FATOS MATEMÁTICOS

Voltando as Atividades

2018-01-08T22:33:00.000-02:00

Olá a todos!

Após 4 anos de paralisação do blog por diversos motivos, sendo que um deles foi a não renderização das equações dos posts, resolvi voltar as atividades na plataforma Wordpress.

Neste novo projeto, o blog terá três vertentes: Matemática Básica, História da Matemática e Matemática Superior. A ideia é republicar muitos dos posts apresentados aqui e também apresentar novos assuntos da Matemática Superior.

O endereço do novo blog é https://fatosmatematicos.com/ e gostaria de tê-los como seguidores nesta nova jornada.

Desta forma, aviso a todos os visitantes que este blog será desativado assim que o novo atingir 100 postagens.

Atenciosamente,

Prof. Paulo Sérgio C. Lino

Aplicação da Regra dos Trapézios na Determinação do Centroide de Placas Planas Curvilíneas

2014-02-03T13:45:00.001-02:00

Neste semestre, lecionei a disciplina de Mecânica Aplicada e um dos tópicos apresentados é a determinação do centro de massa ou centroide de placas planas.

Se a placa é uniforme e homogênea, o que ocorre na maioria dos casos, o centro de massa da placa localiza-se em seu centro geométrico e é chamado de centroide. Além disso, se o contorno (borda) da placa são formados por segmentos de retas, podemos decompô-la em outras figuras geométricas conhecidas e achar facilmente o centroide. Podemos citar como exemplo, uma placa formada pelas sete figuras do quebra-cabeça tangram. Esta técnica foi usada com um trabalho teórico-prático apresentado pelos meus alunos conforme a figura abaixo:

Não entrarei em detalhes da determinação de placas planas na forma de tangrams, devido a simplicidade matemática o qual envolve o cálculo de áreas de triângulos, quadrados, paralelogramos e somatórios.

Em algumas situações, tais como em projetos de lajes, temos placas planas com ou sem furos, cujos contornos são curvilíneos e para determinar as coordenadas do centroide, devemos usar integrais definidas e mais ainda, dependendo da função que representa o contorno curvilíneo, devemos usar métodos numéricos de integração. Isto também foi explorado em um trabalho teórico-prático.

Para confeccionar as placas, usamos papel milimetrado A4, variando de 1 em 1 cm e as funções foram escolhidas de modo que as integrais para o cálculo dos momentos e da área fossem inviáveis analiticamente. Além disso, o intervalo da variável independente x foi [;[0, \ 2,8 \ dm];] para que o gráfico ficar na região delimitada pela folha A4. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma placa plana de contorno curvilíneo.

Observe que a área da placa acima é dada pela integral

[;A = \int_{0}^{2,8}f(x)dx = \int_{0}^{2,8}[1,5 + 0,2\sqrt{x}\cos(2x^2)]dx \qquad (1);]

As placas foram confeccionadas com material uniforme e homogêneo, de modo que o momento em relação ao eixo x é dado por

[;M_x = \int \int_R ydA = \frac{1}{2}\int_{0}^{2,8}f(x)^2dx \qquad (2);]

e o momento em relação ao eixo y é dado por:

[;M_y = \int \int_R xdA = \int_{0}^{2,8}xf(x)dx \qquad (3);]

Das expressões (1), (2) e (3), segue que:

[;\bar{x} = \frac{M_y}{A} \quad \text{e} \quad \bar{y} = \frac{M_x}{A};]

Devido a escolha das funções, algumas das integrais acima não podem ser resolvidas por métodos analíticos. Assim, para achar a área, optamos pelo método dos trapézios e pelas expressões acima, segue que as coordenadas do centroide são dadas pelas expressões:

sendo a função calculada em pontos com espaçamento igual a 0,05. Deste modo, a área da placa é dada por:

Uma forma de realizar esses cálculos é através do Excel, mas preferimos construir uma tabela que foi preenchida usando uma calculadora Cásio fx82 fixada em quatro casas decimais. Abaixo, temos o cabeçalho da tabela

O centroide encontrado desta forma foi marcado na placa confeccionada e verificado de forma experimental através de dois métodos. O primeiro foi pendurando a placa por um pequeno furo e observando se o fio de prumo passava pelo centroide e o segundo método experimental foi equilibrar a placa (tangram ou região delimitada pela curva) em um prego vertical conforme a figura abaixo:

Barco feito de Tangram equilibrando em uma placa com um prego.

Foi impressionante observar que o centroide de todas placas calculados de forma numérica através da regra dos trapézios concordavam perfeitamente com o centroide obtido de forma experimental.

Gostará de ler também:

- A Regra dos Trapézios Para o Cálculo de Integrais Definidas.

Aumento de Preço Versus Diminuição do Poder de Compra

2014-01-17T16:56:00.002-02:00

O objetivo do presente trabalho é mostrar aos leitores como se calcula a redução percentual do poder de compra de um produto em virtude do aumento de seu preço. Vejamos um exemplo que pode ocorrer com você num determinado momento:

Suponha que você vinha comprando um determinado produto por R$ 10,00, mas hoje o produto está custando R$ 12,50, pergunta-se em termos percentuais qual foi o aumento do preço do produto?

