Guru Matematika

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA Part 3

2017-07-09T15:17:00.000-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{4}{x}\right)x}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $x = \dfrac{1}{y}$ maka limit di atas dapat dinyatakan menjadi \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{4}{x}\right)x}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y}{\left(1-\cos 4y\right)\dfrac{1}{y}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{\left(1-\cos 4y\right)}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{\left(1-\left(1-2\sin^2 2y\right)\right)}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{2\sin^2 2y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{y}{\sin 2y}\cdot \dfrac{\sin 3y}{\sin 2y}\\ = & \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\\ = & \dfrac{3}{8} \end{split}

Soal #12
Kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ memotong asimtot datarnya sebanyak 2 kali jika ...

Pembahasan
Asimtot datarnya adalah $$y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$$ Karena derajat penyebut lebih besar dari derajat pembilang maka nilai limit di atas adalah $0$. Ini berarti asimtot datarnya adalah garis $y=0$.

Titik potong antara kurva dan asimtotnya dapat ditentukan dengan mensubsitusikan persamaan kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ dan asimtot $y=0$ yakni \begin{split} & \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}=0\\ \Rightarrow & x^2+4x+a=0 \end{split} Karena kurva memotong asimtot sebanyak 2 kali, maka persamaan di atas memiliki dua akar yang ditandai dengan diskriminanya lebih dari 0 \begin{split} & D > 0\\ \Rightarrow & 4^2-4\cdot 1\cdot a > 0\\ \Rightarrow & 16-4a > 0\\ \Rightarrow & -4a > -16\\ \Rightarrow & a < 4 \end{split}

Soal #13
Jika $f(x)=\csc(\tan x)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $\tan x = u$ maka $f(x)=\csc(u)$, sehingga \begin{split} f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\ = & \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\\ = & (-\csc (u) \cot (u)) \cdot \sec^2 x\\ = & -\csc(\tan x) \cot (\tan x) \cdot \sec^2 x \end{split}

Soal #14
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$

Pembahasan
Gradien garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah nilai turunan pertama kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $x=1$. $$y' = 3x^2 + \dfrac{a}{2\sqrt{x}}$$ Substitusikan $x=1$ diperoleh gradien $$m = 3 + \dfrac{a}{2}$$ Karena persamaan garis singgung tersebut adalah $y=ax-c$, maka gradiennya juga $m=a$ akibatnya $$3+\dfrac{a}{2}$=a$$ Dari persamaan di atas diperoleh $a=6$. sehingga persamaan kurva adalah $$y=x^3+6\sqrt{x}$$ Kurva tersebut melalui titik $(1,b)$ berarti $$b=1^3+6\sqrt{1}=7$$ Dengan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$ diperoleh persamaan garis singgungnya \begin{split} & y-7=6(x-1)\\ \Rightarrow & y=6x+1 \end{split} Dari persamaan di atas diperoleh $-c=1\Rightarrow c=-1$. Jadi $a+b+c=6+7-1=12$

Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA Part 1

2017-07-09T15:15:00.001-07:00

Soal #1
Jika $x$ dan $y$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{2}{2x-y}-\dfrac{1}{x-3y}=2\\ \dfrac{1}{2x-y}+\dfrac{3}{x-3y}=-\dfrac{5}{2} \end{cases}$ maka nilai $x + 2y = \ldots$

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{2x-y}=p$ dan $\dfrac{1}{x-3y}=q$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis sebagai \begin{split} 2p - q & = 2\\ p + 3q & = -\dfrac{5}{2} \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas diperoleh $p = \dfrac{1}{2}$ dan $q = -1$, sehingga $$\dfrac{1}{2x-y}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-y =2$$ $$\dfrac{1}{x-3y}=1 \Rightarrow x-3y=-1$$ Selesaikan sistem persamaan di atas diperoleh $x = \dfrac{7}{5}$ dan $y = \dfrac{4}{5}$. Jadi $x + 2y = \dfrac{7}{5} + 2\cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{15}{5}=3$

Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{|x-2|} \geq 1$ adalah ...

Pembahasan
Jika $x > 2$ maka \begin{split} & \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{x-2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & x > 2 \end{split} Jika $x < 2$ maka \begin{split} & \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{-x+2}{-x+2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x-2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & 1 \leq x < 2 \end{split} Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \geq 1$ dengan $x \neq 2$

Referensi: Pertidaksamaan Rasional

Soal #4
Diketahui vektor $a=(4,6)$, $b=(3,4)$, dan $c=(p,0)$. Jika $c-a$ tegak lurus $b$, maka cosinus sudut antara $a$ dan $c$ adalah ...

Pembahasan
Jika $c-a$ tegak lurus $b$ maka \begin{split} & (c-a)\cdot b = 0\\ \Rightarrow & ((p,0)-(4,6))\cdot (3,4) = 0\\ \Rightarrow & (p-4,-6))\cdot (3,4) = 0\\ \Rightarrow & 3p-12-24 = 0\\ \Rightarrow & p = 12 \end{split} Misalkan sudut antara vektor $a$ dan $c$ adalah $\theta$ maka \begin{split} & \cos \theta = \dfrac{a\cdot c}{|a||c|}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{(4,6)\cdot (12,0)}{\sqrt{4^2+6^2}\sqrt{12^2+0^2}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{48}{24\sqrt{13}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{2}{13}\sqrt{13} \end{split}

Soal #5
Jika $4-4\sin x + \csc x = 0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$, maka nilai $\sin^2 x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & 4-4\sin x + \csc x = 0\\ \Rightarrow & 4-4\sin x + \dfrac{1}{\sin x} = 0 \end{split} Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka $\sin x \neq 0$, ini berarti ruas kiri dan kanan persamaan di atas dapat dikalikan dengan $\sin x$ sehingga menjadi \begin{split} & 4-4\sin x + \dfrac{1}{\sin x} = 0\\ \Rightarrow & 4\sin x -4\sin^2 x + 1 = 0\\ \Rightarrow & 4\sin^2 x - 4\sin x - 1 = 0 \end{split} Dengan rumus ABC diperoleh \begin{split} \sin x = & \dfrac{4 \pm \sqrt{32}}{8}\\ = & \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{split} Karena $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} > 1$ maka haruslah nilai $sin x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA Part 2

2017-07-09T15:15:00.000-07:00

Soal #6
Suatu hiperbola mempunyai fokus (−6,0) dan (4,0). Salah satu titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0). Persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah ...

Pembahasan
Pusat dari hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus yaitu $\dfrac{(-6,0)+(4,0)}{2}=(-1,0)$. Karena kedua fokus memiliki ordinat yang sama yaitu 0, ini berarti sumbu simetri hiperbola adalah garis y = 0 atau sumbu X, sehingga persamaan hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan $$\dfrac{(x+1)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0) maka \begin{split} & \dfrac{(3+1)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{16}{a^2}=1\\ \Rightarrow & a^2=16 \end{split} Pada hiperbola berlaku hubungan $$c^2=a^2+b^2$$ dengan c merupakan setengah kali jarak antara kedua fokus. Karena kedua fokusnya adalah (−6,0) dan (4,0) maka jaraknya adalah 10 sehingga c = 5, akibatnya \begin{split} & c^2=a^2+b^2\\ \Rightarrow & 5^2=16+b^2\\ \Rightarrow & b^2=9 \end{split} Sehingga diperoleh persamaan hiperbola $$\dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$$ dan persamaan asimtotnya diberikan oleh \begin{split} & \dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+1)^2}{16}=\dfrac{y^2}{9}\\ \Rightarrow & (x+1)^2=\dfrac{16}{9}y^2\\ \Rightarrow & x+1=\pm \dfrac{4}{3}y\\ \Rightarrow & 3x+3=\pm 4y\\ \Rightarrow & 3x \pm 4y=-3 \end{split} Jadi persamaan asimtotnya adalah 3x + 4y = −3 atau 3x − 4y = −3

catatan: kedua jawaban di atas tidak ada di pilihan jawaban

Soal #7
Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2-4)$ adalah $(ax+b)$. Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$, maka nilai $4a+b$ adalah ...

Pembahasan
Jika sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2-4)$ adalah $(ax+b)$ maka ada suatu polinom $q(x)$ sedemikian sehingga $$p(x) = q(x)(x^2-4) + (ax+b)\text{...(*)}$$ Dengan menggunakan Teorema Sisa dan kenyataan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$ diperoleh $$p(2)=3 \text{ dan } p(-2)=-5$$ Subsitusikan $x=2$ dan $x=-2$ ke persamaan (*) diperoleh \begin{split} 2a+b & = 3\\ -2a+b & = -5 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier di atas diperoleh $a=2$ dan $b=-1$. Jadi $4a+b=7$

Soal #8

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Pembahasan

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua

Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Pembahasan

\begin{split} & \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8 \end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}

Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}=\ldots $

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\sqrt{\cos x})} \times \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})}{(1+\sqrt{\cos x})}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x(1+\sqrt{\cos x})}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\cos x)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 (1-\cos x)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(1-\left(1-2\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)\right)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(2\sin^2 \dfrac{1}{2}x\right)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{4\sin^2 \dfrac{1}{2}x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{4}\dfrac{x}{\sin \dfrac{1}{2}x} \dfrac{\sin x}{\sin \dfrac{1}{2}x}(1+\sqrt{\cos x})\\ = & \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot (1+1)\\ = & \dfrac{1}{4}\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\ = & 2 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Integral Substitusi yang Aneh

2017-07-07T21:00:00.000-07:00

Salah satu penerapan integral adalah dapat digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. Jika fungsi integran cukup sulit diintegralkan dengan cara biasa, penyelesaiannya dapat dilakukan dengan teknik pengintegralan yang lainnya. Salah satu teknik pengintegralan yang ada adalah teknik integral substitusi. Dengan integral substitusi, variabel pengintegralan dapat diubah ke dalam variabel lain atau bisa juga fungsi integran yang disubstitsikan menjadi variabel lain. Namun ada satu permasalahan integral yang agak aneh untuk diselesaikan dengan integral substitusi yaitu $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx$$ Integral di atas menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=\sqrt{1+x^2}$ pada interval $-2 \leq x \leq 2$ yang diilustrasikan seperti pada gambar di bawah ini

Pada gambar di atas luas daerah berwarna gelap dinyatakan dengan integral tersebut.

