JUEGOS DE MATEMÁTICAS CON SOLUCIONES. MGR

Teorema de Pitágoras. Demostración de Manuel García Ruiz.

2015-01-02T02:19:00.002-08:00

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AUTOR: MANUEL GARCÍA RUIZ

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Teorema de Pitágoras. Demostración de Manuel García Ruiz.
Para cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos y por tanto el cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de lados los catetos del triángulo rectángulo.

En primer lugar se construye un triángulo rectángulo y se vuelve a construir después de un giro positivo de 270º respecto al punto B ó de un giro negativo de 90º + 2· C(ángulo C) y una simetría axial de eje AA'.

A continuación se construye un rectángulo para observar otra demostración del Teorema de Pitágoras.

Se construye el rectángulo que incluya los cuatro siguientes triángulos rectángulos.

Para ver la demostración se nombra con una letra minúscula a cada lado y observamos las siguientes medidas en cada uno de los cuatro triángulos.

Se hacen los cálculos para la demostración original de M.G.R.

Es válido para cualquier triángulo rectángulo. Se puede hacer dinámico al variar los lados de los catetos.
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Teorema de Pitágoras. Otra demostración geométrica. A partir del cuadrado de la hipotenusa.

2014-11-07T14:10:00.003-08:00

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Teorema de Pitágoras

¡Mira!

Si a un cuadrado le quitamos una parte del interior junto al borde y exactamente se agrega a otra parte del exterior la superficie es invariante.

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¡Mira en varios pasos o fases otra demostración!

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El área del cuadrado de la hipotenusa es igual al área de color marrón.

A su vez es igual al área del polígono de color verde que a su vez es igual al área de dos paralelogramos que a su vez son iguales a las áreas de los cuadrados de los catetos.

Mira!

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los ... vamos a demostrarlo.

Al cuadrado de la hipotenusa le quitamos y añadimos el triángulo rectángulo

El área inferior es igual al área del cuadrado de la hipotenusa

El área del polígono inferior es igual a dos paralelogramos

El área es igual a dos paralelogramos

Áreas paralelogramos, son iguales a las áreas de los cuadrados de los catetos

Más demostraciones en:

http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2000_03_2_04.pdf

Teorema de Pitágoras. Demostración de Euclides y de Papus.

2014-10-18T14:35:00.000-07:00

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Teorema de Pitágoras. Demostración de Euclides y de Papus.
En el diagrama 1 se observan figuras con la misma superficie. ¿Sabe por qué tienen la misma superficie? Explica el porqué.
La medida de la base es común y de igual medida en todos los paralelogramos. Análogo con la altura.

Diagrama 2. Explicar el diagrama

Diagrama 3. Explicar el diagrama

Diagrama 4 Explicar el diagrama

Diagrama 5. Explicar el diagrama

La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Ejercicio propuesto

Dibujar otro triángulo rectángulo diferente al anterior y sigue los pasos anteriores para demostrar el teorema de Pitágoras.

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Mi demostración del Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras. Otra demostración geométrica.

2014-10-13T06:54:00.004-07:00

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Teorema de Pitágoras. Otra demostración.

El cuadrado primero de lado a + b, es igual a la suma de los dos cuadrados sobre los catetos más cuatro triángulos rectángulos iguales y a su vez es igual al otro cuadrado de lado a + b, con otro cuadrado construido sobre la hipotenusa (un cuadrado de lado c) más cuatro triángulos rectángulos iguales a los anteriores.

Primer diagrama

Observa la ilustración anterior:

Observe el triángulo rectángulo azul de lados a, b, c.

a = cateto mayor, b = cateto menor, c = hipotenusa.

Los cuadrados a la derecha con etiquetas 1 y 2 poseen la misma superficie.

En la imagen con etiqueta 1 tenemos un cuadrado

(b + a)^2 = b^2 + 2ab + a^2

En la imagen con etiqueta 2, tenemos la misma área pero el cuadrado rojo equivale a los otros dos cuadrados de la figura anterior.

(b + a)^2 = b^2 + 2ab + a^2

El cuadrado primero de lado a + b es igual a la suma de dos cuadrados construidos sobre los catetos más cuatro triángulos rectángulos iguales al dado.

A su vez es igual al otro cuadrado que tiene un cuadrado de lado c más cuatro triángulos rectángulos iguales a los anteriores.

b^2 + 2ab + a^2 = c^2 + 4 · ab/2

De la igualdad anterior resulta que:

b^2 + a^2 = c^2

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Segundo diagrama:
ESCRITO MÁS USUAL

Además el cuadrado azul lo es necesariamente porque observamos que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman también un recto y los ángulos adyacentes al cuadrado azul son los ángulos agudos citados.

Notas:
Toda igualdad es reversible. Por ejemplo, si hemos demostrado que el miembro de la izquierda es igual al miembro de la derecha, este a su vez lo es al de la izquierda. Si en un triángulo, un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados estaremos en el caso de un triángulo rectángulo.
Se llama terna pitagórica a tres medidas por ejemplo: (3,4,5); (6,8,10),...que verifican el Teorema y se corresponden con los catetos y la hipotenusa.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.-
Si duplicamos las medidas de los lados de un triángulo rectángulo ¿se obtiene otro triángulo rectángulo? Comprobarlo numérica y algebraícamente para cualquier homotecia.
2.-
Si un triángulo isósceles mide de lados 8 cm. 8 cm. y 4 cm. ¿ Cuánto mide la altura correspondiente al lado desigual ?
Calcular el área de este triángulo.

Buscar la fórmula de Herón y aplicarla. Después de simplificar debe dar el mismo resultado.
[Sol. 2 · (15)^(1/2) y 4 · sqrt(15)].

Teorema de Pitágoras. Demostración de Garfield.

2014-09-21T13:51:00.000-07:00

Atribuida a Garfield (Garfield fue presidente de Estados Unidos-USA).

El triángulo rectángulo GFE lo giramos y hacemos simetría y se forma otro exactamente igual: el triángulo ELD.

Al unir los puntos G y D se obtiene un trapecio GFLD.

El área de este trapecio será igual a la semisuma de las bases por la altura.

Al mismo tiempo será igual a la suma de los tres triángulos rectángulos: GFE,ELD,GED.

GFE es triángulo rectángulo por hipótesis y es el triángulo rectángulo inicial.ELD es el mismo triángulo rectángulo anterior girado.GED es también triángulo rectángulo porque la suma de los ángulos agudos del triángulo rectángulo inicial suman 90º que con los 90º del triángulo rectángulo GED forman el ángulo llano de 180º .(2) Suma de las áreas de los tres triángulos:

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Teorema de Pitágoras por semejanza de los tres triángulos rectángulos siguientes.

2014-09-13T13:45:00.000-07:00

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Teorema de Pitágoras por semejanza de los tres triángulos rectángulos siguientes.

