Ensinar Matemática de maneira divertiva

Volta em 2013

2013-02-04T04:56:00.001-08:00

Voltando as aulas no ano de 2013, nesta semana esterei publicando planejamentos e novas estratégias.

Donald no pais da Matemática

2012-06-26T15:21:00.000-07:00

2012-06-26T15:18:00.001-07:00

Para quem gosta de matemática

O REGRESSO

2012-02-15T09:29:00.000-08:00

Depois de muito tempo sem postar estou retornando as postagem com muito materiais novos e muitas maneiras de ensinar de maneira divertida e com amor.

A avaliação das aprendizagens em Matemática: Um olhar sobre o seu percurso

2010-12-22T17:28:00.001-08:00

Leonor Santos - Universidade de Lisboa

Práticas avaliativas na sala de aula

Sabe-se que uma coisa é prescrever orientações, outra é aplicá-las na prática. De forma a respeitar o princípio da avaliação como parte integrante do processo de ensino e aprendizagem, e simultaneamente desenvolver uma avaliação cujo enfoque é o que hoje se entende por competência matemática, pode passar pela aplicação de uma multiplicidade de processos avaliativos.

As formas e instrumentos de avaliação que em seguida irei reportar são aqueles que de uma forma mais ou menos desenvolvida foram já objecto de estudo em Portugal. Embora analisados em separado, por facilidade de tratamento, tal não significa que não possam ser usados de forma articulada entre si.

A observação

A observação, a par com os testes escritos em tempo limitado, é uma das práticas de avaliação mais utilizadas pelos professores (APM, 1998). Contudo, em geral, a recolha de informação feita a partir da observação não é acompanhada de registos escritos, nem feita de forma sistemática e focada, sendo por vezes mesmo vista como impressionista (Graça, 1995; Martins, 1996; Rafael, 1998). Tal facto parece explicar porque os professores depositam pouca confiança nas informações recolhidas através da observação. Não lhe atribuem o mesmo estatuto que os dados recolhidos através dos testes escritos pelo que, embora influenciando a classificação de final de período, não constituem o seu elemento base (APM, 1998; Graça, 1995; Martins, 1996).

Uma possível razão para explicar porque, sendo reconhecida como uma forma por excelência para recolher certo tipo de informação, se faz sem registos e de forma pouco sistemática, tem a ver com as dificuldades inerentes a esta tarefa por parte do professor (Leal, 1992). Estas dificuldades revelam-se mesmo superiores às expectativas iniciais dos professores e verificam-se, tanto nos professores com maior experiência profissional, como nos professores mais jovens. (...) Os professores parecem privilegiar sobretudo aspectos relativos às atitudes dos alunos quando recorrem à observação. (...)

A interacção professor e aluno

A interacção, quer oral, quer escrita, é uma forma privilegiada de desenvolver uma prática avaliativa reguladora das aprendizagens. Ao acontecer de forma intencional no quotidiano do trabalho da sala de aula é uma forma inequívoca de avaliação como parte integrante do currículo (Pinto, 2003; Santos, 2003a). Quando se fala de interacção oral numa perspectiva reguladora, em geral, associamo-la ao questionamento ao longo do trabalho que o aluno está a desenvolver (Santos, 2002). (...) É sabido que para que este questionamento seja realmente regulador deve respeitar algumas condições, como seja não corrigir os erros, mas antes dar pistas, não validar mas antes questionar de forma a ser o próprio aluno a desenvolver um argumento convincente sobre o seu raciocínio (Santos, 2003a; 2004). (...)

A interacção escrita é outra forma de levar à prática uma avaliação ao serviço da regulação. Normalmente designada por feed-back ou escrita avaliativa, também pode ser de diversos tipos e deste modo ser mais ou menos adequada aos fins a que se destina (Gipps, 1999; Santos, 2003a; 2004). Estes comentários usualmente feitos sobre produções escritas dos alunos tomam como referência os critérios de avaliação definidos para cada tarefa. Estes podem entrar em linha de conta com aspectos tais como o conhecimento de estratégias e as competências de comunicação (Varandas,2000). (...)

Para que uma interacção reguladora seja eficaz passa muitas vezes pela identificação e interpretação dos erros cometidos. No que respeita, em particular, o estudo do conceito de número racional, Oliveira (1994) aponta algumas dificuldades sentidas, por parte dos alunos do 6º ano de escolaridade, nomeadamente, o não considerarem a divisão equitativa das figuras geométricas, isto é, não coordenarem a relação inversa entre o número em que o todo está dividido e o tamanho resultante de cada parte, a incompreensão da relação parte-todo e da parte-parte; o não reconhecimento da unidade; e o valor de posição quando se recorre ao uso de decimais. (...)

O teste em duas fases

Este instrumento de avaliação foi introduzido em Portugal no âmbito do projecto Mat789, coordenado por Paulo Abrantes (Abrantes et al., 1997). (...) A existência de uma segunda fase (...) permite que o aluno volte a reflectir sobre algumas das questões colocadas, contribuindo deste modo para que a avaliação seja ela própria um meio de aprendizagem (Leal, 1992, Menino, 2004). Por outras palavras, no desenvolvimento deste instrumento, percorre-se um processo de avaliação formativa retroactiva, dado o teste ser aplicado depois de uma sequência de ensino, mas igualmente cria um novo momento de aprendizagem onde a autonomia e a autoavaliação são incentivadas. Para além disso, os comentários que o professor faz na primeira produção do aluno de modo a contribuir para o trabalho a realizar na segunda fase, dada a sua natureza personalizada, promove uma maior aproximação entre aluno e professor (Martins et al., 2003).

Entre as dificuldades encontradas, é de assinalar a elaboração deste tipo de teste, que requer, dada as suas características, tarefas de natureza aberta, tais como questões exploratórias ou investigações menos disponíveis ao professor do que as de natureza mais fechada, e o tempo gasto na sua classificação, que foi considerado superior ao de dois testes de tipo tradicional (Leal, 1992). Acresce ainda a elaboração de comentários à primeira parte, indispensável neste instrumento, já anteriormente referidas, e a apropriação por parte dos alunos do modo de funcionamento deste instrumento legitimando a segunda fase (Leal, 1992; Menino, 2004; Nunes, 2005).

O relatório escrito

O relatório escrito tem passado nos últimos anos a ser um tipo de tarefa usualmente proposta aos alunos em Matemática, contrariando o que era esperado no passado fazer-se nesta disciplina. Acompanhado o surgimento de outro tipo de tarefas em Matemática, como seja por exemplo as investigações matemáticas, várias modalidades de relatório têm sido usadas: individual ou em grupo, feito na sala de aula ou fora desta (Santos et al., 2002). Não é possível dizer-se se é melhor ser fora ou dentro da aula, uma vez que é possível identificar potencialidades em ambas as situações. Na aula, permite ao aluno recorrer ao professor quando sente dificuldades e ser por este observado, dado nem sempre este trabalho escrito fazer jus à riqueza da exploração da tarefa realizada (Varandas, 2000) nem fornecer informação sobre a participação e o empenho dos alunos na realização da tarefa (Menino, 2004). Fora da aula, dá mais tempo para a sua realização (Leal, 1992).

A componente escrita do relatório embora possa constituir uma dificuldade adicional para os alunos é em simultâneo uma das suas grandes potencialidades uma vez que contribui para o desenvolvimento da comunicação escrita tantas vezes deixada para segundo plano em Matemática (Leal, 1992; Nunes, 2005). Outros aspectos que este instrumento igualmente privilegia relacionam-se com o conhecimento e compreensão de conceitos e processos, e o desenvolvimento de capacidades como a interpretação, a reflexão, a exploração de ideias matemáticas e o espírito crítico, e o sentido da responsabilidade pessoal e de grupo, a perseverança e a relação entre os alunos (Leal, 1992). O desenvolvimento de competências reflexivas e de auto-avaliação pode ser igualmente conseguido desde que seja dadas aos alunos indicações explícitas para a inclusão nos relatórios de elementos acerca da forma como desenvolveu o trabalho, das aprendizagens conseguidas e das dificuldades sentidas (Menino, 2004). (...)

O portefólio

(...) O desenvolvimento de um portefólio é um processo continuado no tempo. Normalmente acontece ao longo de todo um ano lectivo, requerendo, naturalmente, diversos momentos de aula para a realização de pontos de situação e de apoio por parte do

professor. Deste modo, a função reguladora deste instrumento de avaliação é talvez a sua principal potencialidade. O facto de poderem melhorar os produtos realizados das tarefas seleccionadas, decisão tomada pelos próprios alunos, e primeiras versões de reflexões, após os comentários do professor, certamente que favorecem a criação de A construção do portefólio constituiu um contexto rico para os alunos desenvolverem capacidades tais como a resolução de problemas, o raciocínio, a argumentação e a expressão escrita, a organização, a pesquisa, a autonomia e responsabilidade no processo de aprendizagem (Menino, 2004; Santos, 2005). Tendo uma forte componente reflexiva que acompanha todo o processo e os momentos de interacção professor e aluno que proporciona são os meios preferenciais que permitem ao aluno desenvolver a sua capacidade de auto-avaliação e competências reflexivas e metacognitivas (Menino, 2004; Santos, 2005). Deste modo, constitui um meio favorável para desenvolver uma postura de professor reflexivo (Martins, 2002; Santos, 2005) e pode influenciar as ideias dos alunos sobre o que significa saber e fazer matemática (Menino, 2004).

Mas certas dificuldades se levantam no desenvolvimento de um portefólio. Os alunos precisam de se envolverem com seriedade. É uma tarefa exigente onde se têm de expor. Para tal, é preciso, por um lado, que lhe reconheçam significado e, por outro, que haja um ambiente de confiança na relação professor/aluno. O acréscimo de trabalho para o aluno e para o professor é enorme. Não basta estudar na véspera de um momento de avaliação, é um trabalho continuado. É necessário dedicar aulas para este trabalho, criar momentos diversos de interacção professor e aluno, de acompanhar e apoiar os alunos (Santos, 2005). É igualmente necessário para o bom êxito desta tarefa uma certa predisposição do professor, nomeadamente em aceitar que o aluno possa deter um elevado grau de liberdade e decisão (Menino, 2004). Sendo o instrumento que se revelou ser aquele que levanta maiores dificuldades, pode levar certos professores a abandonar o seu uso a meio do ano (Menino, 2004) ou a não repetir a experiência nos anos seguintes.

O JOGO DE XADREZ NO ENSINO DA MATEMÁTICA

2010-12-22T17:26:00.001-08:00

Rafael de Souza Duarte – UFU - rsduarte@gmail.com

Maria Teresa Menezes Freitas – UFU - mtmf@ufu.br

Introdução

O ensino de Matemática tem sido percebido por muitos alunos como algo monótono, em que o professor transfere conceitos fundamentais através de aulas tediosas e maçantes. Acreditamos que por algum tempo essa idéia tenha sido predominante, mas com as constantes evoluções e pesquisas não consideramos que seja justo que esse tipo de afirmação permaneça. Estudos envolvendo várias correntes teóricas, entre estas, o construtivismo e o interacionismo, com os seus representantes Piaget e Vygotsky, alertaram os educadores para a possibilidade de dar maior dinamicidade ao ensino da Matemática em sala de aula, fazendo com que o professor não tenha a função única de transferir o conhecimento para o aluno em um discurso "bancário" meramente transferidor do perfil do objeto ou do conteúdo (FREIRE, 1996, P. 26). Acreditamos que a utilização de materiais concretos, lúdicos e da tecnologia na pedagogia moderna auxilia e contribui para a eficácia do aprendizado do aluno que, através do simples "brincar", não apresenta limites, antes encontrados dentro da sala de aula em certas matérias, ou seja, permite ao aluno evoluir segundo seu próprio ritmo. Este trabalho discute as possibilidades da inserção do jogo, mais especificamente do xadrez em sala de aula, na perspectiva do ensino e aprendizagem da Matemática.

Cousinet, citado por Christofoletti (2005), afirma que o jogo e a brincadeira são atividades naturais da criança, portanto, recomenda-se que a atividade educativa se baseie nessas atividades, não considerando todo o tempo o adulto que todo ser humano se tornará.

Piaget (apud GRANDO, 2005), afirma existir três tipos de jogos, assim denominados: jogos de exercícios, jogos simbólicos e jogos de regras. O último engloba os dois primeiros, tornando-se o mais importante dos jogos quando a criança alcança o período das operações concretas, pois a criança torna-se capaz de jogar respeitando as regras por consentimento mútuo, ressaltando a possibilidade social da proposta.

O xadrez, por ser um jogo de regras, impõe ao aprendiz normas de planejamento e estratégia, além de uma série de julgamentos que o jogador deve fazer, pois existe um limitador que se relaciona a interdependência entre as jogadas (anteriores e do adversário).

Kamii (apud MARQUES, 2004), estabelece três características desejáveis em um jogo para desenvolvimento moral, cognitivo e emocional do aluno. Assim, afirma a autora:

1. Em relação aos adultos, gostaríamos que as crianças desenvolvessem sua autonomia através de relacionamentos seguros, nos quais o poder do adulto seja reduzido o máximo possível.

2. Em relação aos companheiros, gostaríamos que as crianças desenvolvessem sua habilidade de descentrar e coordenar diferentes pontos de vista.

3. Em relação ao aprendizado, gostaríamos que as crianças fossem alertas, curiosas, críticas e confiantes na sua capacidade de imaginar coisas e dizer o que realmente pensam. Gostaríamos, também, que elas tivessem iniciativa, elaborassem idéias, perguntas e problemas interessantes e relacionassem as coisas umas às outras. (p.15).

Desta forma, percebemos que o jogo de xadrez possui as três características ressaltadas por Kamii, pois ao jogar uma partida a criança é totalmente responsável por suas decisões, não podendo o adulto interferir em questões de lances escolhidos pelo aluno. Em suas escolhas, a criança é levada a aprender que, na estratégia de jogo, não se pode pensar em apenas dar xeque-mate e sim, em problemas estratégicos que envolvam ganho de peças ou vantagem posicional, forçando-a a descentralizar seus pontos de vista em relação ao que está acontecendo no tabuleiro. Além dessas vantagens acreditamos que a mediação do professor em momentos oportunos contribui para o desenvolvimento no aluno da capacidade de análise da partida que, por meio de reflexão e comunicação com adversário e com o professor, detecta erros de estratégia, de raciocínio, entre outros.

Vale ressaltar a importância que o jogo de xadrez apresenta para a educação, pois estudos apontam a possibilidade deste jogo aprimorar habilidades de suma importância para o jovem estudante. Lasker (apud GIUSTI, 1999), relata algumas dessas habilidades: raciocínio lógico, concentração, paciência, autocontrole (físico e mental), projeção de cenários futuros (formação de conjecturas para a matemática,) entre outros.

No decorrer de uma partida de xadrez, vários fatores influenciam nas decisões da criança, porém, vários destes trabalham em função da eficácia do raciocínio. Concentração, atenção e previdência são muito importantes nessa estrutura de base para a formação de uma estratégia vitoriosa. Essas habilidades contribuem para uma boa construção do raciocínio lógico da criança que, implicará em maior facilidade na resolução de questões matemáticas.

Já faz alguns anos que o primeiro autor deste artigo trabalha com o jogo de xadrez, ensinando seus alunos a história, teoria e prática deste jogo. O ingresso no Curso de Matemática na UFU propiciou um novo universo educativo, relacionando xadrez e Matemática de uma forma até então desconhecida pelo mesmo. Através de estudos da psicologia da educação, métodos de ensino da matemática e, em particular, a disciplina 'Instrumentação para o ensino da Matemática', percebeu-se a estreita relação existente entre Ensino de Matemática e Jogo de Xadrez.

Ao longo do semestre letivo, algumas leituras e vivências de experiências de ensino foram realizadas na disciplina acima citada, sob a orientação da professora Maria Teresa Menezes Freitas. Uma das atividades avaliativas desta disciplina se relacionava ao desenvolvimento de um projeto que envolvia a criação de propostas abrangendo materiais concretos, jogos, aspectos lúdicos ou uma dinâmica diferenciada para o ensino da Matemática. Entre os itens a ser avaliado destacava-se a apresentação e discussão, ao fim do período letivo, do produto final dos estudos e pesquisas realizados, podendo o grupo contar com a utilização dos recursos que se fizessem necessário. Assim, foi desenvolvido um projeto intitulado "Projeto Xadrez-Matemática" relacionado ao ensino da Matemática em que se associou o jogo a alguns conteúdos de Matemática do ensino básico.

Sob a orientação da professora Maria Teresa, foi possível aplicar em sala de aula as atividades abordadas no Projeto Xadrez-Matemática, com jovens matriculados na 5ª e 7ª séries de um colégio em que o primeiro autor deste artigo faz parte do corpo docente.

A seguir, descrevemos os detalhes relacionados à experiência realizada.

Método Utilizado

Jogo: Xadrez

Material: Um jogo de xadrez a cada dois alunos.

Objetivo: Dar xeque-mate ao rei inimigo. (vide anexo 1)

O jogo de xadrez tem sido considerado um jogo complexo e, talvez por essa razão, exige um tempo maior de dedicação ao estudo de sua teoria para um aprendizado efetivo. No entanto, há a possibilidade de se ensinar Matemática durante esse processo sem que haja alguma dificuldade relacionada à teoria do jogo. Desse modo, o método utilizado teve um ano de duração com uma aula (50 minutos) por semana incorporada ao currículo escolar das crianças.

Para a experiência foram selecionadas vinte crianças de 5ª e 7ª séries de um colégio da rede privada em Uberlândia – MG que, durante o primeiro semestre letivo aprenderam movimentos e regras básicas do jogo de xadrez obtendo total noção das exigências do mesmo, adquirindo, assim, conhecimento para formar estratégias e táticas de jogo. Nesse momento, podemos notar certa semelhança com a Matemática, pois, através de problemas estratégicos encontrados pelo aluno foi possível auxiliá-lo a encontrar a maneira certa de resolvê-lo. Esse auxílio muito se assemelha ao método de resolução de problemas de George Polya, onde a criança é orientada a primeiro compreender, identificar o problema, segundo, a compor um plano, em seguida, executar este plano e por último analisar o resultado. Todas essas etapas foram verificadas em uma partida de xadrez tornando desta maneira, um meio eficiente de ensinar o aluno a entender problemas matemáticos e, conseqüentemente, melhorando a eficiência nestes. Veja quadro abaixo:

Processo de Polya	Processo enxadrístico
Compreensão do problema	Identificação de debilidades do adversário
Elaboração de um plano	Elaboração de uma estratégia
Execução do plano	Execução da combinação (seleção de posições ganhadoras)
Avaliação dos resultados	Reflexão sobre o processo desencadeado, análise da partida.

A partir do segundo semestre de 2006, iniciou-se o processo de ensino de conceitos matemáticos relacionando sempre que possível o xadrez.

Desenvolvimento

Com alunos da 7ª série, o plano cartesiano tornou-se bastante compreensível através de uma batalha enxadrística, semelhante à batalha naval. Sem uma sistematização formal do conteúdo em questão o aluno adquiriu satisfatoriamente as noções de coordenadas no plano. Acompanhe o exemplo:

Com o tabuleiro (mural) vazio, o professor inicia a brincadeira pedindo a um aluno que indique a coordenada da casa desejada falando a letra da coluna e o número da linha. O professor poderá controlar as casas escolhidas pelos alunos anotando-as no quadro. Caso o aluno acerte uma peça, este poderá escolher mais uma casa e assim sucessivamente. Cada acerto corresponde a um ponto e no final da partida quem acertar a posição exposta no mural ganhará cinco pontos incentivando, desta maneira, a competição entre eles. Observe diagrama abaixo:

Neste exemplo, a posição indicada no mural é de xeque-mate ao rei preto. Portanto, se o aluno acertar a posição da última peça, ele terá a chance de ganhar mais cinco pontos caso acerte o que a posição indica.

A partir desta brincadeira, foi possível inserir no contexto a identificação dos eixos coordenados, o eixo das abscissas e o das ordenadas, como traçar pontos no plano cartesiano e a noção de traçar gráficos de equações. Nesse momento a formalização do conteúdo tornou-se necessária para a continuação da brincadeira. Para fixar tais conceitos, a brincadeira foi prolongada, aumentando a competição e aprofundando um pouco mais no conteúdo. Por exemplo, o aluno que acertou a posição indicada no diagrama (último passo indicado acima) poderá ganhar mais pontos caso acerte informações corretas a respeito da colocação das peças como a torre na casa A8, informações estas especificadas pelo professor antes de recomeçar a brincadeira. Por exemplo: transformar a torre em um ponto T com coordenadas (A; 8). A coordenada "A" corresponderia à abscissa do ponto T e a coordenada "8" seria a ordenada de T, entre outras a critério do professor. Cada informação certa corresponde a um ponto.

As letras pertencentes ao tabuleiro são facilmente substituídas por números para completa compreensão de plano cartesiano. Para inserir o conceito matemático em questão associando à prática do jogo, basta a introdução do estudo de notação algébrica de uma partida de xadrez.

Nesta atividade, a maior parte dos alunos obteve total compreensão do conceito matemático estudado, no entanto, dois alunos tiveram certa dificuldade em absorver totalmente o conteúdo, encontrando dificuldade principalmente em localizar pontos com coordenadas que tinham o número zero ou na abscissa ou na ordenada.

Para sanar essa dificuldade foi preciso debater com os alunos em qual fileira (coluna) do tabuleiro ficavam as peças com abscissa (ordenada) 1, 2 e assim em diante para perceberem que a coordenada do ponto com abscissa (ordenada) igual a zero ficaria sobre o eixo das abscissas (ordenadas).

Com alunos da 5ª série do ensino fundamental, iniciou-se primeiramente a noção de área, principalmente no aperfeiçoamento da utilização de unidades de área. Inicialmente, através de problemas simples como o cálculo da área do tabuleiro utilizando, por exemplo, uma casa A1, como unidade de área e, em seguida, elevando o nível de dificuldade dos problemas construindo uma figura mais complexa, fornecendo ao aluno sólida compreensão relacionada à unidade de área. A figura abaixo ilustra um exemplo desta proposta.

Calcular a área da seta em destaque utilizando as seguintes unidades de área:

Problemas semelhantes ofereceram oportunidade de estabelecer interações entre alunos e proporcionaram bom entendimento das áreas em relação às suas unidades. Em relação ao item b, algumas crianças tiveram dificuldade em solucionar a questão e freqüentemente afirmavam: "mas professor, esse quadrado não cabe na figura toda". No entanto, orientando, desafiando e estimulando o diálogo foi possível proporcionar encaminhamentos que fizessem com que os alunos concluíssem que, no quadrado (unidade de área) em questão, podia-se desmembrá-lo em oito triângulos da questão c, tornando-o um problema mais simples.

Ainda com crianças da 5ª série foi possível trabalhar o conceito de frações no qual fora utilizado o tabuleiro como um 'geoplano'. Com aplicações semelhantes como, por exemplo, formação de ilhas se estabeleceu grande intimidade dos alunos com as frações e suas operações fundamentais. Para o tabuleiro tornar-se um geoplano, basta transformar cada casa deste em um ponto do geoplano. Desta maneira, obtém-se um geoplano na forma quadrada. (Vide Anexo 2).

Assim, foi possível mostrar que em uma adição ou subtração de frações o denominador não se altera e, também foi possível explorar o conceito de frações equivalentes e sua simplificação. Para a introdução do assunto basta substituir o elástico utilizado no 'geoplano' pelas peças do jogo de xadrez, proporcionando ao professor maior poder de interferência em uma partida de xadrez entre os alunos abordando-os com questões matemáticas relacionadas às frações. Veja diagrama abaixo.

Essas interferências possibilitaram a fixação e compreensão do conteúdo por meio de exercícios realizados de maneira descontraída e espontânea relacionados ao jogo, propiciando com que a criança resolvesse as tarefas necessárias sem a pressão e o sentimento de obrigação penosa de solucionar uma lista de exercícios ou a tarefa de casa.

Considerações Finais

Ao final do semestre letivo o projeto apresentado a todos os alunos da turma apresentou-se como uma experiência rica em que todos puderam discutir e salientar aspectos importantes relacionados à proposta que foram implantados na prática oportunamente.

Entre os aspectos evidenciados destacamos aquele que relaciona o desenvolvimento das habilidades nos alunos, principalmente, com o empenho e a orientação firme e segura por parte do professor. A amplitude pedagógica deste jogo milenar merece ser muito bem aproveitada pelo educador, seja na parte matemática, seja na socialização do indivíduo, pois, até no âmbito esportivo pode-se desenvolver no aluno valores como a consciência do saber ganhar e saber perder e do respeito ao adversário, além de ser um jogo que não tem distinção de sexo, ou seja, uma garota pode jogar em igualdade com um garoto diferentemente ao que acontece em alguns esportes de competição.

O estudo e a prática do jogo de xadrez possibilitam, além de tudo, a substituição de alguns materiais concretos, minimizando o tempo despedido em uma aula, pois em um determinado momento, a criança já dominará as regras e objetivo do jogo, permitindo ao professor iniciar imediatamente a construção de novo conceito matemático sem se preocupar em ensinar as regras novamente. Dessa maneira, a criança desenvolve cada vez mais sua capacidade de concentração, raciocínio lógico, formação de conjecturas, abstração, autocontrole, paciência, autonomia, memória e, principalmente, sua criatividade e imaginação.

Portanto, além de contribuir para a formação de conceitos da matemática o jogo de xadrez é um eficiente meio para se formar um indivíduo social, com valores bem definidos e características importantes como pensamento crítico para conviver-se em sociedade.

Em anexo, apresentamos os aspectos relacionados ao jogo de xadrez na expectativa que outros professores usem sua criatividade para o desenvolvimento da Matemática em sala de aula de maneira original e, assim contribuindo para preservação de uma cultura milenar.

Anexo 1

Aspectos Iniciais do jogo - Movimentos e Regras

O xadrez é constituído de: 1 tabuleiro 8x8, 32 peças (16 brancas e 16 pretas) assim subdivididas:

Um Rei branco e um preto;

Uma Rainha branca e uma preta;

Duas Torres brancas e duas pretas;

Dois Bispos brancos e dois pretos;

Dois Cavalos brancos e dois pretos;

Oito Peões brancos e oito pretos;

Tabuleiro:

D'AGOSTINI, G. Xadrez Básico. Ediouro Publicações S.A., 2002;

FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

GIUSTI, P. Xadrez: da escola aos primeiros torneios. Barcarola Editora, 1999;

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. Editora Paulus, 2005;

GUIDI, S. 27/05/2006. O jogo do xeque-mate in jornal Folha de São Paulo;

MACHADO, R. M. Explorando o Geoplano. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2004;

MARQUES, M. B. O jogo como alternativa para as aulas de matemática nas séries finais do ensino fundamental, VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2004;

Como Jogar Sudoku

2010-12-14T10:30:00.001-08:00

Lê as instruções do jogo.

Introdução: Este jogo possui puzzles parcialmente preenchidos que estão divididos por níveis de dificuldade: fácil e intermédio (com puzzles em cartolina e respectivas peças) e avançado (em papel para resolver com lápis).

Os puzzles mais fáceis são os que têm 16 quadrados (4x4) e dividem-se em dois tipos: com figuras geométricas e com algarismos.

