Apuntes misceláneos

Tres "extractos" en torno al tema de los juegos eruditos

2024-10-15T12:24:00.007-07:00

1. De la contraportada de Los orígenes trágicos de la erudición (Fondo de Cultura Económica, 1998, 178 p.) de A. Grafton:

"Usadas profusamente por Kant, rechazadas por Hegel, consideradas ya como una forma excelsa del arte literario, ya como enojosas interrupciones de la lectura, las notas al pie, que a menudo se emplean para polemizar con los colegas, han sido ellas mismas objeto de polémica.

A través de un metódico y ameno rastreo de puntos de vista predominantes en diversas épocas, Anthony Grafton expone las diversas funciones que las notas al pie desempeñaron a lo largo de los siglos: dar legitimidad al texto, evadir la censura, refutar a otros estudiosos, elaborar un cuerpo de datos al que otros investigadores podrán recurrir con provecho.

Aunque aparecen como el sustento empírico de los sucesos relatados y los argumentos expuestos, sin el cual no puede verificarse ni refutarse una tesis histórica, las notas al pie no garantizan nada. Pueden usarse para negar los mismos hechos que otros tratan de confirmar apoyándose en las mismas notas; pueden emplearse para acumular citas y referencias carentes de interés o para atacar nuevas posturas. Sólida apoyatura o recurso ampuloso, la nota al pie constituye una parte crucial e insoslayable de esa mezcla de arte y ciencia que es la historia moderna."

2. Augusto Monterroso en el capítulo "Los juegos eruditos" de su libro La palabra mágica (Biblioteca Era, 1991 [2a. reimpresión], 120 p.):

"Como se sabe, en el Quijote hay errores de bulto claramente debidos al autor, y muchos que son simples erratas o minucias insignificantes que los correctores de pruebas dejaron pasar para la mayor gloria de don Diego Clemencín y otros comentaristas, de Francisco Rodríguez para acá, que han convertido la lectura de sus notas al pie de página en una delicia sólo paralela a la que produce la lectura del texto. Me adelanto a la suposición de que esto es una ironía. En realidad, con un poco que a uno le guste la literatura, uno puede pasarse noches enteras leyendo las objeciones que Clemencín ponía al texto de Cervantes y las defensas de Cervantes a cargo de Rodríguez Marín, no menos enloquecido por un ideal de justicia que el propio Alonso Quijano. Pero hay en el capítulo VI del Quijote un galimatías relacionado con galeras que nadie ha logrado desentrañar. Está en el párrafo que dice: '... con todo, os digo que merecía el que lo compuso, pues no hizo tantas necedades de industria, que lo echaran a galeras por todos los días de su vida'. Se refiere al autor de Tirante el Blanco, y esto, contra lo que parece, estaría dicho en su defensa, si uno tomara galeras por galeras de imprenta. Y sin embargo, lo mejor es leer el párrafo sin preocuparse y seguir adelante: es bien sabido a lo que conducen esas intrincadas razones."

3. Fragmento del diálogo entre Ronit Krushka (el personaje de Rachel Weisz) y Esti Kuperman (el personaje de Rachel McAdams) en la escena de Disobedience en la que Ronit y Rachel llegan a la casa del rabino Shlomo Krushka después de que Ronit se enteró de que su padre no la mencionó en su testamento:

Ronit: Lo que hacía todo el día era estar aquí y leer la Torá... Y los comentarios de la Torá. Y las notas a los comentarios y los debates sobre las notas.

Esti: Lo que significaba que podíamos hacer lo que queríamos.

UPDATE (11-11-2024). Acabo de caer en la cuenta que estaba dejando fuera de esta entrada un célebre párrafo de A. N. Whitehead sobre la tradición filosófica europea. Entiendo que el párrafo viene en Process and Reality y es el siguiente:

The safest general characterization of the European philosophical tradition is that it consists of a series of footnotes to Plato. I do not mean the systematic scheme of thought which scholars have doubtfully extracted from his writings. I allude to the wealth of general ideas scattered through them. His personal endowments, his wide opportunities for experience at a great period of civilization, his inheritance of an intellectual tradition not yet stiffened by excessive systematization, have made his writings an inexhaustible mine of suggestion. Thus in one sense by stating my belief that the train of thought in these lectures is Platonic, I am doing no more than to express the hope that it falls within the European tradition. But I do mean more: I mean that if we had to render Plato's general point of view with the least change made necessary by the intervening two thousand years of human experience in social organization, in aesthetic attainments, in science, and in religion, we should have to set about the construction of a philosophy of organism.

Un ejercicio de archivística

2023-08-17T19:50:00.008-07:00

(13.08.1998) Versión estenográfica del diálogo que el Presidente Ernesto Zedillo tuvo en la residencia oficial de Los Pinos, con participantes en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, que se celebró del 13 al 21 de julio último, en Taipei, Taiwán.

- Estudiante Omar Antolín Camarena: Del 13 al 21 de julio fue la Olimpiada Internacional de Matemáticas en Taiwán.

- Presidente E. Z.: Muy bien.

- Omar: A la Olimpiada Internacional van seis alumnos de cada país. Bueno, invitan a seis alumnos de cada país y de algunos van menos. Esta vez a la delegación mexicana no nos fue tan bien como el año anterior pero yo regresé con medalla de plata y un compañero trajo una mención honorífica que la otorgan cuando uno tiene la puntuación más alta en un problema pero no alcanza medalla.

- Presidente E. Z.: Muy bien.

- Omar: El año anterior fue en Mar del Plata, Argentina, la Olimpiada Internacional a la que también fui. He ido a las últimas tres. Allá nos fue bastante mejor. Participaron 82 países y México quedó en el lugar 32. Empatamos con Francia, por ejemplo, que tienen tradición en matemáticas. Entonces, este año hubo una medalla de plata, de un compañero de Guadalajara, y otros tres obtuvimos bronce.

- Presidente E. Z.: Muy bien. ¿En dónde fue este año?

- Omar: En Taipei, Taiwán.

- Presidente E. Z.: Y tú, ¿en qué nivel vas de estudios?

- Omar: Acabo de entrar a la universidad: hoy es mi cuarto día de clases.

- Presidente E. Z.: ¿Ah, sí?

- Omar: Sí, señor Presidente.

- Presidente E. Z.: ¿En qué universidad estás?

- Omar: Estoy en la UNAM, en la Facultad de Ciencias, estudiando matemáticas.

- Presidente E. Z.: Matemáticas, para variar.

- Omar: Sí.

- Presidente E. Z.: Entonces, este torneo era, digamos, a nivel de preparatoria.

- Omar: Sí. No hay requisitos sino, más bien, uno no puede estar inscrito en la universidad y no tener más de 20 años. Usualmente la restricción fuerte es no estar todavía en la universidad.

---oOOOo---

NOTA. Hasta hace algunos años el diálogo se podía encontrar en zedillo.presidencia.gob.mx/pages/disc; al parecer ese sitio ya fue eliminado o algo por el estilo. Opté por pasar el diálogo al blog antes de perder la hoja en la cual lo tengo impreso. Estoy cayendo en la cuenta de que me animé a hacerlo justo en la semana que se cumplieron 25 años de ese memorable encuentro de Omar con el Presidente Zedillo.

Un producto infinito para la constante de Ludolph van Ceulen

2023-03-14T10:21:00.061-07:00

Consideremos el producto infinito $$ \left(1- \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}-\cdots\right) \left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots\right) \left(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{7^{2}}-\cdots\right)\cdots$$ Dentro de un par de paréntesis hay alternancia de signos si y sólo el número primo que lidera a los paréntesis respectivos es congruente con $-1$ módulo $4$. Al considerar el producto de los primeros $n$ factores de ese producto infinito, los términos que se obtienen son de la forma $$ \pm \frac{1}{p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{n}^{e_{n}}} $$ donde $p_{1}, \ldots, p_{n}$ son los primeros $n$ números primos impares y $e_{1}, \ldots, e_{n}$ son números enteros no negativos. El signo de un término dado es negativo si y sólo si la suma de los exponentes de los primos congruentes con $-1$ módulo $4$ que aparecen en la expresión $p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{n}^{e_{n}}$ es un número impar. Puesto que todo número entero positivo $N>1$ se puede expresar como un producto de potencias de números primos de manera única (salvo el orden de las potencias), al desarrollar el producto infinito aparecerán como denominadores todos los números impares exactamente una vez. Tenemos así que \begin{eqnarray*}\left(1- \frac{1}{3}+\cdots\right) \left(1+\frac{1}{5}+\cdots\right)\left(1-\frac{1}{7}+\cdots\right) \cdots &=& 1- \frac{1}{3}+\\ && \frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{eqnarray*} Luego, en vista de que $$ 1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} - \cdots = \frac{p}{p+1},$$ $$ 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} + \cdots = \frac{p}{p-1}$$ y $$ 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\cdots = \frac{\pi}{4},$$ se concluye que \begin{eqnarray*}\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots \end{eqnarray*} La identidad es fácil de recordar pues, en la derecha, los numeradores son todos los números primos impares listados en su orden natural mientras que el denominador del primo $p$ es igual a $p+1$ cuando $p \equiv -1 \pmod{4}$ e igual a $p-1$ cuando $p \equiv 1 \pmod{4}$.

NOTA. La primera vez que vi este producto infinito para $\pi$ fue en las páginas del libro Alberto Barajas: su oratoria, sus matemáticas y sus enseñanzas (SMM & IMATE UNAM, 2010); no obstante, recuerdo haberlo encontrado después en algún otro texto de teoría de números. Espero volver a dar con esa obra más adelante; por ahora sólo me queda reiterarles mis mejores deseos (atrasados) por el Día de Pi 2023... ¡Hasta la próxima!

Some excerpts from V. I. Arnold's "Yesterday and long ago" on the origins of mathematics

2023-03-01T16:22:00.002-07:00

«Nowadays we tend to underestimate the knowledge of the ancients, especially of scientists before the ancient Greeks. For more than a hundred years historians have known about the facts I'll discuss below, but about which mathematicians have never heard.

Thousands of years ago (before Moses), a remarkable mathematician who made a lot of discoveries lived in Egypt. He was a land surveyor (he measured land--from this follows the word "geometry"). He is known as Thot, the name which he got after his death (Thot is the name of the God who carried the souls of the dead in a boat across the Lethe river in ancient Egypt).

His first discovery was the natural series: Thot understood that there is no maximal integer (before him the numbers were bounded by the tax payed to Pharaoh). He learned how to carry out proofs based on the existence of actual infinity. His second discovery is not a mathematical one: it was the first phonetic alphabet. Before there were only hieroglyphics in Egypt, and he decreased the number of symbols to several dozen, having realized that, for example, the sound d could be represented by a simplification of the hieroglyph which mean "dog".

In Plato's "Phaedrus", Ammon (the main Egyptian God) discusses with Thot the creation of this alphabet. Thot says that the ability to write down information makes people cleverer, because there is no need to remember everything. Ammon objects that it is "the other way around, they will be more stupid because by relying on their notes they would lose the habit of remembering". They did not discuss computerization yet.

The Jewish and Phoenician alphabets originate from Thot's alphabet. From the Phoenician alphabet comes the Greek one; and later from that the Latin alphabet and only then our Cyrillic version.

The next discovery of Thot is geometry. To measure plots of land in order to estimate an expected crop, the tax it would yield, and how much water for irrigation was required from the Nile, Thot invented axioms, definitions, theorems, and drawings. The only thing he did not care about was the independence of his axioms and, as a result, he did not reach the modern level. For example, instead of one axiom on parallels, he introduced four or five axioms (each of them actually yield the others). But Thot did not prove this, he just used all of them. The honor to choose one (the fifth postulate) and to convert the others into theorems belongs to Euclid.

The measurements of the Earth's radius is among the remarkable geometrical achievements of that time (which belongs either to Thot himself or to his students). Camel caravans walked from Thebes to Memphis along a meridian, and it was not difficult to count their steps (and hence the total distance). They also measured the difference in altitude of the Sun at noon on the same day at these two Egyptian cities. With this information it is easy to calculate the radius of the Earth. It is remarkable that the relative error in this result had been only 1% (as compared with the modern value).

