Podéis llegar a ellas a través del enlace “Libros” en sus barras de navegación respectivas o directamente desde aquí: la de El Tamiz y la de El Cedazo.

Ya está enviado el número de mayo en los formatos habituales: html, pdf y en los tres más comunes de libro electrónico (epub, mobi y fb2) gracias a la ayuda de johansolo, como siempre. Además, durante unos pocos días de este mes superamos los 100 mecenas activos –luego han expirado tres y nos hemos quedado de vuelta en 98, pero la emoción ahí ha quedado de todos modos–.

En el número de mayo:

• Desafíos – Las habitaciones de la muerte

• Desafíos – Las habitaciones de la muerte (solución)

• El Sistema Solar – Saturno (II)

• Mecánica Clásica I – Energía potencial

• Premios Nobel – Física 1911 (Wilhelm Wien) (aún sin publicar)

Que ustedes lo disfruten.

Sin embargo, como siempre, antes de entrar en materia, la solución al Desafío 7 del anterior artículo.

Solución al Desafío 7 – Energía cinética

La primera pregunta del desafío tenía truco; se nos pedía la energía cinética del Ferrari, de 1 500 kg, moviéndose a una velocidad de 30 m/s. Era posible, desde luego, utilizar la fórmula de la energía cinética para obtener el resultado:

Sin embargo, no hacía falta hacer tal cosa. Como recordarás, hablamos del trabajo como un intercambio de energía: si el coche, que estaba parado –sin energía cinética– ahora se mueve –tiene una energía cinética no nula–, alguien tiene que haberle proporcionado esa energía. ¿Quién? El motor, por supuesto: por lo tanto, la energía que tiene el coche debe coincidir con el trabajo realizado por el motor, que calculamos en el Desafío 6: 675 000 J. De modo que no hacía falta calcular nada, aunque nunca está de más para asimilar la relación entre ambos conceptos.

Respecto a la segunda pregunta, ¿cuál será su energía cinética si duplica su velocidad?, la manera más fácil de responder es mirar la expresión de la energía cinética: es proporcional a la velocidad al cuadrado, de modo que aumenta con el cuadrado de la velocidad. Si duplicamos la velocidad, la energía se hará 2² veces más grande, es decir, cuatro veces mayor: cuatro veces 675 000 J, o 2 700 000 J. Podríamos haber usado la fórmula con velocidad 60 m/s, pero tampoco en este caso hacía falta.

Finalmente, se nos pregunta qué velocidad debería tener el coche para que su energía cinética fuese el doble que cuando tiene 30 m/s. Una vez más, la manera más fácil de hacerlo es pensar que, puesto que la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad, la velocidad lo es a la raíz cuadrada de la energía cinética, luego para que la energía cinética sea el doble la velocidad debe ser veces mayor, es decir, . Es posible, desde luego, despejar en la fórmula con el doble de la energía calculada antes, pero debería salir el mismo resultado.

Una consecuencia interesante de todo esto es la siguiente: la energía cinética de un vehículo es proporcional al cuadrado de la velocidad, lo que significa que ir al doble de velocidad no implica el doble de energía, sino el cuádruple. Cuando impactamos contra algo –un atropello, un accidente– la energía cinética se convierte en otros tipos de energía, generalmente destructiva. Por lo tanto, aunque sea una manera de andar por casa de decirlo, cuanta más energía cinética más peligro para un mismo vehículo. Esa relación cuadrática significa que cambios pequeños en la velocidad se traducen en cambios muy grandes en la energía cinética, es decir, que lo que nos puede parecer simplemente un poquito de velocidad extra puede suponer un aumento grande del riesgo.

La energía se conserva… ¿o no?

Como vimos en el artículo anterior, la energía de un sistema aislado permanece constante; sin embargo, desde el principio los físicos e ingenieros que desarrollaban los conceptos de trabajo y energía en el siglo XIX se dieron cuenta de que esto sólo era cierto si se tenían en cuenta todos los tipos de energía. La vis viva de Leibniz no se conservaba siempre, de modo que tenían que existir otros tipos de energía diferentes de la cinética.

Un ejemplo muy simple que pone de manifiesto lo que digo: imagina que observas una naranja subiendo por el aire. Alguien la ha lanzado, claro, pero eso nos da igual ahora mismo; lo importante es que la naranja está subiendo por el aire con una velocidad determinada. Supongamos que la energía cinética de la naranja es, por ejemplo, de 1 julio. Hasta ahora, todo normal.

Pero ¿qué sucede según pasa el tiempo? No hace falta mucha imaginación: la naranja sigue subiendo, pero cada vez más despacio. De hecho, llega un momento en el que la naranja se para. La energía cinética, que era de 1 J, ha pasado a ser 0,9, 0,8, 0,7… hasta ser 0 J. La energía cinética no se conserva.

Sin embargo, si esperamos un poco más, sucede algo curioso: la naranja sólo permanece estacionaria en el aire una infinitésima de segundo e, inmediatamente, empieza a caer de nuevo. Al principio cae muy despacio, luego un poco más rápido, de modo que su energíá cinética pasa de 0 J a 0,1, 0,2, 0,3… hasta que, cuando pasa de nuevo por el lugar en el que empezamos a mirarla, tiene de nuevo 1 J. En ese instante se mueve a la misma velocidad que al principio sólo que, por supuesto, bajando en vez de subir.

Por lo tanto, al final la energía cinética ha vuelto a “aparecer” tras “desaparecer” primero, pero ¿qué le ha pasado durante el intervalo de tiempo en el que ha descendido hasta anularse? ¿es que no se conserva la energía, como decía el principio de conservación tan archiconocido del capítulo anterior?

Hace falta, para mantener el principio de conservación, definir un nuevo tipo de energía diferente del asociado a la velocidad. Naturalmente, no es necesario crear este nuevo concepto –lo mismo que no era necesario definir la energía cinética–, pero resulta muy conveniente para seguir utilizando el principio de conservación que, como ves, no funciona al considerar sólo la energía cinética.

Energía potencial

Quien dio con la solución fue el físico e ingeniero escocés William Rankine en 1853, en su On the general law of the transformation of energy (Sobre la ley general de la transformación de la energía); era posible utilizar la propia definición de trabajo para determinar ese nuevo tipo de energía “oculta” que no tenía que ver con la velocidad. Rankine denominó a ese nuevo concepto energía potencial, dado que es algo así como una vis viva en potencia, que se manifiesta en determinadas circunstancias. Pero vamos por partes.

A estas alturas del bloque, estimado lector, tú puedes analizar el problema de la naranja con ojos newtonianos y llegar a conclusiones que, espero, superan con mucho lo que podrías haber razonado antes de empezar a leerlo. Veamos lo que ha pasado en términos de Sir Isaac Newton y sus leyes.

En primer lugar, la naranja no ha realizado un movimiento uniforme: su velocidad ha ido disminuyendo hasta que la fruta se ha detenido. De acuerdo con el primer principio de la dinámica, por tanto, la naranja ha sufrido una fuerza. Creo que esto, de tan claro que está, puede resultarte hasta insultante, pero paciencia.

En segundo lugar, puesto que las fuerzas son interacciones entre cuerpos, alguien ha interaccionado con la naranja; esto puede no ser tan obvio, pero ese alguien es la Tierra a través de la fuerza gravitatoria, que “tira” de la naranja hacia abajo, frenándola. La fuerza la ha ejercido, por tanto, el campo gravitatorio terrestre. Esto no es esencial para pensar sobre nuestro problema inmediato, pero será relevante más adelante.

En tercer lugar, si la naranja ha sufrido una fuerza mientras se desplazaba –y así ha sido– la naranja ha recibido un trabajo. De hecho, y estoy seguro de que te das cuenta de ello, ese trabajo ha sido negativo, pues la fuerza gravitatoria sobre la naranja se dirige en sentido contrario al movimiento ascendente de la naranja — de ahí que la naranja se vaya frenando hasta detenerse (luego hablaremos del tramo descendente).

Es más, dado que hemos imaginado que la naranja subía con una energía cinética de 1 J y ahora se ha detenido completamente en el cénit de su movimiento, el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre la naranja ha sido de -1 J. Como consecuencia, la energía cinética de la naranja es 1 J – 1 J = 0 J. Hasta aquí, de perogrullo.

