Juegos de Matemáticas.Autor:MANUEL GARCÍA RUIZ

Sólidos platónicos. El omnipoliedro. El balón de futbol.

2011-05-02T04:14:00.001-07:00

Capítulo 57 de mi libro" Juegos de Matemáticas con soluciones"

Entrada número 337 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Los sólidos platónicos son: el cubo o hexaedro, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

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Al cortar por los vértices con sección plana inclinada se obtiene un poliedro truncado que siempre verifica, igual que para todo poliedro, la fórmula de Euler: V - A + C = 2

Compueba la fórmula de Euler en los poliedros siguientes.

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TETRAEDRO

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FÓRMULA DE EULER: C + V -A = 2

4 + 4 - 6 = 2

ÁREA Y VOLUMEN DEL TETRAEDRO

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TETRAEDRO INSCRITO EN EL CUBO

La arista del tetraedro es la diagonal del cubo

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OCTAEDRO

OCTAEDRO INSCRITO EN TETRAEDRO

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DODECAEDRO

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ICOSAEDRO

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DODECAEDRO INSCRITO EN ICOSAEDRO

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El Omnipoliedro

Es una composición realizada con los armazones de los cinco sólidos platónicos (octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro) de forma que cada uno de ellos está inscrito en el del siguiente. Los cuatro vértices del tetraedro (granate) coinciden con otros tantos del Cubo (azul). Hay 6 aristas en el tetraedro y son diagonales del cubo.
En el interior del tetraedro se encuentra el Octaedro amarillo, y sus vértices se sitúan en el centro de las aristas del Tetraedro.
Arista octaedro = La mitad de la arista del tetraedro

OPERACIONES CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL CUBO, TETRAEDRO Y OCTAEDRO

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Entrada número 337 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Continuará si Dios quiere

SUDOKUS Y TRI-SUDOKU. SOLUCIONES. SUDOKU ON-LINE

2011-04-14T13:52:00.000-07:00

Entrada número 336 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Capítulo 56 de mi libro"Juegos de matemáticas con soluciones"

Resolver los siguientes Rompecabezas

(NO ES COPIA. LOS NÚMEROS SON ORIGINALES)

A.- Sudoku 6 x 6

   Es necesario que cada caja de 2 x 3 contenga los números del 1 al 6.
   Cada fila o columna del cuadrado 6 x 6 contiene  los seis números del 1 al 6.
   Todos los sudokus se pueden resolver utilizando la lógica.
   En la situación inicial hay pocos o muchos números en el cuadrado.
   Hay que completar el cuadrado. La solución es única.

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En estos ejemplos, los números iniciales están en color azul.

Con lógica se completa el cuadrado con los números que faltan en las celdas vacías.

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B.- Nivel sencillo de 9 X 9

Es necesario que cada columna, fila y cada caja de 3 x 3 contenga los números del 1 al 9.

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C. TRI-Sudoku

Está formado por 3 Sudokus de 9 x 9, normales y tienen un cuadrado 3 x 3 en común.

   La solución de cada uno de los Sudokus depende directamente del adjunto, al tener una región
   de 3 x 3 en común.
   Un sudoku comparte una caja de nueve números con el sudoku superior izquierdo e igualmente
   con el derecho.
   Resolver el siguiente tri-sudoku:

Clic en diagrama para aumentar tamaño

Para ver más sudokus:

www.sudokusweb.com

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SOLUCIONES

A.1.-

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A.2.-

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B.-

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C.- TRI-SUDOKU

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SOLUCIÓN POR FASES DEL TRI-SUDOKU

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SOLUCIÓN TRI-SUDOKU

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Entrada número 336 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

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Relojes + agua en una finca + velocidad media + concurso en tele

2011-04-03T06:29:00.000-07:00

Entrada número 335 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Capítulo 55 de mi libro "Juegos de Matemáticas con soluciones"

55.1.- Reloj de pared en el campo
He estado en mi casa de campo y se me olvidó el reloj; estaba sin móvil, sin tele, sin radio, sin ordenador pero tenía un reloj de cuerda de pared muy bueno y exacto pero estaba parado.
Cuando esto ocurría, ponía el reloj a una hora que estimaba y le daba cuerda; iba paseando a casa de un amigo, pasaba la tarde con él y al volver a casa ponía el reloj en la hora exacta.
¿Qué método he utilizado?

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55.2.- Dos relojes de arena
¿Cómo cronometro exactamente 9 minutos, si sólo se dispone de dos relojes de arena, uno de 4 minutos y otro de 7 minutos?

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55.3.- Agua de regadío en una finca de olivares

Una finca de regadío llena un depósito con un grifo de buen caudal en 10 horas. El dueño realiza otra perforación (otro pozo con agua y tiene suerte de otro buen caudal) y los dos grifos llenan el depósito en 6 horas. ¿Cuánto tardará sólo el segundo grifo en llenar el depósito?

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55.4.-Velocidad media.

   En el viaje de ida sacamos un promedio de 120 Km/h y a la vuelta  el promedio fue de 80 km/h.

   Calcular la velocidad media del viaje total.

Nota: Los kms. de la ida = los kms. de la vuelta.

55.5.- Concurso con premios en la tele

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Soluciones

55.1.-
La hora la pone en su reloj de pared en una hora por estimación.
Se marcha a casa del amigo y
sabe la hora de llegada en el reloj del amigo.
Cuando se marcha sabe el tiempo que
ha permanecido y mira la hora de salida.
Al llegar a su casa de campo calcula
el tiempo total que ha estado fuera.
El tiempo que ha estado con su amigo lo sabe.
El tiempo del paseo lo divide entre dos.

El tiempo en la casa del amigo
y el tiempo del paseo dividido entre dos

se suma a partir de la hora inicial
que le dijo el amigo.

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55.2.-

En D y en E ya podemos medir 1 minuto.

Del paso G al H se mide 1 minuto y el reloj de arena de 4 minutos puede medir 4 + 4 minutos.

