Little Professor par draggin sur flickr

Soyons fous : à Copenhague, adoptons la “société à 2ooo watts“. Divisons la consommation d’énergie de l’Europe par 3, persuadons Obama de réduire celle des USA d’un facteur 6 et la Chine de stopper la croissance de la sienne pour que le monde entier se retrouve à la moyenne actuelle de sa consommation d’énergie, mais propre.

Un petit calcul sur la Suisse pour commencer :

• 7.5 millions d’habitants à 2000 W, ça donne une puissance de 15 Gigawatt à produire en continu.
• 15 GW x 8766 heures donnent 141.5 Terawattheure (TWh) d’énergie à produire annuellement.
• Nos barrages produisent 42.3 TWh
• Les plans les plus optimistes pour le solaire+éolien prévoient 10 TWh en 2050. Dans le meilleur des cas, les énergies renouvelables couvriront donc  30% de nos besoins réduits d’un facteur 3 …
• Heureusement, la société à 2000W nous permet tout de même 25% d’énergies fossiles, soit 36 TWh au maximum.
• Les centrales nucléaires existantes fourniront 25.3 TWh jusqu’à ce qu’elles rouillent.
• Restent 28 TWh à produire. Comment ???

Passons au calcul mondial :

• 7 milliards d’habitants (en 2012) x 2000 watts x 8766 heures = 116′580 Tetawattheures
• 25% de pétrole, gaz, charbon : 29′145 TWh soit 2.5 milliards de tonnes équivalent pétrole, le quart de la consommation actuelle de charbon+pétrole+gaz , soit celle des années 1950:
  

  Evolution de la consommation mondiale d'énergie. Source : J.-M. Jancovici (Manicore)

• 14′000 TWh de biomasse (=bois), biocarburants et biogaz
• la production actuelle d’électricité est de 19′000 TWh , dont :
  • 3000 TWh hydrauliques
  • 242 TWh éoliens
  • 509 TWh de géothermie
  • 5 TWh photovoltaïque… Allez, ajoutons les 45.3 TWh de solaire thermique pour les encourager …
  • marémotrice et hydroliennes : autant que le photovoltaïque : 5 TWh
  • et 2587 TWh nuclaires
  • le reste, soit 12′607 TWh est actuellement produit par des centrales thermiques au charbon, gaz et pétrole. Normalement on devrait inclure ceci dans les 25% de pétrole, mais admettons qu’on équipe toutes ces centrales de systèmes de capture et de stockage du CO2, ok ?

  Admettons qu’on arrive encore à doubler la production hydroélectrique et multiplier par 10 la production des autres renouvelables pour atteindre 14′513 TWh. Vous pouvez multiplier par 100 le photovoltaïque si vous voulez, ça ne change rien. Arrondissons la production future d’électricité totale à 30′000 TWh

• Total de la production : 73′145 TWh, soit seulement 60% de la consommation d’une humanité à 2000 watts.
  Comment produira-t-on les 43′600 TWh manquants ???

Je rappelle que ce scénario est basé sur des propositions environnementalistes actuelles qui impliquent une réduction d’un facteur 3 de la consommation d’énergie de l’Européen moyen…. Une utopie, passe encore, mais si le total ne joue pas, je m’inquiète…

*Note : Le titre de l’article “shut up and calculate” est la devise attribuée à “l’école de Copenhague“, active en mécanique quantique. Elle consiste à dire qu’à un certain niveau, il faut arrêter de s’interroger sur le sens philosophique ou métaphysique des choses, et se fier uniquement aux résultats des calculs…

Votre banquier et les écolos environnementalistes vous le répètent à l’envi : il faut maximiser le rendement. Le moteur pétaradant de votre voiture du millénaire passé a un rendement inférieur à 30% à cause de Carnot, alors que le moteur électrique de votre véhicule futur est 3x meilleur : 90% de l’énergie électrique qu’on lui donne sert à faire avancer la voiture. Y’a pas photo.

Sauf que.

D’abord, pour calculer un rendement, il faut tenir compte de toutes les “sorties utiles” du système, pas seulement de la plus évidente. Les 70% de “perte” d’un moteur à essence sont de la chaleur gratuite qui réchauffe votre habitacle l’hiver et surtout qui tient vos vitres dégivrées. Avec son super rendement de 90%, la Tesla de mes rêves (100′000 Euros…) ne permet pas de rouler en hiver! La version 2 promise l’année prochaine sacrifiera environ 3 kW de précieuse puissance électrique pour remplacer doudoune et grattoir… Le même argument s’applique aux ampoules à basse consommation : elles n’économisent pas tant que ça, et certainement pas du CO2.

