Doutor Cuca

"Eureka !", Arquimedes e Empuxo

2010-11-24T01:00:00.003-02:00

Segundo uma famosa lenda, Arquimedes, matemático, físico e inventor
grego, realizou uma importante descoberta física ao relaxar em sua banheira, o
que o levou a sair correndo nu pelas ruas de Siracusa gritando "Eureka !" (Eu
descobri !, em grego). O problema era o seguinte: Hiero, rei de Siracusa, estava
desconfiado de que sua coroa real não fosse feita de ouro maciço, mas sim de
uma liga de ouro e prata. Assim, o rei pediu a Arquimedes que investigasse o
fato. Acontece que, para tanto, Arquimedes precisava descobrir o volume da
coroa para poder calcular sua densidade e então comparar com a densidade do
ouro. Sem saber como medir o volume de um objeto tão complexo como uma
coroa, Arquimedes percebeu, em sua famosa banheira, que o volume de água
que o seu corpo deslocava ao submergir teria que ser igual ao volume submerso
do seu corpo. De posse de tal informação, para se medir o volume da coroa
bastaria a Arquimedes medir o volume de água que a mesma desloca ao ser
submersa !
A descoberta de Arquimedes vai além disso. Podemos ler em seu livro On
Floating bodies (Corpos flutuantes): "qualquer objeto que flutue na água
sempre tem uma certa parte submersa, que desloca um pouco de água. A
quantidade de líquido deslocada é igual ao peso do objeto. Por outro lado, se o
objeto afunda, a quantidade de água deslocada é menor do que o peso do
objeto". De fato, um objeto ao ser submerso sofre uma força aplicada pelo
líquido de mesma intensidade que o peso da água deslocada por ele. Tal força é
denominada Empuxo. Por isso que objetos que flutuam deslocam uma
quantidade de água equivalente ao seu peso, pois neste caso o empuxo deverá
equilibrar o seu peso. No caso de um objeto que afunda o empuxo não é
suficiente para contrabalançar o seu peso, ou seja, a quantidade de água
deslocada possui um peso menor que o objeto.
Que tal comprovarmos tais fatos ? Para tanto nos utilizaremos de uma
simples montagem experimental.

Materiais necessários:
• Uma bacia de plástico.
• Uma mangueira fina de borracha.
• Uma balança de pratos.
• Dois béquers (ou dois copos de vidro idênticos).
• Massa de modelar ou Durepox.
• Diversos objetos pequenos, como pedras, bolas de tênis, frescobol, etc...,
pedaços de madeira, peças de metal, etc... (importante termos objetos
que flutuem e objetos que afundem na água).

Montagem experimental:
Primeiramente construiremos um dispositivo que nos permita coletar a água
deslocada por um objeto, para então podermos pesá-la. Faça um furo na lateral
da bacia com a mesma espessura que a mangueira. Insira a extremidade da
mangueira pelo lado de fora da bacia e utilize a massa de modelar ou o Durepox
para vedar muito bem as laterais da mangueira, de modo a impedir vazamentos.
Insira a outra extremidade da magueira no béquer, de modo que a bacia esteja
numa altura maior que o béquer.
Agora encha a bacia com água. Você deverá verificar que toda a água que
ultrapassar o furo na lateral da bacia escoará pela mangueira em direção ao
béquer. Desta forma, se o nível de água estiver na altura do buraco ao
inserirmos um objeto na bacia, a quantidade de água que ele deslocar irá ser
coletada no béquer.

Agora estamos prontos para começar ! Faça a coleta da água deslocada por
diferentes objetos e compare seu peso com o peso dos objetos correspondentes
através da balança de pratos (lembre-se de colocar o objeto dentro de um béquer
idêntico àquele que armazena a água, para que o peso do béquer não influencie
na comparação). Perceba a diferença no caso de objetos que flutuam e objetos
que afundam.

Dicas: Lembre-se sempre de esvaziar o béquer e de completar a água até o
nível alcançar o furo lateral antes de inserir um novo objeto na bacia e também
de retirar a mangueira do béquer antes de inserir sua mão na bacia para pegar de
volta um objeto, de forma a não coletar a água deslocada pelo seu braço.

Equação do 2º Grau

2008-09-25T16:13:00.000-03:00

Hei venner

Hoje continuaremos nossos estudos algébricos abordando as equações quadráticas, ou equações do 2º grau. Durante nossa jornada nos depararemos com uma das fórmulas mais famosas da matemática: a Fórmula de Bháskara. Porém temos um longo caminho a trilhar para compreendermos as origens de tal procedimento matemático. Iniciaremos, como é de praxe, com um problema já conhecido por nós, para então darmos um passo adiante e alargarmos nossa visão do universo da matemática.

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Quadrando expressões...

A equação do segundo grau é uma equação que envolve um polinômio de grau 2, ou seja, uma soma de potências de uma variável onde o grau máximo vale 2:

Como ainda não possuímos um algoritmo para resolver tal polinômio, ou seja. encontrar os valores de x para os quais a expressão se anula (), iremos abordar o problema a partir de um terreno conhecido. Consideremos o monômio:

O nosso objetivo será transformar tal monômio, através de espertas manipulações algébricas e uma escolha apropriada dos coeficientes α e β, no polinômio da seguinte equação do 2º grau:

Um primeiro passo natural será quadrarmos o monômio, ou seja, o multiplicarmos por ele mesmo:

Note que podemos colocar em evidência um fator comum aos dois primeiros termos de tal expressão:

de forma que o termo entre parênteses é muito similar aos dois primeiros termos da equação do segundo grau que queremos obter (), a menos de um fator 2 multiplicando o segundo termo. Assim, realizando a seguinte mudança de variáveis:

teremos:

Agora que temos uma expressão que relaciona os dois primeiros termos da equação do segundo grau com o quadrado de um monômio, podemos utilizá-la para reescrevermos tal equação de uma maneira mais apropriada:

À expressão da direita é usualmente dado o nome de discriminante, representado pela letra grega Δ (delta):

Para isolarmos a incógnita x, devemos nos utilizar da seguinte propriede das equações quadráticas:

(devido ao fato de que um número negativo ao quadrado se torna positivo, o que faz com que tenhamos dois valores de m que satisfaçam a equação).

