Les Options

Volatilité et spread sur l'EURUSD

2013-02-21T14:07:00.001+01:00

Petite pause cause vacances et je m'aperçois que ça reste stable....glacé. On aura l'occasion de revenir sur l'utilisation des symétries de deltas vu la fois précédente bientôt.
En regardant un peu ce qu'on a sur les devises, en particulier en ce qui concerne le trading sur l'eurodollar
voilà ce qu'on obtient selon www.strategies-options.com

Au moins jusqu'à d'ici 2 mois, c'est le calme qui est anticipé.

Delta Symmetry

2013-01-22T11:33:00.003+01:00

La réponse à cette question est très pratique et comme on dit, "A Tout Seigneur Tout Honneur".

J'ai repris l'article de Global Hedge qui s'intitutle "On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry" écrit par Morgane TRAMASAYGUES .
Voici l'article, en anglais dans le texte :

After « Call Put Parity », « Call Put Symmetry », « SuperSymmetry »....now..... « Ultimate Symmetry ».
Here we are !

Ultimate Symmetry is a particular relationship for options with the same maturity that is really interesting from a trader’s point of view. Despite being derived in a world where implied volatility remains the same for every strike on a given expiry, it helps traders to find options that would naturally match their greeks in the real world.

I - A « Flat Vol’ » World

Assume that all strikes for a maturity T have the same implied volatility – a « Flat Vol’ World » ( It doesn’t mean that every maturity needs to have the same implied volatility, but every strike for each maturity has the same one).

If one set for that maturity T the Delta Neutral Straddle Strike as

K_{Delta Neutral Straddle} = S . exp(( r - q + 0.5.σ²).T)

Where
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T expiry (in year(s))
σ implied volatility

(Which is the strike where Call and Put have deltas that exhibit the same absolute value, it’s also the strike where vega is maximum and then volga is nil (∂Vega /∂σ = 0 )).

Then,

For every Call struck at KCall with the same maturity T it exists a Put struck at KPut with maturity T that matches simultaneously the absolute values of delta, gamma and vega, and,

K_Put = (K_{Delta Neutral Straddle} )² / K_Call

For that Strike We have,

Delta Symmetry :      Δ Put = - Δ Call
The delta of a Call struck at K has the opposite value as the delta of a Put struck at (K_{Delta Neutral Straddle})²/K .
ΔC( S, K, r, q, σ, T ) = - ΔP( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )

Gamma Parity : Γ Put = Γ Call
The gamma of a Call struck at K has the same value as the gamma of a Put struck at (K_{Delta Neutral Straddle})²/K .
Γ C( S, K, r, q, σ, T ) = Γ P( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )

Vega Parity : νega Put = vega Call
The vega of a Call struck at K has the same value as the vega of a Put struck at (K_{Delta Neutral Straddle})²/K .
Vega C( S, K, r, q, σ, T ) = Vega P( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )

In a Black-Scholes world, if you’ve found for a given asset which is worth XXX USD, K_{Delta Neutral Straddle} = 110 for a given maturity T,
→ You already know how to hedge the delta of a long position of 500 Calls struck at 179 with the same maturity by buying 500 Puts struck at KPut = (110)² / 179 = 67.59
The 67.59 Put and de 179 Call with the same maturity will have opposite deltas, the same gamma and the same vega.

Risk Reversal.
As far as you know that KDelta Neutral Straddle = 110 , you know how to build a Risk Reversal that is gamma neutral and vega neutral using for example a long 120 Call with the same maturity T, by selling a Put struck at KPut= (110)² / 120 = 100.83 with maturity T.

Vega Weighted Butterfly
If K_{Delta Neutral Straddle} = 110 , you know how to build a Vega Weighted Butterfly using the 120 call with the same maturity T, and the Put struck at (110²)/120 = 100.83 with maturity T by selling 1 Straddle struck at K_{Delta Neutral Straddle} = 110 and buying (Vega Call _{Delta Neutral Straddle} / Vega Call 120 ) . Strangle (120 Call + 100.83 Put )

II - A Real World

In a flat vol’world, that would match (-)delta, gamma and vega. You won’t even have to care about ΔCall ΓCall and νega Call values, you already know that they will naturally match. There would be no need to price them.

Our world is not a flat BS Implied Volatility World, that’s a fact, but the relationship remains valid as an approximation. It provides a simple way to approximate the real solution. It may even provide tools to price for a given delta how far from the BS strike the market strike is, as a pricing tool for the skew. It provides also a different way to replicate knock out / knock in options using a risk reversal.

