Fascínio Matemático

Teorema de Euler

2010-08-10T14:57:00.000-07:00

O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.

O teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertas muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra. Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:

V – A + F = 2

Poliedros

2010-08-10T14:47:00.000-07:00

Afirmar que poliedro são sólidos formados por faces (partes limitadas de um plano), pode dar uma ideia do que eles sejam, mas não serve absolutamente como definição; aliás, uma das grandes dificuldades para o desenvolvimento desse tema, bem como fazer demonstrações dos teoremas sobre poliedros, estava justamente na falta de uma definição precisa do significado dessa palavra.

Definição

A seguinte definição nos dá uma idéia do que é poliedro, então definiremos assim:

“Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”.

Vejam os seguintes exemplos:

OBS: Podemos também encontrar como definição para poliedros, o seguinte: É um sólido limitado por polígonos, que tem, dois a dois, um lado comum.

Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas, chamadas de faces. Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamada aresta do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice do poliedro. Veja:

Fig. 01

Poliedro convexo e Poliedro não-convexo

Observe as figuras abaixo:

Qual dessas figuras você classificaria como poliedro convexo e como poliedro não convexo?

A resposta para essa indagação fica mais fácil quando temos conhecimento de que:

“Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos”.

Logo, podemos concluir, que o poliedro convexo está representado pela figura 02, e a figura 03 é um exemplo de poliedro não-convexo.

História da Geometria Espacial

2010-08-07T17:17:00.000-07:00

INTRODUÇÃO

Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a sua origem esconde-se nas areias das antigas civilizações egípcias. O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros. Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”.

“PAPIRO DE MOSCOU”

“PAPIRO DE RHIND”

Estes papiros são compostos por exposições de problemas e suas resoluções. Na verdade o que distingue a Matemática babilônica da grega (posterior) é o fato de não serem conhecidos seus criadores. O que se encontra são exemplos comprobatórios da existência e a preocupação do estudo geométrico.

A GEOMETRIA GREGA

Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram seus princípios empíricos, procurando encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este conhecimento os gregos deram o nome de GEOMETRIA (medida da terra).

Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, associavam o estudo da Geometria espacial ao estudo da metafísica e da religião, devido as formas abstratas que os sólidos apresentam.

A Geometria chega ao ápice na antiguidade com os denominados Geômetras Alexandrinos. Arquimedes com seus estudos sobre as esferas e o cilindro e Euclides com seu livro denominado de ELEMENTOS, onde sistematizava todos os conhecimentos acumulados até então pelo seu povo, fornecendo desta forma ordenação através de uma linguagem científica.

Pitágoras de Samos

Discípulo de Thales de Mileto, Pitágoras foi responsável pelo estudo da Geometria (forma) com a Aritmética (número). Criou a escola Pitagórica, onde associava tudo existente na natureza com números(religião, música, etc.). Seu erro foi não acreditar na existência dos números irracionais, que ao serem descobertos levaram a decadência da sua doutrina. Na Geometria Espacial trabalhou um especial com o tetraedro, o cubo, o dodecaedro e a esfera. A “harmonia das esferas” era para os pitagóricos a origem de tudo.

Platão

Para ele, a explicação de tudo, como tudo existia estava nos cinco sólidos perfeitos: o cubo(terra), o tetraedro(fogo), o octaedro(ar), o icosaedro(água) e o dodecaedro(elemento que permearia todo o Universo).

Os interesses pelos Poliedros e o estudo da Geometria Espacial, que era o assunto privilegiado entre matemáticos e filósofos gregos, parece ter ficado adormecido por mais de mil anos (Idade das Trevas), até despertar novamente o interesse dos pensadores durante os séculos que se seguiram o “Renascimento Italiano”.

A GEOMETRIA ESPACIAL NA IDADE MÉDIA

Depois de um longo tempo onde os estudos sobre Geometria Espacial ficaram estancados nas teorias da Geometria grega, foi durante o período denominado historicamente de “Renascimento” que ocorreu o resgate ao estudo de toda ciência adormecida até aquele momento. Diversos matemáticas como Leonardo Fibonacci (1170-1240) retomam os estudos sobre Geometria Espacial e em 1220 escreve a “Practica Geometriae”, uma coleção sobre Trigonometria e Geometria (abordagem nas teorias de Euclides e um análogo tridimensional do teorema de Pitágoras).

