Curiositats Matemàtiques

Saint Lagüe

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Wed, 23 Nov 2011 11:22:00 +0000

La Llei d'Hondt manté la proporció entre vots de partits, això sí, donant una certa prioritat al més fort.

Si el que volem és trencar aquest premi, es pot fer una llei de Saint-Lagüe modificada o no, és a dir, enlloc de dividir per N a cada columna, dividim per aN-1.

Què significa això: El mètode Saint Lagüe agafa a=2, és a dir, divideix per 2N-1, és a dir, per 1, 3, 5, 7, 9, ... (o el que és el mateix a l'hora de seleccionar regidors, 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, ...)

Aquesta forma fa decréixer els nombres més ràpid però començant sempre per un nombre més petit que a, de manera que el partit amb menys vots obté més fàcilment el següent regidor que un partit amb més vots (comparant-ho amb Hondt). Com més gran agafem el valor de a menys exagerat serà l'efecte. (per a=3 seria dividir per 2, 5, 8, ... o, equivalentment, 0,666, 1,6666, 2,6666, ...).

En qualsevol cas, en la competència entre dos partits només hi haurà un escó en joc.

Exemple (10 regidors):
PP - 24 vots
PSOE - 22 vots
IU - 4 vots
UPyD - 3 vots

HONDT: PP 5, PSOE 5

Hondt
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00	6,00
PP	24 vots	24,00	12,00	8,00	6,00	4,80	4,00
PSOE	22 vots	22,00	11,00	7,33	5,50	4,40	3,67
IU	4 vots	4,00	2,00	1,33	1,00	0,80	0,67
UPyD	3 vots	3,00	1,50	1,00	0,75	0,60	0,50

Saint-Lagüe (a=2): PP 4, PSOE 4, IU 1, UPyD 1.

Saint-Lagüe
a =	2
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
PP	24 vots	48,00	16,00	9,60	6,86	5,33	4,36
PSOE	22 vots	44,00	14,67	8,80	6,29	4,89	4,00
IU	4 vots	8,00	2,67	1,60	1,14	0,89	0,73
UPyD	3 vots	6,00	2,00	1,20	0,86	0,67	0,55

Saint-Lagüe (a=3...8): PP 5, PSOE 4, IU 1

Saint-Lagüe
a =	3
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,67	1,67	2,67	3,67	4,67	5,67
PP	24 vots	36,00	14,40	9,00	6,55	5,14	4,24
PSOE	22 vots	33,00	13,20	8,25	6,00	4,71	3,88
IU	4 vots	6,00	2,40	1,50	1,09	0,86	0,71
UPyD	3 vots	4,50	1,80	1,13	0,82	0,64	0,53

Saint-Lagüe
a =	4
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,75	1,75	2,75	3,75	4,75	5,75
PP	24 vots	32,00	13,71	8,73	6,40	5,05	4,17
PSOE	22 vots	29,33	12,57	8,00	5,87	4,63	3,83
IU	4 vots	5,33	2,29	1,45	1,07	0,84	0,70
UPyD	3 vots	4,00	1,71	1,09	0,80	0,63	0,52

Saint-Lagüe
a =	5
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,80	1,80	2,80	3,80	4,80	5,80
PP	24 vots	30,00	13,33	8,57	6,32	5,00	4,14
PSOE	22 vots	27,50	12,22	7,86	5,79	4,58	3,79
IU	4 vots	5,00	2,22	1,43	1,05	0,83	0,69
UPyD	3 vots	3,75	1,67	1,07	0,79	0,63	0,52

Saint-Lagüe
a =	6
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,83	1,83	2,83	3,83	4,83	5,83
PP	24 vots	28,80	13,09	8,47	6,26	4,97	4,11
PSOE	22 vots	26,40	12,00	7,76	5,74	4,55	3,77
IU	4 vots	4,80	2,18	1,41	1,04	0,83	0,69
UPyD	3 vots	3,60	1,64	1,06	0,78	0,62	0,51