Sekarang akan kita coba hitung luas daerahnya menggunakan integral substitusi $u=1+x^2$. Dengan substitusi tersebut variabel integral bukan lagi $x$ tapi $u$. Tidak ada lagi $dx$, sudah terganti dengan $du$. Batas-batas integralnya juga bukan $x=-2$ dan $x=2$ lagi. Batas-batas integralnya menjadi \begin{split} x=2 & \Rightarrow u=1+x^2\\ & \Rightarrow u=1+2^2\\ & \Rightarrow u=5 \end{split} dan \begin{split} x=-2 & \Rightarrow u=1+x^2\\ & \Rightarrow u=1+(-2)^2\\ & \Rightarrow u=5 \end{split} Sehingga $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx = \int_5^5 g(u)\ du$$ Integral di ruas kanan pada persamaan di atas memiliki batas atas dan batas bawah yang sama yang berakibat $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx=0$$ Pada sketsa jelas terlihat adanya daerah yang luasnya tidak mungkin 0. Jadi apa yang salah ?

Sebelum solusinya ditemukan, terlebih dahulu kita cari fungsi $g(u)$ hasil substitusi $u=1+x^2$. Turunkan kedua ruas $u=1+x^2$ terhadap $x$ akan memberikan \begin{split} & \dfrac{du}{dx}=2x\\ \Rightarrow & du=2x\ dx\\ \Rightarrow & dx=\dfrac{du}{2x} \end{split} Jadi integral tersebut akan menjadi $$\int \sqrt{1+x^2}\ dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2x}$$ Karena $u=1+x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1-u}$ maka integral di atas akan menjadi \begin{split} \int \sqrt{1+x^2}\ dx & = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2x}\\ & = \int \dfrac{\sqrt{u}}{\pm 2\sqrt{1-u}}\ du \end{split} Karena tanda integran di atas adalah positif dan negatif, maka integral dibuat jadi dua bagian. Pada interval $-2 \leq x \leq 0$, $x$ bertanda negatif akibatnya $x=-\sqrt{1-u}$. Pada interval $0 \leq x \leq 2$, $x$ bertanda positif akibatnya $x=\sqrt{1-u}$. Jadi integral di atas akan menjadi

\begin{split} & \int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx\\ = & \int_{-2}^0 \sqrt{1+x^2}\ dx + \int_{0}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx\\ = & \int_{5}^{1+0^2} \dfrac{\sqrt{u}}{-2\sqrt{1-u}}\ du + \int_{1+0^2}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du\\ = & -\int_{5}^{1} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du + \int_{1}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du\\ = & \int_{1}^{5} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du + \int_{1}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du\\ = & 2\int_{1}^{5} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{1-u}}\ du \end{split}

Walaupun permasalahannya menjadi semakin rumit, tapi alasan mengapa daerah yang jelas ada tapi luasnya 0 sudah diketahui penyebabnya. Nah, seharusnya bagaimana menentukan luasnya ?

Irisan Kerucut

2017-07-07T17:03:00.000-07:00

Dalam matematika irisan kerucut merupakan kurva yang didapatkan dari hasil perpotongan antara kerucut dan bidang datar. Hasil perpotongan ini ada bermacam-macam tergantung dari "kemiringan" bidang datar terhadap kerucut. Secara umum ada tiga jenis kurva yang dihasilkan dari perpotongan ini yaitu Elips, Parabola, dan Hiperbola.

Kerucut yang dimaksud disini adalah dua kerucut yang "tidak memiliki isi" dan memiliki sebuah titik sudut yang beririsan satu sama lain. Berikut ilustrasinya

Misalkan pada kerucut di atas diiris oleh bidang datar maka akan terbentuk irisan-irisan berupa kurva lengkung. Berikut ini adalah kemungkinan-kemungkinan hasil irisan kerucut dan bidang datar

Jika bidang iris tegak terhadap garis sumbu kerucut maka akan terbentuk irisan yang berupa kurva lingkaran
Jika bidang iris dimiringkan sedikit terhadap garis sumbu kerucut namun tidak sampai sejajar dengan garis pelukis akan terbentuk irisan yang disebut kurva elips
Jika bidang iris dimiringkan lagi sehingga sejajar dengan garis pelukis kerucut akan terbentuk irisan berupa kurva yang disebut dengan kurva parabola
Jika bidang iris dimiringkan kembali sehingga kemiringannya melebihi kemiringan garis pelukis sampai sejajar dengan garis sumbu kerucut akan terbentuk irisan berupa kurva yang disebut dengan kurva hiperbola

Eksentristias
Eksentrisitas merupakan parameter dari setiap persamaan irisan kerucut. Eksentrisitas menyatakan seberapa jauh bentuk irisan kerucut "menyimpang" dari lingkaran.

Misalkan kerucut dipotong tegak dengan bidang potongnya melalui garis sumbu, maka akan terbentuk irisan kerucut yang berbentuk huruf "X" seperti gambar di bawah ini

Pada gambar di atas terdapat sudut $\alpha$ yang merupakan sudut antara bidang datar dan bidang yang tegak garis sumbu dan sudut $\beta$ yang merupakan sudut antara bidang garis pelukis kerucut dengan bidang yang tegak garis sumbu. Dari kedua sudut ini didefinisikan eksentrisitas $e$ yaitu $$e=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$ dengan $0 \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ dan $0 \leq \beta \leq 90^{\circ}$

Jika bidang potong tegak lurus sumbu kerucut maka akan terbentuk lingkaran dan sudut $\alpha=0^{\circ}$. Akibatnya $e=\frac{\sin 0}{\sin \beta}=0$. Jadi eksentrisitas dari lingkaran adalah 0.
Jika yang terbentuk adalah elips maka $\alpha < \beta$. Akibatnya $0 < \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < 1$ atau $0 < e < 1$. Jadi eksentrisitas elips terletak di antara 0 dan 1.
Jika yang terbentuk adalah parabola maka $\alpha = \beta$. Akibatnya $e=\frac{\sin \beta}{\sin \beta}=1$. Jadi eksentrisitas parabola sama dengan 1.
Jika yang terbentuk adalah hiperbola maka $\alpha < \beta$. Akibatnya $e=\frac{\sin 0}{\sin \beta} > 1$, tetapi karena $\sin \beta \neq 0$ maka $e < \infty$. Jadi eksentrisitas hiperbola lebih dari 1 dan kurang dari $\infty$

Persamaan Kurva Irisan Kerucut
Andaikan bidang datar yang memotong kerucut tersebut merupakan bidang kartesius, maka kurva-kurva irisan kerucut tersebut juga akan terletak di bidang kartesius tersebut. Akibatnya setiap titik pada kurva irisan kerucut tersebut dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan $(x,y)$.

kurva lingkaran

kurva elips

kurva parabola

kurva hiperbola

Setiap pasangan $(x,y)$ pada kurva irisan kerucut dapat dinyatakan dengan menggunakan persamaan irisan kerucut secara umum yaitu $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ dengan catatan tidak semua $A$, $B$ dan $C$ bernilai $0$.

Diskriminan Persamaan Irisan Kerucut

Jika $B^2-4AC < 0$ dan $A=C$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk lingkaran
Jika $B^2-4AC < 0$ dan $A\neq C$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk elips
Jika $B^2-4AC = 0$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk parabola
Jika $B^2-4AC > 0$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk hiperbola

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA Part 1

2017-06-28T00:09:00.002-07:00

Soal #1
Jika $m$ dan $n$ memenuhi $\begin{cases} \dfrac{1}{m^2}-\dfrac{2}{n^2}=2\\ \dfrac{3}{m^2}-\dfrac{4}{n^2}=8 \end{cases}$ maka $mn=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $x=\dfrac{1}{m^2}$ dan $y=\dfrac{1}{n^2}$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi \begin{split} x-2y & = 2\\ 3x-4y & = 8 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh $x=4 \Rightarrow \dfrac{1}{m^2}=4$ dan $y=1 \Rightarrow \dfrac{1}{n^2}=1$. Jadi \begin{split} & \dfrac{1}{m^2} \dfrac{1}{n^2} = 4\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{m^2n^2} = 4\\ \Rightarrow & m^2n^2 = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow & mn = \pm \dfrac{1}{2} \end{split}

Soal #3
Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1$ adalah ...

Pembahasan

\begin{split} & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} - 1 \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} - \dfrac{(x+4)(x-4)}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x^2-4)-(x^2-16)}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{8}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & -4 < x < 4 \end{split}

Jadi bilangan bulat yang memenuhi adalah −3, −2, −1, 0, 1, 2 dan 3 yaitu sebanyak 7

Soal #4
Vektor $a$ dan $b$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $\sin \alpha = \dfrac{1}{7}$. Jika $|a| = \sqrt{5}$ dan $|b| = \sqrt{7}$ dan $b = a + c$ maka $a\cdot c = \ldots$

Pembahasan
Dengan menggunakan identitas $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dan $\sin \alpha = \dfrac{1}{7}$ diperoleh $\cos \alpha = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. Karena $\alpha$ sudut tumpul maka $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$.

\begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & c = b-a\\ \Rightarrow & c\cdot c = (b-a)\cdot (b-a)\\ \Rightarrow & |c|^2 = b\cdot b - 2b\cdot a+a\cdot a\\ \Rightarrow & |c|^2 = |b|^2 - 2|b||a|\cos \alpha+|a|^2\\ \Rightarrow & |c|^2 = 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{5}\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)+5\\ \Rightarrow & |c|^2 = 12 + 2\sqrt{30} \end{split} Kemudian \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & b\cdot b = (a+c)\cdot (a+c)\\ \Rightarrow & |b|^2 = a\cdot a + 2a\cdot c+c\cdot c\\ \Rightarrow & |b|^2 = |a|^2 + 2a\cdot c+|c|^2\\ \Rightarrow & 7 = 5 + 2a\cdot c+12 + 2\sqrt{30}\\ \Rightarrow & 7 = 17 + 2\sqrt{30} + 2a\cdot c\\ \Rightarrow & -10-2\sqrt{30} = 2a\cdot c\\ \Rightarrow & a\cdot c = -5-\sqrt{30} \end{split}

Soal #5
Banyaknya solusi yang memenuhi $-2\tan x \sec x - 2\tan x + 5\sin x = 0$ dengan $0 < x < \pi$ adalah ...

