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・ジェルゴンヌの解法その2（解説編：このページ自身）

＜前編＞

反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CCC）の解までの作図手順（ジェルゴンヌの解法その1）

2025-09-04T11:53:00.008+09:00

3つの円と接する円（CCC）の問題で「3円が包含関係になく、かつ全て離れている場合」を単に反転幾何を使って最後まで解く方法はどうしてもわからなかった。ウィキペディアをみても、「反転とその応用」サイトを参照しても、円環へ反転するところまではわかったが、その後、円環問題を代数的に解く方法や円の膨張と収縮に持っていく方法以外はどこにもなく、自力で解く実力もなく、それ以外の定規とコンパスで作図する方法は無さそうに思えた。

そこで、ウィキペディアがその先に書いていた「ジェルゴンヌの解法」を何とか読み解き、恐らく間違いなさそうだと辿り着いたので、恥を忍んで書くことにした。ジェルゴンヌの解法は考え方の根本は反転を使っているが、さらに根心/根軸、極点/極線といった概念まで理解する必要がある。長編になってしまうことが予想されるので、「とにかく解までの手順を示す」編と「なぜそれが解になるのか」編の2ページに分割した。本ページはその前者で、とにかく一直線に解答を示そう。

3 つの円と接する円は、一般には以下のように8 つの解（青円）がある。この問題の解の作図を反転幾何プラスアルファで解くことができたので、紹介する。手順数はもう本質的な問題でもないので数えない。なお、図はかなり線が密になるので、はっきりわかるように大き目の画像を貼ってあるので、クリックして別画面で表示しながら確認して頂きたい。

・3 つの円と接する円の作図

条件：互いに包含関係もなく、接せず交わらない与円O1, O2, O3（円の中心点O1, O2, O3は既知とする）（赤表示）

解の数：一般解は 8つ

方針（詳細は解説編ページで）：反転幾何の性質を利用し、根心/根軸、極点/極線といった新しい概念も活用する。言葉の定義含めて、解説編ページで確認して頂きたい。

作図手順：

第一段階：3与円の根心を、各2与円の根軸の交点から作図する

①点O1と点O2、点O2と点O3を結ぶ直線O1O2、直線O2O3を引く

②円O1と円O2の二円、円O2と円O3の二円に交わる任意の円O4,円O5を描く

③円O4と円O1との交点を結ぶ直線 m1 を引く

④円O4と円O2との交点を結ぶ直線 m2 を引く

⑤m1とm2の交点をP1とする

⑥点P1から直線O1O2に垂線を下ろし、その直線をL12（青線）とする

※この直線L12が2与円O1,円O2の根軸というものになる

⑦円O5と円O2との交点を結ぶ直線 m3を引く

⑧円O5と円O3との交点を結ぶ直線 m4 を引く

⑨m3とm4の交点をP2とする

⑩点P2から直線O2O3に垂線を下ろし、その直線をL23（青線）とする

※この直線L23が2与円O2,円O3の根軸というものになる

⑪L12とL23の交点が3与円の根心G（青点）である

※もう一つの2与円O1,円O3の根軸もこの根心で交わるので必要ない

第二段階：3与円の相似の中心6点から、解円の対の4つの根軸を作図する

※相似の中心とは、2円の外接線/内接線同士の交点である

①円O1と円O2、円O2と円O3、円O3と円O1、3対それぞれの2円の外接線/内接線を引き、それぞれの2交点、合計6交点（これが相似の中心）を描く

②その6交点から、4つの直線（青線R1,R2,R3,R4）が描かれる

※これが将来分かる2解円の組の根軸に対応している（それが4組で8解円になる）

第三段階：2 解円の対を描く（番号は③から）

③3与円の中心からそれぞれ、解円の一つの根軸Rn（R1,R2,R3,R4）に垂線を下ろし、3交点をS1,S2,S3とする

④S1,S2,S3をそれぞれ3与円O1,O2,O3で反転した点をU1,U2,U3とする

⑤与円の根心G（第一段階で作図済み）とU1を結ぶ直線とO1の交点をA1,B1とする

⑥与円の根心GとU2結ぶ直線とO2の交点をA2,B2とする

⑦与円の根心GとU3を結ぶ直線とO3の交点をA3,B3とする

⑧解円の一つは、点A1,A2,A3を通る円C1,C3,C5,C7

⑨もう一つの解円は、点B1,B2,B3を通る円C2,C4,C6,C8

一つ目の解円の対（根軸R1を使う）の場合：⑤～⑦に注意

⑤の交点の割付は、根心から遠い方からA1,B1を割当てる

⑥の交点の割付は、根心から遠い方からA2,B2を割当てる

⑦の交点の割付は、根心から遠い方からB3,A3を割当てる

③④までの図

⑤～⑨までの図

二つ目の解円の対（根軸R2を使う）の場合：⑤～⑦に注意

⑤の交点の割付は、根心から遠い方からA1,B1を割当てる

⑥の交点の割付は、根心から遠い方からB2,A2を割当てる

⑦の交点の割付は、根心から遠い方からA3,B3を割当てる

③④までの図

⑤～⑨までの図

三つ目の解円の対（根軸R3を使う）の場合：⑤～⑦に注意

⑤の交点の割付は、根心から遠い方からB1,A1を割当てる

⑥の交点の割付は、根心から遠い方からA2,B2を割当てる

⑦の交点の割付は、根心から遠い方からA3,B3を割当てる

③④までの図

⑤～⑨までの図

四つ目の解円の対（根軸R4を使う）の場合：⑤～⑦に注意

⑤の交点の割付は、根心から遠い方からA1,B1を割当てる

⑥の交点の割付は、根心から遠い方からA2,B2を割当てる

⑦の交点の割付は、根心から遠い方からA3,B3を割当てる

③④までの図

⑤～⑨までの図

以上で8 つの解円が求められた。2 円の対が4 組で8 円になっている。実際冒頭にあった解円ときちんと対応していることがわかるだろう。

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

・ジェルゴンヌの解法その1（作図編：このページ自身）

＜前編＞

反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CCP）の解までの作図手順

2025-08-24T16:02:00.003+09:00

1つの点を通り、2 つの円と接する円は、一般には以下のように4 つの解（青円）がある。この問題の解の作図を反転幾何を利用して解くことができたので、紹介する。こちらも手順数から言えば、反転幾何を利用する方が簡単ということにはならなかった。

・1つの点を通り、2 つの円と接する円の作図（133手順）

条件：交わらない与円C1, C2（円の中心点C1, C2は既知とする）、両円の外側にある点Aが与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

方針（反転の使い方）：点Aを中心とした適当な円を反転円とし、二与円を反転転換させる。その上で二つの円の接線の接点を引く。この直線は無限遠を通る円と考えてもよい。そしてこの「円」は2円に接しているので、反転させれば元の2円に接する円になるはず（反転の性質から）。また無限遠を反転変換すると、反転円の中心になるのだったので、共通接線の接点を反転すると、反転円の中心点Aと併せても求める円の円周上の3点が決まる。よって、この3点を通る円を描けばよい。

作図手順：

第一段階：二与円の反形を描き、その2円の共通接線を引く（97手順）

①Aを中心とする反転円Aを描く（1）

②円C1（左図赤円）を反転円Aで反転させた円C1'（左図青円）を描く（26）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図」を参照のこと）

③円C2（左図赤円）を反転円Aで反転させた円C2'（左図青円）を描く（26）

④円C1' と円C2' の共通接線m1, m2, m3, m4（右図青線）を引く（44）

（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通外接線を引く」と「2 円の共通内接線を引く」を参照のこと）

第二段階：求める円の一つ（接線m1の場合）を描く（9手順*4パターン）

接線m1の場合の2円との接点をT1, T2とする

①直線AT1を引き、円C1との交点をB1とする。これがT1の逆点になる（1）

②直線AT2を引き、円C2との交点をB2とする。これがT2の逆点になる（1）

③A,B1,B2を通る円C3（青円）を描けば、それが求める解円の一つになる（7）

（PPP問題のページを参照のこと）

後は、第二段階の接線m2, m3, m4の場合を同様に行えばよい。それぞれ対応するm,T,B,C のセットを次のように書きかえれば良い。（m2,T3,T4,B3,B4,C4）,（m3,T5,T6,B5,B6,C5）,（m4,T7,T8,B7,B8,C6）。それぞれ青円が目的の解円として、図だけ列挙しておくことにする。

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

・反転を利用したCCP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜前編＞

反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CLP）の解までの作図手順

2025-08-24T12:20:00.005+09:00

アポロニウスの問題の一つ、1つの点を通り、1つの直線と一つの円に接する円は、一般には下図のように4 つの解（青円）がある。この問題の解の作図を反転幾何を利用して解くことができたので、紹介する。こちらも手順数から言えば、反転幾何を利用する方が簡単ということにはならなかった。

・ 1つの点を通り、1つの直線と一つの円に接する円の作図（116手順）

条件：点A、直線 l 、円C（中心点Cは既知）が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

方針（反転の使い方）：点Aを中心とし、与直線に交わる適当な円を反転円とし、与直線と与円を反転転換させる。どちらも円に転換されるのでえ、その二円の接線を引く。この直線は無限遠を通る円と考えてもよい。そしてこの「円」は2円に接しているので、反転させれば元の与直線と与円に接する円になるはず（反転の性質から）。また無限遠を反転変換すると、反転円の中心になるのだったので、共通接線の接点を反転すると、反転円の中心点Aと併せて求める円の円周上の3点が決まる。よって、この3点を通る円を描けばよい。

作図手順：

第一段階：与直線と与円の反形を描き、その2円の共通接線を引く（80手順）

①Aを中心とする反転円Aを描く（1）

②直線 l を反転円Aで反転させた円C1（原点Aを通る円になる）を描く（9）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない直線（反転円と交わる）の反形の作図」を参照のこと）

③円Cを反転円Aで反転させた円C2を描く（26）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図」を参照のこと）

④円C1と円C2の共通接線（青線）を4本（m1, m2, m3, m4）引く（44）

（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通外接線を引く」と「2 円の共通内接線を引く」を参照のこと）

第二段階：求める円の一つ（接線m1の場合）を描く（9手順*4パターン）

接線m1の場合の2円との接点をT1, T2とする

①直線AT1を引き、直線 l との交点をB1とする。これがT1の逆点になる（1）

②直線AT2を引き（T2はm1 との接点であって、直線AT2は円C2の接線にはなってないことに注意）、円Cとの遠方側交点をB2とする（B2も円Cの接点ではないことに注意）。これがT2の逆点になる（1）

※遠近どちらかの交点かは、円C2とAT2の交点の遠近関係の逆になる

③A,B1,B2を通る円C3（青円）を描けば、それが求める解円の一つになる（7）

（PPP問題のページを参照のこと）

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

・反転を利用したCLP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜前編＞

反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CPP）の解までの作図手順

2025-08-24T12:10:00.004+09:00

アポロニウスの問題の一つ、1つの円に接し、2つの点を通る円は、一般には下図のように二つの解がある。この問題の解の作図を反転幾何を利用して解くことができたので、紹介する。

