Engenharia Mecânica Online

Tabela de Integral

2013-03-10T15:26:00.002-07:00

Tabela de Integral

Confira a tabela de integrais:

Confira também um introdução sobre Cálculo Integral

Cálculo Integral

2013-02-26T18:56:00.004-08:00

Integral - Teoria

Integral possui inúmeras aplicações práticas, as principais são a possibilidade de realizar cálculos com curvas, determinar a área sob uma curva, volume de objetos curvos, pressão exercida em objetos curvos. Área Uma das aplicações do cálculo integral é a determinação de uma área sob uma curva, a qual daremos um maior foco, onde obtemos uma função f(x).
Para ilustrar a teoria do cálculo da integral vamos exemplificar da seguinte forma:

A área sob a curva C possui a base AB, para calcularmos a área sob a curva transformamos esta área em uma figura geométrica simples, no caso em retângulo.

Porém ainda há espaços que não foram preenchidos pelo retângulo, então será um cálculo muito impreciso. Mas e se aumentarmos o número de retângulos dentro da área sob a curva.

Dois retângulos

Quatro retângulos

Oito retângulos

Como podemos notar, quanto mais retângulos desenhamos mais preciso será o cálculo da área, então enquanto o número de retângulo (n) tende ao infinito mais fiel será o resultado.

Dividindo o intervalo [A, B] em n intervalos de comprimento temos: Δx= (b-a)/n.

Tome xi* ∈ [xi-1, xi] pontos arbitrários, onde i= 1, 2,..., n.

Cada retângulo Ri tem área dada pela seguinte equação:

A equação da soma de todos os retângulos é dada por:

Portanto, a área sob o gráfico de f é dada pela equação:

Concluindo que , a equação da integral da função definida por f na intervalo [A, B] é:

Exemplo de fixação

Use retângulos para estimar a área sob a parábola y=x² no intervalo de 0 à 1 do eixo x. Use apenas 4 retângulos.

Limite dos intervalos à esquerda:

Limite dos intervalos à direita:

Portando a área sob a curva está entre o intervalo 0,21875 < A < 0,46875, se aumentarmos a quantidade de retângulo vamos observar que este intervalo se aproxima do valor real da área. Observe a tabela abaixo:

Vamos descobrir o valor real da área sob curva da função f(x)=x², usando a fórmula de cálculo da integral.

Confira antes a Tabela de Integrais

Resposta: A área do a curva é de 0,333333 unidades².

Imagem das respostas do Fórum - 2

2013-02-12T18:39:00.000-08:00

Imagem 1

Duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal formando os ângulos a e b, correspondentes. Sabendo-se que 3a+4b=175º, determine as medidas de todos os ângulos da figura:

Link da pergunta

Imagem 2

Link da pergunta

Imagem 3

Link da pergunta

Baixe aqui o algoritmo utilizado para o cálculo

Imagem 4

Link da pergunta

Combinação Linear de Vetores

2013-02-12T14:32:00.003-08:00

Álgebra Linear - Combinação Linear de Vetores

A combinação linear só é possível ser realizada nos casos de vetores linearmente dependentes (LD), que significa que os vetores são paralelos. Caso os vetores sejam linear independentes (LI),ou seja, não são paralelos, o sistema será impossível.

A combinação linear para vetores LD é feita utilizando a seguinte equação.

'u' e 'v' são os vetores.

Equação da combinação do vetor u em relação ao vetor v.

u = a1.v1 + a2.v2 + a3.v3 + ... + an.vn

Antes de iniciar os exercícios leia a matéria sobre Operações com Vetores.

Exemplo:

Escreva a combinação linear do vetor u=(1,3,2) em relação aos vetores v=(1,0,0), u=(0,1,0) e w=(0,0,1).

