Limites e Trigonometria

Nocões intuitivas de limites

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Thu, 9 Jun 2016 06:31:00 -0700

Noção intuitiva de limite

O limite observa o comportamento de uma função f(x), quando x tende a p.

Considere a função f(x)=x+4. Se montarmos uma tabela com valores se aproximando de f(1) pela esquerda e pela direita, vamos observar que quanto mais x tende para 1, mais f(1) tende a 5.

Observe que à medida que x tende a 1 (x --> 1), f(x) tende a f(1) (f(x) --> f(1)). Portanto, o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 5. O limite de f(x) quando x tende a p não depende do valor que f(x) assume em p, mas sim dos valores próximos a f(p). Por isso, diz-se que limite é um conceito local.

A fórmula do limite, quando a função f é contínua no ponto p.

Propriedades dos limites

As propriedades dos limites são muito úteis na hora de resolver exercícios. Algumas propriedades são simples de aprender e memorizar. Recomendo estudar as propriedades, pois vão te ajudar muito na resolução dos exercícios de limites.

1 – O limite da soma é igual à soma dos limites, tal como o limite da diferença é igual à diferença dos limites. Você pode escolher se resolve a soma ou subtração das funções primeiro para depois calcular o limite, ou se calcula o limite de cada função para depois somar ou subtrair os resultados.

2 – O limite do produto é igual ao produto dos limites. Dependendo das funções envolvidas, fica melhor resolver o produto das funções para depois calcular o limite, assim como pode ser melhor calcular o limite de cada função para depois efetuar a multiplicação.

3 - O limite do quociente é o quociente dos limites. Lembrando que o denominador tem que ser diferente de zero. A escolha da melhor forma de resolver o exercício fica a seu critério. Você pode resolver a fração das funções e depois calcular o limite do resultado ou calcular o limite de cada função e depois realizar a divisão.

Exercícios resolvidos sobre Limites

1 – Calcule os limites abaixo:

a) O primeiro exercício é bem direto. Dada a função f(x)=(x+2), vamos simplesmente calcular f(1).

b) O segundo exercício basta calcular f(3).

c) No terceiro exercício não basta calcular f(3), pois o denominador não pode ser zero. Antes de calcular o limite será necessário mexer na função f(x) para que quando aplicarmos f(3) o denominador não fique igual a zero. Veja a solução do exercício.

d)

e)

f)

g)

Cálculos de área dos Triângulos

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sat, 19 Mar 2016 05:39:00 -0700

No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava.

A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida calculando:

Outra forma de calcular a área é , onde a e b são dois lados quaisquer do triângulo e alfa é o ângulo entre eles.

Tipos de triângulos

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

Eqüilátero

Isósceles 

Escaleno 

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.

Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

Retângulo

Obtusângulo

Acutângulo 

Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

| a - c | < b < a + c

| a - b | < c < a +

Fatos Básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..

Um triângulo é um polígono.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos a, ß e ? e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo a, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo ß e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo ?.

Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou p radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Ex:

Triângulo com vértices, lados e ângulos representados 

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = a + ß

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos
internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo      vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do
 triângulo é 180o 

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

c2 = a2 + b2

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ? não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

Teorema de Pitágoras

A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma círcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: .

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

MEDIATRIZ

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura

O ponto de interseção das alturas é o ortocentro 

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico.

Mediana

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro      ou centro de gravidade.

Bissetriz

O ponto de interseção das três bissetrizes é o      incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro.

Círculo dos Nove Pontos

É o círcunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

Fonte: pt.wikipedia.org

Só Calculadoras: Jogo da Velha

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Fri, 18 Mar 2016 13:06:00 -0700

Só Calculadoras: Jogo da Velha

Calculadora Ciêntifica

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sun, 7 Apr 2013 11:13:00 -0700

sincostanDegRad

sin^-1cos^-1tan^-1πe

x^yx³x²e^x10^x

^y√x³√x√xlnlog

()1/x%n!

789+MS

456–M+

123×M-

0.EXP÷MR

±RNDC=MC

Calculadora de Frações

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sat, 25 Feb 2012 15:58:00 -0800

Calculadora de Frações

Conversor de Temperatura

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Wed, 4 May 2011 07:27:00 -0700

Conversor de Medidas

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sat, 23 Apr 2011 04:26:00 -0700

Conversor de Medidas

O que é recursividade?

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Mon, 18 Apr 2011 05:09:00 -0700

Recursividade é um termo usado de maneira mais geral para descrever o processo de repetição de um objeto de um jeito similar ao que já fora mostrado. Um bom exemplo disso são as imagens repetidas que aparecem quando dois espelhos são apontados um para o outro.

