GeoGebra XP

Resolução de uma equação de 2o grau passo-a-passo

2011-01-27T09:15:00.003-02:00

Prezados(as)

considere que "a", "b" e "c" sejam números reais com "a" diferente de zero. Então, a equação

$$ax^2+bx+c=0$$

pode ser resolvida, usando uma fórmula conhecida como Baskara que é a seguinte:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$

onde

$$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$$.

Entretanto, é comum que os estudantes não consigam usar bem essa fórmula por erros pequenos de sinal, produto e outros. Que tal ver essa resolução passo a passo usando um aplicativo chamado GeoGebra? Se quiser ver o restante do artigo, clique em clique em "Mais informações »" a seguir.

Gostariam de ver a resolução de uma equação do 2º grau passo a passo? Ao final deste artigo eu lhe darei um link onde acessará uma página que se abrirá em uma nova janela. Verá algo semelhante ao que se encontra na figura a seguir. Se aparecer uma janela perguntando se deseja executar o Java, clique em RUN.

Note que na parte inferior há um campo onde ao lado está escrito ENTRADA. Esse campo chamamos de CAMPO DE ENTRADA. Nesse campo você deverá digitar os coeficientes "a", "b" e "c". Por exemplo. Para a equação $$-2x^2+3x+5=0$$, escreva no campo de entrada

a=-2 [ e aperte ENTER]
b=3 [ e aperte ENTER]
c=5 [ e aperte ENTER]

Verá que a resolução se ajustará a esses valores mostrando todos os passos da resolução. O recurso é interessante e pode lhe ajudar bastante, mas veja bem. Você precisa usá-lo com responsabilidade. Primeiro tente resolver a equação e quando terminar ou sentir que não consegue resolver, entre com os valores dos parâmetros e veja a resolução.

E o que fazer se a equação envolver frações?

Toda equação do 2º grau que envolve frações (racionais) pode ser transformada em uma que não envolve. Como? Muito simples. Basta multiplicar ambos os membros pelo Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Por exemplo:

$$\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{4}x+7=0$$

O MMC(3, 4)=12. Assim, multiplique ambos os membros por 12 e terá:

$$\frac{2.{\color{red}12}}{3}x^2-\frac{5.{\color{red}12}}{4}x+7.{\color{red}12}=0.{\color{red}12}$$

Simplificando as frações agora teremos:

$$8x^2-15x+84=0$$.

As equações $$\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{4}x+7=0$$ e $$8x^2-15x+84=0$$ são equivalentes, ou seja, possuem a mesma solução. Então, encontrando a solução da segunda terá também a solução da primeira. No applet que abrirá, basta entrar no CAMPO DE ENTRADA com:

a=8 [ e aperte ENTER]
b=-15 [ e aperte ENTER]
c=84 [ e aperte ENTER]

e verá a resolução passo a passo. Bom, vamos ao link. Clique AQUI para acessar o link mencionado.

Bons estudos.

Resumo - Funções Quadráticas

2011-01-27T09:13:00.003-02:00

Prezados(as),

Enquanto o Applet carrega abaixo, alguns pontos que deverá observar:

Modifique o valor de "a" e se convença que se o a>0 a parábola é convexa (concavidade voltada para cima) e se a<0 é côncava (concavidade voltada para baixo)
Qual é a relação entre o sinal do número DELTA e a existência de raízes?
Qual é a relação entre o valor de "c" e o local onde o gráfico cruza com o EixoY?

---

Estudo do sinal de uma função afim

2011-01-27T09:11:00.007-02:00

Sinal de uma função afim

Enquanto o Applet abaixo é carregado, veja o que ele lhe mostrará. A questão de estudo de sinal de uma função afim é ferramenta para resolução de outros problemas e entender o que se está escrevendo é importante.

Para estudantes a palavra é EXPLORAR. Clique sobre o PONTO SOBRE O EixoX que está sobre o EixoX. Observe o que ocorre quando se está com xraiz. O que pode dizer sobre a imagem (é marcada com o ponto verde sobre o EixoY) deste ponto? Quando conseguir responder a esta pergunta, saberá estudar o sinal de uma função. O recurso é só para ajudar o estudante a entender o conceito dando vida (movimento) ao conceito.

Aos colegas professores (e alunos) a pergunta é: esse tipo de recurso, ajuda no aprendizado? Faz diferença o uso de recursos computacionais em sala de aula (ou laboratórios)? Certo é que é necessário haver direcionamento. Dar um cd com um software para os alunos e professores não minimizará o problema do aprendizado em matemática.

Acredito que que não exista uma única variável nesta questão de ensinar e aprender matemática. Outras variáveis são: comprometimento, vontade de aprender etc. mas isto é uma outra história para um outro momento.

Aproveite o recurso que já deve ter carregado.

......

Funções Afins

2011-01-27T09:11:00.005-02:00

Para estudantes a palavra é EXPLORAR. Depois que o Applet for carregado abaixo, clique sobre os pontos que modificam os valores de a e b que estão sobre os seletores e observe o que ocorre. A partir da observação tente assimilar o que ocorre com relação a

Relação entre o "b" da forma genérica f(x)=ax+b e o local onde o gráfico cruza com o EixoY. Qual é a coordenada deste ponto?
Qual é a relação entre o termo a da forma genérica f(x)=ax+b e o fato da função ser CRESCENTE ou DECRESCENTE. Tente descobrir a resposta explorando o Applet abaixo.
Você vê que x=-b/a mostra o local onde o gráfico cruza com o EixoX. Tente entender o porquê.