Exemplo de uma combinação linear onde os vetores são linearmente independentes (LI), ou seja, não são paralelos:

Escreva a combinação linear do vetor u=(1,2,1) em relação aos vetores v=(1,2,0) , w=(1,0,0) e z=(1,1,0).

u = a.v + b.w + c.z

Operações com Vetores

2013-02-12T13:23:00.000-08:00

Álgebra Linear - Operações com Vetores

Soma

Regra do Paralelogramo

s = vetor soma

w = vetor 1

v = vetor 2

Exemplo prático:

Regra Poligonal

Baseia-se em unir em sequência todos os vetores, não alterando seu sentido, módulo e direção.

s = vetor soma

w = vetor 1

v = vetor 2

u = vetor 3

O vetor soma (s) é igual a distância entre a origem do vetor (w) e a extremidade do vetor (u).

Multiplicação por um Escalar

α.u

α é um número real (escalar).

Exemplo prático:

Operações com Vetores

Adição de vetores:

u + (v + w) = (u + v) + w (cumulativa)

u + = u (elemento neutro)

u + u) = 0 (vetor oposto)

Multiplicação por escalares

α.(v + u) = α.v + α.u (distributiva)

(α + β).w = α.w + β.w (distributiva)

v .1 = v (elemento neutro)

(α . β). u = α (β . u)

Igualdade entre Vetores

w.(x1 , y1) = u.(x2 , y2)

w = u

(x1 , y1) = (x2 , y2)

x1 = x2 e y1 = y2

Agora monta-se uma equação linear. Leia os artigos sobre Equação Linear.

Computação - Linguagem Pascal Aula 2

2013-02-11T12:18:00.002-08:00

Computação - Linguagem Pascal

Estrutura de seleção ou Comando de decisão

Para criar um mecanismo que permita seguir por caminhos diferentes dentro de um algoritmo, usamos os comando de decisão ou estrutura de seleção, as decisões podem ser tomadas pelo usuário ou serem pré-definidas pelo pelo programador de acordo com alguns parâmetros.

Os comandos que utilizamos para este tipo de situação são:

'Se...Então...Senão' = If...Then...Else.

Exemplo:

Se a cerveja acabar, então eu devo comprar mais cerveja, senão, eu não preciso comprar mais cerveja.

If a cerveja acabar, Then eu devo comprar mais cerveja, Else, eu não preciso comprar mais cerveja.

Exemplo da estrutura do algoritmo;

Baixe aqui este algoritmo.

'Caso' = Case.

Exemplo:

Caso eu tomar refrigerante eu posso dirigir, caso eu tomar cerveja eu não posso dirigir.

Case eu tomar refrigerante eu posso dirigir, Case eu tomar cerveja eu não posso dirigir.

Observação:

O comando Case só compara a igualdade das constates, não é possível fazer um teste com <=.

Só é possível fazer comparação com constantes e não com variáveis.

A constante a ser comparada deve ser char, integer ou boolean.

Exemplo da estrutura do algoritmo:

Baixe aqui este algoritmo.

Estrutura de Repetição (Loop ou laço)

Quando queremos repetir um determinado comando utilizamos as estruturas de repetição, essas estruturas são muito úteis quando precisamos fazer a mesma tarefa várias vezes sem a necessidade de executar novamente o algoritmo.

As repetições podem ser definidas pela necessidade do usuário ou pré-definidas pelo programador.

Comando 'FOR'

Utilizamos o comando FOR quando queremos realizar uma tarefa uma quantidade determinada de vezes sem interrupção (Loop automático). Não é possível interromper a repetição até o programa realizar toda a tarefa.

Devemos utilizar um contador de repetição que neste caso é atualizado automaticamente, e declarar o nome do contador dentro do comando FOR no início do algoritmo e deve ser do tipo Integer.

Exemplo de um algoritmo usando o comando FOR.

Ao Executar (F9) o programa o resultado é este.

Baixe aqui este algoritmo.

Comando 'Repeat'

O comando REPEAT pode ter o número de vezes que realiza a repetição controlada pelo programador ou usuário, pois sempre que termina uma repetição ela verifica a condição de encerramento da tarefa (Pós-Teste).

Exemplo de um algoritmo usando o comando REPEAT.

Ao Executar (F9) o programa o resultado é este.

