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[Français] antigone

titi8245 — 2009-06-11T18:05:03+02:00

Sophocle ( 5ACN) = Grèce antique Légende= histoire sans portée philosophique ou morale ( message) Anouilh (1944 France) Mythe= histoire pour faire passer des idées ( message ) Conception de la tragédie ( narration) Avant ; Prologue ; présenter les personnages et l’action Chœur ; commenter l’action et présenter la morale Ici ; Prologue ; présenter les personnages et l’action ( annonce tout à l’avance ) Conclusion ; conception de la tragédie ; respecte ( tous le monde meurt à la fin) mais la rend contemporaine (jeux de cartes , tricots ) Espace-temps ( spatio-temporel) 1 tout ( TN ) Pas de découpage Une pièce dont les personnages entrent et sortent TF de l’aube à 17h La fiction ; 11 personnages Antigone rentre => la nourrice est scandalisée Arrivée d’Ismène => elle a peur des projets d’Antigone ( >< |e| les 2 personnages ) Retour nourrice => Antigone a besoin d’affection mais bien décidée ( cf chien ) Arrivée d’Hémon ( histoire de cœur) Arrivée d’Ismène qui apprend que Antigone a enterré Polynice Créon apprend le fait ( ! chœur ) Antigone est arrêtée ( par des gardes ) Antigone présentée à Créon ( qui essaye de caché l’évènement et de convaincre Antigone ) Personnages Suppression de Tirésias (prêtre ) But = montrer que les DIEUX sont du côté d’Antigone. 3 nouveaux personnages ; la nourrice et 2 gardes Nourrice ; représente le monde de l’enfance Souligne l’incompréhension / Antigone ( dialogue de sourds ) Solitude Gardes ; Souligne l’incompréhension / Antigone ( dialogue de sourds ) Pathétique de la situation Ismène ; >< Antigone Pas de courage Est soumise aux lois et au roi => point de vue moral Elle a peur Elle est belle ( blonde vs brune ) => point de vue physique Affection envers sa sœur Hémon ; ≠ Sophocle ( affronte son père ) Ici => se comporte comme un enfant Antigone ; ≠ Sophocle , physique ingrat => complexée Aime la vie ( contact avec l’enfance et la nature ) Rebelle aux lois Idéal d’abord Thèmes Solitude => message ; tragique de la condition humaine Antigone Créon Seul pour agir seul à survivre et a décider Seul à assumer ses actes Ne communique pas, avec nourrice et gardes veut être seul Enfance « petit » , poupée , pelle , nourrice Antigone >< absurdité de la vie ( adulte ) Conception du pouvoir Pv = négatif Concilie par son bonheur , avec la réalité.la réalité s’éffondre

[Physique] Démonstration de la formule de l'énergie cinétique d'un solide en rotation

AtomeKid — 2009-06-11T01:58:29+02:00

=Principe, moment cinétique d'un solide par rapport à un axe= \right} de masses

m_i

et de distances

r_i

à l'axe de rotation

\Delta

. L'axe est considéré comme au repos dans le repère de l'observateur. Donc la vitesse du corps numéroté

i

est définie par

v_i=\frac{ds_i}{dt}

, où s est l'abscisse curviligne sur la trajectoire circulaire (c'est une longueur de trajectoire mesurée depuis une origine arbitraire, et affectée d'un signe + ou -). Or on peut définir la vitesse angulaire du mouvement par

\omega=\frac{ds}{rdt}=\frac{v}{r}

(c'est un rapport de deux longueurs : par définition, un angle (en radians) est le rapport de la longueur d'arc parcouru au rayon du cercle. Ici, la distance parcourue pendant l'unité de temps est

\frac{ds}{dt }

, et nous la divisons par r pour obtenir l'angle dont le point a tourné durant une unité de temps, soit

\omega

. Donc pour l'élément matériel numéro i, on a

\omega=\frac{ds_i}{r_i dt}

. Or l'énergie cinétique de cet élément matériel est

\delta E_{c,i}=\frac{1}{2}v_i r_i^2=\frac{1}{2}m_ir_i^2\omega^2

Pour le corps tout entier, l'énergie cinétique est la somme de toutes ces énergies cinétiques :

E_c=\sum_{i}E_{c,i}=\frac{1}{2}J\omega^2

avec

J=\sum_{i}m_ir_i^2

On appellera J le moment cinétique du corps solide par rapport à l'axe

\Delta

. =Exemples= 1) Anneau mince tournant autour de son axe de symétrie On considère cet anneau comme "mince" si son rayon est grand par rapport à son épaisseur. Alors il est évident qu'on a