Para os colegas professores (e alunos) a pergunta é: ESSE TIPO DE RECURSO AJUDA NO APRENDIZADO?

Uma ilustração sobre produto de frações

2011-01-27T07:34:00.001-02:00

Você sabe por que em multiplicação de frações se multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador? Para entender isso, que tal ver uma ilustração usando o GeoGebra?

Caso queira ver a explicação sobre isso, clique em "Mais informações »" a seguir.

Enquanto você lê este post, um applet será carregado. Se uma janela aparecer pedindo autorização para executar, clique em RUN.

Vamos aos fatos e vejamos se conseguimos entender. Se esforce para compreender.

Em primeiro lugar, lembre-se que uma fração faz referência a partes de mesmo tamanho. Por exemplo: se escrevemos $$\frac{2}{3}$$ estamos dizendo que de um total de três partes IGUAIS tomamos duas. Se escrevemos $$\frac{2}{7}$$ estamos dizendo o inteiro foi dividido em 7 partes IGUAIS e destas, tomamos duas.

Pois bem, considere agora duas frações:

$$\frac{2}{5}$$ e $$\frac{3}{4}$$

mostradas na figura seguinte.

Representação das frações 2/5 e 3/4, respectivamente.

O inteiro considerado aqui (para facilitar a compreensão) tem a forma de um quadrado, mas poderia ter qualquer qualquer outra (retângulo, disco, cubo, pirâmide etc). A fração $$\frac{2}{5}$$ representa duas partes IGUAIS de um total de 5 (em azul). Olhe o desenho anterior e certifique-se que entendeu isso. A outra fração (figura direita) representa 3 partes de um total de 4 (em amarelo).

A pergunta que deve entender é a seguinte: quanto é três quartos de dois quintos? Ou seja, quanto é $$\frac{3}{4}$$ de $$\frac{2}{5}$$? Coloque em sua mente que em matemática esse "de" representa depois de uma matematização, "vezes". A nossa pergunta então é: quanto é

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

O que faremos para obter esse número? Vamos olhar apenas para a parte que está pintada em azul. Essa parte representa a fração $$\frac{2}{5}$$. Queremos marcar agora três quartos desta parte azul. Para isso, precisamos dividi-la (a azul) em quatro partes e dessas tomaremos três, correto?

Lembre-se do que já deve ter estudado nas aulas de Artes (ou Ciências Naturais): ao misturar as cores (pigmento) azul com amarelo o resultado é a cor verde. Vamos marcar com esta cor os $$\frac{3}{4}$$ da cor azul. Teremos algo como mostra a figura seguinte.

A parte verde representa 3/4 de 2/5 (que está azul)

Agora, note que a parte que está em verde representa três quartos da parte azul (que é dois quintos). Em símbolos matemáticos a parte verde representa

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

Agora, qual é a parte do inteiro que é representado pela parte verde? Isto é, o que está em verde é que parte do todo (o quadrado). Observe que agora as partes estão de tamanho diferentes. Precisamos fazer com que elas fiquem com o mesmo tamanho. Como fazer isso?

Simples, prolongue as divisas que estão sobre a parte verde e você agora terá o inteiro (o quadrado) dividido em partes iguais. Note que o inteiro (o quadrado) ficou dividido em 20 partes (veja figura seguinte). O que está em verde corresponde, então, a 6 partes de um total de 20, ou seja, $$\frac{6}{20}$$.

A parte verde representa 6 partes de um total de 20

Daí,

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}$$.

Simples, não é? Entretanto, não podemos depender de figuras para determinar o produto. Qual pode ser então o procedimento para se obter a fração produto (resultado da multiplicação)? Repare que

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}$$

isto é, multiplicamos o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Experimente reproduzir essa ideia com outras frações e verá que o resultado será sempre obtido desta forma (produto entre os numeradores dividido pelo produto entre os denominadores).

Para ver várias outras ilustrações, no applet seguinte você pode arrastar qualquer dos pontos formando novas frações. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que está à esquerda. O produto de frações é a parte pintada da primeira fração que está sobre a parte pintada da segunda, ou seja, é a interseção entre as duas partes pintadas.

Obs.: para que veja o resultado da multiplicação, clique na caixa SOLUÇÃO.

Caso o applet, por algum motivo, não abra nesta página, clique AQUI e veja ele em uma janela separada.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Viu como é simples? Note que não foi por definição que chegamos ao fato que para multiplicar frações devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Isto é um fato que primeiro foi observado e depois se pensou em uma forma rápida de se chegar até o resultado sem precisar usar figuras.

Entretanto, se for adicionar duas frações, verá que não se pode adicionar numeradores e denominadores. Há um porquê também, mas isso ficará para um outro artigo.

Você pode deixar seus comentários/dúvidas etc. no campo a seguir.

Um grande abraço a todos.

Luís Cláudio LA

A matemática das colméias

2011-01-27T07:30:00.018-02:00

Prezados(as) ,

nesse pequeno artigo vamos discutir o motivo pelo qual as abelhas escolheram que os favos em suas colméias tivessem o formato de um hexágono (veja figura ao lado)? Já encontraram algum favo com o formato de quadrados, triângulos ou algum outro polígono? Que tal uma circunferência? Faz sentido? De alguma forma a natureza levou as abelhas a escolherem o formato de um hexágono.

Nesse artigo vamos estudar se "matematicamente" essa foi uma boa escolha. Se quiser ver o restante do artigo, clique em clique em "Mais informações »" a seguir.

