FATOS MATEMÁTICOS

Voltando as Atividades

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 09 Jan 2018 00:33:00 +0000

Olá a todos!

Após 4 anos de paralisação do blog por diversos motivos, sendo que um deles foi a não renderização das equações dos posts, resolvi voltar as atividades na plataforma Wordpress.

Neste novo projeto, o blog terá três vertentes: Matemática Básica, História da Matemática e Matemática Superior. A ideia é republicar muitos dos posts apresentados aqui e também apresentar novos assuntos da Matemática Superior.

O endereço do novo blog é https://fatosmatematicos.com/ e gostaria de tê-los como seguidores nesta nova jornada.

Desta forma, aviso a todos os visitantes que este blog será desativado assim que o novo atingir 100 postagens.

Atenciosamente,

Prof. Paulo Sérgio C. Lino

Aplicação da Regra dos Trapézios na Determinação do Centroide de Placas Planas Curvilíneas

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 03 Feb 2014 15:45:00 +0000

Neste semestre, lecionei a disciplina de Mecânica Aplicada e um dos tópicos apresentados é a determinação do centro de massa ou centroide de placas planas.

Se a placa é uniforme e homogênea, o que ocorre na maioria dos casos, o centro de massa da placa localiza-se em seu centro geométrico e é chamado de centroide. Além disso, se o contorno (borda) da placa são formados por segmentos de retas, podemos decompô-la em outras figuras geométricas conhecidas e achar facilmente o centroide. Podemos citar como exemplo, uma placa formada pelas sete figuras do quebra-cabeça tangram. Esta técnica foi usada com um trabalho teórico-prático apresentado pelos meus alunos conforme a figura abaixo:

Não entrarei em detalhes da determinação de placas planas na forma de tangrams, devido a simplicidade matemática o qual envolve o cálculo de áreas de triângulos, quadrados, paralelogramos e somatórios.

Em algumas situações, tais como em projetos de lajes, temos placas planas com ou sem furos, cujos contornos são curvilíneos e para determinar as coordenadas do centroide, devemos usar integrais definidas e mais ainda, dependendo da função que representa o contorno curvilíneo, devemos usar métodos numéricos de integração. Isto também foi explorado em um trabalho teórico-prático.

Para confeccionar as placas, usamos papel milimetrado A4, variando de 1 em 1 cm e as funções foram escolhidas de modo que as integrais para o cálculo dos momentos e da área fossem inviáveis analiticamente. Além disso, o intervalo da variável independente x foi [;[0, \ 2,8 \ dm];] para que o gráfico ficar na região delimitada pela folha A4. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma placa plana de contorno curvilíneo.

Observe que a área da placa acima é dada pela integral

[;A = \int_{0}^{2,8}f(x)dx = \int_{0}^{2,8}[1,5 + 0,2\sqrt{x}\cos(2x^2)]dx \qquad (1);]

As placas foram confeccionadas com material uniforme e homogêneo, de modo que o momento em relação ao eixo x é dado por

[;M_x = \int \int_R ydA = \frac{1}{2}\int_{0}^{2,8}f(x)^2dx \qquad (2);]

e o momento em relação ao eixo y é dado por:

[;M_y = \int \int_R xdA = \int_{0}^{2,8}xf(x)dx \qquad (3);]

Das expressões (1), (2) e (3), segue que:

[;\bar{x} = \frac{M_y}{A} \quad \text{e} \quad \bar{y} = \frac{M_x}{A};]

Devido a escolha das funções, algumas das integrais acima não podem ser resolvidas por métodos analíticos. Assim, para achar a área, optamos pelo método dos trapézios e pelas expressões acima, segue que as coordenadas do centroide são dadas pelas expressões:

sendo a função calculada em pontos com espaçamento igual a 0,05. Deste modo, a área da placa é dada por:

Uma forma de realizar esses cálculos é através do Excel, mas preferimos construir uma tabela que foi preenchida usando uma calculadora Cásio fx82 fixada em quatro casas decimais. Abaixo, temos o cabeçalho da tabela

O centroide encontrado desta forma foi marcado na placa confeccionada e verificado de forma experimental através de dois métodos. O primeiro foi pendurando a placa por um pequeno furo e observando se o fio de prumo passava pelo centroide e o segundo método experimental foi equilibrar a placa (tangram ou região delimitada pela curva) em um prego vertical conforme a figura abaixo:

Barco feito de Tangram equilibrando em uma placa com um prego.

Foi impressionante observar que o centroide de todas placas calculados de forma numérica através da regra dos trapézios concordavam perfeitamente com o centroide obtido de forma experimental.

Gostará de ler também:

- A Regra dos Trapézios Para o Cálculo de Integrais Definidas.

Aumento de Preço Versus Diminuição do Poder de Compra

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 17 Jan 2014 18:56:00 +0000

O objetivo do presente trabalho é mostrar aos leitores como se calcula a redução percentual do poder de compra de um produto em virtude do aumento de seu preço. Vejamos um exemplo que pode ocorrer com você num determinado momento:

Suponha que você vinha comprando um determinado produto por R$ 10,00, mas hoje o produto está custando R$ 12,50, pergunta-se em termos percentuais qual foi o aumento do preço do produto?

Resolução:

Seja PA = Preço Antigo, PH = Preço Hoje e i = Taxa de aumento. Dados PA = R$ 10,00, PH = 12,50, queremos calcular o valor da taxa i, ou seja,

[;i = \biggl(\frac{PH - PA}{PA}\biggr)100 = \biggl(\frac{12,50 - 10,00}{10,00}\biggr)100;]

ou seja, i = 25%.
Ora se você tem R$ 10,00, mas o produto custa R$ 12,50, pergunta-se:

Em termos percentuais de quanto diminuiu o poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução:
Temos a seguinte regra de três: se 100% corresponde a R$ 12,50, quanto x% corresponde a R$ 10,00?

[;\frac{100 \ \text{por cento}}{x} = \frac{12,50}{10,00} \quad \text{ou} \quad \frac{1}{x} = \frac{12,50}{10,00};]

Resolvendo, obtém-se [;x = 0,80;] ou x = 80%.

Resposta: Os R$ 10,00 que você tem hoje, que antes tinha um poder de compra de 100%, agora só tem 80% do poder de compra.

Se os R$ 10,00 corresponde a 80% do poder de compra, qual foi a redução em termos percentuais, do poder de compra dos R$ 10,00?

Resolução:

Para achar a redução, basta usar a fórmula do desconto comercial:

[;D = N(1 - id);]

na qual D é o desconto, N o valor nominal e id a taxa de desconto.
Dados D = R$ 10,00, N = R$ 12,50, queremos achar id. Note que

[;10 = 12,50(1 - id) \quad \Rightarrow \quad id = 0,20;]

ou seja, id = 20%.

Resposta: A redução em termos percentuais, do poder de compra de R$ 10,00 foi 20%. Falando economicamente, diz-se que 20% é a desvalorização da moeda.

Sejam id a taxa de desvalorização da moeda e ip a taxa de valorização da moeda ou correção monetária.

Se id = 20%, qual deve ser o valor de ip a fim de os R$ 10,00 voltem a ter 100% de poder de compra?

Resolução:

Para encontrar o valor de ip, basta achar a correção monetária:
1 - id = diminuição do poder de compra da moeda
1+ ip = correção monetária

Como o produto (1 - id) por (1 + ip) tem que ser igual a 100% do poder de compra da moeda, logo:

[;(1 - id)(1 + ip) = 1;]

Como id = 20%, segue que

[;(1 - 0,20)(1 + ip) = 1 \quad \Rightarrow \quad ip = 0,25;]

ou ip = 25%.

Resposta: A correção monetária deve ser de 25%, ou seja, o mesmo percentual de aumento do preço do produto.

O aumento de preço de um produto não significa necessariamente inflação, haja vista que para haver inflação tem que haver um aumento generalizado dos preços de todos os produtos que compõem a cesta básica. A cesta básica é composta por centenas, ou até milhares de produtos; dependendo da dimensão da economia do país que se está coletando os preços dos produtos.

Vejamos alguns exemplos do efeito da inflação no salário do trabalhador.

1) Se a inflação acumulada nos meses subsequentes ao seu reajuste salarial foi de 25%, em termos percentuais qual foi a perda de seu salário?

Resolução:
A fórmula que nos dá a correção monetária da moeda é: (1 - id)(1 + ip) = 100% ou

[;id = 1 - \frac{1}{1 + ip} \qquad (1);]

Como se trata de inflação, e não de aumento de preços, vamos designar ip por inflação I e id por perda P. Substituindo na expressão (1), obtém-se:

[;P = 1 - \frac{1}{1 + I} \quad \text{ou} \quad P = \frac{I}{1 + I} \qquad (2);]

Multiplicando o membro da direita da expressão (2) por 100 para obter o resultado em porcentagem, temos:

[;P = \frac{100I}{1 + I};]

Dados I = 25% = 0,25 (taxa de inflação), calcule P (perdas)?
Solução: [;P = \frac{100\cdot 0,25}{1,25} = 20;]%
Resposta: A perda foi de 20%, ou seja, seu salário perdeu 20% do poder de compra.

2) Se em virtude da inflação seu salário perdeu 20% do poder de compra, qual deve ser o reajuste a fim de que ele volte a ter 100% de poder de compra?

Resolução:
Designando ip por R (Reajuste) e id por P (Perda) e substituindo em (1), obtém-se:

[;P = \biggl(1 - \frac{1}{1 + R}\biggr)\cdot 100 \quad \Rightarrow \quad R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100;]

Dados: P = 20% = 0,20 (Perda), queremos achar R.
Solução:

[;R = \biggl(\frac{P}{1 - P}\biggr)\cdot 100 = \biggl(\frac{0,20}{1 - 0,20}\biggr)\cdot 100;]

Resolvendo, encontramos R = 25%.
Resposta: A fim de que o seu salário volte a ter o mesmo poder de compra de 100%, ele tem de ser reajustado em 25%.

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado pela UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB.

Gostará de ler também:
- Como Encontrar a Taxa de Juros nas Compras em Prestações;
- Três Fórmulas no Sistema de Amortização Constante (SAC) que não Existem em Nenhum Livro de Matemática Financeira.

Um Nomógrafo Para Determinar o Dia da Semana em 2014

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 09 Jan 2014 13:09:00 +0000

Os calendários e os nomógrafos (calculadoras gráficas) sempre me fascinaram pela praticidade e beleza. Já apresentamos o calendário permanente de mesa inventado por John Singleton em 1957 e também o calendário dodecaédrico. Tratando-se de nomógrafos, já apresentamos um nomógrafo que determina o índice de massa corporal e o post Usando Nomógrafos Para Calcular Somas e Produtos.

Neste post, veremos um nomógrafo (figura acima) para determinar o dia da semana de qualquer data de 2014 de forma rápida simples e um pouco "misteriosa".

Existem métodos, softwares e fórmulas que calculam o dia da semana de qualquer data entre os anos de 1900 e 2399. O post Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu do blog Giga Matemática apresenta esse assunto de forma sucinta.

Uma vez que os dias da semana repetem-se a cada 7 dias e os meses a cada 12 meses, temos um sistema cíclico que é tratado através da Aritmética Modular, mas vejamos um método gráfico que dispensa o cálculo de somas ou restos de divisões.

Tal método é o nomógrafo, o qual é um diagrama simples constituído de sete linhas e três colunas. Na primeira coluna, estão distribuídos os dias em grupos de 7 linhas. Na segunda, temos os dias da semana de forma cíclica, começando por quarta-feira, pois 01 de janeiro de 2014 foi numa quarta-feira. Na última coluna, os meses do ano distribuídos nas linhas.

Para confeccionar o nomógrafo, copie ou salve a imagem em um arquivo do Word. Em seguida, recorte um pedaço de papel cartão ou cartolina branca do tamanho de uma folha A4 e imprima.

Para usar o nomógrafo, pegue uma régua para auxiliá-lo. Na figura abaixo, temos algumas datas destacadas.

Por exemplo, 01 de junho ocorrerá no domingo e 04 de setembro ou 25 de dezembro ocorrerá numa quinta-feira.

Gostará de ler também:
- Construindo a Cardioide com Barbantes;
- A Calculadora que Soma Frações de Polegadas.

Equações do Segundo Grau de uma Variável

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 07 Jan 2014 19:18:00 +0000

As equações do segundo grau ou quadráticas é um dos assuntos elementares mais fascinantes em toda Matemática. Elas surgem de várias aplicações geométricas, físicas, problemas históricos e de contagem.

Por exemplo, suponha um grupo de alunos resolvem arrecadar dinheiro da seguinte forma: O primeiro aluno sorteado contribui com 20 reais, o segundo com 22 reais, o terceiro com 24 reais e assim por diante. Sabendo que foi arrecadado 376 reais, para descobrir o número de alunos que compõe o grupo, devemos resolver uma equação quadrática. Na Física, o cálculo do tempo de queda de um projétil lançado próximo a superfície terrestre também requer a resolução de uma equação do segundo grau. Elas também surgem no cálculo dos autovalores de uma matriz quadrada de ordem 2. Existem tantos outros exemplos em vários do conhecimento em que esta equação está presente, que é importantíssimo o seu estudo e compreensão.

Definição 1: Sejam [;a;], [;b;] e [;c;] números reais com [;a \neq 0;]. A equação

[;ax^2 + bx + c = 0 \qquad (1);]

é dita equação do [;2^{\underline{\circ}};] grau ou quadrática. Os números [;a;], [;b;] e [;c;] são os coeficientes da equação. Se [;b;] ou [;c;] são nulos, dizemos que (1) é uma equação incompleta. Caso contrário, ela é dita completa.

Exemplo 1: Identifique os coeficientes das equações do segundo grau abaixo e classifique-as em completas e incompletas.

a) [;2x^2 - x - 3 = 0;]
b) [;4x^2 + \sqrt{5} = 0;]
c) [;\frac{x}{3} - \sqrt{2}x^2 = 0;]

Resolução:
a) Comparando com a equação (1), temos [;a = 2;], [;b = -1;] e [;c = -3;]. Deste modo, a equação do segundo grau dada é completa.
b) Nesse caso, [;a = 4;], [;b = 0;] e [;c = \sqrt{5};]. Logo, é uma equação do segundo grau incompleta.
c) Nesse caso, [;b=1/3;], [;b = -\sqrt{2};] e [;c=0;]. Logo, é uma equação do segundo grau incompleta.

Definição 2: O número [;\alpha;] é uma raiz ou zero da equação quadrática (1) se [;a\alpha^2 + b\alpha + c = 0;].

Proposição 1: Se [;\alpha;] e [;\beta;] são raízes distintas da equação (1), então:
i) [;\alpha + \beta = -\frac{b}{a};]
ii) [;\alpha\cdot \beta = \frac{c}{a};]

Demonstração:
i) Sendo [;a\alpha^2 + b\alpha + c = 0;] e [;a\beta^2 + b\beta + c = 0;], segue que

[;a(\alpha^2 - \beta^2) + b(\alpha - \beta) = 0 \quad \Rightarrow;]

[;a(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + b(\alpha - \beta) = 0 \quad \Rightarrow;]

[;(\alpha - \beta)[a(\alpha + \beta) + b] = 0;]

Sendo [;\alpha \neq \beta;], segue que [;\alpha + \beta = -\frac{b}{a};].

ii) Note que

[;a(\alpha^2 + \beta^2) + b(\alpha + \beta) + 2c = 0 \quad \Rightarrow;]

[;a(\alpha^2 + \beta^2) + b(-\frac{b}{a}) = -2c \quad \Rightarrow;]

[;\alpha^2 + \beta^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} \qquad (2);]

Por outro lado,

[;(\alpha + \beta)^2 = \frac{b^2}{a^2} \quad \Rightarrow;]

Usando a expressão (2), temos:

[;2\alpha \beta = \frac{b^2}{a^2} - \frac{b^2 - 2ac}{a^2} = \frac{2c}{a};]

donde segue o resultado.

Observe que esta Proposição nos possibilita achar a soma e o produto das raízes da equação quadrática sem conhecê-las.

Definição 2: Chama-se discriminante da equação (1) o número [;\Delta = b^2 - 4ac;].