Pembahasan

\begin{split} & -2\tan x \sec x - 2\tan x + 5\sin x = 0\\ \Rightarrow & -2 \dfrac{\sin x}{\cos x} \dfrac{1}{\cos x} - 2\dfrac{\sin x}{\cos x} + 5\sin x = 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2\sin x}{\cos^2 x}-\dfrac{2\sin x}{\cos x} + 5\sin x = 0 \end{split} Misalkan $\cos x \neq 0$ atau $x \neq \dfrac{\pi}{2}$ maka kedua ruas persamaan di atas dapat dikalikan dengan $\cos^2 x$ sehingga menjadi \begin{split} & -2\sin x -2\sin x\cos x +5\sin x \cos^2 x = 0\\ \Rightarrow & \sin x(-2-2\cos x+5\cos^2 x) = 0 \end{split}

Pada interval $0 < x < \pi$, $\sin x \neq 0$ akibatnya $$5\cos^2 x - 2\cos x - 2 = 0$$ Dengan rumus ABC diperoleh $$\cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}}{10}$$ Telah diketahui fungsi range fungsi cosinus dengan domain $0 < x < \pi$ adalah $-1 \leq \cos x \leq 1$. Apakah nilai $\cos x$ di atas ada pada interval range ? Ada. Berikut buktinya

Misalkan $\cos x = \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10}$ maka $\cos x > 0$ dan \begin{split} \cos x & = \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10}\\ & \leq \dfrac{2 + \sqrt{49}}{10}\\ & = \dfrac{2+7}{10}\\ & = \dfrac{9}{10}\\ & \leq 1 \end{split} Ini berarti $-1 \leq \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10} \leq 1$

Misalkan $\cos x = \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10}$ maka $\cos x < 0$ dan \begin{split} \cos x & = \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10}\\ & \geq \dfrac{2-\sqrt{49}}{10}\\ & = \dfrac{2-7}{10}\\ & = \dfrac{-5}{10}\\ & \geq -1 \end{split} Ini berarti $-1 \leq \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10} \leq 1$

Jadi banyaknya solusi yang memenuhi persamaan hanya ada 2

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA Part 2

2017-06-28T00:09:00.001-07:00

Soal #6
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $y=4x-4$ dan $y=-4x+4$ adalah ...

Pembahasan
Karena $y=-4x+4=-4(x-1)$ dan $y=4x-4=4(x-1)$ maka persamaan kedua asimtot hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan $y=\pm 4(x-1)$. Dengan mengkuadratkan kedua ruasnya diperoleh persamaan $y^2 = 16(x-1)^2$ atau $16(x-1)^2 - y^2 = 0$. Jadi persamaan hiperbolanya adalah $16(x-1)^2 - y^2 = c$

Soal #7
Jika $x^3+ax^2+x-4$ dibagi $x-1$ dan $x^3-2x+b$ dibagi $x-2$ mempunyai sisa yang sama maka $a-b=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $p(x)=x^3+ax^2+x-4$ dan $q(x)=x^3-2x+b$.

$p(x)$ dibagi $x-1$ dan $q(x)$ dibagi $x-2$ mempunyai sisa yang sama maka \begin{split} & p(1) = q(2)\\ \Rightarrow & 1+a+1-4=8-4+b\\ \Rightarrow & a-2=4+b\\ \Rightarrow & a-b=6 \end{split}

Soal #8

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Pembahasan

Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x + x\sec x - \sin x - x}{x^3 \cos x}=\ldots$

Pembahasan

\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x + x\sec x - \sin x - x}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x} + x\dfrac{1}{\cos x} - \sin x - x}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}(\sin x + x) - (\sin x + x)}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin x + x) \left(\dfrac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin x + x)}{x}\cdot \dfrac{\left(\dfrac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^2\cos x}\cdot \dfrac{1}{\cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}x\right)}{x^2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot 2\dfrac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & (1+1)\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^2}\\ = & 1 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA Part 3

2017-06-28T00:09:00.000-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4}y}{\csc \dfrac{1}{3}y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin \dfrac{1}{3}y}{\tan \dfrac{1}{4}y}\\ = & \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}}\\ = & \dfrac{4}{3} \end{split}

Soal #13
Jika $f(x)=\cos^2(\tan x^2)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan

Misalkan $f=\cos^2 u$, $u=\tan v$ dan $v=x^2$ maka \begin{split} f'(x) & = \dfrac{df}{dx}\\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv}\cdot \dfrac{dv}{dx}\\ & = (2\cos u \cdot -\sin u) \cdot \sec^2 v \cdot 2x\\ & = (-\sin 2u)\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = (-\sin (2\tan v))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = (-\sin (2\tan x^2))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = -2x\sin (2\tan x^2)\cdot \sec^2 (x^2) \end{split}

Soal #14
Diketahui garis singgung $f(x)=\dfrac{x^2\sin x}{\pi}$ di titik $x=\dfrac{\pi}{2}$ berpotongan dengan garis $y=3x-\pi$ di titik $(a,b)$. Nilai $a+b=\ldots$

Pembahasan
Pertama-tama akan dicari persamaan garis singgung tersebut

Gradien garis singgung tersebut adalah nilai turunan pertama dari $f(x)$ di titik $x_1=\dfrac{\pi}{2}$ $$f'(x)=\dfrac{2x\sin x + x^2\cos x}{\pi}$$ Substitusikan $x=\dfrac{\pi}{2}$ diperoleh gradien $$m=f'\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1$$ Ordinat titik singgungnya adalah $y_1 = f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah \begin{split} & y-y_1 = m (x-x_1)\\ \Rightarrow & y-\dfrac{\pi}{4}=1\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \Rightarrow & x-y=\dfrac{\pi}{4} \text{ ...(i)} \end{split} Garis singgung di atas berpotongan dengan $y=3x-\pi \Rightarrow 3x-y=\pi \text{ ...(ii)}$. Dari persamaan (i) dan (ii) dapat dibentuk sistem persamaan \begin{split} 3x-y & =\pi\\ x-y & =\dfrac{\pi}{4} \end{split} Dengan menyelesaikannya diperoleh nilai $x=a=\dfrac{3}{8}\pi$ dan $y=b=\dfrac{1}{8}\pi$. Jadi $a+b=\dfrac{3}{8}\pi + \dfrac{1}{8}\pi = \dfrac{1}{2}\pi$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 117 Matematika IPA Part 3

2017-06-26T23:32:00.000-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^2\tan \left( \dfrac{1}{x} \right) - x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}}{x\cos \left( \dfrac{2}{x} \right) }=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka

\begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^2\tan \left( \dfrac{1}{x} \right) - x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}}{x\cos \left( \dfrac{2}{x} \right) }\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)^2\tan y - \left( \dfrac{1}{y} \right)\sin y + y}{\left( \dfrac{1}{y} \right)\cos y }\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)^2\tan y - \left( \dfrac{1}{y} \right)\sin y + y}{\left( \dfrac{1}{y} \right)\cos y } \times \dfrac{y}{y}\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)\tan y - \sin y + y^2}{\cos y }\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{\tan y}{y} \right) - \sin y + y^2}{\cos y }\\ = & \dfrac{2\left( 1 \right) - 0 + 0^2}{\cos 0 }\\ = & \dfrac{2}{1}\\ = & 2 \end{split}

Soal #12
Grafik fungsi $f(x)=\dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)}$. $k$ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $k=\ldots$

Pembahasan

\begin{split} f(x) & = \dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)}\\ & = \dfrac{(x+2)^k(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+2)(x+1)}\\ & = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)(x+2)}\\ & = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)^2} \end{split}

Agar terdapat satu asimtot tegak maka penyebut dari $f(x)$ harus sama dengan 0 untuk suatu nilai $x$. Karena $k$ bilangan asli, maka satu-satunya nilai $k$ agar bisa terpenuhi kondisi satu asimtot adalah $k=1$. $f(x)=\dfrac{(x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac{1}{(x+2)}$

Soal #13
Jika $f(x)=\cos^2(\tan x^2)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan

Soal #14
Jika garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{1-x}$ pada $x=a$ memotong garis $y=-x$ di titik $(b,-b)$, maka $b=\ldots$

Pembahasan
Pertama-tama akan dicari persamaan garis singgung kurva $y=\dfrac{x}{1-x}$ pada $x=a$.

Jika $x=a$ maka $y=\dfrac{a}{1-a}$. Gradien garis singgungnya adalah nilai turunan pertama $y$ di $x=a$ $$y'=\dfrac{1}{(1-x)^2}$$ Substitusikan $x=a$ diperoleh gradien $m=\dfrac{1}{(1-a)^2}$. Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya \begin{split} & y-\dfrac{a}{1-a}=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)\\ \Rightarrow & y=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\dfrac{a}{1-a} \end{split} Garis singgung tersebut memotong garis $y=-x$ di titik $(b,-b)$ berarti garis singgung tersebut pasti melalui titik $(b,-b)$. Akibatnya \begin{split} & -b=\dfrac{1}{(1-a)^2}(b-a)+\dfrac{a}{1-a}\\ \Rightarrow & -b(1-a)^2=(b-a)+a(1-a)\\ \Rightarrow & -b(1-a)^2=b-a+a-a^2\\ \Rightarrow & -b(1-a)^2=b-a^2\\ \Rightarrow & a^2=b+b(1-a)^2\\ \Rightarrow & a^2=b(1+(1-a)^2)\\ \Rightarrow & a^2=b(a^2-2a+2)\\ \Rightarrow & b=\dfrac{a^2}{a^2-2a+2} \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 117 Matematika IPA Part 1

2017-06-26T23:31:00.001-07:00

Soal #1
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2 \\ \dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}$ maka $x^2-xy-2y^2=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $m=\dfrac{1}{x+y}$ dan $n=\dfrac{1}{x-2y}$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi \begin{split} 2m+3n & = 2\\ 4m-n & = -3 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $m=\dfrac{1}{-2}$ dan $n=1$. Ini berarti \begin{split} & \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{1}{-2} \Rightarrow x+y=-2\\ & \dfrac{1}{x-2y} = 1 \Rightarrow x-2y=1 \end{split} Lagi dengan menyelesaikan sistem persamaan dalam $x$ dan $y$ di atas diperoleh $x=-1$ dan $y = -1$. Jadi \begin{split} & x^2-xy-2y^2\\ = & (-1)^2-(-1)(-1)-2(-1)^2\\ = & -2 \end{split}

Soal #3
Himpunan $S$ beranggotakan semua bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^2+(1-a)x-a}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakan nilai $a$ sehingga $S$ mempunyai anggota paling banyak?
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{x^2+(1-a)x-a}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)}{(x-4)} < 0 \end{split} Jika $a > 4$ diperoleh penyelesaian $4 < x < a$ akibatnya dapat dipilih sebarang nilai $a$ yang lebih dari 4 agar diperoleh himpunan $S$ yang anggotanya paling banyak.

