Estudando Física

OS PASSOS DA DIVISÃO

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 04 Nov 2011 00:35:00 +0000

Os professores, em sala de aula, ensinam variados métodos de como fazer uma divisão, uns ensinam o método breve (curto), muito usado no 6º ano (5ª série) do fundamental, outros ensinam o método longo e outros o método americano. A verdade é que nas salas de aula, tanto do ensino médio como do fundamental, existem bem poucos alunos que sabem, realmente, dividir. Com a chegada dos celulares o desinteresse cresceu assustadoramente. Poucos alunos querem fazer contas usando a caneta e caderno. Será que isso é bom para a sociedade? Vamos lembrar que em concursos, no ENEM, por exemplo, não se usa a calculadora do celular.

Muitos projetos que vejo por aí enfatizam muito a dança, a diversão, gincana, passeios, etc. Porém, o sistema educacional deveria entregar também trabalhos de base, como esse que posto aqui, aos alunos em forma de projetos, pois as instituições de ensino sabem que a falta de matemática básica é uma das carências dos alunos. Fazer, por exemplo, mini cursos, passo a passo e na linguagem do aluno, ajudaria muito as escolas públicas.

Vamos lembrar, novamente, que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Portanto, se você recebe esse estudo por e-mail, no Brasil, em Portugal, Angola e países vizinhos é bom visualizar as equações no Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

Se você já sabe dividir, parabéns! Mas saiba que, tanto para o aluno aprender como para o professor ensinar como dividir é um processo demorado e trabalhoso - quem vive nas salas de aula sabe disso. O processo de ensinar, a engenharia didática, a linha de frente, o trabalho de base e braçal com a sala requer muita paciência por parte do educador. O professor não pode falar difícil senão o aluno não aprende, sente pavor de contas e assim, começam os bloqueios na aprendizagem do aluno. Sem contar que existem os alunos que não querem aprender o assunto. Como proceder? Como construir esse conhecimento? O processo que vamos descrever abaixo talvez amenize essa situação é o método longo da divisão, mas com o processo algorítmico bem detalhado, espero que ajude alguém. Esse método é de grande utilidade e tem ajudado muito as pessoas com as seguintes características:

Possuem muita dificuldade em dividir;

Nunca conseguiram entender o método da divisão e, como consequência, nunca aprenderam o método curto;

Pais e mães que buscam uma metodologia de ensino sobre divisão para poder aprender com calma e assim, ensinar seus filhos;

Professores que gostariam de ensinar para os seus queridos alunos uma técnica branda, divertida e produtiva no ensino da divisão;

Alunos que realmente possuem interesse em aprender o assunto e dar um show no quadro branco ou verde para toda a sala;

Para alunos determinados em vencer as olimpíadas de matemática;

Universitários(as) que nunca aprenderam de fato a dividir e carregam aquela insegurança e, no futuro, não vão poder ensinar divisão aos seus filhos que serão, talvez, futuros físicos, médicos e engenheiros;

Alunos do nível médio que fingem que sabem dividir, usam muito o celular para fazer contas e tiram notas baixíssimas em matemática, física e química, pois tais matérias exigem que o aluno saiba o processo de divisão;

Aqueles que já sabem dividir, mas querem se aprofundar mais no assunto;

Meninos(as) que ficaram de recuperação em assuntos que envolvem divisão. Note que a maioria dos assuntos em matemática envolvem divisão;

Alunos que passaram de ano sem saber o método da divisão. Se tais alunos ainda possuem um pouco de interesse no método e esperança em aprendê-lo, mãos à obra.

No seu dia a dia escolar o aluno se depara com divisões de números da ordem do milhar ou de dezenas de milhar por número da ordem da dezena, com zero intercalado no quociente. Veja exemplos:

1º) Faça a seguinte divisão

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{}& 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Obs: esse pequeno estudo faz parte de um eBook que estou escrevendo sobre os passos da divisão, para os alunos da comunidade que um dia, talvez, se tornarão físicos e engenheiros, mestres e doutores, segundo o desejo dos seus corações. No eBook teremos muitas contas resolvidas passo a passo, como veremos aqui, com várias etapas e processos de aprendizagem. É muito trabalhoso para mim digitar essas equações. Como o blog não aguenta essas grandes equações, faremos apenas dois exemplos.

Inicialmente vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (51) dos demais, pois sua representação (o número 51) deve ser maior ou igual ao divisor (25). No caso, podemos notar que 51 é maior que 25. Portanto, a nossa divisão fica representada assim:

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & & & & & & & & & \\ & & & & & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Você pode notar que o 1 (do 51) ficou abaixo de C (centenas de unidades simples ou centenas), portanto, podemos lê o 51 assim: 51 centenas. Segue que 51 centenas dividido por 25 resultam em 2 C e, 2 C vezes 25 é igual a 50 C. Note que 50 C para 51 C dá 1C, ou seja, 51 - 50 = 1. Atenção: somente depois desse passo, podemos abaixar o 7. Veja:

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1' & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ \end{tabular}$

Somente depois de baixar o 7, fazemos a pergunta: o novo dividendo (17) é maior ou igual ao divisor (25)? Não é maior e nem é igual, é menor. E agora? Cuidado, sempre que a resposta for não, iremos intercalar um zero no quociente. Veja os passos: o número 7 (do 17) ficou abaixo de D (dezenas), portanto, lê-se 17 dezenas dividido por 25 dá 0 dezenas. Coloca-se esse zero (0) intercalado no quociente. Segue que 0 dezenas vezes 25 dá 0 e, 0 para 17 dá 17 (17 - 0 = 17). Depois dessa etapa, abaixa-se o 5. Já podemos retirar o tracinho (apóstrofo) do 51. Veja:

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 5, fazemos a pergunta: o novo dividendo (175) é maior ou igual ao divisor (25)? Sim, é maior. O 5 (do 175) ficou abaixo de U (unidades simples), portanto lê-se 175 unidades dividido por 25 dá 7 unidades. Coloca-se esse 7 no quociente. Segue que 7 vezes 25 dá 175 e, 175 para 175 dá 0, Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Portanto, é uma divisão exata pois o resto é igual a zero.

$\begin{tabular}{llllllllll} & & M & C & D & U & & & & \\ & & 5 & 1 & 7 & 5 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 5 & \\ \cline{8-10} & - & 5 & 0 & & & & 2 & 0 & 7 \\ \cline{3-4} & & 0 & 1 & 7 & & & C & D & U \\ & & - & & 0 & & & & & \\ \cline{4-5} & & & 1 & 7 & 5 & & & & \\ & & - & 1 & 7 & 5 & & & & \\ \cline{4-6} & & & & & 0 & & & & \\ \end{tabular}$

2º) Faça a seguinte divisão

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Vamos separar, com um apóstrofo ('), os primeiros algarismos (20) dos demais, pois sua representação (o número 20) deve ser maior ou igual ao divisor (20). No caso, podemos notar que o 20 do dividendo é igual ao 20 do divisor. Portanto, a nossa divisão fica representada assim:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

O zero (do 20) ficou abaixo do M (unidade de milhar, milhar ou mil), portanto a leitura é: 20 mil ou 20 unidades de milhar. Segue que 20 mil dividido por 20 resultam em 1 milhar (mil) e, 1 mil vezes 20 é igual a 20 milhar. Note que de 20 para 20 dá 0. Depois desse passo abaixe o segundo 0. Veja

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0' & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o segundo 0 (zero), fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar um zero no quociente, veja os passos: o zero(0) ficou abaixo de C (centena), portanto lê-se 0 centenas dividido por 20 dá 0 centenas, o qual é intercalado no quociente. Segue que 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o outro 0 (note que será o terceiro 0). Veja

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o terceiro 0, fazemos a pergunta: o novo dividendo (0) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar mais um zero no quociente, veja os passos: o 0 ficou abaixo de D (dezena), portanto lê-se 0 dezenas dividido por 20 dá 0 dezenas. Coloca-se o zero (0) intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 0 dá 0. A seguir abaixa-se o 4. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Depois de abaixar o 4, fazemos a pergunta: o novo dividendo (4) é maior que o divisor (20)? Não. E agora? Isso quer dizer que vamos intercalar outro zero no quociente, veja os passos: o 4 ficou abaixo de U (unidade), portanto lê-se 4 unidades dividido por 20 dá 0 unidades e, esse 0 é intercalado no quociente. Segue que esse 0 vezes 20 dá 0 e, 0 para 4 dá 4. Pergunta final: tem algum outro número para baixar? Não. Segue que o resto, no caso é 4. Como o resto é diferente de zero a divisão é não exata. Veja:

$\begin{tabular}{lllllllllll} & DM & M & C & D & U & & & & & \\ & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & \multicolumn{1}{l|}{} & 2 & 0 & & \\ \cline{8-11} - & 2 & 0 & & & & & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \cline{2-3} & & 0 & 0 & & & & M & C & D & U \\ & & - & 0 & & & & & & & \\ \cline{3-4} & & & 0 & 0 & & & & & & \\ & & & - & 0 & & & & & & \\ \cline{5-5} & & & & 0 & 4 & & & & & \\ & & & & - & 0 & & & & & \\ \cline{6-6} & & & & & 4 & & & & & \\ \end{tabular}$

Se você deseja aprender mais sobre divisão de números decimais e naturais mantenha contato, escrevendo-me (elisiofisico1@gmail.com) solicitando como adquirir o eBook sobre os passos da divisão. Vou guardar seu e-mail com carinho e, assim que eu terminar de digitar o eBook posso enviá-lo por e-mail, em pdf, para você. Enviarei uma cópia (colorida) do eBook para você estudar no computador e uma cópia para impressão, ambas com o seu nome na contra capa. Ele tem um pequeno preço.

Se você está interessado em adquirir o eBook, por favor, escreva seu nome e e-mail no formulário abaixo para mantermos contato. Grato.

O POTENCIAL ELÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Sat, 01 Oct 2011 13:34:00 +0000

Em eletrostática aprendemos que uma carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor uma grandeza vetorial chamada de campo elétrico (E). Vale lembrar que a Terra também cria ao seu redor um campo gravitacional, que atrai os corpos para o seu centro. O campo elétrico, gerado por uma carga fonte, pode ser representado por linhas de força. Quando a carga fonte é positiva, as linhas de força (ou linhas de campo) são ditas de afastamento (ou divergentes). Veja figura:

Carga Q positiva gerando campo elétrico de afastamento.

Para detectar facilmente um campo elétrico aproximamos da carga fonte (Q) uma outra carga q, chamada carga de teste (ou de prova). A carga de teste (q) irá interagir com a carga fonte (Q), originando uma força de repulsão ou de atração e sofrer um deslocamento. Observação: esse fenômeno nos faz lembrar o nosso estudo, a nível fundamental (8ª série ou 9º ano). Acesse o estudo sobre noções de Trabalho mecânico onde conscientizamos o estudante que só existe trabalho quando há transferência de energia e que, se uma força produz deslocamento num corpo, ela realiza trabalho sobre esse corpo. Como exemplo, temos dois corpos (partículas) no sistema: Carga fonte (Q) e carga de prova (q). Havendo interação entre esses corpos (partículas), aparecerá uma força (atração ou repulsão) agindo na carga q, empurrando-a. Se a força favorece o deslocamento, ou seja, se a força atua no mesmo sentido do deslocamento da carga, o trabalho da força elétrica é chamado motor ou positivo. Quando a força elétrica não favorece o deslocamento ela executa um trabalho resistente. Quando a carga fonte é negativa, as linhas de força (ou linhas de campo) são ditas de aproximação (ou convergentes). Veja a figura:

Carga -Q (negativa) gerando campo elétrico de aproximação.

Quando estudamos fenômenos elétricos precisamos saber alguns conceitos relacionados ao potencial elétrico (V) e a diferença de potencial (ddp). Considere, de acordo com a figura acima, muitos pontinhos desenhados e contidos no campo elétrico. Em cada ponto (posição A, posição B, posição P,...) de uma linha de campo (que configura um campo elétrico) temos um potencial elétrico, que é uma grandeza escalar. O cálculo desse potencial é o objetivo desta postagem. A ddp entre dois pontos, por exemplo de A e de B, é conhecida como tensão ou voltagem. Afirmar que a tensão entre dois pontos é alta é o mesmo que afirmar que a carga elétrica recebe do campo no qual está inserida uma grande quantidade de energia. Sabemos que o risco de uma pessoa levar um choque elétrico não está relacionado ao potencial elétrico e sim, à diferença de potencial (ddp). O cálculo da ddp será estudada no decorrer deste curso. Vamos lembrar, novamente, que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME

1º) Qual é o potencial elétrico situado em um ponto A a 400 mm de uma carga elétrica de(Q) de 6 microcoulombs?

Dados do problema:

A distância da carga ao ponto considerado é igual a d = 400 mm. Como estamos usando o Sistema Internacional de Unidades (SI), precisamos transformar a distância (d) que está em milímetros (mm) para metros (m):

d = 400 mm = 0,4 m.

Se você ainda não sabe transformar mm em m, estude os exercícios resolvidos sobre este assunto na pesquisa que guardei no disco virtual SCRIBD: Transformação de unidades de medida de comprimento. Para visualizar este estudo você precisa ter instalado em seu computador o Adobe Flash Player.

Carga elétrica = Q = 6 microcoulombs = 6.10^-6 C.

Como o meio é o vácuo, usaremos a constante eletrostática no vácuo

K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}.$$

Descrição do fenômeno: a carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de A. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

Como queremos o potencial no ponto A, indicaremos a fórmula acima assim:

$$V_{A}=K{\frac{Q}{d}}.$$

Vamos substituir os valores dados acima com suas respectivas unidades de medida nesta fórmula, pois a intenção é encontrar algum sentido físico para o potencial e provar que sua unidade de medida é o volt (V). Veja:

$$V_{A}=9.10^{9}.{\frac{N.m^{2}}{C^{2}}.{\frac{6.10^{-6}C}{0,4m}}= {\frac{54.10^{3}}{4.10^{-1}}.{\frac{N.m}{C}}$$

Sabemos que 1 N (Newton) vezes 1 m (metro) = 1 J (Joule), ou seja,

$$1N.1m = 1 J.$$

Portanto, a expressão para o potencial pedido é:

$$V_{A}=13,5.10^{4}{\frac{J}{C}}.$$

Dica ➠ Significado físico da expressão acima: cada 1 coulomb de carga colocada em algum ponto (no caso o ponto A), num campo elétrico, dotará o sistema de uma energia potencial eletrostática de 13,5.10⁴J. Vamos falar de energia potencial no decorrer deste estudo.

Sabemos que 1 J sobre 1 C (coulomb) = 1 V (volt), ou seja,

$${\frac{J}{C}}=V.$$

Portanto, a expressão para o potencial pedido é:

$$V_{A}=13,5.10^{4}V,$$

que pode ser escrita em notação científica:

$$V_{A}=1,35.10^{1}.10^{4}V = 1,35.10^{6}V.$$

Se você ainda não sabe técnicas de notação científica, estude e aprenda em nosso minicurso alguns exercícios resolvidos sobre este assunto, acesse: Minicurso sobre notação científica.

Como a carga fonte é positiva (Q>0), o potencial do campo criado por ela também é positivo (V>0).

➠ Dica: O potencial elétrico ou apenas potencial (representado pela letra V) é uma grandeza associada a cada ponto de uma região onde haja campo elétrico. No Sistema internacional (SI), o potencial é medido em volts (V). 1V é o potencial de um ponto que fornece a uma carga de 1C, nele colocada, uma energia de 1J. O potencial é uma grandeza escalar e admite valores positivos e negativos.

2º) Qual é o potencial elétrico situado em um ponto B situado a 90 cm de uma carga elétrica de carga igual a 5.10^-6 C?

Dados do problema:

Precisamos transformar a distância (d) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d = 90 cm = 0,90 m.

Carga = Q = 5.10^-6 C.

Como o meio é o vácuo, usaremos a constante eletrostática no vácuo:

K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}$$

Descrição do fenômeno: a carga elétrica Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de B. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

Como já provamos, na questão anterior, que a unidade de medida do potencial é o volts (V), desta vez não vamos substituir as unidades de medidas das grandezas contidas na fórmula. Portanto, substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_{B}=9.10^{9}.{\frac{5.10^{-6}}{0,90}}={\frac{45.10^{3}}{90.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_{B}={\frac{45.10^{3}}{9.10^{1}.10^{-2}}={\frac{45.10^{3}}{9.10^{-1}}=5.10^{4}V.$$

Como a carga fonte é positiva (Q>0) o potencial também é positivo (V>0).

➠ Dica: Se a carga fonte que gera o campo for positiva (Q>0) o vetor campo elétrico será de afastamento e o potencial será positivo (V>0). Se a carga fonte for negativa (Q<0) o vetor campo elétrico será de aproximação e o potencial será negativo (V<0).

3º) Qual é o potencial em um ponto C situado a 2 cm de uma carga elétrica de valor igual -4.10^-8 C?

Dados do problema:

Precisamos transformar a distância (d) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d = 2 cm = 0,02 m.

Carga = Q = -5.10^-8 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

A fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme:

$$V=K{\frac{Q}{d}}.$$

Descrição do fenômeno: a carga elétrica -Q (chamada carga fonte), cria ao seu redor um campo elétrico. Dentro desse campo consideremos um ponto qualquer e o chamaremos de C. Queremos saber o potencial elétrico nesse ponto. Veja a figura:

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_{C}=9.10^{9}.{\frac{-4.10^{-8}}{0,02}}={\frac{-36.10^{1}}{2.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_{C}=-18.10^{3}=-1,8.10^{1}.10^{3}=-1,8.10^{4}V.$$

Como a carga fonte é negativa (Q<0) o potencial também será negativo (V<0).

➠ Dica: O potencial elétrico depende do referencial, sendo considerado nulo (V=0) o potencial de um ponto infinitamente afastado da carga fonte. O potencial elétrico em um ponto P não depende da carga de prova (q) - vamos provar que isso é verdade mais adiante.

O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR DUAS CARGAS PUNTIFORME

4º) Qual é o potencial em um ponto A situado a uma distância d₁ = 2 cm de uma carga elétrica Q₁= -8.10^-9 C e a uma distância d₂= 6 cm de uma outra carga Q₂= 2.10^-6 C?

