está mais intimamente relacionado e foram os matemáticos que deram as maiores contribuições para sua compreensão. Iniciando nossa caminhada pela história rumo ao infinito, vejamos como povos antigos lidavam com esse tema, partindo da civilização maia.

Os maias foram não somente grandes matemáticos, mas também astrônomos brilhantes, a ponto de criarem um calendário − conhecido também como 'roda calendárica' – que, baseado em seu sistema numérico vigesimal, permitia-lhes calcular o tempo com grande precisão; de fato uma de suas maiores realizações na astronomia. Os maias creditavam à divindade Itzamna o ensinamento do sistema de calendários, junto com a escrita e outros aspectos de sua cultura.

A roda calendárica maia

O calendário maia é constituído de 3 rodas: a menor, interna, possui 13 divisões; a roda intermediária contém 20 divisões e a externa, 19 divisões. A roda interna (que representa dias) engrenada à roda intermediária (que representa meses) perfazem um ciclo correspondente a um ano de 260 dias (13 dias × 20 meses) e constituem o calendário religioso, ou Tzolkin na língua maia. Era utilizado para determinar o momento de eventos religiosos e cerimoniais. Além do calendário ritualístico, os maias também tinham o calendário solar, conhecido como Haab, em que a roda externa, com 19 divisões (ou dias) trabalha em conjunto com a roda intermediária de 20 divisões, perfazendo um ano solar de 360 dias (18 dias × 20 meses) mais a 19ª divisão de apenas 5 dias. Estes 5 dias que faltam para completar um ano solar de 365 dias eram chamados de uayeb, ou "aqueles que não têm nome". Os maias consideravam-nos como "dias fantasmas" e qualquer um que nascesse em um deles teria má sorte e permaneceria pobre e miserável por toda a vida. Além disso, nesses dias os portais entre o reino mortal e o submundo desapareciam, sem limites que impedissem que deidades mal-intencionadas causassem desastres. A combinação das três rodas gerava ainda um terceiro calendário, que os maias chamavam de Contagem longa. O mínimo múltiplo comum entre o ano religioso (de 260 dias) e o solar (de 365 dias) é 18.980 dias, ou seja, a cada 52 anos solares (18.980/365) ou a cada 73 anos religiosos (18.980/260), as rodas retornavam à mesma posição inicial que tinham 18.980 dias antes. A contagem longa inicia-se em um ponto místico situado em 3.114 a.C. e considerado pelos próprios maias como o momento da criação de sua civilização. O cálculo de datas neste sistema calendárico era feito numa base vigesimal modificada, contendo em geral cinco números sequenciais, como no exemplo abaixo:

$$ \left [ 8;14;3;1;12 \right ] $$

Para saber qual data em nosso calendário corresponde essa sequência numérica, procedemos à seguinte conta, começando da direita para a esquerda:

$$ \left ( 12\times 20^{0} \right )+\left ( 1\times 20^{1} \right )+\left ( 3\times 18\times 20^{1} \right )+\left ( 14\times 18\times 20^{2} \right )+\left ( 8\times 18\times 20^{3} \right ) $$

Observe: a partir do terceiro termo, ao invés de multiplicarem o número da sequência (neste caso o 3) por 20 ao quadrado, os maias iniciavam a multiplicação por 18 seguido da multiplicação por potências de 20, daí porque essa contagem não era vigesimal pura. O resultado dessa conta é de 1.253.912 dias corridos, que se iniciam em 3.114 a.C., chegando a cerca de 321 d.C. em nosso calendário. Neste sistema, um dia era denominado kin, 20 kin perfaziam um mês (uinal), 18 uinal perfaziam um ano (tun). Com 20 tun chegava-se a 1 katun (20 anos), 20 katun equivaliam a 1 baktun (360 anos) e 20 baktun perfaziam 1 pictun (7.200 anos). A maioria das inscrições maias da contagem longa limitam-se em registrar somente os 5 primeiros coeficientes, mas existem inscrições que apontam ou implicam em sequências maiores que 5, gerando contagens muito mais longas, o que leva a crer que essa incrível civilização tivesse alguma noção do ilimitado, infindável esticamento do tempo, ou infinito potencial. O infinito potencial é a forma mais natural e intuitiva de conceber o infinito, sendo nesta concepção algo que pode aumentar, continuar ou estender tanto quanto se queira, como é o caso dos números naturais:

$$ 1,2,3,4,5,6,7,8,9... $$

Sempre é possível somar mais um número à sequência, estendendo-a indefinidamente, ou seja, é uma sucessão infinita de elementos discretos, infinitamente extensíveis. Considere, porém, um segmento de reta: apesar de limitado em sua extensão, é um contínuo de pontos onde não faz sentido falar do elemento seguinte, pois entre um ponto e outro da reta sempre é possível haver um ponto intermediário, o que faz com que um segmento de reta, finito, seja infinitamente divisível. Este segundo tipo de infinito é denominado infinito atual. Para a civilização grega, o infinito foi sempre um conceito problemático. Para os pitagóricos, em que tudo em seu mundo era número, o finito estava associado ao bem e o infinito ao mal. Leucipo de Mileto (século V a.C.) e seu discípulo Demócrito de Abdera (460 a.C. a 370 a.C.) deram às quantias infinitamente pequenas um limite, abaixo do qual não haveria possibilidade de divisão, e que denominaram de átomos. Zenão de Eléia (485 a.C. a 430 a.C.) foi um crítico da multiplicidade, que expunha através de seus paradoxos:

Se a multiplicidade existe, as coisas serão ao mesmo tempo limitadas e infinitas em número. Se a multiplicidade existe, as coisas, ao mesmo tempo, serão infinitas em tamanho e não terão tamanho algum.

O segmento de reta finito, com seus infinitos pontos, é uma boa representação dessa contradição. Seguindo essa linha de pensamento, Zenão afirmava que percorrer infinitos pontos de um percurso (segmento de reta) num tempo finito é impossível, de modo que o movimento seria apenas uma ilusão. O paradoxo da dicotomia é bastante didático nesse aspecto:

"Aquilo que está em movimento deve alcançar a metade do percurso antes de chegar à meta"

A representação desse paradoxo já foi vista no capítulo dos números irracionais:

Mas porque este paradoxo não funciona? Considere que o percurso completo possa ser representado por um quadrado de área igual a 1, onde essa área unitária representa o trajeto como um todo:

Para que o atleta percorra o caminho inteiro, é preciso que ele alcance metade do trajeto, o que se traduz como:

Para percorrer metade do trajeto, antes é necessário que o atleta alcance um quarto do caminho (metade de 1/2):

Para percorrer um quarto do caminho, antes o atleta tem que avançar um oitavo do percurso (metade de 1/4):

Para percorrer um oitavo do caminho, antes o atleta deve alcançar a décima sexta parte do trajeto (metade de 1/8):

