FATOS MATEMÁTICOS

Uma Identidade Útil Para Provar Desigualdades (Parte 2)

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 24 May 2013 06:09:27 PDT

Vejamos neste post, mais dois exemplos em que podemos o Teorema 1 e o Corolário 1 presentes na primeira parte.

Exemplo 1: Sejam [;a;], [;b;] e [;c;] números reais positivos. Prove que

[;\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \geq;]

[;abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)};]

Resolução: Dividindo por [;abc;] a desigualdade dada, temos:

[;\sqrt{\biggl(\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\biggr)\biggl(\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b}\biggr)} \geq;]

Sejam [;x = \frac{a}{b};], [;y = \frac{b}{c};] e [;z = \frac{c}{a};]. Assim, [;xyz = 1;] e

[;\sqrt{\biggl(\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\biggr)(x + y + z)} = \sqrt{(xy + yz + xz)(x + y + z)};]

[;\sqrt[3]{\biggl(\frac{a^2}{bc} + 1\biggr)\biggl(\frac{b^2}{ac} + 1\biggr)\biggl(\frac{c^2}{ab} + 1\biggr)} =;]

[;\sqrt[3]{\biggl(\frac{x}{z} + 1\biggr)\biggl(\frac{y}{x} + 1\biggr)\biggl(\frac{z}{y} + 1\biggr)};]

Deste modo, a desigualdade dada é equivalente a

[;\sqrt{(xy + yz + xz)(x + y + z)} \geq;]

Usando o Corolário 1 nesta desigualdade,

Colocando [;t = \sqrt[3]{(x + y)(y + z)(z + x)};], segue que

[;t^3 = (x + y)(y + z)(z + x);]

de modo que

[;\sqrt{t^3 + 1} \geq 1 + t;]

Pela desigualdade Aritmética-Geométrica,

[;t = \sqrt[3]{(x + y)(y + z)(z + x)} \geq \sqrt[3]{2\sqrt{xy}\cdot 2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{zx}};]

Portanto,

[;\sqrt{t^3 + 1} = \sqrt{(t+1)(t^2 - t + 1)} \geq \sqrt{(t+1)(2t - t +1)} = t +1;]

Exemplo 2: (MOSP 2001) Sejam [;a;], [;b;] e [;c;] números reais positivos tal que [;abc = 1;]. Prove que

[;(a + b)(b + c)(c + a) \geq 4(a + b + c - 1);]

Resolução: Pelo Cor. 1 é suficiente provar que

[;(a + b +c)(ab + ac + bc) - 1 \geq 4(a + b + c - 1);]

[;ab + ac + bc + \frac{3}{a + b + c} \geq 4;]

Por outro lado,

[;x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = \biggl(\frac{x^2}{2} - xy + \frac{y^2}{2} \biggr) +;]

[;x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz;]

Assim,

[;(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \geq;]

[;3(xy + xz + yz) \quad (1);]

Para [;x = ab;], [;y = bc;] e [;z = ca;], temos:

[;(ab + bc + ca)^2 \geq 3(ab\cdot bc + ab\cdot ca + bc\cdot ca);]

[;=3(abc\cdot b + abc\cdot a + abc\cdot\cdot c) = 3(a + b + c);]

pois, [;abc = 1;]. Por outro lado, pela desigualdade Aritmética-Geométrica,

[;ab + bc + ca + \frac{3}{a + b + c} = 3\biggl(\frac{ab + bc + ca}{3}\biggr) + \frac{3}{a + b + c};]

[;\geq 4\sqrt[4]{\frac{(ab + bc + ca)^3\cdot 3}{3^3(a + b + c)}};]

[;4\sqrt[4]{\frac{(ab + bc + ca)^2(ab + bc + ca)\cdot 3}{3^3(a + b + c)}};]

[;\geq 4\sqrt[4]{\frac{3^2(a + b + c)\cdot 3\sqrt[3]{ab\cdot bc \cdot ca}}{3^3(a + b + c)}};]

[;\geq 4\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}} = 4\sqrt[12]{1} = 4;]

Gostará de ler também:

- Uma Identidade Útil Para Provar Desigualdades (Parte 1);

- Duas Médias (Parte 2).

