Los grandes inventos y descubrimientos

Calcular frecuencias relativas acumuladas

2013-05-16T17:29:00.003-05:00

Hemos preguntado a cada uno de los miembros de dos grupos cuál es su deporte favorito.

Resulta difícil comparar directamente las respuestas, porque la población de los dos grupos es diferente: en la primera encuesta hemos preguntado a 141 individuos, mientras que en la segunda hemos preguntado a 445. En este tipo de situaciones manejamos las frecuencias relativas.

I. Calcular las frecuencias relativas
Ejemplo: observemos de nuevo la encuesta anterior. Para poder comparar los resultados de la misma, calculamos las frecuencias relativas de cada uno de los deportes en cada uno de los dos grupos. Para ello, dividimos cada cantidad (que es la frecuencia o frecuencia absoluta) entre la población total de dicho grupo.
Estos son los resultados obtenidos (redondeados a las centésimas 0,01):

Podemos comprobar que la suma de las frecuencias relativas en cada caso es igual a 1 (en la primera tabla no sale exactamente 1, sino 0,99 a causa del redondeo).
Definición: en un estudio estadístico, la frecuencia relativa de un determinado valor o de una clase es el cociente entre su frecuencia absoluta y el total de la población. A menudo este cociente se expresa como un porcentaje.
II. Calcular las frecuencias relativas acumuladas
Ejemplo: se ha clasificado a los internautas españoles mayores de 18 años según cinco rangos de edad. Los resultados han sido los siguientes:

Queremos calcular la proporción de internautas que son mayores de 35 años.
En este caso, la característica que está siendo estudiada (la edad) es cuantitativa, y los rangos de edad aparecen en orden creciente. Observando la tabla podemos ver que el 55% (23 + 32 = 55) de los individuos de la población son menores de 35 años. Podemos decir que la frecuencia relativa acumulada del rango de edad 25 < x < 34 es el 55%.
Las frecuencias relativas acumuladas se calculan igual que las frecuencias absolutas acumuladas.
A continuación, se presenta la tabla completa con las frecuencias relativas acumuladas, en orden creciente:

Para las frecuencias relativas acumuladas crecientes, los valores van incrementándose hasta llegar al 100 (si las frecuencias están expresadas en %) o al 1 (si las frecuencias no están expresadas en %, sino en tantos por uno).
Definición: para una característica cuantitativa, la frecuencia relativa acumulada creciente de un valor v es la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales que v.
Nota: en el ejemplo presentado al principio de este artículo (la encuesta sobre el deporte preferido), no podemos calcular frecuencias acumuladas, ni absolutas ni relativas, ya que la característica estudiada es cualitativa, no cuantitativa.

Calcular frecuencias acumuladas

2013-05-16T17:27:00.003-05:00

Si en un estudio estadístico los datos son muy variados, podemos agruparlos en clases. De todas formas, tanto si los datos son discretos como si están agrupados en clases, ¿qué significa calcular las frecuencias acumuladas?

I. Cuando los datos son discretos
Hemos recogido y agrupado en esta tabla la edad de los asistentes a un campamento de verano:

Estamos interesados en la edad de cada individuo. El carácter de este estudio es, por lo tanto, la edad. La edad es un carácter cuantitativo.
La población que estamos estudiando está formada por 55 individuos:

7 + 10 + 15 + 13 + 10 = 55
10 participantes tienen 13 años. Podemos decir que la frecuencia de la modalidad “13” es 10.
1. Calcular frecuencias acumuladas crecientes
Podemos observar que hay 17 (7 + 10 = 17) personas que tienen 13 años o menos. Podemos decir entonces que el valor de la frecuencia acumulada para la modalidad “13”, es 17.
También podemos comprobar que 32 (7 + 10 + 15) personas tienen 14 años o menos. La frecuencia acumulada de la modalidad “14” es 32.
Por lo tanto, podemos calcular la frecuencia acumulada de cada una de las modalidades que presenta el carácter “edad”. En la tabla siguiente podemos observar todas las frecuencias acumuladas de forma ordenada:

Nota: la suma de las primeras cuatro frecuencias es igual a 45 (7 + 10 + 15 + 13). Pero también podemos obtener 45 sumando dos cantidades: la que está justo encima de 45 (es decir, 32) con la que hay a su izquierda (13): 45 = 32 + 13. Si usamos esta técnica, resulta muy sencillo completar todas las frecuencias acumuladas de la tabla. Observa:

Definición: para un carácter cuantitativo, la frecuencia acumulada de un valor o modalidad v es la suma de las frecuencias de cada una de las modalidades que tienen un valor menor o igual a v.
2. Calcular frecuencias acumuladas decrecientes
También podemos observar que hay 23 (13 + 10 = 23) personas que tienen 15 años o más. Esto nos permite definir y calcular las frecuencias acumuladas decrecientes mostradas en esta tabla:

Nota: la suma de las tres últimas frecuencias es 38 (15 + 13 + 10). La cantidad 38 también la podemos obtener sumando el número que se encuentra justo debajo del 38 (es decir, el 23) y el que se encuentra a su izquierda (el 15). Para completar la tabla cómodamente, empezamos por la última frecuencia (10) y vamos subiendo. Observa:

Definición: para un carácter cuantitativo, la frecuencia acumulada decreciente de una modalidadv es la suma de cada una de las frecuencias de aquellas modalidades que tienen un valor mayor o igual a v.
3. Representar frecuencias acumuladas en un diagrama o gráfico de barras
Podemos representar las frecuencias acumuladas de esta serie de datos mediante un diagrama de barras:

También podríamos representar de la misma forma las frecuencias acumuladas decrecientes.
II. Cuando los datos están agrupados en clases o intervalos
Entrevistamos a 120 personas acerca de la cantidad de tiempo que dedican al día a ver la televisión. Lo más probable es que obtengamos una gran variedad de respuestas diferentes (tales como 2 h, 2 h 30 min, etc.). Por este motivo vamos a agrupar las respuestas en intervalos de tiempo (llamados clases), de manera que aquellas personas que hayan visto la televisión 2 h o más de 2 h pero menos de 3 h las vamos a agrupar en la clase 2 ≤t < 3.
Aquí tenemos los resultados:

Ahora completamos la tabla incluyendo las frecuencias acumuladas y las frecuencias acumuladas decrecientes:

Podemos representar las frecuencias acumuladas o las frecuencias acumuladas decrecientes mediante un diagrama de barras, tal como lo hicimos con los datos discretos. En el diagrama, podríamos llamar a la última clase: 4 ≤ t < 5.

Frecuencia y muestreo

2013-05-16T17:24:00.002-05:00

En cualquier periódico que leamos, nos encontramos algún escrutinio o recuento de datos, con porcentajes y comentarios. ¿Pero son fiables estos escrutinios? Vamos a ver las nociones en que se basan (frecuencia y simulación) y a especificar las limitaciones de sus resultados.
I. Tener la distribución de frecuencias de una serie de datos

Comenzamos con una serie de datos, cuyos valores y frecuencias absolutas, fi, aparecen recogidos en una tabla similar a la siguiente:

Para cada valor xi, calculamos su frecuencia relativa hi.
Se halla dividiendo la frecuencia absoluta fi de ese valor entre el número total de datos n de la población estudiada, es decir: .
Construimos una tabla con los valores de la serie de datos y sus frecuencias relativas, similar a la siguiente:

Lo que habitualmente manejamos es la frecuencia relativa acumulada, que para un determinado valor de X se obtiene sumando su frecuencia relativa con las frecuencias relativas de todos los valores anteriores a él. Dicha frecuencia relativa acumulada la expresamos en valor decimal o en tanto por ciento. La frecuencia relativa acumulada del último valor de la serie debe ser igual a 1, que equivale al 100%.

II. Fluctuación de las muestras
Cuando queremos conocer la proporción p de una característica en una población numerosa, supervisar uno a uno cada individuo de la población es un proceso largo y costoso, así que tomamos una muestra.
Tomar una muestra de tamaño n de la población significa tomar n individuos, o repetir el experimento n veces bajo las mismas condiciones en las que medimos la característica que estamos estudiando.
La serie de datos formada por los n resultados obtenidos es una muestra de tamaño n.
Este método no puede proporcionar el valor exacto de p, ya que diferentes muestras pueden dar diferentes proporciones.
Si tenemos varias muestras, podemos observar estas diferencias en la distribución de frecuencias. Esto es lo que llamamos fluctuación y para observarla, basta con tomar dos muestras.
III. Interpretación de un escrutinio de datos
Como acabamos de ver, con una única muestra no podemos saber la proporción exacta p de una característica en una población completa.
No obstante, si respetamos ciertas condiciones, la proporción observada pe para esa muestra es un buen valor aproximado de la proporción p.
Estas condiciones son las siguientes:
—los individuos de la muestra deben ser elegidos aleatoriamente;
—los individuos se deben devolver a la población (o repetir el experimento en idénticas condiciones);
—el tamaño n de la muestra debe ser bastante grande; se tiene que cumplir que .
Cumpliéndose estas condiciones, podemos asegurar que en el 93% de los casos (de las muestras observadas) se cumple que:
, lo que significa que pe es un valor aproximado de p con una imprecisión o error absoluto de .
IV. Simulación de un experimento
Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado es impredecible a priori, depende de la suerte.
Simular un experimento aleatorio significa sustituir el experimento real por otro también aleatorio que nos proporcione resultados similares a los del real.
Simulamos un experimento cuando el experimento original es difícil de reproducir, bien porque sea demasiado costoso, bien porque llevaría demasiado tiempo o bien porque sería muy difícil de observar.
Simulando varias veces un experimento (por ejemplo, tomando varias muestras), podremos sacar conclusiones de la distribución de frecuencias y de la fluctuación.
Para simular un experimento podemos usar la tecla de una calculadora o una hoja de cálculo (Excel, por ejemplo, tiene la función RAND).
En una calculadora, esta tecla o función proporciona un número aleatorio con unas 10 cifras decimales.
Ejemplo:
Hemos metido 35 prendas rojas y 65 verdes en una caja. El experimento consiste en extraer 10 prendas de la caja, reemplazando cada vez la prenda extraída. ¿Cómo podemos simular este experimento? Usando una calculadora, activamos 10 veces la función obteniendo 10 números decimales. Observamos las dos primeras cifras de la parte decimal de cada número. Si el número que forman esas dos cifras está comprendido entre 1 y 35, consideramos que hemos extraído una prenda roja, de lo contrario consideramos que la prenda extraída ha sido verde. De esta manera podemos simular nuestro experimento tantas veces como queramos.
Recuerda
—La frecuencia relativa hi de un valor perteneciente a una serie de datos viene dada por el cociente entre la frecuencia absoluta fi de dicho valor y el tamaño n de la población: .
—La proporción observada pe de una característica en una muestra de tamaño n es un valor aproximado de la proporción p de dicha característica en la población total, y cuya imprecisión es .
—Si nuestra calculadora tiene la tecla , pulsándola podemos simular experimentos aleatorios.

