EdnaldoMatemátic@

2024-05-15T04:55:00.000-07:00

TRABALHO 8 ANO A E B 2024

1) RESOLVA AS OPERAÇÕES COM MONÔMIOS:

a) (+7x) + (-3x) =

b) (-8x) + (+11x) =

c) (-2y) + (-3y) =

d) (-2m) + (-m) =

e) (+5a²) + (-3a²) =

f) (+5x) + (-5x) =

g) (+6x) + (-4x) =

h) (-6n) + (+n) =

i) (+8x) – ( -3x) =

j) (-5x) – (-11x) =

2) RESOLVA AS MULTIPLICAÇÕES COM MONÔMIOS:

a) (+5x) . (-4x²) =

b) (-2x) . (+3x) =

c) (+5x) . (+4x) =

d) (-n) . (+ 6n) =

e) (-6x) . (+3x²) =

f) (-2y) . (5y) =

g) (+4x²) . (+5x³) =

h) (2y) . (-7x) =

i) (-2x) . (-3y) =

j) (+3x) . (-5y) =

3) RESOLVA AS DIVISÕES COM MONÔMIOS:

a) (15x⁶) : (3x²) =

b) (16x⁴) : (8x) =

c) (-30x⁵) : (+3x³) =

d) (+8x⁶) : (-2x⁴) =

e) (-10y⁵) : (-2y) =

f) (-35x⁷) : ( +5x³) =

g) (+15x⁸) : (-3x²) =

h) (-8x) : (-8x) =

i) (-14x³) : (+2x²) =

j) (-10x³y) : (+5x²) =

4) RESOLVA AS POTÊNCIAS COM MONÔMIOS:

a) ( + 3x²)² =

b) (-8x⁴)² =

c) (2x⁵)³ =

d) (3y²)³ =

e) (-y²)⁴ =

f) (-mn)⁴ =

g) (2xy²)⁴ =

h) (-4x²b)² =

i) (-3y²)³ =

j) (-6m³)² =

2024-04-25T16:06:00.000-07:00

2023-08-22T17:37:00.002-07:00

PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS - 6 ANO

1.) Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m?

a) A= 100m², P= 50m b) A= 150 m², P= 60m

c) A= 125 m², P= 60 m d) A= 120 m², P= 50 m

2.) Definimos como perímetro:

a) a medida da superfície de uma figura plana.

b) a capacidade de um sólido geométrico.

c) o comprimento de uma das dimensões de uma figura plana.

d) o comprimento do contorno de uma figura plana.

e) o espaço ocupado por um sólido geométrico.

3.) Em um forro de mesa que possui 1,10 m de largura e 1,40 metros de

comprimento será feito um bordado. Em quantos metros desse forro

de mesa, no mínimo, foi feito esse bordado?

a) 1 metro

b) 2 metros

c) 3 metros

d) 4 metros

e) 5 metros

4.) A tela de um televisor está em uma razão de 4 para 3. Se o perímetro do

televisor é de 280 cm, então ele possui área igual a:

a) 3600 cm²

b) 4800 cm²

c) 5400 cm²

d) 6200 cm²

e) 6400 cm²

5.) Durante um treino de futebol, o técnico pediu para que os jogadores

dessem 12 voltas correndo em torno do gramado. Sabendo que o campo

possui 98 metros de largura e 72 metros de comprimento, a distância

percorrida pelos atletas foi igual a:

