E Porasona - Bengali Medium Tutorial

সরকারি চাকরির পরীক্ষার সম্পূর্ণ গাইডলাইন বা নির্দেশিকা || A to Z Strategy for Govt Job Preparation

2025-12-20T19:34:00.001+05:30

সরকারি চাকরির পরীক্ষার A to Z গাইডলাইন বা সম্পূর্ণ নির্দেশিকা।

সরকারি চাকরির (Govt Job) পরীক্ষায় সাফল্যের জন্য শুধুমাত্র কঠোর পরিশ্রম যথেষ্ট নয়, প্রয়োজন সঠিক পরিকল্পনা (A to Z Strategy) এবং স্মার্ট স্টাডি। নিচে সরকারি চাকরি পাওয়ার একটি সম্পূর্ণ গাইডলাইন বা নির্দেশিকা (Guidance Structure) ধাপে ধাপে আলোচনা করা হলো:

১. লক্ষ্য নির্ধারণ (Set Your Goal)

সবার আগে ঠিক করুন আপনি কোন ধরনের চাকরির (Govt Job) জন্য প্রস্তুতি (preparation) নিতে চান। সব পরীক্ষার প্যাটার্ন এক হয় না।

➡ কেন্দ্রীয় সরকার (Central Govt): UPSC, SSC (CGL, CHSL), Railway, Banking (IBPS, SBI), Defense(Army, Navy, Air Force), IB, Police, Postal Service, LICI, etc.

➡ রাজ্য সরকার (State Govt - WBPSC): WBCS, Clerkship, miscellaneous, Food SI, Police (WBP/KP), etc.

➡ অন্যান্য (Others Govt. Job): College Teacher, School teacher, Corporation or Municipal, local body services

বিশেষ পরামর্শ:

আপনার ক্ষেত্র আপনি নিজে বেছে নিন: সব কিছুর পেছনে ছুটবেন না। আপনার শক্তির ওপর ভিত্তি করে একটি সেক্টর বেছে নিন:

UPSC/State PSC: যদি আপনি বিশ্লেষণ, সাধারণ শিক্ষা (General Studies) এবং বর্ণনামূলক লেখায় (Descriptive Writing) ভালো হন।

SSC/Railways: যদি আপনি অঙ্ক (Aptitude), রিজনিং এবং অবজেক্টিভ ইংরেজিতে দক্ষ হন।

Banking/Insurance: যদি আপনার দ্রুততা, নির্ভুলতা এবং গাণিতিক দক্ষতা (Calculation skills) ভালো থাকে।

নিজের সহজাত শক্তির ওপর নির্ভর করে প্রস্তুতি শুরু করলে সাফল্যের সম্ভাবনা অনেকাংশেই বেড়ে যায়। তাই আবেগের বশবর্তী না হয়ে বাস্তবসম্মত ভাবে বিষয় নির্বাচন করা উচিত।

২. সিলেবাস এবং প্যাটার্ন বিশ্লেষণ (Understand Syllabus & Pattern)

➡ সিলেবাস: আপনার নির্বাচিত পরীক্ষার অফিসিয়াল সিলেবাসটি প্রিন্ট করে পড়ার টেবিলের সামনে লাগিয়ে রাখুন। সম্ভব হলে মুখস্থ করে ফেলুন।

➡ বিগত বছরের প্রশ্ন (PYQ): গত ৫-১০ বছরের প্রশ্ন (PYQs) দেখে বোঝার চেষ্টা করুন কতটা "গভীরভাবে" পড়তে হবে (যেমন: UPSC-র জন্য ইতিহাস খুব গভীরভাবে পড়তে হয়; কিন্তু SSC-র জন্য ইতিহাস তথ্যভিত্তিক)। এতে আপনি বুঝতে পারবেন কোন অধ্যায় থেকে বেশি প্রশ্ন আসে।

৩. বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতির কৌশল (Subject-wise Strategy)

গণিত (Quantitative Aptitude): শর্টকাট বা ট্রিকস শেখার আগে মূল কনসেপ্ট ক্লিয়ার করুন তারপর গতি বাড়ান। ১ থেকে ২০ পর্যন্ত নামতা এবং ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত বর্গের স্কোয়ার মুখস্থ রাখুন। প্রতিদিন অন্তত ৩০-৫০টি অঙ্ক প্র্যাকটিস করুন।

রিজনিং (Reasoning): এটি সবথেকে বেশি নম্বর তোলার জায়গা। পাজল (Puzzle), সিটিং অ্যারেঞ্জমেন্ট এবং লজিক্যাল রিজনিংয়ের ওপর জোর দিন। বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান করলেই অনেকটা আয়ত্তে আসবে। ভিডিও দেখেও কনসেপ্ট ক্লিয়ার করতে পারেন।

ইংরেজি (English): গ্রামার(Grammer): টেন্স, ভয়েস চেঞ্জ, ন্যারেশন এবং পার্টস অফ স্পিচ ভালো করে শিখুন। শব্দভাণ্ডার (Vocabulary): প্রতিদিন অন্তত ৫টি করে নতুন শব্দ শিখুন এবং খবরের কাগজ (যেমন: The Hindu বা Times of India) পড়ার অভ্যাস করুন।

সাধারণ জ্ঞান (General Knowledge): ইতিহাস, ভূগোল, সংবিধান এবং বিজ্ঞানের জন্য নির্দিষ্ট একটি ভালো বই (যেমন: Lucent বা নিতিন সিঙ্ঘানিয়া) ফলো করুন।

কারেন্ট অ্যাফেয়ার্স (Current Affairs): রোজ ভিডিও না দেখে মাসে একবার কোনো ভালো মাসিক ম্যাগাজিন (যেমন: Achievers বা প্রতিযোগিতা দর্পণ) পড়ুন। পরীক্ষার আগে শেষ ৬ মাসের কারেন্ট অ্যাফেয়ার্স রিভিশন দিন।

৪. রিসোর্স বা বই নির্বাচন (Resource Selection)

➡ সীমিত উৎস: প্রচুর বই কিনবেন না। প্রতিটি বিষয়ের জন্য একটি করে সেরা বই বা শিক্ষকের নোট ফলো করুন। ডিজিটাল প্রস্তুতির ক্ষেত্রেও এক নিয়ম। মাত্র ১-২টি নির্ভরযোগ্য ইউটিউব চ্যানেল বা অ্যাপ সাবস্ক্রাইব করুন। মনোযোগ নষ্ট করে এমন চ্যানেল আনসাবস্ক্রাইব করুন।

➡ রিভিশন: ১০টি বই একবার পড়ার চেয়ে ১টি বই ১০ বার পড়া বেশি কার্যকরী।

৫. মক টেস্ট এবং বিশ্লেষণ (Mock Test & Analysis) - সাফল্যের চাবিকাঠি

শুধুমাত্র পড়াশোনা করলেই হবে না, নিজেকে যাচাই করতে হবে। আর মক টেস্ট হল যাচই করার পদ্ধতি। তাই মক টেস্ট আপনাকে দিতেই হবে।

* কখন দেবেন: সিলেবাসের ৫০-৬০% শেষ হলেই মক টেস্ট দেওয়া শুরু করুন। "সব শেষ" হওয়ার জন্য অপেক্ষা করবেন না।

মক টেস্টের ফ্রিকোয়েন্সি:

শুরুতে: সপ্তাহে ১টি মক।

মাঝারি পর্যায়ে: সপ্তাহে ২টি মক।

অ্যাডভান্সড (শেষ মাসে): প্রতিদিন মক টেস্ট।

* বিশ্লেষণ (Analysis): মক টেস্ট দেওয়ার পর ভুলগুলো বিশ্লেষণ করুন।

➡ কেন ভুল হলো? জানা জিনিস ভুল নাকি কনসেপ্ট ক্লিয়ার নেই? নিজেকে নিজে প্রশ্ন করে সমাধানের চেষ্টা করুন।

➡ কোন প্রশ্নে বেশি সময় লাগল? কেন লাগল? জেদ ধরে কোন প্রশ্নে বেশি সময় নেবেন না

➡ যে টপিকগুলো ভুল হয়েছে, সেগুলো আবার বই থেকে পড়ে নিন। অংক হলে সেই টপিকে আরো অংক করুন।

* রিভিশন (Revision) : যে কোন পরীক্ষার প্রস্তুতির(preparation) জন্য রিভিশন খুব গুরুত্বপূর্ণ । রিভিশনের জন্য নিম্নলিখিত কৌশল অবলম্বন করা বিশেষ কার্যকরী -

➡ স্পেসড রিপিটেশন (Spaced Repetition): আজ যা পড়লেন তা ২৪ ঘণ্টা পর রিভাইস দিন, তারপর ৭ দিন পর, এবং শেষে ১ মাস পর।

➡ শর্ট নোটস: সূত্র, ব্যাকরণ এবং কঠিন শব্দের জন্য "চিট শিট" (Cheat Sheets) তৈরি করুন। এগুলো এমন হতে হবে যেন পরীক্ষার আগে ২ ঘণ্টায় পুরোটা দেখে নেওয়া যায়।

➡ শেষ মুহূর্তের কারেন্ট অ্যাফেয়ার্স: গত ৬ মাস হতে শেষ ২০ দিন আগ পর্যন্ত কারেন্ট অ্যাফেয়ার্সের ওপর জোর দিন (পুরস্কার, খেলাধুলা, নিয়োগ, সরকারি প্রকল্প)।

৬. দৈনিক রুটিন (Daily Routine)

প্রতিদিন ৬-৮ ঘণ্টা পড়াশোনার একটি বাস্তবসম্মত রুটিন তৈরি করুন।

➡ সকাল: কঠিন বিষয়গুলো পড়ুন (যেমন: অঙ্ক বা ইংরেজি)।

➡ দুপুর: জিকে বা কারেন্ট অ্যাফেয়ার্স পড়ুন।

➡ সন্ধ্যা/রাত: রিজনিং প্র্যাকটিস এবং সারাদিনের পড়ার রিভিশন।

৭. পরীক্ষার হলের কৌশল (Exam Hall Strategy)

➡ সহজ দিয়ে শুরু: পরীক্ষায় প্রথমে আপনার শক্তিশালী বিষয় (যেমন: জিকে বা ইংরেজি) দিয়ে শুরু করুন, এতে আত্মবিশ্বাস বাড়বে। অথবা মক টেস্ট দেওয়ার সময় নিজের জন্য সেরা ক্রমটি খুঁজে বের করা পদ্ধতি অবলম্বন করতে পারেন।

➡ স্কিপ করার আর্ট: কোনো প্রশ্নে আটকে গেলে জেদ করবেন না। ১ মিনিটের বেশি সময় লাগলে সেটি ছেড়ে পরের প্রশ্নে চলে যান। মনে রাখবেন, "Art of Skipping" বা প্রশ্ন ছেড়ে দেওয়ার কৌশল জানলে নেগেটিভ মার্কিং এড়ানো যায়।

সারাংশ চেকলিস্ট (Summary Checklist)

➡ লক্ষ্য স্থির করেছেন?

➡ সিলেবাস এবং বিগত বছরের প্রশ্ন সংগ্রহ করেছেন?

➡ প্রতিটি বিষয়ের জন্য একটি করে ভাল বই কিনেছেন?

➡ প্রতিদিনের রুটিন (৬-৮ ঘণ্টা) সেট করেছেন?

➡ মক টেস্ট দেওয়া শুরু করেছেন?

এভাবে প্রস্তুতি(preparation) শুরু করলে এবং চাকরি (Govt. Job) পাওয়ার জন্য দৃঢ় সংকল্প গ্রহণ করলে সাফল্য আপনার নিশ্চিত জানবেন। হাল ছেড়ে দিলে চলবে না। ২-৩ বছর ভাবের ঘরে চুরি না করে লেগে থাকলে আপনি নিজেকে একজন সরকারি চাকরিজীবী হিসাবে অবশ্যই দেখতে পারবেন এই আমাদের শুভকামনা।

কষে দেখি - 5 - Class VII - Exercise 5 - সূচকের ধারণা - Idea of Index

2025-04-22T12:03:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি : কষে দেখি - 5

Class VII : Exercise 5

সূচকের ধারণা - Idea of Index

1. নীচের দূরত্বগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে সহজে বোঝার চেষ্টা করি -

সূর্যের থেকে বুধের দূরত্ব 57900000 কিমি.

সূর্যের থেকে মঙ্গল ও বৃহস্পতির দূরত্ব যথাক্রমে 227900000 কিমি. এবং 778300000 কিমি.

উত্তর:

সূর্যের থেকে বুধের দূরত্ব 57900000 কি.মি. কে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে পাই, 579 × 10⁵ কি.মি.

অর্থাৎ 57900000 কি.মি.= 579 × 10⁵ কি.মি.

সূর্যের থেকে মঙ্গলের দূরত্ব 227900000 কিমি. দূরত্বকে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে পাই, 2279 × 10⁵ কি.মি.

অর্থাৎ 227900000 কি.মি.= 2279 × 10⁵ কি.মি.

সূর্যের থেকে বৃহস্পতির দূরত্ব 778300000 কিমি. দূরত্বকে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে পাই, 7783 × 10⁵ কি.মি.

অর্থাৎ 778300000 কি.মি.= 7783 × 10⁵ কি.মি.

2. ফাঁকা ঘর পূরণ করি-

i) পৃথিবী এবং চাঁদের দূরত্ব 384,000,000 মিটার = $384 × 10^□$মিটার

ii) শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ 3,00,000,000 মিটার / সেকেন্ড = 3 × ☐ মিটার / সেকেন্ড

উত্তর:

i) পৃথিবী এবং চাঁদের দূরত্ব 384,000,000 মিটার = 384 × 10⁶ মিটার

ii) শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ 3,00,000,000 মিটার / সেকেন্ড = 3 × 10⁸ মিটার / সেকেন্ড

3. নীচের সংখ্যাগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত)

i) 978 ii) 159217

উত্তর:

ii) 978 কে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত)

978 = 97.8 × 10¹ (দশমিকের পর 1 ঘর পর্যন্ত)

978 = 9.78 × 10² (দশমিকের পর 2 ঘর পর্যন্ত)

978 = 0.978 × 10³ (দশমিকের পর 3 ঘর পর্যন্ত)

i) 159217 কে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত)

159217 = 15921.7 × 10¹ (দশমিকের পর 1 ঘর পর্যন্ত)

159217 = 1592.17 × 10² (দশমিকের পর 2 ঘর পর্যন্ত)

159217 = 159.217 × 10³ (দশমিকের পর 3 ঘর পর্যন্ত)

4. নীচের বিস্তার থেকে সংখ্যাগুলি লিখি -

i) 3×10³ + 2×10² + 7×10 + 2

ii) 2×10³ + 3×10 + 5

iii) 8×10⁴ + 2×10³ + 3×10² + 6

iv) 9×10⁴ + 5×10³ + 6×10² + 7 × 10

সমাধান

i) 3×10³ + 2×10² + 7×10 + 2

= 3000 + 200 + 70 + 2

= 3272

ii) 2×10³ + 3×10 + 5

= 2000 + 30 + 5

= 2035

iii) 8×10⁴ + 2×10³ + 3×10² + 6

= 80000 + 2000 + 300 + 6

= 82306

iv) 9×10⁴ + 5×10³ + 6×10² + 7 × 10

= 90000 + 5000 + 600 + 70

= 95670

5. সরল করি এবং নীচের প্রত্যেকটিকে ঘাতের আকারে প্রকাশ করি-

(i) $\frac{2³×3⁵×16}{3×32}$

উত্তর:

$\frac{2³×3⁵×16}{3×32}$

= $\frac{2³×3⁵×2⁴}{3×2⁵}$

= $2^{3+4-5}×3^{5-1}$

= 2² × 3⁴

= (2² × 3²)²

=(2×9)²

= 18²

(ii) [(6²)³ × 6⁴] ÷ 6⁷

উত্তর:

[(6²)³ × 6⁴] ÷ 6⁷

= [6⁶ × 6⁴] ÷ 6⁷

= $[6^{6+4}]÷6⁷$

= $6^{10}÷6⁷$

= $6^{10-7}$

= 6³

(iii) $\frac{3×7²×11⁰}{21×7}$

উত্তর:

$\frac{3×7²×11⁰}{21×7}$

= $\frac{3×7²×1}{3×7×7}$

= $\frac{3×7²}{3×7²}$

= $3^{1-1}×7^{2-2}$

= 3⁰ × 7⁰

= 1 × 1

= 1

(iv) $\frac{4⁵ × a⁸b³}{4⁵ × a⁵b²}$ (a,b≠0)

উত্তর:

$\frac{4⁵ × a⁸b³}{4⁵ × a⁵b²}$

= $4^{5-5} × a^{8-5} b^{3-2}$

= 4⁰ × a³b¹

= 1 × a³b

= a³b

(v) (3⁰ + 2⁰) × 5⁰

উত্তর:

(3⁰ + 2⁰) × 5⁰

= (1 + 1) × 1

= 2 × 1

= 2

(vi) $\frac{2⁸ × x⁷}{4³ × x³}$ (x≠0)

উত্তর:

$\frac{2⁸ × x⁷}{4³ × x³}$

= $\frac{2⁸ × x⁷}{(2²)³ × x³}$

$\frac{2⁸ × x⁷}{2⁶ × x³}$

= $2^{8-6} × x^{7-3}$

= $2²×x⁴$

=$(2x²)²$

Math MCQ for Railway Group D Exam (Set - 3) || রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য অনুশীলন (সেট 3)

2025-04-09T11:18:00.002+05:30

রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার অংক প্রশ্ন ও তার উত্তর (সেট 3)

রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার জন্য যারা প্রস্তুতি নিচ্ছেন তাদের জন্য অংকের এই প্রশ্নগুলো খুব গুরুত্বপূর্ণ হতে চলেছ। সময় নির্ধারণ করে চম্পট অংক গুলোর সমাধান করে ফেলুন ও তারপর সমাধান গুলো মিলিয়ে নিন। এতে পাবেন সাধারণ যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, শতকরা, লাভ-ক্ষতি, গড়, অনুপাত, সময় ও দূরত্ব প্রভৃত প্রশ্ন। এছাড়াও বীজগণিত, জ্যামিতি এবং তথ্য বিশ্লেষণ মূলক অংক প্রশ্ন দেওয়া আছে। রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার অংকের বিষয়সমূহ।

1. দুটি সংখ্যার যোগফল 84 এবং তাদের HCF হল 12। সম্ভাব্য সংখ্যা খুঁজুন।

a) 12, 72

b) 24, 60

c) 36, 48

d) উপরের সবগুলোই ঠিক

2. 6, 8, এবং 12 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজুন।

a) 24

b) 48

c) 36

d) 72

3. 2¹⁵ সংখ্যাটির একক অঙ্ক কত?

a) 2

b) 4

c) 8

d) 6

4. একজন শিক্ষার্থী একটি বিষয়ে 35 নম্বর পেয়েছে, যা মোট নম্বরের 70%। মোট নম্বর কত?

a) 40

b) 45

c) 50

d) 55

5. একটি ঘড়ি 720 টাকায় বিক্রি করা হয়েছে 10% ছাড় দেওয়ার পর। ঘড়িটির লিখিত মূল্য (Marked Price) কত?

A) 800 টাকা

b) 750 টাকা

c) 850 টাকা

d) 900 টাকা

6. একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্য 448 টাকায় বিক্রি করে 12% লাভ করেছে। পণ্যের ক্রয়মূল্য (Cost Price) কত?

A) 380 টাকা

b) 400 টাকা

c) 420 টাকা

d) 450 টাকা

7. একটি গাড়ি 540 কিমি পথ 6 ঘন্টায় অতিক্রম করে। গাড়িটির গতিবেগ কত?

a) 80 কিমি/ঘণ্টা

b) 85 কিমি/ঘণ্টা

c) 90 কিমি/ঘণ্টা

d) 95 কিমি/ঘণ্টা

8. একটি ট্রেনের গতিবেগ 54 কিমি/ঘণ্টা। 120 মিটার লম্বা ট্রেনটি একটি 180 মিটার লম্বা প্ল্যাটফর্ম পার হতে কত সময় নেবে?

A) 15 সেকেন্ড

b) 18 সেকেন্ড

c) 20 সেকেন্ড

d) 24 সেকেন্ড

9. 7500 টাকার উপর বার্ষিক 6% সরল সুদ 3 বছরে কত হবে?

a) 1200 টাকা

b) 1300 টাকা

c) 1350 টাকা

d) 1400 টাকা

10. 5000 টাকার উপর বার্ষিক 8% হারে 2 বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

a) 800 টাকা

b) 820 টাকা

c) 832 টাকা

d) 850 টাকা

11. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা (Perimeter) 60 সেমি। যদি দৈর্ঘ্য 20 সেমি হয়, তবে প্রস্থ কত?

A) 10 সেমি

b) 15 সেমি

c) 20 সেমি

d) 25 সেমি

12. একটি ত্রিভুজের ভূমি (Base) 10 সেমি এবং উচ্চতা (Height) 8 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

A) 30 বর্গ সেমি

b) 40 বর্গ সেমি

c) 50 বর্গ সেমি

d) 60 বর্গ সেমি

13. 8 জন ছাত্রের গড় বয়স 14 বছর। যদি নতুন একজন ছাত্র যোগ দেয় এবং গড় বয়স 15 বছর হয়, তবে নতুন ছাত্রের বয়স কত?

A) 20

b) 22

c) 23

d) 26

14. একজন দোকানদার 15 কেজি চিনি প্রতি কেজি 48 টাকা এবং 10 কেজি চাল প্রতি কেজি 60 টাকা দরে বিক্রি করল। মোট বিক্রয়মূল্য কত?

A) 1200 টাকা

b) 1300 টাকা

c) 1350 টাকা

d) 1400 টাকা

15. একটি অফিসে 50 জন কর্মচারী কাজ করে। তাদের মধ্যে 30 জন পুরুষ এবং 20 জন নারী। যদি 15 জন কর্মচারী গাড়ি ব্যবহার করে অফিসে আসে এবং তাদের মধ্যে 10 জন পুরুষ হয়, তবে কতজন নারী গাড়ি ব্যবহার না করে অফিসে আসে?

A) 5

b) 15

c) 20

d) 25

উপরের অংক গুলোর সমাধান

1. দুটি সংখ্যার যোগফল 84 এবং তাদের HCF হল 12। সম্ভাব্য সংখ্যা খুঁজুন।

উত্তর: (d) উপরের সবগুলোই ঠিক

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, সংখ্যা দুটি 12x এবং 12y (কারণ HCF বা গ.সা.গু. = 12)

12x + 12y = 84

⇒ x + y = 7

সম্ভাব্য মান:

(1,6) → সংখ্যা: 12, 72

(2,5) → সংখ্যা: 24, 60

(3,4) → সংখ্যা: 36, 48

অর্থাৎ সবগুলোই ঠিক

2. 6, 8, এবং 12 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজুন।

উত্তর: (a) 24

বিস্তারিত সমাধান:

6, 8 ও 12 এর ল.সা.গু বা LCM বের করতে হবে।

∴ মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই

6 = 2 × 3

8 = 2³

12 = 2² × 3

∴ LCM = 2³ × 3 = 24

3. 2¹⁵ সংখ্যাটির একক অঙ্ক কত?

উত্তর: (c) 8

বিস্তারিত সমাধান:

2 কে পরপর বর্গ করলে চক্রাকারে একক অঙ্ক হবে : 2, 4, 8, 6 (প্রতি 4 সংখ্যায় পুনরাবৃত্তি হয়)

∴ 15 ≡ 3 (mod 4), তাই একক সংখ্যা 8

4. একজন শিক্ষার্থী একটি বিষয়ে 35 নম্বর পেয়েছে, যা মোট নম্বরের 70%। মোট নম্বর কত?

উত্তর: (c) 50

বিস্তারিত সমাধান:

70% নম্বর = 35

∴ মোট নম্বর = (35 × 100) ÷ 70 = 50

বা অন্য ভাবে,

$\frac{70%}{100%}$=$\frac{35}{?}$=$\frac{35}{50}$

উত্তর: (a) 800 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

বিক্রয়মূল্য = মার্কেট মূল্য × (1 – ছাড়%)

720 = MP × 0.9

MP = 720 ÷ 0.9 = 800 টাকা

উত্তর: (b) 400 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

SP = CP × (1 + লাভ%)

448 = CP × 1.12

CP = 448 ÷ 1.12 = 400 টাকা

7. একটি গাড়ি 540 কিমি পথ 6 ঘন্টায় অতিক্রম করে। গাড়িটির গতিবেগ কত?

উত্তর: (c) 90 কিমি/ঘণ্টা

বিস্তারিত সমাধান:

গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় = 540 ÷ 6 = 90 কিমি/ঘণ্টা

উত্তর: (c) 20 সেকেন্ড

বিস্তারিত সমাধান:

অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = 120 + 180 = 300 মিটার

গতিবেগ = 54 কিমি/ঘণ্টা = (54 × 1000) ÷ 3600 = 15 মিটার/সেকেন্ড

সময় = 300 ÷ 15 = 20 সেকেন্ড

9. 7500 টাকার উপর বার্ষিক 6% সরল সুদ 3 বছরে কত হবে?

উত্তর: (c) 1350 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

SI = $\frac{P×R×T}{100}$

= $\frac{7500×6×3}{100}$

= 1350 টাকা

10. 5000 টাকার উপর বার্ষিক 8% হারে 2 বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

উত্তর: (c) 832 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

সমূল চক্রবৃদ্ধি সুদ = $P(1 + \frac{R}{100})^n$

= $5000(1 + \frac{8}{100})^2$

= 5000 × (1.08)²

= 5000 × 1.08 × 1.08

= 5832 টাকা

∴ CI = 5832 – 5000 = 832 টাকা

উত্তর: (a) 10 সেমি

বিস্তারিত সমাধান:

পরিসীমা = 2(L + B)

∴ 60 = 2(20 + B)

⇒ 30 = 20 + B

⇒ B = 10

উত্তর: (b) 40 বর্গ সেমি

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভিত্তি × উচ্চতা

= $\frac{1}{2}×10×8$

= 40 বর্গ সেমি

উত্তর: (c) 23

বিস্তারিত সমাধান:

8 জন ছাত্রের মোট বয়স = 8 × 14 = 112 বছর

9 জন ছাত্রের মোট বয়স = 9 × 15 = 135 বছর

∴ নতুন ছাত্রের বয়স = 135 – 112 = 23 বছর

উত্তর: (b) 1300 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

চিনির বিক্রয় = 15 × 48 = 720

চালের বিক্রয় = 10 × 60 = 600

মোট = 720 + 600 =1320 টাকা

উত্তর: (b) 15 জন

বিস্তারিত সমাধান:

গাড়ি ব্যবহার করে আসা মোট কর্মচারী = 15

গাড়ি ব্যবহার করে আসা পুরুষ কর্মচারী = 10

∴ গাড়ি ব্যবহার করে আসা নারী কর্মচারীর সংখ্যা হবে = 15 - 10 = 5

এবং মোট নারী কর্মচারী = 20

∴ গাড়ি ব্যবহার না করে আসা নারী কর্মচারীর সংখ্যা হবে = 20 - 5 = 15

এই সমাধানগুলোর মাধ্যমে আপনি রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য আরও ভালোভাবে প্রস্তুতি নিতে পারবেন বলে আমরা মনে করি। আপনাদের মতামত কমেন্ট বক্সে লিখে জানান।

Math MCQ for Railway Group D Exam (Set - 2) || রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য অনুশীলন সেট 2

2025-03-27T00:30:00.001+05:30

রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার অংক প্রশ্ন ও তার উত্তর (সেট 2)

এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলোর উপর ভিত্তি করে গণিত প্রশ্নোত্তর রয়েছে।

1. 24 এবং 36-এর LCM কত?

a) 72

b) 144

c) 48

d) 36

2. 2025-এর বর্গমূল কত?

a) 45

b) 55

c) 50

d) 40

3. একটি ট্রেন 6 ঘণ্টায় 360 কিমি পথ অতিক্রম করে। এর গতি কত কিমি/ঘণ্টা?

a) 40

b) 50

c) 60

d) 70

4. দুটি সংখ্যার যোগফল 50 এবং তাদের পার্থক্য 10। সংখ্যাগুলি কী?

a) 30, 20

b) 25, 15

c) 35, 15

d) 40, 10

5. একজন দোকানদার একটি পণ্য 500 টাকাতে কিনে 600 টাকাতে বিক্রি করেন। তার লাভের শতকরা হার কত?

a) 10%

b) 15%

c) 20%

d) 25%

6. একটি সংখ্যাকে প্রথমে 20% বৃদ্ধি করা হয়, তারপর 10% হ্রাস করা হয়। মোট শতাংশ পরিবর্তন কত?

a) 8% বৃদ্ধি

b) 10% বৃদ্ধি

c) 8% হ্রাস

d) কোনো পরিবর্তন নেই

7. একটি 120 মিটার লম্বা ট্রেন 60 কিমি/ঘণ্টা বেগে চলছে। এটি একটি খুঁটি পার হতে কত সময় নেবে?

a) 5 সেকেন্ড

b) 6 সেকেন্ড

c) 7 সেকেন্ড

d) 8 সেকেন্ড

8. দুটি ট্রেন পরস্পরের দিকে যথাক্রমে 50 কিমি/ঘণ্টা ও 60 কিমি/ঘণ্টা বেগে আসছে। তাদের মধ্যে দূরত্ব 550 কিমি হলে, তারা কতক্ষণ পর মিলবে?

a) 5 ঘণ্টা

b) 4.5 ঘণ্টা

c) 6 ঘণ্টা

d) 5.5 ঘণ্টা

9. 5000 টাকার উপর 5% বার্ষিক হারে 2 বছরের জন্য সরল সুদ কত?

a) 200 টাকা

b) 250 টাকা

c) 500 টাকা

d) 400 টাকা

10. 10,000 টাকাকে 10% বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদে রাখা হলে 2 বছর পরে মোট টাকার পরিমাণ কত হবে?

a) 11,000 টাকা

b) 12,100 টাকা

c) 12,000 টাকা

d) 11,500 টাকা

11. 10 সেমি দৈর্ঘ্য এবং 5 সেমি প্রস্থের একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

a) 30 বর্গ সেমি

b) 40 বর্গ সেমি

c) 50 বর্গ সেমি

d) 60 বর্গ সেমি

12. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 48 সেমি হলে তার এক পাশের দৈর্ঘ্য কত?

a) 12 সেমি

b) 10 সেমি

c) 8 সেমি

d) 6 সেমি

13. একজন ছাত্র পাঁচটি বিষয়ে যথাক্রমে 75, 80, 85, 90, এবং 95 নম্বর পেয়েছে। তার গড় নম্বর কত?

a) 85

b) 82

c) 88

d) 90

14. একজন দোকানদার 40 কেজি চাল প্রতি কেজি 50 টাকা এবং 30 কেজি গম প্রতি কেজি 60 টাকা দরে বিক্রি করেন। মোট বিক্রয় মূল্য কত?

a) 3500 টাকা

b) 3800 টাকা

c) 4200 টাকা

d) 5000 টাকা

15. একটি ক্লাসে 60 জন ছাত্র-ছাত্রী রয়েছে। তাদের মধ্যে 25 জন ফুটবল খেলে, 30 জন ক্রিকেট খেলে এবং 15 জন উভয় খেলাই খেলে। ক্লাসে মোট কতজন ছাত্র-ছাত্রী কোন খেলা খেলে না?

a) 5 জন

b) 10 জন

c) 15 জন

d) 20 জন

উপরের অংক গুলোর সমাধান

1. 24 এবং 36-এর LCM কত?

উত্তর: (a) 72

বিস্তারিত সমাধান :

LCM (Least Common Multiple) বা ল.সা.গু (লঘুতম সাধারণ গুণিতক) হলো দুটি বা তার বেশি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যা তাদের প্রত্যেকটির গুণিতক ।

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

LCM = 2³ × 3² = 72

2. 2025-এর বর্গমূল কত?

উত্তর: (a) 45

বিস্তারিত সমাধান :

2025 = 45 × 45

∴ √2025 = 45

3. একটি ট্রেন 6 ঘণ্টায় 360 কিমি পথ অতিক্রম করে। এর গতি কত কিমি/ঘণ্টা?

উত্তর: (c) 60

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, গতি = দূরত্ব ÷ সময়

= 360 কিমি ÷ 6 ঘণ্টা

= 60 কিমি/ঘণ্টা

4. দুটি সংখ্যার যোগফল 50 এবং তাদের পার্থক্য 10। সংখ্যাগুলি কী?

উত্তর: (a) 30, 20

বিস্তারিত সমাধান :

ধরি, সংখ্যা দুইটি x এবং y

x + y = 50

এবং x – y = 10

∴ (x + y) + (x - y) = 50 + 10

⇒ x + y + x - y = 50 + 10

⇒ 2x = 60

⇒ x = 30

∴ y = 20

সমাধান করলে, x = 30, y = 20

উত্তর: (c) 20%

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, লাভ = বিক্রয় মূল্য – ক্রয় মূল্য

= 600 - 500 টাকা

= 100 টাকা

এবং, লাভের শতকরা হার = $\frac{লাভ}{ক্রয় মূল্য}×100$

= $\frac{100}{500}×100$

= 20%

উত্তর: (a) 8% বৃদ্ধি

বিস্তারিত সমাধান :

প্রথমে 20% বৃদ্ধি → 1.20 গুণ বৃদ্ধি

এরপর 10% হ্রাস → 0.90 গুণ হ্রাস

মোট পরিবর্তন = 1.20 × 0.90 = 1.08 (8% বৃদ্ধি)

সাধারন ভাবে,

ধরি, সংখ্যাটি 100

সংখ্যাকে প্রথমে 20% বৃদ্ধি করলে হবে = 100 + 20 = 120

আবার 10% হ্রাস করলে হবে = 120 - 12 = 108

অর্থাৎ মোটের বৃদ্ধি 8%

উত্তর: (c) 7 সেকেন্ড

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, সময় = (দূরত্ব ÷ গতি)

এবং গতি = 60 কিমি/ঘণ্টা

= $\frac{60×1000}{3600} $ মিটার/সেকেন্ড

∴ সময় = $\frac{120}{\frac{60×1000}{3600}}$ সেকেন্ড

= $\frac{120×3600}{60×1000}$ সেকেন্ড

= 7.2 সেকেন্ড

সঠিক বিকল্প নেই, তবে কাছাকাছি উত্তর হবে 7 সেকেন্ড

উত্তর: (a) 5 ঘণ্টা

বিস্তারিত সমাধান :

ট্রেন দুটির মোট গতি = 50 + 60 = 110 কিমি/ঘণ্টা

∴ সময় = মোট দূরত্ব ÷ মোট গতি

= 550 ÷ 110

= 5 ঘণ্টা

9. 5000 টাকার উপর 5% বার্ষিক হারে 2 বছরের জন্য সরল সুদ কত?

উত্তর: (c) 500 টাকা

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, SI = (P × R × T) ÷ 100

= (5000 × 5 × 2) ÷ 100

= 500

উত্তর: (b) 12,100 টাকা

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, সমূল বৃদ্ধি = $P(1 + \frac{R}{100})^n$

= $10,000 × (1 + \frac{10}{100})^n$

= 10,000 × 1.1 × 1.1

= 12,100

11. 10 সেমি দৈর্ঘ্য এবং 5 সেমি প্রস্থের একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর: (c) 50 বর্গ সেমি

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

= 10 × 5

= 50 বর্গ সেমি

12. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 48 সেমি হলে তার এক পাশের দৈর্ঘ্য কত?