Mungkin jika saya ikut sebagai peserta SBMPTN, saya akan memilih option E sebagai jawaban :)

Soal #4
Diberikan vektor $a$ dan $b$. Jika $|a+b|^2 = (a\cdot b)$ dan $(|a|+|b|)^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|$, maka sudut antara vektor $a$ dan $b$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & |a+b|^2 = (a\cdot b)\\ \Rightarrow & (a+b)\cdot (a+b) = a\cdot b\\ \Rightarrow & a\cdot a + 2a\cdot b + b\cdot b = a\cdot b\\ \Rightarrow & a\cdot a + b\cdot b = -a\cdot b\\ \Rightarrow & |a|^2 + |b|^2 = -a\cdot b\text{ ...(i)} \end{split} Kemudian \begin{split} & (|a|+|b|)^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|\\ \Rightarrow & |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|\\ \Rightarrow & |a|^2 + |b|^2 = \dfrac{1}{2}|a||b|\text{ ...(ii)} \end{split} Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh sistem persamaan seperti berikut ini \begin{split} & |a|^2 + |b|^2 = -a\cdot b\\ & |a|^2 + |b|^2 = \dfrac{1}{2}|a||b| \end{split} Misalkan $\theta$ adalah sudut antara vektor $a$ dan $b$ maka dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh \begin{split} & 0 = -a\cdot b - \dfrac{1}{2}|a||b|\\ \Rightarrow & a\cdot b = - \dfrac{1}{2}|a||b|\\ \Rightarrow & \dfrac{a\cdot b}{|a||b|} = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \cos \theta = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \theta = 120^{\circ}\\ \end{split}

Soal #5
Jika $2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0$, dengan $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ maka $\sin x \cos x = \ldots$

Pembahasan
\begin{split} & 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0\\ \Rightarrow & 2\sin x + 3\dfrac{\cos x}{\sin x} - 3\dfrac{1}{\sin x} = 0 \end{split} Kalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $\sin x$ diperoleh \begin{split} & 2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0\\ \Rightarrow & 2(1-\cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0\\ \Rightarrow & 2-2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0\\ \Rightarrow & -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0\\ \Rightarrow & 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\\ \Rightarrow & (2\cos x -1)(\cos x - 1) = 0\\ \Rightarrow & \cos x = \dfrac{1}{2} \text{ atau } \cos x = 1 \end{split} Karena $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ maka $\cos x \neq 1$. Akibatnya $\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$. Jadi $\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}\sqrt{3}$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 117 Matematika IPA Part 2

2017-06-26T23:31:00.000-07:00

Soal #6
Jika hiperbola $\dfrac{x^2-2nx+n^2}{25}-\dfrac{y^2-2my+m^2}{16}=1$ memiliki asimtot yang memotong sumbu Y di titik (0,1). maka $5m-4n=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{x^2-2nx+n^2}{25}-\dfrac{y^2-2my+m^2}{16}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-n)^2}{5^2}-\dfrac{(y-m)^2}{4^2}=1 \end{split} Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah \begin{split} & \dfrac{(x-n)^2}{5^2}-\dfrac{(y-m)^2}{4^2}=0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-n)^2}{5^2}=\dfrac{(y-m)^2}{4^2} \end{split} Karena asimtot tersebut melalui titik (0,1) maka \begin{split} & \dfrac{(0-n)^2}{5^2}=\dfrac{(1-m)^2}{4^2}\\ \Rightarrow & \dfrac{n^2}{5^2}=\dfrac{(1-m)^2}{4^2}\\ \Rightarrow & \dfrac{n}{5}=\pm \dfrac{(1-m)}{4}\\ \Rightarrow & 4n=\pm (5-5m)\\ \Rightarrow & 4n=\pm 5 \mp 5m\\ \Rightarrow & 4n \pm 5m =\pm 5\\ \Rightarrow & 4n - 5m = -5 \text{ atau } 4n + 5m = 5 \end{split} Jadi $5m-4n=5$

Soal #7
Sisa pembagian polinom oleh $(x-3)$ adalah 4, sedangkan sisa pembagiannya oleh $(x^2-8x+15)$ adalah $ax-5$. Sisa pembagian polinom tersebut oleh $(x-5)$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan polinom tersebut adalah $p(x)$.

Sisa pembagian polinom oleh $(x-3)$ adalah 4 berarti $p(3)=4$.

Sisa pembagiannya oleh $(x^2-8x+15)$ adalah $ax-5$ berarti ada polinom $q(x)$ sedemikian sehingga $$p(x)=q(x)(x^2-8x+15)+(ax-5)$$ Substitusikan $x=3$ diperoleh \begin{split} & p(3) = 4\\ \Rightarrow & q(3)(3^2-8(3)+15)+(3a-5) = 4\\ \Rightarrow & q(3)(9-24+15)+3a-5=4\\ \Rightarrow & 0 + 3a-5=4\\ \Rightarrow & a=3 \end{split} Akibatnya $$p(x)=q(x)(x^2-8x+15)+(3x-5)$$ Substitusikan $x=5$ diperoleh \begin{split} p(5) & =q(5)(5^2-8(5)+15) + 3(5)-5\\ & =q(5)(25-40+15)+10 \end{split} Jadi sisa pembagian polinom tersebut oleh $(x-5)$ adalah $p(5)=10$

Referensi: Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Soal #8

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah

Pembahasan

Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x}\\ = & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x} \times \dfrac{1+\sin x}{1+\sin x}\\ = & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x (1+\sin x)}{1-\sin^2 x}\\ = & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x (1+\sin x)}{\cos^2 x}\\ = & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x \cos^2 x (1+\sin x)}{\sin^2 x\cos^2 x}\\ = & \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{x (1+\sin x)}{\sin^2 x}\\ = & \dfrac{\frac{\pi}{2} \left(1+\sin \frac{\pi}{2} \right)}{\sin^2 \frac{\pi}{2}}\\ = & \dfrac{\frac{\pi}{2} \left(1+1 \right)}{1}\\ = & \pi \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 160 Matematika Saintek Part 1

2017-06-20T15:20:00.003-07:00

Soal #1
Jika m,n adalah bilangan positif yang merupakan solusi dari sistem $\begin{cases}\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{2}{n^2}=8\\ \dfrac{-2}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=-1\end{cases}$, maka $\dfrac{mn}{\sqrt{6}}=$ ...

Pembahasan
Misalkn $\dfrac{1}{m^2}=p$ dan $\dfrac{1}{n^2}=q$ maka sistem di atas dapat ditulis sebagai \begin{split} p+2q & =8\\ -2p+q & = -1 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $p=2$ dan $q=3$. Akibatnya \begin{split} & p\cdot q = 2\cdot 3\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{m^2} \cdot \dfrac{1}{n^2} = 6\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{m^2n^2} = 6\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{mn} = \sqrt{6}\\ \Rightarrow & mn= \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{split} dan Jadi $\dfrac{mn}{\sqrt{6}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{6}}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{6}$

Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya = M, suku bunga yang didapat sebesar b, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi M(1 + b)¹⁰. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b=2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Banyaknya bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^2-4x-5}{|x-2|-4} \leq 0$ adalah ...

Pembahasan
Jika x ≥ 2 dan x ≠ 6 maka \begin{split} & \dfrac{x^2-4x-5}{|x-2|-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-4x-5}{x-2-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-4x-5}{x-6} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-5)(x+1)}{x-6} \leq 0\\ \Rightarrow & x \leq -1 \text{ atau } 5 \leq x < 6 \end{split} Tetapi karena x > 2 dan x ≠ 6 maka penyelesaiannya menjadi 5 ≤ x < 6. Bilangan bulat x yang memenuhi hanya ada 1 yaitu 5

Jika x ≥ 2 dan x ≠ −2 maka \begin{split} & \dfrac{x^2-4x-5}{|x-2|-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-4x-5}{-x+2-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-4x-5}{-x+2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-5)(x+1)}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & x \geq 5 \text{ atau } -1 \geq x < 2 \end{split} Tetapi karena x < 2 dan x ≠ −2 maka penyelesaiannya menjadi −1 ≤ x < 2. Bilangan bulat x yang memenuhi hanya ada 1 yaitu −1

Jadi banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan adalah 2

Soal #4
Diketahui tiga vektor a,b dan c dengan |b| = 8, |c| = 3, dan c = a − b. Misalkan α adalah sudut antara a dan b, serta γ adalah sudut antara vektor b dan c. Jika |a| = 7 dan γ = 120°, maka sin α = ...

Pembahasan

\begin{split} & c=a-b\\ \Rightarrow & c\cdot c = (a-b)\cdot (a-b)\\ \Rightarrow & |c|^2=a\cdot a - 2a\cdot b + b\cdot b\\ \Rightarrow & |c|^2=|a|^2 - 2|a||b|\cos \alpha + |b|^2\\ \Rightarrow & 3^2=7^2 - 2\cdot 7\cdot 8\cos \alpha + 8^2\\ \Rightarrow & 9=49 - 112\cos \alpha + 64\\ \Rightarrow & 112\cos \alpha=104\\ \Rightarrow & \cos \alpha=\dfrac{104}{112}\\ \Rightarrow & \cos \alpha=\dfrac{13}{14} \end{split}

Dengan menggunakan identitas sin²α + sin²α = 1 maka $\sin \alpha = \dfrac{3\sqrt{3}}{14}$

Soal #5
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari 2cot x − 2tan x − 4sin x cos x = 0 untuk 0 < x < π/2, maka sin² x₁ + sin² x₂ = ...