Saint-Lagüe
a =	7
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,86	1,86	2,86	3,86	4,86	5,86
PP	24 vots	28,00	12,92	8,40	6,22	4,94	4,10
PSOE	22 vots	25,67	11,85	7,70	5,70	4,53	3,76
IU	4 vots	4,67	2,15	1,40	1,04	0,82	0,68
UPyD	3 vots	3,50	1,62	1,05	0,78	0,62	0,51

Saint-Lagüe
a =	8
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,88	1,88	2,88	3,88	4,88	5,88
PP	24 vots	27,43	12,80	8,35	6,19	4,92	4,09
PSOE	22 vots	25,14	11,73	7,65	5,68	4,51	3,74
IU	4 vots	4,57	2,13	1,39	1,03	0,82	0,68
UPyD	3 vots	3,43	1,60	1,04	0,77	0,62	0,51

Per a=9 es produeix empat tècnic entre PSOE i IU pel desè regidor

Saint-Lagüe
a =	9
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,89	1,89	2,89	3,89	4,89	5,89
PP	24 vots	27,00	12,71	8,31	6,17	4,91	4,08
PSOE	22 vots	24,75	11,65	7,62	5,66	4,50	3,74
IU	4 vots	4,50	2,12	1,38	1,03	0,82	0,68
UPyD	3 vots	3,38	1,59	1,04	0,77	0,61	0,51

per a>9, el resultat ja és el mateix que amb la llei d'Hondt.

Saint-Lagüe
a =	10
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,90	1,90	2,90	3,90	4,90	5,90
PP	24 vots	26,67	12,63	8,28	6,15	4,90	4,07
PSOE	22 vots	24,44	11,58	7,59	5,64	4,49	3,73
IU	4 vots	4,44	2,11	1,38	1,03	0,82	0,68
UPyD	3 vots	3,33	1,58	1,03	0,77	0,61	0,51

Perquè? Perquè és equivalent a dividir per N - 1/a, tal i com hem fet a les taules.

Per a=1 seria la llei d'Hondt regalant el primer regidor a tothom. Mala feina.

Saint-Lagüe
a =	1
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	0,00	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00
PP	24 vots	infinit	24,00	12,00	8,00	6,00	4,80
PSOE	22 vots	infinit	22,00	11,00	7,33	5,50	4,40
IU	4 vots	infinit	4,00	2,00	1,33	1,00	0,80
UPyD	3 vots	infinit	3,00	1,50	1,00	0,75	0,60

Per a=2, Saint Lagüe, dividim per N-0,5, Per a=3 dividim per N-0,3333. Per a=4 dividim per N-0,25. I així successivament. Per a=infinit, dividiríem per N-0, és a dir, la Llei d'Hondt.

Saint-Lagüe
a =	infinit
	Regidors	1	2	3	4	5	6
	Quocient	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00	6,00
PP	24 vots	24,00	12,00	8,00	6,00	4,80	4,00
PSOE	22 vots	22,00	11,00	7,33	5,50	4,40	3,67
IU	4 vots	4,00	2,00	1,33	1,00	0,80	0,67
UPyD	3 vots	3,00	1,50	1,00	0,75	0,60	0,50