Assim teremos:

Ou seja, temos dois valores de x que satisfazem a equação :

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Um gráfico vale mais do que mil equações

Que tal darmos uma olhada na representação gráfica de um desses tais polinômios de segundo grau ?

Note como o valor corresponde ao eixo central do gráfico (que, aliás, recebe o nome de parábola). Note também que as raízes do polinômio, ou seja, os valores onde o gráfico corta o eixo horizontal () estão a uma distância do eixo central, tanto para a esquerda quando para a direita. O menor valor que y atinge é aquele que se obtém ao susbstituir o valor no polinômio. Ele vale (verifique isso !).

Para valores negativos do parâmetro a, teremos uma parábola com concavidade negativa, ou seja, voltada para baixo:

Dependendo do valor do discriminante Δ, poderemos ter a parábola cortando o eixo das abscissas em dois, um ou nenhum ponto (por quê ?):

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Soma e Produto

Ao somarmos ou multiplicarmos entre si as duas raízes de uma equação do segundo grau, obteremos expressões interessantes relacionando tais somas e produtos com os coeficientes a, b e c da equação. Vamos a elas:

Dessa forma, descobrimos um novo jeito, bastante útil, de resolvermos uma equação do segundo grau rapidamente. Basta encontrarmos dois números cuja soma seja igual a -b/a e cujo produto seja igual a c/a. Tais números serão as raízes procuradas.

Que tal agora reescrevermos nosso polinômio do segundo grau utilizando as relações recém-obtidas ?

Note como tal forma de escrever um polinômio do segundo grau nos mostra claramente que ele se anula quando o valor de x é idêntico a uma de suas duas raízes.

E isso encerra nosso estudo sobre os tópicos mais importantes relacionados a este importante polinômio (e a equação do segundo grau correspondente). Para consolidar o que aprendeu aconselho a repetir todas as passagens que você não tiver certeza de ter assimilado nesta aula. Treine os métodos de resolução em diferentes equações do segundo grau. Descubra em quais situações um método é mais fácil de ser utilizado do que outro. Trace gráficos de diversos polinômios do segundo grau, identificando os pontos mais relevantes (ponte onde o gráfico corta os dois eixos, por exemplo). Calcule analiticamente tais pontos e confira em seu gráfico. Quanto mais familiar você estiver com estes polinômios mais rapidamente você resolverá problemas relacionados a ele (Imagine resolver de cabeça uma equação do segundo grau apenas utilizando soma e produto ou invés de perder alguns minutos utilizando a extensa fórmula de Bhaskara).

Lykke til

exercício proposto: Construa o gráfico dos seguintes polinômios do segundo grau, identificando suas raízes e o ponto mais alto (ou baixo) da parábola.

Equação do 1º Grau

2008-09-10T14:24:00.000-03:00

مرحبا اصدقاء

Dando continuidade aos nossos estudos sobre álgebra, hoje nos depararemos pela primeira vez com os entes matemáticos denominados polinômios. Mais especificamente, estaremos lidando com uma subclasse mais restrita denominada monômios. Como é de praxe, que tal nos relembrarmos de alguns conceitos antigos para podermos encaixar outros novos ?

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Plano Cartesiano

Lembram-se de Alice e Bob, os irmãos assopradores de velinhas de aniversário ? Vamos relembrar o sistema de equações que resolvemos para encontrarmos suas idades:

Vamos isolar a idade de Beto na primeira equação:

Tal expressão nos fornece a idade atual de Beto em função da idade de Alice, ou seja, nos diz que Beto terá 30 anos se Alice tiver 5, 25 anos se Alice tiver 10, 20 se Alice tiver 15 e assim por diante. Podemos representar tal relação através de um gráfico:

Onde cada ponto da reta oblíqua representa um par de valores dados, respectivamente, pelas suas coordenadas horizontais e verticais (ou abscissas e ordenadas). Note que a reta cruza os eixos nos pontose. Consegue enxergar o porquê disso ?

Os eixos perpendiculares que utilizamos para representarmos num gráfico a relação entre as possíveis idades dos irmãos é denominado Plano Cartesiano. Ele recebe tal nome em homenagem a René Descartes, um filósofo natural do século XVII cujas contribuições para a ciência e filosofia perduram até os dias de hoje (já ouviram falar de "Penso, logo existo" ?). É creditado a ele a prática de representar pares de números em um plano através de suas posições espaciais. Considerando que a maior parte das informações que recebemos e processamos chega a nós através de nosso córtex cerebral podemos imaginar a importância do plano cartesiano para a melhor visualização de abstratos conceitos matemáticos. Que tal analisarmos um outro exemplo para entendermos melhor o assunto ?

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Coeficientes Angulares e Lineares

Consideremos agora nossa segunda equação:

Utilizaremos um plano cartesiano para melhor enxergarmos as propriedades de tal equação:

Note que desta vez a reta cruza os eixos nos pontos e (verifique que tais pontos satisfazem a equação da reta).

