Matemática, Ciência Humana

A Matemática do Playlist

2012-02-01T23:18:00.001-02:00

Meu irmão ligou dizendo que já estava perto e que eu deveria descer para ganhar tempo. Era sexta-feira, fim do dia e estávamos nos preparando para irmos ao litoral. Logo ao entrar no carro ele pediu para que eu colocar o novo CD que ele tinha comprado. Tinha 100 músicas e deveria durar a viagem toda e ainda sobrar.

Ele sugeriu que eu selecionasse o modo "randômico", porém frustado, fez o seguinte comentário:

- O randômico desse rádio tá quebrado!
- Como assim, quebrado - disse eu.
- Bom, você vai ver, daqui a pouco vai repetir uma música.
- Ué, e daí, o randômico não garante que as músicas não vão repetir. Já tentou o modo "sequencial"? -respondi irônico.
- Cara, tem 100 músicas no CD, toda a vez que vou pro escritório acabo ouvindo uma música repetida no caminho.

Fiquei intrigado com o comentário, e ainda mais intrigado com o gosto musical do meu irmão, mas afinal o carro era dele. Como fuga para o inferno musical a que fui exposto, meu cérebro logo encontrou consolo nas abstrações platônicas matemáticas, uma higiene mental.

No íntimo eu duvidava que o modo randômico estava quebrado uma vez que é tão fácil implementá-lo computacionalmente. Tentei modelar o problema de maneira a poder tratá-lo, assumi que o modo randômico no caso é equivalente a jogar um dado de 100 lados toda a vez para definir a música que será tocada. É claro que em algum momento repetições irão acontecer, mas a pergunta era, quando?

Matematicamente o que eu buscava era responder qual era o número esperado de músicas a ouvir até que haja a primeira repetição. Na estatística esse conceito tem um nome curioso, se chama "Esperança".

O conceito de Esperança tem um relação forte com a média, por exemplo, suponha que meu irmão anotasse quantas músicas escutou até a primeira repetição todas as vezes que foi ao escritório (assumindo que haja sempre tempo para que alguma repetição ocorra, o que não é verdade). A média deste valor é o próximo ao valor esperado que estamos procurando.

Ele poderia tabular os valores conforme a tabela abaixo. Suponha que tenha ouvido o CD 1000 vezes, então a tabela seria algo assim.

Formalmente esse valor deverá ser próximo a expressão abaixo onde P(x) significa Probabilidade de que x ocorra:

1 x P(1 música sem repetição) + 2 x P(2 músicas sem repetição) + ... + 100 x P(100 músicas sem repetição)

O leitor paciente irá constatar que calcular a média aritmética de quantas músicas até a primeira repetição da tabela é próximo ao conceito platônico de "Esperança" dado em função de probabilidades. A pergunta que resta é como calcular as probabilidades. Para ajudar o raciocínio vamos calcular a probabilidade de ouvirmos exatamente 4 músicas não repetidas, isto é, a repetição ocorrerá necessariamente na quinta música.

O que é equivalente a:

Convertendo os valores para uma forma geral teremos:

onde n = 100 e k = 4

Enfim, reconstruindo a fórmula acima em função dos resultados obtidos acima teremos:

Não consegui ainda uma forma fechada, ou seja, não consegui me livrar do somatório para a fórmula, o que significa que vou precisar usar arsenal computacional. Felizmente o leitor poderá contar com a widget que eu criei para calcular o número esperado de músicas em função do número total do CD.

Por exemplo, meu irmão ficou surpreso em saber que para seu CD esse número é 12, isto é, considerando uma média de 3 minutos para cada música, é esperado que ocorra a primeira repetição 36 minutos depois.

De fato, com o trânsito de São Paulo sexta-feira à noite, ouvimos a primeira repetição antes de chegarmos na imigrantes, onde fui acordado do meu transe matemático com um grito desproporcionalmente estridente do meu irmão:

- AhÁ, eu te disse, o randômico tá quebrado!!!!

O Lamento de um Matemático

2011-09-08T03:15:00.001-03:00

Navegando a esmo pela internet tropeçei em um brilhante ensaio sobre o estado da educação matemática nos Estados Unidos. Escrito pelo professor de matemática Paul Lockhart, o Lamento de um Matemático (A Mathematician's Lament) é um texto poético, inspirador, mordaz e iconoclasta. O autor posiciona a matemática como arte ao lado da música e da pintura e descreve como o sistema educacional americano contribui para a total esterilização desta arte ancestral na educação. Lockhart cita o matemático inglês G H Hardy para ilustrar sua posição neste belíssimo trecho:

Um matemático, como um pintor ou poeta, é um criador de padrões. Se seus padrões são mais permanentes, é porque são feitos com idéias. (A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.)

O autor recorre ao dialogo à moda de Galileu Galilei para enriquecer seu lamento, Simplicio e Salviati voltam a debater sobre a maneira como a matemática deve ser ensinada dando cor ao argumento central de que o sistema educacional transforma esta arte numa enfadonha e asséptica disciplina onde o aluno é treinado (em oposto a ensinado) a memorizar fórmulas e outros procedimentos.

Vibrei quando o autor tocou no assunto do que chamei “A ditatura da utilidade” neste post aqui. As motivações que levaram as criações matemáticas são raramente de fundo prático mas sim de caráter estético. Em busca da beleza, harmonia, simetria e principalmente simplicidade os matemáticos e matemáticas do passado e de hoje compõem suas idéias e teoremas. Eventualmente algumas verdades encontram utilidade no cotidiano, mas isso é apenas um efeito colateral que pouco contribuiu ou contribui para a criação desta ciência.

As idéias que afloraram deste processo criativo são muito mais importantes do que o resultado em si. Fazer matemática é mais importante do que saber matemática. No processo de construção há espaço para criatividade, erros e acerto, arte e engenharia, preconceito, inveja, traição, altruísmo, louvor, soberba, alegria, ganância, vaidade, etc, enfim todas as facetas da experiência humana. O resultado pronto, quando devidamente limpo e esterilizado corre o risco de apresentar só um dos aspectos desta palheta, o pedantismo, que amedronta e afugenta os alunos.

Como o professor poderá guiar o aluno em criar matemática se o mesmo nunca criou, nunca desenvolveu intuição suficiente que só vêm da prática? Muitos irão argumentar que os alunos precisam usar matemática e não criar. Eu discordo, quantos de nós hoje usamos matemática? Virtualmente ninguém, ou seja, não aprendemos nada do que fomos ensinado. O argumento que usamos matemática quando fazemos contas é vazio, afinal como Lockhart sugere, fazer contas com as quatro operações está tão longe da arte matemática quanto pintar por números (Paint-by-numbers) está longe da arte da pintura.

Acredito que o entusiasmo transmitido pelo professor é poderosíssimo no processo de aprendizagem. Um professor entusiasmado provoca na cabeça do aluno algumas dúvidas de estupendo efeito pedagógico: "Porque esse cara está tão entusiasmado com isso?", "O que ele vê que eu não vejo?". Como um professor pode se entusiasmar com algo que ele nunca viveu, que ele nunca participou.

A crítica de Lockhart é para o sistema americano, mas o mesmo é válido para o sistema brasileiro, variando em nuances. Em especial acho o problema do pedantismo no Brasil é mais grave do que nos EUA. A elite brasileira ainda acha bonito ser pedante. Concluo isso baseado em livros didáticos de matemática para o curso superior. Os livros escritos por americanos são fáceis de ler, notação simples, econômicos em definições e partes enfadonhas. Os livros escritos por brasileiros são em geral herméticos, chatos e de difícil entendimento.

Outro problema da educação matemática brasileira é a moda da contextualização. Muitos professores em nome da modernização procuram encontrar alguma aplicação prática para o assunto abordado, mesmo quando o mesmo não possui aplicação prática real. Esse esforço acaba poluindo a literatura matemática com exemplos artificiais que só geram desconfiança por parte do aluno. Muitos professores esquecem que o contexto no qual o tal conteúdo foi criado foi muitas vezes à busca por beleza, elegância, critérios que são automaticamente desqualificados como motivador interessante.

Enfim, lendo o texto de Lockhart encontrei eco para muitos de meus pensamentos sobre a educação matemática. Estou curioso em saber o que outros pensam sobre o assunto e gostaria que o leitor compartilhasse sua opinião sobre a situação da educação matemática no Brasil.

A Revolução dos Nerds

2009-08-19T08:04:00.003-03:00

Toda criança sonha com o "que vai ser quando crescer". No meu tempo a resposta era óbvia, queria ser astronauta. Nasci em 73, 4 anos após o primeiro homem pousar na lua, portanto é compreensível que eu e meus amiguinhos estivéssemos apenas refletindo o que a mídia bombardeou nos adultos da época, nossos pais e tios.

Ser astronauta naquela época era tão difícil quanto ser astronauta hoje e aqueles que levaram o devaneio da infância até a adolescência e juventude só se frustraram (menos um, o Marcos Pontes, o primeiro... e único astronauta brasileiro http://pt.wikipedia.org/wiki/Marcos_Pontes)

Sei de um caso curioso, de um primo meu, o Matheus, agora adolescente, que inteligentemente adotou uma estratégia totalmente diferente e, diga-se de passagem, vencedora. Quando inquerido há uns 10 anos sobre a pergunta, respondeu no mesmo momento: "Quero ser adulto". Bom Matheus, parabéns! Você está prestes a conquistar seu sonho de infância, enfim já é quase um adulto!

Hoje me pergunto o que as crianças querem ser quando crescer. Minha filha tem apenas 9 meses, portanto terei que esperar algum tempo para saber. De qualquer forma, aposto que não vai ser astronauta, afinal, os tempos são outros. Para ajudar as crianças de hoje fiz uma exaustiva pesquisa no google atrás das melhores profissões possíveis e, quem diria, encontrei o que queria. Compartilho com vocês a reportagem do Wall Street Journal sobre as melhores e piores profissões http://online.wsj.com/article_email/SB123119236117055127-lMyQjAxMDI5MzAxNjEwOTYyWj.html.

Deu a lógica afinal, a melhor profissão possível é o futuro sonho de consumo de toda criança, ser Matemático. O incrível é que as profissões seguintes também são altamente matemáticas: Atuário, Estatístico, Biólogo (????? ok... biólogo não), Engenheiro de Software e Analista de Sistemas Computacionais. Depois de Bill Gates, Steve Jobs e o casal andrógino do Google, parece que a revolução dos nerds está realmente acontecendo.

Para manter a simetria, informo que a pesquisa aponta a profissão de Lenhador como a pior. Na onda do politicamente correto, dificilmente derrubar árvores será bem visto por alguém. De qualquer forma, o ponto alto da reportagem é a ilustração que reproduzo aqui. Apesar de ser a melhor profissão o matemático ainda não perdeu seu estereótipo característico: Nerd, gravata borboleta, perdido em suas abstrações.

Aos poucos a matemática vem ressurgindo como uma profissão interessante. Alicerce das ciências e do desenvolvimento tecnológico, a matemática é muitas vezes considerada prioridade por dirigentes com política educacional consistente. Aumentar o interesse das crianças por matemática parece ter relação com o futuro desenvolvimento do país. Enfim, cedo ou tarde o estereótipo ao lado irá mudar, em pouco tempo você verá uma comédia americana focada no público adolescente onde o quarterback do time da escola, além de conquistar a chefe de torcida, é também bom em matemática. http://blog.estadao.com.br/blog/link/?title=o_poder_de_atracao_dos_nerds&more=1&c=1&tb=1&pb=1

De São Paulo para a Nova Zelândia

2008-11-05T21:16:00.008-02:00

Partindo de São Paulo de avião, qual é a capital brasileira que devemos sobrevoar se desejarmos ir para Wellington, capital da Nova Zelândia e cidade onde estou morando, em linha reta no menor caminho possível?

Pense um pouco no assunto sem continuar a leitura e procure tentar visualizar o globo terrestre, o Brasil, a Nova Zelândia, e o caminho entre estas duas cidades. Se não souber onde ficam esses lugares, pare tudo o que está fazendo e pesquise, afinal não custa nada.

Curiosamente, o caminho mais curto, que calculei com a ajuda do Google Maps, passa exatamente em cima de outra capital brasileira que desafio o leitor a descobrir.

Este caminho mais curto não é uma reta, mas uma curva que acompanha a superfície da Terra, tipicamente chamada de Geodésica. Na realidade, no mundo real, dificilmente uma reta, no sentido euclidiano, será o caminho mais curto para quaisquer dois pontos. Até mesmo o caminho para objetos bastante próximos são, na realidade, curvas.

Assim, a geometria euclidiana (aquela que aprendemos na escola), é um domínio puramente abstrato e platônico e dificilmente encontra reflexo no nosso mundo. Por outro lado, ela é uma excelente aproximação para grande parte de nosso contato cotidiano com a geometria.

Voltando a pergunta proposta, qual é a capital brasileira que está exatamente no caminho mais curto entre São Paulo - Wellington. A resposta é Porto Alegre e o leitor pode acompanhar o caminho no mapa que coloquei abaixo. Se quiser chegar até Wellington pegue o mouse e vá arrastando. Por incrível que parece essa curva traçada em vermelho é o caminho mais curto entre essas duas cidades.

Protocolo Isento de Inveja

2008-07-18T23:29:00.001-03:00

Realizar partilhas entre irmãos é sempre problemático para os pais. Invariavelmente os envolvidos irão reclamar que os outros receberam uma parcela maior do bolo do que eles próprios. No final, sempre alguém sente inveja de alguém.

Por outro lado, pais experientes sabem que quando têm apenas dois filhos, é sempre possível definir um conjunto de regras que garanta uma escolha justa. É o famoso "eu corto, você escolhe". Um dos filhos corta o bolo, enquanto o outro escolhe o primeiro pedaço.

Observe que nenhum pode sentir inveja do outro (pelo menos idealmente). O filho que cortou o bolo tem certeza de que dividiu o bolo pela metade, enquanto o outro também não pode sentir inveja pois escolheu o primeiro pedaço.

Este procedimento tem até nome científico, é o Protocolo Isento de Inveja. Se seguirmos um protocolo isento de inveja podemos garantir que cada participante da partilha receba ao menos 50 por cento (para 2 participantes) do bolo em sua própria media. Em outras palavras o protocolo isento de inveja garante que todos os envolvidos pensem que escolheram um dos maiores pedaços.

Até aqui, nenhuma novidade, todos conhecemos este procedimento ancestral. A novidade ocorre quando tentamos resolver o problema para famílias com quantidades de crianças diferente de dois. A pergunta afinal é, existe um protocolo isento de inveja para n irmãos.

Protocolo do filho único

Bom, matemáticos adoram uma observação óbvia, então defino aqui o protocolo do filho único, que também é isento de inveja. Podemos explicá-lo mais ou menos assim: "eu não corto, e escolho o bolo todo". Note que o procedimento garante que a criança não sinta inveja dela mesma, correto? Enfim, o protocolo do filho único é um protocolo isento de inveja para n=1 irmãos.

Protocolo isento de inveja para 3 irmãos.

Agora vem a novidade. Incrivelmente, existe um protocolo isento de inveja para 3 irmãos, e vou procurar descrevê-lo abaixo. Chamarei os irmãos de Paulo, Ricardo e Eduardo. Na realidade escolhi os nomes de meus irmãos reais na esperança de cativá-los para um experimento. Como todos eles trabalham pouco e ganham muito tenho certeza de que dispõem de um tempo para a ciência:

Paulo corta o bolo em 3 pedaços que considera iguais.
Ricardo observa os pedaços e apara o que considerar maior, deixando o naco à parte.
Eduardo então escolhe um dos 3 pedaços principais, seguido de Ricardo e Paulo. Há um porém, se Eduardo não escolheu o pedaço que foi cortado (não o naco, o pedaço cortado), Ricardo deverá escolhê-lo. Quem pegou o pedaço cortado será chamado de X e o outro será chamado de Y. Note que X e Y serão Ricardo ou Eduardo dependendo desta escolha.
Agora vamos ao naco. Y corta o naco em 3 pedaços que considera iguais.
X escolhe o primeiro pedaço do naco, depois Paulo, depois Y.