Ensuite, il ne faut pas oublier des éléments de la chaine : un moteur électrique a un rendement mécanique de 90%, mais la bonne batterie qui l’accompagne dans une voiture ne restitue que 90% de l’énergie de la charge. Rendement des deux : 81%. Et si on produit l’électricité avec une centrale nucléaire d’un rendement de 30%, le rendement global tombe à 24%. Finalement, les pistons ne sont pas si ridicules que ça…

Mais vous pensiez peut-être produire de l’électricité absolument propre avec  ces toutes nouvelles cellules photovoltaïques offrant 35.8% de rendement ? Pour les voitures, c’est une mauvaise idée. Mais surtout la Terre tourne et l’éclairement maximal n’a lieu qu’au solstice d’été à midi. Sur un an, la lumière moyenne à nos latitudes n’est que 20% de ce maximum. Rendement total du photovoltaïque : 20% de 35.8% = 7%…  Idem pour l’éolien : la Limite de Betz plafonne le rendement de l’hélice à 60%, mais à un endroit bien choisi, la puissance moyenne du vent n’est que le quart de la puissance max exploitable. Rendement total de l’éolien : 15%.

Nuage de monoxyde de dihydrogène... Photo : Koert Michiels sur flickr

Les centrales nucléaires ont effectivement un rendement maximal limité à 30% par le cycle de Carnot (plus 70% de chaleur qui pourrait être utilisée en hiver), mais elles fonctionnent 90% du temps.

On pourrait rétorquer que, comme seuls environ 5% des atomes du combustible fissionnent, le rendement électricité produite / énergie potentielle du combustible est un lamentable 1.5% à tout casser. Mais même comme ça, l’électricité nucléaire est 2 à 10 fois meilleure marché que les énergies renouvelables.

Mais surtout, l’énergie nucléaire possède une marge de progression du rendement énorme, que n’ont pas les autres sources d’énergie. En principe, on pourrait tirer jusqu’à 20 fois plus d’énergie de chaque kg d’Uranium qu’actuellement. Ou en produire 20 fois plus longtemps, en produisant 20 fois moins de ces “déchets” radioactifs gorgés d’énergie potentielle. Voilà pourquoi le nucléaire est loin d’avoir dit son dernier mot.

Excellente présentation vendredi passé au Microclub [1] par Sandor Kasas, du Laboratoire de Physique de la Matière Vivante (LPMV) de l’EPFL. Il nous a expliqué comment les microscopes à force atomique permettent d’observer, de filmer voire de palper les “briques de la vie” (protéines, enzymes, ADN) en plein action.

Il a commencé par nous expliquer comment fonctionne un microscope à force atomique, AFM pour les intimes. C’est une évolution du microscope à effet tunnel (STM) inventé (en Suisse) en 1981 par Gerd Binnig et Heinrich Rohrer. Ils ont obtenu pour ça le prix Nobel 5 ans plus tard seulement (un record récemment battu par Obama).

Le principe du STM consiste à promener une pointe ultra fine au dessus d’une surface à observer, et à mesurer le “courant tunnel” produit par les électrons passant de l’échantillon à la pointe, ce qui permet de mesurer la distance entre les deux et de produire des images avec une résolution sub atomique. Plus fort encore : en appliquant une plus forte tension entre la pointe et l’échantillon, on parvient à coller un atome à la pointe, puis aller le déposer à un endroit précis, pour réaliser des choses incroyables comme celle-ci:

cercle de 48 atomes de fer déposés sur du cuivre chez IBM. Diamètre = 14 nanomètres. les vagues au centre sont produites par la superposition des fonctions d'onde des atomes, preuve que la mécanique quantique n'existe pas que dans les livres.

Le STM souffre toutefois de quelques limitations: il ne fonctionne que dans un vide très poussé, avec des échantillons conducteurs d’électricité refroidis bien en dessous de 0°C.

poutre flexible de microscope à force atomique, et sa pointe

Ces inconvénients n’existe pas avec l’AFM, qui “palpe” la surface en mesurant avec un laser la nanométrique flexion  d’une minuscule poutre portant la pointe, sous l’effet combiné des forces  de Van der Waals (attractive) et électrostatique (répulsive). Avec un AFM, on peut observer des échantillons dans l’eau, à température ambiante. On peut observer de la matière vivante !

Sandor Kasas nous a ainsi montré de spectaculaires images de brins d’ADN  comme celle-ci, qui sera expliquée en détail plus bas:

image LVPM-EPFL

Mieux encore : on arrive à  appliquer des forces très précises sur l’échantillon, en appuyant les quelques atomes de l’extrémité de la pointe dessus.  Après avoir déposé  des microtubules sur un substrat percé, l’équipe du LPMV est ainsi parvenue à mesurer les modules d’élasticité et de cisaillement de ces constituants de la paroi cellulaire [2]!