Corolário 1: Se [;\alpha;] e [;\beta;] são as raízes da equação quadrática (1), então

[;(\alpha - \beta)^2 = \frac{\Delta}{a^2} \qquad (3);]

Demonstração: De fato,

[;(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha \beta;]

Da expressão (2), segue que

[;(\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2};]

Exemplo 2: Ache a soma e o produto das raízes das equações do segundo grau abaixo:
a) [;4x^2 - 4x + 1 = 0;]
b) [;8x^2 - 20x + 12 = 0;]

Resolução:

a) Sendo [;a = 4;], [;b = -4;] e [;c = 1;], então

[;\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{4} = 1 \quad \text{e} \quad \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{4};]

b) Analogamente, [;\alpha + \beta = \frac{20}{8} = \frac{5}{2};] e [;\alpha \beta = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};]

Proposição 2: As raízes da equação quadrática incompleta [;ax^2 + bx = 0;] são [;\alpha = 0;] e [;\beta = -\frac{b}{a};].

Demonstração: De fato,

[;ax^2 + bx = 0 \quad \Rightarrow \quad x(ax + b) = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 0 \quad \text{e} \quad \beta = -\frac{b}{a};]

Portanto, se o coeficiente [;c;] da equação quadrática é nulo, podemos colocar [;x;] como fator comum em evidência e resolver facilmente a equação.

Proposição 3: As raízes da equação quadrática incompleta [;ax^2 + c = 0;] são dadas por [;x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}};].

Demonstração: Fica a cargo do leitor.

Proposição 4: As raízes da equação quadrática (1) são:

[;\alpha = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{e} \quad \beta = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a};]

Demonstração: Da Prop. 1 e do Cor. 1, temos o sistema de equações nas variáveis [;\alpha;] e [;\beta;]:

[;\begin{cases} \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\\ \alpha - \beta = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{a} \end{cases};]

Somando e subtraindo essas equações, segue o resultado.

Observe que se o discriminante [;\Delta;] for nulo, teremos uma raiz de multiplicidade 2 e se ele for negativo as raízes não são reais.

Exemplo 3: Resolva as equações quadráticas abaixo:
a) [;x^2 - 5x + 4 = 0;]
b) [;x^2 + x + 1/4 = 0;]
c) [;(2x + 1)^2 + x = (x + 2)^2 + 1;]

Resolução:
a) Nesse caso, [;\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 9 > 0;], de modo que

[;x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm 3}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow;]

b) Nesse caso, [;\Delta = 1 - 4\cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 0;], de modo que

[;\alpha = \beta = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot 1/4} = -\frac{1}{2};]

c) Desenvolvendo a expressão, temos:

[;4x^2 + 4x + 1 + x = x^2 + 4x + 4 + 1 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + x - 4 = 0;]

O discriminante é [;\Delta = 1^2 - 4\cdot 3\cdot (-4) = 49;]. Logo,

[;x = \frac{-1 \pm 7}{6} \quad \Rightarrow \quad \alpha = -\frac{4}{3} \quad \text{e} \quad \beta = 1;]

Gostará de ler também:

- Um Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara;
- Explorando a Simetria da Parábola Para Resolver Equações Quadráticas;
- Fatoração do Trinômio Quadrático em Z;
- Descartes e a Equação Quadrática;
- Regra de Descartes e a Equação Quadrática;
- Raízes Positivas da Equação Quadrática Via Regra de Sinais de Descartes;
- Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas;
- A Parábola e as Funções Quadráticas;
- Um Modo Diferente de Medir a Aceleração da Gravidade;
- Alguns Problemas do Dia-a-Dia Via Equações Quadráticas;
- Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada;
- A História das Equações Algébricas (Parte 2);
- Resolvendo Equações Quadráticas Pelo Método Geométrico de Descartes (Blog O Baricentro da Mente).

A Regra dos Trapézios Para o Cálculo de Integrais Definidas

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 04 Jan 2014 22:26:00 +0000

Uma regra de integração numérica fácil de usar e que obtém bons resultados desde que o número de subintervalos seja grande é a regra dos trapézios. Seu princípio é semelhante a construção da integral definida em um intervalo [;[a,b];], porém ao invés de usar retângulos para aproximar a área abaixo do gráfico de uma função [;f;] positiva, usamos trapézios.

Formalmente, considere uma função [;f;] contínua no intervalo [;[a,b];]. Queremos calcular a integral definida

[;\int_{a}^{b} f(x)dx \qquad (1);]

usando pequenos trapézios de altura constante igual a [;\Delta x = (b - a)/n;] conforme veremos abaixo. Vejamos o caso em que [;f(x) \geq 0;] para todo [;x \in [a,b];], conforme a figura acima.

Note que [;x_0 = a;] e [;x_n = b;] e que a integral acima representa a área da delimitada pelo eixo [;x;], pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;]. Sendo os intervalos uniformes, então

[;x_1 = a + \Delta x;]

[;x_2 = a + 2\Delta x;]

[;\vdots \quad \vdots;]

[;x_n = a + n\Delta x \quad \Rightarrow \quad \Delta x = \frac{b - a}{n};]

O primeiro trapézio é formado pelos pontos [;(a,0);], [;(x_1,0);], [;(x_1,f(x_1));] e [;(a,f(a));] e sua área é

[;A_1 = (x_1 - a)\cdot \frac{[f(a) + f(x_1)]}{2} = \frac{[f(x_0) + f(x_1)]\Delta x}{2};]

A área do segundo trapézio é dada por:

[;A_2 = \frac{[f(x_1) + f(x_2)]\Delta x}{2};]

A do terceiro é

[;A_3 = \frac{[f(x_2) + f(x_3)]\Delta x}{2};]

e a do último é

[;A_n = \frac{[f(x_{n-1}) + f(b)]\Delta x}{2} = \frac{[f(x_{n-1}) + f(x_n)]\Delta x}{2};]

Assim, a integral definida (1) acima, é aproximadamente igual a:

[;A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_n;]

ou seja,

[;\int_{a}^{b}f(x)dx \simeq \sum_{k=0}^{n}\frac{[f(x_k) + f(x_{k+1})]\Delta x}{2};]

[;= \frac{(b - a)}{2n}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)];]

[;=\frac{(b - a)[f(x_0) + f(x_n)]}{2n} + \frac{(b - a)}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) \qquad (2);]

Exemplo 1: Calcule aproximadamente a área sob o gráfico de [;f(x) = x^2;], o eixo [;x;] e as retas [;x = 0;] e [;x = 2;] usando [;8;] trapézios.

Resolução: Nesse caso, [;a = 0;], [;b = 2;] e [;n = 8;], de modo que

[;x_k = a + k\Delta x = 0 + \frac{k(2 - 0)}{8} = \frac{k}{4};]

Assim,

[;\int_{0}^{2}x^2dx \simeq \frac{(2 - 0)}{2\cdot 8}\cdot [f(2) - f(0)] + \frac{2 - 0}{8}\sum_{k=1}^{7}f(k/4);]

[;\simeq \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\biggl[\bigl(\frac{1}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{2}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{3}{4}\bigl)^2 + \bigl(\frac{4}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{5}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{6}{4}\bigr)^2 + \bigl(\frac{7}{4}\bigr)^2\biggr];]

[;\simeq 2,6875;]
O valor exato é [;2,666\ldots;].

É claro que nesse exemplo a integral dada é muito simples e poderia ser resolvida diretamente. Em muitas aplicações isso não ocorre e a regra acima aproxima-se cada vez mais do valor exato se o valor de [;n;] é muito grande.

Exemplo 2: Mostre que a abscissa do centroide de uma placa plana uniforme e homogênea delimitada superiormente pelo gráfico de uma função positiva [;f;], inferiormente pelo eixo [;x;] e lateralmente pelas retas [;x = 0;] e [;x = b;] é aproximadamente igual a

[;\bar{x} \simeq\frac{bf(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)}{f(0) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)};]

onde [;n;] representa o número de subdivisões do intervalo [;[0,b];].

Resolução: A abscissa [;\bar{x};] do centroide [;G;] de uma placa plana uniforme e homogênea, delimitada pelo eixo [;x;], pelo gráfico de [;f;] e pelas retas [;x = a;] e [;x = b;] é

[;\bar{x} = \frac{1}{A}\int_{a}^{b}xf(x)dx;]

onde
[;A = \int_{a}^{b}f(x)dx;]. No caso em que [;a = 0;], temos da expressão (2) que

[;\int_{0}^{b}f(x)dx \simeq \frac{b}{2n}[f(0) + f(b)] + \frac{b}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k);]

Temos também:

[;\int_{0}^{b}xf(x)dx \simeq \frac{b}{2n}[0f(0) + bf(b)] + \frac{b}{n}\sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k);]

[;=\frac{b}{n}\biggl[\frac{bf(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)\biggr];]

de modo que

[;\bar{x} = \frac{1}{A}\int_{0}^{b}xf(x)dx \simeq \frac{\frac{b}{n}\biggl[\frac{bf(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}x_kf(x_k)\biggr]}{\frac{b}{n}\biggl[\frac{f(0) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\biggr]};]

donde segue o resultado.

Exercício Proposto: Mostre que a ordenada do centroide de uma placa plana uniforme e homogênea delimitada superiormente pelo gráfico da função positiva [;f;], inferiormente pelo eixo [;x;] e lateralmente pelas retas [;x = 0;] e [;x = b;] é aproximadamente igual a

[;\bar{y} = \frac{\frac{f(0)^2 + f(b)^2}{2} + \sum_{k=1}^{n - 1}f(x_k)^2}{f(0) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)};]

Gostará de ler também:
- A Integral Definida e o Limite de Somas;
- Centroide de Regiões na Forma de Leque;

- Regra dos Trapézios Repetida (Blog O Baricentro da Mente).

Sophie Germain

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 01 Dec 2013 12:23:00 +0000

No mundo predominantemente masculino da matemática universitária do século XVIII, era difícil que mulheres talentosas fossem aceitas. Desestimuladas a estudar o assunto, eram impedidas de entrar na universidade ou de fazer parte de academias. Uma matemática que teve que lutar contra tais preconceitos foi Sophie Germain (1776-1831).

Sophie Germain era filha de um comerciante que, embora financeiramente bem sucedido, não pertencia à aristocracia. Nunca se casou, tendo tido sua carreira universitária financiada pelo pai que mais tarde se tornou diretor de Banco da França.

Ainda adolescente, confinada ao lar devido aos tumultos na cidade, passou muito tempo pesquisando a biblioteca de seu pai. Lá encontrou o livro História da Matemática, de Jean-Étienne Montucla. O livro continha a enorme relação das descobertas de Arquimedes. Pôs-se a estudar a teoria básica dos números, Cálculo e os trabalhos de Leonhard Euler e Isaac Newton. Os pais se opunham com veemência a tais atividades por acreditar que seriam prejudiciais a moça. À noite, chegaram a remover o aquecimento e a luz da filha e a esconder suas roupas para dissuadi-la, mas ela persistiu e eles acabaram cedendo.

A biblioteca tornou-se pequena para o seu desejo de aprender. Em 1794, até hoje célebre École Polythenique foi inaugurada em Paris, mas Sophie não pôde cursá-la por ser mulher. Mesmo assim, conseguiu umas notas de um curso de Análise que Lagrange acabara de ministrar naquela instituição. Fingindo ser um dos alunos da École, sob o pseudônimo de M. Le Blanc, Sophie submeteu a Lagrange umas notas que tinha escrito sobre Análise. Lagrange ficou tão impressionado com o artigo que procurou conhecer seu autor. Quando, nervosa, Germain apareceu, ele se espantou mas ficou contente. Passou a lhe dar toda a ajuda e estímulo, pondo-a em contato com outros matemáticos franceses e auxiliando-a a desenvolver os interesses matemáticos.

Desses, um dos mais importantes era a teoria dos números. Germain escreveu a Adrien-Marie Legendre, autor de um renomado livro sobre o assunto, a respeito de algumas dificuldades que tivera com o seu livro. Isso levou a uma correspondência prolongada e frutífera.

Outra correspondência produtiva foi com o grande Gauss. Os recentes Disquistione Arithmeticae sobre a teoria dos números impressionaram tanto Sophie Germain que ela juntou coragem para lhe mandar as suas descobertas, preferindo mais uma vez se apresentar como Monsieur Le Blanc da École Polytechnique.

Um dos assuntos preferidos de Sophie Germain é a Teoria dos Números, especialmente, o último teorema de Fermat para o qual ela obteve vários resultados novos e provou especificamente que, se [;n;] for um número primo menor do que 100, então o último teorema de Fermat não admite soluções inteiras positivas se [;x;], [;y;] e [;z;] forem primos entre si e entre cada um e [;n;]. Ela trocou correspondência com Gauss sobre esse assunto, mas certa ocasião, ele demonstrou pouco interesse nesse problema dizendo que poderia elaborar alguns problemas semelhantes a esse e cuja prova está além do alcance de qualquer um.

Ela correspondeu com Gauss usando o pseudônimo de M. Antonie Le Blanc, mas sua identidade foi revelada em 1807, quando soldados franceses ocuparam a cidade de Hanover, onde Gauss morava. Com medo de que Gauss tivesse destino semelhante ao de Arquimedes, ela entrou em contato com o general Pernety, comandante francês e amigo da família, que concordou em garantir a segurança de Gauss e lhe revelou a fonte do pedido. Gauss lhe escreveu para lhe contar a sua surpresa e o seu prazer, elogiando-a pela "mais nobre coragem, talento bastante extraordinário e gênio superior."

Em 1808, quando Gauss foi para Gottingen, Sophie Germain perdeu o interesse pela Teoria dos Números e, inspirada por algumas palestras do físico alemão Ernst Chladni, envolveu-se com elasticidade e acústica; Chladni espalhara areia num prato de vidro e observara os desenhos surgidos ao passar um arco de violino na borda do prato.

Essas observações não tinha base teórica conhecida, e a Academia de Ciências francesa ofereceu um prêmio para quem formulasse uma teoria matemática para as superfícies elásticas e explicasse como concordava com a observação. Com alguns resultados de Sophie Germain, Lagrange descobriu a equação diferencial parcial das vibrações de um prato plano, a partir da qual ela desenvolveu uma teoria geral das vibrações de uma superfície curva. Isso impressionou tanto os juízes que ela ganhou o prestigioso prêmio e uma medalha do Instituto da França. Mais tarde, o seu trabalho nessa área foi a base da moderna teoria da elasticidade.

Posteriormente, em seus últimos anos, refez o seu relacionamento com Carl Gauss, que convenceu a Universidade de Gottingen a premiá-la com um grau honorário. Antes que a universidade lhe tivesse concedido a honraria, Sophie Germain morreu de câncer no seio.

Embora tenha sido ela, provavelmente, uma das mulheres com maior capacidade intelectual que a França produziu, na notícia oficial de sua morte foi designada com uma rentière-annuitant (solteira sem profissão) - ao invés de matemática, além de ter sido omitido o seu nome da relação dos setenta e dois sábios cujas pesquisas contribuíram definitivamente para a construção da Torre Eiffel - quando os seus estudos para estabelecer a teoria da elasticidade foram fundamentais para a construção daquela torre.

Referências Bibliográficas:

- Flood, Raymond. A História da Matemática: Os Grandes Matemáticos. Editora M. Books, São Paulo, 2013.

- http://pt.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain

A Lei dos Senos e Aplicações na Estática

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 28 Oct 2013 16:34:00 +0000

O estudo da Geometria Plana é fundamental para compreender muitos conceitos em outras áreas da Matemática. É interessante observar que alguns teoremas tem aplicações em algumas áreas da Física. Por exemplo, a lei dos senos tem aplicações no equilíbrio de pontos materiais e este será o assunto tratado neste post.

Teorema 1: (Lei dos Senos) Em um [;\triangle ABC;] qualquer, a razão entre qualquer lado e o seno do ângulo oposto é constante, isto é,

[;\frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{b}{\sin \hat{B}} = \frac{c}{\sin \hat{C}} \qquad (1);]

Demonstração: Existe uma prova usando o circuncentro, mas preferi dividi-la em dois casos.

Caso 1: O [;\triangle ABC;] é acutângulo

Considere a figura abaixo:

Seja [;h_C;] a altura relativa ao vértice [;C;]. Assim,

de modo que

[;a\sin \hat{B} = b\sin \hat{A} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{b}{\sin \hat{B}} \qquad (1);]

Considere agora [;h_B;] a altura relativa ao vértice [;B;]. Pela definição de seno em um triângulo retângulo,

[;\sin \hat{A} = \frac{h_B}{c} \quad \text{e} \quad \sin \hat{C} = \frac{h_B}{a};]

de modo que

[;a\sin \hat{C} = c\sin \hat{A} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{c}{\sin \hat{C}} \qquad (2);]

De (1) e (2) segue o resultado.

Caso 2: [;\triangle ABC;] é obtusângulo

Seja [;h_A;] a altura relativa ao vértice [;A;].

