Fundamento de la física

M.R.U.A.

noreply@blogger.com (Mario Rosales) — Sun, 21 Feb 2010 06:00:00 +0000

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento en una sola dimensión, eje X o eje Y, y una aceleración constante o cero. Cuando la aceleración es cero decimos que el objeto tiene velocidad constante. Si la velocidad tambien es cero diremos que el objeto esta en reposo.

Bueno, para controlar este tipo de movimiento necesitaremos conocer la posición X del objeto, el tiempo t y la velocidad V en un momento determinado. Lo que si sabemos es que la aceleración siempre sera la misma puesto que es una constante.

Buscamos un conjunto de ecuaciones que nos relacione estos tres conceptos velocidad(V), posición(X) y tiempo(t), ya que la aceleración(a) ya la tenemos.

Sabemos que la aceleración es la segunda derivada de la posición:

a_(t)=d²x / dt² ←Anda y esto??

Vamos a buscar entonces una expresion cuya segunda derivada con respecto del tiempo sea una constante. Para que al tomar dos derivadas de nuestra expresión, nos quede una constante, debe parecerse a esto:

X_(t)=at²

Si tomamos la primera derivada de esta expresion nos quedara 2at y al tomar la segunda quedara solamente 2a, pero nosotro necesitamos que sea solamente a, luego la expresion que buscamos es:

X_(t)=½at²

Bueno casi, porque como sabemos siempre podemos añadir una constante y la derivada no cambiara, ademas en este caso como tomamos dos derivadas podremos añadir cualquier cosa que dependa de t, algo asi:

X_(t)=½at² + c + bt

Ya tenemos nuestra expresión para la posición, ahora solo nos falta saber que es cada cosa.

Vemos que en nuestra expresión todo depende del tiempo t menos c, asi que vamos a suponer que estamos en el momento inicial donde t=0:

X₍₀₎=0 + c + 0 ; c = X₍₀₎

Bueno pues ya sabemos que es c, c es la posición inicial de nuestro objeto y en vez de llamarlo X₍₀₎ lo llamaremos simplemente X₀

Solo nos queda saber que es b, pero como depende de t no podemos saberlo directamente. Vamos antes de saber que es b a encontrar la ecuacion de la velocidad de nuestro objeto. Como sabemos la velocidad es la primera derivada de la posición:

V = dx/dt ←Anda y esto??

derivamos la expresión de la posición

X_(t)=½at² + c + bt

y nos queda

V_(t)= b + at

Como nos paso antes ahora b no depende de t , asi que tomaremos otra vez el momento inicial donde t = 0:

V₍₀₎= b + 0 ; b = V₍₀₎

Bueno pues resulta que b es la velocidad inicial (en t=0) de nuestro objeto, y como antes en vez de llamarla V₍₀₎ la llamaremos simplemente V₀

Llamando a cada cosa por su nombre nos queda la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme

X_(t) = X₀+V₀t+½at²

En palabras quedaria algo asi: La posición en un instante t del objeto es igual a la posición inicial mas la velocidad inicial por el tiempo mas un medio de la aceleracion por el tiempo al cuadrado.

Ya hemos visto también la ecuación de la velocidad del objeto que es:

V_(t)= V₀ + at

Combinando estas dos ecuaciones podemos escribir una tercera donde no aparezca el tiempo t. Para ello despejaremos t de la ecuación de la velocidad y las sustituiremos en la ecuación de la posición.

V²=V²₀ + 2a(X-X₀)

Es importante definir bien las unidades en las que vamos a trabajar. Aquí necesitamos unidades para el tiempo, que se medirá en segundos (s), la distancia, que se medira en metros (m) , la velocidad (m/s) y la aceleración que se medirá en (m/s²).

Set de problemas

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Trabajo y Energía

noreply@blogger.com (Mario Rosales) — Fri, 12 Feb 2010 09:27:00 +0000

Trabajo y energía de una fuerza constante

Vamos a combinar dos de las ecuaciones que ya conocemos en una sola:

V² = V_o² + 2a(X-X_o) y F = ma

Vamos a despejar la aceleración de esta ultima a = F/m y a sustituirla en la primera, tambien vamos a llamar a X-X_o = d (distancia recorrida por nuestro objeto):

V² = V_o² + 2.d.F/m
V² - V_o² = 2.d.F/m
½mV² - ½mV_o² = F.d

La expresión ½mV² recibe el de Energia cinetica y esta relacionada con el cambio en la velocidad del objeto.