ADN Topoisomérase II (image : Wikipedia)

Plus fort encore : l’AFM permet de mesurer la force avec laquelle des protéines se lient entre elles, et de mieux comprendre des phénomènes biochimiques inaccessibles jusqu’ici. Sandor Kasas nous a ainsi présenté une étude sur le “complexe snare” , la membrane cellulaire du bout des axones où les neurotransmetteurs sont libérés pour transmettre l’influx nerveux entre les neurones. En mesurant les forces d’adhésion entre les protéines syntaxin 1 (sx1), SNAP-25 (S25) et VAMP 2 (V2), les chercheurs sont parvenus à  comprendre comment elles étaient agencées et comment  la toxine du tetanos (TeTx) perturbe le fonctionnement de ces protéines. [3] Wow !

Mais la recherche qui m’a le plus excité est celle qui a produit les images d’ADN plus haut. L’ADN est une très longue molécule : chacune de nos cellules en contient environ 1 mètre, super enroulée en une minuscule pelote, ce qui cause inévitablement des noeuds. Mais des “têtes de lecture” se promènent le long des brins d’ADN pour les décoder ou les répliquer, et les noeuds risquent de bloquer ce mécanisme vital.

Heureusement, il y a la topoisomérase II. C’est la présence de cette enzyme qui permet à la pelote de la première photo de se dénouer complètement en un petit quart d’heure. On n’est pas encore certains de comment elle fait, mais les chercheurs du LPMV aimeraient bien poursuivre leurs travaux [4] et prouver qu’elle triche en coupant un brin et en le raccommodant après avoir croisé l’autre! Un éviteur d’axe biologique ! incroyable, non ?

Cette présentation fait partie des 10 meilleures auxquelles j’aie assisté, toutes catégories confondues. Merveilleusement multidisciplinaire, on naviguait en toute confiance entre mécanique quantique et biologie, entre chimie, optique et dynamique. Un régal. Merci Dr. Kasas !

Références:

1. S Kasas, “Presentation Microclub 2009″, (pdf des slides avec encore plus d’images)
2. A Yersin et al “Interactions between synaptic vesicle fusion proteins explored by atomic force microscopy“, Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), July 22, 2003 vol. 100 no. 15, p 8736-8741
3. A. Kis, S. Kasas et al “Nanomechanics of Microtubules”, Physical Review Letter, 2002, Vol. 89, Nr 24
4. Erika Ercolini “Scaling Properties of DNA Knots Studied by Atomic Force Microscopy”, EPFL Thèse No 4041, 2008

La sonde Cassini devait explorer le système de Saturne jusqu’en 2008, mais sa fantastique moisson d’informations a été prolongée jusqu’en 2010 pour observer l’équinoxe de Saturne, le moment où la lumière du lointain Soleil rase le plan des anneaux. C’est ces jours-ci. Cassini a pris de  fantastique photos dont mes préférées sont ci dessous.

Mais tout d’abord, une bonne nouvelle : il est question de prolonger la mission Cassini jusqu’en 2017, le prochain solstice sur Saturne !  Il faut juste convaincre la NASA de débourser $80′000′000 par an en salaires des équipes qui gèrent la sonde (ils sont beaucoup, ou bien payés ?) Ca fait cher la photo, mais ça vaut vraiment le coup. Go yankees, go !

La lune Promethée et la perturbation qu'elle cause à l'anneau F de Saturne. Image prise dans le visible à environ 950'000 km de Saturne. (NASA/JPL/Space Science Institute)

Le "sillon de Keeler" est creusé dans l'anneau A par la lune Daphné, le petit point blanc au milieu du sillon. On voit les vagues créées par la gravité de Daphnée sur les bords du sillon. Image prise le 11 juillet 2009 à environ 496,000 km de Daphnée. (NASA/JPL/Space Science Institute) #

L'ombre rasante d'une lune sur les anneaux, dont on voit que les caractéristiques optiques sont très variables (NASA/JPL/Space Science Institute) #

Montage montrant l'influence des lunes Prométhée et Pandore sur l'anneau F (NASA/JPL/Space Science Institute)

Si ça vous plait, regardez encore les autres photos ici.

Sources:

• John Spencer: “Cassini’s proposed extended-extended mission tour“
• Le très bon site officiel de Cassini
• La sonde Cassini-Huygens sur Wikipedia

En ballade dominicale au Signal de Bougy (un parc surplombant le Lac Léman, entre Genève et Lausanne), je suis tombé sur une excellente initiative : le “Parcours Alph@” de “Rezoscience“.

Rezoscience est le “Réseau Romand Science&Cité”, une association regroupant les universités et une trentaine de musées de Suisse Romande. Elle coordonne un agenda de manifestations, des activités pour enfants. Le site web est un peu “statique” et  mériterait un lifting 2.0 (des flux RSS svp !) car on y trouve beaucoup de contenu intéressant qui devrait être mieux mis en valeur, comme l’espace questions.