Assim,

[;\sin \hat{B} = \frac{h_A}{c} \quad \text{e} \quad \sin \hat{C} = \frac{h_A}{b};]

de modo que

[;c\sin \hat{B} = b\sin \hat{C} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{\sin \hat{B}} = \frac{c}{\sin \hat{C}} \qquad (3);]

Seja [;h_C;] a altura relativa ao vértice [;\hat{C};]. Assim,

[;\sin \hat{B} = \frac{h_C}{a} \quad \text{e} \quad \sin(180^{\circ} - \hat{A}) = \frac{h_C}{b};]

Usando o fato que [;\sin (180^{\circ} - \hat{A}) = \sin \hat{A};], segue que

[;a\sin \hat{B} = b\sin \hat{A} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{\sin \hat{B}} = \frac{a}{\sin \hat{A}} \qquad (4);]

De (3) e (4), segue o resultado.

Podemos usar a lei dos senos para provar o teorema da bissetriz interna de um triângulo [;ABC;]. Há também uma versão da lei dos senos para triângulos esféricos tratada no post A Lei dos Senos da Trigonometria Esférica.

A aplicação da lei dos senos em alguns problemas de Estática é fundamentada no teorema a seguir:

Teorema 2: Sejam [;\vec{F}_1;], [;\vec{F}_2;] e [;\vec{F}_3;] três forças coplanares e concorrentes. Considere os ângulos [;\alpha;], [;\beta;] e [;\gamma;] formado por estas forças conforme a figura abaixo.

Se [;\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0};], então

[;\frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\sin \beta} = \frac{F_3}{\sin \gamma};]

Demonstração: Sejam [;\vec{F_1};], [;\vec{F_2};] e [;\vec{F_3};] três forças coplanares e concorrentes. Considere os ângulos [;\alpha;], [;\beta;] e [;\gamma;] conforme a figura abaixo.

Para provar a tese, colocamos um sistema de coordenadas cartesianas, conforme a figura abaixo.

Se [;\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0};], então [;\sum \vec{F_x} = \vec{0};] e [;\sum \vec{F_y} = \vec{0};]. Assim,

[;\begin{cases}F_2\cos \epsilon = F_3\cos \delta \quad (5)\\ F_2\sin \epsilon + F_3\sin \delta = F_1 \quad (6)\\ \end{cases};]

Da expressão (5), temos:

[;F_2\cos(\gamma - 90^{\circ}) = F_3\cos(\beta - 90^{\circ}) \quad \Rightarrow;]

[;F_2\sin \gamma = F_3\sin \beta \quad \Rightarrow;]

[;\frac{F_2}{\sin \beta} = \frac{F_3}{\sin \gamma} \qquad (7);]

Da expressão (6),

[;\frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2\sin \epsilon + F_3\sin \delta}{\sin \alpha};]

[;=\frac{F_2\sin \epsilon + \frac{F_2\cos \epsilon}{\cos \delta}\sin \delta}{\sin \alpha} = \frac{F_2(\sin \epsilon \cos \delta + \sin \delta \cos \epsilon)}{\sin \alpha \cos \delta};]

[;=\frac{F_2\sin(\delta + \epsilon)}{\sin(180^{\circ} - \delta - \epsilon)\cos \delta} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\cos \delta} = \frac{F_2}{\sin(90^{\circ} + \delta)} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{F_1}{\sin \alpha} = \frac{F_2}{\sin \beta} \qquad (8);]

De (7) e (8), segue o resultado.

Exemplo 1: O sistema mecânico abaixo está em equilíbrio estático. Sabendo que [;T_{AC} = \sqrt{3}P;], ache o valor de [;\theta;].

Resolução: Pela lei dos senos,

[;\frac{P}{\sin \theta} = \frac{T_{AC}}{\sin(360^{\circ} - 90^{\circ} - \theta)} \quad \Rightarrow \quad ;]

[;\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad \tan(180^{\circ} - \theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow;]

[;\theta - 180^{\circ} = -30^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \theta = 150^{\circ};]

Exercício Proposto: O sistema mecânico abaixo está em equilíbrio estático. Determine o valor de [;P;] e da tensão [;T_{AB};].

Gostará de ler também:
- O Teorema da Bissetriz Interna Através da Lei dos Senos;
- A Lei dos Senos da Trigonometria Esférica.

Taxa de Juros Anunciada Versus Taxa de Juros Cobrada

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sat, 12 Oct 2013 18:25:00 +0000

Introdução

Quando o leitor se depara com os trabalhos de Matemática Financeira que a partir de hoje vão ser publicados neste blog, perguntará a si mesmo: "se já existem, no mercado editorial brasileiro, tantos livros de Economia, Matemática Comercial e Financeira que abordam esses assuntos, por que abordá-los mais uma vez ?"

Já que existem vários motivos para uma pessoa abordar alguns assuntos sobre Matemática Financeira, é difícil responder à pergunta acima. No meu caso, existiam dois motivos fortes para escrever esses trabalhos.

O primeiro, uma preocupação levou-nos a escrever alguns trabalhos sobre Matemática Financeira para transmitir conhecimento, e não para mostrá-los ( o que é próprio dos "estupradores" de cérebro).

A segunda preocupação levou-nos a uma tarefa árdua: incluir em pequenos trabalhos, assuntos que com algumas dificuldades encontram-se em vários livros de Economia, Matemática Comercial e Financeira, Cálculo Financeiro ou Álgebra Financeira. Mesmo que nesses casos livros contenham esses assuntos, o leitor ainda poderá ter dificuldades. Por quê? Porque os assuntos apresentados nesses livros, com raras exceções, são mais direcionadas à aplicação da matemática pura, do que a aplicação aos problemas com os quais o leitor se defronta no seu dia a dia.

As ferramentas apresentadas, em cada trabalho, são veículos poderosos para tomar decisões que você e seus colegas tomam, e aumentar o sucesso ao resolver os seus problemas do dia a dia e conquistar objetivos.

Taxa de Juros Anunciada Versus Taxa de Juros Cobrada

Vamos mostrar a seguir, uma fórmula prática, por meio da qual o leitor descobrirá se a taxa de juros, anunciada em lojas, Bancos ou financeiras, é falsa ou verdadeira, sem ser necessário calcular a taxa de juros por meio de calculadora financeira ou Excel. Com a fórmula e uma calculadora científica em mãos, o consumidor terá duas ferramentas para pesquisar e saber em qual loja, Banco ou financeira a taxa de juros cobrada é menor. Apenas dois exemplos resolvidos com uma calculadora científica, é o suficiente para qualquer leitor entender a resolução, e, ademais, resolver quaisquer outros exemplos semelhantes, desde que saiba manejar uma calculadora científica.

Exemplo 1: Suponha que numa loja o seguinte anúncio relativo à venda de um produto:
À VISTA: 1500 U.M.
A PRAZO: 6 prestações: 1 + 5 de 301,83 U.M.
TAXA DE JUROS: 5% ao mês

Pergunta-se: o anúncio é falso ou verdadeiro?
FÓRMULA:

[;R = \frac{(PV - E)i}{1 - (1 + i)^{-n}};]

Na qual:
R = Valor a ser comprado com 301,83 U.M.
PV - E = Valor financiado
E = Entrada
i = taxa de juros anunciada pela loja
n = Número de prestações (Excluída a entrada)

Como saber se o anúncio é falso ou verdadeiro?

Se o valor de R, calculado pela fórmula, for menor que o valor da prestação, é sinal que a taxa de juros cobrada é maior que a taxa de juros anunciada, ou seja, o anúncio é falso.

Se o valor de R, calculado pela fórmula, for igual ao valor da prestação (com diferença apenas nas casas decimais), então, a taxa de juros anunciada é igual à taxa de juros cobrada pela loja, ou seja, o anúncio é verdadeiro.

DADOS: PV = 1500 U.M., E = 301,83 U.M., de modo que PV - E = 1198,17 U.M. Além disso, i = 5% ao mês = 0,05 e n = 5 (excluída a entrada, ou seja, 6 - 1 = 5).
SOLUÇÃO:

[;R = \frac{(PV - E)i}{1 - (1 + i)^{-n}} = \frac{1198,17\times 0,05}{1 - (1 + 0,05)^{-5}} = \frac{59,91}{0,216474} = 276,75;]

RESPOSTA: Como R = 276,75 U.M., calculado pela fórmula, é menor que 301,83 U.M. (valor da prestação), logo, a taxa de juros cobrada pela loja, é maior que 5% ao mês e, consequentemente, o anúncio é falso.

Caso você queira saber a taxa cobrada pela loja, basta consultar os dois trabalhos: Como Encontrar a Taxa de Juros nas Compras em Prestações (Parte 1) e Como Encontrar a Taxa de Juros nas Compras em Prestações (Parte 2).

Calculando a taxa de juros, obtém-se 8,22% ao mês, superior a 5% ao mês. Resultado que comprova a validade da fórmula.

OBSERVAÇÕES:
a) Se não houver entrada, o valor financiado é o próprio valor à vista.
b) U.M. (Unidade Monetária, ou seja, qualquer moeda: dólar, euro, real, etc.)

Exemplo 2: Um determinado Banco empresta 10.000 U.M. para serem pagas em 4 prestações iguais e mensais de 2820,12 U.M; se o gerente lhe informa que a taxa de juros que o Banco está cobrando é de 5% a.m. pergunta-se: é falsa ou verdadeira a informação dada pelo gerente?

Resolução:
DADOS: vf = 10.000 U.M. (valor financiado)
R = 2820,12 U.M. (valor de cada prestação)
n = 4 (número de prestações)
E = 0 (não houve entrada)

SOLUÇÃO:
[;R = \frac{VF i}{1 - (1 + i)^{-n}} = \frac{10.000 \times 0,05}{1 - (1 + 0,05)^{-4}} = 2820,12;]

RESPOSTA. Como R = 2820,12 U.M., calculado pela fórmula, é igual ao valor da prestação, logo, a informação dada pelo gerente é verdadeira, ou seja, taxa cobrada pelo Banco é realmente 5% a.m.

DEDUÇÃO DA FÓRMULA:

O valor atual de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais com termos vencidos, equivale à soma dos valores atuais dos pagamentos ou recebimentos (R), durante n períodos a uma taxa i.

O valor de cada termo é calculado pela fórmula dos juros compostos:

[;P = S(1 + i)^{-n};]

O esquema abaixo representa uma série de n recebimentos (R), com os respectivos valores atuais à taxa i.

O valor atual de uma série de recebimentos iguais com termos vencidos é representado por P (Valor atual) ou PV (Preço à vista). Portanto:

[;PV = R(1 + i)^{-n} + R(1 + i)^{-(n+1)}+\ldots+;]
[;R(1 + i)^{-2} + R(1 + i)^{-1};]

Usando a fórmula da soma dos termos de uma P.G., obtém-se

[;PV = R\biggl[\frac{(1+ i)^{-1}(1 + i) - (1 + i)^{-n}}{(1 + i) - 1}\biggr];]
[;= R\biggl[\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}\biggr];]

Em resumo, temos:
Preço à vista sem entrada:

[;PV = R\biggl[\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}\biggr];]

Preço à vista com entrada:

[;PV - E = R\biggl[\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}\biggr];]

Tirando o valor de R na fórmula sem entrada, obtém-se:

[;R = \frac{PVi}{1 - (1 + i)^{-n}};]

Tirando o valor de R na fórmula com entrada, obtém-se:

[;R = \frac{(PV - E)i}{1 - (1 + i)^{-n}};]

FONTE: NASCIMENTO (Sebá), Sebastião Vieira do. Matemática Financeira ao alcance de todos... - Série de pagamentos ou recebimentos, taxa interna de retorno, sistemas de amortização e inflação. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2008.

Centro de Massa de Sistemas Mecânicos

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 02 Oct 2013 19:14:00 +0000

Após um longo período sem disponibilizar algum material para download, resolvi compartilhar um pequeno texto sobre o centro de massa de sistemas mecânicos. Para baixá-lo click na imagem acima.

O caminho trilhado segue as ideias de Euclides, apresentando as definições, proposições, corolários, observações, etc. É claro que essa forma de tratar o assunto é muito raro e pouco adotada pela maioria dos livros textos.

O uso de somatórios, integrais e simetrias é constante. Portanto, é recomendável que o leitor esteja familiarizado com tais assuntos. Fiz várias revisões buscando minimizar os erros, mas nunca estaremos livres deles.

Quaisquer sugestões, críticas e dicas serão bem-vindas e podem ser enviadas para linnux2001@gmail.com.

Um Método Simplificado Para Calcular Integrais por Substituição de Variáveis

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 29 Sep 2013 21:05:00 +0000

Este método é uma versão simplificada da técnica de Substituição de Variáveis que de certo modo, é a regra da cadeia vista de trás pra frente. Resumidamente, este método é dado pela identidade a seguir:

[;\int f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)dx = f(g(x)) + C;]

A dica para usar esta técnica, consiste em observar se há no integrando algum termo [;g(x);] cuja derivada é um outro termo do integrando. Denota-se esse termo por [;u;] e calcula a derivada [;\frac{du}{dx} = g^{\prime}(x);]. Em seguida, isola-se o elemento diferencial [;dx;] da última expressão e substitui na integral dada para obter uma integral apenas na variável [;u;]. Resolve-se essa integral e volta para a variável antiga.
O método que apresentaremos é semelhante a este, mas dispensa o uso de variáveis intermediárias tais como [;u;], [;v;], [;w;], etc. Seu fundamento é baseado no conceito de diferencial de uma função, isto é, se [;f;] é uma função diferenciável em um intervalo aberto [;I;] e se [;x \in I;], então a diferencial de [;f;] em [;x;] é definida por [;df = f^{\prime}(x_0)dx;]. Abaixo apresentamos as principais diferenciais necessárias para usar o método simplificado de integração por substituição de variáveis.
[;1);] [;d(k) = 0;]
[;2);] [;d(x^n) = nx^{n-1}dx;]. Em particular, [;d(\sqrt{x}) = \frac{dx}{2\sqrt{x}};]
[;3);] [;d(e^x) = e^xdx;]
[;4);] [;d(\sin x) = \cos x dx;]
[;5);] [;d(\cos x) = -\sin x dx;]
[;6);] [;d(\ln x) = \frac{dx}{x};]
[;7);] [;d(\tan x) = sec^2 x dx;]
[;8);] [;d(\arcsin x) = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}};]
[;9);] [;d(\arctan x) = \frac{dx}{1 + x^2};]

Vejamos alguns exemplos de integrais por substituição de variáveis usando essa técnica:

Exemplo 1: Calcule as integrais indefinidas abaixo:

[;a);] [;\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx;]

[;b);] [;\int \frac{\cos{(\ln x)}}{x}dx;]

[;c);] [;\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx;]

[;d);] [;\int x^2\cos(4x^3)dx;]

[;e);] [;\int \frac{1}{9 + x^2}dx;]

[;f);] [;\int \frac{1}{\sqrt{1 + 2x^2}}dx;]

Resolução:
[;a);] Como [;d(x^2 +1) = 2xdx;], então [;xdx = \frac{d(x^2 + 1)}{2};], de modo que

[;= \int d(\sqrt{x^2 + 1}) = \sqrt{x^2 + 1} + C;]

[;b);] Usarei diretamente as diferenciais acima em cada etapa.

[;\int \frac{\cos(\ln x)}{x}dx = \int \cos(\ln x)d(\ln x);]

[;= \int d[\sin(\ln x)] = \sin(\ln x) + C;]

[;c);] É interessante observar que as vezes temos que multiplicar e dividir a integral dada por uma mesma constante para obter a diferencial. Isto ocorre na integral abaixo:

[;\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = 2\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx;]

[;= 2\int e^{\sqrt{x}}d(\sqrt{x}) = \int d(e^{\sqrt{x}}) = e^{\sqrt{x}} + C;]

[;d);]

[;\int x^2\cos(4x^3)dx = \frac{1}{12}\int 12x^2\cos(4x^3)dx;]

[;=\frac{1}{12}\int \cos(4x^3)d(4x^3) = \frac{1}{12}\int d[\sin(4x^3);]

[;=\frac{1}{12}\sin(4x^3) + C;]

[;e);]

[;\int \frac{1}{9 + x^2}dx = \frac{1}{9}\int \frac{dx}{1 + (x/3)^2} = \frac{1}{3}\int \frac{d(x/3)}{1 + (x/3)^2};]

[;=\frac{1}{3}\int d\biggl[\arctan \frac{x}{3}\biggr] = \frac{1}{3}\arctan\biggl(\frac{x}{3}\biggr) + C;]

[;f);]

[;\int \frac{1}{\sqrt{1 + 2x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{2}x)^2}}dx;]

[;=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sqrt{2}dx}{\sqrt{1 + (\sqrt{2}x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}x)}{\sqrt{1 + (\sqrt{2}x)^2}};]

[;=arcsinh(\sqrt{2}x) + C;]

Gostará de ler também:

- Diferenciais e Aproximação Linear Local;

Coeficientes Binomiais Generalizados

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 20 Sep 2013 21:34:00 +0000

Devemos a Isaac Newton a descoberta de que o binômio [;(a + b)^n;] também é válido se [;n;] é um número inteiro ou fracionário. Este fato, foi muito explorado por ele que fez um uso expressivo das séries infinitas em suas pesquisas matemáticas. Sendo assim, é muito justo homenagear Isaac Newton, colocando seu nome no binômio acima.