反転幾何を利用する方が簡単という話をよく聞くが、本問題に関して言えば52手順で、通常の手順数が38（同条件にすると29）なのに対して大幅に増えるのだが、反転幾何の面白さは味わえた。

・ 1つの円に接し、2つの点を通る円の作図（52手順）

条件：2 点A , B、円C（中心点Cは未知としてみる）が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 2つ

方針（反転の使い方）：点Aを中心とする適当な円を反転円とし、点Bと円Cを反転転換させる。反転円上にBがくるように反転円を設定すれば、点Bは不動点となり動かない。一方円Cは別の円Dに移る。点Bから円Dに引いた接線は無限遠を通る円と考えてもよい。そしてこの「円」は、反転させれば元の円に接して、点Bを通るはず（反転の性質から）。また無限遠を反転変換すると、反転円の中心になるのだったので、共通接線の接点を反転すると、反転円の中心点Aと併せて求める円の円周上の3点が決まる。よって、この3点を通る円を描けばよい。

なお「Bを通り円Dに接する直線」は二つ引くことができるので、それぞれの反形が作れて解の数は二つになる。

作図手順：

第一段階：与円Cの反形を描く（27手順）

①点Aを中心として、半径ABの円C1（黒点円）を描き、これを反転円とする（1）

（つまり、点Aを反転の中心に使い、点Bは反転円上の点になるので反転しても不変の不動点になる）

②与円Cを円C1で反転させた円D （青円）を描く（26）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図」を参照のこと。もちろん配置パターンによっては、別のパターンになる場合もあるが、考え方は基本的に変わらない）

第二段階：求める円二つを描く（25手順）

①与点Bから円Dへ接線を二本引く（直線m, 直線 n）（7）

②直線mを円C1で反転させた円C2 （青円の一つ）を描く（9）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない直線（反転円と交わる）の反形の作図」を参照のこと）

③直線 n を円C1で反転させた円C3 （青円の一つ）を描く（9）

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

・反転を利用したCPP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜前編＞

図形の反転先の作図パターン16種類

2025-08-24T10:01:00.014+09:00

前のページでは、点が反転円によってどこへ移動するのかという基本と、以下の4つのパターンについて話をしたが、ここでは実際に与えられた図形と与えられた反転円を使って、反形を作図して示していくことにする。

原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

基本的には似た構造になるので、同じようなことをやっているに過ぎないのだが、実際アポロニウスの問題を解くのに使う場合は、様々な配置パターンによって使い分けが必要になるので、予め考えられる全てのパターンを列挙して準備しておく。

・16種類の作図パターン
下記16個の課題の作図手順を一つずつ示していく。ページ内リンクは張ってないので見たいものがあれば、スクロールして見つけて欲しい。なお既に「アポロニウスの問題」関連ページ「基本作図パターン集」において説明済みの作図については、数手順をまとめて1行でさらっと流して書いたので、詳細を確認したい場合は「基本作図パターン集」を参照して欲しい。

点（反転円の内部にある）の逆点の作図（10手順）

点（反転円の外部にある）の逆点の作図（10手順）

反転の中心を通る直線の反形の作図（0手順）

反転の中心を通らない直線（反転円と交わる）の反形の作図（9手順）

反転の中心を通らない直線（反転円と交わらない）の反形の作図（19手順）

反転の中心を通らない直線（反転円と接する）の反形の作図（5手順）

反転の中心を通る円（反転円と交わる）の反形の作図（1手順）

反転の中心を通る円（反転円と交わらない）の反形の作図（15手順）

反転の中心を通る円（反転円と接する）の反形の作図（5手順）

反転の中心を通らない円（反転円と交わる）の反形の作図（20手順）

反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図（26手順）

反転の中心を通らない円（反転円に内包され、反転円の中心点の外側にある）の反形の作図（26手順）

反転の中心を通らない円（反転円に内包され、反転円の中心点を内包する）の反形の作図（26手順）

反転の中心を通らない円（反転円を内包する）の反形の作図（26手順）

反転の中心を通らない円（反転円と外接する）の反形の作図（16手順）

反転の中心を通らない円（反転円に内接する）の反形の作図（16手順）

・点（反転円の内部にある）の逆点の作図（10手順）

条件：反転円O（中心点O, 半径 r）が黒点円, 点 P（赤点）が与えられている

①Pから反転円へ接線を引き、接点をAとする（6手順）

②AからOPへ下ろした垂線の足が求める逆点 P'（青点）になる（4手順）

なぜなら△OPA∽△OAP' より、OP・OP’＝OA^2＝ r^2

※Pから反転円へ2本の接線を引き、その2接点の中点を P'としてもよい

・点（反転円の外部にある）の逆点の作図（10手順）

条件：反転円O（中心点O, 半径 r）が黒点円, 点 P（赤点）が与えられている

方針：上のパターンの逆を辿ればよい

①Pを通りOPに垂直な線を引き、円Oとの交点の一つをAとする（4手順）

②Aにおける円Oの接線を引き、OPとの交点が逆点 P'（青点）になる（6手順）

・反転の中心を通る直線の反形の作図（0手順）

反転の中心を通る直線（原点除く）は原点を通る同じ直線に移る（もちろん不動点は反転円上にある2点のみで、それ以外の点は同じ直線上の別の点へ移る）ので、何もする必要はない。

・反転の中心を通らない直線（反転円と交わる）の反形の作図（9手順）

条件：反転円O（中心点O, 半径 r）が黒点円, 反転の中心を通らない（反転円と交わる）直線 m（赤線）が与えられている

反転円と交わる点は不動点（下図の点 A, B）、そして反形は中心点Oを通る円であることがわかっているのだから、その3点A,B,Oを通る円を描けばよい。PPPの作図方法は3点から2点を選んだ二組の垂直二等分線の交点Cを中心とした円を描けばよかったので、簡略図は下のようになる。

・反転の中心を通らない直線（反転円と交わらない）の反形の作図（19手順）

条件：反転円O（中心点O, 半径 r）が黒点円, 反転円と交わらない直線 m（赤線）が与えられている

①Oから直線 m に垂直二等分線 n を下ろし、交点をPとする（4手順）

②Pの逆点P’ を描く（上記既出の方法で）（10手順）

③OP' を直径とする円（青円）を描けば（OP' の垂直二等分線が引ければ（4手順）、それとOPとの交点を中心とした円を作図するので、5手順）、それが目的の円になる。簡略図は下のようになる。

・反転の中心を通らない直線（反転円と接する）の反形の作図（5手順）

条件：反転円O（中心点O, 半径 r）が黒点円, 反転円と接する直線 m（赤線）及び接点Pが与えられている

①反転円と接する点Pは不動点、一方上記二つのパターンから反形の円の中心はOP上にあることは明らかなので、OPを直径とする円を描けばよい

・反転の中心を通る円（反転円と交わる）の反形の作図（1手順）

ここからの3つは、上の3つの逆のパターンになる。

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円）は反転円Oと2点で交わり、Oを通る

①反転円Oと円Cの二つの交点を結べば、それが求める反形の直線 m （青線）である（1手順）

・反転の中心を通る円（反転円と交わらない）の反形の作図（15手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円）は反転円Oに内包され、Oを通る

①点Oを通る任意の直線 n を引き、円Cとの交点をPとする（1手順）

②Pの逆点P’ を描く（上記既出の方法で）（10手順）

③P' を通りOP' に垂直な直線 m を描けば、それが求める反形（4手順）

・反転の中心を通る円（反転円と接する）の反形の作図（5手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円）は反転円Oに内包されて点Pで接し、Oを通る

①OPを結ぶ直線 n を引く（1手順）

②点Pを通りOPに垂直な線 m を描けば、それが求める反形（4手順）

・反転の中心を通らない円（反転円と交わる）の反形の作図（20手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oと2点A,Bで交わり、Oを通らない

方針：反転円と交わる点は不動点なので、反形の円はその2交点を通る。あと通る1点をが分かればいいので、対象の円の分かりやすい点Pの逆点を求めよう

①OCを結び、円Cとの遠い交点をPとする（1手順）

②Pの逆点P’ を描く（上記既出の方法で）（10手順）

③A,B,P’ 3点を通る円C' を描く。それが求める反形の青円（9手順）

・反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図（26手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oの外側にある

方針：上のような不動点はないので、円Cの直径を構成する2点のそれぞれの逆点を求めて、それを直径とする円を描くことにする

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（1手順）

②A,B のそれぞれの逆点A’,B’ を描く（上記既出の方法で）（20手順）

③A’B’を直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・反転の中心を通らない円（反転円に内包され、反転円の中心点の外側にある）の反形の作図（26手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oの内側にあり、反転円の中心点の外側にある

方針：一つ上の逆を行うことと同義である

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（1手順）

②A,B のそれぞれの逆点A’,B’ を描く（上記既出の方法で）（20手順）

③A’B’を直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・反転の中心を通らない円（反転円に内包され、反転円の中心点を内包する）の反形の作図（26手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oの内側にあり、反転円の中心点Oを内包する

方針：方法論は上の二つと同じ

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（1手順）

②A,B のそれぞれの逆点A’,B’ を描く（上記既出の方法で）（20手順）

③A’B’を直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・反転の中心を通らない円（反転円を内包する）の反形の作図（26手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oを内包する

方針：方法論は上の三つと同じ

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（1手順）

②A,B のそれぞれの逆点A’,B’ を描く（上記既出の方法で）（20手順）

③A’B’を直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・反転の中心を通らない円（反転円と外接する）の反形の作図（16手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oと外接する

方針：反転円と対象円の接点は不動点なので、上の方法論のひと手間が省けるだけの違い

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（Bが接点とする）（1手順）

②A の逆点A’ を描く（上記既出の方法で）（10手順）

③A’Bを直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・反転の中心を通らない円（反転円に内接する）の反形の作図（16手順）

条件：反転円O（中心点O）が黒点円, 反転の対象とする円C（赤円、中心点Cは分かっているものとする）は反転円Oと内接する

方針：上のパターンの逆を辿ればよい

①OCを結び、円Cとの2交点をそれぞれ A,B とする（Bが接点とする）（1手順）

②A の逆点A’ を描く（上記既出の方法で）（10手順）

③A’Bを直径とする円を描く。それが求める反形の青円（5手順）

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

・図形の反転先の作図パターン16種類（このページ自身）

＜前編＞

「アポロニウスの問題」を解くのに反転幾何を利用する

2025-08-24T09:56:00.008+09:00

本ページ群は、「「アポロニウスの問題」をコンパスと定規だけで作図する方法を、10種類の全て丁寧に解説する」の続編だ。いきなりこのページに訪れた方は、まず先にそちらを読破し、「アポロニウスの問題」についてしっかり理解をして頂いた上で、読み進めて頂きたい。

