FATOS MATEMÁTICOS

Segmentos Parabólicos Via Geometria Analítica

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 29 Jan 2012 04:16:02 PST

Introdução:

Historicamente os gregos abordavam as parábolas, elipses e hipérboles através das seções cônicas que são resultantes da interseção de um plano com um sólido gerado pela rotação de um reta em torno de um eixo vertical (clepsidra). As seções cônicas possuem diversas aplicações na Matemática, na Física, principalmente em Astronomia.

Arquimedes (287-212 a.C.) em seu livro Quadratura da Parábola apresentou dois métodos para calcular a área de um segmento parabólico: o método da alavanca e o método da exaustão. Ele não conseguiu determinar a área de um segmento elíptico e hiperbólico, pois enquanto que a quadratura de um segmento parabólico envolve apenas um polinômio, a quadratura de segmentos elípticos e hiperbólicos envolvem funções transcendentes, mas é interessante observar que ele descobriu que a área de uma elipse é equivalente a área de um círculo cujo raio é a média harmônica dos semi-eixos da elipse.

Neste artigo, apresentaremos algumas propriedades dos segmentos parabólicos usando as ferramentas da Geometria Analítica. A reta tangente a um segmento parabólico serão abordados de forma elementar, acessível a um estudante que não teve contato com o Cálculo Diferencial e Integral.

Conceitos e Propriedades:

Definição 1: Um segmento de uma curva convexa (tal como uma parábola, elipse ou hipérbole) é a região limitada por uma reta secante e a porção da curva. (ver figura acima)

Neste texto, a curva convexa é a parábola e a reta secante é a reta determinada pelos pontos e sobre . Assim, um segmento parabólico denotado por é a região limitada pelo segmento e pela parábola .

Definição 2: Seja o segmento parabólico sobre a parábola

Então:
i) O segmento chama-se base do segmento parabólico ;
ii) O ponto sobre mais afastado de sua base é chamado de vértice;
iii) A distância do vértice a base é a sua altura.

Dizer que o ponto está mais afastado da base significa que entre todos os segmentos perpendiculares e limitados pela base e por , é o maior deles.

Proposição 1: Sejam os pontos e sobre a parábola . Então a abscissa do vértice sobre é a média aritmética das abscissas dos pontos e , isto é,

Demonstração: Sejam um ponto sobre de modo que é paralelo ao eixo , a equação da reta que passa pelos pontos e e , conforme a figura abaixo:

Note que , modo que

Sendo

segue da expressão anterior que

Por definição, é o maior entre todos o segmentos perpendiculares traçados da base . Mas isto ocorre se é a abscissa do vértice da função quadrática acima, ou seja,

Por outro lado, de modo que

Assim,

Substituindo em , temos

Note que o eixo da parábola é paralelo ao eixo . Assim, esta Proposição afirma que toda reta paralela ao eixo da parábola passando pelo vértice de passa pelo ponto médio da base .

Dada a parábola e a reta , existem somente três posições relativas entre elas:

i) e são secantes;
ii) e são tangentes;
iii) e não possuem pontos em comum.

Em cada um dos casos acima, o discriminante da equação quadrática

é positivo, nulo e negativo respectivamente. Assim, podemos definir o conceito de reta tangente ao segmento parabólico de forma algébrica:

Definição 3: Dizemos que é uma reta tangente ao segmento parabólico definido por no ponto se o discriminante da expressão

é nulo.

Proposição 2: A reta é tangente no ponto definido por se .
Demonstração: De fato, sendo , então, pela definição acima, o discriminante da equação quadrática

é nulo, isto é,

donde segue o resultado.

Proposição 3: A reta tangente que passa pelo vértice do segmento parabólico definido por é paralela a base .

Demonstração: Pela Prop. 1, a abscissa do vértice do segmento parabólico é . Pela Prop. 2, o coeficiente angular da reta tangente passando por é

Por outro lado,

De e segue o resultado.

Exercício Proposto: Sejam o ponto médio de , o vértice do segmento parabólico sobre a parábola e a reta tangente passando pelo ponto . Se é a interseção de com o prolongamento de , então .