Pais cuidadosos deverão garantir que o procedimento acima é realmente livre de inveja. Para ajudá-los listo algumas observações.

Paulo não pode sentir inveja de ninguém, afinal dividiu o bolo em três partes que considera iguais e ficará com certeza com uma delas. De quebra, ganhará um pedaço do naco.
Ricardo não pode sentir inveja pois tem o direito de acertar a escolha que Eduardo fará aparando o pedaço que eventualmente considerar maior. Também terá o direito da primeira ou segunda escolha na divisão do naco.
Eduardo também não pode sentir inveja pode será o primeiro a escolher um dos pedaços depois que Ricardo aparar um pedaço. Além disso, se escolher o pedaço não aparado definirá a forma que o naco é dividido. Se não escolher o pedaço aparado, será o primeiro a escolher um pedaço do naco.

Apesar de mais complicado, o procedimento é válido é garante uma partilha livre de inveja. Para famílias mais numerosas, com mais de três filhos é ainda possível definir um protocolo livre de inveja como podemos verificar pelo artigo de Steven J. Brams e Alan D.Taylor chamado An Envy-Free Cake Division Protolo (Uma divisão de bolo livre de inveja). Apesar do nome, o artigo é sério e de fato estabelece que sempre é possível definir o protocolo para qualquer número de participantes.

Protocolo do irmão mais velho.

Como primogênito, há muito tempo defini um protocolo ótimo e bastante aplicável para os interesses do filho mais velho quando o assunto é a divisão do bolo. O protocolo do irmão mais velho pode ser definido com a frase: "eu corto, eu mesmo escolho". Ao contrário do protocolo isento de inveja, o protocolo do irmão mais velho visa atender aos interesses do filho mais velho.

Muitos de vocês se enganam se acham que a estratégia ótima a seguir para o filho mais velho é pegar 100% do bolo para si mesmo e deixar 0% para os demais irmãos. Neste caso, os irmãos mais novos retaliariam com choro o que chamaria a atenção dois pais que interviriam e aplicariam um protocolo muito mais injusto na perspectiva do filho mais velho: "os pais escolhem e dão para cada filho o que acham justo".

A arte de perseverar e maximizar os ganhos seguindo o protocolo do irmão mais velho é pegar o maior pedaço possível sem que os irmãos chorem ou adotem quaisquer outras formas de represálias. Observe que os irmão mais novos, mesmo pegando uma parcela menor do que 1/n podem optar por não chorar e se contentar com este pedaço. Chorar até que os pais tomem uma atitude tem seu custo em estresse e investidas a posteriori de um irmão mais velho enfurecido.

Se puxar bem pela memória, o leitor irá lembrar alguma cena de desenho animado onde um personagem corta um bolo em uma pequena fatia na intenção de partilhá-lo com o outro personagem. Porém, inesperadamente, o mesmo personagem que cortou a fatia devora o bolo todo deixando a pequena fatia para outro personagem. Temos aqui a mais pura aplicação do protocolo do filho mais velho.

O Problema dos Piratas

Para terminar, gostaria de deixar para o leitor um desafio muito interessante, cuja resposta é a a busca de uma estratégia ótima seguindo uma espécie de do protocolo do irmão mais velho. Dizem que o desafio é, ou foi utilizado no recrutamento de empresas como Microsoft ou Google (Como mover o Monte Fuji de William Poundstone). O problema é assim.

Cinco piratas pilharam um pote com 100 moedas de ouro. Para dividir as moedas entre eles, definiram o seguinte protocolo.

O pirata mais velho propõem uma partilha.
Todos votam, inclusive o mais velho. Se a partilha for aprovada pela metade ou mais, realiza-se a partilha como proposto, caso contrário, mata-se o pirata mais velho, e a palavra é passada para o segundo pirata mais velho reiniciando o processo.

A pergunta é: Você é o pirata mais velho, que partilha você propõem de maneira a maximizar o seu ganho?

Grau de Investimento

2008-05-01T10:02:00.002-03:00

Hoje o Brasil ganhou o famigerado "grau de investimento". A agência de classificação de risco Standard & Poor's elevou a nota do país para BBB- sinalizando que o Brasil é hoje um país capaz de saldar seus compromissos financeiros. A bolsa subiu instatâneamente, o dolar caiu, e o país dá mais um passo em direção a estabilidade econômica.

Muitos brasileiros irão, pela primeira vez, colocar parte de seu rico dinheirinho na bolsa, pressionados pela histeria da mídia, amigos, parentes, e histórias de sucesso por todos os lados. Enfim, é um bom momento para lembrar que nossa vergonhosa imperícia para lidar com porcentagens pode ser bastante perigosa.

Suponha que você comprou algumas ações hoje, sua estréia na bolsa. No primeiro mês, o valor da ação aumentou 5%, no segundo mês, o valor caiu 5%. Bom, pensará você, não perdi nem ganhei nada, afinal tudo o que subiu mês passado, caiu neste mês. Certo?

Errado, você perdeu dinheiro, supondo que o valor inicial foi R$ 100,00, no primeiro mês você tinha R$ 105,00. Porém no final do segundo mês suas ações valiam 105x0,95 = R$ 99,75

Agora, suponha o inverso, que inicialmente sua ação caiu 5%, porém no outro mês ela subiu, os mesmos 5%. Agora ganhei dinheiro afinal, pensará você.

Errado de novo, você perde novamente! No final do primeiro mês você terá $95,00, e no final do segundo o valor será 95x1,05 = R$ 99,75

De qualquer modo, sempre que suas ações oscilarem de maneira que a porcentagem de aumento seja igual a de queda, você perde dinheiro. Aplicando por um ano, se as ações subirem 5% em 6 meses, e cairem 5% nos outros 6 meses, você perderá dinheiro, independente da ordem em que os aumentos ou quedas ocorram.

Agradecimentos

Recebi o curioso exemplo acima de um colaborador homônimo. A primeira vista é algo estranho, afinal meu nome não é lá muito comum. Quantos Alexandre Eisenmann você conhece? Porém, uma análise mais detalhada mostrou que tal colaborador é meu parente, irmão mais novo de meu pai, portanto meu tio. Bom, pelo menos minha família está lendo o blog!! Oi tio!

Show do Milhão

2008-04-11T07:43:00.002-03:00

Você foi convidado para participar do Show do Milhão! É, parece que a sorte bateu na sua porta, você que sempre foi considerado super inteligente por colegas, amigos e a família. Agora é a sua chance, afinal, você não é como aqueles outros convidados do programa que escorregaram logo nas primeiras perguntas. Enfim, será um grande dia e você finalmente resolverá sua situação financeira, se não ganhar o milhão, você ficará feliz com 100 ou 200 mil.

No dia da gravação do programa, você já não estava tão confiante. Muita coisa estava acontecendo ao mesmo tempo, a ansiedade estava nas alturas e você não queria decepcionar seus amigos e familiares. Iria aparecer pela primeira vez num programa de TV, conhecer o Silvio Santos e tinha ainda que parecer confiante.

E o show começou, vieram as primeiras perguntas, e... graças a Deus... eram simples como você esperava. Você começou bem, acertou a primeira, a segunda, a terceira. Chamou os universitários na quarta, pediu ajuda da platéia em alguma outra, sacou a dica que o Silvio Santos lhe deu e acertou a penúltima. Nossa, você acertou todas, só falta a pergunta do milhão! Silvio perguntou se você queria parar por aí e pegar o dinheiro. Você, com a confiança recobrada desafiou. Não, quero o milhão.

A pergunta derradeira então foi feita.

Algo não caiu bem, a pergunta era surpreendentemente fácil, você sabia disso, porém, por algum motivo, você não tinha certeza da reposta. O coração acelerou, as mão ficaram geladas, agora não dava pra voltar atrás. Enfim, você foi em frente e escolheu sua alternativa... a ERRADA! Você perdeu! Vai ter que voltar pra casa com o prêmio de consolação que mal paga o tempo que você gastou.

Não desejo a história relatada acima para ninguém. Porém, suponha que isso realmente ocorreu com você, ou pior, que ainda vai ocorrer. Gostaria de saber, caro leitor, qual é a pergunta que você preferiria ter errado entre as 3 que apresentarei abaixo:

1. Qual é a capital da Colômbia ?
a) La Paz
b) Buenos Aires
c) Bogotá
d) Quito
e) Caracas

2. A girafa é um:
a) réptil
b) crustáceo
c) molusco
d) mamífero
e) anfíbio

3. Quantas casas decimais tem o número PI
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito

Não fiz uma pesquisa formal e realmente gostaria de saber a opinião do leitor. Porém, numa coleta ocasional de opiniões pude constatar o que temia. A grande maioria prefere errar a questão 3, que envolve algum conhecimento de matemática. As pessoas em geral pensam que não saber matemática é romântico, é cool, é chique. Quase escuto o pensamento delas: "Eu gosto da vida, das pessoas, das relações humanas, gosta da natureza e das belezas da vida, tenho ojeriza a matemática e aos números, eles não tem vida, não tem emoções, são chatos e enfadonhos. Não é pra mim."

Quantos de nós já ouviu algo do tipo: "ai, nunca fui bom em matemática", "nossa, eu não sei fazer essa conta, odeio matemática". De fato, as pessoas tem quase orgulho de dizer esse tipo de coisa. Pior do que perder o milhão é passar vergonha na frente do Brasil inteiro, ou principalmente dos amigos. Então melhor não saber matemática do que falar que a capital da Colômbia é Buenos Aires, ou afirmar que a girafa é um réptil. Alguns argumentarão que a questão sobre o PI é muito mais difícil que as outras, portanto é melhor errar essa. Eu pergunto, é mais difícil mesmo?

Há alguns anos estava ministrando um curso sobre uma linguagem de programação para estudantes de ciência da computação. Um dos exercícios consistia em realizar um aumento de 20% para todas as pessoas que constavam no banco de dados. Até aí, nenhum problema. O passo seguinte do exercício consistia em voltar atrás, supondo que o aumento foi indevido, retornar os valores ao ponto que estavam. Surpreendentemente, nenhum dos 8 alunos conseguiu resolver o problema. Os 3 que tentaram cometeram o mesmo erro: eles aplicaram 80% ao valor obtido no primeiro exercício.

Salário Inicial: $ 100,00
Salário com aumento de 20% : $ 120,00
Tentativa de voltar ao salário inicial considerando 80% de $ 120,00: $96,00

$ 100,00 é diferente de $ 96,00

Não fiquei muito incomodado com o erro em si, fiquei incomodado com a indiferença ou talvez com a falta de vergonha, não ouvi nem um: "ah... é mesmo.". Os alunos continuaram impassíveis como se aquele erro não fosse assunto do curso.

E quanto ao PI

O número PI possui infinitas casas decimais. Ele é impressionante em muitos sentidos, e há livros inteiros escritos sobre ele. O PI é definido como a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e o seu diâmetro, para QUALQUER círculo.

Quando perguntei para um grande número de pessoas, quantas casas decimais tinha o número PI, obtive um número alarmante de repostas 2. Provavelmente as pessoas se lembravam que o PI é igual a 3,14 e não

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282
3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823
3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607
2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305
7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962
7495673518857527248912279381830119491...

Intervalo entre Números Primos

2008-04-04T06:42:00.002-03:00

Minha mulher me pediu 5 números consecutivos que não fossem números primos.

Não acreditam? Ok, ela não pediu isso mesmo, é claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que já havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28

Ela não se impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: “Você está com algum problema?”. Não desanimei e lembrei-a que todos os números da minha lista não eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faço o jantar às vezes, faço uma pizza maravilhosa, vem até com embalagem da pizzaria da esquina).

Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 números consecutivos não primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.

Fiz contato!

Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 números. Já treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.

Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que já havia calculado alguns valores adiantando os números que ela tipicamente iria escolher.

Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 números." Ela respondeu : "O jantar está na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.

Espaço Mobral: Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...

Matemáticos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atenção de baixa qualidade como esse são suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente.

Uma chance para a computação

Instintivamente não é óbvio que uma lista tão grande possa existir, afinal a lista de números primos é infinita e eles não parecem estar muito espaçados.

Enfim, a pergunta é: É possível encontrar uma lista de 14000 números consecutivos que não são primos?

Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matemáticos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se é que ela existe. Para testá-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 números e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.

Pedi 20 números e obtive: 1130 , 1131, 1132,...

Pedi 100 números e obtive: 370262, 370263, 370264, ...

Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente não parou de rodar. Diante deste quadro, a única conclusão é que o programa procurou (e procurou muito) mas não encontrou a lista nos primeiros milhões, ou bilhões (quem sabe) de números. Ainda assim não é possível afirmar que tal lista não existe, apenas que o computador ou o programa são lentos demais. Frustrante!

Um belo teorema

Sempre acreditei que quando a computação falha devemos recorrer a matemática, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belíssimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: “É possível conseguir listas de números não primos de QUALQUER tamanho”. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!

O teorema ilustra uma técnica para se construir o primeiro número da lista desejada. A receita é a seguinte:

Suponha que queremos uma lista com 5 números consecutivos não primos. Então devemos:

Escolher um número inteiro maior do que 1, digamos n

Obter o primeiro número da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n

Por exemplo, considerando n = 2, teríamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 só possui números não primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, também uma lista válida.

Observe que a fórmula não diz nada sobre encontrar a lista cujos números são os menores possíveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 é uma lista com números menores.

Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a fórmula para encontrarmos uma lista com 7 números será n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.

Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n é divisível por n, portanto um número não primo (já que n é maior do que 1). O próximo número n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) também não é primo pois é divisível por (n+1). Enfim, o raciocínio pode ser estendido para todos os números consecutivos até n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente é divisível por (n+4).

Enfim, existem infinitos números primos e, mesmo assim, sempre é possível encontrar qualquer intervalo de números sem que ao menos 1 primo apareça. Este intervalo pode ser tão grande quanto desejarmos. Sabemos então que uma lista de 14000 números consecutivos não primos existe, só não conseguimos calcular seus números devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 números, que meu computador conseguiu calcular, começa no número 1.349.534.

O Problema da Rota Colorida

2008-02-15T18:18:00.001-02:00

A cidade de Manaus possui cerca de 2 milhões de habitantes. Apesar de não ser tão grande como São Paulo ou Rio de Janeiro, localizar um endereço em Manaus é uma das tarefas mais frustrantes que o motorista será obrigado a enfrentar. Em geral as ruas não possuem nomes (apenas apelidos) ou quando possuem não há placas informando.

Quando tudo parece bem, a rua possui nome e placa, certamente a numeração das casas estará totalmente desordenada. Depois das casas, digamos, 35 e 44 podemos encontrar a casa 7 seguida da 35 (novamente) ou podemos encontrar as casas 1322 seguido das casas 511 e 688. Ímpares e pares compartilham o mesmo lado da rua sem o menor pudor.

Quando você compra um eletrodoméstico numa loja de departamentos, o funcionário, além de perguntar o endereço, exige uma referência. Na verdade, o campo referência é obrigatório no seu sistema e sem isso a compra quase não pode ser feita.

Dirigir na cidade de São Paulo não é muito melhor. É certo que as ruas possuem nomes e placas e a numeração é ordenada e coerente mas a malha viária é tão complexa que fica difícil para o motorista entender.

