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Sistemas Dinámicos y Geometría Aritmética: Funtores de Puntos, Anillos d...

2024-06-13T16:12:00.000-07:00

Clase 7: Esquemas proyectivos I. Curso de Esquemas y Curvas Elípticas

2024-02-11T00:07:00.000-08:00

Curso de Esquemas y Curvas Elípticas - Clase 7: Esquemas Proyectivos I Descripción: En esta clase, abordamos la introducción a los esquemas proyectivos, comenzando con la construcción del espacio topológico subyacente que define a Proj(A), donde A es un anillo. Esta sesión es esencial para comprender la naturaleza y las propiedades de los esquemas proyectivos en la geometría algebraica. Se discuten en detalle algunas propiedades topológicas de Proj(A), estableciendo una base sólida para futuras exploraciones en este campo. Adicionalmente, se señala y analiza un posible error tipográfico en el material de referencia, destacando la importancia de la evaluación crítica de las fuentes académicas. Palabras clave: Esquemas Proyectivos, Espacio Topológico, Proj(A), Propiedades Topológicas, Geometría Algebraica, Curvas Elípticas.

Clase 5: Puntos racionales y ejemplos. Curso de Esquemas y CE 2024

2024-02-05T12:39:00.000-08:00

Título del Video: Curso de Curvas Elípticas - Clase 5: Puntos Racionales y Ejemplos Descripción: En la quinta sesión del curso, abordamos el tema de los puntos racionales desde la perspectiva de la teoría de esquemas, estableciendo una comparación detallada con los puntos tal y como se entienden en la geometría clásica. Iniciamos con una discusión sobre la definición esquemática de puntos racionales, ilustrando cómo esta noción se relaciona y se diferencia de los conceptos tradicionales en geometría. Se explica que, en el marco clásico, los puntos racionales geométricos se corresponden con los ideales maximales de un esquema afín de tipo finito, estableciendo un puente entre la teoría de esquemas y la geometría algebraica clásica. Profundizamos en el hecho de que todos los ideales primos pueden ser vistos como puntos racionales para determinadas álgebras, ampliando la comprensión de la estructura de los esquemas. Para consolidar estos conceptos, se asignan ejercicios enfocados en el análisis de esquemas definidos sobre anillos que no son necesariamente campos, con el objetivo de describir sus puntos racionales. Esta tarea tiene como fin reforzar la habilidad de los estudiantes para aplicar los conceptos teóricos a casos prácticos y específicos. Palabras clave: Puntos Racionales, Geometría Clásica, Teoría de Esquemas, Ideales Maximos, Ideales Primos, Geometría Algebraica, Ejercicios.

Clase 4: Gavillas Coherentes. Esquemas y CE 2024

2024-01-31T15:24:00.000-08:00

Título del Video: Curso de Curvas Elípticas - Clase 4: Gavillas Coherentes Descripción: La cuarta clase del curso se dedica a la teoría de gavillas coherentes, comenzando con la definición y estudio de gavillas cuasicoherentes y coherentes, tanto en el contexto de esquemas afines como en esquemas generales. Se enfatiza la relación entre las gavillas coherentes y los módulos sobre un anillo, así como la definición de gavillas coherentes en términos de presentaciones finitas, lo cual es fundamental para la comprensión de su estructura y aplicaciones en la geometría algebraica. Adicionalmente, la clase introduce los esquemas como funtores de puntos, un concepto avanzado que amplía considerablemente la perspectiva sobre los esquemas y su interacción con otras áreas de las matemáticas. Esta discusión marca un paso importante hacia la comprensión de los fundamentos y las aplicaciones modernas de la teoría de esquemas. Palabras clave: Gavillas Coherentes, Gavillas Cuasicoherentes, Esquemas Afines, Esquemas, Funtores de Puntos, Geometría Algebraica, Módulos.

Clase 3: Esquemas II

2024-01-24T20:35:00.000-08:00

Curso de Curvas Elípticas - Clase 2: Espacios Anillados y Espectro de un...

2024-01-23T20:47:00.000-08:00

Clase O: Introducción a las Curvas Elípticas y a las Formas Modulares

2023-08-25T19:26:00.001-07:00

Ponencia inaugural - Cuentas y espirógrafos

2021-12-13T14:04:00.001-08:00

"p-adic Galois Representations" by Jesús Rogelio Pérez-Buendía (Part. 3/4)

2021-11-11T13:41:00.001-08:00

"p-adic Galois Representations" by Jesús Rogelio Pérez-Buendía (Part. 1/4)

2021-11-11T13:39:00.001-08:00

Clase 14 Curso: Propiedades Geométricas de Variedades Algebraicas. Esqu...