・何故反転幾何なのか
様々な幾何の問題を解くときに、「反転幾何」の仕組を知っていると、別の簡易な問題に変換させてそれを証明すればよい、といった利用方法で活躍することがある。「アポロニウスの問題」を解くのにも反転幾何を使えるという話を聞いたので、まずは「反転幾何」とは何かを調べ、その次に実際に「アポロニウスの問題」を解くのに、その反転幾何をどう使いこなすのかを探ってみた。なお使う「反転幾何」については、中学幾何の知識の延長線上で理解できる範囲（数式も一切出てこないのでご安心あれ）しか扱わない。また厳密な証明のような議論は省くので、細かい部分では不正確な記述があることはご容赦願いたい。

実際筆者が「アポロニウスの問題」の10種類の問題で、反転幾何によって解けたと言えたのは、筆者の能力不足か「CPP」「CLP」「CCP」の3つだけだった（反転幾何を利用することで解く方法は別のページでそれぞれ示す）。しかも手順数は反転幾何を利用しない場合よりも多かった。なるほどそう解くのか感心に思う反面で、ちょっと捻り過ぎ（凝り過ぎ）じゃないかとも思った次第だ。だが、それも「アポロニウスの問題」に限って言えば、ということになるだろう。

・反転変換について
「反転」とは、平面上の点を別の点に移す変換のこと。そのために使う円のことを「反転円」あるいは「基準円」などと呼ぶ。その円Oの中心を点O、半径は r としておこう。この円Oによる「反転」を以下のように定義する。

『反転により点Pは、半直線OP上の点で、OP×OP′＝r^2 （rの2乗）を満たす点P′に移る』

定義から分かると思うが、反転円上の点Qは反転変換しても動かないのはわかるだろう。OP×OP′＝r^2＝r ×r ＝OQ×OQ' なら、半直線OQ上の点で r ＝OQ'なのでQ＝Q’でしかないからだ。

幾つか言葉の定義を加えておく。点Oを反転の中心、r を反転半径、P'のことを反転円Oによる点Pの逆点という。またある点の反転を2度繰り返せば、P→P'→Pとなることから元に戻ることも分かるだろう。

そして、「直線」は点の集合体なので、ある直線を「反転」することもできるし、「円」などの図形も丸ごと「反転」することができる。反転で図形Aが図形A'に移るとき、図形A'を反転による図形Aの反形という。

なお、点O自身の反転変換先はP＝Oになるので「OP×OP′＝r^2」の定義では決められないことが分かるだろう。Pを反転の中心Oに無限に近づけていくと、P' は無限に遠い点に移ることになるので、特別な場合として「無限遠点」にうつされる。「アポロニウスの問題」を解く場合に、これを利用することになる。

・図形はどのように反転されるか
別のページで作図方法と共に詳しく解説するが、反転によって直線や円はどのように反転変換されるかと言うと、

原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

どうしてこのようになるのか、代数学的に理解したい（証明して欲しい）方は、外部のページ「反転にまつわる軌跡の有名問題」を参照して頂ければ、納得できるだろう。

・反転の性質①反転によって接する、接しないという状況は変わらない

円と円または円と直線が接するというのは共有点が1つということ。反転は一対一対応なので2つの図形の共有点の数は反転後も変わらない。つまり「円と円が接している」といった状態の時に、その「反形」同士も接しているという状態を維持するのだ。反転後の図形の作図法は別途紹介するが、下図の通り「反形」同士も接しているだ。

そして「円と円が接している」状態よりも「円と直線が接している」方が、幾何学では扱いやすいことが多い。つまり、2円がある場合、反転によって一方の円を直線に移し，反転後の世界で取り扱いやすい「円と直線」の接している状態で問題を解くと楽になるのだ。アポロニウスの問題を解く上でメリットになりそうなことが分かるだろう。

・反転の性質②反転円と直交する円は反転によって変わらない
アポロニウスの問題を解く上で、何かの操作を行っても変わらない点や変わらない図形はメリットになる。つまり不動点や不動円などがあると便利だ。すでに不動点については、上の「反転変換について」の節で、反転円上の点Qは不動点であるという話をしてある。

そして反転円に直交する円の反形は、その円自身であるので、反転しても動かない不動図形になる。証明は一部だが、以下の図で納得して頂きたい。

・反転の性質③直線や円が交わる角度は反転変換で変わらない
また反転変換では角度を保つ性質もあるので、例えば直交する線を反転すれば、下図の通り直交する円となる。

アポロニウスの問題では相似形を扱うことも多く、具体例は思いつかなかったが、角度が変わらなければ、相似関係が不変であることも重要そうだ。また上の二つ（直交する図形同士/接する図形同士を反転しても、その関係は同じである）は、その一例とも言える。

・参考文献

反転とその応用

・関連ページの読み進め方

下記リンクを上から順番に読んでいって欲しい。

＜続編＞
・「アポロニウスの問題」を解くのに反転幾何を利用する（このページ自身）

＜前編＞

「アポロニウスの問題」各ページ制作における参考文献

2025-07-25T16:10:00.006+09:00

「アポロニウスの問題」各ページ制作には、それなりの時間を要した。様々な先人が様々な視点から、全体を俯瞰したり、グラフ作成アプリを駆使したり、10種の問題の幾つかを簡単に解説したり、反転幾何学なるものと絡ませて論じたり...という具合に大変勉強になったし、参考にさせていただいた文献は多数に及んだ。ここで紹介していないものも多数参考にさせていただき、少しずつつまみ食いすることもできた。

何度も途中で諦めようかと思いましたが、最後まで仕上げられたのは先人のアウトプットのお陰であります。ありがとうございました。

・ウィキペディア「アポロニウスの問題」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C

常にベース基地として、ここを何度も参照して学びの順番を考える指針にしてきた。

・作図の小部屋の「アポロニウスの問題」

http://sintakenoko.la.coocan.jp/index_d.html

ウェブ上のアプリが現在作動しないので、作図を動かせないのが難だったが、10種類すべて（少なくともそれぞれ一つの解）を日本語で網羅しているのは、ここしか見つからなかった。

・Problem of Apollonius（英語）

https://www.apollonea.com/en/

10種問題別、配置パターン別、解法手順と図示の全てが分かる素晴らしい仕組みになっているが、何故それでよいのかという「理由」の説明がないため、自分のような素人が人に説明するための資料を作る参考にするには難易度が高過ぎた。

・Problem of Apollonius（英語）

https://www.walter-fendt.de/html5/men/apolloniosproblem_en.htm

10種問題別、配置パターン別に解の数が計算できる仕組みになっている。

・The Problem of Apollonius（英語）

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Apollonius.shtml

10種問題別に作図手順と図示のプロセスと理由も簡単に分かる仕組みになっているが、自分のような素人が人に説明するための資料を作る参考にするには、こちらも少し難易度が高かった。

最後に

反転幾何学を使うとアポロニウスの問題は簡単らしいのだが、その仕組みは大体わかったが、まだ具体的にどうアポロニウスの問題に対峙していいのかまで理解はできていない。理解できた日には、追記を始めることができるかもしれない。

※その1カ月後に、続編の「「アポロニウスの問題」を解くのに反転幾何を利用する」シリーズの5ページを追加アップできたことを報告しておく。

2025年7月25日の気が狂うほど地球が熱くなっている35度の現場から

・「アポロニウスの問題」のホームページ

・10種の問題概観と前提とした定理（円周角の定理、方べきの定理）

・基本作図パターン集（垂線の引き方、接線の引き方など12種）

・参考文献（このページ）

＜続編＞

アポロニウスの問題「 3つの円に接する円（CCC）」の解までの作図手順

2025-07-25T15:30:00.003+09:00

3 つの円に接する円は、一般には8 つの解がある。下記の初期配置の例において、8つの目標とする円を全てを図示すると以下のようになる。

方針：

上図のケースにおいて、全ての与円に外接する小さい円を描くための方法を考えてみる。すなわち、下図の青い円（解の一つ）を求めるためのCCC問題を元にする。

これを下図のように、与円3 円に対して、与円のうち一番小さい円の半径分を、それぞれの半径から縮めたCCP問題に一旦変換する。その問題を解いて、CCC問題への復元処理を行えばよい。

しかしCCL問題でも事はそう単純ではなかったように、全てきちんと確認しなければならないだろう。下記の通り、やはり4 つのCCP問題に帰着させることができるのだが、CCP問題の解は4 つあり、単純に復元すれば4*4＝16解になってしまう。やはり、復元するために必要な解は二つだけ選択する必要があるのだ。またその二つに対しても復元方法がそれぞれ別で超面倒なのだ。

・帰着させる4つのCCP問題（パターン概説だけ、手順は後で）

以下のAからDまでの4パターンが存在する。

パターンA で採用する方法：

A. 3つの与円全てに対して内接する円と外接する円の二つの解（青円）を導くための方法になる。

①与円のうち半径が一番小さい円C1の半径を r とする

②三つの与円の半径を r 分縮める（円C2’、円C3’、円C1は点に変換される）

③これで一旦CCP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（青円4 つが解）

④得られた解の円のうちの二つ（青実円）だけを残す

⑤④の解の大きい円の方は半径 r 分膨らませたものが、元のCCC問題の解の一つ

⑥④の解の小さい円の方は半径 r 分縮めたものが、元のCCC問題の解の一つになる

パターンB で採用する方法：

対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与円C2, C3の半径を r 分だけ膨らませた円を描く（円C2’、円C3’に変換される）

②小さい与円C1は半径 r 分縮める（円C1は点に変換される）

③これで一旦CCP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（解は4つ）

④得られた解の円のうちの二つ（青円）だけを残す

⑤④の解の大きい円の方は半径 r 分縮めたものが、元のCCC問題の解の一つ

⑥④の解の小さい円の方は半径 r 分膨らませたものが、元のCCC問題の解の一つになる

パターンC で採用する方法：

対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与円C2の半径を r 分だけ膨らませた円を描く（円C2’に変換される）

②与円C3の半径を r 分だけ縮めた円を描く（円C3’に変換される）

③小さい与円C1は半径 r 分縮める（円C1は点に変換される）

④これで一旦CCP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（解は4つ）

⑤得られた解の円のうちの二つ（青円）だけを残す

⑥⑤の解の大きい円の方は半径 r 分縮めたものが、元のCCC問題の解の一つ

⑦⑤の解の小さい円の方は半径 r 分膨らませたものが、元のCCC問題の解の一つになる

パターンD で採用する方法：

対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与円C2の半径を r 分だけ縮めた円を描く（円C2’に変換される）

②与円C3の半径を r 分だけ膨らませた円を描く（円C3’に変換される）

③小さい与円C1は半径 r 分縮める（円C1は点に変換される）

④これで一旦CCP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（解は4つ）

⑤得られた解の円のうちの二つ（青円）だけを残す

⑥⑤の解の上の円の方は半径 r 分膨らませたものが、元のCCC問題の解の一つ

⑦⑤の解の下の円の方は半径 r 分縮めたものが、元のCCC問題の解の一つになる

・一般解のパターンA（解は二つ）の手順（83手順）

条件：交わらない三つの円C1, 円C2, 円C3（各円の中心C1, C2, C3は既知）

第一段階：CCC問題をCCP問題に帰着させるまで（14手順）

①与円C2から半径 r 分縮めた円C2’を作図する（7）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 - r2 の円を描く」を参照のこと）