Alguns aspectos devem ser observados.

Os polígonos devem ser encaixantes e não é qualquer um que tem essa propriedade. Há apenas três que podem ser encaixados: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular (pergunte-me o porquê).
A quantidade de cera que deverá usar em cada caso deverá ser a mesma para que possamos comparar o motivo pelo qual uma forma geométrica é melhor que a outra. Sendo assim, suporemos que a quantidade de cera é suficiente para construir uma "parede" de comprimento "a".

Verá que para entender esse simples problema vindo da natureza é necessário entender sobre vários conceitos matemáticos. Isso não é algo que você irá usar em seu dia a dia, mas com certeza mostra a matemática como ferramenta para entender um fenômeno natural.

Bom, vamos aos cálculos. A seguir há um applet que deverá ser possível observar através de uma ILUSTRAÇÃO que para polígonos onde o número de lados é maior que 7, não é possível encaixá-los; para aquele de número de lados igual a 5, note que também não é possível encaixá-los, mas é possível com aqueles cujo número de lados são iguais a 3, 4 ou 6 lados.

[Applet1]

. .

Suponhamos que "a" seja o comprimento da parede do favo que é possível fazer certa quantidade de cera. Veremos em cada caso qual é a área da região cercada por essas paredes. Entenda o modelo matemático que criaremos. A ideia é analisar os três casos (triângulo equilátero, quadrado e hexágono). Observe a ILUSTRAÇÃO seguinte mostra o que iremos analisar. Observe como a partir de um mesmo comprimento iremos construir um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Observe com calma.

[Applet2]

. .

Vamos agora analisar cada caso.

Análise do triângulo equilátero

Para o triângulo equilátero, a medida de cada lado será $$\frac{a}{3}$$ onde "a", só lembrando, é o comprimento que temos disponível. Para encontrar essa área você deve saber calcular área de um triângulo, conteúdo estudado na escola. No caso do triângulo equilátero, suponha que "L" seja uma medida qualquer. Então estaremos com um triângulo ABC como o mostrado na figura seguinte onde H é o pé da altura relativa ao lado AB. Outro fato estudado na escola é que a altura do triângulo equilátero é também bissetriz, mediana e mediatriz (pergunte-me o que são estas coisas). Observe a figura seguinte:

É sabido (também estudado na escola) que a área do um triângulo qualquer é

Área=$$\frac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}$$

A medida da base é a distãncia entre os pontos A e B, que no caso mede "L". O que não temos aqui é a medida da altura, que está representado por "h" na figura anterior. Para descobrir "h" você precisa de outro assunto estudado também na escola: teorema de Pitágoras. Esse teorema (pergunte-me o que é um teorema) diz que

"o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos"

Lembre-se que chamamos de CATETOS aqueles lados que ajudam a formar o ângulo reto (de 90 graus) e a HIPOTENUSA é aquela lado maior que não ajuda a formar esse ângulo reto. Pois bem, olhando para o desenho anterior pode observar que a medida da hipotenusa é "L", um dos catetos mede "$$\frac{L}{2}$$ e o outro cateto mede "h", que queremos descobrir. Por conta do Teorema de Pitágoras, sabe-se que

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2$$

Não se esqueça que queremos saber qual é a medida de "h" em função da medida "L". Vamos resolver a equação anterior em relação a "h". Ficaremos com

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow \left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2=L^2$$

Veja que apenas escrevi a igualdade da direita para a esquerda. Sendo assim, elevando L/2 ao quadrado encontraremos $$L^2/4$$ e assim,

$$\frac{L^2}{4}+h^2=L^2\Rightarrow h^2=L^2-\frac{L^2}{4}$$

Agora, adicionando os monômios que apareceram no segundo membro ficaremos com (lembre-se que é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para adicionar frações):

$$ h^2=\frac{\color{\red{4}}L^2-L^1}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3L^2}{4}$$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (pois $$h>0$$) ficaremos com

$$h=\sqrt{\frac{3L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3L^2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{L^2}}{2}$$

Como $$L>0$$, $$\sqrt{L^2}=L$$ e assim,

$${\color{red}h}=\frac{\sqrt{3}L}{2}=\frac{L.\sqrt{3}}{2}$$

Assim, já podemos escrever a medida da área do triângulo equilátero. Observe:

$$Area=\frac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot h= \frac{1}{2}\cdot L\cdot \frac{L.\sqrt{3}}{2}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Pois bem, acabamos de ver que a medida da área de um triângulo equilátero é igual à medida do lado do triângulo multiplicado por $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Para o caso do favo da colméia, a medida do lado é a/3, ou seja,

$${\color{blue}L=\frac{a}{3}}$$

e assim a área será

$$\mbox{Area}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\frac{a}{3}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2$$

Conclusão: com um comprimento "a" podemos criar um triângulo equilátero de área $$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2$$.

Análise do quadrado

No caso do quadrado, cada lado dela irá medir $$\frac{a}{4}$$ e como a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado então

$$\mbox{Area}_{\mbox{Quadrado}}=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\cdot a^2=0,0625\cdot a^2.$$

Análise do hexágono regular

No caso do hexágono regular você deve lembrar que a área é seis vezes a área do triângulo equilátero que possui o mesmo lado (do hexágono). Para que você nunca mais se esqueça desta propriedade, eu preparei uma ilustração dinâmica que ilustra esse fato. Arraste o seletor ou clique no botão "Play" para ver o que queremos dizer.

[Applet3]

. .