Uma vez que o expoente [;n;] pode ser fracionário, por analogia aos coeficientes binomiais comuns, criar os coeficientes binomiais generalizados, que apresentamos abaixo:

Definição 1: Sejam [;a;] e [;b;] números inteiros com [;b \neq 0;] e [;n \in \mathbb{N};]. O coeficiente binomial generalizado é definido por:

[;{a/b \choose 0} = 1, \qquad {a/b \choose 1} = \frac{a}{b};]

[;{a/b \choose n+1} = {a/b \choose n}\biggl(\frac{a}{b} - n\biggr)\frac{1}{n+1};]

para [;n \geq 1;].

Exemplo 1: Calcule os coeficientes binomiais generalizados abaixo:

[;a);] [;4/3 \choose 2;]

[;b);] [;{-3/2} \choose 3};]

[;c);] [;{4 \choose 2};]

Resolução:

[;a);] [;{4/3 \choose 2} = {4/3 \choose 1}\biggl(\frac{4}{3} - 1\biggr)\frac{1}{2} = \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{9};]

[;b);] [;{-3/2 \choose 3} = {-3/2 \choose 2}\biggl(-\frac{3}{2} - 2\biggr)\frac{1}{3};]

[;= {-3/2 \choose 1}\cdot \biggl(-\frac{3}{2} - 1\biggr)\frac{1}{2}\cdot \frac{(-7)}{2}\cdot \frac{1}{3} = -\frac{35}{8};]

[;c);] [;{4 \choose 2} = {4 \choose 1}(4 - 1)\cdot \frac{1}{2} = 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2} = 6;]

Observamos no item c) que se a fração [;a/b;] é um número natural, o coeficiente generalizado reduz ao coeficiente binomial clássico.

Proposição 1: Sejam [;a;] e [;b;] inteiros com [;b \neq 0;] e [;n \in \mathbb{N};]. Então

[;{a/b \choose n+1} = \prod_{k=0}^{n}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\frac{1}{(n+1)!};]

Demonstração: Usaremos indução finita sobre [;n;]. Para [;n = 1;], temos:

[;{a/b \choose 2} = {a/b \choose 1}\biggl(\frac{a}{b} - 1\biggr)\frac{1}{2};]

[;=\frac{a}{b}\biggl(\frac{a}{b} - 2\biggr)\frac{1}{2!} = \prod_{k=0}^{1}\biggl(\frac{a}{b} - k \biggr)\frac{1}{(1 + 1)!};]

Suponhamos que a expressão acima seja válida e provaremos sua validade para [;n+1;]. De fato,

[;{a/b \choose n+2} = {a/b \choose n+1}\biggl(\frac{a}{b} - n - 1\biggr)\frac{1}{n+2};]

[;=\prod_{k=0}^{n}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\frac{1}{(n+1)!}\biggl(\frac{a}{b} - n - 1\biggr)\frac{1}{n+2};]

[;=\prod_{k=0}^{n+1}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\cdot \frac{1}{(n+2)!};]

Observação 1: Sendo

[;n! = 1\cdot 2\cdot 3\ldots n = \prod_{k=1}^{n}k;]

segue que

[;{a/b \choose n} = \prod_{k=0}^{n-1}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\frac{1}{n!};]

[;=\frac{a}{bn}\prod_{k=1}^{n-1}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\frac{1}{k};]

Exemplo 2: Calcule

[;{a/b \choose 3};]

Resolução: Da Observação anterior, temos:

[;{a/b \choose 3} = \frac{a}{3b}\prod_{k=1}^{2}\biggl(\frac{a}{b} - k\biggr)\frac{1}{k};]

[;=\frac{a}{3b}\biggl(\frac{a}{b} - 1\biggr)\frac{1}{1}\cdot \biggl(\frac{a}{b} - 2\biggr)\frac{1}{2};]

[;=\frac{a}{b}\biggl(\frac{a}{b} - 1\biggr)\biggl(\frac{a}{b} - 2\biggr)\frac{1}{3!};]

Teorema 1: Sejam [;a, b \in \mathbb{Z};] com [;b \neq 0;] e [;|a| < |b|;]. Então:

[;(1 + x)^{a/b} = \sum_{n=0}^{+\infty}{a/b \choose n}x^n;]

Demonstração: A prova desse teorema é um caso particular apresentado neste link: Deduzindo a Série Binomial Através de uma EDO.
Uma abordagem histórica desse fato pode ser vista no link: O Binômio Segundo Newton.

Exemplo 3: Use o Teor. 1 e ache a expansão em série de Mclaurin de

[;f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x)^{-1/2};]

Resolução: De fato,

[;(1 - x)^{-1/2} = \sum_{n = 0}^{+\infty}{-1/2 \choose n}(-x)^n = \sum_{n=0}^{n}(-1)^n{-1/2 \choose n}x^n;]

[;={-1/2 \choose 0}x^0 - {-1/2 \choose 1}x + {-1/2 \choose 2}x^2 - \ldots;]

[;=1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + \ldots;]

É possível provar que
[;i);] [;{1/2 \choose n} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\Gamma(3/2 - n)n!};]
[;ii);] [;{-1/2 \choose n} = \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(1/2 - n)n!};]

O Teorema de Green e a Área de Polígonos

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 13 Sep 2013 21:31:00 +0000

Já apresentamos no post Uma Fórmula Analítica Para Calcular a Área de Polígonos a expressão matemática para calcular a área de um polígono não necessariamente convexo dadas as coordenadas de seus vértices cuja prova foi apresentada apenas para o caso em que o polígono é um triângulo. A expressão para a área é [;S = |C|/2;] onde:

onde [;(x_1,y_1);], [;(x_2,y_2);] e [;(x_3,y_3);] são os vértices do triângulo. Esta expressão pode ser escrita como uma soma de [;3;] determinantes de ordem [;3;]. O caso em que o polígono possui [;4;] vértices e o caso geral foram comentado no post referido acima.

Vejamos no Teorema 1 abaixo uma expressão equivalente para o cálculo da área de um polígono usando o famoso Teorema de Green.

Teorema 1: Sejam [;P_0,P_1,\ldots,P_{n-1},P_n;], os vértices de um polígono [;P;] de [;n;] lados indexados no sentido anti-horário. A área delimitada por [;P;] é dada por:

[;A(P) = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}det(P_{j-1}P_j);]

onde

[;det(P_{j-1}P_j) = \begin{vmatrix}x_{j-1} & y_{j-1}\\ x_j & y_j\\ \end{vmatrix};]

Antes de apresentar a demonstração desse teorema, vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Calcule a área do triângulo de vértices [;P_0(0,0);], [;P_1(3,1);] e [;P_2(1,3);].
Resolução: O polígono [;P_0P_1P_2;] é um triângulo conforme a figura abaixo:

Pelo Teor. 1,

[;A(P) = \frac{1}{2}[det(P_0P_1) + det(P_1P_2)];]

[;=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0 & y_0\\ x_1 & y_1\\ \end{vmatrix} + \frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{vmatrix};]

[;=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}0 & 0\\ 3 & 1\\ \end{vmatrix} + \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} = 4 \ u.a.;]

Exemplo 2: Calcule a área do polígono [;ABCD;], sendo [;A(-1,0);], [;B(1,0);], [;C(2,3);] e [;D(-2,4);].

Resolução: O polígono [;P = ABCD;] é um quadrilátero conforme a figura abaixo:

Pelo Teor. 1,

[;A(P) = \frac{1}{2}[det(AB) + det(BC) + det(CD)];]

[;=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-1 & 0\\ 1 & 0\\ \end{vmatrix} + \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3\\ \end{vmatrix} + \frac{1}{2}\begin{vmatrix}2 & 3\\ -2 & 4\\ \end{vmatrix};]
[;= 0 + \frac{3}{2} + 7 = \frac{17}{2} \ u.a.;]

Vejamos agora a prova do Teor. 1, cuja estratégia é o uso do teorema de Green.
No post, A Desigualdade Isoperimétrica, vimos que a área da região [;R;] delimitada por uma curva fechada [;C;] é dada por:

[;S = \int_{R}\int 1dxdy = \frac{1}{2}\int_C(xdy - ydx);]

Para o polígono [;P = P_0P_1\ldotsP_{n-1}P_n;], indexamos cada vértice por [;P_j(x_j,y_j);] e parametrizamos o lado do vértice [;P_{j-1};] ao vértice [;P_j;] pela função [;C_j \ : [0,1]\ \rightarrow \mathbb{R}^2;] definida por [;C_j(t) = (1- t)P_{j-1} + tP_j;]. Assim, se [;\partial P;] representa a poligonal fechada de [;P;], então

[;Area(P) = \int_P\int 1dxdy = \frac{1}{2}\oint_{\partial P}xdy - ydx;]

[;= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sum_{j=1}^{n}x_jdy_j - y_jdx_j;]

[;=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{1}\biggl\{[(1 - t)x_{j-1} + tx_j](y_j - y_{j-1});]

[;- [(1 - t)y_{j-1} + ty_j](x_j - x_{j-1})\biggr\}dt;]

[;=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\biggl[-\frac{(1 - t)^2}{2}x_{j-1} + \frac{t^2}{2}x_j\biggr](y_j - y_{j-1})\mid_{0}^{1};]

[;-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\biggl[-\frac{(1 - t)^2}{2}y_{j-1} + \frac{t^2}{2}y_j\biggr](x_j - x_{j-1})\mid_{0}^{1};]

[;=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{4}(-x_jy_{j-1} + x_jy_j - x_{j-1}y_j + x_{j-1}y_j);]

[;+ x_{j-1}y_j - y_jx_j + y_{j-1}x_{j-1} - y_{j-1}x_j);]

[;=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}(x_{j-1}y_j - x_jy_{j-1});]

[;=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}det\begin{bmatrix}x_{j-1} & y_{j-1}\\ x_j & y_j\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}det(P_{j-1}P_j);]

Gostará de ler também:
- Áreas de Segmentos e Laços Parabólicos sem Integração.
- Algumas Propriedades dos Determinantes.
- Transformação de Áreas (Blog O Baricentro da Mente)

Um Método Alternativo Para Calcular Derivadas de Funções Compostas

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 09 Sep 2013 19:28:00 +0000

O método alternativo para calcular a derivada de uma função composta é apenas uma forma direta para o uso da regra da cadeia o qual apresentamos de forma resumida nos parágrafos abaixo.

Considere as funções [;f;] e [;g;] deriváveis, tais que [;D(g) \subset Im(f);]. Desta forma, a função [;f\circ g;] está bem definida. A regra da cadeia afirma que

[;y^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}f(g(x)) = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x);]

Denotando [;g(x);] por [;u(x);], podemos reescrever a expressão acima na forma:

[;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx};]

A prova desta regra encontra-se em diversos livros de Cálculo e por isso, será omitida.

Exemplo 1: Calcule a derivada da função [;f(x) = \sin(e^x);].

Resolução: Seja [;u = g(x) = e^x;]. Assim, [;\frac{du}{dx} = g^{\prime}(x) = e^x;]. Sendo [;f(u) = \sin u;], então [;\frac{dy}{du} = \cos u;] e pela regra da cadeia, segue que

[;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot e^x = e^x\cos(e^x);]

O conceito de Diferenciais e Aproximação Linear, permite escrever as seguintes expressões:

[;1);] [;d(x^n) = nx^{n-1}dx;]

[;2);] [;d(e^x) = e^xdx;]

[;3);] [;d(\sin x) = \cos x dx;]

[;4);] [;d(\cos x) = -\sin x dx;]

[;5);] [;d(\ln x) = \frac{dx}{x};]

[;6);] [;d(\tan x) = \sec^2 x dx;]

[;7);] [;d(\sqrt{x}) = \frac{dx}{2\sqrt{x}};]

[;8);] [;d(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}};]

[;10);] [;d(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2};]

[;11);] [;d(u + v) = du + dv;]

[;12);] [;d(ku) = kdu;] para [;k \in \mathbb{R};]

[;13);] [;d(uv) = du \ v + udv;]

[;14);] [;d\biggl(\frac{u}{v}\biggr) = \frac{du \ v - udv}{v^2};]

Introduziremos a notação [;D_x;] para denotar o operador [;d/dx;]. Deste modo segue que [;D_x(x^n) = nx^{n-1};], [;D_x(\sin x) = \cos x;], [;D_x(u + v) = D_xu + D_xv;], etc. Com esta notação, a regra da cadeia pode ser escrita na forma:

[;D_x[f(g(x))] = D_{g(x)}[f(g(x))]D_xg(x);]

Fazendo [;u = g(x);], temos também:

[;D_x[f(g(x))] = D_u f(u)D_xu;]

Vejamos o uso desta notação no exemplo a seguir:

Exemplo 3: Calcule a derivada das funções abaixo:

[;a);] [;f(x) = \sin(2x);]

[;b);] [;f(x) = e^{3x^2 + 4x};]

[;c);] [;f(x) = \ln(x^2);]
[;d);] [;f(x) = \tan^3(x^2);]
[;e);] [;f(x) = 3^x\cos^2(6x);]
[;f);] [;f(x) = \sqrt{2x - 1};]

Resolução:

[;a);]

[;D_xf = D_x[\sin(2x)] = D_{2x}\sin(2x)D_x(2x);]

[;= \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x);]

[;b);]

[;D_xf = D_x(e^{3x^2 + 4x}) = D_{3x^2 + 4x}e^{3x^2 + 4x}D_x(3x^2 + 4x);]

[;c);]

[;D_x f = D_x[\ln(x^2)] = D_x[2\ln x] = 2D_x(\ln x) = \frac{2}{x};]

[;d);]

[;D_x f = D_x[\tan^3(x^2)] = D_{x}[\tan(x^2)]^3;]

[;= D_{\tan(x^2)}[\tan(x^2)]^3D_{x^2}\tan(x^2)D_x(x^2);]

[;=3\tan^2(x^2)sec^2(x^2)2x = 6x\tan^2(x^2)sec^2(x^2);]

[;e);]

[;D_x f = D_x[3^x\cos^2(6x)] = D_x3^x\cos^2(6x) + 3^xD_x[\cos^2(6x)];]

[;=3^x\ln 3\cos^2(6x) + 3^xD_x[\cos(6x)]^2;]

[;=3^x\ln 3\cos^2(6x) + 3^xD_{\cos(6x)}[\cos(6x)]^2D_{6x}\cos(6x)D_x(6x);]

[;=3^x\ln 3\cos^2(6x) - 3^x2\cos(6x)\sin(6x)\cdot 6;]

[;=3^x\ln 3\cos^2(6x) - 6\cdot 3^x\sin(12x);]

[;f);]

[;D_x\sqrt{2x - 1} = D_{(2x - 1)}\sqrt{2x - 1}D_x(2x - 1);]

[;=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}};]

O item f) pode ser generalizado do seguinte modo. Considere as funções [;f(x);] e [;g(x) = ax + b;] com [;a, b \in \mathbb{R};]. Então:

[;D_xf(ax + b) = aD_{(ax + b)}f(ax + b);]

A prova deste fato é simples e fica à cargo do leitor.

Gostará de ler também:
- O Teste da Primeira Derivada;
- O Teste da Segunda Derivada.

Identificando Curvas do Segundo Grau (Parte 1)

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Fri, 06 Sep 2013 20:35:00 +0000

Neste post, usaremos o método dos autovalores para determinar a natureza geométrica da equação geral do segundo grau dada por:

[;ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2ex + 2fy + g = 0 \qquad (1);]

onde [;a;], [;b;] e [;c;] não são simultaneamente nulos.

A abordagem apresentada requer alguns conhecimentos básicos de Álgebra Linear, especificamente os conceitos de autovalores e autovetores. Nesta primeira parte, desenvolveremos a teoria necessária para tal propósito.

