Cálculos en mapas topográficos

Mediciones rudimentarias en investigaciones de campo: área de las geociencias

2020-04-11T20:47:00.001-07:00

MEDICIONES RUDIMENTARIAS EN INVESTIGACIONES DE CAMPO, ÁREA DE LAS GEOCIENCIAS

Por: Jesús E. Santiago ©

INTRODUCCIÓN

Las mediciones rudimentarias, es decir, aquellas que adolecen de cierto margen de error porque no son realizadas con herramientas sofisticadas, son de suma importancia en los estudios de campo relacionados con las geociencias o ciencias de la tierra (geología, geomorfología, hidrología, edafología, etc.), debido a que le dan cierto grado de objetividad a los análisis recabados, de particular interés en aquellos casos de localidades recónditas de escasa información.

Por otra parte, no siempre el científico o geocientista posee en sus manos aparatos o herramientas de alta tecnología que le permitan salvar distintos escollos, de allí que las mediciones elementales le permiten cuantificar, aunque con algún margen de error, distintas variables con la finalidad de no caer en lo que los investigadores denominan juicios de valor o afirmaciones meramente cualitativas y/o subjetivas. Por ejemplo, no es lo mismo decir: “la colina mide 15 m de altura” que en su lugar se diga: “se trata de una colina baja”, puesto que con la primera frase se obtiene una idea más precisa.

En los tiempos modernos la existencia de aparatos elaborados con tecnología de punta, buena parte de ellos livianos, de fácil transportación, quizá lleve a muchos investigadores a dejar de lado las mediciones que bien puedan realizarse de forma rudimentaria o elemental, remitiéndose solo a determinar algunos parámetros, pero dejando escapar ciertas informaciones que le pudieran enriquecer los análisis descriptivos de las zonas investigadas.

Algunos geocientistas como geólogos, geógrafos y edafólogos pueden contar en sus mochilas con instrumentos básicos como: cinta métrica, cuentapasos y brújula, incluso con una cámara fotográfica, con los cuales pueden determinar múltiples mediciones de gran utilidad en los estudios involucrados. De ahí que el objetivo del presente escrito es dar a conocer algunos métodos de medición simples y sencillos en los trabajos in situ, particularmente en las áreas de geomorfología, geología y un tanto en la edafología e hidrología.

DETERMINACIÓN DE LA ALTURA O DEL ESPESOR

Para el caso de la determinación de la altura, por ejemplo, de una roca o de una aglomeración de rocas (tors) que esté expuesta en el horizonte, uno de los métodos más sencillos es trepar el afloramiento y, una vez que alcancemos la cima, lanzamos hacia el fondo una roca u otro objeto atado al extremo de una cuerda, tensamos y hacemos un nudo justo donde esté la cima. Posteriormente medimos la longitud de la cuerda que se tendió desde el tope a la base. Esto podría funcionar en afloramientos de poca altura, aunque uno de los problemas aquí podría ser la irregularidad del talud, que podría dar lugar a una medición imprecisa.

El mismo método también podría funcionar sobre un escarpe o acantilado de configuración vertical.

Un método más fácil, considerando que hoy en día la mayoría de los teléfonos móviles cuentan con cámara digital, es tomar una fotografía colocando en la base de la elevación una persona de pie y erguida, para luego establecer una relación (regla de tres) tomando en cuenta la estatura de la persona fotografiada y la distancia vertical (DV) medida en la foto con una regla (Figura 1).

Figura 1. La estimación de la altura (incluso del ancho) de este afloramiento puede calcularse tomando en cuenta la estatura de la persona en la imagen. Si la persona mide en la foto 1,7 cm y sabemos que su tamaño real es de 1,80 m, medimos con la regla la DV de la roca, que en nuestro caso es 6,8 cm; entonces, haciendo una regla de tres simple se tiene que la DV = 7,20 m.

En caso de que no se cuente con una persona que ayude en la tarea, otro método puede ser medir la distancia horizontal (DH) desde el punto de ubicación del observador hasta la base de dicha elevación. Esto puede hacerse con la ayuda de una cinta métrica o con una cuerda, como se explicó al principio, a diferencia que acá la distancia es en la horizontal. También puede echarse mano del instrumento conocido como cuentapasos. En caso de no tenerse el cuentapasos, el investigador deberá contar en voz alta sus pasos teniendo cuidado de no distraerse. Para ello deberá poseer, previa práctica, un valor promedio de sus pasos. Una persona de mediana estatura puede poseer pasos de unos 0,70 m en promedio. Si, por ejemplo, llega a contar 100 pasos desde su punto de observación, eso significa que la distancia horizontal es de 70 m (Figura 2).

Figura 2. En este gráfico hay implícitas varias maneras de medir la altura de un afloramiento rocoso: Una de ellas es, si la persona en la imagen mide con un clinómetro el ángulo que existe entre el horizonte y el punto más alto del relieve, tendrá que medir también la distancia entre sus pies y la base (b b') para así poder usar la fórmula de la tangente. No hay que dejar de lado que la altura obtenida es solo desde la altura de los ojos del observador (a b), por lo que a lo último debe sumarse la estatura restante (b c). El otro modo para calcular la DV es similar al de la Figura 1. Además puede dibujarse un triángulo como el trazado en rojo (a c c'), y medir los lados con la regla. Si no, aunque es más largo, puede usarse el teorema de Pitágoras.

Ahora bien, una vez obtenida la DH, se procede a calcular la DV mediante la fórmula de la tangente:

Tan ά = Cat Opuesto / Cat Adyacente

En nuestro caso, como el cateto opuesto es la DV y el cateto adyacente es la DH, entonces:

DV = Tang ά . DH

Pero según la fórmula debemos hallar también el valor del ángulo ά. Para ello, lo más lógico es utilizar el clinómetro que viene incorporado en las brújulas de geólogos (marca Brunton) o en las brújulas menos complejas (marca Suunto o Silva). (Figura 3).

Figura 3. A la izquierda de la imagen se observa una brújula de espejo marca Suunto con clinómetro incorporado, el cual consta de una aguja oscura con punta de lanza. Mientras que en el lado derecho se observa exclusivamente un clinómetro de la misma marca.