Dados do problema para o cálculo do potencial parcial V₁ no ponto A:

Precisamos transformar a distância (d₁) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d₁ = 2 cm = 0,02 m.

Carga = Q₁ = -8.10^-9 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

Fórmula do potencial elétrico no ponto A gerado pela carga puntiforme Q₁:

$$V_1=K{\frac{Q_1}{d_1}}.$$

Descrição do fenômeno: Cada carga elétrica, Q₁ e Q₂, cria ao redor de si um campo elétrico. Queremos calcular o potencial elétrico total, em um ponto qualquer chamado de A, oriundo de cada carga fonte. Veja a figura:

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_1=9.10^{9}.{\frac{-8.10^{-9}}{0,02}}={\frac{-72.10^{0}}{2.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_1=-36.1.10^{2}=-3,6.10^{2}V.$$

Como a carga fonte é negativa (Q₁<0) o potencial é negativo (V₁<0).

Cálculo do potencial parcial V_2.

Precisamos transformar a distância (d₂) que está em centímetros (cm) para metros (m):

Distância = d₂ = 2 cm = 0,02 m.

Carga = Q₂ = 2.10^-6 C.

Constante eletrostática no vácuo = K = 9.10⁹ N.m²/C².

Fórmula do potencial elétrico gerado pela carga puntiforme Q₂:

$$V_2=K{\frac{Q_2}{d_2}}.$$

Substituindo os valores dados na fórmula:

$$V_2=9.10^{9}.{\frac{2.10^{-6}}{0,02}}={\frac{18.10^{3}}{2.10^{-2}}.$$

Portanto,

$$V_2=9.10^{5}V.$$

Como a carga fonte é positiva (Q>0) o potencial é positivo (V>0).

O potencial total no ponto A será:

$$V_A=V_1+V_2=-3,6.10^{2}V+9.10^{5}V.$$

Portanto,

$$V_A=10^{5}(-3,6.10^{-3}+9)V.$$

Desse modo

$$V_A=10^{5}(-0,0036+9)V=100000.8,9964V,$$

equivale a

$$V_A= 899640V=8,9964.10^{5}V.$$

➠ Dica: para obtermos o potencial em um ponto P qualquer, situado no campo de várias cargas puntiformes, calculamos o potencial oriundo de cada fonte e, a seguir, faz-se a soma algébrica dos potenciais obtidos.

Daremos prosseguimento a esse estudo na próxima postagem com mais exercícios resolvidos. Não perca! Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá ao lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você escreve seu e-mail. Após isso você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, no momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre a mesma. Boa sorte! Até mais.

MINICURSO SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 09 Sep 2011 17:53:00 +0000

Sejam todos bem-vindos ao minicurso sobre notação científica. Este minicurso foi escrito, com muita paciência e boa vontade, para todas as pessoas que, de alguma forma, irão aplicar esses conhecimentos no seu cotidiano e para alunos que possuem certas dificuldades em trabalhar com números. Enfim, para todos aqueles que querem vencer nos estudos e na vida, passar em um concurso, arrumar um bom emprego e cursar uma universidade.

A pedido dos alunos do nível fundamental, da EJA, técnico e médio, temos mais um minicurso digitado em nosso blog que tem auxiliado centenas de pessoas. A técnica ou metodologa utilizada aqui é a prática e a repetição, ou seja, o aluno estuda com certo interesse uma questão e, após entendê-la, tenta refazê-la no seu caderno. Ao longo do minicurso o aluno aplica o mesmo racicínio usados nas questões anteriores. O minicurso está dividido em quatro tópicos:

1º TÓPICO:

COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

Clique na figura:

2º TÓPICO:

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

3º TOPICO:

COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Clique na figura:

4º TÓPICO:

NOTAÇÃO CIENTÍFICA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Clique na figura:

Se o educador ou o aluno quiser propagar o método e o conhecimento sobre notação científica, basta apontar o mouse na caixinha na lateral do blog, copiar e colar o código para a barra lateral do seu blog ou para uma postagem-aula que fale sobre o assunto - aparecerá um logotipo (bem leve). Ao clicar neste logotipo, usuário acessa o minicurso. Procure "- Minicurso Notação Científica -" na barra lateral do blog.

Bons estudos!

COMO DESLOCAR A VÍRGULA EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 09 Sep 2011 14:53:00 +0000

Existem áreas da ciência onde são empregados números bem pequenos que ajudam a descrever fenômenos, resultados e discussões de pesquisas. Por exemplo, na nanotecnologia podemos medir espessuras de filmes finos, agrupamentos de nanotubos de carbono e diâmetros atômicos. Porém, na astronomia e cosmologia são empregados números bem grandes para medir, como exemplos, diâmetros de sóis, comprimento de galáxias, anos-luzes e densidades de buracos negros. Para representar esses pequenos e grandes números precisamos de uma notação matemática chamada de notação científica. Ao final desse minicurso o aluno deverá saber representar qualquer número em notação científica. Neste tópico vamos analisar 9 situações que envolvem técnicas, já estudadas, de notação científica, com ênfase para o deslocamento da vírgula. Cada questão estudada deverá ser refeita no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo anterior COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex, podendo ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

25º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

$$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

$$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 6, para isso vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -11 + 2 = -9 ), ou seja, de -11 passa para -9. Lembre-se: -9 é maior que -11. Portanto,

$$679.10^{-11}=6,79.10^{-9}.$$

$$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casas decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

$$99.10^{-2}=9,9.10^{-1}.$$

$$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -2 + 1 = -1 ), ou seja, de -2 sobe para -1. Lembre-se: -1 é maior que -2. Portanto,

$$10.10^{-2}=1.10^{-1}.$$

$$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la duas casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula duas casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de dois números ( -3 + 2 = -1 ), ou seja, de -3 aumenta para -1. Lembre-se: -1 é maior que -3. Portanto,

$$100.10^{-3}=1.10^{-1}.$$

$$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 2, para isso vamos deslocá-la uma casa decimal para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula uma casa decimal para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de um número ( -4 + 1 = -3 ), ou seja, de -4 aumenta para -3. Lembre-se: -3 é maior que -4. Portanto,

$$23.10^{-4}=2,3.10^{-3}.$$

$$g)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 9, para isso vamos deslocá-la sete casas decimais para a esquerda. Mas, ao deslocarmos a vírgula sete casas decimais para a esquerda, o expoente negativo de base 10 aumenta de sete números ( -24 + 7 = -14 ), ou seja, de -24 aumenta para -17. Lembre-se: -17 é maior que -24. Portanto,

$$99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{-17}.$$

$$h)\qquad 5,963148.10^{6}=596314,8.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 4, para isso vamos deslocá-la cinco casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula cinco casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de cinco números ( 6 - 5 = 1 ), ou seja, de 6 diminui para 1. Portanto,

$$5,963148.10^{6}=596314,8.10^{1}.$$

$$i)\qquad 6,451789.10^{8}=6451,789.10^{?}.$$

No caso, queremos que a vírgula fique imediatamente na frente do 1, para isso vamos deslocá-la três casas decimais para a direita. Mas, ao deslocarmos a vírgula três casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de três números ( 8 - 3 = 5 ), ou seja, de 8 diminui para 5. Portanto,

$$6,451789.10^{8}=6451,789.10^{5}.$$

26º) Desafio para você: expresse em notação científica os seguintes números:

$$a)\qquad 596.10^{22}.$$

$$b)\qquad 16.10^{-20}.$$

$$c)\qquad 567,9.$$

$$d)\qquad 3456,9.$$

$$e)\qquad 566.10^{-6}.$$

$$f)\qquad 33.10^{-5}.$$

$$g)\qquad 651.10^{-9}.$$

Estas questões serão respondidas na continuação desse estudo em

NOTAÇÃO CIENTÍFICA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

Bons estudos!

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 08 Sep 2011 17:11:00 +0000

A notação científica é muito empregada nas Engenharias, na Física, na Matemática e em outras ciências. Por isso é urgente que os alunos do fundamental e médio usem essa ferramenta de cálculo. Já dissemos antes que existem várias técnicas para usar a notação científica, que são descritas em livros, apostilas, sites, mas, todas direcionam para o mesmo resultado. Neste estudo vamos analisar e resolver 9 situações que envolvem técnicas de notação científica. A cada questão lida o aluno deverá tentar resolvê-la no seu caderno. Vamos lembrar que esse estudo é a continuação do módulo TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA e que as equações desta minicurso foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

16º) 99999,999

Mesmo caso do exemplo anterior: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999999), sem vírgula, por 10. Veja:

$$\Large 99999999.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 99999,999. No caso, existem 3 algarismos (999). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 99999999.10^{-3}.$$

Agora, queremos que a vírgula (subentendida, oculta), do número 99999999 (que está localizada em 99999999,) fique imediatamente após o primeiro 9, ou seja, vamos deslocá-la 7 casas decimais para a esquerda, assim: 9,9999999. O novo expoente a ser acrescentado será 7 (positivo). Assim:

$$\Large 9,9999999.10^{7}.10^{-3}=9,9999999.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 99999,999=9,9999999.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

17º) 140,56

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 14056), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 140,56. No caso, existem 2 algarismos (56). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 14056.10^{-2}.$$

Agora, vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 14056. Note que ela fica após o 6, veja: 14056, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 4 casas decimais para a esquerda, assim: 1,4056. O expoente a ser acrescentado será o 4 (positivo). Assim:

$$\Large 1,4056.10^{4}.10^{-2}=1,4056.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 140,56=1,4056.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

18º) 16,78

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1678), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 16,78. No caso, existem 2 algarismos (78). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 1678.10^{-2}.$$

Vamos localizar a vírgula (subentendida) do número 1678. Note que ela fica após o 8, veja: 1678, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,678. O expoente a ser acrescentado será o 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,678.10^{3}.10^{-2}=1,678.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 16,78=1,678.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

19º) 156.10³

Será que a nossa técnica dará certo para esse número? Sim. Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 156) por 10. Assim:

$$\Large 156.10^{?}.10^{3}.$$

Mas, o que colocar no primeiro expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 156 (ou seja, do 156,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10 e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 156.10^{0}.10^{3}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Já localizamos a vírgula, subentendida, do número 156. Notamos que ela fica após o 6, veja: 156, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 1,56. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 1,56.10^{2}.1.10^{3}=1,56.10^{5}=1,56.10^{5}.$$

Portanto,

$$\Large 156.10^{3}=1,56.10^{5}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

20º) 267,9

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2679), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 267,9. No caso, existe 1 algarismo (9). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda desse algarismo) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2679.10^{-1}.$$

Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 2679. Note que ela fica após o 9, veja: 2679, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 2,679. O expoente a ser acrescentado será o 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,679.10^{3}.10^{-1}=2,679.10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 267,9=2,679.10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

21º) 15

E agora, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 15) por 10. Assim:

$$\Large 15.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 15,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 15.10^{0}.$$

Lembrando que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Após localizar a vírgula, subentendida, do número 15, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 1 casa decimal para a esquerda, assim: 1,5. O expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 1,5.10^{1}.10^{0}=1,5.10^{1}.1=1,5.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 15=1,5.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

22º) 2

E neste caso, aplicaremos a mesma regra? Sim, sempre multiplicar os algarismo diferente de zero (no caso, 2) por 10. Assim:

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, o que escrever no expoente acima? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula (do 2,). No caso, não existe nenhum algarismo explícito. Representar essa quantidade por zero (0) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 2.10^{0}.$$

Vamos lembrar que

$$\Large 10^{0}=1.$$

Portanto,

$$\Large 2=2.10^{0}=2.1=2.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

23º) Para refletir: note que no número abaixo, ao deslocarmos a vírgula para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta.

$$\Large 5963148.10^{0}=5963148.1.=5963148.$$

$$\Large 596314,8.10^{1}=5963148.$$

$$\Large 59631,48.10^{2}=5963148.$$

$$\Large 5963,148.10^{3}=5963148.$$

$$\Large 596,3148.10^{4}=5963148.$$

$$\Large 59,63148.10^{5}=5963148.$$

$$\Large 5,963148.10^{6}=5963148.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la 6 casas decimais para a esquerda, ou seja, 5,963148. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a esquerda, o expoente positivo de base 10 aumenta de seis números.

24º) Para refletir: note que no número abaixo (0,314145), ao deslocarmos a vírgula para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui. Aqui, a propósito, queremos que a vírgula chegue até o final do último algarismo (5).

$$\Large 0,314145.10^{0}=0,314145.1=0,314145.$$

$$\Large 3,14145.10^{-1}=0,314145.$$

$$\Large 31,4145.10^{-2}=0,314145.$$

$$\Large 314,145.10^{-3}=0,314145.$$

$$\Large 3141,45.10^{-4}=0,314145.$$

$$\Large 31414,5.10^{-5}=0,314145.$$

$$\Large 314145.10^{-6}=0,314145.$$

No último exemplo notamos que a vírgula ficou imediatamente (e subentendida) na frente do 5, para isso tivemos que deslocá-la deslocá-la 6 casas decimais para a direita, ou seja, 314145,. Mas, ao deslocarmos a vírgula seis casas decimais para a direita, o expoente negativo de base 10 diminui de seis números.

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Mon, 05 Sep 2011 19:05:00 +0000

Vamos dar continuidade ao estudo sobre o desenvolvimento de técnicas para representar números, dessa vez maiores que 1, em números decimais que contêm potências de base 10. Existem muitas maneiras diferentes de fazer essas representações, que são descritas em livros, em apostilas e em sites. Porém, alguns alunos acham muito difícil e complicada a linguagem de resolução adotada nessas representações e perdem a vontade de prosseguir, pois perdem o ânimo e incentivo em resolvê-las. Neste curso vamos resolver 5 situações, todas com o mesmo raciocínio e técnica de resolução (através de repetições). Mas, você aprenderá de verdade se, após a leitura da resolução das questões, exercitá-las no caderno. Espero que isso ajude você em seus estudos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (maiores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

11º) 42000

Passos:

Baseado na técnica do estudo anterior (COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10), sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 42) por 10. Assim:

$$\Large 42.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 42000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) será colocada no expoente, veja:

$$\Large 42.10^{3}.$$

Em notação científica a vírgula fica imediatamente após o primeiro algarismo (no caso, o 4) e o chamamos de n, um número natural maior ou igual a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ n < 10. Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 4 (do 42), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 42. Note que ela fica após o 2, veja: 42, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 4, ou seja, vamos deslocá-la 1 casa para a esquerda, assim: 4,2. Como 4,2 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será o 1 (positivo). Assim:

$$\Large 4,2.10^{1}.10^{3}=4,2.10^{4}.$$

Portanto,

$$\Large 42000=4,2.10^{4}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

12º) 2000

Passos:

Baseado na técnica da questão anterior sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 2) por 10. Assim:

$$\Large 2.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2000. Temos 3 zeros. Essa quantidade (3) vai para o expoente, veja:

$$\Large 2.10^{3}.$$

Portanto,

$$\Large 2000=2.10^{3}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

13º) 2570000

Passos:

Baseado na técnica das questões anteriores, sempre multiplicaremos os algarismos diferentes de zero (no caso, o 257) por 10. assim:

$$\Large 257.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 2570000. Temos 4 zeros. Essa quantidade (4) vai para o expoente, veja:

$$\Large 257.10^{4}.$$

Agora, queremos que a vírgula fique imediatamente após o 2 (do 257), como proceder? Vamos localizar a vírgula, subentendida, do número 257. Note que ela fica após o 7, veja: 257, - queremos que essa vírgula fique imediatamente após o 2, para isso, vamos deslocá-la 2 casas decimais para a esquerda, assim: 2,57. Como 2,57 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 2 (positivo). Assim:

$$\Large 2,57.10^{2}.10^{4}=2,57.10^{6}.$$

Portanto,

$$\Large 2570000=2,57.10^{6}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

14º) 100

Passos:

Multiplicaremos o algarismo diferente de zero (no caso, 1) por 10. Assim:

$$\Large 1.10^{?}.$$

Mas, qual será o expoente acima? Conferimos quantos zeros temos em 100. Temos 2 zeros. Essa quantidade (2) vai para o expoente, veja:

$$\Large 1.10^{2} = 10^{2}.$$

Portanto,

$$\Large 100=10^{2}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

15º) 17,65

Como fica nossa técnica nesse caso, será que dá certo? Sim, faça o mesmo procedimento: sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 1765), sem vírgula, por 10. Assim:

$$\Large 1765.10^{?}.$$

Mas, o que colocar no expoente? Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula do 17,65. No caso, existem 2 algarismos (65). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda desses 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$\Large 1765.10^{-2}.$$

Queremos que a vírgula, subentendida, do número 1765 (que está localizada em 1765,) fique imediatamente após o 1 ou seja, vamos deslocá-la 3 casas decimais para a esquerda, assim: 1,765. Como 1,765 é um número maior que 1, então, a regra diz que o novo expoente a ser acrescentado será 3 (positivo). Assim:

$$\Large 1,765.10^{3}.10^{-2}= 1,765.10^{1}.$$

Portanto,

$$\Large 17,65=1,765.10^{1}.$$

Agora, refaça essa questão no seu caderno quantas vezes julgar necessário.

A continuação desse estudo está em

COMO ESCREVER NÚMEROS EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

COMO TRANSFORMAR DECIMAIS EM POTÊNCIAS DE BASE 10

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Sun, 07 Aug 2011 23:40:00 +0000

Nossos alunos do Fundamental e médio devem sempre utilizar técnicas matemáticas que lhes proporcionem o desenvolvimento de resoluções de problemas. Hoje vamos aprender uma técnica, muito fácil, que nos ajudará a representar números decimais, menores que 1, em números de potências de base 10. Essa técnica é muito usada nas áreas de Física, Engenharias e cursos técnicos. Vamos lembrar que as equações desta aula foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o navegador Firefox. Bons estudos!

Representar os números decimais (menores que 1), a seguir, em números com potências de base 10.