Seguem-se os intermédios que têm 36 quadrados (6x6) e, por fim, os avançados que têm 81 quadrados (9x9). Ambos com algarismos.

Para cada Sudoku existe uma única solução.

Objectivo: Acabar de preencher os puzzles.

Regras: Os puzzles dividem-se em linhas, colunas e regiões. Cada puzzle contém quadrados com pistas que ajudam a encontrar a solução.

Coloca as peças nos quadrados vazios, de modo a que cada tipo de peça apareça apenas uma vez em cada linha, coluna e região.

Utilizando o Sudoku na alfabetização matemática

2010-12-14T10:27:00.001-08:00

TAREFA: Sudoku

Anos de escolaridade:

1º, 2º, 3º e 4º anos de escolaridade

Identificação do tema:

Desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático (transversal a todos os blocos).
Discriminação visual.

Competências a desenvolver:

Capacidade de aceitar e seguir uma regra.
Desenvolvimento da memória.
Agilidade de raciocínio.
Gosto pelo desafio.
Construção de estratégias pessoais.
Procurar estratégias diferentes para resolver o puzzle.
Explicitar, oralmente, as estratégias utilizadas.

Processos matemáticos:

Raciocínio;
Resolução de problemas;
Comunicação matemática (oral e escrita);
Reflexão e partilha das estratégias utilizadas.

Atitudes:

Motivação;
Persistência;
Superação de dificuldades no raciocínio lógico;
Capacidade de explicitação do raciocínio;
Organização nos registos escritos.

Apresentação da tarefa:

A tarefa será introduzida a partir de dois textos: um texto informativo com alguns factos históricos sobre o Sudoku e um texto prescritivo com as instruções do jogo.

Segue-se a distribuição dos puzzles e das peças e, por fim, de uma ficha de registo.

Condução da tarefa:

A tarefa terá como destinatários alunos dos quatro anos de escolaridade. Desta forma, dentro da turma criar-se-ão subgrupos e utilizar-se-á material adequado à sua faixa etária.

1º momento:

Será apresentado um texto informativo com alguns factos históricos sobre o Sudoku.

Nesta fase, pede-se aos alunos dos 2º, 3º e 4º anos que façam uma leitura silenciosa do mesmo para depois se fazer uma exploração oral com toda a turma. Vão localizar no mapa os países envolvidos na sua criação e divulgação (E.U.A. e Japão).

2º momento:

Distribui-se um texto prescritivo com as instruções do jogo e uma pequena ficha de interpretação que tem como objectivo levá-los a perceberem as regras. De seguida faz-se a correcção da mesma.

3º momento:

Segue-se a distribuição dos puzzles que serão apresentados por níveis de dificuldade e de forma faseada, à medida que os alunos avançam na superação das suas dificuldades.

1º ano: Apresentam-se os puzzles com 16 quadrados (4x4) e as peças com as figuras geométricas de cores diferentes (a cor tem como função ajudar em termos visuais). Numa fase posterior, apresentam-se os puzzles e as peças com as figuras geométricas com uma única cor (que funciona como um nível de dificuldade mais elevado).

2º ano: Apresentam-se os puzzles e as peças com as figuras geométricas com uma única cor. A seguir, os puzzles com 16 quadrados (4x4) e as peças com algarismos.

3º e 4º anos: Começa-se pelos puzzles com 16 quadrados (4x4) e pelas peças com algarismos. Seguem-se os intermédios que têm 36 quadrados (6x6) e, por fim, os avançados que têm 81 quadrados (9x9).

Distribuem-se também uma ficha de registo para que cada aluno saiba quais os puzzles que já fez.

Nesta fase, os alunos resolvem os puzzles individualmente mas colocados em grupos etários para que possam trocar ideias e ajudar-se mutuamente na superação de pequenas dificuldades.

O professor assumirá o papel de supervisor com o objectivo de verificar se as regras estão a ser cumpridas ou esclarecer alguma dúvida que possa surgir.

Valorizará a persistência e incentivará as crianças a tentarem níveis mais avançados.

Outras explorações:

Numa fase posterior, o mesmo jogo poderá ser feito aos pares, na medida em que os alunos já conhecem bem as regras.

Sudoku

2010-12-14T10:24:00.001-08:00

Um pouco de história

O puzzle foi inventado pelo norte-americano Howard Garns, um arquitecto aposentado de 74 anos e construtor de puzzles.

O enigma foi publicado inicialmente nos Estados Unidos da América em 1979 na revista americana Math Puzzles and Logic Problems, especializada em desafios e quebra-cabeças.

A editora deu ao jogo o nome Number Place, que é usado até hoje nos Estados Unidos. Em 1984, a Nicoli, maior empresa japonesa de puzzles, descobriu o Number Place e decidiu levá-lo para o Japão, onde os jogos numéricos são muito populares. O presidente da companhia fez algumas alterações e renomeou o jogo para Sudoku. Em japonês, "su" quer dizer "número" e "doku" significa "único". O jogo foi um enorme sucesso neste país asiático.

Um juiz neozelandês aposentado em Hong Kong, Wayne Gould, teve contacto com a diversão em 1997 e dedicou seis anos a criar um programa de computador que fosse capaz de gerar novos jogos rapidamente. Com o software pronto, ele ofereceu a novidade aos jornais ingleses e, em 12 de Novembro de 2004, o jornal The Times publicou o Sudoku que se tornou num autêntico êxito.

Em Portugal, começou a ser publicado em Maio de 2005 pelo jornal Público. Atualmente diversas editoras publicam o puzzle.

Diario de Aulas

2010-12-13T13:18:00.001-08:00

1ª aula : Primeira Aula- Conhecer-se e fazer-se conhecer

"Só levo a certeza de que muito pouco eu sei, e nada sei"

(Almir Sater/Renato Teixeira)

Primeiro dia de aula. Dia de conhecer a professora, os novos colegas, rever os antigos colegas, a nova classe, o programa, enfim, os primeiros passos para mais um novo curso, e, como sempre as expectativas são grandes.

Gostei muito das dinâmicas propostas pela professor. Principalmente porque a maioria dos alunos já se conhecem (estamos todos juntos deste o primeiro semestre de aulas). Então, a primeira dinâmica, em que deveríamos escrever um pouquinho sobre nós, nossas características mais marcantes, o que mais gostamos de fazer, o nosso trabalho, foi muito produtiva no sentido em que toda a classe teve que prestar muita atenção ao que cada aluno lia, procurando adivinhar o colega em questão. Outra dificuldade foi escrever sobre nós mesmos, pois dificilmente, eu acredito, que todas as pessoas da classe tem este habito. Escrever sobre o colega ao lado seria ate mais fácil... Por isto, a dinâmica foi muito válida, e divertida. Penso, que com nossos alunos, ela também teria o mesmo efeito, ainda maior, pois em geral, crianças gostam de falar sobre si, e seria muito interessante a elas se conhecerem melhor.

Foi lido o programa de curso, que infelizmente, não pudemos na ocasião ter em mãos. Após a leitura, outra dinâmica, que me surpreendeu, pela beleza e pela surpresa, pois não imaginaria uma dinâmica como esta logo no primeiro dia de aula.

Foi realmente um momento de aconchego e reflexão, escutar a música de Almir Sater. Prestando atenção na letra da música, que particularmente só consegui refletir após o aparelho de som ser desligado (a fim de deixar-me de envolver pela melodia), pude levantar muitas frases que podem referir às nossas vidas e que também podem ser transportadas a uma situação de sala de aula (que afinal faz parte de nossas vidas!).

A letra sugere que todos somos fortes, capazes de superarmos nossos problemas e dificuldades, e, que elas, nos fazem crescer, "tocar a vida para frente" com mais coragem e maturidade. As dificuldades enfrentadas também nos dão a idéia do quão grandes nós somos e tudo aquilo que podemos alcançar, mas também o quanto somos ainda pequenos e devemos muito lutar para conseguir êxitos (como sugere a frase acima destacada).

Esta música, pode-nos levar como ponto de reflexão o nosso trabalho em sala de aula. Tudo tem seu tempo, cada criança possui seu momento de aprender, nenhuma possui o mesmo ritmo, e cada uma traz consigo aquilo que mais lhe interessa, algo que pode ser repartido entre todos da classe e possibilitar novas descobertas com todos os alunos.

2ª aula: Segunda Aula- Auto Retrato

Nesta aula, já de posse do cronograma e do plano de curso, pude ter com antecedência uma idéia do que iríamos tratar em cada aula, facilitando a minha organização pessoal. Reunimos-nos em grupo, na primeira metade da aula (o meu grupo, fixo para todos os trabalhos da disciplina). Discutimos o texto "Qual é o momento de criar matemática?", de Luciano Lima.

Para a discussão do texto foi-nos sugerido uma dinâmica: cada integrante do grupo sorteava uma tira de papel contendo um parágrafo do texto. Primeiramente, deveríamos refletir individualmente sobre o nosso trecho sorteado, que o meu era:

"existe alguma diferença entre esta "aprendizagem" e a de como operar um máquina qualquer? Não, nenhuma. Do mesmo modo que você aprende a dirigir um carro, a jogar basquete, a operar o painel de um computador, a apertar os botões de uma prensa hidráulica, você aprende a lidar (ou melhor, "manipular") um conceito. Trata-se de aprendizagem do tipo "mostrar, pratica e treinar" que não se restringe só ao aprendizado de matemática. Todas as ciências, linguagens, formas artísticas e culturais são "ensinadas" com esta "metodologia". Manipular o conceito, ao contrário de pensar com ele: este é o resultado desta pedagogia. O conceito não ultrapassa os limites das mãos e só chega ao cérebro na forma de condicionamento. Chamamos esta "pedagogia" de "Pedagogia" do Treinamento/Adestramento." (página 11).

Em contato com o texto pude perceber a critica do autor ao que ele chama de pedagogia do adestramento, em que consiste que o conceito matemático não é apreendido pelo aluno. Este, somente o manipula através de formulas decorados e exercícios repetidos até a exaustão.

Em seguida, reunidos em grupo, decidimos discutir cada tira do texto de acordo com a seqüência do texto, a fim de facilitar o encadeamento de questões e reflexões.

Com a discussão, pude confirmar algo que eu sempre soube. Eu não sei matemática, não entendo vários conceitos, nunca consegui entender o porquê de fórmulas –apenas decorava-as antes das provas e esquecia-as depois que não usava-as mais.

Torna-se necessário para o professor, levar o aluno a apreender o conceito matemático. Talvez, por ser um caminho mais árduo e complexo do que o simples ensino de formulas, ensinar a contar de maneira mecânica, muitos não se dão a este trabalho. Entretanto, isto não será garantia para o aluno aprender.

Compreendi com esta discussão, após aberta para toda a classe, o quanto é necessário a aprendizagem do conceito matemático. E o papel do professor como mediador para esta tarefa é fundamental. Esta é a mensagem que eu levaria desta discussão para a minha aula com os alunos. É uma mensagem para mim, enquanto professora para a real aprendizagem de meus alunos.

Na segunda parte da aula, fizemos o nosso auto-retrato. Foi muito interessante, pois é um momento muito pessoal, em que devemos nos observar, sentir cada parte de nosso rosto, procurar entender cada característica física e emocional par que elas possam ser traduzidas sob a forma de desenho - tarefa não muito fácil. Quem sabe desenhar, leva uma grande vantagem, pois consegue reproduzir fielmente suas características. Para mim, foi um trabalho muito complexo, porem realizei-o de forma muito rápida. Também inclui no meu desenho alguns itens daquilo que mais gosto de fazer, a fim de dar uma "dica" para os colegas adivinharem. O problema também, é que meu desenho ficou um pouco caricato e "infantil" devido ao fato de que não sei desenhar...

Percebi que toda a classe se envolveu muito para a realização da dinâmica, tanto na realização dos desenhos como também na adivinhação de cada um deles. Demos boas risadas!

Acredito que foi um ótimo momento para todos nós alunos, e é uma ótima dinâmica para ser realizada em sala de aula com alunos. Eles vivenciarão os mesmos momentos que nós, e acredito que por serem crianças, estarão muito envolvidos na atividade, principalmente se a classe gosta de desenhar.

3ª Aula- O despertar das sensações

Inicialmente realizamos uma dinâmica que consistia em relembrar, após um instante de relaxamento, algum momento de nossa infância. Em seguida, transcrever este momento ao papel, que aqui segue abaixo:

"Lembro-me de minha formatura do pré. Usava uma pequena capa amarela sobre o uniforme e o famoso "chapéu de formatura" (meninos usavam a cor azul). Expectativas perante os pais e professores. Que emoção gostosa, diferente que estava sentindo: "Estamos crescendo!". Para mim, a emoção era ainda maior devido ao fato de que iria recitar um verso sobre "a conquista do nosso primeiro diploma" na frente de toda a platéia. Lembro-me de treinar durante dias e dias com mamãe, e às vezes com o papai, em casa, a fim de não "passar vexame" na hora final.

Chegado o momento, dirijo-me ao placo juntamente com os outros colegas. Na minha vez, vou a frente do palco e começo muito rapidamente a falar. Sou aplaudida e ganho um beijinho da professora. Sinto-me feliz.

Acabada a cerimônia, lembro-me de minha mãe comentando, rindo, que o microfone estava alto demais para minha pequena estatura, e que eu, na ponta dos pés, erguendo a cabeça, falei assim mesmo. Ela disse que muita gente achou engraçado, mas que, pelo menos, as pessoas que estavam em volta dela, aplaudiram a solução por mim encontrada-ficar na ponta dos pés e não desistir."

Discutimos a importância de trabalhar as sensações no processo de ensino/aprendizagem da matemática, em que a afetividade permeia toda a construção de qualquer conceito matemático.

Ao lembrarmos de algo classificamos fatos e eventos, impressões, fazemos seleções, pensamos nas seqüências de fatos situados em um determinado tempo e espaço.

Esta atividade, que me agradou muito, pode ser muito bem aplicada aos alunos, com o mesmo objetivo, tendo como tema a lembrança das férias, do ultimo Natal, ou de qualquer fato interessante que as crianças gostariam depois de contar aos colegas.

Após esta atividade fizemos o Jogo da caixa preta, que consiste em descrever aos colegas algum objeto que está em nossas mãos, mas sem estar à vista dos olhos de todos, pois ele estará dentro de uma caixa de sapato. Os colegas para adivinharem poderão desenhar a nossa descrição.

• A descrição das formas geométricas (estou segurando um objeto em forma de cone, cilindro, um cubo...) assim como o tamanho, a dureza, o material ajudaram muito na adivinhação, que em nosso grupo consistiu em um chuveirinho de plástico, borracha, régua, flor de plástico e panela de brinquedo.

• A orientação do desenho através do relato da pessoa que descreve o objeto ajudou na adivinhação, uma vez que a pessoa que descreve o objeto pode orientar na execução do desenho de forma a aproxima-lo do objeto em questão.

Com isto o erro foi um elemento essencial: as idas e vindas na representação gráfica através da orientação do colega foi possível adivinhar o objeto.

• Percebemos que há vários caminhos para se chegar a um determinado fim (a descrição pura e simples, o desenho...). Para isto, temos que conservar idéias, seqüências das informações dadas ou classificar as melhores informações para dar aos colegas que irão adivinhar...

Esta atividade também pode ser realizada com as crianças, uma vez que elas também irão ter que utilizar os mesmos critérios (mesmo sem saberem) para poderem transmitir suas impressões pelo tato e, as outras utilizarem conceitos matemáticos a fim de descobrirem qual o objeto que está sendo descrito.

A terceira atividade foi Os sons da floresta. A discussão, em grupo, girou em torno da seguinte questão: O que é inaudível em sala de aula?

Percebemos o quanto a fala interior da criança dificilmente pode ser percebido pelo professor. Muitas vezes, rostinhos acenando afirmativamente a uma questão nossa, querem dizer justamente o contrário: professora, não estamos entendendo o que você está querendo nos mostrar... Por isto, o entendimento do outro, através dos gestos, sorrisos, assombros, torna-se essencial na relação ensino aprendizagem. Isto é ouvir o inaudível.

Os medos, e até a própria timidez, fazem com que os alunos calem-se, ou por estarem usando muitas vezes uma linguagem diferente daquela que é socialmente aceita como a melhor (fala), o professor não distingue suas dúvidas, incertezas, e tudo aquilo que gostaria que nós entendêssemos.

A sala de aula esconde muitas vezes, relações de poder, e talvez pela posição de dominador, o professor encontra dificuldades de entender, de ouvir o inaudível, aquilo que seus alunos estão querendo dizer.

Esta aula foi muito importante, pois alem das diversas atividades realizadas poderem ser realizadas em nossa sala de aula, com as crianças, foi uma troca muito importante de experiências, reflexões acerca do universo escolar, sobre as sensações que acometem professores e alunos no processo de ensino/aprendizagem, como também nas diversas maneiras de fazerem despertar as sensações, os sentidos das crianças para o aprendizado de conceitos matemáticos.

4ª Aula- Geometria

Nesta aula, trouxemos inúmeros objetos feitos de sucata como: caixas de papel diversas (pasta de dente, sabonete, remédio, papel higiênico), potes plásticos de iogurte, caixas de alimentos, jornal, garrafa descartável de refrigerantes etc.

Como a aula giraria em torno do tema GEOMETRIA, a proposta da professora foi a de montarmos pequenos grupos, que, olhando os objetos de sucata expostos no chão, para todos os alunos, escolheriam alguns deles sob algum critério de classificação.

Mais tarde, um outro grupo teve que tentar adivinhar os critérios do grupo, fazendo três perguntas a respeito do modo de classificação dos objetos.

O objetivo da dinâmica é bem claro: a classificação sob diferentes critérios das formas (geométricas) encontradas na natureza.

Esta atividade foi muito interessante, pois alem dos critérios que encontramos em todos os grupos como tamanho, forma, material, cor, houve alguns grupos que escolheram "materiais de higiene" "alimentos" como critérios de classificação, ou "o critério é ter um objeto de cada forma possível existente entre todos os objetos", como um cone, um cubo, um cilindro etc.

A atividade é muito boa para ser aplicada em sala de aula com as crianças. É uma atividade de reconhecimento das formas, e, para as crianças das series iniciais, uma forma instrutiva de mostrar-lhes as inúmeras formas de classificação de objetos, noção de conjunto. Gostei muito desta atividade, em que a matemática está inserida de forma viva e dinâmica. Não sou ainda professora, mas com certeza vai ser uma atividade que irei usar.

Gostaria de fazer uma ressalva: o tempo gasto para a atividade. Ficamos praticamente metade da aula para faze-la, que em minha opinião, poderia ter sido mais rápida, quando somente dois ou três grupos fizessem as perguntas a outros (somente para nos dar a idéia de como fazer a atividade).

A aula foi um tanto tumultuada devido ao fato de alguns colegas questionarem a quantidade de tarefas que estão sendo pedidas, e por causa disto a qualidade das mesmas pode ser prejudicada. Concordo com isto, pois fazer um diário de todas as aulas, resenhas de todos textos é muita coisa (teríamos que passar muito tempo extra-classe para ler textos, fazer resenhas e diários...Isto sem falar nas outras matérias, com o mesmo tanto de atividades para fazer). Ficou acertado, então, que vamos fazer duas resenhas.

Após a dinâmica a professora Rosana nos explicou a classificação dos objetos segundo o seu corte (que é o critério matemático), como Sólidos, Poliedros, Curvas, Superfícies e Ponto. Ate me trouxe uma certa confusão, pois eu não sabia que para identificar a diferença entre eles, o essencial era o corte.

Depois, discutimos em pequenos grupos dois dos textos desta aula: Cuidado:o ethos do humano (Luciano Lima) ou Geometria nas series iniciais (Lanner de Moura).

Meu grupo preferiu o texto de Luciano Lima. Para isto, fizemos um pequeno comentário em grupo, que mais tarde vai ser disponibilizado no site a ser construído para a disciplina.

Percebi com o texto o quanto é necessário termos o equilíbrio (o senso de cuidado) para a necessidade de estarmos sempre em busca de novos "vôos", de ousar, de criar; e de estarmos sempre com "os pés nos chão" , criar raízes estreitas com nossa cultura e preservar tradições e conhecer nossos sentimentos, valores, enfim conhecermos a nos mesmos.

O equilíbrio, o cuidado com tudo aquilo que temos que ter em nossas vidas e com a vida de outrem é a chave também para a aprendizagem. Aprendizagem de nos mesmos, de outros e de tudo aquilo que pudermos apreender. Por sito a necessidade deste equilíbrio, deste cuidado com a aprendizagem. E a aprendizagem da matemática, por exemplo. Desenvolver conceitos, enraíza-los em nossas mentes, dando oportunidades para novos caminhos, novas aprendizagens, nova construção de conceitos.

Quinta aula- Fração

Esta aula foi dada no Salão pois estaria em conjunto com os alunos do professor. A aula foi dada pelo professor, sobre fração.

Inicialmente o professor nos mostrou o trabalho desenvolvido por ele sobre este tema. O que desde já foi muito importante, pois percebemos que ela iria descrever uma pesquisa baseada em experiências concretas com uma turma de alunos, dando subsídios para sua fala e quem sabe, futuramente, aproveitarmos de sua experiência para realizarmos as mesmas atividades com nossos alunos.

Eli nos mostrou a forma que desenvolveu as atividades com seus alunos, incluindo para isto diversas fotos e trabalhos realizados com eles.

Durante a palestra, fizemos a fase final das atividades, que consistia em uma situação-problema. Com uma folha de sulfite, deveríamos escolher algum instrumento que pudesse dividi-la em partes iguais. O objeto, uma caneta de determinada pessoa foi o instrumento padrão de medida, e através dele todos tiveram que medir as folhas (2 canetas e 1/5 para o comprimento e 1 2/3 para o largura). Esta atividade foi muito boa pois mostrou como os instrumentos de medida hoje utilizados foram criados (eles não são um instrumento "natural", que criou-se por si mesmo), e como podemos ensinar o conceito de fração por uma situação real e possível (longe dos exemplos de barrinhas de chocolate, que mais atrapalham do que ajudam...). Esta é uma ótima atividade a ser desenvolvida com os alunos.

A palestra foi muito produtiva, em minha opinião. Porem, só faço uma ressalva: pelo curto período de tempo, as informações tiveram que ser transmitidas de forma muito rápida, o que prejudica, de certa forma, o entendimento.

Como um todo, a palestra foi muito boa.

Sexta aula- Escala Cuisenaire

Neste dia, a aula foi realizada no laboratório de informática, com o professor Luis Augusto. O objetivo da aula foi a apresentação do material Cuisenaire e suas possibilidades de uso.

Este material, realmente é muito interessante e possui inúmeras possibilidades, para crianças de 3 a 11 anos, conforme nos indicou o professor. Ele permite desde a identificação de cores, tamanhos e suas comparações, ate o uso para conceitos de adição, subtração, multiplicação e divisão, conferindo uma gama de possibilidades de uso pelo professor ate para os alunos maiores, em que ele poderá analisar se o conceito já foi interiorizado pelo aluno ou não.

Manipulamos as barrinhas como as crianças devem manipula-las, de forma a identificarmos suas propriedades e fizemos algumas atividades com elas, como: escalas de tamanhos, desenhos, agrupamentos de cores, ou tamanhos das pecas. Em seguida, utilizamos o material para fazermos as operações matemáticas.

Realmente, pude perceber que o material é de fácil manuseio e acredito que para a criança é de fácil entendimento, de fácil apreensão do conceito matemático.

Após a manipulação das barrinhas, passamos ao computador. Fizemos a escala cuisenaire no Microsoft Excel. Fiquei atenta quanto às cores, para que as características da escala, não desaparecessem (como a noção de "dobro" embutida nas cores: 10- laranja, 5-amarela).

Então, as mesmas atividades trabalhando os conceitos de operações matemáticas foram realizadas no computador.

Com o uso do software, é possível para as crianças construírem as barrinhas, utilizando para isto, as células da planilha (de modo, que elas contando, já podem fazer automaticamente as operações matemáticas). O software, no entanto, deve ser utilizado para crianças maiores, não, por exemplo, para as de pré-escola e primeira serie, conforme o professor Luis Augusto disse ( e eu concordo).

Após a aula discutimos as possibilidades de uso da escala cuisenaire e de sua possibilidade de trabalha-la no computador.

Em minha opinião, esta aula foi muito produtiva. O professor Luis Augusto é uma pessoa muito clama e apresentou o material de forma muito clara e interessante. As atividades propostas por ele, como se fossem realizadas por crianças, me deu a idéia de como poderei utilizar este material com meus alunos. Alem disto o professor Luis Augusto foi muito solícito ao atender as dúvidas.

Acredito que quando tiver a oportunidade de estar lecionando, sentirei-me mais tranqüila quanto ao uso do material, de forma a auxiliar meu trabalho pedagógico, a fim de construir os conceitos das operações matemáticas com os alunos.

Gostei muito da aula.

Setima Aula

Nesta aula o tema abordado foi O Movimento do Conhecimento Científico- Iniciação Numérica.

Vimos com a professora Dayse que o conceito de sensação não é abordado nas aulas de matemática. Nestas aulas, privilegia-se de formas parcial o concreto e depois, de forma rápida, sem inter-conexões parte-se para os conceitos abstratos.

É necessário, portanto a busca do movimento para as sensações, em que as qualidades (as nuanças e os saltos), sejam trabalhados também, juntamente com a percepção da quantidade.

Ela nos explicou que o desenvolvimento do pensamento da criança está relacionado com a linguagem. Assim, deve-se explorar o conceito matemático sob diversas linguagens, relacionando as qualidades e quantidades deles.

Com isto o desenvolvimento da linguagem numérica, está intimamente relacionado ao pensamento numérico.

Esta aula foi-me muito útil para percebemos o quanto as relações de pensamento e linguagem estão interligados. As crianças estão em fase de desenvolvimento de seus conceitos e como é importante parta nós, professores, captar estes movimentos e mediar tantos outros para a internalização daquilo que estaremos procurando ensinar.

A percepção da mudança qualitativa dos conhecimentos permite-nos para nós professores compreender o quanto que aprendemos os conceitos matemáticos de forma fragmentada, e consequentemente ensinando da mesma forma. Com isto, esta aula nos ajudou a compreender de melhor forma este processo para que, como professores, procuremos outras estratégias de ensino-aprendizagem dos conceitos de matemática, de forma mais viva, coerente com os movimentos do aluno

Oitava Aula

Nesta aula cujo tema é LOGO e Educação Matemática, fomos até o laboratório de informática onde a professora introduziu algumas noções e ferramentas do ambiente computacional LOGO.

Já conhecia este ambiente, em versões menos atualizadas, e agora pude retomar alguns conceitos que podemos utilizar neste ambiente. Me senti como uma criança aprendendo (reaprendendo) a utilizá-lo, fazendo inúmeras tentativas para a construção de uma joaninha, que vai estar disponível no trabalho final do curso- no site)

O programa possui uma linguagem que é muito acessível para os alunos. Conheço trabalhos com crianças de oito aos (2ºserie) com este ambiente que possuem ótimos resultados. A matemática é vivenciada a todo o momento. O usuário do ambiente sente a necessidade de construção de fórmulas que expressam todo o movimento que a tartaruga deve realizar para fazer uma forma geométrica.