Seguindo esse procedimento, para atingir a décima sexta parte do trajeto, antes o atleta deve alcançar a trigésima segunda parte do percurso (metade de 1/16):

A tendência é de que os avanços, cada vez mais infinitesimais, perfaçam o trajeto completo:

Em termos fracionários, temos:

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+...=1 $$

A verdade é que num tempo finito percorre-se uma quantidade infinita de trechos infinitesimais, o que em filosofia é denominado super-tarefa, de modo que o movimento é real e não uma ilusão como afirmava Zenão. Para Platão (428? a.C. a 347? a.C.), o potencial de extensão era considerado limitado, finito; o conceito de infinito propriamente dito era algo irracional, impensável, sem sentido. Aristóteles (384 a.C. a 322 a.C.), discípulo de Platão, aceitava o infinito potencial, como o dos números inteiros, onde se pode sempre somar mais um para se obter um número maior, mas o conjunto infinito de números como tal não existe. Argumentava também que a maioria das magnitudes sequer poderia ser potencialmente infinita porque pela soma sucessiva de magnitudes seria possível exceder os limites do universo; mas o universo é potencialmente infinito no sentido de que pode ser repetidamente dividido. O tempo, por sua vez, é potencialmente infinito em ambos os sentidos. Na geometria, Aristóteles admite que os pontos estejam em linhas, mas que os pontos não constituem a linha, uma vez que o contínuo não poderia ser constituído pelo discreto. Euclides (325 a.C. a 265 a.C.) segue a mesma toada ao misturar o infinitesimal com o infinito, quando define os conceitos básicos de ponto e reta em seu Elementos:

• Um ponto é o que não tem parte;

• Uma linha reta é uma linha composta de pontos uniformemente distribuídos.

Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.) em seu manuscrito O contador de areia, igualmente refuta a hipótese de um universo infinito como estabelecido por seu conterrâneo, Aristarco de Samos. Para fins de cálculo, o universo seria limitado a uma esfera que vai do centro do Sol ao centro da Terra totalmente preenchida de grãos de areia. Para chegar a um resultado, desenvolveu um sistema de potências numéricas composto de períodos. Neste sistema, Arquimedes demonstra potências equivalentes a 10 elevado a 799.999.999; apesar do gigantismo impensável deste número, ainda assim é finito, pois basta somar 1 à potência acima que obtemos um número maior que a própria potência. Ao contrário dos gregos, a civilização hindu tinha verdadeiro fascínio pelo infinito, como nesta passagem em que um sacerdote, após preparar os tijolos para um ritual védico, reza a Agni, divindade do fogo:

Oh Agni! Torne estes tijolos em vacas que dão leite para mim

Por favor, dê-me uma, e dez, e cem, e mil

Dez mil, e lakh e prayutam

E arbudam e nyarbudam e samudram

E madhyam e parardham neste mundo e em outros mundos também

Nestes versos, os nomes hindus correspondem a potências de dez:

• Lakh = 10 elevado a 5;

• Prayutam = 10 elevado a 6;

• Arbudam = 10 elevado a 7;

• Nyarbudam = 10 elevado a 8;

• Samudram = 10 elevado a 9;

• Madhyam = 10 elevado a 10;

• Parardham = 10 elevado a 12;

O conceito de infinito era repetidamente usado na era védica:

Do infinito nasce o infinito

Quando infinito é retirado do infinito, o que resta é apenas infinito.

No Ramaiana, um épico sânscrito que conta a história do príncipe Rama, cuja esposa Sita é raptada pelo demônio Ravana, e escrito entre 500 a.C. e 100 a.C., aparecem potências que chegam a 10 elevado a 62, cujo número representa a quantidade de Vanaras (homens macaco da armada do príncipe Rama) empregados na construção da ponte Rama ou Adam.

Um homem macaco ou vanara ao centro, marcando seu nome em um tijolo para a construção da ponte Adam. O homem azul à esquerda é o príncipe Rama.

A ponte Adam é uma formação geológica de pedra calcária com 50 quilômetros de extensão entre a ilha Pamban, na Índia, e a ilha Mannar, no Sri Lanka.

Vista aérea da ponte Adam

Entre os árabes, como tutores da herança grega no conhecimento matemático, não houve avanços sobre o infinito. Adentrando a idade média, o infinito é retomado na escolástica, doutrinas teológico-filosóficas caracterizadas sobretudo pelo problema da relação entre a fé e a razão. Representam essa linha de pensamento: Santo Agostinho, que adota a visão platônica de que Deus era infinito e teria infinitos pensamentos; São Tomás de Aquino, que permitia o ilimitado de Deus, mas negava que fizesse coisas ilimitadas; e Nicolau de Cusa, cardeal católico e filósofo, que afirmou:

A verdade da imagem não pode ser vista tal como é em si através da imagem, porque a imagem nunca chega a ser o modelo, pois toda perfeição vem do exemplar que é a razão das coisas. Este é o jeito como Deus reluz com as coisas. Como consequência, o Absoluto é incompreensível, posto que o invisível não pode se transformar no visível, o infinito não se encontra no finito.

Nicolau de Cusa

Foi também na idade média que se descobriu um paradoxo com o infinito. Considere dois círculos concêntricos, sendo que o círculo maior tem o dobro do tamanho do raio do círculo menor:

Como a circunferência do círculo externo é duas vezes maior que a do círculo interno, então o círculo externo conteria uma quantidade infinita de pontos maior que a do círculo interno. Porém, quando desenhamos dois raios, o primeiro atinge o círculo interno no ponto P e o círculo externo no ponto equivalente P’, e o segundo raio atingirá o círculo interno no ponto Q e o círculo externo no ponto equivalente Q’; observe:

O paradoxo aqui é que, sendo de tamanhos diferentes, os círculos apresentam uma quantia diferente de pontos, ainda que infinitos. Porém, quando colocados em correspondência um-para-um, a quantia de pontos infinitos em ambos os círculos é igual. Na renascença, é Galileu Galilei quem apresenta o paradoxo dos quadrados, em sua obra Discorsi e dimostrazioni matematiche a due nuove scienze, de 1.638, conforme a seguir. Considere uma sequência de números naturais (em azul) e seus respectivos quadrados perfeitos (em vermelho), como mostrado a seguir:

A condição paradoxal emerge porque, por um lado, torna-se evidente que a maioria dos números naturais (em azul) não são quadrados perfeitos, de modo que o conjunto dos quadrados perfeitos é menor que o conjunto de todos os números naturais; observe:

Fica evidente há um espaço vazio entre dois quadrados perfeitos consecutivos e que entre esses espaços há números naturais que não são quadrados perfeitos, e esses espaços vazios tornam-se maiores à medida que a contagem aumenta. Por outro lado, como para cada número natural há seu correspondente quadrado perfeito, conclui-se que existem tantos números naturais quantos quadrados perfeitos. Em outras palavras, há uma correspondência um-para-um em ambas as sequências numéricas. Ao evidenciar esta estranha contradição, Galileu conclui:

Quando tentamos, com nossas mentes finitas, discutir o infinito, associamos a ele aquelas propriedades que aplicamos ao finito e limitado; mas penso que isto está errado, pois não somos capazes de falar de quantidades infinitas como uma sendo ou maior, ou menor, ou igual a outra.