Referências Bibliográficas:

- Mathematical Excalibur. Vol. 14, número 1, março-abril 2009.

A Curva de Viviani

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 21 May 2013 18:06:27 PDT

Vicenzo Viviani (1622 - 1703) discípulo de Galileu, foi um matemático e físico italiano. Em seus estudos de Geometria, Viviani descobriu uma curva espacial resultante da interseção da esfera com um cilindro. Vejamos neste post, usando as ferramentas da Geometria Analítica, como gerar esta curva.

Para isso, considere a esfera de raio [;2a;], centrada na origem com equação cartesiana dada por

[;x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 \qquad (1);]

e o cilindro centrado no ponto [;(a,0,0);], raio [;a;] dado por

[;(x - a)^2 + y^2 = a^2 \qquad (2);]

Observe que o eixo do cilindro é paralelo ao eixo [;z;]. Sendo a curva de Viviani o resultado da interseção destas duas superfícies, podemos achar suas equações paramétricas do seguinte modo:

Dividindo por [;a;] ambos os membros da expressão (2), temos:

[;\biggl(\frac{x - a}{a}\biggr)^2 + \biggl(\frac{y}{a}\biggr)^2 = 1 \qquad (3);]

Em seguida, inserimos o parâmetro [;t;] na expressão (3) fazendo

[;\frac{x - a}{a} = \cos t \quad \text{e} \quad \frac{y}{a} = \sin t;]

ou seja,

[;\begin{cases} x(t) = a(1 + \cos t)\\ y(t) = a\sin t \end{cases} \qquad (4);]

Substituindo as equações da expressão (4) em (1), temos:

[;a^2(1 + \cos t)^2 + a^2\sin^2 t + z^2 = 4a^2 \qquad \Rightarrow;]

[;a^2 + 2a^2\cos t + a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t + z^2 = 4a^2 \quad \Rightarrow;]

[;z^2 = 4a^2 - 2a^2(1 + \cos t) = 4a^2 - 4a^2\cos^2(t/2) \quad \Rightarrow;]

[;z^2 = 4a^2\sin^2\biggl(\frac{t}{2}\biggr) \quad \Rightarrow \quad z(t) = 2a\sin\biggl(\frac{t}{2}\biggr);]

Logo,

[;\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k};]

[;=a(1 + \cos t)\vec{i} + a\sin t\vec{j} + 2a\sin(t/2)\vec{k};]

A curva de Viviani é destacada na figura abaixo.

Para [;a = 1;], a esfera [;x^2 + y^2 = 4;] e o cilindro [;(x - 1)^2 + y^2 = 1;] geram uma curva de Viviani particular cuja projeção no plano xy é dada na figura abaixo:

Observe que:
Para [;t = 0;], temos [;\vec{r}(0) = (2a,0,0);]
Para [;t = \pi/2;], temos [;\vec{r}(\pi/2) = (a,a,\sqrt{2}a);]
Para [;t = \pi;], temos [;\vec{r}(\pi) = (0,0,2a);]
Para [;t = 3\pi/2;], temos [;\vec{r}(3\pi/2) = (a,-a,\sqrt{2}a);]
Para [;t = 2\pi;], temos [;\vec{r}(2\pi) = (2a,0,0);]
Para [;t = 5\pi/2;], temos [;\vec{r}(5\pi/2) = (a,a,-\sqrt{2}a);]
Para [;t = 3\pi;], temos [;\vec{r}(3\pi) = (0,0,-2a);]
Para [;t = 7\pi/2;], temos [;\vec{r}(7\pi/2) = (a,-a,-\sqrt{2}a);]
Para [;t = 4\pi;], temos [;\vec{r}(4\pi) = (2a,0,0);]

de modo que a curva é simétrica, ou seja, a parte inferior é um reflexo da parte superior. Assim, usando a expressão