Baixe aqui este algoritmo.

Comando 'While'

O WHILE é um comando semelhante ao REPEAT, a principal diferença é que o primeiro verifica a condição de execução da tarefa na entrada do loop, enquanto o segundo faz esta verificação na saída (Pré-Teste).

Exemplo de um algoritmo usando o comando WHILE.

Ao Executar (F9) o programa o resultado é este.

Baixe aqui este algoritmo.

Criando um menu com o comando CASE

Agora aprenderemos a criar um sistema de menu, onde oferecemos uma maior interatividade entre o programa e o usuário, dando opções de escolha para seguir por caminhos diferentes dentro do algoritmo.

Exemplo básico:

Baixe aqui este este algoritmo

Baseado neste exemplo acima vamos elaborar um algoritmo mais complexo usando o comando CASE, vamos usar junto outros comandos que aprendemos anteriormente.

Computação - Linguagem Pascal Aula 1

2013-02-10T20:28:00.000-08:00

Computação é uma das matérias do curso de Engenharia Mecânica e com certeza você aprenderá sobre a linguagem Pascal, que é bem simples e fácil de aprender e serve como base de aprendizado para outras linguagens de programação mais complexas.

Nesta postagem vou ajudar vocês aprenderem a desenvolver algoritmos utilizados para solução de vários tipos de problemas matemáticos ou de lógica. É bom esclarecer que o computador não faz nenhum tipo de conta sozinho, ele segue os caminhos que o programador informa a ele, assim o algoritmo não pode conter erros, caso contrário não será possível chegar ao resultado desejado.

Existem vários compiladores disponíveis gratuitamente, basta procurar na internet, aqui utilizarei o Pascal Zim por ser bem simples, fácil de usar e com um layout organizado e limpo.

Aqui tem o link para baixar o compilador direto do site Baixaki.com.

Abaixo está uma imagem do layout do do Pascalzim e seus principais atalhos.

A melhor maneira de organizar a elaboração de um algoritmo é:
1º - Defina o problema a ser resolvido;
2º - Estude qual é a melhor maneira de se resolver o problema, quais são as variáveis e comandos que melhor se encaixam no algoritmo;
3º - Faça um esboço do algoritmo em rascunho;
4º - Quanto mais simples o algoritmo melhor, pois quanto mais linha ele tiver, mais pesado será a leitura pelo computador;
5º - Deixe comentários ao longo do algoritmo para se orientar e os demais programadores, pois com o passar do tempo você pode esquecer a organização do que escreveu e ajudar outras pessoas que usarão o algoritmo.

Estrutura do Algoritmo

O algoritmo tem basicamente a estrutura seguinte:

Algoritmo

<Definições e variáveis>

Início

Fim

Veja um exemplo simples de como ficaria na linguagem Pascal.

Program <Nome do Programa>;

var <Variáveis> : <Tipo de variável>;

Begin

<Comandos>;

End.

Variáveis

A variável é um posição de memória que é representada por um nome qualquer atribuído pelo programador, a qual contém uma informação, por exemplo, um número, uma letra ou um valor lógico.

Na formação das variáveis escolha um nome que tenha um significado real para o que ela representa. Ex: Na variável que armazena a quantidade de aluno utilize 'alunos', 'n_alunos', 'quant_alunos'.

Sempre que forma criar um nome composto para a variável utilize o caractere '_' para separar e não use acentos ou ç. Ex: 'novo_salario'.

No momento que criamos as variáveis devemos informar qual o tipo de variável é aquela, abaixo está listado os principais tipos de variáveis que vamos utilizar em Pascal. Existem outros tipos de variáveis que vamos aprender suas características em outra aula.

Comando de atribuição das variáveis

Program Atribuicao;
var variavel_1 : real;
var variavel_2 : integer;
Begin
<Comandos>
End.

Variável Char e String

Quando utilizamos uma variável do tipo Char ou String devemos colocar o valor atribuído a esta variável entre aspas.

