Gli studenti di oggi

Breve storia del Nobel per la chimica 2011 in quattro punti, con una meravigliosa dimostrazione senza parole animata

2013-06-03T07:00:00.000+02:00

Punto 1.

Intorno alla metà degli anni '70 Roger Penrose, matematico/fisico/filosofo inglese, scoprì come creare un mosaico aperiodico, cioè una tassellatura del piano che non si ripete mai. Per essere ancora più precisi: comunque la trasliamo, non riusciremo mai a sovrapporla all'originale.

L'esistenza di tassellature non periodiche del piano era nota dal 1964. Il logico cinese-americano Hao Wang (nato in cina e cittadino americano) aveva notato una connessione tra l'Entscheidungsproblem e le tassellature del piano, e formulò il seguente problema: dato un insieme di tessere quadrate, con i bordi colorati in un certo modo, è sempre possibile ricoprire tutto il piano in modo tale che siano rispettate le regole del domino, cioè che i bordi adiacenti abbiano lo stesso colore? Il problema è oggi noto come Domino problem (suppongo che in italiano sia problema del domino, anche se wikipedia non ha ancora una voce a riguardo).

Se questo problema fosse risultato indecidibile, scoprì Wang, allora sarebbe dovuto esistere un insieme di tessere quadrate in grado di ricoprire in modo aperiodico il piano. Data la stranezza della cosa, Wang congetturò che tutto ciò fosse impossibile.

Nella sua tesi del 1964 uno studente di Wang, Robert Berger, dimostrò che il problema del domino era davvero indecidibile, e riuscì a costruire un insieme di tessere in grado di ricoprire il piano proprio nel modo che Wang riteneva impossibile. L'insieme era composto da 20426 tessere.

Il numero venne poi ridotto a 104 e, nel 1968, Knuth lo ridusse ulteriormente a 92. Nel 1971 Raphael Robinson, matematico americano, lo ridusse a 6.

Nel 1974 Penrose propose un diverso insieme di tessere aventi la stessa proprietà: prendendo ispirazione da Keplero (che aveva tassellato il piano utilizzando pentagoni, pentragrammi, decagoni e compagnia varia), fornì un insieme di 6 tessere basate sul pentagono regolare.

Successivamente, Penrose ridusse l'insieme a sole 2 tessere. Anzi, trovò due insiemi diversi, ma strettamente legati tra loro, ciascuno composto da 2 sole tessere.

Tutto ciò è magistralmente riassunto in un filmato, realizzato da Maurizio Paolini e Alessandro Musesti presso il dipartimento di matematica e fisica dell'Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia.

È bellissimo, è stato fatto utilizzato esclusivamente software libero, e se andate sul loro sito ci sono pure i sorgenti.

Mettetelo a tutto schermo, in alta definizione, e guardatelo:

Punto 2.

Nel 1982 Alan Mackay, chimico cristallografo inglese, giocò con la tassellatura di Penrose. Immaginò di mettere degli atomi in ogni sua intersezione, costruì un modello in cui ogni atomo era un cerchietto opaco, illuminò il tutto e ottenne una figura di diffrazione a simmetria decagonale. Bella roba, si disse, chissà se questi cristalli esistono davvero?

Punto 3.

Nel 1982 Dan Schechtman, fisico israeliano, giocando col suo microscopio elettronico, scoprì una figura che apparentemente violava le leggi fisiche: una figura di diffrazione a simmetria decagonale. Eyn chaya kazo, disse tra sé e sé. Che non vuol dire quello che pensate, ma una creatura del genere non può esistere.

Punto 4.

Nel 1984 Paul Steinhardt, fisico americano, e Dov Levine, di cui non si trova traccia nemmeno su wikipedia (!), fecero uno più uno, collegando la teoria di Mackay con la pratica di Schechtman, riuscendo a spiegare la struttura dei cristalli di Schechtman con le tassellature aperiodiche del piano di Penrose.

Nel 2011 Schechtman ottenne il premio Nobel per la chimica per la scoperta dei cosiddetti quasicristalli.

Autore:

2013-05-28T23:15:00.001+02:00

Nel lontano febbraio 2002 Piotr, ~~imbucato~~ invitato alla festa di compleanno di Douglas Hofstadter in quel di Bologna, si domandava come mai la prima parola del suo (di Hofstadter) libro più famoso fosse Author:, in italiano Autore:.

Nel lontano marzo 2002 il sottoscritto, leggendo il resoconto di Rudy, verificò sulla propria copia del suddetto libro che, effettivamente, la prima parola dopo indice, sommario, elenchi vari, fosse proprio Autore:. Era vero.

Oggi Doug Hofstadter ha tenuto, ancora una volta a Bologna, una conferenza dal titolo L'onnipresenza dell'analogia in matematica, e io sono stato ad ascoltarlo.

Ha parlato di come ragionano i matematici, di cosa trovano interessante e di cosa, invece, trovano noioso. Ha parlato della ricerca dei pattern, di come viene generalizzata una regolarità, di ricerche che lui ha compiuto quando aveva 17-19 anni, descrivendo quel periodo come “un'esperienza ricca e gioiosa”.

Ha spiegato la genesi della funzione INT(x), descritta nelle pagine di Gödel, Escher, Bach; ha raccontato dei suoi studi di matematica e di fisica. Ascoltarlo è stato un piacere.

Bene, alla fine della conferenza si è messo a disposizione del pubblico: c'era chi gli faceva qualche domanda, chi gli portava un libro da autografare. Mi sono messo in coda anche io, e quando sono stato là davanti gli ho chiesto se, mentre firmava, potevo fargli una domanda. Lui ha risposto “ma certo”, e io gli ho domandato: “come mai la prima parola del libro è proprio Autore:?”.

Adesso so.

Lo dico, dai.

Ha aperto il libro all'ultima pagina e mi ha detto, vedi, qua nel finale c'è l'Autore che parla, nel dialogo. E proprio alla fine la Tartaruga dice Riattacca Introduzione Come Esaurirai RICERCARE; Canone Ascendente Riprodurrai Eternamente. E quindi il libro non termina lì, ma ricomincia dall'inizio, dall'introduzione, con l'Autore che parla, e racconta di come ha intrecciato insieme i tre personaggi che fanno parte del titolo del libro.

Il libro, dunque, non finisce mai, ma richiama sempre sé stesso, creando un meraviglioso strano anello.

Seconda passata

2013-04-30T07:00:00.000+02:00

Per capire come mai quattro bordi formati da lamine saponate si intersecano formando angoli di poco più di 109 gradi bisogna spostarsi nello spazio.

Nel piano avevamo tre forze identiche che tiravano in tre direzioni diverse, e avevamo l'equilibrio quando le tre forze erano disposte in modo da formare angoli di 120 gradi; ora prendiamo quattro forze identiche e le mettiamo nello spazio. Quando si ha l'equilibrio?

È come se le quattro palline rosse della seguente figura volessero tutte allontanarsi dal centro:

come devono disporsi?

Evidenti ragioni di simmetria porterebbero il Matematico Audace a dare subito la risposta, ma io ho preferito farmi tutti i calcoli (anche perché per fare la figura ho avuto bisogno di calcolare le coordinate dei centri delle quattro sfere).

Immaginiamo allora che uno dei quattro vettori punti in direzione (0,0,1). O, se vogliamo, immaginiamo che uno dei quattro vettori sia k. Ancora, potremmo dire che stiamo facendo dei calcoli con dei quaternioni.

Ora poniamo un secondo vettore sul piano xz: questo sarà del tipo ai-bk (componente positiva lungo l'asse delle x, e negativa lungo l'asse z). Gli altri due vettori saranno ci+dj-bk e ci-dj-bk.

Sommiamo tutto: il risultato deve essere 0, se vogliamo che tutto sia in equilibrio. Quindi otteniamo che

k + ai - bk + ci + dj - bk + ci - dj - bk = 0,

e cioè

(a + 2c)i + (1-3b)k = 0.

Ricaviamo quindi subito che b = 1/3 (ce lo aspettavamo, ci sono tre vettori che tirano verso il basso con forza b, e devono equilibrare quello che tira verso l'alto con forza 1) e che a = -2c. Inoltre sappiamo che tutti i vettori hanno lunghezza unitaria, quindi

a²+ b²= 1,
c²+ d²+ b²= 1.

Dalla prima ricaviamo che a²= 1-b²= 8/9, e cioè a = 2√2/3, di conseguenza c = -√2/3. Dalla seconda abbiamo che:

d²= 1-c²- b²= 1 - 2/9 - 1/9 = 6/9, da cui d = √6/3.

Riassumendo, le coordinate dei quattro vertici sono:

(0,0,1),
(2√2/3,0,-1/3),
(-√2/3,√6/3,-1/3),
(-√2/3,-√6/3,-1/3).

Ecco fatto. Per rispondere alla domanda iniziale, e cioè calcolare quel famoso valore di 109 gradi e rotti, rappresentiamo due di quei vettori, per esempio quelli che stanno sul piano xz. Sistemiamoli un po', in modo che uno dei due si trovi nella direzione positiva dell'asse orizzontale (in altre parole: mettiamo l'asse z in orizzontale):

Bene, l'angolo che stiamo cercando è quello tale per cui, se lo mettiamo sulla circonferenza di raggio 1 con un lato nella direzione dell'asse x, l'altro lato viene proiettato sull'asse x in modo da formare un segmento di lunghezza pari a 1/3 nella direzione negativa. In breve:

α = arccos(-1/3) = 109.47°.