Les “Parcours Alph@” sont une vraiment bonne idée : avec Madame G. et nos deux adolescentes, nous avons passé un bon moment à nous triturer les neurones et à apprendre des choses intéressantes avec les 16 panneaux de “Matière à réflexion” que vous pouvez consulter en ligne. Les thèmes abordés sont variés, tous intéressants et favorisent plutôt la réflexion que les connaissances, ce qui permet aux plus jeunes de ne pas être frustrés.

Mon poster préféré est celui là :

La réponse est vraiment étonnante... Un autre panneau nous a retenu assez longtemps:

On voit bien des choses étonnantes sur cette photo, mais à mon humble avis certaines explications de la solution sont discutables:

• Le drapeau ne flotte pas plus au vent que sur la photo originale de la mission Apollo. On voit bien la tige, ce n’est donc pas une erreur.
• Pour le réveil, ok on ne peut pas l’entendre sonner dans le vide, mais on peut aussi arguer qu’il n’y a pas d’heure sur la Lune puisqu’elle ne tourne pas sur elle-même…
• Pas sur du tout que le ballon aurait explosé. Tout dépend de la pression avec laquelle il a été gonflé. La pression dans un ballon de baudruche est d’environ 20 hectopascals supérieure à l’extérieur, donc un ballon gonflé à cette pression devrait survivre dans le vide.

On trouve aussi un peu d’auto-dérision science-fictionesque grâce à cette magnifique contribution de la Maison d’Ailleurs d’Yverdon:

J’avoue avoir voté en désespoir de cause pour “Des yeux de phocapotame” alors qu’il s’agissait de “deux globes de verre surmontant un engin volant électrique“, plus visible ici et dont le principe de fonctionnement me parait décidément très nébuleux…

J’espère que rezoscience continuera à proposer des “parcours alph@”, ou mieux encore, que cette excellente idée soit reprise un peu partout pour stimuler les neurones scientifiques des promeneurs. Bravo !

Après des millénaires d’observation du ciel à l’oeil nu, la lunette de Galilée et les grands télescopes nous ont permis de voir des objets beaucoup plus lointains et beaucoup moins lumineux, mais toujours “visibles”.

L’atmosphère diffusant les infrarouges et nous protégeant des rayonnements ultraviolets et à haute énergie, les seuls autres rayonnements que nous pouvons capter au niveau du sol sont les ondes radio et millimétriques. Mais depuis quelques années, les instruments placés en orbite permettent de fournir des informations sur le cosmos qu’il serait impossible d’obtenir depuis le sol.

infographie du CNRS. Cliquer pour pdf haute résolution annoté

Désormais, nous sommes capables de capter les photons de toutes les fréquences, donc de toutes les énergies. Ces instruments combinés aux techniques d’imagerie informatique élargissent le spectre des couleurs visibles à l’œil en produisant des images visibles à partir de rayonnements invisibles.

Voici  un petit tour d’horizon des principaux instruments qui complètent Hubble et les télescopes optiques traditionnels, illustré avec les dernières images qu’ils ont fourni.

Dans l’infrarouge, la découverte par Spitzer d’un gigantesque anneau de poussière entourant Saturne montre qu’on peut encore découvrir des choses surprenantes dans notre propre système solaire. (L’image ci-dessous est un dessin d’artiste, la vraie image étant moins sexy, mais il y aura certainement bientôt une image de l’anneau complet)

vue d'artiste de l'anneau de Saturne observé dans l'infrarouge par Spitzer

Dans l’ultraviolet, ce sont principalement Galex et Swift qui scrutent le ciel. Swift a produit une magnifique image de la galaxie d’Andromède (M31) dans laquelle on peut distinguer 20′000 sources, principalement de jeunes étoiles. Admirez ça :

Chandra est le télescope spatial à rayons X  le plus productif actuellement. Les rayons X sont produits par des phénomènes très violents, souvent liés aux trous noirs. Récemment Chandra a produit la partie orange de cette image de NGC 6240 :

centre de la galaxie NGC 6240, visible en blanc, rayons X en orange (clqiuer pour plus d'infos)

On distingue au centre deux sources très lumineuses. Il s’agit de deux trous noirs supermassifs qui furent les centres de deux galaxies qui ont fusionné pour former NGC 6240. Ils se tournent autour en irradiant d’énergie les environs, baignant une bonne partie de la galaxie de rayons X. Dans quelques dizaines de millions d’années, lorsque les deux trous noirs fusionneront , ce sera l’Apocalypse selon OJ 287.