Calcular frecuencias relativas

2013-05-16T17:21:00.002-05:00

Muchas veces no es posible interpretar directamente una tabla de datos estadísticos. Al representarlos en un gráfico, podemos distinguir visualmente la distribución de los datos. El cálculo de las frecuencias relativas nos muestra la distribución numérica de los datos.

I. Las frecuencias relativas en su forma decimal
1. Definición

La frecuencia relativa de una modalidad de un carácter determinado, es el resultado de dividir la frecuencia absoluta de esa modalidad entre la frecuencia total (la suma de todas las frecuencias absolutas).

2. Ejemplo
En un campamento de verano, los jóvenes son encuestados acerca de cuáles de las siguientes actividades son sus favoritas: fútbol, ping-pong, tiro con arco, vela y bicicleta de montaña. La tabla de abajo muestra los resultados de la encuesta.

Calculamos la frecuencia total: 48 + 35 + 15 + 112 + 40 = 250.
Obtendremos la frecuencia relativa dividiendo cada una de las frecuencias entre la frecuencia total: 48 : 250 = 0,192; 35 : 250 = 0,14; 15 : 250 = 0,06; 112 : 250 = 0,448 y 40 : 250 = 0,16.

Notas:
—una frecuencia relativa es siempre un valor comprendido entre 0 y 1;
—el resultado de la suma de todas las frecuencias relativas, en una tabla estadística, es 1. Podemos comprobarlo con la tabla de arriba: 0,192 + 0,14 + 0,06 + 0,448 + 0,16 = 1;
—en el caso de que al calcular una frecuencia relativa, la división no sea exacta, tal como ocurre en el ejemplo de abajo, siempre podemos redondear el resultado. No obstante debemos tener en cuenta que la suma de estos valores aproximados nunca dará 1, debido al error de redondeo.

Calculamos las frecuencias relativas, redondeando a las centésimas: 7 : 30 = 0,23; 22 : 30 = 0,73 y 1 : 30 = 0,03.
La suma no es 1: 0,23 + 0,73 + 0,03 = 0,99.
II. La frecuencia relativa en forma de porcentaje
1. Recordemos los porcentajes

El número también puede ser escrito como a%.
Ejemplo: .
2. Ejemplo

Observa de nuevo el ejemplo que hemos estudiado sobre las actividades favoritas de los jóvenes en un campamento. Las frecuencias relativas pueden ser expresadas en forma de porcentaje. Obtenemos así la siguiente tabla:

Notas:
—una frecuencia relativa, expresada como porcentaje, siempre toma valores situados entre 0% y 100%;
—la suma de todos los porcentajes es igual a 100%. Podemos comprobarlo en el ejemplo de arriba: 19,2% + 14% + 6% + 44,8% + 16% = 100%;
—si se trata de frecuencias relativas redondeadas, los porcentajes también lo serán. Por lo tanto, la suma de sus valores, que son aproximados, nunca será el 100%. Si volvemos al ejemplo del estudio del color de los ojos, tendríamos que: 23% + 73% + 3% = 99%.

Los cuerpos geométricos

2013-05-13T10:12:00.000-05:00

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros o redondos.

Poliedros

Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geometricas planas; como por ejemplo el cubo.

Hay 4 clases de poliedros:

Redondos

Son todos aquellos que tienen dos caras, una redonda y una derecha, (ya sea la ocasion).

Hay 4 clases de cuerpos redondos

Algunos de todos los cuerpos geométricos

Cono
Cono truncado
Cubo
Piramide triangular
Piramide cuadrangular
Piramide hexagonal
Piramide octagonal
Piramide truncada
Octaedro
Decaedro
Tetraedro
Hexaedro
Prisma triangular
Prisma cuadrangular
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Paralelepipedo
Cilindro
Esfera

ÁREAS DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

ÁREA DEL CILINDRO RECTO

ÁREA DEL CONO RECTO

ÁREA DE LA ZONA ESFÉRICA

ÁREA DE LA ESFERA

ÁREA DEL CASQUETE ESFÉRICO

ÁREA DEL DODECAEDRO

ÁREA DEL HUSO ESFÉRICO

ÁREA DEL ICOSAEDRO

ÁREA DEL OCTAEDRO

ÁREA DE LA PIRÁMIDE REGULAR

ÁREA DEL TETRAEDRO

ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE

ÁREA DEL CUBO

ÁREA DEL ORTOEDRO

ÁREA DEL TRONCO DEL CONO

ÁREA DEL PRISMA RECTO

Calcular la mediana de una serie de datos

2013-05-10T08:51:00.002-05:00

Un alumno ha obtenido una nota de 7 sobre 20 en matemáticas. Ante un resultado tan malo, intenta hacer que sus padres se sientan menos molestos por la nota que ha sacado, diciéndoles que hay la misma cantidad de alumnos con notas más bajas y más altas que las suyas.

Utilizando el vocabulario estadístico, diríamos que la nota que ha sacado el alumno se corresponde con la mediana. Como en geometría, la palabra mediana se corresponde con la idea de término medio. La mediana de una serie de datos es semejante a la media, una medida de tendencia central. Pero, ¿cómo se calcula?

I. Definiciones y algunos ejemplos
1. Definición

Si tenemos una serie de datos ordenada, el valor de la mediana es aquel que se encuentra en el centro de la serie, es decir, corta o divide la serie en dos grupos del mismo tamaño (con igual número de datos):
—un grupo está formado por valores menores que la mediana o iguales a ella;
—el otro grupo está formado por valores mayores que la mediana o iguales a ella.

2. Ejemplos

Cuando la muestra es impar
Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de números.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.

Primera serie: 2, 6, 7, 25, 58.
El número 7 es la mediana de la serie pues divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 2 y 6 (valores menores que 7), y 25 y 58 (valores mayores que 7).

Segunda serie: 4, 7, 9, 9, 11, 15, 17.
El número 9 es la mediana de la serie. Divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 4, 7 y 9 (valores menores o iguales que 9), y 11, 15 y 17 (valores mayores que 9).
Conclusión: si la muestra de datos es impar, la mediana se calcula fácilmente: es el valor central de la serie. La serie queda dividida en dos grupos que contienen la misma cantidad de datos y cuyos valores están por encima y por debajo de la mediana.

Cuando la muestra de datos es una cantidad par

Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de valores.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.

Primera serie: 1, 5, 12, 13, 21, 24.
Tomamos los dos valores que se hallan en el centro de la serie y calculamos su media:

El valor 12,5 es el valor de la mediana de esta serie ya que divide la serie en dos grupos de igual número de datos: 1, 5 y 12 (valores menores que 12,5), y 13, 21 y 24 (valores mayores que 12,5).
Segunda serie: 5, 14, 18, 19, 19, 25, 47, 56.
En este caso no hay mayor problema porque los dos valores centrales de la serie son el mismo número. Luego el 19 es el valor de la mediana de esta serie de valores. El 19 divide la serie en dos grupos del mismo número de datos: 5, 14, 18 y 19 (valores menores o iguales que 19), y 19, 25, 47 y 56 (valores mayores o iguales que 19).
Conclusión: si la serie contiene un número par de datos, los dos grupos con igual número de datos se corresponden con las dos mitades de la serie ordenada. Y para calcular la mediana solo es necesario hallar la media de los dos valores centrales de la serie.
II. Calcular la mediana
1. Cuando los datos están desordenados
Si la serie de datos no está ordenada, debemos ordenarla.
Ejemplo: mostramos una serie ordenada de las puntuaciones que ha obtenido un alumno en un examen:
2; 3; 5; 6; 6; 8; 9; 9,5; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 14; 14; 15,5; 16; 17; 17,5; 19.
Al contar el número de puntuaciones, encontramos que hay un total de 21 valores. Como tenemos que dividir la serie en dos mitades con el mismo número de elementos, nos quedarían dos grupos de 10 valores; por tanto, la mediana será el valor sobrante que no esté en ninguno de estos grupos. Es decir, será el valor undécimo de la serie. La mediana es 10.
Podemos representarla así:

2. Cuando los datos vienen dados en una tabla de frecuencias
Ejemplo: la tabla de abajo nos muestra la distribución de las notas (sobre 20) obtenidas por los alumnos de una clase en el último examen.

Primer paso: calcular las frecuencias acumuladas. Observa como la última frecuencia acumulada siempre nos informa acerca del número total de individuos que forman la muestra. En este caso es 22.

Segundo paso: dividimos el total de datos entre dos: como el total es 22, dividimos las notas en dos grupos de 11.
Tercer paso: observamos en la tabla solo la columna de frecuencias acumuladas y escogemos la primera modalidad cuya frecuencia acumulada sea mayor que 11. Es decir, el 9 tiene una frecuencia acumulada de 14 (14 > 11), por lo tanto, el 9 es la mediana de esta serie.
3. Los datos vienen dados en un gráfico de frecuencias acumuladas
El gráfico es una curva llamada polígono de frecuencias acumuladas y nos muestra la distribución de las notas en una clase de 22 alumnos. Se construye colocando las notas en el eje de las x (abscisas) y su correspondiente frecuencia acumulada en el eje y (ordenadas). A continuación, se marcan los puntos definidos por cada par de valores (x, y) y se conectan mediante líneas. De esta forma queda dibujado el polígono de frecuencias.

La mitad del número total de datos es 11. Podemos observar en el gráfico que a este valor de y, le corresponde un valor de x que se encuentra comprendido entre 6 y 7. Por lo tanto, la mediana sería el valor de la media de 6 y 7:

Es decir, la mediana es 6,5.

Estadística matemáticas

2013-05-10T08:48:00.001-05:00

Un estudio estadístico se desarrolla normalmente en varias etapas:

—recogida de los datos;
—clasificación de los datos en una tabla;
—representación del conjunto o serie de datos en una gráfica o diagrama estadístico;
—caracterización de la serie de datos usando varios parámetros.
Aquí definiremos varios de estos parámetros, como varianza, desviación típica, cuartiles… y utilizaremos el diagrama de caja, un método de representación que nos permite comparar de un vistazo dos conjuntos de datos.

