FATOS MATEMÁTICOS

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 02 Feb 2011 13:12:00 +0000

Problema : O número prateado é definido por . Mostre que é divisível por . Sugestão: Leia o post Algumas Propriedades da Sequência Prateada .

Problema : Determine na figura abaixo a razão entre a área do e a área do .

Problema : Use Cálculo e determine o ponto sobre o plano mais próximo da origem.

Observação: A partir desta edição, o leitor também poderá participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5).

Problema : Mostre que se é um inteiro maior que , então não pode ser um número primo.

Resolução: Para par, é um inteiro par maior que , pois

para . Para ímpar, escrevemos para inteiro. Assim,

Observe que o menor fator dessa expressão pode ser escrito na forma

pois . Logo, não pode ser primo.

Problema : Sejam e dois pontos distintos sobre a parábola . Seja um ponto sobre a parábola conforme figura abaixo. Determine de modo que a área do triângulo seja máxima.

Resolução: Sejam , e os pontos sobre a parábola. Note que e . Sendo

segue que a área do é dada por

Como , então e o valor de é máximo se é o vértice dessa parábola, ou seja, de modo que a ordenada de é igual a . Também temos que

Recebi as excelentes soluções dos leitores Hélio Carvalho e do Luiz Fernando que não envolvem vetores. Para baixá-las click nos nomes acima.

Problema : Num círculo de raio igual a está inscrito um cujos lados e medem e respectivamente. Calcule a altura relativa ao lado .

Resolução: Prolonguemos até o ponto . Seja o pé da perpendicular baixada do ponto . Como , então é retângulo em e sendo , segue que . Assim,

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Todos
- Hélio Carvalho - Prob. ,
- Luiz Fernando - Prob.
- Marcos K. - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas , e encerra no dia 28/02/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
- Teoremas Interessantes Sobre Números Primos.

Uma Visita ao País Plano (Parte 2)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 01 Feb 2011 00:13:00 +0000

Vejamos então a segunda e última parte desta incrível história de Edwin A. Abbot. Sugiro que leia antes a primeira parte e se quiser saber mais recomendo que compre o livro.

Visitante - Não, não e não! Por altura me refiro à uma dimensão análoga à seu comprimento, só que para você a altura não é tão facilmente perceptível, já que é pequeníssima.

Eu - Excelência, cabe comprovar vossa afirmação. V. Sa. diz que eu tenho uma terceira dimensão que chama altura. Pois bem, à esta dimensão há de corresponder uma direção e uma possibilidade de medição. Meça V. Sa. simplesmente a minha altura, ou mostre me, pelo menos, em que direção ela se estende, e eu me convencerei. Se não...

Visitante - Como devo convencê-lo?... Agora escute-me. Você vive em um plano. Este país, que você designa Plano, é igual à superfície de algo que eu poderia classificar com um líquido no qual você se move, sobre seu leito superior, sem poder nem elevar-se nem afundar. Eu não sou uma figura plana, e sim um corpo. Você me chama de círculo, mas na realidade não sou nenhum círculo e sim um número infinito de círculos que variam, em magnitude, desde um ponto até um círculo de de diâmetro, dispostos uns sobre os outros. Quando atravesso seu plano, como agora, então constituo em seu plano uma seção, que você, muito corretamente, chama de círculo. Pois uma esfera - este é meu nome verdadeiro - quando se apresenta aos habitantes de um país plano, deve, necessariamente, fazê-lo como um círculo. Seu plano não é suficiente amplo para mim. Vejo incredulidade em seus olhos. Mas, veja você, eu me elevo, e o efeito aos seus olhos é que meu círculo é cada vez menor, se concentrará num ponto até, finalmente, desaparecer por completo.

"Eu não pude - prosseguiu o narrador, o quadrado com formação matemática - ver realmente sua elevação. Vi entretanto, que se fez cada vez menor, acabando por desaparecer. Esfreguei os meus olhos para certificar-me de que não estava sonhando. Mas não era sonho, pois, das profundezas inlocalizáveis, me chegou uma voz grave".

Visitante - Está agora convencido? Pois bem, vou regressar gradualmente e você verá como minha seção se fará cada vez maior.

"Porém, apesar de ter diante de mim o fato, suas causas permaneceram tão obscuras quanto antes. Tudo o que pude perceber foi que o círculo se fazia cada vez menor e desaparecia e que agora reaparecia e se agrandava. Quando chegou a alcançar seu tamanho ordinário, ouvi-o exalar um profundo suspiro, pois ele observou, pelo meu silêncio, que não o havia compreendido. Eu estava inclinado a crer que fosse um enviado especial ou um ilusionista. Após uma longa pausa ele murmurou para si mesmo: - Devo tentar pelo método da analogia."

Visitante - Diga-me, senhor Matemático, se um ponto se desloca um pouco para o norte e deixa atrás de si uma esteira luminosa, que nome daria você à esta esteira?
Eu - Uma reta.
Visitante - E quantas extremidades tem uma reta?
Eu - Duas.

Visitante - Considere, agora, que esta linha que cursa para o norte se desloque paralelamente a si mesma, de leste para oeste, de forma que cada ponto deixa atrás de si a esteira de uma reta. Que nome dará à figura assim formada?

Eu - Um quadrado.

Visitante - E quantos lados tem um quadrado? Quantos ângulos?
Eu - Quatro lados e quatro ângulos.
Visitante - Vamos agora dar mais rigor à sua faculdade representativa. Imagine-se você, um quadrado, no País Plano, que se desloca paralelamente a si mesmo para cima.

Eu - Como? Para o norte?

Visitante - Não! Não para o norte! Para cima. Para além do País Plano. Eu me refiro a que todo ponto do que você chama seu interior, se desloque para cima através do espaço, de tal forma que nenhum ponto passe pelo lugar que foi antes ocupado por outro ponto. Entendeu?

"Eu reprimi minha impaciência, - disse o quadrado - pois senti uma forte gana de precipitar-me sobre meu visitante e lança-lo ao espaço, além de nosso país! Mas respondi"

Eu - E de classe deve ser a figura formada mediante este movimento para cima? Penso que poderá ser descrita em minha linguagem?
Visitante - Certo. É muito simples. Você deve falar referindo-se à ela, não em Figura, mas em Corpo. Façamos uma analogia. Comecemos por um único ponto que, por ser um ponto, só tem um ponto final. Um ponto gera uma linha, que tem dois pontos finais. Uma linha gera um quadrado, com quatro pontos finais. Agora podemos responder a sua pergunta: 1,2,4, é evidentemente, uma série geométrica. Qual o próximo termo da série?

Eu - Oito.
Visitante - Certo. O quadrado gera algo para o qual não tem você, até agora, um nome, porém que chamaremos Cubo, com oito pontos finais. De acordo?

Eu - E tem essa criação também quantos lados e quantos vértices, ou pontos finais, como V. Sa. os chama?
Visitante - Naturalmente! E correspondem por completo à analogia. Não se chamam, porém, lados, e sim faces. Esta criação é um "corpo".
Eu - E quantas faces teria então esse corpo, originado pelo movimento de meu interior para cima, e que V. Sa. chama cubo?
Visitante - Como pode você fazer uma pergunta dessas? Você, um matemático! Um ponto tem "0" faces, uma linha, por assim dizer, 2, um quadrado, 4. Veja bem: zero, dois, quatro... Com se chama esta série?

Eu - Aritmética.

Visitante - E qual o termo seguinte?
Eu - Seis.
Visitante - Perfeitamente! De acordo! Vê como você respondeu à sua pergunta? O cubo que você pode gerar está limitado por seis faces, quer dizer, por seis das faces internas de um quadrado. Está agora claro?
"Espetacular! - exclamou eu - V. Sa. um ilusionista, um mágico, um visionário ou um demônio, não suporto mais suas enganações! - E me lancei sobre ele".

Gostará de ler também:
- Uma Visita ao País Plano (Parte 1).

Fatocruzadas (Parte 5)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 27 Jan 2011 06:50:00 +0000

Se você é um leitor assíduo do blog e gosta de testar seus conhecimentos matemáticos, convido-o a responder as questões abaixo nesta quinta edição do Fatocruzadas. Para baixar a versão em pdf click na imagem ao lado. Para baixar a solução da Fatocruzadas (Parte 4) (click aqui).

Invenção Matemática do século XVI que auxiliou muitos astrônomos a realizarem seus cálculos.

Ele desenvolveu as bases matemáticas da computação moderna.

Nome da obra escrita por Euclides tão famosa quanto a biblia.

Contribui juntamente com Pierre de Fermat no desenvolvimento da Teoria das Probabilidades e inventor de uma máquina de calcular no século XVII.

Responsável pela introdução dos algarismos arábicos na Europa.

Sistema de numeração usados pelos babilônicos.

Demonstrou o Último Teorema de Fermat no final do século passado.

Através dele podemos achar a projeção de um vetor.

Matemático alemão que ficou famoso por demonstrar o teorema fundamental da Álgebra.

