Life With Mathematics

Μαθηματικοί Γρίφοι 5

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Mon, 04 Jan 2010 00:46:00 +0000

by Θανάσης

Αυτή την φορά θα επικεντρωθούμε στις ακολουθίες. Υπάρχουν 7 ακολουθίες αριθμών που περιμένουν εσάς να πείτε ποιος είναι ο επόμενος αριθμός αλλά και την διαδικασία που σκεφτήκατε για να τον βρείτε.

1)** 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Επιλύθηκε από Άγγελος

2)*** 1, 2, 6, 42, 1806, ...

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

3)**** 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, …

Επιλύθηκε από MARY

4)**** 13, 1.113, 3.113, 132.113, 1.113.122.113, 311.311.222.113,...
(Ευχαριστούμε τον Χρήστο που μας τον έδωσε)

Επιλύθηκε από Πέτρος

5)***** 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101,….

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

6)* 90, 85, 75, 60, 40,…

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

7)*****

1=5
2=25
3=325
4=4325
5=?

(Ευχαριστούμε τον Χρήστο που μας τον έδωσε)

Επιλύθηκε από MARY

QED ή Τι απέδειξε ο κύριος Φάυνμαν

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Mon, 21 Dec 2009 17:28:00 +0000

by Θανάσης

«Ότι δεν μπορώ να δημιουργήσω, δεν το καταλαβαίνω» είναι η φράση που αντιπροσώπευε την στάση του Ριτσαρντ Φάυνμαν(RICHARD P. FEYNMAN) απέναντι στην γνώση.

Αυτές τις μέρες στην «Θόλο» του Κέντρου Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος»(Πειραιώς 254) παίζεται(Πρεμιέρα: 18 Δεκεμβρίου 2009) μια παράσταση που πραγματεύεται τα τελευταία χρόνια της ζωής του Ριτσαρντ Φάυνμαν. Παρότι η παράσταση κινείται χρονικά σε αυτήν την περίοδο υπάρχει μια αναδρομή στις σημαντικότερες στιγμές που σημάδεψαν την ζωή του Φάυνμαν ως επιστήμονα αλλά και ως άνθρωπο. Είναι μια καλοδουλεμένη παράσταση η οποία υποστηρίζεται από ψηφιακές αναπαραστάσεις της κίνησης των ηλεκτρονίων, των φωτονίων αλλά και των πλανητών που προβάλλονται στη «Θόλο» κατά τη διάρκεια της παράστασης καθιστώντας περισσότερο κατανοητά τα όσα αναφέρονται μέσα στο έργο. Και όπως ήδη θα καταλάβατε προτείνεται ανεπιφύλακτα (Ο τίτλος της ανάρτησης είναι και τίτλος του έργου).

Ποιος ήταν ο Φάυνμαν;

Γεννήθηκε στο Μπρούκλιν της Νέας Υόρκης το 1918. Ήταν ένας από τους σημαντικότερους θεωρητικούς φυσικούς, ο οποίος τιμήθηκε και με το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής(1965) για την δουλειά του στην Κβαντική Μηχανική, ειδικά για τη συμβολή του στην ανάπτυξη της Κβαντικής ηλεκτροδυναμικής. Η Κβαντική ηλεκτροδυναμική βασίζει τους υπολογισμούς της στα περίφημα «διαγράμματα του Φάυνμαν» που αναπαριστούν τις αλληλεπιδράσεις των ηλεκτρονίων του ατόμου με τα φωτόνια. Σπούδασε μαθηματικά στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ) και αμέσως μετά έγινε δεκτός στο Πρίνστον για το διδακτορικό του. Στα νεανικά του χρόνια και ενώ τελείωνε τις σπουδές του στο Πρίστον το 1942 γνώρισε την φρικαλεότητα του Παγκοσμίου πολέμου. Και μόνο η πιθανότητα να καταφέρουν η γερμανοί να ανακαλύψουν πρώτοι την πυρηνική βόμβα τον έκανε να δεκτεί να μπει στο «Manhattan project» που είχε σκοπό την ανακάλυψη μιας μεθόδου για την αύξησης της συγκέντρωσης του ²³⁵U και απόρριψης του ²³⁸U (Εμπλουτισμός ουρανίου). Το 1950 έγινε καθηγητής της θεωρητικής φυσικής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας (Caltech), όπου και παρέμεινε ως το τέλος της ζωής του. Δημοσίευσε 37 εργασίες κατά τη διάρκεια της σταδιοδρομίας του. Από τα πιο γνωστά επιστημονικά του έργα είναι οι «Διαλέξεις Φάινμαν για τη Φυσική» (The Feynman Lectures on Physics), όπου πολλές φορές με εκλαϊκευμένο τρόπο δίνονται προχωρημένες έννοιες της φυσικής. Επίσης, είναι πολύ γνωστός για το αυτοβιογραφικό βιβλίο του με τίτλο «Σίγουρα θα αστειεύεστε κ. Φάινμαν», όπου περιγράφει ιστορίες από την προσωπική και επαγγελματική ζωή του.

Μαθηματικοί Γρίφοι 4

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sat, 19 Dec 2009 18:57:00 +0000

by Θανάσης

5 νέοι γρίφοι περιμένουν την λύσης σας

Η λύση θα γίνεται αποδεκτή όταν θα είναι και ορθά τεκμηριωμένη

1)*****

Παίζετε με τον φίλο σας και παίρνετε διαδοχικά 1 ή 2 ή 3 κέρματα από ένα σωρό γνωστού αριθμού κερμάτων. Α) Χάνει το παιχνίδι εκείνος που παίρνει το τελευταίο κέρμα Β) Κερδίζει αυτός που παίρνει το τελευταίο κέρμα. Πως θα νικήσετε(με ποια στρατηγική) τον φίλο σας σε κάθε μια από τις διαφορετικές περιπτώσεις(Δηλαδή θέλω μια λύση για ο Α και μια για το Β)

Επιλύθηκε από MARY

2)***

Από τους 120 μαθητές ενός σχολείου τον Ιούνιο οι 70 πέρασαν και οι υπόλοιποι μετεξεταστέοι για τον Σεπτέμβριο. Η ανακοίνωση για τους μετεξεταστέους ανέφερε : 36 στα Αρχαία Ελληνικά, 35 στην Πληροφορική , 40 στα Μαθηματικά και 42 στην Ιστορία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και στα τέσσερα μαθήματα?

Επιλύθηκε από KOS

3)*****

Υπάρχουν 5 καπέλα εκ των οποίων τα 3 είναι κόκκινα και τα 2 είναι μαύρα.

Είναι 3 κατάδικοι που ο καθένας τους φοράει ένα από αυτά τα 5 καπέλα (κόκκινο ή μαύρο). Οι 3 κατάδικοι στέκονται ο ένας πίσω από τον άλλο με τον πρώτο να κοιτάει τον τοίχο της φυλακής τον δεύτερο να μπορεί να δει το καπέλο του πρώτου και τον τρίτο να μπορεί να δει τα καπέλα των 2 μπροστινών του. Έρχεται ένας δεσμοφύλακας(ο οποίος σκοτώνει οποιονδήποτε ψεύδεται) και ρωτάει τον τελευταίο κατάδικο «Τι χρώμα καπέλο φοράς ;» ο τρίτος του απαντάει και ο δεσμοφύλακας τον σκοτώνει . Μετά ρωτάει τον μεσαίο, παίρνει μια απάντηση και τον σκοτώνει. Τέλος ρωτάει τον πρώτο και αυτός ατάραχος και με κάθε βεβαιότητα λέει την απάντησή του και ο αστυνομικός τον αφήνει να ζήσει. Πως ήξερε ο πρώτος τι χρώμα καπέλο(και ποιο είναι το χρώμα) φορούσε και απέφυγε τον θάνατο?

Σημείωση : Οι κατάδικοι δεν ακούνε τις απαντήσεις που δίνουν τα άτομα που είναι από πίσω τους παρά μόνο ακούν τον κρότο του πιστολιού

(Ευχαριστούμε τον Παύλο που μας τον έδωσε)

Επιλύθηκε από KOS

4)*

Έχω ένα μπουκέτο λουλούδια. Όλα τα λουλούδια είναι τριαντάφυλλα εκτός από δύο, όλα είναι γαρίφαλα εκτός από δυο και όλα είναι μαργαρίτες εκτός από δύο. Πόσα λουλούδια έχουμε?
Επιλύθηκε από keadas

5)***

Ένας πεζός βαδίζει με 6 χμ/ω και ακολουθεί τις γραμμές του τραμ από Σύνταγμα προς Γλυφάδα. Στα 2χμ τον προσπερνά ένα τραμ που ξεκίνησε από το Σύνταγμα 10 λεπτά αργότερα. Αφού βάδισε 11 + 1/3 χλμ ακόμα συναντήθηκε για 2 φορά με το τραμ που επέστρεφε από την Γλυφάδα. Αν το τραμ έμεινε στην Γλυφάδα για 10 λεπτά ποιο είναι το μήκος της γραμμής του τραμ(Σύνταγμα-Γλυφάδα)?

Επιλύθηκε από MARY

Γραφικές παραστάσεις με Matlab

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Fri, 04 Dec 2009 12:54:00 +0000

by Θανάσης

Όταν πήγαινα εγώ γυμνάσιο και μάθαινα την μορφή των βασικών γραφικών συναρτήσεων δεν φανταζόμουν ότι κάποια στιγμή «θα έλεγα»(στην μαθηματική γλώσσα) ότι : θέλω την γραφική παράσταση της x^2 και θα είχα την ακριβή της μορφή σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. Και παρόλο που δεν έχουν περάσει και πολλά χρόνια από τότε σήμερα αυτό φαντάζει κάτι καθημερινό και απλό.

Υπάρχουν πολλά προγράμματα που κάνουν την συγκεκριμένη δουλεία, το matlab θεωρείτε ένα από τα καλύτερα του είδους. Εδώ να πούμε πως το matlab κάνει και άλλα πολλά αλλά εδώ θα το εξετάσουμε μόνο σε ότι αφορά τις γραφικές παραστάσεις(Γενικά το MATLAB είναι ένα μαθηματικό πακέτο αλλά και μια γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου για τη μελέτη κάθε είδους μαθηματικών συναρτήσεων ) Πάμε να δούμε κάποια βασικά:

·
Ας πούμε ότι θέλαμε να δούμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης του ημιτόνου από 0 μέχρι 8π. Αρκεί να δηλώσουμε ένα διάνυσμα x να κινείται μεταξύ [0, 8π]

>> x=0:pi/100:8*pi;

(Παρατήρηση: Στην σύνταξη αυτή το 0 δηλώνει την αρχή το pi/100 το βήμα και το 8*pi την τελική τιμή)

Έπειτα με την εντολή «plot(x,sin(x))» παίρνουμε την γραφική παράσταση που θέλαμε.