Juntemos as duas retas em um único gráfico afim de estudarmos melhor suas diferenças:

Primeiramente, note que o ponto de interssecção entre as duas retas, , é a solução do nosso problema (Alice com 10 anos e Beto com 25). Isso não é de se espantar, uma vez que o ponto de intersecção entre as retas é o ponto que satisfaz as duas equações simultaneamente. Assim, aprendemos uma segunda maneira de resolver sistemas lineares, através de uma abordagem gráfica.

Vamos agora nos concentrar nas propriedades de cada gráfico. Note que o primeiro se consiste de reta inclinada para cima, ou seja, uma reta crescente, enquanto o segundo se consiste de uma reta inclinada para baixo, ou seja, uma reta decrescente. Tal comportamento é dado pelo sinal do número que multiplica a incógnita, denominado por coeficiente angular. Na primeira equação temos que o coeficiente angular vale -1, o que faz com que a reta seja decrescente, enquanto na segunda equação temos que o coeficiente angular vale 2, o que faz com que a reta seja crescente. Analisando o primeira gráfico, notamos que a cada quadradinho que nos deslocamos para a direita em cima do gráfico nos deslocamos um quadradinho para baixo. Enquanto isso, no segundo gráfico, temos que a cada quadradinho que andamos para a direita o gráfico anda dois quadradinhos para cima. Quando você visualizar e entender a relação entre os coeficiente angulares e a última sentença você será capaz de extrair o coeficiente angular de qualquer reta representada em um plano cartesiano.

Vamos agora definir um novo conceito, o chamado coeficiente linear. Preste atenção no número que é somado à incógnita multiplicada pelo coeficiente angular. Note que na primeira equação tal número vale 35, enquanto na segunda equação o número correspondente vale 5. Perceba que tais números correspondem à coordenada vertical do ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas. Isto se dá porque o ponto em que o gráfico corta o eixo vertical é justamente aquele em que a posição horizontal, isto é, a incógnita, vale zero, restando apenas o coeficiente linear para atribuir valores à equação. Note que uma mudança no coeficiente linear de uma equação deslocará o gráfico na direção vertical mudando, assim, o ponto onde ele corta o eixo das ordenadas. Por outro lado, uma mudança no coeficiente angular causará uma mudança na inclinação do mesmo.

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Forma Geral da Equação do 1º Grau

Nossos dois exemplos anteriores são exemplos monômios, cuja forma geral pode ser representada do seguinte modo:

Onde y representa o valor da ordenada, x o valor da abscissa (incógnita), m o coeficiente angular da reta e n o coeficiente linear. Monômios são caracterizados por não possuírem potências de x maiores do que 1, como Quando igualamos tal expressão a zero temos uma equação do 1º grau:

E por hoje finalizamos nossos estudos. Procure fixar muito bem os conceitos de coeficientes lineares e angulares, o que cada um representa, a diferença entre eles, etc... Um domínio eficiente de tais conceitos fundamentais será indispensável em nossos futuros estudos sobre polinômios.

حظ سعيد

exercício proposto: Um carro sai de uma cidade A com uma velocidade constante de 80 Km/h em linha reta, através de uma rodovia que liga a cidade A à cidade B. Um segundo carro sai da cidade B pela mesma rodovia, porém na direção de A, com uma velocidade contante de 100 Km/h. Sabendo que a distância entre A e B é de 360 Km, trace o gráfico espaço x tempo dos dois veículos em um plano cartesiano e descubra em que ponto da estrada eles se encontrarão.

Dinâmica

2008-09-06T14:54:00.000-03:00

Bonjour les amis

Hoje continuaremos nossos estudos sobre mecânica. Como prometido na lição sobre cinemática desta vez iremos nos preocupar com as causas dos movimentos dos corpos. Em nossa jornada pelas leis fundamentais que regem o movimento de todos os corpos do universo iremos nos deparar vezes sem conta com um conceito físico extremamente importante. De fato, as próprias leis de movimento serão obtidas forçando tal quantidade física ser uma grandeza conservável (sabe como é: "Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma... aquele papo..."). Vamos a ela então:

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Momentum

Todos nós, em nossas vidas diárias, sabemos que objetos mais massivos são mais difíceis de serem colocados em movimento do que objetos com massas menores. Na verdade, o próprio conceito de massa na verdade é uma medida da dificuldade de se acelerar (ou brecar) um determinado corpo (quando pesamos algum objeto numa balança, estamos na verdade medindo a força necessária que o prato da balança precisa exercer no corpo de forma a impedi-lo de continuar sua trajetória natural em direção ao centro da Terra, acelerado pela gravidade terrestre). Além disso, também sabemos instintivamente que é mais difícil brecarmos um corpo veloz do que um corpo possuidor de uma velocidade menor (pensa em como deve ser mais desagradável ser atropelado por um carro andando a 100 Km/h do que ser atropelado pelo mesmo carro andando a 10 Km/h). Assim sendo, que tal criarmos uma quantidade física que traduza tais informações experimentais ?

Denominamos tal quantidade, o produto da massa de um corpo pela sua velocidade, por momentum ou, como é comumente conhecido nas aulas de física do 2º grau: quantidade de movimento (Você pode se perguntar porque escolhemos a letra p para representarmos a quantidade denominada momentum. Por razões óbvias a letra m não poderia ser utilizada, já que já a usamos para a massa. Acontece que na física, assim como em outros ramos do conhecimento, existem tradições e convenções que permanecem ao longo dos anos, de maneira a facilitar o estudo e a comunicações entre as pessoas. Provavelmente a letra p foi escolhida simplesmente por não ser uma letra associada a nenhuma outra quantidade que apareça frequentemente em física, e tem sido usada para denotar a quantidade física momentum desde então).