Lados homólogos en los tres triángulos rectángulos semejantes, al trazar la altura correspondiente al ángulo recto sobre la hipotenusa:

1.- Cateto menor en el trirec. AHC es AH = n, cateto menor en BHC es CH = h, cateto menor de ABC es AC = b.

2.- Cateto mayor del AHC es CH = h, cateto mayor del BHC es HB = m, cateto mayor del ABC es BC = a.

3.- Hipotenusas de los tres tri-rec. son : de AHC es AC = b, del BHC es BC = a y del ABC es AB = m + n = c.

Hay un error en el diagrama anterior.*

Voy a corregirlo.

Lados homólogos en los tres triángulos rectángulos semejantes, al trazar la altura correspondiente al ángulo recto sobre la hipotenusa:

1.- Cateto menor en el trirec. AHC es AH = n, cateto menor en BHC es CH = h, cateto menor de ABC es AC = b.

2.- Cateto mayor del AHC es CH = h, cateto mayor del BHC es HB = m, cateto mayor del ABC es BC = a.

3.- Hipotenusas de los tres tri-rec. son : de AHC es AC = b, del BHC es BC = a y del ABC es AB = m + n = c.

Por tanto, como se quería demostrar: En cualquier triángulo rectángulo se verifica y siempre se cumple que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

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Teorema de Pitágoras. A partir del teorema de la altura y por Henri Perigal

2014-09-05T14:56:00.001-07:00

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Teorema de Pitágoras. A partir del teorema de la altura y por Henri Perigal

Observa que los tres triángulos rectángulos AHC, HBC y ABC tienen un ángulo agudo en común y por tanto los tres triángulos son semejantes.

Teorema de Pitágoras a partir del teorema de la altura.

En todo triángulo rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa se forman tres triángulos rectángulos.
Los catetos AC y BC del triángulo rectángulo(por tener un ángulo recto) se proyectan sobre la hipotenusa AB y se forman dos segmentos m y n (n y m respectivamente)..

Al comparar los triángulos semejantes AHC y BHC se obtiene el teorema de la altura.

Razones trigonométricas en:
http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html

Aplicamos trigonometría elemental al triángulo rectángulo ABC y a los triángulos rectángulos ABD y BDC.

tag A = h/m; tag C = h/n;

En ABC, sabemos que sen A = cos C, por ser complementarios.

tag C = sen C / cos C

En cualquier triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella.

Demostración de Henry Perigal (1801/1898)

Se coloca el triángulo rectángulo de lados (a, b, c) en una semicircunferencia de radio igual a la hipotenusa r = c.
En la semicircunferencia se traza el triángulo rectángulo de lados rojos o granates.
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa que aquí es 2 · r , son c - b y c + b.
Se aplica el teorema de la altura al triángulo rectángulo de lados rojos.

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Teorema de Pitágoras. Demostración por Lamarca. Demostración por Ibn Qurra. Siglo IX d. C.

2014-07-21T05:03:00.003-07:00

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Teorema de Pitágoras. Demostraciones. Entrada: NÚMER0 401

Demostración por Lamarca

Ver el siguiente rectángulo de lados (2b + c) y (2c + b).

El área del rectángulo de lados (2b + c) y (2c + b) tiene que ser igual a tres cuadrados más 10 triángulos rectángulos iguales.

¿Estamos de acuerdo?

Fuente: Revista Suma, nº52. Josep Mª Lamarca

Demostración por Ibn Qurra. Siglo IX d. C.

UNA POLIGONAL CERRADA ES UN POLÍGONO.

Los triángulos rectángulos ABC, CGD, EHD, EFA, SON EXACTAMENTE IGUALES.

El cuadrado mayor es igual a la suma de los dos cuadrados menores.

Observaciones:

A una misma superficie total le restamos dos triángulos iguales y queda la misma superficie.______

Los triángulos rectángulos ABC, BDG', G'EG'', G''GA, CEH, EFC son iguales por hipótesis.

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Pensamiento:

Muchísimos hombres son IRRESPONSABLES Y EGOISTAS.

Los responsables deben dedicarse a la política.

Políticos irresponsables son corresponsables de:

JOVENES EN LAS MOTOS MUERTOS/AS POR LAS CARRETERAS,

MÉDICOS IMPRUDENTES, SANIDAD CORRUPTA DE IRRESPONSABLES,... ETC...

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TEOREMA DE PITÁGORAS. EXPLICACIÓN DINÁMICA.

2014-07-15T01:16:00.002-07:00

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TEOREMA DE PITÁGORAS. EXPLICACIÓN DINÁMICA. Entrada: NÚMER0 400

VEA EL SIGUIENTE DIAGRAMA:

El cuadrado de lado c es igual: a cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b, más el área del cuadrado interior de lado b - a.

En los applets de algunas páginas de Internet se ve que a y b van variando y por tanto el triángulo rectángulo y el cuadrado del interior(en la anterior entrada se ha demostrado que el polígono interior es un cuadrado).

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O NO LA SALVARÍAN?

Muchos hombres son IRRESPONSABLES Y EGOISTAS.

Los responsables deben dedicarse a la política.

Políticos irresponsables son corresponsables de:

JOVENES EN LAS MOTOS MUERTOS/AS POR LAS CARRETERAS,

MÉDICOS IMPRUDENTES, SANIDAD CORRUPTA DE IRRESPONSABLES,... ETC...

¿DÓNDE ESTÁ LA JUSTICIA?..................................................

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Cubo soma. Codificar soluciones.

2014-07-03T05:06:00.000-07:00

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AUTOR: MANUEL GARCÍA RUIZ

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Cubo soma. Codificar soluciones. Entrada: NÚMER0 399

Estas siete piezas ( P, B, T, Z, A, V, L) se ensamblan para formar el cubo 3 x 3 x 3 y además miles de figuras más.

Es el cubo puzzle misterioso por excelencia. Se puede formar o construir el cubo soma con un total de 240 soluciones diferentes. 240 soluciones diferentes suprimiendo los giros del cubo soma.

Es el puzzle más popular en tres dimensiones. Tiene siete piezas. Las piezas A y B ó 5 y 6 son enantiomorfas. Vea en los diagramas e imágenes el número asociado a cada pieza e igualmente la letra asociada. Con los seis tetracubos y el tricubo podemos hacer diferentes figuras. El bloque tricubo de tres piezas o tricubo forma un ángulo recto y tiene la forma de V.

You tube y figuras con las 7 piezas
https://www.youtube.com/watch?v=_yUtA-NQprc
https://www.youtube.com/watch?v=ojO1s9D4dBY

Construcción ilustrada del cubo soma por Manuel García Ruiz

Exemple illustratif d'une construction du cube Soma. Regarde! Genèse de l'idée et la construction en Power Point par l'auteur Manuel García Ruiz.

Construcción ilustrada del cubo soma en Wikipedia(con otro color en las piezas).

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Soma_cube_solution.svg

Codificación con letras

El cubo soma tiene 7 piezas o bloques construidos por cubos denominados policubos: un tricubo y seis tetracubos.