Greek scientists did not trust the Egyptian data claiming that the Egyptian women were publicly prostituting with crocodiles (as it [has also been] mentioned in the book "De la célébration du dimanche" of Proudhon, 1870, Paris). And thus two hundred years later the Greeks decided to measure the radius again. A ship sailed north from the mouth of the Nile to the island Rhodes. To calculate the distance they multiplied "the speed of the ship driven by a wind of an average force" with the time taken by this voyage. They obtained a radius which was two times larger than the correct one (it is easier to count camel's steps than to estimate whether the force of wind is average).

It is interesting that many centuries later a captain from Genoa came to a Catholic Queen asking for permission to sail to India by a western route (instead of the eastern one followed later by Vasco da Gama). The Queen appointed a committee of experts who said that "for such a long distance it is not possible to build a ship capable of carrying sufficient water for survival". Thus the Queen refused permission for this expedition.

But the captain persisted, and after many discussions with experts he got permission to die of thirst. (It is said that the reason for their incorrect conclusion was that the experts trusted the Greek estimate of the Earth's radius, while the captain believed in the Egyptian one.) That is how, just by chance, America was discovered.

Thot founded celestial mechanics and astrology in Egypt. If not he himself, then his ancient followers, knew the law of inverse squares (for a planets' attraction to the Sun) and Kepler's laws of planetary motion. This knowledge disappeared in the destruction of Alexandria's library by fire, where all scientific records of ancient Egypt were kept. Newton wrote that he only restored this ancient knowledge (cf. "Unknown Newton". St. Petersburg, Aleteia, 1999, pp. 731-757)...

Pythagoras was actually one of the first industrial spies in the world. He lived in Egypt for about twenty years, where Egyptian priests taught him their science. He had to take an oath never to reveal this knowledge, and that is why he did not publish anything.

Returning to Greece he told his students about geometry, and they brought this to Euclid who had not taken an oath. So it was that he published the geometry of Thot. Besides from geometry, Pythagoras brought from Egypt the idea of reincarnation (independent of the Indian version), vegetarianism based on it, and the basics of musical harmony for stringed instruments (including the formula for the tension of strings with various lengths, which have the same frequency--the required tension is proportional to the square of the length; the conditions for an octave, a third, a fifth, ...--actually, the Fourier series)...

There were other "spies" who, like Pythagoras, brought Egyptian secrets to Europe: Plato (logic and philosophy), Eudoxus (number theory [up to] Euclid's algorithm and the theory of irrational numbers including the theory of Dedekind's [cuts] and Grothendieck's rings).

The theory of irrational numbers started from the discovery of incommensurability of the diagonal of a square with its side (that is, the irrationality of √2) which was kept as a secret in the Pythagorean school. The point is that this fact undermined the importance of the arithmetical theory of fractions (and in this way of all mathematics): fractions were not sufficient for day-to-day requirements (such as measurement of lengths). Consequently, mathematicians were afraid that they would be accused of creating nonsense, and that they would be discarded or, at least, not be fed.

Thus it was necessary to create a new science--the theory of real numbers. This task (which is not simple, by the way) was solved by Eudoxus. It is surprising how close his approach is to the modern one (in this matter and also in the ... theory of divisibility). The discovery that facts like the uniqueness of expansion of an integer into prime factors require proof, is actually not less important than the proof itself, which is also not evident at all.»

Apropos of negative reviews

2022-11-04T10:56:00.004-07:00

«André Weil, spiritual leader of the IAS for many years, set a high standard. In 1973, Associate Professor Michael S. Mahoney of the History of Science Department at Princeton University had the temerity (or perhaps the bad luck) to write a biography of Pierre de Fermat (1601-1665). At that time, Weil had been studying the history of Fermat for some time. He had given a lecture series on the subject. The depth of his understanding was uncanny: Weil had actually figured out sequences of letters that had been sent, on what dates they were mailed and had arrived, and who was thinking what when. He fancied himself to be the pre-eminent Fermat scholar. And the new biography by his colleague down the road did not strike his fancy. Somehow it was arranged for Weil to review the book for the Bulletin of the AMS. Weil begins the published review by reminding us that "In order to write even a tolerably good book about Fermat, a modicum of abilities is required." He then lists these prerequisites:

Ordinary accuracy.
The ability to express simple ideas in plain English.
Some knowledge of French.
Some knowledge of Latin.
Some historical sense.
Some familiarity with the work of Fermat's contemporaries and of Fermat's own mathematics.
Knowledge of and sensitivity to mathematics.

André Weil then proceeds to consider each of these attributes one by one, and to demostrate--via annotated quotations from the book under review--that the author apparently possesses none of them.»

References
Steven G. Krantz, Mathematical apocrypha: stories and anecdotes of mathematicians and the mathematical. Published and distributed by the Mathematical Association of America, USA, 2002, pp. 51-52.

The "Verfasser" anecdote in Derbyshire's book on the prime obsession

2022-10-27T14:43:00.001-07:00

«I don't think Landau's Handbuch has ever been translated into English. Number theorist Hugh L. Montgomery ... taught himself German by reading his way through the Handbuch, one finger on the dictionary. He tells the following story. The first 50-odd pages of the book are given over to a historical survey, in sections each of which is headed with the name of a great mathematician who made contributions in the field: Euclid, Legendre, Dirichlet, and so on. The last four of these sections are headed "Hadamard," "von Mangoldt," "de la Vallée Poussin," "Verfasser." Hugh was extremely impressed with the contributions of Verfasser, but was puzzled to know why he had not heard the name of this fine mathematician before. It was some time before he learned that "Verfasser" is a German word meaning "author" (ordinary nouns are capitalized in German).»

References
J. Derbyshire, Prime obsession: B. Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Published by Plume (a member of Penguin Group), USA, 2003, pp. 231-232.

On Dirichlet's attitude toward teaching

2021-12-16T23:59:00.005-07:00

"Looking back on my activity at the University of Berlin, I can give myself the attestation that during the twenty-seven years of my teaching there I never allowed myself to fail in the highest effort of which I was capable to facilitate your entrance to the glorious, unmeasurably growing, world of scholarship to which all my powers are dedicated..." --- P. G. L. Dirichlet (c. 1855)

It is with this quote that Robin Wilson's review of Uta C. Merzbach's "Dirichlet: a mathematical biography" ends. This review appeared on pages 84-86 of the December 2020 issue of The Mathematical Intelligencer.

I'll catch up with you later!

Un ensayo de Rafael Dieste

2021-09-13T22:16:00.004-07:00

SOBRE LA HISTORIA DE LAS PARALELAS

Breve noticia y comentario

§ 1. El postulado de Euclides y su equivalente: el postulado de la semejanza. "Si una recta que corta a otras dos forma con ellas y hacia el mismo lado dos ángulos internos cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas se encuentran en su prolongación del lado en que la suma es menor que dos rectos". Tal es (en versión del Prof. Francisco Vera) el famoso postulado V de Euclides, que tanto ha dado que hacer a geómetras y filósofos desde hace más de veinte siglos.

Esta proposición nunca parece haber tenido, ni aun para el mismo Euclides, ese carácter de evidencia inmediata y de premisa irreductible que se demanda de un axioma, en el sentido clásico de esta palabra. Lo primero que sorprendió fue tal vez su complejidad. De ahí el recurso de Posidonio (unos 100 años a. de C.): llamar paralelas, no como Euclides, más prudente, a dos rectas que dadas en un plano no se cortan, sino, resueltamente, a dos rectas equidistantes. Bajo el disfraz de una definición lo que así se postula es la existencia de rectas equidistantes. En seguida será muy sencillo demostrar el postulado V... Pero he aquí que el postulado V es, a su vez, la premisa perfecta para demostrar esa equidistancia.

Proclo (410 - 485) que nos da esta noticia, acude por su parte a un recurso sin duda menos candoroso que el de Posidonio, pero no más feliz. Supóngase dos rectas $AB$ y $CD$ que no se cortan.

Puesto que la distancia entre ellas es finita, una tercera recta $EG$ que corte en $F$ a la primera, tendrá que cortar a la segunda, ya que un punto móvil sobre el rayo $FG$, se alejará indefinidamente de $FB$ a medida que se aleje de $F$.

Demostrado así el postulado V de Euclides, podrá en seguida demostrarse que la distancia antes propuesta como finita es, además, constante... Es sólo un rodeo para tomar descuidado al toro. Pero no hay que negar por esto su valor. Tales rodeos son los que a la larga han servido para hacer cada vez más transparente la significación del problema, y más inequívoco su planteamiento. Se trata de una larga historia, de una tenaz batalla sin estruendo, pero no por eso menos dramática o imponente que otras más ostensibles. No intentamos hacer aquí ni aun el esquema de esa historia, sino indicar sólo algunos de sus pasos, los más decisivos y, al mismo tiempo, en más directa relación con el norte y estilo de este ensayo.

Es ante todo inexcusable referirse al filósofo y geómetra inglés John Wallis (1616 - 1703), a quien se debe el único postulado que puede competir en diafanidad noética con el postulado V de Euclides: "De toda figura existe siempre una semejante a ella de magnitud arbitraria". Es el llamado postulado de la semejanza. Leibniz (1646 - 1716) nos dirá que si descontada la diferencia de extensión, así como la diversa posición, no se discierne diferencia entre dos figuras, es que son semejantes, que tienen igual forma. (Y ya sabemos que en Leibniz lo discernible no se limita a ser lo distinguible empíricamente). Laplace (1749 - 1827) y Lazare Carnot (1753 - 1823) sustentarán siglo y medio más tarde el mismo supuesto: que el concepto de semejanza, para Carnot tan inmediato, aproximadamente, como el de congruencia o igualdad, no sólo sirve para demostrar el postulado V, sino que le aventaja en sencillez, en naturalidad apriorística, en valor axiomático.

He aquí brevemente el razonamiento de Wallis para demostrar el postulado V de Euclides a partir de la noción común de semejanza:

Sean $A$ y $B$ los ángulos internos formados respectivamente por dos rectas, $R_{1}$ y $R_{2}$, a un mismo lado de una secante común , y cuya suma suponemos inferior a dos rectos.

Si mediante la traslación de $R_{2}$ disminuímos de un modo continuo la distancia $BA$ (sin variar el ángulo de $R_{2}$ con la recta $AB$), antes de que esa distancia se reduzca a cero, $R_{2}$ tendrá que cortar a $R_{1}$ en algún punto $C$, determinando con la secante común, $AB$, un triángulo. Si luego acrecentamos de nuevo esa distancia (siempre sin variar los ángulos $A$ y $B$), crecerá la magnitud del triángulo, pero cualquiera que sea esa magnitud se mantendrá su semejanza con el inicial, y por lo tanto permanecerá invariable el tercer ángulo. $R_{1}$ y $R_{2}$ no podrán pues dejar de cortarse, cualquiera que sea la distancia $AB$.

Ahora bien, a partir del postulado V de Euclides se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo plano es siempre dos rectos. Es claro, pues, que si dos de los ángulos permanecen invariables, tendrá que permanecer invariable el tercer ángulo. Es decir, del postulado V se infiere la existencia de triángulos semejantes, y de ésta la existencia, en general, de figuras semejantes. Se demuestra, en suma, la misma premisa que Wallis utiliza para demostrar la proposición euclídea.

§ 2. El método de Saccheri y las geometrías no euclidianas. En la primera mitad del siglo XVIII, un genial italiano, el padre Giovanni Gerolamo Saccheri (1667 - 1733), hace el primer intento de demostración sistemática, continuando la tradición del problema, pero con nuevas y coherentes previsiones metódicas para resolverlo, en su famosa obra Euclides ab omni naevo vindicatus..., publicada en Milán en 1733. Dada la mutua dependencia entre el postulado V y la proposición 32 de los Elementos (según la cual la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos), Saccheri intenta demostrar esa proposición por reducción al absurdo.