Veremos que as leis que regem a dinâmica dos corpos, ou seja, as Leis de Newton, nada mais são do que subprodutos de um conceito físico mais fundamental: o momentum total de um sistema fechado é uma quantidade conservada. Um exemplo interessante de tal lei de conservação é o seguinte sistema, formado por cinco esferas de metal de massas idênticas penduradas por fios: [googlevideo=http://video.google.com/googleplayer.swf?docId=-663833288534244373] Notem como a massa e a velocidade das esferas em movimento permanecem constantes, apesar das esferas se revezarem entre os papéis de "em movimento" e "paradas". Percebam também como o momentum entre elas é trocado através das esferas centrais. No experimento anterior, o fato das massas das esferas serem idênticas nos garante que a velocidade delas seja mantida constante conforme o momentum é trocado entre elas. O que aconteceria se a massa fosse diferente ? Numa transferência de momentum de um corpo mais massivo para um corpo menos massivo a velocidade do segundo corpo teria que ser maior para compensar a massa menor e manter o produto constante. Experimente soltar uma bola de tênis e uma bola de basquete simultaneamente, com a bola de tênis enconstada no topo da bola de basquete, e observe o que acontece no momento em que o sistema toca o solo!

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Primeira Lei de Newton (ou "Um corpo isolado não ganha nem perde Momentum"):

Podemos enunciar a Primeira Lei de Newton como:

Um corpo livre de interações manterá constante seu momentum.

Assim, um corpo parado permanecerá parado e um corpo em movimento manterá sua velocidade (pois sua massa é constante) até que interações com outros corpos mudem seu estado de movimento.

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Segunda Lei de Newton (ou "Perdas e Ganhos de Momentum"):

A segunda Lei de Newton pode ser vista como a definição de um novo conceito físico, denominado força:

que nada mais é do que a taxa de variação temporal de momentum. Deste modo, sempre que tivermos um corpo cujo momentum está sofrendo uma variação, podemos dizer que uma força F está agindo no mesmo. Para o caso especial onde o corpo mantém sua massa constante durante a aplicação de tal força, teremos:

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Terceira Lei de Newton (ou "Para alguém ganhar outro deve perder"):

Finalmente, para garantirmos que o momentum total de um sistema se conserva, deveremos fazer com que os ganhos de momentum de determinados corpos sejam contrabalançados por perdas idênticas em outros corpos. Faremos isso supondo que todas as forças que um corpo sente sejam necessariamente causadas por sua interação com outros corpos, e que estes segundos corpos sofram também uma força causada pelos primeiros corpos, de mesma intensidade porém sentidos contrários. Vamos exemplicar: Denotando a força que o segundo corpo exerce no primeiro corpo por e a força que o primeiro corpo, por sua vez, exerce no segundo por , teremos necessariamente a seguinte relação:

Uma maneira usual de enunciar a terceira Lei de Newton é: Para toda ação, há uma reação igual e contrária.

Ou seja, a variação temporal total de momentum deve ser nula:

E por hoje ficamos por aqui. Daqui para frente tente olhar o mundo com novos olhos. Enxergue cada interação no universo como uma troca de momentum entre corpos, onde a taxa de variação temporal de tal troca é representada por forças entre eles. Desta forma você estará apto a aplicar de forma intuitiva as três leis que governam a dinâmica e, assim, estudar de uma maneira satisfatória o choque entre bolas de bilhar, a queda de uma maçã no pomar e a órbita da lua ao redor da Terra... o céu é o limite!

Bonne Chance!

exercicio proposto: Considere um foguete em pleno espaço sideral. Sua massa é de exatamente uma tonelada no momento em que seus motores são acionados. Sabendo que metade da massa do foguete é constituída de combustível e que o foguete libera os gases propulsores a uma velocidade de 100 m/s e com uma taxa de 100 Kg/s, calcule a força exercida no foguete. Calcule a velocidade final do foguete após o esgotamento do combustível. Lembre-se: O foguete é um corpo cuja massa não permanece constante durante sua aceleração.

Sistemas Lineares

2008-09-01T12:09:00.000-03:00

Hallo Freunde

Hoje iniciaremos nosso estudo do importantissimo, fascinante e extenso ramo da matemática denominado álgebra. Em última análise, todos os problemas que resolvemos utilizando as ciências exatas, inclusive os problemas resolvidos nas postagens anteriores, possuem como pré-requisitos um conhecimento algébrico básico. Mas, ao final de contas, o que é álgebra ?

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"Dando nome aos bois..."

Suponha que você se depare com o seguinte problema: "Alice faz aniversário no mesmo dia que seu irmão Bob. Este ano eles apagaram juntos 35 velinhas em seu bolo de aniversário. Além disso, Alice sabe de antemão que dentro de 5 anos terá direito a um terço das velinhas de seu bolo. Qual a diferença de idade entre Alice e Bob ?"

Em um problema matemático, nem sempre as informações são fornecidas da forma mais simples e direta (ei, quem disse que a vida era fácil ?). Talvez você consiga, apenas lendo o enunciado acima, adivinhar as idades dos irmãos através de um processo de tentativa e erro (sabendo que eles possuem, juntos, 35 anos, você poderia checar cada umas das combinações possiveis, 34 e 1, 33 e 2, 32 e 3, etc..., até encontrar uma que satisfaça todas as informações fornecidas pelo problema). Porém, se este é o único modo que você conhece para resolver esse tipo de problema eu não me surpreenderia se você fugisse de uma prova de matemática como o diabo foge da cruz ! Naturalmente existem jeitos muito mais espertos e divertidos para se abordar tal situação. E é aí que a álgebra entra. O primeiro passo de nossa tática de guerra será identificar e registrar toda informação fornecida pelo enunciado do problema em linguagem matemática. Para as quantidades desconhecidas do problema, denominadas incógnitas, utilizaremos letras ao invés de números. Teremos então:

Onde A e B representam, respectivamente, as idades de Alice e Bob (com um subindice temporal indicando se nos referimos às idades atuais ou àquelas que eles terão daqui 5 anos). Antes de continuarmos, que tal reescrevermos a segunda equação de uma maneira mais esteticamente agradável aos olhos ?