La dimostrazione di questo teorema (le cui tesi sono note con il nome di leggi di Plateau) è molto recente. La matematica americana Jean Taylor la pubblicò sugli Annals of Mathematics nel 1976, dimostrando così che la formazione della schiuma è governata da due semplici costanti: arccos(-1/2), cioè 120 gradi, e arccos(-1/3), cioè 109.47 gradi circa. Plateau l'aveva capito nel 1873, più di cento anni prima, ma non era riuscito a dimostrarlo.

Era un grande osservatore, e uno studioso appassionato. Nella sua tesi di dottorato del 1829 trattò, in sole 27 pagine, della persistenza dei colori sulla retina, delle intersezioni di alcuni particolari luoghi geometrici, della distorsione delle immagini in movimento, della ricostruzione di immagini distorte. Inventò il fenachistoscopio, un oggetto che permetteva di vedere immagini in movimento (quando ancora il cinema non esisteva).

Volendo studiare la persistenza della visione, ideò un esperimento in cui fissò il suo sguardo direttamente sul sole per 25 secondi. Esperimento che, purtroppo, lo portò a perdere la vista qualche anno dopo, nel 1843.

Sì, le leggi che portano il suo nome Plateau le ha elaborate e sperimentate solo con gli occhi della mente.

Soffice, morbida, bianca, lieve lieve

2013-04-29T07:00:00.000+02:00

Colonna sonora per la lettura di questo post:

Esiste un teorema sulla schiuma, semplice da enunciare ma complicato da dimostrare (succede più spesso di quanto si immagini: enunciati quasi ovvi sono rognosi da dimostrare per bene). In effetti, la schiuma è una cosa complicata, e possiamo rendercene conto in questo modo: se vogliamo disegnare una bolla di sapone, non abbiamo difficoltà. Se stiamo attenti, possiamo anche disegnarne due appiccicate senza sbagliarci troppo.

Provate a disegnarne tre, adesso, ognuna attaccata alle altre due. La schiuma è decisamente complicata.

È sorprendente il fatto che l'enunciato del teorema riguardante la schiuma sia semplice e, soprattutto, comprensibile.

Il teorema afferma che le pellicole saponate sono superfici lisce (per i matematici questa parola ha un significato preciso, che potremmo tradurre con senza spigoli, lisce, appunto (lo so che sembra un commento del grande capo Estiqaatsi, portate pazienza)). Che ogni porzione di pellicola (ogni pezzetto limitato da bordi, insomma) mantiene sempre curvatura media costante — tradotto, significa che se la pellicola saponata non ha bordi, è una bolla, altrimenti potrebbe essere un piano, oppure una catenoide, un'elicoide, una sella in una delle sue varianti, come per esempio la notevole sella della scimmia, ehm (direi di non aver dimenticato nulla, comunque l'idea è che non ci sono bitorzoli).

E ora arriviamo alla parte interessante: il teorema dice che la schiuma può essere complicata finché vogliamo, ma comunque le pellicole di sapone si incontrano sempre a tre a tre, formando un angolo di 120 gradi.

Così:

Si riesce a capire il motivo se si pensa al fatto che le superfici saponate tendono, grazie alla tensione superficiale, ad assumere una configurazione di minima estensione. È come se, in corrispondenza del punto di incontro delle tre lamine, ci fossero tre forze identiche che tendono a tirare verso tre direzioni diverse. Il sistema si mette in equilibrio quando le tre forze agiscono in questo modo:

Attenzione, funziona sempre, non solo quando le tre lamine hanno la stessa lunghezza:

Funziona anche quando le lamine sono più di tre.

Bene, il teorema dice un'ultima cosa: quando tre lamine si incontrano (a 120 gradi, naturalmente) formano un bordo. Ecco, questi bordi si intersecano sempre quattro a quattro formando un angolo che è poco più di 109 gradi.

Il motivo (e il valore esatto dell'angolo) lo vediamo la prossima volta.

[L'immagine della schiuma è presa da wikipedia]

REAMDE

2013-04-25T21:18:00.000+02:00

Neal Stephenson ha scritto un altro libro, che in Italia sono diventati due:

Gioco Mortale, Fanucci editore, 14.88 €, 744 pagine.

Guerra Assoluta, Fanucci editore, 14.88 €, 685 pagine.

C'è anche in edizione per Kindle (e credo sia un unico volume), a 11.90 €.

Si tratta di un thriller ambientato ai giorni nostri, realistico (c'è solo una invenzione che, attualmente, non esiste, ma ne esistono molte imitazioni), non impegnativo come altri romanzi dell'autore, che corre via liscio e si lascia leggere in fretta. La sensazione che si ha nel leggerlo è proprio questa: voglio andare avanti per vedere quello che succede.

Ci sono molti personaggi ben delineati, ai quali ci si affeziona, e c'è una bella storia che si sviluppa in vari intrecci.

La traduzione, purtroppo, non è un gran che: sono presenti molti errori, a volte manca una parola, forse dopo le prime correzioni non hanno fatto una rilettura attenta, chissà. Leggo poi in giro commenti di lettori arrabbiati che non sapevano che il libro (che in originale si intitola REAMDE) fosse stato diviso in due parti; io lo sapevo, ma perché mi ero informato leggendo qua e là su internet: effettivamente sul primo volume non c'è scritto nulla che faccia capire che occorre acquistarne anche un secondo.

In ogni caso, un grazie a Fanucci per aver tradotto questo libro, e una richiesta: traducete anche il terzo volume del Ciclo Barocco, per favore? Rizzoli ha fatto solo i primi due, e poi ha lasciato perdere. Non è una bella cosa.

[Dimenticavo: lettore che vuoi informarti sui libri, non leggere la seconda di copertina di Guerra Assoluta, se non vuoi che ti spoileri tutto il primo libro]

I 22 passi

2013-03-26T07:00:00.000+01:00

Bramo Logicar mi risponde con un programma: ha dimostrato che 22 è davvero il numero minimo di mosse facendosi aiutare dal computer. Ora qualche purista potrebbe brontolare, siamo sicuri che una dimostrazione fatta dal computer sia una vera dimostrazione? E poi, è una bella dimostrazione?

Bé, quando non esiste altra strada, non conta molto il giudizio estetico. Ma se il programma è un bel programma, tanto meglio. E, in ogni caso, il programma è stato scritto da un umano, basta leggerlo e controllare che funzioni bene. Per dire: come faccio a fidarmi del fatto che l'ultimo teorema di Fermat è stato dimostrato? Quante persone al mondo sono in grado di leggere la dimostrazione e giudicarla? Perché non devo avere problemi su quella dimostrazione e devo farmene invece su un programma che potrei leggere, o scrivere, io stesso?

Il programma di BL è bellissimo, ma è scritto in perl, linguaggio che io non conosco. E allora come faccio a dire che è bellissimo?

Bé, si vede. Anche se non conosco i dettagli del linguaggio, comunque capisco il senso del programma. E vedo anche l'eleganza con cui è scritto. Lo lancio, e mi mostra la sequenza di 22 mosse (una sequenza di 22 mosse) che risolve il problema. E, per come mi è stato descritto il funzionamento, capisco anche che quello è il minimo. Ma voglio andare più a fondo, e decido di riscrivere il programma utilizzando un linguaggio che conosco un po' e che mi piace molto: python.

(Disclaimer: programmatori seri che state per leggere il seguito, abbiate pietà. Sono un autodidatta di questo linguaggio, non conosco tutte le sue potenzialità, sto sperimentando. Se avete suggerimenti per migliorarlo, e migliorare la mia comprensione, fateli pure)

Il programma ha una filosofia molto semplice: analizza l'albero di tutte le mosse fino a che non arriva alla soluzione. Quindi non ci si può sbagliare: la prima soluzione che salta fuori è quella che si ottiene con il numero minimo di mosse.

Entrando più nel dettaglio, il programma parte dalla posizione iniziale e genera tutte le possibili mosse ottenibili facendo un movimento. Queste vengono memorizzate assieme al numero di mosse necessarie per arrivare in quella posizione, e (qui sta il bello) assieme anche alla posizione da cui provengono, per poi recuperare il percorso una volta giunti alla fine. Poi ricomincia, partendo dalle nuove posizioni ottenute e generando tutte le nuove possibili mosse, e così via.

Arrivati alla soluzione, basta percorrere il cammino all'indietro per ottenere l'elenco di tutti i passaggi.

La griglia delle varie posizioni viene numerata in questo modo

         ___     ___
        |   |   |   |
        | 2 |   | 6 | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        | 4 |   | 8 | 
        |___|   |___|

e memorizzata in una lista (all'inizio una stringa, in realtà, poi trasformata in una lista per lavorarci sopra). Dunque la posizione iniziale sarà memorizzata così: "AI.L.A.T.I". In realtà nel programma al posto dei puntini ci metto degli zeri, per poter fare dei controlli più comodamente, ma non ha importanza.

Ecco la parte di programma che si occupa di definire la griglia: nella lista c è contenuto, per ogni casella, l'elenco delle caselle confinanti.