>> plot(x,sin(x))

· Ακόμα θα μπορούσαμε στο ίδιο παράθυρο να εμφανίσουμε πολλά γραφήματα ώστε να μπορέσουμε να παρουσιάσουμε τις διαφορές τους

Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε με την εντολή subplot(i,j,k). Με i*j να δηλώνει τον αριθμό των γραφημάτων και k ποιο από αυτά είμαστε(Με το παράδειγμα πιστεύω θα γίνει κατανοητό).

Ας πούμε ότι θέλουμε να δούμε τις συναρτήσεις του ημιτόνου(sin), συνημίτονου(cos), εφαπτομένης(tan), και συνεφαπτομένης(atan) από 0 έως 2π, τότε αρκεί να δώσουμε τις παρακάτω εντολές :

>>x=0:0.1:2*pi;

subplot(2,2,1), plot(cos(x)), title('cos(x)');

subplot(2,2,2), plot(sin(x)), title('sin(x)');

subplot(2,2,3), plot(tan(x)), title('tan(x)');

subplot(2,2,4), plot(atan(x)), title('atan(x)');

και θα πάρουμε το εξής αποτέλεσμα :

Σε αυτό το σημείο να πούμε πως μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιαδήποτε γραφική παράσταση, και όχι μόνο τις συναρτήσεις με ημιτονοειδή μορφή, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

· Ακόμα θα μπορούσαμε στο ίδιο γράφημα να αναπαραστήσουμε 2 γραφικές παραστάσεις. Ας πούμε για παράδειγμα αν θέλουμε να βρούμε την διαφορά φάσης 2 ημιτονοειδών σημάτων θα μπορούσαμε απλά να τα σχεδιάσουμε στο ίδιο γράφημα :

Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε με την εντολή hold. Εδώ τα πράγματα είναι πολύ απλά και απλά όταν θέλουμε να ξεκινήσει το matlab να προσθέτει στο ίδιο γράφημα παραστάσεις δίνουμε hold και όταν θέλουμε να σταματήσουμε απλά γράφουμε hold off.

Π.χ. : Για τις γραφικές παραστάσεις f1=x^2 , f2=(x-1)^2, f3=e^-^x+3*√x

>> x=0:0.1:10;

hold

plot(x,x.^2);

plot(x,(x-1).^2);

plot(x,exp(-x)+3*sqrt(x));

hold off;

Και έχουμε σαν αποτέλεσμα :

Τώρα μπορεί να θέλουμε να σχεδιάσουμε αυτές τις γραφικές παραστάσεις με διαφορετικά σημάδια και χρώματα ώστε να είναι ευδιάκριτες μεταξύ τους.

Αυτά μπορούμε να το πετύχουμε με τις παρακάτω εντολές :

>> x=0:0.1:10;

hold

plot(x,x.^2 ,'g--'), xlabel('άξονας των x'),ylabel('άξονας των y');

plot(x,(x-1).^2,'ro');

plot(x,exp(-x)+3*sqrt(x));

hold off;

Και βλέπουμε στην οθόνη :

Για το τέλος άφησα το πιο εντυπωσιακό κομμάτι του, που είναι η αναπαράσταση 3D γραφικών!

· Θεωρούμε ότι θέλουμε να αναπαραστήσουμε γραφικά την συνάρτηση(2 μεταβλητών) z(x,y)=√x⁵-y⁴+εφ(y) για x και y από 0 έως 15 τότε γράφουμε :

>> [x,y]=meshgrid(0:15, 0:15);

z=sqrt(x.^5)-y.^4+tan(y);

surf(z)

και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα :

Θα κλείσω αυτήν την μικρή παρουσίαση με μια ακόμα πιο εντυπωσιακή γραφική παράσταση που αφορά την αναπαράσταση της f(z)=z^(1/3)

Δηλαδή το Ριμάνιο επίπεδο για κυβικές ρίζες (Όπως βλέπουμε αυτή είναι μια έτοιμη συνάρτηση που περιέχει το matlab και εμείς απλά δίνουμε τιμή στην παράμετρο)

cplxroot(3), title('z^(1/3)')

Παρότι η παρουσίαση είναι μικρή και ελλιπής(με μια μεγαλύτερη ίσως γινόταν πιο απρόσιτη – διλήμματα….) ελπίζω να βοηθήσει κάποιους που σκέφτονται να χρησιμοποιήσουν το matlab. Για αυτό τον σκοπό είμαι διατιθέμενος να βοηθήσω περισσότερο κάποιον ο οποίος δυσκολεύτηκε κάπου ή θέλει να μάθει περισσότερα για κάποιο συγκεκριμένο κομμάτι αυτού.

Μαθηματικό Ποίημα

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sun, 22 Nov 2009 15:44:00 +0000

by Θανάσης

Παρακάτω σας παραθέτω ένα μαθηματικό ποίημα της Μάριον Ντ. Κοέν

Κάποιος έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Η χαρά των μαθηματικών.
Ίσως κάποτε γράψω ένα βιβλίο με τίτλο Το πάθος των μαθηματικών.
Γιατί μες στη νύχτα περιδιαβαίνω
ανάμεσα στη διαίσθηση και τους υπολογισμούς
ανάμεσα σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα
Βρίσκω ειδικές περιπτώσεις με μη λογικές κορυφές.
Βρίσκω ειδικές περιπτώσεις μόνο με καθοριστικές κορυφές.
Λικνίζομαι μέσα και έξω.
Κουνιέμαι μπρος πίσω.
Είμαι ένας ταξιδευτής
μ' ένα λήμμα στο κάθε λιμάνι.

Νομίζω ότι είναι ένα πολύ όμορφο ποίημα το οποίο περιγράφει την αναζήτηση ενός μαθηματικού μέσα στον κόσμο των εξισώσεων. Αλήθεια ένας μαθηματικός (ταξιδευτής) γιατί ξεκινάει για ένα τόσο μακρύ ταξίδι ? Μόνο για να λύσει κάποιες εξισώσεις? ¨Η να αποδείξει κάποια θεωρήματα?
Ένας μαθηματικός είναι μια ανήσυχη προσωπικότητα η οποία δεν συμβιβάζεται εύκολα με το αυτονόητο(εκτός και αν δεν μπορεί να κάνει αλλιώς - αξιώματα).Οι μαθηματικοί αναζητούν την αλήθεια για την μεταβολή αλλά και την σχέση όλων των μετρήσιμων(ή μη) αντικειμένων της πραγματικότητας αλλά και της φαντασίας μας....
Άλλωστε :
"Οι αριθμοί καθορίζουν την τάξη και την αρμονία στο σύμπαν" (Πυθαγόρας)

Μαθηματικοί Γρίφοι 3

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Tue, 17 Nov 2009 12:59:00 +0000

by Θανάσης

To concept λίγο πολύ γνωστό!

5 νέοι μαθηματικοί γρίφοι περιμένουν να τους λύσετε
Καινούργια προσθήκη : Μου γράφετε απαραίτητα και τον τρόπο λύσης αλλιώς δεν θα το δέχομαι

(Ευχαριστούμε θερμά την Martha που είχε την καλοσύνη να μας τους δώσει)

1)***** Ποιον αριθμό πρέπει να συμπληρώσουμε στο κενό;

441 (14736) 144

625 (12516) 96

756 (10832) 256

108 ( ) 90

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

2)** Σε μια οικογένεια που έχει πολλά παιδιά, το κάθε αγόρι έχει τόσες αδερφές όσους και αδερφούς, ενώ το κάθε κορίτσι έχει διπλάσιους αδερφούς από ότι έχει αδερφές. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η οικογένεια αυτή;

Επιλύθηκε από MARY

3)*** Έχουμε ένα ισοζύγιο και 8 μπάλες. Οι 7 μπάλες ζυγίζουν το ίδιο και η μία μπάλα ζυγίζει λιγότερο. Δεν μπορούμε να καταλάβουμε τη διαφορά απλά κρατώντας τις μπάλες. Αν μας επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε μόνο 2 φορές το ισοζύγιο, πως μπορούμε να βρούμε τη μπάλα που ζυγίζει λιγότερο;

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

4)**** Βάλε τα ψηφία από 1 έως 9 στα τετράγωνα, ακριβώς μία φορά το κάθε ένα, ώστε τα αθροίσματα κάθε σειράς, κάθε στήλης, καθώς και των 2 διαγωνίων να είναι 15. Δίνονται τα 2 πρώτα ψηφία!

		6

	3

Επιλύθηκε από MARY

5)**** Να βρείτε τα ψηφία Α, Β και C, τα οποία είναι άνισα μεταξύ τους, ώστε να ισχύει η ισότητα: ABC + ACB = CBA. Η λύση να προέρθει από μαθηματικές πράξεις οι οποίες και να παρουσιαστούν και όχι με δοκιμές.

Επιλύθηκε από George Gramm

Μαθηματικοί Γρίφοι 2

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sun, 15 Nov 2009 19:35:00 +0000

by Θανάσης

Στο παρακάτω άρθρο γράφω κάποιους γρίφους οι οποίοι δεν περιέχουν την λύση. Όποιος από εσάς θέλει μπορεί να μου κάνει comment(σχόλιο) κάποια λύση σε έναν ή πολλούς από αυτούς.

Τα αστέρια δηλώνουν τον βαθμό δυσκολίας κάθε γρίφου.

1)**Σε μια κλειστή λέσχη(με πάρα πολλά άτομα) υπάρχει ένας πορτιέρης που ελέγχει ποιος μπαίνει και ποιος όχι. Για να μην έχουν διάφορους παρείσακτους ανάμεσά τους βρήκαν έναν (μαθηματικό)τρόπο για να ελέγχουν ποιος θα μπαίνει. Σε αυτή την λέσχη θέλησε να μπει και ένας άγνωστος. Κάθισε στην ουρά και περίμενε. Μπροστά του ήταν άλλοι 2 που ήταν μέλη(ξέρανε το κόλπο). Πάει ο πρώτος και του λέει ο πορτιέρης 6 και απαντά αυτός 3 και τον αφήνει να μπει, πάει ο δεύτερος και του λέει(ο πορτιέρης) 8 και απαντά αυτός 4 και τον αφήνει να μπει, πάει ο άγνωστος και του λέει ο πορτιέρης 10 και απαντά αυτός 5 όμως δεν τον άφησε να μπει. Γιατί? Ποιο ήταν το κόλπο που είχαν σκεφτεί τα μέλη της λέσχης?