Quem primeiro contextualizou o conceito de infinito e lhe deu um formato lógico e racional foi o matemático russo naturalizado alemão Georg Cantor.

Um jovem Georg Cantor

A estratégia do matemático para lidar de forma adequada com esse conceito foi extraordinariamente simples e genial: imagine que você tenha duas cestas de ovos e te peçam para contar qual destas cestas contém mais ovos.

Uma forma de verificação é tirar simultaneamente um ovo de cada cesta; aquela que primeiro ficar vazia será a que contém a menor quantia de ovos. Se ambas as cestas ficarem vazias ao mesmo tempo, então ambas terão a mesma quantidade de ovos. Ridículo? Pois é o que os matemáticos da época também pensaram sobre tal raciocínio, mas aí também reside a simplicidade das idéias geniais. A diferença é que Cantor utilizou números ao invés de ovos e chamou as cestas de conjuntos ou classes. Conjunto ou classe é uma coleção de coisas semelhantes, como ovos, bicicletas, segmentos de reta, figuras geométricas, tampinhas de garrafa, números ou qualquer outra coisa. Para compará-los, Cantor utilizou diferentes conjuntos: um apenas contendo números pares, outro contendo apenas ímpares, um terceiro contendo os números inteiros, um quarto contendo os números fracionários e ainda um quinto conjunto contendo apenas inteiros negativos e depois de montados passou a comparar estes conjuntos quanto ao seu tamanho, ou no jargão desse matemático, quanto à sua cardinalidade, através do emparelhamento de seus elementos. Se um conjunto qualquer tivesse para cada elemento um único elemento a ele associado do outro conjunto, então ambos os conjuntos teriam a mesma cardinalidade; do contrário, o conjunto com mais elementos seria aquele de maior cardinalidade ou tamanho. Ele começou comparando o conjunto dos números inteiros com o conjunto dos números inteiros pares e constatou que há a mesma quantidade de elementos em ambos. Observe:

Cantor concluiu que quando se trata de quantidades infinitas, o todo nem sempre é maior que cada uma de suas partes. De fato, a mesma cardinalidade é obtida quando comparamos os números naturais com inteiros negativos ímpares, números divisíveis por 5 ou múltiplos de 7, entre tantos outros exemplos:

Depois dessas constatações, Cantor concluiu que não existe um conjunto infinito menor que o dos números naturais e para representá-lo ele adotou o termo 'aleph zero' (pronuncia-se aléfi), utilizando para isso a primeira letra do alfabeto hebraico: ℵ0. Para diferenciar este número dos números finitos, o matemático cunhou o termo transfinito para qualificar o ℵ0. Não satisfeito, Cantor decidiu verificar se haveriam outros números transfinitos maiores que ℵ0, e suas dúvidas recaíram sobre os números racionais, uma vez que existem infinitos números racionais entre dois números inteiros; por exemplo, entre o 2 e o 3 há infinitas frações cujos valores situam-se entre estes dois números. A estratégia adotada por Cantor para solucionar este problema foi brilhante: para confirmar se o conjunto dos números racionais tem a mesma cardinalidade da dos números naturais, os racionais devem ser enumeráveis, ou seja, são passíveis de serem contados (como fazemos com os números inteiros), de modo que se consiga aplicar, na terminologia de Cantor, uma associação biunívoca entre cada elemento dos dois conjuntos. Se essa associação não for possível, é porque o conjunto dos racionais conterá mais elementos que o conjunto dos naturais, quer dizer, compõe um número transfinito maior que ℵ0. O fato é que Cantor provou que os números racionais são enumeráveis. Veja como: monte uma tabela em que as colunas (em azul) representam os numeradores e as linhas (em vermelho), os denominadores:

Observe que muitas das frações se repetem ao longo das células. Agora, enumeramos as frações, seguindo a sequência abaixo:

Seguindo este zigue-zague e descartando as frações repetidas, percorremos todas as linhas e colunas; se seguíssemos apenas a primeira linha enumerando suas frações não passaríamos nunca à segunda linha, pois todas as linhas e colunas seguem ao infinito. Seja seguindo uma única linha ou ziguezagueando entre linhas e colunas, obtemos enfim um conjunto enumerável. Observe:

A sequência acima, composta de números racionais, pode agora ser emparelhada com os números naturais:

Com esse estratagema genial, Cantor demonstrou que os números racionais formam um conjunto enumerável com a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais, constituindo outro número transfinito ℵ0. O conceito de números transfinitos tem implicações interessantes: considere o número irracional √2. Este número pode ser representado por uma dízima infinita não periódica, conforme abaixo:

$$ 1,4142135623730950488016887242097... $$

Se aplicarmos ao infinito o algoritmo de Herão para o cálculo da raiz quadrada de um número natural, obteremos a cada rodada deste processo infindável uma nova fração que se aproxima cada vez mais do limite sem nunca atingí-lo. Observe:

$$ \frac{17}{12};\frac{577}{408};\frac{665.857}{470.832}... $$

Que resultam em valores cada vez mais aproximados para √2:

$$ 1,41\overline{66666666666666666666666666667...} $$
$$ 1,41421\overline{5686274509803921568627451...} $$
$$ 1,41421356237\overline{46899106262955788901...} $$

Deste modo, assim como o limite da sucessão dos números naturais pode ser visto como o número transfinito ℵ0, também o limite da sequência infinita de frações obtidas pelo método de Herão pode ser visto como um número, a constante de Pitágoras ou √2, ficando este número definido apenas em termos de números racionais. Cantor apresentou uma sequência infinita de números racionais ainda mais simples para a √2:

Outra situação interessante ao trabalharmos com o infinito é a afirmação de que 0,9999... é igual a 1. Considere a figura a seguir:

Este círculo está dividido em 3 partes iguais, de modo que cada fatia corresponde a 1/3 do total. Em notação decimal, esta fração pode ser escrita como uma dízima periódica infinita:

$$ \frac{1}{3}=0,33333333333333... $$

A soma das 3 fatias resulta:

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1+1+1}{3}=\frac{3}{3}=1 $$

Em notação decimal, a soma das dízimas infinitas fornece:

$$ 0,33333333333333...+0,33333333333333...+0,33333333333333...= $$
$$ =0,9999999999999...=1 $$

O limite da dízima periódica infinita 0,99999999999... pode ser visto como um número em si mesmo: o número 1! O estudo sobre o infinito iniciado por Cantor embasou a moderna teoria dos conjuntos, que aprendemos na escola e onde temos:

Conjunto dos números naturais, representado pela letra N: 0, 1, 2, 3, ...;
Conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...;
Conjunto dos números racionais, representado pela letra Q: para qualquer número que possa ser representado na forma de uma fração (com denominador diferente de zero);
Conjunto dos números reais, representado pela letra R e do qual fazem parte os números irracionais, dentre outros.