Realizar retornos, corrigir rotas erradas, memorizar um trajeto são todas tarefas difíceis para o não taxista. Para piorar, você nunca está sozinho, para qualquer lugar que você vá, você terá companhia, e muita. Como todos sabemos, o trânsito em São Paulo é realmente infernal!

Dependendo de como a malha viária de uma cidade for organizada e construída, a vida dos motoristas e pedestres pode ficar muito mais fácil. Quem conhece Manhatam, por exemplo, sabe como é fácil se localizar e encontrar um endereço. Lá, as próprias ruas são numeradas de maneira que, se estamos na quinta avenida e deserjarmos ir para a sétima sabemos de antemão que precisamos caminhar 2 quadras em determinado sentido.

A topologia da malha viária é também bastante simples, aproximando-se de um grande quadriculado com ruas no sentido norte-sul e outras no sentido leste-oeste. Fácil não?

Podemos fazer melhor? Será que é possível projetarmos uma cidade com um sistema de localização diferente, que facilite ainda mais a vida das pessoas? Que seja simples e fácil de se orientar?

Incrivelmente o matemático israelense Avharam Trakhman resolveu o Problema da Rota Colorida e esse fato nos dá certeza de que é sempre possível projetar uma cidade com endereço absoluto. Mas o que é endereço absoluto afinal? Bom, estou chamando de endereço absoluto um endereço que cumpre duas funções:

O endereço por si só pode ser utilizado para se encontrar o local não sendo necessário recorrermos a guias ou ao GPS.

A rota sugerida pelo endereço absoluto funciona se partirmos de qualquer ponto da cidade. Ressalto a palavra qualquer e acrescento: O endereço absoluto é independente do ponto de partida.

Para exemplificar a idéia do endereço absoluto vou recorrer a um exemplo. Suponha uma mini-cidade com a malha viária representada na figura abaixo. As linhas azuis e vermelhas são as ruas, a direção permitida é representada pelas setas e os pequenos círculos são cruzamentos. O endereço do cruzamento amarelo é AVVAVVAVV enquanto o endereço do cruzamento verde é AAVAAVAAV.

Cada letra do endereço representa qual rua devemos seguir, a rua (A)zul ou a rua (V)ermelha. O incrível é que a rota AVVAVVAVV levar-nos-á ao cruzamento amarelo a partir de qualquer, isso mesmo, qualquer ponto do mapa. A rota AAVAAVAAV, analogamente, levará o motorista ao cruzamento verde independente do ponto de partida. Verifique!

Imagem retirada da wikipedia para explicação do Problema da Rota Colorida

Trakhman não estava de fato preocupado com urbanismo ou melhoria do sistema de orientação das cidades. O "Problema da Rota Colorida" está relacionado a teoria dos Grafos, entidades matemáticas abstratas representadas por desenhos como a figura acima. Também não é qualquer grafo (neste contexto troque por malha viária, se quiser) que tem essa propriedade, mas sempre será possível produzir um grafo com "endereço absoluto" se seguirmos as hipóteses descritas no teorema de Trakhman. Transformadas para a linguagem da malha viária as hipóteses são:

Escolhidos dois cruzamentos quaisquer deverá ser sempre existir uma rota que parte de um cruzamento ao outro.
Todos os cruzamentos deverão ter o mesmo número de opções de saída. Em nossa figura, esse número é igual a dois, observe que temos duas opções de saída, e somente duas, para cada um dos cruzamentos.

Se obedecermos as duas regras acima é possível projetarmos cidades com endereço absoluto de quaisquer dimensões.

O "Problema da Rota Colorida" estava sem solução desde que foi proposto por uma equipe de matemáticos dirigidas pelo professor Binyamin Weiss em 1970. A notícia da demonstração foi noticiada em todo o Brasil em 8 de fevereiro de 2008 e quem quiser pode consultar aqui.

Na realidade não sei se construir cidades com este conceito é economicamente viável ou se de fato é simples para as pessoas memorizar grandes sequências de letras. De qualquer maneira o conceito é sedutor e surpreendente. Antes da prova de Trakhman eu não fazia idéia, e acredito que o leitor também não, de que é possível construir mapas com endereço absoluto.

Prêmio de 2000 R$!

2008-01-11T16:06:00.000-02:00

Ofereço 2000 reais para o primeiro que resolver o desafio abaixo.

Deslizar as placas numéricas de forma a alterar o número 14 com número 15 e ordenar todo o conjunto. Como todos sabem este clássico brinquedo só permite movimentos em direção ao espaço vazio das placas imediatamente adjacentes, posicionadas em cima, abaixo ou dos lados, não sendo possível destacar placas ou outras malandragens do tipo. A figura à esquerda mostra o ponto de partida enquanto a figura da direita mostra aonde devemos chegar para completar o desafio.

Considerei 2000 reais um valor adequado. Se oferecesse mais não me levariam a sério, se oferecesse menos não levariam a tarefa a sério. Além disso, 2000 R$ é equivalente a 1000 dólares, quantia que Sam Loyd ofereceu em 1878 para quem resolvesse o mesmo problema, então, porque não seguir a tradição.

Sam Loyd foi o maior expert americano em puzzles da época. Em suas próprias palavras, ele “deixou o mundo inteiro doido” ao propor “seu” recém descoberto puzzle 14-15. Na verdade a história provou não ter sido ele o primeiro a propor o puzzle. De fato o criador foi o agente postal Noyes Chapmak que inclusive solicitou a patente da descoberta. Para conhecer mais a história consulte http://bd.thrijswijk.nl/15puzzle/15puzzen.htm

Porque Sam Loyd esbanjou tanto dinheiro assim? Porque eu mesmo, seguindo os passos dele também estou esbanjando? Simples, Sam Loyd não precisou pagar um centavo pois ninguém resolveu o problema. E eu também não vou perder nada, pois o problema não possui solução, é impossível resolvê-lo.

Sam Loyd foi bem mais longe, ele não disse que era impossível e deixou algumas pessoas realmente enfurecidas. Eu adotarei outra abordagem, tentarei provar sem usar uma linguagem muito técnica que é impossível.

Como é possível provar que algo é impossível?

Provar que algo é impossível sempre despertou minha curiosidade. É simples imaginar como provar que algo é possível, basta fazê-lo e pronto, é possível. Por outro lado, provar que algo é impossível sempre me soou como uma desculpa para... Ora... é impossível porque ninguém ainda fez.

Não era possível ir até a Lua até que alguém foi lá e fez! Não era possível alguém ser atingido por um raio 7 vezes até que alguém foi lá e tomou! Bom, para aqueles inclinados a fazer os comentários ao lado sugiro acompanhar a demonstração abaixo, onde de fato é possível provar que resolver o puzzle 14-15 é impossível a ponto de eu oferecer 2000 reais ou muito mais para quem resolvê-lo.

Um passeio pelo problema

Uma tentativa de solução pode ser entendida com um "passeio" do espaço vazio através do tabuleiro. O passeio deverá começar e terminar na mesma posição, isto é, abaixo e à direita. Por exemplo, suponha que durante uma tentativa o espaço vazio realize o seguinte passeio, representado na figura pela seta em azul: Esquerda-Esquerda-Cima-Direita-Cima-Direita-Baixo-baixo. Esse passeio possui, portanto, 8 passos de comprimento, mas como vocês podem verificar, não resultou na configuração desejada.

Todo passeio (e somente) que comece e termine no canto inferior direito é um candidato a solução. Observe, portanto, que a solução deverá necessariamente ser um passeio com um número par de passos. É fácil perceber isso se levarmos em conta que o número de passos para a esquerda deverá ser igual ao número de passos para a direita, da mesma forma, o números de passos para cima deverá ser igual ao número de passos para baixo. Só assim voltaremos ao ponto em que saímos, e obviamente esta exigência resulta em um número par de passos.

Esse é nosso primeiro resultado e vou destacá-lo para utilizarmos futuramente.

Uma solução, se existir, deverá necessariamente possuir um número par de passos.

Uma medida para a organização

Cada passo ou movimento altera a organização do jogo, porém não temos uma medida de organização que possa servir de parâmetro para cada movimento. Por exemplo, dado duas configurações, é difícil dizer qual é a que está mais organizada. Bom, vou propor uma medida e o leitor irá verificar que ela será muito útil para a solução do problema. Chamarei esta medida de medida I.

Primeiramente, vou estabelecer que quando a configuração está o mais organizada possível, isto é, totalmente ordenada, ela possui medida I = 0. Assim, representando a configuração em apenas uma tira de números temos (note que representei o espaço vazio com o número 16):

Medida I = 0

Toda a vez que um número possui números menores a sua direita, contamos um. Por exemplo, a partir da sequência totalmente ordenada (I=0), invertemos o número 6 com o número 10. A tabela abaixo apresenta esta nova disposição, que por sua vez terá I=7, resultado da soma 4+1+1+1.

1	2	3	4	5	10	7	8	9	6	11	12	13	14	15	16
0	0	0	0	0	4	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0

Medida I = 7

Abaixo da sequência que queremos analisar inclui uma linha suporte. Cada posição da linha suporte, deverá conter a quantidade de números da linha original que são menores do que o que está acima. Note que o número 10 possui 4 números menores do que ele à sua direita, a saber, 7, 8, 9 e 6. Já o número 7, possui apenas 1 número menor que ele posicionado a sua direita, o número 6. Enfim, somando os números da linha suporte obteremos a medida I.

Análise dos movimentos no puzzle 14-15

São quatro os movimentos possíveis no puzzle 14-15. Podemos ir para a esquerda, para a direita, para cima ou para baixo. Como estes movimentos podem alterar a medida I? Vamos começar com o fácil, os movimentos na horizontal. Observe que quando caminhamos para a esquerda ou para a direita, realizaremos a inversão entre dois, e apenas dois vizinhos, de maneira que nossa medida I será acrescida ou diminuída de 1 unidade na nova configuração. Para facilitar, vamos dar um nome a este movimento simples. A partir de agora, quando trocamos de posição dois vizinhos estaremos fazendo uma Inversão.

Um pouco mais difícil é a análise do que ocorre com a medida I como reflexo dos movimentos verticais. Note que qualquer movimento vertical irá trocar de posição dois números que estão distante entre si em 4 unidades, em função da dimensão do tabuleiro. Assim, independente dos valores originais, um movimento vertical, seja para cima ou para baixo, deverá transformar uma configuração da forma

numa configuração, por exemplo, da forma

Cada letra minúscula é o valor suporte para a determinação da medida I. Note que quase todos eles permanecerão o mesmo depois do movimento vertical HD. Assim, o novo valor da medida I depende exclusivamente dos valores representados pelos pontos de interrogação.

Como não conhecemos os valores representados pelas letras maiúsculas, decisão que tomei para deixar o argumento genérico, fica difícil conhecermos estes novos valores. Porém, há um forma; podemos calcular quantas Inversões são necessárias para alcançarmos a segunda configuração a partir da primeira, lembrando que uma Inversão no sentido que discuto aqui é a troca de posição entre dois vizinhos. Acompanhe o desenvolvimento na tabela abaixo.

Foram necessárias 7 inversões para alcançarmos a segunda configuração. Como cada inversão acresce +1 ou -1 à medida I, um movimento vertical poderá acrescentar:

+1+1+1+1+1+1+1 = +7
+1+1+1+1+1+1-1 = +5
+1+1+1+1+1-1-1 = +3
+1+1+1+1-1-1-1 = +1
+1+1+1-1-1-1-1 = -1
+1+1-1-1-1-1-1 = -3
+1-1-1-1-1-1-1 = -5
-1-1-1-1-1-1-1 = -7

Paridade

Parece que pouco caminhamos para a resolução do problema, porém é apenas aparência, de fato já temos todos os elementos para provar que é impossível resolver o puzzle 14-15.
Sabemos que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em +1 ou -1 e que qualquer movimento horizontal irá alterar a medida I em -7,-5,-3,-1,1,3,5 ou 7. Então, resumindo, podemos ter certeza de que qualquer movimento no puzzle irá alterar a medida I em um número ímpar, seja positivo ou negativo.

Ora, também sabemos que qualquer solução possível deverá conter um número par de movimentos. Como cada movimento é um número ímpar e par vezes ímpar é um número par, podemos concluir que qualquer solução possível irá alterar a medida I em um número par. Para ressaltar a importância deste resultado, irei emoldurá-lo abaixo:

Qualquer solução possível deverá alterar a medida I em um número par.

O golpe final

A resolução do puzzle 14-15 envolve a transformação da configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-15-14-16 de medida I=1 na configuração 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16 de medida I=0. Como qualquer solução possível altera a medida I em um número par, é impossível resolver o problema.

Então não ganharei dinheiro?

Não, você não ganhará dinheiro algum pois não é possível resolver o problema. Porém, para quem ficou frustrado tenho uma receita infalível para ganhar algum. Basta seguir o procedimento abaixo:

De algum jeito faça com que seus amigos tomem conhecimento da insolubilidade do puzzle 14-15. É muito importante que eles não saibam que você sabe que eles sabem disso.
Finja que você está se descabelando para resolver o puzzle que apresentarei logo abaixo. O puzzle é muito parecido com o 14-15.
Em algum momento eles irão comentar. "Seu burro, isso não tem solução".
Diga que tem sim uma solução e que logo você vai descobrir.
Ele, no alto de sua arrogância, dirá algo do tipo: "Não tem não, você é muito burro".
Ele está pronto! Agora é a sua deixa, aposte com ele que tem sim. Sugiro 10 ou 20 reais, talvez um almoço.
Se tudo der certo ele cairá como um patinho e aceitará a aposta.
Resolva o problema na frente dele e pegue o dinheiro.

Abaixo o puzzle "Resolva! Se puder". O objetivo é corrigir a grafia da frase invertendo as duas últimas letras. A primeira vista parece ser igual ao puzzle 14-15, porém por algum motivo, que desafio o leitor a descobrir, é possível resolvê-lo.

Bom almoço.

A gravidade dá a tacada certa!

2008-01-08T19:33:00.000-02:00

O sentimento de encanto e surpresa é prerrogativa dos jovens. Não me refiro aos jovens de idade, mas aos jovens de espírito. Falar que a natureza é bela não passa de um clichê que estamos fartos de ouvir, por outro lado, sentir que ela é bela é um privilégio destes iluminados jovens de espíritos.

Esconda sua face de um bebê e apareça repentinamente com um sorriso. O bebê irá sorrir, talvez gargalhar. Faça de novo e ele sorrirá novamente. Repita a operação quantas vezes quiser. O bebê terá sempre a mesma reação e você perderá o encanto pela brincadeira bem antes dele.

Com o tempo é natural que nossa capacidade de se encantar sofra mutações e adquira novas formas e matizes, se torne mais elaborada, mais sofisticada. Às vezes precisamos viajar longos quilômetros no tempo ou no espaço para alcançar a perspectiva adequada e viver novamente a sensação de encanto pela vida.

Durante a faculdade de matemática conheci o Daniel Jorge, meu colega de classe. Daniel é uma pessoa ímpar, assombrosamente culto, idéias originais misturado com alto grau de erudição. No alto de seus 60 anos de idade consegue ainda se indignar e se encantar com os sabores e dissabores da existência.

Um dia ele me contou uma história sobre quão interessante é a força da gravidade, ação que percebemos todo o dia e está longe de ser surpreendente. Lembro que ele me disse que a história não era de fato dele, estava repetindo as palavras de um grande autor cujo nome infelizmente não consigo lembrar:

— Alexandre — ele disse — suponha uma mesa de sinuca com duas bolas posicionadas à mesma distância de uma das bordas. Uma das bolas é uma bola de sinuca comum, a outra, porém, é uma bola de boliche.