2021-11-07T13:18:00.001-08:00

54CNSMM | “La curva de Fargues-Fontaine: Un recuento y su importancia en...

2021-10-26T22:03:00.001-07:00

Clase 6: Cambios de base y esquemas proyectivos. Curso: Esquemas II

2021-09-10T12:21:00.002-07:00

En esta clase Rocío nos presenta el cambio de base para Proj. Luego estudiamos algunas consecuencias de esto en esquemas proyectivos.

Clase 5: Cambios de base. Curso: Esquemas II

2021-09-04T15:11:00.002-07:00

En esta clase estudiamos el cambio de base en esquemas y presentamos varios ejemplos: extensión de escalares, reducción etc.

Clase II: Productos fibrados. Curso: Esquemas II

2021-08-24T15:28:00.002-07:00

En esta clase. revisamos algunos ejemplos de productos fibrados como límites categóricos. Demostramos que el producto fibrado existe en la categoría de esquemas afines e iniciamos con la demostración de que el producto fibrado de esquemas existe.

Clase 1: Límites y Colímites - Curso : Esquemas II

2021-08-18T17:38:00.002-07:00

Esta es la primera clase del segundo curso de Esquemas. El primeri curso esta aquí: https://youtube.com/playlist?list=PLa...

En esta clase revisamos el concepto de diagrams, conos, coconos, límites y coliímites.

MOSTRAR MENOS

Clase 33: Componentes irreducibles y puntos genéricos. Curso: GA Esquema...

2021-06-10T20:00:00.002-07:00

En esta clase estudiamos las componentes irreducibles en esquemas afines, además establecemos la biyección entre componentes irreducibles, primos minimales y puntos genéricos.

DE BARRAS Y SOMBRAS ACERTIJO

2021-05-21T21:17:00.000-07:00

Clase 28 Esquemas Proyectivos I: Proj(B). curso: GA Esquemas

2021-05-20T18:27:00.000-07:00

Curso: Geometría Algebraica- Esquemas y Curvas Aritméticas.

En esta clase iniciamos con esquemas proyectivos por lo que definimos al espacio topológico Proj(B) y mostramos algunas de sus propiedades.

Curso Grupos de Galois y Grupos Fundamentales

2020-08-10T16:58:00.006-07:00

Ya está en linea los videos del curso de Grupo de Galois y Grupo Fundamental que impartí en el verano del CIMAT-Unidad Mérida.

Grupos de Galois y Grupo Fundamental I

Curso Grupos de Galois y Grupo Fundamental II

Grupos de Galois y Grupo Fundamental III

Grupos de Galois y Grupo Fundamental IV

El dilema del Suceptible

2020-07-28T12:39:00.004-07:00

En tiempos de COVID y confinamiento, cuando la crisis económica obliga a tomar medidas de desconfinamiento para contrarrestar el "otro problema" que se deriva de la crisis económica que se presenta, la gente quiere aprovechar para visitar a sus seres queridos. NO es recomendable, sin embargo, aún así la gente se pregunta cúal es la mejor manera de hacerlo, minimizando el riesgo de contagio.

En este video presento un análisis de dos estrategias comunes entre familias, cuando buscan encontrarse con sus padres o abuelos.

Dentro de este grupo hay, sin saberlo, una persona contagiosa o enferma y todos ellos quieren visitar a una persona 'objetivo' que llamaremos 'el susceptible'.

Video el dilema del susceptible

La cura mágica o el CDS

2020-07-28T08:32:00.007-07:00

Supongamos que un grupo de gente asegura que en Tlatelolco hay un templo Inca, y como evidencia presentan unas fotos que encontraron en google Earth en donde se ven estos montículos. Además ellos aseguran que ese templo tiene grandes poderes para curar casi cualquier enfermedad.

El grupo va juntando adeptos, y como es usual, cada vez más gente se reúne en Tlatelolco para venerar al supuesto templo Inca y curar sus males. Toman más fotos de los montículos y las muestran como prueba de que ahí está el templo Inca y exigen al INAH sacar a la luz el templo y permitir que lo difundan para que la gente vaya ahí a curarse.