1º) 0,2.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 2) por 10. Assim:

$$2.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existe apenas 1 (que é o 2). Representar essa quantidade por -1, (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 2) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$2.10^{-1}.$$

2º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 4 algarismos (0023). Representar essa quantidade por -4 (pois a vírgula está à esquerda dos 4 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$23.10^{-4}.$$

3º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

4º) 0,99.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, 99) por 10. Assim:

$$99.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (99). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99.10^{-2}.$$

5º) 0,1.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar o algarismo diferente de zero (no caso, o 1) por 10. Assim:

$$1.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 1 algarismo (1). Representar essa quantidade por -1 (pois a vírgula está à esquerda do algarismo 1) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$1.10^{-1}=10^{-1}.$$

6º) 0,10.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 10) por 10. Assim:

$$10.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 2 algarismos (10). Representar essa quantidade por -2 (pois a vírgula está à esquerda dos 2 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$10.10^{-2}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

7º) 0,100.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 100) por 10. Assim:

$$100.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 3 algarismos (100). Representar essa quantidade por -3 (pois a vírgula está à esquerda dos 3 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$100.10^{-3}=10^{2}.10^{-3}=10^{-1}.$$

Mesma resposta do exemplo anterior.

8º) 0,0023.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 23) por 10. Assim:

$$23.10^{?}.$$

Segundo passo:

$$23.10^{-4}.$$

9º) 0,00000000679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 679) por 10. Assim:

$$679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 11 algarismos (00000000679). Representar essa quantidade por -11 (pois a vírgula está à esquerda dos 11 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$679.10^{-11}.$$

10º) 0, 000000000000000099999679.

Primeiro passo:

Sempre multiplicar os algarismos diferentes de zero (no caso, o 99999679) por 10. Assim:

$$99999679.10^{?}.$$

Segundo passo:

Verificar a quantidade de algarismos que existem após a vírgula. No caso, existem 24 algarismos (000000000000000099999679). Representar essa quantidade por -24 (pois a vírgula está à esquerda dos 24 algarismos) e colocá-la como expoente da base 10. Assim:

$$99999679.10^{-24}.$$

11º) Desafio para você: colocando-se a vírgula imediatamente após o primeiro algarismo das questões abaixo, determine seus expoentes.

$$a)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

$$b)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

$$c)\qquad 99.10^{-2}=9,9.10^{?}.$$

$$d)\qquad 10.10^{-2}=1.10^{?}.$$

$$e)\qquad 100.10^{-3}=1.10^{?}.$$

$$f)\qquad 23.10^{-4}=2,3.10^{?}.$$

$$g)\qquad 679.10^{-11}=6,79.10^{?}.$$

$$h)\qquad 99999679.10^{-24}=9,9999679.10^{?}.$$

Estas questões serão respondidas no decorrer do minicurso. A continuação desse estudo está em

APRENDENDO TÉCNICAS SOBRE NOTAÇÃO CIENTÍFICA.

Bons estudos!

A PROFESSORA E O SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Tue, 31 May 2011 21:29:00 +0000

ESSA É MUITO BOA!!!!!!!!

Havia certa vez um homem navegando com seu balão, por um lugar desconhecido. Ele estava completamente perdido, e qual grande foi sua surpresa quando encontrou uma pessoa... Ao reduzir um pouco a altitude do balão, em uma distância de 10m aproximadamente, ele gritou para a pessoa:

- Hei, você aí , aonde eu estou? E então a jovem respondeu:

- Você está num balão a 10 m de altura!

Então o homem fez outra pergunta:

- Você é professora, não é?

A moça respondeu:

- Sim...puxa! Como o senhor adivinhou?

E o homem:

- É simples, Você me deu uma resposta tecnicamente correta, mas que não me serve para nada...

Então a professora pergunta:

- O senhor é secretário da educação, não é?

E o homem:

- Sou...Como você adivinhou???

E a Professora:

- Simples: o senhor está completamente perdido, não sabe fazer nada e ainda quer colocar a culpa no professor.

Profª Pábula Monteiro ( E não sou culpada...)

Gostaram? Comentem!

OPERAÇÕES COM BRA-KETS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 24 Mar 2011 20:40:00 +0000

Nas aulas anteriores foram dadas noções sobre os estados kets, seus duais (veja o estudo sobre os bras), suas notações, correspondência dual, bra-kets, operadores, propriedades do produto interno entre o bra e o ket, etc. Hoje, vamos continuar este assunto aprofundando-o mais um pouco. Tentaremos descrever por etapas, através do formalismo matemático da Mecânica Quântica, as leis probabilísticas da natureza no pequeníssimo mundo das partículas atômicas. É muito difícil explicar uma notação matemática abstrata de maneira que todos a possam entender, mas vamos tentar fazê-lo, afinal essa é uma das funções do licenciado em Física. Bons estudos!

Em todos os espaços vetoriais existem duas operações comuns: a multiplicação por um escalar e a adição de vetores. Outro aspecto de muitos espaços vetoriais é a existência da operação chamada produto interno. Já estamos familiarizados com estas operações em espaços euclidianos tridimensionais e, nesta postagem, vamos fazer analogias das mesmas com o espaço de Hilbert(H), ou seja, um espaço vetorial de dimensão infinita onde a linguagem da Mecânica Quântica pode formular-se em termos de espaço vetorial por meio de uma notação, criada por Paul Dirac, chamada de notação bra-ket.

VETOR NORMALIZADO

Sabemos que um vetor unitário (versor) em um espaço vetorial normalizado possui comprimento 1. Já temos noções sobre a definição de produto escalar (estudo guardado no disco virtual Scribd) entre dois versores. Como exemplo veremos que, dado um vetor unitário, podemos formar um vetor normalizado da seguinte maneira:

$$\hat{\alpha}=\frac{\vec{\alpha}}{\left\|\vec{\alpha}\right\|} =\frac{\vec{\alpha}}{\sqrt{\left\alpha\right\ }},$$

ou seja, qualquer vetor não nulo (no exemplo acima, o vetor unitário) dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado.

Sendo estes dois vetores paralelos (na origem 0), com angulo teta igual a zero, obteremos, por definição de produto escalar, um número (chamado escalar), veja:

$$\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}= \alpha \alpha cos\theta=1.1.1=1.$$

Vamos fazer uma analogia do vetor unitário, do exemplo acima, com o vetor de estado ket. Dado um ket

$$|\alpha\rangle\ $$

não nulo, podemos formar um ket

$$|\tilde{\alpha}\rangle$$

normalizado da seguinte forma:

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\left( \sqrt{\frac{1}{\langle \alpha|\alpha\rangle} } \right) |\alpha\rangle=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle$$

que equivale a

$$|\tilde{\alpha}\rangle=\frac{1}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle} }|\alpha\rangle=\frac{|\alpha\rangle}{\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}} ,$$

com a propriedade

$$\langle \tilde{\alpha} |\tilde{\alpha}\rangle=1.$$

Em geometria euclidiana a definição de módulo ou norma do versor

$${\hat{\alpha}}$$

é dada por

$$\hat{\alpha} =\left| \hat{\alpha}\right| =\sqrt{\hat{\alpha}\cdot\hat{\alpha}}=1.$$

Fazendo analogia com a definição acima, a norma do estado quântico (ket), representado pelo vetor unitário

$$|\alpha\rangle\ $$

é dada pela expressão

$$\left| |\alpha\rangle \right| =\sqrt{\langle \alpha|\alpha\rangle}.$$

Isso nos faz deduzir que, se a norma ou magnitude de um vetor unitário é igual a 1, então

$$\langle \alpha|\alpha\rangle=1.$$

Portanto, qualquer vetor não nulo dividido pela sua norma é chamado de vetor unitário ou normalizado. No espaço ket, apenas a direção é importante na representação de um estado físico, por isso convém que os kets usados para representar os estados sejam normalizados.

Resumindo o que já aprendemos: Um sistema físico é estudado por meio de informações oriundas de suas medições. O conjunto de todas as informações possíveis do sistema, em um certo tempo, define o seu estado quântico e todos os estados quânticos são representados por vetores não nulos em um espaço vetorial chamado espaço de Hilbert (H) que é um generalização do espaço euclidiano. Um estado quantico é representado por um vetor unitário (ket) e a soma algébrica de dois estados também é um estado. Estudamos também que a norma de um vetor unitário é igual a 1. A norma de vetores de estado não possui significado físico, portanto, todos os vetores devem ser normalizados.

Em geometria euclidiana dois vetores distintos são ortogonais quando o seu produto escalar for igual a zero. Na postagem anterior foi dado noções sobre vetores ortogonais e vimos que

$$\langle\alpha|\beta\rangle\ = 0$$

e, isso nos faz deduzir que

$$\langle\beta| \alpha\rangle\ =0.$$

OPERADORES

Vamos estabelecer uma analogia entre o conceito de função f(x) e de operador. Uma função f(x) traduz uma regra de correspondência entre dois números, ou seja, entre o x (variável independente) e y = f(x) (variável dependente). Podemos aplicar esta regra de correspondência entre vetores usando operadores. Vamos estabelecer esta regra de correspondência no espaço H (de Hilbert) com o seguinte exemplo: O operador X, ao atuar sobre o vetor-H (vetor de estado no espaço de Hilbert) chamado ket alfa, transforma este vetor no vetor-H, chamado ket gama. Veja:

$$X|\alpha\rangle\ =|\gamma\rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM KETS

Sabemos que os observáveis, no espaço vetorial, são representados por operadores. No post anterior estudamos que os operadores atuam nos kets pela esquerda.

► OPERADORES IGUAIS

Se

$$X| \alpha\rangle\ =Y| \alpha\rangle\ ,$$

podemos dizer que os operadores X e Y são iguais.

► OPERADOR NULO

Se

$$X| \alpha\rangle\ =0,$$

podemos dizer que o operadores X é nulo.

► ADIÇÃO DE OPERADORES

Propriedade comutativa:

$$X+Y=Y+X.$$

Propriedade associativa:

$$X+(Y+Z)=(X+Y)+Z.$$

Obs: Já estudamos que um operador sempre atua em um ket pelo lado esquerdo resultando em outro ket, veja:

$$\left( X\cdot | \alpha\rangle\right) =X|\alpha\rangle\ .$$

OPERADOR LINEAR

Um operador é linear quando

$$X\left( c_{\alpha} | \alpha\rangle\ +c_{\beta } | \beta \rangle\ \right)=c_{\alpha}X | \alpha\rangle\ +c_{\beta} X|\beta \rangle\ .$$

OPERADORES ATUANDO EM BRAS

Um operador sempre atua em um bra pelo lado direito resultando em outro bra, veja:

$$\left(\langle \alpha|\cdot X\right)=\langle \alpha| X.$$

Já estudamos que

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|,$$

porém, o ket

$$X|\alpha\rangle\ $$

e o bra

$$\langle \alpha|X$$

não são duais. Como fazê-los duais? Veremos.

OPERADOR HERMITIANO

Quantidades como energia, posição, spin, etc que podem ser medidas, são representadas por operadores chamados hermitianos (observáveis). X é denominado operador hermitiano quando

$$X=X^{\dagger},$$

onde

$$X^{\dagger}$$

é chamado adjunto de X ou adjunto hermitiano, a fim de que

$$X|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|X^{\dagger}$$

Continua com multiplicação de operadores. Não perca!

ESTUDO SOBRE O ESPAÇO VETORIAL BRA DE DIRAC

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Mon, 21 Mar 2011 13:51:00 +0000

Na pesquisa sobre férmions, guardada no disco virtual Scribd, aprendemos que elétrons são partículas de spin 1/2, que possuem momentum angular intrínseco e que os físicos Paul Dirac juntamente com Enrico Fermi, descobriram as leis estatísticas que regem estas partículas. A Física comprova que experimentos com partículas de spin 1/2 podem ser, matematicamente, mais facilmente descritos usando a notação de Dirac, chamada de BRA-KET. No estudo anterior sobre notação KET enfatizamos que um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor do espaço desse estado, chamado KET, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

Nas dicas desta postagem vamos enfatizar o elemento dual do espaço KET, chamado BRA. Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

O BRA é representado pelo símbolo

$$\langle \beta |.$$

Portanto, para todo vetor KET

$$|\beta\rangle,$$

existe um correspondende dual (CD) BRA, representado por

$$\langle \beta|.$$

► A correspondência dual (CD) dos autokets

$$|\ a' \rangle, |\ a'' \rangle,|\ a''' \rangle,...$$

equivale a

$$\langle \ a'|, \langle \ a''|,\langle \ a'''|,....$$

► A correspondência dual dos KETS

$$|\alpha\rangle+|\gamma\rangle$$

é igual

$$\langle \alpha|+\langle\gamma|.$$

► A correspondência dual do KET

$$|\alpha\rangle$$

equivale a

$$\langle \alpha|$$

e pode ser representada como:

$$|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}\langle \alpha|.$$

► Como pode ser representado a correspondência dual do produto de um número complexo c por um KET alfa?

A CD Pode ser representada como

$$c|\alpha\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c^*\langle \alpha|,$$

onde, c com asteristo é o conjugado complexo de c.

► Represente a correspondência dual (CD) da seguinte soma:

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\ .$$

Sua correspondência dual é representada por

$$c_{\alpha} |\alpha\rangle\ + c_{\beta} |\beta\rangle\overset{CD}{\leftrightarrow}c_{\alpha}^*\langle \alpha|+c_{\beta}^*\langle \beta|.$$

O produto interno entre um BRA e um KET resulta em um BRAKET (à direita da igualdade abaixo) dado por:

$$\left( \langle \beta|\right)\cdot\left( |\alpha\rangle\right)=\langle \beta|\alpha\rangle\ .$$

Nesse produto interno, que geralmente é um número complexo, por definição o BRA fica pela esquerda e o KET fica pela direita. O produto interno entre um BRA e um KET obedece algumas propriedades:

► Primeira propriedade:

$$\langle \beta|\alpha\rangle\ =\langle \alpha|\beta\rangle\ ^*,$$

ou seja, são conjugados complexos um do outro.

► Segunda propriedade:

Dado o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

e o KET

$$|\beta\rangle\, $$

os mesmos são ortogonais se

$$\langle \alpha|\beta\rangle\ =0.$$

► Terceira propriedade: o produto

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\ = \langle \alpha|\alpha\rangle\ ^*$$

resulta em um número real.

► Quarta propriedade: a igualdade de

$$\langle \alpha|\alpha\rangle\geq0$$

só é válida se o KET

$$|\alpha\rangle\ $$

for nulo.

Para não ficar muito cansativo para o leitor, vamos dar continuidade sobre esta maravilhosa notação na próxima postagem. Não perca!

NOTAÇÃO DE DIRAC - INTRODUÇÃO

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Sun, 20 Mar 2011 13:11:00 +0000

Este estudo é dedicado aos nobres alunos do 6º período de Física que desejam revisar a notação de Dirac de uma maneira bem elementar, com algumas dicas de fácil aprendizado. Uma vez que já passaram pelas disciplinas Estrutura da Matéria, Mecânica Quântica I, Física Matemática I e II não terão dificuldades em revisar esse assunto.

Começaremos estudando noções sobre o vetor de estado ket. O próximo estudo será sobre o elemento dual do ket, ou seja, o bra e, em seguida, resolucionaremos exercícios relacionados com os brakets. Utilizamos para pesquisa e fonte o livro Modern Quantum Mechanics, cujo autor é J. J. Sakurai. Vamos tentar traduzir esta notação para uma linguagem mais acessível aos alunos. As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Um sistema em Física quântica pode se referir a um próton, a um elétron, a um sistema de partículas isolado ou que interagem entre si, a um grupo de moléculas, a um átomo de hidrogênio etc. O estado físico de um dado sistema são todas as informações possíveis que podemos obter desse sistema (exemplo de estado físico: um átomo com orientação de spin definida) e que pode ser representado por uma função complexa de onda ou por um vetor de estado, que é um vetor contido em um espaço vetorial complexo.

Experimentos de Física Quântica comprovam que spins, por exemplo, não podem ser representados por um espaço vetorial em três dimensões. A notação matemática usada para representar esses estados físicos foi fundamentada em espaços vetoriais complexos chamados kets e introduzidas por Paul Dirac.

Portanto, para resumir o que foi exposto até agora, um estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, que contém todas as informações possíveis sobre o estado de um sistema físico.

O vetor do espaço dos estados, kets, é representado pelo símbolo

$$|\ \rangle\ $$

e um elemento do dual desse espaço, chamado de bra, é representado pelo símbolo

$$\langle\ |.$$

Exemplos: para cada estado ket,

$$| \alpha \rangle\,$$

existe um vetor estado, bra, representado por

$$\langle\alpha|.$$

E, o produto escalar desses estados é representado por

$$\langle\alpha|\alpha\rangle\ ,$$

sendo denominado de brakets. Percebemos que nesta notação não simbolizamos um vetor em negrito ou com uma seta em cima da letra, pois se tata de um espaço vetorial abstrato, cujos vetores saõ os kets. Notamos também que, geralmente, os kets são representados por letras gregas.

Os operadores são ordens ou instruções matemáticas que podem ser aplicados em funções podendo ser representados por letras latinas maiúsculas, exemplos:os operadores observáveis(momento, componentes de spin etc) usualmente representados letras A, B, C, etc e os operadores da classe geral são representados pelas letras X, Y, Z, etc. Os operadores podem também ser representados por letras com acento cincunflexo, exemplos: Ê, Ô, Â, etc. Um operador sempre atua sobre um ket pelo lado esquerdo.

Um operador atuando em um ket resulta em outro ket, veja:

$$A.|\alpha \rangle\ =A|\alpha \rangle\ .$$

Nesta notação, os números complexos serão representados por letras latinas minúsculas, exemplos: a, b, c, etc. O produto de um ket por um número complexo a resulta em um novo ket, veja:

$$a|\alpha \rangle\ =|\alpha \rangle\ a.$$

Se a = 0, temos como resultado um ket nulo.

Neste outro exemplo:

$$c|\alpha \rangle\ =|\gamma \rangle\ ,$$

se c = 0, também temos como resultado um ket nulo.