Sabendo disso, voltamos à fórmula da área do triângulo equilátero cuja medida do lado é "L" e multiplicamos ela por 6. Assim,

$$Area_{\mbox{Hexagono Reg.}}=6\cdot {\mbox{Area}}_{\mbox{Triangulo Equilatero}}=6\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Ou seja,

$$Area_{Hex. Reg.}=6{\color{red}\div 2}\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4{\color{red}\div 2}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot L^2}{2}$$

que finalmente nos dá:

$$Area_{\mbox{Hex. Reg.}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot {\color{green}L}^2$$

Agora que sabemos a fórmula para calcular a área do hexágono regular, voltemos ao nosso problema. Note que o comprimento "a" deverá ser dividido agora por 6. Assim, a medida do lado do hexágono será $${\color{green}L=\frac{a}{6}}$$ e assim, a área delimitada pelo hexágono feito com cera será:

$$AreaHexagonoDeCera=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac{a}{6}\right)^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a^2}{36}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{72}\cdot a^2$$

Simplificando vem,

$Area_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3{\color{red}\div 3}\cdot\sqrt{3}}{72{\color{red}\div 3}}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,0721687\cdot a^2$

Conclusão

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2.$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot a^2.$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot a^2$$

Qual dos três tem área maior? Dos números decimais que aparecem logo acima, o maior é o terceiro (0,072168), ou seja, a área do hexágono é a maior entre as três. Se quiser um caso particular, tome

a = 10 cm

e teremos, em particular:

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot 10^2=0,048112\cdot 100=4,8112\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot 10^2=0,062500\cdot 100.=6,25\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot 10^2= 0,072168\cdot 100= 7,2168\,\,\mbox{cm}^2\$$

Simples, não? Por incrível que pareça as abelhas sabem que esse é o melhor formato para a construção dos favos.

Observe o seguinte: os conceitos aqui usados são estudados em sua escola (todos eles) e muitos alunos perguntam: mas por que eu devo estudar isso se não irei usar isso em meu dia a dia? O que viu aqui não é algo que irá usar em seu dia a dia, mas com certeza trata-se de um conhecimento a mais que conseguiu usando como ferramenta alguns tópicos vistos em sala de aula. A você aluno, eu pergunto se consegue listar os conhecimentos prévios que deveria ter para resolver esse problema. Use o campo de comentário se quiser participar. Vou iniciar:

1. Saber calcular área de triângulo

2. Saber o teorema de Pitágoras,

etc.

Um grande abraço

Luís Cláudio LA
J.Cássio

Porcentagem, gráfico em setores e a Terra em miniatura

2011-01-27T07:27:00.004-02:00

Prezados(as),

nas 6ª série (7º ano) os alunos estudam um assunto interessante chamado porcentagem (penso que na 5ª série (6º ano) também). A ideia por trás desse conceito é reduzir ou aumentar a grandeza que estamos estudando até 100 e verificar o que se tem a partir daí.

Uma forma de ilustrar isso está no vídeo seguinte. A Terra é pensada como se fosse uma aldeia onde nesta há 100 pessoas. Daí, vamos ver o que podemos concluir.

[O texto está em inglês e é uma ótima oportunidade para uma interdisciplinaridade com a disciplina da profa Fabiana ou o prof. José Carlos de Inglês]

Em sala de aula também falamos sobre gráfico de pizza e a forma construir esse tipo de gráfico. A seguir deixo um Applet do GeoGebra onde pode arrastar o seletor e ver todo o cálculo envolvido de forma dinâmica.

. .

Grande abraço

Luís Cláudio LA

[Cálculo 1] Ilustração para limites laterais

2010-11-27T11:49:00.006-02:00

Neste post vamos construir uma ilustração para o conceito de limites laterais e consequentemente de limites. Gostamos de ressaltar sempre a condição de ilustração e destacar que o que verá nada prova, mas é uma forma de melhorar a compreensão do fenômeno estudado. No caso de você ser professor é uma oportunidade de mostrar de forma rápida vários exemplos de forma muito convincente.

Mais uma vez, faremos uso da ferramenta planilha para esta construção. As instruções aqui contidas não envolverão a parte de embelezamento (mudar cor, espessura, tipo de linha, ajuste de escala etc).

Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir ou no link anterior.

Para esta ilustração usaremos a função

$$f(x)=\frac{|x|}{x}.(x^2+1)$$

Abra o seu software GeoGebra e no CAMPO DE ENTRADA

f(x)=abs(x)/x*(x^2+1)

No MENU PRINCIPAL clique em EXIBIR>>PLANILHA. Na célula A1 digite: x tende a e nas células A2, B2, C2 até G2 digite os textos mostrados na figura seguinte.

Na célula B1 ficará o valor para onde o valor de x tenderá. Todo o trabalho será voltado para esta célula. Clique na célula A3 e digite 1; clique na célula A4 e digite 2; selecione as duas células e clique no quadrado azul na extremidade direita inferior da seleção (veja figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22. com isso criaremos uma ilustração com 20 passos. Se tudo correu bem você estará com os números 1, 2, 3, 4, ... , 20 na coluna A, correto?

Agora, siga os passos seguintes, mas antes entenda qual será a idéia. Vamos pegar um ponto que está uma unidade antes (à esquerda) do ponto limite e um outro uma unidade após (à direita) do ponto limite. Os valores à esquerda do ponto limite serão chamados de x- e os à direita de x+. Vamos mostrar no gráfico os vários pontos na forma (x-,f(x-)) e (x+,f(x+)) quando x- se aproxima do ponto limite pela esquerda e x+ pela direita. Entendeu a ideia? Vamos lá.