Cada pieza se denomina con una letra porque tiene parecido con la letra(valga la redundancia).

Hay tres plantas en el cubo soma. Total 27 cubitos en tres plantas.

Codificación con números
Vea el siguiente diagrama de las piezas con número asignado y una construcción del cubo soma.

Voir plus avant les numéros associées à tetracubos et un tricubo. El tricubo es la pieza asignada con el número 1.

Un des buts du-puzzle-soma est construire le cube 3 x 3 x 3 avec les sept blocs. Avec les 6 tetracubos + 1 tricube, nous pouvons faire figures différentes. Le "bloc tricube" de Soma à trois blocs égaux et forme un symbole V comme un angle droit.

La pieza número 1 es el tricubo y está en la primera planta en esta solución.

La pieza 2 es el tetracubo L y aquí se le ha asignado color azul claro y está en la planta 3ª.

Vea en la siguiente imagen los números asignados a cada pieza del cubo soma.

Clic para aumentar diagrama

Sabemos que el cubo Soma tiene tres plantas.
Con la solución codificada siguiente se construye el cubo Soma.
Vea el esquema-dibujo e imagen de la construcción:

166/446/244/

117/356/222/

377/357/355/

En Internet se pueden encontrar codificadas las 240 soluciones:

http://www.mathematische-basteleien.de/somacube.htm

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La pieza tricubo es la única que tiene tres cubos pues las seis restantes son tetracubos o piezas de 4 cubos.

La pieza número 1 es el tricubo y está ubicada en este caso en la primera planta.

La pieza 2 es el tetracubo L y se le ha asignado color azul claro y está en la planta 3ª.

La pieza 3 es el tetracubo T, se le asignó color verde, en esta solución está en todas las plantas y tiene dos cubos en la segunda planta.

En la entrada 282 tenemos la asignación numérica de cada pieza-policubo y el respectivo color.

Otra asignación diferente a la numérica es por la letra asociada de cada pieza ó bien por el color de la pieza ó bien por la posición de los 27 cubitos en un sistema de referencia tridimensional.

En la siguiente Web puede encontrar la solución gráfica con otros colores de las piezas; 456 imágenes de las soluciones del cubo soma. http://www.astro.caltech.edu/~aam/fun/egames/soma/

Pero las 456 imágenes de las 240 soluciones no están ordenadas ni codificadas.

Solución codificada con letras y gráficamente.

EN EL CUBO SOMA HAY DOS PIEZAS ENANTIOMORFAS. ¿ SABE CUÁLES SON?

Solución gráfica del cubo soma

Otra solución del cubo Soma

Mirror symmetry.

What is the solution to speculate on the plane of symmetry to the right of the soma cube construction completed the following?

Ejercicio propuesto por Manuel García Ruiz

¿Cuál será la solución especular con plano de simetría a la derecha del cubo soma de la siguiente construcción terminada? Las soluciones espejo o especulares son diferentes porque las piezas enantiomorfas son especulares.

SOLUCIONES DISTINTAS ENANTIOMORFAS

Dos figuras enantiomorfas son diferentes en su construcción.

Cualquier construcción en la vida moderna de ordenadores, máquinas, kits de casas, kit de mesa de ordenador,fabricación de coches en serie,… se corresponde con un puzzle y será necesario codificarlo numérica y/o gráficamente.

Revisada la entrada número 289

Otra codificación en coordenadas enteras R x R x R

Ejercicio propuesto por Manuel García Ruiz.

Construir el cubo soma con el siguiente código en Z x Z x Z

SOLUCIÓN CODIFICADA EN Z X Z X Z

OBSERVE QUE LAS COORDENADAS SON REGIONES EN Z X Z X Z

Vamos colocando las piezas según nos indica el código de la entrada anterior:

OBSERVE EL PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DEL CUBO SOMA CON NÚMEROS ASIGNADOS A LAS PIEZAS

Todas las soluciones codificadas del soma en la web: http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html
Construimos con las siete piezas el cubo Soma 3 x 3 x 3

Si tenemos una solución,
¿cómo se puede codificar?

¿cómo se pueden codificar las soluciones?

A cada pieza le asignamos un número. Planta es sinónimo de piso o nivel.

Cada planta tiene 9 cubos y asignamos el número del policubo en el lugar que ocupe en cada planta.

Ejercicio propuesto
Construir el cubo Soma de diferentes formas.

Dos soluciones enantiomorfas son soluciones diferentes.

Son construcciones diferentes porque ya habrá comprobado que son diferentes las piezas enantiomorfas).

Al colocar un cubo resuelto y girarlo 90º aparece otra solución que parece diferente pero fundamentalmente es la misma.

De una posición determinada, el cubo se puede girar 4 veces 90º. Por cada cara tenemos 4 codificaciones a causa de los posibles giros.

Las soluciones codificadas son iguales a una única solución fundamental si al girar el cubo aparecen las soluciones iniciales.

¿Cuántas soluciones distintas hay en el cubo Soma?

VER LA DIRECCIÓN: http://www.mathematische-basteleien.de/somacube.htm

240 soluciones codificadas del cubo soma 3 x 3 x 3

http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html#soma-cubes
http://puzzler.sourceforge.net/solutions/cubes/soma-3x3x3.txt

Primera solución:
a) Codificación en Z x Z x Z

0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,2 1,1,2 V
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 A ó a
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 B ó b
0,2,1 0,2,2 1,2,0 1,2,1 Z
1,2,2 2,2,0 2,2,1 2,2,2 L

Observe las regiones en Z x Z x Z

b) Codificación con letras asignadas a cada pieza

1ª planta 2ª planta 3ª planta
T Z L Z Z L Z L L
T T A P p A P V B
T A A P B B V V B

EXPLICACIÓN GRÁFICA DE LA PRIMEA SOLUCIÓN

CLIC PARA VER EN GRAN TAMAÑO

solución 2:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,2 1,1,2 V
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 b
0,2,1 1,2,0 1,2,1 2,2,0 Z
0,2,2 1,2,2 2,2,1 2,2,2 L

T Z Z Z Z L L L L
T T a p p a p V b
T a a p b b V V b

solución 3:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,1 1,0,2 V
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
0,2,1 0,2,2 1,2,0 1,2,1 Z
1,1,2 2,0,1 2,0,2 2,1,2 a
1,2,2 2,1,1 2,2,1 2,2,2 b

T Z L Z Z b Z b b
T T L p p b p a a
T L L p V a V V a

solución 4:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,1 1,0,2 2,0,1 Z
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a
2,0,2 2,1,2 2,2,1 2,2,2 L
0,2,1 0,2,2 1,1,2 1,2,2 b
1,2,0 1,2,1 2,2,0 V

T V V b V L b b L
T T a p p a p b L
T a a p Z Z Z Z L

solución 5:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,1 1,2,2 2,2,1 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
2,1,1 2,1,2 2,2,2 V
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,1,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b