Com isto,o aluno pode, ele mesmo, criar suas "próprias" expressões matemáticas, resultando em fórmulas geométricas que formarão as figuras. E o professor pode, de certa forma, acompanhar o processo de internalização de conceitos matemáticos pelo aluno, uma vez que o ambiente LOGO permite, como uma linguagem de programação salvar todas as "fórmulas"- algoritmos criados pelo aluno.

Infelizmente, a maioria das escolas que utiliza microcomputadores não preparam seus professores e toda a equipe pedagógica para a melhor utilização dos mesmos como uma ferramenta de ensino.

Eu faço iniciação científica na área de educação e tecnologia e estou fazendo um estudo de caso em que professores de determinada escola estão aprendendo a utilizar a ferramenta internet como um ambiente para as suas aulas. Percebo que o problema, de forma geral, é a instrumentalização do professor: se ele não conhece bons ambientes e de que forma eles possam ser úteis em sala de aula, o professor continuará a acreditar que o computador só serve para os alunos aprenderem a desenhar no "Paint" digitarem trabalhos no "Word" e brincarem com os inúmeros softwares disponíveis que não possuem nada de interessante.

O LOGO é um ótimo ambiente que precisa ser mais difundido a fim de que todos as suas possibilidades educativas sejam mais conhecidas e utilizadas, possibilitando uma alternativa eficaz para o aprendizado de geometria.

Nona Aula

Nesta aula, fomos ao laboratório de informática para aprendermos alguns comandos do software Front Page, da Microsoft, que possibilita a criação de páginas para internet em HTML.

Já conhecia o software, mas não trabalhava com ele, apesar de conhecer a linguagem HTML (eu faço minhas simples páginas "na mão", usando um editor de textos qualquer). O Front-Page é simples de usar, apesar de tomarmos cuidado com ele, pois alguns "navegadores" como versões antigas do Netscape e Internet Explorer não reconhecerem alguns recursos avançados do Front Page, desconfigurando as páginas quando abertas no browser. Mas isto é outra história. O que foi importante para nós, como alunos é entender os recursos para podermos fazer nossas próprias páginas para o trabalho final de curso.

E, como professores, por que não ensinar aos nossos alunos os fundamentos da internet e permiti-lhes que os alunos montem suas próprias páginas, baseadas em projetos da classe? Esta é uma boa alternativa educacional, que permitirá com que o aluno perceba os mecanismos da internet, refletindo sobre eles, uma vez que ele não será mais mero usuário e sim um criador também, desmistificando "verdades" encontradas na telinha e acessíveis sob o comando do mouse.

Na outra parte da aula, realizada no CEMPEM tivemos uma aula interessantíssima (pena que o tempo era curto e não foi possível continuar) sobre o tema O lógico histórico no contexto algébrico.

Foi-nos explicado a necessidade da busca de todos os passos da formação dos conceitos algébricos com o aluno, de forma que este perceba a fluência e a transformação do modo de representação dos conceitos: da mera observação para a apreensão e representação do conceito matemático. Assim, o lógico-histórico permitirá a total apreensão dos conceitos utilizando linguagem apropriada pelo aluno, que entenderá a evolução do seu próprio pensamento.

Agora, somente na faculdade percebo o que ocorre com a matemática no dia-a-dia da sala de aula, não somente do Ensino Fundamental mas em todos os níveis de ensino. O aluno não apreende os conceitos, não os vivencia, somente decora fórmulas que não sabe para que serve e o problema reside no fato de que ele não compreendeu todos os passos para que uma fórmula matemática, por exemplo é de determinada maneira e não de outra. Ele somente a viu no seu estágio final, pronta para ser aplicada e não os passos que levaram à ela.

Assim, nós como professores, resta-nos aresgatar todos estes movimentos, todo o processo lógico-histórico dos conceitos matemáticos. Não é tarefa fácil, mas não é impossível, permitindo assim, uma real aprendizagem de matemática.

Gostei muito desta aula ela foi esclarecedora. As atividades (as perguntas) propostas e respondidas em classe são intrigantes e permitem boa discussão com nossos alunos também.

Décima Aula

A aula neste dia foi na sala de informática. A professora, juntamente com a estagiária Fabiana e a auxiliar Andressa nos passou os principais comandos do software Front Page para que pudéssemos fazer nossa página. O software é muito simples, para mim que já conhecia a linguagem HTML foi fácil entender seus principais recursos e o modo de operá-los. Entretanto tive que alguns problemas. Comecei, para ganhar tempo, a fazer meu site, o projeto final. Usei frames, escolhi algumas figuras, textos, fotos, mas... os links começaram a dar problemas, principalmente por não estarem correspondendo à posição que eu pedia ( a página continha muitos frames e links). Recorri à Fabiana e a professora mas não tivemos sucesso. Infelizmente vou ter que começar tudo de novo...

Acredito que se possuimos recursos e tecnologia como internet, devemos utilizá-la como ferramentas pedagógicas. Disponibilizar trabalhos de alunos, por exemplo na www. é um meio de ampliar a comunidade de pesquisadores da área, propiciando mais um modo de comunicação. Com os alunos torna-se um ambiente mais complicado para ser utilizado se os alunos não tiverem noções básicas de informática, mas com crianças de 4 serie, acredito que possam construir páginas simples, mostrando seus trabalhos.

11ª Aula

Neste dia começou a apresentação dos seminários. O primeiro grupo tratou fundamentalmente dos jogos e da matemática. Utilizando bonecos de fantoche o grupo retratou as idéias principais do texto. Disponibilizou também em uma mesa vários jogos que envolvam conceitos de matemática, como o Banco Imobiliário.

O segundo grupo tratou da geometria. Com apresentação em Power Point, o grupo mostrou inúmeras atividades utilizando obras de pintores famosos como Mondrian e Volpi.

O terceiro grupo tratou do tema hipertexto e de suas principais características. Nos mostrou que, por não seguir o curso de suas idéias, de seu pensamento, e não a ordem linear d eum livro por exemplo. Devemos nos atentar que há livros impressos que permitem a não-linearidade característica do hipertexto, como os Rolling Playing Games (RPGs) e livros como Vidas Secas de Graciliano Ramos.

12ª Aula

Esta aula foi a continuação dos seminários. O primeiro grupo foi o meu. Mostramos a relação existente entre a Arte e a Matemática. Falamos sobre a lógica estética da arte e a lógica do raciocínio matemático que inevitavelmente estão juntas (a beleza estética, os resultados das fórmulas matemáticas e a matemática incutida em uma obra de arte, por exemplo)

Apresentamos slides no Power Point contendo as idéias principais e um trecho do filme utilizado no estudo do tema.

Em seguida, outro grupo tratou o conceito de medidas, sob o enfoque da criança da educação infantil.. contaram um historia e trouxeram atividades sobre o tema.

Avaliação dos Seminários

De forma geral, os temas abordaram importantes conceitos para o ensino de matemática. Todos os grupos que assisti deram conta de transmitir de forma clara e sucinta para a classe as informações.

Somente ressalto que o espaço físico do CEMPEM não comporta o número de alunos, o que prejudicou o andamento dos seminários.

Plano de Aulas matemática

2010-12-13T13:17:00.001-08:00

EIXO:
NÚMEROS E OPERAÇÕES

OBJETIVO GERAL: Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as regras do sistema de numeração decimal, o valor posicional dos algarismos, a fim de aplicar o conhecimento adquirido na vivencia diária.

Conteúdo A: Função social do numero (Para que serve o numero? Por que ele foi criado?).

Objetivo específico:Conhecer as transformações no processo da construção do número, respondendo as necessidades humanas, a fim de identificar e compreender a função do numero na sociedade

Conteúdo B: Agrupamentos e trocas nas diferentes bases e na base 10.

Objetivo específico: Conhecer diferentes formas de agrupamentos com diferentes bases, a fim de entender que o nosso sistema de numeração atual é um produto histórico.

Conteúdo C: Significado de: classificação, seriação, sequência, inclusão de classes e conservação.

Objetivo específico: Compreender o processo de formação do número, a fim de registrar diferentes quantidades.

Conteúdo D: Sistema de numeração decimal, valor posicional: unidade e dezena

Objetivo específico:
Entender que os números possuem uma estrutura definida (ordens e classes), a fim de saber ler, escrever e representar diferentes quantidades.

ENCAMINHAMENTOS TEÓRICO METODOLÓGICOS: (INSTRUMENTALIZAÇÃO)

Atividades que possibilitam as trocas (canudinhos, tampinhas, fichas coloridas, etc. Atividades de sistematização do número e numeral (jogo de dominó de números, memória, etc.)

Atividades de cartaz de pregas;

Trabalhar através de ilustração, dramatização, a história da contagem e as diferentes formas de registro de quantidade.

Para enfocar as questões da dimensão histórica é importante que o professor discuta com os alunos sobre o inicio da contagem, enfatizando que a necessidade da mesma se originou com o inicio da agricultura e vivencia em grupo.

Elaborar uma listagem com imagem de contextos onde o numero é utilizado em nossa sociedade e classificar conforme a função exercida ( ex.: numero de casa, telefone, camisa de futebol ( identifica); 1kg de feijão, 21 alunos, 50 reais ( quantifica); 1º lugar, numeração das poltrona de ônibus ( ordena e classifica);

RECURSOS: Material sucata, material dourado, escala cuisenaire, jogos didáticos, cartaz de pregas;

Para estudo do professor:

Livros: Os números na historia da civilização – autor: Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lelles; Coleção – Vivendo a Matemática, editora Scipione;

A numeração indo-arábica, Vivendo a Matemática, editora Scipione, autor: Luiz Marcio Imenes; Porta Aberta, Editora FTD.

AVALIAÇÃO:

A avaliação será feita através de questionamentos orais e observação do desenvolvimento e participação das atividades dirigidas.

EIXO: GEOMETRIA

Objetivo geral: Construir a noção espacial, a fim de situar-se e deslocar-se no espaço, tendo consciência do próprio meio em que vive e das formas de representação desse meio, identificando as relações de posição entre objetos, relacionando-os com as formas geométricas. Além de perceber que a forma de ocupação e utilização do espaço está associada às produções humanas em cada momento histórico.

Conteúdo A: Exploração e localização dos espaços próximos (sala de aula, escola, vizinhança) utilizando como referência o próprio corpo e objetos.

Objetivo específico: Orientar-se no espaço escolar, a fim de estabelecer pontos de referencia para interpretar e representar a localização e posição de pessoas e objetos, bem como as formas dos mesmos.

Conteúdo B: Significado de dentro, fora, vizinhança, fronteira atrás, na frente, entre e meio, em cima, em baixo, à direita, à esquerda;

Objetivo especifico: Compreender os conceitos relativos a localização, a fim de identificar a posição e o lugar no espaço que cada pessoa ou objeto ocupa.

ENCAMINHAMENTOS TEÓRICO METODOLÓGICOS: (INSTRUMENTALIZAÇÃO)

Observação e comparação dos espaços da escola e as formas dos objetos que a compõe.

Visitas a outras escolas do município;

Questionamentos quanto ao posicionamento da escola em relação a espaços próximos e ambientes internos: o que está à frente, atrás, à direita, à esquerda, o que está próximo de, o que está longe de... ;

Fazer um passeio pela quadra da escola, observando as formas que a compõe;

Leitura de imagens de diferentes escolas e em diferentes épocas da historia município. Comparar imagens analisando as formas das diferentes escolas em momentos históricos distintos. A partir disso, questionar: O que permaneceu igual? Que diferenças podemos perceber? Por que houve necessidade de mudança? O que impulsionou essas mudanças?

Produzir maquetes da escola e a partir da maquete localizar os ambientes mais freqüentados pelos alunos.

Após a exploração na maquete partir para as mesmas atividades no registro da planta baixa.

RECURSOS:Sucatas, imagens, internet, lápis de cor papel, planta baixa da sala.

AVALIAÇÃO: A avaliação será feita através de questionamentos orais e observação do desenvolvimento e participação das atividades dirigidas.

EIXO: MEDIDAS DE TEMPO

OBJETIVO GERAL: Compreender que o homem se utilizou das medidas de forma arbitraria e, depois as padronizou para que pudessem ser usadas em diferentes situações, por diferentes homens e da mesma forma, a fim de perceber que ele transformou-as a partir de suas necessidades, em diferentes épocas e contextos.

Conteúdo A: Duração e seqüência temporal ( dia: manha, tarde e noite, antes, durante e depois; significado de rápido e lento; logo após, muito depois, muito antes, um pouco antes, agora; hoje e amanhã; linha do tempo com fatos da vida do educando;

calendário: dia, semana e mês, ano;

Objetivo específico: Compreender a sequencia temporal e sua forma de organização como uma construção histórica da humanidade, a fim de entender a organização das medidas de tempo nas atividades diárias.

ENCAMINHAMENTOS TEÓRICO METODOLÓGICOS: (INSTRUMENTALIZAÇÃO)

Ações docentes e discentes:

Pesquisar sobre a origem das medidas de tempo; Observação e leitura do calendário; relógio (confecção);

Produção de cartazes sobre as atividades realizadas pelos alunos nos períodos do dia, analisando a relatividade do tempo;

Pesquisa com as família sobre o tempo dedicado as atividades de lazer e ao trabalho. A partir dos dados coletados construir de gráficos e tabelas. Analisar de forma crítica os resultados.

Fazer uma legenda no calendário dos dias da semana, meses do ano, feriados, estações do ano. O calendário deverá ser explorado diariamente.

RECURSOS: Calendário, relógio, literatura infantil, CDs;

AVALIAÇÃO:

Será realizada a partir da observação e desenvolvimento das atividades dirigidas.

EIXO: TRATAMENTO DE INFORMAÇÕES.

OBJETIVO GERAL: Interpretar dados apresentados por meio de tabelas e gráficos, de forma quantitativa e qualitativa, a fim de compreender informações relevantes da realidade, percebendo suas transformações e contradições.

Conteúdo A: Leitura e interpretação de gráficos.

Objetivo específico: Ler e interpretar dados em tabelas simples.

Conteúdo B: Organização dos dados ( com desenhos ou objetos) em tabelas.

Objetivo específico: Construir registros gráficos - desenhos, esquemas, escritas numéricas – como recurso para expressar a organização e sistematização de informações e idéias.

Conteúdo C: Esboço de gráficos de barras ou colunas com uso de legendas.

Objetivo Específico: Ler, interpretar, organizar e registrar dados a fim de comunicar, de maneira sistematizada, informações obtidas;

OBSERVAÇÃO

O eixo de tratamento da informação deve ser trabalhado no sentido de ajudar o aluno a aprender a lidar com informações, organizando-as e interpretando-as qualitativamente. A medida que o educando vai familiarizando-se com os instrumentos, o educador deve, intencionalmente, colocá-lo em contato com dados relevantes da realidade social, de forma a contribuir para que faça uma análise crítica da mesma, percebendo suas transformações e contradições.

(Currículo Básico)

Para isto, pode-se iniciar o trabalho com a organização de informações simples que estão a sua volta (cores, número de objetos, número de pessoas organizadas por gênero, altura, profissão) por meio de registros em desenhos, depois em quadros, tabelas e gráficos de diferentes tipos.

Se houver nas escolas as condições para o uso da informática, os educandos poderão ser incentivados a usar esse instrumento para registrar os dados analisados.

Lembramos que estes conteúdos deverão ser trabalhados, durante o ano todo, relacionado com conteúdos das outras áreas do conhecimento.

EIXO: NÚMEROS E OPERAÇÕES

OBJETIVO GERAL: Identificar a função do número na sociedade e as transformações do processo da construção do número em função das necessidades humanas.

Conteúdo A: Seriação:
Sucessor, antecessor, ordem crescente e decrescente, decomposição, pares e impares.

Objetivo específico: Compreender a seqüência numérica, a fim de estabelecer diferenças entre os números e que podem ser quantificadas;

Conteúdo B: Valor posicional: unidade e dezena e registro de quantidades, leitura e escrita de numerais cardinais, composição e decomposição de números.

Objetivo específico: Entender que os números possuem uma estrutura definida (ordens e classes), a fim de saber ler, escrever e representar diferentes quantidades;

Conteúdo C: Cálculo mental e estimativa.

Objetivo especifico: Desenvolver a capacidade do raciocínio lógico matemático

ENCAMINHAMENTOS TEÓRICO METODOLÓGICOS: (INSTRUMENTALIZAÇÃO)

Ações docentes e discentes:

Trabalhar com material sucata para fazer atividades de seriação, classificação (separar por cores, tipo de material etc.) e conservação de quantidade.

Jogo dos dados numéricos (dois dados numerados e solicitar adicionar e subtrair); Outro jogo com o mesmo objetivo é o Boliche atividades com a escala cruzinaire;

Trabalhar a conservação, a seqüência e a composição e decomposição numérica utilizando material dourado.

Cartaz de pregas.

Material sobre-por.

RECURSOS: Material didático, sucatas entre outros.

AVALIAÇÃO:

A avaliação será feita através de questionamentos orais e observação do desenvolvimento e participação das atividades dirigidas.

Materiais manipuláveis

2010-12-13T12:57:00.001-08:00

Etapas a seguir para trabalhar com qualquer tipo de material:
- Permitir aos alunos que manipulem inicialmente o material como quiserem, explorando-o e inventando sozinhos brincadeiras. É a fase de jogos livres.
- Em seguida, propor regras de brincadeira ou atividades, constituindo a fase chamada jogos estruturados ou jogos com restrições.
- Trabalhar a mesma atividade com 2 ou 3 tipos de materiais diferentes. As crianças não ficarão presas aos aspectos de um único material e captarão melhor as idéias envolvidas na atividade. É a fase dos jogos análogos.
Estratégias e requisitos para criação e elaboração de jogos
- Objetivo: criar relações (número é uma síntese de relações)
- Esquema:

Requisitos para apresentação de jogo pedagógico:
- Embalagem;
- Título, tema, autor(es), conteúdo, série;
- Regras: objetivo educacional, regras do jogo, variantes;
- Plataforma, peças duráveis e atrativas;
- Divisões e organização interna.
O papel do educador é investigar e analisar as estruturas lógico-matemáticas do aluno para compreender o seu estágio e auxiliá-lo na sua aprendizagem.
Além de oferecer situações desafiadoras para aprendizagem, cabe ao professor propiciar os meios materiais e imateriais de ação cognitiva – a ação do pensamento para resolução das situações de aprendizagem.
Umas das ofertas é a de materiais pedagógicos e tecnológicos organizados para favorecer a construção das estruturas matemáticas.
Os materiais manipuláveis são elementos que, ao serem utilizados na relação educativa, tornam-se recurso importante para ajudar na compreensão das estruturas de pensamento tanto para o educador quanto para o aluno.
Ao manipularem esses materiais e lançarem mão de objetos reais para justificar atos mentais, os alunos estão emprestando ao material parte de suas estruturas de pensamento para a resolução de determinada situação-problema.
Nessa prática, o aluno está em total liberdade de ação para expressar seu pensamento, não estando obrigado a usar e entender regras impostas para justificar ou explicar seu raciocínio.
Assim, a criança, por si só, está construindo e descobrindo suas próprias regras.
Classificação dos materiais manipuláveis:
- Livres;
- Semi-estruturados;
- Estruturados; e
- Simbólicos.
Materiais livres:
- Para trabalhar até a quantidade de 200:
  - Corpo;
  - Sucatas, palitos, objetos;
  - Seres, eventos.
Materiais semi-estruturados:
- Para trabalhar quantidade de 200 a 1.000:
  - Cuissinaire;
  - Geoplano;
  - Tangran;
  - Barras de frações.
Materiais estruturados:
- Para trabalhar quantidade de 1.000 a 4.000:
  - Material dourado.
Materiais simbólicos:
- Dinheiro, ábaco, Quadro Valor de Lugar (QVL);
- Virtuais, computadores, softwares.
O uso do material concreto não deve servir de camisa de força na produção de procedimentos operatórios únicos, onde só é respeitada a forma de pensar do professor, utilizando o material para impor sua forma de ver o mundo.
Materiais livres: sem estruturas prévias, onde a criança impõe a estrutura matemática ao material, que varia do uso do corpo aos canudos e palitos.
Materiais semi-estruturados apresentam uma estrutura pré-definida, mas cuja estrutura não é colocada de forma absoluta, podendo haver variações de acordo com as relações de quantidade no material.
Os materiais estruturados concretos possuem uma estrutura pré-definida fundada nas regras matemáticas.
Os simbólicos, além das regras matemáticas, requerem que a criança já possua uma abstração do conhecimento matemático. Portanto, é o aluno quem age sobre o material e empresta o conhecimento matemático ao material, previamente adquirido.
O material concreto serve para fazer com que o aluno entenda aquilo que o professor quer?
- NÃO! Deve servir como:
  - Apoio de pensamento;
  - Forma de comunicar suas idéias;
  - Instrumento de exteriorização de seus procedimentos;
  - Memória de seu processo de construção do conhecimento;
  - Elemento intermediário entre o pensar e o registro gráfico.
É importante que o aluno participe da construção, organização, manutenção e equipagem do ambiente dos jogos. Toda sala de aula de matemática deve constituir-se em ambiente de rica exploração de atividades concretas e significativas.
As barrinhas de Cuisenaire, criadas por Georges H. Cuisenaire, se compõem de barras de madeira, em forma de prisma, com altura que varia de 1 a 10 cm, nas seguintes cores e quantidades:
- 100 barras de cor branca (a menor);
- 50 barras de cor vermelha;
- 36 barras de cor verde-clara;
- 28 barras de cor roxa;
- 20 barras de cor amarela;
- 16 barras de cor verde-escura;
- 14 barras de cor preta;
- 12 barras de cor marrom;
- 12 barras de cor azul; e
- 10 barras de cor laranja (a maior).
Atividades propostas:
- Escolha duas barrinhas e associe com uma outra que dê o tamanho das duas primeiras. Represente a situação com uma sentença matemática.
- Escolha duas barrinhas e verifique quanto uma barra é maior que a outra. Represente a situação com uma sentença matemática.
- Pegue uma barra marrom e a verde. Que barra devemos juntar para ficar com o tamanho da marrom? Represente a sentença matemática.
O material dourado, criado por Maria Montessori (1870-1952) quando trabalhava com crianças que apresentavam distúrbios de aprendizagem, é hoje utilizado amplamente devido a sua eficiência para a construção do sistema de numeração decimal ou utilização para desenvolver estratégias de resolução de situações-problema envolvendo as 4 operações, composto de:
- Cubinhos, representando a unidade;
- Barras, representando a dezena;
- Placas, representando a centena; e
- Cubo, representando o milhar.
Atividades propostas:
- Quantos cubinhos há em uma placa?
- Quantas barras formam um cubo?
- Com quantos cubinhos podemos fazer um cubo?
- Pense e faça as seguintes trocas:
  - Com 12 cubinhos trocando obtemos?
  - Com 21 cubinhos e 2 barras trocando obtemos?
  - Com 1 placa, 8 barras e 30 cubinhos, conseguimos formar?
- Represente 29 com o material. Acrescente 1 cubinho. O que acontece? Depois, tire 5 cubinhos. Como fica?
Os blocos lógicos são coleções de peças (em um total de 48), em geral de plástico, distribuídas da seguinte maneira, segundo seus atributos:
- (3) Cor: azul, amarela e vermelha;
- (4) Forma: quadrada, retangular, triangular e circular;
- (2) Tamanho: grande e pequena;
- (2) Espessura: grossa e fina.
As peças permitem um trabalho diversificado abordando vários conteúdos, como, por exemplo, identificação e classificação de figuras geométricas, construção de esquemas, árvores e tabelas lógicas, estabelecimento de relações de pertinência e inclusão e realização de operações com conjuntos.
Atividades propostas:
- Escolha uma peça e coloque-a na mesa. O próximo jogador deve colocar a 2ª peça que deverá ter apenas UMA diferença em relação à 1ª, o próximo deverá também colocar uma peça que terá UMA única diferença em relação à 2ª e assim por diante.
- Idem à atividade anterior, porém com duas diferenças, três e por fim com quatro diferenças. O que acontecerá se forem pedidas cinco diferenças entre uma peça e sua sucessora?
O tangram, um quebra-cabeça chinês conhecido por volta do séc. VII a.C. como as Sete Tábuas de Astúcia, é formado por 7 peças com formas geométricas, resultantes da decomposição de um quadrado maior:
- 2 triângulos grandes;
- 2 triângulos pequenos;
- 1 triângulo médio;
- 1 quadrado; e
- 1 paralelogramo.
A filosofia do tangram é de que um todo é divisível em partes, as quais podem ser reorganizadas num outro todo.
Atividades propostas:
- Recobrir o quadrado com 2 triângulos pequenos;
- Recobrir o paralelogramo com 2 triângulos pequenos;
- Recobrir o triângulo médio com 2 triângulos pequenos;
- Recobrir o triângulo grande com o quadrado e 2 triângulos pequenos;
- Recobrir o triângulo grande com o paralelogramo e 2 triângulos pequenos;
- Recobrir o triângulo grande com o triângulo médio e 2 triângulos pequenos;
- Construir um quadrado com 2 triângulos;
- Construir um quadrado com um triângulo grande, o quadrado e 2 triângulos pequenos;
- Construir um quadrado com um triângulo grande, o paralelogramo e 2 triângulos pequenos;
- Construir um quadrado com um triângulo grande, o triângulo médio e 2 triângulos pequenos;
- Construir um quadrado com 2 triângulos pequenos, o quadrado, o paralelogramo e o triângulo médio;
- Construir o quadrado com todas as peças.
O ábaco, apesar da sua estrutura física concreta, os nº tomam sentido a partir da estrutura simbólica calcada no valor posicional, o que implica o aluno já possuir competências que mobilizem conhecimentos ligados à estrutura do número.
O ábaco apresenta base dez, enquanto o soroban trabalha na base 5. Na cultura oriental os sorobans são ferramentas essenciais para a realização dos cálculos.
Ábaco horizontal: cada nível apresenta 10 contas, que são trocadas por uma conta do nível superior, através de um simples movimento onde vão dez para um lado e vem uma para o outro lado oposto.
Ábaco vertical: a troca se faz efetivamente retirando dez contas de uma haste e introduzindo uma conta na haste seguinte.
O ábaco é indicado para as 3ª e 4ª séries.
Atividades propostas:
- Represente quantas pessoas há na sala de aula hoje.
- Represente o ano do seu nascimento.
- Conte de 2 em 2 até 20.
- Conte de 5 em 5 até 50.
- Conte de 9 em 9 até 100.
Geoplano: é um material didático que pode ser construído com uma tábua quadrada ou retangular com pregos dispostos regularmente e alguns elásticos. Há uma variedade de conteúdos matemáticos que podem ser estudados com a ajuda do geoplano, como a classificação e identificação de figuras geométricas, cálculo de perímetros e áreas, medidas de segmentos, problemas de contagem e outros.
Atividades propostas:
- Construir 2 retângulos de mesma área e perímetro diferentes.
- Construir 2 retângulos de mesmo perímetro e áreas diferentes.
- Construir 2 paralelogramos não retangulares de áreas iguais e perímetros diferentes.

Construir um losango e um trapézio de modo que ambos possuam 6 unidades de área.