Exemplo:

Program Atribuicao;
var variavel_1 : char;
var variavel_2 : string;
Begin
variavel_1:= 'V';
variavel_2:= 'Valor';
End.

Caso seja necessário utilizar/armazenar um dos caracteres de uma variável do tipo String em uma outra variável, podemos fazer esse armazenamento pelo uso de colchete []. Dentro do colchete informaremos o número do caractere.

Exemplo:

Program Atribuicao;
var letra : char;
var aluno : string;
Begin
aluno:= 'Victor';
letra:= aluno[3];
End.

Neste caso nós conseguimos armazenar a letra 'c' da variável aluno, dentro a variável letra. Então letra:=c.

Operadores Matemáticos

Comandos de entrada e saída de dados

Os comando de entrada e saída de dados serve passarmos as informações necessárias ao computador através dos dispositivos de entrada de dados, no caso do Pascal utilizaremos apenas o teclado e receber as informação do computador através do monitor.

O comando que recebe e armazena as informação inseridas pelo usuário é: Read ou Readln;

E o comando que exibe as informações através do monitor é o: Write ou Writeln;

Os comandos Read e Write, após serem utilizados o curso continua na mesma linha, caso deseja que o curso pule uma linha após este comando, utilizando os comandos Readln e Writeln.

Exemplo:

writeln('Digite seu CPF sem os dígitos: ');

readln(cpf);

Este exemplo quando for executado o programa irá aparecer isso:

Digite seu CPF sem os dígitos:

Ao informar número do CPF e apertar ENTER, o número informado será armazenado na variável (cpf).

Todo conteúdo que deverá aparecer na tela do computador deverá estar dentro de aspas ' '. Para facilitar a visualização, o Pascalzim tem cores diferentes para os comandos, para o conteúdo que irá aparecer no monitor e os sinais de pontuação.

Continuação da matéria

Coeficiente Angular da Reta

2013-02-07T15:33:00.000-08:00

Dois pontos distintos do plano cartesiano P(x1, y1) e Q(x2,y2), formam uma reta não vertical chamada r, sendo que esta reta forma um ângulo de inclinação 'α' ao cruzar com o eixo 0x.

Chamamos de M o coeficiente angular da reta 'r', dado pela equação:

M=(y2-y1)/(x2-x1)

Exemplo: Determine o coeficiente andular da reta 'r' que passa pelos pontos P(1,2) e Q(3,4).

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

M=4-2/3-1

M=2/2

M=1

Equação da reta

Considere P(xo,yo) e Q(x,y), pontos distintos da reta 'r', neste caso vamos descobrir como encontrar a equação reduzida da reta.

P(x1,y1)

P(xo,yo)

Q(x2,y2)

Q(x,y)

M=(y2-y1)/(x2-x1)

M=(y-yo)/(x-xo)

(y-yo)=M.(x-xo)

Para menorizar esta formula pronunciamos assim:"ioiô m xoxô".

A equação (y-yo)=M.(x-xo) é a equação da reta 'r' de coeficiente angular M que passa pelo ponto Po.

Exemplo: Considere os pontos da reta 'r' P(1,2) e Q(4,-1). Determine o coeficiente angular da reta e a equação da reta 'r'. Esboce o gráfico.

Coeficiente angular da reta

M=(y2-y1)/(x2-x1)

M=(-1-2)/(4-1)

M=-3/3

M=-1

Equação da reta

(y-yo)=M.(x-xo)

Para encontrar a equação da reta podemos escolher qualquer um dos pontos da reta P ou Q, o resultado será o mesmo. Neste caso vou usar o ponto P(1,2).

(y-2)=-1.(x-1)

y-2=-x+1

y=-x+3

Gráfico:

Dica:

Quando o coeficiente angular for < 0, a reta será decrescente ( \ ).

Quando o coeficiente angular for > 0, a reta será crescente ( / ).

Para o coeficiente = 0, será uma reta paralela ao eixo x ( - ).

Agora tente realizar este exercícios sobre a matéria, em caso de dúvida envie sua dúvida por comentário.