a) 4080 m

b) 2040 m

c) 1020 m

d) 510 m

e) 340 m

2023-05-03T07:04:00.003-07:00

ALUNOS DESTAQUES I UNIDADE 2023 - CSM

GEOMETRIA

6A – FERNANDA

6B - MARIA EDUARDA

7A- IZABELA DINIZ

8B – LARISSA VITÓRIA

MATEMÁTICA

6A– DANIELLE

6B – JOÃO VITOR

7A – IZABELA DINIZ

7B – MARIA SOFIA FALCÃO

8A - GABRIELA DINIZ

1^O E.M – CAIO GOMES

2^O E.M – MARIA VICTÓRIA MONTEIRO

3^O E.M – NATÁLIA CLEMENTE

2023-02-06T09:58:00.006-08:00

MAIS UM ANO LETIVO SE INICIA, SEJAM BEM VINDOS

ALUNO DESTAQUE DA I UNIDADE 2022

2022-05-25T17:41:00.000-07:00

ALUNO DESTAQUE 1ª UNIDADE 2022

GEOMETRIA

6º ANO A – PEDRO HENRIQUE

6º ANO B – DAVI OLIVEIRA

7º ANO A – ALEXIA

8º ANO B – JOANA

MATEMÁTICA

6º ANO A - RAFAEL

6º ANO B – MARIA SOFIA

7º ANO A – HEITOR AUDRIN

7º ANO B – LUY HENRIQUE

8º ANO A – SARA PENA

8º ANO B – KAREN

1º ANO MAT 1 – MARIA VICTÓRIA

2º ANO MAT 1 – RAQUEL

2º ANO MAT 2 – NATÁLIA

3º ANO MAT 1 – MATHEUS

3º ANO MAT 2 – TAYNÁ

DIVISÃO COM RACIONAIS

2022-04-20T12:43:00.002-07:00

MULTIPLICAÇÃO COM RACIONAIS

2022-04-20T12:39:00.001-07:00

ALUNO DESTAQUES 2021 COLÉGIO SANDRA MARIA - PE

2021-06-10T05:11:00.002-07:00

GEOMETRIA

6º ANO A – ALEXIA CRYS

6º ANO B – CAUÃ DURVAL

7º ANO A – CARLOS HENRIQUE

7º ANO B - CAIO

8º ANO B – THICIANY DA SILVA

MATEMÁTICA

6º ANO B – LUY HENRIQUE - BEATRIZ - ELLEN SILVA- KAUAN – JOÃO ANTONIO

7º ANO A – CARLOS HENRIQUE

7º ANO B – SARAH PENA

8º ANO A – CAIO – JOÃO GUILHERME – YORRAN

8º ANO B – WANDERSON

1º ANO – ALLANA – ANA ALICE – JOSÉ TEMUDO – MARIA BEATRIZ – RAQUEL TEÓFILO

2º ANO – CATARINA – NICHOLAS – RAFAEL - TAYNÁ – VICTOR SÁ

3º ANO – EWERTON

VOCÊS SÃO 10

NÚMEROS COMPLEXOS

2021-05-20T17:17:00.015-07:00

NÚMEROS COMPLEXOS

Denominamos número complexo ao número

Z da forma Z = a + bi, sendo a e b números reais.

Onde:

Z é o número complexo

a é a parte real de Z

bi é a parte imaginária de Z

i é a unidade imaginária.

A unidade imaginária i é definida segundo a igualdade

i²= -1, onde podemos escrever : i =

Com a utilização desse novo símbolo podemos determinar as raízes

de uma equação do 2^o grau que tem delta negativo. ( Δ < 0 ).

Exemplo:

Determine as raízes da equação: x² – 2x + 2 = 0

Resposta

temos: a = 1 , b = - 2 e c = 2

Δ = b² – 4 . a . c

Δ = ( -2 )² – 4 . 1 . 2

Δ = 4 – 8

Δ = - 4 impossível no conjunto dos reais.

Exercícios

1.) Calcule as raízes nas equações:

a) x²+2x + 5 = 0

b) −x² + 4x − 29 = 0.

CARACTERÍSTICAS DE UM NÚMERO COMPLEXO

IMAGINÁRIO PURO:

Quando a parte real é nula, por exemplo, –5i e 5i

são imaginários puros por não possuírem parte real.

Exemplo: Determine o valor de k para que o número complexo

z = (k – 8) + 3i seja imaginário puro:

Resolução

Para que o número seja imaginário puro, a parte

real deve ser nula:

K – 8 = 0 K= 0 + 8 K = 8

REAL: Quando a parte imaginária é nula, por exemplo, 4 ou 4 + 0i.

Exemplo: Determine o valor de m para que o número complexo

z = 3+(m + 4)i seja um número real:

Resolução

Para que o número seja real, a parte imaginária deve ser nula:

m +4 = 0 m = 0 – 4 m = - 4

Adição

Considerando-se os complexos:

z₁ = a+bi e z₂= c+di

a soma z₁ + z₂obtida somando-se suas partes reais

e imaginárias separadamente:

Exemplos:

(2 + 3i) + (5 + 4i) = (2+5) + (3 + 4)i = 7 + 7i

2i + (6 + 9i) = (0 + 6) + (2 + 9)i = 6 + 11i

(5 + 3i) + 3 = (5 + 3) + (3 + 0)i = 8 + 3i

Subtração

Dados os complexos z₁ = a - bi e z₂= c - di

a diferença z₁ - z₂é obtida subtraindo-se suas partes reais

e imaginárias separadamente:

Exemplos

(2 + 3i) - (5 + 4i) = (2 - 5) + (3 - 4)i = -3 - i

2i - (6 - 9i) = (0 - 6) + (2 -(-9))i = -6 + 11i

(5 + 3i) - 3 = (5 - 3) + (3 - 0)i = 2 + 3i

Potenciação:

Na potenciação de números complexos encontramos

uma regularidade, os resultados começam a se repetir

à partir do 4 termo.

veja:

Para resolver uma potencia temos que dividir o expoente por 4 e considerar o resto

como novo expoente.

veja:

fazemos da mesmo forma com qualquer potência.

1.) Calcule o valor de cada expressão:

a) i¹²⁵ – i¹²⁶ + i¹²⁷– i¹²⁸

b 2i¹²⁵ + 3i¹²⁰ - 5i²⁰⁷– 2i¹⁰²⁸

c) 3i¹²⁰⁵– 4i²¹⁶ - 2i³²⁷+ 3i²⁰⁸

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Ao multiplicar dois números complexos devemos proceder como expressões algébricas, aplicando a propriedade distributiva e as potências de i:

Exemplo: a) z₁= 2 + 3i e z₂= 1 – 4i, determine Z₁. Z₂

Resposta:

( 2 + 3i) . ( 1 – 4i ) = 2 . 1 + 2.(-4i) + 3i . 1 + 3i . (-4i )

= 2 - 8i + 3i -12i²

2 - 5i -12.( -1 )

= 2 – 5i + 12

= 14 - 5i

Exercícios

1.) Calcule:

a) ( 2 + 5i ) . ( +2i ) =

b) ( 6 – 5i ) ( 4+ i ) =

2.) Resolva as expressões:

a) 2( 3 + 4i ) + 3( 1 + 2i ) =

b) ( 3 – 4i ) . ( 3 + 4i ) + 4( 5 + i) =

c) 3( 1 – i ) + ( 2 + i ) ( 2 – i ) =

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Denominamos conjugado de um número complexo Z = a + bi ao número complexo

Ex: Dado o complexo Z = 2 + 5i o seu conjugado é o número

Para obter o conjugado de um número, conservamos a parte real

e invertemos o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO

1.) Calcule as Divisões:

a) ( 5 – 3i ) =

( 7 + 2i )

b) ( 3 – 8i ) =

(4 – 5i )

c) ( 4 + 9i ) =

( 5 + 7i )

d) ( 2 – 3i ) =

( 9 – 6i )

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

2020-07-30T17:31:00.000-07:00

CONCEITO: DOIS ÂNGULOS SÃO COMPLEMENTARES QUANDO A SOMA DE SUAS MEDIDAS FOR IGUAL A 90 GRAUS.

EXEMPLO 1:
CALCULANDO O VALOR DE X

CÁLCULO:   50 + X + 10 = 90    ( equação )
X + 60 = 90   trocando 60 de membro ( inverte a operação )
X = 90 - 60
  X = 30

VERIFICAÇÃO : se basta colocar o valor de X = 30 no lugar de X na equação
50 + 30 + 10 = 90

EXEMPLO 2:
CALCULANDO O VALOR DE X

CÁLCULO: 3X + 60 = 90 ( equação )
3X = 90 - 60 trocando 60 de membro ( inverte a operação )
3X = 30
X = 30 : 3
X = 10
VERIFICAÇÃO
3. 10 + 60 = 90

O MESMO PROCEDIMENTO APLICA-SE EM OUTROS EXEMPLOS

AGORA FAÇA VOCÊ

PRISMAS E POLIEDROS GEOMETRIA 6 ANO

2020-05-29T10:40:00.001-07:00

PRISMAS E POLIEDROS 6 ANO

2020-05-29T10:37:00.003-07:00

AULAS ONLINE

2020-05-26T05:20:00.005-07:00

Aulas online na pandemia:

Veja por que a escola não vai ser mais a mesma

Se antes era só levantar a mão para ter a atenção do professor, agora é necessário ativar o microfone da conversa no ambiente virtual de aprendizagem. Nenhuma escola será a mesma de antes. A rotina escolar foi acelerada para um novo tempo e acompanha outras revoluções que estão sendo estimuladas pela pandemia, declarada há mais de 50 dias pela Organização Mundial da Saúde (OMS).