Pero ¿qué ha sido de ese julio? De acuerdo con Rankine, dado que el trabajo ha sido una interacción entre la naranja y el campo gravitatorio, y la naranja ha perdido el julio, ese julio lo ha ganado el campo gravitatorio terrestre. Puedes pensarlo así: la distribución de las masas en el espacio –la Tierra y la naranja– es ahora distinta de antes, puesto que ambas están un poco más lejos la una de la otra de lo que estaban al principio. Por lo tanto, la estructura del campo gravitatorio ha cambiado al hacerlo la posición de las masas y –en su propio párrafo y negrita por su importancia brutal–:

La nueva estructura del campo y las masas tiene mayor energía que la inicial.

Esa energía no es cinética: nada se mueve en el instante en el que la naranja alcanza el punto más alto. Podríamos llamarla energía gravitatoria, energía del campo, energía de la estructura del campo o, como hizo Rankine, energía potencial.

¿Cuánta más energía “almacenada en la estructura del campo” tiene el sistema ahora que antes? Pues claro, 1 J. Justo lo que perdió la naranja. Si incluimos la energía potencial en nuestro cálculo de energías, todo tiene más sentido que antes: la naranja empezó en un lugar determinado (energía potencial 0 J) y con una velocidad determinada (energía cinética 1J). Según subía, se fue alejando de la Tierra y almacenando, por tanto, energía en el campo gravitatorio (energía potencial 0,1, 0,2, 0,3 J…) mientras se iba frenando debido a ese mismo campo gravitatorio (energía cinética 0,9, 0,8, 0,7 J…) hasta detenerse en el punto más alto (energía potencial 1 J, energía cinética 0 J).

Si sumamos ambas energías para obtener la “energía total” del sistema, tendríamos que al principio, , un poco más tarde , a mitad de camino , casi arriba y arriba del todo . La energía del sistema siempre es constante, pero al principio está toda en forma de energía cinética y al final en forma de energía potencial.

Puede definirse la energía potencial de muchas maneras, pero te doy mi favorita, porque pone de manifiesto su auténtico significado, en mi opinión:

Energía potencial es la energía almacenada en un campo de fuerza debido a la posición de cada parte del sistema en el espacio.

Así, en nuestro caso, cuanto más alejadas están la naranja y la Tierra, mayor energía se almacena en el campo gravitatorio y viceversa. Desde luego, aunque en nuestro ejemplo hayamos utilizado el campo gravitatorio, lo mismo sucede con otras fuerzas de la naturaleza, pero de eso hablaremos en un momento.

Sigamos observando lo que pasa con nuestra fruta voladora:

La naranja, una vez alcanza el punto más alto y se detiene, empieza a descender. Pero ahora la fuerza que sufre va hacia abajo, y la naranja se mueve hacia abajo, luego recibe un trabajo positivo que aumenta su energía cinética mientras la potencial disminuye, puesto que naranja y Tierra se acercan la una a la otra. Al final, toda la energía vuelve a ser cinética y la potencial es nula, con lo que la naranja vuelve a tener 1 J de energía cinética.

Lo que estamos haciendo aquí, conceptualmente, es lo siguiente: dado que conocemos bien una de las fuerzas que puede actuar sobre la naranja –la fuerza gravitatoria– podemos asociar a esa fuerza una energía potencial que nos permite, por así decirlo, olvidarnos de ella como fuerza independiente, al estar ya incluida en la información del sistema en forma de energía potencial. Si hay más fuerzas, como por ejemplo la que puedes hacer tú, que no están incluidas en la energía del sistema, esas fuerzas deben ser tratadas individualmente.

¿Podríamos olvidar el concepto de la energía potencial y trabajar con la fuerza, la distancia recorrida por la naranja, el trabajo y demás? Sí, desde luego. Pero hacerlo con energía potencial es matemáticamente equivalente y mucho más simple; de ahí que sea tan común hacerlo.

Campos de fuerza conservativos

Esta idea de que un campo de fuerzas, dependiendo de la posición de cada parte que lo configura, puede tener más o menos energía, no funciona siempre; sólo es posible si se cumple la clave de la definición de arriba, es decir, que ese campo de fuerzas tenga una energía u otra dependiendo de la posición de cada objeto.

Por ejemplo, si miras la naranja y la Tierra y están cerca, sabes que el campo gravitatorio almacena menos energía que si están lejos. Es más, puedes incluso calcular la diferencia de energía potencial entre ambos casos: será, por supuesto, el trabajo que realiza el campo gravitatorio para “tirar” de la naranja desde una posición hasta la otra. Bastaría, para medir esta diferencia de energía potencial experimentalmente, hacer una de dos cosas:

Una posibilidad es dejar la naranja en reposo en el punto en el que están más alejadas, dejar que caiga hasta el otro punto y medir allí la velocidad de la naranja –y, con ella, su energía cinética–.

Otra posibilidad es empezar con la naranja en el punto más bajo (cercana a la Tierra), y empujarla nosotros mismos hacia arriba con una fuerza determinada hasta llegar al punto más alejado de la Tierra: midiendo la fuerza que hemos hecho y multiplicándola por la distancia recorrida, tendríamos la energía potencial que ha almacenado el campo a nuestra costa. Coser y cantar. De hecho, la pregunta ¿dónde tiene más energía potencial el sistema? tiene fácil respuesta: el lugar que, de ser nuestro destino, hace que nos cansemos empujando la naranja.

Pero, aunque esto es cierto en el caso de la fuerza gravitatoria, no lo es en otros casos. Para muestra, un botón: imaginemos un ejemplo diferente del de la naranja en el que, espero, verás rápidamente que la posición de cada parte del sistema no determina la energía “almacenada” en él.

Supongamos que tenemos un cubo de madera de base rugosa sobre una mesa, de modo que hay una fricción considerable entre el cubo y la mesa. El cubo está en un extremo de la mesa, digamos que el extremo izquierdo. Ahora, imagina que en otro momento el cubo está en el extremo derecho.

¿Dónde tiene más energía almacenada el sistema? ¿De dónde hacia dónde nos haría falta realizar un trabajo empujando el bloque para llegar al punto contrario?

¡Pues depende! Si el cubo empezó en el extremo izquierdo y queremos llevarlo hacia el derecho, tendremos que realizar un trabajo, puesto que la fricción tenderá a frenarlo hasta detenerlo. Acabaremos cansados según el cubo se mueve hacia la derecha. Podríamos pensar entonces que el punto de la derecha, puesto que nos cansamos al llevar el cubo hasta él, tiene más energía potencial que el de la izquierda.

¡Pero al contrario pasa lo mismo! Si el cubo está en el extremo derecho, para llevarlo al izquierdo nos tenemos que cansar empujándolo, porque la fricción tiende a frenarlo… por lo tanto, podríamos decir que el punto de la izquierda tiene mayor energía potencial que el de la derecha.

Y, si dijéramos una cosa o la otra, estaríamos diciendo una estupidez: no hay un punto con mayor energía potencial. De hecho, no hay una energía potencial asociada a la fricción entre el cubo y la mesa. Para que así fuera sería necesario que la posición de cada parte del sistema definiera la energía almacenada, y aquí no sucede eso. Cualquier movimiento del cubo sobre la mesa va a suponer una pérdida de energía cinética debida a la fricción, independientemente de su posición.

Por lo tanto, la fricción es un ejemplo de una fuerza a la que la excelente idea de Rankine, que tanto nos simplifica la vida cuando podemos utilizarla, no puede absorber en la energía del sistema: hace falta tratarla aparte.

Cuando una fuerza se comporta como la gravitatoria y podemos asociar a cada posición una energía potencial, el campo se denomina conservativo. Cuando esto no sucede y conocer la posición de cada partícula no significa nada, el campo se denomina no conservativo. Sin embargo, una definición más rigurosa e interesante es la siguiente:

Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado para llevar un cuerpo de un punto a otro no depende del camino seguido.

Esta definición es realmente equivalente a la anterior, pero creo que comprenderla te llevará a asimilar mejor tanto el concepto de conservatividad como el de energía potencial.

Imagina que nos fijamos en dos puntos determinados del ejemplo de la naranja de arriba; pongamos que el primero es el punto inicial, y el segundo es el lugar –sea el que sea– en el que la energía cinética de la naranja es 0,2 J y la potencial 0,8 J, es decir, bastante cerca del cénit.

Visualicemos dos caminos para llegar desde el primer punto hasta el segundo: el primer camino es el evidente, en el que la naranja sube desde el punto inicial hasta el otro en su camino hacia la cima. El segundo camino es un poco más largo: la naranja sube desde el punto inicial, pasa de largo del segundo punto, llega al punto más alto, se para, empieza a caer y llega finalmente, en su camino descendente, al segundo punto.