La figura fundamental de Saccheri es un cuadrilátero $ABDC$, rectángulo en $C$ y $D$, y de lados $AC$ y $BD$ congruentes entre sí (birrectángulo isósceles), respecto a cuyos ángulos $A$ y $B$ (iguales)

cabe hacer tres hipótesis, que él designa respectivamente como hipótesis del ángulo recto ($A=B= 1$ ángulo recto); del ángulo obtuso ($A=B$ > $1$ ángulo recto), y del ángulo agudo ($A=B$ < $1$ ángulo recto).

Saccheri prueba satisfactoriamente que la segunda hipótesis, la del ángulo obtuso, que implica para todo triángulo una suma angular superior a dos rectos, no es compatible con la potencial infinitud de la recta (postulado II de Euclides); o lo que es igual, se apoya implícitamente en este postulado, como más tarde Lambert, Legendre, Lobachevski..., para excluir del plano dicha hipótesis. Prueba asimismo que la tercera hipótesis (que implica para todo triángulo una suma angular inferior a dos rectos) conduce a la admisión de rectas asintóticas, es decir, de rectas que se aproximarían entre sí indefinidamente sin llegar a encontrarse. Y finalmente sustituye de hecho el postulado V por otro que se podría formular así: Si la distancia entre dos rectas disminuye de un modo continuo, esas dos rectas tienen que encontrarse. O en otros términos: No existen rectas asintóticas. Admitido ese postulado, y asimismo el postulado II de Euclides, ya sólo cabe admitir (hip. del ángulo recto), que todo cuadrilátero birrectángulo isósceles es cuadrirrectángulo. De acuerdo con la proposición 32 de Euclides, la suma de los ángulos de un triángulo es entonces dos rectos y, consecuentemente, se cumple el postulado de la semejanza o, lo que es igual, se cumple el postulado V de Euclides.

Análogo al de Saccheri es el método de otro gran geómetra, el suizo Lambert (1728 - 1777). Parte éste de un cuadrilátero trirrectángulo. Hace sobre el cuarto ángulo las tres inevitables hipótesis (que sea recto, obtuso o agudo), y excluída la segunda, pone de manifiesto que admitir la tercera es admitir la medida absoluta de segmentos (en conexión con la medida absoluta de ángulos). Por distinto camino habría de llegar más tarde el tenacísimo y clarísimo Legendre (1752 - 1833) al mismo resultado. Podría formularse así el "postulado" de Legendre: La magnitud de un segmento no puede ser función directa del valor de un ángulo.

Schweikart y Taurinus, contemporáneos de Gauss, suelen reivindicarse como inmediatos precursores de la geometría no euclídea. Pero esto no impide reconocer en Saccheri al más preclaro precursor... involuntario. Con su modo de plantear el problema del paralelismo Saccheri se sitúa de hecho en el origen mismo de las geometrías no euclidianas, en cuanto éstas no hacen sino llevar más adelante la actitud lógica—o si se quiere epistemológica—implícita en la gran tentativa de Saccheri de demostrar por reducción al absurdo el postulado V. Las consecuencias de excluirlo—piensa Saccheri—deben manifestarse como contradictorias. ¿No son contradictorias? Es decir, ¿puede construirse una teoría coherente—no contradictoria—del espacio a partir de su exclusión? Entonces...

Limitémonos por ahora a hacer historia. Sabemos ya que Saccheri no cree compatible con la naturaleza misma de la recta y del plano (se entiende naturaleza geométrica) la existencia de rectas asintóticas. ¿Por qué? Es para él mismo como un misterio claro y desesperante del que no puede dar razón, y que le hace enmudecer de reverencia, aunque quisiera hablar, argumentar. Y he aquí que esas mismas rectas asintóticas—su admisión hipotética—son las que orientan hasta el fin (o por lo menos hasta el fin de su construcción) a un gran geómetra, el ruso Lobachevski (1793 - 1856), para probar que, excluído del plano, el postulado V se cumple en otra superficie, la horisfera... Superficie teórica, pero no más ni menos teórica (entiéndase hipotética o "puramente racional") que el plano euclídeo. Terrible polvorín de cuestiones, vitales (o mortales) para la mente humana, que dejarían en desorden y sin posible conclusión esta Breve noticia, si cometiésemos la inocente imprudencia de tocarlas aquí.

§ 3. La geometría lobachevskiana (o de Gauss-Lobachevski-Bolyai). El siguiente teorema de Lobachevski, con antecedentes en Legendre, nos permitirá ver en seguida, sin vaguedad alguna, todo el alcance de la exclusión del postulado V en la dirección de esta hipótesis: que la suma angular de un triángulo sea inferior a dos rectos (hipótesis de Saccheri del ángulo agudo).

TEOREMA. Una recta que corta perpendicularmente a uno de los lados de un ángulo agudo (cualquiera que éste sea), no cortará al otro si la distancia entre el pie de la perpendicular y el vértice del ángulo es suficientemente grande.

Sea en efecto $CAB$ cualquier ángulo agudo, correspondiente a un triángulo $CAB$, rectángulo en $B$. Si la deficiencia angular de este triángulo (lo que falta a la suma de sus ángulos para valer dos rectos) es $a$, para su duplicación es, el isósceles $CAD$, será de $2a$.Levantemos en $D$ a la recta $AD$, una perpendicular, y sea $E$ el punto en que encuentra a la prolongación de $AC$.

Si la deficiencia correspondiente al triángulo $CDE$ es $z$, la del triángulo rectángulo $ADE$ será $2a+z$. Doble deficiencia corresponderá a su duplicación, el isósceles $AEF$. Así pues, la de un nuevo triángulo $GAF$, rectángulo en $F$, y cuyo vértice $G$ sea un punto de la prolongación de $AE$, será $4a+2z+z^{\prime}$ (si llamamos $z^{\prime}$ a la del triángulo $EFG$). Continuando pues el mismo proceso constructivo, y prescindiendo de los valores indicados con $z$, $z^{\prime}, z^{\prime \prime}$..., tendremos, no obstante ese descuento, una suma angular que crece según la progresión $2a$, $4a$, $8a$, ..., $2^{n}a$. Pero siendo común a todos los triángulos rectángulos así construidos el ángulo invariable $CAB$, el decrecimiento sólo puede afectar al otro agudo, el cual disminuido en $2^{n}a$ sería finalmente, para $n$ bastante grande, un ángulo cero o negativo. No siendo esto posible, alguna de las perpendiculares sucesivas que levantemos en la prolongación de $AB$ no debe ya cortar a la prolongación de $AC$.

Un corolario inmediato es que la perpendicular a la bisectriz de un ángulo, cualquiera que éste sea, puede no cortar a los lados si la distancia entre el pie de la perpendicular y el vértice del ángulo es suficientemente grande. Se sigue, pues, fácilmente, que tres o más tangentes a una circunferencia pueden no cortarse si el radio de tal circunferencia es suficientemente grande, que existen en un plano tantos semiplanos no interferentes como se quiera, etc. De nada vale escandalizarse con los corolarios, ni es lógicamente la actitud más fértil buscar salida a través de su pujante multiplicación.

En la siguiente serie de proposiciones capitales (y aún prescindiendo ahora de su demostración) se advertirá en seguida el potente equilibrio lógico, e incluso arquitéctonico de la concepción lobachevskiana.

1) Sean $C$, $B$, $D$ ($B$ entre $C$ y $D$) tres puntos arbitrarios de una recta $CD$; y $AB$ un segmento perpendicular a $CD$ en el punto $B$. Si $BAL$ es el menor ángulo que puede formar con $BA$ una recta $AL$ que no corte a $CD$, decimos que $AL$ es la paralela a $CD$ por el punto $A$ en el sentido $AL$

(o en sentido $BD$ si suponemos a un mismo lado de $AB$ los ángulos $ABD$ y $BAL$). Pues bien, en la geometría de Lobachevski el ángulo $BAL$—ángulo de paralelismo—es siempre agudo (ya que si en algún caso fuese recto, sería siempre recto, y se cumpliría el postulado V de Euclides); y tanto más agudo cuanto mayor sea la distancia $AB$. Más aún; del teorema precedente se infiere que ese ángulo podrá ser tan pequeño como se quiera si la distancia $AB$ es suficientemente grande.

2) Nótese que si $AL$ es la paralela a $CD$ por el punto $A$ en sentido $AL$, supuesto el ángulo $BAL^{\prime}$ simétrico del $BAL$ respecto al lado común $AB$, tendremos por $A$ una segunda paralela a $CD$ en sentido $AL^{\prime}$ (o lo que es igual en sentido $DC$ o $BC$). Todas las rectas del plano común a $CD$ y $A$ que pasan por $A$, se dividen pues en dos clases: secantes de $CD$ (las comprendidas en el ángulo $LAL^{\prime}$, con exclusión de las rectas $L$ y $L^{\prime}$); y no secantes de $CD$ (todas las demás rectas que pasan por $A$, entre las cuales se incluyen, naturalmente, las dos paralelas, $L$ y $L^{\prime}$, a la recta $CD$ por el punto $A$).

3) Si $AL$ es paralela a $CD$ por el punto $A$ y en sentido $AL$, en tal sentido la distancia entre ambas rectas decrece continua e indefinidamente sin otro límite inaccesible que cero; y crece en cambio continua e indefinidamente en sentido opuesto. (De acuerdo, pues, con Saccheri, las rectas $AL$ y $CD$ son—o serían—asintóticas. En la terminología de Bolyai, $AL$ es asíntota de $CD$, y $CD$ lo es de $AL$; ambas rectas son paralelas asintóticas.)

4) Dos rectas $h$ y $f$, perpendiculares a una tercera, divergen a partir de ésta, en ambos sentidos, continua e ilimitadamente.

5) Toda línea equidistante de una recta en el plano es una curva (hiperciclo) que opone a la recta su concavidad, y cuya curvatura es tanto mayor cuanto mayor sea el parámetro del hiperciclo: su distancia a la recta.

6) El límite de las circunferencias no es la recta, ni puede serlo un hiperciclo, sino una curva límite (horiciclo) de ejes asintóticos (o según la terminología de Lobachevski, paralelos).

7) A ese orden de líneas corresponde un orden de superficies. El hiperciclo es la recta de una hiperesfera (superficie equidistante de un plano). El horiciclo es la recta de la horisfera, límite de una esfera de radio creciente y de una hiperesfera de parámetro creciente.

8) En una hiperesfera, la suma de los ángulos de un triángulo es, como en el plano, menor que dos rectos. Para triángulos de extensión constante, tal suma se aproximará tanto más a dos rectos cuanto mayor sea el parámetro de la hiperesfera (es decir, su distancia al plano del cual equidista). En la horisfera el déficit se anula. Al pasar a la esfera nos hallamos con la inversión del signo. El déficit, a través de cero, pasa a ser exceso, tanto menor, como es sabido (siempre para triángulos de la misma extensión), cuanto mayor sea el radio de la esfera.

9) Puesto que en la horisfera la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos, en ella se cumple el postulado de Euclides, y el postulado de Wallis: allí sí, habrá triángulos semejantes.

Aunque tal concepción se ha consagrado con el nombre de "lobachevskiana", todos los buenos estudiantes de historia de la geometría saben la gloria que en el proceso o culminación de tan extraordinario descubrimiento lógico cabe principalmente a Gauss, "príncipe de los matemáticos" (1777 - 1855), y al húngaro, oficial del ejército austríaco, János Bolyai (1802 - 1860), hijo y discípulo de otro gran geómetra (Farkas Bolyai) que no pudo apartarle de tan aventuradas investigaciones, si bien fue luego, al ver el fruto, el primero en celebrarlas: ... "Si la cosa está realmente conseguida, conviene darla a la luz pública: primero, porque las ideas pasan fácilmente de uno a otro, que acaso se anticipe a publicarlas, y luego porque hay también mucho de verdad en esto: que muchas cosas tienen una época en la cual son descubiertas a la vez en varios lugares, de igual modo que por la primavera brotan las violetas en todas partes"...