Obs.: por conta do filtro LaTeX que gera os símbolos matemáticos que vê no blog tudo o que é colocado entre dois cifrões ele interpreta como símbolo matemático. Assim, no texto abaixo onde vê € substitua por $.

Na célula B1 entre com o valor zero;
na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/( A3 ) (significa cifrão B cifrão 1 -1/A3). Com isso estamos pedindo para que ele pegue o valor da célula B1 e subtraia uma unidade dividido pelo valor da célula que está em A3. O cifrão antes do B fixa a coluna no caso de copiar fórmulas e o cifrão à esquerda do 1 fixa a linha. Nesse caso fixamos a célula pois a linha e a coluna estão fixadas. Veja na imagem seguinte como deve digitar.

Na célula C3 digite: =f( B3 )
Na célula D3 digite: =( B3 , C3 )
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
Na célula F3 digite: =f( E3 )
Na célula G3 digite: =(E3, F3)

Pronto. A base de sua construção já está pronta. Selecione as células B3 até G3 como mostrado na figura seguinte.

Clique na extremidade direita da seleção (o quadradinho azul que vê na figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22 (se quiser mais é só acrescentar mais valores na primeira coluna) e pronto.

Algumas ações para melhorar sua construção

Note que o rótulo dos pontos aparecem na figura que está na JANELA DE VISUALIZAÇÃO e seria interessante que não estivesse. Para retirar, faça o seguinte:

Clique na coluna onde estão os pontos (D ou G) e depois clique com o botão do lado direito do mouse em algum lugar da coluna e selecione a opção PROPRIEDADES.
Na nova janela que aparecerá clique em PONTO na coluna esquerda e todos os pontos serão selecionados. Se preferir, nesse momento já pode modificar as propriedades dos pontos como espessura, cor, forma etc.

Clicando na guia BÁSICO deverá desmarcar a opção EXIBIR RÓTULO (figura seguinte). Assim os pontos não aparecerão mais com os rótulos e o desenho ficará mais limpo.

Feito isso, clique em FECHAR. Para selecionar apenas os pontos.

Como aumentar a "velocidade" de aproximação do ponto limite?

Você notará que estamos usando uma sequência do tipo

$$x_n=x_0\pm \frac{1}{n}$$

De fato quando n tende a infinito, $x_n$ tende a $x_0$, mas com apenas 20 termos podemos achar que ficamos muito "distante" do ponto limite. Para aumentar essa "velocidade", basta fazer um ajuste na sequência usada.

Demos uma instrução anteriormente assim:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

Basta modificar a relação com a coluna A. Algumas formas de melhorar a rapidez com que os pontos se aproximam do ponto limite seria assim:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3^2 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /A3^2 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

ou ainda, para ficar mais rápido ainda:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/exp(A3) (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /exp(A3) Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

Feito essa modificação, basta selecionar as células B3 até G3 e copiar essas fórmulas até a linha 22 (basta clicar a arrastar o quadradinho azul na extremidade direita da seleção.

Uma outra ação poderá modificar a quantidade de casas decimais consideradas. Para fazer este ajuste, no MENU PRINCIPAL, vá em OPÇÕES>> ARREDONDAMENTOS e escolha quantas casas decimais quer.

APPLET

A seguir você tem acesso ao applet com esta construção. Aqui na Internet mesmo poderá modificar a função digitando no CAMPO DE ENTRADA a função que quer trabalhar. Eis alguns exemplos funções que pode digitar no referido campo:

f(x)=sin(x)/x
f(x)=(1-cos(x))/x
f(x)=ln(x)

Escolha a sua agora.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Para modificar o ponto limite, no CAMPO DE ENTRADA digite o novo valor para a célula B1 (que é onde está o valor para onde x tenderá). Eis alguns exemplos:

B1=1
B1=3
B1=-2

e assim por diante.

Para pegar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre o Applet.

Vamos deixar uma tarefa para você. Colocar um segmento de reta que une o ponto sobre o EixoX ao ponto sobre o gráfico e outro que une o ponto sobre o gráfico até o EixoY. Naturalmente que o ponto sobre o EixoX deve ter a mesma abscissa do ponto sobre o gráfico e o ponto sobre o EixoY deve ter a mesma ordenada do ponto sobre o gráfico. Ilustração clássica.

Se você é professor(a), a parte da planilha propriamente dita pode ser interessante para mostrar aos seus alunos a ideia de convergência. Muitos calculam até de forma correta, mas não têm um entendimento pleno do que estão calculando.

Divirtam-se...

Gostaria de receber notícias deste blog e seus autores? Assine nosso boletim informativo (coluna direita na parte superior). Quer sugerir alguma ilustração, deixe um comentário no campo a seguir. Sugira ilustrações e, na medida do possível, vamos colocar aqui.

Grande abraço
Luís Cláudio LA & J.Cássio

[Cálculo Numérico] Ilustração para o método do ponto fixo

2010-11-20T11:23:00.012-02:00

Nesse post vamos mostrar como você pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustração do método do ponto fixo para resolver equações (principalmente as transcendentes).

Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir

Considere o problema de encontrar a raiz de uma função contínua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O método do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solução desta última equação é a mesma que faz com que $g(x)$=0. A função $f$ é chamada função de transição ou interação.

Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raíz da função $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ é o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ é, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$.