¿Qué diferencia hay, energéticamente hablando, entre ambas situaciones? Absolutamente ninguna. ¿Cuál de los dos caminos requiere más trabajo? Ninguno de los dos. La situación es idéntica por una sencilla razón: al ser el campo gravitatorio conservativo, cada posición naranja-Tierra tiene su propia energía potencial, y da exactamente igual cómo se haya alcanzado esa estructura del sistema.

Siento si me repito, pero esto es fundamental y a veces no se hace el suficiente énfasis en ello: la energía potencial sólo tiene sentido cuando la estructura del campo depende únicamente de las posiciones relativas de sus partes. Por eso, en un campo conservativo, podemos asociar a cada posición una energía potencial; por eso, en un campo conservativo, da igual el camino que sigamos hasta un punto determinado, dado que lo esencial es de qué punto se trata. Esto no sucedía, por ejemplo, en el caso del bloque y la mesa, porque el camino importa, y mucho… cuanto más largo sea el camino entre un punto de la mesa y otro, más fricción y, por tanto, más trabajo habrá que realizar para desplazar el bloque.

Otros campos de fuerza conservativos, además del gravitatorio, son el campo eléctrico –la atracción y repulsión de cargas eléctricas–, el campo de la fuerza nuclear fuerte –con la que se atraen los quarks en los hadrones–, las fuerzas elásticas como las de los muelles –pero en realidad se trata de una expresión de la fuerza eléctrica–, etc. Siempre que nuestro sistema sufra fuerzas conservativas, la “contribución energética” del campo conservativo al estudio del problema puede tratarse en forma de una energía potencial asociada al campo, y con ello garantizaremos la conservación de la energía en el problema.

Por lo tanto, no existe una energía potencial, sino muchas: una asociada a cada campo conservativo. En algunas ocasiones pueden hacer su aparición varias a la vez, pero eso no supone ningún problema.

La energía potencial es relativa

Ya vimos, al hablar de la energía cinética, que es relativa: puesto que depende de la velocidad, depende del sistema de referencia. Bien, a la energía potencial le sucede lo mismo, y tal vez ya te hayas preguntado algo sobre esto al leer el ejemplo de la naranja.

En ese ejemplo dijimos que la naranja tenía una energía potencial nula, y una energía cinética de 1 J. Pero ¿a qué altura empezó la naranja? ¿cómo podemos saber que su energía potencial era de 0 J? ¿Qué significa que la energía potencial sea de 0 J?

La respuesta más inmediata, si recuerdas la definición de energía potencial como la energía almacenada en el campo de fuerza, es que la energía potencial es nula cuando el campo no almacena nada de energía… pero, dado que definimos la energía potencial a partir del trabajo realizado por las fuerzas del campo, ¿cómo sabemos cuándo sucede eso?

Primero, las malas noticias: no lo sabemos. La única manera de definir un campo en el que no hubiera energía alguna sería decir que no hay campo, es decir, no hay masas en ninguna parte del espacio, pero entonces ¿cómo utilizamos el trabajo, la fuerza ni ninguna otra cosa, si no hay nada en ninguna parte?

Las buenas noticias, sin embargo, son que da exactamente igual. Puesto que lo que nos interesa es ver cómo cambia la energía potencial, es decir, cómo parte de la energía cinética del cuerpo se convierte en potencial o viceversa, no importa en absoluto dónde digamos que la energía potencial es nula.

Por ejemplo, nuestra naranja empezó –porque nosotros lo decidimos– con una energía potencial gravitatoria de 0 J, y terminó con una energía potencial gravitatoria, un poco más arriba, de 1 J. Pero supongamos que decidimos cambiar las cosas: no tiene sentido poner el origen de energía potencial cuando la naranja está ya en el aire, pensamos. Hagamos E_p = 0 en el suelo de la habitación.

Y entonces, dependiendo de a qué altura empezó la naranja sobre el suelo, parece –pero sólo parece– que nuestros números cambian. En vez de empezar con 0 J de potencial y 1 J de cinética, la naranja empieza, por ejemplo, con 5 J de potencial y 1 J de cinética. ¡Tiene más energía, qué ilusión, nada menos que 6 J!

Después, la naranja empieza a subir, pierde energía cinética y gana potencial hasta que, en el punto más alto, ya no tiene energía cinética, que es entonces de 0 J, y la potencial es de 6 J (5 J del principio + 1 J que ha perdido la cinética). ¡Da exactamente lo mismo! En un caso la energía potencial pasa de 0 J a 1 J, en el otro de 5 J a 6 J. Y podríamos poner el origen de energía potencial gravitatoria en el suelo de la calle, o a 10 metros bajo tierra, y todo parecería ser distinto a primera vista, pero realmente sería lo mismo: la naranja podría empezar con 1500 J de energía potencial y 1 J de cinética, y terminar con 1501 J de potencial y 0 J de cinética.

En lo que respecta al comportamiento de la naranja, todo es exactamente igual. Recuerda siempre que el concepto de energía es una herramienta humana para la comprensión del comportamiento de las cosas. Da igual cómo lo usemos siempre que nos permita predecir qué va a hacer la naranja.

Por lo tanto, mientras no cambiemos el sistema de referencia, la energía cinética será coherente, y mientras no cambiemos la situación que define la energía potencial nula, la energía potencial también lo será. Lo más habitual es elegir algún punto fácil de recordar y simple –el suelo de la habitación, el de la calle, el nivel del mar, etc.– y listo.

Energía mecánica

Al añadir el concepto de energía potencial al de energía cinética, tenemos una definición más amplia de energía que, por lo tanto, permite utilizar el principio de conservación en más casos que empleando sólo la primera. La suma de las energías cinética y las potenciales (sean cuantas sean) recibe el nombre de energía mecánica.

La energía mecánica es, por tanto, una evolución de la vis viva de Leibniz, una energía más amplia que se conserva en más situaciones que la del alemán. Sin embargo, naturalmente, hay sistemas físicos en los que la energía mecánica no se conserva: el cubo y la mesa de arriba, la naranja de nuestro ejemplo si tenemos en cuenta la fricción con el aire, un coche que quema gasolina para moverse… Cuando eso sucede, si parece que la energía no se conserva, la razón es que no estamos teniendo en cuenta otros tipos de energía aparte de la mecánica, y tenemos dos opciones: no hacer uso del principio de conservación en ese caso, o identificar, cuantificar y utilizar el nuevo tipo de energía de que se trate para poder seguir empleando el principio de conservación.

Si las únicas fuerzas que actúan son conservativas, sin embargo, la energía mecánica se conserva y funciona estupendamente bien como herramienta con la que estudiar el sistema. Es posible incluso emplear este principio sin calcular jamás la energía mecánica: si la energía mecánica se conserva, entonces cualquier variación en alguna de las energías que la componen implica una variación contraria en las demás, de modo que el cambio neto sea nulo y la energía mecánica se conserve.

Por ejemplo, imagina que un objeto tiene una energía mecánica la que sea, que nos da igual ahora mismo, y supongamos que la única fuerza presente en el sistema es la gravedad, que hemos incluido energéticamente en forma de energía potencial gravitatoria. Imagina ahora que el objeto pierde 5 J de energía cinética — eso significa, necesariamente, que ha ganado 5 J de energía potencial. De ese modo, el cambio neto de la energía mecánica es -5 + 5 = 0 J, como debe ser si hemos tenido en cuenta todas las fuerzas en ella.

Por eso da igual dónde elijamos el origen de la energía potencial: ésa es la auténtica belleza de este principio de conservación.

Ideas clave

Para afrontar los últimos capítulos de la serie con garantías, debes haber asimilado los siguientes conceptos:

• En general, la energía cinética no se conserva.

• La energía potencial es la asociada a un campo de fuerzas debido a la posición de cada parte del sistema.

• Sólo tiene sentido hablar de energía potencial en campos de fuerza conservativos.

• Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado para mover algo de un punto a otro sólo depende de las posiciones inicial y final.

• El origen de la energía potencial es arbitrario e irrelevante, siempre que lo mantengamos fijo.

• La energía mecánica es la suma de las energías cinética y las potenciales que sean relevantes en el sistema.

• Si en un sistema sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se mantiene constante.

• Si la energía mecánica no se conserva es porque hay otras energías en juego que no hemos cuantificado.

Hasta la próxima

Ya que últimamente hemos propuesto fundamentalmente desafíos, hagamos hoy algo diferente: un experimento. Aunque es muy sencillo, involucra observar, medir y pensar, tres de los pilares de la ciencia. Como casi todos nuestros experimentos, se disfruta bastante más si lo haces con un niño cerca –o tienes alma de niño, claro–.