②与円C3から半径 r 分縮めた円C3’を作図する（7）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 - r2 の円を描く」を参照のこと）

①②ともに途中の作図はすべて省略したが、これで青色の点C1、円C2’と円C3’を通る円を描くCCP問題に変換できた

第二段階：変換されたCCP問題を解く（55手順）

第一段階のゴールの青表示が、こちらのスタート時点の赤表示になる。そして求めたいゴールが青表示になる。但し復元不要な点線青円は描く必要はない。そこで「CCP」ページの「一般解（四つある）のうちまず二つの円を描く方法」の部分を作図すればよい。スタート（赤）とゴール（青）だけ図示しておこう。

第三段階：解いたCCP問題の二つの解からCCC問題の解に変換する（14手順）

第二段階のゴールの青実円が、こちらのスタート時点の赤表示になる。そして求めたい最終解の二つが青円になる。パターンAの場合なので、

①円C3の半径を r 膨らませて円C3' を作図する（7）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 + r2 の円を描く」を参照のこと）

②円C4の半径を r 縮まらせた円C4' を作図する（7）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 - r2 の円を描く」を参照のこと）

パターンB～Dの作図手順：

膨らませたり、縮めたりする組合せが違うだけなので、パターンA と同様の手順で残りの6 円についても作図すればよい。よって総手順数は83手×4＝332手順（実際にダブりとかあっても考慮に入れてませんw）

・ その他の解

配置パターン別には、様々なケースがあるようで、とても素人が検証できるようなものではなさそうなので、次の資料の丸写しになるが掲載しておく。探求心の旺盛な方々にあとはお任せして、私はここで終わりたいと思う。

「図形科学ハンドブック　日本図学会編　森北出版 1980年 p92-93」より

・関連ページへのリンク

CCC問題の解までの作図手順（このページ自身）

参考文献

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 2つの円と1つの直線に接する円（CCL）」の解までの作図手順

2025-07-24T17:43:00.003+09:00

2 つの円と1 つの直線に接する円は、一般には8 つの解がある。下記の初期配置の例において、8つの目標とする円を全てを図示すると以下のようになる。円C1／円C2／直線 l と接する側がそれぞれ左右の組合せがあるので、全部で8通り（2の3乗）あるのだ。なお下図で例えば「左左左」というのは円C1の左側で接し、円C2の左側で接し、直線 l とはC1C2両円の左側で接して円であることを意味している。A, B, C, D については後述する。

方針：

この8種類の円が解になるCCL問題は、半径が小さい側の円C2を点に縮約した4種類のCLP問題に帰着させることができる。実際その通りなのだが、一つのCLP問題の解は4 つなので、それをそのまま素直に4 つのCCL問題に復元すると16 の解ができてしまう。以下で解説するが、復元するのに使うのはCLP問題の4 解のうちそれぞれ2 解のみが使われるので、辻褄が合うのだ。こういった細かい検証は、どのサイトを見ても記述がない。実際にしっかり解説するために自分で行った結果、ようやく納得のいく結果と理解ができたのだ。

・帰着させる4つのCLP問題（パターン概説だけ、手順は後で）

以下のAからDまでの4パターンが該当する（A , B, C , Dの順に並んでないのは特段の意味はない。修正するのが面倒だっただけw）

パターンA で採用する方法：

A.右右左とA.左左右の二つの解を導くための方法になる。つまり対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与直線から与二円の側に半径 r 分だけ近づけた直線を描く

②二つの与円は小さい円の半径 r 分縮める（円C2は点に変換される）

③これで一旦CLP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（青円4 つが解）

④得られた解の円のうちの二つ（青実円）だけを残す

⑤その二円の半径を r 分膨らませて、最終的な解円の二つを得る

パターンC で採用する方法：

C.左右左とC.右左右の二つの解を導くための方法になる。つまり対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与直線から与二円の側に半径 r 分だけ近づけた直線を描く

②小さい与円の半径 r 分縮める（円C2は点に変換される）

③大きい与円は半径 r 分膨らませる

④これで一旦CLP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（青円4 つが解）

⑤得られた解の円のうちの二つ（青実円）だけを残す

⑥その二円の半径を r 分膨らませて、最終的な解円の二つを得る

パターンB で採用する方法：

B.左左左とB.右右右の二つの解を導くための方法になる。つまり対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与直線から与二円の側に半径 r 分だけ遠ざけた直線を描く

②二つの与円は小さい円の半径 r 分縮める（円C2は点に変換される）

③これで一旦CLP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（青円4 つが解）

④得られた解の円のうちの二つ（青実円）だけを残す

⑤その二円の半径を r 分縮めて、最終的な解円の二つを得る

パターンD で採用する方法：

D.左右左とD.右左右の二つの解を導くための方法になる。つまり対象になるのは以下の二つの青円だけが得られる。

①与直線から与二円の側に半径 r 分だけ遠ざけた直線を描く

②小さい与円の半径 r 分縮める（円C2は点に変換される）

③大きい与円は半径 r 分膨らませる

④これで一旦CLP問題（赤が初期条件）にして、解を解く（青円4 つが解）

⑤得られた解の円のうちの二つ（青実円）だけを残す

⑥その二円の半径を r 分膨らませて、最終的な解円の二つを得る

・一般解のパターンA（解は二つ）の手順（61手順）

条件：交わらない二つの円C1, 円C2、その二つの円に交わらない直線 l、かつ二つの円ともに直線の同じ側にある

第一段階：CCL問題をCLP問題に帰着させるまで（16手順）

①直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線 l' を描く（9）

（「基本作図パターン集」ページの「直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線を描く」を参照のこと）

②円C1の半径をｒだけ縮めた円C3 を描く（7）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 - r2 の円を描く」を参照のこと）

①②ともに途中の作図はすべて省略したが、これで直線 l' 、点C2、円C3（全て青色）を通る円を描くCLP問題に変換できた。

第二段階：変換されたCLP問題を解く（31手順）

第一段階のゴールの青表示が、こちらのスタート時点の赤表示になる。そして求めたいゴールが青表示になる。但し復元不要な点線青円は描く必要はない。そこで「CLP」ページの「2 セット目（残りの二つの解）」の部分を作図すればよい。

第三段階：解いたCLP問題の二つの解からCCL問題の解に変換する（7手順*2）

第二段階のゴールの青実円が、こちらのスタート時点の赤表示になる。そして求めたい最終解の二つが青円になる。パターンAの場合は上で示した通り「半径を r 分膨らませて、最終的な解円の二つを得る」だったので、「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 + r2 の円を描く」を行えばよい。

パターンB～Dの作図手順：

パターンA と同様の手順で残りの6 円についても作図すればよい。よって総手順数は61手×4＝244手順（実際にダブりとかあっても考慮に入れてませんw）

・ その他の解

条件：二つの与円の半径が同じで、その円の中心同士を結ぶ線が与線に平行な場合

解の数：6 つ

・関連ページへのリンク

CCL問題の解までの作図手順（このページ自身）

CCC問題の解までの作図手順

参考文献

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 1つの点を通り2 つの円と接する（CCP）」の解までの作図手順

2025-07-24T11:43:00.007+09:00

1つの点を通り、2 つの円と接する円は、一般には以下のように4 つの解（青円）がある。作図手順としては一つの手順で 2 つの解の円がセットで作図できるので、それを 2種類行うことになる。

・1つの点を通り、2 つの円と接する円の作図（110手順）

条件：与円C1, C2（円の中心点C1, C2は既知とする）、両円の外側にある点Aが与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

1 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）

①円C1, C2の共通外接線を一つ引き、各円との接点をそれぞれT1, T2とする（11）

（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通外接線を引く」を参照のこと）

②円C1, C2の中心を結ぶ直線を描き、①で作図した接線との交点をOとする

③点O, Aを通る直線を引き、直線 l とする

④3点A, T1, T2を通る円C3を描く（PPPの作図ページを参照）（9）

⑤円C3と直線 l との交点をBとする（0）

⑥円C3と円C1との交点をDとする（0）

⑦T1とDを結ぶ直線を描き、直線 l と交わる点をMとする

⑧Mから円C1に二つの接線を引き、接点をそれぞれP1, P2とする（14）

（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）

⑨3点A, B, P1を通る円を描く、それが求める円の一つ目の円C4（9）

⑩3点A, B, P2を通る円を描く、それが求める円の二つ目の円C5（9）

これで、与両円に外接する円C4、与両円に内側に接する円C5 が描けた。

※つまりCCP問題をCPP問題に変換して解いているのだ

解説：

１．3点A, B, P1を通る円C4が、点P1で円C1に接していることについて

　円C1において、方べきの定理からMD・MT1＝MP1^2

　円C3において、方べきの定理からMA・MB＝MD・MT1
　これより、円C4において、MA・MB＝MP1^2となるので、方べきの定理の逆で、MP1は円C4への接線であり、P1は円C4との接点であると言える

２．円C4が点Q1（下図①）で円C2に接することについて

①3点A, B, P1を通る求めた円C4と与円C2の交点が一つ点Q1で接しているものと仮定する

②2点P1, Q1を通る直線を引き、円C1との（P1以外の）交点をR1とする

③直線P1Q1と直線C1C2の延長との交点をO'とする

④点OとO'が同一点である、なぜなら

△C4P1Q1が二等辺三角形（緑色部分）なので、∠C1R1O'＝∠C2Q1O

つまりC1R1とC2Q1は平行

よってO'C1：O'C2＝C1R1：C2Q1＝OC1：OC2

でOとO'は一致し、OA・OB＝OP1・OQ1・・・式1

⑤円C4は円C2とQ1で接する、なせなら

円C4が円C2に接していないと仮定し、直線P1Oと円C4との交点をQ1'とすると、

OA・OB＝OP1・OQ1'・・・式2

式1と式2から、点Q1とQ1'は同一点である

３．3 点A, B, P2を通る円C5が、点P2で円C1に接していること

　上図で①のP1の部分をP2に、円C4を円C5に置き換えるだけで同じこと

４．円C5が点Q2（下図①）で円C2に接すること

①3点A, B, P2を通る求めた円C5と与円C2の交点が一つ点Q2で接しているものと仮定する

②2点P2, Q2を通る直線を引き、円C1との（P2以外の）交点をR2とする

③直線P2Q2と直線C1C2の延長との交点をO'とする

④点OとO'が同一点である、なぜなら

△C5P2Q2が二等辺三角形（緑色部分）なので、∠C1R2O'＝∠C2Q2O

つまりC1R2とC2Q2は平行

よってO'C1：O'C2＝C1R2：C2Q2＝OC1：OC2

でOとO'は一致し、OA・OB＝OP2・OQ2・・・式1

⑤円C5は円C2とQ2で接する、なせなら

円C4が円C2に接していないと仮定し、直線P2Oと円C5との交点をQ2'とすると、

OA・OB＝OP2・OQ2'・・・式2

式1と式2から、点Q2とQ2'は同一点である

2 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）

方針：

1 セット目の手順では最初に与2 円の共通外接線を引いたが、こちらでは、それを共通内接線に変える。つまり下図①のような接線でなく、②のような接線にするだけで、あとの手順は全て同じでよいが、対応図は変ってくるので、手順と共にそちらも記載しておく。