A equação universal professor mais aluno foi dissolvida pelo novo coronavírus. Agora, separada por uma tela, essa dupla tenta se adaptar à uma nova realidade. Segundo a Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco), 191 países fecharam escolas e universidades. Isso significa que 1,6 bilhão de crianças e jovens, ou seja, 90,2% de todos os estudantes do planeta estão - ou já estiveram - sem aulas. Momento desafiador para todos e, no Brasil, não é diferente.

ALUNO DESTAQUE 2019.3

2019-10-18T14:54:00.003-07:00

ALUNO DESTAQUE CSM 2019.2

2019-08-14T16:42:00.000-07:00

TURMAS E MÉDIAS

2019-07-16T07:03:00.002-07:00

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

2019-05-23T17:28:00.003-07:00

DIA DA MATEMÁTICA -COLÉGIO SANDRA MARIA

2019-05-17T18:09:00.003-07:00

ALUNOS DESTAQUES 2019.1

2019-05-06T07:57:00.000-07:00

FIGURAS COM O TANGRAM

2019-03-30T17:09:00.001-07:00

https://br.pinterest.com/pin/356277020507726300/

CONSRUÇÃO DO TANGRAM:https://www.youtube.com/watch?v=dEbGEBwPNAs

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

2019-03-25T06:35:00.001-07:00

EXERCÍCIOS 7º – MATEMÁTICA

1) Determine:

a) O oposto de +6 =
b) O oposto de -9 =
c) O oposto de +6 =
d) O oposto de -6 =
e) O oposto de +18 =
f) O oposto de -15 =
g) O oposto de +234=
h) O oposto de -1000 =

2) Qual é o número maior ?
a) +11 ou -10
b) +30 ou 0
c) -20 ou 0
d) +10 ou -10
e) -20 ou -10
f) +20 ou -30
g) -50 ou +50
h) -30 ou -15

3) Compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual

a) +2 e + 4
b) +5 e -5
c) -3 e +4
d) +1 e -1
e) -3 e -6
f) -3 e -
g) -8 e -2
h) 0 e -5
i) -2 e 0
j) -2 e -4
l) -4 e -3
m) 5 e -5
n) 40 e +40
o) -30 e -10
p) -85 e 85
q) 100 e -200
r) -450 e 300
s) -500 e 400

4) coloque os números em ordem crescente.

a) -8,-3,-7,+1,0
b) -2, -6, -5, -3, -
c) 5,-3,1,0,-1,20
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9
e) +60,-21,-34,-105,-90
f) -400,+620,-840,+1000,-100

5) Coloque os números em ordem decrescente

a) +5,-1,-6,+5,
b) -4,0,+4,+6,-2
c) -5,1,-3,4,
d) +10,+6,-3,-4,-9,+1
e) -18,+83,0,-172, -64
f) -286,-740, +827,0,+904

6) Calcule

a) +6 + 3 =
b) +1 + 4 =
c) -4 - 2 =
d) -3 - 1 =
e) +6 + 9 =
f) +10 + 7 =
g) -8 -12 =
h) -4 -15 =
i) -10 - 15 =
j) +5 +18 =
l) -31 - 18 =
m) +20 +40 =
n) -60 - 30 =
o) +75 +15 =
p) -50 -50 =

7) Calcule:

a) (+4) + (+2) =
b) (+5) + (+1) =
c) (+7) + ( +5) =
d) (+2) + (+8) =
e) (+9) + (+4) =
f) (+6) + (+5) =
g) (-3) + (-2) =
h) (-5) + (-1) =
i) (-7) + (-5) =
j) (-4) + (-7) =
l) (-8) + ( -6) =
m) (-5) + ( -6) =

8) Calcule:

a) ( -12) + ( -19) =
b) (+32) + ( +14) =
c) (-25) + (-25) =
d) (-94) + (-18) =
e) (+105) + (+105) =
f) (-280) + (-509) =
g) (-321) + (-30) =