Al sumar los tiempos se tienen 9 minutos.

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55.3.-

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55.4.-

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55.5.- Observe los cálculos.

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Entrada número 335 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

CLIC EN DIAGRAMA PARA VER TAMAÑO PANTALLA

http://bosquecolorin.blogspot.com/

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Los dígitos del ISBN a partir de 2007 e ISBN anterior. Nuevo ISBN de 10 + 3 dígitos.

2011-04-01T13:39:00.000-07:00

Entrada número 334 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Los dígitos del ISBN a partir de 2007.

El código 978 acompaña desde hace cuatro años a todos los ISBN de forma que haya compatibilidad total del ISBN con el código EAN-13, el sistema de código de barras más utilizado en el mundo. Los libros que se publican se codifican mediante los números del ISBN. Cuando se acabe el 978 se continuará con 979 y así sucesivamente.
La forma de calcular el dígito de control para este caso es distinta a la anterior a 2007.
Lo que se hace es tomar los 12 primeros dígitos y multiplicar el primero por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3, y así sucesivamente hasta llegar al número 12 y se suman todos los resultados.
Después se divide esta suma entre 10 obteniendo un resto denominado r y se toma como dígito de control el número 10 – r si r es distinto de cero y el propio resto r si es cero.

EJEMPLO DE CÁLCULO DEL DÍGITO DE CONTROL

Si necesita convertir sus prefijos al formato de 13 dígitos contacte con la Agencia ISBN-FGEE”: isbn@fge.es

"Algunas empresas y organismos están demostrando mucho interés en un número GTIN (número internacional de mercancía) de 14 dígitos, en el que se prefija el ISBN de 13 dígitos con un dígito más: el indicador de embalaje acordado entre los distribuidores."

Fuentes:

ISBNInternacional: info@isbn-international.org http://www.barrasybarras.com/ http://www.consumer.es

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EJEMPLO: Código ISBN anterior al 2007

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SOLUCIÓN

Información en Argentina: http://www.librosar.com.ar

Entrada número 334 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

REPASO- DIAGRAMA ENTRADA 300-PUZZLE

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Letra de D. N. I. en España. D. N. I. electrónico. RSA: Ejemplo matemático de encriptar y desencriptar un mensaje. Valid national identity in Spain, alphanumeric code.

2011-03-04T14:28:00.000-08:00

Entrada número 333 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

La letra del D. N. I. en España se obtiene dividiendo el número completo de nuestro D.N.I. entre 23 y al resto ⁽¹⁾ de dicha división, que deberá estar comprendido entre 0 y 22 se le asigna la letra según la siguiente tabla:

¿Sabrías calcular la letra de tu D.N.I.?
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El divisor en la división anterior, para calcular la letra del D.N.I., es 23

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Parte entera de un número

(1) Resto = D – 23 · [ D/d];

En una calculadora aparecen decimales al dividir el Nº del D.N.I. entre 23 y la parte entera se expresa en matemáticas con corchetes ó int ó floor.

La parte int. de -1.2 = -2; Y la parte entera de 1.2 es 1.

Int( -1.6) = -2; [- 0.4 ] = -1 ; Int ( 1.6 ) = 1; Int 0.4) = 0

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SOLUCIÓN

La división tradicional nos da el resto entero de la división entera pero la calculadora no calcula el resto.

CORREGIR ERROR EN EL DIAGRAMA ANTERIOR

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CORREGIDO

En Internet hay muchos generadores para calcular la letra del D. N. I. de España porque tienen un programa algorítmico informático de Java, C++, Q-Basic, Lenguaje C, etc.

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Copia parcial del Portal Oficial del DNI electrónico. Ministerio del Interior de España.
"En la medida que el DNI electrónico vaya sustituyendo al DNI tradicional y se implanten las nuevas aplicaciones, podremos utilizarlo para:

Realizar compras firmadas a través de Internet
Hacer trámites completos con las Administraciones Públicas a cualquier hora y sin tener que desplazarse ni hacer colas
Realizar transacciones seguras con entidades bancarias
Acceder al edificio donde trabajamos
Utilizar de forma segura nuestro ordenador personal
Participar en un conversación por Internet con la certeza de que nuestro interlocutor es quien dice ser

El DNI electrónico es una oportunidad para acelerar la implantación de la Sociedad de la Información en España y situarnos entre los países más avanzados del mundo en la utilización de las tecnologías de la información y de las comunicaciones, lo que, sin duda, redundará en beneficio de todos los ciudadanos."
Fuentes:
1.- Portal oficial del DNI electrónico.
2.- CIFRADO RSA C mod Me n
Puede observar un ejemplo matemático de encriptar y desencriptar un mensaje, en la siguiente página Web: www.dma.fi.upm.es/gsanchez/CifradoRSA_Maple.pdf

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REPASO: Diagramas de la entrada número 247

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Costa Rica "condena enérgicamente las graves violaciones de derechos humanos y de derecho internacional humanitario que el régimen libio ha cometido contra la población civil desarmada, la mayoría jóvenes", agregó el comunicado. EFE, San José | hace 1 minuto. Hora actual: 22:10. 18 - 3 - 11

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Entrada número 333 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

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Números en triángulo y magia en la suma. Numbers and magic triangle sum. Matemáticas con juegos matemáticos.

2011-03-02T07:13:00.000-08:00

Entrada número 332 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Matemáticas con juegos matemáticos

Numbers and magic triangle sum

En cada uno de los tres vértices se coloca un número y otro en el centro

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Se suman los números de cada vértice con el número del centro y se coloca el resultado en medio del lado opuesto al vértice.