En caso de que el investigador no cuente con el clinómetro, puede elaborarlo de forma casera, utilizando un transportador al que se le adhiere un hilo que sujeta una plomada, tal como se muestra en la Figura 4. Pero debe tenerse cuidado con la graduación de este instrumento para no confundirse. Otra método es dibujar sobre un cartón el arco del transportador calcando las graduaciones con una punta fina de grafito, y adhiriendo con cinta pegante o con un chinche el cordel. De plomada puede servir un tornillo o una tuerca.

Figura 4. Clinómetro casero hecho con un transportador y materiales sencillos. La letra M significa “mira”; es decir que a lo largo de esa línea deberá apuntarse la mirada. La posición del hilo da la lectura en grados. En este ejemplo, en el punto donde están los 90° corresponderá al 0°. La pendiente que está señalando el hilo es igual a 22°.

Es importante señalar que al obtenerse el valor de la DV es necesario sumar a ese valor la altura desde los pies hasta los ojos de la persona que hace la medida. Es decir que de la estatura debe omitirse lo correspondiente desde los ojos hasta el tope de la cabeza.

Hoy en día se cuenta con instrumentos hechos con tecnología de punta que permiten determinar las dimensiones de un objeto ubicado a equis distancia sin invertir mayor esfuerzo físico, tales como los distanciómetros láser. Con un dispositivo de esta naturaleza, del tamaño de un teléfono móvil, no es necesario caminar mucho porque lo que se hace es apuntar el rayo y tomar las lecturas correspondientes. La limitante en este caso es el costo de los aparatos, que quizás solo vale la pena comprarlos en circunstancias en que el trabajo de las mediciones sea de cierta magnitud o signifique rentabilidad para el técnico. Otros de tales instrumentos sofisticados pueden ser los altímetros de precisión o los mismos GPS.

Por otra parte es bueno saber cómo se mide el espesor de capas visibles, por ejemplo, si sobre un escarpe divisamos una secuencia sedimentaria con diferentes litologías como: arcillas, arenas, gravas, conglomerados y turberas; en consecuencia, de contar con alguien que nos ayude, lo podemos colocar erguido frente a dicha secuencia; se toma la fotografía y se aplica el método anteriormente descrito (utilizando la estatura del ayudante). Todo lo cual puede ser útil en taludes de difícil acceso.

Si se trata de una secuencia cuyos estratos tengan una fuerte inclinación (o buzamiento) y si no contamos con el ayudante, no es mala idea fotografiar el corte colocando una vara de longitud conocida a manera de escala. A la vez, si se logra que la foto se tome lo más horizontal posible, sobre la misma, con la ayuda de un transportador se pueden medir las inclinaciones de los estratos (Figura 5).

Figura 5. Igual que en la Figura 1, la estatura de una persona puede ser útil para calcular el espesor de estratos individuales, tan solo que la línea del espesor, en este ejemplo, debe colocarse perpendicular a los planos de estratificación, como se indica en el segmento AA’. Sobre una foto con una situación similar se nos hace fácil, además, medir con un transportador el ángulo de buzamiento de las capas.

De hecho, en los trabajos geológicos en muchas fotografías sobre fenómenos de campo se observan personas u objetos que sirven de escala o nos dan una idea acerca de las dimensiones. Dentro de esos objetos se encuentran: lapiceros, gafas, martillos, sombreros, etc. En otras circunstancias los autores dejan que el lector se guíe gracias a que en el paisaje aparecen cosas como árboles y viviendas.

MEDICIÓN DE LA PENDIENTE CON UN CLINÓMETRO

La pendiente no es más que el grado de inclinación de las vertientes. Se puede expresar de distintas maneras, una de las más comunes es en grados sexagesimales; también puede expresarse en porcentaje y en relaciones entre unidades como m/km y pies/milla. Los ingenieros civiles muchas veces hablan, por ejemplo, en términos como: 1Vertical/2Horizontal, que es lo mismo que ½.

Como antes se indicó, las brújulas más sofisticadas traen incorporado un clinómetro, el cual da valores fundamentalmente en grados; pero también existen en el mercado los clinómetros por sí solos. Veamos entonces cómo se hace para medir la pendiente sobre el terreno utilizando cualquier tipo de clinómetro.

Lo ideal es que participen dos personas, en caso de que las dos sean de estaturas distintas, la que se encargue de tomar la medida, persona A (operador), deberá apuntar a un punto de la persona B, teniendo cuidado que dicho punto tenga la misma altura de los ojos del operador. Para ello será necesario hacer una marca en el cuerpo de B; si no, lo más conveniente es que ambas sean de la misma estatura. En caso de que el investigador se encuentre en solitario podría optarse por una marca en un árbol; si no, podría utilizar una vara con una marca que esté a la altura de los ojos (Figura 6).

Figura 6. Medición de la pendiente entre dos personas con la misma estatura. De no contarse con la ayuda de otra persona pudiera colocarse una marca en el tronco de un árbol.

La medición de pendientes se hace en sentido perpendicular al declive; dicho de otra manera, perpendicular a las curvas de nivel. Con el clinómetro casero se obtienen solo valores en grados que a su vez se pueden convertir en porcentajes. Por ejemplo, si en determinada vertiente se obtiene un valor de 45°, luego:

P = (Tang 45°). 100 = 100%

El resultado significa que por cada 100 m que se avance en sentido horizontal se subirán igualmente 100 m, en caso de que alguien vaya subiendo. La explicación sobre el cálculo y utilidad de las pendientes puede estudiarse con más detalle en otra entrada del presente blog (“Cálculos elementales en planos topográficos”).

MIDIENDO LAS PENDIENTES A LO LARGO DE UNA VERTIENTE

Muchas elevaciones, bien sea colinas, lomas, cerros o montañas, poseen vertientes irregulares, unas más irregulares que otras. Supongamos un ejemplo donde la irregularidad del perfil no sea tan acusada. Se procede de la siguiente forma: Si se avanza subiendo por la vertiente, lo más conveniente es medir cuando haya cambios en la inclinación. Al mismo tiempo es necesario tomar nota de las distancias recorridas con la ayuda de un cuentapasos o con una cuerda; eso sería medir la longitud de la vertiente (Figura 7). A lo último, cuando se tengan todas las medidas se saca un promedio representativo de esa faceta del relieve. Algunas veces los valores que se obtienen in situ varían un tanto de los que se calculan indirectamente sobre un mapa topográfico. En estos casos optamos por preferir lo que detectamos en el mundo real.