উত্তর: (a) 12 সেমি

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × পাশ

∴ 48 = 4 × পাশ

∴ একটি পাশ = 12 সেমি

উত্তর: (a) 85

বিস্তারিত সমাধান :

আমরা জানি, গড় = (মোট নম্বর ÷ মোট বিষয়)

= (75 + 80 + 85 + 90 + 95) ÷ 5

= 425 ÷ 5

= 85

উত্তর: (b) 3800 টাকা

বিস্তারিত সমাধান :

চালের বিক্রয় মূল্য = 40 × 50 = 2000 টাকা

গমের বিক্রয় মূল্য = 30 × 60 = 1800 টাকা

মোট বিক্রয় = 2000 + 1800

= 3800 টাকা

উত্তর: (d) 20 জন

বিস্তারিত সমাধান :

ফুটবল খেলে 25 জন

ক্রিকেট খেলে 30 জন

উভয় খেলাই খেলে 15 জন

∴ কোন না কোন খেলা খেলে = 15 + (25 - 15) + (30 - 15)

= 40

∴ কোন খেলা খেলে না = 60 - 40

= 20 জন

Math MCQ for Railway Group D Exam (Set - 1) || রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য অনুশীলন সেট ১

কষে দেখি - 4 - Class VII - Exercise 4 - পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ - Addition, Subtraction, Multiplication, Division of Integers

2025-03-25T08:19:00.002+05:30

কষে দেখি - 4

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

Class VII - Exercise 4

Addition, Subtraction, Multiplication, Division of Integers

প্রশ্নমালায় প্রবেশ করার আগে আমরা জানব বীজগাণিতিক নিয়মে কীভাবে + , - , × , ÷ করা যায়।

এই অংক গুলোকে দুটি ভাগে ভাগ করে চিন্তা করলে সুবিধা হবে, ভাগ গুলো হলো + , - এবং × , ÷ ।

➡ (+) ও (-) এর ক্ষেত্রে আমরা সংখ্যারেখায় দেখেছি (+) মানের জন্য ডান দিকে যাব আর (-) মানের জন্য বাম দিকে যাব। এভাবে যে মানে এসে আমারা থামবো সেটি হলো নির্ণয় মান।

এখানেও আমরা অনুরূপ ভাবে সহজ উপায়ে কোন সংখ্যামালার মান নির্ণয় করব। যেমন দুটো (+) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি একটি (+) মানের সাথে আরো একটি (+) মান যুক্ত হল। অর্থাৎ (+) মান আরও বৃদ্ধি পেল। অর্থাৎ সংখ্যা দুটো যোগ হবে আর তাদের চিহ্ন হবে (+)।

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় +a+b = +(a+b)।

আবার, দুটো (-) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি একটি (-) মানের সাথে আরো একটি (-) মান যুক্ত হল। অর্থাৎ (-) মান আরও বৃদ্ধি পেল। অর্থাৎ সংখ্যা দুটো যোগ হবে আর তাদের চিহ্ন হবে (-)।

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় -a-b = -(a+b)।

এবং

একটি (+) মান ও একটি (-) মানের জন্য আমরা সহজেই বুঝতে পারি (+) মান ও (-) মান এরা বিপরীত ধর্মী। অর্থাৎ (+) মান ও (-) মান এদের মধ্যে যে মান বড় হবে সে প্রধান হবে এবং সেই মানের চিহ্ন ফলে থাকবে এবং বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যা বিয়োগ হবে।

উদাহরণস্বরূপ বলা যায় +a-b = +(a-b) [যদি a এর মান b থেকে বড় হয়]। অথবা, +a-b = -(b-a) [যদি b এর মান a থেকে বড় হয়]।

সহজ ভাবে যোগ বিয়োগের সূত্র -

1. (+) এ (+) এ = (+) যোগ

2. (-) এ (-) এ = (-) যোগ

3. (+) এ (-) এ = (যে সংখ্যার মান বড় তার চিহ্ন) বড় থেকে ছোট সংখ্যার বিযোগ

➡ × ও ÷ এর ক্ষেত্রে আমরা যে সূত্র মেনে চলব সেগুলো হল -

4. (+) × (+) = (+) সংখ্যা দুটোর গুণ

উদাহরণ: (+a) × (+b) = +ab

5. (-) × (-) = (+) সংখ্যা দুটোর গুণ

উদাহরণ: (-a) × (-b) = +ab

6. (+) × (-) = (-) সংখ্যা দুটোর গুণ

উদাহরণ: (+a) × (-b) = -ab অথবা (-a) × (+b) = -ab

7. (+) ÷ (+) = (+) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ: (+a) ÷ (+b) = +a/b

8. (-) × (-) = (+) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ: (-a) × (-b) = +a/b

9. (+) × (-) = (-) প্রথম সংখ্যা ভাগ দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ: (+a) × (-b) = -a/b অথবা (-a) × (+b) = -a/b

1. মনে মনে হিসাব করি:

(a) (-10) × 4 = ☐

(b) (-15) × ☐ = -90

(c) 25 × ☐ = -125

(d) (-16) × ☐ = 96

(e) (-13) × ☐ = -104

(f) ☐ × 21 = -126

(g) ☐ × ☐ = -42

(h) ☐ × (-30) = 330

(i) -26 ÷ ☐ = 1

(j) ☐ ÷ 1 = -29

(k) ☐ ÷ (-59) = -1

(l) 87 ÷ ☐ = -87

Answer :-

উত্তর দেওয়ার আগে আমরা জেনে নিই

(a) (-10) × 4 = ☐

⇒(-10) × 4 = -40

(b) (-15) × ☐ = -90

⇒ (-15) × 6 = -90

⇒25 × (-5) = -125

(d) (-16) × ☐ = 96

⇒(-16) × (-6) = 96

(e) (-13) × ☐ = -104

⇒(-13) × 8 = -104

(f) ☐ × 21 = -126

⇒ (-6) × 21 = -126

(g) ☐ × ☐ = -42

⇒6 × (-7) = -42

(h) ☐ × (-30) = 330

⇒(-11) × (-30) = 330

(i) -26 ÷ ☐ = 1

⇒ -26 ÷ (-26) = 1

(j) ☐ ÷ 1 = -29

⇒(-29) ÷ 1 = -29

(k) ☐ ÷ (-59) = -1

⇒59 ÷ (-59) = -1

(l) 87 ÷ ☐ = -87

⇒87 ÷ (-1) = -87

2. জোসেফ একটি পরীক্ষায় 15 টি প্রশ্নের মধ্যে 9 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু বাকি 6 টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর পেয়ে সে মোট 33 নম্বর পেয়েছে। প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।

Answer:

জোসেফ মোট নম্বর পেয়েছে 33;

জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে 9 টি। এবং প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 5।

∴ 9 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে 9×5 = 45

আবার ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমে গেছে 45 - 33 = 12

∴ দেখা যাচ্ছে 6 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর।

∴ 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12

1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে (-12) ÷ 6 = -2

উত্তর: প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে -2

3. রেহানা ও সায়ন দুজনেই পরীক্ষা দিয়েছে। প্রত্যেকের পরীক্ষায় মোট 12 টি প্রশ্ন ছিল।

(i) রেহানা ৪ টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং 4 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে 36 নম্বর পেয়েছে। কিন্তু প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর পেয়েছে। রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।

(ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে মোট কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করি।

Answer:

(i) রেহানা মোট নম্বর পেয়েছে 36;

রেহানা ঠিক উত্তর দিয়েছে 8 টি। এবং প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 6।

∴ 8 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে 8×6 = 48

আবার ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমে গেছে 48 - 36 = 12

∴ দেখা যাচ্ছে 4 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর।

∴ 4 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12

1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে (-12) ÷ 4 = -3

∴ রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর দেওয়া হয়েছে -3

(ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়েছে।

1 টি ঠিক উত্তরের জন্য পেয়েছে 6

∴ 6 টি ঠিক উত্তরের জন্য পেয়েছে 6×6 = 36

এবং 1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -3

∴ 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -3×6 = -18

অর্থাৎ সায়ন মোট নম্বর পেয়েছে = 36 - 18 = 18

উত্তর: (i) রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য নম্বর দেওয়া হয়েছে -3

(ii) সায়ন মোট নম্বর পেয়েছে 18

4. কোনো জায়গার তাপমাত্রা 12°C; প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে ৪ ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা -4°C হয়। সেখানে প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে হিসাব করি।

Answer:

তাপমাত্রা 12°C

প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে ৪ ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা -4°C হয়।

মোট তাপমাত্রা কমল = 12°C - (-4°C) =12°C + 4°C = 16°C

∴ 8 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমে 16°C

1 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমে (16 ÷ 8)°C

= 2°C

উত্তর: প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে 2°C

5. একটি খনিতে একটি লিফট ৪ মিনিটে 24 মিটার নীচে নামে। লিফটটি যদি সমবেগে চলে তবে লিফটটি 6 মিনিটে কত মিটার নীচে থাকবে দেখি। ওই লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির কতটা নীচে থাকবে হিসাব করি।

Answer:

৪ মিনিটে লিফট নীচে নামে 24 মিটার

1 মিনিটে লিফট নীচে নামে (24 ÷ 8) মিটার

= 3 মিটার

∴ 6 মিনিটে লিফট নীচে নামে (3 × 6) মিটার

= 18 মিটার

আবার 70 মিনিটে লিফট নীচে নামে (3 × 70) মিটার

= 210 মিটার

ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করলে তবে 70 মিনিটে ভূমির নীচে থাকবে = (210 - 10) মিটার= 200 মিটার

উত্তর: লিফটটি 6 মিনিটে 18 মিটার নীচে থাকবে ; লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির 200 মিটার নীচে থাকবে।

6. নীচের ফাঁকা ঘর পূরণ করি-

(i) - 16 ÷ (- 2) + ☐ = -1

(ii) 20 - 50 + ☐ = -1

(iii) 41 × (-5) + ☐ = -3

(iv) (- 9) × (- 3) × ☐ = -81

(v) (- 15) ÷ (- 5) - ☐ = -1

(vi) (-18) ÷ ☐ + 3 = -6

(vii) ☐ ÷ 4 - 2 = -7

(viii) ☐ × (- 1) + 9 = 0

Answer:

আমরা প্রতিটি ☐ চিহ্নিত স্থানে x ধরে অংক গুলো সমাধান করব।

(i) -16 ÷ (-2) + ☐ = -1

ধরি, -16 ÷ (-2) + x = -1

⇒8 + x = -1

⇒x = -1 - 8

⇒x = -9

∴ -16 + (-2) + (-9) = -1

(ii) 20 - 50 + ☐ = -1

ধরি, 20 - 50 + x = -1

⇒x = -1 - 20 + 50

⇒x = -21 + 50

⇒x = +29

∴ 20 - 50 + 29 = -1

(iii) 41 × (-5) + ☐ = -3

ধরি, 41 × (-5) + x = -3

⇒- 205 + x = -3

⇒x = -3 + 205

⇒x = +202

∴ 41 × (-5) + 202 = -3

(iv) (- 9) × (- 3) × ☐ = -81

ধরি, (- 9) × (- 3) × x = -81

⇒+27x = -81

⇒x = -81 ÷ 27

⇒x = -3

∴ (- 9) × (- 3) × -3 = -81

(v) (- 15) ÷ (- 5) - ☐ = -1

ধরি, (- 15) ÷ (- 5) - x = -1

⇒ +3 - x = -1

⇒-x = -1 - 3

⇒-x = -4

⇒x = 4

∴ (- 15) ÷ (- 5) - 4 = -1

(vi) (-18) ÷ ☐ + 3 = - 6

ধরি, (-18) ÷ x + 3 = - 6

⇒ (-18) ÷ x = - 6 - 3

⇒ (-18) ÷ x = - 9

⇒ (-18) ÷ (-9) = x

⇒ x = 2

∴ (-18) ÷ 2 + 3 = -6

(vii) ☐ ÷ 4 - 2 = - 7

ধরি, x ÷ 4 - 2 = - 7

⇒ x ÷ 4 = - 7 + 2

⇒ x ÷ 4 = - 5

⇒ x = (-5) × 4

⇒ x = - 20

∴ - 20 ÷ 4 - 2 = -7

(viii) ☐ × (- 1) + 9 = 0

ধরি, x × (- 1) + 9 = 0

⇒ x × (- 1) = - 9

⇒ x = (-9) ÷ (-1)

⇒ x = 9

∴ 9 × (- 1) + 9 = 0

7. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

পূর্ণসংখ্যার গুণ এবং ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম (Commutative Property) কীভাবে কাজ করে বা কাজ করে না, তা দুটি উদাহরণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হলো -

গুণের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে:

বিনিময় নিয়ম অনুযায়ী, যদি a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে

a × b = b × a হবে

উদাহরণ:

3 × (-5) = -15

(-5) × 3 = -15

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল একই, তাই পূর্ণসংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না:

বিনিময় নিয়ম অনুসারে, ভাগের ক্ষেত্রেও যদি এটি মেনে চলত, তবে

a ÷ b = b ÷ a হবে

উদাহরণ:

10 ÷ 2 = 5

2 ÷ 10 = 0.2 (যা পূর্ণসংখ্যা নয়)

এখানে স্পষ্ট যে 10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10, তাই পূর্ণসংখ্যার ভাগের ক্ষেত্রে বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

৪. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ সর্বদা বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

পূর্ণসংখ্যার গুণ ও ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Property) কীভাবে কাজ করে বা কাজ করে না, তা দুটি উদাহরণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হলো -

গুণের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে:

বিচ্ছেদ নিয়ম অনুযায়ী, যদি তিনটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) হবে

উদাহরণ:

ধরি, a = 3, b = 4, c = -2

∴ বামপক্ষ : 3 × (4 + (-2))

= 3 × 2

= 6

এবং, ডানপক্ষ : (3 × 4) + (3 × (-2))

= 12 + (-6)

= 6

যেহেতু উভয় পক্ষ সমান, তাই পূর্ণসংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।

ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম সর্বদা মেনে চলে না:

যদি ভাগের ক্ষেত্রেও বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলত, তবে

a ÷ (b + c) = (a ÷ b) + (a ÷ c) হবে

উদাহরণ:

ধরি, a = 12, b = 4, c = 2

বামপক্ষ: 12 ÷ (4 + 2)

= 12 ÷ 6

= 2

ডানপক্ষ: (12 ÷ 4) + (12 ÷ 2)

= 3 + 6

= 9

এখানে 2 ≠ 9, তাই পূর্ণসংখ্যার ভাগের ক্ষেত্রে বিচ্ছেদ নিয়ম সর্বদা মেনে চলে না।

9. মান নির্ণয় করি-

(i) (- 125) ÷ 5

(ii) (-144) ÷ 6

(iii) (-49) ÷ 7

(iv) 225 ÷ (-3)

(v) 169 ÷ (-13)

(vi) 100 ÷ (-5)

(vii) (- 81) ÷ (- 9)

(viii) (- 150) ÷ (- 5)

(ix) (- 121) ÷ (- 11)

(x) (- 275) ÷ (- 25)

Answer:

(i) (-125) ÷ 5

= -25

(ii) (-144) ÷ 6

= -24

(iii) (-49) ÷ 7

= -7

(iv) 225 ÷ (-3)

= -75

(v) 169 ÷ (-13)

= -13

(vi) 100 ÷ (-5)

= -20

(vii) (-81) ÷ (-9)

= 9

(viii) (-150) ÷ (-5)

= 30

(ix) (- 121) ÷ (- 11)

= 11

(x) (- 275) ÷ (- 25)

= 11

Math MCQ for Railway Group D Exam (Set - 1) || রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য অনুশীলন সেট ১

2025-03-24T20:12:00.001+05:30

রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার অংক প্রশ্ন ও তার উত্তর (সেট ১)

রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার জন্য যারা প্রস্তুতি নিচ্ছেন তাদের জন্য অংকের এই প্রশ্নগুলো খুব গুরুত্বপূর্ণ হতে চলেছ। সময় নির্ধারণ করে চম্পট অংক গুলোর সমাধান করে ফেলুন ও তারপর সমাধান গুলো মিলিয়ে নিন। এতে পাবেন সাধারণ যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, শতকরা, লাভ-ক্ষতি, গড়, অনুপাত, সময় ও দূরত্ব প্রভৃত প্রশ্ন। যা রেলওয়ে গ্রুপ D 2025 পরীক্ষার অংকের বিষয়সমূহ।

এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলোর উপর ভিত্তি করে গণিত প্রশ্নোত্তর রয়েছে।

1. 48 এবং 72-এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

a) 8

b) 12

c) 24

d) 36

2. একটি সংখ্যা 7 দ্বারা ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে। সংখ্যাটির বর্গ 7 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট কত হবে?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

3. একজন ব্যক্তি তার আয়ের 80% ব্যয় করেন এবং 1500 টাকা সঞ্চয় করেন। তার মোট আয় কত?

a) 6000 টাকা

b) 6500 টাকা

c) 7000 টাকা

d) 7500 টাকা

4. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি 87। বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করুন।

a) 27

b) 29

c) 31

d) 33

5. একটি মোবাইলের দাম 20% হ্রাস পায়। যদি মূল দাম 12000 টাকা হয়, তবে নতুন দাম কত?

a) 9200 টাকা

b) 9600 টাকা

c) 10000 টাকা

d) 9800 টাকা

6. একজন ফল বিক্রেতা আম বিক্রি করে 10% ক্ষতি করে। যদি সে প্রতি কেজিতে 18 টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করে, তবে সে 5% লাভ করে। প্রতি কেজির ক্রয়মূল্য কত?

a) 100 টাকা

b) 120 টাকা

c) 140 টাকা

d) 160 টাকা

7. একটি ট্রেনের গতি 72 কিমি/ঘণ্টা। ট্রেনের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং এটি 300 মিটার দীর্ঘ একটি ব্রিজ পার হতে কত সেকেন্ড লাগবে?

a) 15 সেকেন্ড

b) 20 সেকেন্ড

c) 25 সেকেন্ড

d) 30 সেকেন্ড

8. একজন ব্যক্তি 5 কিমি/ঘণ্টা গতিতে হাঁটলে 10 মিনিট দেরি হয়। যদি সে 6 কিমি/ঘণ্টা গতিতে হাঁটে, তবে ঠিক সময়ে পৌঁছে যায়। দূরত্ব কত?

a) 4 কিমি

b) 5 কিমি

c) 6 কিমি

d) 7 কিমি

9. 4000 টাকার উপর 5% বার্ষিক হারে 2 বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

a) 200 টাকা

b) 205 টাকা

c) 410 টাকা

d) 420 টাকা

10. 5000 টাকা কত বছরে 6200 টাকা হবে, যদি সরল সুদের হার 6% বার্ষিক হয়?

a) 3 বছর

b) 4 বছর

c) 5 বছর

d) 6 বছর

11. ব্যাসার্ধ 7 সেমি বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। (π = 22/7 ধরুন)

a) 154 বর্গ সেমি

b) 140 বর্গ সেমি

c) 180 বর্গ সেমি

d) 200 বর্গ সেমি

12. একটি বর্গের কর্ণ 10√2 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

a) 50 বর্গ সেমি

b) 75 বর্গ সেমি

c) 100 বর্গ সেমি

d) 125 বর্গ সেমি

13. 5 জন ছেলের গড় ওজন 40 কেজি। যদি তাদের মধ্যে একজনকে বাদ দেওয়া হয়, তবে নতুন গড় 38 কেজি হয়। বাদ দেওয়া ছেলেটির ওজন কত?

a) 42 কেজি

b) 45 কেজি

c) 48 কেজি

d) 50 কেজি

14. 10টি কলম এবং 5টি নোটবুকের মোট দাম 350 টাকা। যদি প্রতিটি কলমের দাম 15 টাকা হয়, তবে প্রতিটি নোটবুকের দাম কত?

a) 25 টাকা

b) 30 টাকা

c) 35 টাকা

d) 40 টাকা

15. একটি ক্লাসে 40 জন ছাত্রছাত্রী রয়েছে। তাদের মধ্যে 25 জন গণিত পছন্দ করে এবং 18 জন বিজ্ঞান পছন্দ করে। যদি 10 জন উভয় বিষয়ই পছন্দ করে, তবে কতজন ছাত্রছাত্রী অন্তত একটি বিষয় পছন্দ করে?

a) 30 জন

b) 33 জন

c) 35 জন

d) 36 জন

উপরের অংক গুলোর সমাধান

1. 48 এবং 72-এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

উত্তর: (c) 24

বিস্তারিত সমাধান:

48 = 2⁴ × 3

72 = 2³ × 3²

গ.সা.গু = 2³ × 3 = 24

উত্তর: (b) 2

বিস্তারিত সমাধান:

ধরা যাক, সংখ্যাটি 10 যাকে 7 দ্বারা ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে।

এবার সংখ্যাটির বর্গ করলে পাই (10)² = 100

এবার 7 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 2

অনুরূপ ভাবে, ধরা যাক, সংখ্যাটি 17 যাকে 7 দ্বারা ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে।

এবার সংখ্যাটির বর্গ করলে পাই (17)² = 289

এবারেও 7 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 2

3. একজন ব্যক্তি তার আয়ের 80% ব্যয় করেন এবং 1500 টাকা সঞ্চয় করেন। তার মোট আয় কত?

উত্তর: (d) 7500 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, ব্যক্তির মোট আয় = 100%

তিনি 80% ব্যয় করেন, অর্থাৎ সঞ্চয় করেন, 20%

অর্থাৎ 20% = 1500

∴ 100% = (1500÷20)×100 = 7500

4. তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি 87। বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করুন।

উত্তর: (c) 31

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা x, x+2, x+4

অর্থাৎ x+x+2+x+4 = 87

⇒3x + 6 = 87

⇒3x = 91

⇒x = 27

বৃহত্তম সংখ্যা = x+4 = 27+4 = 31

5. একটি মোবাইলের দাম 20% হ্রাস পায়। যদি মূল দাম 12000 টাকা হয়, তবে নতুন দাম কত?

উত্তর: (b) 9600 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

মূল দাম 100% হলে 20% হ্রাস পেলে নতুন দাম 80%

নতুন দাম = মূল দাম × (1 - হ্রাস শতাংশ)

অর্থাৎ 100% = 12000

⇒ 80% = (12000÷100)×80 = 9600

উত্তর: (b) 120 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি ক্রয়মূল্য = 100%

10% ক্ষতি হলে বিক্রয় মূল্য 90%

5% লাভ হলে বিক্রয় মূল্য 105%

প্রশ্নানুসারে, (105% - 90%) = 15% = 18 টাকা

⇒100% = (18÷15)×100 = 120

উত্তর: (c) 25 সেকেন্ড

বিস্তারিত সমাধান:

অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = 200 + 300 = 500 মিটার

গতি = 72 কিমি/ঘণ্টা = 20 মিটার/সেকেন্ড

সময় = দূরত্ব ÷ গতি

= 500 ÷ 20

= 25 সেকেন্ড

বা, 72000 মিটার যেতে সময় লাগে 3600 সেকেন্ড

∴ 500 মিটার যেতে সময় লাগে = (3600÷72000)×500 সেকেন্ড

= 25 সেকেন্ড

উত্তর: (b) 5 কিমি

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি দূরত্ব = $x$ কিমি

∴ 5 কিমি/ঘণ্টা গতিতে $x$ কিমি যেতে সময় লাগে = $\frac{60×x}{5}$ = $12x$ মিনিট

এবং 6 কিমি/ঘণ্টা গতিতে $x$ কিমি যেতে সময় লাগে = $\frac{60×x}{6}$ =$10x$ মিনিট

প্রশ্নানুসারে, $12x$ - $10x$ = 10

⇒$2x$ = 10

⇒$x$ = 5

9. 4000 টাকার উপর 5% বার্ষিক হারে 2 বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

উত্তর: (c) 410 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র:

সমূহ চক্রবৃদ্ধি সুদ = $P(1+\frac{I}{100})^T$

এখানে সমূহ চক্রবৃদ্ধি সুদ = $4000(1+\frac{5}{100})^2$

= $4000×\frac{441}{100}$

= 4410

∴ শুধু চক্রবৃদ্ধি সুদ = 4410 - 4000 = 410 টাকা

অন্যভাবে,

5% বার্ষিক হারে 4000 টাকার 1 বছরের সুদ = $\frac{4000×1×5}{100}$ = 200 টাকা

এবং 4000+200= 4200 টাকার 1 বছরের সুদ = $\frac{4200×1×5}{100}$ = 210 টাকা

মোট চক্রবৃদ্ধি সুদ = 200 + 210 = 410 টাকা

10. 5000 টাকা কত বছরে 6200 টাকা হবে, যদি সরল সুদের হার 6% বার্ষিক হয়?

উত্তর: (b) 4 বছর

বিস্তারিত সমাধান

মোট সুদ = 6200 - 5000 = 1200

আমারা জানি, $I = \frac{P×T×R}{100}$

∴ $T = \frac{I×100}{P×R}$

= $\frac{1200×100}{5000×6}$

= 4

11. ব্যাসার্ধ 7 সেমি বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

উত্তর: (a) 154 বর্গ সেমি

বিস্তারিত সমাধান:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = $\frac{22}{7}×7^2$= 154 বর্গ সেমি

12. একটি বর্গের কর্ণ 10√2 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

উত্তর: (c) 100 বর্গ সেমি

বিস্তারিত সমাধান

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √2

এখানে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 10√2 সেমি

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহু = 10 সেমি

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² = (10)² = 100

13. 5 জন ছেলের গড় ওজন 40 কেজি। যদি তাদের মধ্যে একজনকে বাদ দেওয়া হয়, তবে নতুন গড় ৩৮ কেজি হয়। বাদ দেওয়া ছেলেটির ওজন কত?

উত্তর: (c) 48 কেজি

বিস্তারিত সমাধান:

5 জনের মোট ওজন = 40 × 5 = 200 কেজি

পরে 4 জনের মোট ওজন = 38 × 4 = 152 কেজি

∴ বাদ পড়া ছেলেটির ওজন = 200 - 152 = 48 কেজি

উত্তর: (d) 40 টাকা

বিস্তারিত সমাধান:

10টি কলমের দাম = 10 × 15 = 150

∴ 5টি নোটবুকের দাম = 350 - 150 = 200

∴ 1টি নোটবুকের দাম = 200 ÷ 5 = 40

উত্তর: (b) 33 জন

বিস্তারিত সমাধান:

উভয় বিষয় পছন্দ করা ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 10

শুধু গণিত পছন্দ করা ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 25 - 10 = 15

শুধু বিজ্ঞান পছন্দ করা ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 18 - 10 = 8

∴ অন্তত একটি বিষয় পছন্দ করা ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 10+15+8 = 33

এই অংকের প্রশ্ন গুলো আপনাদের কেমন লাগল comments box এ জানাবেন। আপনাদের মতামতের অপেক্ষায় রইলাম!

প্রশ্নোত্তরে সাধারণ জ্ঞান সকল প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য (পর্ব - ১) || General knowledge for Comparative Exam (Set - 1)

2025-03-21T11:17:00.001+05:30

প্রশ্নোত্তরে সাধারণ জ্ঞান

General knowledge for Comparative Exam

সাধারণ জ্ঞান যে কোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এই সিরিজের প্রথম পর্বে আমরা কিছু মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ জ্ঞানভিত্তিক প্রশ্নোত্তর উপস্থাপন করছি, যা PSC, রেল, ব্যাংক, সেনাবাহিনী সহ বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষায় ও অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য সহায়ক হবে।

এই পর্বে ইতিহাস, ভূগোল, বিজ্ঞান, আন্তর্জাতিক বিষয়াবলি, খেলাধুলা এবং সমসাময়িক ঘটনাবলি থেকে বাছাই করা গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছে। নিয়মিত চর্চার মাধ্যমে পরীক্ষায় ভালো ফল অর্জন করা সম্ভব।

পরবর্তী পর্বে আরও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নোত্তর নিয়ে হাজির হবো। নিয়মিত আপডেটের জন্য আমাদের সঙ্গে থাকুন--

রেলওয়ে গ্রুপ D পরীক্ষার জন্য সাধারণ জ্ঞানের কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও উত্তর নিচে দেওয়া হলো—

1. ভারতের প্রথম যাত্রীবাহী ট্রেন কবে চালু হয়?

উত্তর: 16 এপ্রিল, 1853

2. ভারতের প্রথম যাত্রীবাহী রেল স্টেশন কোনটি?

উত্তর: বোরিবন্দর, যা বর্তমানে ছত্রপতি শিবাজি মহারাজ টার্মিনাস নামে পরিচিত।

3. ভারতের কোন ট্রেন দীর্ঘতম পথ অতিক্রম করে?

উত্তর: বিবেক এক্সপ্রেস যা ডিব্রুগড় (আসাম) থেকে কন্যাকুমারী (তামিলনাড়ু) পর্যন্ত চলাচল করে।

4. ভারতের বৃহত্তম রেলস্টেশন কোনটি?

উত্তর: হাওড়া জংশন (পশ্চিমবঙ্গ)। এই স্টেশনের প্লাটফর্ম সংখ্যা 23 টি

5. ভারতের প্রথম বুলেট ট্রেন কোন রুটে চালু হতে চলেছে?

উত্তর: মুম্বাই – আহমেদাবাদ

6. ভারতের সবচেয়ে ব্যস্ত রেলওয়ে স্টেশন কোনটি?

উত্তর: হাওড়া জংশন

7. IRCTC-এর পূর্ণরূপ কী?

উত্তর: Indian Railway Catering and Tourism Corporation

8. PNR-এর পূর্ণরূপ কী?

উত্তর : Passenger Name Record

9. ভারতের প্রথম মেট্রো রেল কোথায় চালু হয়?

উত্তর: কলকাতা (1984 সালে)

10. ভারতের দ্রুততম ট্রেন (2024) কোনটি?

উত্তর: বন্দে ভারত এক্সপ্রেস (160 কিমি/ঘন্টা)

11. ভারতের সবচেয়ে দীর্ঘ রেলসেতু কোনটি?

উত্তর: বগীবিল ব্রিজ (ব্রহ্মপুত্র নদ, আসাম) । এই সেতুর দৈর্ঘ্য 4.94 কিলোমিটার। এই সেতুতে রেল ও সড়ক দুটি পথই অবস্থিত।

12. ভারতীয় রেলওয়ে কোন মন্ত্রণালয়ের অধীনে পরিচালিত হয়?

উত্তর: রেল মন্ত্রণালয় (Ministry of Railways)

13. মানুষের দেহে মোট কতটি হাড় থাকে?

উত্তর: ২০৬টি

14. সূর্যের শক্তির উৎস কী?

উত্তর: নিউক্লিয়ার ফিউশন

15. জলের রাসায়নিক সংকেত কী?

উত্তর: H₂O

16. সবচেয়ে হালকা গ্যাস কোনটি?

উত্তর: হাইড্রোজেন (H₂)

17. কোন গ্যাস অক্সিজেনের বিকল্প হিসেবে ব্যবহার করা হয়?

উত্তর: হিলিয়াম (He)

18. ভারতের সংবিধান কবে থেকে কার্যকর হয়?

উত্তর: ২৬ জানুয়ারি, ১৯৫০

19. স্বাধীন ভারতের প্রথম রাষ্ট্রপতি কে ছিলেন?

উত্তর: ড. রাজেন্দ্র প্রসাদ

20. স্বাধীন ভারতের প্রথম প্রধানমন্ত্রী কে ?

উত্তর: জওহরলাল নেহেরু

21. স্বাধীন ভারতের প্রথম রেলমন্ত্রী কে ?

উত্তর: জন মথাই (15-08-1957 to 22-09-1948)

22. ভারতের জাতীয় প্রতীক কোনটি ?

উত্তর: অশোক স্তম্ভ (সারনাথে অবস্থিত)

23. ভারতের জাতীয় পতাকার নকশাকার কে ছিলেন?

উত্তর: পিংগালি ভেঙ্কাইয়া

24. ভারতের স্বাধীনতা আন্দোলনের সময় ‘দরিদ্র নারায়ণের সেবক’ কাকে বলা হত?

উত্তর: মহাত্মা গান্ধী

25. ভারতের বৃহত্তম রাজ্য (আয়তন অনুসারে) কোনটি?

উত্তর: রাজস্থান

26. ভারতের জনবহুল রাজ্য কোনটি?

উত্তর: উত্তরপ্রদেশ

27. ভারতের দীর্ঘতম নদী কোনটি?

উত্তর: গঙ্গা

28. বিশ্বের বৃহত্তম মহাসাগর কোনটি?

উত্তর: প্রশান্ত মহাসাগর

29. বিশ্বের বৃহত্তম মরুভূমি কোনটি?

উত্তর: সাহারা মরুভূমি

30. পৃথিবীর সবচেয়ে উঁচু পর্বতশৃঙ্গ কোনটি?

উত্তর: মাউন্ট এভারেস্ট

31. ক্রিকেটে এক ওভারে কতটি বল করা হয়?

উত্তর: ৬টি

32. ভারতের জাতীয় খেলা কোনটি?

উত্তর: হকি । (নথিভুক্ত ভাবে ভারতের কোন জাতীয় খেলা নেই । ঐতিহাসিক ভাবে হকি খেলা ভারতের জাতীয় খেলা হিসাবে মনে করা হয়)

33. ২০২৩ সালের ক্রিকেট বিশ্বকাপের চ্যাম্পিয়ন কোন দল?

উত্তর: অস্ট্রেলিয়া

34. অলিম্পিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতা কত বছর অন্তর অনুষ্ঠিত হয়?

উত্তর: প্রতি ৪ বছর অন্তর

35. “ড্রিবল” শব্দটি কোন খেলার সঙ্গে যুক্ত?

উত্তর: বাস্কেটবল ও ফুটবল

36. ভারতের বর্তমান (2024) প্রধানমন্ত্রী কে?

উত্তর: নরেন্দ্র দামোদরদাস মোদী

37. ভারতের বর্তমান (2024) রাষ্ট্রপতি কে?

উত্তর: দ্রৌপদী মুর্মু

38. G20 শীর্ষ সম্মেলন 2023 কোথায় অনুষ্ঠিত হয়?

উত্তর: ভারত (নয়াদিল্লি)

39. কোন দেশ বিশ্বের সবচেয়ে বেশি জনসংখ্যার দেশ?

উত্তর: চীন (কিছু রিপোর্ট অনুযায়ী, ২০২৩ সালের পর ভারত এগিয়ে গেছে)

40. নোবেল পুরস্কার প্রদান করা হয় কোন দেশ থেকে?

উত্তর: নোবেল পুরস্কার প্রধানত সুইডেন থেকে প্রদান করা হয়। তবে, শান্তির জন্য নোবেল পুরস্কার একমাত্র নরওয়ে থেকে প্রদান করা হয়।

কষে দেখি - ৫.২ - Class VIII - Exercise 5.2 - অভেদের সাহায্যে ঘনফল নির্ণয় - Volume of cube using rules

2024-04-05T12:16:00.002+05:30

অষ্টম শ্রেণী - অংক - কষে দেখি - 5.2
অভেদের সাহায্যে ঘনফল নির্ণয়

Class VIII - Exercise 5.2
Volume of cube using rules
Math
WBBSE

এই অংক গুলো করার জন্য যে সব অভেদের প্রয়োজন হবে সেগুলো প্রথমে জেনে নিই।

অভেদ গুলো হল -

1. (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab² + b3 ------- (I)

2. (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ------- (II)

3. (a − b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b3 ------- (III)

4. (a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) ------- (IV)

1. ছক পূরণ করি -

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য (একক)	ঘনকের আয়তন (ঘন একক)
(i) p² + q²	p⁶ + 3p⁴q² + 3p²q⁴ + q⁶
(ii) $\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$	$\frac{x³}{27}+\frac{4x}{3y}+\frac{16x}{3y²}+\frac{64}{y³}$
(iii) x²y - z²	x⁶y³ - 3x⁴y²z² + 3x²yz⁴ - z⁶
(iv) l + b - 2c	l³ + b³ - 8c³ + 3l²b + 3lb² - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b
(v) 2.89 + 2.11 or, 5	(2.89)³ + (2.11)³ + 15×2.89×2.11
(vi) (2m + 3n) + (2m - 3n) or, 4m	(2m + 3n)³ + (2m - 3n)³ + 12m (4m² - 9n²)
(vii) (a + b) - (a - b) or, 2b	(a + b)³ - (a - b)³ - 6b(a² - b²)
(viii) 2x - 3y - 4z	8x³ - 27y³ - 64z³ - 36x²y + 56xy² - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz²
(ix) x² - 5	x⁶ - 15x⁴ + 75x² - 125
(x) 10 + x	1000 + 30x(10 + x) + x³

উপরের ছক ঘরের অংক গুলোর বিস্তারিত নিচে দেওয়া হল।

(i) p² + q²

(p² + q²)³ = (p²)³ + 3.(p²)².q³ + 3.p².(q²)² + (q²)³

= p⁶ + 3p⁴q² + 3p²q⁴ + q⁶

(ii) $\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$

($\frac{x}{3}+\frac{4}{y}$)³ = $(\frac{x}{3})³+3.(\frac{x}{3})².\frac{4}{y}+3.\frac{x}{3}.(\frac{4}{y})²+(\frac{4}{y}$)³

= $\frac{x³}{27}+3.\frac{x²}{9}.\frac{4}{y}+3.\frac{x}{3}.\frac{16}{y²}+\frac{64}{y³}$

= $\frac{x³}{27}+(\frac{4x}{3y}+\frac{16x}{3y²}+\frac{64}{y³}$

(iii) x²y - z²

(x²y - z²)³ = (x²y)³ - 3.(x²y)².z² + 3.x²y.(z²)² - (z²)³

= x⁶y³ - 3x⁴y²z² + 3x²yz⁴ - z⁶

(iv) l + b - 2c

(l + b - 2c)³ = (l + b)³ - 3.(l + b)².2c + 3.(l + b).(2c)² - (2c)³

= l³ + 3.l².b + 3.l.b² + b³ - 6c(l² + 2.l.b + b²) + 12c²(l + b) - 8c³

= l³ + 3l²b + 3lb² + b³ - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b - 8c³

= l³ + b³ - 8c³ + 3l²b + 3lb² - 6cl² - 12lbc - 6b²c + 12c²l + 12c²b

(v) (2.89)³ + (2.11)³ + 15×2.89×2.11

= (2.89)³ + 15×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×5×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×(2.89 + 2.11)×2.89×2.11 + (2.11)³

= (2.89)³ + 3×(2.89)²×2.11 + 3×2.89×(2.11)² + (2.11)³

= (2.89 + 2.11)³

(vi) (2m + 3n)³ + (2m - 3n)³ + 12m (4m² - 9n²)

= (2m + 3n)³ + 12m (4m² - 9n²) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.4m {(2m)² - (3n)²} + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.(2m + 3n + 2m - 3n)(2m + 3n)(2m - 3n) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.{(2m + 3n) + (2m - 3n)}(2m + 3n)(2m - 3n) + (2m - 3n)³

= (2m + 3n)³ + 3.(2m + 3n)²(2m - 3n) + 3.(2m + 3n)(2m - 3n)² + (2m - 3n)³

= {(2m + 3n) + (2m - 3n)}³

(vii) (a + b)³ - (a - b)³ - 6b(a² - b²)

= (a + b)³ - 6b(a² - b²) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.2b(a² - b²) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.{(a + b) - (a - b)}(a + b)(a - b) - (a - b)³

= (a + b)³ - 3.(a + b)²(a - b) + 3.(a + b)(a - b)² - (a - b)³

= {(a + b) - (a - b)}³

(viii) 2x - 3y - 4z

(2x - 3y - 4z)³ = (2x - 3y)³ - 3.(2x - 3y)².4z + 3.(2x - 3y).(4z)² - (4z)³

= (2x)³ - 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² - (3y)³ - 12z.{(2x)² - 2.2x.3y + (3y)²} + 48z².(2x - 3y) - (4z)³

= 8x³ - 36x²y + 56xy² - 27y³ - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz² - 64z³

= 8x³ - 27y³ - 64z³ - 36x²y + 56xy² - 48x²z + 144xyz - 108y²z + 96xz² - 144yz²

(ix) x⁶ - 15x⁴ + 75x² - 125

= (x²)³ - 3.(x²)².5 + 3.x².(5)² - (5)³

= (x² - 5)³

(x) 1000 + 30x(10 + x) + x³

বা, $\frac{x+y}{xy}$ = 2

বা, $\frac{2}{xy}$ = 2 [∵ x + y = 2]

বা, xy = 1

এবং

x + y = 2

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

(x + y)³ = 2³

বা, x³ + y³ + 3xy(x + y) = 8 [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, x³ + y³ + 3.1.2 = 8 [∵ (x + y) = 2 এবং xy = 1]

বা, x³ + y³ + 6 = 8

বা, x³ + y³ = 8 - 6

বা, x³ + y³ = 2

Answer: x³ + y³ -এর মান 2

(d) $\frac{x²-1}{x}$ = 2 হলে $\frac{x⁶-1}{x³}$ -এর মান হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

উত্তর:

$\frac{x² - 1}{x} = 2$

বা, $(x² - 1) = 2x$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(x² - 1)³ = (2x)³$

বা, $(x²)³ - 1³ - 3.x².1(x² - 1) = 8x³$ [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x⁶ - 1 - 3.x².1(2x) = 8x³$ [∵$(x² - 1) = 2x$

বা, $x⁶ - 1 - 6x³ = 8x³$

বা, $x⁶ - 1 = 8x³ + 6x³$

বা, $x⁶ - 1 = 14x³$

বা, $\frac{x⁶-1}{x³} = 14$

Answer: $\frac{x⁶-1}{x³}$ -এর মান 14

(e) $x + \frac{1}{x}$= 5 হলে $x³+\frac{x³}{x}$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

$x + \frac{1}{x}$= 5

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(x + \frac{1}{x})³$= (5)³

বা, $x³+\frac{1}{x³}+3.x.\frac{1}{x}.(x + \frac{1}{x})$= (5)³ [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x³+\frac{1}{x³}+3.5$= 125 [∵ $x + \frac{1}{x}$= 5]