Nome dado a uma curva que representa um cabo suspenso.

Gostará de ler resolver também:
- Fatocruzadas (Parte 1);
- Fatocruzadas (Parte 2);
- Fatocruzadas (Parte 3);
- Fatocruzadas (Parte 4).

Uma Breve História do Cálculo Fracionário

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 26 Jan 2011 11:52:00 +0000

Será que existe a derivada meiésima de uma função? Embora para a maioria dos profissionais de exatas, isto parece um absurdo, neste post veremos que o Cálculo Fracionário é tão antigo quanto a própria história do Cálculo.

O Cálculo Fracionário surgiu com a notação da derivada criada por Leibniz em , especificamente em uma carta do Marquês de L'Hôspital

"Sua notação... caro amigo Leibniz, para derivadas agradou-me muito, porém tenho uma dúvida. Qual é a interpretação matemática quando for , , , etc.?..."

A resposta de Leibniz a L'Hôspital é a seguinte:

"...Sua pergunta é um paradoxo. No entanto, estou certo de que, mais dias, menos dias, alguém encontrará um interpretação e consequentemente aplicará as derivadas fracionárias!..."

Brilhantes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Laplace, Fourier, Abel, Heaviside, Liouville, entre outros estudaram o assunto levando às primeiras definições de derivadas e integrais de ordens não-inteiras e que no final do século XIX, devido as definições propostas por Riemann e Liouville pareciam estar completas.

A idéia de um derivada de ordem genérica também não escapou da atenção de Euler que em escreveu que a dificuldade em se obter tais derivadas poderia ser mais bem entendida com o auxílio de interpolações na derivada.

Já Lagrange contribuiu de maneira indireta para o Cálculo Fracionário quando, em , desenvolveu a assim chamada lei dos expoentes, isto é

Embora tenha sido demonstrado que a lei dos expoentes não é válida para toda função , quando e são arbitrários, esta foi de grande utilidade no desenvolvimento da teoria do Cálculo Fracionário.

Em , Laplace definiu a derivada fracionária em termos de uma integral, e em a primeira menção, em um texto científico, às derivadas de ordem fracionária foi feita por Lacroix. Em um livro de mais de páginas, Lacroix dedicou menos de duas destas a um problema que visava obter a derivada de ordem fracionária de um polinômio . Para tanto, partiu do seguinte fato: No caso em que é um número natural temos, para , que

sendo assim, fazendo uso da função gama

poder-se-ia concluir que quando não é um número natural, temos

Um caso particular da equação acima pode ser obtido tomando-se e , para obter

É interessante notar que apesar de ser em certa instância ingênua, a dedução feita por Lacroix coincide, neste caso, com a obtida pelo método mais aceito nos tempos atuais, ou seja, o método proposto por Riemann-Liouville, entretanto esta, ao contrário daquela, possibilita várias aplicações interessantes. Uma primeira aplicação do Cálculo Fracionário foi a solução do problema da Tautócrona apresentada por Abel em .

Até o final do século XIX, o desenvolvimento do Cálculo Fracionário deu-se estritamente no campo da matemática pura, sem grandes aplicações em outras áreas. Entretanto, em M. Caputo resolveu problemas de viscoelasticidade utilizando uma nova definição, proposta por ele, para a derivada de ordem fracionária. Sua definição de derivada fracionária também foi usada para descrever problemas de sismologia.

A maneira canônica de se utilizar o cálculo fracionário para refinar a descrição de um fenômeno é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que o descreve, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, este método nos conduz a equções diferenciais de ordem não-inteira e à necessidade de se resolver tais equações; entretanto métodos efetivos de se resolver tais equações não podem ser encontrados nem nos mais avançados trabalhos acerca do Cálculo Fracionário. Isto somado ao fato de termos uma série de definições não equivalentes para a derivada fracionária e uma não evidente interpretação nem física nem geométrica, contribuiu para a não utilização em larga escala do Cálculo Fracionário.

Outro fator que faz com que a solução de uma equação diferencial de ordem não-inteira costume ser mais complexa do que a da respectiva equação de ordem inteira advém do fato de o conhecimento das funções inerentes ao Cálculo Fracionário não ser tão avançado quanto o conhecimento das funções relacionadas ao Cálculo de ordem inteira, as assim chamadas funções especiais.

Dentre as funções relacionadas ao Cálculo Fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, que tem um papel fundamental no estudo de equações diferenciais de ordem não-inteira. A função original, contendo um parâmetro complexo, foi introduzida em pelo matemático sueco Gosta Mittag-Leffler como uma generalização para a função exponencial. Em Wiman e mais tarde Humbert-Agarwal introduziram a assim chamada função de Mittag-Leffler de dois parâmetros como uma possível generalização para a função de Mittag-Leffler original. Esta função tem aplicação em diversos problemas envolvendo derivadas fracionárias.

Em , Lorenzo e Hartley propuseram uma interpretação geométrica para esta derivada utilizando esta mesma definição. Nas últimas décadas diversos autores mostraram que a modelagem feita a partir do Cálculo Fracionário oferece uma descrição mais fina de fenômenos naturais que aquela feita a partir do Cálculo usual, proporcionando um excelente ferramenta para descrever as propriedades hereditárias de diversos materiais, como por exemplo, polímeros.

Referência Bibliográfica:

- Camargo, Rubens de Figueiredo. Cálculo Fracionário e Aplicações. Tese de Doutorado, Unicamp, Campinas, 2009.

Gostará de ler também:
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Uma Breve História das Funções Elípticas.

Sobre a Divisão de Polinômios

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 24 Jan 2011 11:51:00 +0000

Dividir o polinômio pelo polinômio não identicamente nulo significa obter dois polinômios (quociente) e (resto) que verficam as seguintes condições:

i) ;

ii) ou .

Observação 1: O símbolo "" é usado para expressar identidade entre polinômios e significa que a expressão é válida para todos os valores de . Além disso, é o grau do polinômio, isto é, se e somente se e todos os coeficientes com índices maiores que são nulos.

Exemplo 1: Efetue a divisão de por .

Resolução: Note que ou o grau de é no máximo um, pois . Assim,

O próximo passo é determinar o grau de . Da expressão , segue que

e para que essa expressão seja válida,

Em geral, é possível provar que . Para obter e , substituímos em e resolvemos a identidade polinomial:

donde segue que

Logo,

Podemos também obter o quociente e o resto da divisão de dois polinomiais pelo método da chave (divisão euclideana) para o qual adotamos o seguinte roteiro:

i) Ordenar os polinômios e segundo as potências decrescentes de ;

ii) Dividimos o primeiro termo de pelo primeiro termo de para obtermos o primeiro termo de . Em seguida multiplicamos o primeiro termo de por , subtraindo de o produto obtido. O resultado é o primeiro resto parcial .

iii) Repetimos para o procedimento de ii) e assim sucessivamente até que o grau do resto fique menor que o grau de ou, no caso de divisão exata, que o resto seja nulo.

Exemplo 2: Obtenha o quociente e o resto das divisões de por .

Resolução: Usando o método da chave, obtém-se e conforme a primeira imagem do post.

Proposição 1: O resto da divisão de um polinômio pelo binômio é .

Demonstração: De fato,

onde pois . Fazendo em , temos .

Exemplo 3: O resto das divisões de por e são:

Corolário 1: Um polinômio é divisível por se e somente se .

Demonstração: Segue diretamente da Prop. 1.

Exemplo 4: Mostre que se um polinômio é divisível por e com , então é divisível por .

Resolução: Basta mostrar que o resto da divisão de por é zero. De fato,

Mas,

Assim,

Desse sistema concluímos que ou seja, .

Exercícios Propostos:

1) Determine o quociente e o resto da divisão de por .

2) Mostre que é divisível por .
3) Mostre que é divisível por , sendo .

4) Um polinômio quando dividido por dá resto e dividido por dá resto . Obter o resto da divisão de por . R:

Gostará de ler também:
- Blocos Algébricos no Ensino Fundamental;
- As Relações de Girard;
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 2).

A Dobradura de Comprimento Mínimo

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 22 Jan 2011 12:56:00 +0000

Neste post exploraremos uma simples brincadeira que é a dobradura de papel apresentada no seguinte problema de minimização:

Uma folha de papel retangular de largura e comprimento , é colocada no lado maior oposto, como mostra a figura acima, e deixando lá enquanto se dobra e se marca a folha. O problema é determinar o valor de de modo que a tornar o comprimento do vinco o menor possível.

Resolução: Na figura acima, o ponto estava originalmente em . Sejam e . Assim, devido a dobradura , sugiro que experimente dobrar uma folha de papel buscando minimizar antes de ler o final desta solução. Por construção, os triângulos e são congruentes, de modo que e . Assim,

Sendo , segue que

Por outro lado,

Substituindo e em , temos:

Um outro modo de determinar é o seguinte: Considere o quadrilátero . Como , então , de modo que é um quadrilátero inscritível. Aplicando o teorema de Ptolomeu, temos que:

No , retângulo em ,

Substituindo em , segue que

que é a mesma expressão obtida em . Observe que , ou seja, . Derivando esta expressão, temos

é o único ponto crítico admissível e pela natureza do problema, este valor irá minimizar a função .