J=mR^2

(puisque tous les

r_i\simeq R

) 2) Tige de longueur l et de masse m tournant autour d'une de ses extrémités autour d'un axe qui lui est perpendiculaire. On peut subdiviser par la pensée cette tige en n morceaux de longueur

\frac{l}{n}

. On considère l'axe dont l'origine est le point de la tige où passe l'axe de rotation, et tel que l'abscisse de l'extrémité de la tige soit l.(\ Le moment d'inertie de la tige est

J=\frac{1}{2}\frac{m}{n}\left[\left(\frac{l}{2n}\right)^2+\left(\frac{l}{2n}+\frac{l}{n}\right)^2+...+\left(\frac{l}{2n}+\frac{(n-1)l}{n}\right)^2\right]

=\frac{m}{2n}\left[n\frac{l^2}{4n^2}+\frac{(n-1)nl^2}{n^2}+\frac{1}{6}\frac{(n-1)n(2n-1)}{n^2}\right]

Pour

n\to +\infty

, ceci tend vers

\frac{1}{3}ml^2

. On a donc :

J=\frac{1}{3}ml^2

3) Tige de longueur L et de masse m tournant autour d'un axe passant en son centre et qui lui est perpendiculaire. On peut reprendre la formule précédente, en posant

L=2l

soit

l=\frac{L}{2}

Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe est

J=2\frac{1}{3}\frac{m}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{12}mL^2

[Latin] Le subjonctif en Latin

Escouade Delta — 2009-06-10T15:42:30+02:00

Bonjour, Je vous fait une petite leçon sur le subjonctif en Latin... ;) =Subjonctif présent= ''Pour les verbes de la première conjugaison ''(amo, as, are = aimer)'', on ajoute au radical le suffixe '' ++Exemple++: am-e-m ''Pour les autres verbes ''(habeo, audio, ...)'', on ajoute au radical le suffixe '' ++Exemples++: dele-a-m, audi-a-m =Subjonctif imparfait= On utilise ''l’infinitif présent'' du verbe auquel on ajoute les terminaisons. ++Exemples++: amare-m, esse-m, audire-m =Subjonctif parfait= Au subjonctif parfait, on utilise ''le radical du verbe au parfait'' auquel on ajoute le suffixe ''-eri et la terminaison.'' ++Exemples++: amav-eri-m, jactav-eri-s =Subjonctif plus-que-parfait= On utilise ''l’infinitif parfait'' du verbe auquel on ajoute les terminaisons. ++Exemples++: delevisse-m, fuisse-m