Calcule o coeficiente angular e a equação da reta pelos pares de pontos e faça os respectivos gráficos.

a) (-2,0) e (0,2)

b) (-3.5) e (-2,7)

c) (-1,1) e (1,-2)

d) (-1,1) e (-3,2)

Imagem das respostas do fórum.

2013-02-07T13:58:00.000-08:00

Imagem 1

Link da pergunta

Imagem 2

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Imagem 3

Link da Pergunta

Imagem 3.1

Imagem 4

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Imagem 5

Link da pergunta

Imagem 6

Link da pergunta

Imagem 7

Imagem 8

Aqui estão os dois catetos que são os lados do triângulo de lado menor tamanho.
O cateto verde mede 2, então o seu quadrado tem lado 2x2=4.
O cateto vermelho mede 4, então seu quadrado tem lado 4x4=16.
Quando somamos estes dois quadrados eles ficam exatamente do mesmo tamanho do quadrado da hipotenusa, igual na imagem.
Por isso que dizemos que a soma do quadrado dos catetos é uma ao quadrado da hipotenusa.
Hip² = cat² + cat²

Imagem 9

Link da pergunta

Fios Ideais

2013-02-04T15:17:00.002-08:00

Fios Ideais

Fio ideal se caracteriza por ter sua massa desprezível e ser capaz de transmitir toda força que nele é aplica entre as extremidades.
A força que exercemos em um fio ideal sempre será de tração, esta força tem a mesma direção do fio e a intensidade dessa força será igual em ambas as extremidades.

Agora vamos esclarecer algumas regras sobre seno e co-seno.

Não vou entrar em detalhes sobre seno e co-seno, mas gostaria de fazer uma breve observação sobre estas funções trigonométricas.

Quando observamos ambos em um plano cartesiano, observamos que o valor do seno esta diretamente ligado ao eixo Y (ordenadas) e o co-seno ao eixo X (abcissas).

Quando o seno ou co-seno estão em seu ponto mais alto do plano cartesiano, seu valor será 1 e no ponto mais baixo o valor será 0.

Vamos observar nesta figura:

Compare os valores da tabela, no ângulo de 0º, o eixo Y está em no seu valor mínimo (0), já o eixo X está no seu valor máximo (1). Quanto mais ao centro do plano cartesiano, menor será o valor.

No ângulo de 45º, podemos observar um equilíbrio entre seno e co-seno, ambos valem 0,707.

Já no ângulo de 90º o eixo Y possui seu valor máximo (1) e o eixo X o mínimo (0).

Vamos realizar alguns exercícios baseados neste conceito:

1) Represente as forças i(F) na forma cartesiana, ou seja, determine Fx e Fy.

Sabemos que F1 possui 150N de força e queremos qual o valor dessa força para o eixo X e Y em um ângulo de 45º.

Lembrando que o seno está vinculado ao eixo Y e o co-seno ao eixo X.

Para calcular Fx, multiplicamos F1 pelo co-seno de 45º.

Força do eixo X:

Fx= F1.Cos45º

Fx= 150N.0,707

Fx= 106,06N

Para calcular Fy, multiplicamos F1 pelo seno de 45º.

Força do eixo Y:

Fy= F1.Sen45º

Fy= 150N.0,707

Fy= 106,06N

Observamos que há um equilíbrio de forças no ângulo de 45º, ambos os eixos cartesianos possuem aproximadamente 70% da força original (F1).

2) Encontre Fx e Fy.

Neste exercício obedeceremos o plano cartesiano e podemos observar que F1 está em um ângulo de 180º e não em um ângulo de 0º ou 90º.

Fx= F1.Cos180º

Fx= 100N.(-1)

Fx= -100N

Fy= F1.Sen180º

Fy= F1.0

Fy= 0

Escalonamento de Matriz

2013-01-27T16:03:00.000-08:00

Sistemas Lineares na forma Matricial - Escalonamento

Exercícios resolvidos passo-a-passo, matéria da grade curricular do curso de Engenharia Mecânica.