Assim, nosso pequeno sistema de equações se torna:

(Note que poderíamos ter escrito a segunda equação diretamente se raciocinássemos do seguinte modo: Se Alice do futuro possui um terço das velinhas, Bob do futuro deverá possuir dois terços, ou seja, o dobro de velinhas de Alice.)

Estamos quase prontos para resolver o problema. Note que até agora obtivemos duas equações com cinco incógnitas, ou seja, cinco quantidades desconhecidas ( ). Neste ponto, gostaria de compatilhar com vocês o grande segredo envolvendo a resolução de sistemas de equações: Um sistema necessita ter o mesmo números de equações e incógnitas para poder ser resolvido. Você pode pensar nesta regra como uma espécie de conservação de informações. Para cada incógnita de um problema você precisa de uma informação dada a priori. Se possuirmos mais incógnitas do que dados, sempre poderíamos encontrar infinitas maneiras de ajustá-las de maneira a satisfazer todas as equações dadas. É apenas quando fornecemos a mesma quantidade de restrições que podemos definir unicamente um conjunto de incógnitas. Felizmente podemos escrever duas de nossas incognitas em função das outras duas:

Assim, teremos finalmente um sistema de equações solúvel:

ou, subtraindo 5 de ambos os lados da segunda equação:

Temos agora um sistema de equações lineares (lineares porque não temos nenhuma incógnita elevada ao quadrado, ao cubo ou nenhuma outra potência...) bem montado e esteticamente agradável que, mais importante de tudo, contém todas as informações dadas pelo enunciado do problema. Estamos prontos para concentrar todos nossos esforços em sua resolução de maneira a encontrarmos os valores das duas incógnitas.

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Recortar (Ctrl+X) e Colar (Ctrl+V)

Uma das maneiras de se resolver o sistema acima é a seguinte:

Utilize umas das equações para escrever uma das incógnitas em função da outra.
Substitua tal incógnita na outra equação.
Encontre o valor exato da segunda incógnita.
Utilize tal valor para encontrar o valor exato da primeira incógnita, utilizando a relação obtida no passo 1.

Ao analisarmos nossa segunda equação, vemos que o passo 1 já foi cumprido. Assim, partimos para o passo dois e subsituímos tal relação na primeira equação:

Para completarmos o passo 3, devemos isolar de um lado da equação nossa incógnita:

Agora, com uma das incógnitas em mãos o nosso problema está prestes a ser resolvido. Basta substituirmos tal valor em qualquer uma das equações originais para encontrarmos o valor de B. Escolherei a segunda:

Pronto ! Descobrimos que Alice possui 10 anos e Bob 25. De fato, juntos eles possuem 35 anos e, daqui a 5 anos, Alice terá 15 anos, metade da idade de Bob, 30 anos e um terço da idade total 45 anos.

E por hoje ficamos por aqui. Treine você mesmo as técnicas desenvolvidas aqui resolvendo outros problemas, ou crie seus próprios problemas ! Acredite, você terá algumas horas de diversão garantidas enquanto treina seu raciocínio algbébricos para os problemas que o futuro reserva a você.

Viel Glück Freunde

Exercício proposto: Ana, Beto e Carlos a um restaurante comemorar o aniversário de Carlos. Carlos insistiu que pagaria metade da conta. Sabendo que Beto pagou dois terços do valor da conta de Carlos e Ana pagou 50 reais, quanto Beto e Carlos pagaram ? Qual foi o valor total da conta ?

Cinemática

2008-08-29T21:06:00.001-03:00

Bok Prijatelji

Hoje iremos inaugurar nossa seção de física da maneira mais clássica possível: estudaremos o famoso e elementar ramo da mecânica denominado cinemática. Cinemática é uma palavra derivada do radical grego kinema (movimento). Como o próprio nome sugere, não trata de nada mais nada menos do que do estudo do movimento dos corpos materiais. Importante frisarmos de que ela não trata da causa dos movimentos, apenas da descrição dos mesmos. O estudo da causa dos movimentos dos corpos materiais é objetivo de um outro ramo da mecânica denominado dinâmica. Nos ocuparemos dela no devido momento. Por ora devemos retornar ao tempo de Galileo Galilei e aprendermos os princípios gerais da cinemática.

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Aceleração, Velocidade e Espaço

Por razões que ficarão mais clara ao estudarmos a dinâmica dos corpos, o estudo do processo de cálculo de trajetórias se inicia pelo conceito de aceleração. Graças à revolução industrial, todos nós (ou ao menos a grande maioria de nós) estamos familiarizados com tal conceito físico graças à nossa familiaridade com dois importantes componentes de um automóvel: o velocímetro e o acelerador. Instintivamente sabemos que o primeiro mede a velocidade do carro (que nada mais é do que a taxa de variação temporal do espaço que o carro percorre) enquanto o segundo dispositivo, quando pressionado, aumenta tal velocidade, ou seja, imprime uma aceleração ao automóvel (que nada mais é do que uma taxa de variação temporal da velocidade do carro). Quando pressionado, o breque também irá imprimir uma aceleração ao automóvel, porém no sentido contrário à velocidade, fazendo com que a mesma diminua.