Ce phénomène produira a coup sur une flambée de rayons gamma, la “lumière” la plus violente que l’on puisse imaginer. Fermi (anciennement nommé GLAST) et Swift sont les télescopes dédiés à l’observation des sursauts gamma, ces événements si violents qu’ils ont été confondus avec des explosions nucléaires sur Terre par les premiers satellites de surveillance militaires. Ils détectent environ un “Gamma Ray Burst” par jour, et on ne sait toujours pas exactement ce qui peut en provoquer autant.

Il ne faudrait pas pour autant oublier les radiotélescopes. Après Arecibo qui ne captait que des signaux, le Very Large Array (VLA) et  le Very Long Baseline Array (VLBA) fournissent désormais des images “radio” avec une résolution comparable aux télescopes optiques. En combinaison avec d’autres instruments, la radioastronomie permet de mieux comprendre des phénomènes aussi titanesques que les jets des trous noirs:

jets du trou noir centrale de la galaxie M87 observé par plusieurs instruments (cliquer pour plus d'infos)

Les inégalités de revenu sont un sujet d’actualité politique brûlant. En Suisse, les Jeunesses Socialistes viennent de lancer une initiative populaire visant à limiter le salaire maximal dans les entreprises à 12 fois le salaire minimal.Dans une petite boite c’est presque toujours le cas, mais plus on travaille dans une grande entreprise, plus on aimerait gagner en une année ce que gagne notre CEO en un mois…

C’est le problème du rapport max/min : il ne tient pas compte de tous les revenus intermédiaires. Dans une entreprise de 100 personnes, 98% des salaires sont compris entre celui du patron et celui de la technicienne de surface. Comment mesurer les inégalités de revenu en tenant compte de tous les revenus d’une société ?

La mesure d’(in)égalité des revenus la plus utilisée au niveau international s’appelle “coefficient (ou indice) de Gini”. J’en ai déjà parlé dans plusieurs articles. L’indice de Gini vaut 0 si les revenus d’une société sont divisées de façon parfaitement égale, et 1 (ou 100%) si un seul esclavagiste empoche la totalité du revenu. En pratique, l’indice de Gini de la plupart des pays membre de l’OCDE se situe entre 0.5 et 0.4, mais les impôts réduisent les inégalités pour obtenir un Gini du revenu disponible entre 0.25 et 0.35 .

Le coefficient de Gini pourrait facilement être utilisé au niveau des entreprises. J’ai d’ailleurs créé une feuille de calcul permettant de le calculer en ligne pour des entreprises de moins de 100 personnes*. C’est tout simple : copiez/coller les montants des salaires de votre entreprise dans la première colonne, triez-la dans l’ordre croissant, et voilà !

Le petit graphique associé (dont il faut changer l’échelle horizontale à la main au besoin) trace en bleu la courbe de Lorenz qui montre la progressivité des revenus. L’indice de Gini est défini par la fraction de la surface entre la courbe bleue et la droite rouge par la surface sous la droite rouge.

En jouant avec cet outil, vous constaterez que l’initiative “1:12″ des jeunesses socialistes n’implique pas du tout une distribution équitable des revenus. Comme le montrent les cas extrêmes ci-dessous, le coefficient de Gini peut varier énormément même si le salaire le plus élevé vaut 12x le salaire minimal:

société de 10 personnes ou les 9 employés ont un salaire égal et le patron un revenu 12 fois supérieur. Indice de Gini = 0.52

société de 10 personnes ou 9 cadres ont un salaire égal, et un employé un salaire 12x moins élevé. Indice de Gini = 0.1

Pour des revenus réellement équitables, il faudrait que le coefficient de Gini des entreprises corresponde, ou soit même inférieur à celui du pays considéré. Ceci laisse encore une grande flexibilité à la politique salariale. Voici par exemple quelques distributions de revenus donnant un indice de Gini = 0.33, le même que celui de la Suisse entière (avant impôts):

• 10% du personnel touche un salaire 6x supérieur aux 90%
• 50% du personnel touche un salaire 4x supérieur aux autres 50%
• distribution uniforme des salaires : 10% touchent un salaire de base, 10% touchent 2x plus, 10% touchent 3x plus etc jusqu’aux 10% qui touchent 10x le salaire de base:
  

  distribution uniforme des revenus : Gini = 0.33

On voit au passage que la courbe de Lorenz permettent d’ illustrer de manière fine la politique salariale des entreprises. En particulier, les différences de statut entre employés provoquent des “cassures” dans la courbe, alors que des revenus abusifs dans le haut de l’échelle sont détectables par la pente de la courbe à droite.

Il serait très intéressant de connaitre le coefficient de Gini des entreprises. je n’en ai trouvé aucun sur internet, pourtant je suis persuadé que les grandes entreprises (et les grands patrons) pourraient défendre leur politique de rémunération en publiant ce chiffre, qui est beaucoup plus parlant que le rapport max/min ou le montant total de la rémunération de la direction.