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Se suman los tres números de cada lado

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Investiga con otros números y busca la causa del porqué suman siempre la misma cantidad

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SOLUCIÓN

Veamos el procedimiento con números enteros

En cada uno de los tres vértices se coloca un número entero y otro en el centro

Al final de este paso se suman los tres números de cada lado

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MAGIA EN TRIÁNGULOS CON NÚMEROS ENTEROS

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Se suman los números de cada vértice con el número del centro y se coloca el resultado en medio del lado opuesto al vértice. A continuación se suman los tres números de cada lado.

Es una casualidad que sumen lo mismo o hay una causa que lo justifique. Buscar la causa con una demostración general.

Investiga con otros números enteros y comprueba la magia del procedimiento

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MAGIA EN TRIÁNGULOS CON NÚMEROS DECIMALES

Se suman los números de cada vértice con el número del centro y se coloca el resultado en medio del lado opuesto al vértice. A continuación se suman los tres números de cada lado.

Es una casualidad que sumen lo mismo o hay una causa que lo justifique. Buscar la causa con una demostración general.

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Investiga con otros números decimales y con números racionales y comprueba la magia del procedimiento

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Demostrar porqué sucede siempre que las sumas coinciden para cualesquiera números naturales, enteros, racionales, reales y trascendentes.

Solución

Es la propiedad asociativa de la suma para números reales

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NIVEL PREUNIVERSITARIO

VAMOS A PLANTEARLO DESDE EL FINAL HASTA EL PRINCIPIO

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Entrada número 332 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Génesis del conflicto en Libia

Miles de jovenes se manifiestan en una plaza de Trípoli y son ametrallados, les disparan las fuerzas de Gadafi y mueren a centenares.

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Índice de este blog y libro" Juegos de matemáticas con soluciones". Autor: Manuel García Ruiz

2011-02-15T07:57:00.001-08:00

CLIC EN DIAGRAMAS PARA VERLOS BIEN EN GRAN TAMAÑO
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COPIA DE LA ENTRADA NÚMERO 5 DE ESTE BLOG DE OCTUBRE DE 2009

ÍNDICE

Continuará este blog si Dios quiere, con la próxima entrada 332, capítulo 52.

Entrada número 331 del blog http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

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Diagrama de la entrada 299 de este blog:

UNA CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DEL CUBO SOMA

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Números felices. Matemáticas recreativas.

2011-02-10T15:22:00.000-08:00

CLIC EN DIAGRAMAS PARA VERLOS BIEN EN GRAN TAMAÑO
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NÚMERO FELIZ
Realizamos el siguiente procedimiento: 1) Se elige un número entero positivo. 2) Se reemplaza por la suma de los cuadrados de sus dígitos. 3) Se repite el proceso hasta que se termine en 1 ó en bucle infinito sin llegar jamás al 1. Los programadores de informática pueden realizar un programa para encontrar una secuencia de números felices y por consiguiente de números no felices.

Un número es feliz si se reduce a la unidad con el procedimiento explicado. Vea el ejemplo con el número 44.

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Ejercicio propuesto:

No todos los números son felices. De los 7 números propuestos en el diagrama hay dos intrusos. Localízalos.

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Solución:

80 NO ES FELIZ AL ENTRAR EN EL BUCLE 85, 135, 35, 34, 25, 29, 85.

2008 ES UN NÚMERO FELIZ.

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Pequeña investigación de los números felices comprendidos entre 1 y 100.

A los números felices se pueden intercalar cuántos ceros se quieran y siguen siendo felices. Si un número es feliz será feliz cualquier número obtenido por la permutación de sus dígitos.

Por ejemplo: 10000009 es un número feliz.

Los números felices entre 1 y 100 son: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

Los primos felices son aquellos números primos que además son felices : 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, etc.

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Ejercicios propuestos

1.- De los siguientes números enteros consecutivos: 4 ! + 1, 4 ! + 2, 4! + 3, 4! + 4, 4 ! + 5, 4 ! + 6, 4 ! + 7, hay dos números felices. Localizarlos.

2.- Demuestra que el número entero 10 ^ (n + 1) + 502.821 + 10 ^ n es un número feliz para n = 6 y para todo n > 6.

3.- Demuestra que 1.234.456.789, es un número feliz.

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Números felices en diferentes sistemas de numeración

Todos los números del sistema binario son números felices.¿Sabes demostrarlo?

El sistema binario es una base feliz. Hay otra base de numeración que también es feliz porque todos sus números excepto el cero son números felices.

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EN BASE 3 HAY NÚMEROS FELICES E INFELICES

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EN BASE 3 HAY MÁS NÚMEROS INFELICES QUE NÚMEROS FELICES

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EN BASE 3 HAY MENOS NÚMEROS FELICES

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SUMA EN BASE 3

Observe las sumas en base 3. No es difícil. En base 3 sólo existen tres dígitos: 0, 1, 2.

Para pasar un número del sistema de numeración decimal o de base 10 a su equivalente a base 3 se hacen divisiones sucesivas. ! Mira!

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Demuestra que (700, 3465, 3535) es una terna pitagórica de números felices.

2.- Calcular en base 4 los números felices que hay y en qué porcentaje.

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Soluciones

Observa primeramente que la terna es pitagórica porque la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero. Después comprobamos que los tres números de la terna ( 700, 3465, 3535) son felices.

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SUMAS Y PRODUCTOS EN BASE 4

Calculamos muchos números en base 4, (sólo acepta los dígitos 0, 1, 2, 3) y realizamos el procedimiento de conocer si es feliz o no es feliz. Con un programa informático podemos realizar más cálculos.

De todas formas no hay número que se escape y forme ciclo y todos los números llegan a terminar en 1. Por tal motivo, la base 4 es una base feliz.

No se conocen ni hay más bases felices de orden pequeño.

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Diagrama de la entrada 242 de este blog

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Continuará si Dios quiere

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Juego del cerco de monedas

2011-02-04T05:50:00.000-08:00

Hacer clic en diagramas para mejor observación
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Juego del cerco de monedas

Es un juego con monedas de igual tamaño.