[Physique] Petite histoire de l'électricité

Duarna — 2009-05-21T15:57:39+02:00

L'électricité est présente tout autour de nous, et nous l'utilisons directement ou indirectement chaque jour. Les manifestations de l'électricité comme la foudre sont connues depuis très longtemps, et déjà dans l'Antiquité, certains écrivent à propos de phénomènes électriques. La découverte de l'électricité n'est donc pas récente. Cependant, l'histoire de l'électricité est longue, et malgré les progrès importants depuis le XVII^ème siècle, cette forme d'énergie n'est pas encore totalement maîtrisée. Nous relaterons tout d'abord les premières découvertes faites autour de l'électricité, puis nous parlerons des découvertes importantes depuis le XVII^ème siècle, et enfin, nous parlerons des perspectives qui existent pour cette énergie. =Un phénomène connu depuis l'Antiquité= Dans l'Antiquité, l'électricité était déjà connue. Le mot électricité vient du mot grec ήλεκτρον (êlecktron) qui signifie "ambre jaune". Ce matériau possède, en effet, des caractéristiques électriques, qui lui permettent, par exemple, lorsqu'il est frotté de se charger en électricité et d'attirer de petites particules. Il s'agit d'électricité statique, la même qui est mise en évidence lorsqu'un peigne frotté contre des vêtements attire les cheveux. L'ambre jaune n'est pas la seule manifestation de l'électricité connue. En effet, dans l'Antiquité, la foudre a déjà été observée et les Egyptiens dessinent des poissons électriques, qu'ils auraient utilisés à des fins médicales. Plusieurs manifestations de l'électricité sont donc connues, mais cette énergie n'est pas maîtrisée, et attribuée à l'âme des objets. =Les XVII^ème et XVIII^ème siècles voient des progrès essentiels= Les toutes premières découvertes se sont faites durant l'Antiquité, mais les plus grandes avancées se sont faites au cours des trois derniers siècles. L'avancée a été rapide pendant les XVII^ème et XVIII^ème siècles. C'est dans cette période qu'a été découverte l'opposition des charges (le 'plus' et le 'moins') par l'intendant Du Fay en 1733, mais aussi que Benjamin Franklin a inventé le paratonnerre afin de se protéger de la foudre (1752), et que Volta a construit la première pile électrique, ancêtre des piles que nous utilisons maintenant (1799). L'invention de la pile a été une petite révolution. Son nom vient du fait qu'il s'agissait d'un empilement de rondelles de métal et de tissus imbibé d'une solution conductrice, qui constituait ainsi une 'pile'. On disposait désormais d'une source d'électricité maîtrisable et pouvant facilement être obtenue. L'invention de la pile a permis de nombreuses autres découvertes sur l'électricité, en rendant plus faciles les expérimentations. Mais le plus étonnant est que, même si la pile fut rapidement très répandue, la manière dont elle fonctionnait n'était pas totalement comprise à l'époque ! Son fonctionnement n'a été mis en évidence que plus tard. =Au XIX^ème et XX^ème siècles, toujours plus de découvertes= Le développement de l'électricité a continué pendant le XIXe siècle. En 1859, Gaston Planté crée un accumulateur qui est une pile réversible. C'est ce qui amènera à toutes nos batteries et piles rechargeables actuelles. L'accumulateur était une batterie au plomb, qui a été tout de même légèrement améliorée, mais qui est toujours utilisée dans les voitures actuellement pour le démarrage. Le XIXe siècle a aussi vu le développement important des moteurs électriques, qui sont de nos jours utilisés dans de nombreux objets, comme les trains, les volets ou portails automatisés etc. Une autre découverte importante de ce siècle a été l'ampoule à incandescence, inventée par Thomas Edison en 1879, toujours utilisée de nos jours, même si elle est en voie d'être remplacée par d'autres types d'éclairages moins consommateurs d'énergie. Son fonctionnement est basée sur la résistance qu'oppose un fil métallique très fin au passage du courant, le fil s'échauffe et finit par s'illuminer. Le XXe siècle est marqué par la prolifération d'appareils électriques dans la vie quotidienne tels que les fours, lave-vaisselle, aspirateurs etc. Mais la plus grande avancée dans le domaine est sûrement la maîtrise de l'énergie atomique et les premières centrales nucléaires (en 1955). =De nos jours, une énergie incontournable, mais pas totalement maîtrisée= La maîtrise de l'électricité n'a cessé d'augmenter, en particulier depuis les derniers siècles. Cependant, elle n'est pas totalement maîtrisée et ne nombreuses découvertes restent à faire, et de nombreuses inventions sont à perfectionner. Ainsi, la fusion nucléaire n'est qu'à ses balbutiements, et les propriétés des matériaux supraconducteurs sont encore mal connues. Le champs des applications restants est encore immense. Les voitures électriques sont de plus en plus répandues, et l'électroménager et le matériel audiovisuel est toujours d'actualité. Il faut aussi noter que même si l'électricité est une énergie propre au niveau de son utilisation, sa production peut-être très polluante. Plus de 40percent_signe de l'électricité dans le monde est produite à partir de charbon. L'électricité ne sera donc une énergie propre que lorsque les moyens de production le seront aussi. L'électricité n'est pas encore parfaitement connue, et il reste beaucoup à découvrir. Mais c'est déjà une énergie incontournable et très pratique !

[Physique] Énergie , cinétique, potentielle et mécanique.

Yojim — 2009-05-16T19:53:44+02:00

=Énergie cinétique et travail=

Chute libre

§#842A00| Lors d'une chute, libre un corps n'est soumis qu'à sont poids. Les frottements de l'air sont alors négligés.§ Lors d'une chute libre le travail du poids est exprimé par la relation suivante : : Travail du poids entre deux points m: Masse de l'objet (en kg) v: Vitesse à un point donnée (en == Solide en translation L'énergie cinétique est la quantité d'énergie transporté dans un objet qui se déplace par translation entre deux points, son unité est la joule (J) et et elle est exprimée par la relation suivante :

