Matematyka i nie tylko

Suma zdarzeń losowych

2011-03-20T14:24:00.000+01:00

Aby zdefiniować sumę zdarzeń należy podać definicje podstawowe.

Zdarzenie losowe A to takie doświadczenie, które możemy wykonywać dowolną ilość razy, jednak nie będziemy w stanie przewidzieć wyniku tego doświadczenia.

Zdarzenie elementarne ω jest pojedynczym wynikiem doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych wyników danego doświadczenia losowego A.

Zdarzenie losowe A jest to podzbiór zbioru Ω wszystkich zdarzeń elementarnych.

Znając podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa można zdefiniować działania na zdarzeniach.

A= { ω_3, ω_4, ω₅ ,ω₆}. Zdarzenia elementarne ω_3, ω_4, ω_5, ω₆sprzyjają zdarzeniu A.

Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych

2011-03-19T19:48:00.000+01:00

Jedną z metod do zliczania obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych jest reguła mnożenia.

1. Przykład: Dwukrotny rzut monetą symetryczną.

Wykonujemy kolejno: pierwszy rzut i zapisujemy wynik, drugi rzut i zapisujemy wynik.

Otrzymujemy pojedynczy wynik naszego doświadczenia. Możemy zapisać wszystkie możliwe wyniki naszego doświadczenia: { (O, O); (O, R); (R, O); (R, R) }, gdzie: O - orzeł, R – reszka.

Jak widać są możliwe 4 wyniki naszego doświadczenia. Elementy te możemy zliczyć szybciej metodą mnożenia. W wyniku tego doświadczenia możliwe są w pierwszym rzucie 2 wyniki

( O lub R ) i w drugim rzucie też 2 wyniki ( O lub R ). Gdy pomnożymy ilość możliwych wyników tego doświadczenia w pierwszym i drugim rzucie, czyli 2*2, to otrzymamy łączną liczbę wyników 4. Jak widać metoda mnożenia w zliczaniu obiektów kombinatorycznych jest szybsza od wypisywania możliwych kombinacji.

2. Przykład: Kolejne doświadczenie będzie polegało na rzucaniu kostką do gry, a następnie monetą. Możliwe wyniki doświadczenia można zapisać w tabeli, gdzie w kolumnach będą możliwe wyniki rzutu kostką od 1 do 6 oczek, a w

rzędach wyniki rzutu monetą orzeł (O), reszka (R).

	1	2	3	4	5	6
O	(1, O)	(2, O)	(3, O)	(4, O)	(5, O)	(6, O)
R	(1, R)	(2, R)	(3, R)	(4, R)	(5, R)	(6, R)

Wynikami tego doświadczenia są pary wyników z kostki i z monety. Możemy tu policzyć ilość możliwych wyników, ale stosując metodę mnożenia wyliczymy ich ilość szybciej.

Rzucając kostką możemy otrzymać 6 możliwych wyników, a rzucając monetą mamy 2 wyniki (O lub R). Mnożąc 6*2 otrzymujemy 12 wyników. Widzimy, że metoda mnożenia jest szybsza od wypisywania wyników w tabeli.

3. Przykład: Utwórzmy liczbę czterocyfrową z 10 cyfr. Mamy 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ile takich liczb czterocyfrowych możemy utworzyć? Zauważmy, że na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej nie może stać cyfra 0, czyli na pierwszym miejscu pozostaje tylko 9 możliwości ustawienia cyfr, od cyfry 1, 2, 3, …, 9. Na drugim miejscu zero może stać, czyli mamy możliwość ustawienia 10 cyfr. Podobnie na trzecim miejscu może stać 10 cyfr i na czwartym miejscu również 10 cyfr.

I cyfra	II cyfra	III cyfra	IV cyfra
9 * 10 * 10 * 10 = 9000

Gdy wymnożymy wszystkie te możliwości, to otrzymamy 9000 liczb czterocyfrowych utworzonych z 10 cyfr.