বা, $x³+\frac{1}{x³}+15$= 125

বা, $x³+\frac{1}{x³}$= 125-15

বা, $x³+\frac{1}{x³}$= 110

Answer: $x³+\frac{x³}{x}$ -এর মান 110

(f) x = y + z হলে x³ - y³ - z³-3xyz এর মান হিসাব করে লিখি

উত্তর:

x = y + z

বা, x - y = z

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

(x - y)³ = (z)³

বা, x³ - y³ - 3.xy.(x-y) = z³ [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, x³ - y³ - 3.xy.z = z³ [∵ x - y = z]

বা, x³ - y³ - z³ - 3xyz = 0

Answer: x³ - y³ - z³ - 3xyz এর মান 0

(g) $xy (x + y) = m$ হলে $x³ + y³ +3m = \frac{m³}{x³y³}$ প্রমাণ করার চেষ্টা করি

উত্তর:

$xy (x + y) = m$

বা, $(x + y) = \frac{m}{xy}$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(x + y)³ = (\frac{m}{xy})³$

বা, $x³ + y³ + 3xy(x + y) = \frac{m³}{x³y³}$ [(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $x³ + y³ + 3xy.\frac{m}{xy} = \frac{m³}{x³y³}$ [∵ $(x + y) = \frac{m}{xy}$]

বা, $x³ + y³ + 3m = \frac{m³}{x³y³}$

(প্রমাণিত)

(h) $2x +\frac{1}{3x}=4$ হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি $27x³ +\frac{1}{8x³}=189$

উত্তর:

$2x +\frac{1}{3x}=4$

বা, $\frac{3}{2}.(2x +\frac{1}{3x})=\frac{3}{2}.4$

বা, $3x +\frac{1}{2x}=6$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

বা, $(3x +\frac{1}{2x})³ = 6³$

বা, $(3x)³ +(\frac{1}{2x})³+3.3x.\frac{1}{2x}.(3x +\frac{1}{2x}) = 216$ [∴ (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) অভেদ অনুসারে]

বা, $(3x)³ +(\frac{1}{2x})³+3.3x.\frac{1}{2x}.6 = 216$ [ ∴ $3x +\frac{1}{2x}=6$]

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³}+27 = 216$

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³} = 216-27$

বা, $27x³ +\frac{1}{8x³} = 189$

(প্রমাণিত)

(i) $2a-\frac{2}{a}+1=0$ হলে, $a³-\frac{1}{a³}+2$ -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

$2a-\frac{2}{a}+1=0$

বা, $2a-\frac{2}{a} = -1$

বা, $a-\frac{1}{a} =-\frac{1}{2}$

উভয় পক্ষকে ঘন করে পাই,

$(a-\frac{1}{a})³ =(-\frac{1}{2})³$

বা, $a³-\frac{1}{a³}-3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) =-\frac{1}{8}$ [(a − b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) অভেদ অনুসারে]

বা, $a³-\frac{1}{a³}-3.a.\frac{1}{a}(-\frac{1}{2}) =-\frac{1}{8}$ [∵ $a-\frac{1}{a} =-\frac{1}{2}$]

বা, $a³-\frac{1}{a³}+\frac{3}{2} =-\frac{1}{8}$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2} +2$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=\frac{-1-12+16}{8}$

বা, $a³-\frac{1}{a³} +2=\frac{3}{8}$

Answer: $a³-\frac{1}{a³}+2$ -এর মান $\frac{3}{8}$

(j) a³ + b³ + c³ = 3abc হলে (a + b + c) -এর মান হিসাব করে লিখি (a ≠ b≠ c)

উত্তর:

প্রথম পদ্ধতি,

a³ + b³ + c³ = 3abc

বা, a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

বা, a³ + (b + c)³ - 3bc(b + c) - 3abc = 0

বা, {a + (b + c)}{a² + (b + c)² - a(b + c)} - 3bc{(b + c) + a} = 0

বা, (a + b + c){a² + (b + c)² - a(b + c)} - 3bc(b + c + a) = 0

বা, (a + b + c){a² + (b + c)² - a(b + c) - 3bc} = 0

বা, (a + b + c) = 0

Answer: (a + b + c) -এর মান 0

দ্বিতীয় পদ্ধতি,

a³ + b³ + c³ = 3abc

বা, a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

বা, (a + b + c)(a² + b² + c³ - bc - ab - ac) = 0 [সূত্র থেকে পাই]

বা, (a + b + c) = 0 [ (a² + b² + c³ - bc - ab - ac) ≠ 0]

Answer: (a + b + c) -এর মান 0

(k) যদি m + n = 5 এবং mn = 6 হয় তবে (m² + n²) (m³ + n³) -এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

(m² + n²) (m³ + n³)

= {(m + n)² - 2mn}{(m + n)³ - 3mn(m + n)} [সূত্র থেকে পাই]

= {(5)² - 2.6}{(5)³ - 3.6.5} [∵ m + n = 5 এবং mn = 6]

= {25 - 12}{125 - 90}

= 13 × 35

= 455

Answer: (m² + n²) (m³ + n³) -এর মান 455

কষে দেখি 3 - সপ্তম শ্রেণী - সমানুপাত || Exercise: 3 - Class VII - Math - Proportion - WBBSE

2024-02-04T07:28:00.002+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি - 3

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 3

WBBSE
Class VII
Math
Exercise - 3
Proportion in Bengali
সমানুপাতের অংক

1. ছক পূরণ করি -

চারটি সংখ্যা	সমানুপাতী	সমানুপাতী নয়
8, 10, 16, 20	8, 10, 16, 20
25, 30, 12, 15		25, 30, 12, 15
5, 7, 25, 35	5, 7, 25, 35
4, 10, 30, 18		4, 10, 30, 18
5, 10, 16, 20		5, 10, 16, 20
9, 15, 18, 30	9, 15, 18, 30

2. 8 জন লোক একটি কাজ 15 দিনে করতে পারে। হিসাব করে দেখি 10 জন লোক ওই কাজটি কতা দিনে করতে পারবে?

উত্তর:

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

লোকসংখ্যা (জন) প্রয়োজনীয় সময় (দিন)

8 15

10 ?

কাজটি করতে লোকসংখ্যা বেড়ে গেলে, সময় কম লাগবে। লোকসংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্কের ব্যস্ত অনুপাত নিয়ে পাই,

10 : 8 = 15 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল।

∴ 10 × চতুর্থ পদ = 8 × 15

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{8×15}{10}$

বা, চতুর্থ পদ = 12

Answer: 10 জন লোক ওই কাজটি 12 দিনে করতে পারবে।

3. কিছু পরিমাণ খাদ্যে 12 জন লোকের 20 দিন চলে। হিসাব করে লিখি ওই খাদ্যে 40 জন লােকের কতদিন চলবে?

উত্তর:

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

লোকসংখ্যা (জন) খাওয়া চলবে (দিন)

12 20

40 ?

লোকসংখ্যা বেড়ে গেলে, ঐ পরিমাণ খাদ্যে কম দিন চলবে। লোকসংখ্যা ও খাদ্যের পরিমাণ ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্কের ব্যস্ত অনুপাত নিয়ে পাই,

40 : 12 = 20 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 40 x চতুর্থ পদ = 12 × 20

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{12×20}{40}$

বা, চতুর্থ পদ = 6

Answer: ওই খাদ্যে 40 জন লােকের 6 দিন চলবে।

4. অরুণবাবু তাঁর কৃষিজমিতে 16 টি লাঙল দিযে় 10 দিনে সব জমি চাষ করিযে়ছেন। ওই সব জমি ৪ দিনে চাষ করতে চাইলে, কতগুলি লাঙল দরকার হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

চাষের সময় (দিন) লাঙল (টি)

10 16

8 ?

কাজটি করতে দিনসংখ্যা কমাতে হলে, লাঙল সংখ্যা বাড়াতে হবে। দিনসংখ্যা ও লাঙল সংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্কের ব্যস্ত অনুপাত নিয়ে পাই,

8 : 10 = 16 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 8 x চতুর্থ পদ = 10 × 16

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{10×16}{8}$

বা, চতুর্থ পদ = 20

Answer: ওই সব জমি ৪ দিনে চাষ করতে চাইলে, 20 টি লাঙল দরকার হবে।

5. একটি বন্যাত্রাণ শিবিরে 4,000 জনের 190 দিনের খাবার মজুত আছে। 30 দিন পর 800 জন অন্যত্র চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর কতদিন চলবে হিসাব করি।

উত্তর:

4,000 জন লোকের 190 দিনের খাবার মজুত ছিল।

30 দিন পর 800 জন অন্যত্র চলে গেলেন ।

অর্থাৎ, খাদ্য অবশিষ্ট = (190 - 30) দিনের

=160 দিনের

এবং লোক অবশিষ্ট = (4000 - 800) জন

=3200 জন

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

লোকসংখ্যা (জন) খাওয়া চলবে (দিন)

4000 160

3200 ?

লোকসংখ্যা কমে গেলে, ঐ পরিমাণ খাদ্যে বেশি দিন চলবে। লোকসংখ্যা ও খাদ্যের পরিমাণ ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্কের ব্যস্ত অনুপাত নিয়ে পাই,

3200 : 4000 = 160 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 3200 x চতুর্থ পদ = 4000 × 160

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{4000×160}{3200}$

বা, চতুর্থ পদ = 200

Answer: যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর 200 দিন চলবে।

6. 3টি ছাতা বা 1টি চেয়ারের দাম 600 টাকা। 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের দাম কত হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

ছাতা (টি) দাম (টাকা)

3 600

2 ?

ছাতার সংখ্যা কমলে দামের পরিমাণ কমবে ।

ছাতার সংখ্যার সঙ্গে দাম সরল সমানুপাতে আছে।

সুতরাং 3 : 2 :: 600 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 3 × চতুর্থ পদ = 2 x 600

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{2×600}{3}$

বা, চতুর্থ পদ = 400

অর্থাৎ, 2টি ছাতা দাম 400 টাকা

আবার,

চেয়ার (টি) দাম (টাকা)

1 600

2 ?

চেয়ারের সংখ্যা বাড়লে দামের পরিমাণ বাড়বে ।

চেয়ারের সংখ্যার সঙ্গে দাম সরল সমানুপাতে আছে।

সুতরাং 1 : 2 :: 600 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 1 × চতুর্থ পদ = 2 x 600

বা, চতুর্থ পদ = 1200

অর্থাৎ, 2টি চেয়ারের দাম 1200 টাকা

∴ 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের মোট দাম = (400+1200) টাকা

= 1600 টাকা

Answer: 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের একত্রে দাম 1600 টাকা

অন্য ভাবে বা অন্য পদ্ধতিতে,

3টি ছাতা দাম 600 টাকা

1টি ছাতা দাম $\frac{600}{3}$ টাকা

2টি ছাতা দাম $\frac{600×2}{3}$ টাকা

= 400 টাকা

এবং

1টি চেয়ারের দাম 600 টাকা

2টি চেয়ারের দাম 600×2 টাকা

= 1200 টাকা

∴ 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের মোট দাম = (400+1200) টাকা

= 1600 টাকা

Answer: 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের একত্রে দাম 1600 টাকা

7. আমার শ্রেণিতে আজকে আমাদের উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত নির্ণয় করি। আজ ষষ্ঠ শ্রেণিরও উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত বের করি। দুটি অনুপাত সমান কিনা দেখি। চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।

উত্তর: [নিজে চেষ্টা কর]

8. বিভিন্ন রঙের ঘরের সংখ্যা গুনি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর দিই :

(a) লাল ও নীল রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(b) বাদামি ও বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(c) লাল ও সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(d) বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত?
(e) কোন চারটি রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে?

উত্তর:

(a) লাল : নীল = 27 : 6

= 9 : 2

(b) বাদামি : বেগুনি = 36 : 39

= 12 : 13

= 3 : 2

(d) বাদামি : হলুদ = 36 : 24

= 3 : 2

(e) লাল : সবুজ : বাদামি : হলুদ : বেগুনি : নীল

= 27 : 18 : 36 : 24 : 39 : 6

= 9 : 6 : 12 : 8 : 13 : 2

∴ যে চারটি রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে সেগুলো হল লাল, সবুজ, বাদামি ও হলুদ

Answer: (a) লাল : নীল = 9 : 2, (b) বাদামি : বেগুনি = 12 : 13, (c) লাল : সবুজ = 3 : 2, (d) বাদামি : হলুদ = 3 : 2, (e) সমানুপাতে আছে লাল, সবুজ, বাদামি ও হলুদ।

উত্তর:

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

গল্পের বই (টি) পড়ার বই (টি)

2 5

4 ?

গল্পের বইয়ের সংখ্যা বাড়লে পড়ার বইয়ের সংখ্যা বাড়বে ।

গল্পের বইয়ের সংখ্যার সঙ্গে পড়ার বই সরল সমানুপাতে আছে।

সুতরাং 2 : 4 :: 5 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 2 × চতুর্থ পদ = 4 x 5

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{4×5}{2}$

বা, চতুর্থ পদ = 10

∴ পড়ার বইয়ের সংখ্যা 10 টি

Ans. প্রিতমের পড়ার বইয়ের সংখ্যা 10 টি

13. মালা গাঁথার জন্য জবা ও গাঁদা ফুল মিলিয়ে মোট 105টি ফুল তোলা হয়েছে। জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3 : 4; কতগুলি জবা ফুল ও কতগুলি গাঁদা ফুল আছে হিসাব করি। আর কতগুলি জবা ফুল দিলে দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হবে দেখি?

উত্তর:

জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3 : 4;

অর্থাৎ যদি জবা ফুলের সংখ্যা 3টি হয় তবে, গাঁদা ফুলের সংখ্যা হবে 4 টি ।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,

মোট ফুল (টি) জবা ফুল (টি)

3 + 4 = 7 3

105 ?

মোট ফুল সংখ্যা বাড়লে জবা ফুলের সংখ্যাও বাড়বে ।

মোট ফুলের সংখ্যার সঙ্গে জবা ফুল সরল সমানুপাতে আছে।

সুতরাং 7 : 105 :: 3 : ?

আমারা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল

∴ 7 × চতুর্থ পদ = 105 x 3

বা, চতুর্থ পদ = $\frac{105×3}{7}$

বা, চতুর্থ পদ = 45টি

∴ জবা ফুলের সংখ্যা 45 টি।

এবং গাঁদা ফুলের সংখ্যা হবে = 105 - 45 = 60টি

দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হতে হলে, জবা ফুল। লাগবে = (60 - 45) টি = 15টি

Answer: জবা ফুলের সংখ্যা 45টি, এবং গাঁদা ফুলের সংখ্যা 60টি। এবং আর 15টি জবা ফুল দিলে দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হবে।

মাধ্যমিক : ইতিহাস - সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে লেখ || WBBSE Madhyamik : History MCQ - Select the correct answer

2024-01-18T21:58:00.000+05:30

ইতিহাস - সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে লেখ

WBBSE

Madhyamik History MCQ

History - Select the correct answer

পশ্চিমবঙ্গ মাধ্যমিক শিক্ষা পর্ষদ পরিচালিত মাধ্যমিক পরিক্ষায় যেসব প্রশ্ন আসে সেরকম কিছু প্রশ্ন নিয়ে এই আলোচনা শুরু করা হল । আজ আমারা ইতিহাসের এক নম্বরের প্রশ্ন - সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে লেখ বিষয়ের উপর কিছু প্রশ্ন দেওয়া হল। আশা করি ছাত্র-ছাত্রীদের মাধ্যমিক পরীক্ষায় এর মধ্য থেকে কমন আসবে। মাধ্যমিকে যে সব History MCQ প্রশ্ন থাকে সেগুলো নিয়েই আমাদের এই আলোচনা।

১. 'বাংলা মুদ্রণ শিল্পের জন্মদাতা' বলা হয়-

(ক) চার্লস উইলকিন্সকে

(খ) মার্শম্যানকে

(গ) উইলিয়ম কেরীকে

(ঘ) উইলিয়াম ওয়ার্ডকে

উত্তর: (ক) চার্লস উইলকিন্সকে

২. মহাবিদ্রোহকে কৃষক বিদ্রোহ আখ্যা দিয়েছিলেন-

(ক) সুরেন্দ্রনাথ সেন।

(খ) রমেশচন্দ্র মজুমদার

(গ) শশীভূষণ চৌধুরী

(ঘ) বিনায়ক দামোদর সাভারকার

উত্তর: (গ) শশীভূষণ চৌধুরী

৩. দলিতদের 'হরিজন' আখ্যা দিয়েছিলেন-

(ক) জ্যোতিবা ফুলে

(খ) নারায়ণ গুরু

(গ) গান্ধীজী

(ঘ) আম্বেদকর

উত্তর: (গ) গান্ধীজী

৪. বিশ্ব পরিবেশ দিবস পালিত হয়-

(ক) ৪ই জানুয়ারী

(খ) ২৩শে ফেব্রুয়ারী

(গ) ৪ঠা মার্চ

(ঘ) ৫ই জুন

উত্তর: (ঘ) ৫ই জুন

৫. মানবেন্দ্রনাথ রায়ের প্রকৃত নাম ছিল-

(ক) যতীন্দ্রনাথ বন্দ্যোপাধ্যায়

(খ) নরেন্দ্রনাথ রায়

(গ) নরেন্দ্রনাথ ভট্টাচার্য

(ঘ) যতীন্দ্রনাথ মুখোপাধ্যায়

উত্তর: (গ) নরেন্দ্রনাথ ভট্টাচার্য

৬. কেকের দেশ বলা হয়-

(ক) ফ্রান্সকে

(খ) স্কটল্যান্ডকে

(গ) ভারতবর্ষকে

(ঘ) আয়ার্ল্যান্ডকে

উত্তর: (খ) স্কটল্যান্ডকে

৭. দেবেন্দ্রনাথ ঠাকুর ব্রাহ্মসমাজে যোগ দেন-

(ক) ১৮৩০ খ্রি:

(খ) ১৮৩৩ খ্রি:

(গ) ১৮৪২ খ্রি:

(ঘ) ১৮৫০ খ্রি:

উত্তর: (গ) ১৮৪২ খ্রি:

৮. হিন্দুমেলার সম্পাদক ছিলেন-

(ক) নবগোপাল মিত্র

(খ) গণেন্দ্রনাথ ঠাকুর

(গ) রাজনারায়ণ বসু

(ঘ) গগনেন্দ্রনাথ ঠাকুর

উত্তর: (ক) নবগোপাল মিত্র

৯. সতীদাহ প্রথা রদ হয়-

(ক) ১৮২৮ খ্রিস্টাব্দে

(খ) ১৮২৯ খ্রিস্টাব্দে

(গ) ১৮৩০ খ্রিস্টাব্দে

(ঘ) ১৮৫৬ খ্রিস্টাব্দে।

উত্তর: (খ) ১৮২৯ খ্রিস্টাব্দে

১০. বেঙ্গল টেকনিক্যাল ইনস্টিটিউট এর প্রথম অধ্যক্ষ ছিলেন-

(ক) অরবিন্দ ঘোষ

(খ) সতীশচন্দ্র বসু

(গ) যোগেশচন্দ্র ঘোষ

(ঘ) প্রমথনাথ বসু

উত্তর: (ঘ) প্রমথনাথ বসু

১১. 'নারী সত্যাগ্রহ সমিতি' প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল-

(ক) বঙ্গভঙ্গ বিরোধী আন্দোলনের সময়

(খ) অসহযোগ আন্দোলনের সময়

(গ) আইন অমান্য আন্দোলনের সময়

(ঘ) ভারত ছাড়ো আন্দোলনের সময়

উত্তর: (গ) আইন অমান্য আন্দোলনের সময়

১২. রেশম আবিষ্কৃত হয় প্রাচীন-

(ক) ভারতে

(খ) রোমে

(গ) পারস্যে

(ঘ) চীনদেশে

উত্তর: (ঘ) চীনদেশে

১৩. বাংলার গভর্নর স্ট্যানলি জ্যাকসনকে হত্যা করার চেষ্টা করেন-

(ক) বীনা দাস

(খ) কল্পনা দত্ত

(গ) প্রীতিলতা ওয়াদ্দেদার

(ঘ) সুনীতি চৌধুরী

উত্তর: (ক) বীনা দাস

১৪. যে দেশীয় রাজ্যটি গণভোটের মাধ্যমে ভারতীয় ইউনিয়নের অন্তর্ভুক্ত হয়-

(ক) কাশ্মীর

(খ) হায়দ্রাবাদ

(গ) জুনাগড়

(ঘ) জয়পুর

উত্তর: (গ) জুনাগড়

১৫. বামাবোধিনীর 'বামা' আসলে-

(ক) বালিকারা

(খ) নববিবাহিতারা

(গ) বিধবারা

(ঘ) সমগ্র নারী জাতি

উত্তর: (ঘ) সমগ্র নারী জাতি

১৬. রবীন্দ্রনাথ 'গোরা' উপন্যাস লেখেন-

(ক) সিপাহী বিদ্রোহের প্রেক্ষাপটে

(খ) বঙ্গভঙ্গের প্রেক্ষাপটে

(গ) ভারত ছাড়ো আন্দোলনের প্রেক্ষাপটে

(ঘ) অসহযোগ আন্দোলনের প্রেক্ষাপটে

উত্তর: (খ) বঙ্গভঙ্গের প্রেক্ষাপটে

১৭. কোন বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রকৃতির সঙ্গে শিক্ষণ দেওয়া হয়-

(ক) কল্যাণী বিশ্ববিদ্যালয়ে

(খ) বেনারস বিশ্ববিদ্যালয়ে

(গ) বিশ্বভারতী বিশ্ববিদ্যালয়ে

(ঘ) রবীন্দ্রভারতী বিশ্ববিদ্যালয়ে

উত্তর: (গ) বিশ্বভারতী বিশ্ববিদ্যালয়ে

১৮. তেভাগা আন্দোলন সংঘটিত হয়েছিল-

(ক) হায়দ্রাবাদে

(খ ) উত্তর প্রদেশে

(গ) মাদ্রার্জে

(ঘ) বাংলাদেশে

উত্তর: (ঘ) বাংলাদেশে

১৯. 'দেশবন্ধু' নামে পরিচিত ছিলেন-

(ক) সতীশচন্দ্র সামন্ত

(খ) চিত্তরঞ্জন দাস

(গ) বীরেন্দ্রনাথ শাসমল

(ঘ) যতীন্দ্রনাথ সেনগুপ্ত

উত্তর: (খ) চিত্তরঞ্জন দাস

২০. এখানে আলাদা গোত্রের উপাদানটি হল-

(ক) ভারতমাতা

(খ) গোরা

(গ) আনন্দমঠ

(ঘ) বর্তমান ভারত

উত্তর: (ক) ভারতমাতা

২১. বেঙ্গল কেমিক্যাল্-এর প্রতিষ্ঠাতা ছিলেন-

(ক) জগদীশচন্দ্র বসু

(খ) প্রফুল্ল চন্দ্র রায়

(গ) মেঘনাদ সাহা

(ঘ) মহেন্দ্রলাল সরকার

উত্তর: (খ) প্রফুল্ল চন্দ্র রায়

২২. অসহযোগ আন্দোলনের সঙ্গে যুক্ত ছিলেন বিশিষ্ট নারী-

(ক) বীণা দাস

(খ) সিস্টার নিবেদিতা

(গ) প্রীতিলতা ওয়াদ্দেদার

(ঘ) উর্মিলা দেবী

উত্তর: (ঘ) উর্মিলা দেবী

২৩. বি. ভি. দল যুক্ত ছিল-

(ক) বুড়িবালামের যুদ্ধে

(খ) বালাকোটের যুদ্ধে

(গ) চাইবাসার যুদ্ধে

(ঘ) অলিন্দ যুদ্ধ

উত্তর: (ঘ) অলিন্দ যুদ্ধ

২৪. 'বলাদর্শন' পত্রিকার সম্পাদক কে ছিলেন?

(ক) দ্বারকানাথ বিদ্যাভূষণ

(খ) বঙ্কিমচন্দ্র চট্টোপাধ্যায়

(গ) উমেশচন্দ্র দত্ত

(ঘ) হরিশচন্দ্র মুখোপাধ্যায়

উত্তর: (খ) বঙ্কিমচন্দ্র চট্টোপাধ্যায়

২৫. বারাসাত বিদ্রোহের নেতা ছিলেন-

(ক) দুদুমিঞা

(খ) তিতুমীর

(গ) বিরসা মুণ্ডা

(ঘ) রামরতন মল্লিক।

উত্তর: (খ) তিতুমীর

২৬. কোন বিদ্রোহ 'উলগুলান' নামে পরিচিত?

(ক) মুণ্ডা বিদ্রোহ

(খ) কোল বিদ্রোহ

(গ) সাঁওতাল বিদ্রোহ

(ঘ) ভীল বিদ্রোহ।

উত্তর: (ক) মুণ্ডা বিদ্রোহ

২৭. ব্রহ্মানন্দ উপাধি ছিল-

(ক) কেশবচন্দ্র সেনের

(খ) দেবেন্দ্রনাথ ঠাকুরের

(গ) আনন্দমোহন বসুর

(ঘ) শিবনাথ শাস্ত্রীর

উত্তর: (ক) কেশবচন্দ্র সেনের

২৮. 'ভারতসভা' প্রতিষ্ঠা হয়-

(ক) ১৮৩৬ খ্রিস্টাব্দে

(খ) ১৮৭৭ খ্রিস্টাব্দে

(গ) ১৮৭৬ খ্রিস্টাব্দে

(ঘ) ১৮৬৭ খ্রিস্টাব্দে

উত্তর: (গ) ১৮৭৬ খ্রিস্টাব্দে

২৯. বারদৌলি সত্যাগ্রহ পরিচালনা কে করেন?

(ক) মহাত্মা গান্ধি

(খ) বল্লভভাই প্যাটেল

(গ) জে বি কৃপালিনী

(ঘ) মহাদেব দেশাই

উত্তর: (খ) বল্লভভাই প্যাটেল

৩০. খুৎকাঠি প্রথা প্রচলিত ছিল যে সমাজে তা হল-

(ক) সাঁওতাল

(খ) মুণ্ডা

(গ) কোল

(ঘ) চুয়াড়

উত্তর: (খ) মুণ্ডা

৩১. 'The Government of India Act' আইনটি পাস হয়-

(ক) ১৮৫৫ খ্রিস্টাব্দে

(খ) ১৮৫৬ খ্রিস্টাব্দে

(গ) ১৮৫৭ খ্রিস্টাব্দে

(ঘ) ১৮৫৮ খ্রিস্টাব্দে

উত্তর: (ঘ) ১৮৫৮ খ্রিস্টাব্দে

৩২. 'বর্ণপরিচয়' প্রকাশিত হয়েছিল-

ক) ১৮৪৫ খ্রিস্টাব্দে

(খ) ১৮৫০ খ্রিস্টাব্দে

(গ) ১৮৫৫ খ্রিস্টাব্দে

(ঘ) ১৮৬০ খ্রিস্টাব্দে।

উত্তর: (গ) ১৮৫৫ খ্রিস্টাব্দে

৩৩. সর্বভারতীয় কিষাণসভা প্রতিষ্ঠিত হয়-

(ক) কলকাতায়

(খ) বোম্বাইয়ে

(গ) কানপুরে

(ঘ) লখনউ-তে

উত্তর: (ঘ) লখনউ-তে

৩৪. বাংলার নমঃশূদ্ররা মূলত-

(ক) কৃষিজীবী

(খ) শিক্ষক

(গ) কারখানার শ্রমিক

(ঘ) পুরোহিত শ্রেণি

উত্তর: (ক) কৃষিজীবী

৩৫. বাংলায় অরন্ধন দিবস পালিত হয় ১৯০৫ খ্রিস্টাব্দের-

(ক) ১৫ই অক্টোবর

(খ) ১৭ই ডিসেম্বর

(গ) ১৮ই ডিসেম্বর

(ঘ) ১৬ই অক্টোবর

উত্তর: (ঘ) ১৬ই অক্টোবর

৩৬. কথাকলি নৃত্য কোন অঞ্চলের নৃত্য?

(ক) কর্ণাটক

(খ) মালাবার

(গ) ওড়িশা

(ঘ) মণিপুর

উত্তর: (খ) মালাবার

৩৭. দেশীয় রাজ্য ছিল না-

(ক) বোম্বে

(খ) ভোপাল

(গ) হায়দরাবাদ

(ঘ) জয়পুর।

উত্তর: (ক) বোম্বে

৩৮. 'ছেড়ে আসা গ্রাম'-এর রচয়িতা হলেন-

(ক) দক্ষিণারঞ্জন বসু

(খ) অন্নদাশঙ্কর রায়

(গ) সুনীল গঙ্গোপাধ্যায়

(ঘ) কালীপ্রসাদ মুখোপাধ্যায়

উত্তর: (ক) দক্ষিণারঞ্জন বসু

৩৯. 'এ ট্রেন টু পাকিস্তান' লিখেছেন-

(ক) জওহরলাল নেহরু

(খ) ভি. পি. মেনন

(গ) সলমন রুশদি

(ঘ) খুশবন্ত সিং

উত্তর: (ঘ) খুশবন্ত সিং

৪০. 'জীবনের ঝরাপাতা' আত্মজীবনীটি রচনা করেন-

(ক) বিপিনচন্দ্রপাল

(খ) মহাত্মা গান্ধি

(গ) সরলা দেবী

(ঘ) মণিকুন্তলা সেন।

উত্তর: (গ) সরলা দেবী

৪১. 'গ্রামবার্তা প্রকাশিকা' প্রকাশিত হয়-

(ক) যশোর

(খ) রানাঘাট

(গ) কুষ্টিয়া

(ঘ) বারাসাত থেকে।

উত্তর: (গ) কুষ্টিয়া

৪২. সর্বধর্ম সমন্বয়ের আদর্শ প্রচার করেন-

(ক) শিবনাথ শাস্ত্রী

(খ) শ্রী রামকৃষ্ণ

(গ) স্বামী বিবেকানন্দ

(ঘ) রাজা রামমোহন রায়

উত্তর: (খ) শ্রী রামকৃষ্ণ

৪৩. নববিধান প্রতিষ্ঠা করেছিলেন-

(ক) দয়ানন্দ সরস্বতী

(খ) কেশবচন্দ্র সেন

(গ) স্বামী বিবেকানন্দ

(ঘ) দেবেন্দ্রনাথ ঠাকুর

উত্তর: (খ) কেশবচন্দ্র সেন

৪৪. ১৮৭৮ খ্রিস্টাব্দের অরণ্য আইনে অরণ্যকে ভাগ করা হয়-

(ক) দুইটি স্তরে

(খ) তিনটি স্তরে

(গ) চারটি স্তরে

(ঘ) পাঁচটি স্তরে

উত্তর: (খ) তিনটি স্তরে

৪৫. রম্পা উপজাতীয় বিদ্রোহ সংঘটিত হয়-

(ক) গোদাবরী উপত্যকায়

(খ) ওড়িশায়

(গ) মালাবার অঞ্চলে

(ঘ) কোঙ্কন উপকূলে

উত্তর: (ক) গোদাবরী উপত্যকায়

৪৬. 'বন্দে মাতরম্' সংগীতটি রচিত হয়-

(ক) ১৮৭০ খ্রিস্টাব্দে

(খ) ১৮৭২ খ্রিস্টাব্দে

(গ) ১৮৭৫ খ্রিস্টাব্দে

(ঘ) ১৮৭৬ খ্রিস্টাব্দে

উত্তর: (গ) ১৮৭৫ খ্রিস্টাব্দে

৪৭, গগনেন্দ্রনাথ ঠাকুর ছিলেন-

(ক) সংগীত শিল্পী

(খ) নাট্যকার

(গ) কবি

(ঘ) ব্যঙ্গচিত্রশিল্পী

উত্তর: (ঘ) ব্যঙ্গচিত্রশিল্পী

৪৮. ভারতের প্রথম ভাইসরয় হলেন-

(ক) লর্ড বেন্টিংক

(খ) লর্ড ক্যানিং

(গ) লর্ড হেস্টিংস

(ঘ) লর্ড ওয়েলেসলি

উত্তর: (খ) লর্ড ক্যানিং

৪৯. বসুবিজ্ঞান মন্দিরের প্রতিষ্ঠাতা জগদীশ চন্দ্র বসু অধ্যাপক ছিলেন-

(ক) গণিতশাস্ত্রের

(খ) রসায়নশাস্ত্রের

(গ) পদার্থবিদ্যার

(ঘ) উদ্ভিদবিদ্যার

উত্তর: (গ) পদার্থবিদ্যার

৫০. জাতীয় শিক্ষা পরিষদ ' যাদবপুর বিশ্ববিদ্যালয়ে' পরিণত হয়-

(ক) ১৯৫০ খ্রি.

(খ) ১৯৫২ খ্রি.

(গ) ১৯৫৪ খ্রি.

(ঘ) ১৯৫৫ খ্রি.

উত্তর: (ঘ) ১৯৫৫ খ্রি.