Ec=\frac{1}{2}mv_G^2

__Légende :__ Ec : énergie cinétique (en J) m : masse de l'objet (en kg) V_G: vitesse du centre d'inertie du solide en translation (en

1$m.s^{-1})

__Remarque :__ Tout point du solide à la même vitesse que son centre d'inertie, on peut donc assimiler la vitesse V_G à la vitesse du solide. (Attention, si le corps tourne sur lui-même avec une vitesse de rotation

\omega

(en radians/seconde), alors

E_c =\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J\omega^2

où

J

est une constante caractéristique de l'objet appelé 'moment d'inertie' de cet objet. Pour un cylindre ou un disque de rayon R et de masse m,

J=\frac{1}{2}mR^2

Pour une boule sphérique pleine et homogène, de rayon R et de masse m,

J=\frac{2}{5}mR^2

Pour une tige de longueur l et de masse m, tournant autour d'un axe passant par son centre et qui lui est perpendiculaire,

J=\frac{1}{12}ml^2

On démontre que

J=\Sigma_{i}m_i r_i^2

où i est un numéro repérant une particule de masse

r_i

se trouvant à la distance

r_i

de l'axe de rotation) == Théorème de l'énergie cinétique Lorsqu'un solide en translation entre deux points A et B est soumis à plusieurs forces extérieurs qui ont pour résultante

1$\vec{F}ext

on a : Ec(B)-Ec(A)=W_{1$\vec{AB=\sum{(W(\vec{F}ext))}La variation d'énergie cinétique d'un solide en translation est égale à la somme des travaux des forces extérieurs qui lui sont appliqué.++Avant d'exprimer l'énergie potentielle, il faut choisir un repère de l'altitude, et dans quel référentiel ont se situe.++§ L'énergie potentielle est exprimée par la relation suivante :

Ep_A=m.g.z_A

__Légende__ : Ep : énergie potentielle (en J) m : masse (en kg) g : intensité de la pesanteur (

1$\approx9,81 N.kg^{-1})

\=\= Variation de l'énergie potentielle au cours d'un mouvement == === Au cours d'une chute libre Au cours d'une chute libre, la variation de l'énergie potentielle est égale à l'opposé du travail du poids. Ce qui ce traduit par la relation mathématique suivante :

\Delta Ep=-W(\vec{P})

\=\=\= Au cours d'une translation rectiligne vers le haut === Lors d'une translation rectiligne vers le haut, la variation de l'énergie potentielle est égale au travail de la force qui sert à aller vers le haut. Ce qui se traduit par la relation suivante :

\Delta Ep=W(\vec{F})

\=\=\= Généralisation === La variation d'énergie potentielle 1$\Delta Ep_{\vec{ABentre deux points A et B est égale à l'opposé du travail du poids 1$W(\vec{P})_{\vec{AB \=\= Conservation de l'énergie mécanique == L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique, ce qui se traduit par la relation suivante :

Em=Ep+Ec

[Mathématiques] Produit scalaire

AtomeKid — 2009-04-23T04:39:22+02:00

= I - Définitions= ==1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe. Un bipoint est un couple (''A,B'') de points. Un axe est une droite ''D'' munie d'un repère

(O,\vec{i})

Soient

A,B\in D

; On définit la __''mesure algébrique''__ du bipoint (''A,B'') par

\overline{AB}=x_B-x_A

. Il est facile de voir que

\overline{BA}=-\overline{AB}

et qu'on a une formule du type de Chasles :

\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}

(si ''A,B,C'' alignés, donc sur le même axe, bien sûr) En effet,

\overline{AB}+\overline{BC}=x_B-x_A+x_C-x_B=x_C-x_A=\overline{AC}

==2. Produit scalaireSoient trois points ''A,B,C''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB''). Le __''produit scalaire''__ du vecteur

\vec{AB}

par le vecteur

\vec{AC}

est le ''nombre réel''

\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}

Il est clair que

\overline{AB}\,et\,\overline{AH}

sont de même signe si l'angle

\alpha=\widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}

est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus : Donc si

\alpha

est aigu, on a

\vec{AB}.\vec{AC}=+ AB.AH

; et si

\alpha

est obtus, on a

\vec{AB}.\vec{AC}=- AB.AH

. On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du __''travail d'une force''__

\vec{F}

lors d'un déplacement

\vec{AB}

W=\vec{F}.\vec{AB}

Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est ''moteur'' :