Figura 7. Para medir las pendientes a lo largo de una vertiente, lo ideal (en caso de que se avance subiendo) es tomar la medida en aquellos planos donde ocurran cambios de inclinación; a la vez es necesario ir tomando nota de las distancias recorridas.

Si logramos recorrer el relieve desde el tope hasta la base, estaremos en capacidad entonces de hallar el desnivel o altura del mismo, dibujando el perfil sobre un papel milimetrado, con la ayuda de un transportador, según la distancia recorrida y los valores de las pendientes. Luego, determinamos la DV a lo largo de la línea vertical que se intercepta con el tope del relieve. También puede trazarse una línea recta entre el punto más alto hasta la base (comienzo de la vertiente), a modo de la hipotenusa de un triángulo, con el fin de utilizar la fórmula del seno para calcular dicha DV. No necesariamente el valor del ángulo obtenido con esta fórmula tiene que coincidir con la pendiente promedio.

ESTIMANDO LA EROSIÓN A TRAVÉS DE PIRÁMIDES DE TIERRA

En muchas vertientes afectadas por deforestación es común observar la formación de pirámides de tierra, denominadas también pedestales de tierra. Constan de una corona de roca o material duro que descansa sobre una columna de materiales sueltos o no consolidados como arena o limo. Se forman gracias a la salpicadura de las gotas de lluvia que remueven solo los materiales alrededor del fragmento duro, mientras los que están por debajo quedan protegidos y desarrollan un pedestal que puede medir desde unos centímetros hasta varios metros de altura.

Figura 8. Corte esquemático mostrando la estructura y configuración de un grupo de pirámides de tierra.

Para el estudio de la erosión o pérdida de suelo, un campo de pirámides de tierra puede ser útil a la hora de estimar el promedio de la profundidad o espesor de suelo perdido o inclusive, dicha información puede conllevar al cálculo del volumen de materiales perdidos. Para tal tarea debemos primeramente medir la altura de cada pedestal, por debajo del sombrero de roca. De haber miles de pedestales nos remitimos a hacer solo un muestreo representativo. Una vez que se obtenga dicho promedio lo multiplicamos por el área afectada por la erosión. La fórmula correspondiente será:

PS = A . e

Donde:

PS: Pérdida de suelo expresada en metros cúbicos.

A: Área en metros cuadrados.

e: Espesor promedio del suelo perdido.

Este fenómeno de las pirámides de tierra puede ser emulado de forma artificial colocando chapas o tapas de refresco en el terreno. El método está ampliamente descrito en la referencia [1].

ESTIMANDO EL CAUDAL DE UN RÍO

Los cálculos más precisos del caudal de un río se logran por medio de un instrumento llamado correntímetro. Sin embargo, si se trata de un cuerpo de agua pequeño, podemos hacer un estimado de esta variable aplicando un método sencillo y al alcance de todos. Considerando la fórmula, se tiene:

Q = A .v

Donde:

Q: Caudal expresado en m³/seg.

A: Área de la sección del río en m².

V: Velocidad de la corriente en m/seg.

Para determinar el área de la sección de un río, primeramente, se miden varias profundidades con la ayuda de una varilla (Figura 9).

Figura 9. Método para definir la forma geométrica del corte o sección de un río pequeño (en azul oscuro), utilizando una varilla para medir distintas profundidades. Los datos recabados deben llevarse luego a un papel milimetrado con el fin de hallar el área.

Los datos colectados se plasman en un papel milimetrado para determinar la superficie de la forma geométrica de dicha sección (revisar en la entrada sobre cálculos elementales los distintos métodos para hallar áreas). Posteriormente, la velocidad de la corriente se estima colocando cualquier flotador liviano en el centro del río; por ejemplo, se elige un tramo de unos 5 m del río. Al momento de soltar el flotador, se activa el cronómetro; el mismo se detiene una vez que dicho objeto alcance justo la marca de los 5 m de distancia. Si, por ejemplo, se mide un tiempo de 10 seg, la velocidad aproximada de la corriente será:

V = 5 m / 10 seg; V = 0,5 m/seg

Supongamos que el área de la sección dio un valor de 0,75 m², entonces:

Q = 0,75 m² . 0,5 m/seg

Q = 1,5 m³/seg

Por supuesto que este será un valor para un momento determinado, ya que los caudales varían según la época del año y según el comportamiento de las lluvias. La importancia de conocer los caudales de los ríos, según los distintos campos del quehacer humano, se explica en la referencia [1].

LA MEDICIÓN DEL RETROCESO DE ESCARPES

Se puede medir el avance de la erosión con relativa facilidad en aquellos escarpes inestables susceptibles de retroceder en las épocas o tiempos lluviosos. El método recomendado es bastante simple, y consiste en colocar marcas como estacas o varas metálicas numeradas y registradas sus distancias hasta el borde del escarpe. El investigador deberá estar atento entonces en visitar la zona de estudio cada vez que haya finalizado un aguacero, por lo cual, tendrá que medir nuevamente las distancias desde las marcas hasta el borde, tal como se observa en la Figura 10.

Figura 10. La colocación de estacas numeradas cerca de un escarpe activo puede resultar un método excelente para monitorear el retroceso. Nótese que detrás de cada marca puede haber otra de refuerzo. Las distancias de cada una de las marcas deben quedar registradas desde el inicio de la investigación.

Este método es de gran utilidad para dilucidar el ritmo de crecimiento de sistemas de cárcavas. Para saber más detalles al respecto se recomienda revisar la referencia [2].

MEDICIÓN DE MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS

Un truco sencillo para determinar la velocidad de partículas de arena o grava, por ejemplo, al borde de una playa a través del proceso conocido como deriva, puede llevarse a cabo tiñendo un puñado o una muestra de las mismas utilizando colores contrastantes que no se confundan con su color natural. Por ejemplo, en caso de que las arenas sean muy claras será preciso teñirlas de negro o de rojo; para eso es menester usar tintes o pinturas que no agreguen mayor tamaño o peso a dichas partículas. La idea es colocarlas en algún punto y desde allí se va midiendo tanto la distancia como el tiempo.

Algo similar puede hacerse en el caso de sitios afectados por erosión eólica, como son los campos de dunas, donde podría hacerse un estudio comparativo acerca de cuáles posiciones favorecen o no el traslado de las partículas, por ejemplo, cuando trepan por una vertiente o cuando simplemente avanzan por pendientes suaves.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si se usa un altímetro de precisión y se mide en el tope de un cerro una altitud de 1073 m, y en la base del mismo una altitud de 985 m; ¿cuál será la altura o DV de dicho relieve?