§ 4. Riemann, o la exclusión del paralelismo. Tres hipótesis: tres geometrías. En todas las investigaciones aludidas se había dado siempre por supuesta la no finitud de la recta (o sea, según el postulado II de Euclides, la posibilidad de prolongar ilimitadamente una recta limitada, un segmento de recta). Se partía asimismo (lo uno implica lo otro) de la existencia en el plano de rectas no secantes, ya en cierto modo postulada por Euclides en su definición de paralelas: "rectas de un plano (entiéndase segmentos) que prolongadas por sus dos partes, en ninguna se encuentran".

Riemann (1826 - 1866) es el primero en excluir la existencia en el plano de tales rectas no secantes, al adoptar con todas sus consecuencias la hipótesis del ángulo obtuso, de Saccheri. En su geometría no hay rectas paralelas, ni euclídeas ni lobachevskianas. La recta es cerrada (se excluye así el postulado II); y hay en el plano pares excepcionales de puntos, análogos a los diametralmente opuestos de una esfera, por los cuales no pasa una sola recta (no determinan una recta), sino infinitas rectas.

Llamemos $S$ a la suma de los ángulos de un triángulo. Las tres hipótesis respecto a esa suma se corresponden con tres geometrías: de Euclides ($S=2$ ángulos rectos); de Gauss-Lobachevski-Bolyai ($S$ < $2$ ángulos rectos), y plano esférica de Riemman ($S$ > $2$ ángulos rectos).

Dada la conexión entre las tres hipótesis sobre la suma de los ángulos de un triángulo y las que pueden proponerse a priori sobre el paralelismo, la anterior distinción puede también establecerse así:

I) Si $A$ es en un plano un punto exterior a una recta $\ell$, por ese punto se puede siempre trazar una recta, y una sola, que no encuentre a $\ell$ (Euclides).

II) Se pueden trazar por $A$ infinitas rectas no secantes de $\ell$ (Lobachevski).

III) Por el punto $A$ no pasa recta alguna que no corte a $\ell$ (Riemann).

De más esta decir que adoptar una de las tres hipótesis no es hacerse adversario del que adopte alguna de las otras dos. En el siglo pasado aún se admitía la posibilidad de la comprobación empírica (midiendo los ángulos de un triángulo suficientemente grande). Razones no sólo prácticas, sino epistemológicas, han ido haciendo declinar la fe en ese recurso. Entretanto sabemos que la tercera hipótesis no es hipótesis, sino un hecho cierto y "euclidiano", si la referimos a la superficie esférica, y que asimismo la segunda (dentro de ciertos límites, o sea prescindiendo de aquellos corolarios que sólo tendrían sentido en el plano) se cumple en superficies de curvatura negativa. Así entendidas, no hay gran razón para inquietarse...

§ 5. Comentario. Y sin embargo, la inquietud subsiste. Se sabe muy bien que no se trata de la esfera ni de la seudoesfera, sino del plano, y que es justamente por ser inequívocamente plano el plano por lo que puede alguna vez tener sentido este fértil convenio: llamar plano al espacio, por ejemplo... Se sabe asimismo, más o menos de soslayo, que no hay digno sosiego para la mente si Dianoia y Noesis se mueven guerra en ella, y más aún si es guerra fría, como ahora se dice.

Se construyen modelos tangibles y modelos simbólicos, acompañados de diccionarios para la justa interpretación de las líneas y de sus relaciones, que muestran la conciliación teórica de las tres geometrías, mientras nos mantengamos, diplomáticamente, al margen de la llamada representación intuitiva del plano. Representación intuitiva... No es fácil saber de que se trata, al menos si se sobrentiende que es algo "inferior" y, en cierto modo, hostil a la representación discursiva del mismo plano, es decir, del mismo plano al cual se refiere el discurso. Ciertamente éste, a partir de la crisis de los postulados, puede referirse a tres planos, que se declaran (los tres) hipotéticos y que, en principio, son el mismo plano, ya que él, a ese plano único, se refieren las tres hipótesis que dialécticamente lo diversifican. ¿Cómo puede ser? ¿Es que ese mismo plano se desdice, y la suma angular de sus triángulos es a la vez dos rectos, y mayor o menor que dos rectos? Para la representación intuitiva las consecuencias de suponer que es mayor o menor que dos, entran pronto en discordia con la representación del plano. Fiel (como es lógico) a esa representación inicial, que es además la subsistente, la intuición retrocede, o bien resuelve curvar las rectas elegantemente y sigue adelante, siempre en espera (por exigencias lógicas, de fidelidad a lo previamente dado o mencionado) de que terminen por enderezarse. La epistemología (al menos la vigente) no toma en serio esta esperanza ni aquel retroceso. ¿Cómo se justifica esa indiferencia? Ahí se pasan los límites de la epistemología para entrar en los de un cierto dogmatismo formalista escéptico, que tampoco es seguro que pueda (ni quiera) calificarse de filosofía, y cuyas variantes, escuela y matices no cabe aquí, sin riesgo de injusticia, reducir a esquema. En general se tiende a dar por definitivamente establecido que un postulado o un axioma no es más que una "regla de juego". No tendríamos gran dificultad en concederlo si al decir juego no se entendiese algo movido por la regla, o ya implícito en ella, y sin otro destino que confirmar la interna consecuencia de la regla misma y si, por otra parte, al decir regla se entendiese algo más que convenio previo entre los jugadores. La regla más honda y viva puede ser ignorada, y el que juega de verdad—como un torito en una pradera—no siempre da en creer, por suerte, que eso que hace es puro juego. ¡Si se dijese puro diálogo!...

De un diálogo justamente se trata, se nos dice, un diálogo en el cual, dicha una cosa, ya no hay que desdecirse mientras no se llega al absurdo, el cual sólo consiste en decir lo contrario de lo que se había dicho , y esto como rigurosa consecuencia de lo que se había dicho.

Nada hay que oponer a esto. Es sin duda un gran método (allí donde el sentido de orientación nos haga presentir que es, en efecto, un método) mientras de ahí no se infiera que todo el valor de aquello que se ha empezado por decir reside en la posibilidad de poder seguir diciéndolo indefinidamente. Sin duda eso es parte del valor lógico de una proposición, pero otra parte importante es que sea lógica, lo cual exige que tal proposición no sea soberana de una isla perdida, incomunicada...

¡Todas se comunican! dice de nuevo nuestro interpelante. Y ahí reside exactamente la unidad y hasta la libertad del entendimiento, pues—quiera o no acompañarlo la intuición—puede ir a la isla en que se dice si y (si está bien gobernada) decir si; y luego ir a la isla en que se dice no y decir también no, y esto sin desdecirse, pues lo único que dice es que una isla debe estar bien gobernada. ¿Y el buen gobierno? Simplemente un gobierno consecuente, a partir de convenios bien establecidos, es decir: a partir de axiomas suficientes, compatibles y, a ser posible, no superabundantes. Es ocioso—ingenuo—preguntarse si el plano es plano o esférico. Tan racional es una hipótesis como la otra. Sólo es cuestión de convenir lo uno o lo otro y de formalizar bien el convenio, dándole forma de premisas que nos permitan sustentar sin contradicción lo uno o lo otro. Y como lo uno puede siempre traducirse a lo otro (para eso están los convenios nominales) la no contradicción de lo uno es justamente la garantía de la no contradicción de lo otro...

Aquí aparece algo de auténtico valor: los diccionarios... No, no puede haber inconveniente alguno (es fértil para ciertas investigaciones lógicas, y acaso inexcusable para dar máxima transparencia o agilidad a ciertas disciplinas geométricas) en llamar punto a la recta, recta al plano, plano al espacio..., siempre que no se intente llevar esa transferencia de nombres, y con carácter de criterio, al terreno mismo en que se están queriendo investigar las propiedades irreductiblemente distintivas de lo que se nombra. Y si se dice: No existe lo que se nombra, sino sólo el nombre, se empieza por un postulado asombroso, impropio de la majestuosa modestia de la geometría. Aun cuando sí, podría ser verdad, con un alcance tal vez no deseado por los nominalistas, dándole este otro giro: Lo que se nombra es apenas la sombra del nombre.

***

CRÉDITOS. Encontré este ensayo en el primer capítulo del Nuevo tratado del paralelismo del poeta Rafael Dieste (dicho libro fue publicado en 1956 por la editorial argentina Atlántida). Aunque tengo conflictos con algunos puntos del ensayo, decidí "subirlo" a la bitácora para futuras referencias. Cabe mencionar que fue a través de un artículo que Letras Libres le publicó a Gabriel Zaid que supe de la pasión de Dieste por la geometría; el artículo lleva por título Problemas archivados y se encuentra disponible en este rincón del portal de la revista.

Five problems: a perfect square trinomial to rule them all

2021-04-08T09:00:00.063-07:00

PROBLEMS

1. Show that there are infinitely many square triangular numbers.

2. Call an integer square-full if each of its prime factors occurs to the second power (at least). Prove that there are infinitely many pairs of consecutive square-fulls.

3. The prime decomposition of different integers $m$ and $n$ involve the same primes. The integers $m+1$ and $n+1$ also have this property. Is the number of such pairs $(m,n)$ finite or infinite?

4. Encuentre el número entero positivo $A$ que satisface $$A^{2} = 4\cdot 2006 + 4\cdot 2004 + 4 \cdot 2002 + \cdots + 4\cdot 4 + 4 \cdot 2 + 1.$$

5. Un entero positivo es bueno si es divisible entre todos sus factores primos al cuadrado. Por ejemplo, el $72$ es bueno ya que sus factores primos son $2$ y $3$ y $72$ es múltiplo de $2^{2}$ y $3^{2}$. Demuestre que hay una infinidad de parejas de números enteros consecutivos buenos.

REMARKS

I encountered these problems in different sources, on different ocassions. Clearly enough, they are not totally unrelated: for instance, the fifth problem is but the translation into Spanish of the second one and the sort of thing that we are asked to establish in all of them, with the exception of the fourth one, is more or less the same. Isn't it fabulous that we can establish each one of them by resorting to the fact that $4n(n+1)+1=(2n+1)^{2}$? (For example, a (beautiful) solution to the first problem goes as follows: if $n$ is a positive integer such that $\frac{n(n+1)}{2}$ is a perfect square, then $\frac{4n(n+1)[4n(n+1)+1]}{2}= 4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)(2n+1)^{2}$ is both a triangular number and a perfect square; since $1$ is a square triangular number, we are done.) Naturally, this is not to say that it is not desirable or possible to solve them in some other ways: in point of fact, both the first and the second problem can also be settled by considering a suitable Pell equation and the fourth one by determining the prime decomposition of $4(1003)(1004)+1$ (manually or with the aid of WA). The point here is that all of these problems can basically be solved by appealing to the squareness of $4n^{2}+4n+1$... Does any of you know of some other nice problem that can be disposed of by means of this trinomial?

ORIGINS

Problem 1: J. L. Pietenpol, A. V. Sylwester, Erwin Just, and R. M. Warten, Amer. Math. Monthly, 69 (Feb. 1962), pp. 168-169.

Problem 2: Donald J. Newman, A problem seminar. Springer Verlag, New York, 1982, p. 8.

Problem 3: You failed your math test, comrade Einstein. M. Shifman (editor). World Scientific, 2005, p. 24.

Problem 4: Problema 4 de la etapa semifinal estatal de la Vigésima Primera Olimpiada Mexicana de Matemáticas, (2007).

Problem 5: Tzaloa: Revista de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, (2013), no. 2, p. 26.

P.s. (April 9th, 2021) I have just noticed that I forgot to include the following problem in the above list: Prove that the equation $x^{2}+y^{2}+1=z^{2}$ has infinitely many integer solutions. Unfortunately, I don't recall at the moment where it was that I picked this one up from...