GRANDEZAS E MEDIDAS

2010-12-13T12:53:00.001-08:00

(Cátia Rodrigues)

Os alunos quando chegam ao 1.º Ciclo já possuem muitos conhecimentos informais no âmbito das grandezas e medida. Já utilizaram em muitas situações expressões do tipo "está na hora de ir para a escola", "eu sou mais alto do que tu", "esta bola é maior do que a tua…", "este saco é muito pesado…", ... Cabe ao professor partir desses conhecimentos para aprofundar a compreensão dos conceitos de grandeza e medida e apresentar situações relacionadas com a medida de várias grandezas. Segundo o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (2007), os alunos devem "compreender as grandezas dinheiro, comprimento, área, massa, capacidade, volume e tempo; compreender o que é a unidade de medida e o processo de medir; ser capazes de realizar estimativas e medições, e de relacionar diferentes unidades de medida; ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar no âmbito deste tema."

A pertinência deste tema nos currículos de Matemática justifica-se pela sua presença no dia-a-dia das pessoas e em muitos domínios profissionais. Por exemplo, um agricultor, ao calcular a quantidade de semente a lançar à terra, tem necessidade de medir e manipular instrumentos de medida. Para além disso, é um tema com enormes potencialidades ao nível das conexões dentro da Matemática, assumindo particular importância no contexto dos números decimais não negativos, ao mostrar a aplicabilidade dos mesmos em situações com significado para os alunos.

Mas o que são grandezas?

As grandezas são atributos dos objectos que são passíveis de serem medidos. Por exemplo, o volume, a massa e o comprimento são grandezas. Já o mesmo não podemos dizer, por exemplo, da cor, da utilidade e da beleza.

E o que é medir?

Medir consiste em comparar duas grandezas da mesma espécie, dois comprimentos, duas áreas, dois volumes, … Por exemplo, para comparar os comprimentos de dois segmentos de recta coloca-se um deles sobre o outro, fazendo coincidir um dos extremos. Contudo, para um problema de medição, sabemos que não basta afirmar que o comprimento de um segmento é maior do que o do outro. Isto porque, geralmente, estamos interessados em saber "quantas vezes cabe um no outro". Assim, é necessário "seleccionar um objecto e um atributo desse objecto que pretendemos medir: um comprimento, uma área, um volume, uma massa ou uma temperatura; escolhemos a unidade apropriada com a qual possamos comparar o atributo seleccionado do objecto; determinamos o número de unidades necessárias para exaurir o atributo" (Palhares, 2004).

Na situação apresentada anteriormente, em que se colocava um segmento de recta sobre o outro, e se verificava qual deles tinha o maior comprimento, dizemos que estamos a fazer uma comparação directa. Nesta fase não precisamos de nos preocupar com unidades. A comparação directa apenas permite ordenar dois ou mais objectos; no entanto, constitui o fundamento de toda a medição.

Imaginemos agora que se pretende comparar o comprimento de duas salas de aula. Neste caso, não se poderá fazer por comparação directa; terá de se fazer a comparação indirecta, isto é, teremos de nos servir de um objecto padrão para poder comparar os dois (por exemplo, o nosso próprio corpo, um fio, o passo, …, devendo aperceber-se, no entanto, das limitações causadas pelo uso das medidas antropométricas.

Medir é, pois, uma síntese das operações de mudar de posição e de subdividir; é comparar uma dada quantidade de comprimento, massa, volume, … com o comprimento, massa ou volume de um dado objecto a que chamamos unidade, permitindo associar um número a uma quantidade de grandeza. (Ponte e Serrazina, 2000).

Mas, para que o aluno esteja em condições de medir, ele terá de primeiramente perceber o princípio da conservação da grandeza, isto é que, por exemplo, o comprimento de um objecto não se altera quando muda de posição. Para a aquisição do conceito de unidade de medida, Ponte e Serrazina, identificam cinco passos:

ausência de unidade de medida: medida meramente visual e comparativa, com a qual as crianças podem comparar dois objectos. A introdução de um terceiro objecto dificulta a medição.
unidade ligada a um objecto: é uma unidade ligada a um único objecto e claramente relacionada com o que deve medir-se.
unidade ligada à situação: a unidade depende fortemente do objecto a medir, podendo mudar de um objecto para outro, desde que se realize as respectivas medições e se conserve uma relação.
unidade figural: a unidade a construir e o objecto a medir vai perdendo relação, observando no entanto uma certa tendência em medir objectos grandes/pequenos com unidades grandes/pequenas.
unidade propriamente dita: é totalmente livre do objecto considerado, usando-se a mesma unidade para medir todos os objectos.

Exemplos de grandezas

Comprimento

Inicialmente os alunos devem utilizar adequadamente expressões como "é tão comprido como", "mais curto que". Só mais tarde aprenderão a medir usando o próprio corpo e objectos. Deverá ser pela própria experiência de medir comprimentos que os alunos irão sentir a necessidade do aparecimento de uma unidade padrão, isto é, as unidades estandardizadas de medida de comprimento.
2. Área
Para a introdução do conceito de área, os alunos devem realizar experiências que conduzam à cobertura e uma superfície, de forma a que não sobrem espaços nem haja sobreposições. Nesta fase, os materiais Cuisenaire, Tangram e geoplano, entre outros, podem dar um grande contributo, nomeadamente no estudo das figuras equivalentes. Com estas experiências, os alunos poderão ser iniciados no estudo das medidas estandardizadas – metro quadrado, por exemplo, e levados a estabelecer as expressões para o cálculo de áreas de polígonos. Na verdade, uma expressão não é mais que o reflexo de um bom entendimento do conceito em estudo.
3. Volume e Capacidade
Intuitivamente, podemos dizer que volume é o espaço ocupado por um corpo sólido. Neste sentido, é fundamental a realização de experiências como as de mergulhar um corpo num líquido e observar a subida resultante, ou encher caixas com cubos. Mais uma vez, o material Cuisenaire pode ser bastante útil, na medida em que permite, também, construir sólidos equivalentes. Para medir o volume de qualquer sólido geométrico tomamos como unidade de volume, usualmente, o cubo cuja aresta mede 1 cm de comprimento.
Outro aspecto a realçar é o de, muitas vezes, a capacidade ser confundida com o volume. Contudo, se o volume é o espaço que um corpo ocupa, a capacidade é a quantidade de líquido ou de espaço que pode conter. A unidade de medida de capacidade é o litro, que corresponde ao decímetro cúbico.
Observação: Normalmente, os problemas de optimização, que mediante determinadas condições exigem a maximização ou minimização de determinadas grandezas (área, volume,…), podem ser directamente resolvidos encontrando os valores máximos ou mínimos (respectivamente) de uma função que modele os referidos problemas. Esses valores extremos são os zeros da função derivada (relativamente à função que modela o problema a optimizar) – ver documento Limites e Derivadas.
4. Massa
É comum ouvir-se dizer "eu sou mais pesado que tu", "o lápis é mais leve que o caderno", quando deveríamos antes ouvir "a minha massa é superior à tua", "a massa do lápis é superior à massa do caderno". Estas duas grandezas são diferentes. Enquanto a grandeza massa não varia consoante o local da Terra onde o objecto se situa, a grandeza peso depende do lugar onde nos encontramos, porque esta é definida como a força que atrai um corpo para o centro da Terra. A massa diz respeito à quantidade de matéria que um corpo possui.
1. Tempo
Quem nunca ouviu as expressões. "Hoje o tempo nunca mais passa.", "Tens 5 minutos para acabar o exercício.". O que nos indicam? A primeira é característica do tempo subjectivo, enquanto que a segunda, por nos ser dada por um instrumento de medida – o relógio, identifica o tempo objectivo.
O tempo é uma grandeza difícil de ensinar, pois trata-se de algo que não é "palpável". Como medir o tempo?
A medição desta grandeza foi sofrendo várias alterações ao longo dos tempos. Para medir o tempo já se recorreu ao Sol, à água, à areia, mas nos dias que correm usamos calendários e relógios.
1. Dinheiro
Para os alunos, esta grandeza não está ao mesmo nível das outras; não está directamente ligada à medida, uma vez que eles recorrem ao dinheiro para comprar o que querem e não para medir.
É a partir de situações do quotidiano e dos conhecimentos que os alunos já têm do dinheiro que estes vão compreendê-lo como uma grandeza; vão perceber quantas moedas de um tipo são necessárias para perfazer outra ou atingir um determinado valor que corresponde a um preço.

Amplitude do ângulo
A amplitude de ângulos é um atributo que tem a ver com a sua abertura. Das grandezas apresentadas, esta é a última a ser trabalhada pelos alunos, sendo que no 1.º Ciclo se inicia de modo intuitivo (usando-a para a classificação de alguns ângulos), avançando-se no 2.º Ciclo com a sua formalização (introdução de unidades e instrumentos de medida). A actividade de medição de ângulos ganha também no 2.º Ciclo particular importância nas transformações geométricas nomeadamente nas rotações.
Considerações finais
As grandezas e medidas devem estar associadas à resolução de problemas do quotidiano dos alunos. Neste processo matemático os professores devem incentivar os alunos a criticar a razoabilidade das suas respostas. Nas situações de medida, os professores devem desenvolver a capacidade de estimação dos alunos, uma vez que nem sempre é necessário saber a medida exacta associada a um objecto, bastando um valor aproximado. Para além das actividades realizadas com este objectivo, o professor pode também ajudar a desenvolver estratégias de estimação, como por exemplo, "visualizar a unidade que se vai usar na estimação e repeti-la mentalmente sobre o objecto a medir; comparar o comprimento a medir com o comprimento de um objecto conhecido, …" (Ponte e Serrazina, 2000).
Referências
Ponte, J. & Serrazina, L. (2000). Didáctica da Matemática do 1.º ciclo. Lisboa: Universidade Aberta.
Ministério da Educação (2007). Programa do Ensino Básico, DGIDC (disponível em www.esev.ipv.pt/mat1ciclo).
Caraça, B. (2003). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva.
Palhares, P. (2004). Elementos de Matemática para professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel.

Blocos Lógicos

2010-12-13T12:51:00.001-08:00

Objetivos

Despertar o pensamento propiciando a troca de experiências e conhecimentos;
Fazer com que o aluno sabia debater idéias, levantar hipóteses, elaborar estratégias e aplicá-las, sempre por meio de situações-problema próximas à vivência do aluno para maior contextualização.
Trabalhar com a geometria manuseando e manipulando objetos, embalagens e blocos lógicos, descobrindo seus elementos, suas características ou propriedades, as diferenças e semelhanças entre eles.
Raciocinar, explorar e descobrir são fatores que desempenham importante papel no desenvolvimento da concepção de espaço.

1ª Aula:

Os exercícios com os blocos lógicos podem se estender por todo o programa do ano, sempre intercalados com atividades que empreguem outros tipos de material didático, como o material dourado ou Cuisenaire.

Um jogo de blocos lógicos contém 48 peças divididas em três cores (amarelo, azul e vermelho), quatro formas (círculo, quadrado, triângulo e retângulo), dois tamanhos (grande e pequeno) e duas espessuras (fino e grosso).

As peças podem ser de madeira ou cartolina, sem medidas padronizadas.

Nessa aula você poderá confeccionar o material com seus alunos em cartolinas.

1 - JOGO LIVRE:

Primeiramente, promova o reconhecimento do material.

Peça aos alunos para formarem desenhos com as formas dos blocos lógicos, observando e comparando as cores, os tamanhos e as formas.

Esse trabalho poderá ser feito em grupo, pois os alunos através de diálogos, enriquecerão o conhecimento das características físicas de cada bloco.

2 - JOGO DA CLASSIFICAÇÃO:

Apresentar um quadro às crianças para que classifiquem os blocos.
Crie junto com os alunos os atributos que serão dados para os tipos de blocos existentes.

Exemplos:

a) as quatro formas: círculo, quadrado, retângulo e triângulo

b) as duas espessuras: grosso e fino

c) os dois tamanhos: pequeno e grande

d) as cores: amarelo, azul e vermelho

Faça em cartolina um quadro. Escolha alguns atributos e peça aos alunos que separem os blocos de acordo com os atributos escolhidos.

Primeiramente, escolha apenas um atributo (quadrada).

Exemplo: separar apenas as peças quadradas.

Depois, vá acrescentando atributos (vermelha, fina, pequena).

Os alunos irão completar o quadro com a peça quadrada, pequena, fina e vermelha.

2ª Aula:

3- JOGO QUEM ESTÁ COM A PEÇA?:

Peça para cada aluno escolher um bloco lógico.

A professora escolherá uma delas sem contar aos alunos qual é.
Essa será a peça que deverá ser adivinhada.

Apresente então um quadro com duas colunas.
Supondo que a peça escolhida seja um triângulo pequeno, azul e grosso, você colocará no quadro apenas o primeiro atributo, perguntando:

- Quem tem a peça azul?

Todos os alunos que tiverem as peças azuis irão colocá-las no quadro.

Em seguida, dê outra dica:

- Quem tem a peça na forma triangular?

Quem tiver colocado a peça que não for triangular, deverá ir ao quadro retirá-la.

O exercício continua com os outros atributos até ficar apenas a peça que foi escolhida.

A atividade estimula mais que a comparação visual. Também exercita a comparação sensorial entre o atributo e a peça que a criança tem na mão.

Você poderá também fazer uma segunda coluna, a da negação (peças que não são da cor, do tamanho, da espessura e nem da forma pedida) que leva à classificação e ajuda a compreender, por exemplo, que um número pertence a um conjunto numérico e não a outro.

3ª Aula:

4 – JOGO ADIVINHE QUAL É A PEÇA

Dividir a classe em grupos e espalhar os blocos lógicos pelo chão.

Para descobrir qual é a peça, as crianças farão uma competição. Dar um comando das características de uma peça (por exemplo: amarelo, triângulo, grande e fino) para um grupo.
Em seguida, o grupo deve procurar e selecionar a peça correspondente para mostrá-la, o mais rapidamente possível, às outras equipes.

A competição poderá ter como objetivo verificar qual grupo encontra a peça correta primeiro ou de qual grupo encontra mais peças corretas. À medida que acertam, recebem uma pontuação.

Outra opção é de cada equipe desafiar os outros grupos da classe distribuindo eles mesmos os atributos.

4ª Aula:

5- O JOGO DAS DIFERENÇAS

Neste jogo os alunos observarão três peças sobre o quadro.

Exemplo:

1- triângulo, amarelo, grosso e grande;
2- quadrado, amarelo, grosso e grande;
3- retângulo, amarelo, grosso e grande;

Eles deverão escolher a quarta peça (círculo, amarelo, grosso e grande) observando que, entre ela e sua vizinha, deverá haver o mesmo número de diferenças existente entre as outras duas peças do quadro (a diferença na forma).

As peças serão colocadas pela professora de forma que, em primeiro lugar, haja apenas uma diferença. Depois duas, três e, por fim, quatro diferenças entre as peças. Os alunos farão comparações cada vez mais rápidas quando estiverem pensando na peça que se encaixe em todas as condições.

6- JOGO O MESTRE MANDOU

Os alunos deverão encontrar a peça que obedeça à seqüência de comandos estabelecida pela professora.

A seqüência poderá ser iniciada com os atributos: círculo, azul e grosso.

Os alunos escolherão a peça correspondente.
O comando seguinte é mudar para a cor vermelha. Eles selecionarão um círculo grosso e vermelho.

Em seguida, devem mudar para a espessura fina. Então, um círculo vermelho e fino deverá ser selecionado. A professora poderá continuar acrescentando comandos ou apresentar uma seqüência pronta.

Faça depois o processo inverso. Os alunos serão apresentados a uma nova seqüência de comandos, já com a última peça.

Eles deverão reverter os comandos para chegar à peça de partida.

A atividade é essencial para o entendimento das operações aritméticas, principalmente a adição como inverso da subtração e a multiplicação como inverso da divisão.

Use também a arte de dobrar papéis que é conhecida como origami.
O origami é útil, ainda, para ensinar conceitos básicos de geometria. Da primeira à quarta série, você pode montar, junto com a turma, barquinhos, balões, chapéus de soldado, pirâmides, cubos e outros sólidos geométricos.

Veja na Oficina de Origami do eAprender.

Desse modo, a criança tem chance de visualizar conceitos abstratos como superfícies, linhas e pontos.

Também é possível construir figuras planas — quadrados, retângulos e triângulos — que vão ajudar na explicação de ângulos, diagonais e lados.

Integração:

ARTES: Confecção dos blocos lógicos e dos desenhos. Trabalhar com os blocos lógicos na criação de painéis.

HISTÓRIA: Pesquisar sobre os desenhos geométricos muito utilizado em obras de arte e construções.

Teia de Histórias

Objetivos

Conhecer diversas Histórias infantis;
Utilizar a técnica de dramatizar e fazer recontos;
Oportunizar a criatividade, imaginação, humor,ilusionismo;
Desenvolver habilidades sociais;
Desenvolver o hábito de ouvir com atenção;
Enriquecer e ampliar o vocabulário;
Intervir, posicionar, julgar e modificar subvenções sociais;
Desenvolver o pensamento lógico e a rapidez de raciocínio;
Criar atitudes desejáveis;
Permitir a livre expressão.

Desenvolvimento:

Ainda estamos nos divertindo?

2010-12-13T12:47:00.001-08:00

Como os professores usam materiais manipulativos para ensinar matemática

Texto adaptado de MOYER, Patricia S. Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics 47: 175-197, 2001.

Com uma considerável pesquisa apoiando o uso de materiais manipulativos e amplas oportunidades de desenvolvimento profissional de professores focalizando seu uso, os materiais manipulativos são comuns nas salas de aula do Ensino Fundamental. Como pode ser verificado em propostas curriculares, livros-texto sobre metodologia, cursos de formação continuada, periódicos profissionais e catálogos comerciais, o uso de materiais manipulativos está bem situado nas atuais tendências para o ensino da matemática.

Por que os materiais manipulativos se tornaram populares?

No século passado, diversos fatores contribuíram para a popularidade dos materiais manipulativos no ensino da matemática. Muitos pesquisadores e teóricos desafiaram crenças anteriormente comuns sobre a aprendizagem, com base em suas crenças de que as crianças precisam entender o que estão aprendendo para que a aprendizagem seja permanente. O trabalho de Zoltan Dienes (1969) convenceu os pesquisadores de que o uso de várias representações de um conceito ou "incorporações múltiplas" era necessário para apoiar a compreensão dos estudantes. Piaget (1952) sugeriu que as crianças não têm maturidade mental para apreender conceitos matemáticos abstratos apresentados somente por meio de palavras ou símbolos e precisam de muitas experiências com materiais concretos e desenhos para que a aprendizagem ocorra. Bruner (1960, 1986) concluiu que as crianças podem demonstrar sua compreensão em três estágios de representação: legal (enactive), sugerindo o papel de objetos físicos; icônico e simbólico. As teorias de Skemp (1987) sustentaram a crença de que as experiências e interações dos estudantes com objetos físicos formavam a base para a aprendizagem posterior no nível abstrato. Com base em teorias da cognição e da construção social do conhecimento (Vigotsky, 1978), uma pesquisa mais recente de Cobb (1995) discute ferramentas culturais como tabuleiros de centena (hundreds boards), mostrando a relação complicada entre materiais manipulativos e perspectivas socioculturais. A pesquisa atual em educação matemática vê os estudantes como participantes ativos que constroem conhecimento por meio da reorganização de seus modos presentes de conhecer e da extração de coerência e significado a partir de suas experiências (Glover, Ronning e Bruning, 1990; Resnick, 1983; Simon, 1995; von Glasersfeld, 1990, 1995). O impacto de teorias e pesquisas que conectam as ações dos estudantes sobre objetos físicos à aprendizagem matemática teve uma influência importante na emergência e no uso de materiais manipulativos em salas de aula do Ensino Fundamental.

Materiais manipulativos são objetos projetados para representar explícita e concretamente idéias matemáticas que são abstratas. Eles têm apelo visual e táctil e podem ser manipulados pelos alunos. Os fabricantes anunciam esses materiais como materiais que tornarão o ensino e a aprendizagem de matemática "divertidos" e promovem seus produtos como catalisadores para engajar os estudantes na aprendizagem matemática. Como o pensamento abstrato dos estudantes está ancorado fortemente em suas percepções concretas do mundo (Thompson, 1992), manipular ativamente tais materiais permite que os alunos desenvolvam um repertório de imagens que podem ser usadas na manipulação mental de conceitos abstratos.

Os materiais manipulativos não são mágicos

Entretanto, os materiais manipulativos não são mágicos (Ball, 1992). Eles não são, em si mesmos, portadores de significado ou insight. "Embora experiências cinestésicas possam ampliar a percepção e o pensamento, a compreensão não viaja das pontas dos dedos braço acima" (Ball, 1992, p. 47). É através de seu uso como ferramentas que os estudantes têm a oportunidade de ganhar insight em sua experiência com eles. A pesquisa tem mostrado que, para que as crianças usem representações concretas efetivamente sem maiores demandas sobre sua capacidade de processamento, elas precisam conhecer os materiais de forma suficiente para usá-los automaticamente (Boulton-Lewis, 1998). Se o usuário estiver constantemente consciente do artefato, então ele não é uma ferramenta, pois não está servindo ao propósito de possibilitar alguma atividade desejada que leve a um objetivo desejado (Winograd e Flores, 1986). Uma coisa importante a ser considerada é a significação dos materiais manipulativos como ferramentas potenciais e sua significação como uma função da tarefa para a qual um professor concebe que eles sejam usados.

Os alunos, algumas vezes, aprendem a usar os materiais manipulativos de maneira mecânica, com pouca ou nenhuma aprendizagem dos conceitos matemáticos por trás dos procedimentos (Hiebert e Wearne, 1992) e falta de habilidade em ligar suas ações com esses materiais a símbolos abstratos (Thompson e Thompson, 1990). Isso acontece porque o material é simplesmente a representação, por parte do fabricante, de um conceito matemático que pode ser usado para diferentes propósitos, em vários contextos, com graus variados de "transparência". Meira (1998) define o conceito de transparência de dispositivos instrucionais como "um índice de acesso a conhecimentos e atividades mais do que como uma característica inerente dos objetos... um processo mediado por atividades que se desdobram e participação dos usuários em práticas socioculturais em andamento" (p. 121). A compreensão ou significado de materiais manipulativos particulares se torna conhecida aos usuários no processo de usá-los em ambientes compartilhados. Os materiais manipulativos não são necessariamente transparentes. Devemos examinar como são usados pelos estudantes antes de podermos julgar se a transparência emerge ou não. Se a transparência emerge, isso acontece cada vez que um material é usado para o ensino da matemática no contexto e propósito de cada aula em particular. É a mediação por estudantes e professores em práticas compartilhadas e significativas que determina a utilidade dos materiais manipulativos. Portanto, o aspecto físico de materiais manipulativos concretos não carrega o significado das idéias matemáticas por trás deles. Os estudantes devem refletir sobre suas ações com os materiais manipulativos para construir significados.

Pesquisas sobre materiais manipulativos

Muitas pesquisas têm mostrado que os alunos que usam materiais manipulativos nas aulas de matemática têm desempenho melhor do que os que não o fazem (Driscoll, 1983; Grabell, 1978; Raphael e Wahlstrom, 1989; Sowell, 1989; Suydam, 1986). Entretanto, alguns estudos mostraram que os níveis de sucesso dos alunos estão relacionados à experiência dos professores no uso dos materiais (Sowell, 1989; Raphael e Wahlstrom, 1989). Outras pesquisas focalizaram os efeitos do uso dos materiais sobre estudantes de diferentes níveis de habilidade (Prigge, 1978; Threadgill-sowder and Juilfs, 1980) , sobre a freqüência das interações verbais (Stigler e Baranes, 1988) e sobre as atitudes dos alunos em relação à matemática (Sowell, 1989). Além disso, diversos estudos (por exemplo, Gilbert e Bush, 1988; Scott, 1983; Weiss, 1994) focalizaram o treinamento prático de professores no uso dos materiais e documentaram a freqüência do uso, bem como crenças selecionadas dos professores. Embora meta-análises e revisões de trabalhos de pesquisa sobre materiais manipulativos tenham documentado como esses materiais são usados em situações matemáticas prescritas (Clements, 1999; Parham, 1983; Sowell, 1989; Suydam, 1985), faltam observações e entrevistas de professores que usam os materiais em salas de aula típicas para seus próprios propósitos.

Os professores desempenham um papel importante na criação de ambientes matemáticos que forneçam aos alunos representações que ampliem seu pensamento. Entretanto, mesmo que os professores tenham aprendido estratégias apropriadas para usar materiais manipulativos, suas crenças sobre como os alunos aprendem matemática podem influenciar como e por que usam os materiais da forma como o fazem. Os professores devem refletir sobre as representações dos alunos sobre as idéias matemáticas e ajudá-los a desenvolver compreensões cada vez mais abstratas e sofisticadas (Clements, 1999). Esse é um desafio no ensino de matemática, porque muitos professores carecem das competências matemáticas para transformar idéias matemáticas em representações (Ball, 1990; 1992; Orton, 1988). Alguns professores usam materiais manipulativos em um esforço para reformular seu ensino de matemática sem refletir sobre como o uso de representações pode mudar o ensino de matemática (Grant, Peterson e Shojgreen-Downer, 1996).

Ainda que a pesquisa geralmente apóie o uso dos materiais manipulativos, há evidências (Ball, 1992; Meira, 1998) de que a mera presença desses materiais não garante a aquisição de compreensão conceitual (Baroody, 1989). Muitos desses trabalhos anteriores, entretanto, usaram técnicas de survey e falharam em incluir observações diretas na sala de aula. Este estudo representa uma importante extensão da pesquisa que existia antes, isto é, ele usa dados de observações, entrevistas e auto-relatos para explicar como e por que os professores usam os materiais da forma como o fazem.

Métodos

Participantes

Participaram deste estudo 10 professoras de matemática que voluntariamente se matricularam num curso sobre o uso de materiais manipulativos, instrumentos de medida, calculadoras e computadores no ensino de matemática. Eram três afro-americanas e sete euro-americanas de escolas públicas de quatro sistemas escolares do mesmo estado dos Estados Unidos. Essas professoras souberam que seriam observadas, entrevistadas e solicitadas a fornecer dados de seus próprios relatos sobre o seu uso de materiais manipulativos no ensino de matemática.

Materiais

As professoras participantes do estudo fizeram um curso de duas semanas e receberam um kit que incluía materiais manipulativos tais como blocos de base 10, ladrilhos coloridos, sólidos geométricos, geoplanos, dados, barras de frações e tangrams. Receberam também instrumentos de medida como termômetros, fitas métricas e trenas. Além disso, todas elas tinham calculadoras e materiais de matemática feitos por professores em suas salas de aula, bem como acesso a computadores em suas escolas.

Análise

Os seguintes dados foram usados como fontes para as análises: entrevistas das professoras, gravações em áudio de alunos e professoras durante as observações de sala de aula e cartões postais escritos pelas professoras relatando suas aulas. Os pseudônimos das professoras são: Ann, Betty, Catherine, Denise, Edith, Frances, Gena, Helen, Inez e Joan.

Resultados

Que materiais manipulativos estão sendo usados?