4. Przykład: Wykorzystanie pojęcia silni.

Liczba n! to iloczyn wszystkich liczb naturalnych, czyli n! = 1*2*3*…*n.

Gdzie można zastosować regułę mnożenia z wykorzystaniem silni? Rozpatrzmy sytuację,

w której mamy ustawić 5-osobową rodzinę do zdjęć, ale w taki sposób, aby trójka dzieci stała z przodu, a dwoje rodziców z tyłu. Łatwo zauważymy, że rodziców można ustawić na 2! sposobów, natomiast dzieci z przodu można ustawić na 3! sposobów. W związku z tym otrzymujemy: 1*2*1*2*3 = 12, czyli tę rodzinę możemy ustawić na 12 sposobów do fotografii rodzinnej.

Powyższe przykłady obrazują, w jakich przypadkach możemy wykorzystać regułę mnożenia do zliczania obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

Reguła mnożenia nie ma zastosowana do wszystkich przypadków kombinatorycznych.

Umiejętność zliczania obiektów w kombinatoryce

2011-03-19T00:03:00.000+01:00

Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem elementów zbiorów skończonych. Obiektem w kombinatoryce będzie element rozpatrywanego zbioru. Sytuacjami kombinatorycznymi będą np. rzuty kostką lub monetą, ustawianie ludzi w szeregu, książek na półce itp. Te sytuacje kombinatoryczne są najczęściej spotykane w zakresie edukacji szkolnej. Oto kilka przykładów zliczania obiektów kombinatorycznych:

Metoda I

1. Przykład: rzucanie monetą. Wynikiem tego doświadczenia rzutu monetą może być reszka lub orzeł. Dokładnie mamy dwa wyniki takiego doświadczenia rzutu monetą, reszka lub orzeł, czyli otrzymamy zbiór (o ; r), a liczebność tego zbioru to {2}.
2. Przykład: rzucanie kostką do gry. Doświadczenie rzucania kostką do gry daje wyniki w postaci ilości wyrzuconych oczek na poszczególnych ściankach kostki, czyli otrzymamy zbiór wyrzuconych oczek, który będzie miał elementy

{1; 2; 3; 4; 5; 6}. Liczebność zbioru w takiej sytuacji kombinatorycznej wynosi {6}.
3. Przykład to ustawianie ludzi w szeregu. Mamy np. 3 osoby: Kubę, Basię i Alę. Na ile sposobów możemy ustawić te 3 osoby w rzędzie? Wypisujemy kolejno możliwości (zamiast całych imion wypiszę tylko ich pierwsze litery:
{(K, B, A); (K, A, B); (B, K, A); (B, A, K); (A, B, K); (A, K, B)}. Licząc te sytuacje otrzymamy liczebność zbioru doświadczeń 6. Wypisywanie poszczególnych elementów w danej sytuacji kombinatorycznej przy większej ich liczbie w zadaniach trudniejszych może być pracochłonne.

Metoda II

4. Przykład: rzut kostką i rzut monetą. Jakie mogą być poszczególne wyniki tego doświadczenia? Pojedynczy wynik takiego doświadczenia to będzie rzut kostką i rzut monetą. Aby wypisać wszystkie możliwości rzutu kostką i monetą można wykorzystać do tego tabelę:

	1	2	3	4	5	6
O	O;1	O;2	O;3	O;4	O;5	O;6
R	R;1	R;2	R;3	R;4	R;5	R;6

W kolumnach umieściłem wyniki rzutu kostką od 1 do 6, a w wierszach wyniki rzutu monetą O lub R (Orzeł lub Reszka). Uzupełniając kratki tabeli otrzymałem wyniki doświadczenia, czyli pary (Orzeł; Liczba Oczek) i (Reszka; Liczba Oczek). Łatwo tu policzyć, że wyników jest 6*2=12. Gdyby te wyniki wypisywać w szeregu, rozdzielone przecinkiem, to zajęłoby to więcej czasu.
Te dwie przedstawione metody są przydatne w prostych sytuacjach kombinatorycznych.