Investigación de Operaciones II // Ing. Industrial

Teoría de decisiones

2011-06-02T22:26:00.000-07:00

La teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasificar modelos para la toma de decisiones. Se supondrá que se ha definido el problema, que se tienen todos los datos y que se han identificado los cursos de acción alternativos. La tarea es entonces seleccionar la mejor alternativa. La teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer una selección caerá en una de las tres categorías generales dependiendo de la habilidad personal para predecir las consecuencias de cada alternativa.

Las tres clases son:

Ejemplo

Teoria de juegos: Estrategias aleatorias

2011-06-02T20:51:00.000-07:00

Una estrategia aleatoria es aquella en donde el jugador renglón elige un renglón al azar, de acuerdo con cierta distribución de probabilidad. Por ejemplo, el jugador renglón podría la siguiente distribución de probabilidad:

Si el jugador renglón utiliza esta distribución de forma predecible, como cuando selecciona repetidamente el renglón 1 dos veces y luego el renglón 2 una vez, el jugador columna podría descubrir la estrategia de responder con el fin de reducir al mínimo su eficacia. Por lo tanto, el jugador renglón debe emplear algún dispositivo aleatorio, como la rueda giratoria que se mostró anteriormente (ruleta de pueblo), con el cual elegiría 1 dos terceras partes del tiempo.

Los juegos de punta de silla están estrictamente determinados; es decir, los jugadores adoptan estrategias puras, y el curso del juego se determina por adelantado (suponiendo que los jugadores son agresivos y capaces). Los juegos sin punto de silla no están estrictamente determinados; si un jugador emplea una estrategia aleatoria, el curso del juego estará sujeto al azar, y todo puede suceder. No hay valor fijo para el juego; solo hay un valor muy probable o esperado.

Ejemplo

Teoría de juegos

2011-06-02T19:28:00.000-07:00

Historia

La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann

(1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su

libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de

Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.

En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash (1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de juegos no cooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa época, el Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el tema, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.

Definición

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Conceptos de la teoría de juegos

Juegos bipersonales de suma cero

En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante. La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción j.

Punto de silla, juego estrictamente determinado

Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja los máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.

Al paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:

Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

Juegos no estrictamente determinados

Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.

Criterio Minimax (Maximin para el jugador columna)

Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante. (Cabe resaltar que el criterio Minimax, no existe en la definición, sino que se toma como adaptación del criterio Maximin para el jugador columna)

Encontrar la estrategia se llama solucionar el juego.

Criterio Maximin

Un jugador quien usa el criterio maximin escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, maximiza el ingreso de las peores situaciones provocadas por el otro jugador. Es decir, conduce a la elección del mayor de los valores minimos en que pueden resultar cada estrategia.

Ejemplos

Ejemplo de estrategias dominantes y reducción del juego

Cadenas de Markov

2011-06-02T17:14:00.000-07:00

Historia

Andréi Andréyevich Márkov (14 de junio de 1856 - 20 de julio de 1922) fue un matemático ruso conocido por sus trabajos en la teoría de los números y la teoría de probabilidades.

Márkov nació en Riazán, Rusia. Antes de los 10 años su padre, un funcionario estatal, fue trasladado a San Petersburgo donde Andréi entró a estudiar en un instituto de la ciudad. Desde el principio mostró cierto talento para las matemáticas y cuando se graduó en 1874 ya conocía a varios matemáticos de la Universidad de San Petersburgo, donde ingresó tras su graduación. En la Universidad fue discípulo de Chebyshov y tras realizar sus tesis de maestría y doctorado, en 1886 accedió como adjunto a la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta del propio Chebyshov. Diez años después Márkov había ganado el puesto de académico regular. Desde 1880, tras defender su tesis de maestría, Márkov impartió clases en la Universidad y, cuando el propio Chebyshov dejó la Universidad tres años después, fue Márkov quien le sustituyó en los cursos de teoría de la probabilidad. En 1905, tras 25 años de actividad académica, Márkov se retiró definitivamente de la Universidad, aunque siguió impartiendo algunos cursos sobre teoría de la probabilidad.

A parte de su perfil académico, Andréi Márkov fue un convencido activista político. Se opuso a los privilegios de la nobleza zarista y llegó a rechazar las condecoraciones del propio zar en protesta por algunas decisiones políticas relacionadas con la Academia de Ciencias. Hasta tal punto llegó su implicación en la política que llegó a ser conocido con el sobrenombre de "el académico militante".