La variabile w contiene la posizione iniziale, finale naturalmente contiene quella finale, Nmax contiene il livello massimo al quale il programma arriverà: se non è stata trovata una soluzione fino a quel momento, si ferma.

mosse è un dizionario: è la struttura che associa, ad ogni posizione, il livello al quale la posizione è stata incontrata la prima volta, assieme alla posizione precedente, dalla quale questa proviene. All'inizio contiene solo la posizione di partenza w, che si trova a livello 0 e non proviene da nessun'altra posizione (in realtà qui la definiamo come proveniente da sé stessa).

Proseguiamo. Questa è la funzione che si occupa di calcolare la lista di tutte le possibili posizioni ottenibili con una mossa, a partire da una posizione m data.

Contiene un ciclo che esplora ogni casella, e se ne trova una vuota (cioè contenente 0) per ogni casella confinante fa uno scambio: la lettera che si trova nella casella confinante va in quella vuota. Tutte le nuove posizioni vengono inserite nella lista ris, inizialmente vuota, che alla fine viene restituita al programma chiamante.

Ora il programma principale:

È un ciclo che ripete sempre la stessa procedura, fino a che non arriva a trovare una soluzione (o non arriviamo al livello Nmax). Dal dizionario di tutte le mosse estrae quelle del livello precedente; per ogni mossa crea la lista delle mosse successive; se queste sono nuove (cioè non stanno già nel dizionario), allora vengono inserite, assieme al loro livello e alla mossa precedente. Se trova la posizione finale, ferma tutta la baracca.

Ora si tratta di stampare per bene il risultato. La funzione bellastampa()

stampa in maniera comprensibile le varie posizioni. Non c'è molto da dire, se non che ho provato a utilizzare un sistema per contare il numero di mosse utilizzando una variabile statica locale (invece di una variabile globale). Probabilmente non è il modo migliore, ma tant'è.

E ora la parte finale:

la funzione scrivisoluzione() è ricorsiva, e permette di scrivere l'elenco delle mosse dalla prima all'ultima (e non dall'ultima alla prima). Noi la chiamiamo passandole, come parametro, l'ultima posizione trovata (quella finale, insomma), e lei ripercorre l'albero delle mosse all'indietro, fino a tornare al livello zero. Da lì comincia a stampare, in discesa, tutte le mosse.

Ed ecco il risultato:

. .
 0: AILATI
      . .

      . T
 1: AILA.I
      . .

      . T
 2: AILAI.
      . .

      L T
 3: AI.AI.
      . .

      L T
 4: AI.A..
      . I

      L T
 5: AI..A.
      . I

      L T
 6: A.I.A.
      . I

      L T
 7: A..IA.
      . I

      L T
 8: A..I.A
      . I

      L T
 9: .A.I.A
      . I

      L .
10: .A.ITA
      . I

      L .
11: ..AITA
      . I

      L .
12: ...ITA
      A I

      L .
13: ..I.TA
      A I

      L .
14: ..IT.A
      A I

      L .
15: .I.T.A
      A I

      L .
16: .IT..A
      A I

      L .
17: I.T..A
      A I

      L .
18: IT...A
      A I

      . .
19: ITL..A
      A I

      . .
20: IT.L.A
      A I

      . .
21: ITAL.A
      . I

      . .
22: ITALIA
      . .

Appendice: ho scritto questo post prima di pubblicare il precedente, nei cui commenti si discute sulla validità di una dimostrazione fatta col computer. In questo caso credo che sia abbastanza semplice da poter essere considerata valida anche dai puristi. Comunque sia, il programma, prima di terminare, ha analizzato e memorizzato 24824 posizioni diverse. Per la precisione:

Posizioni di livello  0 =    1
Posizioni di livello  1 =    4
Posizioni di livello  2 =   12
Posizioni di livello  3 =   30
Posizioni di livello  4 =   58
Posizioni di livello  5 =  130
Posizioni di livello  6 =  200
Posizioni di livello  7 =  358
Posizioni di livello  8 =  442
Posizioni di livello  9 =  660
Posizioni di livello 10 =  766
Posizioni di livello 11 = 1106
Posizioni di livello 12 = 1243
Posizioni di livello 13 = 1642
Posizioni di livello 14 = 1692
Posizioni di livello 15 = 2188
Posizioni di livello 16 = 2119
Posizioni di livello 17 = 2427
Posizioni di livello 18 = 2029
Posizioni di livello 19 = 2289
Posizioni di livello 20 = 2046
Posizioni di livello 21 = 2461
Posizioni di livello 22 =  921

Una pecora, in un campo, con un lato nero

2013-03-25T07:00:00.000+01:00

Cosa dire del quesito che ho postato sabato, quello sulla trasformazione della parola "AILATI" in "ITALIA", seguendo certe regole? Per quanto mi riguarda, mi piace poco, perché non si può risolvere se non andando a tentativi.

Siamo sicuri? Non si può, o io non ci sono riuscito?

Ma vediamo cosa è successo in realtà.

La mia scuola era una sede per i giochi matematici della Bocconi. Tempo prima dello svolgimento delle gare arriva a scuola un bel pacco sigillato contenente i testi e le soluzioni, che l'insegnante responsabile per la scuola mette in cassaforte, al riparo da sguardi indiscreti. Sul foglio risposte era riportato questo risultato, per il suddetto quesito: 26.

Qualche giorno prima della data delle gare arriva un'email urgente che dice che c'è un errore nella risposta, quella corretta è 24. Bene, prendiamo nota.

Finalmente arriva il giorno delle gare, tutti i partecipanti sono nelle aule, la banda di impallinati di giochi matematici della quale faccio parte è chiusa in un laboratorio della scuola, pronta per correggere. Cominciano ad arrivare i primi fogli con le risposte: correggiamo, facciamo un doppio controllo, introduciamo i dati nel computer.

Tra gli impallinati di giochi ci sono anche dei giocatori (figli, studenti, amici). Questi strani personaggi prima partecipano alla gara, poi vengono a fare un salto dove siamo noi correttori e danno una mano anche loro (a volte vengono solo a mangiare, perché è chiaro che tutto ciò che sto raccontando è fatto allo scopo di fare bisboccia, ehm). La prima cosa che fanno, però, prima ancora di mangiare qualche fetta di torta, è controllare le risposte. Arrivato al famoso quesito, uno di loro dice: «ma no, 24? È sbagliato! Io ho dimostrato che con 22 passi ci si riesce».

Fermi tutti, ma come? Ricontrolliamo, dai. Il gruppetto di giocatori/correttori si mette davanti a un foglio e, con una fetta di torta in una mano e una matita nell'altra, tutti cominciano a ricostruire la sequenza di mosse.

E noi che facciamo? C'è gente che ha risposto 24, e a cui abbiamo dato buona la risposta. C'è altra gente a cui invece abbiamo dato sbagliata la risposta 22, che facciamo se è giusta? Chiamiamo i colleghi di Carpi, anche loro sede dei giochi, ma sono un po' indietro con la correzione e non si sono ancora posti il problema. Chiamiamo Milano direttamente, ci dicono che controlleranno, ma capiamo che sono un po' nel caos (comprensibilmente: sono la sede centrale, avranno ricevuto un sacco di telefonate). Per un momento arriva l'indicazione di dare buone entrambe le risposte, ma nel nostro laboratorio c'è la ribellione: o è giusta una, o è giusta l'altra. Poi anche i milanesi riescono a trovare un momento per ricontrollare tutto, e finalmente si decide che 22 è la risposta giusta.

Proseguiamo la correzione, facciamo le premiazioni, arrivederci a tutti.

Però, c'è un però. Lo spirito del matematico che vede mezza pecora nera in un campo aleggia su di noi: il quesito chiede chiaramente quale sia il numero minimo di passi. Come facciamo a essere sicuri che sia il minimo? Chi ha scritto il quesito lo sa? Perché un conto è trovare una soluzione in 22 passi, un altro è invece dimostrare che con meno passi non ci si riesce.

Quando arrivo a casa, chiedo a .mau. (che, pur essendo anziano pure lui, si diletta ancora a fare giochi matematici) se dalle sue parti hanno riscontrato gli stessi problemi. Lui personalmente no (il quesito era considerato troppo facile per la categoria Grande Pubblico, quella a cui lui appartiene), però mi racconta che anche a lui hanno chiesto di controllare se effettivamente esistesse una soluzione in 22 mosse. La richiesta proveniva da un altro amichetto, giocatore pure lui, e pure lui aiutante nelle correzioni. Amichetto che io conosco solo attraverso internet, l'ho incontrato per la prima volta sulle pagine di Rudi Mathematici, con lo pseudonimo di Bramo Logicar. Mi dice .mau. che lui ha la soluzione definitiva del problema, e quindi gli scrivo per conoscerla. Come dicevo, mi piacciono le soluzioni. Vorrei sapere se dall'altra parte la pecora è nera.

Affermazioni pericolose

2013-03-23T12:07:00.000+01:00

Un ingegnere, un fisico e un matematico sono in vacanza in Scozia, quando da un finestrino del treno su cui stanno viaggiando scorgono una pecora nera nel mezzo di un campo.

«Ma guarda», osserva l'ingegnere, «tutte le pecore scozzesi sono nere!»

Il fisico interviene: «No, no! Alcune pecore scozzesi sono nere!»