I. Calcular la varianza y la desviación típica
Sea la serie de datos estadísticos de tamaño o dimensión n siguiente:

La media de X es: .
Llamamos varianza del conjunto de datos X, al número:

También podemos escribir esta expresión como:
.
La desviación típica es el número: .
Cuando, en vez de tener un valor discreto , lo que tenemos es un intervalo, las fórmulas son las mismas, pero sustituimos por el valor central del intervalo, o marca de clase.
Ejemplo:
Estudiamos la edad, X, de los empleados de una empresa. Obtenemos estos valores:

La media de X es:

.
La varianza es:

.
Y la desviación típica es: .
Nota:
La varianza y la desviación típica miden cómo se distribuyen los valores de X con relación a la media. Son parámetros o medidas de dispersión (mientras que la media y la mediana son parámetros omedidas de centralización, que especifican los valores más representativos de un conjunto de datos).
También podemos hallar la varianza usando la siguiente fórmula:
.
II. Calcular la mediana de un conjunto o serie de datos
La mediana, que representamos por Me, es el número que divide a la serie de datos ordenada por valores crecientes en dos grupos con el mismo peso o cantidad de valores.
Para calcularla, escribimos la lista de todos los valores de la serie ordenados en orden creciente, repitiendo cada uno de ellos tantas veces como indique su frecuencia absoluta. Ahora podemos distinguir dos situaciones:
—si la población total n es un número impar, la mediana es el término que ocupa el lugar  ;
—si la población total n es un número par, la mediana es el valor central del intervalo formado por los términos que ocupan las posiciones y .
Cuando los datos de la serie vienen agrupados en clases o intervalos, podemos determinar gráficamente la mediana, usando el polígono de frecuencias absolutas o el polígono de frecuencias absolutas acumuladas, interpolando linealmente si fuera necesario.
Ejemplo:
Retomamos el ejemplo anterior. Estudiamos X, la edad de los empleados de una empresa. Tenemos:

Hemos incorporado en la tercera columna de la tabla las frecuencias absolutas acumuladas. En esa columna podemos ver que hay 1.050 empleados menores de 35 años y 1.800 menores de 40 años.
La mediana Me, que corresponderá a la frecuencia absoluta acumulada de 1.500, pertenece al intervalo 35 ≤ x < 40.
Tenemos:

Fijémonos en los puntos A(35, 1.050) y B(40, 1.800) que corresponden a los extremos de dicho intervalo .
Buscamos Me, que es la coordenada x o abscisa del punto M situado sobre el segmento AB para el que la coordenada y u ordenada toma el valor 1.500.
y son vectores que tienen la misma dirección.
Por tanto: , o .
III. Hallar los cuartiles de un conjunto de datos
Sea la serie de datos estadísticos X de tamaño n.
El primer cuartil o cuartil inferior, Q1, es el valor más pequeño de la serie tal que al menos el 25% de los datos son menores o iguales que Q1.
El tercer cuartil o cuartil superior, Q3, es el valor más pequeño de la serie tal que al menos el 75% de los datos son menores o iguales que Q3.
El intervalo intercuartiles es el intervalo .
La diferencia es la amplitud o rango del intervalo intercuartiles.
Podemos hallar los cuartiles Q1 y Q3 de una forma similar a como hallamos la mediana.
Escribimos una lista con todos los valores de la serie en orden creciente, repitiendo cada uno de ellos tantas veces como indique su frecuencia absoluta. Podemos distinguir dos situaciones:
—si es un número entero p, Q1 es el valor de número de orden p y Q3 es el valor de número de orden 3p;
—si no es un número entero, Q1 es el valor cuyo número de orden sea una unidad superior a y Q3 es el valor cuyo número de orden sea una unidad superior a .
Si la serie viene agrupada en clases o intervalos, podemos determinar gráficamente los cuartiles utilizando el polígono de frecuencias absolutas o el polígono de frecuencias absolutas acumuladas, interpolando linealmente si es necesario.
Ejemplo:
Continuamos con el mismo ejemplo: estamos estudiando la edad X de los empleados de una empresa. Teníamos:

El 25% de 3.000 es 750. Usando las frecuencias absolutas acumuladas, podemos ver que Q1 pertenece al intervalo 30 ≤ x < 35. Obtenemos la gráfica siguiente:

Representemos los puntos A(30, 450) y B(35, 1.050).
Buscamos Q1, que es la coordenada x del punto M sobre la recta AB, cuya coordenada y toma el valor 750.
y tienen la misma dirección.
Por tanto: , de donde .
El 75% de 3.000 es 2.250. Utilizando las frecuencias absolutas acumuladas, podemos ver que 2.250 empleados son menores de 45 años. Por tanto, Q3 es igual a 45.
IV. Parámetros de un conjunto de datos tras una transformación afín (de la forma y = ax + b)
Sea la serie de datos estadísticos de tamaño n:

Se considera la serie de datos estadísticos , es decir, la serie:

en la que .
Usando nuestra notación, tenemos que:
;  ; .
Si son, respectivamente, los valores de la mediana, el cuartil inferior y el cuartil superior de X y si son, respectivamente, los valores de la mediana, el cuartil inferior y el cuartil superior de Y, tenemos:
;
si a > 0,  ;  ;
si a < 0,  ; .
V. Dibujar un diagrama de caja
Para dibujar un diagrama de caja :
—marcamos los valores de la serie estadística sobre un eje horizontal o vertical;
—se coloca el mínimo y el máximo valor de la serie sobre el eje, así como los cuartiles inferior (1er cuartil) y superior (3er cuartil), y la mediana;
—construimos un rectángulo (caja) paralelo al eje, de longitud igual a la amplitud del intervalo intercuartiles, y anchura arbitraria.
Al diagrama de caja se le llama a veces “diagrama de bigotes” o “diagrama de patas”.
Ejemplo:
Retomemos de nuevo el ejemplo en el que estudiábamos la edad de los empleados de una empresa.
El máximo es 55 y el mínimo es 20. La mediana es 38, el cuartil inferior es 32,5 y el cuartil superior es 45. Obtenemos el diagrama de caja siguiente:

Recuerda
Si X es una serie de datos estadísticos:
—La varianza es el número: .
—La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza: .
—El cuartil inferior, representado por Q1, es el valor más pequeño de la serie tal que al menos el 25% de los datos son menores o iguales que Q1.
—El cuartil superior, representado por Q3, es el valor más pequeño de la serie tal que al menos el 75% de los datos son menores o iguales que Q3.
—El intervalo intercuartiles es el intervalo .

Estadística: conceptos

2013-05-10T08:44:00.002-05:00

Población, carácter, modalidad, frecuencia de un valor, y valores agrupados por clases son expresiones comúnmente utilizadas en estadística.
Pero, ¿qué significa exactamente cada uno de estos términos?

I. Un estudio estadístico acerca de la televisión
Un grupo de alumnos ha realizado una encuesta en su colegio. Han preguntado a sus compañeros de 2º de E.S.O. cuánto tiempo dedican durante la semana a ver la televisión. Podemos ver los resultados de la encuesta en la tabla de abajo.

1. Población y muestra

En la encuesta, todos los alumnos del colegio forman la población; el estudio está basado en ellos. Si realizamos un estudio estadístico sobre el color de los coches que se han vendido este año en nuestro país, la población sería todos los coches.
Pero al realizar un análisis estadístico puede resultar muy complicado tener acceso a toda la población. Por lo tanto, lo que hacemos es escoger solo una parte de la población para realizar el estudio, es decir, escogemos una muestra que sea lo suficientemente representativa. En el estudio sobre la televisión, los alumnos de 2º de E.S.O. sería la muestra que hemos elegido como representativa de toda la población del centro.

2. Carácter cuantitativo y carácter cualitativo
En un estudio estadístico, el carácter es aquello que hemos elegido como objeto de estudio y que va a ser observado y analizado sobre la muestra de población seleccionada.

Para la encuesta sobre la televisión, el carácter es el número de horas dedicadas a ver la televisión. Si el carácter se puede expresar mediante un valor numérico, entonces decimos que el carácter es de tipocuantitativo.

En el caso del estudio del color de los coches, el carácter es un color. Este carácter no puede ser expresado mediante un valor numérico, por eso decimos que se trata de un carácter cualitativo.

3. Modalidad o valor
El estudio de un carácter sobre una población nos suele proporcionar resultados muy diversos (diferentes respuestas u observaciones sobre una misma pregunta); esta variedad de resultados o de posibles respuestas que podemos obtener recibe el nombre de valor o modalidad.
Por lo general, utilizamos el término modalidad cuando nos referimos a caracteres de tipo cualitativo y el término valor cuando hacemos referencia a caracteres de tipo cuantitativo.
En el estudio sobre la televisión, los valores son el número de horas que aparecen en la primera fila de la tabla (0 h, 1 h, 2 h, etc.).

En el caso del estudio sobre el color de los coches, las modalidades podrían ser: blanco, verde, negro, rojo, azul, etc.

4. Frecuencia
La frecuencia total es el número de individuos que forman la muestra elegida.
En la encuesta sobre la televisión, la frecuencia total es el número de alumnos entrevistados. La podemos calcular sumando los valores de la segunda fila de la tabla:

15 + 3 + 7 + 19 + 27 + 26 + 23 + 15 + 17 + 8 + 14 + 5 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 187
En la tabla observamos que hay 15 alumnos que no ven la televisión (0 horas), 3 alumnos que ven la televisión 1 hora a la semana, 7 alumnos que la ven 2 horas, etc.
Podemos expresar todo esto diciendo que la frecuencia del valor 0 es 15, la frecuencia del valor 1 es 3, la frecuencia del valor 2 es 7, etc.

Nota: no debemos confundir la frecuencia de un valor con la frecuencia total.

II. Después de la encuesta: los valores se pueden agrupar por clases
Supongamos que estamos interesados en tres categorías de alumnos:
—aquellos que ven la televisión menos de 7 horas a la semana (0 h a 6 h);
—aquellos que ven la televisión al menos 7 horas pero menos de 14 (7 h a 13 h);
—aquellos que ven la televisión más de 14 horas a la semana (14 h a 16 h).
Con esta nueva estructura que hemos dado a los datos, podemos crear una nueva tabla que tendría este aspecto:

La frecuencia de 120, por ejemplo, ha sido calculada sumando las frecuencias de los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6: 15 + 3 + 7 + 19 + 27 + 26 + 23 = 120.
De la misma forma, hemos calculado: 15 + 17 + 8 + 14 + 5 + 3 + 1 = 63 y 2 + 1 + 1 = 4.
Los tres grupos de tiempo que hemos creado se denominan clases:
—la 1ª clase es “0 h a 6 h”, y contiene los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6;
—la 2ª clase es “7 h a 13 h”, y contiene los valores 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13;
—la 3ª clase es “14 h a 16 h”, y contiene los valores 14, 15 y 16.
Ver también artículo Estadística.

Representación gráfica de una función lineal

2013-05-10T08:39:00.000-05:00

Toda función lineal f(x) = ax es una relación de proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?

I. Representar gráficamente una función lineal

1. Un ejemplo
Representemos gráficamente la función lineal f(x) = 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, si x = 1, tenemos f(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatorios de x y hallamos los correspondientes valores de y.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:

Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa
recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.
2. Propiedades
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen.
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es la recta de ecuación y = ax.
Al coeficiente a de la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función lineal f(x) = 3x es la recta de ecuación y = 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios de x, hallamos sus correspondientesvalores de y, y situamos los puntos (x, y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que la ordenada y correspondiente a x = 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.
3. Ejemplos de aplicación
Sabemos que la representación gráfica de cualquier función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función lineal f(x) = -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a la x. Por ejemplo, si x = 1 tenemos que f(1) = -3, lo que nos da el punto A(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa por A y por el origen.

Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal , y a continuación hallar los valores de y correspondientes a x = –4 y a x = 6, valores de y que leeremos sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemos x = 4. Obtenemos ; es decir, f(4) = 2, que nos da el punto B(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor de y correspondiente a x = – 4, buscamos el punto en el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del eje x corta a la recta, y leemos el valor de y que resulta. Obtenemos f(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor de y que corresponde a x = 6, obteniendo f(6) = 3.

II. Interpretar la pendiente en una gráfica
Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x) = –4x; ; f(x) = 0,2x; f(x) = 3x.
Llamemos D1 a la recta que representa la función f(x) = –4x. Si x = 1, obtenemos f(1) = –4, lo que nos da el punto A(1, –4) sobre D1.
Llamemos D2 a la recta que representa la función . Si x = –4, obtenemos f(–4) = 2, lo que nos da el punto B(–4, 2) sobre D2.
Llamemos D3 a la recta que representa la función f(x) = 0,2x. Si x = 5, obtenemos f(5) = 1, lo que nos da el punto C(5, 1) sobre D3.
Llamemos D4 a la recta que representa la función f(x) = 3x. Si x = 2, obtenemos f(2) = 6, lo que nos da el punto D(2, 6) sobre D4.
Obtenemos esta representación:

Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la recta D1,para la recta D2, 0,2 para la recta D3 y 3 para la recta D4.
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 y D2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumenta x, mientras que D3 y D4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumenta x.
—D1 está más inclinada que D2 (la pendiente de D1 (-4) es menor que la de D2 ); de forma similar, D4 está más inclinada que D3 (la pendiente de D4 (3) es mayor que la de D2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y “descendentes” según aumenta x, y comparar los grados de inclinación de rectas diferentes.

Interpretar una gráfica

2013-05-10T08:34:00.001-05:00

¿Qué es una gráfica?

Una gráfica nos permite usar un dibujo para ilustrar datos. De tal manera que un diagrama de barras o uno de sectores son gráficas.
Una curva que nos muestra la evolución de la estatura de un niño de acuerdo a su edad, es también una gráfica.

I. Ejemplo 1

En la gráfica de la figura 1, la cual nos da la estatura de un niño en función de su edad, los años están representados en el eje horizontal (también llamado eje de abscisas o eje de las x) y la estatura aparece representada en el eje vertical (también conocido como eje de ordenadas o eje de las y).

Para localizar, por ejemplo, la estatura del niño a los tres años de edad, debemos encontrar el valor que toma la y en el punto en el que la abscisa (la x) es 3. El resultado es que el valor de la ordenada en el punto 3, es 100. Por tanto podemos decir que el niño medía 100 cm (1 metro) de estatura cuando tenía 3 años.

Si queremos averiguar a qué edad el niño había crecido hasta 1,4 m de estatura, deberemos localizar 140 cm en el eje vertical y leer en el eje de abscisas el valor que toma x para el punto de la curva donde la ordenada y vale 140. Aquí se puede apreciar que fue alrededor de los ocho años y medio cuando el crecimiento del niño llegó hasta los 1,4 m.
II. Ejemplo 2

La gráfica de la figura 3 representa la distancia recorrida por un estudiante yendo al colegio en bicicleta, teniendo en cuenta el tiempo empleado.
Si observamos los puntos numerados de la gráfica, podemos observar que:
—punto 1: a las 7 h 30 min, el niño sale;
—puntos 1 al 2: el niño recorre un kilómetro en diez minutos (desde las 7 h 30 min hasta las 7 h 40 min);
—puntos 2 al 3: el niño para durante cinco minutos, justo cuando se encuentra a un kilómetro de distancia desde el punto de salida (desde las 7 h 40 min hasta las 7 h 45min);
—puntos 3 al 4: el niño parte de nuevo y cubre un kilómetro (2 - 1 = 1) en cinco minutos (desde las 7 h 45 min hasta las 7 h 50 min);
—puntos 4 al 5: el niño acelera y recorre una distancia de dos kilómetros (4 - 2 = 2) en cinco minutos (desde las 7 h 50 min hasta las 7 h 55 min);
—puntos 5 al 6: a las 7 h 55 min él llega y permanece parado hasta las 8 h 0 min sin recorrer más kilómetros.

Representar un punto en los ejes de coordenadas

2013-05-10T08:32:00.003-05:00

Los ejes de coordenadas consisten en dos rectas graduadas, perpendiculares entre sí y que se cruzan en un punto, llamado origen. El eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, o de las “x”. El eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, o de las “y”. Las coordenadas de un punto se representan mediante dos números entre paréntesis, separados mediante una coma, y esta estructura recibe el nombre de par ordenado:

—el primer número es la coordenada x del punto, es decir, el valor del punto en el eje de abscisas;
—el segundo número es la coordenada y del punto, es decir, el valor del punto en el eje de ordenadas.
¿Cómo podemos representar en los ejes un punto cuyas coordenadas conocemos?

I. Primer ejemplo

Queremos representar el punto A cuyas coordenadas son (3, 2).
La abscisa es 3 y la ordenada es 2.
Primer paso: localizamos el valor 3 en el eje de abscisas y el valor 2 en el de ordenadas. Hay que tener en cuenta que en la parte derecha del eje de abscisas se representan los valores positivos y en la parte izquierda los negativos. Igualmente, en la parte superior del eje de ordenadas se representan los valores positivos y en la inferior los negativos.

Segundo paso: dibujamos las líneas paralelas a los ejes que discurren como líneas de puntos, desde 3 y desde 2, tal como muestra la figura 2. El punto A es el punto donde se cruzan estas dos líneas.

II. Segundo ejemplo
Queremos representar el punto B cuyas coordenadas son (-4, -3).
La coordenada x, la abscisa, de B es -4 y la coordenada y, la ordenada, es -3.
Usando el mismo método que en el ejemplo anterior, obtenemos el punto dibujado en la figura 3.

III. Notas
Si la coordenada x de un punto, la abscisa, es 0, entonces el punto está en algún lugar del eje de ordenadas o de las “y”.
Si la coordenada y de un punto, la ordenada, es 0, entonces el punto está en algún lugar del eje de abscisas o de las “x”.
También podemos representar puntos cuyas coordenadas no sean valores enteros.
Ver también artículo Representar cualquier valor de una coordenada x sobre un eje.

Representar cualquier valor de una coordenada x sobre un eje

2013-05-10T08:29:00.002-05:00

Podemos representar los números enteros sobre una recta graduada, a ambos lados del cero. ¿Cómo localizamos el punto que corresponde a un valor cualquiera de x sobre dicha recta?

I. Definir un eje

Un eje es una recta que podemos graduar, eligiendo un segmento unidad y dibujando sobre ella las marcas correspondientes a valores múltiplos de dicha unidad.
En general, se marca sobre el eje un punto de referencia, llamado origen, al que se le asigna el cero, y se toman como positivos los valores que quedan a su derecha y como negativos los que quedan a su izquierda (estos dos sentidos se suelen representar por dos cabezas de flecha sobre los extremos de la recta).
Se puede elegir sobre el eje la unidad de longitud que queramos o más nos convenga, pero la distancia entre cada par de marcas consecutivas ha de permanecer constante para todas ellas. Por ejemplo, en la figura 1, la unidad tomada es 1, mientras que en la figura 2 es , es decir, 0,1.

II. Dibujar el punto que corresponde a un valor de la coordenada x
La coordenada x de un punto situado sobre un eje es el número al que está asociado dicho punto; este número indica:
—el número de unidades que es necesario avanzar desde el origen para alcanzar el punto en cuestión;
—el sentido en que hemos de ir para llegar a él, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.
1. Cuando está marcado el origen sobre el eje
Sea un eje en el que sí está señalado el origen. Si queremos representar el punto A de coordenada x = -3, solo hemos de contar tres unidades hacia la izquierda desde el cero, ya que en este caso la distancia entre cada dos marcas es igual a 1 (lo podemos comprobar observando las marcas correspondientes al 0 y al 1).

Si queremos representar el punto B de coordenada x = 2,7 la tarea es más complicada, porque será necesario dividir el segmento comprendido entre 2 y 3 en diez partes iguales y contar hasta la séptima, a partir de la marca del 2.

Notas:
—es imposible representar el punto C correspondiente al valor x = 3,64, ya que no podemos representar centésimas sobre el eje dado; solo podemos situarlo de forma aproximada: entre los puntos de coordenadas x = 3,6 y x = 3,7;
—para representar el punto de coordenada x = - 7, tendremos que alargar el eje, ya que el que hemos dibujado es corto, no llega a ese valor.
2. Cuando no está marcado el origen sobre el eje
No siempre está marcado el origen sobre el eje; a pesar de ello, a veces es posible representar un punto.
Sobre el eje de la figura 5 es posible situar el punto D de coordenada x = – 3,2, ya que entre cada dos marcas hay una distancia de , tal como muestran las coordenadas x = – 3,6 y x = – 3,5.

Por el contrario, no es posible situar el punto de coordenada x = 2 sobre dicho eje.
Ver también artículo Representar un punto en los ejes de coordenadas.

Funciones y cálculos con expresiones algebraicas

2013-05-07T17:14:00.002-05:00

Una función que contiene un término en el que la variable está elevada al cuadrado, o una función que es cociente de dos funciones afines se puede pasar a su forma “canónica” y expresarla como la composición de varios operadores, determinando los intervalos en los que cada uno de estos operadores es creciente o decreciente.

I. Estudio de una función con una incógnita elevada al cuadrado
Si en una función la incógnita está elevada al cuadrado, la función se escribe en forma canónica: . Esta forma nos permite volver a escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:

Si f es el polinomio , lo podemos expresar como .
Buscamos ahora que dentro del paréntesis quede un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma). Para ello, desarrollamos:
.

Así pues, obtenemos:
o
por tanto, .
Comprobamos que la función f, definida en el intervalo [-5, 2] como , alcanza su valor mínimo f(x) = –3,5 cuando el paréntesis elevado al cuadrado es cero, lo que sucede para x = -1,5.
La tabla de variación es:

Completamos una tabla de valores para dibujar la curva:

II. Resolución de una ecuación o una inecuación con una incógnita elevada al cuadrado
Para resolver una ecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado, la convertimos en una expresión de la forma . Puesto que al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos se obtiene el mismo resultado,
es equivalente a o .
Ejemplo:
La expresión equivale a x - 1 = 3, de donde x = 4, o a x - 1 = -3, de donde x = -2. El conjunto de soluciones es S = {-2, 4}.
Para resolver una inecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, factorizamos en producto de factores de primer grado.
Podemos entonces determinar el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Para resolver hacemos .
Puesto que una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia, , tendremos: , que queda .