W=+|\vec{F}_{1}.AB>0

(où

\vec{F}_{1}

est la projection orthogonale de la force sur le déplacement) et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est ''résistant'' :

W=-|\vec{F}_{1}.AB<0

= II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs= Il est facile de voir que

AH=AC\cos\alpha

Donc

\vec{AB}.\vec{AC}=AB.AC.\cos\alpha

ou, en donnant des noms aux vecteurs :

\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}.\vec{v}.\cos\alpha

(__''Deuxième expression du produit scalaire''__) avec bien sûr,

\alpha=\widehat{(\vec{u},\vec{v})}

\=\=Commutativité du produit scalaire== Puisque l'on sait que

\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)

, on obtient en partant de cette deuxième expression du produit scalaire :

\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}

__''On dit que le produit scalaire est commutatif''__. \=\=Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur== On pose

\vec{u}.\vec{u}=\vec{u}^2

On appellera ce produit scalaire le ''carré scalaire'' de

\vec{u}

. Il est clair que

\vec{u}^2=|\vec{u}.\vec{u}.\cos 0

soit

\vec{u}^2=|\vec{u}^2

__''Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur n'est autre que le carré de sa norme''.__ La norme d'un vecteur n'est donc autre que la racine carrée de son carré scalaire :

|\vec{u}=\sqrt{\vec{u}^2}

= III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs = Considérons des points ''A,B,C,D''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB''), et ''K'' la projection orthogonale de ''D'' sur (''AB''). Alors

\vec{AB}.(\vec{AC}+\vec{CD})=\vec{AB}.\vec{AD}=\overline{AB}.\overline{AK}

D'un autre côté,

\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}

\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}.\overline{HK}

(en effet, la projection orthogonale de

\vec{CD}

sur (''AB'') est

\vec{HK}

, vu que ''C'' se projette en ''H'' et ''D'' se projette en ''K'') En additionnant ces deux produits scalaires, on obtient

\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}(\overline{AH}+\overline{HK})=\overline{AB}.\overline{AK}

__''Le produit scalaire est donc distributif sur l'addition des vecteurs''__ :

\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}

et bien sûr, comme il est commutatif, on peut aussi écrire

(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}

=IV - Produits scalaires remarquables= On a, pour tous vecteurs

\vec{u},\vec{v}

: 1)

(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2

et puisque le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, cela s'écrit également :

|\vec{u}+\vec{v}^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2

(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2

soit aussi

|\vec{u}-\vec{v}^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2

(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2

soit aussi

(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}^2-\vec{v}^2

Prouvons juste le premier résultat :

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}.(\vec{u}+\vec{v})+\vec{v}.(\vec{u}+\vec{v})

=\vec{u}^2+\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}^2

=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2

= IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel= Le théorème de Thalès nous montre facilement que

(\lambda\vec{AB}).\vec{AC}=\vec{AB}.(\lambda\vec{AC})=\lambda(\vec{AB}.\vec{AC})

Donc, pour tous vecteurs

\vec{u},\vec{v}

et tout réel

\lambda

(\lambda\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(\lambda\vec{v})=\lambda(\vec{u}.\vec{v})

= VI - Orthogonalité= __Par définition__, on dira que

\vec{u}\perp\vec{v}

si et seulement si

\vec{u}.\vec{v}=0

\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}.\vec#{v}=0

Puisque

\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}.\vec{v}.\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v})

on peut dire que deux vecteurs sont orthogonaux si

|\vec{u}=0\,\,ou\,\, \vec{v}=0\,\,ou\,\,(\widehat{\vec{u},\vec{v})}=\frac{\pi}{2}+k\pi\, ;\,k\in\mathbb{Z}

Autrement dit, deux vecteurs sont orthogonaux si l'un d'eux au moins est nul, ou s'ils sont à angle droit l'un de l'autre.

[Mathématiques] M

AtomeKid — 2009-03-27T04:49:11+01:00

[Physique] MECA3 - Machine d'Atwood - Corrigé

AtomeKid — 2009-03-12T02:27:09+01:00

Appelons du même nom x le déplacement de m et M. Soit t la tension du fil appliqué sur m et T la tension du fil appliqué sur M. Soit t' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de m et T' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de M. Si l'on considère le tronçon de fil reliant m à la poulie, on peut lui appliquer le principe fondamental de la dynamique, soit (on oriente positivement le sens où M descend et m monte, ce qui est naturel) (la masse est nulle) ; donc ; de même ((Machine d'Atwood avec forces|Pas de description)) Eliminons les tensions des fils : ; En substituant ces valeurs de t et T dans la 3e équation : Le moment d'inertie de la poulie vaut et l'on peut aussi traduire le déplacement angulaire en déplacement rectiligne par On peut donc écrire soit soit bien sûr En intégrant par rapport au temps \dot{x}=\frac{(M-m)g}{M+m+\frac{\mu}{2t et