Da solução encontrada, podemos a partir de uma folha retangular qualquer, construir a dobradura de comprimento mínimo do seguinte modo:

Dividimos a folha em partes no sentido longitudinal conforme a figura abaixo. Dobre a folha, de modo que o vértice encontre o lado no ponto e o vértice fique sobre a terceira linha que está a de distância de .

Referência Bibliográfica:

- Thomas, George B. Cálculo, Vol. 1, edição. Addison Wesley, São Paulo, 2009.

Gostará de ler também:
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica;
- O Cálculo no Meio Rural;
- A Caixa com Tampa de Volume Máximo;
- O Ângulo Ótimo de Visualização.

Uma Visita ao País Plano (Parte 1)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 21 Jan 2011 02:07:00 +0000

Edwin A. Abbot, inglês, escreveu em um livro, cuja ação desenvolve-se num país "plano" (Flatland). O personagem principal é um Quadrado, bom matemático, que conta uma história de dimensões. Antes de dar a palavra ao Quadrado, seja-nos permitido explicar que, da mesma forma como nós percebemos três dimensões, todos os habitantes do País Plano só podem perceber duas. O fato desse país estar mergulhado numa tênue nuvem, só permite aos seus habitantes apreciar distâncias: quanto mais próxima está uma figura, ou mais exterior de uma figura, como diria Euclides, tanto mais fácil e claramente se a pode reconhecer. As figuras mais longínquas, ou suas partes, aparecem, ao contrário, obscuras e desvanecidas. Deste modo podem diferenciar-se linhas curvas, retas, ângulos e arestas. Além disso, existe nesse país um provérbio que diz "melhor bem tocado que mal visto". Os seres bidimensionais do país plano são das mais diversas configurações. O narrador, como já dissemos tem a forma de um quadrado. Sua mulher, como, aliás, todas as mulheres do País Plano, têm a forma de uma linha reta. Trabalhadores e soldados são triângulos equiláteros. Os funcionários e o governador são polígonos regulares e o sacerdote tem a forma de um círculo que tem a propriedade de crescer e contrair-se. O Quadrado conta, para seus conterrâneos, seu diálogo com a a Esfera:

Devido ao tamanho deste diálogo, dividi em duas partes para os leitores para aguçar a curiosidade dos leitores.

- "Aproximei-me do forasteiro com a intenção de examiná-lo mais atentamente e roguei-lhe que se sentasse. Porém, a impressão que tive me deixou mudo e estupefato. Sem o menor sinal de constituição angular, modificou-se, entretanto, seu tamanho. Eu estava em minha casa e não havia nuvens, mas foi para mim muito difícil acreditar no que via, ainda que fosse tão pequena a distância entre nós. Tomado pelo temor, aventurei-me a uma atitude bastante descortês:
-Posso tocá-lo? - perguntei. Não possuía um ângulo sequer. Estava rígido, era um círculo perfeito, sobre isso eu não tinha a menor dúvida. Tivemos, então, o seguinte diálogo, que vou esforçar-me para transcrever aqui com a maior clareza possível".
Visitante - Já me observou bastante?
Eu - Respeitável senhor; perdoa-me as indiscrições, que têm sua razão não num desconhecimento das regras de boa educação e cortesia, mas sim no estado de surpresa e nervosismo pela sua inesperada visita. Porém, antes que V. Sa. entre na conversação, poderá designar-se satisfazer à ânsia de um cidadão que deseja saber de onde vem seu visitante?
Visitante - Do espaço, naturalmente. De onde mais poderia ser?

Eu - Perdoa-me, senhor. Porém, não estamos nós aqui igualmente no espaço, V. Sa. e eu, vosso humilde servidor?
Visitante - Ora pois! Que entende você por espaço? Explique-me!
Eu - O espaço, Excelência, é infinitamente extenso em comprimento e largura.
Visitante - Mas como?! Você não sabe o que é espaço! Imagina-o apenas com duas dimensões: comprimento e largura. Porém, cheguei aqui para mostrar-lhe uma terceira: a altura.

Eu - V. Sa. está brincando! Nós também falamos de comprimento e largura, de longitude e amplitude e designamos, assim, duas dimensões com quatro nomes.

Visitante - Mas eu estou falando de três nomes, ou seja, de três dimensões: comprimento, largura e altura.
Eu - Quer V. Sa. mostrar-me ou explicar-me em que direção se encontra a terceira para mim desconhecida?
Visitante - Eu venho dela. É acima e abaixo. Sobre nós e abaixo de nós.
Eu - Vossa Excelência refere-se, evidentemente, ao Norte e ao Sul?
Visitante - Não! Não! Eu não disse isto. Eu me refiro à uma direção para a qual você não pode olhar, porque não tem olho algum desse lado.
Eu - Perdoa-me, senhor, mas um rápido exame o convencerá de que tenho um olho em cada vértice. E são ótimos!
Visitante - Sim. Mas para poder ver no espaço você deveria ter um olho não em seu perímetro, mas no rosto, quer dizer, no que chamará, talvez, seu interior. Nós, do País Espacial, o chamamos seu rosto.
Eu - Um olho no meu interior!? No meu estômago!? O senhor está brincando.
Visitante - Não. Não estou brincando. Eu digo a você que venho do espaço, ou, se não entende o que é espaço, do país das três dimensões, donde posso ver seu plano, o que chama de espaço. Desde daquele ponto de vista, eu consigo ver o quee você chama de corpo, suas casas, suas igrejas, seus estômagos. Tudo se encontra aberto e exposto a minha vista.
Eu - Tais afirmações são um tanto precipitadas, meu senhor!
Visitante - Não são facilmente demonstráveis, quer você dizer. Quando desci até aqui, vi seus quatro filhos, os pentágonos, cada um em sua casa, e mais seus netos, os hexágonos. Vi a seu mais jovem hexágono permanecer um momento com você e, então, voltar para casa dele e sua senhora deixá-lo ir sozinho. Então, como pensa você que cheguei aqui?
Eu - Presumivelmente através do telhado.
Visitante - Não foi assim. Como você sabe, seu telhado foi consertado faz pouco tempo e não tem furo. Eu volto a dizer, venho do espaço. Não conseguir convencê-lo pelo que contei de sua família?
Eu - Vossa Excelência me trata como se fosse um ignorante, que nada entendesse de matemática e aceitasse que uma linha reta tem só uma dimensão. Não meu senhor, nós os quadrados, temos uma resposta melhor: uma mulher ainda que chamada linha reta, é, em realidade e cientificamente, um paralelogramo muito estreito mas que, como nós, também tem duas dimensões: comprimento e largura.
Visitante - Entretanto, o simples fato de que uma reta seja "visível" pressupõe a existência de outra dimensão.

Eu - Nós "vemos" apenas o comprimento, mas "deduzimos" a largura da reta.

Visitante - Você não está entendendo. Se uma linha reta fosse um mero comprimento sem largura, cessaria de ocupar espaço e deveria, por isso, ser invisível.

Eu - Devo, desde logo, reconhecer que, em essência, não o compreendo. O que a faz visível é a claridade. No escuro não a vemos. Devo interpretar que V. Sa. considera a "claridade" como uma dimensão, e que chama "altura" ao que chamamos "claro"?

Continuarei esse diálogo no próximo post. Aguardem!

Fonte: Texto divulgado em agosto de 1979 pelo Prof. Eng. Ernesto Guilherme Walter, do Departamento de Arquitetura da Unb.

Uma Desigualdade Entre o Circunraio e o Inraio de um Triângulo

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 19 Jan 2011 02:05:00 +0000

O inraio de um é o raio da circunferência inscrita e o circunraio é o raio da circunferência circunscrita. Neste post, provaremos que e a igualdade é válida se e somente se o é equilátero.

Leonhard Euler apresentou uma fórmula para calcular a distância entre o circuncentro e o incentro de um dada por . Assim, o fato que é uma consequência direta desta expressão. A demonstração apresentada neste post requer vários resultados preliminares, todos ao alcance dos leitores.

Proposição 1: Se , e são ângulos em um triângulo acutângulo , então

Demonstração: Do fato que a função cosseno é côncava no intervalo , segue da desigualdade de Jensen com que

Observação 1: O resultado continua válido se o é obtusângulo.

De fato, suponhamos que . Assim,

Proposição 2: Em um vale a desigualdade

Demonstração: Sendo

segue que

Assim,

Mas,

de modo que

De e , segue que

Mas,

Substituindo em , temos:

pois,

Usando o Proposição 1, segue que

donde segue o resultado.

Proposição 3: Se é o semi-perímetro do , então

Demonstração: Ver a seção de Problemas (Parte 5).

Proposição 4: A área de um pode ser calculada pelas expressões:

sendo o circumraio e o inraio.