O número de vezes em que um material manipulativo foi usado variou de zero (Inez) a todas as aulas (Betty), tendo a maioria das professoras ficado em algum lugar entre esses dois extremos. Os materiais mais usados foram cubos de encaixar (snap cubes, 6 aulas) e ladrilhos coloridos (color tiles, 5 aulas); os outros materiais, tais como blocos geométricos (pattern blocks), dados, geoplanos, tangrams, tabuleiros numerados de 1 a 100 (hundreds boards), foram usados em uma, duas ou três aulas.

Como os materiais manipulativos estão sendo usados?

Nas aulas em que um material matemático foi usado que foram relatadas pelas professoras, elas disseram tê-lo usado para trabalhar os seguintes conceitos: valor posicional, mínimo múltiplo comum, números primos, frações equivalentes, soma e subtração de frações, decimais, porcentagem, medição de comprimentos, área, perímetro, geometria sólida, congruência, simetrias, circunferência, medição de ângulos, estatística, probabilidade, esboço de gráficos, padrões, resolução de problemas e inteiros positivos e elas disseram tê-lo usado para trabalhar os seguintes conceitos: valor posicional, mínimo múltiplo comum, números primos, frações equivalentes, soma e subtração de frações, decimais, porcentagem, medição de comprimentos, área, perímetro, geometria sólida, congruência, simetrias, circunferência, medição de ângulos, estatística, probabilidade, esboço de gráficos, padrões, resolução de problemas e inteiros positivos e negativos.

Os materiais manipulativos foram usados para vários conceitos matemáticos e propósitos, sendo o mais comum a exploração de conceitos de geometria (7 em 20 aulas observadas) e para jogar um jogo (6 em 20 aulas observadas).

Na maior parte dos casos, as aulas eram dirigidas pelas professoras: os alunos ou usavam os materiais seguindo suas instruções ou os materiais eram uma atividade de enriquecimento quando havia tempo no final da aula. Em duas aulas, as professoras usaram os materiais apenas como demonstração; por exemplo, Edith usou um círculo e alguns ladrilhos quadrados para propor uma pergunta aos alunos sobre como usar os ladrilhos para medir a área de um círculo, mas eles mesmos não usaram os materiais durante a aula.

As professoras expressaram diferentes crenças sobre os propósitos de se usar materiais manipulativos. Edith, Inez e Denise disseram que os usavam para resolver problemas e para enriquecimento. Por exemplo, Denise, em uma entrevista, disse que usava os materiais "apenas para variar o ritmo da aula de matemática... em vez de aula expositiva todo dia, o material dá um tipo de quebra na rotina". Ann descreveu os materiais como uma recompensa e um privilégio. Frances, Catherine e Helen falaram de vários objetivos para os materiais em suas entrevistas, como: fornecer um modelo visual na introdução de conceitos; para uso dos alunos na resolução de problemas; para reforçar e oferecer enriquecimento de conceitos. Gena viu o uso dos materiais como "uma outra ferramenta para ajudar os alunos a resolver problemas, como qualquer outra estratégia", enquanto Betty falou deles como "uma maneira concreta de mostrar a eles [os alunos] e depois eles podem prosseguir sem precisar dos materiais para ver o padrão". O propósito de Joan no uso de materiais manipulativos em matemática era "torná-la mais divertida".

Noções não examinadas sobre o uso dos materiais manipulativos

A pesquisa identificou duas grandes categorias de análise do uso dos materiais manipulativos: "matemática divertida" e "verdadeira matemática". Através de seus comentários, as professoras definiram "matemática divertida" como "jogos", "enriquecimento", "atividade extra" e "recompensa por bom comportamento". Quando comentaram sobre "procedimentos e algoritmos", "fatos básicos", "preparar para provas", "livros didáticos" e "trabalhar com lápis e papel", elas diziam estar falando da "verdadeira matemática".

Em muitos casos, as professoras disseram que o uso dos materiais manipulativos era "divertido". Inicialmente, esse termo parecia indicar que professoras e alunos tinham prazer em usar os materiais ao ensinar e aprender matemática. Uma análise posterior dos dados sugeriu que, embutidas no uso da palavra "divertido" pelas professoras, havia algumas noções não examinadas que inibem o uso dos materiais manipulativos no ensino de matemática. As professoras faziam distinções sutis entre "verdadeira matemática" e "matemática divertida", usando o termo "verdadeira matemática" para se referir às partes da aula em que ensinavam regras, procedimentos e algoritmos usando o livro didático, cadernos, folhas e tarefas com lápis e papel. O termo "matemática divertida" era usado quando as professoras descreviam partes da aula em que os alunos estavam se divertindo com os materiais. A análise revela várias dessas noções sobre o uso dos materiais e sobre como essas distinções podem se refletir nas práticas de sala de aula.

Prazer na aprendizagem

Muitas das professoras explicaram que ensinar matemática com os materiais manipulativos tornava a aprendizagem mais divertida no sentido de que havia prazer intrínseco para os alunos. Como Catherine e Joan relataram: "meus objetivos pessoais para ensinar matemática são torná-la divertida" (Catherine) e "é mais interessante fazer atividades divertidas... eu sempre adorei planejar atividades divertidas" (Joan). Elas descreveram as respostas dos alunos quando os materiais eram usados – "os alunos adoram. Eles acham que é uma coisa divertida" (Inez) – e explicaram que o divertimento gerado pelo uso dos materiais estava promovendo a aprendizagem. "Eu acho que eles realmente estão aprendendo pela diversão" (Helen).

Durante as aulas em que os materiais eram usados, os alunos pareciam interessados, ativos e envolvidos. Uma das professoras observou: "a qualquer hora em que fazermos trabalho em grupo ou qualquer coisa que tem a ver com os materiais, eles acham que é hora de diversão" (Catherine). Quando os alunos entravam na sala de aula, ocasionalmente perguntavam às professoras se iriam usar o livro de matemática naquele dia; durante uma observação, a professora respondeu: "não, hoje nós vamos nos divertir" (Joan).

Os alunos também faziam comentários durante as aulas sobre algumas delas serem "divertidas" ou como "jogar um jogo". Uma professora mencionou que os alunos "todo dia me perguntam se hoje vamos jogar um jogo ou brincar com os blocos) (Denise). As professoras freqüentemente descreviam jogos que reforçavam os conceitos matemáticos que estavam ensinando ("Jogamos um jogo usando 3 ladrilhos para rever os fatos da multiplicação e divisão") (Helen) e os alunos viam a matemática como divertida no sentido de ser baseada em atividades.

Experiências recompensadoras

Em virtude de o uso de materiais manipulativos ser tão freqüentemente considerado prazeroso por professoras e alunos, muitas das professoras usavam os materiais como um prêmio para um comportamento apropriado. "É um prêmio para eles, porque já houve vezes em que eu tomei os materiais", disse Ann. Ela explicou que o comportamento determinava se os alunos usariam os materiais ou o livro didático. "Se eles não estiverem trabalhando ou não seguirem as minhas instruções... eu tenho de deixá-los trabalhar em outra coisa referente ao mesmo conceito, mas sem poder usar os materiais. Eles podem fazer alguma tarefa do livro", falou Ann. Inez compartilhava essa crença: "a primeira vez que uma criança se comporta mal, o material é tirado delas e elas são separadas da classe. Não as deixo continuar a atividade usando o material naquele dia". Enquanto usava os blocos geométricos, Catherine comunicou aos alunos que usar os materiais era um privilégio, observando: "estou esperando vocês ficarem quietos para que a gente não tenha que voltar para os livros."

Para muitas professoras, as decisões sobre usar materiais manipulativos com certos grupos de alunos não se baseavam na adequação de uma representação para um conceito matemático particular, mas sim na maneira como os alunos tinham se comportado durante aulas anteriores em que esses materiais tinham sido usados. Em caso de comportamento apropriado, os alunos podiam "se divertir" com os materiais. Catherine assinalou que o comportamento tinha um papel crucial em suas decisões sobre usar os materiais: "O ano passado eu não usei muito por causa da turma que tinha. Eu tentei muito usar os materiais durante as nove primeiras semanas, mas como os alunos simplesmente não conseguiam trabalhar juntos, cortamos parte do uso." Os comentários das professoras mostraram preocupação com a manutenção do controle enquanto os materiais eram usados.

Distinções que emergem

"Matemática divertida" versus "matemática verdadeira"

À medida que as observações de sala de aula e entrevistas com as professoras continuavam, parecia que elas descreviam o uso que faziam dos materiais manipulativos como uma diversão, diferente do ensino regular de matemática que faziam. Embora essas distinções emergissem sutilmente, uma indicação muito clara delas ocorreu no decorrer do ano. Descrevendo uma aula com materiais manipulativos, Joan disse: "às vezes eu acho que eles estão só se divertindo, mas não me importo, porque no final das contas chegaremos à parte da verdadeira matemática" (itálicos nossos). Mais adiante, na mesma entrevista, Joan afirmou: "quando estamos usando os materiais, eles se divertem mais, de modo que não pensam que é matemática". Esses comentários surpreenderam a observadora, na época da pesquisa, e pareciam capturar o fenômeno emergente de as professoras usarem o termo "diversão" sempre que descreviam as aulas nas quais os materiais eram usados, distinguindo-as da aula da "verdadeira matemática". Não somente as professoras pareciam distinguir entre aulas de "matemática divertida", em que os materiais eram usados, e aulas de "verdadeira matemática", em que eram usados métodos tradicionais de lápis e papel, mas também faziam distinções entre partes de aulas individuais. Por exemplo, os materiais podiam ser usados para exploração, no início ou na parte de "matemática divertida" de uma aula, ou podiam ser usados em uma atividade ou um jogo depois que o conteúdo matemático era ensinado. No entanto, durante o ensino de habilidades específicas ou conteúdo, os métodos com lápis e papel eram usados para ensinar e praticar a "verdadeira matemática".

Outras professoras também comunicaram essas distinções artificiais. Denise relatou que era capaz de ensinar a "verdadeira matemática" todos os dias, mas não podia fazer o mesmo com a "matemática divertida": "não posso usar materiais manipulativos todo dia... as crianças às vezes precisam desse tipo de estrutura em que fico na frente da turma e eles ficam sentados trabalhando". Denise parece fazer diversas afirmativas poderosas sobre os materiais: eles não são essenciais para a aula de verdadeira matemática; significam brincar e não trabalhar; não se prestam a ser uma parte da estrutura de uma aula de matemática. Inez fez a distinção usando atividades com os materiais para dar aos alunos e a si mesma uma quebra na rotina . "Procuro atividades de enriquecimento e atividades com materiais que combinem com os conceitos... é uma boa quebra para as crianças e para mim. Ontem nós usamos o tabuleiro de centena (hundreds boards)... foi um bom descanso das atividades diárias que fazemos na sala de aula".

Os materiais manipulativos são mesmo importantes?

Essas professoras viam o uso que faziam dos materiais para ensinar matemática como brincar, explorar ou mudar o ritmo. Com essa visão, os materiais manipulativos podiam funcionar como parte do sistema de recompensas para administrar a sala de aula. Ao aliar materiais manipulativos e "matemática divertida", as professoras estavam, essencialmente, fazendo uma distinção entre o uso dos materiais e seu ensino regular de matemática. O uso dos materiais era freqüentemente deixado para o final da aula, o fim da semana, às sextas-feiras, ou o fim do ano escolar, quando os objetivos propostos pelo sistema administrativo escolar haviam sido cumpridos. Em suas aulas, Denise ensinava primeiro a "verdadeira matemática" e depois arranjava tempo para usar os materiais. "Na maior parte do tempo, eu ensino o conceito e depois brincamos um pouco ou fazemos uma atividade... quando eles terminam suas atividades, se um grupo estiver na frente dos outros, deixo-os sentar, brincar, construir torres ou o que quiserem". Sua descrição mostra a diferença que ela faz durante as aulas: "ensinar o conceito" é a parte da "verdadeira matemática", e "brincar e construir torres" é a parte da matemática divertida.

Outras professoras ensinavam a "verdadeira matemática" durante a primeira parte da semana, e depois arranjavam tempo para a "matemática divertida" nas sextas-feiras. "Tentamos sempre usar os materiais manipulativos nas sextas-feiras, porque nas quintas fazemos nossas provas de matemática. Joan explicou que "sexta-feira é dia de tempo livre... é quando eles podem explorar o que puderem fazer com os blocos. Eu dou o tempo para eles usarem... quando temos tempo livre nas sextas, ou os últimos 15 minutos da aula, se eles tiverem terminado suas tarefas. É o incentivo para trabalharem." Uma professora estava preocupada em cobrir o conteúdo que os alunos precisavam para as provas. "Se eu não tivesse a pressão dessas provas, poderia aproveitar mais o uso dos materiais...felizmente, na segunda metade do ano, as coisas vão ser menos apressadas e poderemos fazer mais coisas divertidas" (Edith). Os materiais pareciam ser usados apenas se havia tempo extra.

Ao selecionar dias e horários específicos para usar os materiais, as professoras enviavam uma mensagem clara a seus alunos sobre a importância desses materiais no ensino de matemática. Durante as observações, diversos comentários indicavam a insatisfação das professoras com o uso dos materiais. Durante uma observação em que os ladrilhos coloridos estavam sendo usados, Denise comentou: "vocês podem dar a resposta usando os blocos, mas precisam achar um denominador comum". Em outra aula, uma aluna perguntou se podia usar as barras de frações para ajudá-la a completar uma tarefa, e Inez respondeu: "se você acha que ajuda, vá em frente. É mais fácil fazer matematicamente. Resolva primeiro sem elas." A um outro aluno a professora disse: "se seu pai tiver que medir uma chapa, ele não vai carregar essas coisas [barras de frações]. É muito mais fácil saber somar os números de cima [de frações] (Inez). Durante uma entrevista, Ann explicou que, embora seus alunos "preferissem colocar as mãos nos materiais, em vez de trabalhar com lápis e papel", ela tinha que usar métodos de lápis e papel porque "sinto que eles têm que chegar ao conceito". Observações na sala de aula de Inez e seus comentários refletem claramente suas crenças: "O meu objetivo para o ensino de matemática é que todas as crianças com quem eu trabalho dominem os fatos básicos... uma das habilidades de que eles precisam primeiro é a memorização de rotina. Existem só algumas coisas em matemática que não dá para ensinar de outro jeito" (Inez). Inez continuou a explicar: "eu realmente não gosto de usar tanto os materiais manipulativos, mas sei que preciso fazer isso". Essas declarações implicam que, para compreender conceitos matemáticos, os alunos têm que usar algoritmos do livro didático, conseqüentemente ignorando a possibilidade de que, através de experiências significativas com representações, como os materiais manipulativos, os alunos possam inventar seus próprios algoritmos. Mesmo que o curso realizado pelas professoras oferecesse muitas experiências no uso de representações para a construção do conceito matemático, muitas professoras não internalizaram essa idéia.

Discussão

Seguindo o roteiro

O ensino de matemática nessas salas de aula seguia o típico roteiro ou padrão de aula dos Estados Unidos: (1) revisão de conteúdo anterior; (2) demonstrar como resolver problemas para aquele dia; (3) treinar problemas; (4) corrigir os trabalhos feitos em sala ou em casa (Stigler e Hiebert, 1999, p. 81). O dever de casa era recolhido ou corrigido nos primeiros 5 a 30 minutos da aula; algumas vezes, os alunos escreviam no quadro esses problemas e soluções. As professoras pediam aos alunos que abrissem o livro didático em certa página ou distribuíam uma folha, e a lição era introduzida. As professoras mostravam procedimentos para resolver problemas com pouca ou nenhuma oportunidade para discussão dos alunos. Os problemas que faziam parte da introdução eram todos do mesmo padrão geral. Os alunos tinham tempo da aula para resolver problemas selecionados dos livros ou de folhas e depois recebiam uma tarefa em que problemas semelhantes deveriam ser resolvidos individualmente. Esses roteiros refletem a atividade cultural do ensino de matemática americano, em que os alunos passam a maior parte do tempo adquirindo habilidades isoladas por meio de práticas de repetição (Sigler e Hiebert, 1999). Esses roteiros culturais são aprendidos implicitamente, através da observação e da participação.

Alcançar os objetivos do currículo estadual era um objetivo importante para as professoras envolvidas nesse estudo, e elas não viam de maneira clara como os materiais manipulativos podiam ser usados para ensinar esses objetivos de forma tão eficiente como elas tinham ensinado os objetivos com lápis e papel. Nos Estados Unidos, muitos professores são influenciados, pelas pressões da avaliação, a preparar alunos competentes em procedimentos para testes padronizados sobre procedimentos aplicados em larga escala. Não há muito espaço para materiais manipulativos nesses roteiros dirigidos por procedimentos; assim, as professoras introduzem o uso desses materiais em rotinas já existentes para o ensino de matemática. A pressão que as professoras sentem para dar o conteúdo durante as aulas pode encorajar o uso dos materiais para atividades divertidas de matemática tais como jogos e enriquecimento, mais do que para apoiar contextos de sala de aula nos quais os alunos produzam significado a partir de suas experiências com esses materiais.

A preferência por seguir o roteiro típico de ensino de matemática nos Estados Unidos pode ser também uma ilustração da observação de Elbow (1986) de que "grande parte do comportamento dos professores tem origem em um medo injustificado das coisas se dispersarem" (p. 71-72). Usar os materiais manipulativos é desviar-se do roteiro de ensino dos Estados Unidos, talvez tanto que estimule a discussão dos alunos e a interação com pares e materiais, dando origem a um ambiente desorganizado em oposição a um ambiente no qual os alunos trabalham com lápis e papel em uma rotina ordenada. Embora as professoras expressassem verbalmente a idéia de que os materiais podiam ser usados para ensinar conceitos matemáticos, suas aulas refletiam as rotinas de ensino tradicionais, com os materiais sendo usados principalmente como um suplemento do roteiro da aula.

O curso sobre os materiais que as professoras fizeram foi útil no sentido de que elas usaram mais os materiais do que os professores em geral o teriam feito. Contudo, a experiência não foi além de aumentar a freqüência de uso dos materiais. As professoras não tiveram sucesso no uso dos materiais para ocupar os alunos em compreender matemática; o uso dos materiais focalizou mais o reforço de conteúdo ou atividades já aprendidos que eram "divertidos". Esses dados dão significado concreto às idéias de Smith (1996) de que os professores não aderem a um enfoque mais construtivista porque podem ter a sensação de uma perda da eficácia se fizerem isso. Talvez os professores resistam a uma epistemologia construtiva e interpretem equivocadamente o papel dos materiais em matemática, ou talvez eles não vejam o potencial dos materiais para criar experiências nas quais os alunos construam suas próprias representações se os materiais forem usados adequadamente.

As concepções dos professores sobre matemática e os materiais manipulativos

Um construto central deste estudo é a relação entre as concepções dos professores sobre matemática, sobre os materiais manipulativos e sobre os propósitos de usar esses materiais (Khoury e Zazkis, 1994; Thompson, 1985; Tirosh, 2000). As crenças de uma professor ou professora estão misturadas com suas ações. Não existe somente alguma correlação: as crenças orientam as ações e as ações condicionam as crenças. Alterar o roteiro da aula requer reflexão sobre o próprio ensino de matemática como um prática cultural (Sigler e Hiebert, 1999) e vontade de adotar práticas que estimulem mais uma compreensão conceitual em lugar de uma compreensão simplesmente mecânica da matemática. No entanto, este é um objetivo desafiador, porque, como Stigler e Hiebert (1999) observam, "em comparação com outros países, os Estados Unidos claramente carecem de um sistema para desenvolver o conhecimento profissional dos professores e lhes dar uma oportunidade de aprender sobre o ensino" (p. 12-13).

As professoras, no estudo aqui apresentado, comunicam muitos pressupostos subjacentes sobre como e porque usam materiais manipulativos na sala de aula. Como mostra este trabalho, devemos reconhecer esses pressupostos e examinar como e porque o uso dos materiais pode inibir os professores no sentido de usar efetivamente essas representações concretas. A compra desses materiais pelos professores e sistemas escolares e oficinas de desenvolvimento profissional sobre o seu uso são de pouco valor se não levarmos em conta as crenças dos professores sobre o uso dos materiais e seus efeitos em situações de sala de aula.

Alguns professores acham que o propósito principal do uso dos materiais é a "matemática divertida". Ao usar os materiais para isso, os professores estabelecem artificialmente uma situação de sala de aula na qual os materiais podem não ser utilizados efetivamente. Se "os professores agirem como se o interesse do aluno só possa ser despertado por diversões fora da matemática" (Stigler e Hiebert, 1999, p. 89), estão passando aos alunos a mensagem de que explorações e conjecturas com representações não estão ligadas à verdadeira aprendizagem de matemática. Comentários aos estudantes que banalizem o uso dos materiais de maneira implícita ou explícita desvalorizam o potencial desses materiais como representações para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Focalizar o seu uso na diversão limita as possibilidades de que os alunos façam explorações de conteúdo matemático significativo de forma compromissada e interessante.

As concepções dos professores sobre matemática são fundamentadas na compreensão que eles têm do conteúdo de matemática. As pesquisas enfatizam o impacto importante e significativo das compreensões de matemática que os professores têm sobre o pensamento matemático que tem lugar na sala de aula (Ma, 1999). O estudo internacional de Ma (1999) mostrou que, embora os professores americanos da escola elementar demonstrassem conhecimento procedimental correto de problemas sobre a subtração e multiplicação de números inteiros, tinham menos habilidades que os professores chineses em tópicos mais avançados. Por exemplo, apenas um dos 23 professores americanos deu uma representação conceitualmente correta, mas pedagogicamente problemática para um problema que envolvia a divisão por frações (). Essa pesquisa ilumina a importância de os professores terem amplitude e profundidade em sua compreensão da matemática. "Professores com essa compreensão vasta e profunda não inventam conexões entre idéias matemáticas, mas as revelam e representam em termos do ensino e aprendizagem de matemática" (Ma, 1999, P. 122). Não ficou claro que as professoras do estudo aqui apresentado fossem capazes de fazer conexões ou representar idéias matemáticas de maneira significativa enquanto usavam os materiais.

Usando representações efetivamente

O uso de materiais manipulativos no ensino de matemática é mais complicado do que poderia parecer. Relações matemáticas devem ser impostas sobre os materiais. A própria representação interna das idéias pelo aluno deve, de algum modo, ligar-se à representação externa ou manipulativa. Entretanto, os materiais manipulativos são gerados externamente como representações de idéias matemáticas dos fabricantes; portanto, o significado associado aos materiais pelos fabricantes não é necessariamente transparente para os professores e alunos (Meira, 1998). Por exemplo, ladrilhos de frações são a tentativa da pessoa que os projetou de representar sua idéia de frações usando objetos concretos. É uma suposição falsa acreditar que relações matemáticas são abstraídas de objetos empíricos.

Goldin e Shteingold (2001) definem uma representação como um "signo ou uma configuração de signos, caracteres ou objetos" que podem "ficar no lugar (simbolizar, significar, codificar ou representar) de alguma coisa" (p. 3). Embora indivíduos possam compartilhar as ferramentas usadas para a representação – símbolos (tais como figuras ou entalhes) e signos (como palavras faladas ou numerais escritos) (Kamii, Kirkland e Lewis, 2001; Piaget, 1951), para Piaget (1951), a representação é o que cada indivíduo faz. Em outras palavras, o conhecimento de um indivíduo se baseia na elaboração de relações e vem das ações mentais do próprio aprendiz. O raciocínio matemático é estimulado quando os professores focalizam mais a abstração construtiva das crianças (pensamento das crianças) do que a representação (Kami, Kirkland e Lewis, 2001). Por exemplo, para uma criança pequena, o numeral "8" pode não representar nada, enquanto para um adulto representa muitas coisas. Assim, os indivíduos podem representar as mesmas idéias ou idéias diferentes sobre o numeral 8. Esse processo não é observável empiricamente: ele vem do próprio pensamento e compreensão do indivíduo e de sua compreensão das conexões formadas através de ações mentais (Kamii e Warrington, 1999; Piaget, Inhelder e Szeminska, 1948/1960). Embora o uso de representações possa apoiar o processo de construção do conhecimento, grande parte da representação deve vir do aluno.

Estudos que investigam o conhecimento dos professores sobre representações têm demonstrado que muitos professores não têm o conhecimento sobre como idéias matemáticas são transformadas em representações (Ball, 1990; Orton, 1988). Para complicar ainda mais a questão de usar materiais manipulativos para representar relações abstratas, as interpretações de uma representação pelos alunos podem também ser diferentes daquela introduzidas pelo professor (Ball, 1992). Em um relato (Baroody, 1989), um professor estava usando barras de Cuisenaire para representar um conceito e os alunos construíram um modelo para as barras coloridas que fazia sentido para eles, mas era diferente do conceito que o professor queria que aprendessem. Os alunos tinham construído seus próprios significados matemáticos a partir da atividade, mas não tinham aprendido o conceito-alvo da aula. Em outro estudo, quando os alunos tiveram livre acesso aos materiais, espontaneamente e seletivamente usaram-nos para mediar sua própria aprendizagem (Moyer, 1998). Contudo, alguns dos professores no estudo tinham dificuldades em acompanhar o pensamento dos alunos e seus usos das representações. O uso de materiais manipulativos para jogos às sextas-feiras não oferece oportunidades matemáticas que sustentem a abstração construtiva dos alunos.

Além disso, os professores deveriam se conscientizar de que alguns materiais podem ser inúteis. Embora a aparência colorida desses materiais os torne esteticamente agradáveis, alguns deles têm pouca relação com conceitos matemáticos. É fácil entender porque os professores têm dificuldades em conectar os materiais à matemática quando usam materiais cujo projeto não é baseado em idéias matemáticas corretas.

Comentários finais

Como e porque os materiais manipulativos são usados pelos professores é uma questão complexa. Em estudos anteriores em que os materiais foram usados, vimos o simples uso como um sinal positivo. Mas simplesmente usar os materiais não é suficiente se não considerarmos como os professores os estão usando em sala de aula. "Se o ensino é um sistema, então cada característica, por si mesma, não diz muito sobre o tipo de ensino que está acontecendo. O importante é como as características se combinam para formar um todo" (Stigler e Hiebert, 1999, p. 75). Características individuais de uma aula, como o uso de materiais manipulativos, só podem ser avaliadas como efetivas em termos de como elas se ligam e relacionam a outras características e se combinam na aula globalmente. O uso dos materiais manipulativos pelas professoras neste estudo está entrelaçado a questões sobre o conhecimento do conteúdo matemático, sobre a consciência das professoras quanto à estrutura conceitual da matemática e sobre a habilidade para ensinar esse conteúdo aos alunos lançando mão de uma ampla variedade de áreas conceituais para ajudar os alunos a entenderem novas idéias. Isso inclui a habilidade de usar uma grande variedade de representações e também de incentivar o uso das representações pelos alunos.