Pembahasan

\begin{split} & 2\cot x - 2\tan x -4\sin x \cos x = 0\\ \Rightarrow & 2\frac{\cos x}{\sin x}-2\frac{\sin x}{\cos x} - 4\sin x\cos x=0\\ \Rightarrow & 2\frac{\cos x}{\sin x}-2\frac{\sin x}{\cos x} = 4\sin x\cos x \end{split} Kedua ruas dikalikan dengan sin x cos x sehingga menjadi \begin{split} & 2\cos^2 x-2\sin^2 x = 4\sin^2 x\cos^2 x\\ \Rightarrow & 2(\cos^2 x-\sin^2 x) = (2\sin x\cos x)^2\\ \Rightarrow & 2(\cos 2x) = (\sin 2x)^2\\ \Rightarrow & 2(\cos 2x) = 1-(\cos 2x)^2\\ \Rightarrow & \cos^2 2x+2\cos 2x-1 = 0 \end{split}

Dengan menggunakan teori persamaan kuadrat diperoleh

cos 2x₁ + cos 2x₂ = −2
⇔ (1 − 2sin²x₁) + (1 − 2sin²x₂) = −2
⇔ 2 − 2(sin²x₁ + sin²x₂) = −2
⇔ −2(sin²x₁ + sin²x₂) = −4
⇔ sin²x₁ + sin²x₂ = 2

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 160 Matematika Saintek Part 2

2017-06-20T15:20:00.002-07:00

Soal #6
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot y = 4x − 4 dan y = −4x + 4 adalah

Pembahasan
Karena y = −4x + 4 = −4(x − 1) dan y = 4x − 4 = 4(x − 1)maka persamaan kedua asimtot hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan y = ±4(x − 1). Dengan mengkuadratkan kedua ruasnya diperoleh persamaan y² = 16(x − 1)² atau 16(x − 1)² − y² = 0. Jadi persamaan hiperbolanya adalah 16(x − 1)² − y² = c

Soal #7
Jika sisa pembagian q(x) = 2bx³ + cx + 2 oleh (x − 1) adalah 5 dan p(x) = x² + 2bx + c oleh (x + 1) adalah 6, maka 4b + c = ...

Pembahasan
Sisa pembagian q(x) oleh (x − 1) adalah 5 maka
q(1) = 5
⇔ 2b(1)³ + c(1) + 2 = 5
⇔ 2b + c + 2 = 5
⇔ 2b + c = 3 ...(i)

Sisa pembagian p(x) oleh (x + 1) adalah 6 maka
q(1) = 5
⇔ (−1)² + 2b(−1) + c = 6
⇔ 1 − 2b + c = 6
⇔ −2b + c = 5 ...(ii)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh (i) dan (ii) diperoleh nilai b = −1/2 dan c = 4. Jadi 4b + c = 4(−1/2) + 4 = 2

Soal #8

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah

Pembahasan

Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x^2 \csc 3x}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x^2 \csc 3x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x^2 \cdot \frac{1}{\sin 3x}}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \sin 3x}{x^2 \cos x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \dfrac{\sin 3x}{x} \dfrac{1}{\cos x}\\ = & 1 \cdot 3 \cdot 1\\ = & 3 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 160 Matematika Saintek Part 3

2017-06-20T15:20:00.001-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=$ ...

Pembahasan
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka \begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \sec (y) (1- \cos \sqrt{y} )\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}\sqrt{y}\right)}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2} \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} 2\dfrac{\sin \frac{1}{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{\sin \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \\ = & \frac{1}{2} \end{split}

Soal #12
Jika fungsi $f(x)=\dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3}$ mempunyai satu asimtot tegak dan satu asimtot datar $y = \dfrac{1}{2}$, maka $a+b$ adalah ...

Pembahasan
$f(x)$ mempunyai satu asimtot datar $y = \dfrac{1}{2}$ maka \begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3} \times \dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{b}{x}-\frac{2}{x^2}}{a-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}= \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{b}{x}-\frac{2}{x^2}}{a-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}= \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \dfrac{1+0-0}{a-0-0}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & a = 2 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} f(x) & =\dfrac{x^2+bx-2}{2x^2-x-3}\\ & =\dfrac{x^2+bx-2}{(2x-3)(x+1)} \end{split} $f(x)$ mempunyai satu asimtot tegak maka terdapat hanya satu pembuat nol pada penyebutnya, dengan kata lain salah faktor penyebut bisa dicoret.

Misalkan faktor $(2x-3)$ yang dicoret, maka $x^2+bx-2$ juga akan memiliki faktor $(2x-3)$. Dengan mensubsitusikan $x=\dfrac{3}{2}$ ke persamaan $x^2+bx-2=0$ diperoleh $b=-\dfrac{1}{6}$. Dalam hal ini nilai $a+b$ bukan bilangan bulat (tidak ada di pilihan jawaban).

Misalkan faktor $(x+1)$ yang dicoret, maka $x^2+bx-2$ juga akan memiliki faktor $(x+1)$. Dengan mensubsitusikan $x=-1$ ke persamaan $x^2+bx-2=0$ diperoleh $b=-1$. Jadi $a+b=2-1=1$

Soal #13
Misalkan $f(x)=\sin(\sin(\sin x^2))$

Pembahasan

$f'(x)=\cos(\sin(\sin x^2))\cdot \cos(\sin x^2)\cdot \cos x^2 \cdot 2x$

Jadi

\begin{split} f'\left( \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \right) & =\cos \left(\sin \left(\sin \dfrac{\pi}{2} \right)\right)\cdot \cos \left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \cos \dfrac{\pi}{2} \cdot 2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\\ & =\cos \left(\sin \left(1 \right)\right)\cdot \cos \left(1\right)\cdot 0 \cdot 2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\\ & =0 \end{split}

Soal #14
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui (1,−1) adalah ...

Pembahasan

Sembarang garis yang melalui (1,−1) memiliki persamaan \begin{split} & y+1=m(x-1)\\ \Rightarrow & y=mx-m-1 \end{split} Substitusikan persamaan $y=mx-m-1$ ke persamaan $y=\dfrac{x}{2-2x}$ diperoleh \begin{split} & mx-m-1 = \dfrac{x}{2-2x}\\ \Rightarrow & mx-(m+1) = \dfrac{x}{2-2x}\\ \Rightarrow & (mx-(m+1))(2-2x) = x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + 2(m+1)x+2mx - 2(m+1) = x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + (4m+2)x-2(m+1)=x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + (4m+1)x-2(m+1)=0 \end{split} Karena garis dan kurva bersinggungan maka diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan 0 \begin{split} & (4m+1)^2-4(-2m)(-2(m+1))=0\\ \Rightarrow & (16m^2+8m+1)+8m(-2m-2)=0\\ \Rightarrow & 16m^2+8m+1-16m^2-16m=0\\ \Rightarrow & -8m+1=0\\ \Rightarrow & m=\frac{1}{8} \end{split} Jadi persamaan garis singgungnya adalah \begin{split} & y=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{8}-1\\ \Rightarrow & 8y=x-1-8\\ \Rightarrow & x-8y-9=0 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 224 Matematika Dasar Part 2

2017-06-18T01:37:00.001-07:00

Soal #51
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah $-\dfrac{1}{7}$. Jika suku ke-6 barisan tersebut adalah 9, maka suku ke-8 adalah ...

Pembahasan
Misalkan barisan aritmatika tersebut memiliki suku awal a dan beda b. karena hasil bagi suku pertama oleh suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah $-\dfrac{1}{7}$ maka \begin{split} & \dfrac{U_1}{U_5}=-\dfrac{1}{7}\\ \Rightarrow & \dfrac{a}{a+4b}=-\dfrac{1}{7}\\ \Rightarrow & -7a = a+4b\\ \Rightarrow & -8a = 4b\\ \Rightarrow & b = -2a \end{split} suku ke-6 barisan tersebut adalah 9 maka a + 5b = 9. Substitusikan b = −2a ke persamaan suku ke-6 diperoleh

a + 5(−2a) = 9 ⇔ a = −1 dan b = 2.
Jadi suku ke-8 adalah a + 7b = −1 + 7(2) = 13

Soal #52
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6 − 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah ... kg

Pembahasan
Misalkan T adalah total bobot ikan yang dipanen maka rata-ratanya adalah $\dfrac{T}{x}$, tetapi karena rata-ratanya juga (6 − 0,02x) maka dapat dibuat persamaan \begin{split} & \dfrac{T}{x} = 6 - 0.02x\\ \Rightarrow & T = 6x-0.02x^2\\ \Rightarrow & T = -0.02x^2+6x \end{split} Dengan menggunakan teori fungsi kuadrat, T akan maksimum jika $x=-\dfrac{6}{2(-0.02)} = 150$. Jadi maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah T = −0.02(150)² + 6(150) = 450

Soal #53
Suku ke-3 suatu barisan geometri dengan rasio negatif adalah $\dfrac{1}{2}$. Perbandingan suku ke-4 terhadap suku ke-2 adalah $\dfrac{1}{4}$. Jumlah 4 suku pertama barisan tersebut adalah ...

Pembahasan
Misalkan suku ke-n barisan geometri tersebut adalah $U_n = ar^{n-1}$.

Perbandingan suku ke-4 terhadap suku ke-2 adalah $\dfrac{1}{4}$ maka \begin{split} & \dfrac{U_4}{U_2} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow & \dfrac{ar^3}{ar} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow & r^2 = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow & r = \dfrac{1}{2} \text{ atau } r = -\dfrac{1}{2} \end{split} Tetapi karena rasio negatif maka $r=-\dfrac{1}{2}$.