9) Calcule:

a) (+19) + (-5) =
b) (+3) + (-4) =
c) (-8) + (+6) =

d) (+5) + (-9) =
e) (-6) + (+2) =
f) (+9) + (-1) =
g) (+8) + (-3) =

h) (+12) + (-3) =
i) (-7) + (+15) =
j) (-18) + (+8) =
i) (+7) + (-7) =
l) (-6) + 0 =
m) +3 + (-5) =
n) (+2) + (-2) =

o) (-4) +10 =

p) -7 + (+9) =
q) +4 + (-12) =
r) +6 + (-4) =

10) Calcule

a) 5 + 10 + 8 =
b) 5 - 9 + 1 =
c) -8 - 2 + 3 =
d) -15 + 8 - 7 =
e) 24 + 6 - 12 =
f) -14 - 3 - 6 - 1 =
g) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 =
h) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 =
i) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 =
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 =
L) -13 - 1 - 2 - 8 + 4 - 6 - 10 =

11) Efetue, cancelando os números opostos:

a) 7 + 4 - 6 + 9 - 9 =
b) -7 + 5 - 8 + 7 - 5 =
c) -3 + 5 + 3 - 2 + 2 + 1 =
d) -6 + 10 + 1 - 4 + 6=
e) 10 - 6 + 3 - 3 - 10 - 1 =
f) 15 - 8 + 4 - 4 + 8 - 15 =

12) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses)

a) (+3) + (+4) +(+2) =

b) (+1) + (+8) + (-2) =
c) (+5) +(-8) + (-1) =
d) (-6) + (-2) + (+1) =

13) Calcule:

a) (+8) - (+3) =
b) (+5) - (-2) =
c) (-3) - ( +8) =
d) (-1) -(-4) =
e) (+3) - (+8) =
f) (+9) - (+9) =
g) (-8) - ( +5) =
h) (+5) - (-6) =
i) (-2) - (-4) =
j) (-7) - (-8) =
l) (+4) -(+4) =
m) (-3) - ( +2)=
n) -7 + 6 =
o) -8 -7 =

14) Calcule:

a) 6 - (-2) =
b) 7 - (+2) =
c) 2 - (-9) =
d) -5 - (-1) =
e) -5 -(+1) =
f) -4 - (+3) =
g) 8 - (-5) =
h) 7 - (+4) =
i) 26 - 45 =
j) -72 -72 =
l) -84 + 84 =
m) -10 -100 =
n) -2 -4 -1 =
o) -8 +6 -1 =
p) 12-7 + 3 =
q) 4 + 13 - 21 =

15) Calcule:

a) (-9) -(-2)+(-6) =
b) (-7)-(-5)+(-8) =
c) (+7)-(-6)-(-8) =
d) (-8) + (-6) -(+3) =
e) (-4) + (-3) - (+6) =
f) 20 - (-6) - (-8)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 =
h) -10 - (-3) - (-4)
i) (+5) + (-8) =
j) (-2) - (-3) =
l) (-3) -(-9) =
m) (-7) - (-8) =
n) (-8) + (-6) - (-7)
o) (-4) + (-6) + (-3) =
p) 15 -(-3) - (-1) =
q) 32 - (+1) -(-5) =

16) Elimine os parênteses:

a) +(-6 +8) =

b) -(-3 + 8) =

c) +(5 - 6) =
d) -(-3-1) =

e) -(-6 + 4 - 1) =
f) +(-3 -2 -1) =

g) -(4 -6 +8) =
h) + (2 + 5 - 1) =

17) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 9 + ( 7 - 3) =
b) 8 - (-2-1) =
c) -6 - (-3 +2) =
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) =
e) 30 - (6 - 1 +7) =
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) =
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) =
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) =
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) =

18) Calcule o valor das seguintes expressões :

a) 13 -(3-2) + ( 7 -4) =
b) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) =
c) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) =
d) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) =
e) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] =
f) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] =
g) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] =
h) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] =

i) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} =
j) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } =

19) Determine o produto:

a) (-20) . (+3) . ( +4) =
b) (+5) . (-1) . (+2)
c) (-6) . (+5) .(-2) =
d) (+8) . (-2) .(-3) =
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)=
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) =
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) =
h) (+25) . (-20) =
i) -36) .(-36 =
j) (-12) . (+18) =