Usando una tabla de signos:

Vemos que el producto es negativo o cero en el intervalo [-2, 4], por tanto, S = [-2, 4].
III. Estudio de una función cociente de dos funciones afines
Si una función es igual al cociente de dos funciones afines, la escribimos en forma canónica como . Esta forma nos permite escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:
Si f es una función definida en [1,5, 6] como , podemos escribir
, es decir, .
La función f, definida en [1,5, 6] como , es decreciente en todo su intervalo de definición, ya que al descomponerla en operadores, , aparece la función inversa o recíproca, que es siempre decreciente.
Dibujamos la curva a partir de una tabla de valores:

IV. Resolución de una ecuación o una inecuación con la incógnita en el denominador
—En el caso de una ecuación, multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores.
Ejemplo:
Si , resolver la ecuación es equivalente a resolver .
Operando: , o , de donde x = 3.
El conjunto de soluciones es S = {3}.
—En el caso de una inecuación, pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, la expresamos como un cociente de factores de primer grado. A partir de ahí podemos deducir el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Si , resolver la inecuación es equivalente a resolver .
Reduciendo a común denominador, obtenemos: , o .
Finalmente, usamos una tabla de signos:

El cociente es negativo o cero en el intervalo (0, 3], de forma que .
Recuerda
—La tabla de variación de una función con una incógnita elevada al cuadrado se construye a partir de la forma canónica . Si , el coeficiente del término elevado al cuadrado, es negativo, entonces es un máximo y se alcanza para . Si es positivo, entonces es un mínimo y también se alcanza para .
—La ecuación tiene dos soluciones: o .
—Para resolver una inecuación con la incógnita elevada al cuadrado, pasamos todos los términos a uno de los dos miembros de la inecuación. Descomponiendo la expresión resultante en factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones.
—Para resolver una ecuación en la que la incógnita está en el denominador, multiplicamos en cruz, para eliminar los denominadores.
—Para resolver una inecuación con la incógnita en el denominador, pasamos todos los términos a un miembro. Expresando el numerador y el denominador como producto de factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones. Tenemos que tener cuidado y excluir del conjunto de soluciones aquellos valores que anulan el denominador.

Estudio gráfico de una función

2013-05-07T17:09:00.002-05:00

Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones.

I. Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica
Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisa x. El dominio de definición es el conjunto de estas abscisas o valores de x. Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos.

Ejemplo: la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisa x está comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos: .

II. Construir la tabla de variación de una función a partir de su representación gráfica
Una función es creciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a losvalores que toma x en dicho intervaloaumentan.
Una función es decreciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalodisminuyen.
Una función es constante en un intervalo I, si su representación gráfica es un segmento horizontal.
Ejemplo:

La gráfica anterior representa una función f que es:
—decreciente para el intervalo [-3, 2];
—constante para el intervalo [2, 3];
—creciente para el intervalo [3, 6].
La función alcanza su valor mínimo en el intervalo [2, 3].
Resumimos esta información en una tabla de variación:

III. Deducir las soluciones de una ecuación a partir de la representación gráfica de una función
Las soluciones de la ecuación f(x) = k son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) = 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica de la función f corta al eje horizontal o eje de abscisas.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.

El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 4 es: S = {-2, 3}.
El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 0 es: S = {-1, 2}.
Las soluciones de la ecuación f(x) = g(x) son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la gráfica que representa a g.
Ejemplo: la curva C es la representación gráfica de una función f y la recta D representa una función g. El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = g(x) es: S = {0, 3}.

IV. Deducir las soluciones de una inecuación a partir de la representación gráfica de una función
Las soluciones de la inecuación f(x) < k son las abscisas x de los puntos de la gráfica de la función f situados por debajo de la recta de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) < 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos de la gráfica de f situados por debajo del eje horizontal.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.

El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) > -2 es: .
El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) < 0 es:
Las soluciones de la inecuación f(x) < g(x) son las abscisas x de los puntos de la gráfica que representa a f situados por debajo de la gráfica que representa a g.
Recuerda
—Para determinar el dominio de definición de una función, se leen los valores de las abscisas x de los puntos de la representación gráfica. Dicho dominio se escribe como un intervalo o unión de intervalos.
—Para conocer el sentido de variación en un intervalo, se recorre la representación gráfica de izquierda a derecha y se observa si los valores de las ordenadas aumentan o disminuyen.
—Para hallar las soluciones de una ecuación de la forma f(x) = k, se leen las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k. En el caso de una inecuación f(x) < k, se leen las abscisas x de los puntos situados bajo la recta de ecuación y = k.

Definir una función lineal del tipo y = ax o f(x) = ax

2013-05-07T17:06:00.003-05:00

¿Qué elementos necesitaremos para definir una función lineal, es decir, para comprenderla completamente?

I. Definir una función lineal de forma analítica
Vamos a trabajar con funciones del tipo f(x) = ax (también se pueden expresar así: y = ax), donde a es un valor constante, llamado coeficiente de la función. Por lo tanto, nuestro objetivo consistirá en encontrar un valor para el coeficiente a que nos permita escribir la función según la estructura que acabamos de describir.

Encontrar el valor de a consiste en calcular cuál es el número que aplicado a la x hace que obtengamos un valor concreto para la y.
1. Calcular el coeficiente si nos dan un valor de y distinto de cero
Ejemplo: queremos calcular la función lineal (del tipo f(x) = ax o y = ax) que transforma el valor 12 en 44. En otras palabras, buscamos el valor del coeficiente a que nos permita escribir la forma general de la función que hace que y = 44, cuando x = 12.

Si sustituimos el valor 12 en la variable x, la función toma este aspecto y = a · 12. Como sabemos que cuando x = 12, y = 44, entonces: 44 = a ·12 y despejando: , que simplificando nos queda: .
Por lo tanto, ya tenemos el valor del coeficiente a que nos va a permitir escribir la función que convierte el valor 12 de x en el valor 44 de y.
La función lineal es:

o
2. Un caso de proporcionalidad
Ejemplo 1: un automóvil viaja a una velocidad constante de 110 km/h. Queremos demostrar que la distancia recorrida (en km) por el coche es una función lineal del tiempo (en horas), y además deseamos escribir dicha función.

Primero comenzaremos recordando la ecuación física que calcula el espacio recorrido por un móvil que se mueve con velocidad constante: d = v · t, donde d es el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo empleado. En este caso, v = 110 km/h, por lo tanto, podemos escribir que d = 110 · t o d = 110t (d en kilómetros y t en horas). Por consiguiente, la función que relaciona el tiempo transcurrido con la distancia recorrida tendría la forma f(t) = 110t.
Es decir, se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 110, la velocidad del automóvil.

Ejemplo 2: un comerciante decide rebajar un 30% todos los artículos que tiene en su tienda. Pero quiere comprobar que el precio rebajado es una función lineal del precio original y además también desea calcular y escribir la forma que tendría esta función.
Llamaremos x al precio original de un artículo. El precio rebajado debería ser: .
Si sacamos factor común a x:

Por consiguiente, la función que transforma el precio original en precio rebajado es: f(x) = 0,7x o y = 0,7x. Se trata de una función lineal y su coeficiente es 0,7.
Ejemplo 3: vertemos agua en el interior de un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 8 cm de diámetro. Queremos comprobar que la función que transforma el nivel del agua en el vaso, h (en cm), en volumen de agua (en cm3) es una función lineal. Así mismo queremos calcular la función.

Comenzaremos recordando que el volumen V de un cilindro de radio r y altura h viene dado por la fórmula:

V = r2h.
El diámetro del cilindro es de 8 cm, por lo que su radio es de 4 cm.
Así, cuando el nivel del agua ha alcanzado los h cm de altura, el volumen del líquido en el interior del vaso viene dado por V = × 42 × h = 16 h.
Por consiguiente, la función que transforma la altura del agua en volumen de agua viene dada por la siguiente expresión: f(h) = 16 h o y = 16 h.
Se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 16 .

II. Definir una función lineal a partir de una gráfica
Ejemplo: queremos calcular la función lineal representada en la figura mediante la recta D.
Observando e interpretando la gráfica, podemos calcular las coordenadas de un punto M cualquiera —que no sea el origen— perteneciente a la recta D. En este caso, las coordenadas de M son (–5, 3).

Llamemos y = ax a la función lineal que deseamos calcular. El punto M pertenece a la recta que representa dicha función. Es decir, que si sustituimos las coordenadas del punto M en la función, tendríamos que: 3 = a · (-5), “…cuando le damos a x el valor -5, la y adquiere el valor 3”. Si despejamos obtenemos el coeficiente:

Por lo tanto, la función lineal que buscamos es: y = – 0,6x o f(x) = – 0,6x. Aunque también la podemos expresar así:

Representación gráfica de una función lineal

2013-05-07T17:03:00.004-05:00

Toda función lineal f(x) = ax es una relación de proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?
I. Representar gráficamente una función lineal

1. Un ejemplo
Representemos gráficamente la función lineal f(x) = 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, si x = 1, tenemos f(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatorios de x y hallamos los correspondientes valores de y.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:

Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.

2. Propiedades
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen.
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es la recta de ecuación y = ax.
Al coeficiente a de la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función lineal f(x) = 3x es la recta de ecuación y = 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios de x, hallamos sus correspondientesvalores de y, y situamos los puntos (x,y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que la ordenada y correspondiente a x = 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.

3. Ejemplos de aplicación
Sabemos que la representación gráfica de cualquier función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función lineal f(x) = -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a la x. Por ejemplo, si x = 1 tenemos que f(1) = -3, lo que nos da el punto A(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa por A y por el origen.

Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal , y a continuación hallar los valores de y correspondientes a x = –4 y a x = 6, valores de y que leeremos sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemos x = 4. Obtenemos ; es decir, f(4) = 2, que nos da el punto B(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor de y correspondiente a x = – 4, buscamos el punto en el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del eje x corta a la recta, y leemos el valor de y que resulta. Obtenemosf(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor de y que corresponde a x = 6, obteniendo f(6) = 3.

II. Interpretar la pendiente en una gráfica
Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x) = –4x; ; f(x) = 0,2x; f(x) = 3x.
Llamemos D1 a la recta que representa la función f(x) = –4x. Si x = 1, obtenemos f(1) = –4, lo que nos da el punto A(1, –4) sobre D1.
Llamemos D2 a la recta que representa la función . Si x = –4, obtenemos f(–4) = 2, lo que nos da el punto B(–4, 2) sobre D2.
Llamemos D3 a la recta que representa la función f(x) = 0,2x. Si x = 5, obtenemos f(5) = 1, lo que nos da el punto C(5, 1) sobre D3.
Llamemos D4 a la recta que representa la función f(x) = 3x. Si x = 2, obtenemos f(2) = 6, lo que nos da el punto D(2, 6) sobre D4.
Obtenemos esta representación:

Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la recta D1,para la recta D2, 0,2 para la recta D3 y 3 para la recta D4.
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 y D2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumenta x, mientras que D3 y D4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumenta x.
—D1 está más inclinada que D2 (la pendiente de D1 (-4) es menor que la de D2 ); de forma similar, D4 está más inclinada que D3 (la pendiente de D4 (3) es mayor que la de D2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y “descendentes” según aumenta x, y comparar los grados de inclinación de rectas diferentes.