T L L a p p a p V
T T L b p V a a V
T Z L b Z Z b b Z

solución 6:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,1 1,2,2 2,2,1 p
1,2,0 2,1,0 2,1,1 2,2,0 b
1,0,2 1,1,2 2,1,2 2,2,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,0,1 a
1,0,0 2,0,0 2,0,1 2,0,2 L
0,1,1 0,2,1 0,2,2 V

T b b V p p V p Z
T T b V p b a Z Z
T L L a a L a Z L

solución 7:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
2,0,1 2,1,1 2,1,2 2,2,2 Z
1,0,1 1,0,2 2,0,2 V
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,1,2 b
0,1,1 0,2,1 0,2,2 1,2,2 a

T p L a p p a a Z
T T L a p Z b b Z
T L L b V Z b V V

solución 8:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,1,0 2,1,1 2,2,0 V
0,0,1 1,0,0 1,0,1 2,0,0 Z
2,0,1 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L
0,0,2 0,1,1 0,1,2 1,0,2 a
0,2,1 0,2,2 1,1,2 1,2,2 b

T p V b p p b b L
T T V a p V a b L
T Z Z Z Z L a a L

solución 9:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,0,1 2,1,0 2,1,1 2,2,0 Z
1,0,0 1,0,1 2,0,0 V
0,1,1 0,2,1 0,2,2 1,2,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,1,2 b
1,0,2 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L

T p Z a p p a a L
T T Z a p Z b b L
T V V b V Z b L L

solución 10:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,0,1 2,1,0 2,1,1 2,2,0 Z
1,0,0 1,0,1 2,0,0 V
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,1,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,2,2 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L

T p Z a p p a L L
T T Z b p Z a a L
T V V b V Z b b L

solución 11:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,2,0 2,2,1 2,2,2 L
0,0,1 0,1,1 1,1,1 1,2,1 Z
0,0,2 1,0,2 1,1,2 V
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 b
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a

T L L p Z L p p L
T T a Z Z a p V b
T a a Z b b V V b

solución 12:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,2,0 2,2,1 2,2,2 L
1,0,2 1,1,1 1,1,2 1,2,1 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 b
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a

T L L p Z L p p L
T T a V Z a p Z b
T a a V b b V Z b

solución 13:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 1,1,1 1,1,2 Z
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
2,0,1 2,0,2 2,1,1 V

T L L p a a p p a
T T L b Z V p Z a
T Z L b Z V b b V

solución 14:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,2 1,1,2 2,1,1 2,1,2 a
1,1,1 1,2,1 2,2,1 2,2,2 b

T L L p b b p p b
T T L V b a p a a
T Z L V Z Z V a Z

solución 15:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,2 1,1,1 1,1,2 2,1,1 b
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a

T L L p a a p p a
T T L V b b p b a
T Z L V Z Z V b Z

solución 16:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,1,1 1,1,2 1,2,1 2,2,1 a
2,1,1 2,1,2 2,2,2 V

T L L p a a p p V
T T L b a V p a V
T Z L b Z Z b b Z

solución 17:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,1,1 1,1,2 2,1,2 2,2,2 a
1,2,1 2,1,1 2,2,1 V

T L L p V V p p a
T T L b a V p a a
T Z L b Z Z b b Z

solución 18:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a
1,1,1 1,1,2 2,1,1 V

T L L p a a p p a
T T L b V V p V a
T Z L b Z Z b b Z

SENCILLO EJERCICIO PROPUESTO

Si ha aprendido lo explicado sabrá realizar el siguiente ejercicio.

Con las siete piezas construidas con cubitos de madera buscar soluciones del cubo soma y codificarlas.

1.- Codificarlas por letras y en tres plantas.
2- Codificarlas con números asignados a cada pieza y en tres plantas.
3.- Codificarlas con números enteros en coordenadas tridimensionales Z x Z x Z
4.- Codificarlas en Power Point gráficamente.
Buscar soluciones (del cubo soma) y codificarlas.

Figuras enantiomorfas en el cubo Soma

Figuras enantiomorfas

Con un espejo observamos las piezas 5 y 6 y veremos que una es el reflejo de la otra pero en la realidad son distintas y no se pueden hacer coincidir por muchas vueltas o giros que se les haga.

EJEMPLO:

EXTIENDA LA MANO IZQUIERDA DELANTE DE UN ESPEJO Y OBSERVE SU MANO DERECHA FUERA DEL ESPEJO.
La imagen especular de su mano izquierda y la real de su mano derecha parecen iguales pero en la realidad las manos no son iguales. La mano izquierda es diferente en su forma de la mano derecha). LEFT AND RIGHT HAND.

De forma similar, por muchos giros o rotaciones que hagamos a la pieza 5, no es igual a la 6. En el cubo Soma hay dos piezas enantiomorfas y deducimos que toda solución tiene su simétrica especular que a su vez son soluciones distintas.

Para ver más figuras
Piet Hein fué el creador del cubo Soma y con las siete piezas se pueden formas cientos de figuras.

Direcciones para formar figuras con las piezas del cubo soma.

http://ludoforum.com/el-cubo-soma-la-adiccion-de-piet-hein.html

http://web.inter.nl.net/users/C.Eggermont/Puzzels/Soma/overzicht.html

Notas del autor:

Nota 1.-

El símbolo de la mano con el índice levantado es el símbolo de hipervínculo y aquí quiere decir también que se puede aumentar el tamaño del diagrama. La horterada de la peineta es con el dedo medio.

Nota 2.-

Esta nota número 2 es copia literal de

www.escolares.net/descripcion.php?ide=999

"Es probable que el símbolo “1” provenga del dedo levantado, que es la manera más sencilla y natural que tenemos para decir “uno”.
Otra manera de indicar el uno, es por medio de una vara colocada en el suelo, por esa razón el uno se indicaba también por medio de una línea horizontal (-). El dos se expresaba por medio de dos líneas horizontales (=) y el tres por medio de tres líneas (_=).

Escrito con rapidez el símbolo = se transformó en z, el cual a su vez, se convirtió en 2. De manera similar el símbolo _= evolucionó hasta convertirse en el moderno 3.

El origen de los otros símbolos no es claro, lo cierto es que se fueron modificando en el transcurso de siglos hasta llegar a su forma actual."

Nota 3.- Observe que un matemático, generalmente, escribe el 2 como 2 y la z con un trazo como el siguiente diagrama. así:

¿sabe cuál es la causa?

En los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, diferenciamos mejor el 2 de la z con un pequeño trazo a la línea inclinada de la z.

Nota 4.-

Habrá podido observar que la diferencia entre dos cosas muy parecidas puede llevarnos a error. Se me ha ocurrido otra diferencia: El sentido dextrógiro(de giro a la derecha) del efecto Coriolis en el Hemisferio Norte y el sentido levógiro(giro a la izquierda) del mismo efecto de Coriolis en el Hemisferio Terrestre del Sur.