Márkov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al quirófano y que, con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el 20 de julio del año 1922 una de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una infección generalizada de la que no pudo recuperarse.

Aunque Márkov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, por ejemplo en sus trabajos sobre fracciones continuas, la historia le recordará principalmente por sus resultados relacionados con la teoría de la probabilidad. En 1887 completó la prueba que permitía generalizar el teorema central del límite y que ya había avanzado Chebyshov. Pero su aportación más conocida es otra.

Su trabajo teórico en el campo de los procesos en los que están involucrados componentes aleatorios (procesos estocásticos) darían fruto en un instrumento matemático que actualmente se conoce como cadena de Márkov: secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente, pero es independiente de la historia de dicha variable. Las cadenas de Márkov, hoy día, se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la economía, la ingeniería, la investigación de operaciones y muchas otras.

Concepto

Las cadenas de Markov son herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos (procesos no determinísticos) a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.

Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Estos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo

estado en función de los anteriores, siendo esta constante a lo largo del tiempo.

¿Qué se necesita para definir una cadena de Markov?

Conjunto de estados: Un estado es una caracterización de una situación en que se halla el sistema en un instante dado. Puede ser cualitativo o cuantitativo.

Matriz de transición (T): Matriz cuadrada con tantas filas y columnas como estados tiene el sistema. Sus elementos representan las probabilidades de que un estado (fila) permanezca en el mismo o cambie a los siguientes estados (columnas). La suma de las probabilidades por fila ha de ser igual a 1.

Composición actual (Po): En ocasiones se dispondrá con la composición actual de los estados, para hallar la composición de dichos estados proyectada en un periodo n.

Ejemplo

A continuación, la distribución de la población segmentada según su operador celular, al año 0 es:

Movistar: 30%

Tigo: 30%

Comcel: 40%

Se dice que:

a) Los individuos que están en Movistar tienen una probabilidad de 30% de quedarse en la misma operadora, una de 50% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Comcel.

b) Los individuos que están en Tigo tienen una probabilidad de 70% de quedarse en la misma operadora, una de 10% de cambiar a Movistar, y una de 20% para pasarse a Comcel.

c) Los individuos que están en Comcel tienen una probabilidad de 50% de quedarse en la misma

operadora, una de 30% de cambiar a Tigo, y una de 20% para pasarse a Movistar.

Estados absorbentes

Un estado absorbente se puede definir como aquel estado que no permita transición entre los otros estados restantes. Es decir, que la probabilidad, en la matriz T, de permanecer en el mismo estado a lo largo del tiempo, sea 1 (100%). Una vez que el sistema caiga en ese estado, jamás saldrá de allí.

Ejemplo estados absorbentes

Una empresa de abogados emplea 3 categorías de empleados: principiantes, con experiencia y socios como se muestra en la matriz de transición.

En este caso, por definición anterior, los estados absorbentes son, o ser socio, o abandonar, ya que, si eres socio, ni abandonas, ni eres principiante, ni experto. Y cuando abandonas, no hay modo de regresar atrás.

Para resolver el inciso a), es necesario identificar que parte de la matriz T es la absorbente, y cuál es la no absorbente, siendo la sección absorbente la que interactúa con los estados absorbentes del

sistema.

Modelos de Inventarios: Modelo EOQ Con Demanda Probabilistica

2011-03-27T09:56:00.000-07:00

Este modelo contempla los mismos supuestos que el modelo EOQ sin faltante, y sus ecuaciones son las mismas. Solo varía en que la demanda en un lapso de tiempo se considera como una distribución normal, con una media X-trazo y una desviación S.

Si pedimos siempre la misma cantidad que nos muestra la media de la distribución, en un 50% de las veces, la demanda superará nuestro inventario, y en el 50% restante, nuestro inventario estará por encima de la demanda.

Por ese dilema, cada empresa establece una política de calidad en la que se establecen el número de pedidos en los que la demanda me superará, o en otra manera, un porcentaje permitido de las veces en las que la demanda será mayor que nuestras existencias. En otras palabras, el margen de error alfa.

Para hacer valer ese porcentaje de error, es necesario establecer un punto de reorden, siendo este la mínima cantidad de unidades permitidas en el inventario. Apenas se llegue a este valor, es necesario montar un nuevo pedido, para tener con que satisfacer la demanda del mercado. El objetivo de este punto es anticipar la demanda.