— Ok — disse eu.

— Agora, pegue dois tacos, um com cada mão. Você deverá dar simultaneamente uma tacada em cada uma das bolas.

— Como faço isso?

— Ué, você tem duas mãos, cada uma segura um taco e ao mesmo tempo dá as duas tacadas.

— Hum... certo, mas pra quê?

— Calma, já explico, seu objetivo é dar as tacadas de tal forma que as duas bolas alcancem a borda oposta exatamente ao mesmo tempo.

— Exatamente ao mesmo tempo?

— Sim, exatamente ao mesmo tempo, você acha que consegue?

— Bom, exatamente ao mesmo tempo, acho que não, na verdade sinto que é muito difícil fazer isso. Os instantes de tempo podem ser arbitrariamente pequenos e qualquer imprecisão será detectada...

— É, é provavelmente impossível para você conseguir, ou para qualquer um de nós. Porém a Gravidade consegue!

— Que??!

— Cole as bolas na mesa e vire todo o sistema na posição vertical.

— Não vejo aonde você quer chegar.

— Tenha um pouco de paciência... Agora, suponha que as bolas descolem exatamente ao mesmo tempo. Naturalmente elas irão cair e, como você sabe, encontrarão a borda inferior exatamente ao mesmo tempo.

— Mas... E daí?

— Ora, a gravidade dá a tacada certa! Você não vê?

Bom, termino aqui com um desafio. Surpreendam-se com a força da gravidade, se puderem, é claro.

Yam!

2007-12-08T04:31:00.000-02:00

Atendendo a pedidos finalmente desenvolvi e disponibilizei online o jogo Yam. Para jogar basta se cadastrar e jogar. É de graça! Clique aqui para Jogar!

A versão que implementei é aquela comercializada pela Grow que muitos de vocês deverão conhecer. O Yam da Grow utiliza cartelas, lápis e dados reais, além disso pode ser jogado em grupos de pessoas, cada uma preenchendo sua própria cartela. A versão que desenvolvi deve ser jogada individualmente na Web, porém, em contrapardida, estabeleci um sofisticado sistema de ranking para enriquecer a experiência de quem joga.

O Yam é um jogo de dados, cinco precisamente. Alguns consideram o Yam uma espécie de pôquer de dados, provavelmente motivados pelo fato de que no Yam o jogador poderá obter uma Quadra, Um Full-House ou Seguidas, resultados idênticos aos do pôquer. Porém, o Yam não envolve apostas, nem são comparados jogos entre os jogadores. Para jogar bem o Yam e conseguir um boa pontuação é necessário sorte, raciocínio lógico e uma boa dose de estratégia. Jogadores iniciantes dificilmente conseguirão bons scores mesmo com um bom grau de sorte.

Objetivo

O objetivo do Yam é preencher todas as células da tabela e obter o maior número possível de pontos.

Jogada

Uma jogada equivale ao resultado obtido após 3 ou menos lançamentos dos dados seguido do preenchimento de uma célula na tabela. No primeiro lançamento o jogador irá lançar necessariamente os 5 dados. Se o resultado agradar, ele para por aí, preenche uma célula da tabela e a jogada está concluída. Se quiser melhorar o resultado ele separa os dados que não quer mexer (clicando neles) e lança os demais. Novamente, se após o segundo lançamento o resultado ainda não tiver do seu agrado, ele tem sua terceira e última chance.

Tipicamente o jogador irá jogar 3 vezes os dados antes de preencher uma célula, afinal não é fácil obter um bom resultado, tanto que uma jogada de apenas um lançamento recebe um nome e tratamento especial, dizemos que a jogada foi no SECO.

Tabela

A tabela é composta por quatro colunas, Descida, Subida, Desordem e Seco, cada coluna possui 13 células a ser preenchidas pelo jogador (em verde claro na tabela abaixo) e 3 células de totais que serão preenchidas automaticamente pelo jogo (verde escuro). As colunas se diferenciam pela forma como devem ser preenchidas, a coluna Descida deve ser preencida de cima para baixo, a coluna Subida, de baixo para cima. A coluna Desordem, como o próprio nome diz, pode ser preenchida em qualquer ordem.

Finalmente, a coluna Seco, só poderá ser preencida após o primeiro lançamento dos dados, ou seja, o jogador deverá ter obtido o resultado desejado no primeiro lançamento. Se o jogador lançar os dados uma segunda vez, a coluna inteira será desabilitada.

Jogos

Em cada linha da tabela um certo tipo de jogo deverá ser obtido pelo jogador. Se for bem sucedido, o jogador irá ganhar o bônus correspondente ao jogo em questão. Por exemplo, se o jogador obter uma Quadra (quatro dados iguais) na linha Q, deverá marcar a soma dos pontos da quadra mais um bônus de 20 pontos. Isso vale para qualquer uma das quatro colunas. Abaixo, a lista de todos os jogos previstos no Yam:

1	Um	Obter a maior quantidade possível de números 1	Somar os pontos dos dados com número 1
2	Dois	Obter a maior quantidade possível de números 2	Somar os pontos dos dados com número 2
3	Três	Obter a maior quantidade possível de números 3	Somar os pontos dos dados com número 3
4	Quatro	Obter a maior quantidade possível de números 4	Somar os pontos dos dados com número 4
5	Cinco	Obter a maior quantidade possível de números 5	Somar os pontos dos dados com número 5
6	Seis	Obter a maior quantidade possível de números 6	Somar os pontos dos dados com número 6
T	SubTotal		Somar os pontos anteriores. Se o valor for maior ou igual a 60, acrescentar um bônus de 30 pontos.
Q	Quadra	Obter 4 dados iguais	Se obtido, somar os pontos dos dados iguais e acrescentar um bônus de 20 pontos, caso contrário marcar 0
F	Full	Obter uma trinca e uma dupla	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 30 pontos, caso contrário marcar 0
S-	Seguida Mínima	Obter 1, 2, 3, 4, 5	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 35 pontos, caso contrário marcar 0
S+	Seguida Máxima	Obter 2, 3, 4, 5, 6	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 40 pontos, caso contrário marcar 0
-	Mínimo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser menor do que a célula abaixo (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for maior do que a coluna abaixo
+	Máximo	Somar os pontos dos dados. O resultado deve ser maior do que a célula acima (Mínimo).	Somar os pontos de todos os dados. Considerar 0 se o valor for menor do que a coluna acima
Y	Yam	Obter 5 dados iguais	Se obtido, somar os pontos de todos os dados e acrescentar um bônus de 50 pontos, caso contrário marcar 0
T	Total		Somar as linhas Q,F,S-S+,-,+,Y
TG	Total Geral		Somar SubTotal com Total

Ranking

Criei um sistema de ranking que privilegia o jogador regular, estrategista, insensível a golpes de sorte. Existe o ranking do dia, o ranking da semana, os melhores resultados e o ranking geral. Para calcular o ranking geral devemos considerar o seguinte critério de pontos:

1º colocado na semana: 8 pontos
2º colocado na semana: 5 pontos
3º colocado na semana: 3 pontos
1º colocado no dia: 1 ponto

Dependendo do número de semanas que você foi primeiro, segundo ou terceiro colocado terá seu score geral acrescido de 8, 5 ou 3 pontos respectivamente. Se você campeão de apenas 1 dia ganhará 1 ponto. Para os propósitos do jogo o primeiro dia da semana é domingo, portanto no próximo domingo o ranking da semana estará vazio, aproveitem! O ranking de melhores resultados não é utilizado para o ranking geral. Esta decisão foi tomada na intenção de diminuir o componente sorte do ranking geral.

O que é um bom resultado?

Adianto que um resultado superior a 1000 já é considerado bom. Se você conseguir mais do que 1100 já pode pensar em ser campeão do dia. Se conseguir mais do que 1200 tem muita chance de ser o campeão da semana. Se ultrapassar os 1300, bom já estamos lidando com profissionais. Só vi um resultado maior do que 1400 e me pergunto porque o fulano não jogou na megasena. Mais que 1500? Nunca vi!

The Eisenmann Number Project

2007-11-28T14:31:00.000-02:00

O matemático húngaro Paul Erdős (1913 - 1996) foi um dos mais produtivos matemáticos de todos os tempos. Como todo bom gênio matemático, possui uma lista infindável de excentricidades: acredita-se que era assexuado e é provável que não tenha tido qualquer contato sexual em toda sua vida; chamava as crianças de épsilons (letra grega tipicamente utilizada para representar quantidades infinitamente pequenas); tomava anfetaminas para manter sua produtividade matemática em alto índice; não dava absoluta atenção a dinheiro e livrava-se dele oferecendo recompensas a seus alunos para motivá-los a resolver algum problema matemático.

Erdős envolveu-se em muitas áreas da matemática, porém suas maiores contribuições concentravam em análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Gostava de resolver os problemas de forma simples e elegante, valorizando a estética da solução. Ao contrário do que o perfil do tipo gênio distraído possa sugerir, Erdős foi um matemático excepcionalmente colaborativo, raramente publicava sozinho, tornando a matemática de fato uma atividade social.

Em homenagem a Paul Erdős a comunidade matemática inventou um pitoresco conceito que ajuda a mostrar quão colaborativo ele foi, é o chamado Número de Erdős. Em linhas gerais a coisa funciona assim: Uma pessoa possui o número de Erdős igual a 1 se colaborou com o próprio Paul Erdős em um artigo matemático. Se alguém colaborou com alguém que colaborou com Paul Erdős (e não colaborou com o próprio, é claro) ganha número de Erdős igual a 2. A única pessoa que possui número de Erdős igual a zero é o próprio Paul Erdős. Os detalhes podem ser verificados na página Erdos Number Project.

Mesmo depois da morte de Erdős em 1996 a rede dos números de Erdős não para de crescer, porém, como o leitor mais astuto irá perceber, é impossível que surja um novo nome entre aqueles que possuem número de Erdős 1, portanto esta lista de 511 não aumentará jamais. No momento em que todos essas 511 pessoas falecerem não haverá chance da lista de 8162 nomes dos que possuem número de Erdős 2 aumentar. O grafo formado pelos números de Erdős é muito estudado pela comunidade matemática e hoje em dia conta com uma enorme quantidade de vértices e arestas.

A idéia dos números de Erdős alçou vôo e atingou novas cearas, algumas tão improváveis quanto Holywood. Três estudantes da Albright College inventaram o jogo Six Degree of Kevin Bacon e a idéia é calcular a distância de um ator ou atriz qualquer até o ator Kevin Bacon, sim aquele mesmo de Footlose, alguém lembra? Funciona assim: qualquer ator que tenha participado de um filme que Bacon também tenha participado recebe o número 1. Se um ator nunca foi colega de Bacon em nenhum filme, mas foi um colega de alguém que foi colega de Bacon, recebe o número 2 e assim por diante. Esses números foram batizados com Números de Bacon. Assim como um número de Bacon mede a distância de um ator até Kevin Bacon, um número de Erdős mede a distância de um matemático até Paul Erdős.

Na onda desses números algumas pessoas, entre elas Simon Singh (autor de O Último Teorema de Fermat, O Livro do Código e Big Bang), ajudaram a popularizar a idéia dos Números de Erdős-Bacon. Um número Erdős-Bacon de uma pessoa é definido como a soma de seu número de Erdős com seu número de Bacon. Esses novos números não teriam tanta graça se não houvesse pessoas que possuam os dois números, o que parece ser o caso num primeiro momento. Porém, surpreendentemente Carl Sagan, Stephen Hawking e Richard Feynmann, só para citar os mais famosos, figuram nesta lista. Mais surpreendentemente ainda é o fato de que há sim no mínimo uma mulher bonita, a atriz Danica McKellar, incluida na lista. Ela possui número de Erdős 4, número de Bacon 2 e, naturalmente número de Erdős-Bacon igual a 6.

Os jogadores de Go também tem seu número, é o número de Shusaku que mede a distância de um jogador até o mestre do Go, Honinbo Shusaku. Os critérios para calcular o número de Shusaku são parecidos aos que já vimos para os outros dois números e o leitor poderá ver na página da wikipedia referente ao Número de Shusaku.

Os números de Eisenmann

Ao contrário de Paul Erdős que não dá atenção ao dinheiro, de Kevin Bacon que já tem muito dinheiro (pelo menos eu acho), e de Honinbo Shusaku que joga Go como ninguém, eu, é, eu mesmo, dou sim atenção ao dinheiro, não tenho muito, e não consigo ganhar de ninguém no Go. Para piorar minha situação estou morando em Manaus, a milhares de quilômetros de São Paulo, minha cidade natal, longe de familiares e amigos.

Porém, não vou ficar me lamentando e para dar um fim nesses "problemas" vou seguir a comunidade matemática e inventar meu próprio número, o número de Eisenmann. Para calcular seu número de Eisenmann observe as regras abaixo:

Alexandre L K Eisenmann possui número de Eisenmann 0.
Aqueles que presentearam Alexandre com uma cédula monetária válida brasileira possuem número de Eisenmann 1
Aqueles que presentaram alguém com número de Eisenmann N, possuem número de Eisenmann N+1

Como vocês viram, a regra é muito simples, e tem tudo para virar o último grito da moda. Para incentivar o encontro das pessoas defino aqui uma cláusula importante: É necessário que as notas sejam entregues pessoalmente, não vale depósito em conta ou qualquer outro tipo de trâmite. Sim, quem quiser ganhar o número de Eisenmann 1 terá que vir a Manaus e entregar pessoalmente sua nota, ou esperar que eu vá até São Paulo ou qualquer outro lugar para me encontrar. Por outro lado, vocês não precisam dar a nota pra mim. Para participar basta entregar sua nota para qualquer outra pessoa que possua número de Eisenmann, em troca você ganha um número de Eisenmann e seu nome aparecerá neste Blog com direito a um link direto a sua própria página.

Ainda não criei uma infraestrutura tecnológica com a estatura que os números de Eisenmann merecem, porém prometo fazê-lo assim que a idéia ganhar corpo. Por hora estabeleci critérios muito simples para garantir o bom funcionamento do processo. Qualquer um que quiser obter um número de Eisenmann deverá seguir os passos abaixo:

Confira na lista oficial e encontre alguém, digamos o João, que possui um número de Eisenmann, digamos N.
Escolha uma cédula (recomendo uma nota de 1 real), ANOTE seu número de série e dê para o João.
Mande um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o seguinte texto: "Olá, meu nome é <nome completo> e entreguei a nota D6704067147C para alguém que possui número de Eisenmann na cidade de <nome da cidade>. Por favor inclua este link ao lado de meu nome aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.com.br". Note que será possível acompanhar a trajetória de uma nota, outro projeto bastante interessante.
João, por sua vez, ao receber a cédula DEVERÁ NECESSARIAMENTE enviar um email para a conta do projeto The Eisenmann Number Project com o texto: "Recebi a nota D6704067147C, por favor, atualize as informações necessárias".
De posse destas informações o The Eisenmann Number Project incluirá seu nome no grafo e na lista.