Como hay lectores de este blog que residen en el Hemisferio Sur Terrestre les ruego que si leen esta parte confirmen lo siguiente:

Dicen que no hay fuerza de Coriolis. Pero yo estudié que la hay y lo entiendo. Al menos el efecto. La Tierra gira y da una vuelta completa en 24 horas en sentido de las agujas del reloj si miramos el eje desde el Ártico. Hay gravedad de atracción. Todo cuerpo que se mueve tiene que sufrir esos dos efectos en mayor o menor grado según la latitud del lugar terrestre.

Voy ahora mismo al servicio y voy a dejar mucha agua en la bañera en reposo, con el tapón,....

Dentro de 10 minutos voy de nuevo. Me lavo. No abro todavía el tapón del desagüe. Espero 5 minutos a que repose el líquido. Al abrir el desagüe he visto que el agua se va por el agujero con un pequeño remolino en sentido dextrogiro(sentido de las agujas de un reloj analógico).

Anécdota personal:
Cuando teníamos aproximadamente de 12 a 16 años, ibamos al campo y veíamos varios ríos. En el río observabamos los remolinos de agua y decían o se decía que eran peligrosos y más vale ser prudente en estos casos si el río lleva un buen caudal o poco, que la vida no se debe descuidar; al menos fuí prudente en este caso.

¿Tendrá sentido contrario el remolino de agua de un rio en el Hemisferio Terrestre opuesto?

Si es afirmativa la respuesta, ¿qué podemos decir de los meandros de los ríos?

La nota 5 es copia de un texto de Geología:

http://www.galeon.com/manualgeo/geo19.pdf

Nota 5.-

La fuerza de Coriolis (f) es perpendicular a la velocidad (v) del punto material y proporcional a la velocidad angular (w). Además, esta fuerza depende de la latitud (f) del lugar, en función de sen ∅.

La expresión general de la fuerza en un cuerpo de masa m, es: f = 2 m w v sen ∅

Por la fuerza de Coriolis, los ríos erosionan más la orilla derecha en el hemisferio norte y la izquierda en el hemisferio sur. También, en el hemisferio norte los remolinos son dextrógiros y en sur sinixtrógiros. De ahí que los ciclones o tifones en el Atlántico Norte giren en el sentido de las manecillas del reloj y en el Pacífico sur sean levógiros. Todo porque la fuerza centrífuga que en el Ecuador es mayor, decrece con la latitud hasta hacerse mínima (0) en los polos.

Entrada revisada número 399 del blog: Juegos de mates-manuel-blogspot.com

Cubo soma. Soluciones codificadas. 240 soluciones codificadas.

2014-03-23T15:50:00.003-07:00

_____________________________________________________________

JUEGOS DE MATEMÁTICAS CON SOLUCIONES

AUTOR: MANUEL GARCÍA RUIZ

__________________________________________________________________________________________

CALCULADORA-------SIDEBAR------- TRADUCTOR-------EL MUNDO-------GOOGLE

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Cubo soma. Codificar soluciones. Entrada: NÚMER0 399

Estas siete piezas ( P, B, T, Z, A, V, L) se ensamblan para formar el cubo 3 x 3 x 3 y además miles de figuras más.

Es el cubo puzzle misterioso por excelencia. Se puede formar o construir el cubo soma con un total de 240 soluciones diferentes. 240 soluciones diferentes suprimiendo los giros del cubo soma.

Es el puzzle más popular en tres dimensiones. Tiene siete piezas. Las piezas 5 y 6 son enantiomorfas. Vea en los diagramas e imágenes el número asociado a cada pieza e igualmente la letra asociada. Con los seis tetracubos y el tricubo podemos hacer diferentes figuras. El bloque tricubo de tres piezas o tricubo forma un ángulo recto y tiene la forma de V.

You tube y figuras con las 7 piezas
https://www.youtube.com/watch?v=_yUtA-NQprc
https://www.youtube.com/watch?v=ojO1s9D4dBY

Construcción ilustrada del cubo soma por Manuel García Ruiz

Exemple illustratif d'une construction du cube Soma. Regarde! Genèse de l'idée et la construction en Power Point par l'auteur Manuel García Ruiz.

Construcción ilustrada del cubo soma en Wikipedia(con otro color en las piezas).

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Soma_cube_solution.svg

Codificación con letras

El cubo soma tiene 7 piezas o bloques construidos por cubos denominados policubos: un tricubo y seis tetracubos.

Cada pieza se denomina con una letra porque tiene parecido con la letra(valga la redundancia).

Hay tres plantas en el cubo soma. Total 27 cubitos en tres plantas.

Codificación con números

Vea el siguiente diagrama de las piezas con número asignado y una construcción del cubo soma.

Voir plus avant les numéros associées à tetracubos et un tricubo.

Un des buts du-puzzle-soma est construire le cube 3x3x3 avec les sept blocs. Avec les 6 tetracubos + 1 tricube, nous pouvons faire figures différentes. Le "bloc tricube" de Soma à trois blocs égaux et forme un symbole V comme un angle droit.

La pieza número 1 es el tricubo y está en la primera planta.

La pieza 2 es el tetracubo L y aquí se le ha asignado color azul claro y está en la planta 3ª.

Vea en la siguiente imagen los números asignados a cada pieza del cubo soma.

Clic para aumentar diagrama

Sabemos que el cubo Soma tiene tres plantas.
Con la solución codificada siguiente se construye el cubo Soma.
Vea el esquema-dibujo e imagen de la construcción:

166/446/244/

117/356/222/

377/357/355/

En Internet se pueden encontrar codificadas las 240 soluciones:

http://www.mathematische-basteleien.de/somacube.htm

__________________________________________________

La pieza tricubo es la única que tiene tres cubos pues las seis restantes son tetracubos o piezas de 4 cubos.

La pieza número 1 es el tricubo y está en la primera planta.

La pieza 2 es el tetracubo L y se le ha asignado color azul claro y está en la planta 3ª.

La pieza 3 es el tetracubo T, se le asignó color verde, en esta solución está en todas las plantas y tiene dos cubos en la segunda planta.

En la entrada 282 tenemos la asignación numérica de cada pieza-policubo y el respectivo color.

En la siguiente Web puede encontrar la solución gráfica con otros colores de las piezas; 456 imágenes de las soluciones del cubo soma. http://www.astro.caltech.edu/~aam/fun/egames/soma/

Pero las 456 imágenes de las 240 soluciones no están ordenadas ni codificadas.

Solución codificada con letras y gráficamente.

EN EL CUBO SOMA HAY DOS PIEZAS ENANTIOMORFAS. ¿ SABE CUÁLES SON?

Solución gráfica del cubo soma

Otra solución del cubo Soma

Mirror symmetry.

What is the solution to speculate on the plane of symmetry to the right of the soma cube construction completed the following?