Suku ke-3 nya adalah $\dfrac{1}{2}$ maka \begin{split} & ar^2 = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & a \left( \dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & a = 2 \end{split} Jadi jumlah 4 suku pertama barisan tersebut adalah \begin{split} S_4 = & \frac{a(r^4-1)}{r-1}\\ = & \frac{2\left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4-1\right)}{-\frac{1}{2}-1}\\ = & \frac{2\left(-\frac{15}{16}\right)}{-\frac{3}{2}}\\ = & \frac{5}{4} \end{split}

Soal #54
Diketahui $f(x) = x^2 - 1$ dan $g(x) = \sqrt{x-3}$. Jika a dan b adalah bilangan real sehingga $(g \circ f)(a) = (f \circ g)(b) = 0$, maka maksimum selisih a dan b adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & (g \circ f)(a) = 0\\ \Rightarrow & g(f(a)) = 0\\ \Rightarrow & g(a^2 - 1) = 0\\ \Rightarrow & \sqrt{(a^2 - 1)-3} = 0\\ \Rightarrow & (a^2 - 1)-3 = 0\\ \Rightarrow & a^2 = 4\\ \Rightarrow & a = \pm 2 \end{split} Kemudian \begin{split} & (f \circ g)(b) = 0\\ \Rightarrow & f(g(b)) = 0\\ \Rightarrow & f(\sqrt{b-3}) = 0\\ \Rightarrow & (\sqrt{b-3})^2-1 = 0\\ \Rightarrow & b-4 = 0\\ \Rightarrow & b = 4 \end{split} Jadi maksimum selisih a dan b adalah 4 − (−2) = 6

Soal #55

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik X terletak pada rusuk EF sejauh 2 cm dari F, dan Y adalah titik potong perpanjangan AF dengan BF. Jika panjang rusuk kubus adalah 6 cm, maka jarak Y ke G adalah ... cm

Pembahasan
Perhatikan bahwa segitiga AEX dan segitiga YFX adalah dua segitiga sebangun dengan perbandingan 2 : 1, akibatnya \begin{split} & \frac{YF}{AE} = \frac{EX}{XF}\\ \Rightarrow & \frac{YF}{6} = \frac{4}{2}\\ \Rightarrow & YF = 3 \end{split} Jadi \begin{split} YG = & \sqrt{YF^2+FG^2}\\ = & \sqrt{3^2+6^2}\\ = & \sqrt{45}\\ = & 3\sqrt{5} \end{split}

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 224 Matematika Dasar Part 3

2017-06-18T01:37:00.000-07:00

Soal #56
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x − y ≥ 3, 2x − y ≤ 8, y ≥ 0 adalah ... satuan luas.

Pembahasan

Berdasarkan gambar tersebut daerah penyelesaiannya merupakan daerah segitiga dengan luas (a×t)/2 = (1×2)/2 = 2 satuan luas

Soal #57
Jika garis y = x + 2 ditranslasikan dengan $\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu X, maka petanya adalah garis y = ax + b, nilai a + b adalah ...

Pembahasan
Garis y = x + 2 ditranslasikan dengan $\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ akan menghasilkan garis (y − 2) = (x − 1) + 2 ⇔ y = x + 3.

Kemudian garis y = x + 3 dicerminkan terhadap sumbu X akan menghasilkan garis −y = x + 3 ⇔ y = −x − 3. Akibatnya a = −1 dan b = −3, jadi a + b = −4

Soal #58
$\int \dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\ dx = \ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \int \dfrac{1-x}{\sqrt{x}}\ dx\\ = & \int \dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{x}{\sqrt{x}}\ dx\\ = & \int x^{-1/2} - x^{1/2}\ dx\\ = & 2x^{1/2} - \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\\ = & 2\sqrt{x} - \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ = & \dfrac{2}{3}(3\sqrt{x}-x\sqrt{x})+C\\ = & \dfrac{2}{3}(3-x)\sqrt{x}+C \end{split}

Soal #59
Jika $f(x) = ax+b$ dan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}-2}=-4$, maka $f(1)=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}-2}=-4\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} \dfrac{ax+b}{\sqrt{x}-2}=-4\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} \dfrac{a}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=-4\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} 2a\sqrt{x}=-4\\ \Rightarrow & 4a=-4\\ \Rightarrow & a=-1 \end{split} Limit pada soal di atas adalah limit bentuk 0/0 maka haruslah \begin{split} f(4) = 0 & \Rightarrow 4a+b=0\\ & \Rightarrow -4 + b = 0\\ & \Rightarrow b = -4 \end{split}. Jadi $f(1) = a+b = -1-4=-5$

Soal #60
Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan dua huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf berdekatan adalah ...

Pembahasan
Misalkan A = Angka dan H = Huruf maka susunan yang mungkin adalah

Total cara menyusun 3 angka dan 2 huruf adalah 5!/(3!×2!) = 10, tetapi ada dua objek yang tidak boleh berdekatan yaitu HHAAA, AHHAA, AAHHA, AAAHH. Jadi agar tidak boleh ada dua huruf berdekatan maka susunannya hanya sebanyak 10 − 4 = 6 susunan yang mungkin.

Kemungkinan huruf vokal: a, i, u, e, o, ada sebanyak 5 kemungkinan.

Kemungkinan angka: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ada sebanyak 10 kemungkinan.

Karena angka dan huruf boleh berulang maka banyak susunan simbol yang mungkin dibuat adalah 6 × 5² × 10³ = 150000

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 224 Matematika Dasar Part 1

2017-06-18T01:36:00.000-07:00

Soal #46
Misalkan A^T adalah transpose matriks A. Jika $A = \begin{pmatrix}a & 1\\ 0 & b\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}$ sehingga $A^T B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 10\end{pmatrix}$. Maka a + b adalah ...

Pembahasan

\begin{split} & A^T B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 10\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix}a & 1\\ 0 & b\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 10\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix}a & 0\\ 1 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 10\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix}a & 2a\\ 1+2b & 2+4b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 5 & 10\end{pmatrix} \end{split}

Dari persamaan matriks di atas diperoleh a = 1 dan 1 + 2b = 5 ⇔ b = 2. Jadi a + b = 1 + 2 = 3

Soal #47
Jika himpunan penyelesaian |2x − a| < 5 adalah {x|−1 < x < 4}, maka nilai a adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & |2x-a| < 5\\ \Rightarrow & -5 < 2x-a < 5\\ \Rightarrow & -5+a < 2x < 5+a\\ \Rightarrow & \frac{-5+a}{2} < x < \frac{5+a}{2} \end{split} Karena −1 < x < 4 maka haruslah $\frac{5+a}{2}=4$ atau $\frac{-5+a}{2}=-1$. Dari kedua persamaan tersebut diperoleh a = 3

Soal #48

Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama berturut-turut oleh titik K, L, M dan N. Jika luas segitiga ABC adalah x cm², maka luas segitiga KMN adalah ... cm²

Pembahasan
Luas segitiga ABC = $\dfrac{BA \cdot BC}{2}=x$, $BK=\dfrac{2}{3}BA$ dan $MN=\dfrac{1}{3}BC$

Jadi luas segitiga KMN adalah \begin{split} & \dfrac{1}{2}\cdot BK \cdot MN\\ = & \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}BA \cdot \dfrac{1}{3}BC\\ = & \dfrac{2}{9}\dfrac{BA \cdot BC}{2}\\ = & \dfrac{2}{9}x \end{split}

Soal #49
Sumbu simetri grafik f(x) = ax² + bx + c adalah x = 1, jika f(0) = 0 dan f(4) = −16, maka nilai b − a adalah ...

Pembahasan
Sumbu simetrinya adalah x = 1 maka −b/(2a) = 1 ⇔ −b = 2a ...(i)
f(0) = 0 maka a(0)² + b(0) + c = 0 ⇔ c = 0
f(4) = −16 maka 16a + 4b = −16 ...(ii)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh (i) dan (ii) diperoleh a = −2 dan b = 4. Jadi b − a = 4 − (−2) = 6

Soal #50
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah ... kg

Pembahasan
Misalkan berat badan 5 balita yang telah diurutkan adalah a, b, c, d, e maka mediannya adalah c dan berat badan satu balita yang lain adalah x.

median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama maka \begin{split} & c=\dfrac{(a+b+c+d+e)}{5}\\ \Rightarrow & 5c = a+b+c+d+e \end{split} rata-rata berat badan 5 balita tersebut adalah $\dfrac{(a+b+c+d+e)}{5}$, Sedangkan rata-rata berat badan 5 balita dan satu balita tambahan adalah $\dfrac{(a+b+c+d+e+x)}{6}$. Karena rata-rata bertambah 1 kg setelah ditambahkan dengan satu balita maka didapat hubungan

\begin{split} & \dfrac{(a+b+c+d+e)}{5}+1=\dfrac{(a+b+c+d+e+x)}{6}\\ \Rightarrow & c+1=\dfrac{(5c+x)}{6}\\ \Rightarrow & 6c+6=5c+x\\ \Rightarrow & 6c-5c+6=x\\ \Rightarrow & x=c+6 \end{split}

Karena x = c + 6 maka c < x tetapi jika x menjadi data ke-4 setelah c maka median akan berubah, hal ini tidak mungkin karena mediannya tetap, sehingga yang menjadi data ke-4 adalah d. Agar median tetap, maka haruslah berlaku $c=\dfrac{c+d}{2} \Rightarrow c=d$. Jadi selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah x − d = x − c = (c + 6) − c = 6

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 207 Matematika Dasar Part 3

2017-06-14T04:32:00.000-07:00

Soal #56
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 3, 3x + 2y ≥ 6, y ≥ 0 adalah ... satuan luas

Pembahasan

Daerah penyelesaiannya merupakan daerah berbentuk segitiga yang luasnya $L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2} = \dfrac{3}{2}$ satuan luas

Soal #57
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks A memetakan titik (5,−5) ke titik (−7,1). Jika transformasi tersebut memetakan titik (−1,1) ke titik (x,y), maka nilai x + 2y adalah ...

