La Comunidad del Anillo Conmutativo

Gandalf y los hobbits

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Fri, 22 May 2009 04:32:00 +0000

Cualquier parecido con la realidad, es pura coincidencia...

Seminario IMATE Oaxaca de Mayo

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Thu, 14 May 2009 15:21:00 +0000

Hola a todos,

El Instituto de Matemáticas, a través de la Escuela de Ciencias de la UABJO, les invita de manera cordial al Seminario de Matemáticas del IMATE-UNAM correspondiente al mes de Mayo. En esta ocasión tenemos el gusto de presentar al Dr. Armando Sánchez Argaez, investigador de nuestra Escuela, con la plática Subvariedades del espacio Moduli de haces estables.

El objetivo de esta plática es dar una breve introducción a la teoría de haces vectoriales estables sobre una variedad algebraica X, definir lo que es la variedad de moduli M_X que parametriza haces estables y por último construir subvariedades Calabi-Yau de M_X a las cuales les calcularemos invariantes topológicos importantes.

La cita es el próximo jueves 21 de Mayo a las 12 del día en la Sala de Juntas de la Unidad Oaxaca del IMATE-UNAM.

Los esperamos.

Conferencia sobre trenzas

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Wed, 25 Mar 2009 18:20:00 +0000

Grupos de trenzas y subgrupos finitos

Plática impartida por el Dr. John Guaschi

Jueves 2 de Abril, 1:00 PM
Sala de Video Arte
Centro Cultural Universitario
A un costado de la Rectoría
Entrada Libre

Resumen: Vamos estudiar los grupos de trenzas de Artin, así como una de sus generalizaciones, los grupos de trenzas de una superficie. En el caso de la esfera S², los grupos de trenzas Bn(S²) tienen una estructura particularmente interesante y hay elementos de orden finito. Este fenómeno había sido previsto ya por el físico P. Dirac en los años 30. Más recientemente, R. Brown y J. G. Thompson se interesaron sobre la realización del grupo de cuaternios de orden 8 como subgrupo de Bn(S²). Clasificaremos los subgrupos finitos de Bn(S²) y gracias a la mano amiga de la geometría, veremos que existe una relación fuerte entre ellos y los subgrupos finitos de SO(3).

Sistemas pfaffianos de fibraciones de torcedura

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Wed, 18 Mar 2009 18:16:00 +0000

Sistemas Pfaffianos de fibraciones de torcedura

En esta plática revisaremos cómo se logra identificar de manera explícita todos los sistemas pfaffianos de dimensiones bajas. Dichos sistemas surgen a partir de las fibraciones de torcedura en términos de cierta clasificación conocida. Si el tiempo lo permite, discutiremos brevemente el álgebra de Lie de simetrías infinitesimales correspondiente a estos sistemas.

Viernes 20 de marzo a las 12:00 hrs.
Sala de juntas del IMO-UNAM
Ponente: Dr. Ramiro Carrilllo

El mentiroso

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 28 Feb 2009 22:38:00 +0000

Hugo miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de los días de la semana dice siempre la verdad. Si un día en particular mantenemos la siguiente conversación:

Yuyo: ¿Que día es hoy?
Hugo: Sábado
Yuyo: ¿Que día será mañana?
Hugo: Miércoles

¿En que día de la semana semana tuvimos esta conversación?

Mississippi (Respuesta)

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 28 Feb 2009 22:25:00 +0000

Antes de leer esta solución, te recomiendo que leas nuestros artículos "Permutaciones", "Combinaciones" y "Permutaciones con elementos repetidos".