৫১. 'ওয়ার্কার্স অ্যান্ড পেজেন্টস পাটি' যুক্ত ছিল-

(ক) রাওলাট সত্যাগ্রহে

(খ) অসহযোগ আন্দোলনে

(গ) বারদৌলি সত্যাগ্রহে

(ঘ) সাইমন কমিশন বিরোধী আন্দোলনে

উত্তর: (ঘ) সাইমন কমিশন বিরোধী আন্দোলনে

৫২. 'মিরাট ষড়যন্ত্র মামলা' (১৯২৯) হয়েছিল-

(ক) জাতীয় কংগ্রেসের বিরুদ্ধে

(খ) বিপ্লবীদের বিরুদ্ধে

(গ) শ্রমিক নেতাদের বিরুদ্ধে

(ঘ) কৃষক নেতাদের বিরুদ্ধে

উত্তর: (গ) শ্রমিক নেতাদের বিরুদ্ধে

৫৩. কৃষক প্রজাপার্টি প্রতিষ্ঠা করেন

(ক) বীরেন্দ্রনাথ শাসমল

(খ) বাবা রামচন্দ্র

(গ) ফজলুল হক

(ঘ) প্রফুল্লচন্দ্র সেন

উত্তর: (গ) ফজলুল হক

৫৪. মাতঙ্গিনী হাজরা 'ভারত ছাড়ো' আন্দোলনে অংশগ্রহণ করেছিলেন যে স্থানে-

(ক) তমলুক

(খ) বরিশাল

(গ) পুরুলিয়া

(ঘ) চট্টগ্রাম

উত্তর: (ক) তমলুক

৫৫. 'দীপালি সংঘ' গঠিত হয়-

(ক) ঢাকায়

(খ) বরিশালে

(গ) মেদিনীপুরে

(ঘ) চট্টগ্রামে

উত্তর: (ক) ঢাকায়

৫৬. স্বদেশবান্ধব সমিতি গড়ে তোলেন-

(ক) পুলিনবিহারী দাস

(খ) সতীশচন্দ্র মুখোপাধ্যায়

(গ) শচীন্দ্রপ্রসাদ বসু

(ঘ) অশ্বিনীকুমার দত্ত

উত্তর: (ঘ) অশ্বিনীকুমার দত্ত

৫৭. মহারাজ হরি সিং ছিলেন-

(ক) জুনাগড়ের রাজা

(খ) ত্রিবাঙ্কুর-এর রাজা

(গ) কাশ্মীরের রাজা

(ঘ) কোচবিহারের রাজা

উত্তর: (গ) কাশ্মীরের রাজা

৫৮. চম্পারন অবস্থিত

(ক) বাংলায়

(খ) বিহারে

(গ) গুজরাটে

(ঘ) পাঞ্জাব

উত্তর: (খ) বিহারে

৫৯. সত্যজিৎ রায় যুক্ত ছিলেন-

(ক) খেলার

(খ) শহরের

(গ) নারীর

(ঘ) শিল্পচর্চার ইতিহাসে।

উত্তর: (ঘ) শিল্পচর্চার ইতিহাসে।

৬০. নিষিদ্ধ শহর বলা হয়-

(ক) লাসাকে

(খ) বেইজিংকে

(গ) রোমকে

(ঘ) কনসনটিনোপলকে

উত্তর: (ক) লাসাকে

৬১. বঙ্গদর্শন সাময়িক পত্রটি ছিল -

(ক) সাপ্তাহিক

(খ) পাক্ষিক

(গ) মাসিক

(ঘ) বাৎসরিক

উত্তর: (গ) মাসিক

৬২. নীলদর্পণ নাটকটি ছাপা হয়েছিল-

(ক) নদীয়াতে

(খ) ঢাকায়

(গ) শ্রীরামপুরে

(ঘ) কলকাতায়

উত্তর: (খ) ঢাকায়

৬৩. রামমোহন রায়ের পরবর্তীকালে ব্রাহ্মসমাজ পরিচালনা করেন-

(ক) অক্ষয়কুমার দত্ত

(খ) দেবেন্দ্রনাথ ঠাকুব

(গ) রামচন্দ্র বিদ্যাবাগীশ

(ঘ) তারাচাঁদ চক্রবর্তী

উত্তর: (খ) দেবেন্দ্রনাথ ঠাকুব

৬৪. বাঙালি পরিচালিত প্রথম সংবাদপত্রটি হল -

(ক) সমাচার দর্পণ

(খ) সম্বাদ প্রভাকর

(গ) ব্রাহ্মণ সেবধি

(ঘ) বাঙাল গেজিটি

উত্তর: (ঘ) বাঙাল গেজিটি

৬৫. হিন্দু কলেজ স্থাপিত হয়-

(ক) ১৮১৭ খ্রি

(খ) ১৮৫৬ খ্রি

(গ) ১৯০৫ খ্রি

(ঘ) ১৯১৮ খ্রি

উত্তর: (ক) ১৮১৭ খ্রি

৬৬. বঙ্গভঙ্গ রদ হয়-

(ক) ১৯০৫

(খ) ১৯১১

(গ) ১৯১৪

(ঘ) ১৯১৯

উত্তর: (খ) ১৯১১

৬৭. জাতীয় শিক্ষা পরিষদ গঠিত হয় -

(ক) ১৯০৫

(খ) ১৯০৬

(গ) ১৯১১

(ঘ) ১৯১৯

উত্তর: (খ) ১৯০৬

৬৮. ভারতের প্রথম রাজনৈতিক প্রতিষ্ঠান -

( ক) জাতীয় কংগ্রেস

(খ) জমিদার সভা

(গ) ভারতসভা

(ঘ) বঙ্গভাষা প্রকাশিকা সভা

উত্তর: (ঘ) বঙ্গভাষা প্রকাশিকা সভা

৬৯. ভারতের লৌহ মানব বলা হয়-

( ক) গান্ধীজী

(খ) নেহেরু

(গ) বল্লভভাই প্যাটেল

(ঘ) বি. আর আম্বেদকর

উত্তর: (গ) বল্লভভাই প্যাটেল

৭০. দীপালী সংঘ প্রতিষ্ঠা করেন

(ক) লীলা নাগ

(খ) বীণা দাস

(গ) কল্পনা দত্ত

(ঘ) প্রীতিলতা

উত্তর: (ক) লীলা নাগ

৭১. ভারতমাতা চিত্রটি আঁকেন

(ক) অবনীন্দ্রনাথ ঠাকুর

(খ) নন্দলাল বসু

(গ) গগনেন্দ্র নাথ ঠাকুর

(ঘ) রবীন্দ্রনাথ ঠাকুর

উত্তর: (ক) অবনীন্দ্রনাথ ঠাকুর

৭২. বীর সাভারকারের মতে, ভারতের প্রথম স্বাধীনতার যুদ্ধ ছিল-

(ক) পলাশী যুদ্ধ

(খ) ১৮৫৭ এর বিদ্রোহ

(গ) ভারত ছাড়ো আন্দোলন

(ঘ) সন্ন্যাসী ফকির বিদ্রোহ

উত্তর: (খ) ১৮৫৭ এর বিদ্রোহ

৭৩. দেশপ্রান নামে পরিচিত

(ক) বীরেন্দ্র নাথ শাসমল

(খ) রামমোহন রায়

(গ) সুরেন্দ্র নাথ

(ঘ) বিদ্যাসাগর

উত্তর: (ক) বীরেন্দ্র নাথ শাসমল

৭৪. বিধবা বিবাহ আইন পাশ হয়

(ক) ১৮৫৬ খ্রি

(খ) ১৮২৯ খ্রি

(গ) ১৮১৫ খ্রি

(ঘ) ১৮৮২ খ্রি

উত্তর: (ক) ১৮৫৬ খ্রি

৭৫. গান্ধীবুড়ি নামে পরিচিত

(ক) কল্পনা দত্ত

(খ) বীণা দাস

(গ) মাতঙ্গিনী হাজরা

(ঘ) প্রীতিলতা

উত্তর: (গ) মাতঙ্গিনী হাজরা

৭৬. সেতিহাস বগুড়ার বৃত্তান্ত গ্রন্থটির লেখক হলেন-

(ক) কালিকমল ঘোষ

(খ) কালিকমল মুখার্জী

(গ) কালিকমল ব্যানার্জী

(ঘ) কালিকমল সার্ব্বভৌম

উত্তর: (ঘ) কালিকমল সার্ব্বভৌম

৭৭. 'অ্যানাল স্কুল' এর সঙ্গে যুক্ত ছিলেন না-

(ক) ই.এইচ. কার

(খ) মার্ক বুখ

(গ) লুসিয়েন ফেবর

(ঘ) জুরগেন কোকা

উত্তর: (ক) ই.এইচ. কার

৭৮. ভারতে পাশ্চাত্য শিক্ষাবিস্তারের ক্ষেত্রে বেমানান নামটি হল-

(ক) রাজা রামমোহন রায়

(খ) ডেভিড হেয়ার

(গ) কালীপ্রসাদ সিং

(ঘ) ড্রিংক ওয়াটার বিটন(বেথুন)

উত্তর: (গ) কালীপ্রসাদ সিং

৭৯. ভারতে শিক্ষাক্ষেত্রে চুঁইয়ে পড়া নীতির প্রবর্তন করেন-

(ক) চার্লস উড

(খ) মেকলে

(গ) লর্ড আমহার্স্ট

(ঘ) হোরেন উইলমন

উত্তর: (খ) মেকলে

৮০. নব্যবঙ্গ বলা হয়-

(ক) ডিরোজিওর শিষ্যদের

(খ) বিদ্যাসাগরের শিষ্যদের

(গ) রাজা রামমোহন রায়ের শিষ্যদের

(ঘ) বিবেকানন্দের শিষ্যদের।

উত্তর: (ক) ডিরোজিওর শিষ্যদের

৮১. 'বিপ্লব' কথার অর্থ হল-

(ক) পরিবর্তন

(খ) ধীর পরিবর্তন

(গ) আমূল পরিবর্তন

(ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তর: (গ) আমূল পরিবর্তন

৮২. মেদিনীপুরের চূয়াড় অধ্যুষিত অঞ্চলকে বলা হত-

(ক) ছয়াড়মহল

(খ) খাসমহল

(গ) জলমহল

(ঘ) জঙ্গলমহল

উত্তর: (ঘ) জঙ্গলমহল

৮৩. যে ভাইসরয়ের আমলে ইলবার্ট বিল বিতর্ক দেখা যায়-

(ক) লর্ড লিটন

(খ) লর্ড রিপন

(গ) লর্ড বেন্টিঙ্ক

(ঘ) লর্ড নর্থব্রক

উত্তর: (খ) লর্ড রিপন

৮৪. বর্তমান ভারত কে রচনা করেন-

(ক) স্বামী বিবেকানন্দ

(খ) স্বামী অভেদানন্দ

(গ) স্বামী গম্ভীরানন্দ

(ঘ) স্বামী আত্মস্থানন্দ

উত্তর: (ক) স্বামী বিবেকানন্দ

৮৫. বাংলার গুটেনবার্গ নামে পরিচিত হলেন-

(ক) চার্লস ফোর

(খ) চার্লস উইলকিনস

(গ) ব্রাখি হ্যালহেড

(ঘ) ওয়ারেন হেস্টিংস

উত্তর: (খ) চার্লস উইলকিনস

৮৬. শিশুশিক্ষা গ্রন্থটি রচনা করেন-

(ক) রামরাম বসু

(খ) মৃত্যুঞ্জয় বিদ্যালঙ্কার

(গ) ঈশ্বরচন্দ্র বিদ্যাসাগর

(ঘ) মদনমোহন তর্কালঙ্কার

উত্তর: (ঘ) মদনমোহন তর্কালঙ্কার

৮৭. লাঙল যার, জমি তার শ্লোকটি ছিল-

(ক) বাংলার কৃষকদের

(খ) তেলেঙ্গানার কৃষকদের

(গ) গুজরাটের কৃষকদের

(ঘ) ত্রিবাঙ্কুরের কৃষকদের

উত্তর: (ক) বাংলার কৃষকদের

৮৮. ভারতের কমিউনিস্ট পার্টি প্রতিষ্ঠা হয়-

(ক) ১৯৩০ খ্রীঃ

(খ) ১৯১৭ খ্রীঃ

(গ) ১৯২৫ খ্রীঃ

(ঘ) ১৯২৯ খ্রীঃ

উত্তর: (গ) ১৯২৫ খ্রীঃ

৮৯. ভারতের নাইটিঙ্গেল নামে পরিচিত ছিলেন-

(ক) মাদাম কামা

(খ) সরোজিনী নাইডু

(গ) অরুনা আসফ আলী

(ঘ) কুমুদিনী মিত্র।

উত্তর: (খ) সরোজিনী নাইডু

৯০. ভারতে বিপ্লববাদের জনক নামে পরিচিত ছিলেন-

(ক) ক্ষুদিরাম বসু

(খ) বারীন্দ্রকুমার ঘোষ

(গ) সতীশচন্দ্র বসু

(ঘ) বাসুদেব বলবন্ত ফাদকে

উত্তর: (ঘ) বাসুদেব বলবন্ত ফাদকে

৯১. ভারতবিভাগের পরিকল্পনা ঘোষিত হয়েছিল -

(ক) ওয়াভেল পরিকল্পনায়

(খ) মন্ত্রী মিশনের পরিকল্পনায়

(গ) মাউন্টব্যাটেন পরিকল্পনায়

(ঘ) রাজাজি সূত্রে।

উত্তর: (খ) মন্ত্রী মিশনের পরিকল্পনায়

৯২. ভারতের গণপরিষদের প্রথম অধিবেশনে সভাপতি ছিলেন-

(ক) জওহরলাল নেহেরু

(খ) মহাত্মা গান্ধি

(গ) ডঃ রাজেন্দ্রপ্রসাদ

(ঘ) কে. এন মুন্সী

উত্তর: (গ) ডঃ রাজেন্দ্রপ্রসাদ

নিজে করি 3.1 - সপ্তম শ্রেণী - সমানুপাত || Practice 3.1 - Class VII - Math - Proportion - WBBSE

2024-01-03T08:41:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - নিজে করি - 3.1

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 3

WBBSE
Class VII
Math
Practice 3.1
Proportion in Bengali
সমানুপাতের অংক

1) নীচের অনুপাতগুলি সমান কিনা দেখি ও চারটি সংখ্যা সমানুপাতী কিনা লিখি:
(a) 7 : 2 এবং 28 : 8,
(b) 9 : 7 এবং 18 : 14.
(c) 1.5 : 3 এবং 4.5 : 9,
(d) 7 : 3 এবং 5 : 2,
(e) 3ab : 4aq এবং 6b : 8q,
(f) 5.2 : 6.5 এবং 4 : 5,
(g) 3y : 7y এবং 12p : 28p,
(h) 5pq : 7pr এবং 15s : 21q [যেখানে a, q, y, p, r শূন্য নয়]

উত্তর:

(a) 7 : 2 এবং 28 : 8

আমরা জানি, 7 : 2 = $\frac{7}{2}$

এবং 28 : 8 = $\frac{28}{8}$ = $\frac{7}{2}$

ஃ 7 : 2 = 28 : 8, অর্থাৎ অনুপাত দুটি সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 7 × 8 = 56

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 2 × 28 = 56

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(b) 9 : 7 এবং 18 : 14

আমরা জানি, 9 : 7 = $\frac{9}{7}$

এবং 18 : 14 = $\frac{18}{14}$ = $\frac{9}{7}$

ஃ 9 : 7 = 18 : 14, অর্থাৎ অনুপাত দুটি সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 9 × 14 = 126

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 7 × 18 = 126

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(c) 1.5 : 3 এবং 4.5 : 9

আমরা জানি, 1.5 : 3 = $\frac{1.5}{3}$ = $\frac{15}{3×10}$ = $\frac{1}{2}$

এবং 28 : 8 = $\frac{4.5}{9}$ = $\frac{45}{9×10}$ = $\frac{1}{2}$

ஃ 1.5 : 3 = 4.5 : 9, অর্থাৎ অনুপাত দুটি সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 1.5 × 9 = 13.5

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 3 × 4.5 = 13.5

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(d) 7 : 3 এবং 5 : 2

আমরা জানি, (a) 7 : 3 = $\frac{7}{3}$

এবং 5 : 2 = $\frac{5}{2}$

ஃ 7 : 3 ≠ 5 : 2, অর্থাৎ অনুপাত দুটি সমান নয়।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 7 × 2 = 14

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 3 × 5 = 15

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী নয়।

(e) 3ab : 4aq এবং 6b : 8q

আমরা জানি, 3ab : 4aq = $\frac{3ab}{4aq}$ = $\frac{3b}{4q}$

এবং 6b : 8q = $\frac{6b}{8q}$ = $\frac{3b}{4q}$

ஃ 3ab : 4aq = 6b : 8q অর্থাৎ অনুপাত দুটির সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 3ab × 8q = 24abq

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 4aq × 6b = 24abq

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(f) 5.2 : 6.5 এবং 4 : 5,অনুপাতগুলি সমান

আমরা জানি, 5.2 : 6.5 = $\frac{5.2}{6.5}$ = $\frac{52×10}{65×10}$ = $\frac{4}{5}$

এবং 4 : 5 = $\frac{4}{5}$

ஃ 5.2 : 6.5 = 4 : 5 অর্থাৎ অনুপাত দুটির সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 5.2 × 5 = 26

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 6.5 × 4 = 26

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(g) 3y : 7y এবং 12p : 28p

আমরা জানি, 3y : 7y = $\frac{3y}{7y}$ = $\frac{3}{7}$

এবং 12p : 28p = $\frac{12p}{28p}$ = $\frac{3}{7}$

ஃ 3y : 7y = 12p : 28p, অর্থাৎ অনুপাত দুটির সমান।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 3y × 28p = 84yp

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 7y × 12p = 84yp

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী ।

(h) 5pq : 7pr এবং 15s : 21q

আমরা জানি, 5pq : 7pr = $\frac{5pq}{7pr}$ = $\frac{5q}{7r}$

এবং 15s : 21q = $\frac{15s}{21q}$ = $\frac{5s}{7q}$

ஃ 5pq : 7pr ≠ 15s : 21q অর্থাৎ অনুপাত দুটির সমান নয়।

আবার, প্রথম পদ × চতুর্থ পদ = 5pq × 21q = 105pq²

এবং, দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ = 7pr × 15s = 105prs

অর্থাৎ চারটি সংখ্যা সমানুপাতী নয় ।

2) একটি আয়তাকার চিত্রের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং প্রস্থ 6 সেমি.। চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ 2 সেমি. বাড়ানো হলো। আয়তাকার চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ একই অনুপাত থাকবে কিনা দেখি।

উত্তর:

আয়তাকার চিত্রের দৈর্ঘ্য = 10 সেমি.

এবং প্রস্থ = 6 সেমি.

এক্ষেত্রে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = 10 সেমি. : 6 সেমি.

= 5 : 3

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ 2 সেমি. করে বাড়ানো হলে,

নতুন দৈর্ঘ্য = (10+2) সেমি. = 12 সেমি.

এবং প্রস্থ = (6+2) সেমি. = 8 সেমি.

এক্ষেত্রে, নতুন দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = 12 সেমি. : 8 সেমি.

= 3 : 2

আগের অনুপাত ও নতুন অনুপাত এক হবে না।

Answer. আয়তাকার চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ 2 সেমি. করে বাড়ানো হলে চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত একই থাকবে না।

3) পরাণবাবু 500 গ্রাম চিনি 17.50 টাকায় কিনলেন এবং দীপেনবাবু 2 কিগ্রা, চিনি 70 টাকায় কিনলেন। চিনির পরিমাণ ও দাম সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।

উত্তর:

পরাণবাবুর ক্ষেত্রে, চিনির পরিমাণ : চিনির দাম = 500 গ্রাম : 17.50 টাকা

= 1000 গ্রাম : 35 টাকা

দীপেণবাবুর ক্ষেত্রে, চিনির পরিমাণ : চিনির দাম = 2 কিগ্রা : 70 টাকা

= 2000 গ্রাম : 70 টাকা

= 1000 গ্রাম : 35 টাকা

ஃ চিনির পরিমাণ ও দাম সমানুপাতে আছে

Answer: চিনির পরিমাণ ও দাম সমানুপাতে আছে।

4) ফাঁকা ঘর পূরণ করি:
(i) 5 : 7 :: 25 : ☐
(ii) 6 : 7 :: ☐ : 35
(iii) 21 : 28 :: 3 : ☐
(iv) 9 : 24 :: ☐ : 8

উত্তর:

(i) 5 : 7 :: 25 : ☐

= 5 : 7 :: 25 : 35

(ii) 6 : 7 :: ☐ : 35

= 6 : 7 :: 30 : 35

(iii) 21 : 28 :: 3 : ☐

= 21 : 28 :: 3 : 4

(iv) 9 : 24 :: ☐ : 8

= 9 : 24 :: 3 : 8

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 4 || Class X - Math - Exercise 4 - Rectangular Parallelopiped or Cuboid

2023-09-10T00:36:00.007+05:30

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি : 4

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 4
আয়তঘন

WBBSE
Class X
Math
Exercise - 4
Rectangular Parallelopiped or Cuboid

কষে দেখি - 4

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি ।

উত্তর:

পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার বস্তুর নাম - ইট, দেশলাই বাক্স, মোবাইল বক্স, বই বা আলমারি।

পরিবেশের 4 টি ঘনক বস্তুর নাম - লুডোর ছক্কা, চিনির দানা, কর্পূর দানা, রুবিকস কিউব।

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তর:

আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি হল - ABCD, EFGH, ADFE, BCGH, ABHE, DCGF,

আয়তঘনাকার চিত্রের ধারগুলি হল - AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, DF, BH, CG.

আয়তঘনাকার চিত্রের শীর্ষ বিন্দুগুলি হল -A, B, C, D, E, F, G, H

3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি, আয়তঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= $\sqrt{a²+b²+c²}$ একক [যেখানে, a = দৈর্ঘ্য, b = প্রস্থ এবং c = উচ্চতা

এখানে, সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য (a) = 5 মি.
প্রস্থ (b) = 4 মি.
উচ্চতা (c) = 3 মি.

∴ ঘরের সবচেয়ে লম্বা দণ্ডের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{a²+b²+c²}$ মি.

= $\sqrt{5²+4²+3²}$ মি.

= $\sqrt{25+16+9}$ মি.

= $\sqrt{50}$ মি.

= $5\sqrt{2}$ মি.

Ans. ঘরের সবচেয়ে লম্বা দণ্ডের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ মি.

4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
সুতরাং ঘনকের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² বর্গ একক
= a² বর্গ মিটার

প্রশ্নানুযায়ী,
      a² = 64
বা, a = $\sqrt{64}$
         = $\sqrt{8×8}$
         = 8

সুতরাং ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 মিটার

এবং ঘনকের আয়তন = (বাহু)³ ঘন মিটার
= (8)³ ঘন মিটার
= 512 ঘন মিটার

Ans. ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং ৪ ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বকুলতলা গ্রামে খালের চওড়া বা প্রস্থ = 2 মিটার
গভীরতা = ৪ ডেসিমি.
= 0.8 মিটার

এবং ধরি খালটির লম্বা বা দৈর্ঘ্য = a মিটার

সুতরাং খালের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা ঘন মিটার
= 2 × 0.8 × a ঘন মিটার

= 1.6a ঘন মিটার

প্রশ্নানুযায়ী,

1.6a = 240

বা, a = $\frac{240}{1.6}$

বা, a = 150

সুতরাং খালটির লম্বা বা দৈর্ঘ্য 150 মিটার

Ans. বকুলতলা গ্রামের খালটি 150 মিটার লম্বা।

6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

উত্তর:

দেওয়া আছে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি.
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= বাহু×$\sqrt{3}$ একক

প্রশ্নানুযায়ী,
বাহু×$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$

বা, বাহু = $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

বা, বাহু = 4

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × (বাহু)² বর্গ একক
‌ = 6 × (4)² বর্গ সেমি.
= 6 × 16 বর্গ সেমি.
= 96 বর্গ সেমি.

Ans. ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি.

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি, ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = 12 × বাহু একক

প্রশ্নানুযায়ী,
12 × বাহু = 60
বা, বাহু = $\frac{60}{12}$
বা, বাহু = 5

অর্থাৎ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যে = 5 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির ঘনফল = (বাহু)³ ঘন সেমি.
= (5)³ ঘন সেমি.
= 125 ঘন সেমি.

Ans. ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি.

৪. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি, ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 6 × (বাহু)² বর্গ একক

প্রশ্নানুযায়ী,
6 × (বাহু)² = 216
বা, (বাহু)² = $\frac{216}{6}$
বা, (বাহু)² = 36
বা, বাহু = $\sqrt{36}$
বা, বাহু = 6

অর্থাৎ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যে = 6 সেমি.

সুতরাং ঘনকটির ঘনফল = (বাহু)³ ঘন সেমি.
= (6)³ ঘন সেমি.
= 216 ঘন সেমি.

Ans. ঘনকটির ঘনফল 216 ঘন সেমি.

9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.

অর্থাৎ সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক আয়তন 432 ঘন সেমি.

সুতরাং একটি ঘনক আয়তন $\frac{432}{2}$ ঘন সেমি.
= 216 ঘন সেমি.

সুতরাং ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য = $\sqrt[3]{216}$ সেমি.
= $\sqrt[3]{6×6×6}$ সেমি.
= 6 সেমি.

Ans. প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, মূল ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক

সুতরাং মূল ঘনকের ঘনফল = $(a)³$ ঘন একক

এবার ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলে,
পরিবর্তিত ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ($a - a×50%$) একক
= ($a - a×\frac{50}{100}$) একক
= ($a - a×\frac{1}{2}$) একক
= $\frac{2a-a}{2}$ একক
= $\frac{a}{2}$ একক

সুতরাং পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল = $(\frac{a}{2})³$ ঘন একক
= $\frac{a³}{8}$ ঘন একক

প্রশ্নানুযায়ী,
মূল ঘনকের ঘনফল : পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল
= $a³$ : $\frac{a³}{8}$
= $8a³$ : $a³$
= 8 : 1

Ans. মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত = 8 : 1

11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা = 3 : 2 : 1

ধরি, বাক্সের দৈর্ঘ্য 3a সেমি.
সুতরাং বাক্সের প্রস্থ 2a সেমি.
এবং বাক্সের উচ্চতা a সেমি.

সুতরাং বাক্সের আয়তন = 3a×2a×a ঘন সেমি.
= 6a³ ঘন সেমি.

প্রশ্নানুযায়ী,
6a³ = 384
বা, a³ = $\frac{384}{6}$
বা, a³ = 64
বা, a = $\sqrt[3]{64}$
বা, a = $\sqrt[3]{4×4×4}$
বা, a = 4

সুতরাং বাক্সের দৈর্ঘ্য 3×4 = 12 সেমি.
বাক্সের প্রস্থ 2×4 = 8 সেমি.
এবং বাক্সের উচ্চতা 4 সেমি.

সুতরাং বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ + প্রস্থ × উচ্চতা + উচ্চতা × দৈর্ঘ্য) বর্গ একক
= 2( 12 × 8 + 8 × 4 + 4 × 12) বর্গ সেমি.
= 2(96 + 32 + 48) বর্গ সেমি.
= 2 × 176 বর্গ সেমি.
= 352 বর্গ সেমি.

Ans. বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি.

12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য = 7.5 ডেসিমি.
প্রস্থ = 6 ডেসিমি.
উচ্চতা = 5.4 ডেসিমি.

সুতরাং চা-এর বাক্সের ভিতরের ঘনফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক
= (7.5 × 6 × 5.4) ঘন ডেসিমি.
= 243 ঘন ডেসিমি.

চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম বা 52.350 কিগ্রা.
খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. বা 3.750 কিগ্রা.
সুতরাং শুধু চা-এর ওজন = (52.350 - 3.750) কিগ্রা.
‌ = 48.600 কিগ্রা.
= 48600 গ্রাম

অর্থাৎ 243 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 48600 গ্রাম
1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন $\frac{48600}{243}$ গ্রাম
=200 গ্রাম

Ans. 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম

13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

8.4 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন 1 ঘন সেমি.
1 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন $\frac{1}{8.4}$ ঘন সেমি.
4725 গ্রাম ওজন বিশিষ্ট পিতলের আয়তন $\frac{1×4725}{8.4}$ ঘন সেমি.
= 562.5 ঘন সেমি.

বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি.
সুতরাং প্রস্থ x সেমি.
এবং বেধ 1 মিলিমি. = 0.1 সেমি.

পিতলের প্লেটের মোট আয়তন x × x × 0.1 ঘন সেমি
= 0.1x² ঘন সেমি

প্রশ্নানুযায়ী,
0.1x² = 562.5
বা, x² = $\frac{562.5}{0.1}$
বা, x² = 5625
বা, x = $\sqrt{5625}$
বা, x = $\sqrt{75×75}$
বা, x = 75

Ans. x এর মান 75

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং ৪ মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য = 14 মি.
প্রস্থ = ৪ মি.
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = x মি.

সুতরাং একটি গর্তের আয়তন= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা ঘন একক
= 14 × 8 × x ঘন মি.
= 112x ঘন মি.

সুতরাং 30 টি গর্তের আয়তন = 30 × 112x ঘন মি.
= 3360x ঘন মি.

প্রশ্নানুযায়ী,
3360x = 2520
বা, x = $\frac{2520}{3360}$
বা, x = $\frac{84}{114}$
বা, x = $\frac{6}{8}$
বা, x = $\frac{3}{4}$
বা, x = 0.75

অর্থাৎ প্রতিটি গর্তের গভীরতা = 0.75 মি. বা 75 সেমি.

Ans. প্রতিটি গর্তের গভীরতা 75 সেমি.

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার = 12 ডেসিমি.
সুতরাং চৌবাচ্চাটির আয়তন = (12)³ ঘন ডেসিমি.
= 1728 ঘন ডেসিমি.

আমরা জানি, 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার
সুতরাং 1728 ঘন ডেসিমি. = 1728 লিটার

আবার, 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির জলপূর্ণ থাকে $\frac{1}{3}$ অংশ

সুতরাং চৌবাচ্চাটির $(1-\frac{1}{3})$ অংশ = 64 বালতি

বা চৌবাচ্চাটির $\frac{2}{3}$ অংশ = 64 বালতি
সুতরাং চৌবাচ্চাটির 1 অংশ = $\frac{3×64}{2}$ বালতি
= 96 বালতি

সুতরাং 96 বালতি = 1728 লিটার
বা 1 বালতি = $\frac{1728}{96}$ লিটার

= 18 লিটার

Ans. প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.5 || Class X - Math - Exercise 1.5 - Nature of roots of Quadratic Equations with One Variable

2023-06-15T13:01:00.010+05:30

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.5

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 1

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1.5

Nature of roots of Quadratic Equations with One Variable

আমরা জানি, কোন দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের প্রকৃতি, ওই সমীকরণের নিরূপক(Discriminant)-এর উপর নির্ভর করে।

যদি ax² + bx + c = 0 [যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হয় তবে, ঐ সমীকরণের নিরূপণ(Discriminant) = b² - 4ac

(i) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac = 0 হলে, সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

(ii) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac > 0 হলে, সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

(iii) নিরূপণ অর্থাৎ b² - 4ac < 0 হলে, সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না।

কষে দেখি 1.5

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. $\frac{2}{5}$x² - $\frac{2}{3}$x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

2. k-এর কোন মান / মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি -

(i) 49x² + kx + 1= 0

উত্তর :

49x² + kx + 1= 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ k² - 4.49.1 = 0

বা, k² - 4.49.1 = 0

বা, k² - 196 = 0

বা, k² = 196

বা, k = $\sqrt{196}$

বা, k = $\sqrt{14×14 }$

বা, k = ± 14

Ans. k-এর কোন মান ± 14 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(ii) 3x² - 5x + 2k = 0

উত্তর:

3x² - 5x + 2k = 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ (-5)² - 4.3.2k = 0

বা, 25 - 24k = 0

বা, -24k = -25

বা, 24k = 25

বা, k = $\frac{25}{24}$

Ans. k-এর কোন মান $\frac{25}{24}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(iii) 9x² - 24x + k = 0

উত্তর:

9x² - 24x + k = 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ (-24)² - 4.9.k = 0

বা, 576 - 36k = 0

বা, -36k = -576

বা 36k = 576

বা, k = $\frac{576}{36}$

বা, k = 16

Ans. k-এর কোন মান 16 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(iv) 2x² + 3x + k = 0

উত্তর:

2x² + 3x + k = 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ 3² - 4.2.k = 0

বা, 9 - 8k = 0

বা, - 8k = - 9

বা, 8k = 9

বা, k = $\frac{9}{8}$

Ans. k-এর কোন মান $\frac{9}{8}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(v) x² - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0

উত্তর:

x² - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0

বা, x² - (10 + 4k)x + (21 + 30k) = 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ {-(10 + 4k)}² - 4.1.(21 + 30k) = 0

বা, (10 + 4k)² - 4.(21 + 30k) = 0

বা, 100 + 80k + 16k² - 84 - 120k = 0

বা, 16k² - 40k + 16 = 0

বা, 2k² - 5k + 2 = 0

বা, 2k² - (4 + 1)k + 2 = 0

বা, 2k² - 4k - 1k + 2 = 0

বা, 2k(k - 2) -1(k - 2) = 0

বা, (k - 2)(2k -1) = 0

হয়, k - 2 = 0

বা, k = 2

অথবা, 2k -1 = 0

বা, 2k = 1

বা, k = $\frac{1}{2}$

Ans. k-এর কোন মান 2, $\frac{1}{2}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

(vi) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0

উত্তর:

(3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0 ------ (i) [ধরি]

(i) নং সমীকরণের বীজগুলো বাস্তব ও সমান হলে,

নিরুপক = 0

∴ {2(k + 1)}² - 4.(3k + 1).k = 0

বা, 4(k² + 2k + 1) - 4k(3k + 1) = 0

বা, 4k² + 8k + 4 - 12k² - 4k = 0

বা, - 8k² + 4k + 4 = 0

বা, 2k² - k - 1 = 0

বা, 2k² - (2 -1)k - 1 = 0

বা, 2k² - 2k + k - 1 = 0

বা, 2k(k - 1) + 1(k + 1) = 0

বা, (k - 1) (2k + 1) = 0

হয়, k - 1 = 0

বা, k = 1

অথবা, 2k + 1 = 0

বা, 2k = -1

বা, k = $-\frac{1}{2}$

Ans. k-এর কোন মান 1, $-\frac{1}{2}$ হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান বীজ হবে।

3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—

(i) 4, 2 (ii) 4, -3 (iii) 4, 3 (iv) 5,3

(i) 4, 2

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0

এক্ষেত্রে, α = 4 ও β = 2

অর্থাৎ, x² - (4 + 2)x + 4×2 = 0

বা, x² - (6)x + 8 = 0

বা, x² - 6x + 8 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 6x + 8 = 0

(ii) -4, -3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0

এক্ষেত্রে, α = -4 ও β = -3

অর্থাৎ x² - (-4 - 3)x + (-4)×(-3) = 0

বা, x² - (-7)x + 12 = 0

বা, x² + 7x + 12 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + 7x + 12 = 0

(iii) -4, 3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0

এক্ষেত্রে, α = -4 ও β = 3

অর্থাৎ x² - (-4 + 3)x + (-4)×(3) = 0

বা, x² - (-1)x - 12 = 0

বা, x² + x - 12 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² + x - 12 = 0

(iv) 5, -3

উত্তর:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0

এক্ষেত্রে, α = 5 ও β = -3

অর্থাৎ x² - (5 - 3)x + (5)×(-3) = 0

বা, x² - 2x - 15 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 2x - 15 = 0

4. $m$ - এর মান কত হলে, $4x² + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

উত্তর:

$4x² + 4(3m - 1)x + (m + 7) = 0$

বা, $x² + \frac{4(3m - 1)}{4}x + \frac{(m + 7)}{4} = 0$

বা, $x² + (3m - 1)x + \frac{(m + 7)}{4} = 0$

ধরি, এই সমীকরণের একটি বীজ $α$

∴ অপর বীজ $\frac{1}{α}$ [∵ বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক]

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{(m + 7)}{4}$ = $α×\frac{1}{α}$

বা, $\frac{(m + 7)}{4}$ = 1

বা, m + 7 = 4

বা, m = 4 - 7

বা, m = -3

Ans. দ্বিঘাত সমীকরণটিতে m এর মান -3 হলে, সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

5. (b–c)x²+(c–a)x+ (a - b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b=a+c

উত্তর:

(b – c)x² + (c – a)x + (a - b) = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরুপক = 0

অর্থাৎ (c – a)² - 4(b – c)(a - b) = 0

বা, c² - 2ac + a² - 4(ab - b² - ac + bc) = 0

বা, c² - 2ac + a² - 4ab + 4b² + 4ac - 4bc = 0

বা, a² + 4b² + c² - 4ab - 4bc + 2ac = 0

বা, a² + (-2b)² + c² + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0

বা, (a - 2b + c)² = 0

বা, a - 2b + c = 0

বা, a + c = 2b

বা, 2b = a + c (প্রমানিত)

6. (a² + b²)x² - 2(ac + bd)x + (c² + d²)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a/b=c/d

উত্তর:

(a² + b²)x² - 2(ac + bd)x + (c² + d²)=0

এই দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরুপক = 0

অর্থাৎ {2(ac + bd)}² - 4(a² + b²)(c² + d²) = 0

বা, 4(a²c² + 2acbd + b²d²) - 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0

বা, 4a²c² + 8acbd + 4b²d² - 4a²c² - 4a²d² - 4b²c² - 4b²d² = 0

বা, 8acbd - 4a²d² - 4b²c² = 0

বা, 2acbd - a²d² - b²c² = 0

বা, (ad)² - 2.ad.bc + (bc)² = 0

বা, (ad - bc)² = 0

বা, ad - bc = 0

বা, ad = bc

বা, a/b = c/d (প্রমানিত)

7. প্রমাণ করি যে, 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।

উত্তর:

2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে Ax² + Bx + C = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, A = 2(a²+b²), b = 2(a+b) এবং c = 1

নিরূপক = B² - 4AC

= {2(a + b)}² - 4.2(a²+b²).1

= 4a² + 8ab + 4b² - 8a² - 8b²

= - 4a² + 8ab - 4b²

= - 4(a² - 2ab + b²)

= - 4(a - b)² < 0 [a ও b এর সকল মানের জন্য যদি a≠b হয়]

∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় অবাস্তব। (প্রমানিত)

8. 5x² + 2x - 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,

(i) α² + β²

(ii) α³ + β³

(iii) $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

(iv) $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$-এর মান নির্ণয় করি।

(i) α² + β²

উত্তর:

$5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0 -------- (ii)

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ α² + β² = (α + β)² - 2αβ

= $(-\frac{2}{5})² -2(-\frac{3}{5})$

= $\frac{4}{25} + \frac{6}{5}$

= $\frac{4+30}{25}$

= $\frac{34}{25}$

Ans. $\frac{34}{25}$

(ii) α³ + β³

উত্তর:

$5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0 -------- (ii)

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β)

= $(-\frac{2}{5})³ -3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})$

= $-\frac{8}{125} - \frac{18}{25}$

= $\frac{-8-90}{125}$

= $-\frac{98}{125}$

Ans. $-\frac{98}{125}$

(iii) $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

উত্তর:

$5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0 -------- (ii)

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ $\frac{1}{α} +\frac{1}{β}$

= $\frac{β+α}{αβ}$

= $\frac{α+β}{αβ}$

= $\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}$

= $\frac{2}{5}×\frac{5}{3}$

= $\frac{2}{3}$

Ans. $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$

উত্তর:

$5x² + 2x - 3 = 0$

বা, $x² + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$ ----- (i)

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

x² - (α + β)x + αβ = 0 -------- (ii)

এখন (i) ও (ii) নং তুলনা করে পাই

α + β = $-\frac{2}{5}$ এবং αβ = $-\frac{3}{5}$

∴ $\frac{α²}{β} +\frac{β²}{α}$

= $\frac{α³+β³}{βα}$

= $\frac{(α + β)³ - 3αβ(α + β)}{βα}$

= $\frac{(-\frac{2}{5})³ -3(-\frac{3}{5})(-\frac{2}{5})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(-\frac{8}{125} - \frac{18}{25})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(\frac{-8-90}{125})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{(-\frac{98}{125})}{(-\frac{3}{5})}$

= $\frac{98}{125}×\frac{5}{3}$

= $\frac{98}{75}$

Ans. $\frac{98}{75}$

9. ax + bx + c = 0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac.