Seja

[;A = \begin{bmatrix} a & b\\ b & c\\ \end{bmatrix};]

a matriz da forma quadrática [;ax^2 + 2bxy + cy^2;]. Os autovalores de [;A;] são as raízes da equação [;\det(A - \lambda I) = 0;], isto é,

[;\begin{vmatrix}a - \lambda & b\\ b & c - \lambda\\ \end{vmatrix} = 0 \quad \Rightarrow;]

[;(a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;\lambda^2 - (a+ c)\lambda + ac - b^2 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;\Delta = (a + c)^2 + ac - b^2 = (a - c)^2 + 4b^2 > 0;]

Portanto, temos dois autovalores reais dados por:

[;\lambda_1 = \frac{a + c - \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2};]

[;\lambda_2 = \frac{a + c + \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2};]

Mostraremos que sempre é possível rotacionar os eixos [;x;] e [;y;] para [;x_1;] e [;y_1;] cujas direções positivas são dadas pelos autovalores [;\vec{u_1};] e [;\vec{u_2};] correspondentes a [;\lambda_1;] e [;\lambda_2;] respectivamente, de modo que a equação (1) toma a forma:

[;a^{\prime}x_{1}^{2} + c^{\prime}y_{1}^{2} + 2e^{\prime}x_1 + 2f^{\prime}y_1 + g^{\prime} = 0 \qquad (2);]

A partir desta expressão, completamos quadrados e transladamos os eixos [;x_1;] e [;y_1;] aos novos eixos [;x_2;] e [;y_2;], para obter a forma padrão de uma cônica. Para isso, vejamos alguns conceitos preliminares:

Notações: O vetor [;\vec{u} = (x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2;], será denotado também por uma matriz coluna [;2\times 1;], isto é,

[;\vec{u} = \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ \end{bmatrix};]

Dado o vetor [;\vec{v} = (x_2,y_2);], o produto escalar entre [;\vec{u};] e [;\vec{v};] é definido por:

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2;]

Em termos de matrizes coluna escrevemos:

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \vec{u}\ ^t\ \vec{v} = \begin{bmatrix}x_1 & y_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\ y_2 \end{bmatrix} = x_1x_2 + y_1y_2;]

Definição 1: Uma matriz quadrada [;P;] de ordem [;n;] é ortogonal se [;P^tP = I_n;].

Proposição 1: Se [;P;] é uma matriz ortogonal, então [;\det(P) = \pm 1;].

Demonstração: De fato, sendo [;\det(P^t) = \det(P);], segue que

[;\det(P^tP) = \det(I_n) \quad \Rightarrow \quad \det(P)\det(P^t) = 1 \quad \Rightarrow;]

[;\det(P)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \det(P) = \pm 1;]

Teorema 1: Se [;P;] é uma matriz ortogonal de ordem [;2;] com [;\det(P) = 1;], então

[;P = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{bmatrix};]

Demonstração: Suponha que [;P^tP = I_2;] com [;\det(P) = 1;]. Seja

[;P = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix};]

de modo que

[;P^t = P^{-1} = \frac{1}{\det(P)}adj(P) \quad \Rightarrow;]

[;\begin{bmatrix} a & c\\ b & d\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{bmatrix};]

donde segue que [;a = d;] e [;b = -c;]. Assim,

[;\begin{bmatrix}a & -c\\ c & a\\ \end{bmatrix};]

com [;a^2 + c^2 = 1;], pois [;\det(P) = 1;]. Portanto, o ponto [;(a,c);] pertence a circunferência de raio unitário centrada na origem, de modo que [;a = \cos \theta;] e [;c = \sin \theta;] para algum [;\theta \in [0,2\pi);].

Teorema 2: Seja [;P;] uma matriz quadrada de ordem [;2;]. Então [;P;] é uma matriz ortogonal se e somente se os vetores coluna de [;P;] são ortogonais e tem comprimento unitário (ortonormais).

Demonstração: Por comodidade, omitiremos as setas representativas de vetores nesta demonstração. Seja [;P = [u \quad v];] com

[;u = \begin{bmatrix}a\\ b\\ \end{bmatrix} \qquad \text{e} \qquad v = \begin{bmatrix}b\\ d\\ \end{bmatrix};]

Assim,

[;PP^{t} = [u \quad v][u \quad v]^t;]

[;=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & c\\ b & d\\ \end{bmatrix};]

[;=\begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd\\ ac + bd & c^2 + d^2\\ \end{bmatrix} \qquad (3);]

Se [;P;] é ortogonal, então [;PP^t = I_2;] de modo que [;u^tu = v^tv = 1;] e [;u^tv = 0;], ou seja, [;u;] e [;v;] são ortonormais. Reciprocamente, se [;u;] e [;v;] são ortonormais, segue da expressão [;(3);] que [;PP^t = I_2;], ou seja, [;P;] é ortogonal.

Definição 2: Dizemos que a matriz quadrada [;A;] de ordem [;n;] é simétrica se [;A^t = A;]. Se os elementos [;a_{ij};] são reais, [;A;] é dita simétrica real.

O próximo teorema descreve uma propriedade fundamental das matrizes simétricas reais. Veremos o caso [;n = 2;], mas a prova pode ser estendida para matrizes simétricas reais de ordem [;n;].

Teorema 3: Se [;\vec{u};] e [;\vec{v};] são autovetores correspondentes aos autovalores [;\lambda_1;] e [;\lambda_2;] distintos de uma matriz simétrica real [;A;], então [;\vec{u};] e [;\vec{v};] são ortogonais.

Demonstração: Por comodidade, não escreveremos a seta indicativa de vetor. Suponhamos que [;Au = \lambda_1 u;] e [;Av = \lambda_2v;], sendo [;u;] e [;v;] vetores coluna não-nulos (autovalores). Por hipótese, [;A^t = A;] e [;\lambda_1 \neq \lambda_2;]. Queremos provar que [;u^tv = 0;]. Note que

[;v^tAu = v^t\lambda_1u = \lambda_1v^tu \quad \Rightarrow \quad ;]

[;(v^tAu)^t = (\lambda_1v^tu)^t \quad \Rightarrow;]

[;u^tA^t(v^t)^t = \lambda u^t(v^t)^t \quad \Rightarrow;]

[;u^tAv = \lambda_1u^tv \qquad (4);]

e que

[;u^tAv = u^t\lambda_2v = \lambda_2u^tv \qquad (5);]

Fazendo [;(4) - (5);], segue que

[;0 = (\lambda_1 - \lambda_2)u^tv;]

sendo [;\lambda_1 \neq \lambda_2;], então [;u^tv = 0;].

O lema e o teorema central sobre esta teoria juntamente com alguns exemplos, serão apresentados na segunda parte desta série.

Referência Bibliográfica: Matthews, Keith. Elementary Linear Algebra: Lectures Notes, 1991.

Gostará de ler também:

- Matrizes (Parte 1);

- Matrizes (Parte 2);

- Uma Breve História das Matrizes e Determinantes;

- A Translação de Eixos no Plano;

- A Rotação de Eixos no Plano.

Equações de Diferenças Finitas de Primeira Ordem de Coeficientes Constantes

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 01 Sep 2013 16:02:00 +0000

As equações de diferenças finitas ou recorrências surgem em diversos problemas práticos. Por exemplo, para obter uma expressão do número mínimo de movimentos para transferir n discos do primeiro para o terceiro pino de uma torre de Hanói devemos resolver o seguinte problema de valor inicial:

[;\begin{cases}T_n = 2T_{n-1} + 1, \qquad n \geq 2\\ T_1 = 1 \end{cases};]

Neste post, veremos as equações de diferenças finitas de primeira ordem de uma forma simples e acessível aos alunos do ensino fundamental e médio. Usaremos as seguintes identidades sobre somatórios:

[;1);] [;\sum_{k=1}^{n}1 = n;]

[;2);] [;\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2};]
[;3);] [;\sum_{k=1}^{n}a^k = \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}, \quad a \neq 1;]
[;4);] [;\sum_{k=0}^{n} (-1)^k = \frac{(-1)^{n+1} - 1}{-1-1} = \frac{(-1)^n +1}{2};]
[;5);] [;\sum_{k=1}^{n}(-1)^k k = \frac{(-1)^n(2n + 1) - 1}{4};]
[;6);] [;\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+ 1)(2n + 1)}{6};]
A identidade 1) é imediata. A 2) é a soma de uma PA de razão 1. A identidade 3) é a soma de uma PG de n+1 termos, razão a e primeiro termo igual a 1. As identidades 4) e 5) são consequências de 3). Usando a notação de Iverson provamos 6). A última identidade pode ser vista neste post: Uma Fórmula Recursiva para a Soma de Potências de Inteiros Positivos.

Tipo I: Seja [;(g_n);] uma sequência e considere a equação de diferenças finitas dada por:

[;\begin{cases}x_{n+1} - x_n = g_n\\ x(0) = x_0 \end{cases} \qquad (1);]

Para achar a sequência [;(x_n);] que satisfaz o problema [;(1);], observamos que a equação dada é do tipo telescópica. Assim, todos os termos de [;0;] a [;n-1;], temos:

[;\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1} - x_k) = \sum_{k=0}^{n-1}g_k \qquad \Rightarrow;]

[;\sum_{k=0}^{n-1}x_{k+1} - \sum_{k=0}^{n-1}x_k = \sum_{k=0}^{n-1}g_k \qquad \Rightarrow;]

[;\sum_{k=0}^{n-2}x_{k+1} + x_n - \sum_{k=1}^{n-1}x_k - x_0 = \sum_{k=0}^{n-1}g_k;]

Fazendo [;j = k-1 \quad \Rightarrow \quad k = j+1;], temos:

[;\sum_{k=0}^{n-2}x_{k+1} + x_n - \sum_{j=0}^{n-2}x_{j+1} - x_0 = \sum_{k=0}^{n-1}g_k \qquad \Rightarrow;]

[;x_n = x_0 + \sum_{k=0}^{n-1}g_k \qquad (2);]

Exemplo 1: Resolva as equações de diferenças abaixo:

[;a);] [;\begin{cases}x_{n+1} - x_n = 3\\ x_0 = 2\end{cases};]

[;b);] [;\begin{cases}x_{n+1} - x_n = n\\ x_0 = 0 \end{cases};]

[;c);] [;\begin{cases}x_{n+1} - x_n = 2^n\\ x_0 = 1 \end{cases};]

Resolução:

[;a);] Pela expressão acima,
[;x_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-1}3 = 2 + 3n;]
[;b);] Sendo [;x_0 = 0;], então

[;x_n = 0 + \sum_{k=0}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2};]

[;c);] Sendo [;x_0 = 1;], então

[;x_n = 1 + \sum_{k=0}^{n-1}2^k = 1 + \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n;]

Tipo II: Seja [;(g_n);] uma sequência e considere a equação de diferenças finitas dada por:

[;\begin{cases}x_{n+1} - ax_n = g_n\\ x(0) = x_0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}^{\ast};]

Para resolver este PVI, fazemos a mudança de variáveis [;x_n = a^ny_n;]. Assim,

[;g_n = x_{n+1} - ax_n = a^{n+1}y_{n+1} - aa^ny^n = a^{n+1}(y_{n+1} - y_n) \quad \Rightarrow;]

Pelo caso anterior,

[;y_n = y_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\frac{g_k}{a^{k+1}} = x_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\frac{g_k}{a^{k + 1}} \qquad \Rightarrow;]

[;x_n = a^nx_0 + a^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{g_k}{a^{k+1}};]

Exemplo 2: Resolva os PVI's abaixo:
[;a);] [;\begin{cases}x_{n+1} - 3x_n = 4\\ x_0 = 1\end{cases};]
[;b);] [;\begin{cases}x_{n+1} + x_n = 4n\\ x_0 = 2\end{cases};]
[;c);] [;\begin{cases}x_{n+1} - 2x_n = 2^n\\ x_0 = 0\end{cases};]
[;d);] [;\begin{cases}x_{n+1} + 4x_n = 25n2^n\\ x_0 = 15\end{cases};]
Resolução:
[;a);] Fazendo [;x_n = 3^ny_n;], segue que

[;3^{n+1}y_{n+1} - 3\cdot 3^ny^n = 4 \quad \Rightarrow \quad y_{n+1} - y_n = \frac{4}{3^{n+1}};]

[;y_n = y_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\frac{4}{3^{k+1}} = 1 + \frac{4}{3}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{3^k};]

de modo que

[;\frac{x_n}{3} = 1 + \frac{4}{3}\biggl(\frac{1/3^n - 1}{1/3 - 1}\biggr) \quad \Rightarrow;]

[;x_n = 3^n - 2(1 - 3^n) = 3^{n+1} - 2;]

[;b);] Neste caso, [;a = -1;], [;g_n = 4n;] e [;x_0 = 2;]. Assim,

[;x_n = 2\cdot (-1)^n + (-1)^n\sum_{k=0}^{n - 1}\frac{4k}{(-1)^{k+1}};]

[;=2\cdot (-1)^n - 4\cdot (-1)^n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kk;]

[;=2\cdot (-1)^n - 4\cdot (-1)^n\biggl[\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk - (-1)^nn\biggr];]

[;=2\cdot (-1)^n + 4n - 4\cdot (-1)^n\frac{(-1)^n(2n+1) - 1}{4};]

[;=2\cdot (-1)^n + 4n - (2n + 1) + (-1)^n \quad \Rightarrow;]

[;x_n =3\cdot (-1)^n + 2n - 1;]

[;c);] Neste caso, [;a = 2;], [;g_n = 2^n;] e [;x_0 = 0;]. Assim,

[;x_n = 0\cdot 2^n + 2^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{2^{k+1}};]

[;= 2^{n-1}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}1 = 2^{n-1}n;]

[;d);] Neste caso, [;a = -4;], [;g_n = 25n2^n;] e [;x_0 = 15;]. Assim,

[;x_n = (-4)^n\cdot 15 + (-4)^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{25k2^k}{(-4)^{k+1}};]

[;=15\cdot (-4)^n + (-4)^n\frac{25}{4}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k2^k}{(-2^2)^k};]

[;=15\cdot (-4)^n + \frac{25}{4}\cdot (-4)^n\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{1 - k}(-1)k}{2^k};]

[;=15\cdot (-4)^n + \frac{25}{4}\cdot (-4)^n\sum_{k=1}^{n}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^kk;]

[;=15\cdot (-4)^n + \frac{25}{4}\cdot (-4)^n\biggl[\sum_{k=1}^{n}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^k - \biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^nn\biggr];]

[;=15\cdot (-4)^n + \frac{25}{4}(-4)^n\sum_{k=1}^{n}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^k k - \frac{25}{4}n(-4)^n\cdot (-2^{-1})^n;]

[;=15\cdot (-4)^n + \frac{25}{4}(-4)^n\frac{1}{9}\biggl[\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)^n(3n + 2) - 2\biggr] -;]
[;-\frac{25}{4}n(-1)^n2^{2n}(-1)^n2^{-n};]

Após alguns cálculos algébricos, obtemos:

[;x_n = \frac{248}{18}\cdot (-4)^n + \frac{25}{12}\cdot 4^nn + \frac{25}{18}\cdot 4^n - \frac{25}{4}\cdot 2^n n;]

Gostará de ler também:
- Um Convite as Transformadas Discretas de Laplace;
- A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência.

Os Números de Fibonacci e Lucas (Parte 2)

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 28 Aug 2013 22:11:00 +0000

Na primeira parte deste post apresentamos a fórmula de Binet e um corolário relacionando os números de Fibonacci. Vejamos nesta segunda parte, mais um corolário relacionado com esta fórmula.

Corolário 2: Se [;F_n;] é o enésimo número de Fibonacci, então

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = F_{2n + 1};]

Demonstração: Usando a fórmula de Binet, temos:

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{k+1} - \psi^{k+1});]

[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\phi^k - \frac{\psi}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\psi^k;]

[;=\frac{\phi}{\sqrt{5}}(\phi + 1)^n - \frac{\psi}{\sqrt{5}}(\psi + 1)^n;]

[;=\frac{\phi\cdot \phi^{2n}}{\sqrt{5}} - \frac{\psi \cdot \psi^{2n}}{\sqrt{5}} = F_{2n+1};]

Exercício 1: Prove que

[;\sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2} = F_n\cdot F_{n+1};]

Resolução: Usaremos indução finita sobre [;n;]. Para [;n = 1;], temos:

[;\sum_{k=1}^{1}F_{k}^{2} = F_{1}^{2} = 1^2 = 1\cdot 1 = F_1\cdot F_2;]

Suponhamos que a expressão seja verdadeira para [;n;] e provaremos sua validade para [;n+1;]. De fato,

[;\sum_{k=1}^{n+1}F_{k}^{2} = \sum_{k=1}^{n}F_{k}^{2} + F_{n + 1}^{2};]

[;= F_nF_{n+1} + F_{n+1}^{2} = F_{n+1}(F_n + F_{n+1}) = F_{n+1}F_{n+2};]

Exercício 2: Use um triângulo isósceles de base [;AB = 1;] e ângulo [;ACB = \frac{\pi}{5};] e mostre que [;\cos \pi/5 = \phi/2;] e [;\sin \pi/10 = -\psi/2;].