Il matematico guarda i due con commiserazione e poi dichiara: «In Scozia esiste almeno un campo contenente almeno una pecora che ha almeno un lato nero».

A me piacciono i giochi matematici. Mi piace proprio l'idea, il concetto in sé: sono anziano e non sono tanto veloce nella loro risoluzione, per partecipare a una gara senza sfigurare troppo di fronte ai miei studenti dovrei allenarmi molto, e poi ho questa difficoltà irrisolta nei confronti delle operazioni con i numeri per cui spesso devo rifare i calcoli un sacco di volte. Le somme e le sottrazioni sono quelle che mi danno più da fare…

Se ho fra le mani un libro di giochi matematici non mi metto quasi mai a leggerli uno per uno per tentare di risolverli: a me piacciono proprio le soluzioni. Ho una particolare attenzione nei confronti delle soluzioni belle (secondo il mio particolare e soggettivissimo senso estetico per questo argomento), me le leggo e me le gusto. Mi piace vedere come il testo del problema viene matematizzato, perché di solito un problema viene presentato in forma dematematizzata, come direbbero i Rudi Mathematici, con una ambientazione, una storia, con qualche dato nascosto magari. Mi piace quando viene presentata una strada semplice che con pochi calcoli porta al risultato, strada che però è quasi invisibile, e che va cercata con molta attenzione. Come in una caccia al tesoro.

Bene, fine della premessa, ora arrivo al punto.

Qualche giorno fa si sono svolte le gare provinciali dei giochi matematici organizzati dalla Bocconi (le uniche gare alle quali possono partecipare tutti, non soltanto gli studenti, ma questa è un'altra storia). C'era un quesito che diceva più o meno così: data la seguente tabella:

         ___     ___
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| A | I | L | A | T | I |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
        |___|   |___|

potendo spostare ogni lettera in una casella adiacente vuota, qual è il numero minimo di mosse per arrivare alla seguente configurazione?

         ___     ___
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| I | T | A | L | I | A |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
        |___|   |___|

Per ora non scrivo la soluzione, vi lascio giocare un po'. Mentre fate le vostre prove, ripensate alla storiella che fa ridere solo i matematici che ho riportato all'inizio di questo post (non devo sottolineare il fatto che il matematico ha ragione, vero?).

[La tabella in ascii art fa schifo, ma non ho capito come fare per costruire una tabella in html, digeribile da blogger, con le dimensioni fisse]

Il gatto di Arnold

2013-03-10T07:00:00.000+01:00

Il sistema dinamico costruito da Arnold per mostrare la proprietà di mixing fa uso di un gatto. Non che sia importante la presenza del gatto, eh, ma Arnold utilizzava sempre dei disegnini nei suoi libri per fare capire le cose, sana e ottima pratica spesso dimenticata da molti docenti universitari (per dire, ho già parlato del mio libro di geometria senza figure, tempo fa).

Prendiamo un toro.

In matematica e in storia dell'arte per toro si intende una ciambella, non l'animale (interessante l'etimologia). Una cosa così, insomma (grazie a wikipedia):

Siccome è scomodo da disegnare, trasformiamolo un po': se lo tagliamo in modo da aprirlo, come se aprissimo l'anello di una catena, e poi lo stendiamo, otteniamo un cilindro. Se poi tagliamo il cilindro in modo da aprire anche quello, otteniamo un rettangolo. Ecco, ho trovato un video che spiega la costruzione del toro a partire da un rettangolo in modo molto chiaro:

Bene, siccome non ci interessa il fatto che il toro sia immerso nello spazio tridimensionale, per semplicità possiamo sempre fare riferimento al rettangolo che lo genera. In pratica è come se avessimo una carta geografica in cui se usciamo da destra rientriamo a sinistra, e viceversa. E se usciamo dall'alto, rientriamo dal basso, e viceversa. Mi accorgo di aver già parlato una volta della costruzione del toro, qui. In quel caso avevo fatto dei disegnini a mano…

Andiamo avanti: per comodità prendiamo un quadrato, invece di un rettangolo. Il sistema dinamico del gatto di Arnold prende il quadrato, lo deforma in un certo modo, e poi rimappa sul quadrato iniziale il risultato ottenuto. La deformazione è fatta così: dato un quadrato (immaginando che sia un toro)

lo deformiamo in questo modo

[per chi è interessato, l'equazione della trasformazione è questa: (x,y) → (2x+y,x+y)].

Ora ricordiamoci che siamo su un toro, e quindi ciò che esce da destra rientra da sinistra, e ciò che esce dell'alto rientra dal basso. Se coloriamo i vari pezzi che escono dal quadrato iniziale, così

possiamo renderci conto di dove essi vadano a finire quando li rimettiamo all'interno del quadrato di partenza:

Come si vede, il quadrato iniziale è stato mischiato un po'. Bene, si può dimostrare che questo sistema è mescolante. Arnold l'ha spiegata così: se disegniamo un gattino sul quadrato, dopo infinite iterazioni ogni parte del quadrato contiene la stessa percentuale di gattino. Ecco:

Volendo, si potrebbe anche parlare di fornai e di ferri di cavallo.

Agitato, non mescolato

2013-03-07T18:13:00.000+01:00

«Un Martini dry,» disse [Bond] alla fine. «Ma versatelo in una grande coppa da champagne.»

«Benissimo, Monsieur.»

«Un momento. Tre dosi di Gordon, una di vodka, mezza di China Lillet. Versate nello shaker, agitate col ghiaccio e poi aggiungete un bel po’ di scorza di limone.»

Qualche post fa avevo parlato di sistemi ergodici, traducendone la definizione matematica in questo modo: belli sparpagliati. Ma non c'è limite al caos, si può fare di meglio.

Per esempio, il sistema che avevo descritto, quello dei movimenti quasi periodici sulla circonferenza, non mischia per bene tutto: un archetto viene trasformato in un archetto, i suoi punti rimangono tutti vicini, mantenendo il loro ordinamento.

Qualcuno potrebbe desiderare delle proprietà di mescolamento più forti. Per esempio, supponiamo di voler ricreare il cocktail preferito da James Bond, e immaginiamo di mescolare, scusate, agitare, in modo tale che la dose di vodka si sposti all'interno dello shaker come farebbe l'archetto di cui sopra lungo la circonferenza: questo non sarebbe accettabile. La parte di vodka rimarrebbe tutta insieme (pur occupando, a lungo andare, tutte le possibili posizioni all'interno dello shaker) e James Bond non sarebbe contento.

Quello che noi vorremmo è che le proporzioni degli ingredienti (tre dosi di gin, una di vodka, mezza di vermut) fossero rispettate in ogni parte del cocktail, sia che ce lo beviamo tutto in un colpo, sia che lo sorbiamo lentamente.

Bene, un sistema dinamico con questa proprietà di mescolamento viene detto, guarda un po', sistema mescolante o mixing. Tutti i sistemi mescolanti sono ergodici, ma non è vero il viceversa. La proprietà di essere mescolante è più forte dell'ergodicità.

Un esempio di sistema mescolante molto semplice venne proposto da Arnold (mitico matematico russo) verso la fine degli anni '60.

Il sistema utilizza un gattino.

Intrecci

2013-03-02T10:58:00.001+01:00

È dal, uhm, 1990, più o meno, che non vado a un~~a gita~~ viaggio di istruzione di più giorni con la scuola. Da quando quello studente, per consolare la compagna dell'altra classe, ha passato la notte nella sua camera a, appunto, consolarla. Poi è stato così signore da raccontarlo a tutti, il giorno dopo.

Domani si va in montagna, due giorni, a sciare, con poco meno di cinquanta studenti di tutte le classi. Gli altri stanno a scuola a fare ~~autogestione~~ assemblea di istituto. Staremo in un albergo vicino alle piste da sci, sugli Appennini, lontano dalla civiltà Di notte ci saranno solo il freddo, la neve e i lupi: confido nel fatto che tutti saranno abbastanza stanchi da voler dormire almeno un pochino.

Nel prepararmi alla partenza mi viene in mente di quando, in prima media, andai in settimana bianca con la scuola. Settimana bianca non è un modo di dire: siamo stati via una settimana intera, con tutta la scuola, e tutti i professori. Ora, i miei ricordi si sono magari un pochino sbiaditi, la prima media l'ho fatta un po' di tempo fa, in effetti, però ricordo bene che la scuola venne chiusa, e che con noi c'erano tantissimi professori. C'era la prof di tedesco, che forse ha provato a farci un pochino di ripasso una sera, non la prima sera però, perché era domenica, c'era il Gran Premio di Formula 1, la prima gara della stagione, e c'erano delle auto di una marca nuova che facevano dei tempi incredibili, erano delle Ligier.

C'era il prof di musica, il maestro Pippo Casarini, che ogni tanto cito nei social network per anziani che frequento, perché è stato quello che ha scritto la musica della canzone Quarantaquattro Gatti, e una sera ce l'ha suonata e cantata, e poi ce ne ha fatta ascoltare un'altra, che aveva proposto allo Zecchino d'Oro, ma che non venne accettata. Si intitolava Il Pappagallo Balbuziente (o forse Il Pappagallo Giramondo, guarda cos'ho trovato), e raccontava appunto di un pappagallo che non parlava mica tanto bene, e nessuno capiva cosa dicesse, e poi alla fine si scopre che voleva dire “A sùn d'Mòdna”, cioè “sono di Modena”, in dialetto modenese. Quelli dello Zecchino d'Oro non l'hanno accettata perché c'era una frase in dialetto, e a loro non piaceva, vabbé.