Este valor está limitado también al tiempo de revisión del inventario. El tiempo en el que la demanda esté expresada ha de ser el mismo de revisión. De no ser así, hacer la conversión de los parámetros estadísticos de la distribución con el fin de que el intervalo de tiempo sea igual que el de la revisión del inventario.

Este punto de reorden está previsto como:

Apliquemos los conceptos anteriormente expresados a un ejercicio:

Modelos de Inventarios: Modelo EOQ Con descuento por cantidad

2011-03-27T08:17:00.000-07:00

Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos. En este caso, la variable critica de decisión es el costo unitario, ya que el costo de pedir y el costo de mantener en inventario permanecen constantes sin importar la cantidad a pedir.

Las empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras, que generan una reducción del precio de venta en el producto fabricado, o un ahorro para la empresa. Este modelo les proporciona sus costos totales más bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente gráfica se representa este modelo.

Para explicar mejor este modelo, acudimos a un ejemplo.

Modelos de Inventarios: Modelo LEP (Con faltante)

2011-03-26T10:49:00.000-07:00

Este modelo de lote económico de producción admite faltantes, y a su vez, presenta los siguientes supuestos:

Donde:

t4 = Tiempo en el cual la producción se nivela con los pedidos pendientes.

t1= Tiempo de producción en el que no hay faltantes y se llega al inventario máximo.

t2= Tiempo que transcurre para que el inventario máximo llegue a cero.

t3= Tiempo en el que se empiezan a acumular los pedidos, es decir, hay faltantes.

Definamos entonces los costos:

- Cmi: Es el costo de mantener una unidad en inventario.

- Cu: Costo unitario del producto.

- Cop: Costo de orden de producción.

- Cf: Costo por mercancía faltante.

Modelos de Inventarios: Modelo LEP (Sin faltante)

2011-02-27T06:16:00.000-08:00

El modelo LEP (Lote económico de producción) o cantidad económica de pedido es un modelo de inventario en el que partimos de la premisa de que producimos nuestra mercancía de inventario. Este parte de los siguientes supuestos:

- La demanda es constante y es conocida.

- No se admiten faltantes. Es decir, siempre se va a suplir la demanda del cliente con la cantidad requerida por este.

- Producimos a una tasa R y esta siempre es mayor que la demanda d periodica.

- Existen costos tanto de almacenamiento como costo de producción.

- Los costos se mantienen constantes.

- La reposición en el inventario es instantánea, ya que se plantea que no hay un tiempo de demora por pedidos, y que además, la cantidad de reaprovisión es la correcta (es decir, igual a la solicitada).

Este modelo presenta el siguiente comportamiento:

Definamos entonces los costos:

- Cmi: Es el costo de mantener una unidad en inventario.

- Cop: Costo de producción.

- Cu: Costo unitario de producto.

Si queremos hallar el valor de Q óptimo (Q*) con el que los costos Cmi y Cop se equilibren, es necesario derivar la ecuación anterior respecto a Q, y se iguala a 0 y se despeja Q. este proceso es analógico con el hallar máximos y mínimos de una función.

Si queremos hallar N* y t*, simplemente usamos las siguientes ecuaciones reemplazando Q por Q*.

No esta de mas decir que las anteriores ecuaciones de N* y t* se pueden usar también en los modelos EOQ.

Modelos de Inventarios: Modelo EOQ (Con faltante)

2011-02-27T06:09:00.000-08:00

Modelo EOQ (Con faltante)

Este modelo parte de los siguientes supuestos:

La demanda es constante y es conocida.
Se admiten faltantes. Es decir, en ocasiones no se va a suplir la demanda del cliente con la cantidad requerida por este.
Existen costos tanto de almacenamiento como costo de pedir*, además del costo por faltante.
Los costos se mantienen constantes.
La reposición en el inventario es instantánea, ya que se plantea que no hay un tiempo de demora por pedidos, y que además, la cantidad de reaprovisión es la correcta (es decir, igual a la solicitada).

*Costo de pedir se refiere al dinero involucrado en el pago de transporte o de métodos de almacenamiento de mi producto al momento de ser transportado y que el proveedor no reconoce como propios.