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

2)***** Έχουμε 10 σακιά με λίρες και μια ζυγαριά ακριβείας. Οι λίρες σε ένα και μόνο από τα σακιά είναι κάλπικες. Οι γνήσιες λίρες ζυγίζουν 10 γραμμάρια, ενώ οι
κάλπικες 9 γραμμάρια. Πως θα μπορούσαμε με μια και μόνο ζύγιση να βρούμε ποιο σακί έχει τις κάλπικες λύρες?
Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

3)**Χρησιμοποιώντας τέσσερα 9(ούτε λιγότερα ούτε περισσότερα) και τις βασικές πράξεις(+ - / *) να σχηματίσετε τους παρακάτω αριθμούς : 0 , 1 , 2 και 100

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

4)****Η ισότητα 5+5+5=550 είναι προφανώς λανθασμένη να τοποθετηθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα την καθιστά αληθή χωρίς να χαλάσει το = (δηλαδή χωρίς να γίνει το = διάφορο) (ευχαριστούμε τον Χρήστο που μας τον έδωσε)
Επιλύθηκε από Martha

5)** 1 + 1 = 1 + sqrt(1) = 1 + sqrt[1*1] = 1 + sqrt[(-1)*(-1)] = 1 + sqrt(-1)*sqrt(-1) =(1)= 1 + i*i = 1 + i^2 = 1 - 1 = 0
(Έστω οτι i^2 = -1, όπου i ανήκει στο I)
Άρα 1 + 1 = 0??? (ευχαριστούμε τον Τάσο που μας τον έδωσε)

Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

Τυχαιότητα και μαθηματικά

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Wed, 11 Nov 2009 00:43:00 +0000

by Θανάσης

Υπάρχει μια αντίληψη(και στον μαθηματικό τομέα) ότι ο αυστηρά καθορισμένος κόσμος των μαθηματικών με τις απόλυτες αποδείξεις και τα αδιαμφισβήτητα θεωρήματα δεν έχει καμία σχέση με την τύχη και τα προβλήματα αυτής.

Τύχη? Τι ορίζουμε όμως ως τύχη? Ο καθένας θα μπορούσε να δώσει και από έναν ορισμό π.χ. είναι να περάσω ένα μάθημα χωρίς να έχω διαβάσει ή να μου τύχει το λόττο ή να χάσω το λεωφορείο. Τυχαίο ονομάζουμε ένα γεγονός του οποίου δεν θα μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα ακόμα και αν το επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες συνθήκες-όσες φορές και αν το επαναλάβουμε. Για παράδειγμα ακόμα και αν ξέρω τα πρώτα 2 εκατομμύρια αποτελέσματα από τις ρίψεις ενός αμερόληπτου* ζαριού δεν θα μπορώ να προβλέψω το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης. Απλό? Καθόλου θα έλεγα. Αυτή η φυσική τυχαιότητα στην ουσία αναιρεί την ισχύ της λογικής. Πριν από λίγο δώσαμε έναν ορισμό της τυχαιοτήτας ο οποίος αναγνωρίζω πως δεν είναι πλήρης. Μα δεν θα μπορούσε να είναι ποτέ πλήρης!!! Η τυχαιότητα είναι μια έννοια η οποία «αντιστέκεται» στην τοποθέτηση αυτής σε καλούπια σε ορισμούς είναι μια έννοια η οποία ξεγλιστράει δεν σε αφήνει να την αρπάξεις…

Μα κάποιος θα μπορούσε να πει : "Και εμένα τι με νοιάζει εγώ είμαι μαθηματικός και έχω τις αποδείξεις μου και ξέρω ότι το 19 είναι πρώτος είτε σας αρέσει είτε όχι". Αυτός ο στατικός τρόπος σκέψης δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά έτσι όπως τα φαντάστηκε και υλοποίησε ο Paul Erdős, ο George Pólya, ο Kurt Gödel ,o John Forbes Nash…... Ναι η ουσία των μαθηματικών είναι η απόδειξη, αλλά μπορούμε να τα αποδείξουμε όλα?(Kurt Gödel θεώρημα της μη-πληρότητας). Η τυχαίοτητα είναι συνυφασμένη με τα μαθηματικά σε βαθμό που έχει αναπτυχθεί ένας ολόκληρος κλάδος που ονομάζεται Πιθανότητες και Στατιστική. Πέρα όμως από τα αυστηρά πλαίσια του κλάδου αυτού θα μπορούσαμε να πούμε ότι τυχαιότητα έχουμε και στην Θεωρία Αριθμών. Ποιος είναι ο παράγοντας που καθορίζει το επόμενο ψηφίο του π, γενικά των άρρητων αριθμών? Θα μπορούσαμε να πούμε πως αυτή η τυχαιότητα είναι που δίνει την μαγεία στα Μαθηματικά. Τι αξία θα είχε αν μπορούσαμε να εξηγήσουμε τα πάντα(ευσεβής πόθος όλων των μαθηματικών) , το πέπλο μυστηρίου γύρω από τις φιλοσοφικές αναζητήσεις μέσα από τα μαθηματικά θα χανόταν για πάντα.
Όπως λέει και ο κ. Ν. Λυγερός :
Το σημαντικότερο στοιχείο των μαθηματικών δεν είναι η λεγόμενη τάξη, αλλά η αμφιλεγόμενη ελευθερία.

Αμερόληπτο: ονομάζουμε, στην συγκεκριμένη περίπτωση, ένα ζάρι που έχει την ίδια πιθανότητα να φέρει 1,2,3,4,5 και 6

Από το τίποτε προκύπτουν πολλά

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Tue, 03 Nov 2009 16:17:00 +0000

by Θανάσης
πηγή: http://www.tovima.gr/

Θα έσφιγγα ευχαρίστως το χέρι όποιου καθηγητή Μαθηματικών σε ελληνικό γυμνάσιο και λύκειο θα με διαβεβαίωνε ότι στην αρχή της χρονιάς αφιέρωσε μία εβδομάδα τουλάχιστον για να συζητήσει με τα παιδιά της τάξης του για το μηδέν. Γιατί ο δικός μου κάποτε αρκέστηκε να μας πει ότι το μηδέν είναι σύμβολο και όχι αριθμός, αφήνοντάς μας να παλέψουμε μόνοι μας στο σκοτάδι των τυπικών αυτών λέξεων να βγάλουμε συμπέρασμα. Η ανακάλυψη ή εφεύρεσή του ανάλογα με το ποιες θεωρίες πιστεύει ο καθένας πρέπει να είναι μια από τις πιο φωτεινές στιγμές του ανθρώπινου πνεύματος. Και το ότι εμείς σήμερα το θεωρούμε κάτι εντελώς δεδομένο και δεν μπαίνουμε καν σε σκέψεις σχετικά με αυτό το αποδεικνύει και το ότι δεν μας παραξενεύει που ενώ η θέση του είναι πριν από το 1, στην αρχή των αξόνων και ανάμεσα σε θετικούς και αρνητικούς, στα πληκτρολόγια των υπολογιστών ή στις συσκευές τηλεφώνου το έχουν τοποθετήσει μετά το 9. Οπου όμως και να το βάλουν εμείς θα το βρούμε και θα το χρησιμοποιήσουμε. Μας είναι αδιανόητο πώς ολόκληροι λαοί ζούσαν κάποτε χωρίς αυτό. Από την άλλη, πρόκειται για μια ζόρικη οντότητα. Ο συγγραφέας Charles Seife, καθηγητής Δημοσιογραφίας στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης, αρθρογράφος στα πιο γνωστά επιστημονικά έντυπα, όπως «Science», «Wired UΚ», «Scientific Αmerican» και «Νew Scientist», μας το θυμίζει παρατηρώντας ότι ενώ για κάθε άλλον αριθμό ισχύει ότι αν του προσθέσουμε τον εαυτό του αρκετές φορές θα υπερβεί σε ποσότητα κάθε άλλον αριθμό, το μηδέν «αρνείται» να γίνει μεγαλύτερο. Αυτός ο «ανυπόστατος» αριθμός που ξεκίνησε ως σύμβολο, ταυτόχρονα υπονομεύει τον πολλαπλασιασμό και (κυρίως) τη διαίρεση.

Μπορεί κάποιος να έχει την απορία πώς μπορείς να γεμίσεις 245 σελίδες για το... τίποτε. Αλλά ο Seife το κατάφερε μια χαρά. Ασχολείται άλλωστε με πολλά, αναμενόμενα και μη. Από το πώς όλοι γιόρτασαν την αλλαγή της χιλιετίας σε λάθος ημερομηνία (31.12.1999 αντί 31.12.2000), αφού δεν υπήρξε ποτέ έτος 0, όταν καθιερώθηκε η νέα αρχή μέτρησης των χρονολογιών με βάση τη γέννηση του Χριστού, ως το μέλλον του Σύμπαντος και την ενέργεια του κενού. Είναι σημαντική η παρατήρηση ότι μόλις η Δύση αγκάλιασε το μηδέν (ναι, υπήρξε εποχή όπου και το μηδέν ήταν κάτι σαν το 666), οι μαθηματικοί ξεκίνησαν να δαμάζουν το άπειρο (και οι θεολόγοι να πασχίζουν να αποδείξουν ότι υπάρχει Θεός). Γεννιούνται ο Απειροστικός Λογισμός, τον οποίο αποτελούν βασικά ο Λογισμός με απειροελάχιστες οντότητες και ο οποίος ονομάστηκε Διαφορικός, και τα ολοκληρώματα, ένα είδος περίτεχνης άθροισης, που ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Οι θεολογούντες με επικεφαλής τον επίσκοπο G. Βerkley επιτέθηκαν στα... βρώμικα κόλπα του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς. Με την επινόηση των ορίων από τον D΄ Αlembert τα πράγματα κύλησαν καλύτερα για τα Μαθηματικά και σήμερα ούτε που μας προβληματίζει το μηδέν. Το καλογραμμένο όμως βιβλίο του Seife μάς θυμίζει την αιώνια αξία του χωρίς να περιλαμβάνει εξισώσεις και άλλα που θα προβλημάτιζαν τον μη μαθηματικό.