Dividamos el problema. Primero olvidémonos de las "S". Obtenemos una colección de letras con una "m", dos "p" y cuatro "i". Como sabes, el número de reordenamientos, donde identificamos letras iguales, de la colección anterior esta dado por D*1!*2!*4!=(1+2+4)! Por lo que D=105. Ahora, ya que tenemos un reordenamiento dado, tenemos que colocar las "S" entre las letras restantes, pero como no pueden estar juntas, sólo podemos colocar, a lo mas, una entre cada par de las otras letras. Por el momento no nos importa como están reordenadas las demás letras, sólo los espacio entre ellas. Entonces, las palabras que formemos serán de la forma

0X0X0X0X0X0X0X0

Donde cada X marca un lugar donde esta algunas de las otras letras, y cada 0 indica un posible lugar donde estará una "S". Entonces basta tomar 4 de 8 posibles lugares, es decir, el numero de combinaciones de 8 en 4. Como sabes, este número esta dado por C(8,4)=8!/(4!4!)=70.

Entonces por cada reordenamiento del las letras (sin incluir las S), tendremos 70 posibilidades para acomodar las "S". De ahí que el numero de reordenamientos de la palabra MISSISSIPPI, donde dos "S" no aparecen juntas es 105*70=7350.

Permutaciones con elementos repetidos

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 28 Feb 2009 16:59:00 +0000

En nuestro artículo anterior, hemos supuesto que todos los elementos son diferentes. Supongamos que queremos encontrar todos los reordenamientos de tres pelotas verdes y dos azules. Aquí tenemos cinco elementos {a1,a2,v1,v2,v3}, donde a1 es la primera pelota azul y a2, la segunda; de igual manera con las "v". Así que podríamos pensar que el número de reordenamientos es 5!

Sin embargo, debes tomar en cuenta que al momento de reordenar, para nosotros nos dará lo mismo el reordenamiento a1-v2-v3-a2-v1 que el reordenamiento a2-v1-v2-a1-v3 ¡De cualquier forma veremos (en este orden) una pelota azul, dos verdes, una azul y una verde!

El secreto esta en que no importa que orden tomemos las pelotas verdes, ni las pelotas azules. Digamos que el numero de reordenamientos donde identificamos pelotas del mismo color es D. Sabemos que el numero de reordenamientos (permutaciones) de las pelotas, sin identificarlas por color es 5!. Ahora por cada reordenamiento de las pelotas donde identificamos las pelotas por color, tenemos 2! reordenamientos de pelotas azules y 3! de verdes, tomandolas sin identificarlas por colores. Entonces, llegamos a la fórmula

D*2!*3!=5!

De donde D=10. Una extraña coincidencia con nuestro ejemplo de combinaciones ¿No crees? No tanto. En el problema anterior identificamos a los dos niños que seleccionamos y a los tres que dejamos fuera. Así, los dos niños que escogemos se vuelven "del mismo color" y los tres restantes "del otro color".

En general si tenemos k tipos diferentes de objetos, cada uno con n_i elementos, i=1,2,...,k, es fácil ver que el numero de reordenamientos D donde identificamos elementos del mismo tipo esta dado por:

D*(n_1)!*(n_2)!*...*(n_k)!=(n_1+n_2+...+n_3)!

Para darte un ejemplo, toma 5 monedas de 50 ctvs, tres de a peso y 4 de cinco. ¿Cuántas maneras tienes de reordenarlas? Aquí tenemos 3 tipos diferentes de objetos. El primero tipo tiene 5 elementos, así que n_1=5; el segundo tiene 3, así que n_2=3; y por ultimo, el tercer tipo tiene 4 objetos, así que n_3=4. El total de objetos esta dado por n_1+n_2+...+n_3=5+3+4=12. Así que el numero de reordenamientos D, donde identificamos monedas del mismo tipo esta dado por

D*5!*3!*4!=12!

De donde D=27, 720 ¡Son demasiados! Y los calculamos en pocos segundos, increíble, ¿no?.

Como ejercicio, toma dos monedas de peso y tres de dos, y trata de encontrar los 10 posibles reordenamientos, identificando monedas del mismo tipo.

Combinaciones

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 28 Feb 2009 16:39:00 +0000

Imagina que tienes cinco pelotas de diferentes colores y quieres tomar dos de ellas: ¿de cuentas formas puedes hacerlo?