Los expertos antropólogos, etnólogos, historiadores, arqueólogos etc., aseguran que no hay evidencia ni histórica ni arquitectónica ni antropológica para pensar que ahí hay un templo Inca, y que por lo que se sabe de la zona y el conocimiento de las culturas prehispánicas que habitaron el lugar, lo más probable es o que se trate de la ruinas de los Tlatelolcas; que las fotos que presentan no son evidencia de la existencia de dicho templo y se les platican los protocolos que se siguen para reconocer ruinas y descartar falsos hallazgos. La gente no lo acepta y se preguntan que por qué no quieren excavar, difunden ideas como la que dice que seguramente hay un complot y que el INAH está respondiendo a los intereses de las grandes constructoras, pues es bien sabido, dicen, que éstas esconden lugares ceremoniales y ruinas prehispánicas para que no haya trabas para construir sus grandes edificios y centros comerciales, qué hay jugosos intereses económicos y que los antropólogos les están haciendo el juego, que están al servicio de estos grandes gremios comerciales.

Los antropólogos explican nuevamente y ahora también en los medios y redes sociales las razones de porqué no es razonable que esos montículos sean un templo Inca, pero la gente insiste, no les creen y exigen al gobierno que se realicen los estudios y excavaciones pues la cantidad de gente que va al supuesto templo ha incrementado y hay ya muchas anécdotas que aseguran que muchos de ellos se han curado por el poder del rezo Inca.

Imaginemos que incluso sale por las redes sociales un presunto doctor en antropología, que además es alemán, asegurando que ha hecho excavaciones y que tiene pruebas de que sí hay un templo Inca, pero sus pruebas las difunde por internet y no en los grupos académicos de antropólogos e historiadores, es decir, no con los expertos. Dice que lo tienen vetado por intereses económicos. El “doctor” prefiere los medios y redes sociales y dice que es para poder, así, ayudar más a la gente.

Supongamos que investigas al “doctor” alemán, y resulta que su “doctorado” es de una universidad que sólo existe en internet, y que se caracteriza por vender sus títulos con poco esfuerzo y mucho dinero, que el “doctor” supuestamente tiene artículos de investigación que publicó en revistas especializadas y con revisión por pares, pero es falso; tiene escritos pero con números de validación e identificación, DOI, falsos. Aún así los revisas y te das cuenta que carecen de la metodología mínima requerida para que estos sean publicables en revistas especializadas.

¿Qué pensarías?¿le otorgas en beneficio de la duda? ¿le escribirías al gobierno pidiendo que ya se hagan esos estudios porque hay mucha gente que va a ese lugar y asegura curarse de sus males?

Siempre hay posibilidad de que tengan razón pero...

Si sabes que excavar es costoso, si consideras además que se sabe bastante sobre la zona y las culturas prehispánicas y aunque no específicamente de esos montículos, pues esos no los han excavado. Sabes además que se está haciendo investigación y se están invrtiendo muchos recursos para encontrar curas a las enfermedades con las que supuestamente se están curando en el templo. Investigación con los protocolos requeridos y los laboratiorios correspondientes, pero la gente insiste y te dice que no estás presentando evidencia, tú cómo antropólogo, de que esos montículos NO son un templo Inca, y que estás cayendo en los mismos errores metodológicos y de falta de rigurosidad científica, mismos que le criticas a los que defienden que ahí hay un templo, que es tu responsabilidad como estudioso de las culturas prehispánicas y ruinas el demostrar que es, o no, un templo Inca.

¿Qué hacer?

Supongamos que en efecto hay ya mucha gente que cree en ese templo y el gobierno se ve en la necesidad de sacar comunicados diciendo que no hay estudios ni evidencia de que haya tal templo. ¿Le pedimos que ya hagan esos estudios?

A lo mejor, pero….

¿Y si se hicieran los estudios? digamos que el gobierno le dice al INAH o a la UNAM que los haga y sus resultados son que no hay tal templo ¿la gente lo creería? ¿Cambiaría la persecución mágica de la gente, o preferirían seguirle creyendo al alemán?

Pues es algo así lo del CDS.

¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

2017-08-01T19:01:00.001-07:00

La respuesta corta que yo doy a esta pregunta es la siguiente:

"Las matemáticas se crean y se descubren. Las dos cosas pasan."

Ahora intentaré justificar tal afirmación trabajando con un ejemplo sencillo. Los números.