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Solución

Con tres monedas unidas sin solapamientos, unimos en línea recta los radios y se forma un triángulo equilátero y el ángulo central es de 60º y se puede deducir que son 6 monedas las que rodean a una moneda del mismo tamaño.

En el segundo cerco se necesitan 12 monedas para rodearlo, para el siguiente 18,..., se induce que son los múltiplos de 6. Para el siguiente cerco de n, el cerco n + 1, se necesitan 6 · n monedas.

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Notas de ampliación:

Calcular el total de monedas utilizadas en función del n-ésimo cerco.

Vamos a utilizar la fórmula de Euler de las progresiones aritméticas de diferencia variable. Los primeros valores son: 1, 1+ 6 = 7, 1 + 6 + 12 = 19, 1 + 6 + 12 + 18 = 37, 1 + 6 + 12 + 18 + 24 = 61, ...

Ejercicio propuesto:

Calcula y verifica que S(n+1) - S(n) = 6 · n

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Solución

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REPASO: Diagrama de la entrada 198 de este blog

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PROBLEMA DE LAS N REINAS. Comentarios básicos.

2011-01-26T08:08:00.000-08:00

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Entrada número 328 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

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Comentarios básicos:

Observación de algunas posiciones de las reinas del ajedrez en tableros de diferente orden.

En el siguiente diagrama se pueden ver en tableros cuadrados de orden 5 algunas posiciones de reinas amenazantes y sin amenazar y comentarios.

Nota: Este diagrama se incorporará a la entrada anterior.

Es un problema sujeto a restricciones; www.cs.us.es/cursos/ia1/temas/tema-05.pdf

Algoritmo gráfico como introducción a la programación para n reinas

Si hay una imposibilidad, se comienza el algoritmo con otra casilla.

OBSERVE EL NÚMERO DE SOLUCIONES SEGÚN EL ORDEN DEL TABLERO HASTA N = 9

Algoritmo gráfico para 5 reinas en tablero cuadradado de 5 x 5

A.-

B.-

C.-

D.-

E.-

F.-

Es obvio que al introducir un programa algorítmico a los ordenadores, éstos, son más rápidos que el cálculo personal.

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Felices Fiestas y que se cumplan los buenos deseos en el año 2011

2010-12-27T03:02:00.000-08:00

LA GRAN PIRÁMIDE DE KEOPS

Estoy en reposo y pronto continuaré con nuevas entradas en este blog

FELIZ AÑO 2011

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Problema o Juego de las 8 reinas. Game of the 8 queens. Jeu des huit reines. Soluciones.

2010-11-01T10:36:00.000-07:00

Entrada número 327del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

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Juego de las 8 reinas

Denominado también "Problema de las 8 reinas".

Los jugadores de ajedrez saben como se mueven todas las piezas. La reina amenaza y se mueve en dirección diagonal, horizontal o vertical. Observaremos que la cuadrícula inferior derecha siempre debe ser blanca.

Objetivo de este juego:

Colocar 8 reinas en el tablero de forma que ninguna se amenace

Jugar on-line: www.juegosagogo.com http://jeux.codes-sources.com/jeu.aspx?id=3

Ayudas pedagógicas:

Si resulta difícil el tablero 8 X 8 con 8 reinas, podemos simplificar el problema para ir poco a poco extendiendo el tablero.

Se expone de forma más sencilla, más simple y más fácil:

Colocar 4 reinas en el tablero de 4x4 sin amenazarse.

Ver la siguiente solución:

Las reinas amenazan en línea horizontal, vertical y en diagonal.

Las cuatro reinas no se pueden amenazar.

Tenemos 4 filas y cuatro columnas.

Una solución puede denotarse por el vector (3, 1, 4, 2)

y significará que: la reina 1 está en la columna 3, (1,3); la reina 2 está en la columna 1, (2,1); la reina 3 está en la columna 4, (3,4); la reina 4 está en la columna 2, (4,2). Las cuatro reinas están en las posiciones: (1,3), (2,1), (3,4), (4,2).
Esencialmente, en este problema sólo importa:
1) La amenaza o no de las reinas entre ellas.
2) Coordenadas enteras de cada cuadradito del tablero.

¿ Qué sucede si giramos el tablero 90 grados sexagesimales en sentido de las agujas del reloj? Codificar la solución.

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Simetría axial de las soluciones encontradas

Nota importante.

Es importante observar que las soluciones se colocan en el tablero con la cuadrícula inferior derecha de color blanco. Si es necesario mover las reinas debe considerarse una solución. Colocamos un espejo en un lado del tablero y se observa la denominada solución especular. Si colocamos un espejo en un lado, de una solución, en el tablero aparece su simétrico especular y el orden de las componentes es diferente. Es otra permutación con los mismos elementos. Respecto a los colores ( blanco y negro alternos) es necesario observar que si colocamos realmente un espejo los colores no se corresponden con las coordenadas y por esta causa hay que fijar el tablero.

Codificar la nueva solución especular y verificar que es otra solución porque será necesario mover las reinas.

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2ª Solución:

(2, 4, 1, 3)

Al girar el tablero 90^o aparece la misma solución si consideramos las coodenadas( fila i-ésima, columna j-ésima). Sólo hay dos soluciones diferentes: (3, 1, 4, 2) y (2, 4, 1, 3) puesto que necesitamos mover las reinas. Observe que al sumar las dos soluciones como si fueran vectores da el vector (5, 5, 5, 5). En publicaciones sobre este juego algunos autores expresan que sólo hay una solución fundamental.

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Soluciones para 5 reinas en el tablero 5 x 5

Hay más soluciones. Al girar el tablero 90º aparece otra solución. El simétrico especular de la solución (1, 4, 2, 5, 3) es la solución ( 5, 2, 4, 1, 3)

Observe a continuación las 10 soluciones para 5 reinas en el tablero 5 x 5 :

(1, 3, 5, 2, 4); (1, 4, 2, 5, 3); (2, 4, 1, 3, 5); (2, 5, 3, 1, 4); (3, 1, 4, 2, 5);(3, 5, 2, 4, 1); (4, 2, 5, 3, 1); (4, 1, 3, 5, 2); (5, 2, 4, 1, 3); (5, 3, 1, 4, 2).