2. Si usted mide en el terreno la longitud de una vertiente rectilínea y obtiene un valor de 809 m, entre la base y la cima, y determina con la ayuda de un altímetro una DV de 203 m, ¿cuál será entonces la DH entre los extremos recorridos?

3. Si se toma una foto y se tiene un acantilado cuya altura en la imagen es de 8,5 cm; y en la base se observa una casa de 0,5 cm de altura, ¿cuál será la DV de ese relieve sabiendo que la altura real de la casa es de 3,2 m?

4. Si se observa caer un rayo en el tope de una loma y se detecta que el sonido del relámpago llega a los oídos en un tiempo de 5 seg. ¿Cuál será la DV de ese relieve si el observador mide desde su posición un ángulo de 22° con respecto a la cima?

5. Imprimir la Figura 7 y medir con el transportador cada una de las pendientes señaladas en la vertiente; convertir las pendientes en valores porcentuales (%) y sacar un promedio.

6. Imprimir la Figura 9 y hallar el área (m²) de la sección del río mediante el método de la cuadrícula considerando que el ancho del río es de 1,65 m.

7. Utilizando el resultado anterior, se pide hallar el caudal de ese río sabiendo que allí un flotador recorrió una distancia de 10 m en un lapso de 30 seg.

8. Si se determina que el espesor promedio de un campo de pirámides de tierra es de 4,5 cm, sobre un área de 2500 m², calcular el volumen de suelo perdido (m³).

9. Para el resultado anterior, si la densidad del suelo es de 900 gr/litro, calcular la pérdida de suelo expresada en kg y en toneladas.

Para aclarar dudas al respecto, escriba a: enrisanti9@gmail.com

REFERENCIAS

[1] Santiago, J. 2010. Escorrentía y erosión del suelo. Disponible en: escorrentiayerosion.blogspot.com

[2] Santiago, J. 2007. Metodología de campo aplicada al monitoreo de cárcavas. Disponible en: www.monografias.com

Cálculos elementales en mapas topográficos

2010-04-07T17:31:00.000-07:00

INTRODUCCIÓN

El objetivo de la presente guía es que los iniciados en el manejo de planos, especialmente, planos topográficos, adquieran algunos conocimientos prácticos en cuanto al cálculo de parámetros como: escala, distancias, áreas, volúmenes, altimetría y pendientes. En los tiempos modernos existen programas que se encargan de realizar de forma precisa las tareas que antes se hacían de forma manual, con la ventaja de que el error es más pequeño; sin embargo, el aprender a manejar planos topográficos de manera rudimentaria no puede considerarse una tarea obsoleta, ya que el usuario no siempre cuenta con los medios (hardware y software) para llevar a cabo cálculos o gráficos. Además, no todo el mundo se encuentra entrenado en cuanto al manejo de dichos medios. Y otra cosa muy importante es que, todo técnico que necesite hacer investigaciones de campo, como en el caso de las geociencias, debe saber manejar un mapa de forma obligada; pues, de lo contrario, no tendrá idea de donde se encuentra ni de cuánto ni hacia dónde tiene qué moverse. Por lo tanto, los mapas impresos son más fáciles de manipular mientras se recorre una zona en estudio. Es de agregar que no es justo que el destino de los cálculos en planos sea tarea exclusiva de las computadoras, puesto que entonces estaremos pecando más por ignorantes que por sabios.

LA ESCALA

Es una relación cuantitativa entre una dimensión en el plano y una dimensión en el terreno. Es decir, por ejemplo, una distancia entre dos puntos en el plano será equivalente a una dimensión entre los dos mismos puntos marcados en el terreno.

DIMENSIÓN X (plano) = DIMENSIÓN Y (terreno)

La dimensión en el plano estará sujeta a un margen de error, puesto que se trata de un dibujo, de una representación aproximada; mientras que la dimensión equivalente en el terreno pertenece al mundo real, y es la que posee las medidas exactas.

La escala en el plano se divide en dos tipos: numérica y gráfica. La primera, como su nombre lo dice, se representa mediante números, por ejemplo:

1:10.000 significa que 1 cm en el plano equivalen en el terreno a 10.000 cm; o lo que es lo mismo, a 100 m lineales. Para este ejemplo de escala, a la hora de hacer cálculos de distancias la relación a utilizar es: 1cm = 100 m.

El ejemplo anterior puede considerarse como una escala grande, puesto que 1:10.000 es lo mismo que una fracción: 1/10.000. Vale decir que a la escala numérica también se le conoce como “escala fraccional”. Mientras que un ejemplo de escala pequeña puede ser: 1:1.000.000, lo que significa que 1 cm en el plano son en el terreno 1.000.000 cm. Se siguen quitando ceros para hacer más cómoda la relación final: Luego, 1 cm = 10.000 m, y, por último: 1 cm = 10 km.

Problema 1: Sea un mapa a escala 1:20.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 4 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.

Datos:

Escala: 1:20.000

Dist. AB (mapa) = 4 cm

Dist. AB (terreno) = ?

Solución:

Transformación de la escala: 1 cm = 20.000 cm; 1 cm = 200 m

Luego, 1 cm ------- 200 m

4 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 800 m

Problema 2: Sea un mapa a escala 1:10.000.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 2 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.

Datos:

Escala: 1:10.000.000

Dist. AB (mapa) = 2 cm

Dist. AB (terreno) = ?

Solución:

Transformación de la escala: 1 cm = 10.000.000 cm; 1 cm = 100.000 m; 1 cm = 100 km

Luego, 1 cm ------- 100 km

2 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 200 km

Problema 3: Se tiene un mapa donde la distancia entre dos puntos AB, medida con la regla, es de 10 cm; y se sabe que la distancia en el terreno entre esos dos puntos es de 20 km. ¿Cuál es la escala numérica?

Datos:

Dist. AB (plano) = 10 cm

Dist. AB (terreno) = 20 km

Escala numérica = ?