En ocasión del día de la constante de los redondos aros

2019-03-22T21:57:00.001-07:00

Escribo con la única intención de compartirles la solución más sucinta que conozco para aquel bonito problema que solicita determinar cuál de los dos números $\pi^{e}$ o $e^{\pi}$ es más grande. Esta solución se debe a B. Chakraborty y la vi por vez primera en el portal de The Mathematical Intelligencer a finales del año pasado. Resulta que $\pi^{e}< e^{\pi}$ y Chakraborty, en su prueba, esencialmente apela sólo a la representación integral del logaritmo natural: en efecto, como $$ \ln \pi - \ln e = \int_{e}^{\pi} \frac{1}{t} \, dt < \frac{1}{e}(\pi - e) = \frac{\pi}{e} - 1$$ el aserto se sigue.

En mi opinión, este ataque es más directo y fácil de reproducir que el que Martin Gardner brevemente comentara en la entrega de septiembre de 1979 de su columna en Scientific American y el cual se basa en el análisis del valor máximo de la función $f \colon (0,\infty) \to \mathbb{R}$ cuya regla de correspondencia es $x \overset{f}{\mapsto} x^{1/x}$.

Aunque tenía la intención de publicar esta entrada en la octava del Día de $\pi$, algunas cuestiones de burocracia que surgieron en estos días me impidieron concretar tal anhelo; a pesar de ello y demás falencias, espero que la entrada sea de su agrado.

¡Hasta pronto!

Vuelta a la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos

2018-04-11T16:22:00.001-07:00

Hay varias maneras de establecer la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos. En una entrada anterior de la bitácora les platiqué la bonita demostración debida al gran Pál Erdős. En esta ocasión deseo comentarles una manera sucinta de presentar la demostración dada por L. Euler en el siglo XVIII.

El punto de partida lo proporciona la desigualdad $$\prod_{p \leq N} \left(1+\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{2}}+\cdots \right) \geq 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{N} \qquad (\ast)$$ la cual es válida para todo $N \in \mathbb{N}$ (sí, el producto en el lado izquierdo es sobre los números primos del intervalo $[1,N]$) y es una consecuencia (más o menos directa) del teorema fundamental de la aritmética. La expresión en el lado derecho corresponde a la $N$-ésima suma parcial de la serie armónica y está acotada inferiormente por el logaritmo natural de $N$: \begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{N} &>& 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N-1}\\ &\geq& \int_{1}^{2} \frac{1}{t}\, dt + \int_{2}^{3} \frac{1}{t} \, dt\\ &+& \cdots + \int_{N-1}^{N} \frac{1}{t}\, dt\\ &=& \int_{1}^{N} \frac{1}{t} \, dt\\ &=& \log N. \end{eqnarray*} Luego, en vista de que para cada $x \in (0,1/2]$ se cumple que $e^{2x}> \frac{1}{1-x}$, de la desigualdad $(\ast)$ se sigue que \begin{eqnarray*} \log N &<& \prod_{p \leq N} \left(1+\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{2}}+\cdots \right)\\ &=& \prod_{p \leq N} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}\\ &<& \prod_{p \leq N} e^{\frac{2}{p}}. \end{eqnarray*} Se tiene así que $$\sum_{p \leq N} \frac{1}{p} > \frac{\log \log N}{2}$$ si $N>2$. Puesto que la "función" $\log \log N$ tiende a infinito cuando $N \to \infty$ (aunque nadie la ha visto hacerlo), la prueba termina.

Escolios. a) De la desigualdad $\log N < \prod_{p \leq N} e^{\frac{2}{p}}$ se desprende inmediatamente que $\pi(N) > \log \log N$ para cada $N \in \mathbb{N} \cap [3,\infty)$: esta cota inferior para la función contadora de primos, aunque burda, conlleva a una demostración de la infinitud del conjunto de números primos distinta a la de Eucl. IX-20. b) El connoisseur está en todo su derecho de proclamar que los detalles sobre el "crecimiento" de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica pudieron haberse omitido. c) Bien pudiera decirse que la dem. ha partido, esencialmente, de un corolario del desarrollo en producto de Euler para la función zeta de Riemann. d) Sí, la divergencia de la serie armónica es equivalente a la divergencia de la serie de los recíprocos de los números primos.

¡Hasta pronto!

Edmund Landau, the irrepressible spoiled child of mathematics

2017-06-21T15:20:00.002-07:00

... Landau was an instance of that uncommon phenomenon, the scion of a wealthy family who yet had a powerful work ethic and a record of great achievement in a non-commercial field. Landau's mother Johanna, née Jacoby, came from a rich banking family. His father was a Professor of Gynecology in Berlin, with a successful practice. Landau Senior was also a keen supporter of Jewish causes. The family home was at Pariser Platz 6a, in the most elegant quarter of Berlin, close to the Branderburg Gate. Edmund was appointed to a professorship at Göttingen in 1909. When people asked for directions to his house, he would reply "You can't miss it. It's the finest house in town." He followed his father's (and Hadamard's) interest in Zionism, helping to establish the Hebrew University of Jerusalem and giving the first math lecture there, in Hebrew, shortly after the university opened in April 1925.

Landau was something of a character--this was a great age for mathematical characters--and there are apocrypha about him rivaling those of Hilbert and Hardy. Perhaps the best-known story is his remark about Emmy Noether, a colleague at Göttingen. Noether was mannish and very plain. Asked if she was not an instance of a great female mathematician, Landau replied: "I can testify that Emmy is a great mathematician, but that she is a female, I cannot swear." His work ethic was legendary. It is said that when one of his junior lecturers was in hospital, recuperating from a serious illness, Landau climbed a ladder and pushed a huge folder of work through the poor man's window. According to Littlewood, Landau simply did not know what it was like to be tired...

References
J. Derbyshire, Prime obsession: B. Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics. Published by Plume (a member of Penguin Group), USA, 2003, pp. 230-231.

Revisitando la demostración de Erdös del postulado de Bertrand

2017-06-05T00:18:00.000-07:00

Al releer recientemente el artículo donde Erdös expone su prueba del postulado de Bertrand, caí en la cuenta de que el buen Paul sí mencionó en ese trabajo que su prueba daba también una cota inferior para el número de primos en los intervalos $(n,2n]$ (donde $n \in \mathbb{N}$) y que dicha cota es prácticamente la que predice el teorema de los números primos.

Recordemos que lo que Erdös hace en su artículo es acotar inferior y superiormente los coeficientes binomiales $c_{n}:=\binom{2n}{n}$ y comparar entre sí sendas estimaciones. La estimación inferior es $$\frac{4^{n}}{2n} \leq \binom{2n}{n}$$ y la obtiene de la identidad $\binom{2n}{0} + \ldots + \binom{2n}{2n} = 2^{2n} = 4^{n}$. La estimación superior la obtiene al estudiar de una manera muy astuta la descomposición en números primos de $\binom{2n}{n}$: en efecto, del teorema fundamental de la aritmética, de la fórmula Legendre (cf. A. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres. Seconde édition, 1808, págs. 8-10; de acuerdo con W. Narkiewicz, la atribución a de Polignac (1826-1863) y/o a Chebyshev (1821-1894) de este resultado es incorrecta) y de la desigualdad de Erdös-Kalmár se llega a que \begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} &\leq & \prod_{p \leq \sqrt{2n}} p^{\alpha_{p}(c_{n})} \prod_{\sqrt{2n} < p \leq \frac{2}{3}n} p \prod_{n < p \leq 2n} p\\ &\leq& \prod_{p \leq \sqrt{2n}} (2n) \cdot 4^{\frac{2}{3}n} \cdot \prod_{n < p \leq 2n} p\\ &\leq& (2n)^{\sqrt{2n}} \cdot 4^{\frac{2}{3}n} \cdot \prod_{n < p \leq 2n} p \end{eqnarray*} para cada número natural $n \geq 3$. La conexión con el estudio de los números primos en $(n,2n]$ se acaba de hacer más que patente en este momento, ¿cierto?

De ambas estimaciones se desprende que si $n\geq 3$ entonces \begin{eqnarray*} 4^{\frac{n}{3}} \leq (2n)^{1+\sqrt{2n}} \prod_{n < p \leq 2n} p. \end{eqnarray*} De esto y de la desigualdad $$ (2n)^{1+\sqrt{2n}} < 2^{\frac{n}{2}},$$ la cual es válida para todo número natural $n$ suficientemente grande (lo que en este caso quiere decir, en números redondos, siempre que $n > 22 \, 620$), se obtiene que $$ \prod_{n < p \leq 2n} p > 2^{\frac{n}{6}}$$ si $n$ es suficientemente grande: ergo, para cada $n$ así de grande se cumple que $$(2n)^{\pi(2n)-\pi(n)} > 2^{\frac{n}{6}},$$ o equivalentemente que \begin{eqnarray*} \pi(2n)-\pi(n) > \frac{\log 2}{6} \cdot \frac{n}{\log 2n}. \end{eqnarray*} En resumidas cuentas: ¡la formulación clásica del postulado de Bertrand es sumamente conservadora!

A play on the interplay 'twixt primes and polynomials

2017-04-26T22:25:00.000-07:00

In what follows, we shall denote the set of positive prime numbers by $\mathbf{P}$.

Act I. It is more or less well-known that there does not exist a non-constant polynomial $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$. This can be proven by reductio ad absurdum: if $f(n) \in \mathbf{P}$ for every $n \in \mathbb{N}$ and $f(1) =: p$, then $p \mid f(1+kp)$ for every $k \in \mathbb{N}$; it follows that at least one of the equations $f(x)=p$ or $f(x)=-p$ has more solutions than $\deg(f)$, Q. E. A. This result is typically attributed to Christian Goldbach: W. Narkiewicz, on page 25 of his "The Development of Prime Number Theory", even mentions that it can be found in a letter from Goldbach to Euler written on September 28th, 1743. Luckily for us, Springer-Verlag published two years ago a translation into English of the correspondence of L. Euler with C. Goldbach edited and commented by F. Lemmermeyer and M. Mattmüller.

Act II. Several years ago, while perusing a very interesting article on primes in arithmetic progressions by M. R. Murty, I learned the notion of prime divisor of a polynomial: if $p \in \mathbf{P}$ and $f \in \mathbb{Z}[x]$, we say that $p$ is a prime divisor of $f$ if $p \mid f(n)$ for some $n \in \mathbb{Z}$. According to Murty, the basic theorem on the set of prime divisors of a non-constant $f \in \mathbb{Z}[x]$ can be traced back (at least) to a 1912 paper of I. Schur. The theorem can be proven emulating the celebrated proof of Eucl. IX-20.

Theorem. If $f$ is a non-constant polynomial of integer coefficients, then its set of prime divisors is infinite.

Proof. If $f(0)=0$, then every $p \in \mathbf{P}$ is a prime divisor of $f$. If $f(0) = c \neq 0$, then $f$ has at least one prime divisor as it can take on the values $\pm 1$ only finitely many times. Given any finite set $\mathcal{P}_{k}:=\{p_{1}, \ldots, p_{k}\}$ of prime divisors of $f$, we are to show that we can always find another prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Let $A := p_{1} \cdots p_{k}$ and consider the equality $f(Acx)=cg(x)$ where $g \in \mathbb{Z}[x]$ is a polynomial of the form $1+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots$ where every $c_{i}$ is a multiple of $A$. Since $g$ is a non-constant polynomial whose constant term is different from $0$, $g$ has at least one prime divisor $p$. Clearly enough, this prime number $p$ is also prime divisor of $f$ which does not belong to $\mathcal{P}_{k}$. Q.E.D.

Act III. Resorting to the ideas in the previous paragraphs plus Dirichlet's glorious theorem on primes in arithmetic progressions, we are going to determine all the non-constant polynomials $f \in \mathbb{Z}[x]$ such that $f(\mathbf{P}) \subseteq \mathbf{P}$.