[;L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x^{\prime}(t)^2 + y^{\prime}(t)^2 + z^{\prime}(t)^2}dt;]

podemos achar o comprimento da curva de Viviani. Para isto, note que
[;x^{\prime}(t) = -a\sin t;]
[;y^{\prime}(t) = a\cos t;]
e
[;z^{\prime}(t) = a\cos(t/2);]
Logo,

[;L = 2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + [a\cos(t/2)]^2}dt;]

[;=2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^2 + a^2\cos^2(t/2)}dt;]

[;=2a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1 + \cos^2(t/2)}dt = \dfrac{2a}{\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3 + \cos t}dt;]

[;=\sqrt{2}a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{3 + \cos t}dt = 15,281a;]

Observação: A última integral é uma integral elíptica do segundo tipo e seus valores são tabelados. O resultado numérico acima foi obtido através do software Wolfram Alpha.

Gostará de ler também:
- Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica;
- Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de uma Folha;
- Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de duas Folhas;
- As Superfícies de Revolução.

Explorando a Simetria da Parábola Para Resolver Equações Quadráticas

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 18 May 2013 16:42:55 PDT

A resolução de equações ou expressões lineares apresentam poucas dificuldades. Para as equações quadráticas que está presente em diversos problemas elementares e avançados, a técnica aplicada nas equações lineares é insuficiente e novas abordagens devem ser exploradas.

Particularmente, sou contra o uso indiscriminado de alguma fórmula para resolver determinado tipo de problema matemático. A compreensão do processo ou de algum algoritmo é muito mais vantajoso.

Sendo assim, desviaremos da técnica de completar quadrados para resolver as equações quadráticas e veremos um método baseado na simetria do gráfico da função

[;f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{com} \quad a \neq 0 \qquad (1);]

para achar os zeros de [;f;] ou as raízes da equação

[;ax^2 + bx + c = 0 \qquad (2);]

O Método:

Para resolver uma equação quadrática (2), determinamos a abscissa do vértice através da expressão [;x_v = -\frac{b}{2a};]. Em seguida, transformamos a equação dada na variável [;x;] em uma equação quadrática incompleta na variável [;u;]. Achamos suas raízes isolando [;u;] e em seguida, achamos a raízes da equação original. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Ache as raízes reais (caso existirem) das seguintes equações quadráticas:

b) [;2x^2 - x - 1 = 0;]

c) [;x^2 + x + 1 = 0;]

Resolução:

Note que [;x_v = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2};]. Seja [;x = \frac{5}{2} + u;]. Substituindo na equação dada, temos:

[;\biggl(\frac{5}{2} + u\biggr)^2 - 5\biggl(\frac{5}{2} + u\biggr) + 6 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;\frac{25}{4} + 5u + u^2 - \frac{25}{2} - 5u + 6 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;u^2 = \frac{1}{4} \quad u = \pm \frac{1}{2};]

Logo, [;x_1 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2;] e [;x_2 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3;] são as raízes procuradas.

b) [;2x^2 - x - 1 = 0;]

Nesse caso, [;x_v = \frac{1}{4};]. Fazendo [;x = \frac{1}{4} + u;] e substituindo na equação dada, obtemos [;u^2 = \frac{9}{16};], ou seja, [;u = \pm \frac{3}{4};]. Logo, [;x_1 = -\frac{1}{2};] e [;x_2 = 1;].

c) [;x^2 + x + 1 = 0;]

Nesse caso, [;x_v = -\frac{1}{2};]. Sejam [;x_1 = -\frac{1}{2} + u;]. Assim,

[;\biggl(-\frac{1}{2} + u\biggr)^2 + \biggl(-\frac{1}{2} + u\biggr) + 1 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;u^2 + \frac{3}{4} = 0;]

Como esta equação não admite raízes reais, a equação original também não admite.