Casi la mitad de ellas llegan a la solución correcta, lo cual es estupendo pero, por otro lado, ha hecho muy difícil elegir finalistas y ganador. La elección será necesariamente injusta pero, si has llegado a la solución buena –sea como sea–, ¡enhorabuena! Incluso aunque tengas la solución correcta, te recomiendo que eches un vistazo a las otras soluciones y especialmente a los “extras” que habéis enviado algunos de vosotros.

Antes de nada, el meollo de la cuestión. La respuesta correcta es que la probabilidad de morir en A es de 1/6, la de morir en B es 1/3, la de morir en C es 1/6 y la de morir en D es 1/3. Pero ¿cómo llegar hasta aquí? Vuestras soluciones lo hacen básicamente de tres maneras distintas (con algún detalle diferente dentro de cada grupo, pero eso no es importante), de modo que analicemos cada tipo de solución.

El primer grupo de soluciones es el que podríamos llamar de fuerza bruta: usando algún lenguaje de programación, o una hoja de cálculo, o alguna cosa similar, básicamente se realiza el experimento un número muy grande de veces de modo que pueda verse qué sucedería con una especie de simulación.

Claro, hacerlo únicamente así no es la solución óptima –aunque es infinitamente mejor que no llegar a ninguna conclusión–, pero muchos de vosotros habéis usado este método, inteligentemente, para comprobar de manera pseudo-empírica la solución que habéis obtenido de una de las otras dos maneras. También es útil hacerlo así primero, para ver qué es lo que “debería salir”, y luego ponerse a hacerlo teóricamente con un rumbo determinado –eso es lo que hice yo, porque al principio no sabía por dónde empezar–.

De entre todas las soluciones de fuerza bruta, la mejor con mucha diferencia ha sido la de nuestro primer finalista, Sergio Cinos. Sergio ha utilizado javascript para realizar la simulación. Su solución me ha parecido fascinante por dos razones: por un lado, porque no da la solución simplemente de manera numérica, sino de forma gráfica, incluso del número de turnos que sobrevive cada desafortunado jugador.

Por otro lado, porque uno de los parámetros que se pueden modificar para ejecutar la simulación es el número de habitaciones. Como habéis dicho varios en la solución, este problema es atacable porque tiene una gran simetría, pero con cinco habitaciones, por ejemplo, hubiera sido bastante más difícil. Hablaremos de esto al final de la solución pero, armados con el programita de Sergio, podemos al menos saber qué debe salir para cada caso antes de enfrentarnos a él de manera teórica.

Sin más, os dejo disfrutar de la solución de Sergio, me lo he pasado bomba jugando con ella: http://eltamiz.com/images/2012/05/sergio.html.

Otra solución de fuerza bruta que merece mención es la de Javier Sedano (nuestro J de El Cedazo); Javier ha realizado la simulación en java, pero lo glorioso de su solución es la introducción, en la que explica la verdadera razón de la invasión de la Tierra, que no es otra que hacer trampa para resolver un problema matemático:

Lo que la historia no cuenta es que el general alienígena no tenía ninguna intención de invadir la Tierra. Fue a su jefe, mientras se estaba duchando por la mañana, a quien se le ocurrió este pequeño problema, y quien encargó a su subordinado que lo resolviera.

Nuestro general era un poco vago. No es que fuera mal matemático, claro que no. Eso es algo que los alienígenas matemáticos llevan en los genes. Es solo que él era vago.

Así que en vez de ponerse a pensar sobre el problema durante los escasos segundos que le hubiera llevado resolverlo, decidió poner a unos cuantos seres inferiores a jugar, a ver en qué habitación morían. El plan era simple: pondría a los 7 000 000 000 de humanos a jugar, mediría cuántos de ellos morían en cada habitación y con eso calcularía el porcentaje.

Con esto llegamos a la invasión de la Tierra, en la que nuestro alienígena esperaba encontrar casi siete mil millones de seres inteligentes con los que realizar el experimento. Con lo que no contaba el general es con las particularidades del ser humano:

La mayor parte de ellos simplemente dijo “A mí que me importa salvar al siguiente jugador. Paso. Que le den.” y directamente pasó de jugar. Esto falseaba el experimento, así que a quienes dijeron eso, hubo que descartarlos.

Otros, influenciados por un invento que ellos llamaban “televisión” se comportaron como si todo fuera mentira. Unos creyeron que estaban participando en algún tipo de reality show, por lo que se pusieron a insultar al alienígena y diciendo algo de que “estás nominado”. Otros dijeron noséqué de una película e intentaron agredir al alienígena. Obviamente, el alienígena tuvo que descartar a todos estos del experimento.

Otra parte sustancial de los humanos ni siquiera entendió el problema y optó por soluciones peregrinas, como correr en círculos ABCD o ADCB; ir a B o D y quedarse allí; quedarse quietos en A; o simplemente mirar al alienígena con cara de no haber entendido nada (estos, la mayoría). También estos hubo que descartarlos para no falsear el experimento. Una parte no despreciable si entendió el ejercicio, pero intentó hacer trampas, como por ejemplo quedarse quietos en A y decir que la probabilidad de morir en A era del 100%. Otra vez, hubo que descartar a estos, por tramposos, para no falsear la medida.

Solo un puñado de humanos, en torno a un millón, consiguieron hacer el experimento adecuadamente. El alienígena encontró una correlación aparentemente significativa entre esos humanos que sí lograron hacer el experimento y un panfleto pseudo-científico llamado El Tamiz (los humanos creen que es científico, pero es que son un poco retrasados, los pobres; todavía creen en el principio de incertidumbre y la contracción de la longitud… ilusos), lo que hace pensar al alienígena que quizá para las razas inferiores esa pseudo-ciencia es un paso necesario antes de llegar a la verdadera inteligencia.

El segundo tipo de soluciones es el que podríamos llamar iterativas. Son aquellas en las que se va calculando la probabilidad de muerte en cada habitación en cada turno, se van sumando esas probabilidades y se llega a una serie infinita. Dado que esa serie converge para cada habitación, se suma la serie infinita y se tiene la probabilidad de muerte en cada una de las cuatro habitaciones.

De entre ellas, me han parecido especialmente intuitivas las que dividen las probabilidades en dos tipos: puesto que empezamos en la habitación A, sólo es posible morir en las habitaciones B y D en un número de turno impar, y sólo es posible morir en A y C en un turno par. Pero mejor dejo que lo explique el segundo finalista de hoy, Argus:

Vamos a visualizar las probabilidades como si en lugar de una sola persona caminando por las habitaciones se tratara de un millón de individuos que en cada turno se dividen en dos grupos iguales y cada grupo va a una de las habitaciones contiguas.

Si empezamos con 1 millón en A, en el siguiente paso tendremos medio millón en B y medio millón en D. Con toda seguridad muere uno de estos grupos, bien en B, bien en D, y con la misma probabilidad.

Tanto si los supervivientes están en B como si están en D, en el siguiente turno una mitad va a A y otra mitad va a C. Uno de estos grupos muere, bien en A bien en D, de nuevo con la misma probabilidad.

Repitiendo este proceso vemos que por turnos, la mitad del ejército en el primer paso muere en B o D. La mitad de la mitad muere en A o C. La mitad de la mitad de la mitad muere en B o D y así sucesivamente.

Es decir, que la fracción de individuos muertos en total será:

Al final la suma es 1, es decir, mueren todos como era de esperar.

Pero como empezamos en la habitación A, los individuos que mueren en B o D corresponden a los turnos impares mientras que los que mueren en A o C corresponden a los turnos pares. O sea:

Probabilidad de morir en B o D = . Probabilidad de morir en A o C =

Resolviendo los sumatorios llegamos a:

P(morir en B o D) = 2/3

P(morir en A o C) = 1/3

Al movernos al azar, las probabilidades de B o de D son iguales entre sí y las probabilidades de A o de C también. Por tanto, la solución habitación por habitación se obtiene dividiendo estos resultados por 2:

P(A) = 1/6, P(B) = 2/6, P(C) = 1/6, P(D) = 2/6

De entre estas soluciones, además, ha salido una demostración adicional interesante, obtenida por Karlos y Alejandro Godoy: el tiempo medio de supervivencia en el juego. Dejo que lo explique Karlos:

Hay otra cosa que podemos calcular del problema (y es que si no se me hace muy soso). ¿Cuánto tiempo sobreviviremos de media?