Essa coleção de regras presume algo que considero importante. Deverá haver algum grau de amizade ou confiança na transação pois quem dá o dinheiro quer ter certeza de que o outro atualizará as informações. Acredito que esta rede social crescerá lenta, porém constante a medida que as pessoas simpatizarem com a idéia. Como ninguém deu ainda uma nota pra mim a lista das pessoas com número de Eisenmann só possui um nome, o meu próprio. Confira:

D	Nome/link/Cidade/Data/Cédula/Ligação	Número de Eisenmann	Índice de Becker
1	Alexandre Luís Kundrát Eisenmann http://www.humanomatica.blogspot.com	0	∞
2	Fabiana Cardeal de Godoy Eisenmann Manaus 28/11/2007 B0659072987A Entregou nota para o ID=1	1	2,000000
3	Hamilton Jacques Cardeal de Godoy http://hamiltongodoy.blogspot.com/ Manaus 28/11/2007 B0661005084A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
4	Cassiano Otavio Becker Manaus 29/11/2007 B0336008742A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
5	Rafael Ferreira Barcelos http://www.linkedin.com/in/rbarcelos Manaus 03/12/2007 B0662061838A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
6	Paulo Sérgio Werneck Coelho Filho Manaus 06/12/2007 A9407078925A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
7	Maria Suely Ramos dos Santos Manaus 08/12/2007 B0416018283A Entregou nota para o ID=2	2	0,000000
8	Andrea Lauriello Eisenmann Bento Manaus 11/02/2008 B2459011171A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
9	Regina Kundrát Eisenmann Manaus 15/02/2008 A9690083133A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
10	José Henrique Nogueira Eisenmann Manaus 15/02/2008 B2388085850A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000
11	Ricardo Kundrát Eisenmann http://www.orkut.com/ Profile.aspx? uid=4398866855055886232 São Paulo 06/03/2008 A1504016200A Entregou nota para o ID=1	1	0,000000

A cada novo nome a lista será atualizada. Não apresentarei endereço de email porém manterei nos cadastros o número de cédula utilizada e as informações enviadas. No futuro será possível acompanhar a trajetória de uma nota individual nas suas relações com a rede dos números de Eisenmann.

Índice de Becker

O índice de Becker foi projetado e proposto por Cassiano Otavio Becker, ele próprio um número de Eisenmann 1. Para calcular o índice de Becker devemos dividir o número de pessoas que você agregou para a rede pelo seu número de Eisenmann. Por exemplo, suponha alguém que possui número de Eisenmann igual a 2 e que recebeu cédulas de 7 outras pessoas. Essa pessoa possui índice de Becker igual a 3,500000.

Formalmente, considere a rede dos números de Eisenmann um grafo. Cada vértice do grafo é uma pessoa com número de Eisenmann, cada aresta liga uma pessoa àquela que recebeu sua cédula. O índice de Becker de um vértice (de uma pessoa) é calculado dividindo-se seu grau menos 1 (grau do vértice é um conceito formal relacionado a grafos) por seu número de Eisenmann. A idéia é incentivar as pessoas a contribuirem com o crescimento da própria rede dos números de Eisenmann.

FAQ

Porque eu entraria neste projeto?
Além de contribuir para a matemática e a ciência, você poderá ganhar dinheiro, afinal outros poderão lhe lar cédulas de presente. Além disso se a moda pega, seu nome constará da lista. Lembre-se que a moda hoje é ser meio nerd (Bill Gates, Steve Jobs, Richard Dawkins, Danica McKellar, etc...) e não há melhor forma de provar sua nerdabilidade do que este tipo de projeto. Ser nerd é cool! não se esqueça disso. Se não acredita leia este artigo da revista Superinteressante.

O projeto é uma espécie de pirâmide onde eu perderei dinheiro e alguém ganhará?
É claro que não, as regras estão claras. Note que mesmo que o projeto seja um sucesso posso ganhar apenas R$ 1,00. Pensando de uma maneira mercantilista, o projeto também é viável, afinal você pode ceder uma nota para entrar no projeto e receber várias de outros que estão ingressando, porém, e isso é importante, o dinheiro que você recebeu não "flui" para nenhuma outra pessoa, ele fica com você.

O que devo fazer com o dinheiro que ganhar?
Faça o que quiser. No meu caso porém, estou pensando em fazer algo socialmente responsável, para usar um termo da moda.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 20, e entregar uma nota para alguém de número 3, o que acontece?
Seu número de Eisenmann é atualizado para 4 e todas as pessoas das quais você recebeu cédulas terão seus números de Eisenmann atualizados, recursivamente.

Se já possuo um número de Eisenmann, digamos 3, e entregar uma nota para alguém de número 20, o que acontece?
Nada.

Que tipo de cédula devo utilizar?
Sugiro utilizar notas de 1 real, afinal sai mais barato, porém o projeto aceita qualquer tipo de nota que tenha um número de série válido.

Como devo referenciar o projeto em trabalhos acadêmicos?
Por hora, basta citar nosso nome "The Eisenmann Number Project", no momento que tiver um endereço específico com mais informações atualizo o blog.

Por que utilizar um nome em inglês para o projeto, afinal você é brasileiro?
Pensei muito sobre isso e realmente queria colocar o nome em português, mas ao final escolhi o inglês por uma questão de similaridade com os outros projetos do gênero, The Erdős Number Project ou The Bacon Number Project.

O que fazer se a pessoa que recebeu meu dinheiro não mandar o email?
Ligue para ela e insista, caso contrário, seu nome não aparecerá na lista e você perdeu seu dinheiro.

Por que não gasta seu tempo calculando os números de Piovani, pontuando aqueles que namoraram a atriz num formato parecido ao proposto?
Bom... a idéia é boa mas fiquei relutante em expor a vida de outras pessoas neste espaço. Além disso não é tão nerd, e, como vocês sabem, ser nerd é Chique!

O Mestre Azulejista

2007-11-22T19:46:00.000-02:00

Marcílio Santos é um mestre azulejista. Domina a arte de ladrilhar uma superfície como ninguém. Marcílio possui uma pequena oficina em sua residência onde ele também produz azulejos de diversas padronagens e tamanhos. Marcílio é capaz de desenvolver uma padronagem tão complexa que torna a vida dos aprendizes bastante difícil, é como um quebra-cabeça.

Marcílio levou uma infância difícil, sétimo filho de oito crianças. Seu pai, Edinaldo, fora pedreiro toda a vida e foi dele que Marcílio recebeu a motivação que modelaria seu destino. Edinaldo dizia que a profissão de pedreiro não era valorizada e que, se ele queria ser alguém, deveria ser azulejista como seu amigo Sebastião, esse sim, bem de vida.

Marcílio estudou até a quarta série, aprendeu a ler e também as quatro operações. Edinaldo preocupou-se com o futuro do filho, então, tão logo quanto pode, tirou Marcílio da escola para que pudesse trabalhar na construção civil, essa sim uma atividade útil e importante.

Sebastião se encarregou do treinamento de Marcílio e logo se espantou com a habilidade do rapaz. Marcílio era um excelente desenhista e um cortador meticuloso, cuidadoso e concentrado. Marcílio nunca desperdiçava material além de fazer um trabalho extremamente limpo na montagem, com poucas sobras e sem sujeira. Em pouco tempo, o menino superou o mestre e aos 16 anos já era conhecido como melhor azulejista da região.

Conforme aperfeiçoava-se em seu ofício, Marcílio desenvolvia uma obsessão. Ao contrário dos azulejistas comuns que ladrilhavam uma parede com as peças que seu cliente comprava, Marcílio acreditava que os azulejos deveriam ser especialmente projetados para determinada parede. Assim, ele primeiro visitava seu cliente, media a parede, planejava o trabalho, emitia um orçamento e, quando aprovado, produzia os azulejos.

O grande momento para Marcílio era a montagem final, onde ele ia pessoalmente encaixar todos os azulejos recentemente produzidos. Era neste momento que ele via o resultado de todos os seus esforços. Nunca era necessário quebrar uma peça. Marcílio calculava a dimensão de seus azulejos de maneira a nunca precisar recortar ou incluir qualquer azulejo cortado na parede.

Essa era a sua obsessão, sua motivação e seu motivo de orgulho. Apesar da pouca instrução, ele era capaz de calcular a dimensão exata que as peças precisavam ter para encaixar corretamente na superfície disponível. Numa parede de 8,346 m X 3,852 m, por exemplo, era necessário utilizar azulejos de lado igual a 10,7 cm para possibilitar um perfeito encaixe sem que nenhuma peça precisasse ser cortada.

Às vezes o resultado dos cálculo apontavam para medidas extremas para os azulejos, ou muito pequenas ou muito grandes. Quando as peças necessárias eram pequenas demais Marcílio insistia na mudança da dimensão da própria parede, o que normalmente não era possível. Porém, mesmo quando era obrigado a abrir uma concessão, o fato de que havia sim uma medida ideal o confortava, mesmo quando inaplicável na prática.

Um dia o mundo de Marcílio desmoronou. Enquanto gabava-se para um cliente de que sempre poderia calcular a dimensão ideal de um azulejo, independente do tamanho da parede, de forma a evitar qualquer tipo de corte nas peças e um encaixe final perfeito, ouviu a frase que mudaria seu humor daí para diante: "Não é verdade! dependendo da dimensão da parede pode ser impossível calcular um azulejo ideal!". De início, Marcílio adorou o comentário, pois deu a ele a oportunidade de explicar seu método.

O cliente não cedeu, insistindo de que isso havia sido provado a mais de 4000 anos atrás e de que não valia a pena discutirem a questão. Segundo o cliente, estava relacionado com a prova da existência dos números irracionais, precisamente com a demonstração de que o lado do quadrado não é comensurável com sua diagonal.

O cliente, tentou traduzir para Marcílio da seguinte forma. Escolha uma medida qualquer e chame de medida 1, agora forme um quadrado com o lado igual a medida 1, pegue a diagonal deste quadrado e chame de medida 2. Finalmente, considere uma parede retangular com as dimensões iguais a media 1 x medida 2. Pronto, não é possível fabricar qualquer azulejo capaz de ladrilhar perfeitamente a parede.

De fato, um discípulo de Pitágoras fez esta demonstração, provando que a diagonal de um quadrado não é comensurável com seu lado, isto é, não há medida comum entre estas duas grandezas de forma que ambas sejam múltiplas desta medida. A partir daí foi provado a existência de números que não podem ser representados por frações, que modernamente chamamos de irracionais. Conta-se que este discípulo foi morto pela irmandade pitagórica, afinal ele quebrou a ilusão da escola de que todas as grandezas da natureza podiam ser representada por números inteiros ou frações.

Marcílio não entendeu o argumento, porém perdeu a alegria que seu ofício lhe dava, desconfiando sempre que alguém poderia solicitar um serviço impossível. De qualquer maneira, isso também era impossível, afinal Marcílio recebia ou media previamente as dimensões das paredes nas quais ia trabalhar. Porém, as medidas obtidas pelos instrumentos humanos sempre permitiam que o procedimento de Marcílio funcionasse. Para que houvesse uma falha a trena do Marcílio deveria ser capaz de medir números irracionais, com infinitas casas decimais não periódicas.

A história de Marcílio ilustra uma das principais passagens na história da matemática, a descoberta da incomensurabilidade e dos números irracionais. Se dispuséssemos de ferramentas de medidas infinitas, de fato haveria dimensões impossíveis de ladrilhar utilizando azulejos quadrados. É o caso por exemplo de uma parede de 1 metro por raiz de 2 metros. Em todo caso, Marcílio poderia ficar descansado, nenhum instrumento do mundo pode medir de fato um parede com comprimento de raiz de 2 metros, pelo menos, não com esta precisão absoluta.

Não tem urso polar na Antártida!

2007-11-19T18:02:00.000-02:00

Nossa cultura premia os grandes resolvedores de problemas, porém não damos muita bola para seus criadores. Sob certo ponto de vista, propor problemas é tão ou mais importante quanto resolvê-los, alarga as fronteiras do que não sabemos e motiva nossas melhores mentes na busca de sua resolução.

Criar uma nova charada e compor um belo enunciado não é tarefa fácil. Deve ser simples o suficiente para captar a atenção das pessoas, difícil o suficiente para desafiá-las e informativo o suficiente para tornar a charada solúvel.

As charadas clássicas ilustram bem a natureza dos grandes problemas. São fáceis de enunciar e capazes de desafiar. Por outro lado nem sempre os enunciados são bons o suficiente para mostrar toda a profundidade do tema.

De certa maneira sou um colecionador de problemas e charadas. Quando sou desafiado tenho o péssimo hábito de ir até meu limite para tentar resolvê-lo. Se considero a charada boa o suficiente nunca a esqueço e repasso sempre que posso correndo o risco de ser chato e arrogante.

Entre toda a fauna de problemas que memorizei, há uma classe especial, ou melhor, uma espécie de segunda divisão. Eles tem grande potencial para ingressar na primeira divisão mas são imperfeitos. São charadas conhecidas, e muitos de vocês já foram expostos a elas, mas alguns detalhes em sua estrutura compromete a qualidade geral. No fundo acredito poder remendar estes casos e, enfim, permitir que todos vejam o que estava escondido.

Por hora, mostrarei um exemplo:

Uma pessoa anda 1 km na direção SUL, depois mais 1 km na direção LESTE e, finalmente, mais 1 km na direção NORTE. E aí verifica que acabou voltando exatamente para o ponto inicial de onde saiu. Nesse momento, essa pessoa vê um urso. Pergunta-se: de que cor era esse urso?

Para aqueles que não o conhecem vale a pena gastar algum tempo. Se esse for o seu caso pare de ler neste instante pois vou estragar o desafio.

Logo vocês perceberão que se estivermos no Polo norte e seguirmos os passos descrito chegaremos de fato no mesmo ponto que saímos. Bom, daí fica fácil, o urso deve ser branco afinal trata-se de um urso polar.

A resposta acima é correta, porém o problema é muito mais interessante do que parece e o enunciado não contribui para que isso seja percebido. Dá a impressão que só existe um ponto no globo com essa propriedade, o Polo norte, porém isso definitivamente não é verdade. No hemisfério sul EXISTEM INFINITOS pontos com a mesma propriedade, como mostrarei para vocês.

Antes, porém, deixem-me explicar porque considero a resposta correta. Todos estes pontos do hemisfério sul estão muitos próximos do Polo sul. Como lá não existem ursos, podemos ignorá-los para os propósitos do problema, afinal, o enunciado diz que encontramos um urso, portanto devemos estar necessariamente no Polo norte.

Voltando ao problema, afirmo que todos os pontos do globo que distam aproximadamente 1/2pi + 1 = 1,159 km do Polo sul tem a mesma propriedade do ponto que se localiza exatamente no Polo norte. Parece incrível não é? Afinal, o que estes pontos tem de especial quando comparados com todos os outros?

Partindo de qualquer um destes pontos, depois de caminharmos 1 quilometro para o sul, estaremos numa posição privilegiada. Esta posição permite darmos a volta na Terra andando apenas um quilometro para leste.

O leitor neste ponto deverá dar uma pausa para compreender o que foi dito. Para ajudar lembro que se estivermos no equador e quisermos dar uma volta completa na Terra devemos caminhar o equivalente a circunferência da Terra, porém quando maior nossa latitude menos devemos caminhar para completar uma volta culminando no Polo sul onde podemos caminhar zero milímetros para atingirmos este objetivo. Portanto, em algum ponto, entre a linha do equador e o Polo sul poderemos dar a volta na Terra caminhando exatamente 1 quilometro. Este ponto ideal será atingido depois de caminharmos 1 quilometro para o Sul a partir dos pontos que calculamos.

Ora, se voltamos ao mesmo lugar, e caminharmos novamente 1 km para o norte atingiremos o ponto de origem novamente.

Enfim, existem infinitos pontos no globo onde podemos efetuar as instruções propostas na charada e retornar ao mesmo lugar. Apenas 1 fica no hemisfério norte e todos os outros no hemisfério sul. Considero o enunciado desta charada imperfeito pois não dá nenhuma informação quanto aos pontos do hemisfério sul, pior, a charada pode ser resolvida corretamente mesmo que a pessoa não perceba a existência destes pontos.