Demonstração: Para provar a primeira expressão basta ligar o incentro aos vértices do e notar que é a altura dos três triângulos formados. A segunda expressão segue diretamente da lei dos senos e a terceira é a famosa fórmula de Heron cuja demonstração foi apresentada em um outro post, veja o link abaixo.

Proposição 5: Se e são o circunraio e o inraio de um respectivamente, então .

Demonstração: Substituindo as expressões , e em , temos:

Pela fórmula de Heron apresentada na Prop. 4, segue que

Usando a expressão em , obtemos

Gostará de ler também:

- PSP (Parte 24) Seno e Cosseno da Soma;
- A Fórmula de Heron;
- A Desigualdade de Erdos-Mordell.

Seno e Cosseno Hiperbólico de Mãos Dadas com a Hipérbole Equilátera

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 17 Jan 2011 02:10:00 +0000

Em um curso inicial de Cálculo as referências mais usadas, por exemplo, são [4], [6] e [8]. No entanto, as mesmas não apresentam uma explicação mais aprimorada de como e por que as expressões exponenciais

definam, respectivamente, as funções seno hiperbólico de e cosseno hiperbólico de . Elas afirmam que essas funções são "definidas" como a soma de uma função par e de uma função ímpar de . Daí, a função ímpar é chamada de , enquanto a par, de . Mas esta explicação não me convenceu.

E depois de muita pesquisa, e como é pouco conhecida e divulgada no ensino de funções hiperbólicas essa demonstração, resolvi apresentá-la para todos os amantes do Cálculo depois de algum tempo engavetada.

Um pouco de história

A primeira pessoa a publicar um estudo completo sobre as funções hiperbólicas foi o matemático Johann Heinrich Lambert , nascido em Mulhouse (Alsácia), então parte do território suíço, e um pouco mais novo que Clairaut e d'Alembert. Hoje, Lambert é conhecido por várias atribuições. Uma delas é a primeira prova, apresentada em , de que é um número irracional. No entanto, Euler em tinha mostrado que é irracional.

O tratamento que Euler deu para as funções circulares, Lambert fez o mesmo para as funções hiperbólicas, fornecendo conceitos e notações modernas. Comparações entre as coordenadas do círculo e da hipérbole tinham fascinado os matemáticos por um século. Assim, Lambert introduziu as notações , e para os equivalentes hiperbólicos das funções circulares da trigonometria e popularizar a muito útil trigonometria hiperbólica.

Lambert foi um matemático de alto quilate. Filho de um alfaiate pobre, foi em grande parte autodidata. Conta-se que lhe perguntaram em que ciência ele era mais competente, daí ele respondeu brevemente: "Todas". Por curto período de termpo Lambert foi colega de Euler na Academia de Berlim e escreveu trabalhos sobre Cosmografia, Geometria Descritiva, Cartografia, Lógica e Filosofia da Matemática. Morreu no ano de nascimento de Carl Friedrich Gauss.

A demonstração

Para tal demonstração considere o ramo direito da hipérbole equilátera da figura abaixo situada no plano cartesiano real de equação .

Assim, observando a figura acima, tome e . Com efeito, temos que o ponto de coordenadas reais pertence ao ramo direito da hipérbole equilátera de equação , ou seja,

Representando a área do setor hiperbólico por , temos que:

Agora para calcular a integral indefinida utilize a seguinte fórmula de recorrência

Utilizando o Teorema Fundamental do Cáculo para resolver a integral definida

fica:

Então, a área do setor hiperbólico resulta em

Note que , donde segue que

Finalmente, temos:

Portanto,

Analogamente para encontrar o , tome . Com efeito,

de modo que

Portanto, .

Referência Bibliográfica:

[1] BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo: Edgard Blücher, 2002.
[2] COURANT R., Robbins H. Cálculo Diferencial e Integral, Porto Alegre: Editora Globo, 1970.
[3] EVES, H. Introdução à História da Matemática, tradução: Hygino H. Domingues, São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.
[4] HOWARD, A. Cálculo: um novo horizonte, Porto Alegre: Editora Bookman, Vol. 1, 2000.
[5] LARSON, R. E.; EDWARDS, B. H.; HOSTETLER, R. P. Cálculo com Geometria Analítica, Rio de Janeiro: Editora LTC, Vol. 1, 1998.
[6] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo: Editora Harbra, Vol. 1, 1994.
[7] MUNEM, M. A. e FOULIS, D. J. Cálculo, Rio de Janeiro: Editora Guanabara, Vol. 1, 1982.
[8] THOMAS, G. B. Cálculo, São Paulo: Makron Books, Vol. 1, décima edição, 2002.

Artigo enviado por Carlos Martins de Assis
Faculdade da Região dos Lagos - FERLAGOS
Instituto Católico de Educação e Cultura Mater Coeli

CAp - FERLAGOS

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Prof. Carlos.

Gostará de ler também:
- Um Outro de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole Equilátera;
- Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais;
- O Logaritmo Através da Integral (Parte 1);
- O Logaritmo Através da Integral (Parte 2);
- A Matemática de Euler (Parte 3).

A Matemática de Euler (Parte 4)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 15 Jan 2011 02:22:00 +0000

Trataremos nesta edição, do problema de Basel que foi proposto primeiramente por Pietro Mengoli em e resolvido por Euler em . Como o problema havia resistido ao ataque dos principais matemáticos do século , a solução de Euler lhe trouxe fama imediata.

Euler generalizou o problema e suas ideias foram retomadas anos mais tarde por Bernhard Riemann em seu artigo de , no qual ele definiu sua função zeta, provando suas propriedades básicas. Basel significa Basiléia, a cidade natal de Euler e da família Bernoulli, que atacou sem sucesso este problema.

O problema da Basiléia, pede a soma da série formada pelos quadrados dos inversos dos números naturais, ou seja,

A série é aproximadamente igual a . O problema de Basiléia pede a soma exata desta série. Euler mostrou que

anunciando sua demonstração em . Seus argumentos foram baseados em manipulações que não se justificava na época, e foi somente em , que ele foi capaz de produzir uma prova realmente rigorosa.

Mostraremos neste post, como Euler resolveu o problema manipulando as séries infinitas informalmente. Euler considerou o "polinômio infinito" dado por

A seguir, ele usou alguns truques para obter as raízes de . Para , temos

As raízes de ocorrem quando , isto é, quando com . Sabendo isto, Euler escreveu na forma fatorada, isto é,

Por outro lado, expandindo este produto infinito, vemos que os seus dois primeiros termos são dados por

Comparando as expressões e , segue que

resultando na expressão .

O leitor mais atento perceberá que esta prova carece de rigor matemático. Euler insatisfeito com esta demonstração, apresentou posteriormente uma prova alternativa para o problema de Basel.

Um corolário interessante deste resultado é o produto infinito descoberto por Wallis em e que veremos abaixo.

Corolário: (Fórmula de Wallis)

Demonstração: Pela expressão , vemos que

Sendo , então , donde segue o resultado. Para os leitores interessados, apresento abaixo o link de uma prova alternativa desta proposição.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler. University of Rochester, Spring, 2008.

Gostará de ler também:
- A Matemática de Euler (Parte 1);
- A Matemática de Euler (Parte 2);
- A Matemática de Euler (Parte 3);
- O Produto Infinito de Wallis.

Algumas Propriedades da Sequência Prateada

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 13 Jan 2011 18:29:00 +0000

Foi através do blog O Baricentro da Mente, que tomei conhecimento do número prateado, que é o análogo da razão áurea. Relacionada com esta razão, temos a sequência de Fibonacci e relacionado ao número prateado , temos a sequência prateada.

Após um estudo sobre o assunto, apresento alguns resultados sobre a sequência prateada e sua relação com o número . De forma anáologa, ela também é definida por uma relação de recorrência dada por

Definição 1: A sequência prateada é definida por

sendo .

É fácil ver que os primeiros termos são dados por e . Dois números muitos especiais relacionados a esta sequência é apresentado na próxima definição.

Definição 2: O número prateado e seu conjugado são definidos por e .

Por simplicidade de notação, usaremos ao invés de .

Proposição 1: Seja , então

Demonstração: Usaremos indução finita para provar . A expressão segue de modo análogo. Para , temos

Suponhamos que

seja válida. Mostraremos que . De fato,

Corolário 1: (Fórmula de Binet) Se , então

Demonstração: Subtraindo a expressão de , temos:

Proposição 2: A soma dos primeiros termos da sequência prateada é dada por

Demonstração: Pela expressão , . Assim,

Mas, se , então

Usando esta expressão em , temos

donde segue o resultado. Por exemplo, a soma dos primeiros termos da sequência prateada é e pela Prop. 2,

Corolário 2: A soma de dois termos consecutivos na sequência prateada é ímpar.

Demonstração: Da proposição anterior, e sendo um inteiro positivo, segue o resultado.
Corolário 3: e são primos entre si.

Demonstração: Sendo ímpar, então e possuem paridades distintas. Logo, .