Si vous connaissez celui de votre entreprise ou si vous le calculez à l’aide de ma feuille de calcul, je vous serais très reconnaissant de le communiquer à l’aide des commentaires ci-dessous. Pas besoin de nommer l’entreprise, le secteur d’activité et la région suffisent. Merci d’avance !

Note : cette  feuille de calcul est mise à disposition gratuitement uniquement pour utilisation privée, non commerciale. Je m’en réserve tous les droits pour les autres usages. Veuillez me contacter en déposant un commentaire ci-dessous si vous envisagez utiliser cette feuille professionnellement.

le chronomètre H1 de John Harrisson © National Maritime Museum, Greenwich, London

Je viens de transférer “Longitude : l’histoire vraie du génie solitaire qui résolut le plus grand problème scientifique de son temps”¹ de la liste “bouquin à lire un jour” à la liste “bouquins lus et vivement recommandés”.

Je ne m’étais pas précipité pour le lire car je connaissais un peu l’histoire de John Harrisson, génial horloger anglais qui construisit dès 1734 les premières horloges suffisamment précises pour permettre aux navires de déterminer leur longitude en mer.

La talent de Dava Sobel est d’avoir replacé cette réalisation technique dans le contexte scientifique et économique de l’époque. Économique d’abord car les naufrages dus à une mauvaise estimation de la longitude coutaient cher en richesses submergées et en vies noyées. C’est d’ailleurs après le naufrage en 1707 de la flotte de l’amiral Clowdisley aux iles Scilly qui causa la mort de 2000 hommes que le roi promulgua le “Longitude  Act” en 1714 : celui qui parviendrait à déterminer la longitude d’un navire à moins de 30 milles près (~56 km) après 40 jours de navigation recevrait la somme fabuleuse de £20′000 de l’époque, soit environ 10 millions d’euros actuels, plus que tous les prix Nobel réunis!

Les navigateurs arrivaient à déterminer leur latitude avec cette “précision” déjà près d’un millénaire grâce aux astrolabes, et au début du XVIIIème, ils atteingnaient une précision d’environ un mille en latitude grâce au sextant. Pourquoi diable n’arrivait-on même pas à avoir une vague idée de la longitude ? Pourquoi ce défi était-il si difficile ?

“Longitude” explique bien la différence fondamentale entre les deux dimensions de la cartographie : la latitude est une valeur absolue, la longitude est relative à un méridien de référence arbitraire, actuellement celui de Greenwich. On peut donc déterminer sa latitude en observant la hauteur de quelques étoiles au dessus de l’horizon, alors que la longitude exige de mesurer une différence entre une observation locale et la même observation faite simultanément au méridien de référence.

Fondamentalement, tout le monde était d’accord : il fallait déterminer le décalage horaire entre Greenwich et le bateau. La solution évidente de nos jours du chronomètre (ou l’horloge atomique des satellites GPS), ne l’était pas du tout à l’époque. La Terre effectuant une rotation de 360° en 24 heures ou 1440 minutes, elle tourne d’un degré en 4 minutes. Pour remporter le prix du “Longitude Act”, il fallait une horloge ne dérivant que d”une seconde sur un bateau secoué par les vagues, alors que les meilleures horloges fixes de l’époque dérivaient de plusieurs minutes par jour. Personne ne croyait qu’il soit possible de réaliser un mécanisme 100 à 1000 fois plus précis.

Puisqu’on utilisait l’observation astronomique pour remettre les pendules à l’heure, la majorité écrasante des scientifiques de l’époque estimaient que la solution était à trouver dans les cieux. D’autant  qu’un siècle plus tôt, en 1610, Gallilée découvrit les satellites de Jupiter et mit au point un système de mesure de la longitude² basé sur une table prédisant leurs (nombreuses) éclipses. Cette méthode permit à Cassini de cartographier les côtes françaises avec une précision de l’ordre de 10 km autour dans les années 1680, mais se révéla impraticable en mer. De plus, Ole Rømer s’aperçut qu’il fallait tenir compte de la vitesse de la lumière pour une mesure précise et fournit la première mesure raisonnable de la constante c.

Outre de nombreuses idées farfelues répertoriées dans le chapitre le plus amusant du livre, la méthode des “distances lunaires” avait les faveurs de bon nombre de scientifiques de l’époque, et notamment de l’astronome royal, Nevil Maskelyne que Dava Sobel dépeint comme un farouche adversaire de Harrisson.

Après une vie de travail, John Harrison et son fils William remportèrent en 1772 le prix avec l’extraordinaire montre  “de poche” H4, de 13 cm de diamètre et d’un poids de 1.5 kg qui n’a dérivé que de 5 secondes après une traversée de l’Atlantique de 2 mois, soit à peine plus d’un mille d’erreur en longitude!