Em 1615 Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria”(stereo-volume/metria-medida) o cálculo de volume. A palavra volume vem de volumen que é a propriedade de um barril (vinho, azeite,etc.) de rolar com facilidade.

No ano de 1637 surge a Geometria Analítica desenvolvida pelo filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), misturando Álgebra e Geometria ensina a transformar pontos, retas e circunferências em números, demonstrando como fazer contas com as figuras geométricas. Em 1669 o físico Inglês Isaac Newton (1642-1727) desenvolve o cálculo diferencial e integral. Desta forma torna-se possível calcular a área e o volume de qualquer figura geométrica,independente de sua forma. Antes disso os cálculos se limitavam a descoberta de fórmulas diferentes para cada tipo de figura.

A GEOMETRIA ESPACIAL MODERNA E CONTEPORÂNEA

Com o desenvolvimento da geometria projetiva e os novos meios de cálculos, abre-se caminho para novos campos de estudos para a geometria moderna. Este novo percurso nos estudos das formas geométricas analisa os sólidos de vários ângulos diferentes. Seu criador, o francês Jean Victor Poncelet ( 177- 1867 ) em 1822 demonstra seus raciocínios.Visto de ângulos diferentes, por exemplo, uma pirâmide pode aparecer como um triangulo ( vista de frente ) ou um quadrado (vista de cima ).

É no século XIX que a geometria passa pela maior reestruturação desde os seus estudos iniciais na Grécia Antiga. Até então todos os raciocínios estabelecidos eram alicerçados no postulados do grego Euclides e dos seus “ELEMENTOS”. É a chamada Geometria Euclidiana.

Foram necessários passar mais de 20 séculos para que Carl F.Gauss (1777-1855) verificar a não demonstrabilidade do quinto postulado e a possibilidade da construção de uma geometria não euclidiana. Na mesma época, o russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) e o húngaro Janos Boulay (1802-1860), trabalhando independentemente, constroem uma geometria na qual o postulado da paralela não vale mais. Em 1826 Lobachevsky cria a geometria não euclidiana, onde para os teoremas de Euclides serem válidos é desnecessário supor que só podemos construir uma paralela a uma outra reta passando por ponto fora desta reta. Em 1838 escreve “Novos Fundamentos da Geometria”, em 1840 “Investigações Geométricas Sobre a Teoria da Paralelas”e em 1855 “Pangeometria”.

No ano de 1854, Geog Friedrich Bernharo Riemann (1826-1866) escreve “Uber Die Hypothesen Welche der Goemetrie Zu Grunde Liegen” (Nas Hipóteses que Mentem a Fundação da Geometria), onde anos mais tarde seus resultados foram utilizados na teoria da relatividade de Albert Einstein.

Em 1899 a geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação. O alemão David Hilbert (1862-1943) faz uma análise geral de todas as novidades incorporadas à matemática dos séculos anteriores e a geometria é reescrita.

Após toda esta evolução geométrica, da geometria euclidiana, a geometria não euclidiana, novos conceitos de tempo, espaço foram alicerçados, como a teoria da relatividade do físico Albert Einstein.Em meados de 1970 a Teoria do Caos torna-se uma disciplina bem estruturada, onde diversos pesquisadores trabalham em aprimorá-la. Dentre eles o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945- ). Desta teoria surge o estudo de certas figuras geométricas espaciais. Para exemplificar, podemos analisar uma árvore que de seu tronco geram dois ramos, que por sua vez em cada um deles, reparte-se em dois ramos menores e assim por diante, contendo cópias de si mesmo dentro dela recebem o nome de fractais.

O termo fractal provem da palavra latina “fractus”que significa descontínuo, irregular. Esta palavra foi escolhida pelo polonês Benoit Mandelbrot, em 1975, na sua pesquisa que levou a publicar o livro “Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension” (Os Objetos Fractais: Forma, Acaso e Dimensão). A principal novidade é a possibilidade de existirem dimensões espaciais fracionárias, com isso a teoria dos fractais descreve as formas da natureza que anteriormente não eram tratadas matematicamente como o formato de uma nuvem por exemplo. As geometrias tradicionais limitam-se a descrever apenas a superfície e curvas lisas, entretanto diversos elementos da natureza como as montanhas, as árvores entre outros possuem irregularidades, isto é, são fragmentadas.