Funciones y = x 2 e y = 1/x

2013-05-07T16:50:00.000-05:00

Estudiadas las funciones lineales, vamos a tratar ahora la función cuadrática, y = x2, y la función inversa o recíproca, y = 1/x.
¿Se mantiene siempre igual el orden entre dos números que entre los valores obtenidos al elevarlos al cuadrado? ¿Y con sus valores inversos? Estudiando ambas funciones descubriremos para qué intervalos el orden se mantiene y para qué intervalos el orden se invierte.

Se pueden obtener otras muchas funciones a partir de estas funciones básicas.

I. Características de la función y = x2
La función y = x2 está definida para todos los números reales, R.
Decrece para los valores del intervalo y crece para los del intervalo .
Su tabla de variación es la siguiente:

Construimos la siguiente tabla de valores:

Con esta tabla de valores podemos representar dicha función, resultando la parábola:

Nota: al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos, se obtiene el mismo valor; por tanto, la curva es simétrica respecto al eje y.
II. Características de la función inversa
La función inversa y = 1/x no está definida para x = 0: está definida para todos los valores reales menos el cero, R - 0.
Decrece para los valores del intervalo y para los del intervalo .
Su tabla de variación es la siguiente:

Construimos la siguiente tabla de valores:

Podemos ahora representar las dos ramas de la hipérbola que representa a dicha función:

Nota: las imágenes de dos números con signos opuestos también son opuestas; la curva es, por tanto, simétrica con respecto al origen de coordenadas.
III. Descomponer una función mediante una serie de operadores
Un operador es una función que define una operación simple. Por ejemplo:
—sumar 2:
;

—calcular la raíz cuadrada:
;
—hallar el opuesto:
.
Si se conoce la cadena de operadores, es fácil determinar la función final.
Ejemplo: si aplicamos sucesivamente los operadores “sumar 2”, “elevar al cuadrado” y “obtener el opuesto”, se obtiene la función y = -(x + 2)2. La secuencia de operadores será:
.
Tomemos dos números a y b del intervalo [0, 5], tales que a < b; entonces: 0 < a < b < 5.
En primer lugar, le sumamos 2 a cada miembro: 2 < a + 2 < b + 2 < 7 .
Al elevar estos números positivos al cuadrado, el orden no cambia: .
Si tomamos ahora los valores opuestos, el orden cambia: .
El orden de las imágenes de a y b obtenidas al aplicarles la función y = -(x + 2)2 es el inverso. El signo se ha invertido; por tanto, es una función decreciente en este intervalo.
IV. Comparar un número positivo con los valores de su cuadrado, de su cubo, de su inverso y de su raíz cuadrada
Representamos en una misma gráfica, para valores de x pertenecientes al intervalo , las cinco funciones: y = x; y = x2; y = x3; ; y = 1/x. Obtenemos:

Se puede comprobar observando dicha gráfica que:
si 0 < x < 1, entonces se cumple que: ;
si x > 1, entonces tenemos que: .
Recuerda:
—La función cuadrática y = x2, por la que se obtiene el cuadrado de cualquier número real, decrece para valores negativos de x y crece para los valores positivos de esta variable. Al elevar al cuadrado se invierte el orden si los números son negativos, y se mantiene dicho orden si son positivos. La representación de la función y = x2 es una parábola.
—La función inversa y = 1/x, por la que se obtiene el inverso de cualquier número real distinto de cero, decrece para los valores negativos y positivos de la variable. Esta función invierte el orden, tanto para valores positivos como negativos de la variable x. La representación de la función inversa y = 1/x son las dos ramas de una hipérbola.
—Descomponiendo una función en una serie de operadores, resulta fácil determinar cómo varía la función en un intervalo dado.
—Los números entre 0 y 1 son mayores que su cuadrado y menores que su raíz cuadrada. Los números mayores que 1 son mayores que su raíz cuadrada y menores que sus cuadrados.

Calcular una función afín

2013-04-28T11:29:00.003-05:00

¿Qué elementos vamos a necesitar para hallar una función del tipo y = ax + b y para comprenderla completamente?

I. Calcular una función afín

Las funciones del tipo y = ax + b (se pueden expresar también como f(x) = ax + b) se denominan funciones afines. Son muy parecidas a las funciones lineales del tipo y = ax, solo que han sufrido un desplazamiento respecto al origen, provocado por el término independiente “b”. Por lo tanto, decimos que una función afín es una función del tipo y = ax + b, donde a y b son valores constantes. Vamos a calcular una función afín hallando los valores de a y b.

1. Conocemos los valores de la y de dos números dados
Usemos un ejemplo para demostrarlo. Queremos calcular la función afín que hace que: f(4) = 5 y que f(2) = –1.

Todas las funciones afines se caracterizan por la forma f(x) = ax + b. Calculemos a y b.
Para hacerlo, podemos decir que para x = 4, tenemos que f(4) = a · 4 + b. Por lo tanto, si f(4) = a · 4 + b y f(4) = 5, obtenemos la ecuación 4a + b = 5.
Para x = 2, tenemos que f(2) = a · 2 + b. Por lo tanto, si f(2) = a · 2 + b y f(2) = -1, obtenemos la ecuación 2a + b = –1.
Así que hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las cuales son a y b:

Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:

; ; ; ; ; .

Por consiguiente, la función afín que buscamos es f(x) = 3x – 7.
2. Otras situaciones
Ejemplo 1: vertemos agua en una probeta hasta una altura de 11 cm. Notamos que cada día que pasa el nivel del agua desciende 4 mm debido a la evaporación. Queremos demostrar que la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura del agua en la probeta (en cm) es una función afín. Además, queremos calcular esta función.
Después de x días, el nivel del agua ha bajado 4x mm, esto es, 0,4x cm.
Tras x días, la altura del agua en la probeta (en cm) debería ser de 11 – 0,4x, o lo que es lo mismo, –0,4x + 11.

Por consiguiente, la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura (en cm) del agua en la probeta, es la función afín: f(x) = – 0,4x + 11.

Ejemplo 2: un conductor realiza un trayecto desde la ciudad A hacia la ciudad B, situada a 750 km de A. Conduce a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Queremos demostrar que la función que relaciona la duración del viaje (en horas) con la distancia que separa al conductor de la ciudad B, es una función afín. Así mismo, queremos calcularla.

Llamaremos x a la duración del viaje en horas. Tras x horas, el conductor ha recorrido 90x km. Por tanto, la distancia (en km) que separa al conductor de la ciudad B es: 750 – 90x; esto es, –90x + 750.
Es decir, la función que relaciona la distancia que separa al conductor de B (en km), con la duración del viaje (en horas) es la función afín: f(x) = – 90x + 750.
II. Usar la representación gráfica para calcular una función afín
Ejemplo: queremos calcular la función afín representada en la figura por la recta D.

Hagamos que f(x) = ax + b sea la función afín que queremos calcular.
Analizando la gráfica, podemos hallar el valor de f(x) —de la y— de la recta D en el origen, es decir, el valor de b. En este caso b = 3.

De tal manera que la función afín que estamos buscando es del tipo f(x) = ax + 3. Ahora solamente nos queda hallar el valor de a.

Para obtenerlo, buscamos en la recta las coordenadas de un punto M cualquiera. Leyendo la gráfica, podemos decir que M es un punto de coordenadas (2, 7).
Este punto está en la recta y representa a la función afín, en otras palabras: f(2) = 7.
Además, si calculamos el valor de la función para x = 2, obtenemos que f(2) = a · 2 + 3.
Igualando estas dos expresiones obtenemos que: 2a + 3 = 7.
Simplificando la ecuación:

2a = 7 – 3; 2a = 4 y a = 2.

Así, la función afín que estamos buscando es f(x) = 2x + 3.
Nota: otro método consiste en usar la gráfica para hallar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, podemos tomar los puntos M(2, 7) y N(0, 3). A partir de ellos construimos las siguientes ecuaciones:

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolvemos como hemos visto anteriormente.
Ver artículo Representación gráfica de una función afín.

Representación gráfica de una función afín

2013-04-28T11:27:00.000-05:00

Sabemos que la representación gráfica de una función lineal del tipo f(x) = ax o y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Pero, ¿qué sabemos acerca de la representación gráfica de una función del tipo f(x) = ax + b o y = ax + b, también llamada función afín?

I. Ejemplo
Usemos una gráfica para representar la función afín f(x) = 3x + 1.
Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas; para cada valor que demos a x en el eje de abscisas, y tracemos el valor correspondiente de y, obtendremos un punto.
Por ejemplo, si x = 1, f(1) = 4. Lo cual nos da el punto de coordenadas (1, 4).
Es una buena idea usar una tabla como la que mostramos debajo. En la tabla, hemos elegido valores al azar para x.

Dibujando los puntos en los ejes de coordenadas, obtenemos la gráfica de la figura 1.

Podemos observar que los puntos A, B, C y D se encuentran todos en la misma recta.
De hecho, el resto de los puntos que queramos representar usando esta función, estarían todos formando parte de la misma recta. La recta es la representación gráfica de la función afín f(x) = 3x + 1.
II. Propiedades y definiciones

La representación gráfica de una función afín es una recta.
La representación gráfica de una función afín del tipo f(x) = ax + b es la recta de ecuación y = ax + b; a recibe el nombre de pendiente de la recta y b es conocida como la ordenada en el origen de la recta.

La ordenada en el origen es el valor que toma la función en el punto donde la recta corta al eje de ordenadas —eje y—. Para x = 0 obtenemos que y = a · 0 + b, es decir, y = b. Estos valores se corresponderían en la gráfica con el punto cuya coordenada fuera (0, b), tal como se muestra en la figura 2. Esto significa que el valor b de la función nos informa del lugar del eje de ordenadas en el que se produce el corte con la recta.

Ejemplo: la representación gráfica de la función afín f(x) = 3x + 1 es la recta de ecuación y = 3x + 1. Esta recta tiene una pendiente de 3 y el valor de la ordenada en el origen es 1.
Nota: existe un caso especial, en el cual b = 0 y entonces la función afín f(x) = ax + b se transforma en la función lineal f(x) = ax. En este caso, la representación gráfica de la función lineal f(x) = ax sería una recta de pendiente a que cortaría a los ejes de coordenadas por el origen (0, 0), ya que el valor de y en el origen es 0.

III. Método de construcción
Ya sabemos que las funciones afines se representan gráficamente mediante una recta; por este motivo necesitamos encontrar al menos las coordenadas de dos puntos de la recta para poder trazarla.

Puesto que también sabemos que la recta de una función del tipo y = ax + b corta al eje de ordenadas por el punto (0, b), tan solo tenemos que encontrar un punto más. Y esto lo podemos conseguir dando un valor aleatorio a la x para obtener así su correspondiente valor para la ordenada.
IV. Usar la representación gráfica para interpretar la pendiente
Propiedad: si tenemos una función afín f(x) = ax + b, para cualquier valor de x1 y x2 (x1 ≠ x2), se cumple que:

Esta expresión la podemos interpretar afirmando que la pendiente de una recta es el incremento de la ordenada (y), cuando la abscisa (x) se incrementa en una unidad. En otras palabras, la ecuación anterior establece una ratio o razón que compara el desplazamiento vertical (cuánto “sube”) de la recta por cada valor de x que nos desplazamos horizontalmente.