Un día inventamos (o se inventaron) los números naturales, posiblemente por la necesidad de contar y como consecuencia de observar el mundo que nos rodea, pero un invento a fin de cuentas y que seguramente no se dio de un día para otro. Junto con los números tenemos sus operaciones de suma y multiplicación.

Dado un número cualquiera, nos podemos preguntar: ¿es este número producto de otros dos números? por ejemplo, el 10 es producto del 5 y del 2. Se observó entonces que había números particulares, los que sólo se pueden escribir como producto de ellos y el uno. El 7 es uno de ellos: la única forma de escribirlo como un producto de otros dos números naturales es 7x1 o 1x7. Esto, por trivial que parezca, es ya un descubrimiento. Nosotros sólo inventamos los números y la manera de operarlos, pero el hecho de que existan números que sólo se faectorizan trivialmente es un descubrimiento que no inventamos. Estos números fueron bautizados con el nombre de números primos. Luego nos podemos preguntar que cuántos de estos números hay: ¿habrá sólo un número finito de números primos? haciendo investigación, se descubrió que de hecho hay una infinidad de números primos, y el hecho que haya una infinidad de primos NO es un invento. Existen varias demostraciones de esto.

Para aclarar mejor el punto inventemos un juego:

1) Tomemos los números del 1 al 12 y sólo estos números.

2) En vez de la suma usual, sumémoslos como en un reloj: es decir 5+11 = 4 (porque en un reloj, si son las 5 y pasan 11 horas, el reloj marcará las 4).

3) De igual manera puedo definir una multiplicación que sea similar en concepto a lo que hace la multiplicación usual, es decir que la multiplicación nos indique el número de veces que sumamos: 4x 5 = 5+5+5 +5 (sumamos 4 veces el 5 con la suma del reloj), así 4x5 = 8. Notemos que: 4x 5 = 4+4+4+4+4 y si el reloj marcan las 4 y pasan otras 4 horas entonces el reloj marca las 8 y si luego pasan otras 4 el reloj marca las 12 y si luego pasan otras cuatro el reloj marca las 4 y si pasan otras cuanto el reloj marca las 8.

4) Este es nuestro juego: te doy dos números al azar y tú me respondes el valor de su suma y su producto con las reglas de operación que hemos definido: 7x 3= ? 6+8= ?

Es un juego y no sabemos nada más que la manera de operarlos. Hemos inventado una manera de operar ciertos números.

5) Tengo ahora una pregunta: ¿existen aquí números como los primos? es decir, que sólo se escriban como producto del uno y ellos mismos? ¿Si? ¿no?

Es algo que por lo pronto no sabemos, y que no es directo de las reglas de suma y multiplicación que hemos definido. Si respondes a la pregunta anterior, ya sea afirmativa o negativamente, después de estar jugando un rato o de pensar un poco y llegas a una conclusión, entonces estarás descubriendo algo, algo nuevo que tú no inventaste. Algo que se deduce de tu invento, pero que no sabías a priori.

Así como he presentado las cosas, pareciera que en última instancia primero se inventa y luego se descubre, sospecho que tampoco es necesariamente así. Nosotros ponemos nombre a las cosas que vemos y/o entendemos, a los patrones que encontramos. La invención de los números y sus reglas de operación resultan de la combinación de nuestras necesidades y la abstracción de ellas. Pareciera que los números ya estaban ahí esperando a que nosotros simplemente los bautizáramos como números naturales, como si simplemente los hubiéramos descubierto. Así como una montaña o un planeta existe antes de que sea observado. Después de todo los conjuntos de cosas y objetos estaban ahí y la cantidad de objetos que tiene un grupo o conjunto parece ser algo inherente al conjunto. Los números son justamente esa característica que tienen los conjuntos que nos permite empatar a dos de ellos (su cardinalidad). Así que ese proceso de abstracción de lo que observamos o entendemos nos lleva a inventar cosas que pareciera que sólo hacía falta descubrir o que tal vez estemos en realidad descubriendo y nombrando. En cualquier caso, una vez creado o descubierto un concepto o una teoría matemática hay cosas que descubrir que no inventamos, tal como pasó con los números primos. ¿Y entonces, en primera instancia qué paso? Pues yo digo que las dos, las dos cosas pasaron y no veo una razón para ordenarlas, pasaron al mismo tiempo, una con otra o una entre la otra, y no pasa nada si no tienen un orden, pero eso sí, las dos pasan: la matemática se crea y se descubre.

Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes.

2016-11-27T10:35:00.000-08:00

Hace unos días escuché a un amigo decir: "Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes" y la pregunta entonces: ¿En qué día de la semana se dijo el comentario, asumiendo que mi amigo dice verdad?
Si suponemos que el día que se dijo la frase es hoy, la frase en cuestión es la siguiente:
"Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes. ¿Qué día es hoy?"

Evidentemente la pregunta se refiere a que qué día es hoy, si la frase que le precede es verdadera. En todo caso eso es lo que deberíamos entender para no trivializar el problema.

Para facilitar el análisis asociemos a cada día de la semana un número en orden consecutivo de tal manera que el 1 sea el Lunes y el 7 el domingo. Con esta convención el día viernes corresponde con el 5. Además asumiremos que si sumo un día al domingo llegaremos al lunes, es decir que 7+1 = 8=1 y análogamente que si al lunes le restamos un día llegamos al domingo, es decir que 1-1=0=7. Es decir estamos sumando cíclicamente o como nos gusta decir a los matemáticos, estamos sumando 'módulo 7'. Así, por ejemplo, El 4+6 (que corresponde al jueves sumarle 4 días) representa el 3 (es decir el miércoles), es decir 4+6=3.

Una vez acordado esto proseguimos an análisis del problema.

Denotemos por $H$ a el día de hoy, es decir al día en que el supuesto interlocutor lanza la pregunta. En otras palabras, H denota el día que la frase "Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes" se hace verdadera.Lo que queremos argumentar es que $ H$ puede ser el domingo o el miércoles y nada más. Es decir, queremos demostrar que $ H$ es el 3 o el 7 ¿De acuerdo?

Lo primero que tenemos que identificar son los distintos tiempos. 'El tiempo de facto' que es el tiempo real en el que el vive el supuesto interlocutor que lanza la pregunta. El interlocutor lanza la pregunta el día $ H$. Así para el interlocutor tenemos el día de mañana de facto, que dentaremos por $ M$ y el día de ayer de facto que denotaremos por $ A$ (los días de facto con mayúsculas). El otro tiempo es 'El tiempo hipotético' del interlocutor. El día de hoy hipotético es el viernes de acuerdo a la frase y pregunta que lanza el interlocutor. Si denotamos con letras minúsculas $ h,m,a$ al día de hoy, mañana y ayer hipotéticos entonces tenemos que $ h=5$ (pues sería el viernes).

Una vez identificados nuestros tiempos de facto e hipotéticos y sus correspondientes letras pasaos a traducir la frase.

"Si ayer fuera mañana" se puede interpretar de 4 formas posibles 2 de las cuales son claramente imposibles, dejando sólo dos formas viables:
1) $ a = M$ (si ayer fuera mañana, interpretado a ayer hipotético y el mañana de facto).

2) $ A = m $ , si ayer fuera mañana interpretado ayer como el ayer de facto y al mañana hipotético.

3) $ A= M $ , interpretado el ayer y el mañana de facto. Lo cual es imposible, es decir no es posible que ayer sea mañana.

4) $ a=m $ , interpretando al ayer y al mañana hipotético. Lo cual también es imposible pues suponer que ayer es al mismo tiempo mañana no tiene sentido, ni aunque sea hipotético.

Así los únicos casos viables son el 1) y 2). Por lo tanto habrá cuando mucho 2 soluciones posibles. Veremos a continuación que ambos casos dan soluciones posibles.

Caso 1) $ a = M $ . La continuación del problema dice entonces que si $ a=M $ entonces hoy es viernes, es decir si $ a = M $ entonces $ h = 5$. Pero $ a = h-1 $ por lo que $ a =4 $ (es decir ayer hipotético es jueves) pero por hipótesis $ a = M $ ($ a = M$), entonces el Mañana de facto es jueves es decir el Hoy de facto $ H = M-1 = 4-3 = 3$, es decir el hoy de facto es miércoles. Esta es la primera solución posible.

Caso 2) $ A = m$. La continuación del problema dice que $ h=5$. pero $ m=h+1 = 6$ es decir el mañana hipotético es sábado. Pero $ A= m$ entonces $ A = 6$ que significa que el ayer de facto es sábado, esto quiere decir que el hoy de facto, es decir $ H = A+1 = 6+1 =7$ corresponde al domingo. Que es la otra solución.