- If $f$ is one such polynomial and $f(0)=0$, then $f(x)=xg(x)$ for some some $g \in \mathbb{Z}[x]$. Given that $p \cdot g(p) =f(p) \in \mathbf{P}$ for every $p \in \mathbf{P}$, it follows that $g(p) = \pm 1$ for every $p \in \mathbf{P}$; therefore, in this case we obtain that either $g(x)=1$ and $f(x) =x$ or $g(x)=-1$ and $f(x)=-x$.
- Let us assume now that $f$ is one such polynomial and $f(0)=c \neq 0$. By the above theorem, we may fix a prime divisor $q$ of $f$ which is greater than $|c|$. If $n \in \mathbb{Z}$ is a witness of the fact that $q$ is a prime divisor of $f$, then $q \nmid n$. Thus, if $p_{1} < p_{2} < p_{3} < \ldots$ are all the positive primes in the arithmetic progression whose first term is $n$ and whose common difference is $q$, we have that $f(p_{i}) \equiv f(n) \equiv 0 \pmod{q}$ for every $i \in \mathbb{N}$, which is decidedly absurd because $f$ can assume the values $\pm q$ only finitely many times.

Hence, $f(x)=x$ is the only non-constant polynomial with integer coefficients which sends $\mathbf{P}$ to one of its subsets.

THE END.

Nunca hubo milagro

2017-04-18T09:45:00.001-07:00

NUNCA HUBO MILAGRO

Banach y Tarski se encontraban gesticulando y argumentando, en el mismo cubículo, frente a un inmenso pizarrón verde, cuando demostraban el teorema que a la postre sería conocido como la Paradoja de Banach-Tarski: dada una bola sólida en $\mathbb{R}^{3}$, existe una descomposición de esta en un número finito de subconjuntos disjuntos que se pueden juntar otramente para producir dos copias idénticas a la bola original. Justo cuando terminaron la prueba, ambos callaron y se miraron muy contentos. Tarski hizo una pequeña aspiración y retuvo el aire un instante hasta que finalmente, absorto, le dijo a Banach: "Ahora sabemos cómo fue que Cristo multiplicó los peces y el pan".

Autor: Enrique Ruiz.

Postdata. Leí este cuento por vez primera en 2016: no obstante, debo de confesar que estuve aguardando su aparición desde aproximadamente el primer semestre de 2004 pues fue más o menos in illo tempore que el Prof. Vulfrano T. me comentó que la multiplicación de los panes y los peces se podía conectar con el Axioma de Elección.

Para la reflexión

2017-01-07T19:23:00.000-08:00

«It is related of the Socratic philosopher Aristippus (c. 435 – c. 356 BCE) that, being shipwrecked and cast ashore on the coast of the Rhodians, he observed geometrical figures drawn thereon, and cried out to his companions: "Let us be of good cheer, for I see the traces of man." With that he made for the city of Rhodes, and went straight to the gymnasium. There he fell to discussing philosophical subjects, and presents were bestowed upon him, so that he could not only fit himself out, but could also provide those who accompanied him with clothing and all other necessaries of life. When his companions wished to return to their country, and asked him what message he wished them to carry home, he bade them say this: that children ought to be provided with property and resources of a kind that could swim with them even out of a shipwreck...»

(Vitruvio en De architectura [Libro VI])

Yet another function-theoretic proof of the Fundamental Theorem of Algebra

2016-10-14T01:17:00.002-07:00

Let $f$ be a nonconstant polynomial with complex coefficients. Since $|f(z)| \to \infty$ as $z \to \infty$, we guarantee the existence of $R>0$ such that $$|f(z)|>|f(0)| \quad \quad (\ast)$$ for every $z \in \mathbb{C} \setminus \mathrm{B}_{R}(0)$. On the other hand, the continuity of the function $F \colon \overline{\mathrm{B}_{R}(0)} \to \mathbb{C}$ given by $z \overset{F}{\longmapsto} |f(z)|$ and the compactness of $\overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ allow us to ascertain the existence of $z_{0} \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$ such that $$|f(z_{0})| \leq |f(z)|$$ for every $z \in \overline{\mathrm{B}_{R}(0)}$. From $(\ast)$ we infer that $z_{0}$ is actually an element of $\mathrm{B}_{R}(0)$; then, by resorting to the Minimum-Modulus Principle, we conclude that $|f(z_{0})|$ must be equal to $0$ and we are done.

Scholia. a) If I understand correctly, the basic idea in this approach to the Fundamental Theorem of Algebra can be traced back to a 1748 memoir of d' Alembert. Yet, according to what we read in Reinhold Remmert's essay on the Fundamental Theorem of Algebra in [1, pp. 99-122], there were some gaps in d' Alembert's original argument that would be pointed out by a twenty-two-year-old Gauss in the beginning of his doctoral thesis "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse" which he submitted to Pfaff at the University of Helmstedt in 1799 and through which he obtained his doctorate. However, it is noteworthy that, on that occasion, "... Gauss also [remarked], almost prophetically (Werke 3, p.11): 'For these reasons I am unable to regard the proof by d' Alembert as entirely satisfactory, but that does not prevent, in my opinion, the essential idea of the proof from being unaffected, despite all objections; I believe that ... a rigorous proof could be constructed on the same basis.'"
b) Interestingly enough, the proof of the Fundamental Theorem of Algebra showcased by Aigner & Ziegler's in their Proofs from THE BOOK (5th. edition, pp. 147-149) is based on the aforementioned d'Alembertian attack as subsequently simplified by Argand in 1814.

References
[1] H. D. Ebbinghaus, et al., Numbers. Graduate Texts in Mathematics 123, Springer-Verlag, NY, 1991.

Una observación relacionada con la constante de los redondos aros y un famoso cortometraje de Walt Disney

2016-03-09T14:39:00.077-08:00

Como algunos de ustedes ya saben, el Día de π en este año se celebrará el próximo sábado 14 de marzo (incidentemente, un día antes de los IDUS DE MARZO, el momento del año en que supuestamente fue asesinado el preclaro militar y político romano Julio César [100 a.C.—44 a.C.]).

Se elige el 14 de marzo para celebrar a $\pi$ pues en algunos países la fecha correspondiente a tal día se escribe como 3/14 o 3.14; claramente, ambas expresiones evocan la aproximación a $\pi$ que en la escuela básica frecuentemente se "inculca" como el valor exacto de ese número. Con el transcurrir de los años, el estudiante aprende que esa práctica de igualar, implícita o explícitamente, a $\pi$ con 3.14 no es correcta pues $\pi$ es un número que no sólo es irracional (esto es, $\pi$ es un número que no se puede expresar como el cociente de dos números enteros) sino que también es trascendente (i.e., no es cero de ningún polinomio con coeficientes enteros).

En este 2015, la conmemoración del Día de π está sonando bastante porque nunca falta quien pretenda asociarle a la fecha del próximo sábado la expresión

3/14/15

o, ya entrados en gastos, considerando horas, minutos y segundos, algo de esta especie:

3/14/15/9:26.53...

La expresión anterior puede verse como una aproximación a $\pi$ con un error absoluto de $5.89793\ldots \times 10^{-10} $ pues es sabido que

$\pi =3.1415926535897\mathbf{9}3... \quad (\ast)$

La oservación a la que se hace alusión en el título de esta nota tiene que ver precisamente con esas primeras 15 cifras de $\pi$ después del punto decimal y con el doblaje al español del cortometraje Donald en el País de las Matemágicas, el cual puede encontrarse en el siguiente enlace:

Alrededor del minuto 1.75 del corto, o al menos de la versión que aparece en ese enlace, verán ustedes a un monito sobre la rama de un árbol que recita lo siguiente:

$\pi$ es igual a $3.1415926535897\mathbf{4}7$ etc., etc., etc.

¿Notan la discrepancia en las posiciones 14 (después del punto decimal) entre el desarrollo para $\pi$ que presentamos en $(\ast)$ y el desarrollo que está sugiriendo la gente de Walt Disney?

Indicaremos a continuación los elementos necesarios para convencerse de que es el monito de Disney quien incurre en una pifia al afirmar que $\pi$ es igual $3.141592653589747\ldots$ Aunque lo que viene a continuación puede lucir un tanto técnico, lo que hay que recordar básicamente es que, en la práctica, una manera de obtener aproximaciones a $\pi$ es mediante el desarrollo de Taylor para la función $\arctan(x)$ y el hecho de que $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$.

De nuestros cursos de cálculo infinitesimal sabemos que

$\displaystyle \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)} + R(x) \quad (\ast \ast)$

donde el término de error $R(x)$ está acotado en valor absoluto por

$\displaystyle \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3}.$

De esto se sigue que si queremos conocer, por decir algo, las primeras 14 cifras (después del punto decimal) de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, lo que tenemos que hacer es determinar en primer lugar un número natural $N$ tal que

$\displaystyle |R(1)| \leq \frac{1}{2N+3} < 10^{-14}; \quad (\ast \ast \ast)$

lo que haríamos a continuación sería evaluar el polinomio

$\displaystyle x - \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^N x^{2N+1}}{2N+1}$

en $x=1$. En este caso, el primer número natural $N$ que satisface la desigualdad ubicada más a la derecha en $(\ast \ast \ast)$ es el ceiling de $(10^{14}-3)/2$: desafortunadamente, el número $N$ así obtenido es demasiado grande como para que ejecutemos "a mano" el plan previamente delineado. Lo que típicamente se hace entonces es expresar $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ en términos de arcotangentes de números más pequeños que $1$. Por ejemplo, de la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos y la igualdad

$\displaystyle \frac{(5+i)^4}{(239+i)} = 2+2i$

se desprende inmediatamente que

$\displaystyle 4\arctan(1/5) - \arctan(1/239) = \frac{\pi}{4}.$

De esto y lo que se tiene en $(\ast \ast)$ se obtiene a su vez que

$\displaystyle \frac{\pi}{4} = 4\left(\frac{1}{5}-\frac{(1/5)^{3}}{5^3}+ \cdots +\frac{(-1)^n(1/5)^{2n+1}}{2n+1}\right)-$

$\displaystyle \left(\frac{1}{239}-\frac{(1/239)^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^n(1/239)^{2n+1}}{2n+1}\right) + R \quad (\ast^{4})$

donde

$\displaystyle |R| \leq \frac{4}{(2n+3) (5)^{2n+3}} + \frac{1}{(2n+3) (239)^{2n+3}}.$

En consecuencia, para obtener las primeras 14 cifras después del punto decimal de $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$, basta con determinar el primer número natural $N$ tal que

$\displaystyle \frac{5}{(2n+3)(5)^{2n+3}} < 10^{-14}.$

Resulta ser que el primer número natural que satisface la condición anterior es $N=9$. Concluimos de esto y de la igualdad en $(\ast^{4})$ que

$p=0.785398163397447$

y $\frac{\pi}{4}$ coinciden en sus primeras 14 cifras decimales. Comparando lo anterior con el resultado que se obtiene al dividir el $\pi$ de Disney por $4$, concluimos que es falso que la cifra 14 después del punto decimal de $\pi$ sea $4$: en otras palabras, ¡el monito declamador que aparece en esa escena de Donald en el País de las Matemágicas es todo un trolero!

Sin más por el momento, les deseamos la mejor de las suertes con el bombardeo de memes, gifs, etc. que podría presentarse el próximo sábado en ocasión del Día de π (del Milenio, según se está manejando en algunos sitios). De nuestra parte sólo quedaría agregar un par de vínculos relacionados con lo que se ha expuesto previamente. En primer lugar, podrían intentar echarle un ojo a la demostración más breve de la irracionalidad de $\pi$ que se conoce hoy en día:

I. Niven. A simple proof that $\pi$ is irrational. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), no. 6, p. 509.

En segundo lugar tenemos un enlace donde encontrarán una anécdota debida a George Gamow en la cual se relata cómo en cierta ocasión el teorema de Taylor le salvó la vida al físico soviético Igor Tamm (quien fuera laureado con el Nobel de Física en 1958):

I. Tamm and the remainder term in Taylor's theorem

Es todo por hoy, estimados lectores. ¡Hasta pronto!