Solución:

10 cm ---------- 20 km

1 cm --------- X

X = 2 km; lo que equivale a 2.000 m; que es igual a 200.000 cm

Resultado: La escala numérica es 1:200.000

Los mapas suelen llevar únicamente la escala gráfica, pero una gran cantidad de veces llevan consigo la escala numérica. Si se tiene solamente la escala numérica se puede, a partir de esta, dibujar la escala gráfica, y viceversa, se puede con la gráfica hallar la numérica; así, por ejemplo, para el resultado del problema 3, se traza con la regla una línea de 4 cm; se marcan pequeños trazos perpendiculares a equidistancias de 1 cm, donde se va acumulando el valor de la relación; es decir, en el extremo izquierdo de la línea se coloca cero, en el primer cm se coloca 2, en el segundo cm 4, y así sucesivamente. No hay que olvidar de anotar las unidades que se están manejando, en este ejemplo son km. (Fig. 1).

Figura 1. Algunos ejemplos de representación de la escala gráfica.

Una cosa es medir la distancia a lo largo de una recta y otra es medirla a lo largo de una línea curva. En un mapa hay elementos que se ajustan a líneas curvas como: ríos, carreteras, divisorias de cuencas, lineamientos geomorfológicos, límites territoriales, etc. Para medir la longitud de una línea curva sobre un mapa se utilizan métodos simples, como lo es: 1) Colocar un hilo sobre la forma de la línea; 2) estirar el hilo y medir con la regla; y 3) llevar la longitud obtenida (en centímetros) a la escala del mapa, para de esa manera obtener la distancia en el terreno.

Otro método similar es ir extendiendo el borde de una hoja a lo largo de la línea irregular, a la vez que se va marcando con un lápiz. El método más rápido y sofisticado consiste en usar un curvímetro (Fig. 2); éste es un instrumento que posee una rueda que se arrastra sobre la línea; la lectura obtenida en el reloj corresponderá a la distancia en el terreno. Sin embargo, lo más barato es usar un hilo o el borde de una hoja (se recomienda no usar cabellos, cadenas, cordones de zapatos o cualesquier material inestable o difícil de manipular).

Figura 2. Ejemplo de un curvímetro. Obsérvese la ruedita de la punta y el reloj de lectura. Los hay también con reloj digital.

MEDICIÓN DE ÁREAS

Es muy corriente el cálculo de áreas o superficies en ciencias de la tierra o cualesquier disciplina que necesite de planos. Las unidades que más se utilizan son las siguientes: m², hectáreas (1 ha = 10.000 m²) y km². Los anglosajones utilizan: pies², yardas² y millas². En nuestros países es muy común la utilización de las hectáreas, por ejemplo, a la hora de expresar la extensión de propiedades. Cuando se trata de regiones grandes, se utilizan los km² (1 km² = 1.000.000 m² = 100 ha). La medición de áreas depende de la figura geométrica que se tenga representada en el plano. Si se trata de figuras bien definidas, para ello existen las fórmulas correspondientes (Fig. 3).

Figura 3. Las figuras geométricas más comunes junto a las fórmulas de cálculo de sus áreas o superficies.

Problema 4. Si se tiene un mapa a escala 1:25.000, donde aparece dibujado un rectángulo de 2 cm de altura por 4 cm de base, ¿cuál es el área en el terreno expresada en ha?

Datos:

Escala 1:25.000

h = 2 cm

b = 4 cm

Área en el terreno = ?

Solución:

Transformar la escala: 1:25.000 = 1 cm en el plano = 250 m en el terreno, entonces:

La altura en el terreno = 500 m

La base en el terreno = 1.000 m

Luego A (terreno) = 500 m . 1.000 m = 500.000 m²

Llevando a ha: 1 ha -------- 10.000 m²

X -------- 500.000 m²

Resultado: Area = 50 ha

Otra manera de hallar el mismo resultado: Se multiplica en el mapa 2 cm x 4 cm = 8 cm²; luego hay que llevar la relación lineal a una relación de superficies; es decir: 1 cm en el plano es en el terreno 250 m; pero, elevando esto al cuadrado, se tiene: 1 cm² = 62.500 m². Entonces:

1 cm² --------- 62.500 m².

8 cm² --------- X

Resultado: 500.000 m², equivalentes a 50 ha.

Se recomienda, a la hora de hacer mediciones con la regla, que la vista sea colocada (cerrando un ojo) en línea perpendicular a la graduación de la regla, ya que si se mira de lado pueden generarse hasta 2 mm de error. Para determinar la altura de un triángulo escaleno es necesario utilizar dos escuadras o una regla y una escuadra; la regla se coloca sobre la línea base, mientras que la escuadra se mueve sobre la regla para así poder trazar una línea perpendicular (h) hacia el vértice de arriba. Si la altura se traza a ojo puede quedar inclinada generando cierto margen de error. Es bueno realizar estas medidas de la mejor manera posible, ya que para el caso del valor de la tierra por cada m² o por cada ha, los vendedores no se pueden dar el lujo de perder dinero por cálculos defectuosos, y los compradores tampoco deben estar dispuestos a comprar una superficie más pequeña que la que le están ofertando.

Otro método para calcular áreas es el de las coordanadas de los vértices de una poligonal de lados rectos. Se usa sobretodo en aquellos casos en que hay exceso de puntos.

Cuando aparezca en el mapa una zona irregular, en algunos casos puede ajustarse la forma de la figura geométrica que mejor se parezca, bajo el riesgo de error tanto por exceso como por defecto. Sin embargo, existe un método sencillo que permite superar el problema: se le conoce como el método de la cuadrícula. Para ello es preciso colocar sobre el mapa una hoja de papel milimetrado transparente (Fig. 4), y se procede a marcar los puntos que caen adentro y aquellos que caen justo en el borde de la zona que se está midiendo. Es recomendable marcar los puntos de adentro de una forma distinta a los puntos de la orilla para no confundirlos. Luego, se cuentan los puntos de adentro y aparte se cuentan los de la orilla. El total de puntos de la orilla se dividen entre 2 y se le suman a los puntos que caen adentro. El total general será el área aproximada en cm²; es decir, el área en el papel. La regla es:

EL NÚMERO DE PUNTOS ± = NÚMERO DE Cm²

Figura 4. Colocación de una cuadrícula sobre una zona irregular y marcaje de los puntos de adentro y del borde.

Pero el objetivo es calcular el área en el terreno. Para ello será necesario entonces utilizar la escala del mapa, tal como sucede en el ejemplo siguiente.

Problema 5: Calcular el área (ha) de la zona irregular representada en la Fig. 4.