作図手順

①円C1,C2の共通内接線を一つ引き、各円との接点をそれぞれT1, T2とする（11）

（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通内接線を引く」を参照のこと）

②円C1, C2の中心を結ぶ直線を描き、①で作図した接線との交点をOとする

③点O, Aを通る直線を引き、直線 l とする

④3点A, T1, T2を通る円C3を描く（PPPの作図ページを参照）（9）

⑤円C3と直線 l との交点をBとする（0）

⑥円C3と円C1との交点をDとする（0）

⑦T1とDを結ぶ直線を描き、直線 l と交わる点をMとする

⑧Mから円C1に二つの接線を引き、接点をそれぞれP1, P2とする（14）

⑨3点A, B, P1を通る円を描く、それが求める円の一つ目の円C4（9）

⑩3点A, B, P2を通る円を描く、それが求める円の二つ目の円C5（9）

これで、片方の与円に外接し、もう一方の与円に内接する、円C4と円C5 が描けた。

・その他の解

与点が2 円の共通内接線の交点に一致する場合に、解は二つになる。

・関連ページへのリンク

CCP問題の解までの作図手順（このページ自身）

CCL問題の解までの作図手順

CCC問題の解までの作図手順

参考文献

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 1つの円と2 つの直線に接する円（CLL）」の解までの作図手順

2025-07-22T17:29:00.004+09:00

1つの円と2 つの直線に接する円は、一般には4 つの解がある。しかしこのサイトで取り上げる範囲外（与円の中に2 つの与直線が入っている場合）で、最多の8つの解がある。かなり異なる方法を使うことになるので、後半ではそちらの作図手順についても解説する。各々想定しているのは下図のようなものだ。

・1つの円と2 つの直線に接する円の作図（110手順）

条件：円C（円の中心点Cは既知とする）、円Cの外側にある2 直線OX, OYが与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

ここで利用する手法：ここから先の問題でもよく使われる方法なのだが、円の一つを点に縮小し、問題を下位の易しい問題に置き換えて解き、その上で最後に縮小した点を円に膨らませるという手法を使う。実際具体的に見て頂く方が早いと思うので、作図手順に進んでいこう。二つの解を導く方法を2 種類で合計4 解を得る。

1 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）

①与円C に近づけるように、OX に平行な直線、OY に平行な直線を引く（19）

（「基本作図パターン集」ページの「直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線を描く」を参照のこと）

②その2 直線を直線 l, m とする（0）

③円C の中心点C を通り、直線 l と直線 m に接する円を描く（22）

（LLPの作図ページを参照）

④③で作図できた小さい方の円をC1、大きい方の円をC2とする（0）

⑤③で作図した円C1 と円C2 それぞれで半径を r だけ膨らませた円を描く（7*2）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2から、半径 r1 + r2の円を描く」を参照のこと）

これで、与円を内側に接する二つの円C3 とC4 が描けた。

※つまりCLL問題をLLP問題に変換して解いているのだ

2 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）

基本的には、上の解法で二つ引く平行線を与円C から離れるようにして引き、最後は半径を r 分だけ縮めればよい。念のため全部書いておこう。

①与円C から離れるように、OX に平行な直線、OY に平行な直線を引く（19）

②その2 直線を直線 l, m とする（0）

③円C の中心点C を通り、直線 l と直線 m に接する円を描く（22）

④③で作図できた小さい方の円をC5、大きい方の円をC6 とする（0）

⑤③で作図した円C5 と円C6 それぞれで半径を r だけ縮ませた円を描く（7*2）

（「基本作図パターン集」ページの「半径 r1 の円と距離 r2から、半径 r1 - r2の円を描く」を参照のこと）

これで、与円と外側で接する二つの円C7 とC8 が描けた。

全体の位置関係

全体像が分かりにくいと思うので、解の4つの円である、円C3, 円C4, 円C7, 円C8 を描くと下図のようになる。両端の二円と、それらの間にある二円が作図においてのそれぞれの対になっているということだ。

・解が8 つある、1つの円と2 つの直線に接する円の作図（60手順）

オブジェクトの配置の自由度が増すと、解の数も解法もさまざまな変化を見せる。ここでの例はそのうちの一つの例に過ぎない。冒頭に掲示した二つ目のパターンで解説するが、かなり細かくなるので、目標の作図円の一つの大きめの解円を対象に拡大図にして説明することにする。

条件：与円Cの中に2 つの与直線p1 とp2 が入って、円内で交差している

1セット目（二つの解）の作図手順：

①与円C の中心C を通り、2与直線に垂直な線 g, f を引く（4*2）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた点から、与えられた直線へ垂線を引く」を参照のこと）

②その直線と与円との交点を、G/J,H/Iとする（0）

③G, J, H, Iで接線 h, i , j , k を引く（6*4）

（「基本作図パターン集」ページの「円周上の任意の点で、円の接線を引く」を参照のこと）

④その4 直線の交点をK, L, M, Nとする（0）

⑤与二直線の交点をOとする（0）

⑥点O, Lを結び、直線 l (小文字のエル)とする

⑦直線 l と与円との交点をP, Qとする（0）

⑧与二直線 p1, p2 の角二等分線を二つ引き、直線 m, n とする（4*2）

（「基本作図パターン集」ページの「角の二等分線を描く」を参照のこと）

⑨点C, Pを結び、直線 n との交点をS1とする

⑩S1を中心として、半径PS1の円S1を描く、これが目的の一つ目の円

⑪点C, Qを結び、直線 n との交点をS2とする

⑫S2を中心として、半径QS2の円S2を描く、これが目的の2 つ目の円

なお下図では、点S2が遥か右下にあるため表示していない。そのため円S2も省略した。

2 ～4 セット目（二つの解を3セット）の作図手順：

①上記と同様な方法を3 回繰り返して、二つの解円のセットを3セットで合計6 つ描く

②具体的には「1セット目の作図手順」の⑥でLのところをM, N, Kに変え、⑨と⑪で二セットはnをmに変えて、二セットは n の代わりに m にして、⑥⑦⑨～⑫のパターンをあと3回行えばよい（5*3）

解説：

与円C を外接する菱形KLMNを考える。菱形の性質から∠NKL及び∠KLMの二つの角の二等分線の交点が与円の中心になる。よって直線NLは与円の中心点C を通る（直線NLは右図では結んでいないが、下図では結んでいるのに注意）。

また、目的の青円の中心は、Oを通る直線NLに平行な線上にあるはず。それはまた∠WOZの角の二等分線である直線 n のことでもある。そうでないと、二つの与直線に同時に接する円にはならないからだ。

LOと与円との交点がPで、与円の中心Cと結んだPEは与円の半径。PEとその線の交点をS1とし、S1が青円の中心だと仮定してみる。円の半径上に別の円の中心があり、交点がその半径上にあるのは、両円がその交点上で接している場合しか考えられない。繰り返すが、点S1は与直線の角の二等分線上にあるので、与直線の双方ともに接しているので、目的の円でもある。

以上までが、手順⑩の目的の一つの円についての解説になる。折角なので図解はもう一つの円の場合についても以下に掲載しておく。

・関連ページへのリンク

CLL問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 1つの点を通り、1つの直線と一つの円に接する円（CLP）」の解までの作図手順

2025-07-21T17:41:00.004+09:00

1つの点を通り、1つの直線と一つの円に接する円は、一般には下図のように4 つの解がある。作図手順としては一つの手順で 2 つの解の円がセットで作図できるので、それを 2種類行うことになる。

・ 1つの点を通り、1つの直線と一つの円に接する円の作図（76手順）

条件：点A、直線 l 、円C（中心点Cは未知）が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

1セット目（二つの解）の作図手順：（45手順）

第一段階：以下の①から⑥まで（23手順）

①与えられた円Cから中心点Cを描く（10）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた円から、その円の中心点を求める」を参照のこと）

②点Cから直線 l に垂線 mを引く（4）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた点から与えられた直線へ垂線を引く」を参照のこと）

③その垂線と円C及び直線 l との交点を上からN, D, Eとする（0）

④点 A, D, E を通る円C1を描く（8）（PPPの作図ページを参照）

⑤直線NAを引く

⑥NAと円C1との交点をB（青点）とする（0）

※点Nと円C1（点 A, B, D, E を通る）の方べきの定理から、NA・NB＝ND・NE

次へ進む方針の立て方：

目標とする円の一つ（Aを通り l と円Cに接する円）を、点Xを中心とした円X（青円）とする。円Xはその目的から逆に考えれば、円CとYで接し、点Aを通っている。

円Cと円Xのそれぞれの中心はCとX。円Cと円Xの接点は、直線CX上のYになるはず。

点Xから l への垂線を引き、その交点をZとする。NDは円Cの直径なので∠NYDは直角（円周角の定理より）。また∠NEZも直角なのでNYDとNEZは相似形。よってND・NE＝NY・NZ。

一方目標とする円XとNAの交点をB’とすると、方べきの定理からND・NE＝NA・NB’。よってB’はBと同一であり、目標とする円X上と円C1上、直線NA上にある。

よって上図の段階で次に必要なのは、円C上の点Yの場所を特定することである。

最終段階：残りの手順（22手順）

上で仮想の点Y（ここでは点T1になるが）を見つけ、目的の円まで描く。なお※上図で使った円Xと点X, Y, Zは忘れることにする。番号は通番とする。

⑦円C1と円Cとのもう一つの（Dと異なる）交点をFとする（0）

⑧線FDを引き、線ABと線FDの交点を点Pとする

⑨点Pから円Cに引いた接線の接点とT1, T2とする（7）

（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）

⑩3点A, B, T1を通る円C2（青円）を描く（7）（PPPの作図ページを参照）

⑪3点A, B, T2を通る円C3（青円）を描く（7）（PPPの作図ページを参照）

円C2と円C3が目的とする円である。

※なおT1が上図における点Yである。A, B, T1を通る円は点Zで直線 l とも接する。そして、上図では左側の円（円C2相当）しか考えていなかったが、同じ方法で右側の円（円C3相当）も描けるというわけだ。こちらも同じように直線 l とも接するということだ。

2 セット目（残りの二つの解）の作図手順：（31手順）

方針：上の1 セット目の作図手順の「第一段階」の③でのN, D, EをD, N, Eとして読み替えて行うだけだ

①与えられた円Cから中心点Cを描く（既に作図済み）

②Cから直線 l に垂線 mを引く（既に作図済み）

③その垂線と円C及び直線 l との交点を上からD, N, Eとする（0）

④点 A, D, E を通る円C4を描く（8）

⑤直線NAを描くき、円C4との交点をBとする

※2 点A, Bを通り円Cに接する二つの円が、求める円の一対

⑥円C4と円Cとのもう一つの（Dと異なる）交点をFとする（0）

⑦線FDを引き、線ABと線FDの交点を点Pとする

⑧点Pから円Cに引いた接線の接点とT3, T4とする（7）

⑨3点A, B, T3を通る円C5を描く（7）

⑩3点A, B, T4を通る円C6を描く（7）

円C5と円C6が、、もう二つの目的とする円である。

・ その他の解

条件：所与の円と点が、直線を跨いで反対側ある場合

解の数：なし

・関連ページへのリンク

CLP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 1つの円に接し、2つの点を通る円（CPP）」の解までの作図手順