Como vemos la variación de la energia cinetica E_c² - E_c¹ es igual la fuerza que se aplica por la distancia durante la que se aplica.

A la expresión F.d la llamaremos trabajo realizado por la fuerza y se expresa con la letra W. Asi queda:

ΔE_c = E_c² - E_c¹ = F.d = W

ElWse mide en N.m y recibe el nombre de Julio, J

Vamos a suponer que la única fuerza que actúa sobre nuestro objeto es la fuerza de la gravedad que ya sabemos que es -mg. Asi que nuestra expresión quedaría:

½mV² - ½mV_o² = - m.g.d

Vamos a expresar otra vez la distancia recorrida por nuestro objeto como X-X_o, quedándonos:

½mV² - ½mV_o² = - m.g.(X-X_o)
½mV² - ½mV_o² = - m.g.X + m.g.X_o
½mV_o² + m.g.X_o = ½mV² + m.g.X

Llamaremos m.g.X a la energía potencial, en este caso gravitatoria. A si que diremos que la suma de la energía cinética inicial mas la energía potencial inicial debe ser igual a la energía cinética final mas la energía potencial final.

Esto quiere decir que la energía total del sistema no varia, se conserva. Hay que tener cuidado al usar esta ecuación y saber de donde sale la fuerza que genera la energía potencial, ya que en este caso hemos supuesto que la única fuerza que afecta al objeto es la gravedad, pero en otros casos puede haber otras fuerzas, como la fuerza elástica de un muelle, etc...

Vamos a ver ahora como varia el trabajo realizado con respecto del tiempo.

ΔW/Δt = F.Δx/Δt

Vemos que en un pequeño instante Δt se realizara un pequeño trabajo ΔW. Si tomamos nuestro incremento de tiempo cercano a 0, obtendremos :

dW/dt = F.dx/dt

Como sabemos dx/dt es la velocidad:

dW/dt = F.v

A dW/dt lo llamaremos potencia P (ritmo al que se genera trabajo)

P = F.v

Su unidad es J/s y se le llama vatio o watt.

Trabajo y energía cuando la fuerza no es constante

Hasta ahora hemos supuesto que la fuerza que se aplicaba a nuestro cuerpo era constante en todo momento, vamos a ver como cambia la cosa al suponer que nuestra fuerza varia en funcion de la distancia.

Para empezar no tendremos simplemente una fuerza F sino que la fuerza sera una función que variara su valor, es decir F(x).

Como vemos en el gráfico la función F(x) toma valores distintos para posiciones (X) distintas. Así que ahora no podemos decir que el trabajo de la fuerza es simplemente F.d ya que F varia a lo largo de la distancia d.

Como siempre hacemos con estos problemas vamos a tomar una rebanada muy estrecha de este gráfico y es esa pequeña porción supondremos que nuestra fuerza es constante.

El ancho de esta porción sera Δx y el alto sera el valor de la función en esa misma distancia x, F(x). Ademas en esta pequeña rebanada la fuerza habrá realizado un pequeño trabajo ΔW.

Vamos a sumar todas estas pequeñas rebanadas para obtener nuestra fuerza completa.

ΣΔW = ΣF(x).Δx

Si tomamos el limite de Δx tendiendo a 0, obtendremos que:
W = E_c² - E_c¹ = ∫F(x) dx

Ve mos que nuestra fuerza ahora es una integral, ∫F(x) dx para calcular esta integral sabemos por calculo que debemos encontrar la primitiva de la función y evaluarla en los limites superior he inferior de la integral, asi que:

∫F(x) dx = G(x₂) - G(x₁)

Siendo F(x) = dG/dx

Si cambiamos de signo a la función tenemos F(x) = - dG/dx para terminar con la expresión:
E_c² - E_c¹ = G₁ - G₂

Llamaremos a nuestra función G(x) Energía potencial E_p y escribiremos:
E_c² + E_P² = E_c¹ + E_P¹

Luego E₂ = E₁, la energia total del sistema se conserva constante.