উত্তর:

ধরি, ax + bx + c = 0 - এই সমীকরণের একটি বীজ $α$

সুতরাং অপর বীজ $2α$

প্রশ্নানুযায়ী,

$α + 2α$ = $-\frac{b}{a}$

বা, $3α$ = $-\frac{b}{a}$

বা, $α$ = $-\frac{b}{3a}$

এবং

$α.2α$ = $\frac{c}{a}$

বা, $2α²$ = $\frac{c}{a}$

বা, $2(-\frac{b}{3a})² = \frac{c}{a}$

বা, $\frac{2b²}{9a²} = \frac{c}{a}$

বা, $2b² = \frac{c×9a²}{a}$

বা, $2b² = 9ac$ (প্রমানিত)

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

উত্তর:

ধরি, x² + px + 1 = 0 --- সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β

∴ α + β = - p এবং αβ = 1

আবার, বীজদ্বয় α ও β এর অন্যোন্যক যথাক্রমে $\frac{1}{α}$ ও $\frac{1}{β}$

∴ $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ = $\frac{β + α}{αβ}$

= $\frac{-p}{1}$

= -p

এবং $\frac{1}{α}×\frac{1}{β}$ = $\frac{1}{αβ}$

= $\frac{1}{1}$

= 1

∴ নির্নয় সমীকরণটি হবে

$x² -(\frac{1}{α} + \frac{1}{β})x + \frac{1}{α}\frac{1}{β} = 0$

বা, $x² - (-p)x + 1 = 0$

বা, $x² + px + 1 = 0$

Ans. নির্নয় সমীকরণটি হবে, x² + px + 1 = 0

11. x² + x + 1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, x² + x + 1 = 0 --- সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β

∴ α + β = -1 এবং αβ = 1

আবার, বীজদ্বয় α ও β এর বর্গ যথাক্রমে α² ও β²

∴ α² + β² = (α + β)² - 2αβ

= (-1)² - 2.1

= 1 - 2

= -1

এবং α²β² = (αβ)²

= (1)²

= 1

∴ নির্নয় সমীকরণটি হবে

$x² -(α² + β²)x + α²β² = 0$

বা, $x² - (-1)x + 1 = 0$

বা, $x² + x + 1 = 0$

Ans. নির্নয় সমীকরণটি হবে, x² + x + 1 = 0

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

(i) x² - 6x + 2 =0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি

(a) 2 (b) -2 (c) 6 (d)-6

উত্তর:

এখানে, সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β হলে

α + β = -(-6) = 6

Ans. (c) 6

(ii) x² - 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, k-এর মান

(a) -2 (b) -8 (c) 8 (d) 12

উত্তর:

x² - 3x + k = 10

বা, x² - 3x + (k - 10) = 0

এখন, সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে α ও β হলে

αβ = -2

বা, k - 10 = -2

বা, k = -2 + 10

বা, k = 8

Ans. (c) 8

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² - 4ac হবে

(a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 (d) কোনোটিই নয়

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² - 4ac > 0 হয়।

Ans. (a) > 0

(iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে

(a) $c=-\frac{b}{2a}$ (b) $c=\frac{b}{2a}$ (c) $c=-\frac{b²}{4a}$ (d) $c=\frac{b²}{4a}$

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব হলে,

b² - 4ac = 0

বা, b² = 4ac

বা, 4ac = b²

বা, $c = \frac{b²}{4a}$

Ans. (d) $c=\frac{b²}{4a}$

(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, $(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})$ - এর মান

(a) $-\frac{3}{8}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) -4 (d) 4

উত্তর:

সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে

α + β = $-\frac{8}{3}$

এবং αβ = $\frac{2}{3}$

∴ $(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})$

= $(\frac{β + α}{αβ}$

= $(\frac{α + β}{αβ}$

= $(\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}$

= $-\frac{8}{3}×{\frac{3}{2}}$

= - 4

Ans. (c) - 4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

Ans. মিথ্যা

[সূত্রঃ b² - 4ac = 1² - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 <0 অর্থাৎ বীজদ্বয় বাস্তব নয়]

(ii) x² - x + 2 =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

Ans. সত্য

[সূত্রঃ b² - 4ac = (-1)² - 4.1.2 = 1 - 8 = -7 <0 অর্থাৎ বীজদ্বয় বাস্তব নয়]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) 7x² - 12x +18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত

উত্তর:

7x² - 12x +18 = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে

α + β = $-\frac{-12}{7}$

= $\frac{12}{7}$

এবং αβ = $\frac{18}{7}$

∴ (α + β) : αβ = $\frac{12}{7}$ : $\frac{18}{7}$

= 12 : 18

= 2 : 3

Ans. 7x² - 12x +18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত 2:3

(ii) ax² + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c =

উত্তর:

ax² + bx + c = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় $α$ ও $\frac{1}{α}$ হলে

$α.\frac{1}{α}$ = $\frac{c}{a}$

বা, 1 = $\frac{c}{a}$

বা, c = a

Ans. ax² + bx + c = 0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = a

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c =

উত্তর:

ax² + bx + c = 0 ---- সমীকরণের বীজদ্বয় $α$ ও $-\frac{1}{α}$ হলে,

$α. (-\frac{1}{α})$ = $\frac{c}{a}$

বা, -1 = $\frac{c}{a}$

বা, -a = c

বা, -a - c= 0

বা, a + c = 0

Ans. ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c = 0

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

উত্তর:

আমরা জানি যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β সেই দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে,

x² - (α + β)x + αβ = 0

∴ x² - (14)x + 24 = 0

বা, x² - 14x + 24 = 0

Ans. নির্নয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 14x + 24 = 0

(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।

উত্তর:

kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) ---- সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,

α + β = αβ

বা, $-\frac{2}{k}$ = $\frac{3k}{k}$

বা, $-\frac{2}{k}$ = 3

বা, k = $-\frac{2}{3}$

Ans. সমীকরণে k-এর মান $-\frac{2}{3}$

(iii) x² - 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (α - β)-এর মান লিখি।

উত্তর:

x² - 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে,

α + β = -(-22)

= 22

এবং αβ = 105

∴ α + β = 22

বা, (α + β)² = (22)²

বা, (α - β)² + 4αβ = 484

বা, (α - β)² + 4 x 105 = 484

বা, (α - β)² + 420 = 484

বা, (α - β)² = 484 -420

বা, (α - β)² = 64

বা, (α - β) = $\sqrt{64}$

বা, (α - β) = ± 8

Ans. (α - β) = ± 8

(iv) x² - x = k(2x - 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।

উত্তর:

x² - x = k(2x - 1)

বা, x² - x - k(2x - 1) = 0

বা, x² - x - 2kx + k = 0

বা, x² - (1 + 2k)x + k = 0

এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে,

(1 + 2k) = 0

বা, 2k = - 1

বা, k = $-\frac{1}{2}$

Ans. k-এর মান $-\frac{1}{2}$

(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।

উত্তর:

x² + bx + 12 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে,

(2)² + b.2 + 12 = 0

বা, 4 + 2b +12 = 0

বা, 2b +16 = 0

বা, 2b = -16

বা, b = -8

আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে,

(2)² + (-8).2 + q = 0 [∵ b = -8]

বা, 4 - 16 + q = 0

বা, -12 + q = 0

বা, q = 12

Ans. q-এর মান 12

West Bengal madhyamik Result 2023

2023-05-18T23:58:00.001+05:30

Result of Madhyamik 2023 of west Bengal

পশ্চিম বঙ্গের মাধ্যমিক পরীক্ষা ২০২৩ এর ফলাফল

Madhyamik Exam (Class X) Result 2023

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ বিজ্ঞপ্তি প্রকাশ করে জানিয়েছে যে মাধ্যমিক পরীক্ষা (S.E.), 2023 এর ফলাফল 19ই মে, 2023 তারিখে প্রেস কনফারেন্সের মাধ্যমে সকাল 10 টায় ঘোষণা করা হবে। এবং দুপুর ১২টা থেকে 15টি ওয়েবসাইটে ফলাফল পাওয়া যাবে। এছাড়াও ফলাফল পাওয়া যাবে 4 টি Mobile App এর মাধ্যমে।

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ আরো ঘোষণা করেছে যে বিদ্যালয় গুলো 19.05.2023 তারিখ দুপুর 12টা থেকে বোর্ডের নিজ নিজ ক্যাম্প অফিস থেকে মার্কশিট এবং সার্টিফিকেট পাবেন। এরপর মার্কশিট এবং সার্টিফিকেট গুলো তাদের নিজ নিজ বিদ্যালয় থেকে বিতরণ করতে পারবে।

মাধ্যমিক পরীক্ষা 2023 এর ফলাফল দেখতে click করুন
Click for Madhyamik Result 2023

মাধ্যমিক পরীক্ষা 2023 এর ফলাফল পাওয়া যাবে নিচের Mobile App গুলো থেকে। এই App গুলো Download করার জন্য Google Play Store গিয়ে বিনামূল্যে install করুন আর মুহুর্তে পেয়ে যান মাধ্যমিক পরীক্ষার ফলাফল।

Mobile APP 1 "Exametc.com"

Mobile APP 2 "Madhyamik Results 2023"

Mobile APP 3 "Madhyamik Result"

Mobile APP 4 "FASTRESULT"

কষে দেখি 2.3 - সপ্তম শ্রেণী - অনুপাত || Exercise 2.3 - Class VII - Math - Ratio - WBBSE

2023-03-24T22:17:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 2.3

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 2

WBBSE
Class VII
Math
Exercise 2.3
Ratio in Bengali

অনুপাতের অংক - আনুপাতিক ভাগহার নির্ণয় করে সমাধান।

1. গত বছরে রসকুণ্ডু গ্রামে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যার অনুপাত ছিল 4 : 1। গ্রামের মোট জনসংখ্যা 6550 জন হলে সাক্ষর ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা কত ছিল দেখি।

উত্তর:

সাক্ষর লোক : অক্ষর পরিচয়হীন লোক = 4 : 1

সাক্ষর লোকের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{4+1}$ = $\frac{4}{5}$

এবং অক্ষর পরিচয়হীন লোকের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{1}{4+1}$ = $\frac{1}{5}$

গ্রামের মোট জনসংখ্যা 6550 জন

∴ সাক্ষর লোকের সংখ্যা = $\frac{4}{5}$ × 6550 জন

= 4 × 1310 জন

= 5240 জন

এবং অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা = $\frac{1}{5}$ × 6550 জন

= 1 × 1310 জন

= 1310 জন

Ans. রসকুণ্ডু গ্রামে সাক্ষর লোকের সংখ্যা 5240 জন ও অক্ষর পরিচয়হীন লোকের সংখ্যা 1310 জন

2. 640 টাকা বিশু ও অপর্ণার মধ্যে 5 : 3 অনুপাতে ভাগ করে দিই। কাকে কত টাকা দেব হিসাব করি।

উত্তর:

মোট টাকার পরিমাণ= 640 টাকা

বিশুর টাকা : অপর্ণার টাকা = 5 : 3

বিশুর টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{5+3}$ = $\frac{5}{8}$

এবং অপর্ণার টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{5+3}$ = $\frac{3}{8}$

∴ বিশুর টাকার পরিমাণ = $\frac{5}{8}$ × 640 টাকা

= 5 × 80 টাকা

= 400 টাকা

এবং অপর্ণার টাকার পরিমাণ = $\frac{3}{8}$ × 640 টাকা

= 3 × 80 টাকা

= 240 টাকা

Ans. বিশু পাবে 400 টাকা ও অপর্ণা 240 টাকা

3. এক বিশেষ প্রকার ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত 49 : 1 হলে, হিসাব করে দেখি এইপ্রকার 250 কুইন্টাল ইস্পাতে কত কুইন্টাল লোহা আছে।

উত্তর:

লোহা : কার্বন = 49 : 1

লোহার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{49}{49+1}$ = $\frac{49}{50}$

এবং কার্বনের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{1}{49+1}$ = $\frac{1}{50}$

বিশেষ প্রকার ইস্পাতের পরিমাণ = 250 কুইন্টাল

∴ লোহার পরিমাণ = $\frac{49}{50}$ × 250 কুইন্টাল

= 49 × 5 কুইন্টাল

= 245 কুইন্টাল

Ans. বিশেষ প্রকার ইস্পাতে লোহার পরিমাণ 245 কুইন্টাল

4. কোনো বিদ্যালয়ে 143 জন ছাত্রীর মধ্যে শুধুমাত্র গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত 9 : 2; যদি আরও 3 জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত কত হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

বিদ্যালয়ে ছাত্রী সংখ্যা 143 জন

গান করতে পারা ছাত্রী : নাচ করতে পারা ছাত্রী = 9 : 2

গান করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{9}{9+2}$ = $\frac{9}{11}$

এবং নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{2}{9+2}$ = $\frac{2}{11}$

∴ গান করতে পারা ছাত্রী সংখ্যা = $\frac{9}{11}$ × 143 জন

= 9 × 13 জন

= 117 জন

এবং নাচ করতে পারা ছাত্রী সংখ্যা = $\frac{2}{11}$ × 143 জন

= 2 × 13 জন

= 26 জন

যদি আরও 3 জন ছাত্রী গান করতে আসে, তবে গান করতে পারা ছাত্রী সংখ্যা = 117 + 3 = 120 জন

এখন নতুন অনুপাত

গান করতে পারা ছাত্রী : নাচ করতে পারা ছাত্রী

= 120 : 26

= 60 : 13

Ans. গান করতে পারা ও নাচ করতে পারা ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত 60 : 13

5. 240 মিলিলি. ডেটল-জলে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত 1 : 3; এর সঙ্গে আরও 60 মিলিলি. জল মেশালে জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত কত হবে হিসাব করি।

উত্তর:

ডেটল-জলের পরিমাণ 240 মিলিলি.

জল : ডেটল = 1 : 3

জলের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{1}{1+3}$ = $\frac{1}{4}$

এবং ডেটলের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{1+3}$ = $\frac{3}{4}$

∴ জলের পরিমাণ = $\frac{1}{4}$ × 240 মিলিলি.

= 1 × 60 মিলিলি.

= 60 মিলিলি.

এবং ডেটলের পরিমাণ = $\frac{3}{4}$ × 240 মিলিলি.

= 3 × 60 মিলিলি.

= 180 মিলিলি.

আরও 60 মিলিলি. জল মেশালে জল হবে = 60 + 60 মিলিলি. = 120 মিলিলি.

এখন নতুন অনুপাত,

জল : ডেটল = 120 : 180

= 2 : 3

Ans. জল ও ডেটলের আয়তনের অনুপাত হবে 2 : 3

6. এক ব্যক্তির মাসিক আয় 24,750 টাকা। তিনি 750 টাকা বাড়ি ভাড়া দেন এবং বাকি টাকা 3 : 1 অনুপাতে সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ করেন। তিনি কত টাকা সংসারে খরচ করেন দেখি।

উত্তর:

মাসিক আয় 24,750 টাকা

বাড়ি ভাড়া দেন 750 টাকা

সংসার খরচ ও ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ করেন = (24,750 - 750) টাকা = 24,000 টাকা

সংসার খরচ : ছেলেমেয়েদের শিক্ষার জন্য খরচ = 3 : 1

সংসার খরচের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{3+1}$ = $\frac{3}{4}$

∴ সংসারে জন্য খরচ করেন = $\frac{3}{4}$ × 24,000 টাকা

= 3 × 6,000 টাকা

= 18,000 টাকা

Ans. তিনি সংসারে খরচ করেন 18,000 টাকা

7. বিবেকানন্দ যুব পাঠাগার কোনো এক বছর 74,350 টাকা সরকারি অনুদান পেল, 4,350 টাকা চাঁদা আদায় করল এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল 1,300 টাকা। যদি সব টাকাই নতুন বই কিনতে, পুরোনো বই বাঁধাতে এবং পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন দিতে 15 : 3 : 2 অনুপাতে খরচ করা হয়, তবে হিসাব করে দেখি কত টাকার নতুন বই কেনা হয়েছিল।

উত্তর:

সরকারি অনুদান পেল 74,350 টাকা

চাঁদা আদায় করল 4,350 টাকা

এবং পুরোনো কাগজপত্র ইত্যাদি বিক্রি করে পেল 1,300 টাকা

∴ ঐ বছর মোট পেল = (74,350 + 4,350 + 1,300) টাকা

= 80,000 টাকা

খরচের ক্ষেত্রে,

নতুন বই ক্রয় : পুরোনো বই বাঁধাই : পাঠাগারের কর্মচারীদের বেতন = 15 : 3 : 2

নতুন বই ক্রয়ের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{15}{15+3+2}$ = $\frac{15}{20}$

∴ নতুন বই কেনা হয়েছে = $\frac{15}{20}$ × 80,000 টাকার

= 15 × 4000 টাকার

= 60,000 টাকার

Ans. নতুন বই কেনা হয়েছিল 60,000 টাকা

8. কোনো এক ট্রেনিং সেন্টারে 1050 জন ব্যক্তি ট্রেনিং নিতে এসেছেন। তাদের তিনটি বড়ো হলঘরে 11 : 3 : 3$\frac{1}{2}$ অনুপাতে বসতে দেওয়া হয়েছে। প্রতি হলঘরে কতজন বসবেন হিসাব করি।

উত্তর:

ট্রেনিং সেন্টারে ট্রেনিং নিতে এসেছেন 1050 জন

তিনটি হলঘরে বসার জায়গার অনুপাত = 11 : 3 : 3$\frac{1}{2}$

= 11 : 3 : $\frac{7}{2}$

= 22 : 6 : 7

প্রথম হলঘরে বসার জায়গার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{22}{22+6+7}$ = $\frac{22}{35}$

দ্বিতীয় হলঘরে বসার জায়গার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{6}{22+6+7}$ = $\frac{6}{35}$

এবং তৃতীয় হলঘরে বসার জায়গার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{7}{22+6+7}$ = $\frac{7}{35}$

∴ প্রথম হলঘরে লোক বসবে = $\frac{22}{35}$ × 1050 জন

= 22 × 30 জন

= 660 জন

দ্বিতীয় হলঘরে লোক বসবে = $\frac{6}{35}$ × 1050 জন

= 6 × 30 জন

= 180 জন

এবং তৃতীয় হলঘরে লোক বসবে = $\frac{7}{35}$ × 1050 জন

= 7 × 30 জন

= 210 জন

Ans. প্রথম হলঘরে বসবে 660 জন, দ্বিতীয় হলঘরে বসবে 180 জন এবং তৃতীয় হলঘরে বসবে 210 জন।

9. 12,100 টাকা মধু, মানস, কুন্তল ও ইন্দ্রর মধ্যে 2 : 3 : 4 : 2 অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

মোট টাকার পরিমাণ 12,100 টাকা

মধুর টাকা : মানসের টাকা : কুন্তলের টাকা : ইন্দ্রর টাকা = 2 : 3 : 4 : 2

মধুর টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{2}{2+3+4+2}$ = $\frac{2}{11}$

মানসের টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{2+3+4+2}$ = $\frac{3}{11}$

কুন্তলের টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{2+3+4+2}$ = $\frac{4}{11}$

এবং ইন্দ্রর টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{2}{2+3+4+2}$ = $\frac{2}{11}$

∴ মধুর টাকার পরিমাণ = $\frac{2}{11}$ × 12,100 টাকা

= 2 × 1100 টাকা

= 2200 টাকা

মানসের টাকার পরিমাণ = $\frac{3}{11}$ × 12,100 টাকা

= 3 × 1100 টাকা

= 3300 টাকা

কুন্তলের টাকার পরিমাণ = $\frac{4}{11}$ × 12,100 টাকা

= 4 × 1100 টাকা

= 4400 টাকা

এবং ইন্দ্রর টাকার পরিমাণ = $\frac{2}{11}$ × 12,100 টাকা

= 2 × 1100 টাকা

= 2200 টাকা

Ans. মধু পাবে 2200 টাকা, মানস পাবে 3300 টাকা, কুন্তল পাবে 4400 টাকা এবং ইন্দ্র পাবে 2200 টাকা।

10. ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°; BAC, ABC ও ACB এর অনুপাত 3 : 5 : 10; যদি BAC-এর মান 10° কম এবং ABC-এর মান 10° বেশি হয়, কোণ তিনটির অনুপাত কত হবে হিসাব করি।

উত্তর:

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

এবং ㄥBAC : ㄥABC : ㄥACB = 3 : 5 : 10

ㄥBAC এর আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{3+5+10}$ = $\frac{3}{18}$

ㄥABC এর আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{3+5+10}$ = $\frac{5}{18}$

এবং ㄥACB এর আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{10}{3+5+10}$ = $\frac{10}{18}$

∴ ㄥBAC এর মান = $\frac{3}{18}$ × 180°

= 3 × 10°

= 30°

ㄥABC এর মান = $\frac{5}{18}$ × 180°

= 5 × 10°

= 50°

এবং ㄥACB এর মান = $\frac{10}{18}$ × 180°

= 10 × 10°

= 100°

যদি ㄥBAC-এর মান 10° কম এবং ㄥABC-এর মান 10° বেশি হয়, তবে

ㄥBAC = 30° - 10°= 20°

এবং ㄥABC = 50° + 10°= 60°

∴ㄥBAC : ㄥABC : ㄥACB = 20° : 60° : 100°

= 2 : 6 : 10

= 1 : 3 : 5

Ans. ㄥBAC : ㄥABC : ㄥACB = 1 : 3 : 5

11. 9,000 টাকা তিন বন্ধুর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিই যেন প্রথম বন্ধু যা পায়, দ্বিতীয় বন্ধু তার দ্বিগুণ পায় এবং তৃতীয় বন্ধু প্রথম দুই বন্ধুর প্রাপ্য মোট টাকার অর্ধেক পায়। কে কত টাকা পায় হিসাব করি।

উত্তর:

প্রথম বন্ধু 1 টাকা পেলে, দ্বিতীয় বন্ধু পায় 2 টাকা, তৃতীয় বন্ধু পাবে $\frac{1+2}{2}$ টাকা = $\frac{3}{2}$ টাকা

∴ প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা : তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকা

= 1 : 2 : $\frac{3}{2}$

= 2 : 4 : 3

এখন, প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{2}{2+4+3}$ = $\frac{2}{9}$

দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{2+4+3}$ = $\frac{4}{9}$

এবং তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{2+4+3}$ = $\frac{3}{9}$

মোট টাকার পরিমাণ 9000 টাকা

∴ প্রথম বন্ধুর প্রাপ্য টাকার পরিমাণ = $\frac{2}{9}$ × 9000 টাকা

= 2 × 1000 টাকা

= 2000 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকার পরিমাণ = $\frac{4}{9}$ × 9000 টাকা

= 4 × 1000 টাকা

= 4000 টাকা

এবং তৃতীয় বন্ধুর প্রাপ্য টাকার পরিমাণ = $\frac{3}{9}$ × 9000 টাকা

= 3 × 1000 টাকা

= 3000 টাকা

Ans. প্রথম বন্ধু পাবে 2000 টাকা, দ্বিতীয় বন্ধু পাবে 4000 টাকা এবং তৃতীয় বন্ধু পাবে 3000 টাকা

12. আমাদের গ্রামের রাস্তা তৈরির জন্য পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত যদি 2 : 4 : 3 : 2 হয় এবং ওই চার বছরে যদি 132 লক্ষ টাকা খরচ হয়, তবে হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় বছরে কত টাকা খরচ হয়েছে। প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে হিসাব করি।

উত্তর:

পরপর চার বছরের খরচের অনুপাত = 2 : 4 : 3 : 2

দ্বিতীয় বছরের খরচের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{2+4+3+2}$ = $\frac{4}{11}$

এবং প্রথম বছরের খরচের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{2}{2+4+3+2}$ = $\frac{2}{11}$

ও তৃতীয় বছরের খরচের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{2+4+3+2}$ = $\frac{3}{11}$

মোট খরচের পরিমাণ 132 লক্ষ টাকা

∴ দ্বিতীয় বছরে খরচ হয়েছে = $\frac{4}{11}$ × 132 লক্ষ টাকা

= 4 × 12 লক্ষ টাকা

= 48 লক্ষ টাকা

আবার, প্রথম বছরে খরচ হয়েছে = $\frac{2}{11}$ × 132 লক্ষ টাকা

= 2 × 12 লক্ষ টাকা

= 24 লক্ষ টাকা

এবং তৃতীয় বছরে খরচ হয়েছে = $\frac{3}{11}$ × 132 লক্ষ টাকা

= 3 × 12 লক্ষ টাকা

= 36 লক্ষ টাকা

∴ প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট খরচ হয়েছে = (24 লক্ষ + 36 লক্ষ) টাকা

= 60 লক্ষ টাকা

Ans. দ্বিতীয় বছরে খরচ হয়েছে 48 লক্ষ টাকা। এবং প্রথম ও তৃতীয় বছরে মোট খরচ হয়েছে 60 লক্ষ টাকা।

13. বিনয়বাবু তাঁর অবসর গ্রহণের সময়ে এককালীন 1,96,150 টাকা পেলেন। তিনি 20,000 টাকা। বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করলেন এবং বাকি টাকা তিনি তাঁর স্ত্রী, পুত্র ও কন্যার মধ্যে 5 : 4 : 4 অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি তিনি কাকে কত টাকা দিলেন।

উত্তর:

বিনয়বাবুর অবসরকালীন টাকার পরিমাণ 1,96,150 টাকা

বিদ্যালয়ের গ্রন্থাগারে দান করেন= 20,000 টাকা

দান করার পর বাকি থাকে = (1,96,150 - 20,000) টাকা

= 1,76,150 টাকা

বাকি টাকার মধ্যে তাঁর

স্ত্রীর টাকা : পুত্রের টাকা : কন্যার টাকা = 5 : 4 : 4

তাঁর স্ত্রীর টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{5+4+4}$ = $\frac{5}{13}$

পুত্রের টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{5+4+4}$ = $\frac{4}{13}$

এবং কন্যার টাকার আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{5+4+4}$ = $\frac{4}{13}$

∴ তাঁর স্ত্রীর টাকার পরিমাণ = $\frac{5}{13}$ × 1,76,150 টাকা

= 5 × 13,550 টাকা

= 67,750 টাকা

তাঁর পুত্রের টাকার পরিমাণ = $\frac{4}{13}$ × 1,76,150 টাকা

= 4 × 13,550 টাকা

= 54,200 টাকা

এবং তাঁর কন্যার টাকার পরিমাণ = $\frac{4}{13}$ × 1,76,150 টাকা

= 4 × 13,550 টাকা

= 54,200 টাকা

Ans. বিনয়বাবু তাঁর স্ত্রীকে দিলেন 67,750 টাকা, পুত্রকে দিলেন 54,200 টাকা এবং কন্যাকে দিলেন 54,200 টাকা।

14. আমিনুরচাচা তাঁর 35 কাঠা জমিতে 4 : 3 অনুপাতে বেগুন ও পটল চাষ করেছেন। প্রতি কাঠায় বেগুন থেকে 150 টাকা ও প্রতি কাঠায় পটল থেকে 125 টাকা লাভ করলেন। আমিনুর চাচার মোট জমি থেকে বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত হিসাব করি।

উত্তর:

আমিনুরচাচার মোট জমির পরিমাণ 35 কাঠা

বেগুন চাষের জমি : পটল চাষের জমি = 4 : 3

বেগুন চাষের জমির আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{4}{4+3}$ = $\frac{4}{7}$

এবং পটল চাষের জমির আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{3}{4+3}$ = $\frac{3}{7}$

∴ বেগুন চাষের জমির পরিমাণ = $\frac{4}{7}$ × 35 কাঠা

= 4 × 5 কাঠা

= 20 কাঠা

এবং পটল চাষের জমির পরিমাণ = $\frac{3}{7}$ × 35 কাঠা

= 3 × 5 কাঠা

= 15 কাঠা

1 কাঠার বেগুন থেকে লাভ হয় = 150 টাকা

20 কাঠার বেগুন থেকে লাভ হয় = 150×20 টাকা

= 3000 টাকা

1 কাঠার পটল থেকে লাভ হয় = 125 টাকা

15 কাঠার পটল থেকে লাভ হয় = 125×15 টাকা

= 1875 টাকা

এখন,

বেগুন চাষ করে লাভ : পটল চাষ করে লাভ

= 3000 : 1875

= 600 : 375

= 120 : 75

= 24 : 15

= 8 : 5

Ans. বেগুন ও পটল চাষ করে লাভের পরিমাণের অনুপাত 8 : 5

কষে দেখি 2.2 - সপ্তম শ্রেণী - অনুপাত || Exercise 2.2 - Class VII - Math - Ratio - WBBSE

2023-03-20T21:31:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 2.2

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 2

WBBSE
Class VII
Math
Exercise 2.2
Ratio in Bengali

অনুপাতের অংক - লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি - পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে পরিণত করি - ব্যস্ত অনুপাত লিখি - লঘু অনুপাত - গুরু অনুপাত - মিশ্র অনুপাতে প্রকাশ করি।

উত্তর:

3b : 12c

= b : 4c [3 দিয়ে ভাগ করি]

ইহা 3b : 12c অনুপাতের লঘিষ্ঠ রূপ।

এবং b : 4c এর ব্যস্ত অনুপাত 4c : b

Ans. 3b : 12c অনুপাতের লঘিষ্ঠ রূপ b : 4c এবং ব্যস্ত অনুপাত 4c : b

(h) 25xyz : 625xyz

উত্তর:

25xyz : 625xyz

$\frac{2}{5}$ : $\frac{3}{4}$

= 8 : 15 [20 দিয়ে গুণ করি]

ইহা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত

এবং 8 : 15 এর ব্যস্ত অনুপাত 15 : 8

Ans. $\frac{2}{5}$ : $\frac{3}{4}$ এর পূর্ণসংখ্যার অনুপাত 8 : 15 এবং ব্যস্ত অনুপাত 15 : 8

(e) 22 : 4$\frac{5}{7}$

উত্তর:

22 : 4$\frac{5}{7}$

= 22 : $\frac{33}{7}$

= 22×7 : 33 [7 দিয়ে গুণ করি]

= 2×7 : 3 [11 দিয়ে ভাগ করি]

= 14 : 3

ইহা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত

এবং 14 : 3 এর ব্যস্ত অনুপাত 3 : 14

Ans. 22 : 4$\frac{5}{7}$ এর পূর্ণসংখ্যার অনুপাত 14 : 3 এবং ব্যস্ত অনুপাত 3 : 14

(f) $\frac{7}{15}$ : $\frac{3}{20}$

উত্তর:

$\frac{7}{15}$ : $\frac{3}{20}$

= 7×4 : 3×3 [60 দিয়ে গুণ করি]

= 28 : 9

ইহা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত

এবং 28 : 9 এর ব্যস্ত অনুপাত 9 : 28

Ans. $\frac{7}{15}$ : $\frac{3}{20}$ এর পূর্ণসংখ্যার অনুপাত 28 : 9 এবং ব্যস্ত অনুপাত 9 : 28

(g) $1\frac{2}{5}$ : $\frac{7}{10}$

উত্তর:

$1\frac{2}{5}$ : $\frac{7}{10}$

= $\frac{7}{5}$ : $\frac{7}{10}$

= 7×2 : 7 [10 দিয়ে গুণ করি]

= 2 : 1 [7 দিয়ে ভাগ করি]

ইহা পূর্ণসংখ্যার অনুপাত

এবং 2 : 1 এর ব্যস্ত অনুপাত 1 : 2

Ans. $\frac{5}{8}$ : $\frac{7}{16}$ এর পূর্ণসংখ্যার অনুপাত 2 : 1 এবং ব্যস্ত অনুপাত 1 : 2

4) রীতা 100টি অঙ্কের মধ্যে 60টি সঠিক করেছে। বিনয় ওই অঙ্কের ৪০টির মধ্যে 50টি সঠিক করেছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কে বেশি অঙ্ক ঠিক করেছে।

উত্তর:

রীতা 100 টি অঙ্কের মধ্যে 60 টি সঠিক করেছে এবং বিনয় 80 টি অঙ্কের মধ্যে 50 টি সঠিক করেছে

অনুপাত হিসেবে,

রীতার সঠিক অঙ্ক : বিনয়ের সঠিক অঙ্ক

= $\frac{60}{100}$ : $\frac{50}{80}$

= $\frac{3}{5}$ : $\frac{5}{8}$

= $\frac{3}{5}$ × 5×8 : $\frac{5}{8}$ × 5×8

= 24 : 25

সুতরাং অনুপাত হিসেবে দেখা যাচ্ছে বিনয় বেশি অঙ্ক ঠিক করেছে।

Ans. বিনয় বেশি অঙ্ক ঠিক করেছে।

5) এবছরে মাধ্যমিক পরীক্ষায় আমাদের বিদ্যালয়ে 150জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 100জন গ্রেড- A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে। পাশের বিদ্যালয়ে 100 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 80 জন গ্রেড- A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে। এবছর মাধ্যমিকে কোন বিদ্যালয় গ্রেড A পেয়ে ভালো ফল করেছে তা অনুপাতে প্রকাশ করে বের করি।

উত্তর:

আমাদের বিদ্যালয়ে 150 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 100 জন গ্রেড-A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে এবং পাশের বিদ্যালয়ে 100 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 80 জন গ্রেড-A পেয়ে উত্তীর্ণ হয়েছে।

অনুপাত হিসেবে,

আমাদের বিদ্যালয়ে গ্রেড-A : পাশের বিদ্যালয়ে গ্রেড-A

= $\frac{100}{150}$ : $\frac{80}{100}$

= $\frac{2}{3}$ : $\frac{4}{5}$

= $\frac{2}{3}$ × 3×5 : $\frac{4}{5}$ × 3×5

= 10 : 12

সুতরাং অনুপাত হিসেবে দেখা যাচ্ছে পাশের বিদ্যালয় বেশি গ্রেড A পেয়ে ভালো ফল করেছে।

Ans. পাশের বিদ্যালয় বেশি গ্রেড A পেয়ে ভালো ফল করেছে।

6) দুটি বাড়ির দামের অনুপাত 4 : 3 এবং দ্বিতীয়টির দাম 4,20,000 টাকা। প্রথম বাড়িটির দাম কত হিসাব করি। প্রথম বাড়িটির দাম যদি 70,000 টাকা বেশি হতো, তবে তাদের দামের অনুপাত কত হতো দেখি।

উত্তর:

১ম বাড়ির দাম : ২য় বাড়ির দাম = 4 : 3

বা, $\frac{১ম বাড়ির দাম}{২য় বাড়ির দাম}$ = $\frac{4}{3}$

বা, ১ম বাড়ির দাম = $\frac{4}{3}$ × ২য় বাড়ির দাম

বা, ১ম বাড়ির দাম = $\frac{4}{3}$ × 4,20,000 টাকা

= 5,60,000 টাকা

আবার, প্রথম বাড়িটির দাম 70,000 টাকা বেশি হলে,

প্রথম বাড়িটির দাম হতো = (5,60,000 + 70,000) টাকা

= 6,30,000

∴ প্রথম বাড়িটির দাম : দ্বিতীয় বাড়িটির দাম

6,30,000 : 4,20,000

= 3 : 2

Ans. প্রথম বাড়িটির দাম 5,60,000 টাকা । আবার, প্রথম বাড়িটির দাম 70,000 টাকা বেশি হলে প্রথম বাড়ি ও দ্বিতীয় বাড়ির দামের অনুপাত 3: 2

7) একটি বাঁশ থেকে এক টুকরো বাঁশ কেটে নেওয়া হলো এবং দেখা গেল দুটি অংশের বাঁশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 1। নীচের সারণী থেকে টুকরো দুটির দৈর্ঘ্য কী কী হতে পারে এবং বাঁশটির দৈর্ঘ্য কী হতে পারে লিখি।

অনুপাত	প্রথম টুকরোর দৈর্ঘ্য	দ্বিতীয় টুকরোর দৈর্ঘ্য	মোট বাঁশের দৈর্ঘ্য
3 : 1	30 ডেসিমি
3 : 1		15 ডেসিমি

উত্তর:

অনুপাত	প্রথম টুকরোর দৈর্ঘ্য	দ্বিতীয় টুকরোর দৈর্ঘ্য	মোট বাঁশের দৈর্ঘ্য
3 : 1	30 ডেসিমি	10 ডেসিমি	40 ডেসিমি
3 : 1	45 ডেসিমি	15 ডেসিমি	60 ডেসিমি

কষে দেখি 2.1 - সপ্তম শ্রেণী - অনুপাত || Exercise 2.1 - Class VII - Math - Ratio - WBBSE

2023-03-19T08:55:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 2.1

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 2
অনুপাতের অংক

WBBSE
Class VII
Math
Exercise 2.1
Ratio in Bengali

1. 1 কিগ্রা. চালের দাম 40 টাকা ও 1 কিগ্রা. ডালের দাম 100 টাকা। চাল ও ডালের দামের অনুপাত কত হিসাব করি।

উত্তর:

চালের দাম : ডালের দাম

= 40 টাকা : 100 টাকা

= 40 : 100

= 4 : 10

= 2 : 5

Ans. চাল ও ডালের দামের অনুপাত = 2 : 5

ㄥBAC : ㄥABC : ㄥACB = 60° : 50° : 70°

= 6 : 5 : 7

Ans. ㄥBAC : ㄥABC : ㄥACB = 6 : 5 : 7

3. 1টি পেনসিলের দাম 3 টাকা ও 1টি লজেন্সের দাম 50 পয়সা। 1টি পেনসিল ও 1টি লজেন্সের দামের অনুপাত হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

1টি পেনসিলের দাম : 1টি লজেন্সের দাম

= 3 টাকা : 50 পয়সা

= 300 পয়সা : 50 পয়সা

= 300 : 50

= 30 : 5

= 6 : 1

Ans. 1টি পেনসিল ও 1টি লজেন্সের দামের অনুপাত = 6 : 1

4. একটি আধুলি, একটি এক টাকা ও একটি দু-টাকার মুদ্রার মূল্যের অনুপাত লিখি।

উত্তর:

মুদ্রার মূল্যের অনুপাতে,

একটি আধুলি : একটি এক টাকা : একটি দু-টাকা

= 50 পয়সা : 100 পয়সা : 200 পয়সা

= 50 : 100 : 200

= 5 : 10 : 20

= 1 : 2 : 4

Ans. একটি আধুলি, একটি এক টাকা ও একটি দু-টাকার মুদ্রার মূল্যের অনুপাত 1 : 2 : 4

5. উমার বয়স 12 বছর 6 মাস, রাতুলের বয়স 12 বছর 4 মাস ও নুরজাহানের বয়স 12 বছর হলে, ওদের তিনজনের বয়সের অনুপাত কত লিখি।

উত্তর:

বয়স অনুসারে তাদের অনুপাত

উমা : রাতুল : নুরজাহান

= 12 বছর 6 মাস : 12 বছর 4 মাস : 12 বছর

= (6×12 + 6) মাস : (6×12 + 4) মাস : (6×12) মাস

= (72 + 6) মাস : (72 + 4) মাস : 72 মাস

= 78 মাস : 76 মাস : 72 মাস

= 78 : 76 : 72

= 39 : 38 : 36

Ans. উমা, রাতুল ও নুরজাহানের বয়সের অনুপাত 39 : 38 : 36

6. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

উত্তর:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির মান হবে যথাক্রমে 90°, 45° ও 45° অথবা 45°, 90° ও 45° অথবা 45°, 45° ও 90°,

সুতরাং কোণগুলির অনুপাত

= 90° : 45° : 45°

= 2 : 1 : 1

অনুরূপভাবে, হবে 1 : 2 : 1 অথবা 1 : 1 : 2

Ans. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 2 : 1 : 1 অথবা 1 : 2 : 1 অথবা 1 : 1 : 2

7. সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত কত লিখি।

উত্তর:

সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির প্রতিটির মান সমান অর্থাৎ কোণগুলির মান যথাক্রমে 60°, 60°, 60°

সুতরাং কোণগুলির অনুপাত

= 60° : 60° : 60°

= 1 : 1 : 1

Ans. সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 1 : 1 : 1

8. পুলকবাবু ও মানিকবাবুর বয়সের অনুপাত 7:9; মানিকবাবুর বয়স 72 বছর হলে, পুলকবাবুর বয়স হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

পুলকবাবু ও মানিকবাবুর বয়সের অনুপাত 7:9 এবং মানিকবাবুর বয়স 72 বছর

সুতরাং পুলকবাবুর বয়স : মানিকবাবুর বয়স = 7 : 9

বা, $\frac{পুলকবাবুর বয়স}{ মানিকবাবুর বয়স}$ = $\frac{7}{9}$

বা, পুলকবাবুর বয়স = $\frac{7}{9}$ × মানিকবাবুর বয়স

∴ পুলকবাবুর বয়স = $\frac{7}{9}$ × 72

= 56

পুলকবাবুর বয়স 56 বছর।

Ans. পুলকবাবুর বয়স 56 বছর।

9. দুটি বইয়ের দামের অনুপাত 2 : 5; প্রথম বইটির দাম 32.20 টাকা হলে, দ্বিতীয় বইটির দাম হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

দুটি বইয়ের দামের অনুপাত 2 : 5 এবং প্রথম বইটির দাম 32.20 টাকা।

সুতরাং ১ম বই : ২য় বই = 2 : 5

বা, $\frac{১ম বই}{২য় বই}$ = $\frac{2}{5}$

বা, $\frac{২য় বই}{১ম বই}$ = $\frac{5}{2}$

বা, ২য় বই = $\frac{5}{2}$ × ১ম বই

∴ ২য় বই = $\frac{5}{2}$ × 32.20

= 80.50

২য় বইয়ের দাম 80.50 টাকা।

Ans. দ্বিতীয় বইয়ের দাম 80.50 টাকা।

10. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22:7; যে বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2 মিটার 1ডেসিমিটার, সেই বৃত্তের পরিধি হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22:7

এবং বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার 1ডেসিমিটার

= 21 ডেসিমিটার

সুতরাং পরিধি : ব্যাস = 22 : 7

বা, $\frac{পরিধি}{ব্যাস}$ = $\frac{22}{7}$

বা, পরিধি = $\frac{22}{7}$ × ব্যাস

∴ পরিধি = $\frac{22}{7}$ × 21

= 66

সুতরাং পরিধির দৈর্ঘ্য 66 ডেসিমিটার বা 6 মিটার 6 ডেসিমিটার।

Ans. বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্য 6 মিটার 6 ডেসিমিটার।

11. আমাদের সপ্তম শ্রেণিতে 150 জনের মধ্যে 90 জন ও ষষ্ঠ শ্রেণিতে 140 জনের মধ্যে 80 জন অঙ্কন প্রতিযোগিতায় নাম দিয়েছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কোন শ্রেণিতে প্রতিযোগী বেশি?