Vamos ao GeoGebra. Abra o seu software

no menu principal clique em EXIBIR>>PLANILHA;
ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;
na célula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o próximo de x=3.
na célula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))
na célula C1 digite: =Segmento[A1, B1]
na célula A2 digite: =(y(B1), y(B1))
copie a fórmula da célula B1 para a célula B2 ou escreva na célula B2: =(x(A2), f(x(A2)))
copie a fórmula da célula C1 para a célula C2 ou escreva na célula C2: =Segmento[A2, B2]
na célula D2 digite: =Segmento[B1, A2]
selecione as células A2 até D2 (basta clicar em A2 e arrastar até D2.

Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as células que estão abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da célula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste até a linha 20 (serão 20 interações)

Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar até a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botão do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opção PROPRIEDADES e na janela que aparecerá, DESMARQUE a opção EXIBIR RÓTULO.

Feito isso, o que pode fazer agora é embelezar sua construção, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais.

.. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) ..

----
Quando for tentar resolver um outro problema, poderá se deparar com outras funções de transição (ou interação). Nesse caso poderá usar a construção feita para ilustrar a convergência ou divergência da sequência usada para se aproximar da raiz, a saber,

$$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$

Use o CAMPO DE ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funções de transição (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a função de transição, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA:

f(x)=x^2
f(x)=sin(x)
f(x)=abs(cos(x))

e assim por diante.

Agora... Divirta-se. Em sua diversão, que tal tentar construir a ilustração para o Método de Newton? É bem simples. Eu garanto.

Grande abraço

Ilustração sobre gráficos de funções inversas

2010-10-16T15:25:00.004-03:00

Prezados(as) professores(as),

neste post pretendemos construir uma ilustração que permita ao estudante perceber, do ponto de vista geométrico, como ele pode perceber qual é a forma do gráfico da inversa de uma função contando que conheça o gráfico desta função. Os conceitos necessários são:

Rotação de um ponto em torno da origem.
Reflexão de um ponto em torno do EixoY

Um problema inicial que enfrentamos está no fato de que o comando Girar[] do GeoGebra não gira funções. Para contornar esse problema precisaremos de um pouco de matemática e a função LUGAR GEOMÉTRICO.

A estratégia será a seguinte:

Criamos uma função usando o comando Função[lei, início, fim]
Colocamos um ponto sobre o gráfico desta função. Provavelmente será nomeado de "A".
Criamos um ponto B que é a rotação do ponto A em "t" radianos em torno da origem. Esse parâmetro "t" estará no intervalo [0; 1,57]
Usamos a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO para marcar esse lugar.
Quando o parâmetro "t" estiver em 1,57 (metade de pi) pedimos para ele mostrar a reflexão do gráfico que está girando em torno do EixoY (matemática básica)
Enfeites finais.

Se quer ver o restante do post clique em clique em "Mais informações »" a seguir.

Devemos primeiro criar uma função. Usaremos o comando Função[] para ter controle sobre o domínio, já que várias funções não têm inversas se tomarmos o domínio sendo os Reais, como por exemplo: f(x)=cos(x), sen(x), x² e outras. No CAMPO DE ENTRADA entre com o seguinte comando:

f(x)=Função[x^2,0,5]

Criamos uma função y=x² definida no intervalo [0, 5]. Vamos pedir um ponto sobre o gráfico de f. Para isso entre com o seguinte comando

Ponto[f]

Um ponto A foi criado sobre o gráfico de f. Aperte a tecla ESC e movimente o ponto.

Agora vamos criar o parâmetro que controlará a rotação. Usaremos a ferramenta SELETOR (Janela 10). Ative esta ferramenta (figura do botão ao lado) e clique onde quer que o seletor apareça. Uma janela se abrirá. Dê nome a esse seletor de "t" com valor inicial em 0 e final em 1.57. Aperte o botão APLICAR.

O próximo passo é criar um ponto B que seja a rotação do ponto A em "t" radianos no sentido anti-horário. Aqui é necessário o conhecimento de um pouco de matemática que se aprende geralmente nos cursos de Álgebra Linear (ou Geometria Analítica, não me lembro muito bem). Se (x,y) é um ponto qualquer do plano coordenado e (X,Y) é a coordenada de um ponto obtido com a rotação do ponto (x,y) em torno da origem em um ângulo de "t" radianos (pode ser em graus também, claro), então

$$X=x.\cos(t)-y.\sin(t)$$
.

$$Y=x.\sin(t)+y.\cos(t)$$

Veja isso mais detalhadamente clicando AQUI. Precisamos criar um ponto então com estas coordenadas. Para isso, entre com o seguinte comando no CAMPO DE ENTRADA do GeoGebra:

(x(A) cos(t) - y(A) sin(t), x(A) sin(t) + y(A) cos(t))

O ponto criado foi nomeado, provavelmente, como B. Aperte a tecla ESC e certifique-se que o ponto gira em torno da origem. Agora temos os dois pontos necessários para construir o lugar geométrico.

Ative a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO e clique sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. Alternativamente, no CAMPO DE ENTRADA entre com o comando LugarGeométrico[B,A] .

Aperte a tecla ESC e arraste o seletor com o parâmetro "t". Veja se o gráfico gira em torno do EixoX.