Resolução: Considere o triângulo isósceles [;ABC;], sendo [;AB = 1;] e [;A\hat{C}B = \pi/5;] na figura abaixo:

Sendo [;AC = BC;], então [;\hat{A} = \hat{B} = 2\pi/5;]. Seja [;AD;] a bissetriz do ângulo [;\hat{A};]. Assim, [;\triangle ABD;] é isósceles, segue que [;AD = 1;]. Analogamente, o [;\triangle ACD;] é isósceles, de modo que [;DC = 1;]. Além disso, [;\triangle ABD \sim \triangle ABC;]. Denotando [;BD = x;] segue que

[;\frac{x}{1} = \frac{1}{x + 1} \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = -\psi;]

Pela lei dos cossenos no [;\triangle ABD;], temos:

[;x^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1\cdot 1\cos \pi/5 = 2 - 2\cos \pi/5 \quad \Rightarrow;]

[;\cos \pi/5 = \frac{2 - x^2}{2} = \frac{2 - (1 - x)}{2} = \frac{1 + x}{2} = \frac{1 - \psi}{2} = \frac{\phi}{2};]

Por outro lado,

[;\sin^2(\pi/10) = \frac{1 \cos \pi/5}{2} = \frac{1 - \phi/2}{2} = \frac{2 - \phi}{4} \quad \Rightarrow;]

[;=\frac{1 - (1 - \phi)}{4} = \frac{1 + \psi}{4} = \frac{\psi^2}{4} \quad \Rightarrow \quad \sin \pi/10 = -\frac{\psi}{2};]

Exercício 3: Se [;F_n;] são os números de Fibonacci, então

[;F_n = 2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^{n-k-1}\frac{\pi}{5}\sin^k\frac{\pi}{10};]

Demonstração: Pelo exercício anterior vimos que [;\phi = 2\cos \pi/5;] e [;\psi = -2\sin \pi/10;]. Note que

[;2\cos \pi/5 + 2\sin \pi/10 = \phi - \psi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5};]

Usando a fórmula de Binet, temos:

[;F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} = \frac{2^n}{\sqrt{5}}[\cos^n(\pi/5) - (-1)^n\sin^n(\pi/10)];]

[;=\frac{2^n}{2}\biggl[\frac{\cos^n(\pi/5) - (-1)^n\sin^n(\pi/10)}{\cos \pi/5 + \sin \pi/10}\biggr];]

[;=2^{n-1}\biggl[\frac{\cos^n(\pi/5) - \sin^{n}(-\pi/10)}{\cos \pi/5 - \sin (-\pi/10)}\biggr];]
[;=2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\cos^{n-k-1}\frac{\pi}{5}\sin^k(-\frac{\pi}{10});]
[;=2^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^{n-k-1}\frac{\pi}{5}\sin^k\frac{\pi}{10};]

Na quinta igualdade usamos a identidade algébrica:

[;\frac{x^n - y^n}{x - y} = \sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}y^k;]

Na próxima parte veremos os Números de Lucas e suas propriedades.

Gostará de ler também:

- Os Números de Fibonacci e Lucas (Parte 1);
- Potência da Razão Áurea e a Sequência de Fibonacci;
- A Razão Áurea.

Polígonos Estrelados Regulares: a construção com Cabri II

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 21 Aug 2013 04:03:00 +0000

O Cabri-Géomètre II, é um programa computacional educativo desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain da Universitè Joseph Fourier em Genoble na França. A palavra CABRI é a abreviatura de Cahier de Brouillon Interractif (que quer dizer caderno de rascunho interativo). O tema a ser abordado será a construção de polígonos estrelados regulares e, além disso, algumas relações importantes serão apresentadas.

Primeiro, vamos representar um polígono estrelado por [;\{n/r\};], sendo [;n;] e [;r;] primos entre si (ou relativamente primos). Nessa representação fracionária, [;n;] é o numerador e divide a circunferência em [;n;] partes iguais e [;r;] o denominador, que tem como objetivo conectar cada vértice do polígono ao r-ésimo ponto contado a partir dele no sentido horário, a fim de formar um lado. Para [;r=1;] tem-se polígonos regulares. Os polígonos estrelados são chamados às vezes de n-gramas regulares.

Com o auxílio do Cabri II, vamos construir o seguinte polígono estrelado [;\{8/3\};], cujo procedimento é:

i) Clique na Janela 3 (que irá construir uma circunferência);

ii) Em seguida, clique na Janela 2 e, selecione a opção “Polígono Regular” e sobre o centro da circunferência dê um clique;

iii) Quando o centro estiver “piscando” arraste o “lápis” até construir outra circunferência coincidindo com a circunferência primitiva;

iv) Quando o centro estiver “piscando” arraste o “lápis” até construir outra circunferência coincidindo com a circunferência primitiva.

Na ilustração a seguir, o polígono possui 8 lados iguais e, dados 8 pontos ([;n=8;]) distribuídos regularmente sobre a circunferência, cada vértice do polígono é conectado ao terceiro ponto ([;r=3;]) contado a partir dele no sentido horário, a fim de obter um lado.

iv) Caso queira colorir o polígono, clique na Janela 11, escolha, a opção "preencher" e veja o maravilhoso efeito.

A tabela abaixo exibe para cada [;n;], os valores de [;r;] que fornecem os polígonos estrelados regulares.

Uma relação importante é que a soma dos ângulos nas "pontas" do polígono estrelado regular é dada por [;S = (n - 2r)\cdot 180^{\circ};]. Para exemplificar, tome o polígono estrelado de [;5;] "pontas" (pentagrama), ou seja, [;\{5/2\};]. Daí, [;S = (5 - 2\cdot 2)\cdot 180^{\circ} = 180^{\circ};]. Esta relação foi descoberta pelo matemático Thomas Bradwardine.

Referências Bibliográficas

[1] BALDIN Y. Y.; VILLANGRA G. A. L. Atividades com Cabri-Géomètre II, São Carlos: Editora da UFSCar, 2004.

[2] COURANT R.; ROBBINS H. O que é Matemática?, Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000.

[3] EVES, H. Introdução à História da Matemática, tradução: Hygino H. Domingues, São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.

Artigo enviado por Carlos Alberto M. de Assis

Faculdade da Região dos Lagos-FERLAGOS

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 28)

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 18 Aug 2013 21:39:00 +0000

[;89);] (Banco de Questões da OBMEP/2011) Prove que se [;a;] e [;b;] são inteiros consecutivos, então [;a^2 + b^2 + (ab)^2;] é um quadrado perfeito.

[;90);] Sejam [;a;], [;b;] e [;c;] arestas de um triedro tri-retângulo de um tetraedro e [;h;] a altura relativa ao vértice desse tetraedro. Prove que:

[;\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2};]

[;91);] Seja [;n \in \mathbb{N};]. Mostre que o resto da divisão de [;10^n;] por [;6;] é igual a [;4;]. Qual o resto da divisão de [;181537;] por [;6;]?

[;92);] Seja [;p(x);] um polinômio com coeficientes racionais. Se [;a + b\sqrt{c};] é uma raiz da equação [;p(x) = 0;] com [;\sqrt{c};] irracional e [;a;] e [;b;] racionais, então [;a - b\sqrt{c};] também é uma raiz desta equação.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 27).

Determine pela definição a equação da parábola de foco cuja diretriz é a reta .

Resolução: Dados a diretriz [;d;] e um ponto [;F;] (foco), parábola é o conjunto dos pontos [;P(x,y);] do plano tais que [;d_{P,F} = d_{P,d};]. Assim,

[;d_{P,F} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2};]

[;d_{P,d} = \frac{|1\cdot x + 1\cdot y + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}};]

Comparando essas expressões e elevando ao quadrado, temos:

[;(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{(x + y + 1)^2}{2} \quad \Rightarrow;]

[;2(x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 1 + 2x + 2y + 2xy;]

ou seja,

[;x^2 + y^2 - 2xy - 6x - 6y + 3 = 0;]

Na figura abaixo, temos o gráfico desta parábola:

Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e um quadrado, então ele é da forma , ou .

Resolução: Note que [;n^2 \equiv p;] (mod 10) somente para [;p \in \{0,1,4,5,6,9\};], ou seja, um quadrado perfeito possui o algarismos das unidades igual a [;0,1,3,4,5,6,7,8,9;]. Analogamente, [;n^3 \equiv q;] (mod 10) somente para [;q \in \{0,1,3,4,5,6,7,8,9\};]. Assim, se [;N;] é um quadrado e cubo ao mesmo tempo, então o algarismo das unidades deve ser 0,1,4,5,6 ou 9. Note que 0 e 5 são da forma [;5k;], 1 e 6 é da forma [;5k+ 1;] e 9 é da forma [;5k+4;], donde segue o resultado.

Ache a soma da série de potências

Resolução: De fato,

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{2n} = \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\int x^{2n-1}dx;]

[;=\int \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{x}dx = \int\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}dx;]

Para [;x = 0;], temos: [;0 = -\frac{1}{2}\cdot 0 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0;]. Logo,

[;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}x^{2n}{2n} = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2);]

Sejam com . Mostre que a solução geral da equação de diferenças é dada por:

sendo o primeiro termo da sequência .

Resolução: De fato,

[;\ldots \quad \ldots \quad;]

[;=a^{n-1}u_1 + a^{n-2}b + a^{n-3}b + \ldots + ab + b;]

[;=a^{n-1}u_1 + b(1 + a + a^2 + \ldots + a^{n-2});]

Desde que [;a \neq 1;], podemos a soma entre parênteses na expressão anterior é uma PG finita de razão [;a;] e primeiro termo igual a [;1;]. Assim,

[;1 + a + a^2 + \ldots + a^{n-2} = \frac{a^{n-1} - 1}{a - 1};]

Logo,

[;u_n = a^{n-1}u_1 + \frac{b(a^{n-1 - 1})}{a - 1};]

Você pode participar enviando as soluções dos problemas 89), 90), 91) e 92) no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com. Se a sua solução for escolhida, ela será divulgada na próxima edição. O prazo para entrega para enviar as soluções destes problemas encerra no dia 08/09/2013.

Joseph Louis Lagrange

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Tue, 13 Aug 2013 04:38:00 +0000

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) foi um dos maiores matemáticos do século XVIII. Nasceu em Turim mas tinha ascendência francesa, além de italiana. O pai de Lagrange havia sido tesoureiro de guerra da Sardenha, tendo se casado com Marie-Thérése Gros, filha de um rico físico. Foi o único filho de dez irmãos que sobreviveu à infância. Sua educação e o início de sua carreira teve lugar na cidade de Turim, onde ele passou os primeiros 30 anos de sua vida. Não mostrou gosto pela matemática até ler com 17 anos de idade, um trabalho de Edmund Halley sobre o uso da álgebra na óptica (1693). Sozinho e sem ajuda entregou-se aos estudos na matemática, estabelecendo correspondência aos 18 anos de idade com Leonhard Euler e Giulio di Fagnano (matemático italiano). Ao final de um ano de trabalho árduo e constante, tornou-se professor, ainda bem jovem, na academia militar local.

O primeiro fruto dos trabalhos de Lagrange nessa época foi uma carta, escrita quando ainda tinha somente 19 anos, para Euler, na qual apresentou a resolução de um problema conhecido como isoperimetral, problema este que já era discutido há mais de meio século pelos estudiosos da área. Euler reconheceu a generalidade do método adotado nesse trabalho e sua superioridade com relação aquele usado por ele mesmo e, com rara cortesia, reteve a publicação de um trabalho escrito por ele previamente, que tratava de algo sobre o mesmo tema, de modo que o jovem italiano pudesse ter tempo de terminar seu trabalho e reivindicar a invenção de uma nova área da matemática: o cálculo variacional. Euler havia declarado antes da publicação deste trabalho de Lagrange que não estava conseguindo resolver o problema de modo puramente analítico. O nome desta nova área da análise foi sugerido por Euler. Este fato colocou imediatamente Lagrange entre os principais matemáticos daquela época.

Nove anos de incessante trabalho afetaram seriamente a sua saúde e seus médicos o advertiram para que fizesse exercícios e não trabalhasse tanto, ou não viveria muito mais. Embora tenha conseguido algumas melhorias, nunca conseguiu recuperar-se completamente, sofrendo, durante sua vida, constantes ataques de profunda melancolia.

Por volta de 1759, em colaboração com o químico Saluzzo de Monesiglio e o anatomista Gian Francesco Cigna, fundaram a Academia de Ciências de Turim. Rapidamente a Academia começou a publicar jornais (o Miscellanea Taurinensia, que apareceu pela primeira vez em 1759), sendo que o primeiro número continha três trabalhos de Lagrange (sobre a propagação do som, sobre o movimento da Lua e sobre os satélites de Júpiter). Seu trabalho de 1764 sobre a Lua explicava porque sempre a mesma face ficava voltada para a Terra, problema que tratou com ajuda de trabalho virtual. Sua solução é de especial interesse por conter o germe da ideia de equações generalizadas de movimento, equações estas que só provou formalmente em 1780. Estes trabalhos, entre outros, garantiram alguns prêmios pela Academia Parisiense, assim como reconhecimento em toda a Europa.

Aos 23 anos de idade aplicou o cálculo diferencial à teoria da probabilidade, indo além de Isaac Newton com um novo começo na teoria matemática do som, trazendo aquela teoria para o domínio da mecânica do sistema de partículas elásticas (ao invés da mecânica dos fluidos), sendo também eleito como membro estrangeiro da Academia de Ciências de Berlim em 2 de outubro de 1759.

Tais sucessos levaram o Rei da Sardenha a oferecer a Lagrange todas as despesas pagas de uma viagem de Turim a Londres. No meio do caminho adoeceu em Paris e conheceu Jean le Rond d' Alembert (1717 - 1783) (amizade esta que durou para o resto de sua vida). Lá ele foi recebido com honras, e foi com pesar que ele deixou a sociedade parisiense para retornar à sua vida provincial em Turim. Em 1766, Euler deixa Berlim, e Frederico, o Grande escreveu imediatamente para Lagrange expressando o desejo de "o maior rei na Europa" ter o "maior matemático da Europa" residente em sua corte. Lagrange aceitou a oferta e passou os próximos 20 anos na Prússia, onde produziu não só a longa série de memórias publicadas em Berlim e Turim, mas também a sua obra monumental, Mécanique Analytique. Lagrange exerceu a função de diretor da divisão físico-matemática da Academia de Berlim, onde fazia e refazia seus trabalhos, nunca se satisfazendo com o resultado, o que significou um desespero para os seus sucessores.

Sua atividade mental durante esses 20 anos foi incrível. Ele contribuiu entre uma e duas centenas de trabalhos para as Academias de Berlim, Turim e Paris. Alguns deles são realmente tratados, e todos, sem exceção, são de grande qualidade. Exceto por um curto período de tempo quando ele estava doente, ele produziu, em média, cerca de um livro de memórias de um mês. Destes, temos os seguintes entre os mais importantes: Primeiro, suas contribuições para o quarto e quinto volumes, 1766-1773, da Miscellanea Taurinensia, dos quais o mais importante foi o de 1771, em que ele discutiu como numerosas observações astronômicas devem ser combinados de modo a dar o resultado mais provável. E, mais tarde, suas contribuições para os dois primeiros volumes, 1784-1785, das transações da Academia de Turim, para a primeira das quais ele contribuiu com um artigo sobre a pressão exercida por um fluido em movimento, e ao segundo um artigo sobre integração por série infinita, e o tipo de problemas para os quais ele é adequado.