Lo primero que podríamos hacer es ordenarlas de alguna forma. Escojamos a los dos primero y olvidémonos del resto. ¡Ya está! ¿O no?...

¡No! En realidad tenemos que tomar en cuanta dos hechos:

No importa en que orden tomemos a las dos primeras pelotas. Da lo mismo, por ejemplo, tomar una roja primero y una amarilla después, o una amarilla primero y una roja después. Recuerda que dos elementos diferentes se pueden reordenar de 2!
No importa en que orden tomemos las últimas tres. Como sabes, el número de reordenamiento de 3 elementos diferentes es 3!

Entonces, si denotamos por "C" las combinaciones que podemos formar de dos elementos diferentes, a partir de un conjunto de cinco objetos diferentes, tenemos que C(2!)(3!)=5! Entonces C=10. Es decir, el numero de combinaciones que podemos tomar es 10. ¿Cuántas podemos tomar de tres elementos a partir del mismo conjunto que teníamos al principio? La respuesta es ¡10! Esto porque podemos aplicar el mismo razonamiento, solamente que tomando a los tres últimos.

En general, en un conjunto de n elementos diferentes, tenemos n! formas de reordenarlos. Si queremos tomar una combinacion de r de estos (recuerda que r debe estar entre cero y n), los formamos en una fila y escogemos los primeros r. Sin embargo, el orden de los primero r elementos no nos va a importar (como en el ejemplo, queremos los primeros dos, no importa si el orden es amarillo-rojo o rojo-amarillo) Tampoco nos va a importar el orden de los últimos (n-r) elementos. Así que para el número de combinaciones de r elementos diferentes en un conjunto de n elementos diferentes (lo cual denotaremos por C(n,r)), tendremos que

C(n,r)*r!*(n-r)!=n!

Piensa en el primer ejemplo, con n=5 y r=2. Te darás cuenta que aunque la fórmula parece muy extraña, no lo es tanto. Despejando, obtenemos una fórmula muy conocida en tus clases de probabilidad:

C(n,r)= n! / (r! * (n-r)!)

que como hemos dicho, es el número de combinaciones (donde el orden no importa), de r elementos diferentes a partir de un conjunto de n elementos diferentes o, de manera más corta, las combinaciones de n en r.

Para verificar esta formula, te invito a que encuentras todas combinaciones de 5 en 2 y verifiques que, en efecto, son 10.

Permutaciones

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 28 Feb 2009 16:01:00 +0000

Imagina que tienes 3 niños, y quieres ponerlos en una fila: ¿de cuántas maneras puedes hacerlo?

Para la primera posición tienes 3 posibilidades. Una vez que haz escogido uno, para la segunda posición tienes 2 posibilidades y para la última tienes solamente una (pues ya haz escogido dos niños de tres). Esto es lo mismo que tomar las números {1,2,3} y reordenarlos. Sus posibles reordenamientos son:

1-2-3
1-3-2
2-1-3
2-3-1
3-1-2
3-2-1

Si notas, el número de reordenamientos es 3x2x1. Te invito a hacer el ejercicio con cuatro niños (o cuatro números) y te darás cuenta que el número de reordenamientos es 4x3x2x1. Para cinco, será 5x4x3x2x1 y así sucesivamente. Esta manera de multiplicar números es muy importante y recibe un nombre: factorial.

Para un numero entero "n", su factorial se denota "n!" (se lee n factorial) y se define de la siguiente forma:

0!=1
n!=(n)(n-1)!

Por ejemplo,

1!=1(1-1)!=1(0!)=1(1)=1
2!=2(2-1)!=2(1!)=2(1)=2
3!=3(3-1)!=3(2!)=3(2)=6
4!=4(4-1)!=4(3!)=4(6)=24.

La idea detrás de esta definición (que llamamos recursiva) es que al final obtendremos que n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1), es decir multiplicaremos "n" por todos los números anteriores, hasta llegar a 1. Si notas, tenemos que un grupo de "n" niños, lo podemos reordenar de n! formas diferentes. Este concepto, lo denotamos por permutaciones de un conjunto.