Se somarmos dois kets resultará um novo ket, veja:

$$|\beta \rangle\ +|\alpha \rangle\ =|\eta \rangle\ .$$

Os kets especiais, muito usados em situações problemas de Mecânica Quântica, são chamados de autokets do operador observável A e são representados por letras minúsculas com linhas da seguinte maneira:

$$|\ a' \rangle\,|\ a'' \rangle, |\ a''' \rangle\,...$$

com a seguinte propriedade

$$A|\ a' \rangle\ = a'|\ a' \rangle\,$$

$$A|\ a'' \rangle\ = a''|\ a'' \rangle\,$$

$$A|\ a''' \rangle\ = a'''|\ a''' \rangle\, ....$$

onde as letras a', a'' e a''' representam números. Convém notar que, quando aplicamos o operador A em autokets, resultam nos mesmos kets, porém com números (a', a'', a''') multiplicativos.

Os autovalores do operador A podem ser representados da seguinte maneira:

$$\left\{a', a'', a''',...\right\}$$

ou, mais compactadamente,

$$\left\{a'\right\}.$$

Assim como o estado físico em Mecânica Quântica é representado por um vetor de estado, chamado ket, um estado fisico correspondente a um autoket é chamado autoestado.

Obs: qualquer ket arbitrário

$$| \alpha \rangle\,$$

pode ser escrito como

$$|\alpha \rangle\ =\sum \limits_{a'} c_{a'}| \ a' \rangle\ .$$

Para não sobrecarregar o blog com mais equações, vamos deixar o estudo do bra e as aplicações desta notação para a próxima postagem. Não perca!

INTRODUÇÃO A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 04 Mar 2011 00:57:00 +0000

Sejam bem vindos a mais um estudo maravilhoso da matemática. O assunto da aula de hoje é sobre equação de segundo grau, dando ênfase à forma incompleta. É importante dominar este assunto, pois o mesmo é muito usado em concursos, na resolução de sistemas de equações, em cálculos de dimensões de figuras geométricas, na Física em movimento uniformemente variado e nos lançamentos verticais para cima. Neste estudo objetivamos identificar a forma normal de uma equação do segundo grau e reconhecer seus parâmetros, reconhecer as formas incompletas de uma equação do segundo grau e identificar seus coeficientes, reconhecer o termo independente e sua importância na resolução de exercícios, enfatizar a forma incompleta ax² + c = 0 de uma equação de segundo grau através de resoluções (passo a passo) de sete exercícios, estudar e desenvolver um programa de computador que calcule uma equação do segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0.

Obs: As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Na forma geral (ou normal) de uma equação do segundo grau seus coeficientes (ou parâmetros) a, b e c são números reais. Se pelo menos um dos seus coeficientes, com exceção de a, for igual a zero a equação será chamada de incompleta. Veja a forma geral (completa):

$$ax^2+bx+c=0\qquad(1)$$

Exemplos: quando c = 0 a relação (1) é transformada na equaçao de forma incompleta

$$ax^2+bx=0.\qquad(2)$$

Quando b = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2+c=0.\qquad(3)$$

Quando b = c = 0 a relação (1) é tranformada na equação de forma incompleta

$$ax^2=0.\qquad(4)$$

A seguir, vamos aplicar estes conhecimentos na resolução de exercícios.

1º) Resolver as seguintes equações incompletas:

$$a)\quad 4x^2-64=0$$

Resolver uma equação é achar seu conjunto verdade. Vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$4x^2-64=0$$

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -64. Obs: o termo c é chamado de constante ou termo conhecido ou termo independente.

Transpondo a constante c = -64 para o segundo membro da equação temos

$$4x^2=64.$$

Importante: se o segundo menbro é constituído por um número positivo (no caso, 64) o conjunto verdade terá dois elementos, ou seja, dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{64}{4}$$

$$x^2 =16.$$

Portanto,

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois elementos:

$$V=\left\{ -4,4 \right\}.$$

Elaboramos um programa em JavaScript que calcula as raízes de uma equação de segundo grau incompleta da forma ax² + c = 0. Os problemas aqui propostos devem ser feitos manualmente e suas respostas comparadas com as do programa. O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula. Nas próximas postagens teremos o código fonte do programa, mas com a equação da forma completa.

Digite os dados da questão acima no programa e compare as respostas.

$$b)\quad -3x^2+48=0$$

O coeficiente a deve ser sempre positivo, portanto vamos multiplicar a equação por (-1) e teremos

$$3x^2-48=0$$

Para determinar os coeficientes vamos comparar a equação dada com a equação (3). Veja:

$$3x^2-48=0$$

$$ax^2+c=0.$$

Percebemos que o coeficiente a = 3, b = 0 e o termo c = -48. Transpondo a constante c = -48 para o segundo membro da equação temos

$$3x^2=48.$$

No segundo membro temos um número positivo (48), portanto, o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a teremos

$$\frac{3x^2}{3} =\frac{48}{3}$$

$$x^2 =16.$$

Isolando x, temos

$$x =\sqrt{16}=\pm 4,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-4,4 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$c)\quad x^2-1=0$$

A equação acima pode ser escrita como

$$1.x^2-1=0.$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$1.x^2-1=0$$

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = -1. Transpondo a constante c = -1 para o segundo membro da equação, temos

$$x^2=1.$$

No segundo membro temos um número positivo (1), então o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Isolando x, temos que

$$x =\sqrt{1}=\pm 1,$$

ou seja, o conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-1,1 \right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$d)\qquad 4x^2-9=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$4x^2-9=0$$

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 4 , b = 0 e o termo c = -9. Transpondo a constante c = -9 para o segundo membro da equação, temos

$$4x^2=9.$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então já sabemos que o conjunto verdade terá dois números reais relativos simétricos.

Portanto, dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{4x^2}{4} =\frac{9}{4}$$

$$x^2 =\frac{9}{4}\cdot$$

Portanto,

$$x =\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2} = \pm 1,5.$$

O conjunto verdade da equação tem dois números reais relativos simétricos:

$$V=\left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}\cdot$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$e)\qquad 10x^2+10=0$$

Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$10x^2+10=0$$

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 10 , b = 0 e o termo c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação temos

$$10x^2=-10.$$

Importante: quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -10), o conjunto verdade ficará vazio.

Dividindo os membros da equação acima pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{10x^2}{10} =-\frac{10}{10}$$

$$x^2 =-1.$$

Isolando o x:

$$x =\sqrt{-1}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$f)\qquad x^2+16=0$$

Comparando a eq. acima com a eq. (3), temos:

$$x^2+16=0$$

$$ax^2+c=0.$$

O coeficiente a = 1 , b = 0 e o termo c = 16. Transpondo a constante c = 16 para o segundo membro da equação, temos que

$$x^2=-16.$$

Quando temos um número negativo no segundo membro (no caso, -16), o conjunto verdade será vazio.

$$x =\sqrt{-16}.$$

Não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Podemos sim extrair esta raiz, mas no conjunto dos números complexos. A solução não pertence ao conjunto dos números reais, ou seja,

$$x\quad \notin \quad Re.$$

Sendo assim, o conjunto verdade da equação dada é vazio:

$$V=\oslash.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

$$g)\quad -5t^2+10=0$$

Desta vez não vamos multiplicar a equação por (-1) e veremos que a solução é a mesma. Para determinar seus coeficientes vamos compará-la com a equação (3). Veja:

$$-5t^2+10=0$$

$$at^2+c=0.$$

Note que, na comparação com a eq. (3), substituimos x² por t². Os coeficientes são: a = -5 , b = 0 e a constante c = 10. Transpondo a constante c = 10 para o segundo membro da equação, temos

$$-5t^2=-10.$$

Dividindo os membros da equação pelo coeficiente a resulta em

$$\frac{-5t^2}{-5} =\frac{-10}{-5}$$

$$t^2 =2.$$

Isolando o t, temos que

$$t =\sqrt{2}\simeq \pm 1,41421....$$

No segundo membro temos um número positivo (9), então o conjunto verdade da equação terá dois números reais relativos simétricos:

$$V= \left\{ -\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\}.$$

Compare com o programa JavaScript acima.

Na próxima aula exercitaremos sobre equação do segundo grau incompleta da forma

$$ax^2+bx=0.$$

Fique antenado, não perca a próxima aula! Mas, como você saberá da publicação da próxima aula? Muito fácil: no lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você faz o cadastro. Após o cadastro você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, ficará sabendo automaticamente da próxima publicação. Bons estudos!

LEI DE OHM - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 25 Feb 2011 16:34:00 +0000

Neste estudo trataremos sobre a primeira lei de Ohm e sua relação com a potência elétrica dissipada. O nome da unidade de medida da potência elétrica, o watt, é oriundo do nome do matemático e engenheiro escocês James Watt (1736-1819). Graças ao físico taliano Alessandro Volta (1745-1827) o nome da unidade de medida de tensão elétrica é o volt. Quando medimos uma corrente elétrica damos ao seu valor uma unidade de medida chamada ampère graças ao físico, matemático, cientista e filósofo André-Marie Ampère (1775-1836). A unidade de medida de resistência elétrica é chamada de ohm graças ao físico e matemático alemão George Simon Ohm (1789-1854).

1ª LEI DE OHM

A 1ª lei de Ohm é válida para alguns resistores chamados ôhmicos e é dada pela seguinte expressão:

$$\fbox{$\mathbf{U = R.i.\qquad (1)}$}$$

onde U equivale à tensão elétrica ou voltagem ou diferença de potencial (ddp), R equivale à resistência elétrica do resistor e i equivale à intensidade da corrente elétrica. A unidade de medida de voltagem (U) no SI (sistema internacional de unidades de medidas) é o volt (V), da resistência elétrica é o ohm (Ω) e da intensidade de corrente elétrica é o ampère (A).

VOLTAGEM (U)

A equação (1) pode ser escrita como

$$1U = 1R.1i.\qquad (2)$$

Substituindo as respectivas unidades de medidas na equação (2), temos que

$$1V = 1\Omega.1A$$

$$V = \Omega.A.\qquad (3)$$

RESISTÊNCIA (R)

Fica fácil perceber, matematicamente, que a unidade de medida de resistência elétrica pode ser deduzida da equação (1), bastando isolar o R:

$$\fbox{$\mathbf{R=\frac{U}{i}\cdot\qquad (4)}$}$$

Esta equação pode ser escrita como

$$1R =\frac{1U}{1i}\cdot\qquad (5)$$

Substituindo as respectivas unidades de medidas na equação (5), temos que

$$1\Omega =\frac{1V}{1A}$$

$$\Omega = \frac{V}{A}\cdot\qquad (6)$$

Significado físico: 1 Ω equivale à resistência elétrica (R) de um resistor que submetido a uma tensão elétrica (U) ou diferença de potencial (ddp) de 1 V é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 1 A.

CORRENTE ELÉTRICA (i)

A unidade de medida de intensidade de corrente elétrica pode ser deduzida da equação (1), bastando isolar o i:

$$\fbox{$\mathbf{i= \frac{U}{R}\cdot\qquad (7)}$}$$

A equação (7) pode ser escrita como

$$1i= \frac{1U}{1R}\cdot\qquad (8)$$

Substituindo as respectivas unidades de medidas na equação (8), temos que

$$1A= \frac{1V}{1\Omega}\cdot$$

$$A= \frac{V}{\Omega}\cdot\qquad (9)$$

POTÊNCIA ELÉTRICA DISSIPADA (P)

Como estabelecer uma corrente elétrica? Imaginemos, por exemplo, um material condutor (fio metálico). Quando as extremidades deste fio forem ligadas a um gerador elétrico (bateria) vai existir entre elas uma tensão elétrica U (ou voltagem ou diferença de potencial) e, consequentemente, uma corrente elétrica (i), ou seja, um movimento mais ou menos ordenado das cargas elétricas, que podem ser íons ou elétrons livres. Quando a corrente elétrica percorre um resistor acontecem colisões entre as cargas da corrente e as moléculas do resistor. A consequência disso é o aquecimento do resistor. Portanto, a energia elétrica dissipada é transformada em energia térmica e a rapidez com que acontece essa transformação caracteriza a potência (P) dissipada no resistor.

Matematicamente, a potência é dada por

$$\fbox{$\mathbf{P=U.i.\qquad (10)}$}$$

A unidade de potência no Sistema internacional de medidas é o watt (W).

Podemos escrever a equação (10) da seguinte maneira:

$$1P=1U.1i.\qquad (11)$$

Substituindo as respectivas unidades de medidas na equação (11), temos que

$$1W=1V.1A.$$

$$W=V.A.\qquad (12)$$

Substituindo a tensão elétrica (U) da 1ª lei de Ohm, equação (1), na equação (10), temos

$$P=R.i.i=R.i^{2}.$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{P=R.i^{2}.\qquad (13)}$}$$

Podemos achar outra expressão para a potência:

Substituindo a equação (7) na eq. (10), obteremos

$$P=U\cdot \frac{U}{R}=\frac{U^{2}}{R}\cdot$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{P=\frac{U^{2}}{R}\cdot\qquad (14)}$}$$

Vamos aplicar as expressões da potência, da resistência e da corrente elétrica nas seguintes resoluções:

1º) Um resistor de resistência elétrica R igual a 10 Ω é percorrido por uma intensidade de corrente elétrica i equivalente a 5 A. Qual é a potência dissipada (P) pelo resistor?

Dados:
R = 10 Ω;
i = 5A;
P = ?

Substituindo os valores de R e de i na equação (13):

$$P=R.i^{2}= 10.5^{2} =10.25=250W.$$

Portanto,

$$P=250W.$$

Desafio para você: Sabendo os valores de P e de R, calcule U usando a equação (14) e compare com resultado do programa abaixo, sobre a 1ª lei de Ohm, criado em Java Script. Ao terminar de fazer uma questão no programa é aconselhável clicar no botão limpar.

O programa é melhor visualizado com o navegador Firefox. No internet explorer o programa é visualizado sem muita estética e perde o foco verde nos campos. Quando você digitar números decimais use o ponto e não a vírgula.

Agora vamos digitar os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm para ver se os resultados são iguais:

Se o educador ou o aluno quiser estudar o código do programa, basta apontar o mouse na caixinha abaixo, copiar e colar para a barra lateral do seu blog ou para uma postagem-aula que fale sobre potência e leis de Ohm. No código vai um link para esta postagem.

2º) Um resistor de resistência elétrica R igual a 10 Ω é submetido à ddp (U) de 30 V. Determine a potência dissipada no resistor.

Dados:
R = 10 Ω;
U= 30V;
P = ?

Substituindo os valores de R e de U na equação (13):

$$P=\frac{U^{2} }{R}=\frac{30^{2}}{10} =\frac{900}{10}=90W.$$

Portanto,

$$P=90W.$$

Obs: sabendo o valor de P e de R você pode calcular o i, usando a equação (13) ou o nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm.

Agora vamos digitar os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm para ver se os resultados são iguais.

3º) Determine a potência dissipada em um resistor, sabendo-se que a ddp nos seus terminais vale 30 V e que é percorrido por uma intensidade de corrente elétrica i equivalente a 20 A.

Dados:

U= 30V;
i = 20A;
P = ?

Substituindo os valores de U e de i na equação (10):

$$P=U.i=30V.20A =600V.A.$$

Sabemos que a unidade de medida da potência elétrica é o watt e também pela equação (12) que V.A = W, portanto,

$$P=600W.$$

Para testar o programa calcule o valor de V (que já sabemos que é 30V), dado os valores de P e i: digite os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm e veja se os resultados são iguais:

4º) Um resistor de resistência equivalente a 10 Ω é percorrido por uma intensidade de corrente elétrica igual a 6 A. Qual a ddp (U) entre os extremos do resistor?

Dados:

U= ?
i = 6A;
R = 10 Ω;

Substituindo os valores de U e de i na equação (1):

$$U=R.i=10\Omega.6A=60\Omega.A.$$

Sabemos que a unidade de medida de tensão elétrica o volt (V) e também pela equação (3) que Ω.A = V, portanto,

$$U=60V.$$

Calcule P.

Digite os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm para ver se os resultados são iguais:

5º) Calcule a intensidade de corrente elétrica que percorre um resistor ôhmico (que possui resistência constante) de resistência 10 Ω sendo a ddp (U) entre seus extremos igual a 20 V?

Dados:

U= 20V;
i = ?
R = 10Ω;

Substituindo os valores de U e de R na equação (7):

$$i= \frac{U}{R}=\frac{20V}{10\Omega}=2\frac{V}{\Omega}.$$

Sabemos que a unidade de medida de intensidade de corrente elétrica é o ampère (A) que é dado pela equação ( 9 ): A = V / Ω. Logo, a intensidade de corrente será:

$$i= 2A.$$

Calcule P.

Agora vamos digitar os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm para ver se os resultados são iguais:

6º) A tensão nos terminais de um resistor equivale 42 V e o resistor é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 4,2 A. Qual é a resistência do resistor?

Dados:

U= 42 V;
i = 4,2 A;
R = ?

Substituindo os valores de U e de i na equação (4):

$$R=\frac{U}{i}= \frac{42V}{4,2A}=10\frac{V}{A}.$$

Sabemos que a unidade de medida da resistência de um resistor é o é o ohm (Ω) que é dado pela equação (6): Ω = V / A. Logo, a resistência do resistor será:

$$R=10\Omega.$$

Calcule P.

Digite os dados da questão acima no nosso programa sobre a 1ª lei de Ohm para ver se os resultados são iguais.

Estude também sobre potencial elétrico, pois vai ser muito importante para a sua vida profissional. basta acessar Potencial elétrico - exercícios resolvidos.

Bons estudos! Se comentar, identifique-se.

COMO ESCREVER RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Mon, 14 Feb 2011 18:58:00 +0000

Objetivos desta aula:

Identificar o que é radical, radicando, índice do radicando, raiz do radical, índice ou grau do radical e o sinal do radical; Escrever sob a forma de radical potências com expoentes decimais, fracionários positivos e negativos; Escrever radicais sob forma de potência com expoente fracionário.

Esta é a 3ª parte do nosso estudo envolvendo potências e radicais. Aos poucos, com a resolução de vários exercícios, vamos aprendendo, passo a passo, sobre potências e radicais. Nesta postagem teremos 12 exercícios resolvidos. Para melhor compreensão dos mesmos é importante o acompanhamento do estudo anterior sobre potenciação e expoentes negativos, onde paramos na 4ª questão, na letra c.