A representação destes conjuntos é comumente feita por meio dos diagramas de Venn, conforme segue:

A lógica de classes inclui um desdobramento do conceito de cardinalidade no estudo sobre o infinito, quando se afirma que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, que está contido no conjunto dos números racionais, que está contido no conjunto dos números reais, ou seja:

$$ \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} $$

Os conjuntos dos números naturais, números inteiros e números racionais são todos números transfinitos ℵ0. O infinito também se aplica às formas geométricas; exemplo disso é a fita de Möbius, um espaço topológico obtido pela colagem das extremidades de uma fita (após efetuado meia volta em uma delas) que representa um caminho sem fim nem início, infinito, onde se pode percorrer toda a superfície da fita que aparenta ter dois lados, mas só tem um.

Formigas caminhando sobre uma fita de Möbius, obra de 1.963 do artista M.C. Escher

Esta figura recebe seu nome do matemático alemão August Ferdinand Möbius, quando estudava em 1.858 a teoria geométrica dos poliedros. Esse espaço topológico é semelhante ao símbolo de infinito (∞) tal como é utilizado atualmente, cuja introdução é creditada ao matemático John Wallis, em sua obra De sectionibus conicis, de 1.655. O ∞ também é chamado de lemniscata. Outro espaço topológico curioso é a garrafa de Klein, uma superfície não orientável e sem bordas, obtida pela colagem de duas fitas de Möbius. Foi estudada pelo matemático alemão Felix Christian Klein.

A garrafa de Klein, estudada pelo matemático alemão Felix Klein

Encerramos com estas topologias a breve introdução sobre o infinito, tendo começado pelo entendimento que as antigas civilizações tinham desse conceito até sua racionalização com o tratamento matemático dado por Georg Cantor.

Os números negativos

2017-03-03T12:39:00.001-03:00

Lente positiva ou convergente, ou simplesmente "lente convexa". Observe que os feixes de luz paralelos (à esquerda), ao atravessarem a lente, unem-se à direita no chamado "ponto focal".

Lente negativa ou divergente, ou simplesmente "lente côncava". Neste caso os feixes de luz paralelos (à esquerda), ao atravessarem a lente, espalham-se à direita, sem a ocorrência do "ponto focal".

O que eles são? De onde vieram? Os números negativos possuem uma história mais peculiar do que nossa vã filosofia poderia imaginar (diria o poeta), e sua natureza provocou as mentes de muitos matemáticos; porém, tanto babilônios quanto egípcios ignoraram sua existência, porque a matemática dessas civilizações estava toda voltada à solução de problemas práticos do dia-a-dia: produção de alimentos e criação de animais, fabricação de tijolos e artefatos cerâmicos, construção de edifícios e monumentos, cobranças de impostos, enfim, uma matemática concreta e positiva para problemas relativos à sobrevivência e manutenção daquelas sociedades primevas. Para os gregos, a situação não foi muito diferente: entre os pitagóricos, no século V a.C., os mathématikoi definiam um ponto – que chamavam de mônada e que representava o número 1 – e desenhavam um círculo ao redor dele. É Platão quem resume a fórmula pitagórica: “a divindade geometriza”, ou seja, a partir do ponto uma radiação igual em todas as direções se inicia, estabelecendo uma circunferência ou esfera dentro do qual todas as atividades do ponto estão confinadas, daí porque consideravam também que o círculo era o pai de todas as formas geométricas e que a partir desta unidade a geometria do universo emergiu, de modo que dela surgiu a multiplicidade e que o 'um' evoluiu para 'muitos'. Este sistema é mais conhecido como 'doutrina das emanações', mas Pitágoras a denominava ciência dos números. Observa-se que os números negativos não são mencionados nem encontram espaço nessa estrutura filosófica.

Representação pitagórica da mônada

Cosmogonia segundo a visão medieval; observa-se claramente a influência pitagórica da mônada representando a criação do universo por mãos divinas. Essa iluminura, datada de 1.230 d.C. abre o capítulo das subtrações.

Imagem do mapeamento em micro-ondas do universo conhecido, através de um sistema de sensoriamento térmico da energia remanescente de fundo, ou ruído térmico de fundo. O big bang, ou a grande explosão, é uma teoria segundo a qual o universo surgiu há pelo menos 13,7 bilhões de anos a partir de um estado inicial de temperatura e densidade altamente elevadas. Impressionante semelhança com a mônada dos pitagóricos.

Com o 'surgimento' dos números irracionais, protagonizado pelo desabonado Hipaso de Metaponto e o abalo profundo que provocaram na doutrina pitagórica, Eudoxo de Cnido estabelece no século IV a.C. a diferenciação entre números (ou seja, os números naturais) e magnitudes (entes geométricos que são divisíveis em divisíveis que são infinitamente divisíveis), como citado por Aristóteles em sua obra Física, sem entretanto dar indicações do conceito de números negativos ou de magnitudes negativas. Esta situação persiste com Euclides no século III a.C. em seu Elementos, onde o grego continua com a distinção entre número e magnitude estabelecida por Eudoxo-Aristóteles, mas ainda sem nenhuma indicação dos números negativos. A situação começa a mudar somente no período entre 100 a.C. e 50 d.C. no império chinês, com o livro Jiuzhang Suanshu (ou "Nove capítulos na arte matemática"). Ao contrário do Elementos de Euclides, a obra chinesa aborda diversos problemas práticos do mundo real e os respectivos algoritmos para resolvê-los, sem nenhuma indicação de provas. Desde essa época, o Nove Capítulos teve uma longa história de altos e baixos, sendo requisitado para exames em serviços civis ou sendo queimado e quase perdido. No primeiro milênio a.C. a aritmética chinesa passou a ser realizada por meio de varetas de contagem (ou numerais de varas), que eram dispostas em linhas e faziam uso de um sistema de notação decimal.

Ilustração japonesa mostrando um indivíduo ajoelhado à esquerda, fazendo contas em um tabuleiro quadriculado contendo numerais de varas.

É no oitavo capítulo da obra matemática chinesa que os números negativos aparecem e são extensivamente utilizados. Existem comentários de um matemático de nome Liu, onde afirma que varetas vermelhas ou hastes verticais são utilizadas para números positivos, que ele denomina 'ganhos' (zheng) e varetas pretas ou hastes oblíquas para números negativos, às quais denomina 'perdas' (fu). Afirma ainda que “varetas de contagem vermelhas e pretas são utilizadas para cancelarem umas às outras”. O mais curioso nessa obra está associada à descrição da regra de sinais:

Sinais iguais subtraem; sinais opostos somam; positivo sem extra faz negativo; negativo sem extra faz positivo.