Proposição 3: (Identidade de Cassini) Os termos da sequência prateada satisfazem a relação

Demonstração: Pela fórmula de Binet, de modo que

Mas, , de modo que

Por outro lado,

Subtraindo a expressão da expressão , temos

Proposição 4: A sequência definida por converge para o número prateado quando .

Demonstração: Primeiramente mostraremos que existe e para isso, basta provar que quando . De fato,

pois é uma sequência crescente. Seja . Assim,

pois, .

Gostará de ler também:
- O Número Prateado (blog O Baricentro da Mente);
- Calculando Somas Através da Derivada;
- Teoremas Interessantes Sobre Números Primos;
- Potências da Razão Áurea e a Sequência de Fibonacci;
- Sequências Aproximantes Para Raízes Quadradas.

Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 12 Jan 2011 13:54:00 +0000

O objetivo do método que iremos apresentar é obter uma fórmula de redução através de uma integral dada. Com isso, desejamos que essa integral dependa de uma integral mais simples e do mesmo tipo. Aplicação repetida desta fórmula de redução nos levará rapidamente ao cálculo da integral dada.

Proposição 1: Sejam

para natural maior que . Então:

i) ;

ii) .

Demonstração: Da definição de e , segue que e que e . Omitiremos a constante de integração nas etapas intermediárias, acrescentando-a no final dos cálculos.

No item i), fazemos , de modo que . Segue desta escolha que . Usando a fórmula de integração por partes, temos:

donde segue o resultado. Para o item ii), fazemos , de modo que e

Exemplo 1: Calcule a integral .

Resolução:

pela expressão . Analogamente,

Logo,

Observação 1: Poderíamos obter o mesmo resultado através das identidades trigonométricas e . Mas este método é mais eficiente para grandes expoentes.

Exemplo 2: Calcule a integral .

Resolução: Inicialmente fazemos a mudança de variável , de modo que

Pela fórmula de redução acima, temos

Sendo

segue que

Proposição 2: Seja

para natural maior que . Então

Demonstração: Faça e . Encontre e , e em seguida use a fórmula de integração por partes. Os detalhes fica a cargo do leitor.

Observação 2: Note que pela definição de , segue que e .

Exercícios Propostos:
1) Calcule a integral

2) Mostre que

3) Use a expressão acima e mostre que

4) Seja

para natural maior ou igual a . Mostre que

Referência Bibliográfica:
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. Ed. Makron Books, São Paulo, 1987.

Gostará de ler também:
- A Integral Definida e o Limite de Somas;
- Um Outro Modo de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole Equilátera;
- Isaac Barrow e a Integral da Secante;
- Uma Identidade Entre Séries e Integrais;
- PSP - Parte 17: Uma Integral Definida;
- Estratégias ao Integrar por Partes.

Cálculo Aplicado à Economia (Parte 4)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 11 Jan 2011 02:09:00 +0000

Neste post, veremos uma situação prática que requer as ferramentas do Cálculo para a sua resolução. Trata-se do problema do passeio marítmo cujo enunciado é o seguinte:

Um navio deve percorrer uma distância em kilômetros. Há despesas com combustível e com a tripulação. Sabendo que o gasto horário com a tripulação é uma constante positiva e o gasto horário com o combustível é proporcional ao quadrado da velocidade do navio em (), determine a velocidade mínima que o navio deve ter para economizar neste passeio.

Resolução: Observe que para percorrer esta distância , o comandante deve levar em conta que, ao aumentar a velocidade, aumenta o gasto de combustível, mas diminui o número de horas de viagem, e portanto, a despesa total com a tripulação e vice-versa. Assim, deve haver uma velocidade para o qual a despesa total que será indicada por é mínima.

Seja o número de horas de viagem. Pelo enunciado do problema, temos

Mas,

Substituindo em , segue que

para . O próximo passo é achar o ponto de mínimo desta função e isto pode ser feito igualando a derivada e resolvendo a equação resultante. Mas devido as pecularidades da função , usaremos a desigualdade aritmética-geométrica, de modo que a resolução fica ao alcance dos leitores que não conhecem Cálculo. Note que

ou seja, a função é limitada inferiormente por uma constante e isso somente ocorre na desigualdade aritmética-geométrica se

Exercício Proposto: O custo de combustível para fazer navegar um grande barco a vapor de roda de pás, a uma velocidade através de água calma é reais por hora. Outros custos, salários, seguros, etc. são reais por hora. Qual a velocidade mais econômica para uma certa viagem contra uma corrente de ? Resposta:

Gostará de ler também:
- Cálculo Aplicado à Economia (Parte 1);
- Cálculo Aplicado à Economia (Parte 2);
- Cálculo Aplicado à Economia (Parte 3).

Quarta Promoção do Blog (Participem!!)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 09 Jan 2011 02:02:00 +0000

Nesta quarta promoção do blog Fatos Matemáticos o prêmio é o livro "A Janela de Euclides" escrito pelo PhD em Matemática e Física Leonard Mlodinow. Nesta obra, o autor narra da história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço em cinco épocas diferentes, de 2400 a.C. aos dias atuais, de uma forma divertida e clara. Dirigida exclusivamente aos estudantes - mas podendo também ser lido por qualquer adulto - Mlodinow consegue a façanha de explicar o teorema de Pitágoras, o quinto postulado, a teoria das cordas, comentários sobre Tales, Gauss, Einstein e Newton em uma história cheia de graça e fascínio. Com 294 páginas, este livro custa R$ 54,00 na Companhia dos Livros (Click no banner da barra lateral).

Além disso, o seguidor ganhador receberá também um exemplar do calendário dodecaédrico 2011. Para saber mais sobre este calendário click na imagem abaixo.

O sorteio ocorrerá após atingirmos a marca de inscrições, cujas regras enunciamos abaixo:

Para concorrer você deve ser um seguidor do blog, clicando no botão "seguir" no canto superior da página inicial do blog. Siga o blog de forma pública, de modo a facilitar a posterior localização do perfil.

O concorrente deverá deixar um comentário juntamente com seu nome de seguidor. Serão excluídos comentários das pessoas que não são seguidoras.

Apenas os comentários feitos nessa página concorrerão e cada participante receberá um número por ordem de inscrição.

O período de inscrição da Promoção começa hoje e termina assim que atingirmos a marca de inscritos.

O sorteio ocorrerá em um sábado a ser divulgado após o período de inscrição.

Por questão de transparência, a dezena sorteiada corresponde as duas primeiras dezenas sorteiadas do jogo LOTOMANIA da Caixa Econômica Federal. No site da caixa click na opção "Ver números na ordem do sorteio". O participante correspondente a primeira dezena sorteiada será o vencedor desta promoção. O centésimo inscrito concorre com a dezena 00.

O seguidor premiado receberá em sua casa o prêmio através da ECT - Empresa de Correios e Telégráfos.

Devido aos custos, a promoção será restrita apenas as pessoas residentes no Brasil ou que tenha um endereço de entrega no país.

De tempos em tempos eu publicarei uma lista com o nome e o número dos concorrentes e apenas os nomes citados nesta lista serão válidos.

Desejo boa sorte a todos!!

Caça-Palavras: A Matemática do Século XX (Parte 1)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 07 Jan 2011 14:58:00 +0000

As palavras destacadas no texto abaixo devem ser procuradas na figura acima. Para baixar uma versão em pdf, click na imagem acima. Para ver a solução de Caça-Palavras (Parte 3): Os Árabes e o Sistema de Numeração (click aqui).

Provavelmente, as proezas mais óbvias da matemática do século vinte são as suas aplicações. Mesmo que os alunos ainda não tenham estudado formalmente estes tópicos, eles já viram os resultados. A física moderna tornou-se quase um RAMO da matemática; Einstein, Bohr, DIRAC, Feynman, Gell-Mann, e muitos outros físicos notáveis fizeram muito do seu trabalho em matemática.

A RELATIVIDADE usa algumas das aparentemente estranhas geometrias teóricas abstratas do século passado e demonstra que aquelas são mais tangíveis do que os seus inventores sonharam. Na mecânica quântica aplica a teoria das PROBABILIDADES e dos grupos à estrutura de partículas subatômicas.

A física também desenvolveu-se na astronomia e na COSMOLOGIA. Stephen Hawking, um físico e matemático que ocupa a mesma cadeira de professor em Cambridge que em tempos foi ocupada por Newton, continua trabalhando no desenvolvimento de uma "grande teoria unificadora" do universo.

Hawking é especialmente interessante como um exemplo da luta e da perseverança porque o seu corpo foi atacado pela doença de Lou Gehrig mesmo quando a sua mente explorava o UNIVERSO. Se a física é matemática aplicada, a engenharia é física aplicada. As muitas maravilhas da engenharia do século vinte sublinham o poder da matemática nos automóveis e nas auto-estradas; nos AVIÕES, nos ônibus espaciais; nos TELEFONES e na televisão; e, claro, nos COMPUTADORES.