Les montres de Harrisson et leurs copies réalisées par Kendall ont été utilisées pendant plus d’un siècle à bord des navires de Sa Majesté, leur fiabilité est telle que les exemplaires exposés au National Maritime Museum de Greenwich sont encore en état de marche.

Bon, je voulais écrire une critique de livre et j’ai pondu un article sur la longitude… Mais lisez ce livre, il est excellent.

Références:

1. Dava Sobel, “Longitude : l’histoire vraie du génie solitaire qui résolut le plus grand problème scientifique de son temps”, Lattès, Paris, 1995 (traduit de l’anglais par Gérald Messadié) ISBN 2709617439
2. Michel Toulmonde “Galilée et les satellites de Jupiter
   au service de la cartographie au XVIIe siècle“, Observatoire de Paris (SYRTE) et Université d’Evry 2009
3. “John Harrison and the Longitude problem“, National Maritime Museum de Greenwich
4. Jonathan Betts “John Harrison (1693–1776) and
   Lt. Cdr Rupert T. Gould R.N. (1890–1948)“, National Maritime Museum / Royal Observatory, Greenwich

Vu l’autre jour sur un blog¹ une “question bête”, donc intrigante : existe-t-il des nombres entre lesquels les mathématiciens ne connaissent aucune relation ?

La question est “bête” puisqu’on peut toujours trouver une relation entre deux nombres entiers. Mais elle m’a rappelé ma quête initiée avec les nombres acratopèges : tous les nombres ont de nombreuses propriétés répertoriées en particulier dans l’ Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers de Sloane, mais certains en ont nettement plus que d’autres.

En utilisant la même approche (la base de données de Sloane digérée par quelques lignes de Python), j’ai établi le lien de “fraternité” entre les entiers de 1 à 1024, en comptant pour chaque paire (a.b) possible  le nombre de suites comportant ces deux nombres, que j’appelle la fraternité f(a,b).

Par exemple, 456 et 789 ont une fraternité f(456,789) = 32, car ils sont présents dans 32 séries et partagent donc autant de propriétés répertoriées.

Les nombres les plus fraternels sont évidemment 1 et 2, qui sont présents dans 133529 séries répertoriées à ce jour. A l’inverse, les deux plus petits entiers qui ne partagent aucune propriété sont 48 et 857².

52 et 991 sont les plus petits nombres ayant une seule propriété commune, en l’occurence celle-ci

J’ai représenté les fraternités  f(a,b) pour a et b variant de 1 à 1024 dans l’image ci-dessous. Le point (1,1) est en bas à gauche. Les fraternités f(a,b)>100 sont représentées par des pixels rouges et les fraternités inférieures à 10 sont en bleu foncé. Les quelques pixels noirs dénotent les fraternités f(a,b)=0.

fraternité f(a,b) des nombres entre 1 et 1024. cliquer pour agrandir.

On remarque l’apparition de quelques motifs:

• les lignes horizontales et verticales claires correspondent à des nombres particulièrement minéralisés, les sombres aux acratopèges
• les lignes claires à 45° sont plus surprenantes. Elles semblent indiquer que des nombres consécutifs ont tendance à être plus proches d’autres nombres consécutifs séparés par des constantes. Je m’attendais à voir apparaître des lignes à 30° et 60° liant les nombres à leurs doubles, mais ce n’est pas le cas.
• Sur la diagonale (coloriée en rouge par convention), on distingue des petites taches autour de groupes de nombres particulièrement intéressants comme les fortement composites (160, 320) et les puissance de 2 (256, 512), qui forment aussi des taches aux intersections hors diagonale.
• Les motifs les plus étranges sont les groupes de 9 points clairs visibles le long des bords bleus, et en particulier au coin supérieur droit. Ils correspondent aux nombres 1010±10 et 110±10, ce qui peut s’expliquer par les nombreuses suites faisant intervenir des nombres binaires, mais on en trouve aussi à 210±10. Est-ce l’effet du ternaire, ou d’autre chose ?

Résultat provisoire de ma recherche aussi excitante qu’inutile : les nombres ne sont décidément  pas tous égaux devant les mathématiques.

Notes:

1. je ne retrouve plus la source de la “question bête”. Elle a été posée il y a une semaine sur un blog… Si vous savez où, merci de me l’indiquer en commentaire…
2. Le moteur de recherche de l’Encyclopédie de Sloane peut soit trouver des termes consécutifs dans la série, soit des nombres présents dans tout l’article dédié à chaque suite. C’est pourquoi la recherche de 48 et 857 fournit plusieurs résultats, mais si vous regardez bien, les nombres 48 et 857 ne sont jamais présents ensemble dans les séries.

Les problèmes du Project Euler devenant vraiment très ardus, j’ai été content de trouver ici un petit challenge intéressant : déterminer rapidement le nombre de nombres palindromes inférieurs à un maximum donné.