Em outra ocasião apresentarei outros problemas da segunda divisão e quem sabe recebo algumas sugestões de como remendá-los.

Uma última palavra. Quando calculei a localização dos pontos do hemisfério sul, mencionei a palavra 'aproximadamente'. São dois os motivos: Um porque a Terra, como todos sabemos, não é exatamente esférica. O outro motivo se deve ao fato de eu ter ignorado a curvatura da Terra na parcela (1/2pi) para simplificar os cálculos.

Esqueci de algum ponto?

Escrevo este parágrafo semanas depois de ter postado o artigo e parece que há ainda mais pontos a serem considerados. Agradeço meus leitores que rapidamente perceberam a existência destes pontos remotos, localizados ainda mais ao sul. Para vê-los basta estender o raciocínio previamente utilizado.

Recapitulando, existe uma latitude onde podemos dar a volta na Terra caminhando apenas 1Km para o leste. Ora, então existe uma latitude, neste caso maior, onde podemos dar 2 voltas na Terra, 3 voltas na Terra, ou quantas voltas na Terra desejarmos. Enfim, há ainda uma infinidade de pontos a considerar além daqueles já descritos.

Uma proposta para o ensino de Combinatória

2007-09-21T19:23:00.004-03:00

Combinatória é um assunto difícil, acho que todos concordamos com isso. Num curso típico sobre o assunto, logo na primeira ou segunda aula, conceitos sofisticados como combinação, arranjo, permutação são esparramados no quadro negro. Em breve virá a combinação com repetição e probabilidades e a coisa toda piora.

O aluno típico, frente a esta coleção de nomes e fórmulas procura desesperadamente respostas para suas angústias e invariavelmente ouvimos: "... mas neste exercícios, usamos combinação ou arranjo?"

Ensinar combinatória é igualmente frustrante, uma vez que não há uma sistemática a seguir e muitas vezes os professores são obrigados a tentar expressar sua própria intuição em palavras. Além disso a dificuldade de ensinar assunto tão simples agrava a sensação de frustração.

Princípio da Equiparação

Inspirado na forma como nossos antepassados realizavam contagem sem a utilização de números, vou propor uma nova abordagem para resolvermos exercícios de combinatória. Não é claro que ajudará todos os professores ou alunos mas é uma forma diferente que pode, acredito, ser bastante útil.

O grande segredo de nossos antepassados para contar, por exemplo, ovelhas de um rebanho é o chamado princípio da equiparação. Para cada ovelha do rebanho fazemos um talho num pedaço de pau. Assim, a quantidade de talhos na madeira é equivalente a quantidade de ovelhas. Se, no dia seguinte, houverem mais talhos do que ovelha é provável que algumas tenham sido roubadas ou mortas.

Se ao invés de talhos na madeira, utilizássemos pedras em um saco, não faria diferença nenhuma e o princípio da equiparação estaria sendo utilizado da mesma maneira. De fato muitas outras maneiras são possíveis e, se pensarmos um pouco, a escala numérica é apenas um substituto abstrato para o conjunto de talhos ou pedras em um saco.

Desta forma, contar uma coleção de elementos equivale a encontrar um conjunto de mesmo tamanho. Se este tamanho já é conhecido, não é necessário contar os elementos da coleção para conhecermos a resposta desejada. Por exemplo, apresento para vocês um auditório e informo que há 150 poltronas, na sequência pergunto: quantas pessoas sentadas poderemos acomodar? A resposta é óbvia; 150 pessoas.

Um Problema

O princípio da equiparação é uma ferramenta poderosa de contagem e procurarei ilustrar esta idéia através de um exercício bastante conhecido:

Suponha uma grade com 5 de largura e 3 de altura. Você está localizado no canto inferior esquerdo e deseja alcançar o canto superior direito. Só é possível a locomoção para a direita ou para cima. Quantos caminhos existem?

Certifique-se de que entendeu o problema. Desenhe a grade e trace alguns caminhos possíveis. Afinal, quantos existem? Se quiser pensar um pouco no problema interrompa a leitura neste ponto e volte mais tarde.

Adiantando já para a resolução, é possível perceber que cada caminho envolve 5 passos para a direita e 3 passos para cima. Se representarmos um passo para a direita pela letra D e um passo para cima pela letra C, todos os caminhos procurados podem ser representados por uma palavra de 5 letras D e 3 letras C's. Por exemplo, a palavra DCDDCCDD representa um dos caminhos enquanto CCCDDDDD representa outro.

Se pudermos concluir que a quantidade de palavras com 5 D's e 3 C's é exatamente igual a quantidade de caminhos que pretendemos contar, podemos contar as palavras ao invés dos caminhos e resolver o problema. Esta é a essência do princípio da equiparação.

Anagramas

Um anagrama é uma palavra formada a partir da reorganização das letras de outra palavra. Assim ROMA é um anagrama de AMOR. Palavra, no contexto que estou usando, não precisa ter nenhum significado, assim, a palavra MRAO também é um anagrama de AMOR.

A quantidade de anagramas de determinada palavra é assunto bastante estudado no ensino médio e não tratarei do assunto aqui. Digamos que no momento, calcular esta quantidade é um processo simples e de fácil entendimento.

Um pouco mais complicado é calcular a quantidade de anagramas de palavras com caracteres repetidos com por exemplo a palavra PASSEIO ou a palavra AUTOMATICO, mas novamente, há uma forma simples e sistemática de realizar esta contagem.

Se temos uma ferramenta para contar a quantidade de anagramas, por que não usá-la para resolver o problema proposto anteriormente, afinal a resposta do problema é a quantidade de anagramas que a palavra CCCDDDDD possui. Todos concordam?

Enfim, tínhamos um problema bem definido, conseguimos mapeá-lo para outro contexto, no caso o contexto dos anagramas que possuímos procedimentos fáceis de cálculo. Assim, usando o princípio da equiparação, contamos a quantidade de anagramas possíveis e automaticamente resolvemos o problema.

Um outro problema

Pensar em anagramas é uma boa maneira de resolver problemas de contagem em geral. Não estou querendo dizer que podemos sempre mapear um problema para um conjunto de anagramas, mas sim que sempre que pudermos a solução é imediata.

Um outro exemplo cuja solução por anagramas é simples é o seguinte:

Em um grupo de 9 pessoas conhecidas gostaríamos de eleger 2 presidentes, 3 diretores e 4 gerentes. De quantas maneiras podemos realizar a divisão?

Mais uma vez é possível modelar este problema usando a idéia de anagramas. Numere as pessoas de 1 a 10 e escreva na sequencia. Imediatamente abaixo destes números enfilere 9 letras, 2 P's para presidentes, 3 D's para diretores e 4 G's para gerentes.

123456789
PPDDDGGGG

Suponha que esta representação indica que as pessoas 1 e 2 são presidentes, as pessoas 3, 4, 5 são diretores enquanto as pessoas restantes são gerentes. É claro, muitas outras formações são possíveis, cada uma delas representada por um diferente anagrama da palavra PPDDDGGGG.

123456789
PPDDDGGGG
PDPGGGDGP
DGGGDPPDG
etc...

Assim o número procurado é exatamente igual ao número de anagramas da palavra PPDDDGGGG.

Generalização

Anagramas são ferramentas poderosas e na verdade generalizam os conceitos conhecidos de combinação, arranjo e permutação. Com isso quero dizer que toda combinação pode ser representada por um anagrama assim como todo arranjo e toda a permutação.

Por exemplo toda a combinação C(n,p) pode ser representada como a quantidade de anagramas de p X's e n-p Y's. Por exemplo C(7,3) é igual a quantidade de anagramas da palavra XXXYYYY.

Um arranjo A(n,p) pode ser representado pela busca de todos os anagramas de uma palavra com n-p letras distintas e n-p letras iguais. Assim A(7,3) é equivalente a quantidade de anagramas da palavra ABCXXXX.

Uma permutação de n elementos P(n) é sempre igual a quantidade de anagramas de uma palavra com n letras distintas. Exemplificando P(4) é equivalente a quantidade de anagramas da palavra AMOR.

Conclusão

O princípio da equiparação é muito útil para resolver um sem número de problemas. Suponho que aulas de combinatória focadas neste tipo de raciocínio caminharão no sentido do fortalecimento de conceitos ao invés de memorização de fórmulas. Os anagramas são apenas um exemplo de conjunto que podemos utilizar na aplicação do princípio da equiparação. Eles naturalmente não esgotam o assunto mas é uma nova ferramenta na tentativa de despertar a intuição de alunos e professores.

O Segredo

2007-09-15T21:17:00.000-03:00

Por mais incrível que nos possa parecer o princípio da Contagem é mais antigo do que o conceito de número, isto é, nossos antepassados conseguiam contar antes mesmo da humanidade conhecer ou inventar os números.

Suponha que você leitor é submetido a uma máquina do tempo que o transporta para uma época onde os números não eram conhecidos. De alguma maneira esse conhecimento também lhe é retirado porém sua inteligência e capacidade física são preservadas. Uma peculiar comunidade o recebe e, surpreendentemente, lhe oferece uma importante posição. Enfim, você é designado Pastor de Ovelhas.

Honrado com sua sua nova atribuição, logo toma conhecimento da expectativa da comunidade para com sua atuação em tão nobre ofício: certificar que o rebanho está sendo bem tratado; garantir que não haja predadores nem ladrões por perto; verificar se a cerca está livre de furos ou descontinuidades de modo que nenhum animal possa fugir; alertar a autoridade local de uma iminente escassez ou superpopulação.

Ansioso por mostrar resultados, você começa imediatamente a trabalhar e logo se defronta com alguns problemas que requerem rápida solução. Há muitas ovelhas para pastorear e é praticamente impossível diferenciar uma ovelha das outras, assim não é simples perceber se algumas foram roubadas ou devoradas por algum predador.

Confiante, você acredita que sua mente avançada, proveniente do futuro, logo irá encontrar uma solução para aquela milenar e trivial tarefa. Estranhamente, nada lhe vem a cabeça e os dias vão passando. Quando questionado sobre a saúde do rebanho, você, num sentimento entre vergonha e agonia, mente, dizendo que tudo vai bem, porém na realidade você não sabe mais hoje do que no dia em que chegou.

Um dia você toma conhecimento de que o antigo pastor ainda vive e que, apesar de velho, está lúcido e gosta de companhia. Aliviado você o procura em busca de aconselhamento e é neste dia que você descobre o grande segredo.

Hoje sabemos que a ferramenta de contar as ovelhas é essencial para o ofício de Pastor, porém nesta época números não eram conhecidos. Qual é afinal o grande segredo que o ancião lhe contou?

Simplício

2007-08-07T15:17:00.000-03:00

Galileu Galilei foi obrigado a responder diante do tribunal da Santa Inquisição porque escreveu um livro que contrariava os dogmas da Igreja. "Diálogo sobre os Dois Máximos Sistemas de Mundo" foi escrito na forma de um diálogo entre três personagens: Salviati, o defensor do ponto de vista de Galileu que, seguindo os passos de Copérnico, colocava o Sol ao centro do Universo; Simplício que defendia a posição da igreja com a Terra ao centro do universo e Sagredo, uma espécie de mediador do diálogo.

O papa Urbano VIII obviamente se enfureceu com a escolha destes nomes, afinal a sua posição e a da igreja era defendida por alguém de nome Simplício. Tamanho erro estratégico colocou Galileu, religioso devoto e amigo do papa, em prisão domiciliar até o fim de seus dias.

Recebi de meu antigo chefe um relato de um episódio que ocorreu nos últimos dias. Trata-se de um evento cotidiano protagonizado por ele mesmo e um subordinado de alta patente da área de desenvolvimento de software. O acontecimento foi narrado de modo um tanto jocoso e de fato, para quem conhece os envolvidos, é muito engraçado. Reproduzirei aqui o relato, porém, para preservar a identidade dos protagonistas, optei por mudar seus nomes à moda de Galileu Galilei. Acompanhe abaixo, observando que minhas alterações e comentários estão em negrito.

Nós aqui na empresa temos 3 vagas no subsolo que estão sendo utilizadas por mim (Salviati), pelo Fulano (coadjuvante) e pelo Simplício. Como a garagem é pequena, o prédio utiliza serviços de manobristas que ficam na garagem até a hora em que nossos carros estejam posicionados para podermos sair sem a necessidade de manobrar outros carros. Quando estão nesta situação, o manobrista deixa todas as chaves na portaria que fica no andar térreo.

Sexta-feira, à noite, eu e o Simplício saímos da empresa e nos dirigimos à portaria (térreo) para pegar as nossas chaves. Reconheci e peguei a minha chave, pois utilizo um chaveiro com um cifrão para dar sorte, mas percebi Simplício confuso, com duas chaves idênticas de Mercedes (sim, pasmem, Simplício tem um Mercedes), fazendo aquela cara de interrogação. Ele pensou, pensou, tentou verificar se havia alguma marquinha na chave que pudesse fazê-lo concluir qual seria a sua, mas nada, nenhuma marquinha. Concluiu ele que o melhor seria levar as duas chaves ao subsolo, experimentá-las e trazer de volta a errada. Eu, não aguentando, interferi: Por que trocar 50% de chances de você não precisar retornar por 100% de certeza de que você precisará retornar para devolver a chave errada? Ele continuou com cara de interrogação. Como sempre, tive que explicar em detalhes: Por que você não escolhe uma das chaves e desce, se acertar, não precisa voltar, se errar, volte e pegue a outra chave que será a correta. Depois da segunda explicação e de alguma ajuda do porteiro Sagredo, fazendo um pequeno teatro, ele enfim entendeu e feliz falou: Por isso que você é o chefe!!! (sim, Simplício é capaz deste tipo de comentário apaspalhado)

Envergonhado por uma declaração desta na frente do porteiro Sagredo que me olhou com aquela cara de “você só contrata débeis mentais, para se sentir superior a eles”, desci com Simplício e “voilá”: ele acertou na escolha da chave e não precisou voltar à portaria. Triste pelo ocorrido, devo ter gerado alguma energia negativa que meu carro nem funcionou direito. Por outro lado, o Simpício viu a outra Mercedes que estava na garagem e lamentou não ter escolhido a chave errada.

Conheço Salviati e Simplício há muitos anos e me diverti muito lendo o relato acima enviado por Salviati. Simplício é Arquiteto de Software Sr, com mestrado, Mercedes e tudo o mais, só espero que não se ofenda muito por ter publicado esta história no Blog. É certo que omiti sua identidade mas aqueles que o conhecem saberão sobre quem estou falando. De qualquer forma, a mensagem que quero deixar é outra. Muitas pessoas reclamam da Matemática porque acham que ela não tem aplicação prática e que não serve para nada. Penso diferente, acho que nós não percebemos quando a Matemática se materializa em nossa frente.

Beleza da Matemática

2007-06-22T11:24:00.000-03:00

Oi, Alexandre
Não o conheço mas, aproveitando seus comentários, creio que seria interessante que vc, um matemático, explorasse um pouco mais o que é essa "beleza" da simetria matemática e que nesse "encontro" tanto o fascinou!
Em outras palavras, o que há aí que chamamos de "belo"?
Fale-nos um pouco mais sobre isso...
Abs

Olá Fernando,

Sua pergunta é profunda e bastante difícil de responder. Toda a vez que tento definir a beleza da matemática para outra pessoa percebo que o interlocutor não sentiu de fato o que eu gostaria de passar.

Porém, tenho certeza de que muitas pessoas, em especial muitos matemáticos, compartilham da minha opinião de que a matemática é antes de tudo bela. No processo de descoberta é comum caracterizarmos o desenvolvimento realizado como "belo" ou "elegante". Frases como "Que belo teorema !", "Aquela demonstração é muito sutil e elegante." são recorrentes no meio matemático.

