Matemática do Pi

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011– cont.1

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 16 Nov 2011 06:22:12 PST

Continuação dos exercícios para profmat deste mês.

09 - Considere a equação algébrica

Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica com a₁ = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

A ( ) a soma de todas as raízes é 5.

B ( ) o produto de todas as raízes é 21.

C ( ) a única raiz real é maior que zero.

D ( ) a soma das raízes não reais é 10.

E ( ) todas as raízes são reais.

Não deixe de resolver ver os primeiros exercícos em: http://jonasportal.blogspot.com/2011/11/exercicios-para-o-profmat-2011.html

Até breve!!

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT 2011

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 10 Nov 2011 06:36:19 PST

Vamos socializar problemas e questões que podem vir no modelo do PROFMAT para a prova desse mês. Aqui vão algumas questões que tenho estudado, para quem quizer treinar, podendo postarem respostas para que possamos discutir!!

VESTIBULAR DA PUCCAMP-ITA-USP e outros

1- Adriano assistiu o treinamento de seus amigos numa pista de ciclismo e anotou o tempo que cada um deles levou para completar a prova. Veja os dados, em segundos, anotados no quadro:

362 367 382 380
360 400 370 363

A média aritmética dos tempos utilizados pelos ciclistas é
(A) 6 min 13 s
(B) 6 min 15 s
(C) 6 min 18 s
(D) 7 min 10 s
(E) 7 min 20 s

2- Um veículo parte em viagem com adultos e crianças, sendo o número de adultos o dobro do número de crianças. Somente os adultos sabem dirigir. Sorteando uma dessas pessoas, ao acaso, a probabilidade de ser um homem adulto é 1/5 e a probabilidade de resultar um menino é 2/7 . Escolhendo uma pessoa do sexo masculino, ao acaso, a probabilidade de que ela possa dirigir o veículo é de:

(A) 1/5
(B) 2/7
(C) 7/17
(D) 17/35
(E) 2/3

3- No diagrama abaixo, representa-se uma pista de atletismo sobre um referencial cartesiano, cuja unidade de medida de comprimento é o metro.

A pista é composta por dois trechos retos paralelos e duas semi-circunferências de mesmo tamanho. A equação cartesiana da circunferência de abcissa positiva é:

(A) x² + y² + 30y + 125 = 0

(B) x² + y² - 30y + 125 = 0

(D) x² + y² + 30x + 125 = 0

(E) x² + y² - 30x + 125 = 0

4- No final do ano de 2005, o número de motocicletas licenciadas em certa cidade era de 450 e, no final de 2008, esse número passou para 690 . Admitindo-se que o gráfico do número de motocicletas em função do tempo seja formado por pontos situados sobre uma mesma reta, pode-se estimar que, no final de 2012, o número de motocicletas nessa cidade será igual a:
a) 850
b) 930
c) 1010
d) 1090

5- No retângulo ABCD da figura abaixo, M é ponto médio de AD e os segmentos AC e BM se cortam em P . Além disso, sabe-se que a área desse retângulo mede 180 unidades. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área do triângulo APM, em unidades de área, é:

a) 10
b) 12
c) 15
d) 18

6- Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo
moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

GEOMETRIA ESPACIAL–APOSTILA EM PDF

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 09 Nov 2011 11:50:17 PST

MATERIAL PARA DOWNLOAD COM CONTEÚDO DE GEOMETRIA ESPACIAL PARA O ENSINO MÉDIO.

Clique aqui para baixar o arquivo compacto com esse material.

abraços e até breve!!

Por que somos tão ruins em matemática?

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Sun, 12 Jun 2011 04:28:48 PDT

Para brasileiro gostar da disciplina, mudança tem de começar na sala de aula das faculdades que formam os futuros docentes…

Leiam a matéria do Site ESTADÃO: http://www.estadao.com.br/estadaodehoje/20110606/not_imp728446,0.php do dia 06 de junho de 2011 que indica porque os brasileiros tem tanta aversão à Matemática.

Hoje é o dia do Pi

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Mon, 14 Mar 2011 09:38:39 PDT

Hoje, os matemáticos celebram o DIA DO PI (3/14 na notação norte-americana), pois a maioria das pessoas conhece a aproximação 3,14 para o π.
O ponto forte das comemorações acontece à 1:59 da tarde, considerando 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal.

Do mesmo modo que as pessoas celebram o Dia dos Namorados ou outros dias comemorativos, pessoas (principalmente os ligados às áreas de exatas) ao redor do mundo reverenciam essa razão relacionada à circunferência e seu diâmetro e que é uma das mais belas constantes matemáticas do universo.

Só pra constar, hoje 14 de março, também é o dia do nascimento de Albert Einstein, o que agrega mais fãs das ciências exatas às comemorações.

O SOM DO PI

O músico Michael John Blake resolveu interpretar musicalmente o número Pi.

Ouça essa obra de arte!!

Ouça também a música de Kate Bush com o nome "PI". Ele canta algumas casas decimais do pi.