Solución:

Al superponer un papel milimetrado transparente, se procede a marcar las esquinas de los cm². Los puntos contados son:

Adentro = 23

Borde = 4/2 = 2

Total = 25 cm²

Luego, como en la escala de la figura se está indicando que cada cuadro posee de lado una distancia de 200 m; eso significa que, 1 cm² = 40.000 m² (aunque si la figura se reduce o se aumenta de tamaño, los cuadros pueden ser diferentes a 1 cm²). Entonces:

1 cm² -------- 40.000 m².

25 cm² ------------ X

Resultado: Area = 1.000.000 m², lo que equivale a 100 ha.

Nota: En caso de que se imprima el mapa es posible que los cuadros no midan de lado 1 cm; lo que no quiere decir que los resultados van a salir malos, pues se obtendrá el mismo resultado..

Es bueno aclarar que el método de la cuadrícula da resultados algo defectuosos. En caso de que el trabajo se haga bien, probablemente el error no supere el 4 o 5%. Para aquellas personas que deseen obtener resultados más precisos, pueden montar el papel milimetrado unas tres veces sobre el mapa y es posible que en las tres veces se obtengan valores ligeramente distintos. En este caso lo más sencillo es sacar un promedio y esa será el área más representativa. También, lo otro que puede hacerse es contar cuadritos de 1/4 de cm; con esto se alarga la tarea, pero se obtienen resultados más aproximados. Inclusive, se pueden contar los milímetros².

El método puede tener otra variante: en vez de contar puntos, se cuentan cuadros completos, medios cuadros y pedacitos de cuadros (estas fracciones de cuadros son las que quedan en el borde). De una manera similar al caso anterior, se debe marcar de maneras distintas los tres grupos; por ejemplo, con una X los cuadros completos; con una M los medios cuadros y con otro símbolo los pedazos más chicos. El asunto es que el que hace el ejercicio tiene que tener cierta habilidad para estimar a ojo las fracciones de los cuadrados, ya que algunos serán la mitad, otros serán cuartos y otros serán menos de un cuarto, lo que significaría el marcaje de unos cuatro grupos de unidades. Y no es de extrañar, en caso de que el trabajo se haga bien, que el resultado sea muy parecido al obtenido mediante el conteo de puntos.

Al igual que en el caso de las distancias en líneas irregulares, existe un instrumento para hallar áreas llamado planímetro, el cual posee un reloj mecánico o digital y un brazo con una mira que se arrastra a lo largo del perímetro de la zona a medir. La limitante en este caso es el precio del instrumento, por lo cual es mejor optar por lo más económico, ya que no todo el tiempo vamos a estar midiendo superficies. Según informaciones de Internet, si se escanea el área a medir, mediante el programa Acrobat, se puede calcular la superficie como si de un planímetro se tratara.

Es de resaltar que para efectos de un examen, el estudiante deberá realizar el ejercicio una sola vez y con un solo método, debido a las limitaciones de tiempo.

EL CÁLCULO DEL VOLUMEN

El volumen se refiere a figuras 3D, con un largo, un ancho y una altura; es decir, ya no se trata de un plano. Pero para ello es fundamental que se sepan calcular las áreas o superficies. Si el área de una zona está mal calculada, también lo estará el volumen. La fórmula para calcular el volumen de una capa superficial, como un suelo arenoso, grava, arena, turbera, etc., es la siguiente:

V = A . e

Donde: V es el volumen expresado en m³ o en km³, dependiendo del caso

A es el área en m² o en km²

e es el espesor en m de una capa superficial o la altura promedio de un relieve elevado

Problema 6: Utilizando el área del problema 5, hallar el volumen de una capa de aluviones cuyo espesor es de 0, 40 m.

Aplicando la fórmula, se tiene:

Vol. = 1.000.000 m² . 0,40 m = 400.000 m³

Este tipo de datos son útiles si deseamos calcular el peso del material geológico, el cual varía dependiendo de su densidad. Si en el ejemplo anterior conocemos que dichos aluviones tienen un peso aproximado de 1,5 ton/ m³, entonces dichos materiales pesarán un total de 600.000 ton. Cuestión de suma importancia en geología aplicada a diversas labores de ingeniería.

Los valores referentes a volumen son muy importantes en prospecciones y explotaciones mineras; por ejemplo, a la hora de estimar la cantidad de oro que pueda existir en algún yacimiento. También para el caso en que se quiera averiguar la cantidad de arena para la construcción en un depósito determinado. (¿Cuántos viajes de camiones volteos se requerirían para agotar el depósito? Esto es clave para diseñar el plan de explotación). Son muy importantes en trabajos de ingeniería civil, donde usualmente participan los geólogos, a la hora de estimar la cantidad de tierra a remover en recortes de terreno, lo que, a su vez, sirve para planificar y realizar un presupuesto previo a la ejecución de costosas labores de la maquinaria pesada. El cálculo del volumen es útil para la descripción y análisis geológico-geomorfológico de una zona determinada, sin que necesariamente existan intereses económicos.

Un ejemplo simple para calcular el volumen de roca que contiene un relieve elevado se ilustra en la Fig. 5. Obsérvese en la Fig. 6 la representación gráfica para el cálculo del volumen de un cono.

Figura 5. Mapa topográfico esquemático con una elevación de forma cónica, la que pudiera tratarse de un volcán.

Figura 6. Dimensiones de un cono asimétrico.

Problema 7: Hallar el volumen del relieve representado en la Fig. 5.

1) Se debe hallar el área de la base. Ya que se aproxima a un círculo, se utiliza la fórmula correspondiente (Fig. 3). Suponiendo que el radio sea de 2 km en el terreno, se tiene:

A = Π . r² ----- > A = 3,1416 . (2.000 m)²

A = 12.566.400 m²

2) La altura no es más que la distancia vertical o la diferencia entre la cota superior y la inferior; o sea:

h = DV = Cot. Sup. – Cot. Inf.

h = 450 m – 100 m = 350 m

La cota superior es un punto estimado ubicado por encima del valor de la curva más alta.