O desenvolvimento da representação interna de idéias pelo aluno, testadas sobre as representações externas dos materiais, está no coração do que significa aprender matemática. Conectar as ações mentais do aluno às ferramentas compartilhadas usadas para representação é o desafio para os professores de matemática. Embora o uso da representação apóie a construção do conhecimento, a representação de idéias vem de quem está aprendendo. Os materiais manipulativos podem servir como ferramentas para que os professores traduzam abstrações para uma forma que capacite os alunos a relacionar o conhecimento novo ao anterior. Isso requer que os professores conduzam os alunos a transitar entre representações na forma de objetos, ações e conceitos abstratos matemáticos de modo que os alunos possam ver a relação entre o seu conhecimento e o novo conhecimento. Ainda que se possa supor que isso é algo fácil para os professores fazerem, na verdade não o é. É um desafio para os professores: (1) interpretar as representações dos alunos sobre seu pensamento matemático; (2) revelar e representar conexões entre idéias matemáticas; (3) desenvolver contextos concretos apropriados para a aprendizagem de matemática.

Este estudo ilumina crenças subjacentes que os professores usam como filtros para interpretar informações sobre o uso de materiais manipulativos e fazer juízos de valor sobre a utilidade desses materiais para ensinar matemática. Por exemplo, as pesquisas mostram claramente que certos tipos de uso do material ajudam a aprendizagem (ou, pelo menos, a alcançar realizações que podem ser medidas); porém, os professores freqüentemente ignoram tais pesquisas. Talvez não sejamos claros a respeito dos resultados, ou talvez não nos fundamentemos sistematicamente sobre eles para oferecer alternativas de prática que sejam úteis e se tornem parte de nosso programa de formação de professores. Este estudo também oferece um feedback importante sobre a efetividade dos esforços de desenvolvimento profissional quanto ao uso de materiais manipulativos para o ensino de matemática. Para as professoras envolvidas, os materiais serviram a um propósito limitado, mas útil. Talvez, ao planejar atividades para o desenvolvimento profissional, não levemos em conta as contingências sob as quais os professores trabalham e as crianças aprendem; talvez seja um desafio demasiado grande inserir materiais manipulativos no "roteiro" norte-americano. O planejamento de desenvolvimento profissional que dê aos professores compreensões mais profundas de conceitos tais como representação e seu papel no ensino e aprendizagem de matemática pode modelar não apenas como os materiais são usados, mas também as crenças que motivam os professores a usá-los.

O arco-íris de fazer contas

2010-12-13T12:31:00.001-08:00

Este texto, consiste em uma reportagem, que foi escrita por Ricardo Falzetta e foi publicada na revista Nova Escola, direcionada a professores de Educação Infantil e Ensino Fundamental, do mês de março do ano de 1997.

Esta reportagem tem como objetivo de explicar como o material de Cuisenaire facilita o ensino das quatro operações: soma, subtração, multiplicação e divisão.

O material de Cuisenaire é constituído de barrinhas coloridas de madeiras de dez cores e tamanhos diferentes. A menor das barrinhas mede um centímetro e representa a unidade. A Segunda, nesta mesma escala mede dois centímetros e indica o número dois e assim por diante, até a maior barrinha que mede dez centímetros e indica dez unidades.

Através destas barrinhas, as crianças também podem compreender com maior facilidade os conceitos matemáticos como: "o dobro de" ou "a metade de" uma quantidade, portanto para reforçar tais conceitos, as cores das barrinhas seguem determinado raciocínio: as peças com valores que podem ser multiplicados por dois foram pintadas com cores parecidas, como, a barrinha que indica dois de vermelho, a que indica quatro de lilás e a que indica oito marrom. A barrinha que indica três é colorida de verde-claro e a que indica seis de verde-escuro. A barrinha que indica cinco é amarela e a que indica dez é alaranjada. A barrinha que indica um é da cor madeira, chamada de branca por Cuisenaire, a que indica sete é preta e a que indica nove é azul.

É importante deixar claro que estas foram as cores estabelecidas por Cuisenaire, mas as pessoas têm a liberdade de modificá-las utilizando outros critérios.

Este material pode ser utilizado para comparar pequenas grandezas, com crianças de educação infantil, que ainda estão aprendendo a diferenciar as cores, formas e tamanhos, até com crianças da Quarta série do ensino fundamental, para checar soluções de equações com incógnitas, portanto podem ser usado com alunos de três a onze anos.

A professora Riva, que participou da reportagem faz uma relação de oito etapas de utilização das barrinhas de Cuisenaire, que foram determinadas através do raciocínio dos alunos, portanto será a desenvoltura de cada grupo que irá dizer qual será a velocidade, com que um grupo ou uma criança passará de uma etapa para outra. As etapas propostas são as seguintes:

Etapa nº 1: Neste primeiro momento é importante que a criança tenha um contato livre com o determinado material, possibilitando que a mesma manipule formando figuras e desenhos dos mais diferenciados. É importante que nesta primeira etapa a criança tenha contato com o material feito com tiras de papel de mesma cor e tamanhos aproximados: as maiores, ou as menores, para que ela ainda não se preocupe neste momento em fazer a diferenciação das cores e a comparação de tamanhos.

Etapa nº 2: Neste momento é importante que as crianças se atentem para as cores das barrinhas, por isso a professora poderá propor situações, como o jogo de dados com cores, que a professora Riva da reportagem propõe, para as crianças aprenderem a diferenciar as cores, pois este será um fator fundamental para a compreensão da escala de Cuisenaire.

Etapa nº 3: Neste momento, a criança terá que se atentar para a questão dos tamanhos das barrinhas, os alunos começam a se dar conta de que as barrinhas além de ter cores diferentes elas também têm tamanhos diferentes, e que seus tamanhos conservam entre si proporções bem definidas. Exemplo: duas barrinhas amarelas correspondem a uma barrinha alaranjada, ou a uma preta mais uma verde-claro. Toda esta descoberta será experienciada pela criança através da manipulação das barrinhas, a professora apenas irá propor situações, questões, atividades que levem as crianças a chegarem as suas próprias conclusões.

Etapa nº 4: Nesta etapa é importante que as crianças comecem a associar os números às cores e aos tamanhos, através da manipulação e nomeação das barrinhas, de acordo com as situações propostas pelo professor seguindo o objetivo inicial.

Etapa nº 5: Nesta etapa a criança já poderá compreender a adição e suas propriedades com as barrinhas de Cuisenaire. O professor indica uma barrinha qualquer e os alunos têm de combiná-la com outras até obter o mesmo comprimento, e portanto, o mesmo valor.

Etapa nº 6: Nesta etapa a criança, poderá entender a subtração com a manipulação das barrinhas, na qual a professora poderá dar o comando de maneira inversa: mostra-se uma das barras, a amarela por exemplo, que vale cinco, e pede-se que a criança escolha as barrinhas que deveriam ser somadas àquela para completar a barrinha de dez.

Etapa nº 7: As crianças poderão estudar a multiplicação, divisão e as frações, assim como nas etapas anteriores, através de situações direcionadas pelo professor, fazendo com que o aluno manipule as barrinhas e construa e compreenda as operações.

Etapa nº 8: As crianças serão capazes de resolver equações com incógnitas, nas quais terão chegado a um determinado ponto em que as mesmas utilizarão o material Cuisenaire simplesmente para conferir seu raciocínio.

Estas duas últimas etapas são assuntos para a terceira e Quarta séries, quando as crianças já têm a capacidade de desenvolver seu raciocínio de forma mais abstrata.

A leitura deste texto me instigou um interesse muito grande em trabalhar com este material em minha sala de aula de infantil III, que é composta por alunos com idade entre cinco e seis anos, pois eu sempre procuro materiais diferentes para trabalhar com meus alunos, e este, em especial me chamou muito a atenção, pois podemos trabalhar com muitos conceitos que envolvem o raciocínio lógico-matemático da criança.

Quando eu levei este material de Cuisenaire para a sala de aula, as crianças ficaram super empolgadas, pois elas nunca haviam trabalhado com tal material.

A proposta inicial era que as crianças manipulassem, conhecessem, sentissem o material, com o qual poderiam construir ou até mesmo, "desenhar objetos entre outras coisas.

Posteriormente eu pedi que elas guardassem as barrinhas nas caixas, a fim de separá-las, classificá-las, utilizando como critério a cor das barrinhas.

Em outro momento, quando estávamos trabalhando com a seriação e a ordem crescente dos números eu entreguei uma barrinha de cada cor para cada criança, para que elas organizasse-as em ordem cresente.

Esta atividade em especial foi muito interessante, pois eles puderam visualizar nas barrinhas a sequência numérica. Para que eles conseguissem formar tal sequência, elas tiveram um grande trabalho de comparar as barrinhas uma a uma, a fim de colocá-las em ordem crescente.

Concluindo, eu gostei muito de conhecer e trabalhar com este material em sala de aula, e por isso eu parabenizo a Profª Rosana e suas auxiliares Fabiana e Andressa, que nos proporcionaram este contato, pois na Universidade, nós também precisamos disto, de conhecer atividades que possam ser aplicadas na prática em sala de aula, com nossos alunos, pois a nossa faculdade não forma apenas o cientista da educação, mas também o professor que trabalha na sala de aula, o professor acima de tudo, pesquisador.

Videos interessantes.

2010-12-13T11:26:00.000-08:00

713 Videos Históricos (de A a Z )

Adoniran Barbosa e Elis Regina, em 1978, no Bexiga <http://www.almacarioca.com.br/arte059.htm>
Adriana Calcanhoto - "Seu Pensamento" <http://www.almacarioca.com.br/adriana-calcanhoto-seu-pensamento.htm>
Adriana Calcanhoto - "Devolva-me" <http://www.almacarioca.com.br/adriana-calcanhoto-devolva-me.htm>
Adriana Calcanhoto - "Mais Feliz" <http://www.almacarioca.com.br/adriana-calcanhoto-mais-feliz.htm>
Al Pacino - "Scent of woman" <http://www.almacarioca.com.br/arte104.htm>
Al Pacino - "Scent of woman" - Woman <http://www.almacarioca.com..br/arte540.htm>
Al Pacino - "Scent of woman" - Ending Speech <http://www.almacarioca.com.br/arte541.htm>
Al Pacino - "Scent of woman" - Ferrari <http://www.almacarioca..com.br/arte548.htm >

I
Ivan Lins - "Lembra de mim" <http://www.almacarioca.com.br/arte646.htm>
Ivan Lins - "Bilhete" <http://www.almacarioca.com.br/arte426.htm>
Ivan Lins e Toquinho - "Amor em Paz" <http://www.almacarioca.com.br/arte482.htm>
Ivete Sangalo - "Eva" , "Alo Paixão" , "Beleza Rara" <http://www.almacarioca.com.br/arte428.htm>
Ivete Sangalo - "Eva" <http://www.almacarioca.com.br/arte431.htm>
Ivon Curi - "Delicadeza" <http://www.almacarioca.com.br/arte304.htm>

K
Kaoma - "Dançando Lambada " <http://www.almacarioca.com.br/arte129.htm>

O
Ofra Haza - "Ha'Shana InshaAlla-h" <http://www.almacarioca.com.br/arte176.htm>
Ofra Haza - "Tzur Menti" <http://www.almacarioca..com.br/arte139.htm >
Ofra Haza - "Im Nin'Alu" - 1978 <http://www.almacarioca.com.br/arte329.htm>
Orquestra Filarmônica de Berlim - "Bolero" - Ravel <http://www.almacarioca.com.br/arte009.htm>

Y
Yamandu Costa e Armandinho - "Noites Cariocas" <http://www.almacarioca.com.br/yamandu-costa-armandinho-noites-cariocas.htm>
Yamandu Costa e Armandinho - "Apanhei-te cavaquinho" <http://www.almacarioca.com.br/yamandu-costa-armandinho-apantei-te-cavaquinho.htm>
Yamandu Costa e Armandinho - "Assanhado" <http://www.almacarioca.com.br/yamandu-costa-armandinho-assanhado.htm>

Problemas Matemáticos

2010-12-09T10:52:00.001-08:00

"Problema dos talheres"

Dona Maria ia receber visitas em sua casa e ao arrumar a mesa percebeu que não tinha talheres suficientes para receber as visitas. Dona Maria chamou seu filho Joãozinho e pediu para que ele fosse à loja comprar mais talheres, porém Dona Maria deu uma recomendação ao filho. – Joãozinho, só compre talheres naquela loja se o preço de um talher não for maior que R$ 5,00.

Joãozinho foi pra loja repetindo o preço máximo na cabeça mas, ao chegar à loja ele descobriu que lá não vendia talheres avulsos, e sim pacotes com vários talheres juntos. Os três pacotes disponíveis eram os seguintes:

Um pacote com uma faca, duas colheres e três garfos custando R$ 23,50.
Um pacote com duas facas, cinco colheres e seis garfos custando R$ 50,00.
Um pacote com duas facas, três colheres e quatro garfos custando R$ 36,00.

As únicas informações que o vendedor soube dar eram que o preço de cada talher era o mesmo e todos os pacotes, ou seja, uma faca tinha um só preço em todos os pacotes, a mesma situação para a colher e o garfo e, que o preço de uma faca, de uma colher e de um garfo eram diferentes entre si.

E agora, quanto será que custa cada talher? Será que Joãozinho pode comprar algum desses pacotes atendendo à restrição imposta pela mãe?

"A costureira"

Ana trabalha como costureira, sempre divide seus ganhos com a sua comadre, também costureira. Quem "fecha" o serviço ganha um pouco mais, "coisa pouca, dependendo do valor da encomenda".

Ana havia fechado uma encomenda de um vestido e duas blusas e iria receber pelo serviço R$ 55,00. Quando foi perguntada sobre quanto ela e a sua comadre iriam receber, ela disse:

- Fico com dez reais e o resto a gente racha.

Torno a perguntar quanto cada uma irá receber e ela diz que a comadre vai receber R$ 22,50.

Algumas considerações

Ana não sabe realizar as operações simples no conjunto dos números naturais utilizando os algoritmos.
Também não sabe usar a calculadora.
Quando falamos de divisão, ela acha uma dificuldade.
Para ela, a divisão por 2 é o "racha", e o resultado é correto, feito de cabeça.
Não utiliza nenhum registro no papel para dar o resultado.
Sugeri o "racha" de outras quantias em dinheiro e todos os resultados estão sempre corretos.

Aprendizagem Matemática

2010-12-09T10:39:00.000-08:00

Uma breve reflexão sobre o número da concepção ao negativo

2010-12-08T05:32:00.001-08:00

Muitas vezes nós, professores, ao ensinar matemática, nos deparamos com desafios que se ampliam a cada dia. Um deles é o pouco interesse dos alunos em estudar a matemática que nos propomos a ensinar. Essa problemática é ampla e não é nova, provocando o questionamento constante de nosso ensino. Isso nos faz refletir e buscar alternativas para que o ensino dessa disciplina torne-se instigante, desafiador e interessante para o aluno.

Nesse sentido, trazemos uma breve reflexão sobre a aventura da construção do número pela humanidade, bem como a concepção do negativo como tal.

O número em si foi concebido originalmente como uma representação de quantidade, pois os homens utilizavam a forma concreta de contagem, com pedras ou gravetos. Depois evoluiu para a forma representativa em símbolos, mas permaneceu em sua unidade básica o princípio da contagem. Assim, a semelhança básica com a contagem era a unidade. Por exemplo, a correspondência entre dez unidades de ovelhas com oito unidades de lobos, ou a correspondência entre o número de dedos das mãos com os dedos dos pés.

Segundo Boyer (História da matemática), dessa (...) percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum e que nós chamamos de número (...) surgiu a definição equivocada e antiquada da matemática como "aritmética", ou seja, a "ciência do número e grandeza". Embora essa concepção de número abrisse caminho para a matemática moderna, a matemática não se resume ao número e às aventuras que eles proporcionam. Igualmente, o número não se resume à representação de quantidade.

Vislumbre comigo uma situação:

O professor ensina aos seus alunos que o número é uma representação de quantidade, e para isso se utiliza de objetos concretos. Depois de um tempo, percebe que o aluno A e o aluno B estão cochichando.

- Vocês não estão entendendo a aula? Diz o professor. Os dois alunos com ar de intelectualidade se olham. Daí, o aluno A diz:

- Professor, se o número significa quantidade e eu moro no apartamento 301, então quer dizer que no prédio tem 301 apartamentos?

O professor engole a saliva e explica:

- Não aluno A, o número 301 não significa que tem 301 apartamentos no teu prédio, mas que o número 3 significa que o apartamento está no terceiro andar e o número 1 é o número do apartamento nesse andar.

A resposta do professor foi extraordinária, convincente e correta, porém, com um detalhe: Inflou ainda mais os egos dos alunos A e B.

Isso fez o professor pensar e descobrir que o número não se resume em representar quantidade apenas, mas também como forma de código. Isso é óbvio, pois o número 301 dependendo do contexto pode ter outros significados. Se fossem 301 bananas aí sim, o 301 seria uma quantidade.

A história não parou aí. O aluno A cutuca o aluno B e fala baixinho:

- Pergunte ao professor o que significa a placa do carro do meu pai MBI9257.

Como estava no fim da aula o professor concluiu elogiando os alunos A e B, e anunciou que numa próxima aula traria mais aplicações dos números.

Particularmente gostamos dessa provocação. Dessa tentativa de não deixar o pensamento matemático preso dentro de um quadrado. Ainda bem que estava no final da aula, porque outros alunos já tinham em mente outras perguntas envolvendo frações, expoentes e até criptografia. Um aluno até já estava tirando da mochila uns mapas para perguntar sobre os diversos numerosinhos encontrados.

Embora essencial, a caracterização de número como representação de quantidade para o aprendizado possui o que chamamos, segundo Boyer, de "fraqueza matemática" e não um erro. Essa caracterização de número foi fundamental para lançar as bases da matemática moderna. É essencial para fixar a concepção básica de número nas séries iniciais.

Assim, é natural que apareçam algumas dificuldades mais adiante na concepção de número como quantidade. Por exemplo, representar concretamente o número negativo. Essa provocação é boa e, na história da matemática, verificamos que demorou séculos até ser aceito o negativo como número. Como o número era a representação de quantidade (ou medida), os matemáticos não consideravam o negativo como número. Somente a partir do século XIII é que, aos poucos, foi se aceitando o negativo como um número. Nessa época, a matemática era fortemente dependente da geometria euclidiana e o número negativo obviamente não poderia existir nessa representação, pois a geometria euclidiana trabalha com medidas concretas das formas geométricas.

Após quase dois séculos é que houve uma plena aceitação do negativo como número para as operações de adição e subtração. Não demorou muito para se estabelecer os fundamentos da utilização do negativo também para a multiplicação e divisão.

Por isso é natural a dificuldade que os alunos têm com os números negativos. Não podemos esquecer que essa mesma dificuldade também ocorreu com a humanidade que lutou por muitos séculos contra a aceitação do negativo. Desde a invenção da escrita, por volta do ano 3500 a.C. até por volta do ano 1200 d.C. se passaram quase 5000 anos para a aceitação e entendimento pleno do negativo como número, assim como sua representação como tal.

Essa informação possibilita ao professor olhar para seus alunos com mais carinho e atenção, pois essa dificuldade não é nova. Ocorreu com a humanidade, ocorreu conosco quando éramos alunos primários, e vai continuar ocorrendo com outros alunos. Cabe a nós professores criar condições que propiciem aos alunos um ambiente de ensino prazeroso, aberto a diferentes questionamentos, possibilitando um processo de ensino-aprendizagem, reflexivo, provocante e instigante.

Prof. Everaldo Amaral

Assessoria Pedagógica – Sistema de Ensino Energia

Possui mestrado em matemática e computação científica (UFSC) e graduação em matemática e física – Licenciatura Plena (UNOESC)

REFLEXÕES SOBRE O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA: O PAPEL DO PROFESSOR

2010-12-08T05:29:00.001-08:00

MARIA APARECIDA DIAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à EVATA – Educação Avançada Ltda., como parte das exigências para a conclusão do curso de Pós-Graduação Lato Sensu em Psicopedagogia Institucional. Orientadora: Rozimar Gomes da S. Ferreira

Maria Aparecida Dias

Rozimar Gomes da S. Ferreira

RESUMO

Este estudo tem como objetivo principal compilar dados que permitam avaliar os critérios de ensino e aprendizagem em Matemática, observando-se os diferentes desempenhos de aprendizagem a partir dos diferentes métodos de ensino. Esta investigação ancora-se no pressuposto de que o conhecimento matemático e a atitude pedagógica dos professores vêm sendo modificados através de pesquisas e de discussões sobre sua eficácia em sala de aula. Volta-se, ainda, à sua aplicabilidade ao cotidiano e à real função social da construção do raciocínio matemático. Nesse contexto, com amplo histórico de propostas e mudanças didáticas e estratégicas, percebe-se pouco resultado prático, uma vez que a aquisição de conceitos, domínio de procedimentos e desenvolvimento de atitudes são aspectos relativos a cada aluno e dependem diretamente de como o professor atua quanto ao dimensionamento dos conteúdos, práticas pedagógicas e as condições em que se processam o trabalho no ensino da matemática. Ressalta-se sempre a busca por metodologias e cursos de atualização que capacitem os professores a estabelecerem um diálogo produtivo com seus alunos, buscando tornar a Escola um adequado espaço de construção de conhecimentos. A metodologia empregada foi, para isso, pesquisa bibliográfica analisada a partir de artigos indexados e livros para a compilação das informações. As conclusões mostraram que a defasagem professor-aluno-aprendizagem de Matemática continua um tópico permeado de indagações quanto ao fazer docente, mas recursos existem e devem ser viabilizados em prol da melhoria da Educação.

PALAVRAS-CHAVE: Matemática; ensino-aprendizagem; papel do professor.

1. Introdução

Considerada como uma das mais antigas ciências e, como matéria ensinada, a Matemática faz parte dos currículos escolares desde há mais de dois mil anos, tendo sempre ocupado um lugar privilegiado. (VASCONCELOS, 2009)

Sobre suas características, Paz JR. (2009) afirma que se trata de uma disciplina com predicados muito específicos, únicos, podendo ser definida como um processo de pensamento que implica a formação e aplicação de redes de ideias abstratas e associadas logicamente.

A Matemática é estudada tanto pelas suas aplicações práticas como pelo seu interesse teórico. Algumas pessoas, e não só os matemáticos profissionais, consideram que a essência dessa disciplina reside na sua beleza e no seu desafio intelectual. Para outros, incluindo muitos cientistas e engenheiros, o valor essencial da Matemática é a sua aplicação à própria atividade. (SACRAMENTO, 2008; VASCONCELOS, 2009)

Todavia, o que se pode constatar de mais concreto é que a Matemática ocupa um lugar essencial nos currículos escolares, mas, em contrapartida, pode-se observar elevadas taxas de reprovação e de insucesso, desprazer e, ou frustração, na aprendizagem e no ensino dessa matéria. (VASCONCELOS, 2009)

Buscando uma forma de se entender o porquê de o ensino da Matemática ser pouco satisfatório, percebe-se que, apesar de alguns esforços terem sido já desenvolvidos por parte dos docentes, o ensino da referida disciplina não tem sido considerado pelos professores com a profundidade, serenidade e bom senso necessários.

Vasconcelos (2009, p. 12) avalia e tenta solucionar este quadro, ponderando da seguinte forma:

Não se muda o ensino da Matemática de um dia para o outro. É necessário um planejamento a médio e longo prazo, uma execução paciente ao longo de muitos anos, com a participação ativa indispensável de todas as pessoas com relação direta ou indireta com o ensino da Matemática.

Os problemas são muitos, variados e difíceis. Seria sempre arriscado e pretensioso procurar abordá-los em sua totalidade, principalmente em um único trabalho. Portanto, limitar-se-á, aqui, a refletir sobre alguns dos aspectos que normalmente surgem no ensino e na aprendizagem da Matemática, no âmbito específico da docência. (VASCONCELOS, 2009)

No ensino-aprendizagem da Matemática, deve evidenciar um triângulo (humano-programático) cujos vértices são: a Matemática, os alunos e o professor. (VASCONCELOS, 2009; SACRAMENTO, 2008)

O professor de Matemática é um elemento decisivo na complexa atividade que é ensinar Matemática. Na definição das suas práticas pedagógicas, compete a ele intervir, consciente ou inconscientemente, as suas concepções e conhecimento profissional, que orientem as suas ações, desde grandes opções relativas ao currículo, por exemplo, a aspectos mais particulares da preparação e condução de aulas. (BORBA, 2004; VASCONCELOS, 2009)

Posto de uma forma simplista, o papel do professor numa sala de aula é tornar o caminho entre a Matemática e os alunos o mais curto possível. Cabe ao professor, já suficientemente perto de ambos (Matemática e alunos), a missão de conduzir a Matemática até aos alunos ou de levar os alunos até à Matemática.

Sendo assim, deve-se meditar sobre o papel e a atitude do professor de Matemática, questionando-se sobre os problemas existentes e que estejam relacionados, de uma forma ou de outra, com a Matemática, seu ensino e sua aprendizagem. É importante ressaltar que alguns desses problemas poderão não ter respostas claras ou simples, mas uma análise consciente, por parte do docente, contribuirá, por certo, para um enriquecimento da sua atividade profissional. Uma vez consciente do seu papel, será mais fácil pensar e atuar sobre os outros dois vértices do triângulo, isto é, sobre a Matemática e sobre os alunos. (VASCONCELOS, 2009)

2. Desenvolvimento

2.1 Sobre a Matemática

A partir de ampla aceitação entre estudiosos e pesquisadores da área, define-se a Matemática como a ciência das regularidades (padrões). O trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais; procuram-se regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.

Na Matemática, a formulação e a resolução de problemas representam seus elementos fundamentais - sem resolver e sem formular problemas não se faz Matemática - e isso lhe confere um caráter criativo. (LARA, 2004)

Com relação à sua utilização para expressar ideias e resolver problemas, Vasconcelos (2009, p. 18) atesta que existem três fases neste uso:

1) a representação de determinados aspectos das coisas de forma abstrata;

2) a manipulação das abstrações através de regras de lógica para encontrar novas relações entre elas;

3) verificar se as novas relações dizem alguma coisa de útil acerca dos objetos originais.

Além disso, o autor pontua que, para tanto, é fundamental que a disciplina:

- saiba dar aos alunos um papel mais ativo na construção do seu próprio conhecimento;

- saiba harmonizar objetivos do domínio cognitivo, afetivo e social;

- saiba estabelecer relações com a realidade, favorecendo o movimento de "marés" entre a Matemática e aquela. A resolução de problemas e as aplicações da Matemática são, nesse contexto, veículos essenciais;

- saiba fomentar a interdisciplinaridade - estabelecendo relações fortes com as outras disciplinas, para que, em conjunto, sejam criados instrumentos globais de avaliação do real;

- saiba ser a realidade e não uma recriação artificial desta. É importante que em cada momento saiba utilizar, com naturalidade, as novas tecnologias. (VASCONCELOS, 2009)

Atualmente, os estudiosos vêm se preocupando com as dificuldades de aprendizagem da Matemática, bem como as deficiências no seu ensino. As investigações desses cultores são dedicadas às questões inerentes à aplicação de metodologias no ensino, assim como ao refinamento da compreensão dessa ciência tão discriminada pela exatidão de seus métodos. (BACQUET, 2001; LARA, 2004)

Floriani (2000) considera que a falta de tempo do educador dificultam as possíveis modificações de sua prática pedagógica, tendo como referencial um plano que sane os percalços diários. "É esse obstáculo na vida profissional do professor, especificamente o de Matemática, que o faz viver em constante reflexão acerca de quão grande problemática".