Ejercicio propuesto por Manuel García Ruiz

¿Cuál será la solución especular con plano de simetría a la derecha del cubo soma de la siguiente construcción terminada?

SOLUCIONES DISTINTAS ENANTIOMORFAS

Dos figuras enantiomorfas son diferentes en su construcción.

Revisada la entrada número 289

Otra codificación en coordenadas enteras R x R x R

Ejercicio propuesto por Manuel García Ruiz.

Construir el cubo soma con el siguiente código en Z x Z x Z

SOLUCIÓN CODIFICADA EN Z X Z X Z

OBSERVE QUE LAS COORDENADAS SON REGIONES EN Z X Z X Z

Vamos colocando las piezas según nos indica el código de la entrada anterior:

OBSERVE EL PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DEL CUBO SOMA CON NÚMEROS ASIGNADOS A LAS PIEZAS

Todas las soluciones codificadas del soma en la web: http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html
Construimos con las siete piezas el cubo Soma 3 x 3 x 3

Si tenemos una solución,
¿cómo se puede codificar?

¿cómo se pueden codificar las soluciones?

A cada pieza le asignamos un número. Planta es sinónimo de piso o nivel.

Cada planta tiene 9 cubos y asignamos el número del policubo en el lugar que ocupe en cada planta.

Ejercicio propuesto
Construir el cubo Soma de diferentes formas.

Dos soluciones enantiomorfas son soluciones diferentes.

Son construcciones diferentes porque ya habrá comprobado que son diferentes las piezas enantiomorfas).

Al colocar un cubo resuelto y girarlo 90º aparece otra solución que parece diferente pero fundamentalmente es la misma.

De una posición determinada, el cubo se puede girar 4 veces 90º. Por cada cara tenemos 4 codificaciones a causa de los posibles giros.

Las soluciones codificadas son iguales a una única solución fundamental si al girar el cubo aparecen las soluciones iniciales.

¿Cuántas soluciones distintas hay en el cubo Soma?

VER LA DIRECCIÓN: http://www.mathematische-basteleien.de/somacube.htm

240 soluciones codificadas del cubo soma 3 x 3 x 3

http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html#soma-cubes

http://puzzler.sourceforge.net/solutions/cubes/soma-3x3x3.txt

Primera solución:

a) Codificación en Z x Z x Z

0,0,0    0,1,0    0,2,0    1,1,0   T
0,0,1    0,1,1    0,1,2    1,1,1   p
0,0,2    1,0,2    1,1,2                V
1,0,0    2,0,0    2,1,0    2,1,1    A  ó a
1,0,1    2,0,1    2,0,2    2,1,2   B ó b
0,2,1    0,2,2    1,2,0    1,2,1    Z
1,2,2    2,2,0    2,2,1   2,2,2    L

Observe las regiones en Z x Z x Z

b) Codificación con letras asignadas a cada pieza

1ª planta                    2ª planta                    3ª planta
T Z L                            Z Z L                          Z L L
T T a                          p p a                        p V b
T a a                           p b b                          V V b

EXPLICACIÓN GRÁFICA DE LA PRIMEA SOLUCIÓN

CLIC PARA VER EN GRAN TAMAÑO

solución 2:
0,0,0    0,1,0     0,2,0      1,1,0 T
0,0,1    0,1,1     0,1,2      1,1,1 p
0,0,2     1,0,2     1,1,2 V
1,0,0    2,0,0      2,1,0      2,1,1 a
1,0,1     2,0,1     2,0,2     2,1,2 b
0,2,1     1,2,0     1,2,1      2,2,0 Z
0,2,2    1,2,2      2,2,1      2,2,2 L

T Z Z                   Z Z L            L L L
T T a                   p p a            p V b
T a a                  p b b              V V b

solución 3:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,1 1,0,2 V
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
0,2,1 0,2,2 1,2,0 1,2,1 Z
1,1,2 2,0,1 2,0,2 2,1,2 a
1,2,2 2,1,1 2,2,1 2,2,2 b

T Z L    Z Z b    Z b b
T T L    p p b    p a a
T L L    p V a    V V a

solución 4:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,0,1 0,1,1 0,1,2 1,1,1 p
0,0,2 1,0,1 1,0,2 2,0,1 Z
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a
2,0,2 2,1,2 2,2,1 2,2,2 L
0,2,1 0,2,2 1,1,2 1,2,2 b
1,2,0 1,2,1 2,2,0 V

T V V    b V L    b b L
T T a    p p a    p b L
T a a    p Z Z    Z Z L

solución 5:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,1 1,2,2 2,2,1 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
2,1,1 2,1,2 2,2,2 V
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,1,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b

T L L    a p p    a p V
T T L    b p V    a a V
T Z L    b Z Z    b b Z

solución 6:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,1 1,2,2 2,2,1 p
1,2,0 2,1,0 2,1,1 2,2,0 b
1,0,2 1,1,2 2,1,2 2,2,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,0,1 a
1,0,0 2,0,0 2,0,1 2,0,2 L
0,1,1 0,2,1 0,2,2 V

T b b    V p p    V p Z
T T b    V p b    a Z Z
T L L    a a L    a Z L

solución 7:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
2,0,1 2,1,1 2,1,2 2,2,2 Z
1,0,1 1,0,2 2,0,2 V
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,1,2 b
0,1,1 0,2,1 0,2,2 1,2,2 a

T p L    a p p    a a Z
T T L    a p Z    b b Z
T L L    b V Z    b V V

solución 8:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,1,0 2,1,1 2,2,0 V
0,0,1 1,0,0 1,0,1 2,0,0 Z
2,0,1 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L
0,0,2 0,1,1 0,1,2 1,0,2 a
0,2,1 0,2,2 1,1,2 1,2,2 b

T p V    b p p    b b L
T T V    a p V    a b L
T Z Z    Z Z L    a a L

solución 9:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,0,1 2,1,0 2,1,1 2,2,0 Z
1,0,0 1,0,1 2,0,0 V
0,1,1 0,2,1 0,2,2 1,2,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,2 1,1,2 b
1,0,2 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L

T p Z    a p p    a a L
T T Z    a p Z    b b L
T V V    b V Z    b L L

solución 10:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
1,1,1 1,2,0 1,2,1 2,2,1 p
2,0,1 2,1,0 2,1,1 2,2,0 Z
1,0,0 1,0,1 2,0,0 V
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,1,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,2,2 2,0,2 2,1,2 2,2,2 L

T p Z    a p p    a L L
T T Z    b p Z    a a L
T V V    b V Z    b b L

solución 11:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,2,0 2,2,1 2,2,2 L
0,0,1 0,1,1 1,1,1 1,2,1 Z
0,0,2 1,0,2 1,1,2 V
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 b
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a

T L L    p Z L    p p L
T T a    Z Z a    p V b
T a a    Z b b    V V b

solución 12:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,2,0 2,2,1 2,2,2 L
1,0,2 1,1,1 1,1,2 1,2,1 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,1 2,0,1 2,0,2 2,1,2 b
1,0,0 2,0,0 2,1,0 2,1,1 a