Caso tenha dificuldade com a matéria leia nossa publicação abordando o tema Sistemas Lineares.

Exemplo 1:

x+y+z=100

y+2z=40

3z=30

Neste caso são 3 incógnitas e 3 equações.

Vamos reescrever o sistema na formal matricial (matriz).

A.x=B

1) Matriz dos coeficientes (A)

2) Matriz de variáveis (x), matriz transposta de [x y z]

3) Matriz dos termos independentes (B)

Escalonamento de Matriz

Operações elementares sobre linhas de uma matriz.

Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.

Trocar ou permutar: podemos trocar dois linhas inteiras entre si.

Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a uma outra linha.

Regras de escalonamento:

1) O primeiro número da primeira linha deve ser 1 (chamamos de pivô)

Pivô da primeira linha deve ser 1, para isso podemos realizar todas as operações elementares sobre linhas de matriz (multiplicar, permutar, somar/subtrair).

2) Cada coluna que contém o pivô tem sempre 0 nas demais entradas.

Nesta imagem todos os números circulador em vermelho são os pivôs de cada linha, somente na primeira linha é necessário que o pivô seja o número 1.

Os números circulados em azul são os números que ficam abaixo dos pivôs de cada coluna, estes números devem ser sempre 0.

Há somente um pivô em cada linha ou em cada coluna.

3) O pivô da linha inferior ocorre mais a direita o pivô da linha superior.

Exemplos de matrizes não escalonadas:

Como fazer o escalonamento.

Vamos organizar as linhas:

Linha 1: 1,-5,-3

Linha 2: -1,4,2

Linha 3: 0,3,2

Agora realizamos uma operação de soma entre duas linhas da matriz, ordenadamente somando os valores de da mesma coluna.

Nós precisamos alterar a Linha 2, pois o valor do número da Coluna 1 deve ser 0.

Linha 2(Nova)= Linha 2 + Linha 1

Linha 2(coluna1)= (-1) + 1 = 0

Linha 2(coluna2)= 4 + (-5)= -1

Linha 2(coluna3)= 2 + (-3)= -1

Somando a Linha 2 com a Linha 1 temos: (0, -1, -1), estes serão os novos valores da Linha 2.

Agora só falta escalonar a Linha 3. Neste caso vamos multiplicar por 3 a Linha 2 e somar com a Linha 3.

Linha 3 (Nova)= Linha 3 + 3.Linha 2

Linha 3(coluna1)= 0+ 3.0=0
Linha 3(coluna2)= 3+ 3.(-1)=0
Linha 3(coluna3)= 2+ 3(-1)=-1

Agora caso o termo das variáveis fosse x, y e z, para continuar a resolução da equação linear teriamos a seguintes expressão.

x-5y-3z

-y-z

-z

Exercício resolvido:

Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:

(x+y+z=-1
(x+z+t=5
(y+z+t=7
(x+y+t=4

a) -1
b) 7
c) 5
d) 4
e) 5/9

Vamos transformar o sistema linear em uma matriz.

x+y+z=-1
x+z+t=5
y+z+t=7
x+y+t=4

Na forma matricial fica assim:

Para organizar melhor a matriz vamos fazer as seguintes alterações:
Permutar as linhas 2 e 3.

Agora faz fazer algumas operações entre as linhas da matriz.

Subtrair a linha 3 pela linha 1, o resultado será a nova linha 3.

Somar linha 3 com alinha 2

Subtrair linha 1 pela linha 4

Somar linha 4 com linha 3

Terminamos o escalonamento agora vamos voltar para a forma de equação linear.

x+y+z=-1
y+z+t=7
z+2t=13
3t=18

Agora vamos resolver:

Resposta C.

Sistema de Equações Lineares

2013-01-27T13:29:00.000-08:00

Álgebra Linear - Sistema de Equações Lineares

Sistema de equações lineares é um conjunto de várias equações lineares. Podem ser determinado ou indeterminado e normalmente possui um número igual de equações e incógnitas.

Os sistemas lineares são caracterizados por n de incógnitas e m equações lineares.