Duas outras áreas importantes da matemática APLICADA do século vinte são a estatística e as probabilidades. Ambas tinham uso limitado antes de 1900, especialmente no cálculo, mas matemáticos das duas áreas construíram fundamentos teóricos sólidos e encontraram muitas novas aplicações.

No princípio do século, estatísticos como PEARSON, Fisher e Kendall desenvolveram análises e metodologias, algumas das quais têm agora o seu nome; mas os cálculos entediantes limitaram as suas aplicações. Os computadores vieram abrir enormemente esse campo, não apenas com velocidades de cálculo mais elevadas mas também com novos e poderosos tipos de análise, incluindo os métodos e simulações de MONTE CARLO.

Numa certa altura, a probabilidade parecia ser pouco mais que uma ferramenta útil para os jogadores. No século vinte, porém, foi aplicada na mecânica quântica para a localização de elétrons, como foi referido anteriormente e, através da TEORIA DOS JOGOS de John von Neumann, para a análise estratégica em negócios, na economia, na política, e na guerra.

JOHN NASH e Reinhard Selten, ambos matemáticos, até partilharam o prêmio Nobel da economia em 1994 pelo seu trabalho nesta área. De fato, a matemática tem contribuído em muitas áreas de negócios, muito para além dos dados pelos livreiros de Dickens do século dezenove.

Alguns consideram o desenvolvimento, em 1947, por George Dantzig, do MÉTODO SIMPLEX de programação linear, uma poderosa ferramenta de optimização nos negócios, como uma das mais importantes descobertas matemáticas do século. Por volta de 1970, a TEORIA DO CAOS, desenvolvida por René Thom e Christopher Zeeman, considerou resultados abruptos, não contínuos, de ações contínuas. A teoria tem aplicações nas áreas financeira e empresarial, bem como na BIOLOGIA e noutros campos que anteriormente não tinham relação estreita com a matemática.

As complexidades da economia, biologia, e outros campos "confusos", tais como a metereologia e a ecologia, usam as ferramentas da teoria do caos e dos sistemas dinâmicos. Os alunos podem ter ouvido falar da teoria do caos no filme O Parque Jurássico. O mais famoso exemplo é o "EFEITO BORBOLETA" de Edward Lorentz, no qual ele sugere que o bater de asas de uma borboleta no Brasil pode provocar uma cadeia de acontecimentos que causem um tornado no Texas!

Referência Bibliográfica:

- Shirley, Lawrence. Matemática do Século XX: o século em breve revista. Educação e Matemática, n. 60, Novembro/Dezembro de 2000.

Gostará de ler também:
- Caça-Palavras - Matemática Grega (Parte 1);
- Caça-Palavras - Matemática Grega (Parte 2);
- Caça-Palavras (Parte 3): Os Árabes e Numeração Decimal.

A Convolução nas Transformadas de Laplace

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 06 Jan 2011 02:12:00 +0000

Existem muitas técnicas para calcular a transformada inversa de Laplace e uma das ferramentas muito útil é o teorema da Convolução. Com esta técnica, podemos achar as soluções de algumas equações integrais e íntegro-diferenciais que serão abordadas em futuros posts.

Para um bom acompanhamento do texto, espero que o leitor tenha algum conhecimento de transformadas de Laplace ou que esteja familiarizado com as sutilezas do Cálculo Diferencial e Integral. Para os leitores que queiram saber mais sobre este assunto, leiam os posts indicados abaixo.

Definição 1: O produto convolutivo ou convolução das funções e é definido por:

Proposição 1: A convolução satisfaz as seguintes propriedades:

i) (Propriedade comutativa);
ii) (Propriedade associativa);
iii) (Propriedade distributiva);
iv) .

Demonstração:
i)

onde . Note que se , e temos . Os ítens ii), iii) e iv) são cálculos rotineiros e será deixado para o leitor.

Observação 1: A multiplicação usual de dois números reais, possui outras propriedades que a convolução não tem. Por exemplo, não é verdade, em geral, que . Para ver isso, suponhamos que . Assim,

Veremos agora o principal teorema deste post, cuja demonstração é bastante engenhosa.

Teorema 1: Se e , então

Demonstração: Pela definição de transformada de Laplace, temos

então

Seja para fixo. Então, a integral em relação a na expressão transforma-se em uma integral em relação a , ou seja:

A integral à direita do sinal de igualdade na expressão é calculado sobre a região em forma de cunha no plano que aparece na figura abaixo.

Devido a convergência absoluta da transformada de Laplace, podemos trocar a ordem de integração para obter

Exemplo 1: Calcule usando o teorema da convolução a transformada inversa dada por:

Resolução: Sendo

segue do teorema da convolução que

Exemplo 2: Use o teorema da convolução e mostre que

Resolução: Seja

Assim,

Agora, usamos o teorema da convolução para inverter essa transformada, isto é,

Referência Bibliográfica:

- Di Prima, Boyce. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. Oitava edição, Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2006.
- Spiegel, Murray R. Transformadas de Laplace. Ed. Makron Books, São Paulo.

Gostará de ler também:
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 1);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 2);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 3);
- Transformadas de Laplace e Integrais Impróprias (Parte 4).

Geraldo Ávila

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 05 Jan 2011 11:39:00 +0000

Geraldo Severo de Souza Ávila, natural de Alfenas (MG), nasceu no dia de abril de e faleceu no dia de agosto de aos anos. Bacharel e licenciado em Matemática pela USP, mestre e doutor pela Universidade de Nova York (NYU). Foi professor no Instituto Tecnológico de Aeronáutica em São José dos Campos, no Instituto de Física Teórica de São Paulo (UNESP), das Universidades de Wincosin (Madison) e Georgetown (Washington D.C.), da Universidade de Brasília, da Unicamp e da Universidade Federal de Goiás. Foi membro da Academia Brasileira de Ciências e da Academia de Ciências do Estado de São Paulo. Foi presidente da Sociedade Brasileira de Matemática por dois anos . É autor de vários trabalhos de pesquisa e monografias na área de equações diferenciais parciais e propagação ondulatória, de dezenas de artigos de ensino e divulgação, e de vários livros para o ensino universitário.

Na Revista do Professor de Matemática (RPM), desde de seu lançamento, ele publicou artigos, testemunhando sua preocupação com o ensino de Matemática, mostrando seu conhecimento da História da Matemática e sua capacidade de ajudar os professores ao relatar episódios e fatos da Matemática ao alcance do ensino básico. Por sua iniciativa, foi criada pela SBM - Sociedade Brasileira de Matemática a revista Matemática Universitária, hoje com números publicados. Além disso, escreveu livros didáticos de nível universitário, sendo um deles agraciado com o prêmio Jabuti, em . O professor Geraldo acreditava muito na divulgação da Matemática através de livros e revistas.

Mesmo depois de tantas vitórias na carreira, o professor Geraldo Ávila gostava de contar que começou seus estudos numa escola rural de Minas Gerais, na fazenda do seu avô, em que todos os alunos tinham aula ao mesmo tempo, com a mesma professora, numa única sala de aula, independentemente do ano em que estivessem. Gostava de contar também que, já de volta dos Estados Unidos e professor há muito tempo, numa feira livre, enquanto a vendedora fazia, na calculadora, a soma dos preços das verduras que comprava, ele anunciou a soma que fizera de cabeça. Recebeu, então, dessa senhora o seguinte elogio: "O senhor é bom em Aritmética, hein!".

Seu entusiasmo era contagiante. Passou aos filhos e netos o profundo respeito por todas as pessoas, árvores, pedras, cachoeiras, montanhas e animais. Na natureza ele via a presença de Deus. Era apaixonado por Astronomia. O interesse pelo conhecimento o acompanhou por toda a vida. Não foram poucos os testemunhos de que era impossível conhecê-lo sem admirá-lo.

Seus pequenos artigos de Astronomia na Revista do Professor de Matemática sempre foram escritos de forma descontraída com pequenos episódios da história da Matemática. Além disso, ele demonstrou sua imensa habilidade ao escrever um livro Análise Matemática para Licenciatura, fazendo uma ponte entre as áreas de Ensino e de Pesquisa Matemática. Suas dicas de como estudar Matemática no início desta obra, demonstra sua preocupação com o aprendizado do aluno.

Suas contribuições à Matemática será para sempre marcante na história da Matemática brasileira.

Referência Bibliográfica:
- Editorial da RPM número 73, quadrimestre de .

Gostará de ler também:
- Aprendendo a Aprender Matemática;
- Joaquim Gomes de Souza.

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 03 Jan 2011 02:00:00 +0000

Problema : Mostre que se é um inteiro maior que , então não pode ser um número primo.

Problema : Sejam e dois pontos distintos sobre a parábola . Seja um ponto sobre a parábola conforme figura abaixo. Determine de modo que a área do triângulo seja máxima.

Problema : Num círculo de raio igual a está inscrito um cujos lados e medem e respectivamente. Calcule a altura relativa ao lado .

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4).