A maioria das memórias enviadas a Paris estavam em questões astronômicas, e entre estes deve particularmente mencionar seu livro de memórias sobre o sistema de Júpiter em 1766, seu ensaio sobre o problema de três corpos em 1772, seu trabalho sobre a equação secular da lua em 1773, e seu tratado sobre perturbações de cometas em 1778. Estes foram todos escritos sobre temas propostos pela Academia Francesa, e em cada caso, o prêmio foi atribuído a ele. Em carta escrita para D'Alembert, em 1777, diz:

"Eu tenho sempre olhado a matemática como um objeto de diversão, mais do que ambição, e posso afirmar para você que tenho mais prazer nos trabalhos de outros do que nos meus próprios, com os quais estou sempre insatisfeito".

E em outra carta histórica de 15 de setembro de 1782, diz ter quase terminado seu tratado de Mécanique Analytique, acrescentando que, como ainda não sabia quando nem como seria o seu livro impresso, não estava se apressando com os retoques finais.

Com a morte de Frederico o Grande, em 17 de agosto de 1786, solicitou sua dispensa. Foi permitida sob a condição de que continuasse a remeter trabalhos para a academia pelo período de alguns anos. Voltou a seus trabalhos matemáticos como membro da Academia Francesa a convite de Luís. Foi recebido em Paris, em 1787, com grande respeito pela família real e pela academia. Viveu no Louvre até a Revolução, tendo-se tornado o favorito de Maria Antonieta.

Aos 51 anos, Lagrange sentia-se acabado. Era um caso claro de exaustão nervosa, pelo longo período de trabalho excessivo. Falava pouco, parecia estar sempre distraído e melancólico. Era a triste figura da indiferença, tendo perdido, inclusive, o gosto pela matemática.

A Tomada da Bastilha em 1789 quebrou sua apatia. Recusou-se a deixar Paris. Quando o terror chegou, arrependeu-se de ter ficado. Era tarde para escapar. As crueldades destruíram a pouca fé que ele ainda tinha na natureza humana.

Terminada a revolução, foi tratado com muita tolerância. Um decreto especial garantiu-lhe uma pensão, e quando a inflação reduziu sua pensão a nada, foi indicado para professor da Escola Normal, que teve vida efêmera. Foi então indicado para professor da Escola Politécnica, fundada em 1797, tendo planejado o curso de matemática, sendo seu primeiro professor.

Referindo-se a Isaac Newton, ele disse:

"Foi certamente o gênio por excelência mas temos que concordar que ele foi também o que mais sorte teve: só se pode encontrar uma única vez o sistema solar para ser estabelecido. Ele teve a sorte de ter chegado quando o sistema do mundo permanecia ignorado."

Seu último trabalho científico foi a revisão e complementação da Mécanique Analytique para a segunda edição, quando descobriu que seu corpo já não obedecia à sua mente. Morreu na manhã do dia 10 de abril de 1813, com 76 anos.

Referências Bibliográficas:

- Sanchez, Dario F. Joseph Louis Lagrange e o desenvolvimento da Mecânica Clássica.

- http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange

- http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Lagrange/

Gostará de ler também:

- Os Teoremas de Rolle e de Lagrange;

- Mais Sobre o Teorema de Lagrange ou Valor Médio;

- Um Convite ao Cálculo das Variações;

- A Interpolação Polinomial (Parte 3);

- Lagrange: A Grande Pirâmide da Matemática; (Blog O Baricentro da Mente)

Resultado da Sexta Promoção do Blog Fatos Matemáticos

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Sun, 11 Aug 2013 19:56:00 +0000

Ontem dia 10/08/2013 aconteceu o sorteio do concurso 1373 da Lotomania e o primeiro número a sorteado foi a dezena de número 63 e pela listagem apresentada no post Sexta Promoção do Blog Fatos Matemáticos, o ganhador foi o Glauco.

Entrarei em contato com o leitor do Blog para receber em sua casa um exemplar do livro CQD

Agradeço a todos que participaram desta promoção.

Atenciosamente,

Prof. Paulo Sérgio

Um Problema de Misturas Através de EDO's com Dois Tanques

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 07 Aug 2013 04:09:00 +0000

Em uma indústria química são usados dois tanques de aço para misturas de soluções salinas conforme a figura acima.

No instante , o tanque contém litros de uma mistura de água com de sal. O tanque no instante contém litros de uma mistura de água com de sal. Faz-se entrar no tanque uma solução de sal a a uma vazão de e o líquido é constantemente misturado e as misturas salinas são trocadas entre os dois tanques conforme a figura acima.

Suponhamos que a mistura escoa do tanque a uma taxa de litros por minuto e escoa do tanque em direção ao tanque a uma taxa de litros por minuto. Além disso, a mistura sai do tanque a uma taxa de litros por minuto. Nosso objetivo é modelar este problema através de um sistema de equações diferenciais e determinar as soluções nos tanques e em um instante .

Para isso, sejam e as quantidades de sal nos tanques e em um instante qualquer . As taxas de variação instantânea da quantidade de sal em cada tanque são respectivamente

Cada uma dessas taxas deve ser igual à diferença entre a taxa a qual o sal está entrando e a taxa a qual está saindo do respectivo tanque. No tanque , a taxa a qual o sal está entrando é:

enquanto que a taxa a qual o sal está saindo é:

Portanto,

No tanque , a taxa a qual o sal está entrando é:

[;Q_1 (l/min)\frac{x(t)}{V_{0A}}(kg/l) = \frac{Q_1 x(t)}{V_{0A}} \quad (kg/min);]

enquanto que a taxa a qual o sal está saindo é:

[;Q_2(l/min)\frac{y(t)}{V_{0B}}(kg/l) + Q(l/min)\frac{y(t)}{V_{0B}}(kg/l);]

[;= (Q_2 + Q)\frac{y(t)}{V_{0B}} \quad (kg/min);]

Portanto,

[;\frac{dy}{dt} = \frac{Q_1x}{V_{0A}} - \frac{Q_1y}{V_{0B}} \qquad (2);]

De (1) e (2), temos o sistema de equações diferenciais de primeira ordem não-homogêneo:

com as condições iniciais [;x(0) = m_{0A};] e [;y(0) = m_{0B};].

Um método comum para resolver um sistema de equações diferenciais homogêneo utiliza conceitos de Álgebra Linear, tais como autovalores, autovetores, diagonalização de operadores, etc. Sendo o nosso sistema não-homogêneo, usaremos a técnica de transformá-lo em uma equação diferencial de segunda ordem equivalente.

Exemplo 1: Suponha que no instante [;t = 0;] o tanque A da figura acima, possui [;6 \ kg;] de sal dissolvido em [;20 \ l;] de água. No instante [;t = 0;], o tanque B possui [;8 \ kg;] de sal dissolvidos em [;36 \ l;] de água. Faz-se entrar no tanque A uma solução salina na concentração de [;0,2 \ kg/l;] a uma taxa de [;1 \ l/min;]. O líquido é constantemente misturado e sai do tanque A para o tanque B a um taxa de [;4 \ l/min;]. No tanque B, a mistura também é constantemente misturada e retorna para o tanque A. Sabendo que a solução salina sai do tanque [;B;] na mesma vazão que entrou no tanque A, determine as concentrações nos tanques A e B em um instante [;t > 0;].

Resolução: Note que [;m_{0A} = 6 \ kg;], [;m_{0B} = 8 \ kg;], [;V_{0A} = 20 \ l;], [;V_{0B} = 30 \ l;], [;C_1 = 0,2 \ kg/l;], [;Q = 1 \ l/min;], [;Q_1 = 4 \ l/min;], de modo que [;Q_2 = Q_1 - Q = 4 - 1 = 3 \ l/min;]. Substituindo estes dados no sistema de equações diferenciais (3), temos:

[;\begin{cases}\frac{dx}{dt} = -\frac{4}{20}x + \frac{3}{36}y + 0,2\cdot 1\\ \frac{dy}{dt} = \frac{4}{20}x - \frac{4}{36}y\\ \end{cases};]

ou seja,

[;\begin{cases}\frac{dx}{dt} = -\frac{x}{5} + \frac{y}{12} + \frac{1}{5}\\ \frac{dy}{dt} = \frac{x}{5} - \frac{y}{9}\\ \end{cases};]

Derivando a primeira destas equações em relação a [;t;], temos:

[;\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{5}\frac{dx}{dt} + \frac{1}{12}\frac{dy}{dt};]

Mas,

[;\frac{dy}{dt} = \frac{x}{5} - \frac{1}{9}y;]

de modo que

[;\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{5}\frac{dx}{dt} + \frac{x}{60} - \frac{y}{108};]

Mas,

[;y = 12\biggl(\frac{dx}{dt} + \frac{x}{5} - \frac{1}{5}\biggr);]

de modo que

[;\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{14}{45}\frac{dx}{dt} + \frac{x}{180} = \frac{1}{45} \quad \Rightarrow;]

[;180\frac{d^2x}{dt^2} + 56\frac{dx}{dt} + x = 4;]

Se [;x(t) = z(t) + 4;], então

[;180\frac{d^2z}{dt^2} + 56\frac{dz}{dt} + z = 0;]

A equação característica desta equação diferencial é dada por:

[;180\lambda^2 + 56\lambda + 1 = 0;]

cujas raízes são:

[;\lambda_1 = \frac{-14 - \sqrt{151}}{90} \simeq -0,2921;]

[;\lambda_2 = \frac{-14 + \sqrt{151}}{90} \simeq -0,019;]

Assim,

[;x(t) = Ae^{-0,2921t} + Be^{-0,019t} + 4 \quad \Rightarrow;]

[;\frac{dx}{dt} = -0,2921Ae^{-0,2921t} - 0,019Be^{-0,019t};]

Mas,

[;\frac{y(t)}{12} + \frac{1}{5} = \frac{dx}{dt} + \frac{x(t)}{5};]

de modo que

[;\frac{y(t)}{12} + \frac{1}{5} = (0,2A - 0,2921A)e^{-0,2921t} +;]

[;(0,2B - 0,019B)e^{-0,019t} + 0,8 \quad \Rightarrow;]

[;y(t) = -1,1052Ae^{-0,2921t}+ 2,172Be^{-0,019t} + 7,2;]

Sendo [;m_{0A} = x(0) = 6;] e [;m_{0B} = y(0) = 8;], temos o seguinte sistema de equações algébricas:

[;\begin{cases}A + B + 4 = 6\\ -1,1052A + 2,172B + 7,2\\ \end{cases};]

cujas soluções são [;A = 1,0815;] e [;B = 0,9185;]. Logo,

[;x(t) = 1,0815e^{-0,2921t} + 0,9185e^{-0,019t} + 4;]

[;y(t) = -1,1953e^{-0,2921t} + 1,995e^{-0,019t} + 7,2;]

O Estado Estacionário

Uma pergunta interessante à respeito do problema de misturas com dois tanques é descobrir o comportamento de [;x(t);] e [;y(t);] para [;t;] muito grande, ou seja, para [;t \to +\infty;]. Observe que nesta situação,

[;\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0;]

de modo que o sistema de equações diferenciais (3), transforma-se no sistema algébrico:

[;\begin{cases}-\frac{Q_1}{V_{0A}}\bar{x} + \frac{Q_2}{V_{0B}}\bar{y} + C_1Q = 0\\ \frac{Q_1}{V_{0A}}\bar{x} - \frac{Q_1}{V_{0B}}\bar{y} = 0\\ \end{cases};]

onde [;\bar{x};] e [;bar{y};] são as quantidades de sal residual em cada tanque. Adicionando estas equações, temos:

[;\frac{Q_2 - Q_1}{V_{0B}}\bar{y} + C_1Q = 0 \quad \Rightarrow \quad \bar{y} = C_1V_{0B};]

Consequentemente,

[;\bar{x} = \frac{V_{0A}}{V_{0B}}\bar{y} = \frac{V_{0A}}{V_{0B}}C_1V_{0B} = C_1V_{0A};]

No exemplo 1, temos

[;\bar{x} = 0,2 \ kg/l \times 20 \ l = 4 \ kg;]

[;\bar{y} = 0,2 \ kg/l \times 36 \ l = 7,2 \ kg;]

Outro modo de achar as soluções estacionárias é aplicar o limite quando [;t \to +\infty;] nas soluções [;x(t);] e [;y(t);].

Exercícios Propostos:

[;1);] Use o sistema de equações diferenciais (3) e mostre que

[;\frac{d^2x}{dt^2} + Q_1\biggl(\frac{1}{V_{0A} + V_{0B}}\biggr)\frac{dx}{dt} + \frac{Q_1Qx}{V_{0A}V_{0B}} = \frac{C_1Q_1Q}{V_{0B}};]

[;2);] Seja [;x(t) = z(t) + k;] na equação diferencial do problema 1. Mostre que se [;k = C_1V_{0A};], a equação diferencial não-homogênea, transforma na EDO:

[;\frac{d^2z}{dt^2} + Q_1\biggl(\frac{1}{V_{0A} + \frac{1}{V_{0B}}} \biggr)\frac{dz}{dt} + \frac{QQ_1z}{V_{0A}V_{0B}} = 0;]

[;3);] Mostre que o discriminante da EDO do problema 2 é dado por:

[;\Delta = \frac{Q_{1}^{2}}{V_{0A}^{2}} + \frac{Q_{1}^{2}}{V_{0B}^{2}} + \frac{2Q_1(Q_2 - Q)}{V_{0A}V_{0B}};]

Conclua que

[;\Delta \geq \frac{2Q_1(2Q_2 - Q)}{V_{0A}V_{0B}};]

[;4);] Use a regra dos sinais de Descartes o problema 3) para concluir que as raízes da equação característica são reais negativas.

Gostará de ler também:
- Um Problema de Misturas Através de EDO's;
- Um Problema de Reação Química Via EDO;
- Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 1);
- Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem (Parte 2).

Geometria Plana no Wolfram Alpha

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Mon, 05 Aug 2013 00:59:00 +0000

Já apresentamos alguns posts relacionados com a plataforma Wolfram Alpha. Vejamos agora como podemos elaborar algumas figuras geométricas com comandos simples através desta plataforma.

Para desenhar um triângulo conhecendo as coordenadas de seus vértices, digitamos o comando triangle with vertices (x0,y0), (x1,y1) e (x3,y3). Na figura acima, temos o triângulo de vértices [;(0,0);], [;(2,4);] e [;(4,3);].

Também podemos desenhar um triângulo se conhecermos os seus lados. Para isso, digitamos o comando l1, l2, l3 triangle. Por exemplo,

Suponha agora que desejamos desenhar um triângulo sendo dados dois lados e o ângulo formado por eles. Para isso, digitamos o seguinte comando SAS (side-angle-side) que significa lado-ângulo-lado. Por exemplo, para um triângulo de lados [;3;] e [;4;] e ângulo de [;120^{\circ};], temos o comando SAS 3 120 deg 4.

Na figura abaixo, temos o comando para conhecer a área de um triângulo conhecendo seus lados digitamos o comando area of an triangle with side length e em seguida colocamos a medida dos lados do triângulo, conforme o exemplo abaixo.

Para desenhar os polígonos regulares tais como quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono e decágono, basta digitar as palavras square, pentagon, hexagon, heptagon, octogon, eneagon e decagon. Os polígonos regulares abaixo foram gerados através destes comandos.

Podemos também gerar um polígono regular com suas diagonais. Por exemplo, heptagon with diagonals.

Para encerrar, apresentamos o comando para desenhar o incírculo (círculo inscrito) de um polígono regular dado. Na figura abaixo, temos o incírculo do pentágono regular.

Gostará de ler também:

- Curvas Paramétricas no Wolfram Alpha;

- Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 1);

- Superfícies Paramétricas Através do Wolfram Alpha (Parte 2);

- Construindo superfícies algébricas com wolfram alpha (Blog Prof. Edigley Alexandre);

- Wolfram Alpha: Uma Ferramenta Poderosa (Blog O Baricentro da Mente);

Os Números de Fibonacci e Lucas (Parte 1)

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Thu, 01 Aug 2013 09:36:00 +0000

O objetivo desta série é explorar as diversas propriedades geométricas e analíticas dos números de Fibonacci e dos números de Lucas.

Os números de Fibonacci ou sequência de Fibonacci surgiram primeiramente de um problema relacionado com a reprodução de um casal de coelhos, proposto e resolvido pelo matemático italiano Leonardo de Pisa ou Fibonacci. Da forma que iremos expor o assunto, faz-se necessário o conhecimento prévio de somatórios, coeficientes binomiais e a da técnica de demonstração por indução finita.