T L L    p Z L    p p L
T T a    V Z a    p Z b
T a a    V b b    V Z b

solución 13:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 1,1,1 1,1,2 Z
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
2,0,1 2,0,2 2,1,1 V

T L L    p a a    p p a
T T L    b Z V    p Z a
T Z L    b Z V    b b V

solución 14:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,2 1,1,2 2,1,1 2,1,2 a
1,1,1 1,2,1 2,2,1 2,2,2 b

T L L    p b b    p p b
T T L    V b a    p a a
T Z L    V Z Z    V a Z

solución 15:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 V
1,0,2 1,1,1 1,1,2 2,1,1 b
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a

T L L    p a a    p p a
T T L    V b b    p b a
T Z L    V Z Z    V b Z

solución 16:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,1,1 1,1,2 1,2,1 2,2,1 a
2,1,1 2,1,2 2,2,2 V

T L L    p a a    p p V
T T L    b a V    p a V
T Z L    b Z Z    b b Z

solución 17:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,1,1 1,1,2 2,1,2 2,2,2 a
1,2,1 2,1,1 2,2,1 V

T L L    p V V    p p a
T T L    b a V    p a a
T Z L    b Z Z    b b Z

solución 18:
0,0,0 0,1,0 0,2,0 1,1,0 T
0,1,2 0,2,1 0,2,2 1,2,2 p
1,2,0 2,0,0 2,1,0 2,2,0 L
1,0,0 1,0,1 2,0,1 2,0,2 Z
0,0,1 0,0,2 0,1,1 1,0,2 b
1,2,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 a
1,1,1 1,1,2 2,1,1 V

T L L    p a a    p p a
T T L    b V V    p V a
T Z L    b Z Z    b b Z

EJERCICIO

Con las siete piezas construidas con cubitos de madera buscar soluciones del cubo soma y codificarlas.

1.- Codificarlas por letras y en tres plantas.
2- Codificarlas con números asignados a cada pieza y en tres plantas.
3.- Codificarlas con números enteros en coordenadas tridimensionales Z x Z x Z
4.- Codificarlas en Power Point gráficamente.

Buscar soluciones (del cubo soma) y codificarlas.

Figuras enantiomorfas en el cubo Soma

Figuras enantiomorfas

Para ver más figuras
Piet Hein fué el creador del cubo Soma y con las siete piezas se pueden formas cientos de figuras.

Direcciones para formar figuras con las piezas del cubo soma.

http://ludoforum.com/el-cubo-soma-la-adiccion-de-piet-hein.html

http://web.inter.nl.net/users/C.Eggermont/Puzzels/Soma/overzicht.html

Notas del autor:

Nota 2.-

Esta nota número 2 es copia literal de

www.escolares.net/descripcion.php?ide=999

Escrito con rapidez el símbolo = se transformó en z, el cual a su vez, se convirtió en 2. De manera similar el símbolo _= evolucionó hasta convertirse en el moderno 3.

El origen de los otros símbolos no es claro, lo cierto es que se fueron modificando en el transcurso de siglos hasta llegar a su forma actual."

Nota 3.- Observe que un matemático, generalmente, escribe el 2 como 2 y la z con un trazo como el siguiente diagrama. así:

¿sabe cuál es la causa?

En los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, diferenciamos mejor el 2 de la z con un pequeño trazo a la línea inclinada de la z.

Como hay lectores de este blog que residen en el Hemisferio Sur Terrestre les ruego que si leen esta parte confirmen lo siguiente:

Voy ahora mismo al servicio y voy a dejar mucha agua en la bañera en reposo, con el tapón,....

¿Tendrá sentido contrario el remolino de agua de un rio en el Hemisferio Terrestre opuesto?

Si es afirmativa la respuesta, ¿qué podemos decir de los meandros de los ríos?

La nota 5 es copia de un texto de Geología:

http://www.galeon.com/manualgeo/geo19.pdf

Nota 5.-

La expresión general de la fuerza en un cuerpo de masa m, es: f = 2 m w v sen ∅

Entrada revisada número 399 del blog: Juegos de mates-manuel-blogspot.com

DEMOSTRACIÓN DE LA SUMA DE SERIES HIPERGEOMÉTRICAS

2014-03-16T13:51:00.004-07:00

Entrada revisada número: 398

Ejercicio propuesto por Manuel García Ruiz
Observa y analiza las tres series

Calcular de tres formas diferentes cada una de las series anteriores

Soluciones: 1. 1/2 2. 1/3 3. 1/2

____________________________________________________________________________________________

DEMOSTRACIÓN DE LA SUMA DE LA SERIE HIPERGEOMÉTRICA

CLIC PARA AUMENTAR TAMAÑO DEL DIAGRAMA

Si el denominador( gamma menos alfa menos beta) de la última fórmula es cero entonces la serie es divergente.

VER TODAS LAS ETIQUETAS DE ESTE BLOG CONTINUARÁ ...SI DIOS QUIERE

Referencias:

La tortuga de Zenón:http://catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_Zenon.htm

Lentitud de la serie armónica:http://gaussianos.com/la-lentitud-de-la-serie-armonica/

http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html

Nivel Secundaria:http://www.fic.umich.mx/~lcastro/sucesiones.pdf

El problema de Basilea:http://gaussianos.com/el-problema-de-basilea-ii/

Criterio de Raabe:http://es.scribd.com/doc/74462237/15/Criterio-de-Raabe
Suma de series: http://www.ugr.es/~fjperez/textos/series_sumables.pdf

_____________________________________________________________________________________________

Prensa y música clásica seleccionadas:
http://www.elmundo.es/españa.htm

http://www.elmundo.es/ https://www.google.es/#q=libertad+digital http://www.youtube.com/watch?v=xgHPXrEica4http://www.youtube.com/watch?v=XMbvcp480Y4

CIENCIA: http://cienciaes.com/ciencianuestra/2012/04/27/infinito/

Descubren terapia con electrodos para mejorar en matemáticas:

http://www.expansion.com/2014/02/13/entorno/1392306608.html

TRADUCTOR GOOGLE: http://translate.google.es/?hl=es

PRECIO ACEITE ESPAÑOL:http://www.oliva.net/poolred/Publico/GraficoIPOOLspa.aspx

Puzzle Stomachión

2014-03-13T13:26:00.000-07:00

Calculadora:http://calculadora-cientifica.blogspot.com.es/ Entrada revisada número: 397 VER TODAS LAS ENTRADAS
Poemas:http://www.poesi.as/Antonio_Machado.htm Traductor: http://www.elmundo.es/traductor/

Puzzle Stomachión

Para saber más: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html http://revistasuma.es/IMG/pdf/50/079-084.pdf
http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionPuzzel_EN.htm

Se atribuye a Arquímedes.