Movimiento en 2D

noreply@blogger.com (Mario Rosales) — Mon, 08 Feb 2010 14:05:00 +0000

Movimiento en 2D

Después de calcular las ecuaciones del movimiento para un objeto que se mueve en una sola dimensión, debemos trasportar esto a las 2D.

Recordemos que nuestra ecuación para el movimiento era esta:

X_(t) = X₀+V₀t+½at²

Tambien tenemos que tener en cuenta como localizar un objeto en 2 dimensiones mediante su vector posición

Si llamamos r al vector posición final de nuestro objeto y r₍₀₎ al vector posición inicial la ecuacción quedara:

r_(t) = r₀+V₀t+½at²

Donde r, r₀, V₀ y a serán vectores.

La forma de proceder que nuetros problemas en 2 dimensiones sera descomponiendo la velocidad y la aceleración de nuestro objeto en sus componentes y planteando dos ecuaciones de movimiento, una para el eje x y otra para el eje y.

X_(t) = X₀+V_0xt+½a_xt²
Y_(t) = Y₀+V_0yt+½a_yt²

Donde:

X₀ = coordenada x de la posición inicial
Y₀ = coordenada y de la posición inicial
V_0x = componente x del vector velocidad inicial
V_0y = componente y del vector velocidad inicial
a_x = componente x de la aceleración
a_y = componenete y de la aceleración

Veamos este ejemplo:

Un objeto es lanzado desde el suelo con un ángulo α con el suelo (eje x) a una velocidad V₀.

Seleccionando de esta forma el eje de coordenadas tenemos tanto X₀ como Y₀ ya que el punto de partida es (0,0).

Necesitamos calcular las componentes del vector velocidad, utilizando trigonometria basica sabemos que:

V_0x = V₀.cosα
V_0y = V₀.senα

La aceleración es mas sencilla ya que en el eje x no hay aceleración y en el eje y se nos dice que actua la aceleración de la gravedad que es -g (negativa ya que se opone al movimiento ascendente del objeto en el eje y)

Escribamos entonces las ecuacciones:

X = 0+V₀.cosαt+0
Y = 0+V₀.senαt-½gt²

X = V₀.cosαt
Y = V₀.senαt-½gt²

Queremos saber en que momento y a que distancia caera nuestro objeto. Si el objeto cae al suelo quiere decir que y=0, luego:

Y = Vsenαt-gt²/2 =(Vsenα-gt/2).t = 0

Ó t=0 que es nuestro momento inicial ó

Vsenα-gt/2 = 0

luego

t = (2Vsenα)/g

Ese sera el tiempo de vuelo de nuestro objeto. Si queremos saber la coordenada X donde aterrizara, simplemente sustituimos el tiempo t en la ecuacción de las x:

X = Vcosα((2Vsenα)/g)

Ejemplo: Si la velocidad inicial del objeto es 20m/s y el angulo 45^°, suponiendo g = 9,8m/s²

t = 2,88 s
x = 40,72 m

Leyes de Newton

noreply@blogger.com (Mario Rosales) — Mon, 08 Feb 2010 14:02:00 +0000

I) Ley de inercia:
Si no existen fuerzas externas que actúen sobre un cuerpo, este permanecerá en reposo si lo estaba o continuaran moviéndose a velocidad constante en linea recta si estaba moviéndose.

II) Ley de fuerza:
Si se aplica una fuerza sobre un objeto, esta fuerza tendera a variar el movimiento del objeto imprimiéndole una aceleración en la siguiente proporción:

F_T = m.a

Donde F_T (fuerza total) es la suma aritmética de todas las fuerzas externas que actual sobre el objeto.

III) Ley de acción reacción:
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, este segundo ejercerá a su vez una fuerza de igual magnitud pero sentido contrario sobre el primero.