Problema : Seja o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo . Seja a interseção da mediatriz de com o cateto . Sejam e as áreas dos semicírculos de diâmetros e , e a área entre os semicírculos de diâmetros e conforme a figura abaixo. Se representa a área entre os semicírculos de diâmetros e , prove que .

Resolução: Para este problema, usaremos o seguinte lema:

Lema 1: A área do semicírculo cujo diâmetro é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos semicírculos cujos diâmetros são cada um dos catetos desse triângulo.

Demonstração: Basta observar no triângulo , que pelo teorema de Pitágoras, temos

Multiplicando a equação por , obtemos:

Agora observe que a área do semicírculo de diâmetro equivale a

De maneira análoga, a área do semicírculo de diâmetro equivale a e a do semicírculo de diâmetro é . Basta olhar para a equação , que concluímos a demonstração do lema.

Agora, vamos nomear as outras áreas: Seja a área do semicírculo de diâmetro e a área do semicírculo de diâmetro . Pelo lema , temos:

Observe o triângulo . Ele é retângulo, já que o ângulo é reto. Note que a área do semicírculo de diâmetro é equivalente a área do semicírculo de diâmetro já que . Então pelo lema podemos escrever:

Substituindo em , segue que .

Solução enviada por Luiz Fernando Bossa.

Problema : Dado o , prove que

onde é o semi-perímetro do triângulo.

Observação: Claramente, esta fórmula estende-se para os outros ângulos e .

Resolução: Seja um ponto sobre o lado tal que é bissetriz do ângulo .

Pela Lei dos Cossenos, temos

donde segue que

Problema : Prove que dentre quaisquer cinco números reais , , , e , existem que satisfazem:

Resolução: A expressão entre as desigualdades é semelhante a fórmula da tangente da diferença. Assim, fazemos para com . Como e , segue que

Sendo a função tangente crescente em , então . Para provar que existem dois dentre os cinco que satisfazem esta última desigualdade, dividimos o intervalo de tamanho em subintervalos de tamanho . Pelo Princípio da Casa dos Pombos (Click aqui), existem pelo menos dois tais que .

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Hygor - Prob.

- Luiz Fernando Bossa - Problemas

- Marcos K. - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas , e encerra no dia 31/01/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2).

O Calendário Dodecaédrico 2011

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 01 Jan 2011 02:07:00 +0000

Para um começar com o pé direito este ano novo, apresento a todos os leitores o calendário dodecaédrico , além de ser um enfeite muito bonito, é um objeto funcional para todo o ano. Além disso, é uma atividade muito interessante numa aula de Geometria Espacial.

O primeiro passo para fazer o seu calendário dodecaédrico é clicar na imagem acima e fazer o download do modelo em pdf. Coloque um pedaço de cartolina ou papel machê na impressora no tamanho de uma folha e imprima o modelo.

Em seguida, recorte o modelo nas linhas contínuas. No modelo, ha algumas bordas grossas e por isso, recomendo que as recorte do tamanho das outras bordas para facilitar a colagem. Dobre as linhas tracejadas com auxílio de duas réguas, ou seja, coloque a régua em cima desta linha e com auxílio da outra régua dobre para dentro e depois para fora.

A próxima e última etapa é colar as faces do dodecaedro usando cola branca. Com muita paciência, cole a parte inferior primeiro ( primeiros meses) e em seguida cole a parte superior. Una essas duas partes, deixando a face que não possui bordas para ser colada por último.

Gostará de confeccionar também:
- O Calendário Permanente de Mesa;
- O Mini-soroban de Cartolina;
- Construindo a Cardióide com Barbantes.

Provando Desigualdades Através de Funções Lineares

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 30 Dec 2010 10:14:00 +0000

As desigualdades desempenham um grande papel em várias teorias e é um assunto muito cobrado nas Olimpíadas de Matemática. Neste post, veremos como podemos usar as funções lineares para provar algumas delas, mais especificamente, usaremos o seguinte teorema:

Teorema 1: Se a função com possui e , então , para todo (Ver figura acima).

Demonstração: Geometricamente vemos que ele é verdadeiro, mas para os céticos, vejamos uma prova analítica. Suponhamos que existe tal que . Assim, temos casos:

Se , é uma função crescente, de modo que . Absurdo.
Se , é uma função decrescente, de modo que . Absurdo.

Vejamos agora como podemos usar o Teor. 1 para provar desigualdades.

Exemplo 1: Sejam , e números reais não-negativos tal que . Prove que .

Resolução: Podemos reescrever a desigualdade acima do seguinte modo:

Fazemos em e consideremos a função linear na variável dada por. Para esta função precisamos determinar agora todos os valores possíveis de . Pela desigualdade aritmética-geométrica, sabemos que

usando o fato que . Por hipótese, sabemos que . Assim, pelo Teor. 1 é suficiente mostrar que e , onde . De fato,

A prova está completa. A igualdade é válida se e somente se os três números são iguais a . Para ver isso, basta determinar os valores para os quais a função linear anula-se nos pontos extremos do intervalo. Note que não tem solução, pois possui . Por outro lado,

de modo que . Sendo , segue que

é o menor valor que satisfaz a desigualdade, donde segue que .

Exemplo 2: Prove que se , e são números reais não-negativos tal que , então

Determine quando vale a desigualdade.

Resolução: Sabemos que

Fazendo e , temos

Substituindo em , segue que

Sendo , então

ou seja,

Colocando e considerando o lado esquerdo como uma função linear de , temos

Note que por hipótese e sendo

Pelo teorema , iremos mostrar que e . De fato,

e a desigualdade segue. A igualdade ocorre se ou qualquer permutação da tripla , deixo os detalhes para os leitores.

Exercício 1: Prove que

onde , e são números reais positivos tais que .

Exercício 2: Prove a desigualdade

onde , e são números reais positivos tais que .

Exercício 3 (BMO 1979): Prove que , onde , e são números reais positivos tais que .

Exercício 4 (USAMO 1979): Prove que se e , então

Referência Bibliográfica:

- Thuan, Pham Van, Hun, Van. Proving inequalities using linear functions. Mathematical Reflections, 4, (2006).

Gostará de ler também:
- A Desigualdade de Weitzenböck;
- A Desigualdade de Cauchy-Schwarz;
- A Desigualdade de Erdös-Mordell;
- Duas Médias (Parte 1);
- Duas Médias (Parte 2).

Matemáticos Refletindo Sobre a Matemática

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 28 Dec 2010 03:02:00 +0000

Já apresentei um post sobre estudiosos de outras áreas refletindo sobre a Matemática. Vejamos agora a opinião de matemáticos sobre esta ciência.

O grande livro da natureza foi escrito com símbolos matemáticos.

Galileu Galilei

A matemática é a rainha das ciências.

Carl F. Gauss

A matemática pura, de modo geral, é claramente mais útil que a aplicada. Pois nada é mais útil que a técnica, e a técnica matemática é ensinada sobretudo pela matemática pura.

Godfrey H. Hardy

O principal objetivo de todas as investigações sobre o mundo exterior deve ser descobrir a ordem racional e harmônica nele imposta por Deus, e que Ele revelou para nós na linguagem da matemática.

Johannes Kepler

Um dos grandes mal-entendidos sobre a matemática que perpretamos em nossas salas de aula é que o professor sempre parece saber a resposta para qualquer problema que esteja sendo discutido. Isso dá ao estudante a ideia de que, em alguma parte, há um livro com todas as respostas certas para todas as questões interessantes, e que os professores conhecem essas respostas. E se conseguirmos pôr as mãos nesse livro, tudo estará resolvido. Isso se distancia inteiramente da verdadeira natureza da matemática.

Leon Henkin

Muitas vezes ouvimos dizer que a matemática consiste essencialmente em "provar teoremas". O trabalho de um escritor por acaso é apenas "escrever frases"?

Gian Carlo Rota

Na matemática não compreendemos as coisas. Apenas nos acostumamos a elas.

John Von Neumann

A matemática é a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes.

Henri Poincaré

Em muitos casos, a matemática é uma fuga da realidade. O matemático encontra seu nicho monástico e sua felicidade em investigação que estão desconectadas das questões externas.

Stanilaw Ulam

A filosofia é um jogo com objetivos e sem regras. A matemática é um jogo com regras e sem objetivo.

Anônimo

Referência Bibliográfica:
- Stewart Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Ed. Zahar. Rio de Janeiro, 2010.

Gostará de ler também:
- Não Matemáticos Refletindo Sobre a Matemática;
- Ponto de Vista dos Matemáticos Sobre a Religião;
- A Matemática é o Problema;
- Como Estudar Matemática?

Demonstrações Geométricas Através de Vetores (Parte 2)

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 26 Dec 2010 23:25:00 +0000

Nesta segunda parte, veremos o uso do produto escalar na demonstração de algumas propriedades geométricas.

Um losango é um paralelogramo cujos lados são iguais. Considerando o losango acima, temos a proposição seguinte:

Proposição 1: As diagonais de um losango são perpendiculares.

Demonstração: Note que e que . Assim,

Logo, pela propriedade de produto escalar, concluímos que as diagonais são perpendiculares.