3) Ahora se procede a aplicar la fórmula para calcular el volumen de un cono (por poseer una forma similar); o sea, Vol. Cono = 1/3. Área (base).h. Sustituyendo:

Vol. Cono = 1/3 . 12.566.400 m² . 350 m = 1.466.080.000 m³

Como en 1 km³ hay 1.000.000.000 m³, el resultado también puede expresarse en: Vol. Cono = 1,47 km³

Es de subrayar que no todos los relieves positivos (o elevados), tienen forma cónica, puesto que la topografía terrestre adopta miles de formas geométricas. Para el caso de una elevación con forma oval que sobresalga de la superficie, es posible, como en el caso del cono, aplicar la fórmula para hallarle el volumen a un cuerpo de forma ovalada (en planta, un elipsoide), cuyo resultado al final deberá dividirse entre dos (2), como si se tratara de la mitad de un huevo.

Existen otros métodos sencillos (aunque largos) para el cálculo de volúmenes en elevaciones como colinas, lo cual es aplicable también al cálculo de la capacidad volumétrica de una laguna o de un embalse, tal como se ilustra en la Fig. 7.

Figura 7. Otro método consiste en desglosar el terreno en varios bloques altitudinales, se halla el volumen y luego se hace una sumatoria.

Para calcular el volumen de un relieve o la capacidad de una depresión (o embalse), para el caso del plano de la izquierda (Fig.7), se aplica la siguiente fórmula:

V = (h1 . (A1 + A2)/2) + (h2 . (A2 +A3)/2) + (h3 . (A3 + A4)/2)
Donde:
Para el ejemplo del gráfico, h1 es la diferencia entre las dos curvas; lo que hace suponer que las demás h tendrán un valor de 10 m.
A1 es el área de la curva de 10 m; A2 es el área de la curva de 20 m, y así sucesivamente.

El error para el cálculo de volúmenes suele ser mayor que para el cálculo de áreas, y eso se debe más que todo a la irregularidad del relieve. La idea en todo caso es tener una cantidad aproximada de lo que existe en la naturaleza; lo cual vale mucho más que tener nada en absoluto.

LAS CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel son líneas que unen puntos de igual altitud. La ALTITUD se refiere a la distancia vertical con respecto al nivel del mar, mientras que la altura no es más que una diferencia de cota. Las curvas de nivel numeradas reciben el nombre de índices (o principales), que son las que vienen dibujadas en líneas más gruesas. Estos valores pueden estar expresados en metros y, para el caso de los mapas anglosajones, en pies. A la hora de transformar es bueno tener en cuenta que 1 m = 3,28 pies; o, si no, 1 pie = 0,3048 m.

Las curvas de nivel no numeradas reciben el nombre de secundarias o intermedias. Para calcular el intervalo (I), o la distancia vertical entre una curva y otra se usa la siguiente fórmula:

I = (cota índice superior – cota índice inferior) / Nº de espacios

Las curvas de nivel nos ayudan a comprender la topografía de una región, y nos pueden ayudar a identificar los relieves y las estructuras geológicas. Otra de las ventajas es que nos permiten definir el comportamiento del drenaje y a identificar una serie de relaciones causa-efecto. Los mapas topográficos tienen infinidad de aplicaciones, no solo en el campo de la investigación científica, sino también en planificación territorial e ingeniería como, por ejemplo, en la selección de zonas adecuadas para construir urbanismos, dónde ubicar una represa, cuál es la mejor ruta para una vía, etc.

A través de un mapa altimétrico se puede construir un perfil topográfico, lo que es de suma utilidad a la hora de describir y analizar el relieve y la geología de una región determinada.

En el plano topográfico expuesto en la Fig. 7 puede identificarse lo siguiente: El relieve montañoso se orienta de Este a Oeste. En ambas vertientes, Norte y Sur, discurren dos ríos en direcciones contrarias. Es importante fijarse que por donde pasan los ríos las curvas de nivel se doblan pendiente arriba. Por lo tanto, cuando faltan los ríos, los investigadores pueden tranquilamente completar la red de drenaje. Con respecto a las altitudes, por lo general hay que estimar los valores de los topes; para ello puede utilizarse la mitad del intervalo del mapa, tal como se colocó en el punto A.

Figura 8. Plano topográfico esquemático.

CONSTRUCCIÓN DE UN PERFIL TOPOGRÁFICO

La elaboración de un perfil topográfico es una tarea relativamente fácil, siempre y cuando se sigan una serie de reglas elementales:

1) Elegir en el plano el trazo que permita graficar los rasgos más representativos. Es posible que un mapa geomorfológico vaya acompañado de uno o, de ser necesario, de dos perfiles.

2) El largo de la línea en el mapa tendrá la misma longitud que el eje horizontal del perfil. El eje horizontal debe graduarse adaptando la misma graduación de la escala gráfica del plano.

3) Los ejes verticales se gradúan generalmente con una escala mayor a la escala horizontal, especialmente en aquellos casos en que el relieve acusa muy ligeros desniveles (relieve poco accidentado). Por ejemplo, si un mapa tiene una escala a 1:40.000, el eje vertical del perfil puede llevarse a una escala doble, es decir: 1:20.000. En caso contrario, cuando el relieve presenta fuertes elevaciones, se utiliza una escala vertical igual a la escala horizontal. A esto se le llama “hacer un perfil a escala real”. No hay que olvidar dibujar dos ejes verticales; uno en cada extremo. De igual manera, no debe olvidarse de colocar las unidades que se están manejando en los distintos ejes (m, km, millas, etc.).

4) Para obtener un perfil lo suficientemente fidedigno, lo más recomendable es plotear todos los puntos que atraviesa la línea en el mapa (Nota: no es necesario rayar ni doblar los mapas, ya que se deterioran; en su lugar se coloca el borde de un papel milimetrado opaco y se van marcando los puntos que coincidan con las curvas, al igual que los valores correspondientes). Las líneas del papel milimetrado facilitan el ploteo haciéndolo más rápido y preciso (Fig. 9).

5) A la hora de unir los puntos, no es necesario remarcar la línea resultante, y para efectos de un examen es mejor no utilizar creyones, debido a la dificultad para borrar en caso de errores. Es de recordar que el perfil hecho en el papel milimetrado no es más que un borrador, pues si se trata de un informe técnico es necesario pasarlo en limpio (digitalizarlo e imprimirlo).

Figura 9. Elaboración de un perfil topográfico.