Vamos a usar el siguiente ejemplo para interpretar esta propiedad gráficamente.
Consideremos la función afín f(x) = 2x – 1.

Primero creamos una tabla de valores de y dados por la función, y obtenemos así cuatro puntos de la recta que representa gráficamente a la función:

Escogemos dos valores cualesquiera x1 y x2 de x. Por ejemplo x1= –2 y x2 = 0 y calculamos la relación . Y obtenemos:

En la gráfica, 0 – (–2) se corresponde con el crecimiento que experimenta el valor de x desde el punto A hasta el punto B, y f(0) – f(–2) se corresponde con el crecimiento en el valor de y desde el punto A hasta el puntoB.
Ahora hacemos x1= 1 y x2 = 4, y obtenemos:

Comprobamos que esta relación es también igual a 2. Este valor es la pendiente de la recta que representa gráficamente a la función y = 2x – 1.
Podemos observar esta propiedad de la pendiente en la figura 3.

Definir una función afín

2013-04-28T11:24:00.000-05:00

Un servicio telefónico tiene las siguientes tarifas: 0,02 € por conexión y 0,20 € por cada minuto hablado.

¿Cómo se expresaría el coste de una llamada en función del tiempo que dura, es decir, en función del número de minutos que estamos conectados?
Un cine ofrece una tarifa especial que consiste en comprar una tarjeta por 22 € al año y pagar 6 € cada vez que entremos a ver una película. ¿Cómo expresaríamos la cantidad que gastamos en ese cine al año en función del número de películas?
Son dos ejemplos de funciones afines.

I. Ejemplo
Volvamos al primer ejemplo, el de la tarifa telefónica, y analicemos la tabla siguiente, en la que aparece la cantidad que se debe pagar según el número de minutos que dure la llamada (se han puesto hasta seis minutos de llamada, pero se podrían seguir añadiendo minutos).

Para calcular la cantidad que debemos pagar (en €), tenemos que multiplicar el número de minutos de conexión por 0,20 y sumarle al resultado 0,02.

Si llamamos x al número de minutos de conexión, el coste de la llamada (en €) será: 0,20x + 0,02.
Por tanto, la función que relaciona el número de minutos x con el coste es: f(x) = 0,20x + 0,02.
A las funciones de este tipo se les llama funciones afines.

II. Definición
Sean a y b dos números cualesquiera. La función que transforma el número x en el número ax + b se dice que es una función afín y se escribe así: f(x) = ax + b.
Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 5 es una función afín.
Volvamos al ejemplo planteado en la introducción, sobre la tarjeta que ofrece el cine, y llamemos x al número de veces que hemos ido a ese cine durante el año. La cantidad pagada en euros ese año será 6x + 22. Por tanto, la función que relaciona el número de películas vistas x con la cantidad total pagada es la función afín f(x) = 6x + 22.
Casos especiales:
—Si b = 0, la función afín f(x) = ax + b se puede escribir como f(x) = ax; se trata de una función lineal. Podemos decir que una función lineal es un caso especial de una función afín.
—Si a = 0, la función afín f(x) = 0x + b es una función constante: f(x) = b. Según esta función, la ordenada y para cualquier abscisa x es y = b.
III. Obtener imágenes e identificar funciones afines
Ejemplo 1: obtener la imagen de 4, y de –2,4 en la función afín f(x) = 5x + 2.
Para x = 4, tenemos que f(4) = 5 · 4 + 2, o f(4) = 22; la ordenada y para x = 4 es y = 22.
Si , tenemos que o ; la ordenada y para x = es y = .
Si x = –2,4, tenemos f(-2,4) = 5 · (-2,4) + 2, es decir, f(-2,4) = -10; la ordenada y para x = –2,4 es y = –10.
Ejemplo 2: decir de las siguientes funciones cuáles son afines y especificar los valores de a y b (ya que si son funciones afines se escriben así: f(x) = ax + b).
f(x) = -6x – 2; f(x) = 3x2 + 8; f(x) = 12x; ; f(x) = 5,4 y .
La función f(x) = -6x – 2 es afín: a =–6 y b = –2.
La función f(x) = 12x es afín: a = 12 y b = 0. Esta función es también lineal.
La función es afín: y b = –5,2.
La función f(x) = 5,4 es afín: a = 0 y b = 5,4. Es una función constante.
Las otras dos funciones, f(x) = 3x2 + 8 y no son afines.
Ver también los artículos Calcular una función afín y Representación gráfica de una función afín.

Funciones

2013-04-28T11:21:00.001-05:00

Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es función del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.

Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición).

I. ¿Está siempre definida una función?
Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variable x,tomada del conjunto D (una parte o subconjunto de los números reales), un único valor y, al que llamamos imagen.

Si f es una función, entonces escribimos y = f(x).

Ejemplo:
Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número de litros (y) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos (x) según la fórmula y = 50 – 0,1x. Sif es una función que relaciona x con y, podemos escribir: f(x) = 50 – 0,1x.
Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notación Df = [0, 500].

Una función no está definida para valores que:
—hacen cero su denominador;
—hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo.
Ejemplos:

La función inversa o recíproca (y = 1/x) está definida para todos los números reales, excepto para el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es: .
La función raíz cuadrada ( ) está definida para cualquier número real positivo y para el cero: .

II. Calcular un valor y
Para calcular un valor de la variable dependiente y correspondiente a un valor de x, sustituimos dicho valor de x y efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes. Finalmente, efectuamos las sumas y restas.

Por ejemplo, para calcular el valor y correspondiente a x = 5 en una función f definida en R por: f(x) = 4(x – 3)2 – 1, procedemos así: f(5) = 4(5 – 3)2 – 1 = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15.
Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores a x y obtenemos los correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora. Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable independiente x, así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de valores de x. Los valores de la variable x y los de la variable dependiente y se pueden presentar en dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el 1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:

III. Calcular el valor de x que corresponde a un valor de y dado
Para calcular el valor del original o antecedente x de una función f, correspondiente a un número real a, resolvemos la ecuación f(x) = a.

Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afín f, definida en R como f(x) = 2x – 1, se convierte en calcular los valores de x tales que 2x – 1 = 3.

Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o incluso no tener ninguno.

Por ejemplo, para la función cuadrática definida en R, y = x2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin embargo –4 no tiene antecedentes.

IV. Sentido de variación de una función
Sea una función f y un intervalo I incluido en el dominio de definición de f.
Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) < f(b), entonces f es creciente en I (también decimos que f mantiene el signo).

Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) > f(b), entonces f es decreciente en I (f invierte el signo).
Ejemplo:
Dada la función afín f, definida en [–1, 5] como f(x) = –2x +3, para cualquier pareja de números reales a y b tales que -1 < a < b < 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las imágenes):

2 > -2a > -2b > -10;
5 > -2a + 3 > -2b + 3 > -7;
es decir, 5 > f(a) > f(b) > -7.
Puesto que el signo está invertido, f es decreciente en el intervalo [-1, 5].
Podemos resumir esta información en una tabla de variación:

Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es positiva, la función es creciente.

Un operador es una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que vamos obteniendo.

Ejemplo:
La función f está definida en como f(x) = –2x2+ 3. La descomponemos en operadores:
Si 1 < a < b, tenemos que: , entonces y .
Por lo que f(a) > f(b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la función f es decreciente en el intervalo .
V. Hallar el signo de una función
Para hallar la parte del dominio de definición de una función en la que dicha función es positiva o nula, resolvemos la inecuación . La función tendrá signo negativo en el resto del dominio.
Nota: una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la función y = -2x + 20, definida en [5, 10]) o negativa y creciente (como la función y = 2x + 1, definida en [-10, -5]).

Recuerda
—Los valores de la variable x que hacen que se anule el denominador de una función deben ser excluidos del dominio de definición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz cuadrada, solo están permitidos valores positivos.
—Una función es creciente en un intervalo cuando los valores y para cualquier par de números a y b de dicho intervalo están en el mismo orden que a y b. Si el orden es el inverso, la función es decreciente.
—No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación. Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.

Calcular las coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento

2013-04-28T11:12:00.002-05:00

Las coordenadas de un vector pueden ser interpretadas mediante una traslación en la que escogemos como representante de este vector. ¿Qué relaciones asocian las coordenadas de y las de A y B? A partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento si conocemos sus extremos?

I. Calcular las coordenadas de un vector
1. La fórmula de cálculo

Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; si tenemos dos puntos A (xA, yA) y B (xB, yB) cualesquiera, las coordenadas del vector vienen dadas por la fórmula (xB-xA, yB-yA).
Ejemplo: Si tenemos los puntos A (2, –4) y B (–3, –1), calcular las coordenadas del vector .
Aplicando la fórmula, podemos escribir (-3-2, -1-(-4)), de manera que las coordenadas de son (-5, 3).
Podemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfica restando las coordenadas de los puntos A y B:

2. Aplicación
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos E (–3, 1), F (3, 5), G (4, 2) y H (–2, –2), y comprueba que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

Solución: simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial: = . Para hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dos vectores.
(3-(-3), 5-1), de forma que (6, 4).
(4-(-2), 2-(-2)), de manera que (6, 4).
Los vectores y tienen las mismas coordenadas.
Aceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.
Por consiguiente, = , de forma que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
1. La fórmula de cálculo
A (xA, yA) y B (xB, yB) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Si llamamos M al punto medio del segmento AB, entonces:

Demostración: si M es el punto medio de AB, entonces = . Los vectores y tienen la misma dirección, de manera que A, M y B están alineados. Ambos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto que MA = MB. Por consiguiente, estos dos vectores son iguales.

Llamemos a las coordenadas de M (x, y), y escribamos las coordenadas de los vectores y :
(x – xA, y – yA) y (xB – x, yB– y).
Puesto que los vectores y son iguales, podemos escribir que sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, hemos encontrado que x – xA = xB – x e y – yA = yB – y.
Estas dos ecuaciones son equivalentes a:
2x = xA + xB y 2y = yA + yB, de manera que e .
Por consiguiente, tenemos: .
Ejemplo: U (–3, 2) y T (5, 4) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Calcular las coordenadas del punto medio H del segmento UT.
Aplicando la fórmula anterior, podemos escribir: , a partir de la cual encontramos que H (1, 3).
Podemos verificar estos cálculos representando los puntos en el sistema de coordenadas.

2. Aplicación
La fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos ofrece una vía alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos K (–4, –1), L (–2, 3), M (6, 5) y N (4, 1), y demuestra que el cuadrilátero KLMN es un paralelogramo.

Solución: vamos a demostrar que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio. Para hacerlo, llamaremos P al punto medio de KM y R al punto medio de LN y calcularemos las coordenadas de estos dos puntos:
, por lo tanto P (1, 2).
, por lo tanto R (1, 2).
Como los puntos P y R tienen las mismas coordenadas, son coincidentes. A partir de aquí podemos formular que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio.
Las diagonales del cuadrilátero KLMN tienen el mismo punto medio, por consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo. Ver artículo Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales.