Mandelbrot trabalha para as indústrias de software e hardware no centro de pesquisa Thomas J Watson. Participou do 17º Congresso Internacional de Física e Estatística no Rio de Janeiro e lançou o livro “The Fractal Geometry Of Nature” – A.

Projeto Xadrez na Escola

2010-08-07T03:34:00.000-07:00

História do Xadrez

A invenção do jogo de xadrez se relaciona diretamente com a matemática, a partir de um antigo pergaminho que relata o seguinte:

Estava enfermo certo Rei na Índia e lhe indicaram que deveria se distrair com algo agradável. Para ele Dahir al-Hindi elaborou o jogo de xadrez. Depois de ter expressado sua alegria pela invenção, o Rei disse: "Peça uma recompensa".

Dahir al-Hindi pediu um dirhem (moeda de prata utilizada pelos árabes na Idade Média) para a primeira casa do tabuleiro e que fosse dobrando progressivamente este número a cada uma das casinhas restantes, a que o Rei comentou:"Me assombra que um homem como você, capaz de criar um jogo tão maravilhoso, aceite recompensa tão pequena. Que receba o que pede".

Mas quando o assunto chegou aos ouvidos de seu Vizir, este se apresentou diante o Rei e disse: "Precisas saber, oh Rei, que mesmo vivendo mil anos e recolhendo para ti todos os tesouros da Terra, não poderá pagar o que lhe foi pedido”.

Historia do Xadrez no Brasil

Seguramente, as primeiras partidas de xadrez no Brasil, foram jogadas durante a estada de Pedro Álvares Cabral e sua frota, na época do descobrimento – 1500 – na época, o jogo de xadrez era largamente praticado na Europa principalmente pela nobreza como principal diversão. Pero Vaz de Caminha, por sua vez, inegavelmente era aficionado do jogo, pois, por diversas vezes, faz referência às peças e ao tabuleiro de xadrez.

Arte da Matemática

2010-08-05T19:41:00.001-07:00

História da Matemática

2010-08-05T19:17:00.000-07:00

Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas cujas existências tinham finalidades práticas. Teorias das mais complexas contadas por matemáticos sobrevoaram a mente humana de como a matemática foi criada.

Essa ciência difícil e com complexidades pós o conhecimento humano foi criada a partir dos primeiros seres racionais, há milhões de anos dos Homo sapiens. Ela foi criada com o intuito de inventar uma lei sobre todas as quais ela é soberana e determina o possível e o impossível com uma questão de lógica. Essa lógica serviu para os primeiros raciocínios, desde trocas à vendas, de que nossos ancestrais necessitavam.

Até mesmo hoje, ela supera todas as ciências em necessidade humana, chegando até a superar a necessidade de se comunicar por meio de um idioma compreensível de tal região.

A matemática foi, é, e será uma grande necessidade humana. Nossos ancestrais também necessitavam de conhecimento dentre os quais poderiam se comunicar, comerciar e trocar. Desde aí, os princípios básicos do início da matemática foram se aperfeiçoando.

Poucos milênios antes de Cristo, a inteligência humana se desenvolveu mais, e a necessidade de uma ciência complicada para resolver desde os mais simples problemas até grandes vendas também.

Os grandes matemáticos surgiram antes de Cristo e depois de Cristo, inventando novas fórmulas, soluções e cálculos.

A inteligência do homem era algo tão magnífico, que a matemática evoluiu mais rápido do que as próprias conclusões e provas matemáticas do homem.

Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada, potência, frações, razões, equações, inequações, termos, leis, conjuntos, etc, todos esses princípios e centenas de milhares de outros estavam dentro da ciência complexa, difícil, explicável e lógica que se chamava Matemática.

Antigos acreditavam que a soma de duas unidades de algo, somado a mais outras duas unidades de algo, daria quatro. Comprovado pela matemática de sumérios, os primeiros grandes astrônomos e filósofos deram o essencial a essa complexidade. Vários povos se destacaram, como os egípcios, sumérios, babilônios e gregos. Grandes mentes surgiram e inventaram outros princípios mais complexos e mais difíceis.