x=\frac{(M-m)g}{2(M+m)+\mu}t^2

__Deuxième méthode__ L'énergie cinétique totale du système est

E_c=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}M\dot{x}^2+\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2

si les masses se déplacent de l'abscisse 0 à l'abscisse x, le travail des forces appliquées vaut :

(t-mg)x+(Mg-T)x+(T-t)R\theta

Ce travail vaut la variation du moment cinétique (qui était initialement nul) :

\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}M\dot{x}^2+\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2=(t-mg)x+(Mg-T)x+(T-t)x

\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}M\dot{x}^2+\frac{1}{4}\mu R^2\frac{\dot{x}^2}{R^2}=(t-mg)x+(Mg-T)x+(T-t)x

simplifions :

\frac{1}{2}\left(m+M+\frac{1}{2}\mu\right)\dot{x}^2=(-mg+Mg)x

Dérivons les deux membres par rapport au temps :

\frac{1}{2}\left(m+M+\frac{1}{2}\mu\right)2\dot{x}\ddot{x}=g(M-m)\dot{x}

Ce qui se simplifie en

\dot{x}=\frac{(M-m)g}{m+M+\frac{\mu}{2}t

puis

x=\frac{(M-m)g}{2(m+M)+\mu}t^2

[Physique] MECA3 - Machine d'Atwood

AtomeKid — 2009-03-12T01:00:41+01:00

On considère le montage suivant : Une poulie assimilable à un cylindre de rayon R et de masse µ ; un fil de masse négligeable et deux objets de masses respectives m et M accrochés aux deux bouts du fil. On passe le fil sur la gorge de la poulie : ((machine d'Atwood|Pas de description)) 1) On appelle x le déplacement de la masse M comme celui de la masse m, avec x = 0 en t = 0, et la vitesse initiale est v = 0 à t = 0 Donner x en fonction de t. 2) On appelle l'angle dont a tourné la poulie ( pour t = 0). Donner en fonction de t. : le cours sur le Principe Fondamental de la Dynamique sur Daskoo, sans oublier les corps tournants.

[Mathématiques] NC4 - Factoriser x^6+1 dans le domaine complexe - Corrigé

AtomeKid — 2009-03-06T22:41:06+01:00

1) On peut écrire, en utilisant l'identité remarquable Utilisons la forme canonique de (on a posé ) qui se trouve en écrivant On a donc x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x^2-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3{2}\right)\left(x^2-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3{2}\right) soit immédiatement x^4-x^2+1=\left(x^2-e^{i\frac{\pi}{3\right)\left(x^2-e^{-i\frac{\pi}{3\right) =\left(x-e^{i\frac{\pi}{6\right)\left(x+e^{i\frac{\pi}{6\right)\left(x-e^{-i\frac{\pi}{6\right)\left(x+e^{-i\frac{\pi}{6\right) =\left(x-\frac{\sqrt{3{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3{2}-\frac{i}{2}\right) En tout, on a, en utilisant

x^2+1=(x+i)(x-i)

: x^6+1=(x-i)(x+i)\left(x-\frac{\sqrt{3{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3{2}-\frac{i}{2}\right) 2) On voit que les facteurs (dans l'ordre) 1 et 2, 3 et 5, 4 et 6, sont complexes conjugués l'un de l'autre : en les multipliant ensemble, on obtient des trinômes réels (*) :

(x-i)(x+i)=x^2+1

\left(x-\frac{\sqrt{3{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3{2}+\frac{i}{2}\right)=\left(x-\frac{\sqrt{3{2}\right)^2+\frac{1}{4}=x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=x^2-x\sqrt{3}+1 (en effet,

(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2

) et de même, les deux derniers facteurs donnent

x^2+x\sqrt{3}+1

. En tout,on obtient la __factorisation dans le domaine réel__ :

x^6+1=(x^2+1)(x^2+x\sqrt{3}+1)(x^2-x\sqrt{3}+1)

(*) en effet,

z\bar{z}=|z^2=a^2+b^2\,\,si\,\,z=a+ib