Τα ψηφία του π και ο τετραγωνισμός του κύκλου

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Wed, 28 Oct 2009 16:41:00 +0000

by Θανάσης

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Το π είναι ένας αριθμός με άπειρα δεκαδικά ψηφία για τα οποία δεν υπάρχει καμία κανονικότητα (ή δεν έχει ανακαλυφθεί….) Υπάρχει και σχετική ταινία για την αναζήτηση κανονικοτήτων στα ψηφία του π η οποία και προτείνεται (http://www.imdb.com/title/tt0138704/).
Εδώ είναι τα πρώτα 40 ψηφία του π έτσι όπως τα δίνει η Wolfram|Alpha(Τι είναι wolfram|Alpha έχουμε πει στο προηγούμενο άρθρο) :
3.1415926535897932384626433832795028841972

Παρόλα αυτά η προσδοκία εμφάνισης των αριθμών(0-9) μέσα στην άπειρη αυτή ακολουθία είναι 1/10(ομοιόμορφη κατανομή). Για παράδειγμα στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζουμε τις φορές που εμφανίζεται ο κάθε αριθμός μέσα στα πρώτα 10.000.000 ψηφία του π :
0 999440 ≈ 10.000.000/10
1 999333 ≈ 10.000.000/10
2 1000306 ≈ 10.000.000/10
3 999965 ≈ 10.000.000/10
4 1001093 ≈ 10.000.000/10
5 1000466 ≈ 10.000.000/10
6 999337 ≈ 10.000.000/10
7 1000206 ≈ 10.000.000/10
8 999814 ≈ 10.000.000/10
9 1000040 ≈ 10.000.000/10
Εδώ να σημειώσουμε ότι αυτό είναι κάτι που παρατηρείται όχι μόνο μέχρι τα 10.000.000 αλλά μέχρι τα ψηφία του π τα οποία έχει βρει ο άνθρωπος(ούτε λίγο ούτε πολύ 1.2411 τρισεκατομμύρια ψηφία)
Στα μαθηματικά όμως(και αυτή είναι η μαγεία τους) αυτό δεν μπορεί να γίνει κανόνας όπως θα γινόταν σε οποιαδήποτε άλλη επιστήμη. Αυτό δεν μπορεί παρά να είναι μια υπόθεση που μπορεί να μην αποδειχθεί ποτέ. Από την άλλη βέβαια κάποιος μπορεί να πει: «Τι άλλο θες έχουμε φτάσει 1.2411 τρισεκατομμύρια ψηφία και ακόμα ισχύει πότε θα είσαι απόλυτα σίγουρος?» Τότε με απόλυτη βεβαιότητα θα του πω πως κανένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων(όσο μακριά και να πάμε στην άπειρη ακολουθία) δεν θα είναι αρκετό για να φτιάξουμε τον κανόνα αφού και πάλι το ποσοστό των ψηφίων του π που θα ξέρουμε σε σύγκριση με το σύνολο θα είναι 0!!!!! Σχετικά απλή απόδειξη* αυτού : Το ποσοστό που αναζητούμε είναι ένα κλάσμα (αριθμός γνωστών ψηφίων/συνολικός αριθμός ψηφίων)100%. Όμως ότι αριθμό και να βάλουμε(όσο μεγάλο, αλλά πεπερασμένο πάντα) στο αριθμητή το κλάσμα πάντα θα τείνει στο 0 αφού παρονομαστής είναι ∞ (α/∞=0 ). Έτσι μπορούμε μόνο να εικάζουμε ότι η στατιστική συμπεριφορά που έχει η ακολουθία για τα πρώτα 10.000.000 ψηφία είναι ίδια με αυτήν για τα επόμενα 1.2411 τρισεκατομμύρια που όντως είναι, αλλά το τι γίνεται από εκεί και πέρα (αλλά και από εκεί που θα ανακαλύψουμε στο μέλλον και πέρα) μόνο…… ο Θεός θα το ξέρει!

Ξεφεύγοντας από το αυστηρό κλίμα των μαθηματικών να αναφέρουμε ότι υπάρχουν πολλοί που προσπαθούν να απομνημονεύσουν όσα περισσότερα ψηφία μπορούν έχοντας ξεκινήσει έναν άτυπο (και ανούσιο μάλλον) διαγωνισμό. Ένας Ιάπωνας είπε από μνήμης, και χωρίς να σταματήσει καθόλου, τα πρώτα 83.431 ψηφία(Τον πήρε σχεδόν μισή μέρα αδιάκοπης απαγγελίας…..) .Υπάρχει όμως και μια ελληνική έκφραση που μας βοηθάει να θυμόμαστε μερικά από τα ψηφία του π. «Αεί, ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον, φευ, ου¬δέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι» (3,1415926536897932384626 ).Κάθε λέξη της έκφρασης αντιστοιχεί και σε έναν αριθμό, τον αριθμό που προκύπτει αν προσθέσουμε όλα τα γράμματά του . Έτσι αν γράψουμε όλους τους αριθμούς, στην σειρά, αυτής της έκφρασης θα πάρουμε τα πρώτα 22 (δεκαδικά)ψηφία του π!!!

«Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους» λέει ο Ιαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ.

Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών και υπερβατικός επειδή δεν μπορεί να προκύψει ως ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές (ισοδυνάμως και ρητούς συντελεστές).

Και τώρα πηγαίνουμε σε ένα από τα πιο παρεξηγημένα θέματα των μαθηματικών : Τον τετραγωνισμό του κύκλου. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καν πρόβλημα αφού έχει αποδειχθεί* το 1882 από τον Λίντενμαν ότι δεν γίνεται να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη** τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίδιο με έναν συγκεκριμένο κύκλο ακτίνας r. Και αυτό ισχύει λόγω αυτής της μη υπερβατικότητας του π που αναφέραμε νωρίτερα που ανάγει το π σε έναν μη κατασκευάσιμο αριθμό.
Βέβαια υπάρχουν πολλοί που αδυνατούν να το κατανοήσουν αυτό επειδή είναι πολύ απλή απόδειξη και διάφορα άλλα. Έτσι κατά καιρούς εμφανίζονται διάφορες «μαθηματικές διάνοιες » και ισχυρίζονται ότι τον τετραγώνισαν….. Η αλήθεια είναι ότι διάφορες προσεγγίσεις έχουν επιτευχθεί αλλά καμία ποτέ δεν θα πετύχει ΠΟΤΕ ακριβώς το ζητούμενο.

*Ορισμός Μαθηματικής απόδειξης : Στα μαθηματικά, απόδειξη είναι μια πειστική παρουσίαση ότι κάποια μαθηματική πρόταση είναι απαραίτητα ορθή, μέσα στα αποδεκτά πλαίσια του πεδίου των μαθηματικών. Η απόδειξη παράγεται αναγωγικά και όχι εμπειρικά. Δηλαδή, η απόδειξη πρέπει να δείχνει ότι μια πρόταση είναι αληθής για όλες τις περιπτώσεις που εφαρμόζεται, χωρίς καμία εξαίρεση
** Θεώρημα του Mohr-Mascheroni : Έχει αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε γεωμετρική κατασκευή πραγματοποιείται με κανόνα και διαβήτη, μπορεί να κατασκευασθεί μόνο με διαβήτη»

Wolfram Alpha - H μηχανή αναζήτησης από τoν Stephen Wolfram

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Wed, 21 Oct 2009 15:10:00 +0000

by Θανάσης

Ποιος είναι ο Stephen Wolfram

O Wolfram γεννήθηκε το 1959 στο Λονδίνο. Δημοσίευσε την πρώτη του εργασία στην ηλικία των 16 και πήρε το διδακτορικό του στην Θεωρητική Φυσική από το πανεπιστήμιο του Caltech σε ηλικία 20 χρονών. ‘Έχει δραστηριοποιηθεί σε πολλούς τομείς όπως αυτοί της φυσικής, των μαθηματικών, της πληροφορικής ακόμα και των επιχειρήσεων. Το 1979 δημιούργησε το SMP το πρώτο μοντέρνο υπολογιστικό σύστημα άλγεβρας το οποίο κυκλοφόρησε εμπορικά το 1981. Το κύριο ερευνητικό του ενδιαφέρον αφορούσε τις αρχές που διέπουν την πολυπλοκότητα που συναντάμε στην φύση. Το 1986 και έπειτα από μια επιτυχή ακαδημαϊκή καριέρα ο Wolfram, ίδρυσε την εταιρεία Wolfram Research η οποία διέθεσε εμπορικά την πρώτη έκδοση του Mathematica στις 23 Ιουνίου του 1988.Από τότε μέχρι σήμερα το Mathematica συνέχισε να εξελίσσεται (σήμερα έχει φτάσει στην έκδοση 7 και προσφέρει περισσότερες δυνατότητες από όσες μπορούμε να φανταστούμε!!!) κατατάσσοντας την εταιρία του(Wolfram Research) ως μια από τις πρώτες εταιρείες στην παραγωγή software, φουσκώνοντας παράλληλα το πορτοφόλι του δημιουργού του. Αυτή η οικονομική επιτυχία, του επιτρέπει να χρηματοδοτεί ο ίδιος τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα. Το 2002 δημοσίευσε το βιβλίο «A New Kind Of Science» σύμφωνα με το οποίο κάθε διαδικασία που ανακαλύπτουμε στην φύση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο υπολογισμός ενός «απλού» κανόνα. Έτσι αναλύοντας τις σκέψεις του σε 1200 σελίδες και με εργαλεία όπως το mathematica και τα κυτταρικά αυτόματα το έκανε να είναι ένα βιβλίο που πρέπει να έχει διαβάσει κάθε νέος επιστήμονας. Αφού στέφθηκε με επιτυχία η προσπάθειά του και σε αυτόν τον τομέα, ξεκίνησε την κυκλοφορία(γιατί η δημιουργία του έχει αρχίσει πολλά χρόνια πριν) του νέου δημιουργήματος του με την ονομασία Wolfram|Alpha (15 Μαΐου 2009).

Wolfram Alpha

Τι είναι και πως λειτουργεί

Η Wolfram|Alpha είναι μια μηχανή αναζήτησης που κατασκευάστηκε με σκοπό να παρέχει την απάντηση σε κάθε ερώτηση που του θέτουμε παράγοντας στην ουσία την γνώση που απαιτείται !!!Συγκεκριμένα, η Wolfram Alpha, αντί να παραπέμπει αυτόν που ρωτάει σε sites και έγγραφα του Internet, τα οποία πιθανόν να συσχετίζονται με τη φράση που έχει εισάγει (όπως κάνουν οι μηχανές αναζήτησης google,yahoo,bing….), επιχειρεί να δώσει μια εμπεριστατωμένη απάντηση, την οποία δημιουργεί εκείνη τη στιγμή, χρησιμοποιώντας μια τεράστια υποδομή με servers που απαρτίζονται από χιλιάδες επεξεργαστικές μονάδες, κατανεμημένες σε πολλές βάσεις δεδομένων. Η Wolfram|Alpha σε καμία περίπτωση δεν έχει μια έτοιμη λίστα από «όλες» τις πιθανές ερωτήσεις και απαντήσεις και κάθε φορά που γίνεται μια από αυτές(ερωτήσεις) προβάλει την αντίστοιχη απάντηση. Αντίθετα με τις άλλες μηχανές αναζήτησης, στις απαντήσεις της εμπεριέχει σχεδιαγράμματα, πίνακες και άλλους συνδέσμους επιτρέποντας στον χρήστη να εξερευνήσει νέα μονοπάτια της γνώσης. Οι χρήστες μπορούν πλέον να διατυπώσουν ερωτήματα ή εξισώσεις με απλή - «ανθρώπινη» σύνταξη (στα Αγγλικά προς το παρόν) και να πάρουν τις κατάλληλες απαντήσεις.
Παρά την γενικότητα της γνώσης που παράγει αυτή η μηχανή παρατηρούμε πως έχει μια ιδιαίτερη αδυναμία στα επιστημονικά(μαθηματικά, φυσικά κ.α.) θέματα παράγοντας απαντήσεις που είναι απόλυτα τεκμηριωμένες με όσες περισσότερες πληροφορίες μπορεί να αντλήσει για αυτό το θέμα. Για παράδειγμα περιλαμβάνει μαθηματικά μοντέλα που προσομοιώνουν φυσικούς νόμους και ιδιότητες καθώς και δεδομένα μετρήσεων. Αποτελεί έναν απαραίτητο βοηθό για κάθε σύγχρονο επιστήμονα που θέλει να μαθαίνει γρήγορα τις απαντήσεις όσο εξειδικευμένες και αν είναι οι ερωτήσεις.