20) Calcule os quocientes

a) (+30) : (-5) =
b) (+40) : (+2) =
c) (-42) : (+7) =
d) (-32) : (-8)=

e) (-75) : (-15) =
f) (-15) : (-15) =

g) (-80) : (-10) =
h) (-48 ) : (+12) =
l) (-32) : (-16) =
j) (+60) : (-12) =

21) Calcule o valor das expressões

a) 40 : 2 -7 =
b) -8 + 12 : 3 =
c) 6 : (-2) +1 =
d) 8 : (-4) - (-7) =
e) (-15) : (-3) + 7 =
f) 40 - (-25) : (-5) =
g) (-16) : (+4) + 12 =
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) =
i) -14 + 42 : 3 =

j) 40 : (-2) + 9 =

22) Calcule os quocientes

a) (+60) : (-5) =
b) (+40) : (+2) =
c) (-42) : (+7) =
d) (-32) : (-8)=

e) (-75) : (-15) =
f) (-15) : (-15) =
g) (-80) : (-10) =
h) (-48 ) : (+12) =
l) (-32) : (-16) =
j) (+60) : (-12) =
l) (-64) : (+16) =
m) (-28) : (-14) =

n) (0) : (+5) =

o) 49 : (-7) =
p) 48 : (-6) =
q) (+265) : (-5) =
r) (+824) : (+4) =
s) (-180) : (-12) =
t) (-480) : (-10) =
u) 720 : (-8) =
v) (-330) : 15 =

23) Calcule as potencias:

a) (-5)² =
b) (+3)⁴ =
c) (-6)³ =
d) (-1)² =
e) (+10)² =
f) (-3)⁵ =
g) (-1)⁶ =
h) (-1)³ =
i) (+2)⁶ =
j) (-14)² =
k) (-9)² =
l) (-1)⁵⁴ =
m) (-1)¹³ =
n) (-4)³ =
o) (-8)² =
p) (-8)² =

24) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):

a) 37 + 6²=
b) 50 - 4² =
c) -18 + 10² =
d) -6² + 30 =
e) -12-1⁷ =
f) -2⁵ - 40 =
g) 2⁵ + 0 - 2⁴ =
h) 2⁴ - 2² - 2⁰ =
i) -3² + 1 - .65⁰ =
j) 4² - 6 + 0 + 7² =
k) 10 - 7² - 1 + 2³ =
l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ =

CONJUNTO Z

2019-02-20T13:40:00.001-08:00

OS NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros são constituídos dos números naturais {0, 1, 2, ...} e dos seus simétricos {0, -1, -2, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemãoZahlen, que significa números, algarismos.

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois Inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.

A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 ....
Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

se a < b e c < d, então a + c < b + d
se a < b e 0 < c, então ac < bc

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). qé chamado o quociente e r o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).

Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

APLICAÇÃO

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porem que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (

28

para bytes,

232

para 32-bit arquitecturas, etc). No entanto, o uso de técnicas de Inteligência Artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

A ORIGEM DOS NÚMEROS

2019-02-20T13:34:00.002-08:00

Introdução Sobre a Origem dos Números

Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:

O modo como surgiram os números?
Como foram as primeiras formas de contagem?
Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

O Início do processo de contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.

A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

Representação numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.

"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.

A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS

Os números foram inventados pelos homens. Mas sua criação não aconteceu de repente surgiu da necessidade de contar coisas. O homem primitivo, por exemplo, contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer como alguns povos dessa época contavam.
A NUNERAÇÃO DOS ROMANOS

Os romanos representavam quantidades usando as próprias letras de seu alfabeto:

I - valia uma unidade
V - valia cinco unidades
X - representava dez unidades
L - indicava cinqüenta unidades
C - valia cem unidades
D - representava quinhentas unidades
M - indicava mil unidades

As quantidades eram representadas colocando-se os símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte regra:

- Os símbolos iguais juntos, até três , significava soma de valores:

II = 1 + 1 = 2

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

CCC = 100 + 100 + 100 = 300

- Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava subtração de valores:

IV = 5 - 1 = 4

XL = 50 - 10 = 40

XC = 100 - 10 = 90

- Dois símbolos diferentes juntos, com o maior aparecendo antes do menor, significa soma de valores:

LX = 50 + 10 = 60

CCXXX = 200 + 30 = 230

DC = 500 + 100 = 600

MMMD = 3000 + 500 = 3500

- Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras correspondentes à quantidade de milhares:
__
IV = 4000
_
V = 5000
_
VCCCXX = 5320
_____
XXIII = 23000
obs: Os Romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero

A NÚMERAÇÃO DOS HINDUS

Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje :
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9

Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles escrevemos todos os números.

Mais adiante vamos falar sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe, por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem diferentes.

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2018-10-27T17:41:00.002-07:00