Sinais opostos subtraem; sinais iguais somam; positivo sem extra faz positivo; negativo sem extra faz negativo.

Apesar da linguagem truncada para os nossos dias, a regra de sinais evidencia que os números negativos foram analisados e tratados corretamente tão logo surgiram, presumivelmente pela primeira vez na China e no mundo. No ocidente, a primeira ocorrência dos números negativos aparece na obra Arithmetica, do matemático grego Diofanto de Alexandria no século III d.C., mas de uma forma não muito bem vista por ele. O número negativo surge no seguinte problema (em notação moderna):

$$ 4\blacksquare +20=0 $$

Para manter a igualdade e descobrir qual o valor contido na cartela preta, começamos por subtrair 20 de ambos os lados da igualdade:

$$ 4\blacksquare +20-20=0-20 $$

Resultando:

$$ 4\blacksquare=-20 $$

Finalmente, dividindo ambos os lados da igualdade por 4, vem:

$$ \frac{4\blacksquare }{4}=\frac{-20}{4} $$

$$ \blacksquare=-5 $$

O resultado negativo (-5) para a cartela preta é considerado um absurdo para Diofanto, o que indica que ele provavelmente não tinha o conceito da noção abstrata de um número negativo. Voltemos nossos olhos e mentes novamente para o oriente, agora para os hindus; nesta civilização, os números negativos aparecem abundantemente na obra Arthashastra, um verdadeiro manual de governança de Estado, escrita no século IV a.C. e de autoria do estudioso hindu Cautília. O Arthashastra cobre com detalhes surpreendentes cada aspecto da criação e gestão de um reino, com tópicos sobre mineração, agricultura, pecuária, medicina e o uso de animais selvagens, incluindo o manuseio de uma floresta para elefantes!

Duas folhas originais do manuscrito hindu Arthashastra

O Arthashastra trata também de assuntos sobre bem-estar (por exemplo, a redistribuição de riquezas durante uma fome) e ética coletiva para a manutenção de uma sociedade unida. No aspecto matemático, porém, o manuscrito chama a atenção no livro II, capítulos VI e seguintes, em que Cautília detalha um sistema completo de contabilidade: ele tem um livro razão para as rendas com datas, horários, pagadores, categorias, etc. e um livro razão para as despesas e, finalmente, um terceiro livro para os balanços ou saldos. Há seções sobre auditoria, seguro contra roubo, devedores, empréstimos, hipotecas, etc. e questões de contabilidade mais sutis, tais como recebimentos atuais versus recebimentos diferidos, como contabilizar mudanças de preços de itens em estoque, custos fixos versus custos variáveis. Embora ele não use números negativos explicitamente, Cautília está claramente consciente de que a contabilidade às vezes deve mostrar um prejuízo e que as pessoas podem ter um patrimônio líquido negativo. Se os números negativos não aparecem explicitamente no Arthashastra, o mesmo não se pode dizer com o Brahmasphutasiddhanta, do matemático e astrônomo hindu Brahmagupta, escrito em 628 d.C. Este manuscrito inclui dois capítulos que são um compêndio de técnicas e conceitos matemáticos desenvolvidos ao longo dos séculos que o antecederam. Neles, encontramos as regras corretas para a aritmética com números negativos; também encontramos referências que tratam os números positivos como 'fortunas' e números negativos como 'débitos'. Abaixo, alguns versos contendo a regra de sinais e de como multiplicar números negativos:

[A soma] de dois positivos é positiva, de dois negativos, negativa; de um positivo e um negativo [a soma] é sua diferença; se forem iguais, a soma é zero. A soma de um negativo e zero é negativa, de um positivo e zero, positiva, e de dois zeros, zero.

[Se] um menor [positivo] for subtraído de outro maior positivo, [o resultado] é positivo; [se] um menor negativo de outro maior negativo, [o resultado] é negativo; [se] um maior de outro menor, sua diferença será revertida – negativo torna-se positivo e positivo torna-se negativo.

[...]
O produto de um positivo e um negativo é negativo, de dois negativos, positivo; e de positivos, positivo; o produto de zero e um negativo, de zero e um positivo, ou de dois zeros, é zero. Um positivo dividido por um positivo e negativo dividido por um negativo é positivo; zero dividido por zero é zero; um positivo dividido por um negativo é negativo; um negativo dividido por um positivo é negativo.

Capítulo 18, versos 30–34

A única falha é a afirmativa de que zero dividido por zero é zero, um assunto já tratado no capítulo sobre operações aritméticas com frações, no segundo livro desta série; as demais assertivas de Brahmagupta estão todas corretas.

Selo soviético comemorativo aos 1.200 anos de nascimento do matemático Al-Khwarizmi, lançado em 1983.

Aliás, o Brahmasphutsiddhanta influenciaria, cerca de duzentos anos depois, outra obra que mudaria a matemática para sempre: o Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala, ou "Compêndio de cálculo por restauração e balanceamento", de autoria de Al-Khwarizmi (780 d.C. a 850 d.C.) sob o patrocínio do califa Al-Mamun, a quem o matemático tece o seguinte elogio:

"Esse carinho pela ciência... essa afabilidade e condescendência que ele [o califa] mostra aos sábios... encorajou-me a compor uma pequena obra de cálculo por restauração [al-jabr] e balanceamento [muqabala]... já que os homens constantemente o exigem em casos de herança, legados, partições, processos judiciais e comércio."

O termo al-jabr deu origem nada menos que à palavra portuguesa álgebra. Nesta obra, o autor reconhece que suas idéias são baseadas no trabalho de Brahmagupta e, portanto, ele estava familiarizado com os números negativos. Porém, seus modelos geométricos, todos eles baseados nos trabalhos de matemáticos gregos, o convenceram de que os resultados negativos não tinham sentido, questionando: "como se poderia obter um quadrado negativo"? Curiosamente, em outro tratado de sua autoria em legislação sobre heranças, Al-Khwarizmi representa quantidades negativas como débitos. A primeira ocorrência do uso explícito de números negativos em textos do mundo islâmico medieval é atribuído ao matemático e astrônomo Abu al-Wafa (940 d.C. a 998 d.C.), em sua obra: Kitab fi ma yahtaj ilayh al-kuttab wa l-ummal min ilm al-hisab, ou "Livro daquilo que é necessário da ciência aritmética para escribas e negociantes".