Na verdade não sei definir o conceito de beleza, nem no sentido geral, nem no sentido matemático, se é que são diferentes. Mas posso dizer que em matemática, a beleza está próxima de simplicidade, clareza, originalidade e surpresa.

Em geral, uma demonstração curta e simples é mais bela do que uma demonstração longa. Um resultado claro, de fácil entendimento, é mais belo do que um resultado complexo que demanda muito esforço para sua compreensão. Um desenvolvimento original, ousado, criativo, fora do comum, será sem dúvida reconhecido como belo.

Se além de tudo isso, a demonstração causar surpresa, é bastante provável que o leitor a considere assombrosamente bela. "Surpreendente!" ele dirá e nunca mais vai esquecer o teorema. Há vários exemplos bastante conhecidos de teoremas que são unânimamente considerados belos, como a prova atribuída a Euclides da Infinidade dos Números Primos, ou a demonstração de que a diagonal do quadrado é um número irracional.

Quando uma pessoa curiosa, mas não matemática lê ou escuta que há uma prova de que existem infinitos números primos ela provavelmente pensará: Como alguém pode provar que existem infinitos elementos de alguma coisa? Se esta mesma pessoa ler e entender a demonstração, perceberá que não há alternativa alguma a não ser que, de fato, existam um número infinito de números primos. Isso causará surpresa, prazer intelectual e o contato com uma sensação de VERDADE nunca experimentada anteriormente.

A verdade e a certeza que a matemática nos traz não pode ser subestimado na construção da nossa percepção da beleza. Nossa vida é repleta de incertezas, não sabemos se vamos ter emprego no mês que vem, se vamos ser bem sucedidos neste ou naquele projeto, se nossos filhos vão ser felizes, etc..., etc... etc... mas EXISTEM INFINITOS NÚMEROS PRIMOS. Parece bobo comparado com nossas necessidades reais mais o tipo de certeza que a matemática fornece, nos traz conforto, alento, e por que não, prazer. Trazendo prazer, queremos contemplar mais e mais esta verdade. Enfim, o que dizemos quando queremos contemplar algo mais tempo? Que este algo é belo.

É impossível esgotar o assunto e tenho a impressão de que qualquer linha argumentativa é pobre frente a contemplação de uma demonstração real que pretendo mostrar para finalizar este texto.

Para sair do lugar comum apresentarei uma demonstração não muito conhecida que acho muito bela atribuída ao matemático medieval Nicolau Oresme relacionado com a soma de uma série infinita.

Sabemos que a soma 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... é igual a 2. Este resultado por si só é bastante surpreendente afinal estamos somando infinitos termos e obtendo um número finito, isto é 2.

Da mesma forma 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... é igual a 3/2. De novo, uma soma infinita resultando num valor finito. E isso vale para qualquer série da forma 1 + 1/k + 1/kk + 1/kkk + ...., se k for maior do que 1.

Agora, e a série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...? Ela é igual a um valor finito ou ela é igual a infinito como é a série 1 + 1 + 1 + 1 + ...?

Oresme mostrou que a série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ..., também chamada de série harmônica, é igual a infinito, formalmente Oresme provou que a série harmônica é divergente. Observe a simplicidade e elegância da demonstração.

Note que:

1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 portanto 1/3 + 1/4 > 1/2

1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 portanto 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2

1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 1/16 + 1/16 + ... + 1/16 (8 vezes 1/16) portanto 1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 1/2

Podemos portanto reescrever 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... como 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ...

Enfim,

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... > 1 + 1/2 + (1/2) + (1/2) + ...

Ora sabemos 1 + 1/2 + (1/2) + (1/2) + ... é igual a infinito. Então, obviamente 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... também é igual a infinito.

Bom não sei se você irá achar bela esta demonstração, afinal beleza é pessoal, mas tenho certeza de que há alguma demonstração, algum resultado que você irá considerar belo ou elegante ou interessante.

Um abraço

Alexandre

Fios de cabelo em São Paulo

2007-06-12T16:25:00.000-03:00

Existe uma anedota bastante conhecida sobre os matemáticos. O sujeito está num balão que vaga a esmo sobre um grande deserto. Perdido, ele avista um andarilho na linha do horizonte. Por sorte os ventos o levam até uma distância próxima do andarilho. Lá de cima o sujeito grita:

— Eeeeeeeeiiiii, aí embaixo! Onde é que estou?
O andarilho observa, analisa e responde:
— Você está num balão.
Diante desta resposta o sujeito, atônito, retruca.
— Você é um matemático, não é?
— Sim, como você sabe?
— Bom, sua resposta é absolutamente correta e não serve absolutamente para nada.

Essa piada é o que podemos chamar de "piada genérica" e é muitas vezes customizada para outras profissões, é possível que vocês já a tenham ouvido interpretada por outros atores, como os Consultores ou mesmo os Estagiários, mas nenhum possui um perfil tão adequado quanto os Matemáticos aos propósitos da piada.

Sim, a matemática está preocupada com a verdade, tão preocupada que preferimos muitas vezes falar o óbvio a correr o risco de cometer uma imprecisão. É surpreendente que falando o óbvio o tempo todo alcançamos verdades não tão claras assim, fato que pretendo ilustrar para vocês.

Na cidade de São Paulo existem duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo?

Procurem responder a questão acima. Imagino que uma série de respostas serão possíveis. Enumero alguma delas:

1) Acho que não.
2) Acho que sim.
3) Não podemos afirmar com certeza.
4) Não, é claro que não.
5) Sim, com certeza sim.
6) Sim, dois carecas tem zero fios de cabelo.

Para acabar com a alegria de quem respondeu a resposta (6), consideramos que não há carecas, ou se preferirem, que trocamos cada careca por uma pessoa com cabelo de outras cidades.

Neste ponto, volto a insistir na pergunta, existem ou não existem duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo. O que diz a intuição de vocês? O meu palpite é que a grande maioria responderá algo próximo das repostas (1), (2) ou (3). Estou certo?

Bom, agora vou provar, isso mesmo, provar, que com certeza existem duas pessoas na cidade de São Paulo com a mesma quantidade de fios de cabelo. Para tanto, lançarei mão de dois axiomas, duas premissas que uma vez aceitas, se tornarão verdades irrefutáveis no desenvolvimento do raciocínio.

(Axioma I) Nenhuma pessoa possui mais de 1 metro quadrado de couro cabeludo.

(Axioma II) Nenhuma pessoa possui mais de 1000 fios de cabelo por centímetro quadrado de couro cabeludo.

Para mim é razoável que não existam pessoas na cidade de São Paulo que violem qualquer um dos axiomas propostos. Agora, se vocês discordam é porque conhecem tal aberração e nesse caso sugiro interromper o artigo e levar seu amigo para qualquer programa de televisão que aprecie este tipo de atração.

Bom, se chegou aqui é porque aceitou os axiomas. Nesse caso, é simples concluir que nenhum ser humano pode ter mais do que 10.000.000 fios de cabelo. Note que se qualquer pessoa tiver mais do que 10.000.000 fios terá quebrado um ou os dois axiomas.

Neste ponto, devemos escolher alguém para realizar o trabalho da contagem. Para dificultar, vou escolher um "recenseador capilar" corrupto, disposto em troca de uma boa soma em dinheiro, a provar o contrário, isto é, que não existe empate de número de fios de cabelo em São Paulo. Como instrumento de trabalho o recenseador receberá uma lista numerada de 1 a 10.000.000 e seu trabalho será marcar ao lado de cada número quantas pessoas foram encontradas.

O recenseador inicia, então, seu trabalho. Escolhe a primeira pessoa, conta 2347 fios, a segunda 1230, a terceira 4007 e assim vai, contando e anotando na sua lista.

Em determinado momento, ele se depara com o número 4007 novamente, aquele mesmo encontrado para a terceira pessoa avaliada. Se ele marcar novamente 4007, haverá duas pessoas com aquele mesmo número. Disposto a adulterar a informação, ele olha para os lados e disfarçadamente considera 4008, número ainda não utilizado.

Depois de meses de trabalho, o recenseador já coletou 10.000.000 números, isto é, ainda faltam 2 ou 3 milhões para completar o trabalho, afinal, todos sabemos que São Paulo tem bem mais do que 10 milhões de habitantes.

Ao pegar a caneta para registrar o próximo número, nosso recenseador percebe ( tardiamente pensará o leitor mais perspicaz) que todos os números já estão ocupados e não resta alternativa para ele, mesmo adulterando os resultados, a não ser repetir algum número. Enfim, aceito os axiomas, com certeza existem em São Paulo duas pessoas com a mesma quantidade de fios de cabelo.

O raciocínio acima é baseado no Princípio da Casa dos Pombos, princípio que afirma que se n pombos devem ser postos em m casas, sendo n > m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Apesar de se tratar de um fato extremamente elementar e óbvio, o princípio da casa de pombos é útil para resolver problemas que não são imediatos. Naturalmente, quando aplicamos o princípio devemos identificar quem são os "pombos" e quem são as "casas" de nosso problema.

Espero que vocês tenham acompanhado o raciocínio e percebido que, mesmo se escolhermos um recenseador viciado, a conclusão será a mesma. O desenvolvimento acima é uma demonstração matemática como qualquer outra apesar de utilizar um formato pouco usual. A partir de um conjunto de axiomas, realizamos deduções até chegamos ao resultado esperado.

Não sei se esse resultado o impressiona mas quando percebi isso pela primeira vez fiquei bastante intrigado com o fato de que, mesmo sem contar cada caso, posso ter certeza desta informação por um raciocínio indireto, mas totalmente válido e irrefutável.

O Jogo da Vida

2007-05-25T19:01:00.000-03:00

Gostaria de apresentar o viciante e pouco conhecido "Jogo da Vida". Empresários, cuidado! O Jogo da Vida pode parar um departamento inteiro durante toda a tarde de forma mais eficiente do que o Orkut. Sob sua aparência ingênua e trivial se esconde um voraz devorador de cérebros.

Deixando a brincadeira de lado, o Jogo da Vida (Game of Life) foi inventado pelo matemático inglês e professor da Universidade de Princeton John Horton Conway em 1970 e desde lá tem despertado nossa curiosidade e imaginação. Ele não é propriamente um jogo no sentido clássico, não há objetivo, não há jogadores, vencedores ou perdedores. Definida uma posição inicial para as peças do jogo (células) , regras simples determinarão os acontecimentos que estão por vir. O Jogo da Vida é surpreendente em muitos aspectos, com várias facetas e desdobramentos, um ambiente muito rico para novas descobertas.

O Jogo da Vida é composto de um grande tabuleiro infinito, inteiramente quadriculado onde cada um dos quadradinhos representa uma célula que poderá estar viva ou morta. Inicialmente todas as células estarão mortas, no ponto em que nós, em nossas raras intervenções (na verdade a única), iremos definitivamente criar vida e compor o que chamamos de padrão inicial (ou configuração inicial). A seguir, comandamos uma espécie de Big Bang, isto é, damos início ao jogo e observamos seu comportamento. Conway definiu cuidadosamente 3 simples regras que irão reger o comportamento do jogo, uma regra para os nascimentos, outra para a morte e outra para a sobrevivência:

Regra para nascimento: Toda célula morta se tornará viva quando exatamente 3 de suas 8 células vizinhas estiverem vivas.
Regra para sobrevivência: Toda célula viva que possui 2 ou 3 células vizinhas vivas, continuará viva.
Regra para morte: Em todos os outros casos, uma célula morrerá (ou permanecerá morta), ou por solidão (1 ou menos vizinhos vivos) ou por lotação (4 ou mais vizinhos vivos).

Apesar de simples, estas regras costuma gerar alguma confusão. As pessoas normalmente perguntam: "Mas o que devo fazer primeiro? Eliminar as células mortas ou incluir as que irão nascer?". A resposta é nenhum nem outro! As duas operações deverão ser feitas ao mesmo tempo. Dito de outra maneira, é irrelevante a ordem em que as operações são feitas, o resultado é sempre o mesmo. Um dica é marcar as que vão nascer e as que irão morrem sem alterar o estado do jogo, depois disso pode-se de fato criar as células maracadas para nascer e apagar aquelas marcadas para morrer. Certifique-se que você compreendeu esta sutilieza acompanhando o exemplo abaixo.

Suponha a execução do Jogo da Vida a partir de um padrão inicial composto de 5 células vivas enfileiradas. Esse tipo de padrão é conhecido como pentaminó, isto é, um padrão formado por cinco quadradinhos onde cada uma delas compartilha no mínimo uma face com qualquer um dos outros. O pentaminó é, enfim, uma generalização do dominó, porém com cinco quadradinhos ao invés de dois.

Quando submetemos este padrão às regras, ele se transformará no oitavo desenho sete passos após o Big Bang. Depois disso, surpreendentemente, o nono padrão será exatamente igual ao sétimo que por sua vez gera novamente o oitavo, resultando finalmente num padrão oscilante depois de 7 gerações.

Nem sempre o padrão inicial resulta em um padrão oscilante. Em muitos casos a população inicial caminha para sua total extinção, onde depois de algum tempo todas as células estão novamente mortas. É o que ocorre com este outro pentaminó, extinto em apenas 3 passos (ou gerações).

Ao conceber seu jogo, Conway testou todos os 12 pentaminós existentes e logo percebeu que ou eles se tornavam oscilantes, ou eram extintos. Havia, porém uma única exceção, um dos pentaminós (abaixo) se recusava a estabilizar depois de um número significativo de passos. Lembrem-se vocês leitores que Conway testou estes padrões em um tabuleiro ou em um papel milimetrado, afinal eram os anos 70 e os computadores não eram assim tão disponíveis, mesmo para acadêmicos de porte.

Felizmente, preparei uma surpresa para vocês, aqui mesmo neste blog. Basta rolar a página até o final que vocês verão um simulador do Jogo da Vida que desenvolvi para testarmos quantos padrões desejarmos. Ele foi desenvolvido em Java e só irá funcionar se o plug-in do Java estiver devidamente instalado no browser de vocês, se não for esse o caso basta entrar no site http://www.java.com/pt_BR/ e clicar numa seta amarela enorme que aparece logo de cara que a atualização será efetuada. É de graça!.

Para criar vida, basta clicar em qualquer quadradinho que eles viverão, tornando-se pretos. Um novo clique, e eles morrerão novamente. Uma vez definida a posição desejada, basta clicar no botão ON em cima à esquerda. Se desejarem pausar a simulação cliquem novamente neste botão que agora tem o nome de OFF.

Vocês logo perceberão que um intuitivo seletor de velocidade fica à direita deste botão e pode ser usado à vontade. As duas informações que ficam em cima e à direita são respectivamente, o número de células vivas e a quantidade de gerações (passos) realizados. Finalmente, na parte inferior há uma versão do mesmo universo, porém reduzido de maneira que possamos visualizar a ação de uma perspectiva mais ampla. É possível arrastar o retângulo vermelho posicionado no centro desta região para selecionar áreas distantes deste mesmo universo. Experimente!

Bom, por hora não vou estragar a surpresa de vocês. Há ainda muito o que dizer mas vou deixar vocês se divertirem um pouco...

The Long Tail

2007-05-17T12:57:00.000-03:00

Não resisti, forças misteriosas forçaram-me a investigar um pouquinho mais a natureza do número 9376, este número estranho de caráter auto-reprodutivo que quando multiplica-mo-lo (gostaram da mesóclise? Corrijam-me se a usei errado) por ele mesmo resulta em um novo número com o mesmo "código genético".