2025-07-21T15:25:00.007+09:00

1つの円に接し、2つの点を通る円は、一般には下図のように二つの解がある。

・ 1つの円に接し、2つの点を通る円の作図（38手順）

条件：2 点A , B、円C（中心点Cは未知としてみる）が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 2つ

作図手順：

第一段階：2点A , Bを通り、円Cと2点で交わるような円を描く（6手順）

①ABの垂直二等分線 l を描く（4）

（「基本作図パターン集」ページの「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」を参照のこと）

②直線 l 上の任意の点C1を中心として、半径をAC1（＝BC1）とする（円Cと別の2点で交わるような）円C1を描く

③円Cと円C1との交点を点D ,E とする（0）

④直線DEを引き、直線ABとの交点を点P（青点）とする

第二段階：点Pから円Cに接線を引く（16手順）

①所与の円Cの中心点を描く（9）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた円から、その円の中心点を求める」を参照のこと）

②点Pから円Cに接線を2本引く（7）

（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）

③その接点をそれぞれT1, T2（青点）とする（0）

最終段階：目的とする円を二つ描く（16手順）

①点A, B, T1 を通る円C3（青円）を描く（8）（PPPの作図ページを参照）

②点A, B, T2 を通る円C4（青円）を描く（8）（PPPの作図ページを参照）

円C3と円C4が目的とする円である。

・解説（方べきの定理を利用）

円C1において、方べきの定理から、PA・PB＝PD・PE。

円Cにおいて、方べきの定理から、PD・PE＝PT1^2＝PT2^2。

よってPA・PB＝PT1^2＝PT2^2。

よって方べきの定理の逆で、円C3と円C4は点A, B を通りT1かT2に接する円である。

・ その他の解

点Aと点Bを結んだ直線が円Cの接線になる場合に解の数は一つになる。

・関連ページへのリンク

CPP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 1つの点を通り、2つの直線に接する円（LLP）」の解までの作図手順

2025-07-21T10:57:00.004+09:00

1つの点を通り、2つの直線に接する円は、一般には下図のように二つの解（青い円）がある。

・ 1つの点を通り、2つの直線に接する円の作図（22手順）

条件：点A、2 直線OX, OY（Oで交わっている）（赤表示）

解の数：一般解は 2つ

作図手順：

第一段階：2 直線OX, OYに接する円を描く（9手順）

①∠XOYの二等分線 n を作図する（4）

（「基本作図パターン集」ページの「角の二等分線を描く」を参照のこと）

②①の途中で作図した点Cを通ってOYに垂直になる線 m を引く（4）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた点から与えられた直線へ垂線を引く」を参照のこと）

③直線OYと直線 m との交点をGとする（0）

④点Cを中心にして、半径CGの円C（青い円）を描く

作図経過を全て書き込むと分かりづらくなるので、重要な要素のみ残す。

△OGCは∠OGCを直角とした直角三角形になり、円CはOYに接する。角の二等分線 n を対称にして同様のことが言えるので、円DはOXに接している。

第二段階：2 直線A1C, A2Cを描く（3手順）

①直線OAを引き、円Cと直線OAとの交点を点A1, A2とする

②点A1と点Cを結んで直線A1Cを、点A2と点Cを結んで直線A2Cを引く（2）

ここから相似形を作る作図をしていくのだが、ごちゃごちゃしていくので、こまめに図示していく。

第三段階：Aを通り2直線A1C, A2Cに平行な線を描く（8手順）

①点Aを通り、直線A1Cに平行な直線 s を引き、直線 n との交点をC1とする（4）

②点Aを通り、直線A2Cに平行な直線 t を引き、直線 n との交点をC2とする（4）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた点を通り、与えられた線と平行になる線を引く」を参照のこと）

点C1とC2（青点）を得る。

最終段階：C1, C2を中心とした円を描く（2手順）

①C1を中心として、半径AC1の円C1を描く

②C2を中心として、半径AC2の円C2を描く

円C1と円C2が求める解の 2円（青円）である。

・解説（相似形を利用）

2 直線に接する任意の円Cを元にして、点Aを通る円が円Cの相似形になるように作図していく手法になる。

直線と円の左側で交わる点が対応する相似関係は、円C：円C1＝OC：OC1＝OA1：OAになるような作図方法。

直線と円の右側で交わる点が対応する相似関係は、円C：円C2＝OC：OC2＝OA2：OAになるような作図方法。

・ その他の解

二つの直線が平行で点が2直線に挟まれる場合に、解の数は二つだが、解法は上とは異なるものになる。

また、二つの直線が平行で、点が2直線に挟まれない場合は、要求を満たす円は描けない。

・関連ページへのリンク

LLP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 2つの点を通り、1つの直線に接する円（LPP）」の解までの作図手順

2025-07-20T17:14:00.004+09:00

2つの点を通り、1つの直線に接する円は、一般には下図のように二つの解がある。

・ 2つの点を通り、1つの直線に接する円の作図（29手順）

条件：2 点A , B、直線 l が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 2つ

作図手順：

第一段階：点A , Bを通る円と直線ABを描く（4手順）

①点Aを中心に任意の半径の円Aを描く

②点Bを中心に①と同じ半径の円Bを描く

③円Aと円Bの二つの交点の一つをDとする（0）

④Dを中心に、半径DA（＝DB）の円を描く

⑤直線ABを引き、直線 l との交点を点E（青点）とする

第二段階：点Eを中心とした円を描く（7手順）

①点Eから円Dに接線を一つだけ引く（6）

（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）

②その接点を点Tとする（0）

③点Eを中心に半径ETの円（円E）を描く

④円Eと直線 l の二つの交点を点 F, G（青点）とする（0）

作図経過を全て書き込むと分かりづらくなるので、重要な要素のみ残す。

最終段階：点Eを中心とした円を描く（7手順）

①点A, B, Fを通る円C1（青円）を描く（PPPの作図ページを参照）

②点A, B, Gを通る円C2（青円）を描く（PPPの作図ページを参照）

作図経過を書き込むと分かりづらくなるので、結果図のみ示す。

・解説（方べきの定理を利用）

円Dにおいて、方べきの定理から、EA・EB＝(ET)^2。

一方、同じ円E上の 3点であるので、半径ET＝EF＝EG。

よってEA・EB＝(ET)^2＝(EF)^2＝(EG)^2。

一方、円C1 , 円C2が直線 l に接する円だと仮定すると、方べきの定理から、EA・EB＝(EF)^2＝(EG)^2になるはず。

実際そうなっているので、仮定どおり、円C1 , 円C2は直線 l に接する円である。

・ その他の解

直線ABと線 l が平行な場合に解の数は一つになる。

また、2点A , Bが直線 l を挟んで反対側にある場合には、直線 l に接する円は直線 l のどちらかの一方にしか作れないので、要求を満たす円は描けない。

・関連ページへのリンク

LPP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 3つの直線に接する円（LLL）」の解までの作図手順

2025-07-20T15:42:00.004+09:00

3つの直線に接する円は一般には下図の通り、その3つの線の内接円が一つと傍接円が3つの合計4つの解が存在する。基本的な考え方は同じだが、念のため内接円と傍接円の場合とに分けて説明していこう。

・ 三角形ABDの内接円の作図（13手順）

条件：3直線 l , m , nが与えられている（赤線）

解の数：一般解は一つ

作図手順：

①直線 l , m, nの交点を A, B, Dとする（0）

②∠BADの二等分線 p を描く（4）

（「基本作図パターン集」ページの「角の二等分線を描く」を参照のこと）

③∠BDAの二等分線 q を描き、線 p と線 q の交点を点Xとする（4）

④点Xから直線 n に垂線を引き、交点をYとする（4）

（「基本作図パターン集」ページの「与えられた点から与えられた直線へ垂線を引く」を参照のこと）

⑤Xを中心として、半径XYの円Xを描く

その円X（青円）が直線 l , m, n に接する内接円になる。

・ 三角形ABDの傍接円の作図（9手順）

条件：3直線 l , m , nが与えられている（赤線）

解の数：一般解は 3つ

解の内の一つの作図手順：

①直線 l , m, nの交点を A, B, Dとする（0）

②直線 n 上のADの延長上の先をEとする（0）

③既に内接円の作図で作図済みの∠BADの二等分線 p を流用する（0）

④∠BDEの二等分線 q を描き、線 p と線 q の交点を点Xとする（4）

⑤点Xから直線 n に垂線を引き、交点をYとする（4）

⑥Xを中心として、半径XYの円Xを描く

その円X（青円）が直線 l , m, n に接する傍接円の一つになる。

・ 残り二つの傍接円の作図（18手順）

下図の左側と下側にある傍接円も、それぞれ同様に別の二等分線を使って描く。

・解説（内接円と傍接円）

三角形に内接する円の中心は、3つの角の二等分線が 1 点で交わる場所で、内心という。内心は各辺からの距離が等しい。つまり内心から各辺へ下ろした垂線の長さが同じ。よって、内心から各辺へ下ろした垂線との交点 3つを通る円は各辺に接する。そのため、内接円と呼ばれる。

一方、三角形の外角の二等分線の交点を傍心といい、傍心は 3つある。傍心を中心に 3つの辺の延長線に接する円が 3つ描け、それらの円を傍接円（傍心円とは言わないようだ）という。

・ その他の解

二つの直線だけが平行な場合に解の数は 2となる。

なお、三つの直線がすべて平行な場合や、三つの直線が1点で交わる場合には解はない。

・関連ページへのリンク

LLL問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

アポロニウスの問題の一つ「 3つの点を通る円（PPP）」の解までの作図手順

2025-07-20T11:28:00.006+09:00

よく使う作図パターンも用意できたので、いよいよアポロニウスの問題に一つずつ取り組んでいこう。基本原則としては、最初に与えられる 3種類のオブジェクトである点 , 線 , 円の 3つに関して、①線同士以外はお互いに交わっていないこと。つまり与点が別の与点 , 線 , 円線の上にあってはならないし、線が円と接しても交わっていてもいけないし、円同士が接しても交わっていないこと。そして②与円の中に他のオブジェクトが含まれないこと。つまり与円の内側に別の与円や与点があってはならないものとする。

それ以外の条件で、解の数が変化するような特殊解や解なしのケースがあれば、各問題毎に最後に触れることにする。また作図手順数は増えていくので、何段階かに図解を分けていくことになる（このページだけは非常に簡単なので例外だが）。問題別に、作図手順の他に考え方や解説を適宜交えてある。