Usar las coordenadas en cálculos vectoriales

2013-04-22T15:12:00.003-05:00

Utilizando números reales, podemos asociar a cada par de valores (x, y) un punto del plano en un sistema de referencia Oxy.
Recíprocamente, para cada punto del plano podemos hallar los dos valores x e y, que son sus coordenadas en el sistema de referencia elegido.
Definiendo un sistema de referencia podemos calcular las coordenadas de un vector y efectuar diferentes tipos de análisis vectorial para resolver problemas de geometría.

I. ¿Cómo situamos un punto en un plano?
Para definir un sistema de referencia es necesario conocer las coordenadas de tres puntos que no estén alineados. En general, hablamos del sistema de referencia Oxy, donde O es el origen, la recta Ox es el eje horizontal y la recta Oy es el otro eje.
Usando un sistema de referencia, asociamos a cada punto del plano un par de números reales trazando rectas paralelas a los ejes que se crucen en dicho punto.

Por ejemplo, hallemos las coordenadas del punto A de la figura anterior.
Al punto donde se cruzan Ox y la recta paralela a Oy que pasa por A lo llamamos Ax, y al punto en que Oy y la recta paralela a Ox que pasa por A se cruzan, lo llamamos Ay.
Para hallar las coordenadas de A:
—para la coordenada x de A, tomamos el valor del punto Ax representado sobre el eje Ox con origen en O;
—para la coordenada y de A, tomamos el valor del punto Ay representado sobre el eje Oy con origen en O,
En este caso, las coordenadas del punto A son (3, 2).
Notas:
—Si los ejes son perpendiculares se trata de un sistema de referenciaortogonal.
—Si los ejes son perpendiculares y si las unidades elegidas sobre ambos ejes miden igual, entonces Oxy es un sistema de referencia ortonormal o plano xy.
II. ¿Cómo definimos un vector? ¿Cuándo son iguales dos vectores?
Dado un plano xy en el que se ha definido una unidad de longitud, un vector se caracteriza:
—por la dirección de la recta AB;
—por su sentido: de A hacia B;
—y por su longitud o módulo: la distancia d(A, B).
El vector es igual al vector si los dos vectores tienen:
—la misma dirección, es decir, la recta AB es paralela a la recta CD;
—el mismo sentido, lo que significa que los puntos B y D están en los extremos de la recta AC;
—la misma longitud, lo que significa que d(A, B) = d(C, D).
Dicho de otra forma si y solo si ABDC es un paralelogramo.
Por tanto:
si y solo si la imagen del punto C por la traslación de A a B es D.
si y solo si los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio.
III. Operaciones con vectores
La suma de dos vectores es otro vector que puede construirse de dos maneras:
—usando la regla del polígono a partir de un punto A: ;

—usando la regla del paralelogramo: .

Nota: la regla del polígono también se usa para descomponer un vector en suma de vectores. Si A y B son dos puntos dados, para cualquier punto C, tenemos: .
Producto de un vector por un número real.
Sea un vector distinto de cero y k un número real también distinto de cero, el vector se define así:
— tiene la misma dirección que ;
— tiene el mismo sentido que si k es positivo, y sentido opuesto si k es negativo. Si k = -1, entonces , que resulta ser el vector opuesto a .
Vectores colineales son aquellos que tienen la misma dirección. Los vectores y son colineales si y solo si hay un número real k tal que .

IV. ¿Cuál es la base del análisis vectorial?
En un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, a cualquier vector se le asocia un único punto M tal que . El punto M es la imagen del origen O mediante una traslación de vector .
Por definición, las componentes de son las de M. Si M tiene de coordenadas , el vector tiene las componentes , lo cual se expresa así: . Por ejemplo, en la gráfica siguiente, .

Se deduce que dos vectores y son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas: y .
Es fácil deducir las componentes de cualquier vector conocidas las coordenadas de los puntos A y B. En un sistema de coordenadas cartesianas, si A tiene de coordenadas y B tiene de coordenadas , entonces las del vector serán .
Si y son dos vectores de coordenadas y , entonces:
—la suma de los dos vectores y es el vector de coordenadas ;
—el producto del vector por un número real k es el vector de coordenadas .
Sean dos vectores de coordenadas y .
Si y son colineales se cumplen las dos ecuaciones siguientes:
si y solo si y .
Una forma más sencilla de expresar esta propiedad es la regla de la multiplicación en cruz:
y son colineales si y solo si .
Por ejemplo, los vectores y son colineales porque .
Si A y B son dos puntos cuyas coordenadas son y , respectivamente, el módulo del vector es igual a:
.
Recuerda
—Un sistema de referencia queda definido por tres puntos no alineados. En dicho sistema, a cada punto del plano le asociamos dos números reales, sus coordenadas, dibujando rectas paralelas a los ejes que pasen por dicho punto.
—En un sistema de referencia en el que se ha definido la unidad sobre cada eje, un vector se caracteriza por tres propiedades: su dirección, su sentido y su módulo o longitud.
—La suma de dos vectores y es el vector de coordenadas . El producto del vector por un número real k es el vector de coordenadas .
—Los vectores y son colineales si y solo si .

Leer las coordenadas o componentes de un vector y representar un vector de coordenadas dadas

2013-04-22T15:08:00.003-05:00

En el tablero de ajedrez de la figura 1, imagina que el caballo negro, situado en la casilla D3 se desplaza a F4: este desplazamiento puede interpretarse como una traslación de un cierto vector que transforma D3 en F4.
Pero también podríamos considerar que el punto de llegada (punto central de la casilla F4) es la imagen del punto de salida (punto central de la casilla D3) mediante dos traslaciones sucesivas: una traslación horizontal de dos casillas a la derecha y una traslación vertical de una casilla hacia arriba. Estas dos traslaciones nos permiten decir que las coordenadas o componentes del vector son 2 y 1.
I. Leer las coordenadas de un vector
1. Componentes de un vector
Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas y un vector que une dos puntos A y B cualesquiera, también llamado vector .
Para leer las coordenadas del vector , podemos descomponer la traslación que transforma A en B, que es la traslación del vector , en dos traslaciones sucesivas: primero una paralela al eje horizontal Ox, y después otra paralela al eje Oy.
Es decir, para trasladarnos de A a B, primero nos desplazamos paralelamente a Ox, y después paralelamente a Oy.
El desplazamiento paralelo a Ox será la abscisa, coordenada x o componente x del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x crecientes (a la derecha de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x decrecientes (a la izquierda de O), se considera un valor negativo.
El desplazamiento paralelo a Oy será la ordenada, coordenada y o componente y del vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y crecientes (hacia arriba de O), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y decrecientes (hacia abajo de O), se considera un valor negativo;
Ejemplo: consideremos la figura 2.

Para ir de A a B, necesitamos desplazarnos 4 unidades paralelamente al eje Ox en la dirección de las x crecientes; la abscisa o coordenada x del vector es entonces +4. Después necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al eje Oy en la dirección de las y decrecientes; la ordenada o coordenada y del vector es entonces – 2.
El vector tiene pues las coordenadas (4, –2). Lo escribimos así: (4, -2).
2. Ejemplos
Queremos deducir de la figura 3, las coordenadas de los vectores , , , , , , y .

Las coordenadas de estos vectores son:
(-2, -3); (0, -4); (-6, 0); (4, 1); (0, 2); (2, -5); (3, 0); (-4, 3).
Nota: algunos vectores son paralelos a uno de los ejes de referencia, como por ejemplo el vector . Este vector corresponde a un desplazamiento de 0 unidades paralelamente al eje Ox (no hay por tanto desplazamiento horizontal) y de 4 unidades paralelamente al eje Oy, en la dirección de las y decrecientes. Sus coordenadas son entonces (0, –4).
Un caso particular: el vector nulo tiene por coordenadas (0, 0), independientemente de cuál sea el origen de coordenadas, ya que la representación de dicho vector es un punto.
II. Representar un vector de coordenadas dadas
1. Un ejemplo
Representemos un vector de coordenadas (–5, 1) en el sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Dibujemos un vector que represente a este vector .
Para ello escojamos un punto cualquiera A, por ejemplo A (1, 2), y situemos el punto B, que es la imagen de A por una traslación del vector (-5, 1). Según lo expuesto en el apartado I.1:
—nos desplazamos 5 unidades desde A, paralelamente al eje Ox en el sentido de las x decrecientes (lo que corresponde a la abscisa -5 de );
—después nos desplazamos 1 unidad paralelamente a Oy en el sentido de las y crecientes (lo que corresponde a la ordenada +1 de ).
Se obtiene el punto B.

2. Otros ejemplos
Ejemplo 1: queremos representar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy:
(4, -3); (0, 2); (-5, -2); (4, 6); (-4, 0).

Ejemplo 2: sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas, y y dos vectores tales que (5, 2) y (-4, 3). Sean los puntos M (–1, –3) y P (2, 1). Queremos situar los puntos R y S definidos por las igualdades vectoriales = y = .
Se trata de construir un vector con origen en M que represente al vector y otro vector con origen en P que represente al vector. Para ello seguimos el método utilizado en el ejemplo del apartado II.1.

Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

2013-04-22T15:02:00.002-05:00

La palabra trigonometría procede del griego y significa “estudio de las relaciones numéricas entre las medidas de un triángulo”. El seno, el coseno y la tangente son tres razones trigonométricas.
¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?

I. Definiciones
Dado un triángulo con ángulo recto en B, consideremos uno de sus ángulos agudos, por ejemplo . El lado BC es el cateto opuesto al ángulo y el lado AB es el cateto contiguo al ángulo .

Podemos definir las tres razones siguientes:
- seno (sen) :

- coseno (cos) :

- tangente (tg) :

Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo deben estar expresadas en las mismas unidades.
Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo de la figura 1, obtenemos:
; ;
II. Propiedades
Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a , obtenemos:
; ;
Si comparamos con las expresiones para el ángulo , observamos que: ; ;

Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios (67° + 23° = 90°).
III. Ejemplos
1. Ejemplo 1
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en E, tal que EL = 12 y EM = 5, con las longitudes expresadas en centímetros. Queremos calcular los valores exactos de , y .

Solución: para calcular los valores exactos de y , necesitamos calcular la longitud de la hipotenusa, ML, del triángulo. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM = = 13.
Por definición: ; y sustituyendo resulta: .
Igualmente: : y sustituyendo resulta: .
Finalmente: ; y sustituyendo resulta: .
Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo , por ejemplo, a partir de .
Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12 13 o ( 12 13 ) ; en algunas calculadoras, la tecla equivale a la tecla o .
2. Ejemplo 2
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en P, tal que HP = PR = 1 cm. Como este triángulo además de ser rectángulo es isósceles, sabemos que . Queremos calcular los valores exactos del seno, coseno y tangente de estos ángulos de 45º.

Solución: por definición, .
Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:
HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues .
Entonces , y por tanto, .
Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos y son complementarios y miden 45°, se deduce que y por tanto que .
Por definición, . Así pues ; de donde se deduce que .
En resumen: y .