Representação alegórica de Abu al-Wafa

Nela, al-Wafa apresenta uma regra geral e demonstra um caso especial onde a subtração de 5 por 3 fornece um 'débito' de 2. Em seguida, multiplica o resultado por 10 para obter um novo 'débito' de 20, que adicionado a uma 'fortuna' de 35 resulta 15. Aliás, o famoso livro Almagesto, um influente tratado medieval de astronomia, escrito pelo matemático grego Ptolomeu, foi traduzido para o árabe por al-Wafa. Por fim, é digno de menção outro matemático e astrônomo árabe: Al-Samawal (1.130 d.C. a 1.180 d.C.), que em sua obra Al-bahir fil-jabr, ou "O brilhante em álgebra", estabelece algumas regras de sinais:

Se subtrairmos um número positivo de uma 'potência vazia', resulta no mesmo número, porém negativo; e se subtrairmos um número negativo de uma 'potência vazia', resulta no mesmo número, porém positivo; o produto de um número negativo por um número positivo é negativo, e por um número negativo é positivo.

A justificativa para a regra de sinais da multiplicação, quando havia alguma, era sempre de caráter geométrico. Porém, a primeira prova no ocidente baseada na lei distributiva da aritmética para a regra de sinais aparece no trabalho do algebrista italiano maestro Dardi de Pisa, por volta de 1.380 em sua obra Aliabraa argibra, cuja prova é reproduzida a seguir. Dado um retângulo medindo 20 de largura por 10 de altura, cuja área é igual a 200:

Reduz-se suas medidas respectivamente de 3 unidades na largura e 2 unidades na altura, obtendo-se:

Pergunta: qual a nova área (em azul) após a redução nas medidas do retângulo laranja? Ora, como sabemos que a área de um retângulo é a multiplicação de sua base (ou largura) por sua altura, temos:

$$ Area=largura\times altura=17\times 8=136 $$

Mas, e se quiséssemos obter a área a partir das medidas originais subtraídas? Não há dúvida de que uma área igual a 136 tem de ser alcançada. Assim:

$$ Area=largura\times altura=\left ( 20-3 \right )\times \left ( 10-2 \right )=136 $$

Para que a multiplicação de (20 – 3) por (10 – 2) resulte 136, aplica-se a lei distributiva da aritmética, em que todos os termos multiplicam-se uns aos outros, somando-se os resultados parciais. Logo:

$$ \left ( 20-3 \right )\times \left ( 10-2 \right )=\left ( 20\times 10 \right )+\left ( 20\times -2 \right )+\left ( -3\times 10 \right )+\left ( -3\times -2 \right ) $$

As multiplicações à direita da igualdade devem, somadas, valer 136:

$$ \left ( 20\times 10 \right )+\left ( 20\times -2 \right )+\left ( -3\times 10 \right )+\left ( -3\times -2 \right )=136 $$

Bom, agora com o auxílio da geometria, temos a seguinte situação: o primeiro termo da multiplicação (20 × 10) corresponde à área original do retângulo laranja.

Os dois termos são positivos e o resultado da multiplicação também é positivo:

$$ \left ( 20\times 10 \right )=200 $$

Daí deriva a primeira regra de sinais da multiplicação:

Um número positivo multiplicado por outro número positivo resulta em um positivo, ou como aprendemos na escola: mais com mais dá mais.

O segundo termo (20 × –2) corresponde à faixa laranja horizontal, que deve ser subtraída da área original:

Logo, seu resultado deve ser negativo:

$$ \left ( 20\times -2 \right )=-40 $$

Neste caso, o primeiro termo é positivo e o segundo termo, negativo. O resultado da multiplicação tem de ser negativo para que a área da faixa horizontal laranja seja descontada do retângulo original; daí surge a segunda regra de sinais da multiplicação:

Um número positivo multiplicado por outro número negativo resulta em um negativo, ou como aprendemos na escola: mais com menos dá menos.

O terceiro termo (–3 × 10) corresponde à faixa laranja vertical, que também deve ser subtraída da área original:

Logo, seu resultado também deve ser negativo:

$$ \left ( -3\times 10 \right )=-30 $$

Neste caso, o primeiro termo é negativo e o segundo termo, positivo. O resultado da multiplicação tem de ser negativo para que a área da faixa vertical laranja seja descontada do retângulo original; daí surge a terceira regra de sinais da multiplicação:

Um número negativo multiplicado por outro número positivo resulta em um negativo, ou como aprendemos na escola: menos com mais dá menos.

Bom, até aqui temos o seguinte resultado parcial para o cálculo da área do retângulo azul:

$$ 200-40-30=200-70=130 $$

Opa! Temos um problema: descontadas as áreas das faixas laranja horizontal e vertical, a área restante é menor em 6 unidades que a área do retângulo azul. Mas temos ainda uma última multiplicação a ser analisada:

$$ \left ( -3\times -2 \right ) $$

Se temos que somar 6 unidades para obter o valor correto da área do retângulo azul (de 130 para 136), o resultado dessa multiplicação tem de ser positivo:

$$ \left ( -3\times -2 \right )=6 $$

Essa área corresponde à intersecção entre as duas faixas laranja, a horizontal e a vertical, destacada abaixo em verde:

Como esse pedaço de área verde é descontado duas vezes nos cálculos parciais (uma vez com a faixa horizontal e outra com a faixa vertical), faz-se necessário acrescentar esse valor para que o cálculo da área do retângulo azul resulte correto. Chegamos assim à quarta e última regra de sinais da multiplicação:

Um número negativo multiplicado por outro número negativo resulta em um positivo, ou como aprendemos na escola: menos com menos dá mais.

A regra de sinais da multiplicação deriva da constatação geométrica do cálculo de áreas e a lei distributiva da aritmética é a forma matemática de demonstrar sua validade. Seja como for, os números negativos prosseguem em sua árdua marcha rumo ao reconhecimento nos caminhos nem sempre suaves da matemática e chegam finalmente à Europa medieval. Lá, são apresentados a banqueiros e comerciantes por ninguém menos que Fibonacci; a seção do Liber Abaci que trata das subtrações recebe o título: Da subtração de números menores por números maiores. Porém, é na segunda parte de seu manuscrito que o italiano lida com bens e dinheiro, reforçando um simbolismo para transações econômicas com os números negativos, particularmente a noção de lucros ou ganhos em oposição a perdas ou contração de débitos na forma de inúmeros problemas descritivos, como este:

Três homens tinham libras esterlinas, não sei quantas, das quais a metade pertencia ao primeiro, um terço ao segundo e um sexto ao terceiro; como eles queriam mantê-las em um lugar seguro, cada um deles tomou das libras alguma quantia, e do montante que o primeiro tomou pôs em comum a metade, e do que o segundo tomou, pôs em comum uma terça parte, e do que o terceiro tomou, colocou em comum uma sexta parte, e do que eles puseram em comum cada um recebeu uma terça parte, e, assim, cada um teve sua porção.