Segundo Sebastião e Silva, citado por Vasconcelos (2009), ensinar Matemática sem mostrar a origem e a finalidade dos conceitos é como conversar sobre cores com um daltônico, ou seja, é construir no vazio. "Especulações matemáticas que, pelo menos no início, não estejam solidamente apoiadas em intuições, resultam inoperantes, não falam ao espírito, não o iluminam". (HUETE e BRAVO, 2006)

Nesse sentido, é necessário fornecer experiências que encorajem e permitam aos alunos valorizar a Matemática; ao ganharem confiança nas suas capacidades matemáticas, eles se tornam solucionadores de problemas. (PAZ JR., 2009)

Nos dizeres de Bacquet (2001, p. 93), é importante "interessar o aluno, provocá-lo para a investigação, dar-lhe sem cessar o sentimento de que ele descobre por si próprio o que lhe é ensinado". Outrossim, o professor não deve forçar a conclusão: deve deixá-la formar-se espontaneamente no espírito do aluno. (BACQUET, 2001)

Conforme Lara (2004), os programas de todos os países indicam que se devem: usar métodos ativos, buscar um apelo à intuição, encadear os assuntos, e adaptar os métodos à idade e às características dos alunos.

Outro ponto relevante é relatado por Parra e Saiz (2001, p. 43): os conceitos matemáticos não são aprendidos de um momento para o outro; para esses autores, só ao longo do tempo percebe-se melhor a coerência interna de cada assunto ou a razão de ser de cada conceito. "Os programas com capítulos estanques dificultam a assimilação lenta; entretanto, é muito difícil ensinar de forma que cada aluno possa ir interiorizando à sua própria velocidade", alertam.

No ensino-aprendizagem da Matemática, é necessário um envolvimento direto por parte do aluno, uma participação ativa, tanto em cada momento de estudo como ao longo do ano escolar: é preciso voltar várias vezes ao mesmo assunto, de preferência seguindo ângulos de abordagem diversificados, para se poder dominar um conceito. (HUETE e BRAVO, 2006, p. 51)

Por último, mas não menos importante: dificilmente alguém poderá estudar Matemática com proveito se não tirar algum prazer disso. E como não é costume encontrar programas que fomentem esse gosto, principalmente nessa disciplina, o professor deve buscar incentivar esse desejo e interesse nos alunos, modernizando sua prática e utilizando recursos que favoreçam o ensino.

2.2 O ensino-aprendizagem da matemática

É certo que as convicções matemáticas não se desenvolvem da noite para o dia, pois o ensino é um processo que se desenvolve lentamente, ao longo de um período de experiências e de interações.

Quando as crianças aprendem Matemática na escola, estão presentes certas normas de conduta que influenciam a forma como as crianças interagem com o professor e com os colegas, o que, por sua vez, influencia a Matemática que esses alunos aprendem e como a aprendem. (JOSE e COELHO, 2004)

Nesse contexto, é necessário que o professor dê oportunidades para que os alunos conversem acerca da sua compreensão do conteúdo. Só assim, surgirão problemas genuínos de comunicação: estes constituem oportunidades importantes na aprendizagem da Matemática. (SLAVIN, 1985).

Entretanto, em relação ao ensino da matemática, há educandos que progridem, mas muitos, se não a maioria, têm problemas de aprendizagem. Provavelmente, isso se deve ao fato da atividade escolar nada ter a ver com o cotidiano das crianças. (SACRAMENTO, 2008)

O pensamento lógico-matemático, segundo Piaget, decorre da ação interação entre o sujeito e o objeto. Essa ação advém da necessidade do sujeito de se adaptar ao meio. Tal adaptação só será adequada se ocorrer num espaço e tempo dando ênfase a resolução de problemas na vida cotidiana do aluno.

Seymour Papert acredita, tal como Piaget, que a criança constrói as suas próprias estruturas intelectuais. O seu ponto de discórdia é quanto ao papel atribuído ao meio cultural como fonte de "materiais de construção". É a abundância do meio cultural em determinados "materiais" que proporciona que determinadas aprendizagens se processem de forma natural, enquanto a ausência de outro tipo de materiais pode levar a que outras aprendizagens só ocorram após ensino deliberado. A questão fundamental está, pois, em criar uma cultura, um ambiente rico em "materiais" que estimule a aprendizagem natural. As interações professor-aluno e aluno-aluno são bons exemplos das práticas que favorecem a aprendizagem. (VASCONCELOS, 2009)

Quando são apresentadas às crianças tarefas que fazem sentido para elas, encorajando-as a resolvê-las e discuti-las, as crianças, em vez de seguirem procedimentos que tenham sido apresentados pelo professor, desenvolvem uma variedade de estratégias para alcançar a solução. Numa situação desafiante, os alunos utilizam os conhecimentos que já têm para desenvolver raciocínios com significado pessoal.

Segundo Gagné (1975, p. 19),

Para resolver certos problemas, o aluno deve aprender associações ou fatos específicos e diferenciá-los; seguidamente, deve aprender conceitos que começam por ser gerais até se tornarem específicos. Só depois o aluno atinge o conhecimento de certos princípios que lhe permitirão resolver os problemas iniciais. Trata-se, assim, de um processo bastante lógico que começa no geral e acaba no particular, iniciando-se no simples e terminando no complexo.

Sacramento (2008) acredita que uma vez que os alunos refletem na sua própria aprendizagem e discutem as razões que levaram a uma conclusão aparentemente razoável, mas inválida, eles aprofundam a sua compreensão dos conceitos e procedimentos matemáticos.

Do mesmo modo, os professores, ao estudarem os dados das suas aulas, aprendem mais sobre as aprendizagens dos alunos e mais sobre o ensino. "A importância do conhecimento sobre a forma como os alunos aprendem matemática não pode ser minimizada" (NCTM, 1991, p. 146).

É importante salientar que tanto as respostas corretas como incorretas podem disfarçar a verdadeira aprendizagem dos alunos. Respostas incorretas podem representar bons raciocínios, mesmo que baseados em conceitos errados. Respostas corretas, especialmente repetições das palavras do manual ou do professor, podem mascarar falhas de compreensão da Matemática subjacente.

Ao resolver problemas, as crianças, muitas vezes, cometem erros que se repetem consistentemente. Isso indica que sua compreensão do problema falhou, mas que ela inventou alguma regra própria para encontrar a solução. O professor deve estar alerta para descobrir esses erros que se repetem e tentar conhecer e entender o que a criança não compreende. A partir daí, o docente procurará apresentar a solução adequada que ajude a criança a construir seu conhecimento.

Portanto, a existência da capacidade de organização desenvolvida na resolução de problemas possibilita ação criativa, formulação de hipóteses, pensamento crítico, raciocínio e busca de respostas. Dessa forma, o aluno precisa conhecer e dominar os algoritmos lingüísticos, lógicos e numéricos, necessários à resolução de cada problema, a lógica dada à situação. Um caminho que favorece a construção de habilidades de lidar com informações variadas, facilita a resolução de problemas demonstrando: exame crítico das soluções encontradas e reformulação do modelo teórico que sustenta cada situação de aprendizagem.

O professor pode promover o ensino referente à resolução de problemas, investigando as dificuldades do aluno, o que favorece a ação docente, valorizando as atitudes e habilidades mentais e o hábito de trabalho organizado. Isso possibilita ao aluno dar sua própria opinião ou narrar sua maneira de pensar. Aprender deixa de ser memorizar e repetir, para significar aquisição de habilidades e conhecimentos integrados ao contexto que serão utilizados, em uma interação total dos aspectos cognitivos e emocionais.

2.3
Problemas enfrentados no ensino/aprendizagem da Matemática

Nos últimos tempos, o ensino da Matemática tem vivido uma situação de crise permanente. Em todos os graus de ensino, do primário ao superior, o insucesso na disciplina de Matemática atinge índices preocupantes. Não se trata de insucesso apenas no sentido estrito da percentagem de reprovações. Um número cada vez maior de alunos não gosta de Matemática, não entende para que serve seu estudo, e muito menos compreende sua relevância. (AZEVEDO, 2009; PARRA e SAIZ, 2001)

Do ponto de vista docente,

Os professores mostram-se igualmente descontentes, queixam-se dos programas que são grandes, pouco flexíveis, demasiado abstratos. Não sabem como interessar os seus alunos. E, além disso, sentem-se isolados, com poucas oportunidades para discutirem com os colegas ou para conhecerem as experiências mais interessantes que, apesar de tudo, se vão realizando. A muitos professores cada vez agrada menos o que fazem, os resultados do seu trabalho, o modo como os alunos reagem àquilo que eles lhes ensinam. (VASCONCELOS, 2009, p. 30)

Assim, pode-se resumir tais problemas nas seguintes palavras: "O ensino da Matemática está passando por uma situação de grande desconforto para quem aprende, para quem ensina, sendo também alvo de críticas da opinião pública". (HUETE e BRAVO, 2006)

De forma simplista, observa-se que, para muitos alunos, a Matemática tem a imagem de insucesso, de inacessibilidade, de disciplina só para alguns. Para outros alunos (com sucesso na disciplina) fica uma ideia de que a Matemática é um puro mecanismo, uma arquitetura perfeita à qual nada haverá a acrescentar. Muitas vezes, ambas as situações são conseqüência dos professores que sentem frustração e insatisfação pelo trabalho desenvolvido. Também, há aqueles professores que consideram que o grande insucesso dos alunos provará o virtuosismo da disciplina e, por conseqüência, o seu inevitável papel seletivo. (AZEVEDO, 2009; PAZ JR., 2009)

2.4 O papel do professor

Considerando que um dos papéis do professor é tornar o caminho entre a Matemática e os alunos o mais curto possível. Para isso, o docente deve favorecer o desenvolvimento da comunicação e a partilha de raciocínios, sendo necessário deixar o aluno raciocinar e exprimir livremente os seus pensamentos. (PAZ JR., 2009)

Conforme Parra e Saiz (2001), hoje em dia, é salientado que a resolução de um problema deve constituir um momento especial de interação e diálogo. O professor, como moderador, deve acolher as respostas, formular novas perguntas e ainda estimular a partilha das diversas estratégias apresentadas para a obtenção de um resultado.

Ao colocarem em comum os seus processos intelectuais, os alunos, ao aprenderem com os seus próprios raciocínios e com os dos outros, incorporam novas formas de pensar e de integrar informações. Essas atitudes realçam o papel social e humano do professor e da Matemática na escola. (HUETE e BRAVO, 2006; SACRAMENTO, 2008)

Em outras palavras, é importante que o processo de ensino-aprendizagem da Matemática privilegie não só o raciocínio individual, mas que provoque também a partilha e o estimule com outros saberes matemáticos.

Além disso, para que o ensino-aprendizagem alcance um nível bastante satisfatório, convém ao professor:

- conhecer o nível intelectual e as informações que os alunos já possuem;

- conhecer a proveniência social dos alunos, evitando conflitos Escola-Meio;

- utilizar estratégias conducentes ao interesse dos alunos (fazendo uso da motivação contínua);

- fornecer um feedback aos alunos pela avaliação formativa oral e escrita que deve estar onipresente no processo de ensino-aprendizagem. (VASCONCELOS, 2009)

Portanto, ensinar é fazer pensar, estimulando o aluno para a identificação e resolução de problemas, ajudando-o a criar novos hábitos de pensamento e ação. O professor precisa conduzir o aluno à problematização e ao raciocínio, e nunca à absorção passiva das ideias e informações transmitidas.

Também, Paz JR. (2009) alerta que o professor deve ter consciência de que determinados conceitos, tornados evidentes para ele, nem sempre são claros para os alunos; quando esses conhecimentos não são absorvidos pelos discentes, não se pode avançar para matérias mais complicadas.

Complementando essa tese, Vasconcelos (2009, p. 39) pondera que

Uma das mais importantes implicações da teoria do psicólogo J. Piaget é que a aprendizagem mais eficiente ocorre quando o professor combina a complexidade da matéria com o desenvolvimento cognitivo dos seus educandos, tendo em mente que nem todos os alunos de uma turma estão no mesmo ponto do seu desenvolvimento intelectual.

Com relação à formação docente, pretende-se "obter" professores que não se limitem a imitar seus formadores, mas que se comprometam (e reflitam) na educação dos indivíduos numa nova sociedade; professores que não sejam apenas técnicos, mas também criadores.

Os professores podem perpetuar o seu desenvolvimento profissional através de uma análise e reflexão relativas às informações que podem obter nas suas aulas, como, por exemplo, as respostas dos alunos no processo de aprendizagem matemática. (PAZ JR., 2009)

Parece então ser fundamental para o educador conhecer as etapas de desenvolvimento cognitivo da criança, para poder adequar o ensino a essas etapas. Assim, o docente precisa instigar o aluno a: desenvolver a capacidade de observação, de pesquisa, de coleta, de formulação de hipóteses e outros; generalizar e transferir as conclusões para o cotidiano e aplicá-los praticamente; compreender a natureza como um todo dinâmico, sendo o ser humano parte integrante e agente de transformação do mundo em que vive; e valorizar o trabalho em equipe, sendo capaz de ação crítica e cooperativa para construção coletiva do conhecimento.

3. Conclusão

Por este estudo, foi possível concluir que a matemática é pensada como um bem cultural de interesse geral, tem como pressuposto que a própria pessoa constrói seu conhecimento em interação com seu meio, partindo do seu acervo de conhecimento para a construção do novo mediante processo de etapas de maturação.

É importante para o professor fazer uma interação entre teoria e prática, buscando soluções para uma educação de maior qualidade, mais justa e democrática, empenhados numa educação de inteligência, capacidade e direitos de nossas crianças.

A Matemática é uma atividade humana criativa e a interação social na sala de aula desempenha um papel crucial durante o processo de aprendizagem. Os conteúdos devem ser, em cada momento, interiorizados pelos alunos como úteis e fazendo sentido, ou seja, precisam ser contextualizados. Para tanto, a modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas também quanto a métodos de ensino. No interesse do bom ensino, o professor deve ter domínio sobre o que ensinar, analisar suas práticas de como ensinar, além de estar sempre consciente do porquê de se ensinar algo.

Para que a aprendizagem da Matemática seja satisfatória, o aluno precisa aprender a partilhar seus raciocínios com os colegas. Além disso, o professor deve estar atento para conhecer e compreender os processos mentais dos alunos, e sua intervenção deve ser no sentido de sistematizar raciocínios e apresentar abordagens mais significativas.

Consciente de suas novas atitudes, o professor deve gerar empatia, tentando colocar-se no lugar do aluno e, com ele, problematizar o mundo. Além disso, observou-se que tanto a interação professor-aluno como a que se processa entre os alunos influenciam o que é aprendido e como é aprendido.

Na formação de professores, para além da preocupação com o domínio de áreas do conhecimento mais ou menos especializadas, é urgente que se dê também prioridade ao desenvolvimento de atitudes que permitam ao professor não só "aceitar" a mudança e a inovação, mas ser ele próprio agente de mudança através de práticas de reflexão, de partilha e de cooperação.

O ensino da matemática prestará sua contribuição na medida em que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e que favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios.

Através da implementação de estratégias, tanto os educandos como os professores devem compreender a importância que a matemática tem na construção do saber e como ela pode se tornar agradável para todos, se trabalhada de forma correta e estimuladora, desmistificando a sua concepção de disciplina para os gênios, "bicho-de-sete-cabeças", ou sinônimo de fracasso para a grande maioria.

Referências bibliográficas

AZEVEDO, Maria José Lobato. Dificuldades de aprendizagem da Matemática. Disponível em: http://www.naincerteza.com/site/page4/files/dificuldades_mat.pdf. Acesso em maio de 2009.

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VASCONCELOS, Cláudia Cristina. Ensino-aprendizagem da matemática: velhos problemas, novos desafios. Revista Millenium n^o 20. São Paulo, 2009.

História da Matemática

2010-12-08T05:27:00.001-08:00

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

Álgebra

Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.

Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.

Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.

Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.

De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.

Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.

al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.

al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares.

"Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.

O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas.

Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.

Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.

A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:

1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;

2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:

3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.

Fonte: http://www.trabalhoescolarurgente.hpg.ig.com.br

O drama do ensino da matemática

2010-12-08T05:25:00.001-08:00

SUELY DRUCK

A qualidade do ensino da matemática —assunto da reportagem de capa do último Sinapse— atingiu, talvez, o seu mais baixo nível na história educacional do país.
As avaliações não poderiam ser piores. No Provão, a média em matemática tem sido a mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de Avaliacão da Educacão Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em matemática. E a comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for International Student Assessment) de 2001, ficamos em último lugar.

Resultados tão desastrosos mostram muito mais do que a má formação de uma geração de professores e estudantes: evidenciam o pouco valor dado ao conhecimento matemático e a ignorância em que se encontra a esmagadora maioria da população no que tange à matemática. Não é por acaso que o Brasil conta com enormes contingentes de pessoas privadas de cidadania por não entenderem fatos simples do seu próprio cotidiano, como juros, gráficos, etc. —os analfabetos numéricos—, conforme atesta o recente relatório Inaf sobre o analfabetismo matemático de nossa população.

Diante dessa situação, encontramos o discurso —tão frequente quanto simplista— de que falta boa didática aos professores de matemática. Todavia, pouco se menciona que o conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede qualquer discussão acerca da metodologia de ensino.

Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é um erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo dos que lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram licenciatura em matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as condições de trabalho com que se deparam.

A enorme demanda por professores de matemática estimulou a proliferação de licenciaturas. Nas faculdades, há muita vaga e pouca qualidade, o que transforma as licenciaturas em cursos atraentes para os que desejam um diploma qualquer. Produz-se, assim, um grande contingente de docentes mal formados ou desmotivados. Esse grupo atua também no ensino superior, sobretudo nas licenciaturas, criando um perverso círculo vicioso.

É verdade que, nas boas universidades, temos excelentes alunos nas graduações de matemática. Porém, eles formam um grupo tão pequeno que pouco influenciam as tristes estatísticas. Predomina uma enorme evasão dos cursos, uma vez que a maioria não enfrenta as dificuldades naturais dos bons cursos.

Nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil a política da supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação dos professores. Comprovamos, agora, os efeitos danosos dessa política sobre boa parte dos nossos professores. Sem entender o conteúdo do que lecionam, procuram facilitar o aprendizado utilizando técnicas pedagógicas e modismos de mérito questionável.
A pedagogia é ferramenta importante para auxi-liar o professor, principalmente aqueles que ensinam para crianças. O professor só pode ajudar o aluno no processo de aprendizagem se puder oferecer pontos de vista distintos sobre um mesmo assunto, suas relações com outros conteúdos já tratados e suas possíveis aplicações. Isso só é possível se o professor tiver um bom domínio do conteúdo a ser ensinado. A preocupação exagerada com as técnicas de ensino na formação dos professores afastou-os da comunidade matemática.

Além disso, eles se deparam com a exigência da moda: a contextualização. Se muitos de nossos professores não possuem o conhecimento matemático necessário para discernir o que existe de matemática interessante em determinadas situações concretas, aqueles que lhes cobram a contextualização possuem menos ainda. Forma-se, então, o pano de fundo propício ao surgimento de inacreditáveis tentativas didático-pedagógicas de construir modelos matemáticos para o que não pode ser assim modelado.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC são erradamente interpretados como se a matemática só pudesse ser tratada no âmbito de situações concretas do dia-a-dia, reduzindo-a a uma sequência desconexa de exemplos o mais das vezes inadequados. Um professor de ensino médio relatou que, em sua escola, existe a "matemática junina", enquanto outro contou ter sido obrigado a dar contexto matemático a trechos de um poema religioso. Certamente, esses não são exemplos de uma contextualização criativa e inteligente que pode, em muito, ajudar nossos alunos. Lamentavelmente, esses tipos de exemplo proliferam em nossas escolas.

O bom treinamento em matemática é efetuado, necessariamente, com ênfase no argumento lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos resultados obtidos em comparação com os dados iniciais do problema e no constante direcionamento para o pensamento independente. Esses hábitos são indispensáveis em qualquer área do conhecimento e permitem a formação de profissionais criativos e autoconfiantes —e a matemática é um campo ideal para o seu exercício.

O Brasil tem condições de mudar o quadro lastimável em que se encontra o ensino da matemática. Com satisfação, notamos um movimento importante de nossos professores em busca de aperfeiçoamento. Muitos estão conscientes dos problemas de sua formação e dos reflexos que ela tem dentro da sala de aula. Há uma enorme massa de professores que querem ser treinados em conteúdo. O desafio é atingir o maior número de professores no menor espaço de tempo.

Não é verdade que nossas crianças odeiam matemática, conforme prova a participação voluntária de 150 mil jovens e crianças nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 2002. Muitos mais eles poderiam ser, se os recursos fossem mais abundantes, como é o caso da Argentina, onde 1 milhão participam das Olimpíadas Argentinas de Matemática.

Iniciativas bem-sucedidas existem e apontam caminhos a seguir. Esse é o caso do fantástico programa de matemática coordenado pelo professor Valdenberg Araújo da Silva no interior de Sergipe, que tem levado crianças oriundas de famílias de baixíssima renda a conquistas importantes, como aprovação no vestibular, participação nas olimpíadas e até mesmo início do mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos.

Se medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar: há décadas estamos construindo uma sociedade de indivíduos que, ignorando o que é matemática, se mostram incapazes de cobrar das escolas o seu ensino correto ou mesmo apenas constatar as deficiências mais elementares nesse ensino.

Suely Druck é presidente da Sociedade Brasileira de Matemática.

Os problemas da educação matemática

ROMULO LINS

No último Sinapse, foi publicado o artigo "O drama do ensino da matemática", de Suely Druck. Neste artigo, contesto a posição defendida por Druck.

Dizer, como Druck o fez, que "nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil uma política de supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação de professores" é um erro sério e que só pode ter origem no desconhecimento de certos fatos importantes.

Primeiro, o modelo de licenciatura que adotamos hoje, o 3+1 (três anos de cursos de conteúdo matemático contra um ano de cursos de conteúdo pedagógico), é praticamente o mesmo que tínhamos na década de 60, e não é nada sensato dizer que esse modelo favoreça alguma "supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação de professores".

Segundo, o que aconteceu nos últimos 30 anos não foi um modismo didaticista ou pedagogista, e sim uma profunda mudança no entendimento que se tem dos processos do pensamento humano, incluindo-se aí o desenvolvimento intelectual e os processos de aprendizagem. Foi a partir disso que se deu um gradual desgaste do modelo "conteúdo matemático bem sabido mais boa didática". Mas esse processo não aconteceu "em detrimento do conteúdo matemático", e sim na direção de uma reconceitualização das práticas de sala de aula e, conseqüentemente, da formação de professores e professoras.

Na esteira dessa reconceitualização, surgiu o campo de estudo a que chamamos educação matemática, ou seja, educação por meio da matemática, e não apenas educação para a matemática.

No 3+1, os três anos de conteúdo matemático foram e são quase sempre apresentados isolados das outras partes da formação, com base justamente no pressuposto equivocado de que "o conhecimento do conteúdo a ser ensinado precede qualquer discussão a respeito da metodologia de ensino", pressuposto defendido por Druck. Hoje, sabe-se que é precisamente nessa separação entre matemática e pedagogia que está a raiz de muitas das dificuldades de professores e professoras.

Druck diz, em seu artigo, que "abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é um erro grave". Mas quem é que defende isso? Eu não conheço ninguém que o faça. O que eu conheço, sim, são pessoas que afirmam que a questão do ensino da matemática pode ser abordada apenas do ponto vista da matemática. A impressão que o artigo de Druck deixa, com as pequenas concessões à "pedagogia" soterradas por um feroz —e mal informado— ataque a uma suposta ditadura dos métodos pedagógicos, me faz pensar se ela mesma, afinal de contas, não acha isso.

O desafio para a comunidade da educação matemática é o de oferecer uma formação integrada e de acordo com as necessidades reais desses profissionais. E há, no Brasil e no exterior, uma grande comunidade trabalhando para criar licenciaturas a partir da idéia de integração: nas disciplinas "matemáticas", está presente a formação "pedagógica" e, nas disciplinas "pedagógicas", está presente a formação "matemática". É assim que acontece na escola —matemática e pedagogia não estão nunca separadas—, e é por isso que é assim que a formação de professores e professoras deve se dar; "pedagógico", aqui, deve ser entendido como bem mais do que "formas de transmitir bem o conteúdo", diferentemente do que parece sugerir o artigo de Druck no uso do termo.

Nosso próprio trabalho de pesquisa na Unesp-Rio Claro se dirige, desde 1999, a responder esse desafio. Outro exemplo é o de um workshop realizado nos Estados Unidos, cujo relatório foi publicado em 2001 com o título "Conhecendo e Aprendendo Matemática para Ensinar". Há muitos outros exemplos.

O que se precisa enfrentar, primordialmente, não são "as deficiências de conteúdo dos que lecionam matemática", como escreveu Druck, e sim o fato de que nosso sistema educacional está aprisionado em um limbo cercado, de um lado, por uma demanda social pela formação de uma sociedade de cidadãos críticos e, de outro, por um sistema escolar que, de alto a baixo, parece se pautar por uma idéia de excelência que não se dirige ao conjunto da população e que se sente realizada apenas na "participação nas olimpíadas" e "no início do mestrado em matemática de jovens entre 15 e 17 anos". Os filhos das elites não sofrem de analfabetismo numérico. Seria apenas coincidência que são 6% os alunos com "nível desejado" no Saeb (Sistema de Avaliação do Ensino Brasileiro), enquanto 10% dos brasileiros e brasileiras controlam 90% das riquezas?

Em vez de nos perguntarmos o que de matemática o professor precisa saber, devemos nos perguntar, antes, a matemática de quem o professor precisa saber. Esse deve ser o ponto de partida na discussão sobre as deficiências de conteúdo de professores e professoras, e essa questão só pode ser tratada adequadamente de uma perspectiva mais ampla que a da "matemática mais uma boa didática".

O verdadeiro drama da educação de professores e professoras de matemática começa na manutenção da mentalidade do 3+1 e da formação desarticulada que ele oferece, e vejo no artigo de Druck uma clara defesa desse modelo. Onde ela vê uma supervalorização de métodos pedagógicos, outros vêem uma supervalorização do conteúdo matemático. Eu não vejo nem uma coisa nem outra: vejo professores e professoras sem condições de trabalho adequadas e isolados, sem apoio efetivo para que possam continuar seu desenvolvimento profissional de forma contínua e em resposta a suas próprias perguntas.

Penso que são esses os dois verdadeiros problemas que devemos resolver.

Romulo Lins é professor do Departamento de Matemática e do programa de pós-graduação em educação matemática da Unesp-Rio Claro. Foi presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática entre 1995 e 1998.

ESTILOS COGNITIVOS E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO NA MATEMÁTICA

2010-12-08T05:22:00.001-08:00

Gladys Denise Wielewski^*

RESUMO

Este artigo é resultado de alguns estudos e reflexões sobre tipos de pensamento matemático e formas de representação utilizadas na resolução de problemas matemáticos, assunto que faz parte de uma pesquisa de doutorado em desenvolvimento. Na resolução de problemas é enfatizado o relacionamento entre sujeito e conhecimento, mediado pela representação empregada e não o aspecto psicológico, como é mais comum. Primeiramente é apresentada uma discussão sobre tipos de pensamento matemático identificados na história e, em seguida, a análise de dois exemplos que mostram o vínculo entre tipo de pensamento e meios de representação.