APLICACIÓN DE F=ma

Vamos a centrarnos en entender como aplicar esta formula sin olvidar las otras 2 leyes de Newton en ningún momento. Lo primero es expresar esta formula en 2 dimensiones.

Para ello debemos tener en cuenta que tanto F como a van a ser vectores. Tanto F como a tendrán sus componentes en el eje x e y. Reescribimos la forma en modo vectorial:

iFx + jFy = m(i(a_x) + j(a_y)) = m.i(a_x) + m.j(a_y)

Fx = ma_x
Fy = ma_y

Esto quiere decir que la suma de las componentes x de todas las fuerzas sobre el objeto le imprimiran una aceleración en la dirección del eje x de a_x = Fx/m y de igual forma en el eje y, a_y = Fy/m.

La aceleración total del cuerpo sera a = i(a_x) + j(a_y).

Debemos conocer las formulas para las fuerzas que actúan sobre nuestro cuerpo antes de aplicar F = ma. Algunas de las fuerzas mas comunes que podemos encontrarnos son:

Gravedad
F = -mg

Fuerza elastica de un muelle (k es la constante elástica del muelle y x la deformación)
F = -kx

Un poco mas de detalle requiere la fuerza de rozamiento:
F_r = -µ.N

µ es la constante de rozamiento y depende de la superficie por la que se mueva nuestro objeto, puede ser µ_s (estatica) cuando el objeto esta en reposo ó µ_d (dinamica) cuando el objeto ya esta en movimiento. µ_s > µ_d

N Es la fuerza normal, esta fuerza la ejerce el suelo de forma perpendicular y contraresta la gravedad, por ejemplo, evitando que nuestro objeto atraviese el suelo.

Vamos a ver un ejemplo

Tenemos un objeto que descansa sobre un plano inclinado que forma un angulo α con el suelo.

La gravedad tira del objeto hacia el centro de la tierra con una fuerza mg.

La fuerza Normal (N) la ejerce el plano de forma perpedicular a el evitando que nuestro objeto atraviese el plano.

La fuerza de rozamiento siempre intenta oponerse al movimiento del objeto, como es muy previsible que el objeto se deslize por el plano inclinado, la fuerza de rozamiento intentara impedirlo apuntando hacia lo alto del plano, su valor sera µ.N

Lo primero que tenemos que hacer es elegir nuestros ejes de coordenadas de tal forma que nos sea fácil escribir las ecuaciones de la fuerza. En este caso vamos a tomar el eje x paralelo al plano inclinado pasando por el centro de nuestro objeto y el eje y perpendicular a nuestro plano pasando también por el centro de nuestro objeto.

Vemos entonces que la fuerza de la gravedad forma un angulo con nuestro eje y que es igual al angulo que forma el plano con el suelo.Es sencillo darse cuenta si te fijas en que el plano inclinado es perpendicular a nuestro eje y y el suelo es perpendicular a la fuerza de la gravedad.

Descomponemos la fuerza de la gravedad.

en y F_gy = mgcosα
en x F_gx = mgsenα

Vamos a plantear primero la ecuación del eje y que es la mas sencilla:

N-mgcosα = m.a

Si nos fijamos en el eje y no hay ninguna aceleración (el objeto no se mueve en esta dirección) asi que N-mgcosα = m.0

N = mgcosα

En el eje x tenemos:

mgsenα - µ_c.N = m.a

Sustituimos la N que acabamos de calcular:

mgsenα - µ_c.mgcosα = m.a

g(senα-µ_c.cosα) = a

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M.C.U.

noreply@blogger.com (Mario Rosales) — Fri, 05 Feb 2010 21:26:00 +0000

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme describe el movimiento de un objeto que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r con una velocidad constante.

Para cada tiempo t nuestro objeto habrá recorrido un pequeño angulo α.

Llamamos T mayuscula (periodo) al tiempo que tarda nuestro objeto en dar una vuelta completa, y f (frecuencia) al numero de vueltas por unidad de tiempo que da nuestro objeto. T = 1/f

Nuestra circunferencia de radio r tendra una logitud de 2πr.

Como hemos dicho, nuestro objeto tendrá una velocidad constante. Asi que para un intervalo de tiempo determinado, nuestro objeto habra barrido un ángulo determinado y para tiempos iguales barrera ángulos iguales.