Veamos, cada 5 segundos tenemos un 50% de probabilidades de morir. Es decir, tenemos un 50% de probabilidades de durar 5 segundos; un 25% de durar 10 segundos; un 12.5% de durar 15 segundos, y así sucesivamente.

Por tanto, el tiempo medio que tardaremos en morir vendrá dado por , sumando n desde 1 hasta infinito. Esto podemos calcularlo como (sacando factor común), y la suma de la derecha da (de nuevo… calculadora o álgebra) exactamente 2.

Por lo tanto, de media sobreviviremos 10 segundos. No es mucho, pero siguen siendo muchos más de los que nos permitiría vivir nuestro alienígena si estuviera hambriento. Imagino que con el útlimo quedó satisfecho.

Finalmente, las que me parecen las soluciones más elegantes de todas, ya que no requieren de sumas infinitas ni programas que ejecuten la simulación, son las soluciones recursivas. Ojalá se me hubiera ocurrido una de éstas, porque me encantan y, al leerlas, se me ha encendido la bombilla, pero desgraciadamente mi mente no da para tanto. Enhorabuena a los “recursivos”, porque habéis convertido el problema en un juego de niños.

Básicamente, las soluciones recursivas se basan en darse cuenta de un hecho crucial: por un lado –como sucedía en las iterativas– que las habitaciones A y C, lo mismo que B y D, son equivalentes. Por otro, y aquí es donde está el detalle elegantísimo, que cada dos turnos el problema se convierte en el problema original de nuevo. Maravilloso.

Ha sido muy difícil elegir una solución entre las recursivas, porque son todas buenísimas; aunque no sea la ganadora, no puedo dejar de mencionar la de Mmonchi, porque fue la primera solución recursiva que recibí y, al leerla, se me pusieron los ojos como platos. El caso es que os dejo aquí la del ganador de hoy, Alberto Pérez, su “solución a las habitaciones de la muerte para ajedrecistas”:

El problema se simplifica mucho, si uno se da cuenta de las simetrías que presenta.

Es fácil darse cuenta que existe la misma probabilidad de morir en B que en D, Reflexionando un poco mas, la probabilidad de morir en A es la misma que la de morir en C.

Tenemos dos parejas, B-D y A-C

Para visualizarlo mejor, podemos pintar B-D de Blanco y A-C de Negro, eliminar los pasillo y quedarnos con un mini tablero de ajedrez de 2×2.

En este tablero nos movemos como torres, en vertical o en horizontal… pero no en diagonal. Por lo tanto, en cada movimiento se ira alternando de color, de la casilla en la que acabamos y en la que tenemos un 50% de probabilidades de encontrar la muerte: Blanco-Negro-Blanco-Negro-Blanco-….. hasta el trágico desenlace.

Esta secuencia podría ser infinita, sin tuviéramos tantísima suerte de ir salvándonos en todos los movimientos. Esta serie infinita, la podemos dividir en infinitos intervalos de 2 movimientos: Blanco-Negro.

En cada una de estos intervalos, el Blanco juega primero. Por lo que, la probabilidad de morir en una casilla blanca es siempre el doble que la de morir en una casilla negra.

Como tarde o temprano moriremos… La probabilidad de morir en una casilla blanca es de 2/3 y la de morir en negra es de 1/3. Pero para cada color existen dos casillas equi-probables. Por lo que hay que dividir a la mitad, quedando.

A= 1/6, B = 1/3, C = 1/6, D = 1/3

Una vez resuelto el desafío, os planteo una continuación: jugando con la solución de Sergio en javascript se puede ver, por ejemplo, que si hubiese cinco habitaciones las probabilidades de muerte se dividen en tres grupos: 15,8% en la habitación original, 31,6% en las dos adyacentes y 10,5% en las dos opuestas. ¿Alquien es capaz e obtener esa solución de manera teórica? ¿Alguien puede obtener conclusiones interesantes sobre la generalización a un número arbitrario de habitaciones? Si es así y me lo enviáis, volvemos a hablar del asunto de nuevo.

En cualquier caso, me alegro de que hayáis disfrutado pensando en el problema. Y lo más importante, como siempre, es que de ser invadida la Tierra por los Alienígenas matemáticos y vernos involucrados en un experimento como éste, estamos preparados.

¡Hasta el próximo desafío!

Fue entonces cuando nuestro conocimiento, prácticamente estancado durante un siglo y medio, avanzó una vez más a pasos agigantados. La primera sonda en llegar fue Pioneer 11, en septiembre de 1979; pasó a tan sólo 20 000 km de la cima de las nubes saturnianas y nos proporcionó las mejores imágenes del planeta hasta el momento. Claro, después de ver imágenes más recientes, la verdad es que resultan poco impresionantes, pero se trata de las primeras fotografías tomadas in situ del gigante anillado:

Saturno, visto por la Pioneer 11 (NASA).

Aunque hablaremos de ella en su momento, en la foto puedes ver, arriba a la izquierda, la luna Titán, cuya importancia es tan grande que tendrá su propio artículo. El caso es que la Pioneer pudo al menos confirmar, como dijimos en la primera parte de este artículo, la presencia del campo magnético saturniano, y obtuvo imágenes de la atmósfera y los anillos que nos fueron revelando poco a poco los detalles de Saturno. Esos detalles, en general, no eran sorprendentes: al comprender Júpiter es fácil comprender Saturno. Hablaremos de algunos de los datos revelados por la Pioneer al hacerlo de los anillos y las lunas del gigante.

Tras la Pioneer 11 visitaron Saturno las dos Voyager, una en 1980 y la otra un año más tarde. Las Voyager tenían mejores cámaras y nos proporcionaron imágenes más detalladas (y, en este caso sí, una sorpresa de la que hablaremos en un momento). Pudimos por fin ver las bandas de nubes en la atmósfera de Saturno, que eran realmente parecidas a las de Júpiter. De hecho, pensamos que el comportamiento de la atmósfera saturniana es realmente parecido a la de la joviana, y su composición interna también lo es: no voy a repetir aquí todo lo que dijimos al hablar de Marduk (gases cada vez más densos, núcleo rocoso, hidrógeno metálico, etc.) porque es prácticamente igual, sino que me detendré en las diferencias entre ambos. Recuerda además que conocemos la atmósfera de Júpiter muchísimo mejor que la de Saturno, ya que nos hemos sumergido en la del primero pero no en la del segundo.

Fotografía de Saturno tomada por Voyager 1 en noviembre de 1980. Observa las lunas Tetis y Dione, y la sombra de una de ellas sobre el planeta (NASA).

Las Voyager comprobaron que al menos en un aspecto Saturno superaba a su rival Júpiter: ya dijimos al hablar del monstruo que los vientos en su atmósfera eran increíblemente fuertes. Sin embargo, en Saturno la cosa es aún más violenta: las Voyager midieron ráfagas de unos 1800 km/h, bastante más rápido que la velocidad del sonido al nivel del mar en la Tierra. Las tormentas no alcanzan la majestuosidad de las de Júpiter, desde luego, pero insisto en la belleza más delicada de Saturno comparada con la del Leviatán Júpiter.

A lo largo de los años, las Voyager y las sondas posteriores, además del Hubble, han observado la aparición y desaparición de tormentas menos gigantescas que las de Júpiter pero de una belleza extraordinaria:

Tormenta sobre Saturno fotografiada por Cassini en 2011 (NASA).

Las dos Voyager nos proporcionaron mucha más información sobre la atmósfera de Saturno. Por ejemplo, conocimos entonces que la concentración de helio en las capas altas de la atmósfera saturniana era del 7%, bastante menos que en las mismas regiones de la atmósfera joviana, lo cual parece indicar una mayor rapidez en el hundimiento del helio en la atmósfera de Saturno.

Fotografía de las nubes saturnianas en falso color tomada por Voyager 1 (NASA).

También nos permitieron conocer la duración de un día saturniano. Como dijimos en la primera parte del artículo, cada parte de la atmósfera de Saturno tiene un período de rotación diferente alrededor del eje, puesto que se trata de un planeta en su mayor parte fluido. ¿Cuál es entonces la duración de un día “de verdad”? Los astrónomos suelen fijarse entonces en la rotación de la parte sólida del planeta, pues ésa sí gira como un todo. Pero claro, en un planeta como Saturno –lo mismo que sucedía con Júpiter– esa región es invisible, sumergida bajo enormes cantidades de fluido y espesísimas nubes; la solución es medir la velocidad de rotación del campo magnético, que coincide con la del núcleo del planeta. En el caso de Saturno, ambas Voyager midieron un período de rotación de unas diez horas y media.