Para resolvermos um sistema linear devemos saber interpretar as informações do enunciado e montar corretamente as equações.

Veja um exemplo prático:

Em uma concessionária existe 3 tipos de carros, simples, luxo e executivo, totalizando 100 veículos. A soma do número de carros de luxo com o dobro do número de carros executivos é 40, o triplo do número de carros executivos é 30. Quantos carros de cada tipo há nesta concessionária?

Resolução:

Vamos organizar as informações que são fornecidas no enunciado, identificando os carros com letras.

Carro simples= x

Carro luxo= y

Carro executivo= z

Sabemos que no total são 100 carros na concessionária ("3 tipos de carros, simples, luxo e executivo, totalizando 100 veículos"), vamos transformar esta informação em uma expressão algébrica.

x+y+z=100

Há outras informações no enunciado.

("A soma do número de carros de luxo com o dobro do número de carros executivos é 40")

y+2z=40

("o triplo do número de carros executivos é 30")

3z=30

Agora vamos transformar estas equações em um Sistema Linear. Neste exemplo temos 3 equações e 3 incógnitas.

x+y+z=100

y+2z= 40

3z= 30

Assim podemos iniciar a resolução do exercício.

3z=30

z=30/3

z=10

y+2z=40

y+2(10)=40

y=40-20

y=20

x+y+z=100

x+20+10=100

x=100-30

x=70

Resposta:

Carro simples= 70

Carro luxo= 20

Carro executivo= 10

Exemplo:

Doze rapazes cotizaram-se para comprar um barco. Como dois deles desistiram, cada um teve que pagar mais R$ 200,00. Qual o preço do barco?

Resolução:

Vamos montar uma equação linear com os dados do enunciado.

Parcela de cada cotista = x
Preço do barco = y

12.x = y
10.(x+200) = y

Usando o método de substituição na segunda equação.
10.(x+200) = y
10.(x+200) = 12x
10x + 2000 = 12x
12x - 10x = 2000
2x = 2000
x = 1000

Substituindo o x na primeira equação descobrimos o valor total do barco.

12.x = y
12.1000=y
y = 12000

Resposta: O preço do barco é R$12000,00,

Equação de 2º grau

2013-01-27T12:23:00.002-08:00

Álgebra Linear - Equação de 2º grau

Equação de 2º grau, diferente da equação de 1º grau, possui duas raízes (duas incógnitas) e normalmente aparece na seguinte forma:

ax²+bx+c=0

Para resolvermos esta equação utilizamos a fórmula de Bhaskara.

Se lê, X é igual menos B, mais ou menos raiz quadrada de Delta, dividido por duas vezes A. Os sinais de mais ou menos na equação é o que distinguiram as duas raízes.

Exemplo 1:

x²-5x+6=0 que é o mesmo que 1x²-5x+6=0, apenas ocultamos o número 1 para deixar a equação com uma melhor visualização, já que o 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Neste caso devemos organizar os valores para iniciar a resolução da equação.

ax²+bx+c=0

x²-5x+6=0

(1)x²+(-5)x+(6)=0

a=1, b=-5 e c=6

Já encontramos e organizamos os valores de a, b e c. Agora vamos calcular o valor de Delta (▲).

Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:

▲= b²-4.a.c

▲= (-5)²-4.(1).(6)

▲=25-24

▲=1

Agora vamos realizar a segunda etapa da resolução, substituindo as letras da fórmula pelos valores encontrados.

Como foi explicado no início da matéria, a equação de 2º grau possui normalmente duas raízes, neste caso vamos chama-las de x¹ e x² e para distinguir as duas raízes vamos separar o sinal de mais do sinal de menos.

x¹= 5+1/2

x¹=3

x²= 5-1/2

x²=2

O conjunto solução da equação é:

S={3,2}

Exemplo 2:

5x²-2x+10=0

a=5

b=-2

c=10

▲= b²-4.a.c

▲= (-2)²-4.(5).(10)

▲=4-200

▲=-196

Neste caso, o valor de Delta (▲) é negativo, sendo assim, a equação não possui raízes reais e encerramos a equação já nesta etapa.