Simetrías

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Tue, 24 Feb 2009 18:33:00 +0000

Mississippi

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 21 Feb 2009 20:54:00 +0000

¿Cuantas maneras existen de reordenar la palabra MISSISSIPPI, sin que dos "S" aparezcan de manera consecutiva?

Por ejemplo: MISPISISISP Y IPPISSISIISM son reordenamientos de MISSISSIPPI, pues ambos se forman con las letras que tiene MISSISSIPPI. Pero MISPISISISP es un reordenamiento válido, pues las cuatro "S" estan separadas al menos por una letra, mientras que en IPPISSISIISM no.

Espero su respuesta a este primer Desafio Matemático para No Matemáticos.

Desafio Matemático para No Matemáticos

noreply@blogger.com (Juliho Castillo) — Sat, 21 Feb 2009 20:52:00 +0000

Hola a todos,

A partir de hoy estaremos publicando pequeños problemas de Matemáticas que pueden resultar un verdadero reto para aquellos que no estén familiarizados con este arte. El propósito es mostrar que las Matemáticas no tienen que ser aburridas ni mecánicas y, que cualquier persona puede hacer Matemáticas interesantes, sin tener que ser necesariamente matemático. Los desafíos surfearan por la red a manera de cadenas, donde se adjuntará un archivo, cuya contraseña es el reto al desafío y donde podrán ingresar sus datos para que todos sepan que son buenazos para quebrarse el coco. Después de algunos días, publicaremos las respuestas así como un posible camino para obtenerlas (recuerden que en Matemáticas existen muchos caminos para llegar a una solución).

Suerte y espero que esta nueva propuesta les resulte divertida.

Conferencia IMATE-CIENCIAS

noreply@blogger.com (Yuyo) — Tue, 09 Dec 2008 18:09:00 +0000

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “BENITO JUÁREZ” DE OAXACA
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS, ESCUELA DE CIENCIAS

La academia de Matemáticas los invita a la conferencia:

“El Teorema de Helly y su Geometría en la Combinatoria”

Impartida por: Dr. Luis Montejano Peimbert
Instituto de Matemáticas de la UNAM

El día: miércoles 10 de diciembre de 2008 Hora: 12 horas

Lugar: Salones 7 y 8

Proclo

noreply@blogger.com (Yuyo) — Thu, 04 Dec 2008 19:06:00 +0000

De retorno

noreply@blogger.com (J. H. S.) — Thu, 04 Dec 2008 03:10:00 +0000

Tenemos ahora un pequeño rompecabezas para ustedes. No será la mejor manera de retomar el contacto, pero por alguna parte se tiene que empezar, ¿no lo creen así?

En realidad es una cuestión nada complicada... Se trata sólo de mostrar que la superficie del lado izquierdo de la ilustración se puede moldear para dar lugar a la superficie representada en el lado derecho de la misma figura. Sé que la propuesta será del agrado de todos.

No dejen de visitar el sitio, compañeros. Escribimos sólo para ustedes. ¡Hasta pronto!