・ 3つの点を通る円（PPP）の作図（9手順）

条件：3点A , B , Cが与えられている（赤点）

解の数：一般解は一つ

作図手順：

①直線ABの垂直2等分線 l を作図（4）

（「基本作図パターン集」ページの「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」参照のこと）

②直線BDの垂直2等分線 m を作図（4）

③直線 l , m の交点Cを中心に、半径CA（＝CB＝CD）の円Cを描く

その円C（青円）が目的とする円である。

・考え方

直線 l 上の点はA , Bと等距離になる点の集合であり、直線 m 上の点はB , Dと等距離になる点の集合。よって、l , m の交点Cは各点A , B , Dすべてとの距離が同一である。その距離を r とする。点Cを中心として半径 r の円を描けば、その円Cは点A , B , Cを通る半径 r の円になる。

・解説

円Cは三角形の3つの頂点を通る円で外接円、点Cを外心という。円Cの半径を外接半径という。外心円の特徴は、外心と各頂点からの距離が等しいこと。外心が各辺の垂直二等分線の交点であること。つまり 3点を通る円は、その 3点で構成される三角形の外心円を作図することに他ならない。

・ その他の解

条件：直線ABの延長線上に点Cが存在する場合

解の数：なし（ 3つの点を通る円は存在しない）

・関連ページへのリンク

「アポロニウスの問題」のホームページ

10種の問題概観と前提とした定理

基本作図パターン集

PPP問題の解までの作図手順（このページ自身）

＜続編＞

基本作図パターン集（垂線の引き方、接線の引き方など12種）

2025-07-20T09:52:00.005+09:00

本ページは、コンパスと定規で作図できる、頻出する基本作図パターンの手順を列挙したものである。10種類の問題別作図ページの解説内で、これらの基本作図パターンをよく利用するので、同じ作図手順を全部繰り返し書かずに冗長性を省きたいのだ。例えば「ある直線に対して、ある点から垂線を下ろす」という作図は 4手順必要だが、作図手順解説では「直線 l に対して、点Aから垂線を下ろす」の 1行で済ますということだ（もちろん作図手順を省略した旨は、必ず書き添えておくので、このページを見直して貰えばいい）。

なお、作図が細かくて見づらいものは、画像のリンクを新しい画面で表示すれば原寸大で見ることができるので、二つのページを交互に見るなどして確認して頂きたい。

・12の基本作図パターン
下記12個の作図課題の作図手順を一つずつ示していく。少なくとも前半の6つだけは、10種の問題別作図ページを見始める前に確認しておいて欲しい。なおページ内リンクは張ってないので見たいものがあれば、スクロールして見つけて欲しい。

2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する（4手順）

与えられた点から、与えられた直線へ垂線を引く（4手順）

与えられた点を通り、与えられた線と平行になる線を引く（4手順）

角の二等分線を描く（4手順）

与えられた円から、その円の中心点を求める（8手順）

円外の点から円に接線を引く（7手順）

円周上の任意の点で、円の接線を引く（6手順）

2 円の共通外接線を引く（11手順）

2 円の共通内接線を引く（11手順）

直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線を描く（9手順）

半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 + r2 の円を描く（7手順）

半径 r1 の円と距離 r2 から、半径 r1 - r2 の円を描く（7手順）

・2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する（4手順）

条件：2点A , Bが与えられている（赤い点）

①点A , Bを元にして、定規で直線ABを描く

②点Aを中心にして、（線分ABの半分を超える長さの）任意の半径の円Aを描く

③点Bを中心にして、②と同じ半径の円Bを描く

④円Aと円Bの二つの交点同士を繋いだ直線 l を引く

以上4手順で、求める直線である線分 l（青線）が作図できた。

・与えられた点から与えられた直線へ垂線を引く（4手順）

条件：点A、直線 l が与えられている（赤表示）

①点Aを中心に任意の半径の円Aを描き、直線 l との交点をB , Dとする

②点B , Dを中心に等しい半径の円（円B , 円D）を描き、交点をE , Fとする（2）

③点EとFを直線で結び、直線 m とする

以上4手順で、求める直線 m（青線表示）が作図できた。

※②の行の最後の（2）は、円を二つ描いているので 2手順であることを示している

・与えられた点を通り、与えられた線と平行になる線を引く（4手順）

条件：点P、直線 l が与えられている（赤表示）

①点Pを中心に任意の半径の円Pを描き、直線 l との交点の一つをAとする

②点Aを中心に半径APの円Aを描き、直線 l との交点の一つをBとする

③点Aを中心に半径BPの円A’を描き、円Pとの交点の一つをDとする

④点PとDを直線（直線 m）で結ぶ

以上 4手順で、求める直線 m（青線表示）が作図できた。

※共に円Pの半径なのでDP＝AP、一方同じ半径の円Aの半径も同じでAP＝ABなので、DP＝AB。またADは円A’の半径だが、その半径はそもそも③からBPであり、AD＝BP。よって四角形ABDPを考えると対辺同士が同じ長さなので、平行四辺形だとわかる。よって、対辺同士の直線 l と直線 mは平行。

・角の二等分線を描く（4手順）

条件：点Oで交わる2線分AO , BOが与えられている（赤表示）

①Oを中心に任意の半径の円Oを描き、辺OA , OBとの交点をD , Eとする

②点D , Eを中心に任意の同じ半径の円（円D , 円E）を描き、交点の一つをFとする（2）

③点OとFを直線で結び、直線 l とする

以上 4手順で、求める直線 l（青線表示）が作図できた。

・与えられた円から、その円の中心点を求める（8手順）

基本的にここでは、円が与えられればその中心点もセットで既知とすることが多いが、念のため中心点が不明の場合にどう作図するか書いておこう。

条件：ある円Cが与えられている（赤円）

①2点で円Cに交わる任意の直線を引く（円と直線の交点をA , Bとする）

②点Bを通り、円と交わる別の直線を引く（円との交点をDとする）

③直線AB , BDに対して、それぞれの垂直二等分線 l , m を描く（3×2）

※③は上記の「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」参照のこと。そのうちそれぞれ既に直線AB , BDの作図は終えているので、3手順を2回行えばよい。

直線 l と m の交点が、求める円の中心点Cになる。

以上8手順で、求める円の中心点C（青表示）が作図できた。

・円外の点から円に接線を引く（6手順）

条件：円C（円Cの中心点Cも既知とする）と、円Cの外にある点A（赤表示）

①点Aと点Cを結び、直線ACを引く

②ACの垂直二等分線 l を描く（3）

※「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」参照のこと

③ACと直線 l との交点が線分ACの中点であり、これを点Mとする（0）

※カッコ内の数字が0なのは、作図操作は無く定義付けのみのため

④点Mを中心として、半径MA（直径AC）の円Mを描く

⑤円Cと円Mの二つの交点を点T1 , 点T2とする（0）

⑥点Aと点T1あるいは点Aと点T2を結んだ直線AT1 , 直線AT2が、点Aから円Cへの接線（青線）になる

以上、接線を1本引けば手順数は 6、2本引けば手順数は 7になる。

なぜこの点が接線になるかと言えば、「円周角の定理の一種」で既述した通り、直径ACの円M上における3点の関係の∠AT1C , ∠AT2Cは直角。一方「接線」とは、接点を通る半径に垂直であることなので。

・円周上の任意の点で、円の接線を引く（6手順）

条件：円C（円Cの中心点Cも既知とする）と円周上の点A（赤表示）

①点Aを中心として、任意の半径の円Aを描く

②直線ACを引き、円Aとの交点の一つを点Bとする

③点Bを中心として、円Aと同じ半径の円Bを描く

④円Aと円Bの交点の一つを点Dとする（0）

※カッコ内の数字が0なのは、作図操作は無く定義付けのみのため

⑤点Dを中心として、円Aと同じ半径の円Dを描く

⑥直線BDを引き、円Dとの交点をEとする

⑦点Aと点Eを結ぶ。その直線AEが求める接線Tになる

以上6手順で、円周上の点Aで円の接線（青線）が作図できた。

なぜこの点が接線になるかと言えば、直径をBEとした円Dの円周上の点Aなので、∠BAEは直角になっている。一方「接線」とは、接点を通る半径に垂直であることなので。

・2円の共通外接線を引く（11手順）

条件：円C1と円C2（両円の中心点C1 , C2、同半径 r1 , r2 も既知とする）（赤表示）

作図の方針：下図で小さい円の中心を通り、共通外接線に平行な直線 m が描ければ、それを距離( r1- r2 )の分だけ平行移動すればよいと考える

①線分C1C2の中点Mを取る（4）

※「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」と同じ

②Mを中心として、半径MC1（＝MC2）の円C3を描く

③円C1と線C1C2の交点である点Aを中心として、半径 r2 の円C4を描く

④円C4と線C1C2との交点の一つをBとする（0）

⑤C1を中心として、Bを通る円を描き、円C3との交点の一つをDとする

※円C3は線C1C2を直径とする円なので、∠C1DC2は直角

⑥点Dと点C1を通る直線を引き、円C1との交点をEとする

⑦コンパスでC2とD間の距離C2Dを測る

⑧Eを中心として半径C2Dの円C5を描き、円C2との交点の一つをFとする

⑨点Eと点Fを結べば、それが円C1と円C2の共通外接線になる

以上11手順で、求める2円の共通外接線の一つ（青線）が作図できた。

・2円の共通内接線を引く（11手順）

条件：円C1と円C2（両円の中心点C1 , C2、同半径 r1 , r2 も既知とする）（赤表示）

作図の方針：上記「2円の共通外接線を引く」と似ているので、下図から考え方を読み取って欲しい。

①線分C1C2の中点Mを取る（4）

※「2点を結ぶ線分の垂直2等分線を作図する」と同じ

②Mを中心として、半径MC1（＝MC2）の円C3を描く

③円C1と線C1C2の交点である点Aを中心として、半径 r2 の円C4を描く

④円C4と線C1C2との交点の一つをBとする（0）

⑤C1を中心として、Bを通る円を描き、円C3との交点の一つをDとする

※円C3は線C1C2を直径とする円なので、∠C1DC2は直角

⑥点Dと点C1を通る直線を引き、円C1との交点をEとする

⑦コンパスでC2とD間の距離C2Dを測る

⑧Eを中心として半径C2Dの円C5を描き、円C2との交点の一つをFとする

※つまり、共通外接線の作図と異なるのは、この交点Fを別の一つを選択するだけの違い

⑨点Eと点Fを結べば、それが円C1と円C2の共通内接線になる

以上11手順で、求める2円の共通内接線の一つ（青線）が作図できた。

・直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線を描く（9手順）

条件：直線 l （赤線）、距離 r は既知とする

①与直線 l 上の任意の点Aを中心として、半径 r の円Aを描く

②円Aと直線 l との二つの交点B , Cを中心に同じ半径の二つの円を描く（2）

③その二つの円の交点を結ぶ線 mを描く

④直線 m と円Aの交点を点Pとする（0）

⑤②と同様の点Eを定める（0）

⑥点Eで①から④と同じことを行い、点Qを得る（4）

⑦点P , Qを線で結べば、それが直線 l との距離が r の平行線PQになる

以上9手順で、直線 l に距離 r だけ離れた平行な直線PQ（青線）が作図できた。

・半径 r1 の円と距離 r2から、半径 r1 + r2の円を描く（7手順）

条件：円C1と円C2（両円の中心点C1 , C2、同半径 r1 , r2 も既知とする）

上の「2円の共通内接線を引く」作図過程で出てくる⑤で描いた円が目的の円になるので、図解は略。

・半径 r1 の円と距離 r2から、半径 r1 - r2の円を描く（7手順）

条件：円C1と円C2（両円の中心点C1 , C2、同半径 r1 , r2 も既知とする）

上の「2円の共通外接線を引く」作図過程で出てくる⑤で描いた円が目的の円になるので、図解は略。

・関連ページへのリンク

基本作図パターン集（このページ自身）

＜続編＞

「アポロニウスの問題」10種の問題概観と、作図する際に前提とした定理

2025-07-20T09:20:00.007+09:00

このページでは、「アポロニウスの問題」10種の問題について全体像を概観するのと、コンパスと定規だけで作図するのにあたり、前提として利用している定理について触れることにする。