Pembahasan
Misalkan $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$.
A memetakan titik (5,−5) ke titik (−7,1) maka \begin{split} & A \begin{pmatrix}5 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & -5A\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & A\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{-5} \begin{pmatrix}-7 \\ 1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & A\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ -\frac{1}{5}\end{pmatrix} \end{split} Dari persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{7}{5}$ dan $y=-\dfrac{1}{5}$. Jadi $x+2y=\dfrac{7}{5}-\dfrac{2}{5}=1$

Soal #58
$\int \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}\ dx = \ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \int \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}\ dx\\ = & \dfrac{1}{2} \int \dfrac{(2x+2)\ dx}{\sqrt{x^2+2x}}\\ = & \dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(x^2+2x)}{\sqrt{x^2+2x}}\\ = & \dfrac{1}{2} \int \dfrac{du}{\sqrt{u}}\\ = & \dfrac{1}{2} \int u^{-1/2}\ du\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} + C\\ = & \sqrt{u} + C\\ = & \sqrt{x^2+2x} + C\\ \end{split}

Soal #59
Jika $f(x) = ax+b$ dan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}-2}=8$, maka $f(2)=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}-2}=8\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} \dfrac{ax+b}{\sqrt{x}-2}=8\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} \dfrac{a}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=8\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 4} 2a\sqrt{x}=8\\ \Rightarrow & 4a=8\\ \Rightarrow & a=2 \end{split} Limit pada soal di atas adalah limit bentuk 0/0 maka haruslah \begin{split} f(4) = 0 & \Rightarrow 4a+b=0\\ & \Rightarrow 8 + b = 0\\ & \Rightarrow b = -8 \end{split}. Jadi $f(2) = 2a+b = 2(2)-8=-4$

Soal #60
Jika 3 laki-laki dan 3 perempuan duduk dalam suatu barisa sehingga tidak ada 2 laki-laki yang duduk berdekatan maka banyak susunan duduk berbeda yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Susunan yang mungkin hanyalah
LPLPLP
PLPLPL
LPPLPL
LPLPPL
Jadi total susunan yang mungkin adalah 4 × 3! × 3! = 144

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 207 Matematika Dasar Part 2

2017-06-14T04:31:00.000-07:00

Soal #51
Jumlah suku pertama, suku ke-3, dan suku ke-4 suatu barisan aritmatika adalah 33. Jika suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah 33, maka suku pertamanya adalah ...

Pembahasan
Misalkan barisan aritmatika tersebut mempunyai suku awal a dan beda b.

Jumlah suku pertama, suku ke-3, dan suku ke-4 suatu barisan aritmatika adalah 33 berarti \begin{split} & U_1 + U_3 + U_4 = 33\\ \Rightarrow & a + (a+2b) + (a+3b) = 33\\ \Rightarrow & 3a + 5b = 33\text{ ...(1)} \end{split} Suku ke-10 adalah 33 maka $$a+9b=33\text{ ...(2)}$$ Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier yang dibentuk oleh (1) dan (2) diperoleh a = 6 dan beda b = 3. Jadi suku pertamanya adalah 6

Soal #53
Akan dikonstruksi beberapa barisan geometri. Setiap barisan memenuhi syarat bahwa hasil kali tiga suku berurutannya adalah 27 dan jumlahnya adalah $10\frac{1}{2}$. Jumlah semua rasio barisan yang memenuhi syarat tersebut adalah ...

Pembahasan
Misalkan barisan tersebut adalah $U_n = ar^{n-1}$.

Hasil kali tiga suku berurutannya adalah 27 maka \begin{split} & U_n \times U_{n+1} \times U_{n+2} = 27\\ \Rightarrow & ar^{n-1} \times ar^n \times ar^{n+1} = 27\\ \Rightarrow & a^3r^{3n} = 27\\ \Rightarrow & ar^n = 3 \end{split} Jumlahnya adalah $10\frac{1}{2}$ maka \begin{split} & U_n + U_{n+1} + U_{n+2} = 10\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & ar^{n-1} + ar^n + ar^{n+1} = \dfrac{21}{2}\\ \Rightarrow & \dfrac{ar^n}{r} + ar^n + ar^nr = \dfrac{21}{2}\\ \Rightarrow & \dfrac{3}{r} + 3 + 3r = \dfrac{21}{2}\\ \Rightarrow & \dfrac{6}{r} + 6 + 6r = 21\\ \Rightarrow & 6 + 6r + 6r^2 = 21r\\ \Rightarrow & 6r^2 - 15r + 6= 0 \end{split}

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat diperoleh jumlah semua nilai rasio yang mungkin adalah $r_1 + r_2 = \dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$

Soal #54
Diketahui f(x) = ax + 2 dan g(x) = 2x + d dengan d ≠ 0. Jika (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) untuk semua x. Maka nilai d(a − 1) adalah ...

Pembahasan
(f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x)
⇔ f(g(x)) = g(f(x))
⇔ f(2x + d) = g(ax + 2)
⇔ a(2x + d) + 2 = 2(ax + 2) + d
⇔ 2ax + ad + 2 = 2ax + 4 + d
⇔ ad − d = 4 − 2
⇔ d(a − 1) = 2

Soal #55

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan M dan N berturut-turut adalah titik tengah FG dan BC, serta T adalah titik pada AM sehingga NT tegak lurus AM seperti pada gambar. Jika panjang rusuk tersebut 8 cm, maka panjang NT adalah ... cm

Pembahasan

Karena M dan N merupakan dua titik tengah sisi yang saling sejajar maka segitiga AMN merupakan segitiga siku-siku di N. $$AN = \sqrt{AB^2+BN^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$$ $$AM = \sqrt{AN^2+NM^2}=\sqrt{\sqrt{80}^2+8^2}=12$$ Jadi $NT = \dfrac{AN \times NM}{AM} = \dfrac{\sqrt{80} \times 8}{12}=\dfrac{8}{3}\sqrt{5}$

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 207 Matematika Dasar Part 1

2017-06-14T04:29:00.000-07:00

Dari persamaan matriks di atas diperoleh a = 1 dan 1 + 2b = 5 ⇔ b = 2. Jadi a + b = 1 + 2 = 3

Soal #48

Soal #49
Jika f(x) = x² − 4 dan g(x) = 2 − x, maka daerah asal fungsi $\dfrac{f}{g}$ adalah ...

Pembahasan
$\dfrac{f}{g}$ terdefinisi jika g(x) ≠ 0 ⇔ 2 − x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2. Jadi daerah asalnya adalah {x|x≠2}

\begin{split} & \dfrac{(a+b+c+d+e)}{5}+1=\dfrac{(a+b+c+d+e+x)}{6}\\ \Rightarrow & c+1=\dfrac{(5c+x)}{6}\\ \Rightarrow & 6c+6=5c+x\\ \Rightarrow & 6c-5c+6=x\\ \Rightarrow & x=c+6 \end{split}

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2017 Lengkap

2017-06-04T04:15:00.000-07:00

Pada SBMPTN tahun 2017 ini soal TKPA tidak bisa dibawa pulang oleh peserta, oleh karena itu soal-soal matematika dasar tidak banyak diupload.

Matematika IPA (TKD Saintek)	Matematika Dasar (TKPA)
Kode 117: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 121: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 122: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 126: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 155: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 157: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 160: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 161: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 [update: 10 Juli 2017] Kode 166: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 168: Part 1 \| Part 2 \| Part 3	Kode 207: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 224: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 265: Part 1 \| Part 2 \| Part 3 Kode 268: Part 1 \| Part 2 \| Part 3

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 166 Matematika Saintek Part 2

2017-06-01T02:12:00.001-07:00

Soal #7
Jika ax³ + 30x + 8b = (x − 2)Q(x) + 20(a + b) dan 4a = b, maka Q(x) = ...

Pembahasan
Karena b = 4a maka persamaan ax³ + 30x + 8b = (x − 2)Q(x) + 20(a + b) dapat ditulis menjadi ax³ + 30x + 8(4a) = (x − 2)Q(x) + 20(a + 4a) atau ax³ + 30x + 32a = (x − 2)Q(x) + 100a.

Substitusikan x = 2 ke persamaan di atas diperoleh
a(2³) + 30(2) + 32a = (2 − 2)Q(2) + 100a
⇔ 8a + 60 + 32a = (0)Q(2) + 100a
⇔ 40a + 60 = 100a
⇔ 60 = 60a
⇔ a = 1

Sehingga persamaan ax³ + 30x + 32a = (x − 2)Q(x) + 100a dapat juga ditulis menjadi x³ + 30x + 32 = (x − 2)Q(x) + 100.

Pada persamaan di atas Q(x) merupakan hasil bagi x³ + 30x + 32 dengan (x − 2), oleh karena itu Q(x) dapat ditentukan dengan metode horner

Dari diagram di atas didapat hasil pembagian = Q(x) = x² + 2x + 34

Soal #8

Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah

Pembahasan

Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\tan x \sec x+\sin x}{x(\cos x - 1)}=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{-\tan x \sec x+\sin x}{x(\cos x - 1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{\sin x}{\cos x}\frac{1}{\cos x}+\sin x}{x(\cos x - 1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{-\dfrac{1}{\cos^2 x}+1}{\cos x - 1}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{\dfrac{-1+\cos^2 x}{\cos^2 x}}{\cos x - 1}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{-1+\cos^2 x}{\cos^2 x(\cos x - 1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{(\cos x + 1)(\cos x - 1)}{\cos^2 x(\cos x - 1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{(\cos x + 1)}{\cos^2 x}\\ = & 1 \cdot \dfrac{(1 + 1)}{1^2}\\ = & 1 \cdot 2\\ = & 2 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 166 Matematika Saintek Part 3

2017-06-01T02:12:00.000-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{2}{x}\right)x^2\sin \dfrac{1}{x}}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{2}{x}\right)x^2\sin \dfrac{1}{x}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{\left(1-\cos 2y \right)\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{\left(1-\left(1-2\sin^2 y\right) \right)\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y^2\sin 3y}{2\sin^2 y\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \frac{3}{2}\frac{y}{\sin y}\frac{y}{\sin y}\frac{\sin 3y}{\sin y}\\ = & \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 3\\ = & \frac{3}{2} \end{split}

Soal #12
Jika kurva $y=\dfrac{x^3-3x+2}{\dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6)}$ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ...

Pembahasan
\begin{split} y = & \frac{x^3-3x+2}{\dfrac{1}{a}(x^2-ax-6)}\\ = & \frac{a(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2-ax-6)} \end{split} Asimtot dari fungsi tersebut diperoleh dari penyebut = 0 yakni $$x(x^2-ax-6)=0$$ Dari persamaan di atas diperoleh salah satu asimtot tegaknya adalah x = 0.