Derivations

Δ is the delta for the strike K
Γ is the gamma for the strike K
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T maturity (in year(s))
σ implied volatility

d1= ( ln(S/K) + (r-q + 0.5. σ²)T ) / σ√T

Delta Symmetry :      Δ Put = - Δ Call

For KPut = (KDelta Neutral Straddle )² / KCall

We have

d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S/(K²DeltaNeutralStraddle / KCall) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /(K²DeltaNeutralStraddle) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /( S . exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S.(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2( r-q + 0.5.σ²).T + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -( r-q + 0.5.σ²).T) / σ√T

d1Put= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = - (ln(S / KCall) +( r-q + 0.5.σ²).T / σ√T) = -d1Call
d1Put= -d1Call            hence   -d1Put= d1Call

N(-d1Put) =N (d1Call )
Exp(- qT).N(-d1Put) = Exp(- qT).N (d1Call )

Then, -Δ Put = Δ Call

Gamma Parity : Γ Put = Γ Call

If d1Put= -d1Call

Then,

Since n(x) = 1/(√2π)exp(-x²) is an even function
n(-d1Put) = n (d1Call )
Exp(- qT). n(-d1Put) / ( S σ√T ) = Exp(- qT). n (d1Call ) / ( S σ√T )

And Γ Put = Γ Call

Vega Parity : νega Put = vega Call

Since vega = Γ . σ . S² . T

if Γ Put = Γ Call

Then, (σ . S² . T). Γ Put = (σ . S² . T). Γ Call

And , νega Put   = vega Call

Références et pdf : On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry

Question Delta Symmetry

2013-01-09T18:17:00.000+01:00

Un petit quizz pour l'effet "Starter" début d'année. Ça permet de vous souhaiter une bonne année sans commencer le message par la sempiternelle phrase et c'est déjà une prouesse.

Petit Quizz de décrassage de cerveau : Question Delta Symmetry - si on imagine qu'on est dans un monde version Black & Scholes, comment connaissant le strike d'une option je peux trouver immédiatement le strike d'une autre qui matche le delta ? Posée différemment, si on vous donne le prix d'un call strike X, comment vous faites pour trouver le strike du put Y tel que le portefeuille call X + put Y est delta neutre ?

La réponse est ici

Le point sur les volatilités implicites sur le DJ EuroStoxx 50 au 20 Dec 2012

2012-12-20T16:23:00.000+01:00

C'est marrant, des fois on se dit "avec tout ce qu'on entend, la fin de tout est proche". Même avec 2 ou 3 optimistes parmi les commentateurs, le travail de longue haleine pour nous expliquer que les effets de la crises - c'est maintenant ! - et qu'avec tous les mauvais remèdes, plus dure sera la chute.

D'un autre côté, on a le marché. Et lui, les commentaires, il les aime bien mais il s'en fout.
Alors quand on regarde un peu ce qu'il valorise ce marché, voilà ce qu'on a avec un future DEC 12 à 2655 :

Et ATMF , on a :

En un mois ( 20 Nov - 20 Dec ) (=> le dernier post ici ) la volatilité ATMF a baissé de 4%, faut attendre mars et juin pour avoir une baisse de 3% et 2%.
Le calme est là, c'est clair. Donc si fin du monde et/ou fin de la zone Euro etc... et bien on le prend plutôt bien !

Bonnes fêtes de fin d'année à tous !

Le point sur les volatilités implicites sur le DJ EuroStoxx 50 au 20 Nov 2012

2012-11-21T00:28:00.001+01:00

On avait mis ça de côté depuis l'été tellement la volatilité sur les indices européens était soporifique, il fallait bien faire un point avant la fin de l'année sur ce sujet quand même.

En reprenant les volatilité par strike (prix d'exercice) et par maturité cela donne pour les échéances jusqu'à Juin 2013 :

On remarque bien les volatilités qui sont croissantes pour un strike donné en fonction de la maturité. Plus la maturité augmente, plus la volatilité implicite augmente.
Ce type de représentation est intéressant une fois qu'on connait les caractéristiques de chaque strike, mais pas avant. C'est pour cette raison que je les représentais en fonction de la moneyness et pas en fonction du strike. Les contrats futures sur lesquels sont "écrites" les options ne sont pas les mêmes pour toutes les maturités.

Si on recalcule comme au dessus la volatilité implicite ATMF (Strike = Forward), et le strike par maturité tel que le delta soit 50%, on voit bien qu'il peut y avoir des différences très importantes en fonction de l'échéance choisie. Entre Dec 12 et Jun 13, 50 points environ soit 2%.