উত্তর:

সপ্তম শ্রেণির প্রতিযোগী 150 জনের মধ্যে 90 জন ও ষষ্ঠ শ্রেণির প্রতিযোগী 140 জনের মধ্যে 80 জন

অনুপাত হিসেবে,

সপ্তম শ্রেণির প্রতিযোগী : ষষ্ঠ শ্রেণির প্রতিযোগী

= $\frac{90}{150}$ : $\frac{80}{140}$

= $\frac{9}{15}$ : $\frac{8}{14}$

= $\frac{9}{15}$ × 15×14 : $\frac{8}{14}$ × 15×14

= 9 × 14 : 8 × 15

= 3 × 7 : 4 × 5

= 21 : 20

সুতরাং দেখা যাচ্ছে সপ্তম শ্রেণির প্রতিযোগী তুলনামূলক ভাবে বেশি।

Ans. অনুপাতে প্রকাশ করে দেখআ যাচ্ছে সপ্তম শ্রেণিতে প্রতিযোগী বেশি।

12. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:7 এবং সংখ্যাদুটির গ.সা.গু. 13 হলে সংখ্যাদুটি কী কী ?

উত্তর:

দুটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7

ধরি, সংখ্যাদুটি যথাক্রমে 5x ও 7x

সুতরাং 5x ও 7x এর গ.সা.গু = x

অর্থাৎ x = 13

সুতরাং সংখ্যাদুটি যথাক্রমে 5×13 ও 7×13

= 65 ও 91

Ans. সংখ্যাদুটি যথাক্রমে 65 ও 91

কষে দেখি 1.4 - সপ্তম শ্রেণী - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - বর্গমূল অংক || Exercise 1.4 - Class VII - Math - Square Root - WBBSE

2023-02-26T15:13:00.000+05:30

সপ্তম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.4

গণিত প্রভা - অধ্যায় : 1

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
ভাগ প্রক্রিয়ায় বর্গমূল নির্ণয়

WBBSE

Class VII
Math
Exercise 1.4
Square root by Division Method in Bengali

1. নীচের চিত্রগুলির পরিসীমা মাপি :

উত্তর:

(i) নং চিত্রের পরিসীমা = (5+8+8) সেমি

= 21 সেমি

(ii) নং চিত্রের পরিসীমা = (10+12+5) সেমি

= 27 সেমি

(iii) নং চিত্রের পরিসীমা = (8+8+8+8) সেমি

= 32 সেমি

(iv) নং চিত্রের পরিসীমা = (4+4+10+4+4+10) সেমি

= 36 সেমি

(v) নং চিত্রের পরিসীমা = (20+10+20+10) সেমি

= 60 সেমি

(vi) নং চিত্রের পরিসীমা = (8+3+3+8+6) সেমি

= 28 সেমি

2. নীচের চিত্রগুলি কতটা জায়গা দখল করে আছে দেখি। [প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গঘর 1 বর্গসেমি.]

উত্তর:

Ans. নির্ণয় বর্গমূল 329

(d) 108241

উত্তর:

ভাগ প্রক্রিয়ায় 108241 -এর বর্গমূল নির্ণয় করি

Ans. নির্ণয় বর্গমূল 329

বিকল্প পদ্ধতি,

108241-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$108241 = 7×7×47×47$

∴ $\sqrt{108241} = \sqrt{7×7×47×47}$

= $7×47$

= $329$

Ans. নির্নয় বর্গমূল $329$

(e) 186624

উত্তর:

ভাগ প্রক্রিয়ায় 186624 -এর বর্গমূল নির্ণয় করি।

Ans. নির্ণয় বর্গমূল 432

বিকল্প পদ্ধতি,

186624-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

186624 = 2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×3×3

∴ $\sqrt{186624} = \sqrt{2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×3×3}$

= $2×2×2×2×3×3×3$

= $48×9$

= $432$

Ans. নির্নয় বর্গমূল $432$

(f) (24² + 10² )

উত্তর:

(24² + 10² )

= 576+100

= 676

676-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$676 = 2×2×13×13$

∴ $\sqrt{676} = \sqrt{2×2×13×13}$

= $2×13$

= $26$

উত্তর:

প্রশ্নানুযায়ী, প্রতি সারিতে পেয়ারা গাছের সংখ্যা হবে 1764 এর বর্গমূলের সমান।

ভাগ প্রক্রিয়ায় 1764 এর বর্গমূল নির্ণয় করি

সুতরাং প্রতি সারিতে পেয়ারা গাছের সংখ্যা 42 টি।

Ans. প্রতি সারিতে 42 টি পেয়ারা গাছ আছে।

10. হোমিওপ্যাথি ওষুধ রাখার বাক্সে 1225টি শিশি রাখার ঘর আছে। ঘরগুলি এমনভাবে সাজানো আছে যে যতগুলি সারি আছে প্রতি সারিতে ততগুলি ঘর আছে। হিসাব করে দেখি বাক্সে কতগুলি সারি আছে।

উত্তর:

প্রশ্নানুযায়ী, বাক্সের সারির সংখ্যা হবে 1225 এর বর্গমূলের সমান।

ভাগ প্রক্রিয়ায় 1225 এর বর্গমূল নির্ণয় করি

সুতরাং বাক্সে সারির সংখ্যা 35 টি।

Ans. বাক্সে সারির সংখ্যা 35 টি।

11. তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার প্রথম ও দ্বিতীয়টির গুণফল 24, দ্বিতীয় ও তৃতীয়ের গুণফল 48 এবং প্রথম ও তৃতীয়ের গুণফল 32; সংখ্যা তিনটি কী কী তা হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রথম × দ্বিতীয় = 24

দ্বিতীয় × তৃতীয় = 48

এবং প্রথম × তৃতীয় = 32

সুতরাং (প্রথম × দ্বিতীয় × তৃতীয়)² = 24×48×32

বা, প্রথম × দ্বিতীয় × তৃতীয় = $\sqrt{24×48×32}$

= $\sqrt{4×6×6×8×8×4}$

= $4×6×8$

= 192

∴ প্রথম সংখ্যা = 192 ÷ (দ্বিতীয় × তৃতীয়)

= 192 ÷ 48

= 4

দ্বিতীয় সংখ্যা = 192 ÷ (প্রথম × তৃতীয়)

= 192 ÷ 32

= 6

এবং তৃতীয় সংখ্যা = 192 ÷ (প্রথম × দ্বিতীয়)

= 192 ÷ 24

= 8

∴ প্রথম সংখ্যা = 4, দ্বিতীয় সংখ্যা = 6 এবং তৃতীয় সংখ্যা = 8

Ans. প্রথম সংখ্যা = 4, দ্বিতীয় সংখ্যা = 6 এবং তৃতীয় সংখ্যা = 8

12. শিবাজি সঙ্ঘের ক্লাবে যতজন সদস্য আছে প্রত্যেকে সদস্য সংখ্যার পাঁচগুণ টাকা চাঁদা দিয়েছে। মোট 515205 টাকা চাঁদা উঠেছে। হিসাব করে দেখি ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত।

উত্তর:

প্রত্যেক সদস্য সদস্য সংখ্যার পাঁচগুণ টাকা চাঁদা দিয়েছে

প্রশ্নানুযায়ী, ক্লাবের সদস্য সংখ্যা হবে (515205 ÷ 5) = 103041 -এর বর্গমূলের সমান।

ভাগ প্রক্রিয়ায় 103041 এর বর্গমূল নির্ণয় করি

অর্থাৎ ক্লাবের সদস্য সংখ্যা 321 জন

Ans. ক্লাবের সদস্য সংখ্যা 321 জন।

13. দার্জিলিং-এর এক বাগানের মালিক মোট 1080টি কমলালেবু পেড়েছেন। সেই কমলালেবু কতকগুলি ঝুড়ি এনে তার প্রতিটিতে ঝুড়ির সংখ্যার সমান কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখেন 9টি কমলালেবু কম পড়ছে। তিনি কতগুলি ঝুড়ি এনেছিলেন হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রতিটি ঝুড়িতে ঝুড়ির সংখ্যার সমান কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখেন 9 টি কমলালেবু কম পড়ছে।

প্রশ্নানুযায়ী, ঝুড়ির সংখ্যা হবে (1080 + 9) = 1089 -এর বর্গমূলের সমান।

ভাগ প্রক্রিয়ায় 1089 এর বর্গমূল নির্ণয় করি

সুতরাং, ঝুড়ির সংখ্যা 33 টি

Ans. ঝুড়ির সংখ্যা হবে 33 টি

14. বকুলতলার একটি পুকুর সংস্কার করতে পঞ্চায়েত যতজন লোক নিযুক্ত করেছিলেন তারা ততদিন কাজ করে মোট 12375 টাকা পেয়েছেন। প্রত্যেকে দৈনিক যদি 55 টাকা পান, তবে কতজন লোক কাজ করেছিলেন হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

যতজন লোক পুকুর সংস্কার কাজে নিযুক্ত তারা ততদিন কাজ করে। প্রত্যেকের দৈনিক মজুরি 55 টাকা।

প্রশ্নানুযায়ী, লোক সংখ্যা হবে (12375 ÷ 55) = 225 -এর বর্গমূলের সমান।

∴ লোক সংখ্যা = $\sqrt{225}$

= $\sqrt{3×3×5×5}$

= 3×5

= 15

∴ ঐ কাজে 15 জন লোক নিযুক্ত ছিলেন।

Ans. ঐ কাজে 15 জন লোক নিযুক্ত ছিলেন।

15. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 12,18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রথমে 12,18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য সবচেয়ে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ ল.সা.গু. নির্ণয় করি

∴ ল.সা.গু. = 2×3×2×3×5

= 2×2×3×3×5 [ইহা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়]

অর্থাৎ 12,18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হল

= 2×2×3×3×5×5

= 900

∴ 900×1 = 900

900×4 = 3600

900×9 = 8100 ইহা চার অঙ্কের সংখ্যা

900×16 = 14400 ইহা পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা

∴ নির্ণয় পূর্ণবর্গ সংখ্যা 8100

Ans. 12,18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য চার অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হল 8100

16. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রথমে 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য সবচেয়ে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ ল.সা.গু. নির্ণয় করি

∴ ল.সা.গু. = 2×2×5×2×3×5

= 2×2×2×3×5×5 [ইহা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়]

অর্থাৎ 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হল

= 2×2×2×2×3×3×5×5

= 3600

∴ 3600×1 = 3600 ইহা চার অঙ্কের সংখ্যা

3600×4 = 14400 ইহা পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা

∴ নির্ণয় পূর্ণবর্গ সংখ্যা 14400

Ans. 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হল 8100

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.4 || Class X - Math - Exercise 1.4 - Quadratic Equations with One Variable

2023-02-16T21:00:00.003+05:30

দশম শ্রেণি - অংক - কষে দেখি 1.4

গণিত প্রকাশ - অধ্যায় : 1
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

WBBSE

Class X

Math

Exercise 1.4

Quadratic Equations with One Variable

(i) 4x² + (2x-1) (2x+1) = 4x(2x-1) -এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।

উত্তর:

4x² + (2x - 1) (2x + 1) = 4x(2x - 1)

বা, 4x² + {(2x)² - (1)²} = 8x² - 4x

বা, 4x² + 4x² - 1 = 8x² - 4x

বা, 8x² - 1 = 8x² - 4x

বা, 4x = 1

ইহা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় তাই এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়।

Ans. এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।

উত্তর:

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা যে-কোনো একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের (বীজ নির্ণয়ের মাধ্যমে) সমাধান করতে পারি।

(iii) 5x²+2x-7=0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $x = \frac{k±12}{10} $ পাওয়া গেলে k-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

5x²+2x-7=0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 5, b = 2 এবং c = -7

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই

x = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$

= $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.5.(-7)}}{2.5}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{4+140}}{10}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{144}}{10}$

= $\frac{-2 ± 12}{10}$

∴ $x = \frac{k±12}{10}$ ও $x = \frac{-2±12}{10}$ তুলনা করে পাই

k = -2

Ans. k এর মান -2

2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

(i) 3x² + 11x - 4 = 0

উত্তর:

3x² + 11x - 4 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 11 এবং c = -4

এখন

b² - 4ac = (11)² - 4.3.(-4) = 121 + 48 = 169 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$

= $\frac{-(11) ± \sqrt{(11)²-4.3.(-4)}}{2.3}$

= $\frac{-11 ± \sqrt{121 + 48}}{6}$

= $\frac{-11 ± \sqrt{169}}{6}$

= $\frac{-11 ± 13}{6}$

হয়,

$x = \frac{-11 + 13}{6}$

বা, $x = \frac{2}{6}$

বা, $x = \frac{1}{3}$

অথবা,

$x = \frac{-11 - 13}{6}$

বা, $x = \frac{-24}{6}$

বা, $x = -4$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও -4

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও -4

(ii) (x – 2)(x + 4) + 9=0

উত্তর:

(x – 2)(x + 4) + 9= 0

বা, x² + 4x - 2x - 8 + 9 = 0

বা, x² + 2x + 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 2 এবং c = 1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.1.(1) = 4 - 4 = 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$

= $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.1.1}}{2.1}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{4 - 4}}{2}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{0}}{2}$

= $\frac{-2 ± 0}{2}$

হয়,

$x = \frac{-2 + 0}{2}$

বা, $x = \frac{-2}{2}$

বা, $x = -1$

অথবা,

$x = \frac{-2 - 0}{2}$

বা, $x = \frac{-2}{2}$

বা, $x = -1$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $-1$ ও $-1$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $-1$ ও $-1$

(iii) (4x – 3)² – 2(x + 3) = 0

উত্তর:

(4x – 3)² – 2(x + 3) = 0

বা, 16x² - 24x + 9 - 2x - 6 = 0

বা, 16x² - 26x + 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 16, b = -26 এবং c = 3

এখন

b² - 4ac = (-26)² - 4.16.3 = 676 - 192 = 484 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

= $\frac{-(-26) ± \sqrt{(-26)² - 4.16.3}}{2.16}$

= $\frac{26 ± \sqrt{676 - 192}}{32}$

= $\frac{26 ± \sqrt{484}}{2}$

= $\frac{26 ± 22}{32}$

হয়,

$x = \frac{26 + 22}{32}$

বা, $x = \frac{48}{32}$

বা, $x = \frac{3}{2}$

অথবা,

$x = \frac{26 - 22}{32}$

বা, $x = \frac{4}{32}$

বা, $x = \frac{1}{8}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $\frac{1}{8}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $\frac{1}{8}$

(iv) 3x² + 2x - 1 = 0

উত্তর:

3x² + 2x - 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2 এবং c = -1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.3.(-1) = 4 + 12 = 16 > 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b²-4ac}}{2a}$

= $\frac{-(2) ± \sqrt{(2)²-4.3.(-1)}}{2.3}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{4 + 12}}{6}$

= $\frac{-2 ± \sqrt{16}}{6}$

= $\frac{-2 ± 4}{6}$

হয়,

$x = \frac{-2 + 4}{6}$

বা, $x = \frac{2}{6}$

বা, $x = \frac{1}{3}$

অথবা,

$x = \frac{-2 - 4}{6}$

বা, $x = \frac{-6}{6}$

বা, $x = -1$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $-1$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $-1$

(v) 3x² + 2x + 1 = 0

উত্তর:

3x² + 2x + 1 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2 এবং c = 1

এখন

b² - 4ac = (2)² - 4.3.1 = 4 - 12 = -12 < 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. উক্ত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

(vi) 10x² - x - 3 = 0

উত্তর:

10x² - x - 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 10, b = -1 এবং c = -3

এখন

b² - 4ac = (-1)² - 4.10.(-3) = 1 + 120 = 121 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

= $\frac{-(-1) ± \sqrt{(-1)² - 4.10.(-3)}}{2.10}$

= $\frac{1 ± \sqrt{1 + 120}}{20}$

= $\frac{1 ± \sqrt{121}}{20}$

= $\frac{1 ± 11}{20}$

হয়,

$x = \frac{1 + 11}{20}$

বা, $x = \frac{12}{20}$

বা, $x = \frac{3}{5}$

অথবা,

$x = \frac{1 - 11}{20}$

বা, $x = \frac{-10}{20}$

বা, $x = -\frac{1}{2}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{5}$ ও $-\frac{1}{2}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{5}$ ও $-\frac{1}{2}$

(vii) 10x² - x + 3 = 0

উত্তর:

10x² - x + 3 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 10, b = -1 এবং c = 3

এখন

b² - 4ac = (-1)² - 4.10.3 = 1 - 120 = -119 < 0

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

Ans. উক্ত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ নেই।

(viii) 25x² - 30x + 7=0

উত্তর:

25x² - 30x + 7 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 25, b = -30 এবং c = 7

এখন

b² - 4ac = (-30)² - 4.25.(7) = 900 - 700 = 200 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

= $\frac{-(-30) ± \sqrt{(-30)² - 4.25.7}}{2.25}$

= $\frac{30 ± \sqrt{900 - 700}}{50}$

= $\frac{30 ± \sqrt{200}}{50}$

= $\frac{30 ± \sqrt{10×10×2}}{50}$

= $\frac{30 ± 10\sqrt{2}}{50}$

হয়,

$x = \frac{30 + 10\sqrt{2}}{50}$

বা, $x = \frac{10(3 + \sqrt{2})}{50}$

বা, $x = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}$

অথবা,

$x = \frac{30 - 10\sqrt{2}}{50}$

বা, $x = \frac{10(3 - \sqrt{2})}{50}$

বা, $x = \frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ ও $\frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3 + \sqrt{2}}{5}$ ও $\frac{3 - \sqrt{2}}{5}$

(ix) (4x - 2 )² + 6x = 25

উত্তর:

(4x - 2 )² + 6x = 25

বা, 16x² - 16x + 4 + 6x - 25 = 0

বা, 16x² - 10x - 21 = 0 ---------- (I)

(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই, a = 16, b = -10 এবং c = -21

এখন

b² - 4ac = (-10)² - 4.16.(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 1

অর্থাৎ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।

বীজগুলি = $\frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

= $\frac{-(-10) ± \sqrt{(-10)² - 4.16.(-21)}}{2.16}$

= $\frac{10 ± \sqrt{100 + 1344}}{32}$

= $\frac{10 ± \sqrt{1444}}{32}$

= $\frac{10 ± 38}{32}$

হয়,

$x = \frac{10 + 38}{32}$

বা, $x = \frac{48}{32}$

বা, $x = \frac{3}{2}$

অথবা,

$x = \frac{10 - 38}{32}$

বা, $x = \frac{-28}{32}$

বা, $x = -\frac{7}{8}$

সুতরাং (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $-\frac{7}{8}$

Ans. উক্ত সমীকরণের বীজদ্বয় যথাক্রমে $\frac{3}{2}$ ও $-\frac{7}{8}$

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।

(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভূজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.

সুতরাং অতিভূজের দৈর্ঘ্য (2x + 6) সেমি.

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য {(2x + 6) - 2} সেমি.

= (2x + 6 - 2) সেমি.

= (2x + 4) সেমি.

আমরা জানি,

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির বর্গের সমষ্টি অতিভূজের বর্গের মানের সমান।

এক্ষেত্রে,

x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²

বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36

বা, x² + 4x² + 16x + 16 - 4x² - 24x - 36 = 0

বা, x² - 8x - 20 = 0

বা, x² - (10 - 2)x - 20 = 0

বা, x² - 10x + 2x - 20 = 0

বা, x(x - 10) + 2(x - 10) = 0

বা, (x - 10)(x + 2) = 0

হয়,

x - 10 = 0

বা, x = 10

অথবা,

x + 2 = 0

বা, x = - 2 [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

অতিভূজের দৈর্ঘ্য = (2×10 + 6) সেমি.

= (20 + 6) সেমি.

= 26 সেমি.

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = (2×10 + 4) সেমি.

= (20 + 4) সেমি.

= 24 সেমি.

Ans. সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি., 24 সেমি. ও 26 সেমি.

(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x

এবং দশকের ঘরের অঙ্ক 2x

সুতরাং সংখ্যাটি হল = 10 × 2x + x

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

x(10 × 2x + x) = 189

বা, x(20x + x) = 189

বা, x × 21x - 189 = 0

বা, 21x² - 189 = 0

বা, x² - 9 = 0

বা, x² - (3)² = 0

বা, (x + 3)(x - 3) = 0

হয়,

x + 3 = 0

বা, x = -3 [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

x - 3 = 0

বা, x = 3

সুতরাং এককের ঘরের অঙ্ক 3

Ans. এককের ঘরের অঙ্ক 3

(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মি. / সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অণিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অণিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, অনিকের গতিবেগে $x$ মি. / সেকেন্ড

সুতরাং সালমার গতিবেগ $(x + 1)$ মি. / সেকেন্ড

সুতরাং 180 মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে = $\frac{180}{x}$ সেকেন্ড

এবং 180 মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে = $\frac{180}{x + 1}$ সেকেন্ড

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

$\frac{180}{x}$ - $\frac{180}{x + 1}$ = 2

বা, $\frac{180(x + 1) - 180x}{x(x + 1)}$ = 2

বা, $\frac{180x + 180 - 180x}{x² + x}$ = 2

বা, $\frac{180}{x² + x}$ = 2

বা, $\frac{90}{x² + x}$ = 1

বা, $x² + x = 90$

বা, $x² + x - 90 = 0$

বা, $x² + (10 - 9)x - 90 = 0$

বা, $x² + 10x - 9x - 90 = 0$

বা, $x(x + 10) - 9(x + 10) = 0$

বা, $(x + 10)(x - 9) = 0$

হয়,

x + 10 = 0

বা, x = -10 [গতিবেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

x - 9 = 0

বা, x = 9

সুতরাং অণিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড

Ans. অণিকের গতিবেগ 9 মি./সেকেন্ড

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার

সুতরাং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য = (x + 5) মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর প্রস্থ = (x - 3) মিটার

সুতরাং বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x + 5)(x - 3) বর্গ মিটার

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

(x + 5)(x - 3) =2x² - 78

বা, x² - 3x + 5x - 15 - 2x² + 78 = 0

বা, -x² + 2x + 63 = 0

বা, x² - 2x - 63 = 0

বা, x² - (9 - 7)x - 63 = 0

বা, x² - 9x + 7x - 63 = 0

বা, x(x - 9) + 7(x - 9) = 0

বা, (x - 9)(x + 7) = 0

হয়,

x - 9 = 0

বা, x = 9

অথবা,

x + 7 = 0

বা, x = -7 [বাহুর দৈর্ঘ্য ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার

Ans. বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশী গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, লঙ্কার সারির সংখ্যা = x টি

প্রতিটি সারিতে লঙ্কার চারার সংখ্যা = (x + 24) টি

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

x(x +24) +10 = 350

বা, x² +24x +10 - 350 = 0

বা, x² +24x - 340 = 0

বা, x² +(34 - 10)x - 340 = 0

বা, x² +34x - 10x - 340 = 0

বা, x(x + 34) - 10(x - 34) = 0

বা, (x+34)(x - 10) = 0

হয়,

x + 34 = 0

বা, x = -34 [সারির সংখ্যা ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

x - 10 = 0

বা, x = 10

সুতরাং লঙ্কার সারির সংখ্যা 10 টি

Ans. সারির সংখ্যা 10 টি

(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুণ্ডলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে x টি জিনিস তৈরি করে

অর্থাৎ কুন্তল x টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা 360 মিনিটে

কুন্তল 1 টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা $\frac{360}{x}$ মিনিটে

আবার জোসেফ 6 ঘণ্টা কাজ করে (x + 6) টি জিনিস তৈরি করে

অর্থাৎ জোসেফ (x + 6)টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা 360 মিনিটে

জোসেফ 1 টি জিনিস তৈরি করে 6×60 মিনিট বা $\frac{360}{x + 6}$ মিনিটে

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

$\frac{360}{x}$ - $\frac{360}{x + 6}$ = 5

বা, $\frac{360(x + 6) - 360×x}{x(x + 6)}$ = 5

বা, $\frac{360x + 2160 - 360x}{x² + 6x}$ = 5

বা, $\frac{2160}{x² + 6x}$ = 5

বা, $5(x² + 6x) = 2160$

বা, $x² + 6x = 432$

বা, $x² + 6x - 432 = 0$

বা, $x² + (24 - 18)x - 432 = 0$

বা, $x² + 24x - 18x - 432 = 0$

বা, $x(x + 24) - 18(x + 24) = 0$

বা, $(x + 24)(x - 18) = 0$

হয়,

x + 24 = 0

বা, x = -24 [সারির সংখ্যা ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

x - 18 = 0

বা, x = 18

সুতরাং কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে 18 টি জিনিস তৈরি করে

Ans. কুন্তল 6 ঘণ্টা কাজ করে 18 টি জিনিস তৈরি করে।

(vii) স্থিরজলে একটি নৌকার গতিবেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, স্রোতের বেগ x কিমি/ঘণ্টা

স্থিরজলে নৌকার গতিবেগ ৪ কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ (8 + x) কিমি/ঘণ্টা

এবং স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ (8 - x) কিমি/ঘণ্টা

সুতরাং স্রোতের অনুকূলে,

(8 + x) কিমি যায় 1 ঘন্টায়

1 কিমি যায় $\frac{1}{8+x}$ ঘন্টায়

15 কিমি যায় $\frac{1×15}{8+x}$ ঘন্টায়

= $\frac{18}{8+x}$

এবং স্রোতের প্রতিকূলে,

(8 - x) কিমি যায় 1 ঘন্টায়

1 কিমি যায় $\frac{1}{8-x}$ ঘন্টায়

22 কিমি যায় $\frac{1×22}{8-x}$ ঘন্টায়

= $\frac{22}{8-x}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

$\frac{15}{8+x}$ + $\frac{22}{8-x}$ = 5

বা, $\frac{15(8-x)+22(8+x)}{(8+x)(8-x)}$ = 5

বা, $\frac{120-15x+176+22x}{(8)²-(x)²}$ = 5

বা, $\frac{296+7x}{64-x²}$ = 5

বা, $296 + 7x = 320 - 5x²$

বা, $296 + 7x - 320 + 5x² = 0$

বা, $5x² + 7x - 24 = 0$

বা, $5x² + (15 - 8)x - 24 = 0$

বা, $5x² + 15x - 8x - 24 = 0$

বা, $5x(x + 3) - 8(x + 3) = 0$

বা, $(x + 3)(5x - 8) = 0$

হয়,

$x + 3=0$

বা, $x = -3$ [স্রোতের বেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

অথবা,

$5x - 8 = 0$

বা, $5x = 8$

বা, $x = \frac{8}{5}$

বা, $x = 1\frac{3}{5}$

সুতরাং স্রোতের বেগ $1\frac{3}{5}$ কিমি/ঘণ্টা

Ans. স্রোতের বেগ $1\frac{3}{5}$ কিমি/ঘণ্টা

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘণ্টায় 15 কিমি. বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘণ্টা আগে পৌঁছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $x$ কিমি.

সুতরাং এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় $x-15$ কিমি.

সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনটি

$x$ কিমি যায় 1 ঘন্টায়

1 কিমি যায় $\frac{1}{x}$ ঘন্টায়

180 কিমি যায় $\frac{1×180}{x}$ ঘন্টায়

= $\frac{180}{x}$

এবং এক্সপ্রেস ট্রেনটি

$(x-15)$ কিমি যায় 1 ঘন্টায়

1 কিমি যায় $\frac{1}{x-15}$ ঘন্টায়

180 কিমি যায় $\frac{1×180}{x-15}$ ঘন্টায়

= $\frac{180}{x-15}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

$\frac{180}{x-15} - \frac{180}{x} = 1$

বা, $\frac{180x-180(x-15)}{(x-15)x} = 1$

বা, $\frac{180x-180x+2700}{x²-15x} = 1$

বা, $\frac{2700}{x²-15x} = 1$

বা, $x²-15x = 2700$

বা, $x²-15x-2700 = 0$

বা, $x²-(60-45)x-2700 = 0$

বা, $x²-60x+45x-2700 = 0$

বা, $x(x-60)+45(x-60) = 0$

বা, $(x-60)(x+45) = 0$

হয়,

$x - 60 = 0$

বা, $x = 60$

অথবা,

$x + 45 = 0$

বা, $x = -45$ [ট্রেনের গতিবেগ ঋনাত্মক হতে পারে না তাই এই মানটি অগ্রাজ্য করি]

সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $60$ কিমি

Ans. সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় $60$ কিমি

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমাণের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

উত্তর:

ধরি, প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $x$ টাকা

সুতরাং প্রতি কিগ্রা ডালের দাম $(x-20)$ টাকা

এবং প্রতি কিগ্রা চালের দাম $(x-40)$ টাকা

এখন,

$x$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

$1$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় $\frac{1}{x}$ কিগ্রা

$240$ টাকায় মাছ পাওয়া যায় $\frac{1×240}{x}$ কিগ্রা

= $\frac{240}{x}$

$(x-20)$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

$1$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় $\frac{1}{x-20}$ কিগ্রা

$240$ টাকায় ডাল পাওয়া যায় $\frac{1×240}{x-20}$ কিগ্রা

= $\frac{240}{x-20}$

$(x-40)$ টাকায় চাল পাওয়া যায় 1 কিগ্রা

$1$ টাকায় চাল পাওয়া যায় $\frac{1}{x-40}$ কিগ্রা

$280$ টাকায় চাল পাওয়া যায় $\frac{1×280}{x-40}$ কিগ্রা

= $\frac{280}{x-40}$

প্রশ্নানুযায়ী দ্বিঘাত সমীকরণটি হল,

$\frac{240}{x} + \frac{240}{x-20} = \frac{280}{x-40}$

বা, $\frac{6}{x} + \frac{6}{x-20} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{6(x-20)+6×x}{x(x-20)} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{6x-120+6x}{x²-20x} = \frac{7}{x-40}$

বা, $\frac{12x-120}{x²-20x} = \frac{7}{x-40}$

বা, $(12x-120)(x-40) = 7(x²-20x)$

বা, $12x²-480x-120x+4800 = 7x²-140x$

বা, $12x²-480x-120x+4800-7x²+140x=0$

বা, $5x²-460x+4800=0$

বা, $x²-92x+960=0$

বা, $x²-(80+12)x+960=0$

বা, $x²-80x-12x+960=0$

বা, $x(x-80)-12(x-80)=0$

বা, $(x-80)(x-12)=0$

হয়,

$x-80=0$

বা, $x = 80$

অথবা,

$x-12=0$

বা, $x = 12$ [মাছের দাম প্রতি কিগ্রা 12 টাকা হলে ডাল ও চালের দাম ঋনাত্মক হবে,তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।]

সুতরাং প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $80$ টাকা

Ans. প্রতি কিগ্রা মাছের দাম $80$ টাকা

দশম শ্রেণীর অংক - কষে দেখি 14 - অংশীদারি কারবার || Class X - Math - Exercise 14 - Partnership Business

2023-02-12T20:44:00.000+05:30

অংশীদারি কারবার - দশম শ্রেণী

অংক
কষে দেখি - 14

WBBSE
Class X
Math
Exercise - 14
PARTNERSHIP BUSINESS

1. আমি ও আমার বন্ধু মালা দুজনে যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 25,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করলাম। এক বছরে 16,800 টাকা লাভ হলো। হিসাব করে দেখি আমরা কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাব?

উত্তর:

আমার মূলধন 15,000 টাকা

আমার বন্ধু মালার মূলধন 25,000 টাকা

এক বছরে লাভ হয় 16,800 টাকা

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

সুতরাং আমার মূলধন : মালার মূলধন

= 15,000 : 25,000

= 15 : 25

= 3 : 5

লাভের 16,800 টাকার মধ্যে আমি পাব = $\frac{3}{3+5}×16,800$ টাকা

= $\frac{3}{8}×16,800$ টাকা

= 6,300$ টাকা

লাভের 16,800 টাকার মধ্যে মালা পাবে = $\frac{5}{3+5}×16,800$ টাকা

= $\frac{5}{8}×16,800$ টাকা

= 10,500$ টাকা

Ans. আমি পাবো লাভের 6,300 টাকা এবং আমার বন্ধু মালা পাবে লাভের 10,500 টাকা।

2. প্রিয়ম, সুপ্রিয়া ও বুলু যথাক্রমে 15000 টাকা, 10000 টাকা এবং 25000 টাকা দিয়ে একটি ছোটো মুদির দোকান খুলল। কিন্তু বৎসরান্তে 3000 টাকা লোকসান হলো। কাকে কত টাকা লোকসানের পরিমাণ দিতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রিয়মের মূলধন 15000 টাকা

সুপ্রিয়ার মূলধন 10000 টাকা

বুলুর মূলধন 25000 টাকা

বছর শেষে লোকসান হয় 3000 টাকা

লোকসানের টাকা মূলধনের অনুপাতে সবাই ভাগ করে দেবে।

∴ মূলধনের অনুপাত,

প্রিয়ম : সুপ্রিয়া : বুলু

= 15000 : 10000 : 25000

= 15 : 10 : 25

= 3 : 2 : 5

লোকসানের 3000 টাকার মধ্যে প্রিয়ম দেবে = $\frac{3}{3+2+5}×3000$ টাকা

= $\frac{3}{10}×3000$ টাকা

= 900 টাকা

লোকসানের 3000 টাকার মধ্যে সুপ্রিয়া দেবে = $\frac{2}{3+2+5}×3000$ টাকা

= $\frac{2}{10}×3000$ টাকা

= 600 টাকা

লোকসানের 3000 টাকার মধ্যে বুলু দেবে = $\frac{5}{3+2+5}×3000$ টাকা

= $\frac{5}{10}×3000$ টাকা

= 1500 টাকা

Ans. লোকসানের 900 টাকা দেবে প্রিয়ম, 900 টাকা দেবে সুপ্রিয়া এবং 1500 টাকা দেবে বুলু।

3. শোভা ও মাসুদ দুজনে মিলে 2,50,000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 2,62,500 টাকায় বিক্রি করলেন। গাড়িটি কেনার সময়ে শোভা মাসুদের $1\frac{1}{2}$ গুণ টাকা দিয়ে থাকলে, কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

গাড়ির ক্রয়মূল্য = 2,50,000 টাকা

গাড়ির বিক্রয়মূল্য = 2,62,500 টাকা

গাড়ির বিক্রয় করে লাভ হল = (2,62,500 - 2,50,000) টাকা

= 62,500 টাকা

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

শোভার মূলধন মাসুদের $1\frac{1}{2}$ গুণ

অর্থাৎ মাসুদের মূলধন $x$ টাকা হলে

শোভার মূলধন হবে = $1\frac{1}{2}×x$ টাকা

= $\frac{3}{2}×x$ টাকা

= $\frac{3x}{2}$ টাকা

সুতরাং শোভার মূলধন : মাসুদের মূলধন

= $\frac{3x}{2} : x$

= $3x : 2x$

= 3 : 2

লাভের 62,500 টাকার মধ্যে শোভা পাবে = $\frac{3}{3+2}×62,500$ টাকা

= $\frac{3}{5}×62,500$ টাকা

= 37,500 টাকা

লাভের 62,500 টাকার মধ্যে মাসুদ পাবে = $\frac{2}{3+2}×62,500$ টাকা

= $\frac{2}{5}×62,500$ টাকা

= 25,000 টাকা

Ans. শোভা পাবে 37,500 টাকা এবং মাসুদ পাবে 25,000 টাকা

4. তিনবন্ধু যথাক্রমে 5000 টাকা, 6000 টাকা ও 7000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যাবসা শুরু করার এক বছর পর দেখলেন 1800 টাকা লোকসান হয়েছে। মূলধন ঠিক রাখার জন্য প্রত্যেকে লোকসানের পরিমাণ দিয়ে দেবেন বলে সিদ্ধান্ত করেন। তাদের কাকে কত টাকা দিতে হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রথম বন্ধুর মূলধন 5000 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধন 6000 টাকা

তৃতীয় বন্ধুর মূলধন 7000 টাকা

বছর শেষে লোকসান হয় 1800 টাকা

লোকসানের টাকা মূলধনের অনুপাতে সবাই ভাগ করে দেবে।

∴ মূলধনের অনুপাত,

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু : তৃতীয় বন্ধু

= 5000 : 6000 : 7000

= 5 : 6 : 7

লোকসানের 1800 টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু দেবে = $\frac{5}{5+6+7}×1800$ টাকা

= $\frac{5}{18}×1800$ টাকা

= 500 টাকা

লোকসানের 1800 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু দেবে = $\frac{6}{5+6+7}×1800$ টাকা

= $\frac{6}{18}×1800$ টাকা

= 600 টাকা

লোকসানের 1800 টাকার মধ্যে তৃতীয় বন্ধু দেবে = $\frac{7}{5+6+7}×1800$ টাকা

= $\frac{7}{18}×1800$ টাকা

= 700 টাকা

Ans. লোকসানের 500 টাকা দেবে প্রথম বন্ধু, 600 টাকা দেবে দ্বিতীয় বন্ধু এবং 700 টাকা দেবে তৃতীয় বন্ধু।

5. দীপু, রাবেয়া ও মেঘা যথাক্রমে 6500 টাকা, 5200 টাকা ও 9,100 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ছোটো ব্যাবসা শুরু করল ও ঠিক একবছর পরে 14,400 টাকা লাভ হলো। ওই লাভের $\frac{2}{3}$ অংশ তারা সমানভাবে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে নির্ণয় করি।

উত্তর:

দীপুর মূলধন 6,500 টাকা

রাবেয়ার মূলধন 5,200 টাকা

মেঘার মূলধন 9,100 টাকা

একবছর পর লাভ হয় 14,400 টাকা

লাভের $\frac{2}{3}$ অংশ সমানভাবে ভাগ করা হয়।

অর্থাৎ সমানভাবে ভাগ করা হবে = $14,400×\frac{2}{3}$ টাকা

= 9,600 টাকা

এবং সমান অংশের প্রত্যেকে পাবে = (9,600 ÷ 3) টাকা

= 3,200 টাকা

এবং মূলধন অনুপাতে ভাগ করা হবে = (14,400 - 9,600) টাকা

= 4,800 টাকা

∴ মূলধনের অনুপাত,

দীপু : রাবেয়া : মেঘা

= 6,500 : 5,200 : 9,100

= 65 : 52 : 91

= 5 : 4 : 7

লাভের 14,400 টাকার মধ্যে দীপু পাবে = $\frac{5}{5+4+7}×4,800$ টাকা

= $\frac{5}{16}×4,800$ টাকা

= 1,500 টাকা

লাভের 14,400 টাকার মধ্যে রাবেয়া পাবে = $\frac{4}{5+4+7}×4,800$ টাকা

= $\frac{4}{16}×4,800$ টাকা

= 1,200 টাকা

লাভের 14,400 টাকার মধ্যে মেঘা পাবে = $\frac{7}{5+4+7}×4,800$ টাকা

= $\frac{7}{16}×4,800$ টাকা

= 2,100 টাকা

∴ দীপু মোট পাবে = (3,200 + 1,500) টাকা

= 4,700 টাকা

রাবেয়া মোট পাবে = (3,200 + 1,200) টাকা

= 4,400 টাকা

এবং মেঘা মোট পাবে = (3,200 + 2,100) টাকা

= 5,300 টাকা

Ans. মোট লভ্যাংশের মধ্যে দীপু পাবে 4,700 টাকা, রাবেয়া পাবে 4,400 টাকা এবং মেঘা পাবে 5,300 টাকা ।