Παραδείγματα στην πράξη

Καταρχήν να πούμε πως την μηχανή αυτή μπορείτε να την βρείτε είτε στην πλαϊνή μπάρα του δικού μας blog είτε στην διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/ .
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μάθουμε ποιο είναι το 10,000 ψηφίο του π. Τότε θα πληκτρολογήσουμε στην μπάρα αναζήτησης «10000 digits of pi»(χωρίς τα εισαγωγικά) και σε απίστευτο χρόνο (αναλογικά με τις πράξεις που απαιτούνται), θα πάρουμε στην οθόνη μας το πρώτα 10,000 ψηφία του π μαθαίνοντας ότι το 10,000ο ψηφίο είναι το 9!!!! Μια άλλη περίπτωση είναι να θέλουμε να συμπεριλάβουμε στην εργασία μας εις βάθος ανάλυση του τόξου της εφαπτομένης. Τότε δεν έχουμε παρά να πληκτρολογήσουμε «ArcTan[x]»(το τόξο εφαπτομένης στην γλώσσα του mathematica) και θα έχουμε : http://www.wolframalpha.com/input/?i=ArcTan[x]
Αν δεν θέλουμε αυστηρά μαθηματικά αποτελέσματα και πάλι η Wolfram|Alpha θα μπορούσε (κάτω από προϋποθέσεις) να μας δώσει το αποτέλεσμα που ψάχνουμε.
Ας πούμε ότι θέλουμε να μάθουμε ποιο είναι το μεγαλύτερο ποτάμι του κόσμου(http://www.wolframalpha.com/input/?i=largest+river) ή ποια είναι η απόσταση Ξάνθης – Αθήνας (http://www.wolframalpha.com/input/?i=distance+Athens+Xanthi). Σε τέτοια ερωτήματα η μηχανή Wolfram|Alpha ανταποκρίνεται πολύ καλά(όπως θα παρατηρήσατε αν ανοίξατε τα link) κατατοπίζοντας πλήρως τον ενδιαφερόμενο.

Επίλογος

Η Wolfram|Alpha δεν είναι σε καμία περίπτωση τεχνητή νοημοσύνη που προσομοιώνει τον ανθρώπινο εγκέφαλο, ούτε πρόκειται κάποια στιγμή να αρχίσει να σκέφτεται αυτόνομα και να κατακτήσει τον κόσμο(οι ταινίες επιστημονικής φαντασίας όπως 2001: A Space Odyssey απέχουν από την πραγματικότητα ). Είναι απλά ένα εργαλείο που μπορεί να βοηθήσει τον άνθρωπο να πάρει απάντηση σε σύνθετες αναζητήσεις(αλλά και υπολογισμούς όπως είδαμε) έτσι ώστε να αποκτά κάθε φορά μια πιο σαφέστερη και εμπλουτισμένη γνώση, η οποία του είναι απαραίτητη.

Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομή

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sat, 17 Oct 2009 10:51:00 +0000

by Θανάσης

Ο Fibonacci γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 στη Πίζα και πέθανε αυτή του 1240. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.

Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε τους λόγους 2 διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας.(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον επόμενό του) Έτσι έχουμε (οι υπολογισμοί γίνονται με 7 δεκαδικά ψηφία προσέγγιση χωρίς στρογγυλοποίηση) :
1/1=1,000000000000
1/2=0,500000000000
2/3=0,666666666666
3/5=0,600000000000
5/8=0,625000000000
8/13=0,61353846154
13/21=0,619047619
21/34=0,6176470588
34/55=0,6181818182
55/89=0,6179775281
89/144=0,6180555556
144/233=0,6180257511
233/377=0,6180371353
377/610=0,6180327869
Εύκολα παρατηρούμε πως αυτός ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.
Ας προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε το αντίστροφο(Διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον προηγούμενο του) :

1/1=1,0000000
2/1=2,0000000
3/2=1,5000000
5/3=1,6666667
8/5=1,6000000
13/8=1,6250000
21/13=1,61538615
34/21=1,619047619
55/34=1,617647059
89/55=1,618181818
144/89=1,617977528
233/144=1,618055556
377/233=1,618025751
610/377=1,618037135
Και σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε πως ο λόγος τείνει να προσεγγίσει έναν αριθμό.

Ο παρατηρητικός αναγνώστης ήδη θα έχει δει και την σχέση που συνδέει αυτούς τους δυο λόγους. Αυτή θα είναι (αν Fn ο n-στός όρος της ακολουθίας Fibonacci):
O λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ονομάζεται Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ και προσεγγίζει τον άρρητο αριθμό 1.618033989….
Άρα σύμφωνα με αυτό ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί
Ο άρρητος αριθμός που προσεγγίζει τον φ είναι ακριβώς και η λύση της παραπάνω δευτεροβάθμιας εξίσωσης( αν απορρίψουμε την αρνητική λύση) δηλαδή .

Αν ο αριθμός φ είναι και ο λόγος των διαστάσεων ενός ορθογωνίου τότε το ορθογώνιο αυτό ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο

Μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρα τέτοια ορθογώνια που το ένα να εμπεριέχει το άλλο(προσεγγίζοντας ακόμα περισσότερο το σχήμα της σπείρας)

Η πρώτη εικόνα είναι χρυσά ορθογώνια που σχηματίζουν μια σπείρα με μέγεθος ανάλογο με το πόσους αριθμούς Fibonacci έχουμε συμπεριλάβει. Η τρίτη εικόνα είναι η τομή από το κέλυφος του ναυτίλου (η ομοιότητα των σπειρών του Fibonacci και του συγκεκριμένου δημιουργήματος της φύσης είναι εκπληκτική αν και δεν είναι η μοναδική)

Οι χρυσές σπείρες και τα χρυσά ορθογώνια περιέχονται στην φύση στην αρχιτεκτονική στην γλυπτική στην ζωγραφική ακόμα και στο ανθρώπινο σώμα

Η ακολουθία Fibonacci και η φύση

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Η χρυσή τομή στην Τέχνη και την Αρχιτεκτονική

Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του
ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα(Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, μπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σημαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθμός φ. Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κριρίων.

Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφική

Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.
Eργα Leonardo da Vinci (1451-1519)

Με την σειρά : Mona Lisa , Μελέτη αναλογιών σώματος κατά τον Vitruvious, Άγιος Ιερώνυμος, Μελέτη αναλογιών

προσώπου γέρου

Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

Επίλογος

Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κάποια σχετική δυσκολία στο να χειριστούν τους άρρητους αριθμούς. Γι’ αυτό και το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί σταθμό στη μαθηματική σκέψη. Ονόμαζαν λοιπόν τους ρητούς αριθμούς (τα κλάσματα φυσικών) σύμμετρα μεγέθη, ενώ τους άρρητους όταν πλέον τους αποδέχτηκαν τους ονόμασαν ασύμμετρα μεγέθη.

Μία πρώτη διαπίστωση που μπορεί να κάνει και ένας μαθητής Γυμνασίου, είναι ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε τους άρρητους με ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές μηχανές χρησιμοποιούν μόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία.

Υπάρχει όμως ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών, το θεώρημα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» μπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισμός: Η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν μπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθμό φ. Με άλλα λόγια, ο αριθμός προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»!

Γιατί αυτός ο «τόσο άρρητος» αριθμός, εμφανίζεται ξανά και ξανά στην φύση και μάλιστα είναι ο παράγοντας που καθορίζει την αρμονία και την ομορφιά στον κόσμο μας;

Οι πρώτοι αριθμοί του Mersenne

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Tue, 13 Oct 2009 15:47:00 +0000

by Θανάσης

Ο Martin Mersenne(Μερσέν) (1588-1648) ήταν ένας Γάλλος καλόγερος που τα ενδιαφέροντα του δεν περιορίζονταν μόνο σε θρησκευτικά θέματα! Λάτρευε τη μουσική και ήταν ο πρώτος που ανέπτυξε μια ολοκληρωμένη θεωρία αρμονίας. Ο Μερσέν ήταν αυτός που δημοσιοποίησε πολλούς από τους ισχυρισμούς του Φερμά λόγω της συχνής αλληλογραφία τους. Γενικά ο Μερσέν υπήρξε ένας από τους διακινητές των μαθηματικών ιδεών . Ο Μερσέν έδειχνε μεγάλο ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς (πρώτος είναι ένας αριθμός που διαιρείται μόνο με την μονάδα και τον εαυτό του, οι πρώτοι αποτελούν τον "δομικό λίθο" των άλλων αριθμών αλλά οι ανάλυση τους δεν μπορεί να γίνει μέσα σε μια παρένθεση γι' αυτό σταματώ εδώ) και στην προσπάθεια του να ανακαλύψει έναν τύπο που να τους παράγει έφτιαξε έναν μηχανισμό για την δημιουργία μεγάλων πρώτων που μας απασχολεί ακόμα και σήμερα….

Ο Mersenne είχε την ιδέα να δημιουργεί πρώτους απλά πολλαπλασιάζοντας το 2 πολλές φορές με τον εαυτό του και αφαιρώντας την μονάδα (2^N -1) για παράδειγμα 2 Χ 2 Χ 2 – 1 = 7. Σε αυτόν τον συλλογισμό παρατηρούμε πολλές ομοιότητες με την απόδειξη του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών, δηλαδή πήρε τον αριθμό που διαιρείται με πολλούς αριθμούς και τον μετατόπισε κατά μια μονάδα με την ελπίδα ότι ο νέος αριθμός δεν θα διαιρείται με κανέναν. Γρήγορα κατάλαβε πως για να έχει κάποια τύχη αυτός ο τύπος θα έπρεπε και ο Ν να είναι πρώτος. Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει δηλαδή αν ο Ν είναι πρώτος δεν σημαίνει πως και ο 2^N -1 πρέπει να είναι αναγκαστικά πρώτος. Για παράδειγμα για Ν=11 (πρώτος) έχουμε 2^N -1=2047 που δεν είναι πρώτος αφού π.χ. διαιρείται με το 23 (2047 ÷ 23 = 89).