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Recursivo

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Uma simples Calculadora

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sun, 6 Mar 2011 06:40:00 -0800

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O melhor Jogo Da Velha

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sun, 27 Feb 2011 17:16:00 -0800

Calculadora Simples

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Sun, 27 Feb 2011 15:29:00 -0800

Instruçoes De Uso

A calculadora pode ser usada clicando-se nos botões ou usando o teclado do seu micro.
Quando se quer limpar tudo click no botão C ou tecle DEL ou ESC.
Pode-se fazer cálculos em série Ex: 34+24-3/328*3, etc...
A memória só funciona se tiver um número diferente de zero.
Para calcular o cos,tan,sen,sqrl digite primeiro o número e depois a operaçao.
O resutado do cosseno da tangente e do seno sao mostrados em radianos.
Quando se armazena um número na memória a indicação M+ fica em vermelho.
Para armazenar um número na memória click no botão M+ ou aperte a tecla m ou M do teclado.
Para chamar o número que está na memória, click no botão MR ou a tecla r ou R
Para apagar o número da memória click no botão MC ou tecle c ou C.
O botao CE limpa apenas o número que está no visor.

Cálculos de Limites 04 - Propriedades

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Thu, 17 Feb 2011 09:20:00 -0800

Cálculos de Limites 03

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Thu, 17 Feb 2011 09:18:00 -0800

Cálculos de Limites 01 - Introdução

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Thu, 17 Feb 2011 09:16:00 -0800

Importante aula sobre noções de limites

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Thu, 17 Feb 2011 08:11:00 -0800

A História da Torre de Hanoi

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Wed, 29 Sep 2010 08:43:00 -0700

História da Torre de Hanoi

Texto elaborado por Claudio Kirner - 2007, consultando os links relacionados.

A torre de hanoi, também conhecida por torre do bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi publicada em 1883 pelo matemático frances Edouard Lucas, com o pseudônimo Prof. N. Claus (de Siam), um anagrama de seu nome.

A publicação dizia que o jogo vinha do Vietnã, sendo popular também na China e no Japão, e acompanhava a caixa do quebra-cabeças.

A publicação também oferecia mais de um milhão de Francos para quem resolvesse o problema da Torre de Hanoi com 64 níveis, seguindo as regras do jogo, indicando que o número de movimentos seria 2 elevado a 64 menos 1 = 18.446.744.073.709.551.615 o que daria cerca de 585 bilhões de anos, se cada movimento fosse feito em 1 segundo.

Edouard Lucas foi inspirado por uma lenda Hindu que falava de um templo em Bernares, cidade santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos monges jovens. A lenda dizia que, no início dos tempos, foi dado aos monges de um templo uma pilha de 64 discos de ouro, dispostos em uma haste, de forma que cada disco de cima fosse menor que o de baixo. A atribuição que os monges receberam foi transferir a torre, formada pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

Em 1884, outro matemático frances, chamado De Parville, desenvolveu a seguinte história, que também costuma ser associada à Torre de Hanoi.

No grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixadas três hastes de diamante, cada uma com a altura do osso cúbito do braço e tão fina como o corpo de uma abelha. Em uma dessas agulhas, Deus, quando criou o mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chegar ao topo. Isto se constituiu na torre do bramanismo. Dia e noite, os monges transferiam incessantemente os discos de uma haste para outra, de acordo com as leis fixas e imutáveis do bramanismo, que exigiam que os monges nunca movessem mais de um disco por vez e nunca deixassem um disco maior ficar sobre um menor. Quando os 64 discos fossem transferidos para outra haste, a torre, o templo e as pessoas seriam transformadas em pó e, com um estrondo, o mundo desapareceria.

O sol está em atividade há cerca de 5 ou 6 bilhões de anos e deverá continuar por igual período, quando entrará em colapso. Nessa fase, a camada de hélio no interior do sol terá crescido bastante e as camadas exteriores expandidas o suficiente para englobar a Terra, destruindo-a. Será o fim do mundo. Depois disso, os gases serão expelidos e o sistema solar será transformado numa estrela anã.

Como a Terra tem cerca de 5 bilhões de anos, devendo durar igual período e a Torre de Hanoi demoraria 585 bilhões de anos para ser resolvida, o mundo realmente acabará, mesmo antes do término do quebra-cabeças. Até lá a humanidade já terá sido extinta ou terá tecnologia suficiente para mudar-se de planeta.

Desde 1883, surgiram muitas edições do quebra-cabeças "Torre de Hanoi". Várias delas, incluindo a edição inicial, podem ser vistas no PuzzlesMuseum

Jogar OnLine TORRE DE HANOI

Cálculo da Área de um Cone

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Mon, 27 Sep 2010 14:54:00 -0700

Cones

Cone e seus elementos: base, vértice, eixo, altura, geratriz, superfície lateral, superfície do cone, seção meridiana. Cones: circular, elíptico, reto e oblíquo. Áreas lateral e total do cone. Cone equilátero.

O cone de revolução é gerado pela revolução de um triângulo retângulo, em torno de um dos seus catetos (eixo de revolução), dando uma volta completa.

Exercícios

Tabela Periódica

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Fri, 10 Sep 2010 15:09:00 -0700

TABELA PERIÓDICA
Ptable.com

Teoria dos Conjuntos

noreply@blogger.com (João Pedroso) — Fri, 16 Apr 2010 17:07:00 -0700

SÍMBOLOS

SÍMBOLOS E OPERAÇÕES

CONCEITOS E CONJUNTOS

Tente ganhar este jogo da véia!




Pontos Computador: Você:

Willian Fernando Soares wfsoares@unimep.br ou eder_masterhtp@msn.com