Que tal formalizarmos os conceitos anteriores, desenvolvendo fórmulas matemáticas que descrevam tudo o que estamos estudando ? Comecemos pela definição de aceleração como a taxa de variação temporal da velocidade:

Onde denotamos a variação de uma quantidade pela letra grega Δ (delta). Ou seja:

onde os sub-índices "inicial" e "final" se referem aos pontos iniciais e finais da trajetória para a qual estamos calculando a aceleração do corpo (por exemplo, os instantes em que você pressiona e solta o acelerador do automóvel).

A partir de agora iremos supor que temos um movimento com uma aceleração constante, ou seja, um Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.). O análogo de tal situação no nosso exemplo automobilístico seria aquela onde voce mantém o acelerador pressionado numa posição fixa. Analisemos o gráfico aceleração x tempo:

: Variação de velocidade representada como a área do gráfico aceleração x tempo.

Podemos notar facilmente que a variação de velocidade é dada pelo produto da aceleração pelo intervalo de tempo transcorrido, ou seja, pela área debaixo da curva de aceleração. Ou seja:

: (podemos igualar o tempo inicial a zero simplesmente zerando o cronômetro que estamos utilizando para realizar as medidas de tempo no exato instante em que pisamos no acelerador do carro.)

A equação é denominada equação horária da velocidade. É uma expressão que nos fornece a velocidade de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a velocidade inicial e a aceleração do mesmo. Notem que no caso especial em que a aceleração do corpo é nula (Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)) a velocidade se mantém constante ao longo de todo o movimento.

Passemos agora à análise do gráfico velocidade x tempo:

: Espaço percorrido representado como a área do gráfico velocidade x tempo.

Como a velocidade é a taxa de variação temporal do espaço percorrido, este último pode ser calculado como a área debaixo da curva da velocidade num gráfico velocidade x tempo. Utilizando as conhecidas fórmulas geométricas para o retângulo e o triângulo representados na figura (tais fórmulas são discutidas aqui) teremos:

A equação é denominada equação horária do espaço. É uma expressão que nos fornece a posição de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a sua posição inicial, a sua velocidade inicial e a aceleração sofrida por ele.

Vamos obter uma última forma antes de encerrarmos nosso trabalho. Me limitarei a guiá-lo em sua obtenção, de maneira que você tenha a oportunidade de treinar sua capacidade de manipulação algébrica. Primeiramente note que as duas expressões previamente obtidas possuem como variável o tempo. No entanto, em nosso estudo sobre o movimento dos corpos podemos nos deparar com algum problema onde o tempo decorrido não aparece diretamente (por exemplo, num problema em que freamos um carro que possui uma determinada velocidade inicial através de uma determinada aceleração negativa e queremos saber o espaço que ele percorre antes de parar completamente). Poderíamos perfeitamente dividirmos o problema em duas partes, primeiramente utilizando a equação horária de velocidade para calcularmos quanto tempo levaria tal brecada e então utilizarmos tal tempo na equação horária do espaço para obtermos o resultado final. Que tal nos pouparmos do trabalho duplo e realizarmos tal substituição agora mesmo, de maneira a obtermos uma terceira expressão que forneça diretamente o resultado desse tipo de problema?

Primeiro passo: Isole a variável t na equação horária da velocidade.

Segundo passo: Substitua o resultado obtido no passo anterior na equação horária do espaço.

Terceiro passo: Realize as manipulações algébricas necessária, expressando a velocidade final de um corpo em função das outras variáveis de uma maneira simples e elegante.

Se você obteve sucesso em todos os passos, deve ter obtido a seguinte expressão:

Conhecida como Equação de Torricelli.

E por hoje ficamos por aqui. Reflita sobre os conceitos que você acabou de aprender. Eles serão impreenscindíveis nos nossos futuros estudos sobre mecânica. Lembre-se, se você quer aprender física direito terá andado 80% do caminho ao aprender mecânica de uma forma eficiente.

Bok Prijatelji !

exercício proposto: Analise o seguinte vídeo, onde um astronauta solta uma pena e um martelo na superfície da lua e verifica que a aceleração imposta em ambos os corpos é idêntica.

Utilizando os conceitos estudados, calcule a aceleração na superfície da lua. Para medir o tempo de queda dos corpos utilize um cronômetro (use este cronômetro virtual se nao possuir um real). Estime a altura que os objetos foram lançados sabendo que o astronauta mede 1,83 m. Calcule o valor obtido com o valor teórico .

Área de Polígonos

2008-08-27T23:06:00.000-03:00

友達とハロー

Nesta postagem irei ensinar a vocês algumas técnicas de como se calcular a área de algumas figuras geométricas conhecidas como polígonos. Porém, mais importante do que isso será o treinamento que obteremos em se desenvolver fórmulas matemáticas elaboradas a partir de princípios simples e gerais, levando adiante o espírito descrito na postagem anterior. Assim, antes de mais nada precisamos de uma definição simples e poderosa do conceito geométrico área. Vamos a ele!

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Definição de Área

Imagine-se defronte ao seguinte dilema: você decidiu trocar o velho carpete do seu apartamento por um novíssimo e elegante carpete de madeira. Tudo o que você precisa saber antes de se dedicar ao problema de escolher que tipo de carpete quer é quantas placas de carpete você precisará comprar (caso não esteja familiarizado com carpetes de madeira, imagine trocando cada azulejo do chão de uma sala por uma placa de madeira com o mesmo formato e você terá uma idéia sobre o que estou falando). Digamos que você seja esperto e desenvolva o seguinte raciocínio: "contarei quantos azulejos eu tenho embaixo do carpete antigo e simplesmente comprarei a mesma quantidade de placas de madeira". Esta artiminha irá funcionar se você comprar placas de madeira do tamanho exato dos azulejos originais, caso contrário você experimentar uma desagradável frustração ao notar que o número de azulejos e placas necessária não coincidem. O que fazer então ?