Gostará de ler também:
- A Parábola e as Funções Quadráticas;
- Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas;
- A Propriedade Refletora da Parábola;
- O Problema da Bola na Cesta;
- Regra de Descartes e a Equação Quadrática;
- O Volume do Barril Parabólico.

Dependência e Independência Linear

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 28 Jan 2012 03:14:12 PST

Em Álgebra Linear, é fundamental conhecermos se um vetor é uma combinação linear de outros.

Definição 1: Sejam um espaço vetorial e . Dizemos que o conjunto é linearmente independente (LI) ou que os vetores são LI se a equação

admite apenas a solução nula, isto é, . No caso em que exista algum dizemos que é linearmente dependente (LD), ou que os vetores são LD.

Exemplo 1: Sejam os vetores e em são linearmente dependentes.

De fato,

de modo que . Assim, escolhendo , por exemplo, , teremos , ou seja, e são LD.

Exemplo 2: Verifique se os vetores , e em são linearmente independentes.

Resolução: A combinação linear nula é dada por:

donde segue que , de modo que os vetores dados são LI.

Observação 1: Dados os vetores , e em , é possível mostrar (exercício) que uma condição necessária e suficiente para que estes vetores sejam LI, é que o determinante formado pelas componentes dos vetores seja diferente de zero, ou seja,

Teorema 1: é LD se, e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros.

Demonstração:
Sejam LD e considere a equação

Segundo a definição um dos coeficientes deve ser diferente de zero. Suponhamos que com . Assim,

ou seja,

Reciprocamente se

para algum , então

ou seja, o coeficiente de é igual a , e portanto, é LD.

Este teorema também pode ser enunciado como segue:

"Um conjunto de vetores LI se, e somente se, nenhum deles for uma combinação linear dos outros."

Teorema 2: Se são LD em um espaço vetorial , então são LD.

Demonstração: Sendo os vetores LD, existem os números reais , nem todos nulos tais que

donde segue que a expressão abaixo é uma combinação linear nula, onde nem todos os coeficientes são nulos.

Teorema 3: Se são vetores LI em um espaço vetorial e são LD, então é combinação linear de .

Demonstração: Sendo LD, então existem os números reais , nem todos nulos tais que

Se , temos a combinação linear

e sendo por hipótese, LI, segue que . Portanto, os vetores são LI. Absurdo.

Exercícios Propostos:

Verifique se as matrizes

são linearmente independentes em .

Mostre que se o conjunto de vetores em um espaço vetorial é LI, então o conjunto de vetores também é.

Prove que, se são vetores LI em um espaço vetorial tal que

então .

Gostará de ler também:
- Sobre os Espaços Vetoriais;
- Sobre os Subespaços Vetoriais;
- Combinação Linear;
- Determinantes Através das Permutações.

Pitágoras de Samos

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 25 Jan 2012 18:08:08 PST

Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemático que nasceu por volta de a Morreu em Metaponto cerca de a

A civilização ocidental deve-se muito a imagem meio mítica de Pitágoras. Atualmente, muitas pessoas pensam-no como um matemático, mas para seus contemporâneos ele era muitas outras coisas - um professor de sabedoria, um profeta religioso, um santo, um mágico, um charlatão, um agitador político; dependendo do ponto de vista. Seus discípulos fanáticos espalharam suas ideias pelo mundo grego, o qual absorveu algumas e ignorou outras.

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais.

Fundou sua escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental, sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

A Matemática começa com ele, no sentido de que ele foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento mantido coeso por provas dedutivas. Foi mesmo o primeiro a usar a palavra mathematike para designar a Matemática, que designava conhecimento ou aprendizado em geral.

Podemos dizer também que a filosofia ocidental começa com ele, no sentido de que suas ideias a respeito da natureza da realidade cristalizaram-se dois séculos após, no âmago do sistema metafísico de Platão, e o pensamento filosófico subsequente no Ocidente tem sido descrito como uma série de notas de rodapé a Platão.