Justificativa do Método:

Geometricamente, as raízes reais [;x_1;] e [;x_2;] da equação [;(2);] são os pontos resultantes da interseção da parábola com o eixo [;x;]. Deste modo, uma forma simples de achá-los é traçar o gráfico de [;f;] e observar os pontos de interseção da parábola com o eixo [;x;]. Por exemplo, o gráfico de [;f(x) = x^2 - 2x - 3;] é dado por:

Portanto, as raízes são [;x_1 = -1;] e [;x_2 = 3;]. Além disso, é claro que se o gráfico de [;f;] não interceptar o eixo [;x;], não teremos raízes reais.

A pergunta natural que surge em relação ao gráfico de uma função quadrática e as raízes [;x_1;] e [;x_2;] é a seguinte:

"Tem como explorar as propriedades gráficas da parábola para resolver equações quadráticas?"

A resposta é sim. Observando novamente o gráfico anterior, notamos que para cada ponto da parábola [;f(x) = x^2 - 2x - 3;], existe um outro ponto simétrico em relação a reta [;x = 1;]. Desta forma, podemos dizer que esta reta especial, chamada eixo de simetria funciona como um espelho, refletindo a curva à direita na curva à esquerda e vice-versa. Matematicamente, se [;P_1(x_1,y_1);] e [;P_2(x_2,y_2);] são dois pontos da parábola com [;y_1 = y_2;] fica para o leitor mostrar que [;x_1 = -x_2;].

Definição 1: O ponto especial sobre a parábola que é simétrico de si mesmo é chamado vértice e representaremos por [;V(x_v,y_v);].

Como estamos interessados em desenvolver um método para calcular raízes de equações quadráticas, precisaremos conhecer o valor de [;x_v;] em função dos coeficientes da função quadrática (1).

Proposição 1: A abscissa do vértice [;V;] da parábola é [;x_v = -\frac{b}{2a};].

Demonstração: Em particular, as raízes da equação quadrática são simétricas em relação à reta [;x = x_v;]. Assim, denotaremos as raízes [;x_1;] e [;x_2;] da equação [;ax^2 + bx + c = 0;] por

sendo [;u \neq 0;] uma variável de transformação. Note que [;0 = f(x_1) = f(x_v - u) \quad \Rightarrow;]

[;0 = a(x_v - u)^2 + b(x_v - u) + c \qquad (3);]

[;0 = f(x_2) = f(x_v + u) \quad \Rightarrow;]

[;0 = a(x_v + u)^2 + b(x_v + u) + c \qquad (4);]

Fazendo (3) - (4), temos:

[;0 = a[(x_v + u)^2 - (x_v - u)^2 + 2bu \quad \Rightarrow;]

[;\quad 4x_vua = -2bu \quad \Rightarrow \quad x_v = -\frac{b}{2a};]

Proposição 2: A equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;] pode ser escrita na variável [;u;] na forma [;k_1u^2 + k_2 = 0;] através da translação [;x = x_v + u;], sendo [;k_1, k_2;] constantes reais.

Demonstração: Substituindo [;x = x_v + u;] na equação quadrática, temos:

[;a(x_v + u)^2 + b(x_v + u) + c = 0 \quad \Rightarrow;]

[;ax_{v}^{2} + 2ax_vu + au^2 + bx_v + bu + c = 0 \quad \Rightarrow;]

Usando a Prop. 1, segue o resultado.

Portanto, dada a equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;], o primeiro passo do método é achar através da Prop. 1 a abscissa [;x_v;] do vértice. Em seguida, usamos a Prop. 2 para transformar a equação quadrática dada na variável [;x;] para a variável [;u;]. Esta nova equação não possui o termo linear e as raízes reais ou complexas podem ser determinadas isolando [;u;]. Logo, [;x = x_v \pm u;].

Gostará de ler também:

- A Parábola e as Funções Quadráticas;

- Fatoração do Trinômio Quadrático em Z.