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ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.- Encontrar una solución para el tablero 5 X 5 y codificar las cuatro soluciones simétricas al girar el tablero y las cuatro simétricas especulares.

2.- Encontrar una solución para el tablero 6 X 6 y codificar las cuatro soluciones simétricas al girar el tablero y las cuatro simétricas especulares.

3.- Encontrar una solución para el tablero 7 X 7 y codificar las cuatro soluciones simétricas al girar el tablero y las cuatro simétricas especulares.

4.- Buscar una solución para el tablero 8 x 8 y codificar las simétricas al girar el tablero y las simétricas especulares.

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Una solución al juego de las reinas en tableros 5 x 5, 6 x 6, 7 x 7 y 8 X 8.

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UNA SOLUCIÓN CODIFICADA EN EL JUEGO DE LAS

8 REINAS EN EL TABLERO DE AJEDREZ

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CODIFICAR NUMÉRICAMENTE LAS SIGUIENTES

SOLUCIONES EN EL JUEGO DE LAS 8 REINAS

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MÉTODO PARA ENCONTRAR LAS 92 SOLUCIONES EN EL JUEGO DE LAS 8 REINAS

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Otro método análogo con otras 12 soluciones fundamentales

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¿Ha encontrado las 92 soluciones? Habrá eliminado 4 que se repiten en las simetrías de una misma solución fundamental; vea las soluciones en Internet o en este libro que incluye las soluciones de los juegos, aplicando simetrías especulares y giros del tablero, ordenadas de menor a mayor como números en nuestro sistema decimal.

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“El lenguaje informático Prolog es útil en la gestión de Juegos.

También es útil en Inteligencia Artificial y Sistemas Expertos, como lenguaje especialmente

pensado para construir bases de conocimientos basados en la lógica.

También es útil en la construcción de Compiladores e Intérpretes, en el Reconocimiento del

Lenguaje Natural, etc.”

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Estudio del juego en Internet

Buscar en Google: Wikipedia, problema de las 8 reinas

En la siguiente Web se puede estudiar este juego a un nivel superior.

cabrillo.lsi.uned.es:8080/aepia/Uploads/19/33.pdf

http://mathworld.wolfram.com/QueensProblem.html
http://jsomers.com/nqueen_demo/nqueens.html

     Referencia libro:  Watkins, John J. (2004). Across the Board:
   The Mathematics of Chess Problems. Princeton University Press.
     ISBN 0-691-11503-6.

Enlace o link:

http://N-Queens solvers in many programming languages

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Soluciones

Las soluciones 2ª, 3ª y 4ª resultan al girar el tablero y no necesitan movimiento de las reinas.

Las 4 siguientes (especulares o simetría axial de las cuatro primeras) al considerarlas como
vectores, sumadas cada una con su simétrica, dan el vector (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9). Por ejemplo:

(2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4) + (7, 4, 2, 8, 6, 1, 3, 5) = (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9)

   Para cada solución se obtienen 3 más, al girar 90^o el tablero y 4 más por simetría axial.
   Un total de 8 para cada solución.De las 96 soluciones hay 4 que se repiten y que a
   continuación se exponen. Por tanto resultan 92 soluciones.

Con las soluciones especulares hay 4 repeticiones

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Problema de las 6 reinas sin que ninguna se amenace, en tablero 6 x 6

4 Soluciones para 6 reinas en el tablero cuadriculado 6 x 6, considerando sólo coordenadas de fila y columna y el tablero fijo con cuadrícula inferior derecha de color blanco.

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Observe a continuación las 92 posibles soluciones codificadas para el juego de las 8 reinas

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Continuará si Dios quiere

Entrada número 327 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com/

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DIAGRAMA DE LA ENTRADA 198
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Math games. Juego del salto de la Rana.Solución.

2010-09-08T08:54:00.000-07:00

Entrada número 326 http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com
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CAPÍTULO 48 DE MI LIBRO
Juego del salto de la Rana

Juego on-line

http://perso.orange.fr/jean-paul.davalan/jeux/solitaires/grenouilles/index.html

Se necesitan fichas de dos colores.

Sobre una fila de 2n + 1 cuadrículas, se colocan n fichas blancas a la izquierda y n negras a la derecha o al contrario y en el centro un espacio libre.

El objetivo es intercambiar las fichas blancas por las negras en el menor número de movimientos con las siguientes reglas:

1.- Una ficha se puede desplazar a una casilla vacía.

2.- Se puede saltar sobre una ficha si la casilla siguiente o contigua está vacía y no se eliminan fichas en ningún caso. La imagen adjunta representa la situación inicial para 4, 6 y 8 fichas en total.

Si n = 5 fichas (10 fichas en total) se necesitan 35 movimientos.

Si n = 8 fichas se necesitan 80 movimientos. Si n = 20, se necesitarán al menos 20 • 22 = 440 movimientos.

SOLUCIÓN

Podemos resolverlo de fácil a difícil.

Empezamos con dos fichas, 4, 6, 8 etc. e intentamos resolverlo para 2n fichas.

Simulación con 6 fichas. Las 7-uplas, es decir los vectores con 7 componentes nos expresarán la situación de las fichas blancas (B), negras(N) y cuadrícula vacía(∅).

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SOLUCIÓN: DOS + DOS FICHAS

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SOLUCIÓN: TRES + TRES FICHAS

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Referencias de Internet

http://www.hellam.net/maths2000/frogs.html
www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2r.htm

www.winsite.com/games/puzzle/page25.html

Libros y Revistas:
- Bell, A. W. (1976):The Learning of General Mathematical Strategies, Univ. Nottingam

- Hernán, F. (Grupo Cero de Valencia)(1985). Investigaciones "Nueva Revista de Enseñanzas Medias", nº 7.