Poi c'era la Viola. Per spiegare chi fosse la Viola, devo specificare che io, alle medie, andavo in una scuola che non aveva classi miste. C'erano le femmine, sì, ma stavano in altre classi, in posti lontani: altri corridoi o, addirittura, altri piani. La Viola era una famosa nella mia classe, non perché noi primini conoscessimo il concetto preciso di sesso opposto, ma perché ne parlavano i bocciati. I bocciati, in prima media, sono un gradino al di sotto di Dio, quindi son gente da ascoltare con le orecchie ben aperte. E ne parlavano perché, insomma, loro frequentavano con attenzione gli altri corridoi e gli altri piani, e compivano dettagliate analisi statistiche, e avevano notato che la Viola era una fanciulla notevolmente, come dire, sviluppata, ecco. E una volta che uno ti fa notare questo particolare, poi fai fatica a distogliere lo sguardo. O i pensieri.

E così, domani partiamo in cinquanta, ma allora eravamo ben di più, mi sa. E ancora mi chiedo come abbiano fatto i professori e il preside (o la preside? non ricordo proprio se fosse maschio o femmina, strano, perché la Viola me la ricordo bene, non era mica un maschio, no, decisamente no) a portarci tutti in montagna, a sciare, senza tanto controllo, sia di giorno che di notte, per una settimana intera. Noi stiamo via solo una notte, speriamo che non ci siano troppe fanciulle da consolare.

Facciamo così, il tasto “pubblica” lo clicco quando torno. Così, per scaramanzia.

(Ciao, Viola, chissà che fine hai fatto)

Sono tornato. Siamo tornati tutti, anche se uno in eliambulanza. Ma sta abbastanza bene. Tutto sommato, è andata bene.

E proprio mentre pensavo “è andata bene, via, posso pubblicare”, mi è arrivata la notizia della morte della moglie di un collega. Uno di quegli eventi improvvisi e inaspettati che ti sconvolgono la vita, e ti fanno pensare. E l'unica idea che posso accettare è che tutta la roba che abbiamo intorno sia davvero un enorme spreco di spazio, se non servisse a niente. E senza tante prove ontologiche, dimostrazioni logiche, analisi teologiche, vorrei poter consolare il collega, l'amico, dicendogli: “la rivedrai”.

Avevo quasi deciso di cancellare tutto, poi ho pensato che ciò che ho scritto non è del tutto fuori luogo, nonostante tutto. Si tratta solo di un breve segmento della linea di universo della mia vita, che si intreccia con tante altre linee, crea relazioni, interagisce col mondo e lo costruisce. Siamo tutti sub-creatori, siamo tutti poco meno degli angeli, ci rivedremo tutti.

Internet, video, trigonometria e mappe

2013-02-16T23:41:00.002+01:00

Ha preso un po' di video che mostrano la luce prodotta dalla meteora russa, ha studiato le ombre, ha calcolato l'inclinazione, ha riportato il tutto su google maps e ha calcolato la traiettoria del bolide. Poi ha reso pubblico il suo lavoro su Ogle Earth.

Con risorse alla portata di tutti, matematica compresa.

Ergodicità

2013-02-11T07:00:00.000+01:00

Vediamo come risolvere il problema delle prime cifre delle potenze di 2. Se facciamo qualche conto, analizzando i primi valori, ci sembra che la cifra 7 sia molto rara. Per esempio, questa è la tabella di frequenza per le prime 50 potenze:

Siamo riusciti a dare una risposta alla prima domanda: la cifra 7 compare almeno una volta, infatti

2⁴⁶ = 70368744177664.

Ora: come possiamo andare avanti nell'analisi per capire se sia più frequente la cifra 7 o la cifra 8? Qui c'è da fare qualche calcolo, se non ne avete voglia scendete un pochino, fino alle figure.

Una generica potenza di 2 potrebbe essere scritta in questo modo:

2ⁿ = k·10^r + h·10^r-1+…

(insomma, ho messo in evidenza la prima cifra, k, che è l'unica che ci interessa). Quindi possiamo dire anche che 2ⁿ è compresa tra k·10^r e (k+1)·10^r, in formule

k·10^r ≤ 2ⁿ < (k+1)·10^r.

Siccome ci interessano gli esponenti, passiamo ai logaritmi in base 10 (magari ricordandoci di qualche proprietà: per esempio, il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, e il logaritmo di una potenza di 10 è l'esponente della potenza):

r + log(k) ≤ nlog2 < r + log(k+1).

Quindi siamo arrivati a questo punto: nlog2 è compreso tra due numeri composti dalla somma di r (che è un numero intero) e log(k) o log(k+1), che sono certamente numeri decimali minori di 1, dato che k è un intero compreso tra 1 e 9. In sostanza, r è la parte intera di nlog2. Bene, sottraiamolo da tutti i termini della disuguaglianza:

log(k) ≤ nlog2-r < log(k+1),

dove il termine centrale, nlog2-r, è la parte decimale di nlog2.

Adesso non dimentichiamo il fatto che stavamo analizzando le potenze del tipo 2ⁿ: quando n diventa n+1 la potenza raddoppia, ed è quindi come se noi sommassimo un termine log2 ai logaritmi (insomma, se A diventa 2A, allora log(A) diventa log(2A) = log(A) + log2).

In sostanza, stiamo studiando un sistema (un sistema dinamico, direbbe un Vero Matematico) del tipo x → x + log2, ristretto all'intervallo [0,1) (questo perché stiamo analizzando solo la parte decimale di nlog2). Ogni volta che superiamo 1, buttiamo via la parte intera e continuiamo con quella decimale.

Come in un orologio.

Ed ecco che ci ricolleghiamo (meraviglia) ai punti che si muovono lungo una circonferenza. Attenzione: una circonferenza di lunghezza unitaria.

[Riassunto per chi è arrivato qui saltando i calcoli: studiare la prima cifra delle potenze di 2 è come studiare il moto di un punto che fa dei salti lunghi log2 su una circonferenza di lunghezza unitaria.]

E il logaritmo di 2 non ci sta un numero intero di volte all'interno di una circonferenza lunga uno, perché è irrazionale (come diceva .mau. in un commento al post precedente). Questo significa che anche se il punto si muove a passi discreti, riempirà in maniera densa (cioè senza lasciare spazi vuoti) tutta la circonferenza. Ecco un esempio con 20 punti:

Ed eccone un altro con 100 punti:

I Veri Matematici direbbero: comunque si scelga un archetto di lunghezza ε, questo conterrà comunque almeno un punto. Continuando l'analogia con l'orologio, possiamo anche dire che la percentuale di tempo impiegata dalla lancetta all'interno di un archetto è proporzionale alla lunghezza dell'archetto stesso (questo è il significato di ergodicità).

Ora siamo in grado di rispondere alla domanda: comparirà più spesso la cifra 7 o la cifra 8?

Per k = 7, le formule trovate prima ci dicono che la parte decimale di nlog2 (cioè la lancetta dell'orologio) deve trovarsi nell'intervallo [log7, log8), di lunghezza log8 - log7 = log(8/7). Per k = 8, invece, la lancetta deve trovarsi in [log8, log9), di lunghezza log9 - log8 = log(9/8). Dato che log(8/7) è maggiore di log(9/8), è più facile trovare un 7 piuttosto che un 8.

Ecco una figurina riassuntiva che visualizza le probabilità di tutte le 9 cifre:

Qualcuno ha detto legge di Benford?

Lissajous, chi era costui?

2013-02-09T07:00:00.000+01:00

Qualche post fa (e ormai un paio di mesi fa) avevo parlato di onde sinusoidali, di vettori rotanti, di moti circolari uniformi e moti armonici. Torniamo sull'argomento, questa volta combinando ortogonalmente due moti armonici.

Abbiamo due punti che si muovono su due diverse circonferenze; ne proiettiamo uno in direzione orizzontale, l'altro in direzione verticale, e siamo interessati a vedere quello che succede nell'intersezione.

I punti ruotano in maniera indipendente uno dall'altro: possono avere fase diversa (cioè possono partire da qualunque posizione sulla circonferenza) e possono avere velocità angolare diversa. A seconda del valore di questi due parametri si possono osservare figure (dette figure di Lissajous) con varie caratteristiche.

Eccone qualcuna:

ed ecco un'app java per giocarci un po':

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

È interessante notare che a volte le figure che si ottengono sono chiuse, altre volte invece no — e, in questo caso, aspettando abbastanza tempo il quadrato che le contiene verrebbe riempito completamente. Le curve che si ottengono sono chiuse solo se il rapporto tra le frequenze generatrici dei moti circolari è un numero razionale. Altrimenti non si chiudono e riempiono tutto il quadrato: in questo caso si parla di moto quasi periodico. I Veri Matematici dicono che questo tipo di moto è ergodico: la definizione precisa si trova, ad esempio, in questa pagina di wikipedia.

Una definizione più accessibile è: bello sparpagliato.