Este modelo presenta el siguiente comportamiento:

Definamos entonces los costos:

- Cmi: Es el costo de mantener una unidad en inventario.

- Cu: Costo unitario del producto.

- Cp: Costo de pedir mercancía.

- Cf: Costo por mercancía faltante.

Entonces, el costo por periodo respecto a Q y S, estará dado de la siguiente forma:

Sin embargo, para expresar los costos sin usar las variables de tiempo, tenemos que hacer las siguientes relaciones, teniendo en cuenta que Imax = Q-S, y t = Q/D.

Reemplazando las relaciones halladas anteriormente en la ec. (1), tenemos la siguiente expresión:

Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores, si queremos hallar el costo anual de inventario, tenemos que multiplicar la ecuación (4) por la conocida equivalencia N=D/Q.

Si queremos hallar el valor de Q óptimo (Q*) y S optimo (S*) con el que los costos Cmi y Cp se me equilibren, es necesario derivar parcialmente la ecuación anterior respecto a Q y S, se iguala a 0 y se despeja Q y S. este proceso es analógico con el hallar máximos y mínimos de una función.

Modelos de Inventarios: Modelo EOQ (Sin faltante)

2011-02-22T16:23:00.000-08:00

El modelo EOQ (Economic Order Quantity) o cantidad económica de pedido es uno de los modelos inventarios a estudiar. Este parte de los siguientes supuestos:

- La demanda es constante y es conocida.

- No se admiten faltantes. Es decir, siempre se va a suplir la demanda del cliente con la cantidad requerida por este.

- Existen costos tanto de almacenamiento como costo de pedir*.

- Los costos se mantienen constantes.

*Costo de pedir se refiere al dinero involucrado en el pago de transporte o de métodos de almacenamiento de mi producto al momento de ser transportado y que el proveedor no reconoce como propios.

Este modelo presenta el siguiente comportamiento:

Definamos entonces los costos:

- Cmi: Es el costo de mantener una unidad en inventario.

- Cu: Costo unitario del producto.

- Cp: Costo de pedir mercancía.

Entonces, el costo por periodo respecto a Q, estará dado de la siguiente forma:

De la grafica anterior podemos deducir que, si una variable N indica el número de envíos necesarios en un lapso de tiempo determinado (por lo general en un año), esta variable es igual a:

Para poder observar mejor el comportamiento de la expresión anterior, D y Q están en lapsos de tiempo diferentes. Podríamos determinar que D es anual y que nuestra reaprovisión Q este en unidades (Q también podría darse en unidades de producto sobre unidad de tiempo, pero parte del modelo es hallar el valor de t1, por lo que Q se expresa en unidades de producto).

Para hallar T, podemos partir de la siguiente fórmula:

El resultado de t tiene como unidades la unidad de tiempo utilizada en la demanda.

Teniendo estas tres ecuaciones, si queremos hallar el costo anual de inventario, tenemos que multiplicar la ecuación (2) por (1).

Si queremos hallar el valor de Q óptimo (Q*) con el que los costos Cmi y Cp se me equilibren, es necesario derivar la ecuación anterior respecto a Q, y se iguala a 0 y se despeja Q. este proceso es analógico con el hallar máximos y mínimos de una función.

Modelos de Inventarios

2011-02-22T16:07:00.000-08:00

Toda empresa tiene que manejar inventarios ya que se ve forzada a hacerlo, por el simple hecho de garantizarle al cliente un producto en el momento determinado, y en la cantidad requerida, con los estándares de calidad apetecidos. Sin embargo, una punto de vista diferente, sugiere que los inventarios existen ya que la respuesta de los proveedores no es inmediata. Los inventarios se encuentran tanto en la logística de aprovisionamiento (Inventarios de materia prima), como en la logística de operaciones (Inventario de productos en proceso), así como en la logística de distribución (Inventario de producto terminado). Para controlar los inventarios, existen diversos modelos que nos ayudan a determinar cantidades a pedir, tiempo optimo de pedido, entre otras variables, de las que depende el costo total de almacenamiento.

¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?

2011-02-22T16:05:00.000-08:00

La investigación de operaciones no es más que la aplicación de principios, modelos y algoritmos matemáticos con el objetivo de facilitar la toma de decisiones en una empresa.

El objetivo de este blog es de facilitarle al lector los conceptos básicos de Investigación de operaciones, así como los modelos matemáticos de más aplicabilidad para la toma de decisiones.