Ο Mersenne είχε προβλέψει για ποιες τιμές του Ν ο 2^N -1 θα είναι πρώτος : 2 ,3 ,5 ,7 ,13 ,19 ,31 ,67 ,127 ,257

Ο αριθμός 2²⁵⁷ -1 είναι τόσο μεγάλος που δύσκολα κάποιος θα μπορούσε να αμφισβητήσει την πρόβλεψη του , έτσι ο Mersenne αισθανόταν μια ασφάλεια όταν έκανε αυτή διατύπωση(θα δούμε αν έκανε καλά……).

Το 1876 ο Γάλλος Μαθηματικός Eduard Lucas βρήκε τρόπο για να επαληθεύει αν κάποιοι αριθμοί Mersenne είναι πρώτοι. Με τη μέθοδο του απέδειξε πως ο Mersenne είχε παραλείψει από τον κατάλογο των αριθμών Ν, για τους οποίους ο 2^N -1 είναι πρώτος, τους 61 , 89 και 107 ενώ είχε συμπεριλάβει λανθασμένα το 67. Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ,για να καταλάβουμε πόσο σημαντική ήταν η μέθοδός του, πως επαλήθευσε ότι είναι όντως πρώτος ο 2¹²⁷ -1 ένας αριθμός με ούτε λίγο ούτε πολύ 39 ψηφία!!! Παρόλα αυτά ο 2²⁵⁷ -1 παρέμενε έξω από τις δυνατότητες του Lukas.

Και θα παρέμενε έξω από τις δυνατότητες του κόσμου γενικά μέχρι να έρθει το 1930 ο Λεμέρ (σε ηλικία μόλις 25 ετών παρακαλώ) να βελτιώσει την μέθοδο του Λύκας .Η απόδειξη είναι απλή στην υλοποίηση της αλλά αποτελεί μυστήριο ακόμα και σήμερα η σύλληψη της. Έτσι ο Λεμέρ , αντιστρέφοντας το πρόβλημα, έδειξε πως ο 2^N -1 είναι πρώτος μόνο αν διαιρεί έναν άλλον αριθμό που ονομάστηκε Λύκας-Λεμέρ και συμβολίζεται με L_N .Η δημιουργία του αριθμού αυτού θα μπορούσαμε να πούμε πως μοιάζει με την ακολουθία Φιμπονάτσι (a_n=a_n_-1+a_n_-2) , δηλαδή η δημιουργία του επόμενου προκύπτει από τους προηγούμενους. Έτσι για να βρούμε τον L_N υψώνουμε τον προηγούμενο στο τετράγωνο και αφαιρούμε 2 δηλαδή : L_N =(L_N_-1)² -2 Για παράδειγμα για Ν=3 θέτουμε σημείο εκκίνησης L₃=14.

Έτσι θα έχουμε L₄=194, L₅=37634, L₆=1416317955,…..

Για παράδειγμα ο 2⁵ -1=31 διαιρεί τον L₅=37634 άρα ο αριθμός Μερσέν 2⁵ -1είναι πρώτος. Με αυτό το απλό τεστ «έπεσε» και το τελευταίο κάστρο που είχε υψώσει ο Μερσέν και απόδείκτηκε ότι ο 2²⁵⁷ -1 δεν είναι πρώτος…! Από τι φάνηκε η λίστα του Μερσέν ήταν εμπειρική και το γεγονός αυτό αμαύρωσε λίγο την φήμη του.

Παρόλο που είχαν ελεγχθεί όλοι οι πρώτοι των προβλέψεων του Μερσέν το «κυνήγι» των μεγάλων αριθμών Μερσέν είχε μόλις αρχίσει.

Ο Λεμέρ το 1952 ,με την βοήθεια ενός υπολογιστή που κατασκεύασε για αυτό το σκοπό, ξεπέρασε τις υπολογιστικές ικανότητες του ανθρώπινου μυαλού βρίσκοντας τον 2⁶⁰⁷ -1 πρώτο. Μέσα σε έναν χρόνο ο Ραφαήλ Ρόμπινσον είχε ήδη καταρίψει άλλες τρεις φορές το ρεκόρ του , και ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος ήταν τώρα το 2^2.281 -1 !!!

Έτσι μπαίνοντας στην εποχή των υπολογιστών ,μέχρι τα μέσα του 1990, οι μεγάλες εταιρίες άρχισαν να εκμεταλλεύονται την ολοένα αυξανόμενη ισχύ των υπολογιστικών συστημάτων για την παραγωγή μεγάλων πρώτων του Μερσέν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι όταν οι Πολ Γκέιτζ και Ντέιβιντ Σλοβίνσκι με την βοήθεια του υπολογιστή Cray ,ενώ κατέρριπταν το ένα ρεκόρ μετά το άλλο, ανακοίνωσαν το 1996 τον έβδομο πρώτο τους τον 2^1.257.787 -1, έναν αριθμό με 378.632 ψηφία.

Σήμερα στην αναζήτηση των μεγάλων πρώτων του Μερσέν κυριαρχεί ποιος άλλος από το διαδίκτυο(Internet) με το γνωστό ως Great Internet Mersenne Prime Search (Μεγάλη διαδικτυακή έρευνα για πρώτους του Μερσέν) ή απλούστερα GIMPS . Ο εμπνευστής αυτού Γουόλτμαν στρατολογεί υπολογιστές από όλον τον κόσμο και εκμεταλλεύεται την υπολογιστική ισχύ τους βάζοντας τους να δουλεύουν παράλληλα.Ευχάριστη έκπληξη ήταν η ανακάλυψη , το 2001, από έναν Καναδό φοιτητή, με όνομα Μάικλ Κάμερον, με την χρήση του προσωπικού του υπολογιστή ότι ο 2^13.466.917 -1 είναι πρώτος – α μην ξεχάσω είναι ένας αριθμός 4 εκατομμύρια ψηφία. Μέχρι και την στιγμή που γράφονται αυτές οι γραμμές οι αριθμοί του Μερσέν που έχουν ανακαλυφθεί είναι 47 . Ο 47^ος είναι ο 2^42.643.801 -1 ένας αριθμός με 12.837.067 ψηφία , παράλληλα είναι και ο 2 μεγαλύτερος πρώτος που είναι γνωστός. Ο αριθμός αυτός ανακαλύφθηκε από τον Odd Magnar Strindmo από την Νορβηγία. Στο επόμενο Link παρουσιάζουμε την λίστα των πρώτων του Mersenne όπως διαμορφώνεται σήμερα http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime .Όποιος θέλει μπορεί να λάβει μέρος στην έρευνα για να προσθέσει τον εαυτό του στο όνομα των εφευρετών αλλά και να κάνει δικό του το μεγάλο χρηματικό έπαθλο το οποίο συνοδεύει την ανακάλυψη του επόμενου μεγάλου πρώτου αριθμού .Περισσότερες πληροφορίες : http://www.mersenne.org/

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΟΥΣ ΤΟΛΜΗΡΟΥΣ!!!

Κύβος του Ρούμπικ (τι είναι και ποια είναι η λύση του )

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sun, 11 Oct 2009 13:23:00 +0000

by Θανάσης

Ο Κύβος του Ρούμπικ εφευρέθηκε από τον Έρνο Ρούμπικ (1944- ), έναν Ούγγρο γλύπτη και καθηγητή αρχιτεκτονικής, το 1974. Ο κύβος αποτελείται από 6 πλευρές διαφορετικού χρώματος και σκοπός μας είναι να κάνουμε κάθε πλευρά να έχει μόνο ένα χρώμα από κυβάκια. Είναι το παιχνίδι με τις μεγαλύτερες πωλήσεις στην ιστορία, έχουν πουληθεί παγκοσμίως περισσότεροι από 300.000.000 κύβοι. Ο συνολικός αριθμός διαφορετικών διατάξεων των πλευρών του κύβου είναι 43.252.003.274.489.856.000. Αυτό σημαίνει πως, αν θεωρήσουμε πως απαιτείται ένα δευτερόλεπτο για κάθε διαφορετική κίνηση, ο χρόνος που χρειάζεται για να δει κανείς όλες τις διατάξεις είναι 1,4 τετράκις εκατομμύρια έτη. Το ρεκόρ ταχύτερου χρόνου λύσης του κύβου το κατέχει ο Τσέχος Έρικ Άκερσιτζκ με χρόνο 7,08 δευτερόλεπτα! Ο κύβος του Ρούμπικ κυκλοφορεί σε διαφορετικές εκδόσεις 3χ3, 4χ4, 5χ5, ενώ το τελευταίο διάστημα έχει κάνει την εμφανισή της η μετεξέλιξη των κύβων του Ρούμπικ σε εκδόσεις 6χ6 και 7χ7

Λύση

Παρατήρηση : Εκτός από την περιγραφή υπάρχουν και 2 videos(τα οποία και παραθέτουμε) που είναι πολύ κατατοπιστικά και ταιριάζουν απόλυτα με την λύση που προτείνουμε . Έτσι προτείνουμε για τη διαδικασία εκμάθησης του τρόπου λύσης να γίνεται παράλληλη χρήση του κειμένου αλλά και του video.

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι το κεντρικό κυβάκι της κάθε πλευράς χαρακτηρίζει και το χρώμα της και δεν αλλάζει. Υπάρχουν κυβάκια με 1 χρώμα και είναι αυτά που βρίσκονται στο κέντρο , με 2 χρώματα και είναι αυτά που ενώνουν 2 πλευρές μεταξύ τους και με 3 χρώματα αυτά που βρίσκονται στις γωνίες.

Για να το λύσουμε θα χρειαστεί να εκτελέσουμε κάποιους αλγόριθμους (=μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος) εδώ θα εξηγήσουμε τους συμβολισμούς :

U : Πάνω

D : Κάτω

F : Μροστά

R : Δεξιά

L : Αριστερά

i : Αντιωρολογιακά-στέφουμε τον κύβο αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού (θεωρούμε ωρολογιακές όσες περιστροφές δεν έχουν το συμβολισμό i)

π.χ. Ο πρώτος αλγόριθμος που θα εκτελέσουμε είναι Fi,U,Li,Ui αυτό σημαίνει : Στρέφουμε την μπροστά πλευρά αντιωρολογιακά , μετά την πάνω πλευρά σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού, την αριστερή πλευρά αντιωρολογιακά , και τέλος μια φορά την πάνω πλευρά αντιωρολογιακά.