Pitágoras foi contemporâneo de Confúcio, Buda e Zoroastro. Como essas outras grandes figuras da infância da raça, Pitágoras não é conhecido apenas através de lendas e tradições instituídas centenas de anos após sua morte. Em termos gerais, essas tradições coincidem, nascido na Ásia Menor, foi estudioso na juventude e então viajou cerca de anos pelo Egito, Babilônia, Fenícia, Síria e talvez mesmo pela Pérsia e Índia. Durante suas jornadas, aprendeu um pouco de astronomia e matemática empíricas e primitivas.

Ao mais ou menos anos de idade emigrou para a colônia grega de Crotona, no sul da Itália. Lá começou sua vida pública, tornando-se professor e fundando a sua famosa Escola Pitagórica, uma associação semi-secreta com centenas de alunos e que disputa a honra de ser a primeira universidade do mundo.

É possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales, pois era cinquenta anos mais novo do que este e morava perto de Mileto, onde vivia Tales. Pitágoras morreu em Metaponto, talvez assassinado, com uma idade avançada entre setenta e cinco e oitenta anos de idade. A irmandade, embora dispersa, continuou a existir por pelo menos mais dois séculos.

A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética, junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Este grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada.

Como os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e como era costume da irmandade atribuir todas as descobertas ao reverenciado fundador, é difícil agora saber exatamente que descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras e quais devem a outros membros da confraria.

Os números inteiros são abstrações que surgem do processo de contar coleções finitas de objetos. Mas as necessidades da vida diária requerem, além da contagem de objetos individuais, a medição de várias quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para satisfazer essas necessidades básicas referentes a medições necessita-se de frações pois raramente acontece de um comprimento, para citar um exemplo, contar um número exato de vezes uma unidade linear. Definindo-se, assim, um número racional como o quociente com , de dois números inteiros, o sistema dos números racionais é suficiente para propósitos práticos envolvendo medições, uma vez que ele contém todos os inteiros e todas as frações.

Os números racionais comportam-se uma interpretação geométrica simples. Marque dois pontos distintos e numa reta horizontal, ( à direita de ) e tome o segmento como unidade de comprimento. Admitindo-se que os pontos e representem os números e , respectivamente, então os inteiros positivos e negativos podem ser representados por um conjunto de pontos da reta convenientemente espaçados a intervalos unitários, os positivos à direita de e os negativos à esquerda de . As frações podem ser representadas pelos pontos que dividem cada um dos intervalos unitários em partes. Então, para cada número racional, há um ponto da reta. Para os primeiros matemáticos, parecia evidente que todos os pontos da reta seriam usados dessa maneira. Deve ter sido um choque descobrir que há pontos na reta que não correspondem a nenhum número racional. Essa descoberta foi uma das grandes realizações dos pitagóricos. Em particular os pitagóricos provaram que não há nenhum racional ao qual corresponda o ponto da reta no caso que é igual à diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade. Novos números tiveram que ser inventados para serem associados a esses pontos; e não sendo racionais, vieram a se chamar números irracionais. A descoberta desses números assinala um dos grandes marcos da história da matemática.

Em geral, os pitagóricos procuravam a purificação do corpo por meio da austeridade, abstinência e moderação. isto era comum então, e ainda o é em muitas regiões do Oriente. A singularidade de Pitágoras está em seu plano para atingir a purificação da mente: pelo ativo estudo da Matemática e da Ciência. Isto é diametralmente oposto à "meditação" passiva recomendada por muitos cultos místicos, a qual um observador não simpatizante poderia descrever como sendo um pouco mais que reinar sobre o vácuo. Esse plano de Pitágoras é a fonte de sua influência seminal na civilização ocidental e contribuiu em parte para o traço principal dessa civilização do modo como ela vem se desenvolvendo nos últimos anos.

Frase:

...três quintos dele, gênio, e dois quintos, cristalino absurdo.

J.R. Lowell

Referências Bibliográficas:

- Eves, Howard. História da Matemática. Ed. da Unicamp, Campinas, 2002.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. Ed. Makron Books. São Paulo, 1987.
- http://pt.wikipedia.org/

Gostará de ler também:
- Provas do Teorema de Pitágoras (Parte 10);
- Aplicações dos Ternos Pitagóricos (Parte 1);
- O Quebra-Cabeças de Pitágoras.