Llei electoral: Circumscripció única, mètode del residu major

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 22 Nov 2011 11:35:00 +0000

PP	10830693	158,346269374194	158	0,346269374194435		158
PSOE	6973880	101,959115733712	101	0,959115733712252	1	102
CiU	1014263	14,8286690624763	14	0,828669062476296	1	15
IU-LV	1680810	24,5736808371209	24	0,573680837120929	1	25
AMAIUR	333628	4,87768872765332	4	0,877688727653323	1	5
UPyD	1140242	16,6704999286537	16	0,670499928653708	1	17
EAJ-PNV	323517	4,72986447211931	4	0,729864472119306	1	5
ESQUERRA	256393	3,74850206202482	3	0,748502062024825	1	4
BNG	183279	2,67956500148541	2	0,679565001485407	1	3
CC-NC-PNC	143550	2,09872138086322	2	0,0987213808632204		2
COMPROMÍS-Q	125150	1,82971076847811	1	0,829710768478105	1	2
FAC	99173	1,44992334032984	1	0,449923340329837	1	2
GBAI	42411	0,620054841405713	0	0,620054841405713	1	1
EQUO	215776	3,15467575532666	3	0,154675755326661		3
PACMA	101557	1,48477775880408	1	0,484777758804083	1	2
Eb	97706	1,42847559204892	1	0,428475592048915		1
PA	76852	1,12358715125113	1	0,123587151251133		1
PxC	59781	0,874006707554052	0	0,874006707554052	1	1
P.R.C.	43903	0,641868093236071	0	0,641868093236071	1	1
PUM+J	27098	0,396176607304992	0	0,396176607304992		0
P.C.P.E.	26436	0,386498073315918	0	0,386498073315918		0
PIRATA	25180	0,368135174992239	0	0,368135174992239		0
ANTICAPITALISTAS	24456	0,357550192200564	0	0,357550192200564		0
UCE	16148	0,236086052651893	0	0,236086052651893		0
PH	10047	0,146888566447459	0	0,146888566447459		0
Vots a partits	23939576	Escons directes	336			350
Coeficient descartant vots en blanc i nuls	68398,7885714286	Escons pendents	14
Escons a repartir	350

Llei electoral: Circumscripció única, mètode del residu major, considerant vots en blanc

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 22 Nov 2011 10:39:00 +0000

Primera correcció: senzillament computar el vot blanc com a vot a l'hora de fer la divisió.

PP	10830693	156,17327610958	156	0,173276109580172		156
PSOE	6973880	100,559926017207	100	0,559926017206749	1	101
CiU	1014263	14,6251745430076	14	0,625174543007647	1	15
IU-LV	1680810	24,23645506504	24	0,236455065040019		24
AMAIUR	333628	4,81075197698679	4	0,810751976986793	1	5
UPyD	1140242	16,441729878018	16	0,441729878017956	1	17
EAJ-PNV	323517	4,66495632062907	4	0,664956320629073	1	5
ESQUERRA	256393	3,69706119281228	3	0,697061192812278	1	4
BNG	183279	2,64279320557676	2	0,642793205576757	1	3
CC-NC-PNC	143550	2,0699205291416	2	0,069920529141601		2
COMPROMÍS-Q	125150	1,8046015619789	1	0,804601561978902	1	2
FAC	99173	1,43002597447969	1	0,430025974479694	1	2
GBAI	42411	0,611545799800937	0	0,611545799800937	1	1
EQUO	215776	3,1113839923097	3	0,111383992309705		3
PACMA	101557	1,46440208413817	1	0,464402084138165	1	2
Eb	97706	1,4088725546521	1	0,408872554652102	1	2
PA	76852	1,10816811219499	1	0,108168112194987		1
PxC	59781	0,862012672606159	0	0,862012672606159	1	1
P.R.C.	43903	0,633059707355651	0	0,633059707355651	1	1
PUM+J	27098	0,390739857183414	0	0,390739857183414	1	1
P.C.P.E.	26436	0,381194142169191	0	0,381194142169191	1	1
PIRATA	25180	0,36308323875852	0	0,36308323875852	1	1
ANTICAPITALISTAS	24456	0,352643514181031	0	0,352643514181031		0
UCE	16148	0,232846232703438	0	0,232846232703438		0
PH	10047	0,144872807776285	0	0,144872807776285		0
Vots vàlids	24272671	Escons directes	333			350
Coeficient descartant vots nuls	69350,4885714286	Escons pendents	17
Escons a repartir	350

A l'alliberar més espai de la proporcionalitat, facilitem l'entrada dels partits petits, ja que només es guanya un escó com a molt gràcies a l'arrodoniment, facilitant-ne l'obtenció als partits minoritaris.

Aquesta és segurament la principal diferència amb la llei d'Hondt. Els escons consolidats es guanyen igualment, però els repartiments dels extres queden en proporció al vot.