6. তিনবন্ধু যথাক্রমে 8000 টাকা, 10000 টাকা ও 12000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাংক থেকে কিছু টাকা ধার নিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রথম বন্ধুর মূলধন 8000 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধন 10000 টাকা

তৃতীয় বন্ধুর মূলধন 12000 টাকা

বছর শেষে লাভ হয় 13400 টাকা

ব্যাংকের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেন।

∴ ব্যাংকের কিস্তি শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে = (13400 - 5000) টাকা

= 8400 টাকা

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত,

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু : তৃতীয় বন্ধু

= 8000 : 10000 : 12000

= 8 : 10 : 12

= 4 : 5 : 6

লাভের 8400 টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু পাবেন = $\frac{4}{4+5+6}×8400$ টাকা

= $\frac{4}{15}×8400$ টাকা

= 2240 টাকা

লাভের 8400 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু পাবেন = $\frac{5}{4+5+6}×8400$ টাকা

= $\frac{5}{15}×8400$ টাকা

= 2800 টাকা

লাভের 8400 টাকার মধ্যে তৃতীয় বন্ধু পাবেন = $\frac{6}{4+5+6}×8400$ টাকা

= $\frac{6}{15}×8400$ টাকা

= 3360 টাকা

Ans. তিনবন্ধু লভ্যাংশ থেকে পাবেন যথাক্রমে 2240 টাকা, 2800 টাকা এবং 3360 টাকা।

7. দুই বছরের মধ্যে টাকা ফেরত দিলে কোনো সুদ দিতে হবে না এই শর্তে তিন বন্ধু একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যথাক্রমে 6000 টাকা, 8000 টাকা, ও 5000 টাকা ধার নিয়ে যৌথভাবে চারটি সাইকেল রিকশা ক্রয় করেন। দুই বছর পর হিসাব করে দেখা যায় সমস্ত খরচ-খরচা বাদ দিয়ে মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে। তারা সেই আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর প্রত্যেকে নিজ নিজ ঋণের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেন। এখন কার হাতে কত টাকা থাকবে এবং তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

সমবায় ব্যাংক থেকে ধার নেওয়ার পর,

প্রথম বন্ধুর মূলধন 6000 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধন 8000 টাকা

তৃতীয় বন্ধুর মূলধন 5000 টাকা

বছর শেষে আয় হয় 30400 টাকা

মোট আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেয়।

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু : তৃতীয় বন্ধু

= 6000 : 8000 : 5000

= 6 : 8 : 5

আয়ের 30400 টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু পাবে = $\frac{6}{6+8+5}×30400$ টাকা

= $\frac{6}{19}×30400$ টাকা

= 9600 টাকা

আয়ের 30400 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = $\frac{8}{6+8+5}×30400$ টাকা

= $\frac{8}{19}×30400$ টাকা

= 12800 টাকা

আয়ের 8400 টাকার মধ্যে তৃতীয় বন্ধু পাবে = $\frac{5}{6+8+5}×30400$ টাকা

= $\frac{5}{19}×30400$ টাকা

= 8000 টাকা

প্রত্যেকে তাদের নিজ নিজ ঋণের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেওয়ার পর

প্রথম বন্ধুর হাতে থাকবে = (9600 - 6000) টাকা

= 3600 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর হাতে থাকবে = (12800 - 8000) টাকা

= 4800 টাকা

তৃতীয় বন্ধুর হাতে থাকবে = (8000 - 5000) টাকা

= 3000 টাকা

হাতে থাকা টাকার আনুপাত,

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু : তৃতীয় বন্ধু

= 3600 : 4800 : 3000

= 36 : 48 : 30

= 6 : 8 : 5

Ans. ব্যাংকের ঋণ শোধ দেওয়ার পর তিনবন্ধু হাতে থাকবে যথাক্রমে 3600 টাকা, 4800 টাকা এবং 3000 টাকা। এবং হাতে থাকা টাকার আনুপাত যথাক্রমে 6 : 8 : 5

8. তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন। প্রথমজন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন। তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের $\frac{2}{5}$ অংশ কাজের জন্য 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন। কোনো একমাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে, কত টাকা পাবেন নির্ণয় করি।

উত্তর:

প্রথম বন্ধুর মূলধন 1,20,000 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধন 1,50,000 টাকা

তৃতীয় বন্ধুর মূলধন 1,10,000 টাকা

বছর শেষে আয় হয় 29,260 টাকা

মোট আয়ের $\frac{2}{5}$ অংশ কাজের 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করবেন।

কাজের অনুপাতে ভাগের অংশ = 29,260 × $\frac{2}{5}$ টাকা

= 11,704 টাকা

এখানে কাজের অনুপাত,

প্রথম বন্ধু (ড্রাইভার) : দ্বিতীয় বন্ধু (কন্ডাক্টর) : তৃতীয় বন্ধু (কন্ডাক্টর)

= $3:2:2$

∴ কাজের 11,704 টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু (ড্রাইভার) পাবে = $\frac{3}{3+2+2}×11,704$ টাকা

= $\frac{3}{7}×11,704$ টাকা

= 5,016 টাকা

কাজের 11,704 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু (কন্ডাক্টর) পাবে = $\frac{2}{3+2+2}×11,704$ টাকা

= $\frac{2}{7}×11,704$ টাকা

= 3,344 টাকা

কাজের 11,704 টাকার মধ্যে তৃতীয় বন্ধু (কন্ডাক্টর) পাবে = $\frac{2}{3+2+2}×11,704$ টাকা

= $\frac{2}{7}×11,704$ টাকা

= 3,344 টাকা

কাজের অনুপাতে ভাগ করার পর বাকি থাকে = (29,260 - 11,704) টাকা

= 17,556 টাকা

বাকি আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেয়।

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত,

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু : তৃতীয় বন্ধু

= 1,20,000 : 1,50,000 : 1,10,000

= 12 : 15 : 11

বাকি আয়ের 17,556 টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু পাবে = $\frac{12}{12+15+11}×17,556$ টাকা

= $\frac{12}{38}×17,556$ টাকা

= 5,544 টাকা

বাকি আয়ের 17,556 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = $\frac{15}{12+15+11}×17,556$ টাকা

= $\frac{15}{38}×17,556$ টাকা

= 6,930 টাকা

বাকি আয়ের 17,556 টাকার মধ্যে তৃতীয় বন্ধু পাবে = $\frac{11}{12+15+11}×17,556$ টাকা

= $\frac{11}{38}×17,556$ টাকা

= 5,082 টাকা

∴ প্রথম বন্ধু মোট পাবে = (5,016 + 5,544) টাকা

= 10,560 টাকা

দ্বিতীয় বন্ধু মোট পাবে = (3,344 + 6,930) টাকা

= 10,274 টাকা

এবং তৃতীয় বন্ধু মোট পাবে = (3,344 + 5,082) টাকা

= 8,426 টাকা

Ans. তিন বন্ধু পায় যথাক্রমে 10,560 টাকা, 10,274 টাকা এবং 8,426 টাকা।

9. বছরের প্রথমে প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবি যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা নিয়ে ব্যবসা শুরু করেন। পাঁচ মাস পর প্রদীপবাবু আরও 4000 টাকা মূলধন দেন। বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে, কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

প্রদীপবাবুর মূলধন 24000 টাকা খেটেছে 1 বছর বা 12 মাসের জন্য এবং 4000 টাকা খেটেছে (12-5)= 7 মাসের জন্য

আমিনাবিবির মূলধন 30000 টাকা খেটেছে পুরো 1 বছর বা 12 মাসের জন্য

মাস হিসেবে প্রদীপবাবুর মূলধন = (24000 × 12 + 4000 ×7) টাকা

= (288000 + 28000) টাকা

= 316000 টাকা

মাস হিসেবে আমিনাবিবির মূলধন = (30000 × 12) টাকা

= 360000 টাকা

বছর শেষে লাভ হয় 27716 টাকা

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত

প্রদীপবাবু : আমিনাবিবি

= 316000 : 360000

= 316 : 360

= 79 : 90

∴ লাভের 27716 টাকার মধ্যে প্রদীপবাবু পাবেন = $\frac{79}{79+90}×27716$ টাকা

= $\frac{79}{169}×27716$ টাকা

= 12956 টাকা

এবং লাভের 27716 টাকার মধ্যে আমিনাবিবি পাবেন = $\frac{90}{79+90}×27716$ টাকা

= $\frac{90}{169}×27716$ টাকা

= 14760 টাকা

Ans. লভ্যাংশ থেকে প্রদীপবাবু পাবেন 12956 টাকা এবং আমিনাবিবি পাবেন 14760 টাকা

10. নিয়ামতচাচা ও করবীদিদি যথাক্রমে 30,000 টাকা ও 50,000 টাকা মূলধন দিয়ে যৌথভাবে একটি ব্যাবসা আরম্ভ করলেন। 6 মাস পরে নিয়ামতচাচা আরও 40,000 টাকা লগ্নি করলেন, কিন্তু করবীদিদি ব্যক্তিগত প্রয়োজনে 10,000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে যদি 19,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তাহলে কে, কত টাকা লাভ পাবেন হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

নিয়ামতচাচার 30,000 টাকা 6 মাসের জন্য ও (30,000 + 40,000) = 70,000 টাকা বাকি 6 মাসের জন্য খেটেছে।

করবীদিদির 50,000 টাকা 6 মাসের জন্য ও (50,000 - 10,000) = 40,000 টাকা বাকি 6 মাসের জন্য খেটেছে।

∴ মাস হিসেবে নিয়ামতচাচার মূলধন = (30,000 × 6 + 70,000 × 6) টাকা

= (1,80,000 + 4,20,000) টাকা

= 6,00,000 টাকা

এবং মাস হিসেবে করবীদিদির মূলধন = (50,000 × 6 + 40,000 × 6) টাকা

= (3,00,000 + 2,40,000) টাকা

= 5,40,000 টাকা

বছর শেষে লাভ হয় 19,000 টাকা

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

তাদের মূলধনের অনুপাত

নিয়ামতচাচা : করবীদিদি

= 6,00,000 : 5,40,000

= 600 : 540

= 10 : 9

∴ লাভের 19,000 টাকার মধ্যে নিয়ামতচাচা পাবেন = $\frac{10}{10+9}×19,000$ টাকা

= $\frac{10}{19}×19,000$ টাকা

= 10,000 টাকা

এবং লাভের 19,000 টাকার মধ্যে করবীদিদি পাবেন = $\frac{9}{10+9}×19,000$ টাকা

= $\frac{9}{19}×19,000$ টাকা

= 9,000 টাকা

Ans. লভ্যাংশ থেকে নিয়ামতচাচা পাবেন 10,000 টাকা এবং করবীদিদি পাবেন 9,000 টাকা

11. বছরের শুরুতে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন 2,40,000 টাকা ও 3,00,000 টাকা দিয়ে একটি মিনিবাস ক্রয় করে চালাতে থাকেন। চার মাস পর তাদের বন্ধু পিটার 81,000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দিলে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন তাদের মূলধনের অনুপাতে সেই টাকা তুলে নেন। বছরের শেষে 39,150 টাকা লাভ হলে, লভ্যাংশ থেকে কে, কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বছরের শুরুতে শ্রীকান্তের মূলধন 2,40,000 টাকা

এবং বছরের শুরুতে সৈফুদ্দিনের মূলধন 3,00,000 টাকা

চার মাস পর তাদের বন্ধু পিটার 81,000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দিলে

পিটারের 81,000 টাকা শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন তাদের মূলধনের অনুপাতে তুলে নেন।

শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিনের মূলধনের অনুপাত,

শ্রীকান্ত : সৈফুদ্দিন

= 2,40,000 : 3,00,000

= 24 : 30

= 4 : 5

পিটারের 81,000 টাকার মধ্যে শ্রীকান্ত পাবেন = $\frac{4}{4+5}×81,000$ টাকা

= $\frac{4}{9}×81,000$ টাকা

= 36,000 টাকা

পিটারের 81,000 টাকার মধ্যে সৈফুদ্দিন পাবেন = $\frac{5}{4+5}×81,000$ টাকা

= $\frac{5}{9}×81,000$ টাকা

= 45,000 টাকা

বছর শেষে লাভ হয় 39,150 টাকা

শ্রীকান্তের 2,40,000 টাকা খাটে 4 মাসের জন্য ও (2,40,000 - 36,000) = 2,04,000 টাকা খাটে বাকি (12 -4)= 8 মাসের জন্য।

সৈফুদ্দিনের 3,00,000 টাকা খাটে 4 মাসের জন্য ও (3,00,000 - 45,000) = 2,55,000 টাকা খাটে বাকি (12 -4)= 8 মাসের জন্য।

এবং পিটারের 81,000 টাকা খাটে (12 -4)= 8 মাসের জন্য

∴ মাস হিসেবে শ্রীকান্তের মূলধন = (2,40,000 × 4 + 2,04,000 × 8) টাকা

= (9,60,000 + 16,32,000) টাকা

= 25,92,000 টাকা

মাস হিসেবে সৈফুদ্দিনের মূলধন = (3,00,000 × 4 + 2,55,000 × 8) টাকা

= (12,00,000 + 20,40,000) টাকা

= 32,40,000 টাকা

এবং মাস হিসেবে পিটারের এবং মূলধন = (81,000 × 8) টাকা

= 6,48,000 টাকা

লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত,

শ্রীকান্ত : সৈফুদ্দিন : পিটার

= 25,92,000 : 32,40,000 : 6,48,000

= 2592 : 3240 : 648

= 324 : 405 : 81

= 36 : 45 : 9

= 4 : 5 : 1

∴ লাভের 39,150 টাকার মধ্যে শ্রীকান্ত পাবেন = $\frac{4}{4+5+1}×39,150$ টাকা

= $\frac{4}{10}×39,150$ টাকা

= 15,660 টাকা

লাভের 39,150 টাকার মধ্যে সৈফুদ্দিন পাবেন = $\frac{5}{4+5+1}×39,150$ টাকা

= $\frac{5}{10}×39,150$ টাকা

= 19,575 টাকা

এবং লাভের 39,150 টাকার মধ্যে পিটার পাবেন = $\frac{1}{4+5+1}×39,150$ টাকা

= $\frac{1}{10}×39,150$ টাকা

= 3,915 টাকা

Ans. লভ্যাংশ থেকে শ্রীকান্ত পাবেন 15,660 টাকা এবং সৈফুদ্দিন পাবেন 19,575 টাকা এবং পিটার পাবেন 3,915 টাকা

12. বছরের প্রথমে অরুণ ও অজয় যথাক্রমে 24,000 টাকা ও 30,000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যাবসা শুরু করেন। কিন্তু কয়েক মাস পরে অরুণ আরও 12,000 টাকা ওই ব্যবসায়ে মূলধন দেন। বছরের শেষে ওই ব্যবসায়ে 14,030 টাকা লাভ হলো এবং অরুণ 7,130 টাকা লভ্যাংশ পেলেন। অরুণ কত মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন নির্ণয় করি।

উত্তর:

ধরি, অরুণ $x$ মাস পরে আরও 12,000 টাকা ওই ব্যবসায় নিয়োগ করে।

অরুণের মূলধন 24,000 টাকা খাটে $x$ মাসের জন্য ও বাকি (12 - $x$) মাসের জন্য খাটে (24,000 + 12,000) = 36,000 টাকা

অজয়ের মূলধন 30,000 টাকা খাটে 12 মাসের জন্য

∴ মাস হিসেবে অরুণের মূলধন = {24,000 × $x$ + 36,000 ×(12 - $x$)} টাকা

= ($24,000x + 4,32,000 - 36,000x) টাকা

= (4,32,000 - 12,000x) টাকা

মাস হিসেবে অজয়ের মূলধন = (30,000 × 12) টাকা

= 3,60,000 টাকা

বছর শেষে লাভ হয় 14,030 টাকা এবং লভ্যাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে।

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত,

অরুণ : অজয়

= (4,32,000 - 12,000x) : 3,60,000

= 12000×(36 - x) : 12000×30

= (36 - x) : 30

∴ লাভের 14,030 টাকার মধ্যে অরুণ পাবেন = $\frac{(36 - x)}{(36 - x)+30}×14,030 $ টাকা

= $\frac{36 - x}{36 - x+30}×14,030 $ টাকা

= $\frac{36 - x}{66 - x}×14,030 $ টাকা

প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{36 - x}{66 - x}×14,030$ = 7,130

বা, $(36 - x) × 14,030 = 7,130 × (66 - x)$

বা, $5,05,080 - 14,030x = 4,70,580 - 7,130x$

বা, $5,05,080 - 4,70,580 = - 7,130x + 14,030x$

বা, $34,500 = 6900x$

বা, $6900x = 34,500$

বা, $x = \frac{34,500}{6900}$

বা, $x = 5$

Ans. অরুণ 5 মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন

13. কুমারটুলির তিনজন মৃৎশিল্পী একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যৌথভাবে 100000 টাকা ধার করে মৃৎশিল্পের একটি কারখানা স্থাপন করেন। তারা এই চুক্তি করেন যে প্রতি বছর ব্যাংকের কিস্তি 28100 টাকা দেওয়ার পর বাকি লাভের অর্ধেক কাজের দিনের অনুপাতে এবং বাকি অর্ধেক সমান ভাগে ভাগ করে নেবেন। গত বছর তারা যথাক্রমে 300 দিন, 275 দিন ও 350 দিন কাজ করেছেন এবং মোট লাভ হয়েছে 139100 টাকা। কে, কত টাকা পেয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বছর শেষে লাভ হয় 139100 টাকা

ব্যাংকের কিস্তি দেয় 28100 টাকা

ব্যাংকের কিস্তি দেওয়ার পর বাকি থাকে = (139100 - 28100) টাকা

= 111000 টাকা

∴ 111000 টাকার অর্ধেক সমান ভাগে ভাগ করে ও অর্ধেক কাজের দিনের অনুপাতে ভাগ করে

∴ সমান ভাগে ভাগ করে = 111000 ÷ 2 টাকা

= 55500 টাকা

সমান ভাগের প্রত্যেকে পায় = 55500 ÷ 3 টাকা

= 18500 টাকা

এবং কাজের দিনের অনুপাতে ভাগ করে বাকি =(111000 - 55500) টাকা = 55500 টাকা

∴ কাজের দিনের অনুপাত,

প্রথম মৃৎশিল্পী : দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী : তৃতীয় মৃৎশিল্পী

= 300 : 275: 350

= 12 : 11 : 14

লাভের বাকি 55500 টাকার মধ্যে প্রথম মৃৎশিল্পী পাবেন = $\frac{12}{12+11+14}×55500 $ টাকা

= $\frac{12}{37}×55500 $ টাকা

= 18000 টাকা

লাভের বাকি 55500 টাকার মধ্যে দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী পাবেন = $\frac{11}{12+11+14}×55500 $ টাকা

= $\frac{11}{37}×55500 $ টাকা

= 16500 টাকা

লাভের বাকি 55500 টাকার মধ্যে তৃতীয় মৃৎশিল্পী পাবেন = $\frac{14}{12+11+14}×55500 $ টাকা

= $\frac{14}{37}×55500 $ টাকা

= 21000 টাকা

∴ প্রথম মৃৎশিল্পী মোট পেয়েছিল = 18500 + 18000 টাকা

= 36500 টাকা

দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী মোট পেয়েছিল = 18500 + 16500 টাকা

= 35000 টাকা

এবং তৃতীয় মৃৎশিল্পী মোট পেয়েছিল = 18500 + 21000 টাকা

= 39500 টাকা

Ans. তিনজন মৃৎশিল্পী পেয়েছিল যথাক্রমে 36500 টাকা, 35000 টাকা ও 39500 টাকা

14. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করেন। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

ধরি, প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ = $x$ টাকা

∴ দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ = $x+800$ টাকা

∴ মোট লাভ হয় = $x + (x+800)$ টাকা

= $(2x+800)$ টাকা

দেওয়া আছে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে।

সমান ভাবে ভাগের অংশ = $(2x+800)$ এর 50% টাকা

= $(2x+800)×\frac{50}{100} $ টাকা

= $(x+400)$ টাকা

সমান ভাগের প্রত্যেকে পায় = (x+400) ÷ 2 টাকা

= $\frac{x+400}{2}$ টাকা

এবং মূলধনের অনুপাতে ভাগের অংশ $(x+400)$ টাকা

∴ তাদের মূলধনের অনুপাত,

প্রথম বন্ধু : দ্বিতীয় বন্ধু

= 40000 : 50000

= 4 : 5

লাভের বাকি $(x+400)$ টাকার মধ্যে প্রথম বন্ধু পাবে = $\frac{4}{4+5}×(x+400) $ টাকা

= $\frac{4}{9}×(x+400)$ টাকা

= $\frac{4x+1600}{9}$ টাকা

লাভের বাকি $(x+400)$ টাকার মধ্যে দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = $\frac{5}{4+5}×(x+400) $ টাকা

= $\frac{5}{9}×(x+400)$ টাকা

= $\frac{5x+2000}{9}$ টাকা

প্রশ্নানুযায়ী,

${\frac{5x+2000}{9} + (x+400)}$ - ${\frac{4x+1600}{9} + (x+400)}$ = 800

বা, $\frac{5x+2000}{9} - \frac{4x+1600}{9}$ = 800

বা, $\frac{5x+2000-4x-1600}{9}$ = 800

বা, $\frac{x+400}{9}$ = 800

বা, $x+400 = 7200$

বা, $x = 7200 - 400$

বা, $x = 6800$

Ans. প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা

15. পূজা, উত্তম ও মেহের যথাক্রমে 5000 টাকা, 7000 টাকা ও 10000 টাকা মূলধন নিয়ে অংশীদারি কারবার এই শর্তে শুরু করে যে (i) কারবার চালানোর মাসিক খরচ 125 টাকা, (ii) হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে মাসিক 200 টাকা পাবে। বছরের শেষে 6960 টাকা লাভ হলে, তা থেকে কে, কত টাকা পাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর:

বছরের শেষে লাভ হয় 6960 টাকা

কারবার চালানোর জন্য 1 মাসে খরচ 125 টাকা

∴ 12 মাসে খরচ = 125 × 12 টাকা

= 1500 টাকা

হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে মাসিক 200 টাকা

অর্থাৎ 1 মাসে পায় পূজা = 200 টাকা

12 মাসে পায় পূজা = 200 × 12 টাকা

= 2400 টাকা

∴ হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা বছরে পায় 2400 টাকা

অনুরুপ ভাবে হিসাবপত্র রাখার জন্য উত্তম বছরে পায় 2400 টাকা

কারবার চালানোর খরচ ও হিসাবপত্র রাখার খরচ বাদ দিয়ে

হাতে থাকে = {6960 -(1500 + 2400 +2400)} টাকা

= {6960 - 6300} টাকা

= 660 টাকা

বাকি লাভ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করা হবে,

পূজার মূলধন = 5000 টাকা

উত্তমের মূলধন = 7000 টাকা

মেহেরের মূলধন = 10000 টাকা

এবং তাদের মূলধনের অনুপাত,

পূজা : উত্তম : মেহের

= 5000 : 7000 : 10000

= 5 : 7 : 10

লাভের বাকি 660 টাকার মধ্যে পূজা পাবে = $\frac{5}{5+7+10}×660 $ টাকা

= $\frac{5}{22}×660$ টাকা

= 150 টাকা

লাভের বাকি 660 টাকার মধ্যে উত্তম পাবে = $\frac{7}{5+7+10}×660 $ টাকা

= $\frac{7}{22}×660$ টাকা

= 210 টাকা

লাভের বাকি 660 টাকার মধ্যে মেহের পাবে = $\frac{10}{5+7+10}×660 $ টাকা

= $\frac{10}{22}×660$ টাকা

= 300 টাকা

∴ পূজা মোট পাবে = (2400 + 150) টাকা = 2550 টাকা

উত্তম মোট পাবে = (2400 + 210) টাকা = 2610 টাকা

এবং মেহের পাবে = 300 টাকা

Ans. বছরের শেষে মোট লাভ থেকে পূজা পাবে 2550 টাকা, উত্তম পাবে 2610 টাকা এবং মেহের পাবে 300 টাকা।

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) কোন যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধন যথাক্রমে 200 টাকা, 150 টাকা ও 250 টাকা। একই সময় পরে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে

(a) $5:3:4$

(b) $4:3:5$

(d) $5:4:3$

Ans. (b) $4:3:5$

[ উত্তরের সংকেত: মূলধনের অনুপাত তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে,

তাদের মূলধনের অনুপাত,

= 200 : 150 : 250

= 4 : 3 : 5 ]

(ii) শুভেন্দু ও নৌসাদ যথাক্রমে 1500 এবং 1000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ব্যবসায় 75 টাকা ক্ষতি হলে, শুভেন্দুর ক্ষতি হয়

(a) 45 টাকা

(b) 30 টাকা

(d) 40 টাকা

Ans. (a) 45 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

মূলধনের অনুপাত = 1500 : 1000 = 3 : 2

শুভেন্দুর ক্ষতি = $\frac{3}{3+2}×75$ টাকা = 45 টাকা

অন্যভাবে,

1500+1000 = 2500 টাকায় ক্ষতি 75 টাকা

1 টাকায় ক্ষতি $\frac{75}{2500}$ টাকা

1500 টাকায় ক্ষতি $\frac{75×1500}{2500}$ টাকা

= 45 টাকা ]

(iii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করে

(a) 1000 টাকা

(b) 2000 টাকা

(d) 4000 টাকা

Ans. (c) 3000 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

মোট মূলধন 6000 টাকা এবং মোট লাভ = (50+100+150) টাকা = 300 টাকা।

∴ 300 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে 6000 টাকা

1 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে $\frac{6000}{300}$ টাকা

150 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে $\frac{6000×150}{300}$ টাকা

= 3000 টাকা]

(iv) অমল এবং বিমল একটি ব্যবসা শুরু করে। অমল 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং বিমল কিছু টাকা 6 মাসের জন্য ব্যবসায় নিয়োজিত করে। ব্যবসায় মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল লাভের 46 টাকা পায়। ব্যবসায় বিমলের মূলধন

(a) 1500 টাকা

(b) 3000 টাকা

(d) 6000 টাকা

Ans. (a) 1500 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

মোট লাভ 69 টাকা

বিমল লাভ 46 টাকা

∴ অমলের লাভ = (69 - 46) টাকা= 23 টাকা

23 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে 500×9 টাকা

1 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে $\frac{500×9}{23}$ টাকা

46 টাকা লাভের জন্য মূলধন লাগে $\frac{500×9×46}{23}$ টাকা

= 9000 টাকা

6 মাসের মূলধন 9000 টাকা

1 মাসের মূলধন $\frac{9000}{6}$ টাকা

=1500 টাকা ]

(v) পল্লবী 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং রাজিয়া 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি ব্যবসায় নিয়োজিত করে। লভ্যাংশ তাদের মধ্যে বণ্টিত হবে যে অনুপাতে তা হলো

(a) 3:2

(b) 5:6

(d) 9:5

Ans. (a) 3:2

[ উত্তরের সংকেত:

মূলধনের অনুপাত তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে,

তাদের মূলধনের অনুপাত,

পল্লবী : রাজিয়া

= 500×9 : 600×5

= 4500 : 3000

= 3 : 2 ]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে লোকের দরকার 3 জন ।

Ans. মিথ্যা

[ সঠিক বিবৃতি : অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে লোকের দরকার 2 জন।]

(ii) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।

Ans. মিথ্যা

[ সঠিক যুক্তি: আসিফ থেকে রাজুর মূলধন বেশি তাই রাজুর লাভের পরিমাণ বেশি হবে।]

(C) শূন্যস্থান পুরণ করি :

(i) অংশীদারি কারবার ____ ধরনের।

Ans. অংশীদারি কারবার দুই ধরনের

[ ব্যাখ্যা: অংশীদারি কারবার দুই প্রকার। যথাঃ (1) সরল (2) মিশ্র]

(ii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগণ সমান সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে ______ অংশীদারি কারবার বলে।

Ans. অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগণ সমান সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে সরল অংশীদারি কারবার বলে।

[ ব্যাখ্যা: অংশীদারগণের নিজ মূলধন যদি সমান সময় ধরে ব্যবসায়ে নিয়োজিত থাকে তবে তাকে সরল অংশীদারি (Simple Partnership) কারবার বলা হয়। ]

(iii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগণ ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে _____ অংশীদারি কারবার বলে।

Ans. অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগণ ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে মিশ্র অংশীদারি কারবার বলে।

[ ব্যাখ্যা: অংশীদারগণের নিজস্ব মূলধন যদি বিভিন্ন সময় ধরে ব্যবসায়ে নিয়োজিত থাকে তবে তাকে মিশ্র অংশীদারি (Compound Partnership) কারবার বলা হয়। ]

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি অংশীদারি ব্যবসায় সমীর, ইদ্রিশ এবং অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত $\frac{1}{6}:\frac{1}{5}:\frac{1}{4}$ ; বছরের শেষে ব্যবসায় মোট লাভ 3700 টাকা হলে, অ্যান্টনির লাভ কত হবে হিসাব করি।

Ans. 1500 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

তাদের মূলধনের অনুপাত
সমীর : ইদ্রিশ : অ্যান্টনি
=$\frac{1}{6}:\frac{1}{5}:\frac{1}{4}$

= $10:12:15$

অ্যান্টনির লভ্যাংশ = $\frac{15}{10+12+15}×3700$

= $\frac{15}{37}×3700$

= $1500$]

(ii) একটি অংশীদারি ব্যবসায় পৃথা ও রাবেয়ার মূলধনের অনুপাত 2 : 3 এবং রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত 4 : 5 হলে, পৃথা, রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত কত তা হিসাব করি।

Ans. 8:12:15

[ উত্তরের সংকেত:

পৃথা : রাবেয়া = 2 : 3 = 8 : 12

রাবেয়া : জেসমিন = 4 : 5 = 12 : 15

∴ পৃথা : রাবেয়া : জেসমিন = 8 : 12 : 15 ]

(iii) দুজনের একটি অংশীদারী ব্যবসায় মোট লাভ হয় 1500 টাকা। রাজীবের মূলধন 6000 টাকা এবং লাভ 900 টাকা হলে, আফতাবের মূলধন কত তা হিসাব করি।

Ans. 4000 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

রাজীবের মূলধন 6000 টাকা এবং লাভ 900 টাকা

মোট লাভ হয় 1500 টাকা

রাজীবের লাভ 900 টাকা হলে আফতাবের লাভ = 1500 - 900 টাকা = 600 টাকা

লাভ 900 টাকা যখন মূলধন 6000 টাকা

লাভ 1 টাকা যখন মূলধন $\frac{6000}{900}$ টাকা

লাভ 600 টাকা যখন মূলধন $\frac{6000×600}{900}$ টাকা

= 4000 টাকা ]

(iv) একটি অংশীদারি ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 8 : 5 এবং প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল হিসাব করি।

Ans. 480 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 8 : 5

ধরি, তিনজনের মূলধন যথাক্রমে = 3x, 8x ও 5x

মোট মূলধন = 3x + 8x + 5x

= 16x

∴ 5x - 3x ≌ 60 টাকা

বা, 2x ≌ 60 টাকা

বা, 16x ≌ 60×8 টাকা

বা, 16x ≌ 480 টাকা ]

(v) জয়ন্ত, অজিত এবং কুণাল মোট 15000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে। বছরের শেষে জয়ন্ত, অজিত এবং কুণালের যথাক্রমে লাভ হয় 800 টাকা, 1000 টাকা এবং 1200 টাকা। জয়ন্ত কত টাকা ব্যবসায় নিয়োজিত করে হিসাব করি।

Ans. 4000 টাকা

[ উত্তরের সংকেত:

মোট লাভ = (800 + 1000 + 1200) টাকা

= 3000 টাকা

লাভ 3000 টাকা যখন মূলধন 15000 টাকা

লাভ 1 টাকা যখন মূলধন $\frac{15000}{3000}$ টাকা

লাভ 800 টাকা যখন মূলধন $\frac{15000×800}{3000}$ টাকা

= 4000 টাকা ]

কষে দেখি 5.2 - অনুপাত ও সমানুপাত - দশম শ্রেণী || Exercise 5.2 - Ratio and Proportion - Class X

2023-02-05T13:50:00.000+05:30

কষে দেখি 5.2 - অনুপাত ও সমানুপাত - দশম শ্রেণী

অংক :: গণিত প্রভা

Exercise 5.2 - Ratio and Proportion - Class X

অনুপাত ও সমানুপাত

1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে $x$-এর মান নির্ণয় করি।

(i) $10:35::x:42$

উত্তর:

$10 : 35 : : x : 42$

∴ $\frac{10}{35}$ = $\frac{x}{42}$

বা, $35x$ = $42×10$

বা, $x$ = $\frac{42×10}{35}$

বা, $x$ = $12$

Ans. প্রদত্ত সমানুপাতে $x$-এর মান $12$

(ii) $x : 50 : : 3 : 2$

উত্তর:

$x:50::3:2$

∴ $\frac{x}{50}$ = $\frac{3}{2}$

বা, $2x$ = $50×3$

বা, $x$ = $\frac{50×3}{2}$

বা, $x$ = $75$

Ans. প্রদত্ত সমানুপাতে $x$-এর মান $75$

2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি:

(i) $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

উত্তর:

$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$

সুতরাং $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:: \frac{1}{5}:x$

বা, $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}$ = $\frac{\frac{1}{5}}{x}$

বা, $\frac{1}{3}×x$ = $\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$

বা, $\frac{x}{3}$ = $\frac{1}{20}$

বা, $x$ = $\frac{1}{20}×3$

বা, $x$ = $\frac{3}{20}$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $\frac{3}{20}$

(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.

উত্তর:

9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা. -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$ কিগ্রা.

∴ 9.6 কিগ্রা. : 7.6 কিগ্রা. : : 28.8 কিগ্রা. : $x$ কিগ্রা.

বা, $9.6 : 7.6 : : 28.8 : x$

বা, $\frac{9.6}{7.6}$ = $\frac{28.8}{x}$

বা, $9.6 × x$ = $28.8 × 7.6$

বা, $x$ = $\frac{28.8×7.6}{9.6}$

বা, $x$ = $\frac{288×76×10}{96×10×10}$

বা, $x$ = $\frac{228}{10}$

বা, $x$ = $22.8$

অর্থাৎ চতুর্থ সমানুপাতী $22.8$ কিগ্রা.

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $22.8$ কিগ্রা.