Some very interesting paragraphs on the axiomatic method and its connection to some glorious moments in American history

2015-05-21T09:37:00.002-07:00

«In the time of Euclid, and for over two thousand years thereafter, the postulates of geometry were thought of as self-evident truths about physical space; and geometry was thought of as a kind of purely deductive physics. Starting with the truths that were self-evident, geometers considered that they were deducing other and more obscure truths without the possibility of error. (Here, of course, we are not counting the casual errors of individuals, which in mathematics are nearly always corrected rather promptly.) This conception of the enterprise in which geometers were engaged appeared to rest on firmer and firmer ground as the centuries wore on. As the other sciences developed, it became plain that in their earlier stages they had fallen into fundamental errors. Meanwhile the "self-evident truths" of geometry continued to look like truths, and also continued to seem self-evident.

With the development of hyperbolic geometry, however, this view became untenable. We then had two different, and mutually incompatible, systems of geometry. Each of them was mathematically self-consistent, and each of them was compatible with our observations of the physical world. From this point on, the whole discussion of the relation between geometry and physical space was carried on in quite different terms. We now think not of a unique, physically "true" geometry, but of a number of mathematical geometries, each of which may be a good or bad approximation of physical space, and each of which may be useful in various physical investigations. Thus we have lost our faith not only in the idea that simple and fundamental truths can be relied upon to be self-evident, but also in the idea that geometry is an aspect of physics.

This philosophical revolution is reflected, oddly enough, in the differences between the early passages of the Declaration of Independence and the Gettysburg Address. Thomas Jefferson¹ wrote:

"... We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness..."

The spirit of these remarks is Euclidean. From his postulates, Jefferson went on to deduce a nontrivial theorem, to the effect that the American Colonies had the right to establish their independence by force of arms.

Lincoln spoke in a quite different style:

"Fourscore and seven years ago our fathers brought forth on this continent a new nation, conceived in liberty and dedicated to the proposition that all men are created equal."

Here Lincoln is referring to one of the propositions mentioned by Jefferson, but he is not claiming, as Jefferson did, that this proposition is self-evidently true, or even that it is true at all. He refers to it merely as a proposition to which a certain nation was dedicated. Thus, to Lincoln, this proposition is a description of a certain aspect of the United States (and, of course, an aspect of himself). (I am indebted for this observation to Lipman Bers.)

This is not to say that Lincoln was a reader of Lobachevsky, [János] Bolyai or Gauss, or that he was influenced, even at several removes, by people who were. It seems more likely that a shift in philosophy had been developing independently of the mathematicians, and that this helped to give mathematicians the courage to undertake non-Euclidean investigations and publish the results.

At any rate, modern mathematicians use postulates in the spirit of Lincoln. The question whether the postulates are "true" does not even arise. Sets of postulates are regarded merely as descriptions of mathematical structures. Their value consists in the fact that they are practical aids in the study of the mathematical structures that they describe...»

I've excerpted these paragraphs (emphasis in bold was mine) from:

EDWIN E. MOISE, Elementary geometry from an advanced standpoint. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Second Printing, March 1964, USA, pp. 382-383.

Incidentally, as I was browsing through some of the past volumes of The American Mathematical Monthly the other day, I found on page 776 of the eighth issue of vol. 99 of that periodical a letter from an Alberto Guzmán (Dept. of Mathematics, City College of CUNY) to the Monthly Editors wherein Mr. Guzmán mentions that it was Alvin Hausner the one who called his attention to the fact that the change in viewpoint, “from accepting axioms as obvious truths to stipulating them as working assumptions”, was reflected in the Declaration of Independence and the Gettysburg Address. Mr. Guzmán wrote that letter because, in the first issue of the said volume of the Monthly, there appeared an article by Abe Shenitzer that touched upon the nineteenth-century change of standpoint in question and it, presumably, refreshed his memory on what Hausner had told him about the matter once. It has to be noted, however, that in the missive there was no mention whatsoever to either Lipman Bers or the paragraphs by Edwin Moise showcased above: the corollary being that even the Monthly Editors nod off sometimes.

The aforecited excerpts are also interesting because it is known that Lincoln was at some point in his life an avid reader of Euclid. Some of his phrases—such as "dedicated to the proposition" in the Gettysburg Address—sound as though they ultimately came from his reading of Euclid. In addition, Lincoln is said to have spoken once thus²:

"... In the course of my law-reading I constantly came upon the word demonstrate. I thought, at first, that I understood its meaning, but soon became satisfied that I did not. I said to myself, 'What do I do when I demonstrate more than when I reason or prove? How does demonstration differ from any other proof?' I consulted Webster's Dictionary. That told of 'certain proof,' 'proof beyond the possibility of doubt;' but I could form no idea what sort of proof that was. I thought a great many things were proved beyond a possibility of doubt, without recourse to any such extraordinary process of reasoning as I understood 'demonstration' to be. I consulted all the dictionaries and books of reference I could find, but with no better results. You might as well have defined blue to a blind man. At last I said, 'Lincoln, you can never make a lawyer if you do not understand what demonstrate means;' and I left my situation in Springfield, went home to my father's house, and staid there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what 'demonstrate' means, and went back to my law studies."

The following comments by Salomon Bochner in “The Role of Mathematics in the Rise of Science” (Princeton University Press, 4th printing, Princeton NJ, USA, 1981, p. 37.) provide us with additional references on Lincoln's interest in Euclidean geometry:

“... Abraham Lincoln, in his campaign biography of 1860, written by himself and published under the name of John L. Scripps of the Chicago Press and Tribune, ventured to assert about himself that 'he studied and nearly mastered the six [sic] books of Euclid since he was a member of Congress.' (The Collected Works of Abraham Lincoln, The Abraham Lincoln Association, Springfield, Illinois (Rutgers University Press, 1953), IV, 62.) Lincoln's assertion that he had 'nearly mastered' these books was one of the boldest and blandest campaigns statements in the annals of the American presidential elections, and folkloristic embellishments of this assertion were even less restrained. (See Herndon's Life of Lincoln (The World Publishing Company, 1949); Carl Sandburg, Abraham Lincoln, The Prairie Years (Harcourt, Brace & Co., 1926), I, 423-424; Emanuel Hertz, Lincoln Talks (Viking, 1936), p. 18.) It is worth reflecting on the fact that in the America of 1860 a consummate grassroots politician of the then Mid-Western Frontier should have thought that adding to a mixture of log cabin and rail-splitting a six books worth of Euclid would make the mixture more palatable to an electorate across the country.”

Last but not least, I would like to add that Lincoln's devotion to Euclid was exploited in a scene of Steven Spielberg's 2012 movie on the Great Emancipator. As the Hindu mathematician Bhāskara would say (or so the legend has it), BEHOLD! ³

P.S. Please, feel free to enter below any observation, suggestion, criticism, etc. you may have for the owner/writer of this blog regarding this entry...

______________
¹ Jennnifer Schuessler (July 3, 2014). If only Thomas Jefferson could settle the issue (A period is questioned in the Declaration of Independence). The New York Times, p. A1.

² Rev. J. P. Gulliver (September 4, 1864). Mr. Lincoln's early life: How he educated himself. The New York Times.

³ Be warned, though, that the short speech which Spielrock's Lincoln speaks in this scene is inaccurate in two or three respects.

Los problemas de matemáticas y mis problemas*

2015-03-27T01:08:00.001-07:00

Ayer por la tarde, apenas acababa de sentarme a estudiar cuando llegó Licha mi hermana y me dijo:

—Toño, me dejaron un problema y no puedo resolverlo. Ayúdame, ¿quieres?

Así por encimita le eché un vistazo al problema y pensé en el compromiso tan grande que me echaba si no podía resolverlo porque perdería inmediatamente mi autoridad. Por eso le dije a Licha:

—Mira, ahorita no puedo ayudarte porque tengo mucho que estudiar. Vete a jugar un rato y cuando vuelvas te ayudaré con mucho gusto—así, pensé, mientras ella juega yo resuelvo el problema y luego se lo explico.

En cuanto Licha salió cogí su libreta y leí:

"Un niño y una niña fueron al bosque a buscar nueces. Recogieron 120 en total. La niña recogió la mitad de las que recogió el niño. ¿Cuántas nueces tenía el niño y cuántas la niña?"

Cuando terminé de leerlo hasta me dio risa: ¡uy, qué problemas les ponen en tercero!—pensé—. ¡Pero sí está todo clarísimo! Hay que dividir 120 entre 2 y resultarán 60. Luego, la niña recogió 60 nueces. Ahora hay que averiguar cuántas recogió el niño; de 120 me quitan 60, quedan otras 60. A ver, a ver, ¿cómo está esto? Así resulta que los dos recogieron la misma cantidad de nueces, pero el problema dice que la niña recogió la mitad de las que recogió el niño. ¡Ah! Entonces hay que dividir 60 entre 2 y tendremos 30. Luego, el niño recogió 60 nueces y la niña 30. Pero 60 y 30 son 90 y el problema dice que entre los dos recogieron 120 nueces.

—¡Pero que ocurrencia poner en tercer año un problema que no se puede resolver ni en cuarto!—pensé—. Eso es una injusticia...—la verdad era que sentía vergüenza de no poder resolverlo, pues Licha diría: "¿Ves? Estás en cuarto año y no puedes resolver un problema de tercero". Tenía que resolverlo a como diera lugar. Me puse a pensar de nuevo, pero no se me ocurrían otras soluciones. ¡Ya me había hecho bolas! Bueno, eran 120 nueces en total, y había que dividirlas de manera que el niño tuviera dos veces más que la niña. Desesperado, dibujé un nogal en el cuaderno, al pie del nogal una niña y un niño, y en el árbol 120 bolitas, que eran las nueces. Pero hasta ahí llegaba. Después, me puse yo a recoger nueces, es decir, a borrarlas del árbol y dárselas a los niños, dibujándoselas encima de la cabeza. Luego se me ocurrió que se las habían guardado en los bolsillos.

El niño tenía dos bolsillos en el pantalón y la niña sólo uno en su delantal. Entonces pensé que por eso la niña había recogido menos nueces que su hermano.

Estaba sentado, mirándolos: él tenía dos bolsillos, ella sólo uno. Y la cabeza empezó a despejárseme. Borré las nueces de encima de sus cabezas y dibujé de nuevo los bolsillos, pero esta vez eran unos bolsillos muy abultados, como si estuvieran llenos de nueces. Ahora las 120 nueces estaban dentro de los tres bolsillos. Entonces vi todo claro. ¡Cómo no se me había ocurrido antes! ¡Las 120 nueces había que dividirlas en tres partes! La niña toma una parte y el niño las partes restantes, es decir, dos veces más que la niña. Dividí rápidamente 120 entre 3 y resultó 40, las que tenía la niña. Y como el niño tenía el doble que ella, resultó que 40 más 40 daba 80. Luego sumé 80 y 40 y ¡eran las 120 nueces completitas!

Poco después regresó Licha e inmediatamente me puse a explicarle el problema. Le dibujé las nueces, los niños y sus bolsillos abultados.

—¡Qué bien explicas tú los problemas, Toño! Yo sola nunca habría sabido cómo hacerlo.

—Éste es un problema retefácil. Cuando te pongan uno más difícil me lo dices y yo te lo explico en un momento.

Entonces como que me envolvió una cosa muy bonita, como que me sentí muy importante de ver que yo podía ayudar a mi hermana a resolver sus problemas de matemáticas.

* El cuento es de la autoría del escritor soviético Nikolái Nosov y la adaptación al español que he compartido en esta entrada se debe a Armida de la Vara... La adaptación la retomé del libro Español (Ejercicios y Lecturas) - Cuarto Grado, el cual estuvo vigente en México desde algún momento en los años 80 y hasta mediados de los años 90 (aproximadamente).