Los perfiles topográficos muchas veces revelan rasgos del relieve que no son fáciles de percibir a simple vista sobre los planos. Los perfiles tienen además diversas aplicaciones útiles, por ejemplo, se hace un perfil a lo largo de una ruta donde se piensa construir una carretera (también puede ser un canal de desagüe), para así percibir los obstáculos que será necesario atravesar para que la obra sea posible (recortes y rellenos), y hacer previamente un estimado del presupuesto. Otro caso de aplicación interesante, es en cuanto al trazado de tendidos eléctricos y tuberías; en este caso, el perfil se dibuja a escala real y se mide con el curvímetro (o con el hilo) el largo de la curva y se determina un largo aproximado del cable o de la tubería a gastar.

Como apoyo en las geociencias, si se tiene información geológica-estructural obtenida a partir del trabajo de campo, por debajo del perfil se pueden colocar las estructuras existentes, obteniéndose así una idea aproximada y, muchas veces, espectacular de los fenómenos estudiados (Fig. 10).

Figura 10. Corte geológico-geomorfológico realizado mediante el apoyo de informaciones del campo.

LA MEDICIÓN DE LA PENDIENTE

La pendiente (o gradiente) de un terreno es el grado de inclinación que este presenta con respecto a la línea horizontal. La pendiente se puede expresar en porcentaje, grados y en m/km. Las fórmulas a utilizar son las siguientes:

P% = (DV/DH) . 100 = %

P% = tan ά .100 (ά = pendiente angular)

DV = Cot. Sup. – Cot. Inf.

P Ang. = arctan (DV/DH) = º ‘ “

P = DV/DH = m/km

Problema 8: Calcular la pendiente (%, º y m/km) entre los puntos DF de la Fig. 6.

Solución:

Utilizando la escala gráfica y midiendo con una regla la distancia en el plano entre DF, el resultado de la distancia horizontal (DH) es igual a 750 m.

Para la distancia vertical se aplica la fórmula: DV = 1.750 m – 1.000 m = 750 m.

Entonces: P% = (750 m/ 750 m) . 100 = 100%

P Ang. = arctan (1) = 45º

P = 750 m/ 0,75 km = 1.000 m/km

Estos resultados se pueden interpretar así: a) por cada 100 m que se avanzan en la horizontal se subirán o se bajarán también 100 m en la vertical. Es de aclarar que la marcha se ejecuta a lo largo de la vertiente (longitud de la vertiente = hipotenusa del triángulo); b) si se dibuja un triángulo graduando con la misma escala los dos catetos, y si se procede a medir con un transportador el arco entre la hipotenusa y la línea horizontal, se obtiene la pendiente angular (o en grados); y c) en un terreno con estas características, por cada km que se avance en la horizontal se subirá o se bajará 1 km en la vertical. La longitud de la vertiente, en caso de que desee obtener un valor aproximado, se puede calcular con la fórmula de Pitágoras:

Hip.² = Cat.Op². + Cat. Ady. ²

También se puede obtener mediante la fórmula del seno:

Sen ά = Cat.Op./ Hip.

Obsérvese la Fig. 11 para comprender gráficamente el problema planteado.

Figura 11. Relaciones entre la longitud de la vertiente (hipotenusa), la distancia vertical (cateto opuesto), la distancia horizontal (cateto adyacente) y la pendiente angular.

La pendiente de un río se mide de una forma distinta a la de una línea recta. La diferencia radica únicamente en que, por tratarse de una línea curva, debe medirse como se explicó en la primera parte, y el resultado obtenido (distancia en el terreno) será la distancia horizontal (DH) que va dentro de las fórmulas.

Problema 9. Hallar la pendiente (m/km) del río principal de la Fig. 11, desde donde nace (altitud de 1.500 m) hasta donde desemboca, conociéndose que la longitud del río en el terreno es igual a 10 km.

Figura 12. Red de drenaje esquemática con algunos puntos altitudinales.

Datos:

DH = 10 km

DV = Cot.Sup. – Cot.Inf. = 1.500 m – 0 m = 1.500 m

Luego: P = 1.500 m / 10 km = 150 m/km

Esto significa que si una canoa desciende por ese río, cada vez que avance 1 km en la horizontal, descenderá 150 m en la vertical.

Los valores de pendientes son útiles como apoyo en diversos cálculos relacionados con hidrología, lo que a su vez es valioso en el estudio sobre el potencial económico de las aguas para el consumo humano, generación de energía y riego. Las pendientes pueden utilizarse también como apoyo en los cálculos de estabilidad de las vertientes. La realización de mapas de pendientes facilita a los planificadores la asignación de los usos de la tierra más apropiados. Por ejemplo, las áreas de bajas pendientes son los más ideales para la construcción de urbanismos; mientras que las áreas de altas pendientes pueden ser destinadas a la protección integral del ambiente.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si en un mapa a escala 1:5.000 la distancia entre AB es de 7,5 cm, ¿cuál será la distancia en el terreno?

2. Imprimir el mapa de la Fig. 8 y calcular la escala numérica.

3. Imprimir el mapa de la Fig. 12, hallar la escala numérica en base a la longitud del río principal (10 km) y construir la escala gráfica (se supone que si se imprime dos veces con dos tamaños distintos, la escala será diferente).

4. Calcular mediante una interpolación, la altitud correspondiente al punto X de la Fig. 12.

5. Hallar el área total (ha y km²) de la zona representada en la Fig. 8.

6. ¿Cuál es el área (ha) de una parcela circular cuyo diámetro en el mapa es de 4,5 cm, siendo la escala 1:10.000?

7. Hallar el área (ha) de una parcela triangular cuyos lados en el mapa miden: A = 2,5 cm, B = 3,5 cm y C = 4 cm. La escala es 1: 80.000.

8. Hallar el área (ha y km²) de la poligonal CDBEC de la Fig. 8.

9. Hallar el volumen de una capa de suelo que tiene un espesor de 33 cm, la cual se ubica en la poligonal CDBEC.

10. Hallar la pendiente (% y º) entre los puntos AB de la Fig. 8. Expresar el resultado en un gráfico donde la escala vertical = escala horizontal, y comprobar con un transportador la pendiente angular.

11. Calcular la longitud de la vertiente (LV) entre los puntos AB de la Fig. 8.

12. Hallar la pendiente (m/km) del río tributario que nace en los 1.400 m y desemboca en el punto X de la Fig. 12.

13. Calcular la longitud de un cable que se planea extender entre los puntos EF de la Fig. 8.

14. Explicar cómo se hallaría el volumen de un cerro con forma de media esfera.