A parte final deixo como exercícios vocês construírem. Vejam se conseguem construir algo semelhante ao que se vê no applet seguinte.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Para baixar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre ele depois de carregado. Para modificar a função que está sendo usada na ilustração, digite no CAMPO DE ENTRADA uma instrução na forma: f(x)=Função[lei da função, início, fim]. Deixarei algumas para que possa apenas copiar e colar (na verdade basta selecionar, arrastar para o CAMPO DE ENTRADA e apertar ENTER).

f(x)=Função[sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de seno em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x),0,pi] - para a inversa de cosseno em $[0,\pi]$
f(x)=Função[tan(x),-1.5,1.5] - para a inversa de tangente em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x)/sin(x),0,pi] - para a inversa de cotangente em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/cos(x),0,pi] - para a inversa de secante em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de cosecante em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[x^2,-5,0] - para a inversa de $y=x^2$, $x>0$
f(x)=Função[sqrt(x),0,10] - para a inversa de $y=\sqrt{x}$, $x>0$
f(x)=exp(x) - para a inversa da exponencial
f(x)=ln(x) - para a inversa do logaritmo natural

Agora você pode tentar fazer as suas. Há uma outra forma de gerar o gráfico da função inversa que é refletindo o gráfico de y=f(x) em torno da reta y=x, mas deixaremos essa construção como uma atividade, já que é bem simples.

Gostou desse post? Não gostou? Quer perguntar algo? Use o campo de comentários abaixo.

Grande abraço
Luís Cláudio LA

A ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO do GeoGebra

2010-10-16T10:02:00.000-03:00

Prezados(as) professores(as),

eu sempre digo a meus alunos que a dúvida é a mãe da sabedoria. Não sei se essa frase é de alguém conhecido para lhe dar o devido crédito. Ouvi ela de um senhor (reportagem do Fantástico há muito tempo atrás) que não frequentou uma escola durante muito tempo, mas era um autodidata e em especial gostava muito de matemática. Certo é que se alguém tem uma dúvida, é porque está pensando sobre algo e isso é o primeiro passo para adquirir um novo conhecimento.

A dúvida era sobre a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO do GeoGebra. Essa ferramenta está localizada na Janela 4 (4º grupo de comandos da esquerda para a direita - GeoGebra 3.2). Nosso objetivo neste post é falar sobre essa ferramenta e para isso, clique em "Mais informações »" a seguir.

Essa é uma ferramenta que possui dois argumentos.

Ponto que determina o lugar geométrico (é aquele que irá gerar o traço do lugar geométrico).
Ponto (é como se fosse o ponto do domínio)

Pelo CAMPO DE ENTRADA você pode acessar esse comando com uma sintaxe da seguinte forma:

LugarGeométrico[<Ponto que Determina o Lugar Geométrico>, <Ponto>]

É preciso que você se lembre que o segundo ponto deve ser escrito em função das coordenadas do primeiro. Assim, recordemos o seguinte: se um ponto tem nome "A", eu faço referência à abscissa desse ponto escrevendo "x(A)" e para a ordenada, "y(A)". Se o ponto tem nome "P" e eu escrevo "x(P)" estou chamando apenas o número que está na primeira coordenada de P. Certo? Por exemplo. Se o ponto Q=(1, 5), então, x(Q)=1 e y(Q)=5. Certifique-se que entendeu isso.

Vamos ilustrar o uso da ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO com uma função.

LEMBRE-SE: VOCÊ PRECISA SEMPRE DE DOIS PONTOS

No CAMPO DE ENTRADA digite o que está à direita das bolinhas pretas.

Ponto[EixoX]

Cria um ponto sobre o EixoX. Aperte a tecla ESC e arraste o ponto A criado. Ele ficará sempre sobre o EixoX, ok?

(x(A), sin(x(A)))

Cria um ponto onde a abscissa é a abscissa do ponto A -- x(A) -- e a ordenada é o seno da abscissa do ponto A -- sin(x(A))--; não esqueça que um ponto é criado da seguinte forma: (número, número). Agora, dois pontos estão na JANELA DE VISUALIZAÇÃO. O ponto A é quem determinará o lugar geométrico e o traço deixado pelo B estará neste lugar geométrico. Você pode entrar com o comando:

LugarGeométrico[B,A]

ou ativar a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO (Janela 4), clicar sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. O efeito é o mesmo. A seguir há um applet com os pontos A e B já colocados. Execute a instrução anterior e veja se conseguirá ver o gráfico da função seno.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Suponha que queira fazer esse mesmo trabalho, mas com o ponto sobre uma outra curva. Apague todos os objetos da janela que está aberta ou abra uma nova.

A curva não precisa ser uma função. Vamos usar o comando "Curva[]". Escreva no CAMPO DE ENTRADA, por exemplo:

Curva[sin(t),-cos(t)/t,t,-5,5]

Trata-se de uma curva parametrizada cujo nome é "a", ok? Vamos colocar um ponto sobre essa curva com o seguinte comando:

Ponto[a]

Apareceu um ponto sobre a curva a(t), correto. Agora queremos um ponto B cuja coordenada depende das coordenadas do ponto A. Vamos inventar uma relação só para que veja como funciona. Escreva no CAMPO DE ENTRADA.

(exp(-x(A))*y(A), cos(x(A))*ln(abs(y(A)*x(A)^2)))

Veja que as coordenadas desse ponto novo é escrito em função da abscissa e ordenada do ponto A. Eu coloquei esta expressão mais complexa apenas a título de ilustração. Feito isso, um ponto B aparecerá. Esse é o ponto que determinará o lugar geométrico. Feito isso, de duas uma. Ou você ativa a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO (Janela 4), clica no ponto B e depois no ponto A ou no CAMPO DE ENTRADA, digite:

LugarGeométrico[B,A]

O applet abaixo está aguardando apenas esse último comando. Execute-o e veja o que será mostrado. Opcionalmente você pode apagar todos os objetos e fazer esta atividade desde o início.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Resumindo: esta ferramenta precisa de um ponto colocado em função do outro. O que é mostrado é o que se obtém quando o primeiro ponto se move sobre algum objeto que pode ser um eixo, um segmento de reta, uma função, uma curva etc.