Lembrando que as equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos e mãos à obra!

IDENTIFICANDO AS RAÍZES E OS ELEMENTOS DOS RADICAIS

Vamos identificar os elementos que compõem a seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Nesta igualdade, $$\sqrt[4]{9^{2}}$$ é o radical, o número 9 é o radicando, o número 2 é o índice do radicando, o número 3 é a raiz do radical, o número 4 é o índice ou grau do radical e o $$\sqrt{}$$ é o sinal do radical. Leitura: raiz quarta de nove elevado a dois (ou ao quadrado) é igual a 3.

Vamos identificar os elementos da seguinte igualdade:

$$\sqrt[4]{81}=3.$$

É o mesmo exemplo. O que muda é o radicando, que agora é o 81, e o índice do radicando (1). Veja:

$$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{81^{1} }=3.$$

No exemplo

$$\sqrt{25} =5,$$

o número 25 é o radicando, o 5 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 2. Veja:

$$\sqrt{25} =\sqrt[2]{25^{1} } =5.$$

Leitura: raiz quadrada de 25 é igual a 5 (na verdade é igual a mais ou menos 5, veremos isso mais na frente).

No exemplo

$$\sqrt[3]{8}=2,$$

O número 8 é o radicando e o 2 é a raiz do radical. O índice do radicando e o grau ou índice do radical é, respectivamente, 1 e 3. Veja:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{8^{1} }=2.$$

Leitura: raiz cúbica de 8 é igual a 2.

No exemplo

$$\sqrt[n]{a} =m.$$

O número representado pela letra a é o radicando, o número representado pela letra n é o índice do radical e o número representado pela letra m é a raiz do radical. Leitura: raiz n-ésima de a é igual a m.

Agora que já sabemos os nomes dos elementos que compõem os radicais vamos estudar sobre potência com expoente fracionário positivo

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS POSITIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

$$\sqrt[4]{9^{2}}=3.$$

Definição: toda potência com expoente fracionário e positivo é equivalente a um radical de índice igual ao denominador do expoente. O radicando é uma potência da mesma base com expoente inteiro idêntica ao numerador.

Portanto, entendemos que:

- Pela definição a base da potência será o radicando;

- Desta base de expoente fracionário, o numerador será igual ao expoente do radicando e o denominador será igual ao índice do radical.

Para entender esta definição vamos exercitá-la:

5º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$$\mathbf{a)\quad a^{\frac{5}{8}}}$$

A base da potência (a) tem o expoente fracionário é igual a 5/8, onde o 8 é o denominador do expoente e o 7 é o numerador do expoente. Pela definição a base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (8) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (5) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{5}{8}}=\sqrt[8]{a^5}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad (y+1)^{\frac{1}{2}}}$$

Pela definição a base da potência (y + 1) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{(y+1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(y+1)^{1}} = \sqrt{(y+1)}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{\frac{m}{n}}}$$

A base da potência (a) será o radicando, o denominador da potência (n) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (m) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$}.$$

$${\mathbf{d)\quad 3^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (3) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} =\sqrt[2]{3^1} =\sqrt{3}}$}.$$

$${\mathbf{e)\quad 2^{\frac{1}{2}}}$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}}$}.$$

$${\mathbf{f)\quad 2^{0,25}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$2^{\frac{25}{100}} =2^{\frac{1}{4}}}.$$

A base da potência (2) será o radicando, o denominador da potência (4) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{2^{0,25} =2^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{2^1} =\sqrt[4]{2}}$}.$$

$${\mathbf{g)\quad 5^{0,5}}$$

A expressão pode ser escrita como

$$5^{0,5}=5^{\frac{1}{2}}.$$

A base da potência (5) será o radicando, o denominador da potência (2) será igual ao índice do radical e o numerador da potência (1) será igual ao índice do radicando. Veja:

$$\fbox{$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{5^1}}$}.$$

ESCREVENDO POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS NEGATIVOS SOB FORMA DE RADICAIS

No estudo anterior, usamos regras práticas baseado nas definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Vale a mesma regra para expoente fracionário negativo. Siga os passos:

- Quando o expoente é negativo (ou positivo) sempre coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base elevado ao expoente. Se o expoente for negativo, fica no denominador com o sinal positivo e se o expoente for positivo fica no denominador com o sinal negativo.

Para entender melhor esta definição vamos exercitá-las. Mãos à obra.

6º) Escreva sob forma de radical as seguintes potências:

$${\mathbf{a)\quad 3^{-\frac{4}{3}}}$$

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 4/3. Veja que este expoente, que era negativo (-4/3), fica no denominador com o sinal positivo (4/3). Assim:

$$3^{-\frac{4}{3}} =\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}.$$

Na questão anterior aprendemos que este denominador pode ser escrito na forma de radical:

$${3^{\frac{4}{3}}}=\sqrt[3]{3^4},$$

Portanto, substituindo o radical na expressão acima obtemos

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}}$}.$$

$${\mathbf{b)\quad 3^{-\frac{2}{5}}}}$$

Siga os passos:

- O 1 vai para o numerador;

- Coloque no denominador a base (3) elevado ao expoente 2/5. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${3^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{3^2}.$$

Portanto,

$$\fbox{$\mathbf{3^{-\frac{2}{5}} =\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}}}$}.$$

$${\mathbf{c)\quad a^{-\frac{m}{n}}}$$

Sendo a um número real positivo (a > 0) e m e n números inteiros e positivos podemos aplicar os passos:

- Coloque o 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (a) elevado ao expoente m/n. Veja que este expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$a^{-\frac{m}{n}} =\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$$

Podemos escrever o denominador como

$${a^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{a^m},$$

portanto,

$$\fbox{$\mathbf{a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$}.$$

ESCREVENDO RADICAIS EM FORMA DE POTÊNCIAS

7º) Escreva os seguintes radicais sob forma de potência com expoente fracionário:

$${\mathbf{a)\quad \sqrt{b^{2}-4ac}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt{b^{2}-4ac} =\sqrt[2]{(b^{2}-4ac)^{1}}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (1) do radicando e o denominador será igual ao índice (2) do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{({b^{2}-4ac} )^{1} }=(b^{2} -4ac)^{\frac{1}{2}}}.$$

$${\mathbf{b)\quad \sqrt{(a+b)^3}}$$

Podemos escrever este radical da seguinte maneira:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}}.$$

Pela definição, entendemos que:

- O radicando (a + b) será a base da potência;

- Esta base terá expoente fracionário, cujo numerador será igual ao expoente (3) do radicando e o denominador será igual ao índice (2), subentendido, do radical. Veja:

$$\sqrt[2]{(a+b)^{3}} =(a+b)^{\frac{3}{2}}.$$

Este estudo continua no próximo post. Aguarde! Bons estudos!

REGRA DE SINAIS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Tue, 08 Feb 2011 19:53:00 +0000

O nosso desafio de hoje é aprender a somar números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica, dando continuidade ao estudo anterior sobre Números inteiro relativos. Como já dissemos antes, na disciplina Física é indispensável saber operar com a reta numérica. Antes, vamos revisar as regras específicas para adição de números inteiros de mesmo sinal e de sinais diferentes. Para números inteiros de mesmo sinal a regra é a seguinte:

A soma de números inteiros de mesmo sinal é obtida conservando-se o sinal comum às parcelas e adicionando-se seus módulos.

Exemplos:

a) (+5) + (+3) = +8 ou 5 + 3 = 8;

Explicando a regra: veja que o sinal do 5 é o mais (+) e o sinal do 3 também é o mais (+), portanto, as parcelas possuem sinais iguais (+) ou sinais comuns. O módulo de 5 é 5 e o módulo de 3 é 3. Regra: somar normalmente os módulos da parcelas (5 + 3 = 8) e conservar o sinal comum às parcelas (+) no resultado, ou seja, o resultado será +8 ou 8.

b) (-4) + (-6) = -10 ou -4 - 6 = -10;

Explicando a regra: veja que o sinal do 4 é o menos (-) e o sinal do 6 também é o menos (-), portanto, as parcelas possuem sinais iguais (-) ou sinais comuns. O módulo de -4 é 4 e o módulo de -6 é 6. Regra: somar normalmente os módulos da parcelas (4 + 6 = 10) e conservar o sinal comum às parcelas (-) no resultado, ou seja, o resultado será -10.

Vejamos as regras específicas para adição de números inteiros de sinais diferentes:

Para adicionarmos parcelas de sinais diferentes (não opostas), subtraímos seus módulos e damos ao resultado o sinal da parcela de maior módulo.

Exemplos:

a) (-10) + (+3) = -7 ou -10 + 3 = -7.

Explicando a regra: veja que o sinal do 10 é o menos (-) e o sinal do 3 é o mais (+), portanto, as parcelas possuem sinais diferentes. O módulo de -10 é 10 e o módulo de 3 é 3. Regra: subtrair normalmente os módulos da parcelas (10 - 3 = 7), localizar o sinal da parcela de maior módulo (a parcela de maior módulo é o 10 e o sinal que a segue é o menos) e conservar este sinal no resultado (7), ou seja, o resultado será -7.

b) (+5) + (-11) = -6 ou 5 - 11 = -6.

Explicando a regra: veja que o sinal do 5 é o mais (+) e o sinal do 11 é o menos (-), portanto, as parcelas possuem sinais diferentes. O módulo de 5 é 5 e o módulo de -11 é o 11. Regra: subtrair normalmente os módulos da parcelas (11 - 5 = 6), localizar o sinal da parcela de maior módulo (a parcela de maior módulo é o 11 e o sinal que a segue é o menos) e conservar este sinal no resultado (6), ou seja, o resultado será -6.

Agora vamos dar continuidade, a partir da 3º questão, às operações de soma de números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica. No estudo anterior paramos na 2ª questão, na letra a.

2º) Continuação da postagem anterior: calcule, usando a reta numérica, as seguinte somas:

b) (-2) + (-4)

Sabemos que (-2) + (-4) = -6 ou -2 - 4 = -6. Vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta maior lilás, embaixo da reta numerada.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 2 passos para a esquerda (-2) e pare;

- A partir de onde você parou (no número -2) conte mais 4 passos para a esquerda (-4) e pare. Quantos passos você deu desde a origem até onde você parou pela segunda vez? (-2 passos) + (-4 passos) = -6 passos, ou seja, seis passos para a esquerda. Você entendeu agora porque, fisicamente, (-2) + (-4) = -6?

Agora, vamos exercitar a soma com números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica:

3º) Calcule, usando a reta numérica, as seguintes somas:

a) (+4) + (-6)

Sabemos que (+4) + (-6) = -2 ou 4 - 6 = -2. Mas vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta verde.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a direita (números positivos) e depois voltando para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 4 passos para a direita (+4) e pare.

- A partir de onde você parou (no número 4-> ponta da seta vermelha) volte 6 passos (-6 passos para a esquerda -> ponta da seta roxa) e pare (no -2). Agora conte da origem (0) até onde você parou pela segunda vez (ponta da seta roxa): 0 – 2 = -2 passos, ou seja, (+4 passos) + (-6 passos) = -2 passos (ponta da seta verde que equivale a 2 passos para a esquerda da origem). Agora sabemos por que 4 - 6 = -2.

b) (+4) + (-7)

Sabemos que (+4) + (-7) = -3 ou 4 - 7 = -3. Mas vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta verde.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a direita (números positivos) e depois voltando para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 4 passos para a direita (+4) e pare.

- A partir de onde você parou (no número 4-> ponta da seta vermelha) volte 7 passos (-7 passos para a esquerda -> ponta da seta roxa) e pare (no -3).

- Agora conte da origem (0) até onde você parou pela segunda vez (ponta da seta roxa): 0 – 3 = -3 passos, ou seja, (+4 passos) + (-7 passos) = -3 passos (ponta da seta verde que equivale a 3 passos para a esquerda da origem). Agora sabemos por que 4 - 7 = -3.

Obrigado pela paciência. Bons estudos! Se comentar escreva seu nome. Boa sorte!

POTENCIAÇÃO - EXPOENTE NEGATIVO

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Sat, 05 Feb 2011 22:10:00 +0000

O estudo das definições matemáticas sobre potenciação é muito importante no dia a dia. É um dos pré-requisitos para estudar na sequência: propriedades da potenciação, introdução à radiciação e suas propriedades, equação exponencial, função exponencial, inequação exponencial e logaritmos. Onde aplicamos, por exemplo, a função exponencial? Podemos aplicá-la no cálculo de juros compostos, no cálculo de crescimento populacional e no cálculo da depreciação de um automóvel.

Bom, vamos dar continuidade ao estudo anterior sobre as aplicações das definições sobre Potências com expoentes inteiros negativos, a partir da 2ª questão (letra e). Nesta postagem teremos 8 exercícios respondidos.

Objetivos deste estudo:

- Aplicar os conhecimentos adquiridos no estudo anterior sobre Potência com expoente inteiro negativo;

- Dado um número fracionário ou decimal o aluno deverá escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo.

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

e) $$10^{-3}$$

Passos:

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 3. Note que o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3).

$$10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}\cdot$$

ou seja, um milésimo. Para aprender sobre décimos, centésimos e os milésimos acesse Divisão com números decimais.

f) $$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1}$$

- Coloque o expoente 1 no numerador;

- Coloque no denominador a base (2/5) elevado ao expoente (-1). Note que o expoente negativo (-1), ficará no denominador com o sinal positivo (1). Veja:

$$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{1}{\left( \frac{2}{5}\right)^{1}} =\frac{1}{ \frac{2}{5}}\cdot$$

Eis uma divisão de fração, onde 1 é o numerador e e 2/5 é o denominador. Já estudamos que para dividir um número (1) por uma fração (2/5), multiplicamos o número (1) pelo inverso da fração (5/2), ou seja,

$$\frac{1}{ \frac{2}{5}} =1\cdot \frac{5}{2} =\frac{5}{2}\cdot$$

Portanto,

$$\left( \frac{2}{5}\right)^{-1} =\frac{5}{2}\cdot$$

Para aprender sobre inverso de um número e divisão de frações acesse: Divisão de frações.

Dado um número fracionário ou decimal como escrevê-los na forma de potência com expoente inteiro negativo?

Vamos lembrar a da primeira definição sobre potências com expoente inteiro negativo:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Podemos escrever a definição acima da seguinte maneira:

$$a^{-1} =\frac{1}{a^{1}}\cdot$$

Substituindo o exponte 1 por um expoente n (que deve ser inteiro e positivo) vamos obter

$$a^{-n} =\frac{1}{a^{n}}\cdot$$

Ajeitando a equação acima temos

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

Lembrando que o número a deve ser real não nulo.

Vamos à prática:

3º) Dados os números na forma fracionária escreva-o sob forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$\frac{1}{3^{2}}$$

Comparando

$$\frac{1}{3^{2}}$$

com

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\cdot$$

temos que a = 3 e n = 2. Logo,

$$\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}$$

Obs: a definição sobre potências com expoente inteiro negativo exige que o número a deve ser real não nulo. Já imaginou, neste exemplo, se a = 0? O que aconteceria?

Obteríamos

$$\frac{1}{0^{2}}=\frac{1}{0}.$$

Veja que não é possível divisão por zero. Por isso o número a, segundo a definição, deve ser real não nulo.

Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma fracionária) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

b) $$\frac{1}{5^{3}}$$

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$\frac{1}{5^{3}} =5^{-3} \cdot$$

Na linguagem do aluno: “joga-se pra cima a parte que está debaixo do 1 (cinco elevado a terceira), com o expoente de sinal contrário (cinco elevado a menos três)”.

Observação importante: se o exemplo anterior fosse dado por

$$ \frac{1}{5^{-3}}?$$

Agora o expoente do cinco é negativo (-3), como proceder neste exemplo? Vale a mesma regra prática:

A resposta é o próprio denominador de base 5 elevado ao expoente (3). Note que o expoente, que era negativo (-3), fica na resposta com o sinal positivo (3). Veja:

$$\frac{1}{5^{-3}} =5^{3} =125.$$

Bom, aproveitamos e aprendemos mais esta técnica, porém, o objetivo deste estudo é sempre converter o número, fracionário ou decimal, para a forma de potência com expoente inteiro negativo. Vamos continuar com este maravilhoso estudo, mãos à obra:

c) $$\frac{1}{4}}$$

Podemos escrever que

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4^{1} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 4 elevado ao expoente (1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$\frac{1}{4^{1}} =4^{-1} \cdot$$

4º) Escreva com regra prática o número abaixo (que está na forma decimal) para a forma de potência com expoente inteiro negativo:

a) $$0,001$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,001=\frac{1}{1000}\cdot$$

Obs: se você ainda não sabe transformar um número decimal em forma de fração não fique triste, acesse Como transformar números decimais em fração. É uma técnica que exige prática, portanto, caderno e lápis nas mão.

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }$$

A resposta é o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-3). Note que o expoente, que era positivo (3), fica na resposta com o sinal negativo (-3). Veja:

$$0,001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3} }=10^{-3}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 milésimo.

b) $$0,01$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,01=\frac{1}{100}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-2). Note que o expoente, que era positivo (2), fica na resposta com o sinal negativo (-2). Veja:

$$0,01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2} }=10^{-2}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 centésimo.

c) $$0,1$$

Este número número decimal pode ser escrito, em forma fracionária, como

$$0,1=\frac{1}{10}\cdot$$

Podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

$$\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }\cdot$$

A resposta será o próprio denominador de base 10 elevado ao expoente (-1). Note que o expoente, que era positivo (1), fica na resposta com o sinal negativo (-1). Veja:

$$0,1=\frac{1}{10}=\frac{1}{10^{1} }=10^{-1}\cdot$$

Este número pode ser lido como 1 décimo.

Obs: para aprender a ler números decimais, como décimos, centésimos, milésimos estude Leitura de números decimais.

Na próxima postagem daremos continuidade a este estudo. Não perca!

POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 03 Feb 2011 13:18:00 +0000

As equações deste estudo foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Já estudamos que potência é um produto de fatores iguais. O fator repetido chama-se base, o número de fatores repetidos chama-se expoente e o resultado da operação chama-se potência. Já estudamos, também, que qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1 e qualquer número elevado a um é igual ao próprio número. Neste estudo sobre potenciação temos os seguintes objetivos:

- O aluno deverá aplicar passo a passo nos exercícios dados, as definições sobre potências com expoentes inteiros negativos e potências com expoente racional fracionário;

- Deverá escrever os exercícios pedidos sob forma de potência com expoente inteiro negativo e sob forma de potência com expoente fracionário;

- Aplicar os resultados aprendidos em assuntos que envolvem a disciplina Física.

Nesta postagem, para não sobrecarregar o blog com muitas equações, vamos estudar apenas a aplicação das definições sobre potências com expoentes inteiros negativos. Teremos apenas 10 exercícios respondidos. Na próxima postagem daremos continuidade a este assunto tão maravilhoso.

Primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a}\cdot$$

Segunda definição:

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n}.$$

Para entendermos melhor estas definições vamos aplicá-las nas resoluções dos problemas abaixo. Obs: depois da questão da letra f vamos aplicar uma regra prática oriunda destas definições, em dois passos, muito usada em sala de aula. Lápis e caneta e caderno nas mãos e bons estudos.

1º) Aplicando as definições, calcule

a) $$4^{-1}$$

Veja bem: o expoente é -1. O valor de a = 4. Vamos usar a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$

portanto, temos que

$$4^{-1} =\frac{1}{4}\cdot$$

b) $$(-8)^{-1}$$

Olha aí novamente o expoente igual a -1, isso quer dizer que vamos usar a primeira definição.
O valor de a = - 8. Usando a primeira definição:

$$a^{-1} =\frac{1}{a},$$

temos que

$$(-8)^{-1} =\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8} \cdot$$

c) $$(-5)^{-2}$$

Veja bem: o expoente é igual a -2. Agora não temos mais o expoente -1, isso quer dizer que vamos aplicar a segunda definição. Vamos aplicar um macete: onde tiver n, você substitui por 2 e conserva o sinal de menos da fórmula da 2ª definição. O valor de a = - 5. Portanto, usando a segunda definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-5)^{-2} =\left( \frac{1}{-5}\right)^{2} =\left(\frac{1}{-5} \right)\cdot \left(\frac{1}{-5} \right)=\frac{1}{25}\cdot$$

E aí? Você achou difícil? Recordando: a potência de um número inteiro não nulo com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso n é par (n = 2), o resultado (no caso foi 1/25) foi positivo. Vamos continuar exercitando.

d) $$(-4)^{-6}$$

Veja bem: o expoente n agora é -6. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 6 e conserva o sinal de menos da 2ª definição. Sendo a = - 4, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-4)^{-6}=\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}.$$

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente par é sempre um número positivo, ou seja, no caso 1 elevado a 6 é igual a 1 e que (-4) elevado a seis é igual a 4096. Então, o resultado será

$$(-4)^{-6} =\left( \frac{1}{-4}\right)^{6}=\frac{1}{4096}\cdot$$

e) $$(-2)^{-3}$$

O expoente n agora é -3 (ímpar). Vamos, também, aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 3 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo a = -2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-3} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{3}=\frac{1}{-8} =-\frac{1}{8}\cdot$$

Aqui pudemos observar que usamos no denominador a multiplicação de números relativos. Aprenda sobre números relativos acessando Números inteiro relativos.

Recordando: a potência de um número inteiro (não nulo) com expoente ímpar tem sempre o mesmo sinal da base, ou seja, lá no denominador temos (-2) elevado a 3 - a potência de um número inteiro (- 2 ) não nulo, com expoente ímpar (3) tem sempre o mesmo sinal (de menos, no caso resultou em -8) da base (-2).

E aí, ficou mais claro? Exercitando:

f) $$(-2)^{-5}$$

Expoente n agora é 5 (ímpar), portanto já sabemos que o resultado será negativo. Vamos aplicar a segunda definição. Onde tiver n você substitui por 5 e conserva o sinal de menos da definição. Sendo que a = - 2, da definição

$$a^{-n} =\left( \frac{1}{a} \right)^{n},$$

temos que

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}\cdot$$

Sabemos que 1 elevado a 5 é igual a 1 e que (-2) elevado a cinco é igual a -32. Portanto,

$$(-2)^{-5} =\left( \frac{1}{-2}\right)^{5}=\frac{1}{-32}= -\frac{1}{32}\cdot$$

Obs: Para a primeira e para a segunda definição existe uma regra prática, em dois passos, muito usada em sala de aula. Vamos aplica-la nos exemplos a seguir:

2º) Aplique a primeira definição usando uma regra prática nos seguintes exemplos:

a) $$6^{-1}$$

Dois passos:

- Coloque a unidade (1), positiva, no numerador;

- Coloque no denominador a base (6) elevado ao expoente 1. Veja que o expoente, que era negativo, fica no denominador com o sinal positivo. Assim:

$$6^{-1}=\frac{1}{6^{1}}=\frac{1}{6}\cdot$$

Na linguagem do aluno: “sempre colocar o número 1 em cima (numerador) e em baixo (denominador) colocar a base com o sinal conservado e o expoente com sinal trocado”.

b) $$10^{-1}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 1. Note que o expoente, que era negativo (-1), fica no denominador com o sinal positivo (1). Assim:

$$10^{-1}=\frac{1}{10^{1}} =\frac{1}{10},$$

ou seja, um décimo. Já estudamos sobre os décimos, os centésimos e os milésimos, aprenda acessando Divisão com números decimais.

c) $$10^{-5}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (10) elevado ao expoente 5. Note que o expoente, que era negativo (-5), fica no denominador com o sinal positivo (5). Assim:

$$10^{-5}=\frac{1}{10^{5}} =\frac{1}{100000}\cdot$$

Já estudamos como ler estes números bem pequenos: aprenda acessando Leitura de números decimais. Podemos colocá-los também na forma de notação científica. Aprenda notação científica acessando

Exercícios resolvidos de notação científica.

d) $$(-2)^{-3}$$

- Coloque o número 1, positivo, no numerador;

- Coloque no denominador a base (-2) elevado ao expoente 3. Note que a base ficou com seu sinal negativo conservado, porém, o expoente, que era negativo (-3), fica no denominador com o sinal positivo (3). Assim:

$$(-2)^{-3}=\frac{1}{-2^{3}} =\frac{1}{-8}\cdot=-\frac{1}{8}\cdot$$

Vamos continuar com regras práticas deste assunto usadas em sala de aula. Porém, será assunto da próxima postagem. Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá até o rodapé desta postagem, do lado direito do meu retrato, você clica em cima da palavra e-mail. No momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre o assunto. Bons estudos!

LEITURA DE NÚMEROS DECIMAIS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Tue, 25 Jan 2011 01:35:00 +0000

O quadro posicional é uma poderosa ferramenta de auxílio ao aluno nas disciplinas Física e Matemática. Esta ferramenta é muito usada quando vamos aprender sobre transformação de unidades de medida de comprimento, onde é abordado assuntos como a transformação de metros para milímetros ou vice-versa; é muito usado também em transformação de unidades de volume, onde o aluno é ensinado a transformar metro cúbico para milímetro cúbico e vice-versa - o assunto sobre unidades de volume é muito explorado em questões do ENEM. Veja uma questão resolvida de Física envolvendo estes assuntos.

O quadro de ordens também é usado em transformação de medidas de área, onde é enfatizado ao estudade a transformaçao, por exemplo, de metros quadrados em milímetros quadrados. O tópico medidas de área também é muito solicitado nas provas do ENEM. Veja uma resolução de uma questão de física do ENEM que envolve medidas de área.

O quadro de ordens também é uma ótima ferramenta no aprendizado de notação científica. Veja exemplos de exercícios resolvidos sobre notação científica.

Nesta aula vamos aprender a ler um número decimal usando esta ferramenta, o quadro de ordens, representado pela figura abaixo:

Leia os seguintes números decimais:

a) 5,8

Vamos usar o quadro posicional que interessa ao nosso problema, representado pela figura abaixo:

U simboliza a 1ª ordem inteira, ou seja, a ordem das unidades o d simboliza a 1ª ordem dos decimais, ou seja, os décimos. A leitura começa com o número (5) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo d (número 8), portanto, lemos este número assim: 5 inteiros (U) e oito décimos (d).

b) 9,98

Veja o quadro de ordens:

O c simboliza a 2ª ordem dos decimais, ou seja, os centésimos. A leitura começa com o número (9) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo c (número 8), portanto, lemos este número de duas maneiras: 9 inteiros e noventa e oito centésimos ou 9 inteiros(U), 9 décimos(d) e oito centésimos(c).

c) 6,589

Usando o quadro de ordens:

O m simboliza a 3ª ordem dos decimais, ou seja, os milésimos. A leitura começa com o número (6) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo m (número 9), portanto, lemos este número de duas maneiras: 6 inteiros e quinhentos e oitenta e nove milésimos ou 6 inteiros, 5 décimos, oito centésimos e 9 milésimos.

d) 4,7129

O dm simboliza os décimos milésimos. A leitura começa com o número (o 4 antes da vírgula no símbolo U), e termina no símbolo dm (número 9), portanto, lemos este número de duas maneiras: 4 inteiros e sete mil cento e vinte nove décimos milésimos ou 4 inteiros, sete décimos, um centésimo, dois milésimos e 9 décimos milésimos.

e) 4,7129 m

Agora temos uma unidade de medida de comprimento no número, o metro (m). Basta adaptar o quadro posicional, ou seja , no lugar de U vamos colocar o m (metro), no lugar de d (décimos) vamos colocar o decímetro (dm – décima parte do metro), no lugar de c (centésimos) vamos colocar o centímetro (cm – centésima parte do metro), no lugar de m (milésimos) vamos colocar o milímetro (mm – milésima parte do metro) e no lugar de dm (décimos milésimos) vamos colocar os décimos de milésimos do metro (dmm). Veja:

A unidade de medida de comprimento, no caso o 4 metros, está na 1ª ordem inteira. Na 1ª ordem dos decimais temos 7 decímetro (dm), na 2ª ordem dos decimais temos o 1 centímetro (cm), Na 3ª ordem dos decimais temos 2 milímetro (mm) e na 4ª ordem dos decimais temos 9 décimos milésimos do metro, que vamos convencionar por dmm.

A leitura começa com o número (4), antes da vírgula no símbolo m, e termina no símbolo dmm (número 9), portanto, lemos este número de duas maneiras: 4 metros, sete mil cento e vinte nove décimos milésimos do metro ou 4 metros, sete decímetros, um centímetro, dois milímetros e nove décimos milésimos do metro.

Interessante é que você pode adaptar o quadro de ordens para ser usado em várias unidades de medidas: de comprimento (m), de massa (g) e de volume (l).

f) 15,2463

O D simboliza a 2ª ordem inteira, ou seja, as dezenas. A leitura começa com o número (o 15 que termina no símbolo U), antes da vírgula e termina no símbolo dm (número 3), portanto, lemos este número de duas maneiras: 15 inteiros e dois mil quatrocentos e sessenta e seis décimos milésimos ou 15 inteiros, dois décimos, quatro centésimos, seis milésimos e 3 décimos milésimos.

g) 0,0053

A leitura começa com o número (zero) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo dm (número 3), portanto, lemos este número de duas maneiras: 53 décimos milésimos ou 5 milésimos e 3 décimos milésimos.

h) 0,1

No estudo sobre divisão com números decimais já enfatizamos sobre os décimos, centésimos, milésimos e décimos de milésimos.

A leitura começa com o número (zero) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo d (número 1), portanto, lemos este número assim: 1 décimo.

i) 0,01

No estudo sobre técnicas de divisão: como dividir um número decimal por 100 e por 1000 chegamos nos décimos, centésimos, milésimos e décimos de milésimos.

A leitura começa com o número (zero) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo c (número 1), portanto, lemos este número assim: 1 centésimo.

j) 0,001

A leitura começa com o número (zero) antes da vírgula no símbolo U e termina no símbolo m(número 1), portanto, lemos este número assim: 1 milésimo.

l) 0,001 g

Agora temos uma unidade de medida de massa, o grama (g). Basta adaptar o quadro posicional, ou seja , no lugar de U vamos colocar o g (grama), no lugar de d (décimos) vamos colocar o decigrama (dg – décima parte do grama), no lugar de c (centésimos) vamos colocar o centigrama (cg – centésima parte do grama), no lugar de m (milésimos) vamos colocar o miligrama (mg – milésima parte do grama). Veja:

A leitura começa com o número (2), antes da vírgula no símbolo g, e termina no símbolo mg (número 1), portanto, lemos este número de duas maneiras: 2 gramas, trezentos e quarenta e um miligramas ou 2 gramas, três decigramas, quatro centigramas e um miligrama.

Para fixar melhor, refaça estes procedimentos várias. Após vencer esses desafios estaremos prontos a dar continuidade na sequência de estudo sobre números decimais. Não perca!. Obrigado pela sua paciência. Muito bom ter você aqui no blog. Espero ter ajudado. Volte sempre. Boa sorte! Se ajudei, comente (mas, identifique-se).

DIVISÃO DE UM NÚMERO DECIMAL POR 10

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 20 Jan 2011 18:11:00 +0000

Precisamos operar com números decimais, pois tanto no nível fundamental como no nível médio as operações decimais são inúmeras e distribuídas em várias disciplinas, exemplos: Física, Química, e Matemática.

Dando continuidade em nossas aulas sobre divisão envolvendo números decimais vamos aprender, com exemplos, que dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1. Bons estudos!

Podemos escrever os números naturais em forma de frações. Exemplos:

O número 5 pode ser escrito como

$$\frac{5}{1} =5.$$

O número 8 pode ser escrito como

$$\frac{8}{1} =8.$$

O número 10 pode ser escrito assim:

$$\frac{10}{1} =10.$$

1º) Vamos dividir 432,4 por 10:

$$\frac{432,4}{10} =?$$

Vamos substituir o 10 por

$$\frac{10}{1}.$$

Nossa divisão fica assim:

$$\frac{432,4}{\frac{10}{1} }.$$

Agora temos uma divisão envolvendo uma fração. Se você tem dificuldades em dividir por fração, estude o seguinte artigo Divisão de frações.

Portanto,

$$\frac{432,4}{\frac{10}{1} }=432,4\cdot \frac{1}{10} =432,4\cdot 0,1=43,24.$$

Se você tem dificuldades de multiplicar números decimais, por exemplo 432,4 X 0,1, estude o artigo Multiplicação de números decimais.

Acabamos de provar que dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.

Portanto,

$$432,4\div10 =432,4\cdot 0,1=43,24.$$

Percebemos que, quando a divisão é por 10, deslocamos a vírgula uma posição para a esquerda, ou seja, a vírgula estava depois do 2 (432,4) e, após a divisão por 10, ficou depois do 3 (43,24).

2º) Divida 3456,43 por 10:

$$\frac{3456,43}{10} =?$$

Vamos substituir o 10 por

$$\frac{10}{1}.$$

Nossa divisão fica assim:

$$\frac{3456,43}{\frac{10}{1} }.$$

Portanto,

$$\frac{3456,43}{\frac{10}{1} }=3456,43\cdot \frac{1}{10} =3456,43\cdot 0,1=345,643.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.

$$3456,43\div10 =3456,43\cdot 0,1=345,643.$$

Quando a divisão é por 10, deslocamos a vírgula uma posição para a esquerda, ou seja, a vírgula estava depois do 6 (3456,43) e após a divisão por 10, se deslocou para a esquerda, ficando depois do 5 (345,643).

3º) Divida 4,45 por 10:

Efetuando a divisão temos,

$$\frac{4,45}{\frac{10}{1} }=4,45\cdot \frac{1}{10} =4,45\cdot 0,1=0,445.$$

Portanto,

$$4,45\div10 =4,45\cdot 0,1=0,445.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.

Quando a divisão é por 10, deslocamos a vírgula uma posição para a esquerda, ou seja, a vírgula estava depois do 4 (4,45) e após a divisão por 10, se deslocou para a esquerda, ficando depois do 0 (0,445).

4º) Divida 0,00032 por 10.

Pela técnica estudada acima obtemos, sem muito cálculo:

$$0,00032\div10 =0,00032\cdot 0,1=0,000032.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.

Quando a divisão é por 10, deslocamos a vírgula uma posição para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 0,00032 e após a divisão por 10, se deslocou uma posição a mais para a esquerda em 0,000032.

Na próxima aula continuaremos com a divisão de um número decimal por 100. Não perca!

COMO DIVIDIR UM NÚMERO DECIMAL POR 100 E POR 1000

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 20 Jan 2011 18:11:00 +0000

Dando continuidade em nossas aulas sobre divisão envolvendo números decimais vamos aprender, com exemplos, que dividir um número decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01 e que dividir um número decimal por 1000 significa multiplicar o número por 0,001. Bons estudos!

Sabemos que é possível escrever os números naturais em forma de frações. Exemplos:

O número 11 pode ser escrito como

$$\frac{11}{1} =11.$$

O número 100 pode ser escrito como

$$\frac{100}{1} =100.$$

O número 1000 pode ser escrito assim:

$$\frac{1000}{1} =1000.$$

O número 10000 pode ser escrito assim:

$$\frac{10000}{1} =10000.$$

Divisão de um número decimal por 100

1º) Vamos dividir 0,987 por 100:

$$\frac{0,987}{100} =?$$

Vamos substituir o 100 por

$$\frac{100}{1}.$$

Nossa divisão fica assim:

$$\frac{0,987}{\frac{100}{1}}.$$

Temos uma divisão envolvendo uma fração, semelhante ao nosso estudo anterior divisão de decimal por 10. Se você não estudou o artigo anterior acesse: Divisão de um numero decimal por 10.

Portanto,

$$\frac{0,987}{\frac{100}{1} } =0,987\cdot \frac{1}{100} =0,987\cdot 0,01=0,00987.$$

Veja a importância do nosso estudo sobre o décimo (1/10), o centésimo (1/100 = 0,01), o milésimo (1/1000) e o décimo milésimo (1/10000) que está no link Divisão com numeros decimais-exercícios resolvidos.