E questo mi fa venire in mente un giochino che, apparentemente, non ha nulla a che fare con quanto detto finora (ma tutto è collegato, e quando si colgono i legami è sempre bellissimo): prendiamo la successione delle prime cifre delle potenze di 2, e cioè

2⁰  = 1
2¹  = 2
2²  = 4
2³  = 8
2⁴  = 16
2⁵  = 32
2⁶  = 64
2⁷  = 128
2⁸  = 256
2⁹  = 512
2¹⁰ = 1024
2¹¹ = 2048
2¹² = 4096
2¹³ = 8192
2¹⁴ = 16384
2¹⁵ = 32768
2¹⁶ = 65536
2¹⁷ = 131072
2¹⁸ = 262144
2¹⁹ = 524288
2²⁰ = 1048576
...

Compare mai la cifra 7?

Quale cifra si incontra più spesso, 7 o 8? E quanto più spesso?

E bofonchiò: io sono l'Aritmetica

2013-01-24T23:08:00.000+01:00

Così, per non dimenticare che una volta scrivevano capolavori come questo.

Una costante universale

2012-12-29T22:34:00.000+01:00

In questo periodo natalizio di scambio di regali, mi torna alla mente un vecchio quesito di Rudi Mathematici.

Prendete due pezzi di Lego del tipo 1×x (con x maggiore di 1), attaccateli in modo che abbiano un solo attacco in comune, e fateli ruotare in modo da ottenere un angolo acuto che sia il più piccolo possibile.

Bene: quanto misura questo angolo?

Il testo è tutto qui, non ci sono altri dati; per essere più precisi, non è necessario cercare altri dati, la risposta è unica, purché si tenga conto di un dettaglio costruttivo (facilmente verificabile andando a recuperare due mattoncini dei Lego): l'incastro a forma di cilindretto utilizzato per attaccare i pezzi uno sopra l'altro ha il raggio più grande possibile. Un pezzo di Lego “da uno”, una volta incastrato su un qualunque altro pezzo, può ruotare su sé stesso liberamente, sfiorando i cilindretti che gli stanno intorno.

Mi sono divertito a costruire la figura di due pezzi 1×2 incastrati uno sull'altro e ruotati come richiesto dal quesito. Il fatto notevole è che questa costruzione può essere effettuata con riga e compasso, senza numeri.

Eccola qua:

A suo tempo feci il calcolo dell'ampiezza dell'angolo. Il risultato è:

E questa è, senza dubbio, una costante universale.

People hearing without listening

2012-12-24T07:00:00.000+01:00

(continua da qui)

4. Venne un altro ministro, che modificò radicalmente il quadro orario delle superiori. Tolse tante sperimentazioni, e ridusse il numero di ore di lezione durante la settimana. Per quanto riguarda matematica, ci disse che in terza le ore sarebbero passate da 4 a 3, ma poi si sarebbe aggiunta una nuova materia, denominata complementi di matematica, per un'ora in più alla settimana. Da 4 saremmo gattopardescamente passati a 3+1.

Diamo un'occhiata ai programmi, ci siamo detti noi docenti, per capire un po' cosa sarebbe cambiato. Non sto qui a farvi vedere lo schema della suddivisione degli argomenti, ma vi farò solo un esempio riguardante uno specifico argomento.

Matematica: funzioni logaritmiche.
Complementi di matematica: il logaritmo in base e.

[Per i non addetti ai lavori: sarebbe come scrivere, in un programma di grammatica, la voce "articoli determinativi", e in un ipotetico programma di complementi di grammatica, la voce "l'articolo lo"]

5. Nel mondo della scuola 3+1 non fa 4, sarebbe troppo facile. Una materia in più significa tante cose, tutte quante aventi a che fare con la burocrazia. Per questo motivo (e per altri problemi analoghi in altre materie) invitammo a scuola un super esperto, uno di quelli che erano nella commissione riforma e avevano pensato, nel dettaglio, a queste modifiche. Quella che segue è una trascrizione il più possibile fedele della nostra richiesta di chiarimenti.

«Abbiamo un problemino».

«Dite pure».

«Con questa nuova materia, complementi di matematica, come dobbiamo comportarci? Abbiamo due voti? Perché se una insufficienza in matematica è un problema, due sono ancora peggio».

«Ma no, ma non importa, ma figuriamoci. Lo scopo non era questo, si voleva introdurre una materia che mostrasse l'applicazione della matematica nella tecnica [il lettore non dimentichi il logaritmo in base e citato poco fa]».

«No, va bene, certo, ma in pagella quindi come facciamo?».

«Guardate, voi dite all'ufficio scolastico regionale che mettete un voto unico [i capelli della preside si rizzano come se qualcuno le avesse collegato un generatore di Van der Graaf alle orecchie]».

«Ma possiamo?».

«Voi dite così, e se loro hanno delle idee migliori ve le fate raccontare».

«Ehm, ok. Ma se ci fossero due insegnanti?».

«In che senso?».

«Eh, nel senso che potremmo avere un insegnante che insegna matematica e uno che insegna complementi, ha presente la faccenda delle 18 ore?».

«Ah, non ci avevo pensato [rileggete pure quanto volete, questa è una citazione esatta]».

«Perché con due insegnanti non si può mica mettere un voto unico».

«Eh, no».

«E quindi?».

«Guardate, devo dire che, quando in commissione si decise per inserire i complementi di matematica, io ero assente [giuro, ha detto così, davvero]. Ma mi informerò e vi saprò dire».

5. Non ci seppe mai dire nulla, ma ci pensò il ministero in persona, con due comunicazioni. Fino all'anno scorso, per molte materie comparivano due voti nella pagella del primo quadrimestre: uno voto per lo scritto e uno per l'orale.

A inizio anno scolastico il ministero ci disse che, nelle classi interessate dalla riforma, non avremmo più dovuto mettere due voti in pagella, ma uno solo. Va bene, quindi avremmo avuto un voto per matematica e uno per complementi.

Poi, i primi di dicembre [dicembre, non settembre], ci disse che il voto di complementi si sarebbe dovuto fondere con quello di matematica. Quindi un solo voto, anche se ci sono due insegnanti diversi.

Se non vi è chiara l'implicazione, immaginate per un momento di tornare a scuola e di avere un insegnante di matematica che non vi dà il voto. Ecco.

Hello darkness, my old friend

2012-12-23T17:56:00.000+01:00

Questa storia, che riguarda la scuola italiana, è suddivisa in varie parti che ripercorrono i contributi dati dai vari ministri allo scopo di renderla… bé, giudicate voi e completate la frase a vostro piacimento.

1. C'era una volta, ai tempi in cui io ero studente, il concetto di continuità didattica. Secondo tale ispirato principio, un insegnante avrebbe dovuto mantenere, in anni successivi, le classi avute in precedenza, fino al completamento del ciclo scolastico. Tradotto in parole povere: chi si prende la seconda, quest'anno? Chi ha insegnato in prima l'anno scorso, perché conosce gli studenti, può proseguire il programma, non deve ricominciare, e così via.

(per chi ha fretta e ha capito: potete saltare al punto 2)

Nella scuola in cui insegno le cattedre erano organizzate, quindi, nel modo seguente. In prima c'erano 5 ore di matematica, e così anche in seconda, in terza ce n'erano 4, in quarta 3 e in quinta ancora 3. Un insegnante si poteva prendere, per esempio, una prima, una seconda, una terza e una quarta (5+5+4+3=17), l'anno dopo una nuova prima, la seconda che aveva l'anno precedente quando era una prima, la quarta — che era la terza — e la quinta — che era la quarta — (5+5+3+3=16).

L'anno successivo quell'insegnante avrebbe avuto la prima, la seconda, la terza e la quinta (5+5+4+3=17), e poi il ciclo sarebbe ricominciato, mantenendo sempre la continuità didattica. Non ho specificato che, nella mia scuola, la terza è una classe nuova: dopo il biennio gli studenti vengono smistati nelle terze di indirizzo, quindi non si ha continuità sulla terza.

2. Come la mettiamo col fatto che gli insegnanti devono fare 18 ore di lezione? Negli esempi qui sopra questo non succede mai, si arriva a 17 o addirittura a 16 ore: e le altre? Bé, ai tempi esisteva un altro concetto importante: quello di ore a disposizione. Nell'orario dell'insegnante erano inserite alcune ore (dette, appunto, ore a disposizione) in cui si doveva essere a scuola, disponibili a sostituire colleghi assenti, oppure a fare assistenza agli alunni che non volevano avvalersi dell'insegnamento della religione. Poteva capitare, ogni tanto, di non avere lezione in una di quelle ore: bisognava comunque essere a scuola disponibili, in caso di imprevisti.

3. Venne un ministro che stabilì che le ore a disposizione dovessero essere abolite. Gli orari dovevano essere composti da 18 ore effettive di lezione. Come si poteva fare, nella nostra scuola? Gli insegnanti più anziani (quelli più avanti nella graduatoria, quelli che "scelgono per primi") potevano cavarsela con un (5+5+5+3), ma con qualche problema: non ci sarebbero state abbastanza classi da 5 ore per tutti. Qualcuno si sarebbe preso una 4+4+4+3+3, ad esempio (una classe in più significa più consigli, più compiti, più ricevimenti, ma pazienza: chi viene dopo in graduatoria è giovane e si arrangia, quando sarà vecchio e non ce la farà più potrà avere una classe in meno); ma il problema più grosso è che molte continuità didattiche sarebbero saltate. Gli studenti di terza non avrebbero avuto lo stesso insegnante in quarta e in quinta, ad esempio.