Donald en el País de las Matemáticas

noreply@blogger.com (Yuyo) — Sun, 14 Sep 2008 00:22:00 +0000

El Diablo de Cantor

noreply@blogger.com (Yuyo) — Sat, 13 Sep 2008 18:47:00 +0000

Quien ha trabajado alguna vez con conjuntos, conoce que existe un conjunto vacío: el conjunto que no tiene ningún elemento. Intuitivamente, podría definirse un nuevo conjunto, que lo contenga "todo", a este conjunto le llamaremos universal y lo denotaremos por la letra U. Pero ¿existirá realmente este conjunto? ¿Lo podremos definir de una manera congruente con todo lo que conocemos? Cantor (¿quien más?) dio una respuesta que, en mi opinión es muy bella.
Pero antes, definamos, para cada conjunto A, un nuevo conjunto llamado potencia de A, denotemosle por P(A), que consiste en todos y cada uno de los subconjuntos que podemos formar con cada uno de los elementos de A. Por ejemplo, consideremos A={1,2,3}. Su conjunto potencia sería {{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. Es claro que A es un subconjunto de P(A), es decir, A esta contenido en P(A), pues cada elemento de A es un elemento de P(A). Si denotamos o(A) el numero de elementos de A, es claro que o(A) siempre es menor o igual que o(P(A)). En particular o(U)<=o(P(U)).
Pero por la definición de U, es claro que o(P(U))<=o(U).
Por tanto o(U)=o(P(U)).
Como U y P(U) tienen el mismo numero de elemento (obviamente infinito), podemos definir una relación, denotemosla por C, donde cada elemento a de U tenga asociado un elemento Ca, y solo uno, de P(U). Aquí es donde aparece el diablo de Cantor...
Como a cada elemento a de U podemos asociarle un elemento Ca de P(U), existen dos posibilidades (obvias, pero útiles): que a pertenezca a Ca o que no. Y llamamos D (el diablo de Cantor) a el conjunto de todas los elementos a de U que no pertenezcan a su conjunto asociado Ca. Pero como en esta relación C para cada a existe un Ca y viceversa, para D existe elemento de U, denotemosle d, asociado a D. Y aquí es donde el diablo empieza sus maldades.
Existe dos posibilidades. Primero: que d pertenezca a D, pero por la definición de D (el conjunto de todos los elemento a que no perteneces a su conjunto asociado Ca), !d no pertenece a D! Segundo: que d no pertenezca a D y por tanto, por definición de D, ¡d pertenece a D!.
Conclusión: d pertenece a D si y solo si d no pertenece a D. Por lo cual, no podemos pensar que exista un conjunto "universal". No se si Cantor le dio el nombre de diablo, pero mi maestro si. Supuestamente, esto da la demostración lógica de que no puede existir Dios (jejeje). Bueno, eso si pensamos a Dios como el conjunto de todas las cosas. Claro que no es la única (ni la mejor) manera de definir, si acaso se pudiera, a Dios. Pero lo que si nos muestra es que, aun lo conceptos más simples nos pueden llevar a cosas absurdas si no somos lo suficientemente curiosos para mirar detras de la cortina.

¿Que es la Topología?

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 15:48:00 +0000

Fractal Zoom

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 15:44:00 +0000

Grothendieck: genio, soñador, leyenda

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 04:00:00 +0000

El doctor Vargas suele hablar de Grothendieck en sus clases. Cuando me hablaba de el, solía a imaginar a un tipo de gafas de fondo de botella, bien rasurado y siempre vistiendo con traje. Aunque el dr. Vargas contaba algunas cosas interesantes acerca de él, como que había escrito un monton de libros sobre geometría algebraica y que era apatrida (sin nacionalidad), sinceramente, no dejaba de tener esa imagen. Fue una tarde de ocio que, navegando por la wikipedia, teclee "Grothendieck" y, entonces, descubrí a uno de los personajes más fascinantes del siglo XX y, en mi mi opinión, el genio más grande de ese siglo. A continuación, comparto un poco de la fascinante biografía de Alexander Grothendieck.

Cuando encontré su biografía, lo primero que me llamó la atención fue su foto. No parecía matematico: ni de los matemáticos con problemas para relacionarse con los seres vivos, ni de los matemáticos que parecen seguir en la decada de los 70. Parecía, más bien, una estrella de rock, un rockstar, pero con lentes.