Acabamos de provar que dividir um número decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01.

Portanto,

$$0,987\div100 =0,987\cdot 0,01=0,00987.$$

Quando a divisão é por 100, deslocamos a vírgula duas posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 0,987 e após a divisão por 100, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 0,00987.

2º) Divida 58136,618 por 100.

$$\frac{58136,618}{100} =?$$

Vamos substituir o 100 por

$$\frac{100}{1}.$$

Nossa divisão fica assim:

$$\frac{58136,618}{\frac{100}{1}}.$$

Portanto,

$$\frac{58136,618}{\frac{100}{1}}=58136,618\cdot \frac{1}{100}\rightarrow$$

$$\frac{58136,618}{\frac{100}{1}}=58136,618\cdot 0,01=581,36618.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01:

$$58136,618\div100=58136,618\cdot 0,01=581,36618.$$

Quando a divisão é por 100, deslocamos a vírgula duas posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 58136,618 e após a divisão por 100, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 581,36618.

3º) Divida 6286,33 por 100.

Pela técnica estudada acima obteremos, sem muito cálculo, que

$$6286,33\div100 =6286,33\cdot 0,01=62,8633.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01.

Quando a divisão é por 100, deslocamos a vírgula duas posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 6286,33 e após a divisão por 100, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 62,8633.

Divisão de um número decimal por 1000

4º) Divida 719,76 por 1000.

Efetuando a divisão temos,

$$\frac{719,76}{\frac{1000}{1}}=719,76\cdot \frac{1}{1000}=719,76\cdot 0,001=0,71976.$$

Veja a importância do nosso estudo anterior sobre o milésimo (1/1000=0,001).

Portanto,

$$719,76\div 1000 =719,76\cdot 0,001=0,71976.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 1000 significa multiplicar o número por 0,001.

Quando a divisão é por 1000, deslocamos a vírgula três posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 719,76 e após a divisão por 1000, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 0,71976.

5º) Divida 0,1 por 1000.

Efetuando a divisão temos,

$$\frac{0,1}{\frac{1000}{1} } =0,1\cdot \frac{1}{1000} =0,1\cdot 0,001=0,0001.$$

Portanto,

$$0,1\div 1000 =0,1\cdot 0,001=0,0001.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 1000 significa multiplicar o número po 0,001.

Quando a divisão é por 1000, deslocamos a vírgula três posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 0,1 e após a divisão por 1000, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 0,0001.

6º) Divida 0,04 por 1000.

Pela técnica estudada acima obtemos, sem muito cálculo:

$$0,04\div1000 =0,04\cdot 0,001=0,00004.$$

Ou seja, dividir um número decimal por 1000 significa multiplicar o número por 0,001.

Quando a divisão é por 1000, deslocamos a vírgula três posições para a esquerda, ou seja, a vírgula estava em 0,04 e após a divisão por 1000, se deslocou para a esquerda, ficando localizada em 0,00004.

6º) Desafio muito fácil para você: Aplique a mesma técnica, faça a divisão e reflita sobre a importância do décimo milésimo (1/10000=0,0001).

a) 432,45/10000;

b) 0,2/10000;

c) 918345,99/10000.

Após vencermos esses desafios estaremos aptos a dar continuidade na sequência divisão com números decimais. Continue conosco e boa sorte!

DIVISÃO COM NÚMEROS DECIMAIS-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Mon, 17 Jan 2011 15:52:00 +0000

Já aprendemos a dividir números naturais no artigo como fazer contas de dividir com números naturais, usando o método antigo que era ensinado no final da década de 60 e no início da década de 70. Vamos dá continuidade a este estudo, nesta primeira etapa, usando este mesmo método para aprender a dividir números decimais.

Já temos noções sobre o que são as ordens inteiras, ou seja, que as unidades (U) estão na primeira ordem, as dezenas (D) estão na segunda ordem, as centenas (C) estão na terceira ordem, as unidades de milhar (UM) estão na quarta ordem, as dezenas de milhar (DM) estão na quinta ordem, etc. Neste artigo vamos estudar as ordens decimais, ou seja, que os décimos (d) estão na primeira ordem, os centésimos (c) estão na segunda ordem, os milésimos (m) estão na terceira ordem, os décimos de milésimos (dm) estão na quarta ordem, os centésimos de milésimos (cm) estão na quinta ordem, etc. Já estudamos sobre multiplicação de decimais no artigo multiplicação de números decimais e como tranformá-los em frações no artigo transformacao de números decimais em frações, usando uma técnica de fácil aprendizado. Exercitamos também sobre divisao de frações. Agora o nosso desafio é o aprendizado de como dividir números com decimais. Vamos à prática:

1º) Determinar o resultado da seguinte divisão:

Como começar? A letra U significa unidade e d significa décimos. Bom, não posso dividir 1 unidade por 10 (ou melhor, de 1 não posso tirar 10). O que fazer? Vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0 precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 X 10 décimos = 10 décimos. Portanto,

Agora temos 10 décimos dividido por 10. Essa é moleza: 10 dividido por 10 equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 10 é igual a 10 e, 10 para 10 é zero(resto). Assim:

Portanto,

1/10 é uma unidade decimal de 1ª ordem, representada por 0,1, que quer dizer um décimo.

2º) Determinar o resultado da seguinte divisão:

A letra U significa unidade, d significa décimos e c significa centésimos. Bom, não posso dividir 1 unidade por 100 (ou melhor, de 1 não posso tirar 100). O que fazer? Aplicar o mesmo procedimento, ou seja, vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0, precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 Unidade = 10 décimos. Portanto,

Temos 10 décimos dividido por 100. Ainda não posso dividir 10 décimos por 100 (ou melhor, de 10 décimos não posso tirar 100). Portanto, vamos transformar 10 décimos em centésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos décimos por mais um 0. Transformando 10 décimos em centésimos, temos que:

1 0 décimos = 100 centésimos. Portanto,

Agora vamos dividir 100 por 100 que equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 100 é igual a 100 e, 100 para 100 é zero(resto). Assim:

Portanto,

1/100 é uma unidade decimal de 2ª ordem, representada por 0,01, que quer dizer um centésimo.

3º) Determinar o resultado da seguintes divisão:

A letra U significa unidade, d significa décimos, c significa centésimos e m significa milésimos. Não posso dividir 1 unidade por 1000 (ou melhor, de 1 não posso tirar 1000). Inicialmente, vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0, precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 Unidade = 10 décimos. Portanto,

Agora temos 10 décimos dividido por 1000. Ainda não posso dividir 10 décimos por 1000 (ou melhor, de 10 décimos não posso tirar 1000). Portanto, vamos transformar 10 décimos em centésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos décimos por mais um 0. Transformando 10 décimos em centésimos, temos que:

1 0 décimos = 100 centésimos. Portanto,

Agora temos 100 centésimos dividido por 1000. Ainda não posso dividir 100 centésimos por 1000 (ou melhor, de 100 centésimos não posso tirar 1000). Portanto, vamos transformar 100 centésimos em milésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos centésimos por mais um 0. Transformando 100 centésimos em milésimos, temos que:

100 centésimos = 1000 milésimos. Portanto,

Agora vamos dividir 1000 por 1000 que equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 1000 é igual a 1000 e, 1000 para 1000 é zero(resto). Assim:

Portanto,

1/1000 é uma unidade decimal de 3ª ordem, representada por 0,001, que quer dizer um milésimo.

4º) Determinar o resultado da seguinte divisão:

A letra U significa unidade, d significa décimos, c significa centésimos, m significa milésimos e dm significa décimos de milésimos. Não posso dividir 1 unidade por 10000 (ou melhor, de 1 não posso tirar 10000). Vamos transformar 1 unidade em décimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem das unidades pelo algarismo 0, precedido de uma vírgula. Transformando 1 unidade em décimos, temos que:

1 Unidade = 10 décimos. Portanto,

Agora temos 10 décimos dividido por 10000. Ainda não posso dividir 10 décimos por 10000 (ou melhor, de 10 décimos não posso tirar 10000). Portanto, vamos transformar 10 décimos em centésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos décimos por mais um 0. Transformando 10 décimos em centésimos, temos que:

1 0 décimos = 100 centésimos. Portanto,

Agora temos 100 centésimos dividido por 10000. Ainda não posso dividir 100 centésimos por 10000 (ou melhor, de 100 centésimos não posso tirar 10000). Portanto, vamos transformar 100 centésimos em milésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos centésimos por mais um 0. Transformando 100 centésimos em milésimos, temos que:

100 centésimos = 1000 milésimos. Portanto,

Agora temos 1000 milesimos dividido por 10000. Ainda não posso dividir 1000 milésimos por 10000 (ou melhor, de 1000 milésimos não posso tirar 10000). Portanto, vamos transformar 1000 milésimos em décimos de milésimos e ao mesmo tempo representar no quociente a ordem dos milésimos por mais um 0. Transformando 1000 milésimos em décimos milésimos, temos que:

1000 milésimos = 10000 décimos milésimos. Portanto,

Agora vamos dividir 10000 por 10000 que equivale a 1. Procedendo normalmente a divisão: 1 X 10000 é igual a 10000 e, 10000 para 10000 é zero(resto). Assim:

Portanto,

1/10000 é uma unidade decimal de 4ª ordem, representada por 0,0001, que quer dizer um décimo de milésimo.

Desafios para você: usando o mesmo procedimento acima, divida 1/100000 (um centésimo de milésimos) e 1/1000000 (um milionésimo). Após vencer esses desafios estaremos prontos a dar continuidade na sequência divisão com números decimais. Não perca!Boa sorte!

COMO TIRAR PORCENTAGEM NA CALCULADORA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 13 Jan 2011 14:39:00 +0000

Se voce já sabe tirar porcentagem na calculadora, parabéns! Mas saiba que muitas pessoas não sabem realizar esta simples operação. Às vezes, nas nossas atividades profissionais, precisamos efetuar esta operação e temos que pedir ajuda ao colega. Mas não se preocupe, esta postagem vai garantir mais uma vitória, dentre tantas, em sua vida. Na verdade, as postagens deste blog tem alcançado e ajudado milhares de pessoas. Vamos aprender, passo a passo, esta técnica muito simples de tirar porcentagem na calculadora. Podemos utilizar qualquer calculadora padrão ou a do Windows (clicando no botão Iniciar, Programas, Acessórios e Calculadora, exibir, padrão). Vamos à prática:

Como calcular 80% de R$ 800,00?

Siga os passos para calculadora padrão(do windows):

- Ligue a calculadora (ON) e digite 80;

- Pressione o sinal de multiplicação (X ou *);

- Digite 800 e pressione a tecla %, resultando em 640.

Obs: se você tem dificuldades em tirar porcentagem leia este estudo: Exercícios resolvido sobre porcentagem.

Siga os passos para calculadora científica:

- Ligue a calculadora (ON), digite 80;

- Aperte no sinal de multiplicação (X ou *);

- Digite 800, pressione a tecla 2ndF(shift), pressione a tecla %;

- Pressione a tecla do sinal de igualdade (=), resultando em 640.

Para fixar melhor, refaça estes procedimentos várias vezes na sua calculadora.

Como calcular 5,5% de R$ 150,00 ?

Siga os passos para calculadora padrão:

- Ligue a calculadora (ON) e digite 5.5 ou 5,5;

- Aperte no sinal de multiplicação (X ou *);

- Digite 150, pressione a tecla %, resultando em 8,25.

Siga os passos para calculadora científica:

- ligue a calculadora (ON) e digite 5.5;

- Aperte no sinal de multiplicação (X ou *);

- Digite 150, pressione a tecla 2ndF(shift), pressione a tecla %;

- Pressione a tecla do sinal de igualdade (=), resultando em 8,25.

Para fixar melhor, refaça estes procedimentos várias vezes na sua calculadora.

Faça no borrão e depois na calculadora: o salário de um professor equivale a R$ 950,00. Sofrendo um reajuste de 15%, qual será o novo salário do professor?

Cálculo do reajuste:

15% de 950 = 15/100 X 950 = 14250/100 = R$142,5.

Cálculo do novo salário = Salário antigo + o reajuste.

Portanto, O novo salário será igual a

R$ 950,00 + R$ 142,5 = R$ 1092,5

Siga os passos para calculadora científica:

- Ligue a calculadora (ON), digite 15, em seguida aperte no sinal de multiplicação (X ou *);

- Digite 950, pressione a tecla 2ndF(shift), pressione a tecla % e pressione a tecla do sinal de igualdade (=), resultando em 142,5 (reajuste).

- Pressione a tecla (+) e o número 950 (salário antigo), pressione a tecla igual (=), resultando em 1092,5.

Para fixar melhor, refaça estes procedimentos várias vezes na sua calculadora.

Muito grato. Obrigado pela sua paciência. Espero ter ajudado. Volte sempre. Se ajudei, comente (identifique-se).

QUEDA DE OBJETO VOADOR EM MORRINHOS GOIÂNIA

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 06 Jan 2011 20:58:00 +0000

A pedido de alguns "caçadores de OVNI'S" estamos publicando este estudo. Um jornal de Goiânia/Go, datado de agosto e setembro de 1981, com recortes anexados nesta postagem, publicou uma reportagem sobre um OVNI parecido com um charuto, que caiu em uma represa de 35m por 25 m, em Morrinhos. Estes recortes de jornal são partes de documentos públicos colhidos junto ao CENDOC - Centro de Documentação e Histórico da Aeronáutica adquiridos na rede. Não vamos colocar todos os recortes do jornal no blog para não sobrecarregá-lo, mas você pode baixar para estudos a versão completa destes recortes aqui no blog, na parte de download, cujos títulos são Jornal1981 e JornalCompleto1981.

Segundo o jornal, o fato ocorreu em 12 de agosto de 1981. Na versão da Aeronáutica o acontecido foi em 1980. Todos os que tiveram contato com as águas da represa sentiram, algum tempo depois, sintomas patológicos como enjôos, dores nas pernas, insônias, angústia, vômitos, agitação e até leucemia. O objeto amarelado tinha 5m de diâmetro por 8m de comprimento. O propósito desta pesquisa é identificar, com a ajuda dos internautas de Goiânia, do Brasil e do mundo, se era um satélite ou uma peça de satélite, bem como sua origem (qual país). O que foi feito desta peça? Onde está a peça neste momento? Continua no mesmo lugar? Muitos conjecturaram que o objeto fazia parte do satélite Cosmos 954 ou do Skylab.


Clique para melhor visualização

A ESTAÇÃO ESPACIAL SKYLAB

A estação espacial Skylab, teve suas últimas horas de existência, em 11 de julho de 1979. Apesar dos controladores em solo tentarem várias manobras de atitude de controle da estação, não conseguiram manobrá-la. A pesada estação, lançada ao espaço em 14/05/1973, voando agora fora de controle e vindo de uma altitude de várias centenas de quilômetros, reentrou prematuramente na atmosfera com velocidade hipersônica. Superaquecida, a maioria dos seus destroços caiu no Oceano Índico, ao largo da costa australiana e várias de suas peças foram encontradas nos pastos da Austrália Ocidental.

O SATÉLITE COSMOS 954

O cosmos 954, satélite militar espião soviético tipo US-A, foi lançado em 18 de setembro de 1977. Era movido a energia nuclear e equipado com RORSAT (Radar Ocean Reconnaissance Satéllite) - radar ativo de vigilância e reconhecimento dos mares e oceanos, certamente para monitorar a OTAN, submarinos e navios mercantes. Os RORSATs são uma subclasse de satélites Cosmos. O satélite se tornou instável e foi descendo gradualmente a partir de sua órbita normal e, ao reentrar na atmosfera suas antenas de radar se desintegraram, porém, trazendo uma carga letal – um reator nuclear. Na madrugada de 24 de Janeiro de 1978, o Cosmos 954 atravessou o pacífico Norte de oeste para leste e desapareceu das telas dos radares. Mais tarde, era noticiado em várias localidades avistamentos de bolas de fogo, ou seja, de destroços do satélite. Por sorte, o Cosmos 954 caiu perto da Grande Slave Lake, nos territórios do Noroeste do Canadá em regiões escassamente povoadas. Espalhou seu combustível radioativo ao longo de 48000 milhas quadradas. Foram recuperadas 12 peças do satélite, expostas a radiatividade de 1,1 Sieverts/hora. O sievert (Sv) é uma unidade derivada do Sistema Internacional de dose equivalente de radiação. 1 Sv provoca rapidamente alterações no sangue; 2-5 Sv causa náuseas, perda de cabelo, hemorragia e, em muitos casos pode causar a morte; Mais de 6 Sv leva à morte em menos de dois meses em mais de 80% dos casos. Embora ninguém tenha sofrido acidentes, os soviéticos pagaram ao Canadá $ 3 milhões para a ajudar na difícil limpeza da área onde caíram os destroços do Satélite.

Cosmos 954

O SATÉLITE COSMOS 1402

O Cosmos 1402, satélite espião soviético, movido também a energia nuclear, foi lançado no dia 30 de agosto de 1982. O satélite não conseguiu alcançar sua órbita correta. Os controladores em terra conseguiram separar o núcleo do reator, tornando-o mais propenso a se queimar na atmosfera antes de atingir o solo. O Cosmos 1402 reentrou na atmosfera da Terra em 23 de janeiro de 1983, a centenas de quilômetros ao sul da ilha de Diego Garcia, no Oceano Índico, não deixando restos conhecidos.

O DECAIMENTO ORBITAL

Muitos satélites com altitudes entre aproximadamente 200 e 600 km sentem o arrasto aerodinâmico muito intenso quando se movem através da termosfera, uma das camadas da atmosfera. Os satélites e milhares de peças e destroços que circulam na atmosfera sofrem os efeitos do aquecimento e da fricção atmosférica, consequentemente, o seu decaimento orbital. Portanto, com o aumento da fricção, a velocidade orbital do satélite e sua altitude diminuem trazendo como consequência órbitas mais baixas e instáveis. Se o decaimento orbital não for corrigido, certamente o satélite cairá.