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Contando azulejos

Uma análise mais detalhada do problema nos revelará que, caso alguém saiba quantos azulejos cabem numa placa de madeira, o número de placas necessárias para o preenchimento da sala será simplesmente o número de azulejos necessário para o preenchimento da mesma dividido pelo número de azulejos em cada placa (é um problema análogo ao problema de se descobrir quantos times de futebol eu consigo montar dispondo de um certo número de pessoas). Assim, todo o problema se reduz ao problema de se saber quantos azulejos eu possuo na sala e nas placas de madeira e dividir uma quantidade pela outra para se saber quantas placas de madeira cabem na sala !

Resta-nos, pois, o problema de calcularmos quantoas azuejos de um determinado tamanho (qualquer tamanho que seja !) cabem em uma superfície. Notem como não importa o tamanho ou formato deste azulejo intermediário. A resposta final, quantas placas de madeira cabem na sala, não dependerá do azulejo-teste que utilizamos no cálculo do processo. Assim sendo, a maneira mais esperta de abordarmos o problema é escolhermos um azulejo teste que possua uma área que torne o processo de contagem o mais simplificado possível. Percebam como um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento (ou seja, a unidade que estamos utilizando para medir distâncias, seja ela milímetros, centímetros, metros, quilômetros, etc...) resolve o nosso problema:

: Área do chão medida em azulejos quadrados de 1 u.c. de lado

É fácil entendermos porque precisamos multiplicar um lado de um retângulo pelo outro lado para obtermos sua área analisando a figura acima e refletindo sobre a natureza do conceito de área. Definiremos área de uma figura como o número de quadrados de uma unidade de comprimento (ångstrons, centímetros, metros, milhas, anos-luz...) de lado necessários para o total preenchimento da mesma. Para contarmos tais quadrados na figura acima, basta contarmos quantos quadrados existem em uma linha (ou coluna) e multiplicarmos pelo número de linhas (ou colunas) existentes. Definindo a unidade de medida da área de um desses quadrados como uma unidade de comprimento ao quadrado (Å², cm², m², mi², anos-luz²...), teremos que a área do retângulo será justamente o produto de um lado pelo outro, levando em conta as unidade de comprimento !

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Exemplos: Área de diversas figuras geométricas

Já sabemos, do nosso exemplo anterior, como calcular a área de um retângulo (e o caso especial onde seus lados são iguais, também conhecido como quadrado). Utilizando tal conhecimento restrito iremos obter fórmulas para o cálculo de figuras mais complexas.

Paralelogramo:

Podemos calcular a área de um paralelogramo notando que ela é idêntica à área do retângulo possuidor das mesmas dimensões (base e altura).

: Área do paralelogramo obtida pela sua transgormação em retângulo.

Triângulo:

Podemos obter a área de um triângulo notando que sua área é igual à metade da área do retângulo possuidor das mesmas dimensões do triângulo (base e altura).

: Área do triângulo retângulo obtido pela sua transformação em retângulo.

: Área de um triângulo genérico através de sua subdivisão em dois triângulos retângulos.

Trapézio:

Podemos obter a área de um trapézio notando que ela é idêntica à metade da área do paralelogramo com a mesma altura do trapézio e base igual à soma das bases do trapézio.

: Área do trapézio através de sua transformação em paralelogramo.

E nossa lição de hoje acaba por aqui. Tente treinar e consolidar os conhecimentos obtidos através da resolução de alguns exercícios. Tente, ao invés de se lembrar de fórmulas memorizadas, derivá-las novamente sempre que precisar usá-las. Você notará que com o tempo não precisará mais ficar dividindo triângulos e duplicando trapézios sempre que precisar de uma fórmula específica. A fórmula em sua forma final aparecerá claramente em sua mente, cada vez mais rapidamente à medida que o entendimento de sua origem se tornar cada vez mais claro.

頑張って

exercício proposto: Aplique os raciocínios desenvolvidos para tentar encontrar uma expressão para a área de um losango.

Fórmulas Matemáticas

2008-08-26T17:04:00.000-03:00

¡Hola amigos!

O objetivo mais importante desta postagem inicial é mostrar a você a importância de se saber derivar uma fórmula matemática. O que eu quero dizer com isso ? Quero dizer que quero que você descubra que a partir do momento que você descobre de onde saiu uma determinada fórmula matemática você deixa de ser um mero autômato seguindo ordens pré-estabelecidas para se resolver um determinado problema e passa a aplicar seu raciocínio, ao invés de sua memória, na resoluções dos problemas matemáticos que cruzarem seu caminho.

Talvez você esteja cético quanto à utilidade ou até mesmo dificuldade na utilização do poder de se obter fórmulas matemáticas através do raciocínio dedutivo em contraste com a aparente facilidade de se contar com a memória para guardar e trazer à tona todas as fórmulas que você por ventura precisar. Que tal nos utilizarmos de uma pequena analogia para reforçar a idéia que estou tentando vender aqui ?

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Partituras Musicais

Imagine que você decida aprender a tocar piano (ou talvez guitarra ?). Suponhamos agora que você tenha um excelente gosto musical e seja audacioso o suficiente para tentar tocar o clássico Hey Jude dos Beatles. Por onde você começaria sua difícil tarefa ? Tentaria aprender a ler e executar uma partitura musical e simplesmente arranjaria uma cópia da partitura da música (o caminho aparentemente mais fácil) ou exploraria o seu instrumento musical em busca de um melhor entendimento sobre o seu funcionamento, isto é, como é o som que sai de cada tecla (ou corda) e tentaria reproduzir a melodia da música que já se encontra em sua cabeça ? Antes de responder, que tal um pequeno interlúdio musical ? Com vocês, The Beatles !