Por lo tanto hay exactamente dos soluciones, una correspondiente al miércoles y que se desprende de suponer que el mañana de facto es igual al ayer hipotético y la otra que corresponde al domingo que sale de suponer que el ayer de facto es igual al mañana hipotético.

La otra opción de solución es hacer un análisis exhaustivo suponiendo que el día $ H$ es el lunes y ver las consecuencias, luego el martes, luego el miércoles y así hasta llegar al domingo. Por ejemplo si $ H$ es 1, es decir si el día de facto es el lunes entonces ayer es domingo (ayer de facto) y si ayer fuera mañana entonces mañana (mañana hipotético) sería domingo, es decir hoy (hoy hipotético) sería lunes (que no es viernes). O bien si $ H$ es lunes entonces mañana es martes y si ayer fuera mañana ayer sería martes lo que dice que sería miércoles (que no es viernes). Por lo tanto suponer que hoy es lunes no hace verdadera la frase completa. Y así sucesivamente....

2016-06-30T16:41:00.001-07:00

GAGA y Geometría Analítica Rígida

(una invitación a la geometría algebraica p-ádica)

En geometría algebraica tradicional (de variedades definidas sobre el campo de los números complejos) tenemos que la geometría compleja es una herramienta de gran importancia, especialmente por el poder que brindan los teoremas de Serre llamados ``GAGA'', que establecen una estrecha relación entre las variedades algebraicas complejas y las variedades complejas (complex manifolds) y entre sus funciones (entre sus respectivas gavillas de funciones).

En geometría aritmética (que en pocas palabras es el estudio de problemas que provienen de teoría de números usando geometría algebraica), al trabajar con variedades algebraicas definidas sobre campos arbitrarios (por ejemplo campos de característica p > 0 o característica mixta), nos gustaría poder contar con una herramienta similar a la geometría compleja en donde podamos relacionar a las variedades algebraicas, objetos geométricos ``más manejables''; en particular en donde tengamos una buena teoría de ``funciones analíticas'' tal como pasa en el caso complejo. Concretamente nos gustaría tener una teoría análoga para variedades definidas sobre campos que son completos respecto a una métrica, por ejemplo el campo de los números p-ádicos $\mathbb Q_p$ o el campo de series de Laurent con coeficientes en un campo finito $\mathbb F_p((t))$ o más generalmente, para campos locales.

En un principio, la geometría rígida fue concebida como un intento de construir una versión \emph{no arquimedeana} de la geometría analítica compleja, pero para campos no-arquimedianos (como los números p-ádicos $\mathbb Q_p$). De hecho, su origen se debe a Tate (1960) que al estudiar curvas elípticas sobre campos no-aquimedeanos, quería dar una teoría general de funciones analíticas sobre estos campos que le permitiera ``uniformizar'' dichas curvas de manera análoga a la uniformización compleja de variedades abelianas. Sin embargo, en el curso de su desarrollo de la teoría, la geometría rígida se ha dotado de estructuras muy ricas que han demostrado tener gran potencial para ciertas aplicaciones, al grado de que en la actualidad la teoría es de gran importancia en la Geometría Aritmética. Como ejemplo de dichas aplicaciones mencionaré algunas: La prueba de la conjetura de Langlands para $GL_n$, la solución de la conjetura De Abhanskar referente grupos fundamentales en característica positiva, el trabajo de Kisin en la modularidad de representaciones de Galois y el reciente e importante trabajo de Sholoze sobe espacios perfectoides y teoría p-ádica de Hodge.

En este curso abordaremos las bases de la geometría rígida desde el punto de vista clásico. El objetivo fundamental de este minicurso, además de presentar a los estudiantes esta bonita y fructífera rama de la geometría aritmética, será la de presentar los análogos a los teoremas GAGA de Serre. Si el tiempo lo permite se abordará el problema de uniformización en variedades abelianas. Para esto recordaremos lo que dicen dichos teoremas en el caso complejo y desarrollaremos la teoría y conceptos necesarios para sus análogos no-arquimedianos.

Este curso está pensado para estudiantes al final de la licenciatura y de posgrado. Se tratará de explicar las ideas generales y presentando sólo las pruebas que son ilustrativas en el desarrollo de la teoría. El curso será pues, una invitación al estudio de la geometría analítica rígida y a la geometría aritmética en general. Se supondrá que el estudiante conoce los conceptos básicos de geometría algebraica y no más (aunque sería bueno si se ha oído hablar de esquemas con anterioridad).