Si tomamos cada vez periodos de tiempo mas pequeños [Lim_Δt→0] nos quedara :

dα/dt = y esto sera constante en todo momento.

Si integramos esta expresión nos quedara algo asi:

α = cte.t

Supongamos que el angulo que hemos recorrido es 2π (ya sabemos que es una vuelta completa en radianes). La expresión queda entonces:

2π = cte.T

T mayuscula porque hemos dicho antes que era el tiempo en dar una vuelta completa. Despejamos ahora nuestra constante desconocida y la llamamos w:

w = 2π/T ; α = w.t

w es la velocidad angular y se mide en radianes/s

Ahora recorremos una vuelta completa. Si lo hacemos con velocidad constante, nuestra velocidad sera (espacio/tiempo) V=2πr/T, pero como a 2π/T lo hemos llamado w (velocidad angular), nos quedara esta expresión:

V = w.r

La velocidad de un objeto en movimiento circular sera igual a su velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe.

Ecuacción de la posición de un objeto en movimiento circular

Como sabemos por nuestras nociones de vectores la posición de un objeto es 2D se expresa del siguiente modo:

r_(t)= i (rx) + j (ry)

Siendo r el vector posición del objeto, i y j los vectores unitarios en el eje x y eje y respectivamente y rx y ry las coordenadas x e y del objeto.

Calculando las componenetes rx e ry de nuestro objeto gracias a la trigonometria.

rx = r.senα
ry = r.cosα

Luego nuestra ecuaccion de la posición queda:

r_(t) = i r.senα + j r.cosα = r(i.senα + j.cosα)

Ahora sabiendo que α = wt ya que lo calculamos antes, sustituimos:

r_(t) = r(i.senwt + j.coswt)

Pues ya tenemos nuestra ecuacción para la posición de un objeto que se mueve a lo largo de una circunferencia.

La velocidad es la primera derivada de la posición (V = dx/dt). Como ya tenemos la ecuacción de la posición siendo r la posición de nuestro objeto. la velocidad sera V_(t) = dr/dt. Asi que tenemos que derivar la ecuacción de la posicion:

V_(t) = r.w (i(-senwt)+ j(coswt))

Debemos recordar que:
d(sen(ƒ(x)))/dx = (derivada de ƒ(x)).cos(ƒ(x))
d(cos(ƒ(x)))/dx = -(derivada de ƒ(x)).sen(ƒ(x))

Hemos dicho al principio que nuestro objeto se mueve con velocidad constante, por lo tanto seria lógico que su aceleración fuese 0, ya que la variación de la velocidad es cero. Sin embargo nuestra velocidad no es simplemente un numero sino que es un vector, si ves la ilustración veras que es un vector tangente a la circunferencia para cada posición de nuestro objeto.

Así que nuestra velocidad si que varia en cada instante, lo que pasa es que solo varia en dirección y no en modulo.

Esto quiere decir que podemos movernos a 10m/s de forma constante pero aun asi nuestro vector velocidad estara cambiando permanentemente de dirección. Y para cambiar la velocidad necesitamos aceleración.

Luego nuestro objeto si que va a tener una aceleración (que llamaremos centripeta) que va a variar la dirección del vector velocidad.

Sabemos que la a = dV/dt, asi que tendremos que derivar la ecuacción de la velocidad que obtuvimos anteriormente:

V_(t) = r.w (i(-senwt)+ j(coswt))

derivando

a_(t) = r.w (i(-w.coswt) + j(-w.senwt)) = - r.w² (i(coswt) + j(senwt))

Y como r_(t) = r(i.senwt + j.coswt)

a_(t) = -w².r

Tanto a como r son vectores, si queremos espresarlo de forma escalar diremos:

a = w².r

Aquí otra explicación de la aceleración centrípeta.

Bueno, ya sabemos que V = w.r, si despejamos w = V/r y sustituimos w en la ecuacción de la aceleración, nos queda:

a = (V/r)².r = (V²/r²).r

a_c = V²/r

Set de problemas

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