Definição 1: Os números ou sequência de Fibonacci são definidos pela relação de recorrência ou problema de valor inicial:

[;F_n = \begin{cases}1, \quad \text{se} \quad n =1\\ 1, \quad \text{se} \quad n = 2\\ F_{n-1} + F_{n-2}, \quad \text{se} \quad n > 2\end{cases};]

Em algumas situações, adota-se [;F_0 = 0;]. Alguns termos desta sequência recorrente são dados por [;0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots;]

Proposição 1: A soma dos [;n;] primeiros números de Fibonacci é igual ao termo de ordem [;n+2;] menos um, ou seja:

[;F_1 + F_2 + \ldots + F_n = \sum_{k=1}^{n}F_k = F_{n+2} - 1 \qquad (1);]

Demonstração: Usaremos o princípio da indução finita. Para [;n = 1;], temos:

[;\sum_{k=1}^{1}F_k = F_1 = 1 \quad \text{e} \quad F_{1 + 2} - 1 = F_3 - 1 = 2 - 1 = 1;]

Suponhamos que a expressão [;(1);] seja válida e mostraremos que para [;n + 1;] ela também é verdadeira. De fato,

[;\sum_{k=1}^{n+1}F_k = \sum_{k=1}^{n}F_k + F_{n+1} = (F_{n+2} - 1) + F_{n+1};]

[;= F_{n+1} + F_{n+2} - 1 = F_{n+3} - 1 = F_{(n+1) + 2} - 1;]

Teorema 1: Sejam [;n;] e [;k;] dois inteiros positivos. Entre as potências consecutivas [;n^{k};] e [;n^{k+1};] não existem mais que [;n;] números de Fibonacci.

Demonstração: Suponhamos por absurdo que entre algum [;n^k;] e [;n^{k+1};] existem pelo menos [;n+1;] números de Fibnonacci. Assim,

[;n^k < F_{r+1},F_{r+2},F_{r+3},\ldots,F_{r+n+1},\ldots < n^{k+1};]

Pela Prop. 1, a soma dos primeiros [;n-1;] desses números é

[;F_{r+1} + F_{r+2}+\ldots +F_{r+n-1} =;]

[;=(F_{r+n-1} + F_{r+n-2}+\ldots+F_1) - (F_1 + F_2 +\ldots +F_r);]

[;=F_{r+n+1} - 1 - (F_{r+2} - 1) = F_{r+n+1} - F_{r+2};]

Resolvendo para [;F_{r+n+1};], temos:

[;F_{r+n+1} = (F_{r+1} + F_{r+2}+\ldots + F_{r+n+1}) + F_{r+2};]

o qual é a soma de números de Fibonacci, sendo que cada um deles é maior que [;n^k;]. Portanto, [;F_{r+n+1} > nn^k = n^{k+1};], contradizendo a hipótese.

Proposição 2: Os números de Fibonacci satisfazem:

[;i);] [;\sum_{k=1}^{n}F_{2k-1} = F_{2n};]

[;ii);] [;\sum_{k=1}^{n}F_{2k} = F_{2n+1} - 1;]

[;iii);] [;\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}F_k = (-1)^{n+1}F_{n-1} + 1;]

Demonstração: A prova destes fatos segue por indução finita e fica à cargo do leitor.

Definição 2: Denotaremos por [;\phi;] a raiz positiva e por [;\psi;] a raiz negativa da equação quadrática [;x^2 - x - 1 = 0;], ou seja,

[;\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{e} \quad \psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2};]

Observação 1: Note que [;\phi + \psi = 1;] e [;\psi \psi = -1;].

Lema 1: Se [;x^2 = x + 1;], então para [;n = 2,3,4,\ldots;], [;x^n = F_n x + F_{n+1};].

Demonstração: Usaremos indução finita sobre [;n;]. Para [;n = 2;],

[;x^2 = x + 1 = F_2 x + F_1;]

Suponhamos que [;x^n = F_n x + F_{n-1};] para [;n > 2;]. Assim,

[;x^{n+1} = xx^n = x(F_n x + F_{n-1}) = F_n x^2 + F_{n-1}x;]

[;= F_nx^2 + F_{n-1}x = F_n(x + 1) + F_{n-1}x;]

[;=(F_n + F_{n-1})x + F_n = F_{n+1}x + F_n;]

Teorema 2: (A fórmula de Binet) Se [;F_n;] são os números de Fibonacci, então

[;F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n - \psi^n) \qquad (2);]

Demonstração: Pelo Lema 1, temos:

[;\phi^n = F_n\phi + F_{n-1} \qquad (3);]

[;\psi^n = F_n\psi + F_{n-1} \qquad (4);]

Fazendo (3) - (4), segue que

[;\phi^n - \psi^n = F_n(\phi - \psi) = \sqrt{5}F_n;]

donde segue o resultado.

Corolário 1: Para [;n \geq 2;],

[;F_{2n+1} = F_{n}^{2} + F_{n+1}^{2};]

Demonstração: Pela fórmula de Binet,

[;F_{n}^{2} = \biggl[\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n - \psi^n)\biggr]^2;]

[;= \frac{1}{5}(\phi^{2n} - 2\phi^n\psi^n + \psi^{2n});]

[;=\frac{1}{5}(\phi^{2n+2} - 2\phi^{n+1}\psi^{n+1} + \psi^{n+2});]

Sendo [;\phi \psi = -1;], então a segunda parcela é nula. Assim,

[;F_{n}^{2} + F_{n+1}^{2} = \frac{\phi^{2n}}{5}(\phi^2 + 1) + \frac{\psi^{2n}}{5}(\psi^2 + 1);]

[;=\frac{\phi^{2n}}{5}(\phi + 2) + \frac{\psi^{2n}}{\psi + 2};]

Mas,

[;\phi + 2 = (1 + \sqrt{5})/2 + 2 = \sqrt{5}\phi;]

[;\psi + 2 = (1 - \sqrt{5})/2 = -\sqrt{5}\psi;]

de modo que

[;F_{n}^{2} + F_{n+1}^{2} = \frac{\phi^{2n+1}}{\sqrt{5}} - \frac{\psi^{2n+1}}{\sqrt{5}} = F_{2n+1};]

Gostará de ler também:

- Frações que Geram a Sequência de Fibonacci;
- Potências da Razão Áurea e a Sequência de Fibonacci.

A Desigualdade Isoperimétrica

noreply@blogger.com (Prof. Paulo Sérgio) — Wed, 24 Jul 2013 01:52:00 +0000

De acordo com uma lenda sobre a fundação de Cartago (cerca de 850 a.C.), Dido comprou de um rei uma terra ao longo da costa norte africana que pode ser fechada com couro de boi. Dido cortou o couro em tiras muito finas, amarrou-as e foi capaz de cercar uma área considerável, que se tornou a cidade de Cartago.

Matematicamente, este problema é um problema de otimização relacionado com a desigualdade isoperimétrica. Usaremos o teorema de Green e outras ferramentas para estabelecer esta desigualdade. Consequentemente, segue que a maior área delimitada por uma corda flexível e sobre uma reta é um semicírculo.

Da definição de integral dupla, segue que a área compreendida por uma curva fechada simples [;\gamma;] é dada por:

[;A(\gamma) = \int_{R}\int dA = \int_{R}\int dxdy = \int_{R}\int dydx;]

onde [;R;] é a região delimitada por [;\gamma;] conforme a figura abaixo.

Proposição 1: (Green) Sejam [;f(x,y);] e [;g(x,y);] duas funções suaves (isto é, funções contínuas com derivadas parciais contínuas) e seja [;\gamma;] uma curva fechada simples positivamente orientada. Então:

Demonstração: Ver Cálculo com Geometria Analítica de G. F. Simmons, Vol. 2.

A próxima proposição relaciona o teorema de Green com a área da região [;R;].

Proposição 2: Se [;\gamma(t) = (x(t),y(t));] é uma curva fechada simples positivamente orientada em [;\mathbb{R}^2;] com período [;T;], então

[;A(\gamma) = \frac{1}{2}\int_{0}^{T}(x\dot y - \dot x y)dt;]

Demonstração: Fazendo [;f(x,y) = -\frac{y}{2};] e [;g(x,y) = \frac{x}{2};] na proposição 1, temos:

[;\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{1}{2};]

Assim,

[;\int_{R}\int \biggl(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\biggr)dxdy = \int_{R}\int \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\biggr)dxdy = A(\gamma);]

[;\int_{\gamma}f(x,y)dx + g(x,y)dy = \int_{\gamma}-\frac{y}{2}dx + \frac{x}{2}dy = \frac{1}{2}\int_{\gamma}xdy - ydx;]

Logo,

[;A(\gamma) = \frac{1}{2}\int_{\gamma}x\frac{dy}{dt}dt - y\frac{dx}{dt}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{T}(x\dot y - \dot x y)dt;]

Proposição 3: (Desigualdade de Wirting) Seja [;f: [0,\pi] \rightarrow \mathbb{R};] uma função suave tal que [;f(0) = f(\pi) = 0;]. Então

[;\int_{0}^{\pi}f^{\prime}(t)^2dt \geq \int_{0}^{\pi}f(t)^2dt;]

e a igualdade é válida se e somente se [;f(t) = k\sin t;] para todo [;t \in [0,\pi];], onde [;k \in \mathbb{R};].

Demonstração: Seja [;g(t) = \frac{f(t)}{\sin t};]. Assim,

[;f(t) = g(t)\sin t \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(t) = g^{\prime}(t)\sin t + g(t)\cos t;]

de modo que

[;\int_{0}^{\pi}f^{\prime}(t)^2dt = \int_{0}^{\pi}[g^{\prime}(t)\sin t + g(t)\cos t]^2dt;]

[;=\int_{0}^{\pi}g^{\prime}(t)^2\sin^2 t dt + 2\int_{0}^{\pi}g(t)g^{\prime}(t)\sin t\cos t dt +;] [;+\int_{0}^{\pi}g(t)^2\cos^2 t dt \quad (1);]

Integrando por partes, a segunda integral, temos:

[;2\int_{0}^{\pi}\sin t \cos t dt = g(t)^2\sin t \cos t \mid_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}g(t)^2(\cos^2 t - \sin^2 t)dt;]

[;=\int_{0}^{\pi}g(t)^2(\sin^2 t - \cos^2 t)dt \quad (2);]

Substituindo (2) em (1), segue que

[;\int_{0}^{\pi}f^{\prime}(t)^2dt = \int_{0}^{\pi}g^{\prime}(t)^2\sin^2 t dt + \int_{0}^{\pi}g(t)^2(\sin^2 t - \cos^2 t)dt +;] [;\int_{0}^{\pi}g(t)^2\cos^2 t dt = \int_{0}^{\pi}[g(t)^2 + g^{\prime}(t)^2]\sin^2 t dt;]

[;\int_{0}^{\pi}f(t)^2dt + \int_{0}^{\pi}g^{\prime}(t)^2\sin^2 t dt \quad \Rightarrow;]

[;\int_{0}^{\pi}f^{\prime}(t)^2 dt - \int_{0}^{\pi}f(t)^2dt = \int_{0}^{\pi}g^{\prime}(t)\sin^2 t dt \geq 0;]

Logo,

[;\int_{0}^{\pi}f^{\prime}(t)^2dt \geq \int_{0}^{\pi}f(t)^2dt;]

Além disso,
[;\int_{0}^{\pi}g^{\prime}(t)^2\sin^2 t dt = 0;] se e somente se [;g^{\prime}(t) = 0;] para todo [;t \in [0,\pi];], se e somente se, [;g(t) = k;], para algum [;k \in \mathbb{R};], se e somente se [;f(t) = k\sin t;].
Teorema 1: (Desigualdade Isoperimétrica) Sejam [;\gamma;] uma curva fechada simples, [;l(\gamma);] o seu comprimento e [;A(\gamma);] a área contida nela. Então

[;A(\gamma) \leq \frac{1}{4\pi}l(\gamma)^2;]

e a igualdade é válida se e somente se [;\gamma;] é uma circunferência.

Observação 1: É claro que, se [;\gamma;] é uma circunferência, [;l(\gamma) = 2\pi R;] e [;A(\gamma) = \pi R^2;], onde [;R;] é o raio do círculo. Assim,

[;A(\gamma) = \pi R^2 = \pi \biggl(\frac{l(\gamma)}{2\pi}\biggr)^2 = \frac{1}{4\pi}l(\gamma)^2;]

Demonstração do Teorema 1: Iremos assumir algumas hipóteses sobre [;\gamma;] que irá simplificar a prova. Podemos supor que [;\gamma;] está parametrizada pelo comprimento de arco [;s;]. Como [;\pi;] aparece no enunciado do teorema, é conveniente assumir que o período de [;\gamma;]. Se mudamos o parâmetro da curva [;\gamma;] de [;s;] para [;T = \frac{\pi s}{l(\gamma)};] a curva resultante ainda é uma curva fechada simples e tem período [;\pi;], pois quando [;s;] cresce para [;l(\gamma);], [;t;] cresce para [;\pi;].
Uma segunda simplificação é observar que [;l(\gamma);] e [;A(\gamma);] ficam inalterados se transladarmos [;\gamma(t);] para [;\gamma(t) + \vec{b};], onde [;\vec{b};] é qualquer vetor constante. Assumiremos que [;\vec{b} = -\gamma(0);], e assumindo que [;\gamma(0) = \vec{0};], ou seja, a curva [;\gamma;] começa e termina na origem.
Para calcular [;l(\gamma);] e [;A(\gamma);] usaremos coordenadas polares, fazendo [;x = r\cos \theta;] e [;y = r\sin \theta;]. Usando a regra da cadeia, temos:
[;\dot x = \dot r\cos \theta + r(-\sin \theta)\dot \theta;]
[;\dot y = \dot r\sin \theta + r\cos \theta \ \dot \theta;]
de modo que

[;\dot x^2 + \dot y^2 = (\dot r \cos \theta - r\sin \theta \ \dot \theta)^2 + (\dot r \sin \theta + r\cos \theta \ \dot \theta)^2;]

[;x\dot y - \dot x y = r\cos \theta (\dot r \sin \theta + r\cos \theta \ dot \theta) -;]

[;(\dot r \cos \theta - r\sin \theta \ \dot \theta)r\sin \theta;]

[;=r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)\dot \theta = r^2\dot \theta;]

Usando o fato que [;t = \frac{\pi s}{l(\gamma)};], temos:

[;\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 = \biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2;]

[;=\biggl[\biggl(\frac{dx}{ds}\biggr)^2 + \biggl(\frac{dy}{ds}\biggr)^2\biggr]\biggl(\frac{ds}{dt}\biggr)^2 = \frac{l(\gamma)}{\pi^2};]

Provaremos o teorema mostrando que

[;\frac{l(\gamma)^2}{4\pi} - A(\gamma) \geq 0;]

e a igualdade é válida se e somete se [;\gamma;] é uma circunferência. Note que

[;\int_{0}^{\pi}(\dot r^2 + r^2\dot \theta^2)dt = \int_{0}^{\pi}\frac{l(\gamma)^2}{\pi^2}dt = \frac{l(\gamma)^2}{\pi};]

Assim,

[;\frac{l(\gamma)^2}{4\pi} - A(\gamma) = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}(\dot r^2 + r^2\dot \theta^2)dt - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}r^2\dot \theta dt;]

[;\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}(\dot r^2 + r^2\dot \theta^2 - 2r^2\dot \theta) := \frac{1}{4}I;]

Portanto, para provar o teorema temos que mostrar que [;I \geq 0;] e que [;I = 0;] se e somente se [;\gamma;] é uma circunferência.

Note que

[;I = \int_{0}^{\pi}(\dot r^2 - r^2 + r^2\dot \theta^2 - 2r^2\dot \theta)dt;]

[;=\int_{0}^{\pi}r^2(\dot \theta - 1)^2dt + \int_{0}^{\pi}(\dot r^2 - r^2)dt;]

A primeira integral acima é não-negativa. Tomando [;f(t) = r(\theta(t));], note que [;f(0) = f(\pi) = 0;], desde que [;\gamma(0) = \gamma(\pi) = \vec(0);]. Assim, pela desigualdade de Wirting (Prop. 3), temos também que

[;\int_{0}^{\pi}(\dot r^2 - r^2)dt \geq 0;]

Portanto, [;I \geq 0;] e [;I = 0;] se ambas as integrais são nulas. A primeira integral é nula se [;\dot \theta = 1;] para todo [;t \in \mathbb{R};] e a segunda se [;r = k\sin t;] para algum [;k \in \mathbb{R};]. Assim, [;\theta(t) = t + \alpha;], onde [;\alpha;] é constante. Portanto, [;r(\theta) = k\sin(\theta - \alpha);] que é a equação polar de um círculo de diâmetro [;k;] o que completa a demonstração.
Gostará de ler também:
- Integrais que Dependem de um Parâmetro.