Με αυτήν την λογική εκτελούμε και τους υπόλοιπους αλγόριθμους.

Αρχίζει η διαδικασία

Ξεκινάμε από 1 πλευρά(διαλέγουμε τυχαία εμείς πια θέλουμε ή αν είμαστε πιο έμπειροι-πονηροί κοιτάμε πια μας βολεύει, αλλά αυτό είναι για πιο προχωρημένο επίπεδο). Ψάχνουμε τα 4 κυβάκια 2 όψεων(δηλαδή όχι τα γωνιακά που είναι 3 όψεων) ώστε να δημιουργηθεί ένας σταυρός με το σωστό χρώμα στην πλεύρά που έχουμε επιλέξει. Το κάθε ένα από αυτά τα 4 κυβάκια πρέπει να αντιστοιχίζεται στην αντίστοιχη πλαϊνή πλευρά για να τοποθετήσουμε τα κυβάκια στη σωστή θέση φέρνουμε το καθένα αντιδιαμετρικά κάτω από τη θέση που θέλουμε να το τοποθετήσουμε και έπειτα γυρνώντας 2 φορές την μπροστινή όψη του κύβου το τοποθετούμε στη σωστή θέση αν όμως έχουμε το σωστό κυβάκι αλλά τα χρώματα αντιστοιχίζονται αντίθετα στις 2 πλευρές εκτελούμε τον παρακάτω αλγόριθμο για να το αντιστοιχήσουμε σωστά. Fi,U,Li,Ui

Αφού φτιάξουμε τον σταυρό θα περάσουμε στις γωνίες της πλευράς. Και πάλι φέρνουμε το επιθυμητό κυβάκι στην από κάτω γωνία της θέσης που θέλουμε να το τοποθετήσουμε. Το επιθυμητό κυβάκι είναι αυτό που τα 3 χρώματά του είναι αυτά των 3 πλευρών τις οποίες θα ενώσει. Εκτελώντας τον επόμενο αλγόριθμο : Ri,Di,R,D (πιθανότατα πάνω από 1 φορές) τα χρώματα αντιστοιχίζονται σωστά και το κυβάκι έρχεται εκεί που θέλαμε. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία και για τις 4 γωνίες.

Έχουμε ήδη φτιάξει την πρώτη πλεύρα καθώς και το 1^ο στρώμα των 4 πλαϊνών πλευρών. Γυρνάμε τον κύβο ανάποδα έτσι ώστε η πάνω πλευρά(που έχει ολοκληρωθεί) να έρθει κάτω. Τώρα θέλουμε να φτιάξουμε τα 4 κυβάκια 2 χρωμάτων που ενώνουν ανά 2 μεταξύ τους τις 4 πλαϊνές πλευρές. Η μία περίπτωση είναι το κάθε ένα από αυτά τα 4 κυβάκια να βρίσκεται στην επάνω πλευρά. Φέρνουμε το κυβάκι σε θέση τέτοια ώστε το χρώμα που βλέπουμε όταν κοιτάμε την πλευρά να είναι το ίδιο με αυτό της πλευράς και κοιτάμε αν το άλλο χρώμα του κυβακίου είναι αυτό της πλευράς που βρίσκεται στα δεξιά ή στα αριστερά της πλευράς που κοιτάζουμε. Αν είναι της πλευράς που βρίσκεται στα αριστερά, εκτελούμε τον αλγόριθμο : Ui,Li,U,L,U,F,Ui,Fi και έτσι τοποθετούμε το κυβάκι στη σωστή του θέση. Αν τώρα το 2^ο χρώμα είναι αυτό της δεξιάς πλευράς τότε εκτελούμε αντιστοίχως τον αλγόριθμο : U,R,Ui,Ri,Ui,Fi,U,F

Αν το κυβάκι που ψάχνουμε δεν βρίσκεται στην πάνω πλευρά αλλά στη θέση που θα έπρεπε να είναι αλλά με τα χρώματα να αντιστοιχίζονται αντίθετα απλά με έναν από τους 2 παραπάνω αλγόριθμους τοποθετούμε εκεί ένα άσχετο κυβάκι. Μετά τοποθετούμε το κυβάκι στη σωστή θέση με την διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω

Αφού έχει συμπληρωθεί και το 2 στρώμα από κυβάκια στις πλαϊνές πλευρές , κοιτάζουμε την πάνω πλευρά για να δούμε τι σχήμα σχηματίζουν τα κυβάκια του σωστού χρώματος. Οι πιθανές περιπτώσεις είναι : α)Να έχει μόνο το κεντρικό κυβάκι το σωστό χρώμα β) Να σχηματίζεται μια γωνία σωστού χρώματος(που η «μύτη της» να είναι στο κέντρο) γ)Μια γραμμή που να περνάει από το κέντρο της πλευράς δ)Ένας σταυρός όπως αυτός που είδαμε στα πρώτα βήματα. ΣΤΟΧΟΣ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΣΤΑΥΡΟΣ. Εκτελούμε τον αλγόριθμο : F,R,U,Ri,Ui,Fi

- 3 φορές αν έχουμε την α) περίπτωση

- 2 φορές αν έχουμε την β) περίπτωση κρατώντας τον κύβο με την γωνία να βρίσκεται επάνω και δεξιά της πλευράς.

- και 1 φορά αν έχουμε την γ) περίπτωση κρατώντας τον κύβο με την γραμμή που σχηματίζεται να είναι οριζόντια

- για την δ) περίπτωση δεν χρειάζεται καμία φορά αφού έχουμε έτοιμο τον σταυρό

Αφού έχουμε φτιάξει ήδη τον σταυρό κοιτάμε αν τα κυβάκια που τον απαρτίζουν(εκτός από το μεσαίο) είναι και στην σωστή πλευρά(δηλαδή αν το χρώμα είναι το σωστό για την μεριά που είναι).

- Αν υπάρχουν 2 διαδοχικές πλευρές που να αντιστοιχίζονται με τα σωστά κουτάκια τότε κρατάμε τον κύβο έτσι ώστε η μια πλευρά να είναι στο πίσω μέρος και η άλλη στα δεξιά μας και εκτελούμε τον παρακάτω αλγόριθμο R,U,Ri,U,R,U,U,Ri,U . Έτσι αντιστοιχίζονται και τα 4 κυβάκια στις σωστές πλευρές

-Αν οι σωστές πλευρές είναι η μια απέναντι από την άλλη κρατάμε το κύβο έτσι που οι πλευρές που αντιστοιχίζονται να είναι δεξιά και αριστερά και με τον αλγόριθμο R,U,Ri,U,R,U,U,Ri φέρνουμε τον κύβο στην από πάνω περίπτωση οπότε και εκτελούμε την διαδικασία που περιγράψαμε πιο πάνω

Τώρα αυτό που μας έχει μείνει να κάνουμε είναι να βάλουμε στις σωστές θέσεις τις 4 γωνίες. Κοιτάζουμε αν κάποια από τις τέσσερις γωνίες είναι στη σωστή θέση , δηλαδή τα 3 χρώματά της είναι αυτά των 3 πλευρών που ενώνει (χωρίς απαραίτητα να αντιστοιχίζονται σωστά σε αυτές)

-Αν υπάρχει μια τέτοια γωνία κρατάμε τον κύβο έτσι ώστε αυτή να βρίσκεται κάτω δεξιά της πάνω πλευράς και εκτελώντας τον αλγόριθμο : U,R,Ui,Li,U,Ri,Ui,L (το πού 2 φορές) έχουν έρθει και οι τέσσερις γωνίες στη σωστή θέση(όχι απαραίτητα σωστά αντιστοιχισμένες)

-Αν δεν υπάρχει καμία τέτοια γωνία απλά εκτελούμε τον παραπάνω αλγόριθμο όσες φορές χρειαστεί μέχρι να προκύψει μια τέτοια και μετά συνεχίζουμε όπως είπαμε παραπάνω

Αφού και οι τέσσερις γωνίες μπουν στη σωστή θέση σκοπός είναι να αντιστοιχιστούν σωστά τα χρώματά τους στις πλευρές(να προσανατολιστούν). Κρατάμε τον κύβο έτσι ώστε η εκάστοτε γωνία που θέλουμε να προσανατολίσουμε να βρίσκεται κάτω δεξιά της επάνω πλευράς και ακολουθούμε τον αλγόριθμο: Ri,Di,R,D όσες φορές χρειαστεί μέχρι να προσανατολιστεί σωστά η γωνία και στη συνέχει για να φέρουμε την επόμενη γωνία κάτω δεξιά στρίβουμε (Ui) αντιωρολογιακά την πάνω μεριά του κύβου (ΠΡΟΣΟΧΗ δεν γυρνάμε τον κύβο μόνο στρέφουμε την πάνω μεριά) Και έτσι φτιάχνουμε όλες τις πλευρές.

Ο ΚΥΒΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΤΟΙΜΟΣ

Μαθηματικοί Γρίφοι

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Sun, 11 Oct 2009 01:01:00 +0000

by Θανάσης

Οι γρίφοι ήταν ένα θέμα το οποίο κέντριζε πάντα το ενδιαφέρον του κόσμου αφού μπορεί κάποιος χωρίς ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις χρησιμοποιώντας μόνο το κοφτερό μυαλό του να λύσει δύσκολα προβλήματα που έκαναν τους μαθηματικούς να κατσουφιάζουν….

Λοιπόν στο παρακάτω άρθρο γράφω κάποιους γρίφους οι οποίοι δεν περιέχουν την λύση. Όποιος από εσάς θέλει μπορεί να μου κάνει comment κάποια λύση σε έναν ή πολλούς από αυτούς.

Τα αστέρια δηλώνουν τον βαθμό δυσκολίας κάθε γρίφου όσο πιο πολλά είναι τόσο αυξάνεται η δυσκολία(αλλά και η....δόξα του λύτη)

Για να σας δω λοιπόν :

1)**Ένας τοξότης έχει ένα τόξο και εξήντα βέλη. Αν ρίξει το πρώτο του βέλος στις 12:00 το μεσημέρι και συνεχίσει να ρίχνει ένα βέλος κάθε λεπτό, τι ώρα θα του τελειώσουν τα βέλη;
Επιλύθηκε από George Gramm

2)**Ένας μαθηματικός που έζησε το 19^ο αιώνα, είπε: «Ήμουν χ χρονών το έτος χ^2.»

Πότε γεννήθηκε ;

Παρατήρηση: Θα ήθελα μαθηματικές εξισώσεις και όχι δοκιμές
Επιλύθηκε από George Gramm

3)***Ποιος αριθμός είναι ο επόμενος στην σειρά : 16, 40,100,…….