(iii) $x²y, y²z, z²x$

উত্তর:

$x²y, y²z, z²x$ -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $a$

∴ $x²y : y²z : : z²x : a$

বা, $\frac{x²y}{y²z}$ = $\frac{z²x}{a}$

বা, $x²y × a$ = $z²x × y²z$

বা, $a$ = $\frac{z²x × y²z}{x²y}$

বা, $a$ = $\frac{yz³}{x}$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $\frac{yz³}{x}$

(iv) $(p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)$

উত্তর:

$(p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)$ -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী $x$

∴ $(p-q) : (p²-q²) : : (p²-pq+q²) : x$

বা, $\frac{(p-q)}{(p²-q²)}$ = $\frac{(p²-pq+q²)}{x}$

বা, $(p-q) × x$ = $(p²-pq+q²) × (p²-q²)$

বা, $x$ = $\frac{(p²-pq+q²) × (p²-q²)}{(p-q)}$

বা, $x$ = $\frac{(p²-pq+q²) × (p+q) × (p-q)}{(p-q)}$

বা, $x$ = $(p+q)(p²-pq+q²)$

বা, $x$ = $(p³+q³)$

Ans. নির্ণয় চতুর্থ সমানুপাতী $(p³+q³)$

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) 5, 10

উত্তর:

5, 10 -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 5, 10 ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী

∴ $\frac{5}{10}$ = $\frac{10}{x}$

বা, $5 × x$ = $10 × 10$

বা, $x$ = $\frac{10 × 10}{5}$

বা, $x$ = $20$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $20$

(ii) 0.24, 0.6

উত্তর:

0.24, 0.6 -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ 0.24, 0.6 ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী

∴ $\frac{0.24}{0.6}$ = $\frac{0.6}{x}$

বা, $0.24 × x$ = $0.6 × 0.6$

বা, $x$ = $\frac{0.6 × 0.6}{0.24}$

বা, $x$ = $\frac{6 × 6 × 100}{24 × 10 × 10}$

বা, $x$ = $\frac{3}{2}$

বা, $x$ = $1.5$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $1.5$

(iii) $p³q², q²r$

উত্তর:

$p³q², q²r$ -এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী $x$

অর্থাৎ $p³q², q²r$ ও $x$ ক্রমিক সমানুপাতী

∴ $\frac{p³q²}{q²r}$ = $\frac{q²r}{x}$

বা, $p³q² × x$ = $q²r × q²r$

বা, $x$ = $\frac{q²r × q²r}{p³q²}$

বা, $x$ = $\frac{q²r²}{p³}$

Ans. নির্ণয় তৃতীয় সমানুপাতী $\frac{q²r²}{p³}$

বা, $x$ = $\frac{45}{10}$

বা, $x$ = $4.5$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $4.5$

(iii) $x³y$ এবং $xy³$

উত্তর:

$x³y$ এবং $xy³$ -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, $x³y$ এবং $xy³$ -এর মধ্যসমানুপাতী $a$

অর্থাৎ $x³y, a$ ও $xy³$ ক্রমিক সমানুপাতী

∴ $\frac{x³y}{a}$ = $\frac{a}{xy³}$

বা, $a × a$ = $x³y × xy³$

বা, $a²$ = $x⁴y⁴$

বা, $a$ = $\sqrt{x⁴y⁴}$

বা, $a$ = $\sqrt{x²y² × x²y²}$

বা, $a$ = $x²y²$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $x²y²$

(iv) $(x-y)², (x+y)²$

উত্তর:

$(x-y)²$ এবং $(x+y)²$ -এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, $(x-y)²$ এবং $(x+y)²$ -এর মধ্যসমানুপাতী $a$

অর্থাৎ $(x-y)², a$ ও $(x+y)²$ ক্রমিক সমানুপাতী

∴ $\frac{(x-y)²}{a}$ = $\frac{a}{(x+y)²}$

বা, $a × a$ = $(x-y)²×(x+y)²$

বা, $a²$ = $(x-y)²×(x+y)²$

বা, $a$ = $\sqrt{(x-y)²×(x+y)²}$

বা, $a$ = $(x-y)×(x+y)$

বা, $a$ = $x²-y²$

Ans. নির্ণয় মধ্যসমানুপাতী $x²-y²$

5. যদি a : b এবং c : d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

উত্তর: যদি a : b এবং c : d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর: তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে। যাদের একটি ক্রমবর্ধমান সমানুপাতী সংখ্যার সারি ও একটি ক্রমহ্রাসমান সমানুপাতী সংখ্যার সারি।

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।

উত্তর: প্রদত্ত ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6

এখন মনে করি পরবর্তী সমানুপাতীগুলো হল $a, b, c.$

এবং আমরা সমানুপাতীগুলো নিন্মলিখিত ভাবে লিখতে পারি।

$\frac{2}{6}$ = $\frac{6}{a}$ = $\frac{a}{b}$ = $\frac{b}{c}$

উপরউক্ত সম্পর্ক থেকে বোঝা যাচ্ছে অনুপাত গুলো 1 : 3 অনুসারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

∴ $\frac{2}{6}$ = $\frac{6}{18}$ = $\frac{18}{54}$ = $\frac{54}{162}$

সুতরাং পঞ্চম সমানুপাতীটি হল $162$ ।

Ans. পঞ্চম সমানুপাতীটি হল $162$ ।

2023-02-03T10:47:00.002+05:30

কষে দেখি – 1.2 || পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা

অংক :: গণিত প্রভা

সপ্তম শ্রেণী

Math
Class VII
Exercise - 1.2

শতকরা

1. (i) 2 টাকার 12$\frac{1}{2}$% কত পয়সা দেখি।

উত্তর:

= 2 টাকার 12$\frac{1}{2}$%

= 200 পয়সার $\frac{25}{2}$%

= 200 এর $\frac{25}{2×100}$ পয়সা

= 25 পয়সা

Ans. 2 টাকার 12$\frac{1}{2}$% = 25 পয়সা।

(ii) 840 গ্রামের 30% কত গ্রাম দেখি।

উত্তর:

= 840 গ্রামের 30%

= 840 এর $\frac{30}{100}$ গ্রাম

= 252 গ্রাম

Ans. 840 গ্রামের 30% = 252 গ্রাম

(iii) 25 টাকার 8% কত টাকা দেখি।

উত্তর:

= 25 টাকার 8%

= 25 এর $\frac{8}{100}$ টাকা

= 2 টাকা

Ans. 25 টাকার 8% = 2 টাকা

(iv) 55 গ্রাম, 5 কিলোগ্রামের শতকরা কত দেখি।

উত্তর:

55 গ্রামকে 5 কিলোগ্রামের শতকরায় প্রকাশ করে পাই

বা, 55 গ্রামকে 5000 গ্রামের শতকরায় প্রকাশ করে পাই,

= $\frac{55}{5000}$×100%

= $\frac{11}{10}$%

= $1\frac{1}{10}$%

Ans. 55 গ্রাম, 5 কিলোগ্রামের $1\frac{1}{10}$%

(v) 1.25 টাকা, 5 টাকার শতকরা কত দেখি।

উত্তর:

1.25 টাকাকে 5 টাকার শতকরায় প্রকাশ করে পাই

= $\frac{1.25}{5}$×100%

= $\frac{125}{5×100}$×100%

= 25%

Ans. 1.25 টাকা, 5 টাকার 25%

(vi) 16 লিটার 1000 লিটারের শতকরা কত দেখি।

উত্তর:

= $\frac{16}{1000}$×100%

= $\frac{16}{10}$%

= 1.6%

Ans. 16 লিটার 1000 লিটারের 1.6%

2. একটি বাড়ির $\frac{1}{5}$ অংশ রং করা হয়েছে। বাড়িটির শতকরা কত রং করা বাকি আছে হিসাব করি।

উত্তর:

বাড়িটির রং করা হয়েছে $\frac{1}{5}$ অংশ

∴ রং করা বাকি আছে = (1 - $\frac{1}{5}$) অংশ

= $\frac{5-1}{5}$ অংশ

= $\frac{4}{5}$ অংশ

আমরা জানি, 1 অংশ = 100%

∴ $\frac{4}{5}$ অংশ = $100 × \frac{4}{5}$%

= 80%

Ans. বাড়িটির শতকরা 80% রং করা বাকি আছে

3. নূরজাহানের শ্রেণিতে 30% ছাত্রী আছে। শ্রেণির মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 60 জন। হিসাব করে দেখি নূরজাহানের শ্রেণিতে মোট কতজন ছাত্র আছে।

উত্তর:

নূরজাহানের শ্রেণির মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা 60 জন

এদের মধ্যে ছাত্রী আছে 30%

∴ ছাত্রীর সংখ্যা = 60 × 30%

= 60 × $\frac{30}{100}$ জন

= 18 জন

∴ নূরজাহানের শ্রেণিতে ছাত্র আছে = (60 - 18) জন = 42 জন

Ans. নূরজাহানের শ্রেণিতে মোট 42 জন ছাত্র আছে।

4. 120 কিগ্রা. মিশ্র সারে ইউরিয়া ও পটাশের পরিমাণ যথাক্রমে 60% ও 40%; ওই মিশ্র সারে কোন সার কত কিগ্রা আছে হিসাব করে লিখি ।

উত্তর:

মোট মিশ্র সারের পরিমাণ = 120 কিগ্রা.

ইউরিয়ার পরিমাণ = 120 কিগ্রা. এর 60%

= 120 × 60% কিগ্রা.

= 120 × $\frac{60}{100}$ কিগ্রা.

= 72 কিগ্রা.

আবার,

পটাশের পরিমাণ = 120 কিগ্রা. এর 40%

= 120 × 40% কিগ্রা.

= 120 × $\frac{40}{100}$ কিগ্রা.

= 48 কিগ্রা.

Ans. ওই মিশ্র সারে ইউরিয়া আছে 72 কিগ্রা. ও পটাশ আছে 48 কিগ্রা.

5. আমার স্কুলের খাতার দাম ছিল 10 টাকা। এখন সেই খাতা আমি 12 টাকায় কিনি। হিসাব করে দেখি খাতার দাম শতকরা কত বেড়েছে।

উত্তর:

আমার স্কুলের খাতার দাম ছিল 10 টাকা

এখন স্কুলের খাতার দাম হয়েছে 12 টাকা

দাম বাড়ল = (12 - 10) টাকা

= 2 টাকা

10 টাকায় দাম বাড়ল 2 টাকা

1 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{2}{10}$ টাকা

100 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{2×100}{10}$ টাকা

= 20 টাকা

অর্থাৎ, দাম বাড়ল 20%

Ans. খাতার দাম বাড়ল 20%

অন্যভাবে,

আমার স্কুলের খাতার দাম ছিল 10 টাকা

এখন স্কুলের খাতার দাম হয়েছে 12 টাকা

দাম বাড়ল = (12 - 10) টাকা

= 2 টাকা

∴ শতকরা বাড়ল $\frac{2}{10}$ × 100 টাকা

= 20 টাকা

অর্থাৎ খাতার দাম 20% বাড়ল

Ans. খাতার দাম বাড়ল 20%

6. সুমিত্রার বাড়ি থেকে স্কুলে যেতে 4 টাকা বাসভাড়া লাগত। এখন তাকে ওই দূরত্ব যেতে 6 টাকা বাসভাড়া দিতে হয়। বাসভাড়া শতকরা কত বেড়েছে হিসাব করি।

উত্তর:

আগে স্কুলে যেতে বাসভাড়া লাগত 4 টাকা

এখন স্কুলে যেতে বাসভাড়া লাগে 6 টাকা

দাম বাড়ল = (6 - 4) টাকা

= 2 টাকা

4 টাকায় দাম বাড়ল 2 টাকা

1 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{2}{4}$ টাকা

100 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{2×100}{4}$ টাকা

= 50 টাকা

অর্থাৎ, খাতার দাম বাড়ল 50%

Ans. খাতার দাম বাড়ল 50%

অন্যভাবে,

আগে স্কুলে যেতে বাসভাড়া লাগত 4 টাকা

এখন স্কুলে যেতে বাসভাড়া লাগে 6 টাকা

দাম বাড়ল = (6 - 4) টাকা

= 2 টাকা

∴ শতকরা বাড়ল $\frac{2}{4}$ × 100 টাকা

= 50 টাকা

অর্থাৎ খাতার দাম 50% বাড়ল

Ans. খাতার দাম বাড়ল 50%

7. চিনির দাম বাড়ার জন্য আগে 125 টাকায় যে পরিমাণ চিনি কিনতাম, এখন 150 টাকায় সেই পরিমাণ চিনি কিনি। এখন চিনির দাম শতকরা কত বেড়েছে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

আগে চিনির দাম ছিল 125 টাকা

এখন চিনির দাম হয়েছে 150 টাকা

দাম বাড়ল = (150 - 125) টাকা

= 25 টাকা

125 টাকায় দাম বাড়ল 25 টাকা

1 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{25}{125}$ টাকা

100 টাকায় দাম বাড়ল $\frac{25×100}{125}$ টাকা

= 20 টাকা

অর্থাৎ, চিনির দাম বাড়ল 20%

Ans. চিনির দাম বাড়ল 50%

অন্যভাবে,

আগে চিনির দাম ছিল 125 টাকা

এখন চিনির দাম হয়েছে 150 টাকা

দাম বাড়ল = (150 - 125) টাকা

= 25 টাকা

∴ শতকরা বাড়ল $\frac{25}{125}$ × 100 টাকা

= 20 টাকা

অর্থাৎ চিনির দাম 20% বাড়ল

Ans. চিনির দাম বাড়ল 50%

8. রোজিনা 1 দিনে 90 টি অঙ্ক করেছে। শেফালি ওই সময়ে 65টি অঙ্ক করেছে। ওই সময়ে রোজিনা শেফালির থেকে শতকরা কত বেশি অঙ্ক করেছে দেখি। শেফালি ওই সময়ে রোজিনার থেকে শতকরা কত কম অঙ্ক করেছে হিসাব করি।

উত্তর:

রোজিনা 1 দিনে অঙ্ক করেছে 90 টি

শেফালি 1 দিনে অঙ্ক করেছে 65 টি

রোজিনা শেফালির থেকে 1 দিনে বেশি অঙ্ক করেছে = (90 - 65) = 25 টি

শতকরা বেশি অঙ্ক করেছে = $\frac{25}{65}$ × 100 টি

= $\frac{500}{13}$ টি

= $38\frac{6}{13}$ টি

অর্থাৎ রোজিনা শেফালির থেকে বেশি অঙ্ক করেছে $38\frac{6}{13}$%

আবার, শেফালি রোজিনার থেকে

শতকরা কম অঙ্ক করেছে = $\frac{25}{90}$ × 100 টি

= $\frac{250}{9}$ টি

= $27\frac{7}{9}$ টি

অর্থাৎ শেফালি রোজিনার থেকে কম অঙ্ক করেছে $27\frac{7}{9}$%

Ans. রোজিনা শেফালির থেকে বেশি অঙ্ক করেছে $38\frac{6}{13}$% এবং শেফালি রোজিনার থেকে কম অঙ্ক করেছে $27\frac{7}{9}$%।

9. সুহাস বাবু তাঁর মাসিক আয়ের $66\frac{2}{3}$% খরচ করেন। তিনি যদি মাসে 3250 টাকা খরচ করেন তবে তাঁর মাসিক আয় কত হবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

সুহাস বাবুর মাসিক আয়ের

$66\frac{2}{3}$% = 3250 টাকা

বা, $\frac{200}{3}$% = 3250 টাকা

বা, 1% = $\frac{3250×3}{200}$%

বা, 100% = $\frac{3250×3×100}{200}$%

= 4875 টাকা

Ans. সুহাস বাবুর মাসিক আয় 4875 টাকা।

10. নীচের মোট ছোটো ঘরগুলির 10% ঘরে লাল রং ও 40% ঘরে হলুদ রং দিই।

উত্তর:

প্রদত্ত অঙ্কে মোট ঘরের সংখ্যা 20 টি।

লাল রং করা হয়েছে 10%

হলুদ রং করা হয়েছে 40%

অর্থাৎ লাল রং করা হয়েছে 20 টি এর 10% ঘর

= 20 × $\frac{10}{100}$ টি ঘর

= 2 টি ঘর

এবং হলুদ রং করা হয়েছে 20 টি এর 40% ঘর

= 20 × $\frac{40}{100}$ টি ঘর

= 8 টি ঘর

আরও দেখুন:-

নিজে করি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Practice 1.1 - Math - Class VII

কষে দেখি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Exercise 1.1 - Math - Class VII

নিজে করি 1.2 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Practice 1.2 - Math - Class VII

নিজে করি 1.2 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Practice 1.2 - Math - Class VII - WBBSE

2023-02-01T16:26:00.000+05:30

নিজে করি – 1.2 || পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা

অংক
সপ্তম শ্রেণী

Math
Class VII
Practice 1.2

1) একটি ঢাকা 55 বার ঘুরে 77 মিটার পথ যায়। তবে 98 মিটার পথ যেতে ওই চাকা কতবার ঘুরবে হিসাব করি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

পথের দূরত্ব(মিটার)	চাকার ঘূর্ণন(বার)
77	55
98	?

পথের দূরত্ব বাড়লে চাকার ঘূর্ণনের সংখ্যা বাড়বে। তাই দূরত্বের সঙ্গে চাকা ঘোরার সরল সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

77 মিটার পথ যেতে চাকাটি ঘুরে 55 বার

1 মিটার পথ যেতে চাকাটি ঘুরে $\frac{55}{77}$ বার

98 মিটার পথ যেতে চাকাটি ঘুরে $\frac{55×98}{77}$ বার

= 70 বার

Ans. 98 মিটার পথ যেতে ওই চাকা 70 বার ঘুরবে

2) দীপ্তার্ক প্রত্যেক সপ্তাহে একদিন সাঁতার শিখতে যায়। 364 দিনে সে মোট কতদিন সাঁতার শিখতে যায় হিসাব করি ।

উত্তর:

আমরা জানি, 1 সপ্তাহ = 7 দিন

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

সময় (দিন সংখ্যা)	সাঁতার শেখার দিন সংখ্যা
7	1
364	?

সপ্তাহ সংখ্যা বা দিন সংখ্যা বাড়লে সাঁতার শেখার দিন সংখ্যা বাড়বে। তাই সময়ের সঙ্গে সাঁতার শেখার দিন সংখ্যার সরল সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

7 দিনের মধ্যে সাঁতার শিখতে যায় 1 দিন

1 দিনের মধ্যে সাঁতার শিখতে যায় $\frac{1}{7}$ দিন

364 দিনের মধ্যে সাঁতার শিখতে যায় $\frac{1×364}{7}$ দিন

= 52 দিন

Ans. দীপ্তার্ক মোট 52 দিন সাঁতার শিখতে যায়।

3) কবিতার 120 টি কাগজের প্রয়োজন। প্রত্যেক দিস্তায় 24 টি কাগজ আছে। কবিতা কত দিস্তা কাগজ কিনবে হিসাব করি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

কাগজ(টি)	দিস্তা(টি)
24	1
120	?

কাগজের সংখ্যা বাড়লে কাগজের দিস্তা সংখ্যা বাড়বে। তাই কাগজের সংখ্যার সঙ্গে দিস্তার সরল সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

24 টি কাগজের জন্য কিনতে হয় 1 দিস্তা কাগজ

1 টি কাগজের জন্য কিনতে হয় $\frac{1}{24}$ দিস্তা কাগজ

120 টি কাগজের জন্য কিনতে হয় $\frac{1×120}{24}$ দিস্তা

= 5 দিস্তা

Ans. কবিতা 5 দিস্তা কাগজ কিনবে।

4) এক ডজন ডিমের দাম 48 টাকা হলে, 32 টি ডিমের দাম কত হবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

আমরা 1 ডজন = 12 টি

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

ডিম(টি)	দাম(টাকা)
12	48
32	?

ডিমের সংখ্যা বাড়লে দাম বাড়বে। তাই ডিমের সংখ্যার সঙ্গে দামের সরল সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

12 টি ডিমের দাম 48 টাকা

1 টি ডিমের দাম $\frac{48}{12}$ টাকা

32 টি ডিমের দাম $\frac{48×32}{12}$ টাকা

= 128 টাকা

Ans. 32 টি ডিমের দাম 128 টাকা

5) প্রতিদিন 5 ঘণ্টা কাজ করলে 30 দিনে একটি কাজ শেষ করা যায়। প্রতিদিন 6 ঘণ্টা কাজ করলে কত দিনে সেই কাজ শেষ করা যাবে হিসাব করি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

প্রতিদিন কাজের সময় (ঘন্টা)	মোট কাজের সময়(দিন)
5	30
6	?

প্রতিদিনের কাজের সময় (ঘন্টা) বাড়লে মোট কাজের সময়(দিন) কমবে। তাই ঘন্টার সঙ্গে দিনের ব্যস্ত সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

প্রতিদিন 5 ঘন্টা কাজ করলে কাজটি শেষ হয় 30 দিনে

প্রতিদিন 1 ঘন্টা কাজ করলে কাজটি শেষ হয় 30 × 5 দিনে

প্রতিদিন 6 ঘন্টা কাজ করলে কাজটি শেষ হয় $\frac{30×5}{6}$ দিনে

= 25 দিনে

Ans. প্রতিদিন 6 ঘণ্টা কাজ করলে 25 দিনে সেই কাজ শেষ করা যাবে।

6) কোনো সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{5}{7}$ অংশের মূল্য 2825 টাকা। ওই সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য কত টাকা হিসাব করি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

সম্পত্তির পরিমাণ (অংশ)	মূল্য (টাকা)
$\frac{5}{7}$	2825
$\frac{2}{7}$	?

সম্পত্তির পরিমাণ কমলে সম্পত্তির মূল্যও কম হবে। তাই সম্পত্তির পরিমাণের সঙ্গে মূল্যের সরল সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

সম্পত্তির $\frac{5}{7}$ অংশের মূল্য 2825 টাকা

সম্পত্তির 1 অংশের মূল্য $\frac{2825×7}{5}$ টাকা

সম্পত্তির $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য $\frac{2825×7×2}{5×7}$ টাকা

= 1130 টাকা

Ans. ওই সম্পত্তির মোট পরিমাণের $\frac{2}{7}$ অংশের মূল্য 1130 টাকা।

7) একটি শিবিরে 48 জন সৈন্যের 7 সপ্তাহের খাবার মজুত আছে। যদি ওই দলে আরও ৪ জন সৈন্য যোগ দেয়, তবে ওই পরিমাণ খাবারে কত সপ্তাহ চলবে হিসাব করি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

সৈন্য সংখ্যা (জন)	সময়(সপ্তাহ)
48	7
48+8=56	?

সৈন্য সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে খাদ্য তারাতারি শেষ হবে অর্থাৎ কম সপ্তাহ চলবে। তাই সৈন্য সংখ্যার সঙ্গে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

48 জন সৈন্যের খাদ্য মজুত আছে 7 সপ্তাহের

1 জন সৈন্যের খাদ্য মজুত আছে 7 × 48 সপ্তাহের

56 জন সৈন্যের খাদ্য মজুত আছে $\frac{7×48}{56}$ বার

= 6 সপ্তাহ

Ans. ওই পরিমাণ খাবারে 6 সপ্তাহ চলবে।

8) একটি জাহাজে 50 জন নাবিকের 16 দিনের খাবার মজুত আছে। 10 দিন পরে আরও 10 জন নাবিক তাদের সঙ্গে যোগ দিলেন। বাকি খাবারে সকলের আর কত দিন চলবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

নাবিকের সংখ্যা (জন)	সময়(দিন)
50	16-10 = 6
50+10 = 60	?

নাবিকের সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে খাদ্য তারাতারি শেষ হবে অর্থাৎ কম দিন চলবে। তাই নাবিকের সংখ্যার সঙ্গে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

50 জন নাবিকের খাবার মজুত আছে 6 দিনের

1 জন নাবিকের খাবার মজুত আছে 6 × 50 দিনের

60 জন নাবিকের খাবার মজুত আছে $\frac{6×50}{60}$ বার

= 5 দিনের

Ans. বাকি খাবারে সকলের আর 5 দিন চলবে।

9) 20 জন লোক ঠিক করল 30 দিনে তারা একটা বাড়ি সারানোর কাজ সম্পূর্ণ করবে। কিন্তু 6 দিন পরে তাদের মধ্যে ৪ জন লোক অসুস্থ হয়ে পড়ল। হিসাব করে দেখি কত দিনে তারা বাড়ি সারানোর কাজ শেষ করবে।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

লোক সংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
20	30-6 = 24
20-8 = 12	?

লোক সংখ্যা কমে গেলে বাড়ি সারাই করতে বেশি দিন লাগবে। তাই লোক সংখ্যার সঙ্গে ব্যস্ত সম্পর্ক।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

20 জন লোক বাড়িটি সারাই করতে সময় নেয় 24 দিন

1 জন লোক বাড়িটি সারাই করতে সময় নেয় 24×20 দিন

12 জন লোক বাড়িটি সারাই করতে সময় নেয় $\frac{24×20}{12}$ দিন

= 40 দিন

সুতরাং বাড়িটি সারাই করতে মোট সময় লাগে = 6 + 40 = 46 দিন।

Ans. 46 দিনে তারা বাড়ি সারানোর কাজ শেষ করবে।

10) 25 জন কৃষক 12 দিনে 15 বিঘা জমি চাষ করেন। তাহলে 30 জন কৃষক 16 দিনে কত বিঘা জমি চাষ করবেন হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

গনিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,

কৃষক(জন)	সময়(দিন)	জমি(বিঘা)
25	12	15
30	16	?

সময় স্থির রেখে কৃষকের সংখ্যা বাড়লে তারা বেশি জমি চাষ করতে পারবে। তাই কৃষক ও জমির মধ্যে সরল সম্পর্ক, যখন সময় স্থির।

আবার, কৃষকের সংখ্যা স্থির রেখে সময় বাড়লে বেশি জমি চাষ করা যাবে। তাই সময় ও জমির মধ্যেও সরল সম্পর্ক, যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির।

এখন, ঐকিক নিয়মে সমাধান করে পাই,

25 জন কৃষক 12 দিনে জমি চাষ করতে পারে 15 বিঘা

1 জন কৃষক 12 দিনে জমি চাষ করতে পারে $\frac{15}{25}$ বিঘা

1 জন কৃষক 1 দিনে জমি চাষ করতে পারে $\frac{15}{25×12}$ বিঘা

30 জন কৃষক 1 দিনে জমি চাষ করতে পারে $\frac{15×30}{25×12}$ বিঘা

30 জন কৃষক 16 দিনে জমি চাষ করতে পারে $\frac{15×30×16}{25×12}$ বিঘা

= 24 বিঘা

Ans. 30 জন কৃষক 16 দিনে 24 বিঘা জমি চাষ করবে।

আরও দেখুন:-

নিজে করি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Practice 1.1 - Math - Class VII

কষে দেখি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Exercise 1.1 - Math - Class VII

কষে দেখি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Exercise 1.1 - Math - Class VII - WBBSE

2023-01-31T01:05:00.005+05:30

কষে দেখি – 1.1 || পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা

অংক
সপ্তম শ্রেণী

এখনও কাজ বাকি আছে = 1 - $\frac{5}{6}$ অংশ

= $\frac{6-5}{6}$ অংশ

= $\frac{1}{6}$ অংশ

Ans. গণেশবাবু তিনদিনে শেষ করেছেন $\frac{5}{6}$ অংশ কাজ এবং এখনও কাজ বাকি আছে $\frac{1}{6}$ অংশ কাজ।

4. একটি বাঁশের দৈর্ঘ্যের $\frac{1}{3}$ অংশে লাল রং, $\frac{1}{5}$ অংশে সবুজ রং ও বাকি 14 মিটারে হলুদ রং দিয়েছি, বাঁশটি কত মিটার লম্বা হিসাব করি।

উত্তর:

বাঁশে লাল রং করা হয়েছে $\frac{1}{3}$ অংশে

এবং সবুজ রং করা হয়েছে $\frac{1}{5}$ অংশে

বাকি অংশে হলুদ রং করা হয়েছে

অর্থাৎ লাল ও সবুজ রং করা হয়েছে $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{5}$ অংশে

= $\frac{5+3}{15}$ অংশে

= $\frac{8}{15}$ অংশে

সুতরাং হলুদ রং করা হয়েছে = 1 - $\frac{8}{15}$ অংশে

= $\frac{15 - 8}{15}$ অংশে

= $\frac{7}{15}$ অংশে

প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{7}{15}$ অংশ = 14 মিটার

1 অংশ = 14 × $\frac{15}{7}$ মিটার

= 30 মিটার

Ans. বাঁশটি 30 মিটার লম্বা ।

5. একটি খাতার দাম 6.50 টাকা হলে 15 টি খাতার দাম কত হবে তা হিসাব করি।

উত্তর:

1টি খাতার দাম 6.50 টাকা

15টি খাতার দাম 6.50 × 15 টাকা

= 97.50 টাকা

Ans. 15 টি খাতার দাম 97.50 টাকা।

6. একটি বাক্সে 12টি চিনির প্যাকেট আছে। প্রতিটি প্যাকেটের ওজন 2.84 কিগ্রা.। বাক্স এবং প্যাকেটগুলির মোট ওজন 36 কিগ্রা. হলে, হিসাব করে দেখি বাক্সটির ওজন কত হবে।

উত্তর:

1টি চিনির প্যাকেটের ওজন 2.84 কিগ্রা.

12টি চিনির প্যাকেটের ওজন 2.84 × 12 কিগ্রা.

= 34.08 কিগ্রা.

প্যাকেট সহ বাক্সের মোট ওজন 36 কিগ্রা.

সুতরাং শুধু বাক্সের ওজন (36 - 34.08) কিগ্রা.

= 1.92 কিগ্রা.

Ans. শুধুমাত্র বাক্সের ওজন 1.92 কিগ্রা.

7. এক বস্তা চালের পরিমাণের 0.75 অংশের দাম 1800 টাকা হলে তার 0.15 অংশের দাম হিসাব করি।

উত্তর:

এক বস্তা চালের 0.75 অংশের দাম 1800 টাকা

এক বস্তা চালের 1 অংশের দাম $\frac{1800}{0.75}$ টাকা

এক বস্তা চালের 0.15 অংশের দাম $\frac{1800×0.15}{0.75}$ টাকা

= 360 টাকা

Ans. এক বস্তা চালের 0.15 অংশের দাম 360 টাকা ।

৪. অনিতাদি তার জমির পরিমাণের অর্ধেকের $\frac{7}{8}$ অংশ নিজের ভাইকে দিয়েছেন এবং বাকি জমি তিন ছেলেকে সমানভাগে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক ছেলে কত অংশ জমি পেল তা একটি চিত্রের সাহায্যে দেখাই।

উত্তর:

অনিতাদি মোট জমির পরিমাণ = 1 অংশ

তিনি তার নিজের ভাইকে দিয়েছেন $\frac{1}{2}$ এর $\frac{7}{8}$ অংশ

= $\frac{7}{16}$ অংশ

সুতরাং তিন ছেলে মোট পাবে =(1 - $\frac{7}{16}$) অংশ

= $\frac{16-7}{16}$ অংশ

= $\frac{9}{16}$ অংশ

তবে, তিন ছেলে প্রত্যেক পাবে =($\frac{9}{16}$ ÷ 3) অংশ

= $\frac{9}{16}$ × $\frac{1}{3}$ অংশ

= $\frac{3}{16}$ অংশ

Ans. প্রত্যেক ছেলে পাবে $\frac{3}{16}$ অংশ জমি।

9. সরল করি:

(i) $\frac{13}{25}×1\frac{7}{8}$

উত্তর: $\frac{13}{25}×1\frac{7}{8}$

= $\frac{13}{25}×\frac{15}{8}$

= $\frac{39}{40}$

Ans. $\frac{39}{40}$

(ii) $2\frac{5}{8}×2\frac{2}{21}$

উত্তর: $\frac{21}{8}×\frac{44}{21}$

= $\frac{11}{2}$

= $5\frac{1}{2}$

Ans. $5\frac{1}{2}$

(iii) $10\frac{3}{10}×6\frac{4}{3}×\frac{4}{11}$

উত্তর: $10\frac{3}{10}×6\frac{4}{3}×\frac{4}{11}$

= $\frac{103}{10}×\frac{22}{3}×\frac{4}{11}$

= $\frac{412}{15}$

= $27\frac{7}{15}$

Ans. $27\frac{7}{15}$

(iv) 0.025 × 0.02

উত্তর: 0.025 × 0.02

= $\frac{0025}{1000}×\frac{002}{100}$

= $\frac{25}{1000}×\frac{2}{100}$

= $\frac{50}{100000}$

= $\frac{000050}{100000}$

= 0.00050

= 0.0005

Ans. 0.0005

(v) 0.07 × 0.2 × 0.5

উত্তর: 0.07 × 0.2 × 0.5

= $\frac{007}{100}×\frac{02}{10}×\frac{05}{10}$

= $\frac{7}{100}×\frac{2}{10}×\frac{5}{10}$

= $\frac{7}{1000}$

= 0.007

Ans. 0.007

(vi) 0.029 × 2.5 × 0.002

উত্তর: 0.029 × 2.5 × 0.002

= $\frac{0029}{1000}×\frac{25}{10}×\frac{0002}{1000}$

= $\frac{29}{1000}×\frac{25}{10}×\frac{2}{1000}$

= $\frac{1450}{10000000}$

= $\frac{145}{1000000}$

= $\frac{0000145}{1000000}$

= 0.000145

Ans. 0.000145

10. সরল করি:

(i) $3\frac{3}{4}÷2\frac{1}{2}$

উত্তর: $3\frac{3}{4}÷2\frac{1}{2}$

= $\frac{15}{4}÷\frac{5}{2}$

= $\frac{15}{4}×\frac{2}{5}$

= $\frac{3}{2}$

= $1\frac{1}{2}$

Ans. $1\frac{1}{2}$

(ii) $\frac{50}{51}÷15$

উত্তর: $\frac{50}{51}÷15$

= $\frac{50}{51}×\frac{1}{15}$

= $\frac{10}{153}$

Ans. $\frac{10}{153}$

(iii) $1÷\frac{5}{6}$

উত্তর: $1÷\frac{5}{6}$

= $1×\frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5}$

= $1\frac{1}{5}$

Ans. $1\frac{1}{5}$

(iv) $\frac{156}{121}÷\frac{13}{22}$

উত্তর: $\frac{156}{121}÷\frac{13}{22}$

= $\frac{156}{121}×\frac{22}{13}$

= $\frac{12×2}{11}$

= $\frac{24}{11}$

= $2\frac{2}{11}$

Ans. $2\frac{2}{11}$

(v) $1\frac{1}{2}÷\frac{4}{9}÷13\frac{1}{2}$

উত্তর: $1\frac{1}{2}÷\frac{4}{9}÷13\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}÷\frac{4}{9}÷\frac{27}{2}$

= $1\frac{3}{2}×\frac{9}{4}×\frac{2}{27}$

= $\frac{1}{4}$

Ans. $\frac{1}{4}$

(vi) $\frac{9}{10}÷\frac{3}{8}×\frac{2}{5}$

উত্তর: $\frac{9}{10}÷\frac{3}{8}×\frac{2}{5}$

= $\frac{9}{10}×\frac{8}{3}×\frac{2}{5}$

= $\frac{24}{25}$

Ans. $\frac{24}{25}$

(vii) $2\frac{1}{3}÷1\frac{1}{6}÷2\frac{1}{4}$

উত্তর: $2\frac{1}{3}÷1\frac{1}{6}÷2\frac{1}{4}$

= $\frac{7}{3}÷\frac{7}{6}÷\frac{9}{4}$

= $\frac{7}{3}×\frac{6}{7}×\frac{4}{9}$

= $\frac{8}{9}$

Ans. $\frac{8}{9}$

(viii) $20÷7\frac{1}{4}×\frac{3}{5}$

উত্তর: $20÷7\frac{1}{4}×\frac{3}{5}$

= $20÷\frac{29}{4}×\frac{3}{5}$

= $20×\frac{4}{29}×\frac{3}{5}$

= $\frac{48}{29}$

= $1\frac{19}{29}$

Ans. $1\frac{19}{29}$

(ix) 3.15 ÷ 2.5

উত্তর: 3.15 ÷ 2.5

= $\frac{315}{100}÷\frac{25}{10}$

= $\frac{315}{100}×\frac{10}{25}$

= $\frac{315}{10×25}$

= $\frac{315×4}{10×25×4}$

= $\frac{1260}{1000}$

= 1.260

= 1.26

Ans. 1.26

(x) 35.4 ÷ 0.03 × 0.06

উত্তর: 35.4 ÷ 0.03 × 0.06

= $\frac{354}{10}÷\frac{003}{100}×\frac{006}{100}$

= $\frac{354}{10}÷\frac{3}{100}×\frac{6}{100}$

= $\frac{354}{10}×\frac{100}{3}×\frac{6}{100}$

= $\frac{708}{10}$

= 70.8

Ans. 70.8

(xi) 2.5 × 6 ÷ 0.5

উত্তর: 2.5 × 6 ÷ 0.5

= $\frac{25}{10}×\frac{6}{1}÷\frac{05}{10}$

= $\frac{25}{10}×\frac{6}{1}×\frac{10}{5}$

= 30

Ans. 30

11. ছবি দেখে নিচের মত লিখি:

(i)

$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ 2×$\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

(ii)

$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 3×$\frac{1}{6}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

(iii)

$\frac{2}{12}$ $\frac{2}{12}$ $\frac{2}{12}$ 3×$\frac{2}{12}$ = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$

(iv)

$\frac{2}{7}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{7}$ = $\frac{6}{7}$

নিজে করি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Practice 1.1 - Math - Class VII - WBBSE

2023-01-29T02:12:00.003+05:30

পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা

অংক

সপ্তম শ্রেণী
নিজে করি 1.1

= 2 টাকা 50 পয়সা

উত্তর:

ধরি, $\frac{5}{7}$-এর 2 গুণের সঙ্গে x যোগ করলে 3 পাব।

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{5}{7}$ × 2 + x = 3

বা, $\frac{10}{7}$ = 3 - x

বা, 10 = 21 - 7x

বা, 7x = 21 - 10

বা, 7x = 11

বা, x = $\frac{11}{7}$

বা, x = 1$\frac{4}{7}$

Ans. নির্নয় সংখ্যাটি হল 1$\frac{4}{7}$।

8) $\frac{5}{7}$-এর সঙ্গে কত গুণ করলে 4 পাব হিসাব করি।

উত্তর:

ধরি, $\frac{5}{7}$-এর সঙ্গে x গুণ করলে 4 পাব

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

$\frac{5}{7}$ × x = 4

বা, $\frac{5x}{7}$ = 4

বা, 5x = 28

বা, x = $\frac{28}{5}$

বা, x = 5$\frac{3}{5}$

Ans. নির্নয় সংখ্যাটি হল 5$\frac{3}{5}$

9) $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{5}$ ও $\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$ এদের মধ্যে কোনটি সবচেয়ে ছোটো হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রথমে আমারা প্রতিটি ভগ্নাংশের হর সমান করবো।

$\frac{2}{3}$ = $\frac{2×5}{3×5}$ = $\frac{10}{15}$

$\frac{4}{5}$ = $\frac{4×3}{5×3}$ = $\frac{12}{15}$

$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$ = $\frac{2×4}{3×5}$ = $\frac{8}{15}$

∴ ভগ্নাংশ গুলোর মধ্যে তুলনা করে বোঝা যাচ্ছে এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হল $\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$

Ans. সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হল $\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$

10) $\frac{5}{2}$, $\frac{7}{3}$ ও $\frac{5}{2}$×$\frac{7}{3}$এদের মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়ো হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

প্রথমে আমারা প্রতিটি ভগ্নাংশের হর সমান করবো।

$\frac{5}{2}$ = $\frac{5×3}{2×3}$ = $\frac{15}{6}$

$\frac{7}{3}$ = $\frac{7×2}{3×2}$ = $\frac{14}{6}$

$\frac{5}{2}$×$\frac{7}{3}$ = $\frac{5×7}{2×3}$ = $\frac{35}{6}$

∴ ভগ্নাংশ গুলোর মধ্যে তুলনা করে বোঝা যাচ্ছে এদের মধ্যে সবচেয়ে বড়ো ভগ্নাংশটি হল $\frac{5}{2}$×$\frac{7}{3}$

Ans. সবচেয়ে বড়ো ভগ্নাংশটি হল $\frac{5}{2}$×$\frac{7}{3}$

11) একটি সংখ্যার চারগুণ ও ঐ সংখ্যাটির অর্ধেক যোগ করলে সংখ্যাটি 1$\frac{2}{3}$ হয়। সংখ্যাটি কত হবে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

ধরি, সংখ্যাটি x

∴ প্রশ্নানুযায়ী,

x×4 + x÷2 = 1$\frac{2}{3}$

বা, 4x + $\frac{x}{2}$ = $\frac{5}{3}$

বা, 24x + 3x = 10 [প্রতিটি সংখ্যাকে 6 দ্বারা গুণ করি]

বা, 27x = 10

বা, x = $\frac{10}{27}$

Ans. নির্নয় সংখ্যাটি হল $\frac{10}{27}$

12) ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$) ভগ্নাংশটি ($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$)-এর মধ্যে কত বার আছে হিসাব করে দেখি।

উত্তর:

যখন আমারা সাধারণ ভাবে চিন্তা করি, যে 2 সংখ্যাটি 10-এর মধ্যে কতবার আছে, তখন আমারা 10-কে 2 দ্বারা ভাগ করি। অনুরূপভাবে এখানে আমারা ($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$)-কে ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$) দ্বারা ভাগ করবো।

∴ ($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$) ÷ ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$)

= $\frac{3+2}{6}$ ÷ $\frac{3-2}{6}$

= $\frac{5}{6}$ ÷ $\frac{1}{6}$

= $\frac{5}{6}$ × $\frac{6}{1}$

= 5

Ans. ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$) ভগ্নাংশটি ($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$)-এর মধ্যে 5 বার আছে।

আরও দেখুন:-

কষে দেখি 1.1 - পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা - অংক - সপ্তম শ্রেণী || Exercise 1.1 - Math - Class VII