SE CONSTRUYE SOBRE UN CUADRADO.

CLIC EN DIAGRAMA PARA VERLO GRANDE

Para saber más: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html

http://revistasuma.es/IMG/pdf/50/079-084.pdf

Consta de 14 piezas. El puzzle en cuadrícula nos sirve para construirlo y calcular el área de cada pieza.

Hay 536 formas distintas de completar el cuadrado con las 14 piezas.

CLIC EN DIAGRAMA PARA VERLO GRANDE

__________________________________________________________________________________________

Para saber más: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html

http://revistasuma.es/IMG/pdf/50/079-084.pdf

In November 2003, Bill Cutler found there to be 536 possible distinct arrangements of the pieces into a square, illustrated above, where solutions that are equivalent by rotation and reflection are considered identical (Pegg 2003).

En noviembre de 2003, Bill Cutler obtiene la conclusión de que existen 536 posibles arreglos distintos de las piezas en forma de cuadrado, que se ilustra arriba, donde las soluciones son equivalentes por rotación y la reflexión y se consideran idénticos (Pegg 2003).

__________________________________________________________________________________________

Se puede aplicar la fórmula de Pick o las clásicas de geometría para calcular el área de cada pieza.

La fórmula de Pick sólo se puede aplicar cuando la trama está cuadriculada y los vértices del polígono, convexo o cóncavo, están en puntos de la trama.

Ejercicios propuestos por Manuel García Ruiz

1.- Calcular la superficie de cada pieza del puzzle y calcular la suma de todas. El resultado debe ser 144 u.s.

CLIC EN DIAGRAMA PARA VERLO GRANDE

2.- Construir figuras geométricas y artísticas con las piezas del Stomachión.
_____________________________________________________________________________________
Soluciones:
1.-
Fórmula de Pick:

Una pieza con i puntos interiores y b puntos en el borde tiene de área = i + b/2 - 1

La fórmula de Pick sólo se puede aplicar cuando la trama está cuadriculada y los vértices del polígono, convexo o cóncavo, están en puntos de la trama.

Este cuadrado reticulado tiene 12 X 12 = 144 u.s.
Una pieza que sea 1/12 del cuadrado medirá 144/12 = 12 u.s.

CLIC EN DIAGRAMA PARA VERLO GRANDE

2.- Figuras geométricas y artísticas con las 14 piezas del puzzle Ostomachión y con otro número de piezas del Stomachión.
Las siguientes figuras son puzzles de mucha dificultad.

CLIC EN DIAGRAMA PARA VERLO GRANDE

Polígonos con piezas del Stomachión

Ver todos los archivos del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com.es/?view=flipcard

Para saber más: http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html
http://revistasuma.es/IMG/pdf/50/079-084.pdf

http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionPuzzel_EN.htm

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Prensa y música clásica seleccionadas:
http://www.elmundo.es/españa.htm

http://www.elmundo.es/ https://www.google.es/#q=libertad+digital http://www.youtube.com/watch?v=xgHPXrEica4http://www.youtube.com/watch?v=XMbvcp480Y4

CIENCIA: http://cienciaes.com/ciencianuestra/2012/04/27/infinito/

Descubren terapia con electrodos para mejorar en matemáticas:

http://www.expansion.com/2014/02/13/entorno/1392306608.html

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PRECIO ACEITE ESPAÑOL:http://www.oliva.net/poolred/Publico/GraficoIPOOLspa.aspx

Introducción a mosaicos. Mosaicos regulares, semirregulares. Tramas.

2014-03-08T14:14:00.001-08:00

Demostración visual

Calculadora:http://calculadora-cientifica.blogspot.com.es/ Entrada revisada número: 396 VER TODAS LAS ENTRADAS
Poemas:http://www.poesi.as/Antonio_Machado.htm Traductor: http://www.elmundo.es/traductor/

Introducción

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 grados sexagesimales.

Demostración visual

Ángulo central de polígono regular

El ángulo central de un polígono regular de n lados es 360/n
El ángulo completo es exactamente 360 grados sexagesimales.

Ángulo interior de polígono regular

El ángulo interior de un polígono regular de n lados es igual a

El ángulo interior es el suplementario del ángulo central, pues al triangular con el centro de la circunferencia circunscrita a los vértices del polígono regular todos los triángulos son iguales e isósceles.

Mosaicos

Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse y sin huecos.

Mosaicos regulares

Los más sencillos están formados por un único tipo de polígono regular, como el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular.

En un vértice deben coincidir ángulos que, entre todos sumen un ángulo completo, es decir, 360 grados sexagesimales.

PROBLEMA PROPUESTO

Demostrar que sólo hay tres mosaicos regulares.

Mosaicos semirregulares

Podemos formar mosaicos periódicos utilizando polígonos regulares de distintos tipos.

En cada vértice deben concurrir polígonos regulares y la suma de los ángulos interiores de los polígonos que confluyen en cualquier vértice debe ser igual a 360º.
Es una notación frecuente indicar con números los polígonos por sus lados y el orden que concurren en los vértices.

Ejercicio propuesto

De los 8 mosaicos semirregulares uniformes en todos sus vértices y escritos en notación anteriormente explicada, decir los polígonos que lo forman y calcular la suma de los ángulos interiores que concurren en cualquier vértice.

4,6,12; 4,8,8; 3,12,12; 3,6,3,6; 3,4,6,4; 3,3,3,3,6; 3,3,4,3,4; 3,3,3,4,4.

Tramas sencillas

Cuadrada, isométrica, hexagonal. La misma trama forma mosaico.

Ver todos los archivos del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com.es/?view=flipcard

Prensa y música clásica seleccionadas:
http://www.elmundo.es/españa.htm
http://www.elmundo.es/ https://www.google.es/#q=libertad+digital http://www.youtube.com/watch?v=xgHPXrEica4http://www.youtube.com/watch?v=XMbvcp480Y4
CIENCIA: http://cienciaes.com/ciencianuestra/2012/04/27/infinito/
Descubren terapia con electrodos para mejorar en matemáticas:
http://www.expansion.com/2014/02/13/entorno/1392306608.html
TRADUCTOR GOOGLE: http://translate.google.es/?hl=es
PRECIO ACEITE ESPAÑOL:http://www.oliva.net/poolred/Publico/GraficoIPOOLspa.aspx

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Calculadora: http://calculadora-cientifica.blogspot.com.es/

Entrada revisada número 396 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Ejemplo de serie hipergeométrica. Resolución de tres formas diferentes.

2014-03-02T13:26:00.001-08:00

Calculadora: http://calculadora-cientifica.blogspot.com.es/

Entrada número 394 del blog: http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com.es/?view=flipcard

Poemas para este mes. Antonio Machado:http://www.poesi.as/Antonio_Machado.htm

Ejemplo de serie hipergeométrica. Resolución de tres formas diferentes.

En estas series desaparecen por arte de matemagia la mayoría de los términos.

Ejercicio propuesto