Encarei ele de frente e algo novo surgiu. Qualquer "cauda" do número 9376 também é auto-reprodutiva! Ok, vocês não endenderam nada, afinal o que é a "cauda" de um número? Bom, foi o nome que encontrei para designar o número encontrado em qualquer trecho à direita do número original. Assim, 9376 tem 4 caudas, o número 6, o número 76, o número 376 e ele próprio, o número 9376. Fazendo as contas, logo vi que as 4 caudas de 9376 também são auto-reprodutivas:

9376 x 9376	=	87909376
376 x 376	=	141376
76 x 76	=	5776
6 x 6	=	36

Pensei um longo tempo neste assunto e percebi que este fato é necessário para que o número seja auto-reprodutivo, ou seja: todas as caudas de um número auto-reprodutivo deverão ser necessariamente números auto-reprodutivos. É simples demonstrar este resultado e sugiro que vocês tentem, não envolve nada além do que vocês aprenderam até a sétima série. Para aqueles de menor magnetismo pessoal aconselho apresentar este resultado num sábado a noite qualquer. Vocês verão o sucesso que irão fazer ! É melhor do que carro importado.

Neste ponto, um sentimento megalomaníaco apareceu em meu peito. Será que eu não poderia construir números auto-reprodutivos maiores, com digamos mil dígitos, ou dez mil, talvez 1 milhão? Lá fui eu para o caderno de alemão de minha esposa rabiscar e rabiscar durante horas. Depois de uma eternidade finalmente eu desisti frustrado. O que eu estava procurando era uma regra para encontrar um número reprodutivo a partir de uma de suas caudas. Por exemplo, gostaria de, a partir de, digamos 76, encontrar 376 ou 9376. É claro, esta regra deveria ser suficientemente poderosa para eu encontrar números reprodutivos maiores do que 9376.

Como não podia deixar de ser sofri uma reprimenda da minha esposa. Onde já se viu, disse ela, estragar todo o meu caderno com esses rabiscos? (sim, ela os chamou de rabiscos toda a minha arte). Abalado e com um caderno novinho e sem pautas que ganhei dela, resolvi apelar, fazer uso de um arsenal matemático bem além da sétima série. Com caderno novo, técnica nova e esposa trabalhando fora, pude me deliciar com o melhor que a internet pode oferecer... é claro, dicas sobre a aritmética modular.

Esse relato tinha tudo para acabar aqui, mas contrariando todas as probabilidades eu encontrei a tal regra que gera números auto-reprodutivo cada vez maiores. Ela é simples e bela, quase uma pintura. Aprecie:

3n²-2n³ (mod 10^2d(n))

onde n é um número auto-reprodutivo e d(n) é o número de dígitos deste número. O resultado da expressão acima é um novo número auto-reprodutivo com o dobro de dígitos do anterior. Calma, não é motivo para pânico, posso reescrever a fórmula acima sem usar a palavra "mod". De fato, a expressão é equivalente a:

Resto da divisão de 3n²-2n³ por 10^2d(n)

Além de produzir um número auto-reprodutivo maior do que o número utilizado (que chamarei de "semente") a demonstração da fórmula acima trouxe uma informação muito mais sutil e importante. Existem infinitos números auto-reprodutivos, afinal, sempre será possível construir um maior a partir da "semente" anterior.

Para os que tentarem fazer as contas com uma calculadora simples tenho dois avisos: primeiro, vocês não irão muito longe pois como o tamanho dos números dobra a cada iteração, logo o limite de suas calculadoras irá estourar; segundo, é necessário saber como calcular "restos de divisão" quando o dividendo é negativo. No meu caso, preferi não perder muito tempo e lancei mão de recursos computacionais mais poderosos. Enfim, a partir do número 6 como "semente", obtive a uma boa sequência de números auto-reprodutivos, cada um com tamanho duas vezes maior do que o anterior.

6
76
9376
87109376
3740081787109376
95893380022607743740081787109376

Observe o poder do algoritmo, com apenas 5 iterações obtive, não 5 como pode parecer a primeira vista, mas 32 números auto-reprodutivos. Basta pegar o maior deles e listar todas as suas caudas. E para isso foi necessário partir de uma semente minúscula que é o número 6, que é claro, é um número auto-reprodutivo.

6
76
376
9376
09376
109376
7109376
87109376
787109376
1787109376
81787109376
etc...

A pergunta seguinte surgiu naturalmente, como deverá ter ocorrido para alguns de vocês (ou você... se apenas uma pessoa ler isso aqui. Oi mãe!) caros leitores. Não existe outra semente pequena diferente de 6? Uma coisa é claro, se outra semente existe, ela deverá ter apenas 1 dígito, pois o fato de ter mais do que 1 dígito implica que sua cauda de tamanho 1 também seja auto-reprodutiva. Bom, agora ficou fácil, basta testar todos os números de 1 dígito e... Voilà !!! o número 5 também é auto-reprodutivo, afinal 5 x 5 = 25. Quantos aos outros números, nenhum deles é auto-reprodutivo.

A fórmula é bem poderosa, e funciona com qualquer semente, então foi simples calcular toda um nova família de números auto-reprodutivos a partir da semente 5.

5
25
625
0625
90625
890625
2890625
12890625
212890625
8212890625
18212890625
918212890625
etc...

Incansável e motivado pela últimas realizações, fui atrás de novas regularidades e resolvi somar os números das duas famílias usando a expressão R₅(d) + R₆(d), onde R₅(d) representa o maior número auto-reprodutivo de cauda 5 que possui d ou menos dígitos, analogamente R₆(d) é o maior número auto-reprodutivo de cauda 6 que possui d ou menos dígitos. Bom, realizei a soma e obtive a tabela abaixo:

n	R₅(n)	R₆(n)	R₅(n)+R₆(d)
1	5	6	11
2	25	76	101
3	625	376	1001
4	625	9376	10001
5	90625	9376	100001
6	890625	109376	1000001
7	2890625	7109376	10000001
8	12890625	87109376	100000001
9	212890625	787109376	1000000001
10	8212890625	1787109376	10000000001
11	18212890625	81787109376	100000000001
12	918212890625	81787109376	1000000000001
13	9918212890625	81787109376	10000000000001
14	59918212890625	40081787109376	100000000000001
15	259918212890625	740081787109376	1000000000000001
16	6259918212890625	3740081787109376	10000000000000001
17	56259918212890625	43740081787109376	100000000000000001
18	256259918212890625	743740081787109376	1000000000000000001
19	2256259918212890625	7743740081787109376	10000000000000000001

Incrível, não é mesmo? A soma entre os números reprodutivos das famílias de cauda 5 e de cauda 6 resultam sempre em um mesmo padrão, independentemente do tamanho do número, ou da cauda se preferir. A expressão que ilustra esse resultado é:

R₅(d) + R₆(d) = 10^d + 1

Gostei muito desta conjectura e ainda me espanto com ela, dois números de famílias diferentes de números auto-reprodutivos quando somados resultam em uma família de números capicuas. Para quem não sabe, números capicuas são aqueles que lido da direita para esquerda ou da esquerda para a direita resultam sempre no mesmo número. Para os mais letrados, capicua é o equivalente numérico dos palíndromos.

Após tantas regularidades e da existência de uma família infinita de números auto-reprodutivos, desconfiei que alguém já tenha trabalhado com isso e mais uma vez recorri ao Oráculo. "Oh Oráculo. Existe alguém que descobriu os números auto-reprodutivos antes de mim?". Aguardei um pouco e obtive: "Sim, caro mortal, muitas pessoas trabalharam com isso e já haviam percebido isso há muito tempo, porém deram outro nome, chamaram de números automórficos". Bom, um pouco decepcionado, confesso, voltei a minha insignificância e escrevi este pequeno artigo.

Um último comentário é de que não encontrei no Oráculo qualquer referência à conjectura acima. Isso significa que é possível que ainda não tenha sido batizada por ninguém. Como prêmio para quem leu até aqui (viu mãe) prometo batizar a conjectura acima com o nome da pessoa que a demonstrá-la e mandar um post com a demonstração. Lembro que uma conjectura ainda não demonstrada pode se mostrar falsa para algum valor de n maior, portanto uma demonstração se faz necessária. Se a conjectura é demonstrada, ela não é mais uma conjectura e sim um Teorema.

Um abraço a todos
Alexandre

Fiat Lux! E Deus criou a matemática

2007-05-16T12:57:00.000-03:00

A matemática que aprendemos na escola está incompleta. Aprendemos a matemática dos resultados, das aplicações, dos engenheiros. Magicamente as fórmulas nos são dadas, e na sequência um exercício modelo, e depois outro e outro, muito provavelmente bem parecidos. Quando nos falta a fórmula, procuramos em tabelas e livros, ou melhor em nosso Oráculo moderno, o Google, afinal tudo o que havia para ser descoberto (ou inventado) na matemática já foi feito, não é mesmo?

Não estou dizendo que o ensino desta forma está errado, afinal é assim que o mundo vem caminhando, e bem, no avanço da técnica e da tecnologia. Só o considero incompleto e falacioso. Incompleto pois não há espaço para assuntos que ofendem nosso senso de utilidade. Falacioso pois distorce a maneira de como esta ciência foi criada e desenvolvida.

Discuto muito a Ditadura da Utilidade. Quem, em uma aula de matemática, já não se pegou resmungando "Mas pra que serve isso?" ou "Não vou ganhar nada ficando nesta aula." Bom, rebato perguntando porque é que tem que servir para alguma coisa? Ou melhor, o que significa "servir" para algo? O que é mais útil, pergunto novamente, algo que nos deixa mais feliz ou algo que nos traz dinheiro?

Arrisco a dizer que a matemática não trata do "útil". Mesmo quando algum resultado "útil" aflora dela, ele "sai" do domínio da matemática para encontrar lugar em outras cearas, muitas vezes na engenharia, na física e não raro na economia e na biologia sem contar suas eventuais aventuras nas ciências sociais.

Gosto muito de citar o matemático inglês G.H. Hardy, que viveu entre 1877 e 1947. Hardy define um matemático como um criador de padrões, ou seja, estruturas ideais dotadas de espantosa permanência e que, como todas as outras criações humanas, devem poder ser avaliadas pela sua beleza e seriedade.

Há dois pontos no comentário de Hardy que faço questão de ressaltar. Primeiro, é a observação de que a matemática é uma criação humana, fato que a aproxima de todas as outras ciências. Segundo é o que Hardy chamou da espantosa permanência da matemática, o que a distancia das outras ciências. Explico, a matemática é uma ciência cumulativa onde seu corpo sofre apenas adições de conhecimento e nunca subtrações. Todas as outras ciências, inclusive a física sofreram subtrações ou alterações ao longo de sua história.

Posto que é uma criação humana, por que nos parece tão distante, tão austera e enfadonha? Porque nos ensinam assim, suponho. Neste processo de limpeza, lapidação e esterilização usualmente realizado na matemática escrita e ensinada, perdemos a ligação com seu desenvolvimento e com as pessoas que a criaram, suas vaidades, invejas e ambições. É a falácia do ensino da matemática: A forma como nos ensinam matemática não reflete a forma como ela foi desenvolvida.

Número 9376

2007-05-04T11:22:00.000-03:00

Na noite de quinta passada (29/03/2007) eu estava estudando uma versão atual da antiga linguagem de programação Smalltalk, uma distribuição chamada Squeak. A arquitetura da linguagem chamou minha atenção para uma série de fatores, porém não havia ningúem para eu discutir o assunto além da Fabiana que, para quem não sabe, é minha esposa.

Algo no meu íntimo dizia que a Fabiana não se interessaria pelos meandros da linguagem, então optei por uma abordagem diferente para ver se conseguia iniciar algum diálogo sobre o assunto:

— Olha Fabiana, sua calculadora consegue fazer 2 elevado a 100?
— Que? Minha calculadora não tem "elevado".
— Ah (suspiro)... Bom, pode ter certeza que ela não faz, pois o número é muito grande.
— Sei...
— Olha o que o "meu" software consegue fazer?

Neste ponto digitei o comando necessário e "voilà", lá estava o numerão equivalente a 2 elevado a 100. A Fabiana deu de ombros e fingiu estar bastante impressionada. Incentivado pelo "entusiasmo" dela, me engajei em uma cruzada pelos limites da linguagem.

— Olha agora, 2 elevado a 1000 !!! — e lá estava a resposta
— Olha, olha, olha agora, 2 elevado a 3000 !!! — eu de novo

E assim foi, a cada novo comando eu chamava a Fabiana para mostrar para ela como os números iam crescendo. 2 elevado a 5000, 6000, 7000, 8000, 10000, 15000 e 20000. Ela sempre respondia com algum comentário do tipo "Sei" ou "Que legal" ou "Nossa" até que em determinado momento sua expressão se alterou de forma que eu pude ler seu pensamento.

Já esperando por uma frase do tipo: "Você já brincou bastante, agora vamos dormir, né?" me surpreendi com o que de fato ouvi.

— Faz 2 elevado a 1000 de novo — ela disse.
— 2 elevado a 1000!? É prá já!
— Hum... faz agora 2 elevado a 2000 — comandou ela novamente
— Aí está.
— 2 a 3000 agora.
— Pronto.

Neste ponto o que ouvi foi ainda mais surpreendente, pelo menos para mim.

— Engraçado, você reparou que os números sempre terminam com 9376

Olhei para o número, repeti as contas, e sim, de fato, os números da forma 2 elevado a múltiplos de 1000 terminavam todos como 9376. Fiquei intrigado com aquilo e recomecei os testes. Logo descobri que 2 elevado a 500 também resulta num número que termina com 9376, e também 2 elevado a 1500, 2500, 3500, etc... Enfim, conclui que o número 2 elevado a qualquer múltiplo de 500 termina com 9376.

Bom, como qualquer matemático que se preze, eu não estava satisfeito, era ainda necessário provar o que parecia ser uma lei universal. Peguei lápis e papel e comecei a rabiscar. Não repetirei a demonstração aqui, mas de fato, foi possível provar que 2 elevado a qualquer múltiplo de 500 termina sempre com 9376 teorema que, em homenagem a minha esposa, chamarei de Teorema da Fabiana.

Porém, no processo de demonstração, descobri um resultado bastante interessante, e mais fundamental do que o anterior. Descobri que qualquer número que termine com 9376 multiplicado com outro número que termine com 9376 termina com um número que termina com 9376. Observe:

9376 x 9376 = 87909376
8059376 x 129376 = 1042689829376

Este resultado explica o Teorema de Fabiana. Uma vez que 2 elevado a 500 termina com 9376, 2 elevado a 500k (com k inteiro) é igual a 2 elevado a 500 elevado a k, o que obviamente é um número que termina com 9376.

Empolgado com a descoberta de um novo resultado, desconfiei que alguém já poderia ter percebido esta curiosidade. Resolvi pesquisar um pouco no Google. Quem sabe tinha conseguido um resultado original (apesar de pequeno). As primeiras pesquisas foram promissoras, isto é, nada relacionado ao número 9376 referente ao fato recém descoberto. Insisti um pouco mais escolhi novas palavras chaves até quando usei "9376 Math curiosity" e bingo, encontrei alguém que havia percebido o fato.

A referência encontrada era um exercício do livro "Concrete Mathematica" do Donald Knuth e outros dois autores. Knuth é um gênio matemático e da ciência da computação. Foi ele que criou a linguagem TEX na década de 70 e o famoso livro "The Art of Programming Computer". O exercício que citava o resultado começava mais ou menos assim:

"Observe que o número 9376 tem uma interessante propriedade reprodutiva tal que 9376 elevado ao quadrado é igual a 87909376..."

Bom, o resultado que percebemos não foi inédito, nem difícil, nem provavelmente muito importante, porém foi divertido e educativo encontrar mais esta simetria