Evolució del repartiment d'escons en circumscripció única, mètode del residu major i incrementant el nombre de representants

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 22 Nov 2011 09:35:00 +0000

Podem veure la inconsistència del sistema del residu major observant què passa amb els escons dels partits minoritaris. Si Espanya tingués 361 diputats escollits per circumscripció única amb aquest mètode, PUM+J i PCPE obtindrien representació (amb menys de 30.000 vots!!). Si per motiu del creixement de població o per la generositat dels partits majoritaris s'augmentés la representació, Aquests partits perdrien la representació! Això es deu a la component aleatòria del mètode, que es basa en un residu i, per tant, deixa de ser de proporció directa per convertir-se en afí, amb una certa component aleatòria que afecta, principalment, als partits amb poca representació.

PP	158	159	159	160	160	161	161	162	162	163	163	163	164
PSOE	102	102	103	103	103	103	104	104	104	105	105	105	106
CiU	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15
IU-LV	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	26
AMAIUR	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
UPyD	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17
EAJ-PNV	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
ESQUERRA	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
BNG	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
CC-NC-PNC	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
COMPROMÍS-Q	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
FAC	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
GBAI	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
EQUO	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
PACMA	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Eb	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
PA	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
PxC	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
P.R.C.	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
PUM+J	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0
P.C.P.E.	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
PIRATA	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
ANTICAPITALISTAS	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
UCE	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
PH	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Vots a partits	350	351	352	353	354	355	356	357	358	359	360	361	362

Vegeu exemple simplificat a wikipedia.

Comparació amb la llei d'hondt

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 22 Nov 2011 08:51:00 +0000

Fixeu-vos en primer lloc que els escons consolidats per el mètode del residu major també ho són aquí:
si

N_i + 1 > (vots del partit i) / coeficient > N_i,

aleshores també

(vots del partit i)/N_i>coeficient>(vots del partit j)/(N_j + 1)

i per tant les caselles on dividim per nombres menors seran totes acceptades, ja que la suma dels N_i és necessàriament menor que el nombre de diputats. Sé que m'explico malament i ràpid, però si feu els càlculs de la llei d'Hondt sabreu de què parlo. Aleshores completem la taula d'Hondt a partir d'aquí. A la primera columna, la divisió de l'últim diputat consolidat segons el mètode del residu major. A partir d'aquí les divisions successives. Veiem que els partits forts s'enduen la palma, però estem respectant la proporcionalitat.

				Vots / escons consolidats	Vots / (escons consolidats + 1)	Vots / (escons consolidats + 2)	...					Final
PP	10830693	158,798687286692	158	68549	68118	67692	67271	66856	66446	66041	65641	164
PSOE	6973880	102,250427492951	102	68371	67708	67057	66418	65791	65176	64573	63981	105
CiU	1014263	14,8710366883691	14	72447	67618	63391	59663	56348	53382	50713	48298	15
IU-LV	1680810	24,6438913537984	24	70034	67232	64647	62252	60029	57959	56027	54220	25
AMAIUR	333628	4,8916249811609	4	83407	66726	55605	47661	41704	37070	33363	30330	5
UPyD	1140242	16,7181299284499	16	71265	67073	63347	60013	57012	54297	51829	49576	17
EAJ-PNV	323517	4,74337837061108	4	80879	64703	53920	46217	40440	35946	32352	29411	4
ESQUERRA	256393	3,75921206791632	3	85464	64098	51279	42732	36628	32049	28488	25639	3
BNG	183279	2,68722090148965	2	91640	61093	45820	36656	30547	26183	22910	20364	2
CC-NC-PNC	143550	2,10471772766569	2	71775	47850	35888	28710	23925	20507	17944	15950	2
COMPROMÍS-Q	125150	1,8349385135309	1	125150	62575	41717	31288	25030	20858	17879	15644	1
FAC	99173	1,45406597844507	1	99173	49587	33058	24793	19835	16529	14168	12397	1
GBAI	42411	0,621826426666872	0		42411	21206	14137	10603	8482	7069	6059	0
EQUO	215776	3,16368911462759	3	71925	53944	43155	35963	30825	26972	23975	21578	3
PACMA	101557	1,48901998097209	1	101557	50779	33852	25389	20311	16926	14508	12695	1
Eb	97706	1,43255695088334	1	97706	48853	32569	24427	19541	16284	13958	12213	1
PA	76852	1,12679740025471	1	76852	38426	25617	19213	15370	12809	10979	9607	1
PxC	59781	0,876503869575635	0		59781	29891	19927	14945	11956	9964	8540
P.R.C.	43903	0,643702002073888	0		43903	21952	14634	10976	8781	7317	6272
PUM+J	27098	0,39730854046872	0		27098	13549	9033	6775	5420	4516	3871
P.C.P.E.	26436	0,387602353525392	0		26436	13218	8812	6609	5287	4406	3777
PIRATA	25180	0,369186989777931	0		25180	12590	8393	6295	5036	4197	3597
ANTICAPITALISTAS	24456	0,35857176417828	0		24456	12228	8152	6114	4891	4076	3494
UCE	16148	0,236760584230899	0		16148	8074	5383	4037	3230	2691	2307
PH	10047	0,147308248065881	0		10047	5024	3349	2512	2009	1675	1435
Vots a partits	23939576	Escons directes	337		1	2	3	4	5	6	7
Coeficient descartant vots en blanc i nuls	68398,7885714286	Escons pendents	13
Escons a repartir	350