- Merchán, F. (1994): El salto de la rana. Revista "Suma", nº 14-15, Pág. 50-59.

- Morata, M.(1991): Los juegos en la Educación Matemática, taller de "Matemáticas y Coeducación". Edit. OECOM "Ada Byron" Madrid.

- Brihuega, J; Molero, M; Salvador, A. (1996): " Didáctica de las Matemáticas". Edit. Complutense. Madrid. Pág. 141.

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JUEGO DE MATEMÁTICAS. JUEGO DE LAS TORRES DE HANOI.

2010-09-01T06:34:00.000-07:00

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CAPÍTULO 47 DE MI LIBRO
Juego de la Torres de Hanoi

Se tienen tres varillas.

Se insertan cuatro discos agujereados de diferente tamaño y apilados de mayor a menor tamaño en una varilla.
El objetivo es insertar los discos en otra varilla en el mismo orden y en el menor número de movimientos.

Sólo 2 reglas:

1.- En cada movimiento sólo se puede trasladar un disco a otra varilla.
2.- Un disco no puede colocarse sobre discos de menor tamaño.

Se pide:
a) ¿Cuántos movimientos M se necesitan para el traslado de 4 discos?
b) ¿Número mínimo de movimientos para n discos? Calcular M(n).

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Referencias de Internet

www.epsilones.com/paginas
http://mictlan.utm.mx/~thot/hanoi.php
http://delta.cs.cinvestav.mx/~adiaz/anadis/Analisis.pdf
http://html.rincondelvago.com/juego-de-nim.html
http://www.uterra.com/juegos/torre_hanoi.htm
http://www.acropolix.com/Juegos/Hanoi/jue_hanoi.htm
Las dos últimas páginas webs presentan applets para jugar on-line al juego de las torres de Hanoi.
Para un estudio a nivel medio puede ir a:
http://www.geocities.com/jvr_rz/hanoibin.htm
http://www.cut-the-knot.org/recurrence/hanoi.shtml

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SOLUCIÓN

Se va a utilizar una estrategia y se expresará con notación matemática. Para 1 disco hace falta 1 movimiento. Para 2 discos hacen falta 3 movimientos. Sea A, B las dos piezas y tamaño pieza A < tamaño pieza B.

Representamos los tres movimientos y vea también la siguiente notación de los diferentes estados del proceso:

El símbolo del conjunto vacío indica que no hay disco en la varilla correspondiente.

Para 3 discos hacen falta 7 movimientos.

Proceso: Se mueven 2 discos del palo izquierdo al palo del medio. Se mueve el disco sobrante del palo izquierdo al palo derecho y por último se mueven los discos del palo del medio al palo derecho.

Un estado con 4 discos

4 DISCOS EN ESTADO 2

Es decir, el número de movimientos para un número n de discos es el doble del número de movimientos para n - 1, aumentado en uno.

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DIAGRAMA ENTRADA 198

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El carcelero, los prisioneros y los sombreros.MATH GAMES.

2010-08-08T07:28:00.000-07:00

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46.-El carcelero, los prisioneros y los sombreros

Había una cárcel con 10 prisioneros y el carcelero aficionado a las recreaciones matemáticas les dijo: Mañana se van a colocar en fila india por orden de estatura y les voy a colocar a cada uno, AL AZAR, un sombrero (o blanco o negro), desde el número 10 hasta el primero; no sabrán el color de su sombrero.
Sólo pueden ver y saber el color de los de delante pero no pueden decirlo ni dar señales al respecto.

A cada prisionero desde el 10 hasta el primero y en orden descendente, le preguntaré de qué color es el suyo y sólo responderá “blanco o negro”.

Si acierta su color le dejaré en libertad y si no acierta seguirá en la cárcel.

Al que diga otra palabra que no sea "blanco" o "negro", irá a la cárcel de nuevo y también por diferentes entonaciones.

Un prisionero ha encontrado una estrategia para que puedan ganar la libertad el mayor número posible de prisioneros sin gestos ni entonaciones.

¿Puede "encontrar la mejor estrategia" que asegura la libertad a todos menos a uno de ellos que al mismo tiempo posee un 50% de asegurar su libertad?

SOLUCIÓN

Solución al capítulo 46

Hay una estrategia basada en la paridad para que al menos 9 se salven al 100%.

Vamos a realizar una simulación con menos prisioneros.

Cuando el problema se analiza y nos resulta difícil, podemos simplificarlo.

Sean 5 prisioneros y les colocamos al azar los colores de sombreros.

Un prisionero que le gusta pensar dice: el último de la fila debe decir “blanco” si ve un número par de sombreros blancos y “negro” si ve un número impar de sombreros blancos.

Es una pista que no rompe las reglas del carcelero y los demás se pueden salvar, si piensan correctamente, al ver los sombreros de los siguientes compañeros.

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Simulación con 5 prisioneros y 5 sombreros (3 blancos y 2 negros).

5º prisionero: Blanco.
4º prisionero: Blanco.
Dice “blanco”. Sin ver el color de su sombrero, sabe su color.

El prisionero 3º piensa: Mi sombrero debe ser negro, puesto que si fuera blanco el prisionero 4º hubiera dicho negro. Además veo un número impar de sombreros blancos. Sin ver el color de su sombrero, sabe su color. Dice “negro”.

El prisionero 2º piensa: El prisionero 5º vio un número par de sombreros blancos y el sombrero del 4º fue blanco. Veo un número impar (1 sombrero). Por tanto, mi sombrero debe ser negro. Dice ”negro”.

El prisionero 1º sabe que su sombrero es blanco para que sea par el total de sombreros blancos que vio el prisionero 5º. Pues para otro número de prisioneros se utiliza análogo procedimiento y resolución.

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OTRO EJEMPLO:
El entrenador dice a los jugadores: ¡Jugará quien acierte el color de su sombrero!