Voyager 2 midió además, empleando el radar, temperatura y presión estimadas de distintos niveles de la atmósfera saturniana. La cima de las nubes de este gélido monstruo se encuentra a unos -200 °C y, como en el caso de Júpiter, al descender hacia las profundidades de la atmósfera la temperatura va aumentando poco a poco. Nunca existen condiciones que serían agradables para nosotros, desde luego: a una presión similar a la del nivel del mar terrestre la temperatura sigue siendo muy baja, de unos -140 °C. Los instrumentos de Voyager 2 no pudieron llegar más allá, pero para alcanzar temperaturas razonables para un ser humano la presión tendría que ser de muchas atmósferas, ¡no se pueden tener presión y temperatura aceptables a la vez!

Sin embargo, la auténtica sorpresa relacionada con la atmósfera revelada por las Voyager fue un extraño anillo alrededor del polo norte –puedes ver la imagen a la derecha–. Al igual que en Júpiter, las nubes superiores de Saturno forman bandas de colores variados que tienen la apariencia de anillos concéntricos con el eje de giro del planeta, pero este anillo no era circular, sino hexagonal.

Cuando la sonda Cassini llegó a Saturno en 2004, las Voyager eran su referencia: ningún otro objeto humano se había acercado a Tammuz en veinticuatro años. Una de las cosas que hizo, por supuesto, fue echar un vistazo a las nubes cercanas al polo norte… y el anillo seguía estando ahí. Se trataba por tanto de una formación nubosa de al menos dos décadas de duración y una forma muy extraña. Los vientos que rugen a través de esa región viajan a unos 360 km/h, pero el anillo siempre mantiene su forma aunque rote alrededor del planeta. Desgraciadamente, cuando llegó Cassini el polo norte estaba a oscuras, con lo que sus primeras imágenes fueron de infrarrojos –y así era cuando informamos de la noticia aquí–, pero en 2009, con el polo norte iluminado por el Sol, nos regaló imágenes maravillosas del hexágono en el espectro visible.

El hexágono, fotografiado por Cassini en 2009 (NASA). Cada lado es mayor que el diámetro terrestre.

Más curioso aún fue el hecho de que, a pesar de ser una formación nubosa debida seguramente a vientos similares a nuestro jet stream, el período de rotación del anillo era de diez horas y media: no el de rotación típica de las nubes en esa latitud, sino el del interior del planeta y el campo magnético de Saturno. Además, algunas imágenes de Cassini revelaron la aurora boreal justo sobre el anillo.

Hexágono con la aurora sobre él, tomado por Cassini (NASA).

Por tanto, aunque aún no sabemos por qué diablos tiene esa forma, sí sospechamos que tiene algo que ver con el campo magnético saturniano: o bien es el reflejo exterior de la dinámica interna del planeta, o bien es la consecuencia de la interacción de la magnetosfera del planeta con partículas que llegan a él desde fuera. No es, en otras palabras, una formación nubosa normal y corriente, y todavía no sabemos su razón de ser.

Pero donde las Voyager ampliaron enormemente nuestro conocimiento del “planeta orejudo” de Galileo fue al posar sus ojos robóticos sobre los satélites y los anillos de Saturno. Aunque ya sabíamos ciertas cosas acerca de ellos, simplemente no es posible ver ciertos detalles desde la enorme distancia que nos separa del planeta: las pequeñas sondas, al aproximarse, vieron miríadas de pequeños satélites desconocidos, detalles en los anillos que hasta entonces se nos habían escapado… fueron enviándonos golosina tras golosina.

De todos esos dulces, hoy vamos a fijarnos en los que se refieren a la característica que hace a Saturno realmente especial: sus anillos. Ya vimos en la primera parte del artículo cómo nuestro conocimiento sobre ellos fue avanzando desde considerarlos satélites u orejas hasta verlos primero como un anillo sólido y luego como dos anillos. Aún nos quedaba, sin embargo, mucho por conocer.

De manera que sumerjámonos juntos en la gélida horda de pequeños objetos que rodean a Saturno para conocerlos en profundidad.

Como dijimos en la entrega anterior, hacia finales del siglo XVII el italiano Domenico Cassini discernió una separación –tienes su dibujo de 1676 a la derecha– que revelaba que Saturno no estaba rodeado por un anillo, como había pensado Huygens antes que él, sino por dos o tal vez incluso más. Naturalmente, ningún astrónomo de la época tenía la menor idea de por qué había algo así alrededor de Saturno, de qué estaba hecho o por qué no había un anillo sino más, con una separación entre ellos en la que no parecía haber nada.

Esa división entre los dos anillos recibe el nombre de división de Cassini en honor al genovés, a pesar de que posteriormente comprobamos que no está vacía como pensaba él; su problema era, claro, que su telescopio de 90 aumentos no era capaz de ver la tenue materia que llena la mayor parte de esa separación. Durante siglos creímos, erróneamente, que había simplemente dos anillos sólidos girando alrededor del gigante.

Desde 1675, por tanto, en vez de hablar del anillo de Saturno lo hicimos de los anillos de Saturno, en plural, y les dimos nombre. Desgraciadamente, la imaginación de los astrónomos no ha volado en este caso; el anillo exterior se llamaría anillo A y el interior anillo B. Aunque iremos añadiendo otros, creo que es más fácil recordar nombres y características introduciéndolos poco a poco e históricamente; mi recomendación –si quieres salir de aquí recordando lo más posible, claro– es que te vayas haciendo una imagen mental de dónde está cada anillo.

Aunque luego entremos en más detalle y conozcamos más sobre cada uno de los anillos, empecemos entonces con esta foto del Hubble para que puedas ir identificando estructuras sobre fotos “de verdad” en vez de diagramas primitivos; en este caso observa los dos anillos y la división de Cassini:

Anillos A y B y división de Cassini (Hubble Space Telescope, NASA/ESA). Versión sin etiquetas a 2200×1200 px.

Sin embargo, lo que no sospechaba Cassini era que los anillos no eran objetos como tales; casi nadie lo imaginaba. El primero en sugerirlo fue un astrónomo francés, Jean Chapelain, quien planteó la idea de que los anillos estaban compuestos realmente de lunas de Saturno de tamaño tan pequeño que no podíamos verlas. Pero Chapelain postuló su idea en 1660, con lo que no tenía argumentos experimentales para apoyarla –pues los telescopios no eran lo suficientemente potentes por entonces– ni tampoco argumentos teóricos que hicieran esa posibilidad más razonable que la otra –pues Sir Isaac Newton aún necesitaría otros veintitantos años para publicar su mecánica y, sin ella, el movimiento de los objetos en el espacio era sencillamente resultado del equilibrio natural–.

Hubo que esperar casi dos siglos para avanzar en el conocimiento sobre los anillos de manera sustancial. En 1850 dos astrónomos estadounidenses, William Cranch Bond y su hijo George Phillips Bond, descubrieron que había algo más cerca de Saturno aún que el anillo B, pero era tan tenue que había pasado inadvertido hasta entonces. Se trataba del anillo C. George llegó además a la conclusión de que tantos anillos sólidos no podrían mantenerse estables sino que se romperían –usando, ahora sí, la mecánica de Sir Isaac–, con lo que sugiere que se trata realmente de masas fluidas que rodean al planeta.

El descubrimiento del anémico anillo C fue importantísimo porque era lo suficientemente tenue como para que los astrónomos pudieran ver, a través de él, el borde del disco de Saturno. Esto demostraba sin lugar a dudas que los anillos no eran objetos sólidos, pero ¿eran fluidos como decía Bond? Tal era la curiosidad de la comunidad científica por este enigma que el St. John’s College de Cambridge lo planteó como objeto de su Premio Adams en 1857. ¿Quién lograría postular una hipótesis coherente y razonada sobre la naturaleza de los, hasta entonces, tres anillos?

Anillos A, B y C (Cassini, NASA). Versión sin etiquetas a 7227×3847 px (ojo, que es un monstruo).

Si llevas tiempo con nosotros sabes la respuesta: James Clerk Maxwell. Maxwell se puso manos a la obra y aplicó sus conocimientos de mecánica de sólidos y de fluidos a la tarea. El problema no era fácil, porque se disponía de muy pocos datos experimentales, dada la distancia a Saturno y la limitación de los telescopios de la época: Maxwell tardó dos años en encontrar la solución. En 1859 demostró que los anillos no podían ser fluidos, pues hace mucho tiempo se habrían disgregado, ni podían ser un sólido pues las tensiones estructurales los habrían roto en pedazos. Su sugerencia razonada fue que probablemente se trataba de muchos pedazos sólidos de pequeño tamaño, y que la distancia hasta Saturno era la responsable de que nos parecían ser un solo objeto. Su On the stability of Saturn’s rings (Sobre la estabilidad de los anillos de Saturno) obtuvo el Premio Adams en 1859.