Notem como Paul toca o piano olhando para a camera, sem nenhum sinal de partitura. John e George não precisam de nada além de suas guitarras (ou baixos, eu nunca sei a diferença =) e Ringo claramente não possui instruções alguma sobre como realizar a percussão da melodia. Ela está em suas mentes, não em forma de bolinhas pretas e brancas espalhadas ao longo de cinco linhas horizontais, mas de uma forma mais natural, simples e inconsciente (ou vocês acham que foram dadas partituras a cada uma das pessoas do coral com o intuito de memorização pelas mesmas ?). Se todo músico tivesse que ler, ou se lembrar, de uma partitura musical e traduzi-la símbolo por símbolo em comandos (segure a terceira tecla durante dois segundos, então solte e segure simultaneamente a 17ª, 34ª e 54ª enquanto toca as teclas 3, 7, 14 e 15 em intervalos de 0.3 segundos, etc...) acredito que dominar as leis da cromodinâmica quântica seria uma trabalho muito mais fácil do que tocar a 5ª sinfonia de Beethoven. Ou será que todo mundo que sabe tirar Hey Jude no violão possui o seguinte conjunto de símbolos gravados em sua memória, e pensa neles enquanto toca ?

: Instruções para a execução de uma melodia

O que eu quero dizer com tudo isso ? O que isso tem a ver com fórmulas matemáticas ? Acontece que partituras musicais e fórmulas matemáticas possuem muito em comum. Ambas são instruções codificadas ! Comandos elaborados por alguém de forma com que quem saiba segui-los realize uma determinada tarefa. Paul e John, ao comporem Hey Jude, deixaram impressos num papel alguns comandos com o intuito de fazer com que outras pessoas tocassem a melodia que até então apenas existia em suas mentes. De uma forma análoga, quando um músico aprende a tocar uma música ele não precisa mais das suas instruções (talvez apenas como um auxiliar de memória, para melodias muito extensas e/ou complexas). Mas no momento que um músico bota os olhos pela primeira vez em uma partitura, dificilmente ele a tocará perfeitamente bem, de uma maneira natural. Antes ele precisa sentir a música, interiorizá-la em sua mente de maneira com que não precise se lembrar de regras de decodificação cada vez que for tocá-la. Alguém resolvendo um problema matemático passará por um processo semelhante. Ele poderá aplicar fórmulas pré-estabelecidas para um determinado problema porém sem a capacidade de raciocínio lógico e dedutivo ele se encontrará em uma inescapável sinuca ao se deparar com um problema para o qual ele não possui nenhuma fórmula previamente decorada.

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"O que eu não posso criar eu não consigo entender."

Assim, qual a solução para o problema ? Como passar de um autômato seguidor de ordens para uma pessoa com um raciocínio matemático bem desenvolvido ? O caminho não é fácil, porém nem tampouco é desprovido de beleza. Os convido para, a partir deste momento, não aceitar usar nenhuma fórmula matemática que você nao possua a mínima idéia de sua origem. Sempre que se deparar com um conceito novo e um conjunto totalmente novo de expressões matemáticas gaste um tempo considerável em aprender como obtê-las a partir de princípios simples e gerais. Você verá que a tarefa ficará cada vez mais fácil, natural, e em pouco tempo você não precisará gastar nenhum esforço em se lembrar que fórmula usar em determinado exercício. Voce saberá que fórmula se aplica a cada caso, pois você agora as entenderá. Quando alcançar determinado ponto de entendimento, você não precisará mais fazer todos os exercícios de matemática do ensino médio já criados (e lembrar de cada um deles) para poder prestar uma prova de vestibular, por exemplo. Apenas entendendo os princípios gerais por trás dos conceitos abordados você será capaz de fazer qualquer prova com muito menos esforço. E jamais esquecerá, pois aprender a pensar é como aprender a andar de bicicleta. É para sempre !

Lembre-se: um computador é ótimo em seguir ordens e em lembrar fórmulas matemáticas mas ele não sabe aplicar seu conhecimento em situações para as quais ele não tenha sido anteriormente programado. Por outro lado, você foi dotado com uma capacidade incrível de aprendizagem, improvisação, criatividade e dedução. Use-as sabiamente...

Doutor Cuca

"Eureka !", Arquimedes e Empuxo

Equação do 2º Grau

Hei venner

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Soma e Produto

Lykke til

Equação do 1º Grau

مرحبا اصدقاء

Plano Cartesiano

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Coeficientes Angulares e Lineares

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Forma Geral da Equação do 1º Grau

حظ سعيد

Dinâmica

Bonjour les amis

Momentum

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Primeira Lei de Newton (ou "Um corpo isolado não ganha nem perde Momentum"):

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Segunda Lei de Newton (ou "Perdas e Ganhos de Momentum"):

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Terceira Lei de Newton (ou "Para alguém ganhar outro deve perder"):

Bonne Chance!

Sistemas Lineares

Hallo Freunde

"Dando nome aos bois..."

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Recortar (Ctrl+X) e Colar (Ctrl+V)

Viel Glück Freunde

Cinemática

Bok Prijatelji

Aceleração, Velocidade e Espaço

Bok Prijatelji !

Área de Polígonos

友達とハロー

Definição de Área

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Contando azulejos

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Exemplos: Área de diversas figuras geométricas

Fórmulas Matemáticas

¡Hola amigos!

Partituras Musicais

"O que eu não posso criar eu não consigo entender."

¡Hasta la vista, muchachos!