INTRODUÇÃO

Desde o início do século XIX, uma discussão sobre o contraste entre intuição e lógica no pensamento matemático tem sido proposta. Poincaré (1995) destaca que a intuição é indispensável para criar novas generalizações, produzir hipóteses férteis enquanto a lógica e a prova rigorosa servem para justificar e estabelecer fundamentos sólidos do conhecimento matemático.

Até recentemente, na filosofia como na matemática, dominava o interesse no rigor e nos fundamentos lógicos da matemática. Isso trouxe grande desvantagem para a educação matemática e para todas as teorias que centravam a atenção em como o pensamento matemático se desenvolve no ser humano. Ao se difundir uma perspectiva genética sobre a matemática, abriram-se novas possibilidades para pesquisadores nas áreas da educação, da psicologia cognitiva e da história da matemática.

Adotar uma atitude genética verdadeira significa destacar aspectos do conhecimento que são essenciais à generalização e ao desenvolvimento desse conhecimento. Nesse sentido, estilos de pensamento, maneiras de representar e diferenças quanto aos tipos de aplicações da matemática são premissas fundamentais. Destaca-se esta perspectiva genética principalmente pelo interesse nos processos de resolução de problemas. Por meio de um estudo destes processos esperam-se obter novos resultados a respeito da importância dos estilos cognitivos e da influência dos modos de representação.

Por que dar importância aos estilos? Eles importam para cada perspectiva genética, seja ela psicológica e educacional ou seja ela epistemológica. A respeito da segunda veja o exemplo de Darwin e Wallace no item 1deste artigo.

O tema estilos cognitivos não interessa somente aos psicólogos, que normalmente procuram classificar as pessoas e seus modos de pensar ou associar tipos de pensamento com outras características do sujeito (Krutetskii, 1976). Neste artigo, pretende-se fornecer uma imagem humana da matemática, isto é, mostrar a relação entre o sujeito e o objeto de cognição, que se revela por meio da representação (Otte, 2003). A possibilidade de se falar sobre algo de maneiras diferentes é uma característica fundamental da matemática. Ela é uma ciência em que cada fato pode ser representado de infinitas maneiras. Por exemplo, os números podem ser representados por meio de jogos, de conjuntos, de símbolos, de contagens, de medidas, de marcas no papel, etc.

Conceber a matemática desta forma pode contribuir com o trabalho em sala de aula, pois se um aluno não consegue entender o que está sendo discutido, devem-se repetir as explicações do mesmo jeito? Não! Devem-se buscar outras perspectivas para abordar um mesmo assunto. Por isso, o vídeo-cassete jamais conseguirá substituir o professor, já que nele se têm somente repetições.

Quando se trata de resolução de problemas, só repetir uma definição não é suficiente para resolver um problema. Os problemas matemáticos dependem tanto do modo como são representados quanto do conhecimento específico propriamente dito. Diante disso, tem-se uma conexão bem nítida e forte entre estilos cognitivos e maneiras de representação, e por sua vez, com a característica da matemática – em que todo fato matemático deveria ser expresso em um número maior possível de formas diferentes. Os exemplos apresentados tratam de dois tipos de pensamento referenciados pela história da matemática (Poincaré, 1995) e do contexto educacional (Krutetskii, 1976), que ilustrarão a relação entre estilos cognitivos e meios de representação.

DESENVOLVIMENTO E DISCUSSÃO

1. ESTILOS COGNITIVOS NA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Na história da matemática se encontram diferenças na forma de pensar. Poincaré (1995) descreve dois tipos de pensamento ou duas tendências opostas que os matemáticos normalmente demonstram, e que isso é perceptível tanto nas obras dos grandes como dos pequenos matemáticos. São os lógicos (também denominados de analistas) e os intuitivos (geômetras).

Ampliando as idéias de Poincaré (1995), pode-se mencionar que diante de um fato matemático os primeiros buscam respostas para a pergunta: Por que é assim? – se fundamentando nas regras da lógica formal, os outros se orgulham de apresentar uma resposta o mais transparente possível à pergunta: O que é? – tratando o fato de uma maneira que tenta esgotar essa pergunta.

Para Poincaré (1995), não é o assunto que os matemáticos estudam que define a opção por determinado método, mas é a própria natureza de seu espírito, já que se pode permanecer analista mesmo utilizando a geometria, ou conservar-se geômetra mesmo estudando análise pura. Não é a educação que influencia as tendências, porque o "indivíduo nasce matemático, não se torna matemático e parece que nasce geômetra ou nasce analista" (Poincaré, 1995, p. 13). A título de exemplo, o autor compara dois personagens da ciência francesa, o Sr. Bertrand e o Sr. Hermite. Os dois foram alunos da mesma escola, na mesma época, tiveram a mesma educação, as mesmas influências e, no entanto, eram completamente diferentes, tanto nas obras escritas como no ensino e na maneira de falar. O Sr. Bertrand enquanto falava sempre estava em ação, via e procurava representar as figuras que estudava desenhando-as por meio do gesto, procedia de forma intuitiva. Já o Sr. Hermite agia como se seus olhos parecessem fugir ao contato do mundo; não era fora, era dentro que procurava a visão da verdade.

Apesar de diferentes, Poincaré (1995) admite que ambos os tipos de pensamento são igualmente importantes para o progresso da ciência. Para se fazer qualquer ciência somente a lógica pura não é suficiente, tendo em vista que ela nos conduziria sempre a tautologias. Seria difícil criar coisas novas. Diante disso, é necessário recorrer à intuição, porém não aquela respaldada nos sentidos. Existem vários tipos de intuição: a) o apelo aos sentidos e à imaginação; b) a generalização por indução, que vai do particular para o geral, de acordo com os procedimentos das ciências experimentais; c) intuição do número puro, que consiste no raciocínio por recorrência e que pode gerar o verdadeiro raciocínio matemático. Poincaré (1995) assinala que as duas primeiras intuições não fornecem a certeza desejada, somente a terceira por supor que ninguém duvidará da aritmética.

Em outro livro intitulado A ciência e a hipótese, ao discutir a natureza do raciocínio matemático, Poincaré (1984) explica porque atribui tanta importância ao raciocínio por recorrência. Esse raciocínio permite resumir, em uma única fórmula, uma infinidade de silogismos. Para esclarecer, apresentam-se alguns silogismos hipotéticos:

"O teorema é verdadeiro para o número 1.

"Ora, se é verdadeiro para 1, é verdadeiro para 2.

"Logo, é verdadeiro para 2.

"Ora, se é verdadeiro para 2, é verdadeiro para 3.

"Logo, é verdadeiro para 3, e assim por diante." (Poincaré, 1988, p. 26-27)

A conclusão de cada silogismo serve de premissa maior para o próximo. Essa seqüência de silogismos, que não teria fim, pode ser reduzida, isto é, as premissas maiores de todos os silogismos podem ser expressas por uma única fórmula: se o teorema é verdadeiro para n – 1, o é para n. Por mais que se tente verificar a veracidade de um teorema com casos particulares, ele será finito e assim, jamais se chegará ao teorema geral.

Diante disso, Poincaré (1984) afirma que o raciocínio por recorrência é o único instrumento que possibilita uma passagem do finito para o infinito, pois dispensa verificações extensas e monótonas, que se tornariam impraticáveis. Na opinião dele, a matemática não deve se restringir à lógica é necessário deixar a intuição fluir, já que está é a fonte da criatividade humana. Das idéias apresentadas por Poincaré (1995), a tese da tendência do pensamento ser definida pela natureza do espírito do homem merece reflexão.

Otte (1993), quando discute intuição e lógica em matemática no seu livro, contesta esta opinião argumentando que o pensamento matemático também é influenciado pela história cultural e social, pelo desenvolvimento da matemática, pelas experiências com a matemática e pelo conteúdo envolvido. Como o pensamento pode conservar-se o mesmo quando o conteúdo muda? Como imaginar um pensamento sem conteúdo? É difícil supor que não existe uma conexão entre pensamento e conteúdo.

As pessoas diferem entre si e por isso, existem talentos matemáticos diferentes, que caracterizam estilos cognitivos distintos. Estilos indicam a concepção que a pessoa tem da matemática, em como define os conceitos e como a utiliza. O estilo e as obras das pessoas contribuem para o desenvolvimento da ciência e, conseqüentemente, da matemática e neste sentido, são objetivamente importantes. Para justificar esta idéia toma-se como referência Otte (1993) que discute a posição da filosofia marxista. Esta afirma que os grandes homens, que formaram os núcleos históricos para profundas mudanças sociais ou invenções, são, num certo sentido, irrelevantes para as modificações que desencadearam, pois acreditam que alguém deverá tomar a iniciativa, não importando quem. Otte (1993) assegura que, na verdade, importa quem começa uma tendência, e comprova isso utilizando como exemplo os cientistas Wallace e Darwin, escrevendo que

"Se tivesse sido Wallace em vez de Darwin, teríamos hoje uma teoria da evolução bem diferente. Todo o movimento da cibernética poderia ter ocorrido cem anos mais cedo, em virtude da comparação de Wallace entre a máquina a vapor como regulador e o processo da seleção natural". (Otte 1993, 76)

Os argumentos sobre estes cientistas podem explicar o fato de que estilos cognitivos e modos de representação não são somente características psicológicas de pessoas, mas influenciam a evolução histórica da ciência e do conhecimento.

Duas tendências de pensamento que regem os matemáticos foram descritas de maneira geral e que podem indicar estilos cognitivos. E se o foco for resolução de problemas, há tendências diferentes? Podem-se identificar estilos cognitivos? Apresentam-se a seguir, exemplos de dois alunos que desenvolveram processos de resolução de problemas matemáticos distintos, que podem contribuir com respostas para estas indagações.

2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ESTILOS COGNITIVOS

A resolução de problemas propicia a oportunidade de se estudar o pensamento de uma pessoa e a forma de representação. Será que todas as pessoas pensam da mesma maneira diante de um problema matemático? Há preferência por um pensamento característico? Ao realizar uma longa pesquisa na Rússia sobre habilidades matemáticas, Krutetskii (1976) identificou certas tendências na forma de pensar de alguns alunos. Essas tendências podem ser traduzidas como estilos cognitivos, que se referem ao pensamento típico de uma pessoa, se lembrando ou resolvendo problema. A título de exemplo, serão descritas algumas atividades matemáticas de dois sujeitos de pesquisa de Krutetskii. O perfil dos entrevistados foi feito no período de 1958 a 1960.

Sonya L. nasceu em Moscou no ano de 1950. Na época da pesquisa tinha 8 anos. Até então Sonya não tinha quase nenhum conhecimento. Há pouco tinha aprendido a escrever e ainda não sabia calcular por escrito, por isso quase tudo era feito por meio do discurso oral (utilizando a lógica) e os cálculos eram mentais. Mostrava clareza em descrição e uma pobreza de imagens, mesmo quando o problema sugeria este recurso. Vejamos a sua resolução para alguns problemas.

Problema 1: Um pastor diz a outro: me dê 8 ovelhas e nós teremos um número igual. O outro responde: não, você me dá 8 ovelhas e então eu terei o dobro do que você tem agora.

Solução: Se um der 8 ovelhas e eles passam a ter um número igual, isso indica que eles têm uma diferença de 16 ovelhas. Por outro lado, se o outro pastor der 8, então a diferença se torna 32 (desde que um perde 8 ovelhas e o outro ganha 8). Neste caso, dizemos que ele tem 2 vezes mais, ou 32 ovelhas a mais. Isso significa que haverá 32 e 64, e antes da troca havia 40 e 56. O problema foi resolvido em 40 segundos.

Problema 2: Galinhas e coelhos estão correndo num quintal. Juntos eles têm 35 cabeças e 94 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos estão no quintal?

Solução: Se há 35 cabeças ao todo, então são 35 galinhas e coelhos no total. Se todas fossem galinhas, seriam 70 pés. Isto significa que há 24 pés extras, porque além de algumas galinhas há coelhos. Cada coelho tem 2 pés a mais que uma galinha, então são 12 coelhos e 23 galinhas.

Problema 3: Qual é o ângulo formado pela intersecção das bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles?

Solução: sem fazer nenhum desenho usando as informações do problema ela disse: metade de dois ângulos que, quando adicionados, dão 90⁰ é 45⁰, e de 2d subtraímos 45⁰ = 135⁰(2d se refere a dois ângulos retos, ou seja, 180⁰). Krutetskii (1976) comenta que para Sonya, aparentemente, lógica e raciocínio substituem o apoio de imagens visuais.

Volodya L., nasceu em Moscou em 1949. No período da pesquisa tinha 10 anos. Nos problemas, utilizava a técnica de cálculo mental rápido sem recorrer muito à argumentação, pois preferia calcular. O seu processo de pensamento, enquanto resolvia problemas matemáticos, era muito reduzido e parece que este era o seu modo usual. Tinha dificuldade em desenvolver uma resolução em sua estrutura completa ou explicá-la. Algumas de suas resoluções são apresentadas a seguir.

Em um problema similar ao problema 1 resolvido por Sonya, Volodya resolve-o por meio de imagens visuais, conforme figura abaixo.

Problema 4: um menino diz à sua irmã: se você me der 8 nozes, então nós teremos um número igual. Mas ela responde: se você me der 8 nozes, eu terei duas vezes mais. Quantas nozes cada um tinha?Problema 5: Galinhas e coelhos (mencionado no problema 2).

Solução: Há tantas galinhas quantos coelhos quase duas vezes. Se todos os animais fossem galinhas, então haveria 70 pés, e se todos fossem coelhos 140 pés. 94 está duas vezes mais perto de 70 do que de 140 (94 – 70 = 24 e 140 – 94 = 46). Tentemos: 20 e 10; 21 e 11; 22 e 12; 23 e 12 ... 23 galinhas e 12 coelhos.

Durante a entrevista lhe perguntaram como explicaria este problema a um amigo mais jovem e então, explanou: Se todos fossem galinhas, seriam 70 pés. Mas de fato há 94 pés. Somando um coelho dá mais 2 pés. Então, são 12 destas adições, quer dizer, 12 coelhos. Ao tentar explicar, ele mudou seu modo de pensar, assemelhando-se à resolução de Sonya. Este fato conduz à idéia de que ao se resolver um problema tem-se uma maneira de pensar, mas explicar o que foi feito a alguém implica numa mudança de raciocínio, é o aspecto social exercendo influência, no sentido de socializar o pensamento. Krutetskii (1976) apresentou este aspecto como sendo uma das dificuldades da pesquisa: pensar ou resolver em voz alta e explicar a resolução em voz alta são processos completamente diferentes. Skemp (1971) também discutiu essa diferença entre fazer algo e explicar como se fez, que na opinião dele, o fato de explicar um processo implica em utilizar a inteligência reflexiva.

Problema 6: Um pai tem 35 anos e o seu filho tem 2. Em quantos anos o pai terá quatro vezes a idade de seu filho? Volodya também o resolveu graficamente, sem qualquer argumentação, conforme figura ao lado.

No problema sobre galinhas e coelhos os dois o resolveram por meio da argumentação e usando o método aritmético. No entanto, Sonya utilizou um pensamento lógico – distribuiu primeiramente os animais com duas pernas, para depois voltar e distribuir o que faltava, pensando nos animais com quatro pernas; e Volodya adotou uma forma experimental, observando a estrutura dos números – estabeleceu o intervalo entre a quantidade total com duas pernas e a total com quatro pernas e concluiu que o valor dado no problema (sobre o número total de pés) correspondia a quase o dobro do número de galinhas comparado com o número de coelhos. Mesmo recorrendo a um mesmo método, eles pensaram e organizaram as informações de maneiras diferentes.

Estes problemas poderiam ser resolvidos pela álgebra se os alunos a conhecessem. Levando em conta a idade, estes alunos provavelmente ainda não conheciam tal resolução, por isso tiveram que encontrar caminhos para obter as respostas, utilizando os conhecimentos de que dispunham. Examinando estes exemplos, é possível verificar que Sonya diferiu de Volodya nas representações adotadas, que estão associadas com o tipo de pensamento que guiou as resoluções dos problemas.

Skemp (1971, p. 88) fornece uma interpretação geral sobre representações. Discute diferentes tipos de imagem e indica dois sistemas simbólicos que são utilizados na matemática: "símbolos visuais" – que são diagramas de todos os tipos, especialmente figuras geométricas, e "símbolos verbais" – que são palavras, no sentido falado e escrito. A existência de uma certa predominância de um deles pode ser um indício de estilo cognitivo.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com base nesta conceituação de Skemp (1971) e na performance destes alunos, pode-se interpretar que nas resoluções dos problemas os símbolos verbais foram mais evidentes na atuação de Sonya, enquanto que os símbolos visuais foram o meio de representação mais utilizado por Volodya. Sonya não recorria aos símbolos visuais, mesmo nos problemas que exigiam tal recurso e Volodya os inseria naqueles que não eram aparentemente necessários, a geometria era um dos caminhos pelos quais ele desenvolvia seu pensamento.

Essa diferença entre os dois pode ser justificada pela possibilidade de se representar uma mesma situação de diferentes maneiras, pela existência de vários meios de representação e pela diversidade de pensamento. Assim, uma certa predominância na forma de pensar a matemática é caracterizada como estilo cognitivo, que pode ser identificado por meio da representação escolhida.

Retomando os pontos apresentados por Poincaré (1995), pode-se ressaltar que na matemática tanto a lógica como a intuição estão muito vinculadas com a atividade intelectual do sujeito, não são reflexos e nem são direcionadas ao mundo objetivo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

KRUTETSKII, V.A. The
Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. USA, The University of Chicago, 1976.

OTTE, M. O formal, o social e o subjetivo: uma introdução à filosofia e à didática da matemática. Trad. Maria Ap. Bicudo e.o., São Paulo, Editora da Universidade Estadual Paulista, 1993.

OTTE, M. Does Mathematics Have Objects? In What Sense? In.: Synthese 134, Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 2003, p. 181-216.

POINCARÉ, H. Sobre a natureza do raciocínio matemático. In.: A ciência e a hipótese. 2ª ed., Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1984, p. 21-31.

POINCARÉ, H. A intuição e a lógica na matemática. In.: O valor da ciência. Rio de Janeiro, Contraponto, 1995, p. 13-25.

SKEMP, R.R. The Psychology of Learning Mathematics. Harmondsworth, Penguin Books, 1971.

UTILIZANDO CURIOSIDADES E JOGOS MATEMÁTICOS EM SALA DE AULA

2010-12-08T05:18:00.001-08:00

Claudia Lisete Oliveira Groenwald
Ursula Tatiana Timm

Resumo

Este artigo resultou de uma pesquisa realizada na Universidade Luterana do Brasil, no curso de Licenciatura em Matemática. Enfatiza a importância dos jogos e desafios como metodologia de ensino nas aulas de Matemática que necessitam para poder jogá-los, da utilização de conhecimentos matemáticos. Enfatiza que os mesmos quando convenientemente preparados, são um recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento matemático.

Curiosidades e Jogos matemáticos como recurso didático

Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Nós como educadores matemáticos, devemos procurar alternativas para aumentar a motivação para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, concentração, atenção, raciocínio lógico-dedutivo e o senso cooperativo, desenvolvendo a socialização e aumentando as interações do indivíduo com outras pessoas.

Os jogos, se convenientemente planejados, são um recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento matemático. Referimo-nos àqueles que implicam conhecimentos matemáticos.

Vygotsky afirmava que através do brinquedo a criança aprende a agir numa esfera cognitivista, sendo livre para determinar suas próprias ações. Segundo ele, o brinquedo estimula a curiosidade e a autoconfiança, proporcionando desenvolvimento da linguagem, do pensamento, da concentração e da atenção.

O uso de jogos e curiosidades no ensino da Matemática tem o objetivo de fazer com que os adolescentes gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e despertando o interesse do aluno envolvido. A aprendizagem através de jogos, como dominó, palavras cruzadas, memória e outros permite que o aluno faça da aprendizagem um processo interessante e até divertido. Para isso, eles devem ser utilizados ocasionalmente para sanar as lacunas que se produzem na atividade escolar diária. Neste sentido verificamos que há três aspectos que por si só justificam a incorporação do jogo nas aulas. São estes: o caráter lúdico, o desenvolvimento de técnicas intelectuais e a formação de relações sociais.

Jogar não é estudar nem trabalhar, porque jogando, a aluno aprende, sobretudo, a conhecer e compreender o mundo social que o rodeia.

Os jogos são educativos, sendo assim, requerem um plano de ação que permita a aprendizagem de conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral. Já que os jogos em sala de aula são importantes, devemos ocupar um horário dentro de nosso planejamento, de modo a permitir que o professor possa explorar todo o potencial dos jogos, processos de solução, registros e discussões sobre possíveis caminhos que poderão surgir.

Os jogos podem ser utilizados pra introduzir, amadurecer conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Devem ser escolhidos e preparados com cuidado para levar o estudante a adquirir conceitos matemáticos de importância.

Devemos utilizá-los não como instrumentos recreativos na aprendizagem, mas como facilitadores, colaborando para trabalhar os bloqueios que os alunos apresentam em relação a alguns conteúdos matemáticos.

'' Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de aprendizagem. ''

(Borin, 1996,9)

Segundo Malba Tahan, 1968, ''para que os jogos produzam os efeitos desejados é preciso que sejam, de certa forma, dirigidos pelos educadores''. Partindo do princípio que as crianças pensam de maneira diferente dos adultos e de que nosso objetivo não é ensiná-las a jogar, devemos acompanhar a maneira como as crianças jogam, sendo observadores atentos, interferindo para colocar questões interessantes (sem perturbar a dinâmica dos grupos) para, a partir disso, auxiliá-las a construir regras e a pensar de modo que elas entendam.

Moura, 1991, afirma que ''o jogo aproxima-se da Matemática via desenvolvimento de habilidades de resoluções de problemas''.

Devemos escolher jogos que estimulem a resolução de problemas, principalmente quando o conteúdo a ser estudado for abstrato, difícil e desvinculado da prática diária, não nos esquecendo de respeitar as condições de cada comunidade e o querer de cada aluno. Essas atividades não devem ser muito fáceis nem muito difíceis e ser testadas antes de sua aplicação, a fim de enriquecer as experiências através de propostas de novas atividades, propiciando mais de uma situação.

Os jogos trabalhados em sala de aula devem ter regras, esses são classificados em três tipos:

jogos estratégicos, onde são trabalhadas as habilidades que compõem o raciocínio lógico. Com eles, os alunos lêem as regras e buscam caminhos para atingirem o objetivo final, utilizando estratégias para isso. O fator sorte não interfere no resultado;
jogos de treinamento, os quais são utilizados quando o professor percebe que alguns alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e quer substituir as cansativas listas de exercícios. Neles, quase sempre o fator sorte exerce um papel preponderante e interfere nos resultados finais, o que pode frustrar as idéias anteriormente colocadas;
jogos geométricos, que têm como objetivo desenvolver a habilidade de observação e o pensamento lógico. Com eles conseguimos trabalhar figuras geométricas, semelhança de figuras, ângulos e polígonos.

Os jogos com regras são importantes para o desenvolvimento do pensamento lógico, pois a aplicação sistemática das mesmas encaminha a deduções. São mais adequados para o desenvolvimento de habilidades de pensamento do que para o trabalho com algum conteúdo específico. As regras e os procedimentos devem ser apresentados aos jogadores antes da partida e preestabelecer os limites e possibilidades de ação de cada jogador. A responsabilidade de cumprir normas e zelar pelo seu cumprimento encoraja o desenvolvimento da iniciativa, da mente alerta e da confiança em dizer honestamente o que pensa.

Os jogos estão em correspondência direta com o pensamento matemático. Em ambos temos regras, instruções, operações, definições, deduções, desenvolvimento, utilização de normas e novos conhecimentos (resultados).

O trabalho com jogos matemáticos em sala de aula nos traz alguns benefícios:

conseguimos detectar os alunos que estão com dificuldades reais;
o aluno demonstra para seus colegas e professores se o assunto foi bem assimilado;
existe uma competição entre os jogadores e os adversários, pois almejam vencer e par isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites;
durante o desenrolar de um jogo, observamos que o aluno se torna mais crítico, alerta e confiante, expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões sem necessidade da interferência ou aprovação do professor;
não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se chegar a uma resposta correta;
o aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz com que aprenda sem perceber.

Mas devemos, também, ter alguns cuidados ao escolher os jogos a serem aplicados:

não tornar o jogo algo obrigatório;
escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias;
utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação social;
estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada;
trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la;
estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível, jogando).

Temos de formar a consciência de que os sujeitos, ao aprenderem, não o fazem como puros assimiladores de conhecimentos mas sim que, nesse processo, existem determinados componentes internos que não podem deixar de ser ignorados pelos educadores.

Não é necessário ressaltar a grande importância da solução de problemas, pois vivemos em um mundo o qual cada vez mais, exige que as pessoas pensem, questionem e se arrisquem propondo soluções aos vários desafios os quais surgem no trabalho ou na vida cotidiana.

Para a aprendizagem é necessário que o aprendiz tenha um determinado nível de desenvolvimento. As situações de jogo são consideradas parte das atividades pedagógicas, justamente por serem elementos estimuladores do desenvolvimento. É esse raciocínio de que os sujeitos aprendem através dos jogos que nos leva a utilizá-los em sala de aula.

Muitos ouvimos falar e falamos em vincular teoria à prática, mas quase não o fazemos. Utilizar jogos como recurso didático é uma chance que temos de fazê-lo. Eles podem ser usados na classe como um prolongamento da prática habitual da aula. São recursos interessantes e eficientes, que auxiliam os alunos.

Entre os recursos didáticos citados nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam-se os ''jogos''. Segundo os PCN, volume 3, não existe um caminho único e melhor para o ensino da Matemática, no entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática.

''Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver''.

(PCN, 1997,48-49)

Entendemos, portanto, que a aprendizagem deve acontecer de forma interessante e prazerosa e um recurso que possibilita isso são os jogos. Miguel de Guzmán, 1986, expressa muito bem o sentido que essa atividade tem na educação matemática: ''O interesse dos jogos na educação não é apenas divertir, mas sim extrair dessa atividade matérias suficientes para gerar um conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação''.

Bibliografia:

BORIN,J.Jogos e resolução de problemas:uma estratégia para as aulas de matemática.São Paulo:IME-USP;1996.

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL.Parâmetros Curriculares Nacionais.Brasília:MEC/SEF,1997.

FERRERO,L.F.El juegoy la matemática.Madrid:La Muralla,1991.

GUZMÁN, M. de. Aventuras Matemáticas. Barcelona:Labor,1986.

MOURA, M. O. de. A construção do signo numérico em situação de ensino.São Paulo:USP,1991.

TAHAN, M. O homem que calculava. Rio de Janeiro:Record,1968.

Cláudia Lisete Oliveira Groenwald, orientadora, professora titular do Departamento de Matemática da Universidade Luterana do Brasil - Ulbra, Canoas/RS. Drª em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca - Espanha.

Ursula Timm, formanda em Matemática pela ULBRA, Canoas/RS.

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