Nota: Otra opción, menos eficaz que la propuesta anterior sería:Cada prisionero dice el color del sombrero del que está delante. Observa que así estamos en otra encrucijada inicial. Habrá conflicto de intereses personales. El juez razón será: hacer ley obligada de la mejor opción.

En otras ocasiones de la vida práctica es necesario un proceso temporal para que se entiendan las personas con sus respectivos intereses y que cada parte ceda una parte de sus intereses. La vida en sus problemáticas curiosidades es un conjunto borroso: la solución a casi todo problema creado es un conjunto o función borrosa.

La vida no es blanco y negro porque tiene muchos colores. No todo es cero ó 1.

Pero todos deseamos la cuantificación y medida a nuestros problemas. Para más información sobre lógica borrosa y matemáticas con funciones borrosas:

http://www.dma.fi.upm.es/research/FundMatSoftComputing/fuzzyinf/funpert.htm

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Referencias:

www.uady.mx/~matemati/omm/Material_viejito/paridad.doc

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_05.html

www.juegosdelogica.com/
http://www.uam.es/otros/hojavol/hoja15/acer15.html
http://misrecreos.blogspot.com/2007/01/los-prisioneros.html
http://bootlog.org/blog/acertijos/enigma-los-sombreros-de-la-carcel

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LA PALABRA “CABALÁ” EN HEBREO ES 137. El juego del Nim.

2010-08-02T07:05:00.000-07:00

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LA PALABRA CABALÁ EN HEBREO ES 137

JUEGO DEL NIM.

1/137 es la proporción aproximada entre la velocidad del electrón y la velocidad de la luz.

La velocidad de la luz en el vacío es c = 299.792.458 m/s. ó aproximadamente 300.000km/s. En cualquier otro medio, depende del índice de refracción del mismo.

Se ha superado la velocidad de la luz.

En ciertos experimentos se ha llegado a una velocidad 300 veces superior. La luz se transmite un 30% más despacio a través de la fibra óptica usada en algunos sistemas de telecomunicación.

Referencia de Internet:
www.es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz

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Divide sin hacer uso de la calculadora

A. Calcular el cociente con decimales y el periodo al dividir 1/137
B. Escribe 137 en base dos.
Cita del sabio Aristóteles:

“Todos los hombres tienen naturalmente el deseo de saber. El placer que nos causan las percepciones de nuestros sentidos son una prueba de esta verdad. Nos agradan por sí mismas, independientemente de su utilidad, sobre todo las de la vista ” Metafísica de Aristóteles• libro primero • Α • 980a-993a

JUEGO DEL NIM

Juego del Nim. Buscar la estrategia ganadora

Buscar la estrategia ganadora en este juego del Nim para el primer jugador (J1).

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MÁS EJEMPLOS

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SOLUCIONES

DIVISIONES ENTERAS SUCESIVAS

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NOTA:

Hay otra versión Win: Pierde quien retira la última ficha en la última fila.

Juego en Internet:

www.uam.es/otros/hojavol/hoja8/nim08.html

www.gotofreegames.com/nim/free_nim_puzzle.htm

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Antinomia en el Quijote. Lógica y contralógica en la ruta del Quijote.

2010-07-23T01:26:00.000-07:00

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Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío

44.6.- Antinomia en el Quijote

“Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío, y esté vuestra merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este río estaba un puente, y al cabo de él una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que aplicaban la ley que puso el dueño del río, del puente y del señorío, que era en esta forma: "Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna." Sabida esta ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre juró y dijo que por el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que ahí estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: "Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre". Pídese a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces de tal hombre, que aún hasta ahora están dudosos y suspensos, y, habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuestra merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuestra merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso”.

¿Qué harías si tú fueras el gobernador?

¿Qué es una antinomia?

Nota:
Gracias a Internet podemos leer (y escuchar) multitud de obras literarias y científicas.

Obra completa y lectura escrita y oral de "El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha"

www:cervantesvirtual.com

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SOLUCIONES

Es un ejemplo simple.
Por decir que va a morir lo podemos dejar libre.
Si lo castigamos hay una contradicción pues ha dicho la verdad del castigo que espera.

Los entendidos dicen que ante la duda de un delito debemos aplicar la misericordia.

Pero un servidor-el autor de este blog, dice que falta información para no juzgar tan alegremente. Imaginad que un médico miente por corporativismo ante la culpabilidad evidente de imprudencia médica de otro galeno-compañero y por dicha imprudencia ha muerto tu hijo.

Antinomia: Una proposición lógica que finaliza con dos conclusiones contradictorias.

Enmanuel Kant, aplica la razón pura a la cosmología y aparecen antinomias o proposiciones que son, a la vez, falsas y verdaderas.

Ejemplo: Si el mundo tiene un comienzo en el espacio y en el tiempo, el espacio y el tiempo tendrían que provenir de una nada anterior,...,lo que supondría la antítesis de lo que se quería demostrar.

La metafísica no es posible como ciencia, pues la razón encuentra paralogismos y antinomias y no conocimiento.

Antinomias en las Leyes: Dos enunciados son lógicamente incompatibles cuando uno prohibe una acción y el otro la permite".

Referencia:

http://www.cibernous.com/autores/kant/teoria/conocimiento/dialectica.html

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JUEGOS DE LÓGICA CON SOLUCIONES.Serie de números.Bacterias.Medir un litro.Rascacielos.Pirámide de cuadrados.

2010-07-16T13:49:00.000-07:00

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44.-Juegos lógicos,pero ¿si son fáciles!
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44.1.-Una serie de números

1211

111221

312211

……….

Continuar la serie.

(Enigma de Bernard Werber de la novela “El día de las hormigas”.

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44.2.- Una bacteria se duplica cada minuto, al segundo minuto hay 4 bacterias, en el tercer minuto hay 8,…, 16, 32,…Un recipiente se completa al cabo de 1 hora. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar de bacterias el recipiente si empezamos con 8 bacterias?