Definição 1: Paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Observação 1: Segue desta definição que
i) Os lados e ângulos opostos são congruentes;

ii) A soma dos ângulos consecutivos é igual a ;

iii) As diagonais cortam-se ao meio (Veja o Exemplo 2 da parte 1).

Proposição 2: Se as diagonais de um paralelogramo são iguais, então ele é um retângulo.

Demonstração: Seja o paralelogramo abaixo com .

Note que , donde segue que

Note também que , de modo que

Por hipótese, . Assim, adicionando as expressões e , temos

donde segue da recíproca do teorema de Pitágoras que é retângulo, isto é, . Pelo item i) da Observação 1, temos também que e pelo item ii), segue que . Logo, é um retângulo.

Proposição 3: A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados de suas diagonais.

Demonstração: Queremos provar que

Para isso, considere os vetores e . Pela figura acima, , de modo que

Analogamente, sendo , segue que

Somando com , temos:

donde segue o resultado.

Exercício: Suponha que seja o diâmetro de um círculo centrado na origem. Seja um ponto em um dos arcos do círculo unindo e . Mostre que os vetores e são ortogonais, ou seja, todo triângulo inscrito em um semi-circunferência é retângulo.

Gostará de ler também:
- Demonstrações Geométricas (Parte 1);
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Sobre o Produto Escalar;
- Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção.

Feliz Natal e Próspero 2011!!

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 23 Dec 2010 22:54:00 +0000

Estamos no final de mais um ano, um ano de muitas conquistas e satisfações. No poema O tempo de Mário Quintana, ele diz:

A vida é o dever que nós trouxemos para fazer em casa

Quando se vê, já são seis horas!

Quando se vê, já é sexta-feira!

Quando se vê, já é natal...

Quando se vê, já terminou o ano...

Quando se vê perdemos o amor de nossa vida...

Quando se vê passaram 50 anos!

Se me fosse dado um dia, outra oportunidade, eu nem olhava no relógio.

E tem mais: não deixe de fazer algo de que gosta devido à falta de tempo...

A única falta que terá será a desse tempo que, infelizmente, nunca mais voltará.

Por isso, dedique o seu tempo em 2011 para espalhar a paz, a alegria, investir na educação e no aprimoramento profissional. Seja dedicado para superar as derrotas e as frustações do ano que passou. O mais importante nesta vida é a vida que se leva.

"Você esperando resposta, olhando para o espaço; e eu tão ocupado vivendo, eu não me pergunto, eu faço!".

Raul Seixas

Quando eu criei o blog não esperava obter tantos seguidores e tantos comentários. Acredito que isto significa a admiração e respeito pelos assuntos que tenho publicado. São mais de 400 postagens escritas sem nenhuma colaboração ou apoio, mas com muita pesquisa e dedicação. Mas o conhecimento adquirido não tem preço, leia o que Spinosa diz a este respeito:

"Quanto maior é o conhecimento da mente, melhor ela compreende sua força e a ordem da natureza e quanto melhor ela compreender sua força e poder, mais facilmente poderá libertar-se das coisas inúteis; esse é o método, esse é o caminho".

Baruch Spinosa

São esses os meus votos a todos vocês que tem uma admiração pelo blog e me acompanharam em 2010. Feliz Natal e próspero ano novo.

Atenciosamente,

Prof. Paulo Sérgio C. Lino

O Problema das Placas Quadradas

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 22 Dec 2010 18:06:00 +0000

Duas placas quadradas de lados iguais a estão encostadas conforme a figura acima. Se o prolongamento de passa pelo ponto , determine a projeção do lado sobre a reta .

Resolução: Da semelhança dos triângulos e , temos

A expressão é uma equação do grau completa e para resolvê-la podemos usar o método de Ferrari ou métodos numéricos. Ao invés disso, faremos algumas mudanças de variáveis a fim de simplificá-la e resolvê-la. Primeiramente, fazemos uma mudança de escala dada por

Substituindo em , obtemos

Observe que não é raiz desta equação, mas ela é quase simétrica e fácil verificar que ela possui uma raiz no intervalo . Assim, próximo passo é fazer uma translação dada por para obter

A equação é simétrica em relação ao termo central . Deste modo, dividimos ambos os lados por para obter

de modo que , ou seja

A equação quadrática possui e portanto não possui raízes reais. Para a equação , de modo que

Voltando para a variável temos

Comentário Final: Este problema é uma adaptação de um problema algébrico que também envolvia uma equação quártica. Observe que uma simples configuração de duas placas, poderia ser também dois blocos, nos leva a um problema com um grau de dificuldade razoável. Esta questão é um belo exemplo a ser dado para aqueles que dizem que a matemática não serve para nada.

Gostará de ler também:
- O Problema do Copo Inclinado;
- O Problema do Trem;
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 2).

Uma Breve História das Funções Elípticas

linnux2001@gmail.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 21 Dec 2010 02:18:00 +0000

O primeiro matemático a abordar as integrais elípticas foi John Wallis, que em começou a estudar o comprimento de arco de uma elipse. Issac Newton também estudou este assunto e ambos publicaram seus resultados em termos de séries infinitas.

Em , o matemático Johann Bernoulli estudando a espiral parabólica observou que a questão do comprimento da curva leva através de , a integral da raiz quadrada de um polinômio do grau, o primeiro exemplo específico de uma integral elíptica.

Somente após que Legendre começou a usar as integrais elípticas em problemas tais como o movimento de um pêndulo simples e a deflexão de uma barra elástica fina.

Adrien Marie Legendre , matemático francês é lembrado principalmente pelo símbolo de Legendre usado em Teoria dos Números, pelas funções especiais que levam o seu nome e prova da irracionalidade de . Mas este pesquisador, passou quarenta anos de sua vida estudando as funções elípticas, incluindo a classificação das integrais elípticas. Seu primeiro trabalho publicado sobre integrais elípticas consistiu de dois artigos nas Memórias da Academia Francesa de e que tratava de arcos elípticos.

O maior trabalho de Legendre sobre funções elípticas apareceu em volumes entre e . No primeiro volume Legendre apresentou as propriedades básicas das integrais elípticas e das funções beta e gama. Mais resultados sobre essas funções apareceram no segundo volume juntamente com suas aplicações à Mecânica, a rotação da Terra e atração de elipsóides além de outros problemas. O terceiro volume contém as famosas tabelas de integrais elípticas os quais foram calculadas por ele mesmo. Entre , ele repetiu o seu trabalho também em volumes.

Apesar de quarenta anos de dedicação às funções elípticas, o trabalho de Legendre foi essencialmente despercebido pelos seus contemporâneos até , quando dois jovens, e ainda desconhecidos matemáticos Abel e Jacobi colocou o assunto em uma nova base que o revolucionou completamente.

Em , o governo norueguês financiou Abel a uma visita à França e Alemanha. Em seguida Abel viajou para Paris e tentou em vão apresentar um artigo sobre a dupla periodicidade das funções elípticas e outras propriedades importantes, infelizmente este artigo só foi descoberto após a sua morte.

Jacobi escreveu um tratado clássico sobre as funções elípticas, de grande importância em Física-Matemática, pois estas funções estão relacionadas com a energia cinética de corpos rígidos em rotação. Além disso, Jacobi foi o primeiro matemático a aplicar as funções elípticas a Teoria dos Números, provando o teorema sobre números poligonais de Fermat.

Como exemplo introdutório a essas funções, vejamos a integral elíptica de primeira espécie. Se

é uma função de , isto é, , cujas propriedades tinham sido longamente descritas por Legendre. O que Legendre não vira, e Gauss, Abel e Jacobi viram, é que invertendo a relação funcional entre e , obtém uma função mais bela e útil, . A inspiração para esta ideia, deve ter surgido notando que para , tem-se

Para , essa função é em geral escrita como (leia-se "seno amplitude de "). As outras funções definidas de modo análogo, são chamadas funções elípticas. Tão impressionado ficou Jacobi com a simplicidade que resultava da simples inversão da relação funcional em integrais elípticas que ele considerava o conselho. "Deve-se sempre inverter" como o segredo do sucesso na Matemática.

A propriedade mais notável dessas novas funções transcendentes superiores era que, como seus três descobridores independentes perceberam, na teoria das variáveis complexas elas têm dupla periodicidade, isto é, existem dois números complexos e tais que . Ao passo que as funções trigonométricas têm somente um período real igual a .

No desenvolvimento da teoria das funções elípticas, autores modernos frequentemente usam a notação de Karl Weierstrass. Esta notação é baseada em suas funções , de modo que qualquer função elíptica pode ser expressa em termos delas.

Atualmente, apesar de muitas grades curriculares não possuir este ramo da Matemática, as funções e integrais elípticas possuem muitas aplicações na Teoria dos Números, Álgebra, Geometria, Equações diferencias ordinárias e parciais lineares e não-lineares, Dinâmica, Eletrostática e Teoria do Campo.

Gostará de ler também:
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Adrien Marie Legendre.