Con questo sistema il ministro ottenne un risparmio di denaro: le ore a disposizione non esistevano più e, quindi, non erano da pagare. Il rendimento di qualche insegnante, però, subì un certo calo: come pensate che sia insegnare gli stessi argomenti a sei classi uguali (6×3=18 — caro insegnante, quest'anno hai sei quinte, spieghi le stesse cose e poi le porti anche all'esame)?

E come si fa con le supplenze? Bé, qualche ora a disposizione rimane comunque: a volte i conti non tornano e rimane qualche cattedra a meno di 18 ore, e se non ci sono abbastanza insegnanti, bé, convinciamo gli studenti che non fanno religione a uscire dalla scuola, o mettiamoli tutti in un'aula senza nessuno che li controlli (come? attività alternative? non scherziamo, dai). E se non si riesce a sostituire l'insegnante ammalato, via, distribuiamo gli studenti nelle altre classi (come? più di 30 studenti in un'aula? in due in un banco? e la sicurezza? le norme? non scherziamo, dai). Se proprio è necessario, la scuola paghi pure qualche insegnante per le ore critiche (le prime, ad esempio), l'importante è che non le paghi il ministero.

Fino all'anno scorso le cose stavano così. Poi, per quanto riguarda matematica, c'è stata una novità. Visto che questo post è già esageratamente lungo, la racconto nel prossimo.

Devo migliorare il mio vocabolario

2012-12-23T15:05:00.001+01:00

Il biglietto di auguri di quelli di seconda conteneva questo:

Ma perché proprio le frequenze? — come funzionano gli mp3

2012-12-17T19:06:00.002+01:00

La domanda era: abbiamo davvero bisogno di tutte quelle frequenze? Cioè, ok, un suono bello, ricco, piacevole da ascoltare, è composto da tante onde “pure”, ognuna delle quali dà un piccolo contributo al risultato finale. Ma davvero il nostro orecchio riesce a percepirle tutte?

Qui si entra nel mondo della psicoacustica, che sarebbe (scopiazzando la definizione da wikipedia) lo studio della psicologia della percezione acustica. Insomma: cosa è per noi la musica? Cosa sentiamo davvero? I suoni esistono solo se li ascoltiamo? Se un albero cade in una foresta e nessuno assiste alla scena, la vecchina del piano di sotto verrà ugualmente a brontolare perché non si possono spostare i mobili a mezzanotte?

Bene, la filosofia della compressione mp3 (e di tutta la categoria di algoritmi di compressione detti a perdita di informazione) è questa: se una cosa non si sente, non esiste. Se quella frequenza non è percepibile dall'orecchio, allora la sua presenza è inutile: buttiamola via. Se devo registrare lo sparo di un cannone, è inutile che memorizzi anche il suono della mosca che volava lì vicino.

A grandi linee (molto grandi), un codificatore mp3 fa questo: prende in ingresso l'onda, la trasforma nell'elenco delle frequenze componenti, butta via le frequenze inutili, e produce un file decisamente più piccolo rispetto all'originale.

Anche se il file risultante è diverso dall'originale, l'orecchio umano non se ne accorge. O, almeno, non dovrebbe. Certamente non se ne accorgono i giovani d'oggi che ascoltano la musica in coppia, dividendosi le cuffie da buoni amici, un auricolare per uno (signora mia, dove andremo a finire? Nemmeno conoscono il concetto di stereofonia). Più difficile è affermare che nessuno se ne accorge: personalmente ho fatto una prova con un amico che possiede un impianto audio che costa di più della mia automobile, gli ho dato un cd contenente alcuni brani registrati sia in formato originale, sia passati attraverso la codifica/decodifica mp3, e lui ha saputo distinguerli.

Ecco, comunque, una prova oggettiva: ho preso il file contenente il la a 220 Hz suonato da una chitarra, file che avevo già usato nel post precedente, e l'ho compresso in formato mp3. Poi ho disegnato lo spettro. Eccoli qua, quello originale e quello dopo la compressione:

Si vede bene che nella parte sinistra sembrano uguali, ma poi nella parte destra cambiano notevolmente. Il file mp3, ad esempio, non contiene informazioni per le frequenze superiori ai 16000 Hz (tanto chi le sente?).

Credo che ci sia una morale, in questa faccenda dell'evoluzione del modo in cui viene memorizzata la musica. Da ragazzini, i miei amici ed io sapevamo cosa fosse una puntina di un giradischi, qualcuno sapeva anche distinguere tra magnete mobile e bobina mobile, andavamo nei negozi ad ammirare oggetti per noi proibiti, robe con nomi esotici come amplificatori valvolari in classe A, bracci tangenziali, diffusori elettrostatici, preamplificatori phono. E, quando ascoltavamo della musica, al massimo ogni venti minuti dovevamo alzarci per girare il disco.

Cercavamo la migliore fedeltà possibile e, adesso che abbiamo una tecnologia che ci permetterebbe di portarci una sala da concerto in casa, ci accontentiamo di poche frequenze trasmesse da un auricolare in un orecchio (bah, forse la morale è che sto invecchiando).

Se una farfalla batte le ali a Pechino, a New York nessuno la sente.

Ma perché proprio le frequenze? — spettri

2012-12-15T21:11:00.000+01:00

Quindi i suoni cominciano a diventare interessanti quando non sono composti da un'unica onda sinusoidale. E non devono nemmeno essere composti da più onde sinusoidali aventi la stessa frequenza, perché la somma di tante onde di quel tipo produce, alla fine, sempre un'unica sinusoide.

Dunque servono tante frequenze diverse.

Le onde sinusoidali sono gli atomi che compongono l'universo delle onde, gli elementi base a partire dai quali si può fare tutto.

Siamo anche in grado di smontare un'onda complessa, in modo da capire come sono fatti i suoi atomi: possiamo capire quali sono le frequenze che la compongono. Per farlo, si utilizza l'analisi di Fourier, che ci permette di visualizzare in un grafico tutte le componenti sinusoidali.

Per avere un'idea, prendiamo il la dell'ottava centrale del pianoforte, la nota usata come riferimento ufficiale per accordare tutti gli strumenti. Nella sua forma più semplice, è una sinusoide che oscilla 440 volte al secondo. Il grafico di cui parlavo prima (che si chiama spettro delle frequenze) è fatto così:

In un mondo perfetto si dovrebbe vedere un unico segmento verticale in corrispondenza della frequenza di 440 Hz, qui si vede un picco in corrispondenza di quella frequenza e un po' di rumore di fondo. La scala verticale è logaritmica,quindi il rumore è davvero molto in basso, ed è dovuto anche alle approssimazioni fatte dal computer per memorizzare un'onda attraverso i punti di cui è costituita.

Lo spettro di un'onda sinusoidale è quindi il più semplice possibile: una righina che corrisponde alla frequenza dell'onda.

Questo invece è lo spettro di un'onda composta da due sinusoidi aventi frequenze diverse (insomma: due note diverse):

Oltre alla nota precedente, il la a 440 Hz, qui ho aggiunto il la dell'ottava superiore, a 880 Hz: si vedono chiaramente due picchi, corrispondenti alle due diverse frequenze.

E adesso prendiamo una nota vera: ho registrato da un pianoforte elettrico il solito la (il fatto che la nota sia stata generata elettronicamente e non da una corda che vibra fa sì che non si possa proprio dire che la nota è vera, però ci assomiglia… insomma, non è così sgradevole come una sinusoide). Ecco la forma d'onda:

Si vede che è periodica, ma certamente non è una sinusoide (assomiglia di più a un'onda quadra, segno della sua natura elettronica). Ed ecco lo spettro:

Un sacco di frequenze: tutte, in misura più o meno evidente, contribuiscono alla creazione del suono finale. La nota è sempre la stessa, ma il timbro, cioè la sensazione che proviamo ascoltandola, ciò che ci fa riconoscere il suono tipico del pianoforte, è diverso. È questa ricchezza di frequenze superflue (ehm) che ci fa apprezzare i suoni (ed è per questo che dico ai miei studenti che la roba che ascoltano in discoteca non si può chiamare musica, ma non divaghiamo).

Infine, un'ultima onda vera, il la di una chitarra. Io pensavo che fosse anche quello a 440 Hz, ma non è così. Lo spettro mi ha rivelato (e l'internet ha confermato) che la corda la di una chitarra suona a 110 Hz, due ottave sotto rispetto a quello che pensavo. Siccome 110 Hz è molto vicino al limite sinistro del grafico, ho pensato che fosse meglio far vedere il la dell'ottava successiva, quello che si ottiene facendo suonare solo mezza corda.

Ecco l'onda:

e lo spettro:

E ora la domanda: abbiamo davvero bisogno di tutte quelle frequenze?

Ma perché proprio le frequenze? — somme di sinusoidi

2012-12-11T07:00:00.000+01:00

E allora, come si generano suoni diversi? E note diverse?

Facciamo un passo alla volta, vediamo che succede sommando due sinusoidi. Si possono fare i passaggi algebrici (noiosi) per scoprire il risultato, ma è molto più facile vedere un disegno. Abbiamo visto che un'onda può essere generata a partire da un punto che ruota su una circonferenza: generalizziamo un po'. Invece di pensare a un punto rotante, pensiamo a un vettore che ruota (semplicemente colleghiamo con una freccia il centro della circonferenza col punto che gira).