Fibonacci encontra a seguinte solução para o resgate do montante entre três os homens:

• Primeiro: 326 libras;
• Segundo: 174 libras;
• Terceiro: −30 libras;

O terceiro homem, diz ele, não recebe nada do montante compartilhado, ao contrário, coloca mais 30 libras de seu próprio bolso: havia 470 libras no total e quando eles quiseram mantê-las 'em um local seguro', o terceiro homem adicionou 30 libras, o primeiro homem tomou 326 libras e o segundo tomou 174 libras. Observe que ao lidar com dinheiro, as quantidades negativas assumem um significado simples entre dar e receber, ou entre créditos e débitos assumidos. Esta situação perdura inalterada desde o lançamento do Liber Abaci em 1.202, quando em plena Renascença o matemático e frei franciscano Luca Pacioli publica em 1.494 o seu Summa de arithmetica geometria. Nesta obra, quando um resultado é negativo ele é descrito como um débito; a exceção fica por conta de um problema que Pacioli denomina de belíssimo caso: neste exemplo, pede-se para dividir 10 em duas partes cuja diferença dos quadrados das partes seja igual a 200. A resposta para esse problema é:

$$ 10=15-5 $$

De fato, a diferença dos quadrados das partes é igual a 200:

$$ \left ( 15 \right )^{2}-\left ( 5 \right )^{2}=225-25=200 $$

Mas ainda assim não temos um número negativo de fato; o que se vê nesta conta é a subtração de um número maior por outro menor. Finalmente, encontramos nesta obra a primeira citação da regra de sinais do modo formal como é ensinada atualmente na escola.

A regra de sinais para a divisão (que é a mesma da multiplicação) no Summa de arithmetica geometria, de Luca Pacioli. A primeira linha destacada em verde diz: a partire piu per piu neuen piu, ou seja: a divisão de mais com mais resulta mais, e assim por diante.

Outro matemático que lidou com números negativos foi o italiano Girolamo Cardano em sua obra Ars Magna, de 1.545. Ele é o primeiro matemático a oferecer uma argumentação satisfatória para soluções negativas a problemas com equações lineares (semelhantes à equação de Diofanto de Alexandria) e o primeiro a aceitar raízes quadradas de números negativos. Chama os números positivos de numeri ueri (números reais) e os números negativos de numeri ficti (números fictícios), afirmando: “para tal, chamamos aquele como um débito ou negativo”, porém não faz muito mais pelos negativos, ignorando-os sistematicamente.

Girolamo Cardano

No último capítulo do Ars Magna (Sobre a regra para postular um negativo), Cardano faz alguma exploração sobre o resultado de raízes negativas, como no exemplo abaixo:

O dote da esposa de Francisco vale 100 aurei [moedas de ouro] a mais do que a própria propriedade de Francisco, e o quadrado do dote é 400 mais que o quadrado de sua propriedade. Encontre o dote e a propriedade.

O problema reduz-se a duas equações:

$$ \blacksquare =\square +100 $$
$$ \blacksquare^{2} =\square^{2} +400 $$

O valor do dote da esposa de Francisco é representado pela cartela preta e o valor da propriedade pela cartela branca. Substituindo o valor da cartela preta da primeira equação na cartela preta da segunda equação, temos:

$$ \left ( \square +100 \right )^{2}=\square ^{2}+400 $$

Desenvolvendo, vem:

$$ \left ( \square +100 \right )\times \left (\square +100 \right )=\square ^{2}+400 $$
$$ \square ^{2}+100\square +100\square +100^{2}=\square ^{2}+400 $$
$$ \square ^{2}+200\square +10.000=\square ^{2}+400 $$

Simplificando:

$$ 200\square +10.000=400 $$
$$ 200\square +10.000-10.000=400-10.000 $$
$$ 200\square=-9.600 $$

Resultando em:

$$ \frac{200}{200}\square =\frac{-9.600}{200} $$
$$ \square =-48 $$

Ou seja, a propriedade de Francisco valeria −48 aurei, mas por sorte o valor do dote de sua esposa vale:

$$ \blacksquare =\square +100=-48+100 $$
$$ \blacksquare =+52 $$

Alguns anos antes de sua morte, Cardano publica em 1.570 o tratado De Aliza Regulae, cujo particular interesse é a refutação que faz para a regra de sinais para a multiplicação e a divisão geralmente aceita pelos algebristas em sua época. Usando o mesmo exemplo do maestro Dardi de Pisa, ele conclui o contrário deste: a de que menos com menos resultar mais seria tão 'verdadeiro' quanto dizer que mais com mais resultaria menos.

Texto de Cardano refutando a regra de sinais, no De Aliza Regulae.

No texto de Cardano, o quadrado acfe tem lado ac igual a 10 e área igual a 100. Dado que bc e ag tem lado igual a 2, o quadrado egd terá uma área igual a 64. Para sair de 100 (quadrado acfe) e chegar a 64 (quadrado egd) temos que subtrair os dois retângulos cg e bf. Ao fazer isso, subtraímos o quadrado cbd duas vezes, de modo que temos que somá-lo uma vez mais. Assim, aritmeticamente, temos:

$$ 100-\left ( 10\times 2 \right )-\left ( 10\times 2 \right )+\left ( 2\times 2 \right )=64 $$

A aplicação da lei distributiva acima é semelhante àquela adotada por maestro Dardi em sua prova. Entretanto, Cardano argumenta que o +4 não é o resultado da multiplicação de −2 por −2, mas uma área que deve ser novamente adicionada porque subtraímos o pequeno quadrado duas vezes do cálculo. Ele faz referência à proposição 7 do Livro II do Elementos de Euclides, reproduzida abaixo:

Se um segmento AB é dividido em dois por um ponto C, então o quadrado sobre o lado AB mais o quadrado sobre o lado CB é igual a duas vezes o retângulo de lados AB e CB mais o quadrado sobre o lado AC.

O resultado geométrico da proposição 7 do grego é muito semelhante ao desenho do matemático italiano:

Após referenciar Euclides, como para embasar sua linha de raciocínio, Cardano conclui: “E, portanto, está aberto o erro comumente asseverado de que menos vezes menos produzirá mais, para que de fato não seja mais correto afirmar que menos vezes menos produza mais, do que mais vezes mais produziria menos”. Um matemático importante para a história dos números negativos foi o inglês John Wallis: credita-se a ele a criação da reta numérica dos números inteiros, em sua obra Treatise on Algebra, escrito em inglês em 1.685, e que atualmente representamos por uma linha reta com o zero ao centro, os números positivos à direita da reta e os negativos à esquerda.