Aquí la proporció es manté a favor del més fort. Fixeu-vos en el cas més lleig: Compromís, amb 125150 vots no li donen el segon escó. La proporció amb el PP és de 164 a 1 mentre que els vots tenen una proporció de 10830693 a 125150, que és de 86 a 1.

Si li donéssim cada un dels seus diputats representaria 62575 persones, mentre que els diputats del PP passarien a representar-ne 66.446. El PP tindria 163 representants i compromís en tindria 2, amb una proporció de 81,5 a 1,

Fixem-nos per altra banda que si a cada regidor del pp li assignem 62.575 persones tal com fem amb els de compromís, deixem 450.000 persones a l'estacada. Evidentment hi ha moltes maneres de veure les coses.

Ara bé, al PP per aconseguir un altre diputat li falten 128000 vots. A Compromís només 7000 per treure-li l'últim que ha aconseguit. el partit popular. Al PSOE poc més de 30.000 per treure-li al PP, Observem també que si Compromís i EQUO fessin una llista única estatal, tindrien 5 diputats enlloc de 1+3. Es premia doncs el pacte preelectoral davant del pacte postelectoral.

Bo o dolent? És més estable, però és menys plural que algun altre sistema. Funciona de forma coherent en comparació amb el mètode del residu major. Per entrar al parlament cal estar molt a prop del cost teòric de l'escó (68 mil vots aprox.)

Histograma

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Mon, 07 Feb 2011 15:01:00 +0000

Angles

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Thu, 09 Dec 2010 17:23:00 +0000

Teorema de Tales

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Thu, 09 Dec 2010 08:36:00 +0000

Super Mario Bros.

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Fri, 22 May 2009 16:13:00 +0000

Dodecaedre estrellat

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Mon, 20 Apr 2009 17:39:00 +0000

Tetraedre de paper

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Mon, 20 Apr 2009 17:34:00 +0000

Angles en el cercle

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Fri, 06 Mar 2009 10:24:00 +0000

Poliedres del Neolític

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Fri, 06 Mar 2009 10:09:00 +0000

La trisecció de l'angle

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Sun, 08 Feb 2009 17:36:00 +0000

Casual Pi - Episode 1

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Sat, 07 Feb 2009 17:27:00 +0000

Matemàtiques a Futurama

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Sat, 31 Jan 2009 23:34:00 +0000

Val la pena!

Troba la x

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Sat, 31 Jan 2009 23:14:00 +0000

El conjunt de Mandelbrot

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Mon, 26 Jan 2009 16:42:00 +0000

El conjunt de Mandelbrot

Perspectiva impossible

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Mon, 19 Jan 2009 12:43:00 +0000

El teorema del lloro

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Thu, 08 Jan 2009 12:33:00 +0000

Una recomanació bibliogràfica.

Estrelleta, jo li he dit...

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Thu, 08 Jan 2009 12:24:00 +0000

Escher: Moebius Strip II

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 30 Dec 2008 11:17:00 +0000

Escher: Encounter

noreply@blogger.com (Kreacher teacher) — Tue, 30 Dec 2008 00:34:00 +0000