SATÉLITES QUE FORAM LANÇADOS EM AGOSTO DE 1981

DYNAMICS EXPLORER II, DELTA 1 R/B(1), DELTA 1 DEB, SL-6 PLAT, SL-6 R/B(1), COSMOS 1286, SL-11 R/B, N-2 R/B(1), COSMOS 1296, SL-4 R/B, COSMOS 1297, SL-4 DEB, COSMOS 1298, ATLAS CENTAUR R/B, COSMOS 1301, COSMOS 1297 DEB, DELTA 1 DEB, COSMOS 1299 DEB (ANTENNA), COSMOS 1299 DEB (PELPS), N-2 R/B(2), COSMOS 1301 DEB, DELTA 1 DEB, COSMOS 1286 DEB.

Fizemos algumas pesquisas sobre o decaimento destes satélites, porém os mesmos não decaíram em 1981, ou seja, nos seus anos de lançamentos. Segundo o meu entendimento, pela leitura que fiz do recorte do jornal há possibilidade da origem do objeto ser um lixo espacial ou algum reator de satélite(mas, qual satélite?).

Sites pesquisados:

http://www.n2yo.com/browse/?y=1981&m=8
http://www.n2yo.com/?s=12791
http://www.russianspaceweb.com/us.html
http://www.scielo.br/pdf/rbg/v17n2-3/v17n23a05.pdf

Bom galera, respeito todas as opiniões e gostaria, se possível, da opinião dos internautas que gostam do assunto e que gostam de pesquisar sobre satélites e OVNIs ou de algum morador de Goiânia (Morrinhos) que presenciou este fato em 1980/1981.

Obrigado, volte sempre!

COMO FAZER CONTAS DE DIVIDIR

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Thu, 30 Dec 2010 01:18:00 +0000

Depois de muito esforço, os alunos da EJA conseguiram entender um pouco sobre mínimo múltiplo comum.

O medo de números com vírgulas também diminuiu após elaborarmos uma técnica sobre multiplicação de números decimais. Lutamos muito para entender aquelas equações fracionárias de primeiro grau e aprendemos um pouco sobre elas. Após isso vencemos mais um desafio importante dentro da matemática, ou seja, da transformação de números decimais para fração.

Agora, a pedido, este estudo é dedicado aos alunos do ensino fundamental a partir da 5ª série (6º ano), da EJA, do ensino regular e enfim, a todos que possuem certa dificuldade em realizar contas de dividir. Após um bom aprendizado deste estudo tentaremos entender a divisão de números decimais.

É muito importante aprender a usar a calculadora como ferramenta de auxílio no trabalho, nas lojas, nos supermercados, enfim, na vida cotidiana e no âmbito profissional. Você pode verificar como é útil a calculadora neste artigo: Como tirar porcentagem na calculadora, porém, na sala de aula é muito importante que o aluno faça e refaça as contas no caderno sem o uso da calculadora. Com o uso constante de celulares e calculadoras em sala de aula, a maioria dos alunos não querem mais saber de fazer contas de matemática em seu caderno e assim, perdem um tesouro do conhecimento muito importante em sua vida, que é fazer contas de dividir, um dos alicerces da matemática que vai garantir ao estudante amor e desempenho pela disciplina ao longo do tempo. Muitos alunos vão ignorando estas técnicas de conhecimentos a partir da 5ª série (6º ano), período ideal para o aprendizado de matemática.

Bom, vamos praticar as contas de dividir.

Calcule o quociente, passo a passo:

O número 264 é chamado de dividendo. O número 22 é chamado de divisor e resultado desta divisão é chamado de quociente.

Como começar? Dos números do dividendo 264, qual é o número que podemos dividir por 22? Será o 2? Não, este é menor que 22. Será o 26? Sim. Este é imediatamente maior que 22. Portanto, vamos marcar o 26 com um tracinho, assim:

Pergunta-se: 26 dividido por 22? Não é 2, pois 2 X 22 = 44. Será o 1? Sim, é a resposta que mais se aproxima de 26, ou seja, 1 X 22 = 22. Nossa continha fica assim:

Multiplica-se 1 x 22 = 22. Pergunta-se: de 22 até 26 existem quantos números? 4 números. Basta subtrair: 26 – 22 = 4. Portanto, nossa conta fica assim:

Vamos jogar para baixo o 4, aquele que está após o tracinho, assim:

Pergunta-se: 44 dividido por 22? Dá exatamente 2. Nossa continha fica assim:

Multiplica-se 2 x 22 = 44. Pergunta-se: Pergunta-se: de 44 até 44 existem quantos números? Zero, basta subtrair: 44 – 44 = 0. Portanto, nossa conta fica assim:

O número 12 é o quociente. O número nulo 0 é o resto. Quando o resto equivale a zero, a divisão é exata.

Conclusão: 264:22 = 12, pois 12 X 22 = 264.

Calcule o quociente, passo a passo:

Como começar? Dos números 3168, qual é o número que podemos dividir por 24? Será o 3? Não, este é menor que 24. Será o 31? Sim. Este é imediatamente maior que 24. Vamos marcar o 31 com o nosso tracinho, assim:

Pergunta-se: 31 dividido por 24? Não é 2, pois 2 X 24 = 48, que é maior que 31. Será o 1? Sim, é a resposta que mais se aproxima de 31, ou seja, 1 X 24 = 24. Nossa continha fica assim:

Multiplica-se 1 x 24 = 24. Pergunta-se: de 24 para 31 existem quantos números? 7 números, basta subtrair: 31 – 24 = 7. Portanto, nossa conta fica assim:

Vamos jogar para baixo o 6, aquele que está após o tracinho, assim:

Pergunta-se: 76 dividido por 24 é aproximadamente igual a quanto? Será 1? Não, pois 1 X 24 = 24. Dá 2? Não, pois 2 X 24 = 48. Dá 3? Sim, é o resultado mais próximo possível de 76, ou seja, 3 X 24 = 72. Nossa continha fica assim:

Multiplica-se 3 x 24 = 72. Pergunta-se: de 72 até 76 existem quantos números? 4 números, basta subtrair:
76 – 72 = 4. Portanto, nossa conta fica assim:

Vamos jogar para baixo o 8, assim: Pergunta-se: 48 dividido por 24 equivale a quanto? Dá exatamente 2, pois 2 X 24 = 48. Nossa conta fica assim:

Multiplica-se 2 x 24 = 48. Pergunta-se: de 48 até 48 existem quantos números? Zero, basta subtrair:

48 – 48 = 0. Finalmente, nossa conta fica assim:

O número 132 é o quociente. O número nulo 0 é o resto. Quando o resto equivale a zero, a divisão é exata.

Conclusão: 3168:24 = 132, pois 132 X 24 = 3168.

Bom, você tem a base para continuar este estudo. Aplique a técnica e tentem fazer estas:

a) 2472:24 = 103;
b) 8662:142 = 61;
c) 1608:134 = 12;

Estas requerem mais atenção:

d) 40400:40 = 1010;
e) 500300:50 = 10006;
f) 4000200:40 = 100005.

Se você leu até aqui é porque teve interesse em aprender sobre divisão e certamente vai gostar do seguinte estudo:

Os passos da divisão

Por hoje é só! Mas, como você poderá ficar sabendo das nossas próximas postagens? Faça como os alunos da rede estadual, municipal e os Institutos Federais Tecnológicos: vá até o rodapé desta postagem, do lado direito do meu retrato, você clica em cima da palavra e-mail ou no lado direito do blog, onde está escrito "RECEBA POR E-MAIL OS NOSSOS ESTUDOS", você faz o cadastro. Após o cadastro você receberá um e-mail para confirmação. Após você receber e confirmar (não esqueça de confirmar) o e-mail, no momento em que houver outra publicação, você será alertado no seu E-mail sobre a próxima aula.

Espero ter ajudado. Muito grato. Obrigado pela sua paciência. Espero ter ajudado. Volte sempre. Se ajudei, comente (mas, identifique-se). Bons estudos!

DILATAÇÃO LINEAR

noreply@blogger.com (Elísio Físico) — Fri, 24 Dec 2010 15:12:00 +0000

Neste trabalho trataremos apenas a dilatação linear. As dilatações superficiais e volumétricas serão assuntos de um próximo tópico. Ao longo do texto o estudante de ciências exatas vai perceber que é indispensável os conhecimentos adquiridos sobre matemática básica, especialmente nos assuntos sobre transformação de unidades de comprimento, multiplicação de números decimais, regra de três simples, porcentagem e notação científica. As equações são escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas no navegador Firefox. Você pode estudar diante do computador e ao mesmo tempo rabiscar os exercícios em um caderno (ou borrão) e isso, pode se tornar prazeroso e enriquecedor para você. Bons estudos.

A DILATAÇÃO LINEAR

Quanto maior a temperatura de um corpo, maior será sua vibração molecular o que ocasiona o aumento da distância entre suas partículas e, consequentemente, o aumento (a dilatação), no tamanho desse corpo. Por exemplo, quando o dia está bem quente podemos notar que nos fios dos postes aparecem pequenas concavidades voltadas para cima ou "barrigas" ou "flechas". Estas "barrigas" (dilatações) são maiores em dias quentes e menores em dias frios.

Dilatações nos fios de postes.

A galera que trabalha em ferrovias, que já teve a chance de ver ou andar por sobre os trilhos, pode perceber que entre suas extremidades são deixados pequenos espaços (juntas de expansão ou de dilatação) com o objetivo de permitir sua dilatação, quando houver um aumento de temperatura, e sua contração, quando houver uma diminuição de temperatura. Isso evita a deformação dos trilhos.

Pequenos espaços entre trilhos

Na pontes feitas de concreto também são deixados espaços em intervalos regulares para suportar a dilatação e contração do concreto devido a variação (mudança) de temperatura ou, também, devido ao movimento das pontes. Isso evita a deformação das pontes.

A dilatação é muito usado no nosso cotidiano. Um outro exemplo é podermos retirar a tampa de metal de um vidro: mergulhando a tampa em água quente, a mesma dilata-se mais do que o recipiente de vidro, ou seja, fica um pouco mais folgada facilitando sua retirada.

Vamos exercitar sobre a dilatação linear, ou seja, vamos analisar a dilatação em uma única dimensão.

A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO DA BARRA

Na prática, sabemos que a dilatação ocorre nas três dimensões (largura, altura e comprimento), porém, nos exercícios seguintes analisaremos a dilatação em apenas uma dimensão, por isso o nome dilatação linear. Caderno e lápis nas mãos.

1ª) Um trilho de ferro, com comprimento inicial de 1000 m, ao passar de uma temperatura de 0°C para uma temperatura de 42°C, obteve quantos metros de aumento no seu comprimento, dado que seu coeficiente de dilatação linear é

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

O fenômeno correlacionado a este problema é o seguinte:

- Antes da barra sofrer um aumento no seu comprimento, ela está a uma temperatura inicial $$(T_{I})$$ igual a 0°C e com um comprimento inicial $$ (L_{I} ) $$ igual a 1000 m.

- Depois de um certo tempo, o comprimento da barra fica maior $$ (\Delta L) $$, ou seja, ela sofre uma dilatação e esta, depende do coeficiente de dilatação linear $$ (\alpha ) $$ que está relacionado à natureza do seu material, no caso o ferro.

Dados:

O comprimento inicial (em metros) é dado por:

$$L_{I} =1000m = 10^{3}m$$;

A temperatura inicial equivale a:

$$T_{I} =0^\circ C $$;

A temperatura final equivale a:

$$T_{F} =42^\circ C$$;

A variação da temperatura é:

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =42^\circ C -0^\circ C= 42^\circ C$$;

O coeficiente de dilatação linear do ferro equivale a:

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

Eis a questão: quanto vale a variação do comprimento $$ (\Delta L) = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos

$$\Delta_{L} = 10^3.12.10^{-6}.42 =12.10^{-3} =504.0,001=0,504m.$$

Portanto, o aumento (variação) do comprimento do trilho é

$$\Delta_{L} =0,504m.$$

Se o problema pedisse a variação do comprimento em cm?

No nosso minicurso sobre transformações de unidades de medidas de comprimento aprendemos a transformar metros para centímetros. Portanto, o resultado seria

$$\Delta_{L} =50,4cm.$$

Obs: como calcular o comprimento $$L_{F}$$ da barra? A diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial da barra é dado por

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} \rightarrow 1000m=L_{F} -0,504m.$$

Portanto,

$$L_{F} =1000m+0,504m=1000,504m.$$

O COMPRIMENTO DA BARRA

O fenômeno correlacionado ao problema seguinte é semelhante ao problema anterior. Porém, neste caso, pede-se o comprimento da barra $$(L_{F})$$ e não a variação do comprimento da barra $$(\Delta L).$$ Vamos à prática:

2ª) Uma barra de ferro apresenta, a 10°C, um comprimento de 100 cm. Calcule o comprimento da barra a 90°C, dado que

$$\alpha _{Fe} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}.$$

Dados:

$$L_{I} =100cm = 1m$$;

$$T_{I} =10^\circ C$$;

$$T_{F} =90^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =90^\circ C -10^\circ C= 80^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$

$$\Delta L = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = 1.12.10^{-6}.80 =960.10^{-6} =96.10^{1}.10^{-6}$$

Portanto,

$$\Delta_{L} =96.10^{-5}=96.0,00001.$$

Se o estudante se empenhou em nosso estudo, em forma de minicurso, sobre multiplicação de números decimais não terá dificuldades em resolver esta última multiplicação. Portanto, a variação de comprimento que a barra sofreu foi bem pequena, ou seja, equivalente a

$$\Delta_{L} = 0,00096m.$$

Agora vamos calcular o comprimento $$L_{F}$$ ou $$L$$ da barra:

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I}\rightarrow 0,00096m=L_{F}-1m\rightarrow$$

$$L_{F} =0,00096m+1m=1,00096m.$$

O PERCENTUAL DE DILATAÇÃO

Como tirar percentualmente a dilatação sofrida pela barra? Vamos usar uma regra de três simples: A barra intacta sem dilatação equivale a 100%. A barra, após uma variação de comprimento, equivale a quantos por cento (que vamos chamar de x)?

3ª) O comprimento de uma barra de ferro aumenta quando ocorre uma variação de temperatura de 40°C para 140°C. Determine percentualmente a dilatação sofrida pela barra.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =140^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =140^\circ C -40^\circ C= 100^\circ C$$;

$$\alpha _{Fe} =1,2.10^{-5}^{\circ}C^{-1} =12.10^{-6}^{\circ}C^{-1}$$;

$$\Delta L=?$$.

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Fe} .\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$\Delta_{L} = L_{I} .12.10^{-6}.10^{2}=12.10^{-4}.$$

Portanto,

$$\Delta_{L} =12.0,0001=0,0012.L_{I}.$$

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre regra de tres simples-exercícios resolvidos, o estudante não terá dificuldades em realizar esta operação:

$$L_{I}\rightarrow 100%$$

$$0,0012L_{I}\rightarrow x$$

Portanto,

$$x= \frac{100.0,0012L_{I}}{L_{I}} =0,12%.$$

Portanto, a dilatação sofrida pela barra foi em torno de 0,12%.

Usando os conhecimentos adquiridos no minicurso sobre porcentagem-exercícios resolvidos, o estudante percebe que houve pouco aumento percentual, ou seja, 0,12% = 0,12/100 = 0,0012.

O COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR

O coeficiente de dilatação linear é tabelado, está relacionado à natureza da substância que forma o corpo e nos permite comparar qual substância se dilata ou se contrai mais facilmente, ou seja, quanto maior for seu valor, mais facilidade terá o material para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu comprimento, quando esfriado. Por exemplo, podemos citar duas substâncias, o chumbo e o alumínio, cujos coeficientes de dilatação linear são, respectivamente,

$$\alpha _{Pb} ={27.10^{-6}^\circ C$$

$$\alpha_{Al} = {22.10^{-6}^\circ C.$$

Percebemos que o chumbo, cujo símbolo é Pb, comparado com o alumínio, tem mais facilidade para aumentar seu comprimento quando aquecido, ou diminuir seu tamanho, quando esfriado.

4ª) O comprimento de uma barra feita de um determinado material equivale 10 m, em uma temperatura equivalente a 40°C. Após um determinado tempo, seu comprimento é de 10,004 m, em uma temperatura equivalente a 240°C. Determine o coeficiente de dilatação linear deste material.

Dados:

$$T_{I} =40^\circ C$$;

$$T_{F} =240^\circ C$$;

$$\Delta_{T} = T_{F} -T_{I} =240^\circ C -40^\circ C= 200^\circ C = 2.10^{2}^\circ C$$;

$$\Delta_{L} = L_{F} -L_{I} =10,004m-10m=0,004m=4.10^{-4}m$$;

$$\alpha _{Subst} = ?$$

A fórmula é dada por:

$$\Delta_{L} = L_{I}.\alpha _{Subst}.\Delta_{T}.$$

Substituindo os valores na fórmula, temos que

$$4.10^{-4} = 10 .\alpha _{Subst}.2.10^{2} \rightarrow 4.10^{-4} =2.10^{3} .\alpha _{Subst}.$$

Portanto,

$$\alpha _{Subst}=\frac{4.10^{-4}}{2.10^{3}}=2.10^{-7}^\circ C,$$

ou, se o estudante se esforçou para prender os assuntos do nosso minicurso sobre notação científica e Exercícios resolvidos sobre notação científica não terá dificuldades em trabalhar a expressão

$$\alpha _{Subst}=2.10^{-7}^\circ C =0,2.10^{-6}^\circ C. $$

Estes são bons fundamentos para você poder se aprofundar neste assunto tão maravilhoso. Com esta sólida base de conhecimentos você pode estudar e encarar com mais tranquilidade exercícios mais complexos. sobre o assunto. Como fica pesado para o blog suportar tantas equações, este estudo sterá continuação em forma de minicurso. Se você tem interesse, escreva-me e solicite um exemplar. Espero ter ajudado você. Bons estudos!

1ª Lei de Ohm e potência elétrica. Digite apenas dois valores nos campos e pressione o botão Calcular. Bons estudos!
Voltagem(U):V	Resistência(R):Ω
Amperagem(i):A	Potência(P):W
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