Reta numérica apresentada por John Wallis em sua obra Treatise on Algebra, de 1.685

Observe no texto acima a reta numérica de Wallis; acima da reta, o texto relata o seguinte:

No entanto, não é essa suposição (de quantidades negativas) nem inútil nem absurda quando corretamente compreendida. Porém, para a notação algébrica pura, importa uma quantidade menor que nada: entretanto, quando se trata de uma aplicação física, ela denota como real uma quantidade como se o sinal fosse +, mas para ser interpretado em sentido contrário. Como por exemplo: um homem que tenha avançado ou andado para frente (de A para B) 5 metros; e depois recuado (de B para C) 2 metros; se for perguntado, quanto tinha avançado (em toda a marcha) estando em C? Encontro... que ele avançou 3 metros. Mas, se tendo avançado 5 metros para B, ele retrocede 8 metros para D; então, se for perguntado, quanto avançou até D ou quanto teria avançado quando ele estava em A? Encontro −3 metros... ou seja, ele avançou 3 metros menos que nada... mas o que teríamos dito (em linguagem ordinária) é que ele retrocedeu 3 metros; ou que ele quer 3 metros a partir de onde está para avançar até onde estava em A.

John Wallis

Apesar da primazia pela criação da reta numérica e do exemplo interessante de alguém avançando ou recuando em um trajeto, Wallis também patinou em alguns conceitos matemáticos utilizando números negativos. Em sua obra Arithmetica Infinitorum, de 1.656, Wallis se aprofunda na idéia de que ao dividir um número positivo por outro negativo o resultado é maior que infinito. A razão que o levou a essa conclusão equivocada encontra-se na proposição 104. Considere a seguinte fração:

$$ \frac{1}{\blacksquare } $$

Se no denominador a cartela preta for substituída por um número positivo muito grande, a fração se tornará zero. Ao contrário, se o denominador for substituído por zero, a fração resultará infinito. Agora, passando do zero, chegamos aos números negativos no denominador da fração (lembre-se da reta numérica). Avançando a linha de raciocínio, se números divididos por zero resultam infinito, então se formos além desse valor, ou seja, se dividirmos por números negativos, a fração resultará em valores maiores que o infinito. Ainda que tenhamos de compreender estas conclusões surpreendentes dentro do contexto em que são colocadas, a afirmação (e, portanto, o escorregão) de Wallis com os números negativos é incontestável, pois afirma que a razão de um número positivo por um negativo como sendo rationem plusquam infinitam (uma razão maior que infinito).

Texto onde Wallis afirma que um número positivo dividido por outro negativo gera um valor maior que infinito, no Arithmetica Infinitorum.

Levadas ao pé da letra, as duas primeiras assertivas de Wallis também estão incorretas, mas podemos 'suavizar' este contexto através de uma analogia rudimentar: se tivermos uma fração onde o numerador seja o número 1 e o denominador seja um número muito grande, o resultado será algo muito pequeno (representado na figura abaixo pelo rato); reciprocamente, uma fração onde o numerador seja o número 1 e o denominador seja um número muito pequeno (um número em notação decimal próximo de zero), o resultado será algo muito grande (representado na figura pelo elefante):

Outro matemático, contemporâneo de Wallis, que não se livrou de tomar um escorregão dos números negativos foi o francês Antoine Arnauld.

Antoine Arnauld

Em sua obra Nouveaux éléments de géométrie, de 1.667, ele inclui um exemplo de regras simbólicas que considera como estando contra nossas intuições básicas sobre magnitudes e proporções. Seu raciocínio é o seguinte: suponha que temos dois números, um maior e outro menor (por exemplo, 5 e 2) e se estabeleça entre eles duas razões: 5/2 e 2/5. A proporção do maior para o menor (5/2) é evidentemente maior que a proporção do menor para o maior (2/5). Em seguida, ele sugere substituir o 5 e o 2 respectivamente por 1 e por −1, resultando em duas novas razões: 1/−1 e −1/1. Se a proporção anterior é válida, então a proporção entre as duas novas razões também deve ser, ou seja, conclui-se que 1/−1 é maior que −1/1, o que vai contra as regras da álgebra. Este embate no século XVII entre o pensamento simbólico (algébrico) e a teoria clássica das proporções, herdada da geometria grega, mostrou-se problemática. A proposição de Arnauld mereceu até mesmo uma análise do gigante da matemática, o alemão Gottfried Leibniz, quando discute o problema em um artigo na obra Acta Eruditorum, de 1.712.

Gottfried Leibniz

Nesse artigo, Leibniz reconhece o problema de Arnauld como legítimo, mas estabelece que a divisão devesse ser executada segundo as regras do cálculo simbólico. Além disso, ao aplicar cegamente as regras de sinais, igualmente não haveria nenhum problema: ao dividir um número positivo por outro negativo o resultado será negativo, e ao dividir um número negativo por outro positivo, o resultado também será negativo. Portanto, as razões 1/−1 e −1/1 são rigorosamente iguais.

Resposta de Leibniz a Arnauld no Acta Eruditorum, de 1.712.

Outro gigante da matemática que também tinha pleno controle dos números negativos e seus usos foi o inglês Isaac Newton. Em sua obra Universal Arithmetick, de 1.707, estabelece:

Quantidades são tanto Afirmativas, ou maiores que nada, quanto Negativas, ou menores que nada. Desse modo, nos afazeres humanos, posses ou estoque podem ser chamados bens afirmativos, e os débitos de negativos. Assim também no movimento local, progressão será chamada movimento afirmativo e regressão de movimento, negativo; porque o primeiro aumenta e o segundo diminui o comprimento do caminho percorrido. E ainda assim do mesmo modo na geometria, se uma linha desenhada em certo sentido for contada como afirmativa, então uma linha desenhada no sentido contrário será tomada como negativa.

Isaac Newton

Um dos últimos grandes matemáticos a se indispor com os números negativos foi o inglês Augustus De Morgan. Por exemplo, na enciclopédia Penny de 1.843, à qual contribuiu com muitos artigos, De Morgan escreveu o seguinte no artigo Negative and Impossible Quantities (Quantidades Negativas e Impossíveis):

Não é nossa intenção seguir os primeiros algebristas através de seus diferentes usos dos números negativos. Essas criações da álgebra retinham sua existência, diante da óbvia deficiência da explicação racional que caracterizava cada esforço de sua teoria.

Augustus De Morgan

Esse matemático passou grande parte de sua vida mostrando, numa primeira fase, quantas equações com esses 'números negativos sem importância' poderiam ser reelaboradas para afirmar fatos verídicos envolvendo apenas números positivos e, numa segunda fase, trabalhando lentamente para a definição de anéis e campos abstratos (conceitos da teoria dos conjuntos na álgebra moderna), idéias essas que ele sentia ser a única maneira de construir uma teoria totalmente satisfatória de números negativos. Tenham sido considerados absurdos ou sem sentido, ou apreciados como entes matemáticos como quaisquer outros, a verdade é que atualmente começamos a estudar os números negativos desde a tenra juventude e sem maiores constrangimentos, ou usando a reta numérica de John Wallis ou trabalhando com jogos de créditos e débitos na comercialização de mercadorias utilizando dinheiro 'de brincadeira' à moda de Fibonacci ou por meio de outros recursos pedagógicos. E uma vez que a história dos números negativos nos foi apresentada, iremos ao encontro de outro assunto instigante: o infinito e seus desdobramentos na matemática.