Lo primero que no es común en su biografía son sus padres. "Su padre Alexandre ¿Schapiro? (Novozybkov, 6 de agosto de 1890 - Auschwitz, ¿1942?) fue un judío anarquista ruso. Fue condenado a muerte en 1907 por el régimen zarista, y se le conmutó la pena por la de cadena perpetua a causa de su juventud. Liberado por la revolución de 1917, fue condenado a muerte por el régimen comunista, y emigró clandestinamente a Berlín, donde conoció en medios anarquistas a la periodista ocasional Hanka Grothendieck (Hamburgo, 21 de agosto de 1900 - Montpellier, 16 de diciembre de 1957), mujer de vida fascinante. Vida que narra en su novela autobiográfica inédita Eine Frau hasta la concepción del único hijo que tuvo con Schapiro: Alexandre Grothendieck.Entre los años 1934 y 1939 Grothendieck vive en Hamburgo con una familia adoptiva, mientras sus padres están en Francia y participan en la guerra civil española junto a los anarquistas. En 1939 se reúne con su madre Hanka en Francia. En 1940, al ser alemanes, se le interna en el campo de Rieucros junto con su madre, y estudia en el cercano Instituto de Mende. Mientras, su padre es internado en el campo de Le Vernet, fue deportado por los nazis en 1942 a Auschwitz, y con el nombre de Alexandre Tanaroff figura en la lista de víctimas del Holocausto. En 1942 Grothendieck es acogido La Guespy, hogar infantil del Socorro Suizo para refugiados en Chambon sur Lignon, y termina el Bachillerato en el Collège Cévénol." (Wikipedia|Alexander Grothendieck)

Hasta aquí la narración de la enciclopedia es adecuada. Pero para conocer a Grothendieck, más allá de estas anécdotas (que ya son suficientes para escribir un buen libro), uno necesita conocer todo lo que pasaba en Grothendieck. Es pues necesario leer "Siembras y cosechas", pero eso será en otra ocasión.

La Prueba Matemática de que Dios Existe

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 03:53:00 +0000

Me contó mi profesor de geometría euclideana que cuando Euler encontró la ecuación exclamó "Dios existe". Cuando un amigo (ingeniero por cierto)la vio, lo único que acertó a decir fue "Pues sí, nada más es una sustitución". Quizá yo no fui tan exagerado como Euler, pero no comparto la opinión del ingeniero. Realmente, esta identidad es una de las expresiones más bellas de las Matemáticas. Para que entiendas porque creo esto ( y no solo yo) basta que veas que en esta están cinco números más importantes de las matemáticas:

e, el número más importante en cálculo
i, el número más importante en álgebra
pi, el número más importante en geometría
la unidad
el cero

¿Coincidencia? Bueno, quizá no. Fue por eso que Euler exclamo que Dios existía. No se si sea una prueba de que Dios exista, pero si lo es de que las matemáticas más que una ciencia, es un arte, es belleza pura.

Problema 5 del Segundo Examen Eliminatorio de la XXII Olimpiada en Oaxaca

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 03:46:00 +0000

Se van a colorear los cuadros de una cuadricula de tamaño nxn de la siguiente manera:

Para colorear se usarán dos colores, rojo y azul (supongase que el tablero es blanco)
Cada cuadro formado por cuatro cuadros debe contener exactamente un cuadro rojo y uno azul

Encuentre todos los posibles valores de n para los cuales se pueda dar un arreglo que no contenga dos columnas idénticas.

Este problema nos tuvo en jaque, pues la redacción original decia rojo o azul. Pero al final, la solución es talachuda, pero bonita.

Vox populi, vox Dei.

noreply@blogger.com (Yuyo) — Mon, 08 Sep 2008 03:40:00 +0000

A petición popular, aquí esta uno de los sexys bloggeros, posando para la cámara y exigiéndole dialogo al director, durante el paro en la Escuela de Ciencias. Su nombre: Juliho o Chiquito, para sus fans.

Para meditar

noreply@blogger.com (J. H. S.) — Mon, 08 Sep 2008 02:46:00 +0000

Un nuevo regular acaba de emerger. Espero que nuestras propuestas sean siempre de su agrado.

Tenemos para el día de hoy a

P-1. Sea G un grupo finito y K un subconjunto de G. Suponga que el cardinal de K es mayor que la mitad del cardinal de G. Pruebe que cada elemento de G se puede escribir como un producto de 2 elementos de K.

Hasta pronto.

noreply@blogger.com (Yuyo) — Sun, 07 Sep 2008 23:24:00 +0000