Ora, che succede se modifichiamo la lunghezza del vettore? Stiamo modificando l'ampiezza dell'onda. Il regolatore di volume è il regolatore della lunghezza del vettore.

E se di vettori ne abbiamo due? Ecco qua quello che succede, giocateci un po': sono disponibili i comandi per regolare le lunghezze dei due vettori e l'angolo tra di loro (cioè la famosa fase). Il risultato è evidente, la somma di due vettori è facile da disegnare:

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com
(esce un po' dal margine, ma se lo rimpicciolisco ancora non si vede più niente)

La somma di due sinusoidi aventi la stessa frequenza è ancora una sinusoide avente la stessa frequenza (magari il volume finale sarà diverso, e così anche la fase).

Quindi, se sommo due note uguali ottengo sempre la stessa nota.

E, dunque, se voglio note diverse devo avere frequenze diverse. Con una sola frequenza non posso fare musica.

Ecco qua un disegno che rappresenta, in grigio, due sinusoidi aventi frequenze diverse, e in blu la loro somma:

Ora l'onda finale non ha più una forma semplice, e il suono che essa produce comincia a diventare un po' più interessante.

Se riesco a convincere i miei figli a registrare un paio di note prese da strumenti veri, dovrei riuscire a scrivere un paio di altri post sull'argomento.

Ma perché proprio le frequenze? — sinusoidi

2012-12-10T07:00:00.000+01:00

«Chi di voi suona la chitarra?».

«Io, prof!».

«Bene, allora: se prendi una corda che suona una certa nota, cosa succede quando metti un dito al centro e fai suonare solo mezza corda? Che nota si ottiene?».

«Quella di un'ottava sopra».

«Perfetto. E se metti un dito in modo da fare suonare solo un terzo di corda?».

«Boh?».

«Dovresti ottenere la frequenza tripla, no?».

«Forse sì».

«E che nota è?».

«Ah, non so, dipende da qual era la nota iniziale».

Le mie conoscenze musicali si fermano qui, e per sapere il motivo per cui la serie armonica si chiama armonica sono andato dagli amichetti di friendfeed. Uno dei quali aveva già scritto pagine e pagine di teoria musicale e, come se non bastasse, ha anche aggiunto qualche informazione in più sul Post (perché proprio sette note?).

Bene, ora facciamo un passo indietro: perché ci interessano proprio le frequenze dei suoni?

L'onda sonora più semplice, almeno da un certo punto di vista, è l'onda sinusoidale. È semplice perché è facile da descrivere. Prendiamo un punto su una circonferenza e facciamolo ruotare a velocità costante: la sua ombra descrive un moto oscillante che si chiama moto armonico e che, se disegnato su un piano cartesiano mettendo il tempo sull'asse delle ascisse e la posizione dell'ombra su quello delle ordinate, ha come grafico una sinusoide.

Se prendiamo una molla, attacchiamo in fondo un peso, al peso attacchiamo un pennino in grado di scrivere su un cilindro di carta, e facciamo ruotare il cilindro mentre diamo un colpetto al peso in modo da farlo oscillare, possiamo osservare sul cilindro la traccia della sinusoide.

La sinusoide è quindi un'onda semplice da descrivere. Chi ha studiato goniometria sa che esistono tante funzioni goniometriche, ma in realtà ne basterebbe solo una: con quella si possono descrivere tutte le altre.

Una sinusoide è fatta così:

Cosa c'entra tutto questo con i suoni della corda di chitarra? Bé, i suoni sono onde che si propagano attraverso l'aria, e fanno vibrare i nostri timpani. A seconda di come vibrano, noi percepiamo sensazioni differenti. L'onda sinusoidale è il suono più semplice (e anche il più noioso da ascoltare…).

Bastano tre parametri per descriverla: frequenza, ampiezza, fase.

La frequenza ci dice quante oscillazioni vengono fatte in un secondo: l'orecchio umano sano, giovane e in perfette condizioni dovrebbe percepire frequenze nella gamma che va dalle 20 alle 20000 oscillazioni al secondo (che si chiamano Hertz). Ecco un disegno che mostra due onde aventi frequenze diverse (ma stessa ampiezza e stessa fase).

L'ampiezza ci dice quanto alta è un'onda (in pratica, qual è il volume: quando giriamo la manopola dello stereo per ascoltare a volume più alto, stiamo modificando l'ampiezza). Ecco un disegno di due onde aventi ampiezze diverse (ma stessa frequenza e stessa fase).

Infine, la fase ci dice qual è il punto di partenza delle onde. Questo parametro è un po' più difficile da capire, perché in effetti il nostro orecchio non è in grado di percepirlo. Ritornando all'esperimento del peso attaccato a una molla, immaginiamo di averne due: li tiriamo entrambi un pochino verso il basso, e poi li lasciamo andare, ma non contemporaneamente. Prima uno, e dopo un po' l'altro: ecco che le onde che vengono disegnate non sono sovrapposte, ma un po' spostate una rispetto all'altra. Si dice che sono sfasate:

Riassumendo: la frequenza ci dice la nota (se varia, sentiamo una nota più grave o più acuta (le note gravi corrispondono a frequenze più basse, quelle acute a frequenze più alte)), l'ampiezza ci dice il volume (maggiore è l'ampiezza, maggiore è il volume), la fase è, di solito, inascoltabile. In realtà noi abbiamo due orecchie, e se ascoltiamo da una parte una certa onda, dall'altra la stessa onda sfasata, forse ci accorgiamo del fatto che qualcosa non va. Ma bisogna essere allenati.

Ora, nessuno strumento musicale produce un'onda sinusoidale. Forse un buon diapason ne produce una buona approssimazione, e naturalmente gli strumenti elettronici sono in grado di emettere quel tipo di suono; il fatto è che non è molto interessante dal punto di vista musicale, perché è, come dire, noioso. È il tono di libero emesso dalla cornetta del telefono, per esempio.

E allora, a cosa servono le onde sinusoidali in musica? Bé, servono a generare i suoni di tutti gli strumenti.

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com zar, 9 Dicembre 2012, Creato con GeoGebra

Nuove frontiere dell'animazione digitale

2012-12-08T18:39:00.001+01:00

Questa è una prova: ho costruito una animazione con GeoGebra, l'ho esportata in html e l'ho copiata nell'editor di blogger. L'unico modo per sapere se funziona tutto per bene è pubblicarla.

Quindi, ecco due parole su quello che si dovrebbe vedere: un fotone arriva dal cielo (il pallino rosso). Un telescopio si trova sulla terra e vuole vedere (ehm) il fotone: dato che la terra si muove, il telescopio (che viene trascinato dal movimento della terra) deve essere un po' inclinato. Si tratta del fenomeno dell'aberrazione della luce.

Probabilmente dovrete dire al vostro browser di attivare java su questa pagina.

Aberrazione

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com zar, 8 Dicembre 2012, Creato con GeoGebra

Enigma

2012-12-01T07:00:00.000+01:00

Ci sono tre storie che convergono qui.

La prima è quella che racconta di me bambino, accompagnato da mio papà al cinema a vedere Biancaneve, nella versione in cartoni animati di Walt Disney. Mi racconta il babbo che io passai metà del tempo con gli occhi chiusi, terrorizzato dalla strega cattiva. I miei ricordi non sono molto precisi (avrò avuto sei anni, più o meno), tranne che in un punto: la scena in cui QUELLA MALEDETTA STREGA ORRIPILANTE SCENDE NELLE PRIGIONI DEL CASTELLO, ehm, io l'ho vissuta con gli occhi chiusi da entrambe le mani e al di sotto della linea dei sedili davanti a me, per stare nel sicuro. Ancora oggi, mi sento inquieto al pensiero di quella vecchiaccia col naso bitorzoluto.

La seconda storia è quella che vede ancora me stesso, molto più grande, acquistare e leggere un libro (di cui magari parlerò in un altro momento) su spionaggio e codici cifrati, presentati sia dal punto di vista tecnico che da quello storico. È stato grazie a quella lettura che ho imparato l'importanza che hanno avuto i matematici durante la guerra.

La terza storia è quella raccontata in Enigma, la strana vita di Alan Turing (di Tuono Pettinato e Francesca Riccioni, Rizzoli Lizard, 13.60€ in formato fisico e 11.99€ in formato Kindle)

È una storia a fumetti che racconta di Alan Turing, della sua vita, delle sue scoperte, del suo genio e della sua triste fine. La biografia è molto dettagliata, ma non è un testo matematico (non temete): vengono citate alcune pietre miliari della storia della matematica, come il paradosso di Russell, il programma di Hilbert, il teorema di Gödel, la macchina di Turing e l'omonimo test. Viene poi descritta l'attività di Bletchley Park, e vengono citate le macchine Enigma e Colossus.

Lo scopo di questo libro non è quello di dimostrare teoremi o di parlare di matematica, no. Lo scopo è quello di raccontare una storia, e di invogliare il lettore ad approfondire.

E direi che ci sia riuscito benissimo, se non fosse per quella brutta ossessione di Turing per la storia di Biancaneve. Se, come lui e come il bimbetto della prima storia, siete rimasti ossessionati da Grimilde, non andate a pagina 52 se siete soli in casa.