Επιλύθηκε από George Gramm

4)**** Ένας ηλικιωμένος Αραβας είπε στους τρεις γιους του ότι τους αφήνει κληρονομιά τις καμήλες του. Ο μεγαλύτερος γιος θα έπαιρνε τις μισές καμήλες, ο μεσαίος το 1/3 και ο μικρότερος το 1/9 των καμηλών του. Αφού πέθανε ο πατέρας τους, πήγαν να δουν τις καμήλες αλλά διαπίστωσαν πως ήταν 17 και δεν μπορούσαν να τις μοιράσουν όπως τους είχε πει. Εκείνη τη στιγμή εμφανίστηκε καβάλα στην καμήλα του ο Αμπντουλάχ, ο οποίος βρήκε τρόπο να μοιράσουν τις καμήλες όπως ήθελε ο πατέρας τους. Τι τους είπε να κάνουν;

Επιλύθηκε από George Gramm

5) **Ένας πτηνοτρόφος έχει πουλιά και κλουβιά. Αν βάλει 7 πουλιά σε κάθε κλουβί, του περισσεύει 1 πουλί. Αν βάλει 9 πουλιά σε κάθε κλουβί, του περισσεύει 1 κλουβί. Πόσα πουλιά και πόσα κλουβιά έχει ;
Επιλύθηκε από George Gramm

6)*Ποιος είναι ο τετραψήφιος αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο, τα 2 πρώτα ψηφία είναι ίσα μεταξύ τους , τα 2 τελευταία επίσης ίσα μεταξύ τους ;

Επιλύθηκε από George Gramm

7)**** Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 300 δρχ. δίνοντας 100 δρχ. ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι στοιχίζει 295 και όχι 300 δρχ. και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 δρχ. ρέστα. Αυτοί αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ. στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1 δρχ. και δίνουν 2 δρχ. φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 100 δρχ. και πήρε μία πίσω, άρα 99 δρχ. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2 δρχ. για το φιλοδώρημα, 299. Τι έγινε η μία δραχμή;
Επιλύθηκε από George Gramm

8)*** Ένας κλέφτης μπαίνει σε ένα χωράφι και κλέβει ένα πανέρι με πορτοκάλια. Στον δρόμο τον βλέπει ένας χωρικός και του λέει πως για να μην τον καρφώσει θα πρέπει να του δώσει τα μισά από τα πορτοκάλια που έχει στο πανέρι του και μισό πορτοκάλι ακόμα. Ο κλέφτης συμβιβάζεται και φεύγει. Παρακάτω τον σταματάει κι άλλος χωρικός και του λέει το ίδιο πράγμα: θέλει τα μισά από τα πορτοκάλια που του έχουν απομείνει και μισό πορτοκάλι ακόμα. Ο κλέφτης τα δίνει και αυτά, αλλά παρακάτω πέφτει και σε τρίτο χωρικό ο οποίος του λέει πάλι το ίδιο. Όταν ο κλέφτης δίνει και σ' αυτόν τα πορτοκάλια που του ζητούσε, κοιτάζει μέσα στο πανέρι και βλέπει πως του έχει απομείνει μόνο ένα πορτοκάλι. Πόσα είχε κλέψει αρχικά;

Επιλύθηκε από MARY

9)** Ένας άνθρωπος περπατώντας στον δρόμο συναντά μια νεκροφόρα στην οποία υπάρχει ένα φέρετρο και ο οδηγός της οδηγεί κλαίγοντας. Τον ρωτάει λοιπόν αν είχε καμιά συγγένεια με τον νεκρό και εκείνος του απαντάει: "Αδελφούς και αδελφές δεν έχω. Αλλά ο πατέρας του νεκρού, είναι γιος του πατέρα μου". Τι συγγένεια είχε ο οδηγός με τον νεκρό;
Επιλύθηκε από MARY

10)*** Έχουμε ένα χαλασμένο ρολόι το οποίο χάνει 24 λεπτά κάθε ώρα. Το ρυθμίσαμε στις 12:00 το μεσημέρι να δείχνει τη σωστή ώρα και τώρα δείχνει 3:00. Σταμάτησε όμως να λειτουργεί εδώ και μία ώρα. Τι ώρα είναι τώρα;
Επιλύθηκε από MARY

11)*** Μια εταιρία χρησιμοποίησε 20 εργάτες επί 6 μήνες, εργαζόμενους 8 ώρες το 24ωρο, για να τελειώσει το μισό ενός έργου. Επειδή το υπόλοιπο του έργου πρέπει να τελειώσει σε 2 μήνες, η εταιρία αποφάσισε να προσλάβει και άλλους εργάτες, της ίδιας απόδοσης ανά ώρα, οι οποίοι θα δουλεύουν επί 10 ώρες το 24ωρο, ενώ οι υπάρχοντες εργάτες θα δουλεύουν όπως και πριν. Πόσους επιπλέον εργάτες πρέπει να προσλάβει η εταιρία ώστε να τελειώσει το έργο ακριβώς σε δύο μήνες;
Επιλύθηκε από MARY

12)**** Σε ένα μοναστήρι ζουν 100 καλόγεροι . ξαφνικά στο μοναστήρι πέφτει μια επιδημία που δεν είναι μεταδοτική . δηλαδή αρρώστησαν κάποιοι κατευθείαν. όποιος έχει την επιδημία εμφανίζει ένα σημάδι στο μέτωπο.
οι καλόγεροι μαζεύονται κάθε βράδυ σε ένα στρογγυλό τραπέζι και κοιτάζονται . δεν μπορούν να μιλήσουν ούτε να κάνουν νόημα ο ένας στον άλλον. το μόνο που κάνουν είναι ο καθένας τους να κοιτάζει τους υπόλοιπους 99. επίσης δεν υπάρχουν καθρέφτες. όποιος καταλαβαίνει ότι έχει την ασθένεια αυτοκτονεί μετά την συνάντηση. το τρίτο βράδυ πέθαναν όλοι όσοι είχαν την ασθένεια.
πόσοι είχαν την ασθένεια;
Επιλύθηκε από D4R14N

13)**** 30 παιδιά κάθονται σε έναν κύκλο έτσι ώστε το καθένα να κοιτάζει την πλάτη του μπροστινού του. Όλα τα αγόρια βρίσκονται πίσω από κορίτσι ενώ μόνο τα μισά κορίτσια έχουν μπροστά τους αγόρι.
Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια?
Επιλύθηκε από MARY

14)*****

     Επιλύθηκε από Martha

15)**** 10 τελειόφοιτοι που μοιράζονται ένα σπίτι αποφασίζουν να αλλάξουν δώρα αποφοίτησης. Βάζουν όλοι τα ονόματά τους σε φακέλους και τα βάζουν σε ένα κουτί. Ζητάμε την πιθανότητα κανείς από τους 10 να μην τραβήξει το δικό του όνομα
   Επιλύθηκε από Martha
16)**Μα πως γίνεται αυτό?

-2 = -2 =>
1-3 = 4-6 =>
1-6/2 = 4-12/2 =>
1-6/2 + 9/4 = 4 - 12/2 + 9/4=>
(1-3/2)² = ( 2 - 3/2 )² =>
1-3/2 = 2- 3/2=>
1 = 2!!!!
      Επιλύθηκε από MARY

17)***Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης(Μ.Κ.Δ) 2 αριθμών είναι το 12.Τα διαδοχικά πηλίκα των διαιρέσεων που έγιναν για την εύρεση του 12 είναι 5,2,9. Ποιοι είναι οι 2 αριθμοί?
      Επιλύθηκε από MARY

18)***** Όλοι καταλαβαίνουμε πως η ισότητα 784=10 δεν ισχύει
Μπορείτε με μια(και μόνο) μετακίνηση ψηφίου να κάνετε την ισότητα αληθή?
   Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

19)**** Πως μπορούμε να μετρήσουμε 15 λεπτά με μια κλεψύδρα που μετράει 7 λεπτά και με μια που μετράει 11
   Επιλύθηκε από MARY

20)****   Ένα κουτί περιέχει αριθμημένες σφαίρες από 1 έως 6κ+2, κ ∈ Ν. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί και η πιθανότητα ο αριθμός που αναγράφεται πάνω σε αυτή να διαιρείται με το 6 είναι 5/31. Πόσες σφαίρες έχει το κουτί;
     Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

21)* Αν σήμερα τα μεσάνυχτα βρέχει ποια είναι η πιθανότητα μετά από 72 ώρες να βγάλει ήλιο;
   Επιλύθηκε από χρηστος ευαγγελινος

22)**** Έχουμε 3 αθλητές του στίβου οι οποίοι καταφέρνουν,σε κυκλικής μορφή στάδιο, να πραγματοποιούν σταθερά(όσους γύρους και να κάνουν δεν παίζει ρόλο κούραση,κτλ) τις παρακάτω επιδόσεις :

Ο Αθλητής_1 πραγματοποιεί έναν γύρο σε χρόνο ίσο με 2 λεπτά και 30' δευτερόλεπτα

Ο Αθλητής_2 πραγματοποιεί έναν γύρο σε χρόνο ίσο με 156 δευτερόλεπτα

Ο Αθλητής_3 πραγματοποιεί έναν γύρο σε χρόνο ίσο με 3 λεπτά και 15 δευτερόλεπτα

Ξεκινάνε να τρέχουν ταυτόχρονα. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα περνάνε την γραμμή του τερματισμού(εκκίνησης το ίδιο είναι-κυκλικό στάδιο) ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ αλλά και πόσους γύρους θα έχει κάνει ο καθένας μέχρι τότε
   Επιλύθηκε από MARY

Επικοινωνία

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Thu, 08 Oct 2009 23:35:00 +0000

Το life with mathemaics είναι ένα blog που δημιουργήθηκε με σκοπό την διάδοση της μαθηματικής σκέψης Εδώ θα μπορείτε να διαβάζεται ενδιαφέροντα θέματα που αφορούν τα μαθηματικά και τις επιστήμες γενικότερα.

Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για την προσπάθεια να επικοινωνήσετε μαζί μου και να μου παραθέσετε παρατηρήσεις σχόλια ελλείψεις ακόμα και προτάσεις και θέματα προς ενασχόληση

Your Name

Your Email Address

Subject

Message

Image Verification
	Please enter the text from the image: [ Refresh Image ] [ What's This? ]

Thank you

noreply@blogger.com (Θανάσης) — Wed, 07 Oct 2009 23:10:00 +0000

Θα ήθελα να σας ευχαριστήσω που επικοινωνήσατε μαζί μου και να σας ενημερώσω πως θα προσπαθήσω να δω το e-mail σας αλλά και να απαντήσω το συντομότερο.

Να είστε καλά