A finales del siglo, en 1895, el astrónomo estadounidense James Edward Keeler trató de determinar si la hipótesis de Maxwell era cierta o no. Para ello empleó la espectroscopía, es decir, el análisis del espectro luminoso reflejado por los anillos, y el efecto Doppler, por el que la longitud de onda recibida por alguien varía dependiendo de la velocidad relativa de emisor y receptor. Así, suponiendo que un mismo anillo refleja la luz de igual manera en todas partes, es posible determinar la velocidad sobre cualquier punto del anillo midiendo las minúsculas variaciones en la longitud de onda de la luz que refleja, por ejemplo, del Sol. Una partícula que se acerca a nosotros modificará la luz reflejada en ella ligeramente hacia el violeta, y una que se aleja lo hará hacia el rojo. Incluso si las dos partículas se acercan a nosotros, la que más rápido lo haga alterará más la luz reflejada y viceversa, con lo que es posible, midiendo estas pequeñas variaciones, tener una muy buena idea de las velocidades relativas de las distintas partes de los anillos.

Al hacerlo, Keeler comprobó que cada punto de los anillos se movía con una velocidad independiente de los demás e incompatible con la de un solo cuerpo sólido: Maxwell tenía razón, al menos, en negar la existencia de un solo objeto. Eso sí, la comprobación experimental de Keeler no descartaba la presencia de anillos fluidos — para eso haría falta esperar aún medio siglo. Fue el británico Harold Jefferys quien, realizando cálculos aún más detallados que los de Maxwell y estudiando la reflectividad de los anillos a diferentes ángulos frente a la Tierra y el Sol demostró en 1947 que los anillos, sin lugar a dudas, estaban compuestos por una miríada de pequeñas partículas.

Además de descartar definitivamente la idea de anillos sólidos, Keeler descubrió una segunda región casi vacía, más exterior que la de Cassini. Se encontraba cerca del extremo exterior del anillo A, y Keeler la nombró en honor a un astrónomo alemán, Johann Encke, que había observado una banda oscura más o menos en esa región cincuenta años antes. La división de Encke partía por tanto el anillo A en dos regiones, una externa y otra interna, de tamaños muy desiguales, ya que está casi en el borde exterior del anillo A. Pero ¿habría otras? Y más importante aún ¿por qué se concentraban las partículas que componían los anillos en unas órbitas y no había ninguna, o casi ninguna, en otras?

Anillos A, B, C, divisiones de Cassini y Encke (Hubble Space Telescope, NASA/ESA). Versión sin etiquetas a 2200×1200 px.

Es posible que, si has seguido esta serie desde el principio, seas capaz de responder a la última pregunta: resonancia orbital. Hablamos de ella por primera vez al hacerlo del satélite de Júpiter Ío, pues la resonancia fue postulada por Pierre-Simon de Laplace para explicar los períodos orbitales de las cuatro lunas galileanas. En el caso de Saturno también fueron descubriendose satélites –y de la mayor parte hablaremos en entregas posteriores–, y las resonancias eran inevitables.

Por ejemplo, el astrónomo estadounidense Daniel Kirkwood encontró períodos de resonancia entre las divisiones de Cassini y Encke con los satélites Encelado, Mimas, Tetis y Dione. La gravedad de estas cuatro lunas pegaba “tirones” repetidos sobre las partículas de los anillos, convirtiendo algunas órbitas en muy estables y otras, cercanas a ésas, en muy inestables. Aunque las resonancias no explicaban todos los huecos que se irían descubriendo más adelante, sí daban una buena explicación de las más importantes. Hacía falta ir hasta allí para ver la razón de ser de algunas de las divisiones, como veremos más adelante.

A lo largo del siglo XX, según mejoraban nuestros telescopios, fuimos ganando resolución al mirar los anillos y, por tanto, descubriendo estructuras que antes estaban escondidas. El mismo año que el ser humano pisaba la Luna, en 1969, el francés Pierre Guerin descubrió un anillo muy, muy tenue en el interior del anillo C, aún más cercano a Saturno que él: el anillo D. No es fácil ver dónde termina el anillo C y empieza el D. Ambos son débiles –más aún el D que el C– y de hecho no estuvimos seguros de que Guerin había descubierto un anillo nuevo hasta que fue confirmado por Voyager 1, que además fue capaz de discernir subanillos dentro del D. Los pequeños anillos dentro de uno mayor suelen nombrarse con números junto a la letra, como D68 o D72 (pero no te preocupes, que esos no entran en el examen). Incluso un anillo tan modesto como el D tiene multitud de subanillos, aunque sólo sea posible verlos estando cerca.

Anillo D fotografiado por Cassini (el anillo C está arriba a la izquierda). El contraste de la imagen ha sido aumentado para ver bien el anillo D (Cassini, NASA/ESA).

Cuando Cassini alcanzó el sistema saturniano veinticinco años después que las Voyager, observó algo muy interesante: la estructura de los anillos no era permanente. Varios de los subanillos del D habían cambiado de forma, y uno de ellos se había desplazado 200 km hacia el planeta. Además, observó ondulaciones y perturbaciones en el anillo D debidas, según pensamos, al impacto de los pedazos de un cometa disgregado, que alteran durante un tiempo el movimiento de las partículas de los anillos como una gota que cae en un estanque crea ondas que recorren la superficie del agua.

Anillos A, B, C, D, divisiones de Cassini y Encke (Cassini, NASA/ESA).

De modo que, antes de empezar a poner números sobre la mesa y hablar de sutilezas, la estructura conocida a grandes rasgos en 1980, a la llegada de las Voyager: muy cercano al planeta, el anillo D, oscuro, tenue y muy difícil de ver; rodeándolo, su “hermano mayor”, el anillo C, algo más denso y fácil de detectar pero aún no tanto como los dos anillos principales, el B y el A, separados por la enorme división de Cassini. Finalmente, el anillo A tiene una pequeña división propia, la de Encke, cerca del borde.

Conozcamos, pues, los anillos más en profundidad, ya con los datos completos que tenemos en la actualidad gracias sobre todo a Voyager y Cassini.

Antes de nada, algunas características comunes a todos ellos. Aunque desde la Tierra, utilizando la espectroscopía, ya pudimos determinar la composición general de los anillos, las sondas lo han logrado hacer con una exactitud enorme, y la respuesta es muy clara: son hielo de H₂O. Sí, tienen impurezas debido a impactos con objetos diversos a lo largo del tiempo, pero la mejor estimación hasta ahora es que están compuestos de un 99,9% de H₂O congelada, lo cual es una pureza extraordinaria.

Es decir, los anillos son una especie de halo de hielo que gira alrededor del planeta formando agrupaciones a distancias determinadas, con ondulaciones y huecos entre ellas debidas a la interacción gravitatoria de los cuerpos del subsistema saturniano y las resonancias correspondientes. Aunque posteriormente hablaremos del espesor, son extraordinariamente delgados y se encuentran casi todos prácticamente alineados con el ecuador del planeta.

Aunque algunos pedazos son milimétricos y otros pueden llegar a tener 1 km de diámetro, ambos son excepciones; la inmensa mayoría de los pedazos de hielo están entre 1 cm y 10 metros de lado a lado. Claro, en términos astronómicos incluso 10 metros es una ridiculez; dicho mal y pronto, los anillos son básicamente polvo de hielo. La distancia entre los pedazos evidentemente varía, pero suele oscilar entre unos 100 y 250 metros de media. Una vez más, una distancia minúscula en términos astronómicos.

Visión artística de las partículas que componen los anillos (Marty Peterson/NASA).

Por eso, al mirarlos desde aquí o incluso desde las sondas a unos cuantos cientos de miles de kilómetros de distancia tienen esa forma circular tan perfecta, ese perfil matemático de una belleza difícil de expresar con palabras. Si nos acercáramos podríamos ver las irregularidades, los distintos tamaños de los pedazos de hielo, y nos daríamos cuenta del enorme espacio que hay entre los de tamaño más grande. Una persona que flotase a través de ellos muy probablemente cruzaría el espesor de los anillos sin llegar a tocar nada más grande que su mano.