Exemplo 3:

-x²-4x-4=0

a=-1

b=-4

c=-4

▲= b²-4.a.c

▲= (-4)²-4.(-1).(-4)

▲=16-16

▲=0

No caso de Delta (▲) ser igual a 0, a resolução será da mesma maneira, porém, notaremos que a equação possuirá apenas uma raiz.

x¹= 4+0/-2

x¹= -2

x²= 4-0/-2

x²= -2

S={-2}

Equação incompleta

Equação incompleta é toda equação que não possui os valores de b ou c, porém, ainda assim continua sendo uma equação de 2º grau e deve utilizar a mesma resolução, com o detalhe de que deve utilizar o valor 0.

Exemplos:

-x²-8=0

Não possui o valor 'bx', neste caso b=0

2x²+4x=0

Não possui um valor para 'c', neste caso c=0

5x²=0

Não possui o valor para 'bx' e 'c', neste caso b=0 e c=0.

Relação entre raízes.

A soma e o produto da raízes da equação (x1 e x2) possui uma relação que é dada pela seguinte fórmula.

Exercício:

Na equação x²+bx+c=0 , suas raízes possuem os seguintes valores x1=1 e x2=3. Descubra qual é o valor de b e c.

Resolução:

O enunciado fornece 3 informações importantes.

x1=1

x2=3

Como não aparece a incógnita 'a' na fórmula, é certo que a=1

a=1

x1+x2=-b/a

1+3=-b/1

-b=4

b=-4

x1.x2=c/a

1.3=c/1

c=3

Ponto Máximo e Ponto Mínimo da Parábola (Vértice)

O Ponto Máximo (a<0) ou Ponto Mínimo (a>0) é o valor do ponto do eixo 'x' no vértice da parábola. Dado pela equação:

O Valor Máximo (a<0) ou Valor Mínimo (a>) é o valor do ponto do eixo 'y' no vértice da parábola. Dado pela equação:

Exercício: Qual é o ponto máximo ou mínimo da parábola na seguinte equação: x²+2.x-3=0

a=1

b=2

c=-3

Como a>0, iremos encontrar o ponto e valor mínimo.

Δ =(2)² - 4.1.(-3)

Δ = 4+12

Δ = 16

Xv= -b/2.a

Xv= -2/2

Xv=-1

Yv= -Delta/4.a

Yv= -16/4

Yv= -4

Equação de 1º grau

2013-01-26T17:58:00.000-08:00

Álgebra Linear - Equação de primeiro grau

Equação de 1º grau é aquela que podemos representar com a expressão ax+b=0, sendo que a e b são valores reais e a diferente de 0, sendo assim, há apenas uma raiz.
Vamos demonstrar um exemplo prático:

2x+6=x-18

O objetivo nesta equação é encontrar o valor de x e para isto devemos isolar todos os valores de x.

2x-x=-18-6

Para isolar x, usamos um macete "todo valor que esteja apenas somando ou subtraindo, é transferido para o lado oposto do sinal de = da equação mudando seu valor de positivo ou negativo", ou seja, se antes ele era positivo, passará a ser negativo e vice-versa.
Foi o caso dos valor x e 6, no exemplo acima.

2x-x=-18-6
x=-24

O próximo passo foi somar os valores.
2x-x é o mesmo que 2x-1x, que é igual a x.

Outro exemplo:

5x-3=2x+9

Isolando as incógnitas x:

5x-2x=9+3

Realizando a soma:

3x=12
Neste caso como o número 3 está multiplicando o valor x, passa para o outro lado do sinal de igual dividindo.
x=12
3
x=4

Outro exemplo:

2x+3(x-5)=4x+9
Neste caso utilizamos a multiplicação distributiva em 3(x-5):

2x + 3x - 15 = 4x + 9 ----------Isolamos a incógnita

2x + 3x - 4x = 9 + 15
x = 24

Alguns exercícios para praticar:

3x-5=x-2
x-(2x-1)=23