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44.3.-Juan se encuentra en un río y necesita medir un litro de agua, pero sólo dispone de dos garrafas no graduadas de 3 y 5 litros. ¿Puedes ayudarle?

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44.4.- Un hombre vive en un piso de la planta 27 de un rascacielos. Por la mañana, toma el ascensor y llega hasta la planta baja y se marcha al trabajo. Cuando regresa pulsa el botón 26, baja en la planta 26 y sube por la escalera hasta el piso 27 para entrar en su casa. ¿Por qué se detiene en el 26º cuando sube?

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44.5.- Pirámide de números cuadrados.

En la siguiente pirámide, coloca los números del 0 al 9 de forma que en cada fila aparezcan números cuadrados perfectos.

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SOLUCIONES

Solución al 44.1: Leer en voz alta y aparece la siguiente línea.

Solución del 44.2: 57 minutos.

Solución al 44.3: Llena 3 litros y los vierte en la de 5. Vuelve a llenar 3 litros y con cuidado llena la de 5 litros. Le queda un litro.

Solución al 44.4: El hombre es enano.

Solución al 44.5: 784 = 28^2; 9025= 95^2.

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JUEGOS DE LÓGICA CON SOLUCIONES. ¿DÓNDE ESTÁ EL EURO?, LA RANA, EL POZO, LA BOLA DEFECTUOSA;GALLINAS Y CONEJOS SIN ECUACIONES.

2010-07-02T11:31:00.000-07:00

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39.- Tres amigas en el restaurante se toman un buen aperitivo.

Al terminar piden el precio de la consumición; el camarero les dice que son 25 euros. Cada una de las amigas pone 10 euros para reunir una cantidad de 30 euros. El camarero les da 5 euros que sobran; cada amiga recibe 1euro; los otros 2 que sobran deciden darlos al bote. Al salir, dice una que piensa así: entre las tres hemos pagado un total de 27 euros y los 2 euros del bote o propina suman 29 euros. ¿Dónde está el euro que falta?

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40.-Un problema de balanza sin pesas

Una bolsa contiene 26 bolas que parecen idénticas.

Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras.

Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa sólo con tres pesadas.

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41.- La rana en el pozo

Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 10 m de profundidad. En su intento de salir, la obstinada rana conseguía subir 2 metros cada día, pero por la noche resbalaba y bajaba un metro. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?

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42.-El caracol

Un caracol pretende salir del fondo de un pozo de 15 metros de profundidad. Durante el día, el caracol sube 3 metros, pero durante la noche resbala 2 metros. A la mañana siguiente continua su ascenso desde el lugar donde despierta. ¿Cuántos días tarda en salir del pozo?

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43.-Gallinas y conejos sin ecuaciones

En un corral se han contado 18 animales entre gallinas y conejos y un total de 50 patas. ¿Podría calcular sin ecuaciones las gallinas y conejos que hay?

Resolverlo con aritmética y sin álgebra.

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SOLUCIONES

Capítulo 39

Si analizamos las operaciones observamos que la operación, 2 + 3 • 9 = 29 está bien realizada pero no es una correcta aplicación al concepto. Está bien realizada la operación 25 + 2 + 3 = 30.

Entonces, ¿dónde está el euro? Piense que en alguna de las operaciones anteriores se ha repetido algún concepto. El bote se repite en la primera operación. En 3 • 9 ya hemos incluido el bote y repetimos el bote si le sumamos 2.

Solución al apartado 40

Hacemos tres separaciones de las bolas; 9 - 9 - 8; tenemos tres montones separados.

Si pesamos 9 con 9 sabemos en qué montón estará la bola más pesada.

Si está en uno de las 9, volvemos a separarlas en 3-3-3; Pesamos 3 con 3;y sabremos en qué montón está la más pesada.
Separamos 1-1-1;

Pesamos 1-1 y fuera 1;
Sabremos por tanto en tres pesadas la bola que más pesa.

Si la bola más pesada estuviera en el montón 8, separamos éste en 3-3-2. Pesamos 3-3 y fuera 2. Sabremos en qué montón y dónde está la bola más pesada. Si está en 3 separamos 1-1-1 y pesamos 1-1; Si no está en 3-3 porque se equilibra la balanza entonces está en el montón 2. Se pesa 1-1 y sabremos cuál pesa más.

Este problema tiene una relación con las potencias de tres y el exponente.

Tres bolas iguales y una de ellas pesa más.

Para 3^1→en una sola pesada sabemos la bola más pesada.

Hasta 3^2→en dos pesadas sabemos la bola más pesada.

Hasta 3^3→en tres pesadas sabemos la bola más pesada.

El exponente nos dice el menor número de pesadas para cualquier número natural. P.e. con 80 bolas el número mínimo de pesadas serían 4. Por que la potencia de base 3 y exponente 4 da 81. En este caso haríamos la primera separación de 27-27-26. Se sigue el mismo procedimiento anterior.

Por ejemplo con 29 bolas, 3^(3,…) = 29; →3^[3+0,…] = 29→La parte entera de 1 + X será el número mínimo de pesadas, siendo 1 + X, el valor del exponente, 3 la base de la potencia y 29 el número de bolas.

Solución al apartado 41 y 42

El último día alcanza el borde y cima del pozo, no se resbala. El día octavo alcanza los 10 metros y ya no puede resbalar. El 41 es análogo al anterior.

Solución al apartado 43

Si todos los conejos levantaran las patas delanteras,(estaríamos en el País de las Maravillas de Lewis Carroll) y se pusieran a dos patas, contaríamos 36 patas tocando tierra y 14 patas sin tocar tierra. Es decir, 14 patas sin tocar tierra corresponden a 7 conejos y por tanto hay 18 - 7 = 11 gallinas.

Referencias: www.miguel-a.es/5PASAT/X-PT-PP.htm

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