・「アポロニウスの問題」10種の問題を概観する
「アポロニウスの問題」のホームページでも触れたとおり、3種類のオブジェクト（点と線と円のこと）の組合せで作られる問題の種類は全部で10種類になる。

各列について簡単に説明していこう。まず「略称」だが、点、線、円の組合せの種類をいちいち「一つの直線と二つの点」のように表現するのは冗長なので、簡単に表す。それぞれ英語の頭文字をとって表現するだけのことで、円はCircleなのでC、直線はLineなのでL、点はPointなのでPだ。P , L , Cの表記のどれを優先するかは、人それぞれのようなので、LLPはPLLと表記することもあるようだ。

「解の数」は、各問題に対して答えとなる円の数の最大数のこと。例えば「解の数」が 4 と書いてある問題でも、オブジェクトの配置によっては解の円が二つしか存在しないといったことがある。

「作図手順数」は、定規とコンパスによる操作を何度行えば解に辿り着くのかの回数のこと。作図法は一つとは限らないので、それぞれの問題で提示した手順で作図した場合の凡その手順数である。どの程度作図が面倒なのかの一つの目安程度にして頂きたい。なお最後の方は手順数が膨大だが、類似の反復が多いだけなので、自分で実際に作図する場合以外は無用に恐れることは無いw

「難易度」は、上の「作図手順数」を参考にしつつも、使った作図手法の分かりやすさなどから、自分の主観で 4 段階で数値化してみた。数字の大きい方が難易度が高いという評価だ。難易度の数字が同じ場合でも、この表の順番で下に行くほど難易度が高いという順にしてある。

最後は「解法」の列について。「外接円/内接円」といった辺りは、中学の幾何辺りで多くの人が既にご存じのもの自体なのでそれを伝えたかっただけ。「方冪の定理/相似形」などは、その考え方を利用しているということ。「○○に帰着」というのは、より難易度の低い問題に変換して解けることを表現した。

・前提として使う定理
作図やそれにあたっての説明のところで必要になる概念や定理で、超基本的な部分は暗黙の了解として完全に省略しているが、円と線が絡む定理で、暗黙の了解として完全に省略していいか迷った事柄だけここで述べておきたい。なお証明は本題から逸れるので略す。多くの皆さんは、「ああそんなのがあったよね」で済むと思うが、気になって落ちつかない方は、検索などすれば幾らでも平易な解説を目にすることができると思う。

「円の直径の端に当たる 2点A , Bと円周上の点Dがあるとすると、∠ADBは直角である」

これは円周角の定理の一種（中心角が180度の場合に該当）である。逆に∠ADBが直角であれば、線分ABは円の直径であるとも言える。一応「円周角の定理」も言っておくと、「円周角は中心角の半分」というものである。下記図で確認して欲しい。

もう一つは「方べきの定理」だ。よく使うのは、亜種の接する場合の方。アポロニウスの問題は「円と接する」場合が重要だからだ。「点Pから円に接線を引き、その交点をTとした時、PA・PB＝PD・PE＝PT^2が成り立つ（※AB^2 とはABの長さの2乗つまり、AB・ABのことを表す）」である。図示すると以下のようになる。

元の「方べきの定理」は、「円周上に 4点があり、2点を結ぶ直線の延長がPで交わる時、PA・PB＝PD・PEが成り立つ」というものだ。図示すると以下のようになる。こちらは円の中に交点がある場合である。

・関連ページへのリンク

「アポロニウスの問題」のホームページ

10種の問題概観と前提とした定理（このページ自身）

基本作図パターン集（垂線の引き方、接線の引き方など12種）

＜続編＞

「アポロニウスの問題」をコンパスと定規だけで作図する方法を、10種類の全て丁寧に解説する

2025-07-20T09:07:00.008+09:00

仕事を引退してから、数学やら物理やらを勉強し続けている。一般相対性理論だの量子力学、ガロア理論（群論）などにも挑戦してみたが、ある程度はわかった気になれた程度に留まっている。そして学生の頃からやり切った印象のなかった「アポロニウスの問題」に取り組んでみようと思い立ち、自分なりに納得のいくレベルまで理解できたので、書いてみようと思った次第だ。数学者でも数学の先生でもないので、多々不備はあると思うが、間違いその他気が付いた点は遠慮なくコメントを書き込んでいただいて構わない（すべてに返事できるかは不明だが）。

・アポロニウスの問題とは
アポロニウスの問題とは、平面において、与えられた3つの円に接する円を描く問題のことだ。代数的解法など様々な解法があるが、ここでは、コンパスと定規だけでこの問題を解くことがゴールだ。円を無限に縮小すれば点になり、円の半径を無限大にすることで直線になる。なので、その円の極限の状態を加味する（円と線と点の3種類）ことで、3種類のオブジェクト（円と線と点のこと）の組合せは10種類出来上がる。ここではその10種類すべてをまとめて「アポロニウスの問題」ということにする。

この10種類の問題の中には難易度の低い種類から高い種類まで各種あることが分かっている。ここではその難易度の低い課題から、難易度の高い課題、そして最終的な目的（与えられた3つの円に接する円を描く）に順に辿り、全ての解を作図する手順を示そうというのが、具体的なゴールだ。

・何故その問題を取り上げるのか
実は国内外で様々な人が10種類の個々の問いに答える作図法や動画解説を既に沢山書いている。ではなぜここで私がこの問題を改めて取り上げる必要があるのか？それは、書籍でもウェブサイトでも、これら10種類の課題すべてを順番に丁寧に解説したものを見つけることができなかったからだ。みんなつまみ食いだったり、全部網羅していても、知識の前提レベルが高過ぎて素人にはさっぱり理解できなかったりするのだ。動画は、その瞬間は分かりやすくても、一つ一つ辿って理解したい場合は何度も反復が必要で、やはり紙（静止画）での丁寧な図解がいいのだ。

そこで、ここにその10種類課題すべての作図プロセスを全部自分で解明し、中学校幾何の知識レベルでも理解でき作図できるような資料としてまとめて書くことには大きな意味があると考えたのだ。もちろん専門家ではないので、特に難易度の高い種類の問題で線と円が交わっている場合など、オブジェクトのあらゆる配置の場合を網羅してはいない。あくまでも、典型的な配置の状態での、最も平易な解説が最低限一つ含まれるようにしてあるだけだが、自分で整理するのにも、相当な時間が掛かった。探してもどこにも見つからないはずなので、折角だからその成果を披露しようということだ。中学高校での発展研究課題としても素晴らしい素材になるのではないだろうか。

また解法の種類としては、代数的手法（関数がでてくる）や反転幾何学を使った方法などもあるが、私を含めて素人が、易しく完全にすべてを理解したり、また人に説明できるようなものではないので、取り上げない。易しく説明できるようになった暁には、追記することになるかもしれない。

・「定規とコンパスによる作図」とは

定規によって、任意の直線や2点を通る直線などを引くことができる
コンパスは中心点と半径を決めれば、円を描くことができる
2点A,Bが与えられていれば、その2点を二つのコンパスの先に合わせて円を描くことで、その半径の円を描くことができる
二つの直線や二つの円、直線と円が交われば、そこに新たな交点を得ることができる
よって、ゼロから定規とコンパスによって、芋づる式に新たな点,線,円が作図可能である

・文章及び作図における表記ルールについて
関連するページ群すべてにおいて、表記ルールは下記に則って書くことにする。

円と線と点のことをまとめて「オブジェクト」という
円の中心点は「C,C1」あるいは「点C,円の中心点C」などと表記（円＝circle ）
中心点がCの円は「円C」と表記
逆に円Cの中心点は、暗黙的に中心点Cを前提とする
但しある点がXなどと定められた後に、点Xを中心とする円を描いた場合は、その円は円Xとする
円の半径は「r , r1」などと表記（半径＝radius）
円の接点は「T , T1」などと表記（円の接点＝circle tangent）
点は「A , B」などの英大文字で表記（C, T , R は他で使うので避ける）し、単に「A」あるいは「点A」と表記
直線は「線」あるいは「直線」と表記（曲線は円しか出てこない）
通過点を明示しない線は「l , m , n」など英小文字で表記
始点や終点を限定する線を表す場合は、始点A , 終点Bを用いて「AB」「線分AB」などと表記
2点を結んだ線は、延長線含むものとし、その2点を列挙して「AB」「直線AB」などと表記
頂点を3点 X , Y, Z で構成する三角形は「△XYZ」と表記
ABとADのなす角は「∠BAD」と表記
ABの長さを示す場合は、ABに下線を引いて表す（AB）（本来は上線（バー）を付けるのが慣例だと思うが、そういう表示を工夫するのがややこしいので）
線同士の交わる角が直角（90度）のことは「∠R」と表記（直角=Right angle）
問題の最初に与えられたオブジェクトは、略して「与円C , 与直線 l 」などとも表記
図において、問題の最初に与えられたオブジェクト（点 , 線 , 円）は、赤色の点 , 実線 , 実円で描く
図において、作図プロセスで追加されたオブジェクトは、黒点 , 黒点線 , 黒点円で描く
図において、作図プロセスの最後に描かれた線と円は、青線 , 青円で描く
図において、作図プロセスの各ステップは丸数字で「① , ②」などと示し、新規に作図した点 , 線 , 円の記号とともに表記する（例：点G①）。なお下記例で言えば、円Aや円Bをフルに描かずに、一部の弧だけを切り取ってその交点付近だけ書くのが作図表示の慣例だと思うが、あのバッテンはどの円の弧かが分かりにくいので、冗長のきらいはあるが、どの点を中心に描いたかがわかるように全円周を描く方法にしている。

・関連ページの読み進め方

10種の問題の解説は概ね難易度の低い順に上から並べてあり、上のページまでの知識が前提になる場合がほとんどなので、下記リンクを上から順番に読んでいくのが望ましいだろう。

追記：続編の「「アポロニウスの問題」を解くのに反転幾何を利用する」シリーズの5ページを追加アップできたことを報告しておく。（2025/8/25）

・「アポロニウスの問題」のホームページ（このページ自身）

・10種の問題概観と前提とした定理（円周角の定理、方べきの定理）

・基本作図パターン集（垂線の引き方、接線の引き方など12種）

＜続編＞