Uma pergunta natural seria: e se quisesse saber onde é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a equação

$$x.\cos(xy)+y.e^{x.\cos(y^2)}=2.\ln|xy|$$?

Há como? Até esta versão (3.2) ainda não, mas esta ferramenta já está sendo desenvolvida.

Ilustração sobre produto de frações

2010-10-13T12:26:00.003-03:00

Você sabe por que em multiplicação de frações se multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador? Para entender isso, que tal ver uma ilustração usando o GeoGebra?

Caso queira ver a explicação sobre isso, clique em "Mais informações »" a seguir.

Enquanto você lê este post, um applet será carregado. Se uma janela aparecer pedindo autorização para executar, clique em RUN.

Vamos aos fatos e vejamos se conseguimos entender. Se esforce para compreender.

$$\frac{2}{5}$$ e $$\frac{3}{4}$$

mostradas na figura seguinte.

Representação das frações 2/5 e 3/4, respectivamente.

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

A parte verde representa 3/4 de 2/5 (que está azul)

Agora, note que a parte que está em verde representa três quartos da parte azul (que é dois quintos). Em símbolos matemáticos a parte verde representa

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

A parte verde representa 6 partes de um total de 20

Daí,

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}$$.

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}$$

Para ver várias outras ilustrações, no applet seguinte você pode arrastar qualquer dos pontos formando novas frações. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que está à esquerda, ou seja, arraste a bola azul que está no canto esquerdo superior do quadrado que aparece do lado direito e sobreponha as figuras. Assim visualizará para várias situações o que discutimos.

Para modificar as frações envolvidas, arraste os pontos que estão com os números logo acima.

O produto de frações é a parte pintada da primeira fração que está sobre a parte pintada da segunda, ou seja, é a interseção entre as duas partes pintadas.

Obs.: para que veja o resultado da multiplicação, clique na caixa SOLUÇÃO.

Caso o applet, por algum motivo, não abra nesta página, clique AQUI e veja ele em uma janela separada.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Este recurso foi construído originalmente por Markus Hohenwarter e editado por Luís Cláudio LA

Você pode deixar seus comentários/dúvidas etc. no campo a seguir.

Um grande abraço a todos.

Luís Cláudio LA

Porcentagem, gráfico em forma de pizza e Terra em miniatura

2010-10-13T12:18:00.000-03:00

Prezados(as) professores(as) e alunos(as),

em geral na 6ª série (7º ano) os alunos estudam o assunto porcentagem (as vezes na 5ª série). A ideia por trás desse conceito é reduzir ou aumentar a grandeza que estamos estudando até 100 e verificar o que se tem a partir daí.

Uma forma de ilustrar isso está no vídeo seguinte. A Terra é pensada como se fosse uma aldeia onde nesta há 100 pessoas. Daí, vamos ver o que podemos concluir.

O texto está em inglês e é uma ótima oportunidade para um trabalho interdisciplinar com Inglês.

Em algum momento é mostrado aos alunos como construir gráficos em forma de pizza usando proporções. A seguir deixo um Applet do GeoGebra onde pode arrastar o seletor e ver todo o cálculo envolvido de forma dinâmica.

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Para baixar o arquivo, basta dar um clique duplo sobre o applet acima. Quando a janela se abrir você pode salvar normalmente.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Como inserir símbolos matemáticos em seu blog (blogspot)?

2010-10-13T11:56:00.001-03:00

Olá... Eu demorei um pouco para encontrar uma forma de escrever textos matemáticos em meu blog e para que não precise percorrer o mesmo caminho que eu aqui vai o caminho das pedras.

1) Copie o código em azul (Ctrl+C)

<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">
replaceMath( document.body );</script>
<a href="http://www.watchmath.com">
<img src="http://www.watchmath.com/images/formula.png" alt="" width="100" /></a>

<a href="http://watchmath.com/vlog/?p=438">
Math Formula?</a>

2) Faça o login e clique em DESIGN (canto direito superior). Alternativamente, se já estive dentro do ambiente de administração, clique em PAINEL (e depois em DESIGN do blog que quer editar - no caso de haver mais de um).

Clique em MAIS INFORMAÇÕES caso queira ver o restante das instruções.

3) Clique em ADICIONAR UM GADGET e na nova janela que aparecerá escolha a opção HTML/JavaScript.

4) Uma nova janela aparecerá. Cole o código copiado no passo 1 como mostra a figura seguinte. No campo título escreva o que quiser e clique em SALVAR.

Pronto. O seu blog (aqui no blogspot) está pronto para escrever textos em LaTeX.

Você pode escrever colocando o texto latex entre dois cifrões e o código LaTeX entre eles. Veja um exemplo se digitar cifrão \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} cifrão terá como resultado $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ (na mesma linha). Se digitar cifrãocifrão \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} cifrãocifrão terá como resultado o mesmo $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$, mas no modo displaystyle.

Divirta-se!!!

Em tempo: você precisa conhecer a sintaxe LaTeX. Caso contrário não conseguirá trabalhar com esses símbolos. É bem simples e lógico.

Fonte:
http://watchmath.com/vlog/?p=1244
http://watchmath.com/vlog/?p=438

inserir latex blogspot blog simbolo símbolo matemático blog