La masa total de los anillos no es fácil de estimar, pero pensamos que es de alrededor de 3·10¹⁹ kg. Para poner esto en perspectiva, ¿recuerdas el asteroide 2 Palas, el tercer asteroide más masivo del Cinturón Principal? Palas tiene una masa de unos 2·10²⁰ kg, lo cual significa que la masa combinada de todas las partículas que componen los anillos es alrededor del 15% de la masa de Palas.

Otra manera de verlo, bastante más impresionante, es la siguiente: la cantidad total de H₂O en nuestro planeta –contando la de los océanos, la atmósfera, los casquetes polares, absolutamente todo– es de alrededor de 1,34·10¹⁸ kg. Es decir, toda el agua de nuestro planeta es un mero 4,4% de la masa total de agua contenida en los anillos. Escalofriante.

Por lo tanto, resumiendo, los anillos son una estructura gigantesca en extensión, muy discreta en masa y delicadísima en lo fino de su división, que rodea al monstruo con una elegancia geométrica absolutamente inefable:

Se me saltan las lágrimas. Saturno y sus anillos, vistos por Cassini en mayo de 2007, a un millón de kilómetros del gigante (Cassini/NASA/ESA). Versión a 4824×3048 px.

Desde luego, conocer el tamaño de las partículas y, sobre todo, la composición de hielo casi puro lleva a preguntas inevitables: ¿por qué? ¿de dónde han salido los anillos? ¿desde cuándo están ahí? ¿hasta cuándo seguirán? En la siguiente entrega seguiremos explorándolos, viajando poco a poco hacia fuera desde la cima de las nubes saturnianas para empezar la expedición en el tenue anillo D y viajar hacia fuera por el C, la división de Cassini, el B, el A con la división de Encke y más allá… hasta entonces.

Con mayo llega el que probablemente sea el último Desafío antes de las vacaciones. Se me ocurrió en la ducha hace un par de mañanas y ni siquiera he intentado resolverlo aún, pero creo que es más fácil que algunos de los últimos que hemos planteado –eso sí, espero que, aunque lo sea, siga siendo divertido luchar con él–.

Por si nunca has participado en uno, aquí tienes las condiciones para jugar:

• Podéis enviar la solución a desafios@eltamiz.com hasta el jueves 10 de mayo inclusive. Es decir, hay tiempo de requetesobra para pelearse con él.

• No importa cuándo se envíe la solución; lo importante no es la rapidez, sino la creatividad y la claridad en las explicaciones.

• Se puede trabajar en grupo siempre que se mencionen los nombres de todos los miembros del equipo en la solución.

• Es infinitamente mejor dar una solución aproximada, por burda que sea, que no dar ninguna. Si nadie obtiene la solución perfecta, quien más se aproxime será el ganador (si explica bien las cosas, claro).

• Es posible utilizar programas de ordenador siempre que los hagas tú y los envíes como parte de la solución para que otros puedan verlos.

Como siempre, los comentarios están cerrados en esta entrada por si acaso algún listillo fastidia el misterio a los demás poniendo la solución o alguna pista. Dicho todo esto, vamos con el desafío.

Las habitaciones de la muerte

Debido a los azares del destino tú, querido lector, has sido capturado y esclavizado por los malévolos, babosos y sepiáceos Alienígenas matemáticos tras su conquista de la Tierra. Para saciar su sádica curiosidad, las criaturas deciden jugar contigo a un macabro juego probabilístico: cuando despiertas del sueño inducido por las drogas que te han inyectado durante tu captura¹ te encuentras en una habitación metálica y estéril que tiene dos puertas, como en el dibujo:

La voz batrácea de un Alienígena te anuncia a través de un altavoz:

“Bienvenido, xuglurz. Vamos a jugar a un pequeño juego juntos…”; aquí el monstruo se detiene un momento y hay un gorgoteo de sorna. “Estás en un recinto de cuatro habitaciones idénticas, A, B, C y D, unidas por pasillos de modo que A conecta con B y D, B conecta con A y C, y C conecta con B y D.”

Miras al suelo y ves que, efectivamente, una enorme A está marcada sobre él. A través de un corto pasillo ves una habitación marcada con B y a través de otro, una segunda habitación marcada con D. Es entonces cuando te percatas de que el techo es una plataforma móvil como un émbolo, ¡no está unido a las paredes!

“Aah, incluso tú te has percatado”, continúa tu captor con voz melosa. “Sí, el techo es un émbolo que puede descender hasta el suelo, triturándote como a una hormiga. De hecho, el techo de todas las habitaciones y de los pasillos se comporta de igual manera”, y al decir esto, el monstruo acciona algún tipo de botón y ves cómo el techo de todo el recinto excepto la habitación en la que te encuentras desciende bruscamente y estampa contra el suelo con una fuerza brutal.

“Cada cinco segundos, el techo de todo el complejo descenderá de golpe, triturando todo a su paso”, sigue el monstruo. “Bueno, casi todo: una de las dos habitaciones conectadas con la tuya será respetada, y el el techo no bajará. De modo que, como estás en la habitación A, cuando empiece el juego puedo asegurarte que o bien la habitación B o bien la habitación D –una y sólo una de las dos conectadas con la tuya– se mantendrá segura, mientras que todo el resto, incluida la A, será aplastada por el techo sin remisión.” Otro gorgoteo jocoso.

“¿Cuál de las dos habitaciones adyacentes será la segura?”, gritas, desafiante e ingenuo, provocando otra risa húmeda y babosa.

“Una de las dos completamente al azar”, responde la criatura. “Cuando suene la sirena más te vale correr a una de las dos, ya que es el tiempo justo que un bípedo implume como tú necesita para recorrer el pasillo. Si tienes suerte, habrás elegido la correcta. Si no… bueno, puré de homínido.”

Tras una pausa para dejar que tu débil mente asimile la situación, el monstruo continúa.

“Naturalmente, la cosa no acaba ahí. Si sigues vivo tras el pimer paso, la sirena sonará de nuevo: una de las dos habitaciones conectadas con aquella en la que estés, elegida al azar, será respetada, y el resto del techo descenderá irremisiblemente hacia el suelo. Si eliges bien cuando corras de nuevo, seguirás vivo. Si no…”

“Sí, sí: puré de homínido.”

“Eso es lo que más me gusta de los seres humanos: su sentido del humor”, responde el Alienígena. “Bueno, eso y el bazo.”

“Pero… ¿cuál es el juego entonces?”, preguntas. “¿Simplemente muero y ya está? ¿No hay manera de salvarme? Con un 50% de probabilidad de sobrevivir cada vez, eso significa un 25% tras dos pasos, un 12,5% tras tres pasos… ¡no tengo esperanza!”

“No. La verdad es que no. El proceso se repetirá una y otra vez hasta que… bueno, hasta que elijas mal. Pero, ¡ah!, hay una recompensa. Si logras decirme cuál es la probabilidad de que mueras en cada una de las cuatro habitaciones (porque vas a morir en una de ellas tarde o temprano, claro), el siguiente humano al que le toque jugar será liberado. Como puedes comprender, no eres el primero en participar en el juego y… el anterior intentó hacer trampa.”

Te das cuenta entonces de que el suelo a tu alrededor está cubierto de lo que parece foie-gras rosa.

“Eligió quedarse en A y no moverse tras sonar la sirena: había predicho que moriría en A con un 100% de probabilidad. Pero claro, el juego sólo tiene gracia si intentas sobrevivir el máximo de tiempo posible: no hagas trampa.”

“De hecho, para hacerlo interesante, aquí tienes la condición clave: cada vez debes moverte a una de las dos habitaciones disponibles al azar. No vale, por ejemplo, moverte siempre entre A y B y decir que hay un 25% de probabilidades de morir en A y un 75% de morir en B — debes analizar las probabilidades suponiendo que cada vez te mueves aleatoriamente entre las dos habitaciones adyacentes”.

“¿Y bien?”, pregunta acariciadoramente la criatura. “¿Qué probabilidad hay de que mueras en A, qué probabilidad de morir en B, en C y en D? ¡La vida de uno de tus congéneres depende de la respuesta!”

¿Y bien, xuglurz? Aunque tú estés condenado, puedes salvar la vida de otro ser humano si eres capaz de predecir la probabilidad de muerte en cada habitación suponiendo que maximizas tu tiempo de supervivencia moviéndote cada vez a una habitación adyacente.

¿Puedes salvar al siguiente?

Este desafío ya ha finalizado. Puedes leer la solución aquí.

1. En serio, cuando escribo estas cosas siempre me río cuando imagino a un lector nuevo que no conoce la serie leyendo estas barbaridades…