Petite hausse des volatilités implicites sur le DJ EUROSTOXX 50

2012-08-24T15:21:00.001+02:00

C'est la fin des vacances.....pour tout le monde. On espère que ce sera la rentrée aussi pour les volatilités sur le DJ Eurostoxx50 qu'on puisse initier une bonne stratégie options.
Pour le moment ça reste douillet, même avec une petite hausse sur les échéances 2012, SEPT OCT NOV et DEC.

Les volatilités ATMF (le contrat Future à la monnaie) restent croissantes avec une différence d'un peu moins de 3 points à jouer sur le calendar spread.

Volatilité implicite en uptrend sur le DJ EUROSTOXX 50

2012-07-18T15:26:00.000+02:00

C'est l'été et on peut finir par croire que tout le monde a posé ses vacances au même moment sur les marchés.
Après les vagues de baisse et les mises en garde sur les perspectives de la zone euro (et des entreprises de la zone euro), le calme transpire des volatilités des options sur l'indice européen de référence.

Si on enlève l'échéance la plus courte, on voit que sur Aout c'est la plage et les cocotiers.
Septembre ouvre un œil et c'est Décembre qui revient sur des niveaux de volatilité qui correspondent plus à ce que l'on a rencontré sur le premier semestre 2012.

Quand c'est les vacances, c'est les vacances !

Le calme avant la tempête ?

2012-06-14T07:48:00.001+02:00

Petit break sur la volatilité de l'indice DJ EuroStoxx 50.
Depuis quelques jours, l'indice ne bouge plus trop et pourtant, les news ne sont pas réjouissantes, c'est le moins qu'on puisse dire.

Fait plutôt sympa avec les options et qui ne peut pas être observé par les variations de l'indice lui même, c'est que la volatilité implicite des options ne s'est pas effondrée, elle.

On reste autour de 30% ATMF (entre 29.43% et 30.17%).
Petit calme avant la tempête ?

L'échéance Avril arrive à grands pas pour les options sur le DJ EuroStoxx 50

2012-04-19T11:10:00.000+02:00

Il ne reste plus beaucoup de temps, 2 jours, avant l'échéance des options sur Avril.

▪ Le Smile de Volatilité se renforce pour l'échéance Avril et reste quasi inexistant pour le reste de l'année.

→ L'effet est technique et dû à la maturité très courte de ces options.

▪ Le skew sur les échéances moyennes et longues apparait semblable.

→ l'amplitude des variations d'un mouvement brusque de baisse est identiquement intégré sur toutes les échéances.

La volatilité implicite du DJ eurostoxx 50 réagit vite

2012-04-11T14:18:00.003+02:00

Après les baisses marquées sur les indices européens, il était concevable que les volatilités implicites devaient réagir. On n'a pas été surpris.
En regardant les volatilité avec une matrice, par échéance et par "moneyness" on peut avoir une vue bien plus précise sur la manière dont les sentiments de marché se retranscrivent au travers des cours des options.
Les marchés étant tous corrélés, les sentiments (euphorie, peur, ....) exprimés dans les prix des options et représentés en volatilités implicites conditionnent forcément les marchés des sous-jacents, ne serait ce qu'à cause de leurs couvertures.

La volatilité implicite exprimée par spot / strike (moneyness) montre une certaine linéarité sur les échéances longues, et devient plus abrupte au fur et à mesure que l'échéance diminue.

Les niveaux relatifs des volatilités implicites entre échéances montrent une certaine anticipation que font les opérateurs sur les mouvements de l'Eurostoxx 50 au cours de l'année.

Les mouvements sont venus du court terme, avec une volatilité ATMF sur l'échéance Avril qui passe de 19% à 25%. Sur décembre, le mouvement est plus léger, avec une hausse de 23.21% à 24.94%.
On reste à l'affût sur DEC12, un risk reversal -10% / +10% continue à focaliser notre attention.

Une volatilité implicite qui reste basse sur le DJ Eurostoxx 50

2012-04-07T15:15:00.002+02:00

En reprenant les données de la surface de volatilité sur le DJ Eurostoxx 50, on peut facilement constater que la volatilité reste sur des niveaux assez bas vis à vis des derniers accès de violence qu'ont pu connaitre les bourses européennes..

Si on reprend la surface de volatilité publiée sur www.strategies-options.com Surface de Volatilité sur le DJ Eurostoxx 50 au 04-04-2012

On reste très calme sur le prix des options, personne ne s'emporte.
Avec ces prix, on est à un peu plus de 7% de spread en points de volatilité implicite sur le risk reversal -10% / +10% sur DEC12. Peut être un bon trade à jouer.