Agar terdapat dua asimtot tegak maka haruslah faktor $x^2-ax-6$ memiliki tepat satu faktor yang sama dengan pembilang agar bisa dicoret.
Kasus 1# Jika faktor yang sama tersebut adalah $x-1$ maka $a=-5$ sehingga \begin{split} & y=\frac{-5(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2+5x-6)}\\ \Rightarrow & y = \frac{-5(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x+6)(x-1)}\\ \Rightarrow & y = \frac{-5(x-1)(x+2)}{x(x+6)} \end{split} dan asimtot datarnya adalah \begin{split} & y = \lim_{x\to \infty} \frac{-5(x-1)(x+2)}{x(x+6)}\\ \Rightarrow & y = -5 \end{split} Kasus 2# Jika faktor yang sama tersebut adalah $x+2$ maka $a=1$ sehingga \begin{split} & y=\frac{1(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x^2-x-6)}\\ \Rightarrow & y = \frac{(x-1)(x-1)(x+2)}{x(x-3)(x+2)}\\ \Rightarrow & y = \frac{(x-1)(x-1)}{x(x-3)} \end{split} dan asimtot datarnya adalah \begin{split} & y = \lim_{x\to \infty} \frac{(x-1)(x-1)}{x(x-3)}\\ \Rightarrow & y = 1 \end{split} Jadi asimtot datar yang mungkin adalah y = 1 atau y = −5

Soal #13
Misalkan f(x) = cos(cos²x), maka f'(x) = ...

Pembahasan
Misalkan u = v² dan v = cos x maka f = cos u sehingga \begin{split} f'(x) = & \frac{df}{dx}\\ = & \frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\\ = & -\sin u \cdot 2v \cdot -\sin x\\ = & \sin v^2 \cdot 2\cos x \sin x\\ = & \sin (\cos^2 x) \sin 2x\\ = & \sin 2x \sin (\cos^2 x) \end{split}

Soal #14
Jika m adalah gradien garis singgung dari kurva $y = (x-1)^2+1$ yang melalui $(0,t)$, maka m = ...

Pembahasan
Persamaan garis singgung tersebut melalui $(0,t)$ dan bergradien m maka persamaannya adalah \begin{split} & y-t=m(x-0)\\ \Rightarrow & y = mx + t \end{split} Garis tersebut merupakan garis singgung maka diskriminan dari hasil subsitusi garis dan kurva adalah 0. Hasil substitusi ini adalah \begin{split} & (x-1)^2+1=mx + t\\ \Rightarrow & x^2-2x+1+1=mx+t\\ \Rightarrow & x^2-(2+m)x+(2-t)=0 \end{split} Diskriminan = 0 berarti \begin{split} & b^2-4ac=0\\ \Rightarrow & (-(2+m))^2-4(2-t)=0\\ \Rightarrow & (m+2)^2=4(2-t)\\ \Rightarrow & m+2=\pm \sqrt{4(2-t)}\\ \Rightarrow & m=-2 \pm 2\sqrt{2-t} \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 166 Matematika Saintek Part 1

2017-06-01T02:11:00.000-07:00

Soal #1
Jika A, B memenuhi sistem $\begin{cases}\dfrac{2A}{A-2B}-\dfrac{6B}{A+2B}=3\\ -\dfrac{A}{A-2B}+\dfrac{6B}{A+2B}=-1 \end{cases}$, maka $\dfrac{AB}{A^2-4B^2}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{A}{A-2B}=M$ dan $\dfrac{B}{A+2B}=N$ maka sistem di atas dapat ditulis kembali menjadi \begin{split} 2M-6B & =3\\ -M+6B & = -1 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $M =2$ dan $N= \dfrac{1}{6}$. Jadi \begin{split} & \dfrac{AB}{A^2-4B^2}\\ = & \dfrac{A}{A-2B}\cdot \dfrac{B}{A+2B}\\ = & M\cdot N\\ = & 2\cdot \dfrac{1}{6}\\ = & \dfrac{1}{3} \end{split}

Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya = M, suku bunga yang didapat sebesar b, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi M(1 + b)¹⁰. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah 2b = $2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif x yang memenuhi $\dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakah nilai a sehingga hasil penjumlahan semua anggota S minimum ?

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & -1 < x < 4 \end{split} Sehingga S = {0,1,2,3}. hasil penjumlahan semua anggota S minimum maka anggota terbesar S harus tidak ikut serta yaitu 3. Agar 3 tidak menjadi anggota S, maka haruslah a = 3.

Soal #4
Vektor a dan b membentuk sudut tumpul α dengan sin α = $\dfrac{1}{7}$. Jika |a| = $\sqrt{5}$ dan |b| = $\sqrt{7}$ dan b = a + c maka a⋅c = ...

Pembahasan
Dengan menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1 dan sin α = $\dfrac{1}{7}$ diperoleh cos²α = $\pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. Karena α sudut tumpul maka cos α = $-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & c = b-a\\ \Rightarrow & c\cdot c = (b-a)\cdot (b-a)\\ \Rightarrow & |c|^2 = b\cdot b - 2b\cdot a+a\cdot a\\ \Rightarrow & |c|^2 = |b|^2 - 2|b||a|\cos \alpha+|a|^2\\ \Rightarrow & |c|^2 = 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{5}\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)+5\\ \Rightarrow & |c|^2 = 12 + 2\sqrt{30} \end{split} Kemudian \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & b\cdot b = (a+c)\cdot (a+c)\\ \Rightarrow & |b|^2 = a\cdot a + 2a\cdot c+c\cdot c\\ \Rightarrow & |b|^2 = |a|^2 + 2a\cdot c+|c|^2\\ \Rightarrow & 7 = 5 + 2a\cdot c+12 + 2\sqrt{30}\\ \Rightarrow & 7 = 17 + 2\sqrt{30} + 2a\cdot c\\ \Rightarrow & -10-2\sqrt{30} = 2a\cdot c\\ \Rightarrow & a\cdot c = -5-\sqrt{30} \end{split}

Soal #5
Jika 0 < x < π/2 dan 3tan²x + tan x = 3, maka nilai cos²x − sin²x yang mungkin adalah ...

Pembahasan

\begin{split} & 3\tan^2 x+\tan x = 3\\ \Rightarrow & 3\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}=3\\ \Rightarrow & 3\sin^2 x + \sin x \cos x = 3\cos^2 x\\ \Rightarrow & \sin x \cos x = 3\cos^2 x - 3\sin^2 x\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) = 3(\cos^2 x - \sin^2 x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}(\sin 2x) = 3\cos 2x\\ \Rightarrow & \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 6\\ \Rightarrow & \tan 2x = 6 \end{split}

Dari sketsa di atas dapat diperoleh nilai cos²x − sin²x = cos 2x = $\dfrac{1}{\sqrt{37}}$

Referensi: Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 121 Matematika Saintek Part 3

2017-05-29T14:16:00.000-07:00

Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $x=\dfrac{1}{y}$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}\\ = & \lim_{y \to 0} \csc y - \cot y\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{\sin y} - \dfrac{\cos y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}y\right)}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} 2\cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}y}{\sin y}\cdot \sin \frac{1}{2}y\\ = & 2 \cdot \dfrac{1}{2}\cdot 0\\ = & 0 \end{split}

Soal #12
Diketahui $f(x)=\dfrac{10}{x^2-ax+b}$, a ≠ 0, memiliki asimtot tegak di $x=ab$ dan $x=-\dfrac{2a}{b}$. Maka nilai b adalah ...

Pembahasan
Asimtot tegak tercapai jika penyebut dari f(x) adalah 0 yaitu $$x^2-ax+b=0$$ Karena asimtot tegaknya adalah $x=ab$ dan $x=-\dfrac{2a}{b}$ maka dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh\begin{split} & -\dfrac{2a}{b}\cdot ab=b\\ \Rightarrow & -2a^2=b \end{split} dan \begin{split} & -\dfrac{2a}{b} + ab=a\\ \Rightarrow & -\dfrac{2a}{-2a^2} + a(-2a^2)=a\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{a} - 2a^3=a\\ \Rightarrow & 1 - 2a^4=a^2\\ \Rightarrow & 2a^4+a^2-1=0\\ \Rightarrow & (2a^2-1)(a^2+1)=0\\ \Rightarrow & a^2=\dfrac{1}{2} \text{ atau } a^2=-1 \end{split} Jadi $b=-2a^2=-2\left(\dfrac{1}{2}\right)=-1$ atau $b=-2a^2=-2(-1)=2$

Soal #13
Misalkan f(x) = cos(sin²x), maka f'(x) = ...

Pembahasan
Misalkan u = v² dengan v = sin x maka f(x) = sin(u). \begin{split} f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\ = & \dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \\ = & -\sin (u)\cdot 2v \cdot \cos x\\ = & -\sin (v^2)\cdot 2\sin x \cdot \cos x\\ = & -\sin (\sin^2 x)\cdot \sin 2x\\ = & -\sin 2x \sin (\sin^2 x)\\ \end{split}

Soal #14
Diketahui y = 3x − 5 adalah garis singgung kurva y = f(x) di x = 4. Persamaan garis singgung dari kurva y = f(x²) di x = 2 adalah ...

Pembahasan
y = 3x − 5 adalah garis singgung di x = 4 berarti y = 3(4) − 5 = 7 akibatnya kurva melalui titik (4,7).

Karena garis y = 3x − 5 memiliki gradien 3, ini berarti f'(4) = 3.

Ordinat titik singgung y = f(x²) di x = 2 adalah y = f(2²) = f(4) = 7, sehingga titik singgungnya adalah (2,7). Dan gradien garis singgungnya diperoleh dari turunan y = f(x²) di x = 2 yaitu y' = f'(x²)⋅2x = f'(2²)⋅2⋅2 = f'(4)⋅4 = 3⋅4 = 12.

Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y − 7 = 12(x − 2)
⇔ y − 7 = 12x − 24
⇔ y = 12x − 24 + 7
⇔ y = 12x − 17
⇔ y − 12x + 17 = 0

catatan: pada pilihan jawaban tertulis jawaban yang kurang tepat

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15