Un cuento más: Cero en Geometría de Fredric Brown

2014-08-05T21:21:00.003-07:00

Dicho cuento lo leí hace muchos años en un libro de la asignatura de español. Recientemente me surgió el deseo de volver a leerlo pero, al no recordar ni los datos del libro ni el autor del cuento, el reencontrarlo fue todo un reto para la memoria... El planteamiento del cuento es clásico: al intentar salir avante de cierta problemática en su vida, el personaje principal decide invocar al diablo. Lo novedoso en el tratamiento de Brown es la extensión de su relato y el hilarante desenlace que le prepara al lector. La idoneidad del título del cuento—en español—será más que aparente al cabo de una primera lectura.

Les compartiré en esta entrada una transcripción del cuento basada en la que encontré en este sitio. No obstante es preciso mencionar que, atendiendo a la versión original del cuento, hice un par de correcciones a la adaptación en español que aparece en el enlace: donde en aquél sitio se encontraba la palabra pentágono (resp. hexágono) aparecerá ahora la palabra pentagrama (resp. hexagrama). Antes de ir al cuento en sí, agregaré algunos comentarios sobre los términos en pugna para el beneficio de los lectores más ocasionales de la bitácora.

Un pentágono es un polígono de cinco lados y con pentagrama nos estaremos refiriendo a lo largo de este post a la estrella de cinco puntas:

Por su parte, un hexágono es un polígono de seis lados y un hexagrama puede encontrarse, por ejemplo, en la bandera de Israel (de hecho, en el contexto judío la denominación más frecuente para la estrella de seis puntas es estrella de David):

Ahora sí, sin más dilaciones, presento a continuación el cuento al que se ha dedicado la entrada de este día:

Henry miró el reloj. Dos de la madrugada. Cerró el libro con desesperación. Seguramente que sería reprobado en el examen del día siguiente. Entre más estudiaba geometría menos le entendía. Las matemáticas se le habían dificultado siempre pero la geometría le estaba resultando imposible de aprender.

Lo peor era que no podía darse el lujo de reprobar la materia pues en sus primeros dos años en el colegio había reprobado ya otras tres y, de acuerdo con las estrictas reglas de ese plantel educativo, si ese año reprobaba una sola materia más sería dado de baja del sistema de administración escolar del colegio de manera automática. Por otra parte, el certificado de compleción del colegio era indispensable para poder ingresar a la carrera que tenía contemplado estudiar. Sólo un milagro podría salvarlo.

Se levantó. ¿Un milagro? ¿Y por qué no? Siempre se había interesado en la magia. Tenía libros. Había encontrado instrucciones sencillísimas para llamar al diablo y someterlo a su voluntad. Nunca había hecho la prueba. Era el momento: ahora o nunca.

Sacó del estante el mejor libro sobre magia negra. Era fácil. Algunas fórmulas. Ponerse al abrigo en un pentagrama. El diablo llega. No puede nada contra uno y se obtiene lo que se quiera...

Movió los muebles hacia la pared, dejando el suelo limpio. Después dibujó sobre el piso, con un gis, el pentagrama protector. Procedió entonces a pronunciar las palabras cabalísticas. El diablo era horrible de verdad, pero Henry hizo acopio de valor y se dispuso a dictar su voluntad.

-- ―Siempre he tenido cero en geometría―empezó.

-- ―¡A quién se lo dices!―contestó el diablo en un tono de burla.

Acto seguido, el diablo saltó las líneas del hexagrama que el muy idiota de Henry había dibujado, en lugar de un pentagrama, para devorarlo.

Un cuento que Monterroso debió haber dedicado a Hegel...

2014-08-02T20:41:00.002-07:00

... a propósito de los comentarios sobre la débil naturaleza de los nativos de América, su inferioridad y su servilismo para con los europeos que el filósofo alemán profiriera en sus Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte (cf. G. W. F. Hegel, Werke. Band 12, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main, 1970, Seiten 107-108.).

El cuento puede encontrarse en: Augusto Monterroso, La oveja negra y Obras completas (y otros cuentos). Ed. Joaquín Mortiz S.A. y SEP México D.F., 1986, págs. 147-148. Tenía la intención de compartirlo en este sitio desde hace algún tiempo, pero por una razón u otra su aparición fue postergada en varias ocasiones... Sin más preámbulos, lo transcribo a continuación para el deleite de los sempiternos seguidores de esta bitácora (en especial, para aquellos lectores que no conozcan el cuento o no lo hayan leído en años).

EL ECLIPSE

Cuando fray Bartolomé Arrazola se sintió perdido aceptó que ya nada podría salvarlo. La selva poderosa de Guatemala lo había apresado, implacable y definitiva. Ante su ignorancia topográfica se sentó con tranquilidad a esperar la muerte. Quiso morir allí, sin ninguna esperanza, aislado, con el pensamiento fijo en la España distante, particularmente en el convento de Los Abrojos, donde Carlos Quinto condescendiera una vez a bajar de su eminencia para decirle que confiaba en el celo religioso de su labor redentora.

-- Al despertar se encontró rodeado por un grupo de indígenas de rostro impasible que se disponían a sacrificarlo ante un altar, un altar que a Bartolomé le pareció como el lecho en que descansaría, al fin, de sus temores, de su destino, de sí mismo.

-- Tres años en el país le habían conferido un mediano dominio de las lenguas nativas. Intentó algo. Dijo algunas palabras que fueron comprendidas.

-- Entonces floreció en él una idea que tuvo por digna de su talento y de su cultura universal y de su arduo conocimiento de Aristóteles. Recordó que para ese día se esperaba un eclipse total de sol. Y dispuso, en lo más íntimo, valerse de aquel conocimiento para engañar a sus opresores y salvar la vida.

-- —Si me matáis —les dijo— puedo hacer que el sol se oscurezca en su altura.

-- Los indígenas lo miraron fijamente y Bartolomé sorprendió la incredulidad en sus ojos. Vio que se produjo un pequeño consejo, y esperó confiado, no sin cierto desdén.

Dos horas después el corazón de fray Bartolomé Arrazola chorreaba su sangre vehemente sobre la piedra de los sacrificios (brillante bajo la opaca luz de un sol eclipsado), mientras uno de los indígenas recitaba sin ninguna inflexión de voz, sin prisa, una por una, las infinitas fechas en que se producirían eclipses solares y lunares, que los astrónomos de la comunidad maya habían previsto y anotado en sus códices sin la valiosa ayuda de Aristóteles.

Unas palabras en torno al conjunto de todos los conjuntos

2014-03-13T23:53:00.007-07:00

I. Si se acepta la existencia del conjunto $\mathbf{U}$ de todos los conjuntos entonces del axioma de separación (t.c.c. Aussonderungsaxiom o esquema de compresión) se sigue que también tendría sentido hablar del conjunto $\mathbf{E}:=\{x \in \mathbf{U}: x \notin x\}$. ¡Y es precisamente este conjunto $\mathbf{E}$ el que origina las situaciones raras que (históricamente) motivaron la revisión del tratamiento intuitivo de la teoría de conjuntos! Específicamente, $\mathbf{E}$ es un conjunto tal que no es posible decidir si pertenece o no a sí mismo. Por un lado, $\mathbf{E}$ no puede ser elemento de sí mismo porque la propiedad que cumplen los elementos de $\mathbf{E}$ es la de no ser elementos de sí mismos. Por otra parte, si $\mathbf{E}$ no es elemento de sí mismo entonces $\mathbf{E}$ satisface la propiedad que define a sus elementos y, por lo tanto, debería ser el caso que $\mathbf{E} \in \mathbf{E}$...

II. Otra manera de caer en la cuenta de los detalles que surgen al aceptar la noción del conjunto de todos los conjuntos es como sigue (el argumento lo aprendí hace algún tiempo de Andrés Caicedo en MSE): Cantor probó mediante su método diagonal el resultado (ahora clásico) que asegura que no es posible dar una función suprayectiva que vaya de un conjunto $\mathrm{X}$ a su conjunto potencia ($2^{\mathrm{X}}, \mathcal{P}(\mathrm{X})$, etc.: cada quien que siga la notación que más sea de su agrado, de gustibus non est disputandum); por otro lado, si $\mathbf{U}$ denota, como en el párrafo anterior, al conjunto de todos los conjuntos entonces la función $f: \mathbf{U} \to 2^{\mathbf{U}}$ dada por $t \mapsto t$ sería suprayectiva. ¡Contradicción!

Claramente, podríamos seguir con los debrayes sobre estas cuestiones pero prefiero retomarlos en otro momento. El tema de los conjuntos es medular en matemáticas. Incluso soy de la opinión de que sobre la noción de conjunto (en matemáticas) también se podría decir lo que Borges apuntara sobre el infinito en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga: "... [es una] palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata".

Auf wiedersehen!

El reporte de Coxeter sobre el caso de Matusalén

2014-01-26T18:30:00.002-08:00

H. S. M. Coxeter hacía notar en su artículo An ancient tragedy (Math. Gaz., 55 393 (1971), pág. 312) lo siguiente:

«En Génesis 5: 25-29 se lee que:

"... Vivió Matusalén ciento ochenta y siete años, y engendró a Lamec. Y vivió Matusalén, después que engendró a Lamec, setecientos ochenta y dos años... Fueron, pues, todos los días de Matusalén novecientos sesenta y nueve años; y murió. Vivió Lamec ciento ochenta y dos años, y engendró un hijo; y llamó su nombre Noé...".

Por otro lado, en Génesis 7: 6 se lee esto:

"Era Noé de seiscientos años cuando el diluvio de las aguas vino sobre la tierra...".

Por consiguiente, Matusalén murió en el año del diluvio pues en tal año su edad era de

187 + 182 + 600 = 969.

años...»

Después de revisar la cuentas, es posible que algún lector por ahí se pregunte: ¿Murió Matusalén en el diluvio? O en otras palabras, ¿permitió Noé que su abuelo pereciera en el diluvio?

En The magic numbers of Dr. Matrix (Prometheus Books, NY, 1985, pág. 176.), Martin Gardner menciona que, de acuerdo al rabino Shlomo Yitzchaki (1040-1105), la respuesta a esta cuestión es negativa: según Yitzchaki, Matusalén murió unos días antes del inicio del diluvio; Dios envió el diluvio una vez que pasaron los siete días de duelo por el fallecimiento de Matusalén. Al parecer, Yitzchaki basaba su hipótesis en Génesis 7: 4 ("Porque pasados aún siete días, yo haré llover sobre la tierra cuarenta días y cuarenta noches...").

Una anécdota retomada del "muro" de Ken Ribet

2014-01-12T15:11:00.001-08:00

«There's a long story about this page, and I might as well tell it here. I uploaded this image because one of my facebook friends asked me about it yesterday [9/11/2009]; she had heard mention of it at the MSRI, but the story that she heard was—how shall I put it—not completely accurate.

Best to tell it as I remember it...

I took a graduate algebra course at Brown when I was an undergraduate. I bought a copy of Lang's "Algebra (3rd edition)" around that time. It was the bible of graduate algebra, and I suppose that it still is. When I was at Harvard, I studied very hard for the written qualifying exam that we sat for at the end of our first year of graduate work. I spent months mastering the core material in algebra, topology and analysis. I got a little frustrated by Lang's style and wrote the comment that you see in black ink. Years later, Serge had my office in Princeton while I was away in Paris. As usual, he consulted his own books, and he found my comment. He added his own (bottom of the page) and told me about it when I returned to the US. We both had a good laugh.

I was amazed, years later, when a German mathematician asked me about this page when we were at the Canadian number theory meeting in Vancouver—this must have been 20 years ago. How did the guy know? Serge or I must have talked, and word had gotten around.

I made this image in July, 2001 by pointing my first digital camera at the page and pressing the shutter. Serge was in town, and I told him that I wanted to link this image to the web page for the graduate algebra course (Math 250A) that I was about to teach. That way the students could see it. "Of course!" As the semester progressed, mathematicians around the world found out about the link on my web page and began forwarding the URL to their friends. One day Serge phoned me in my office: "You mean anyone in the world can see this? Take it down!" So I did.»