Un nombre palindrome se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche, comme 1234321 ou 567765. Outre leur aspect esthétique, ces nombres ont aussi des propriétés étonnantes.

La première idée qui vient à l’esprit est de les compter (c’est du Delphi):

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer;
var
  i:Integer;
  s:string;
begin
  Result:=0;
  for i := 1 to maxNumber do begin
    s:=IntToStr(i);
    if s=ReverseString(s) then Inc(Result);
  end;
end;

Ca marche, mais c’est très lent : pour maxNumber=1000000000, il faut un milliard de conversions en chaine de caractères, un milliard d’inversions de chaîne, et un milliard de comparaisons. Or le résultat n’est que de 109998. Comme l’aurait dit Perlis (mais c’est de moi) :

Si ta boucle ne fait rien 99% du temps, c’est que tu n’utilises pas le bon algorithme.

De plus, notre boucle génère tous les nombres palindromes sous forme de chaine, et on les jette.

Si tu jettes 99% des résultats, c’est que tu n’utilises pas le bon algorithme.

Une autre approche, que beaucoup utilisent avant même de programmer, voire de réfléchir, est de chercher avec Google. C’est une excellente approche. On trouve immédiatement une page très intéressante chez Wolfram, avec une formule qui offre sur un plateau le nombre a(n) de nombres palindromes inférieurs à 10ⁿ

La formule n’est valable que pour n entier, mais on peut tout de même la convertir en une petite fonction Delphi:

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer;
const pow10:array[0..9] of integer=(1,10,100,1000,10000,100000,
          1000000,10000000,100000000,1000000000);
var n:Integer;
begin
  n:=Round(log10(maxNumber));
  if Odd(n) then
    Result:=11*pow10[(n-1)div 2]-2
  else
    Result:=2*pow10[n div 2]-2;
end;

Comme il s’avère  que le Delphi Challenge ne teste les algorithmes proposés qu’avec une puissance de 10, vous avez ci dessus une solution victorieuse, mais typique de la programmation agile : elle ne fonctionne (bien) que pour les tests

Tentons maintenant de rendre notre programme correct quel que soit N, si possible sans le ralentir. On va même commencer par le rendre encore plus rapide en poussant le vice de la programmation agile (= paresse) encore plus loin:

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer;
const A050250:array[0..9] of integer=(0,9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998);
begin
  Result:=A050250[Round(log10(maxNumber))];
end;

Le vecteur A050250 contient directement les résultats de la formule pour n=(0),1,2,..,9. Son nom provient de sa référence dans la célèbre encyclopédie des suites entières de Sloane.

L’algorithme ci-dessous commence par utiliser cette série pour compter les palindromes inférieurs à la puissance de 10 juste inférieure à maxNumber, puis considère successivement les chiffres de maxNumber en partant du plus significatif et compte le nombre de palindromes possibles sur les digits intermédiaires.

Par exemple pour maxNumber=5832476 :

1. on compte 1998 palindromes inférieurs à 1000000, le plus grand étant 999999
2. on ajoute (5-1) fois le nombre de palindromes de 5 chiffres, soit 1000 (de 000|00 à 999|99), ce qui donne le nombre de palindromes jusqu’à 4999994
3. on ajoute 8 fois le nombre de palindromes de 3 chiffres, soit 100. On a donc compté les palindromes jusqu’à 5799975
4. on ajoute 2 fois les 10 nombres possibles au centre, ce qui compte jusqu’à 5829285
5. reste à ajouter les (2+1) nombres palindromes obtenus en changeant le chiffre central : 5830385, 5831385 et 5832385

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer;
const A050250:array[0..18] of integer
        =(0,9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998,
          1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998);
const pow10:array[0..9] of integer
        =(1,10,100,1000,10000,100000, 1000000,10000000,100000000,1000000000);
var
  n,i,j,k:Integer;
  d:array[0..18] of integer; // digits
begin
  i:=0; n:=maxNumber;
  while n>0 do begin // extract digits
    d[i]:=n mod 10;
    n:=n div 10;
    inc(i);
  end;
  n:=i-1; // n=Trunc(log10(maxNumber))
  Result:=A050250[n];
  i:=n; j:=0; k:=n div 2;
  dec(d[n]); // because we counted palindromes to 1000..00
  while i-j>=2 do begin // loop from outer digits to inner
    Result:=result+d[i]*(pow10[k]);
    dec(i); inc(j); dec(k);
  end;
  inc(Result,d[i]); // handle 1 or 2 center digits
  if d[j]>=d[i] then inc(Result);
end;

Cet algorithme étant nettement plus rapide et compact que les solutions existantes du challenge, je viens de le soumettre au challenge bien qu’il y ait encore une petit bulle… Pour certains maxNumber “rares”, le résultat est 1 de trop. Saurez-vous trouver pourquoi avant moi ?