Resolução:

Seja PA = Preço Antigo, PH = Preço Hoje e i = Taxa de aumento. Dados PA = R$ 10,00, PH = 12,50, queremos calcular o valor da taxa i, ou seja,

[;i = \biggl(\frac{PH - PA}{PA}\biggr)100 = \biggl(\frac{12,50 - 10,00}{10,00}\biggr)100;]

ou seja, i = 25%.
Ora se você tem R$ 10,00, mas o produto custa R$ 12,50, pergunta-se:

Em termos percentuais de quanto diminuiu o poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução:
Temos a seguinte regra de três: se 100% corresponde a R$ 12,50, quanto x% corresponde a R$ 10,00?

[;\frac{100 \ \text{por cento}}{x} = \frac{12,50}{10,00} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{x} = \frac{12,50}{10,00};]

Resolvendo, obtém-se [;x = 0,80;] ou x = 80%.

Resposta: Os R$ 10,00 que você tem hoje, que antes tinha um poder de compra de 100%, agora só tem 80% do poder de compra.

Se os R$ 10,00 corresponde a 80% do poder de compra, qual foi a redução em termos percentuais, do poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução:

Para achar a redução, basta usar a fórmula do desconto comercial:

[;D = N(1 - id);]

na qual D é o desconto, N o valor nominal e id a taxa de desconto.
Dados D = R$ 10,00, N = R$ 12,50, queremos achar id. Note que

[;10 = 12,50(1 - id) \quad \Rightarrow \quad id = 0,20;]

ou seja, id = 20%.

Resposta: A redução em termos percentuais, do poder de compra de R$ 10,00 foi 20%. Falando economicamente, diz-se que 20% é a desvalorização da moeda.

Sejam id a taxa de desvalorização da moeda e ip a taxa de valorização da moeda ou correção monetária.

Se id = 20%, qual deve ser o valor de ip a fim de os R$ 10,00 voltem a ter 100% de poder de compra?

Resolução:

Para encontrar o valor de ip, basta achar a correção monetária:
1 - id = diminuição do poder de compra da moeda
1+ ip = correção monetária

Como o produto (1 - id) por (1 + ip) tem que ser igual a 100% do poder de compra da moeda, logo:

[;(1 - id)(1 + ip) = 1;]

Como id = 20%, segue que

[;(1 - 0,20)(1 + ip) = 1 \quad \Rightarrow \quad ip = 0,25;]

ou ip = 25%.

Resposta: A correção monetária deve ser de 25%, ou seja, o mesmo percentual de aumento do preço do produto.

O aumento de preço de um produto não significa necessariamente inflação, haja vista que para haver inflação tem que haver um aumento generalizado dos preços de todos os produtos que compõem a cesta básica. A cesta básica é composta por centenas, ou até milhares de produtos; dependendo da dimensão da economia do país que se está coletando os preços dos produtos.

Vejamos alguns exemplos do efeito da inflação no salário do trabalhador.

1) Se a inflação acumulada nos meses subsequentes ao seu reajuste salarial foi de 25%, em termos percentuais qual foi a perda de seu salário?

Resolução:
A fórmula que nos dá a correção monetária da moeda é: (1 - id)(1 + ip) = 100% ou

[;id = 1 - \frac{1}{1 + ip} \qquad (1);]

Como se trata de inflação, e não de aumento de preços, vamos designar ip por inflação I e id por perda P. Substituindo na expressão (1), obtém-se:

[;P = 1 - \frac{1}{1 + I} \quad \text{ou} \quad P = \frac{I}{1 + I} \qquad (2);]

Multiplicando o membro da direita da expressão (2) por 100 para obter o resultado em porcentagem, temos:

[;P = \frac{100I}{1 + I};]

Dados I = 25% = 0,25 (taxa de inflação), calcule P (perdas)?
Solução: [;P = \frac{100\cdot 0,25}{1,25} = 20;]%
Resposta: A perda foi de 20%, ou seja, seu salário perdeu 20% do poder de compra.

2) Se em virtude da inflação seu salário perdeu 20% do poder de compra, qual deve ser o reajuste a fim de que ele volte a ter 100% de poder de compra?

Resolução:
Designando ip por R (Reajuste) e id por P (Perda) e substituindo em (1), obtém-se:

[;P = \biggl(1 - \frac{1}{1 + R}\biggr)\cdot 100 \quad \Rightarrow \quad R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100;]

Dados: P = 20% = 0,20 (Perda), queremos achar R.
Solução:

[;R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100 = \biggl(\frac{0,20}{1 - 0,20}\biggr)\cdot 100;]

Resolvendo, encontramos R = 25%.
Resposta: A fim de que o seu salário volte a ter o mesmo poder de compra de 100%, ele tem de ser reajustado em 25%.

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado pela UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB.

Gostará de ler também:
- Como Encontrar a Taxa de Juros nas Compras em Prestações;
- Três Fórmulas no Sistema de Amortização Constante (SAC) que não Existem em Nenhum Livro de Matemática Financeira.