Coisas da Matemática – Se não fosse a Calculadora

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Sun, 13 Mar 2011 10:34:51 PDT

Como professor do Ensino Médio numa escola Estadual já conheço bem a realidade do nível de aprendizagem dos nossos alunos e do medo que sentem ao encarar um problema dos mais simples da Matemática. Não quero julgar professores nem alunos, mas há de se concordar que é muito comum nos depararmos com situações em que não dá pra encontrar explicações para verdadeiros absurdos, como algumas vezes acontece de você comprar alguma coisa e, no meu caso, o produto custar R$ 8,00 eu dou uma nota de R$ 20,00 e então o vendedor, condicionado a não pensar, ter que usar a calculadora para saber quanto deveria me dar de troco ( e lógico que chegou aos R$12,00 tão difíceis de saber hehehehehe).

Outra situação é uma certa promoção, que considero ridícula, pois na verdade passa anos e anos e nunca acaba: quando você chega para comprar e logo de cara o vendedor fala, por exemplo, “UM É R$ 3,00 E DOIS É R$ 5,00” . Ora, mas eu quero comprar só um por R$ 2,50 que seria o mais lógico, então o vendedor me diz que “não, mas aqui a matemática é diferente, pois é promoção”, e sou obrigado a levar dois só por que a matemática, nesse caso, não vale ou diferente?!?

Pode-se então perguntar: o matemático usa máquina de calcular? claro que sim. É uma das ferramentas de que dispomos para o nosso trabalho. Imagine que como um carpinteiro que tem em sua mente o quer construir, então escolhe a madeira mais adequada, desenha, tira as medidas e compra os outros materiais necessários e só então, no momento certo, utiliza do martelo e do serrote. Da mesma forma, a calculadora na matemática deve ser usada de forma adequada no momento oportuno, ou seja, quando realmente for necessária.

AGORA VAMOS AO TESTE DO INÍCIO DO POST

Tentaram fazer? e então, qual foi o resultado? usaram a calculadora?

Pra quem fez “na ponta do lápis” ou de “cabeça”, parabéns. Pra quem fez usando a calculadora, parabéns também. Pois pelo menos tentaram!

Agora se você nem sequer tentou, ainda assim vou te levar a analisar junto comigo a resposta.

As porcentagens acima são bem simples, veja:

25% de 75, você deve multiplicar 25 vezes 75 e dividir por 100

e 75% de 25, você deve multiplicar 75 vezes 25 e dividir por 100

Perceba que dá o mesmo resultado (18,75), pois a multiplicação é comutativa e “a ordem dos fatores não altera o produto”.

A matemática não é coisa de outro mundo, está à nossa volta e exige que sejamos desafiados a pensar. Mas ora, o que temos a fazer é parar para pensar, pois Matemática é bom senso.

União dos Blogs de Matemática – UBM

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Sat, 12 Mar 2011 14:46:20 PST

O blog Matemática do Pi está apoiando a ideia dos professores Paulo Sérgio C. Lino e Kleber Kilhian, donos dos blogs FATOS MATEMÁTICOS e O BARICENTRO DA MENTE que criaram o Blog MÃE de todos os blogs de matemática do país.

Tem o objetivo de agregar, compartilhar experiências e divulgar a Matemática através dos blogs de Matemática.

"Sabemos que a matemática é fundamental para o desenvolvimento do pensamento lógico, que auxilia no processo de construção do conhecimento e desenvolve a autonomia do raciocínio e da criação de soluções das mais variadas situações problema. Neste contexto, esperamos que o uso da internet crie situações favoráveis à aprendizagem dos conceitos, auxiliando neste aprendizado contínuo da matemática.

Com esta ideia, criamos o a União dos Blogs de Matemática (UBM), um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.

Além disso, o blog possui um pequeno estatuto, uma página com a descrição de todos os blogs filiados e também dicas para melhorar o seu blog.

Para filiar-se é muito simples, basta ter um blog de Matemática com publicações periódicas, ser um seguidor da UBM, cumprir os estatuto e escolher e adicionar o banner da UBM (click aqui) a sua escolha.

Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática de forma gratuita e interessante na internet. Para saber mais visite a UBM (http://ubmatematica.blogspot.com/)".

Correção Questões Objetivas - PROFMAT - GRUPO PET

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Fri, 04 Mar 2011 10:03:45 PST

O Grupo PET-Matemática da Universidade Federal de Campina Grande disponibilizou a correção da prova para o Mestrado profissional em Matemática-PROFMAT 2011.

Quem tiver interesse pode fazer o download do arquivo pelo link abaixo, direto do site da UFCG:

http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/arquivos/Resolucao_do_PROFMAT_Pet_Matematica_UFCG.pdf

Download CADERNO DE QUESTÕES - Prova PROFMAT 2011

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Mon, 28 Feb 2011 16:00:44 PST

Faça o download do Caderno de questões da Prova para Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT, realizada no dia 19/02/2011.

Download da prova aqui

Quem quizer pode compartilhar as suas resoluções para discutirmos onde erramos ou acertamos!!

RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT-1,2,3

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Fri, 18 Feb 2011 19:02:09 PST

QUESTÃO 1

Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%

Solução:

Meta: 420 kcal em 30’

Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min

Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min

Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal

Usamos uma regra de três simples:

12kcal----100%

6kcal-----x

X=50%

Resp.: C

QUESTÃO 2

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72

Solução:

Essa solução eu fiz usando a figura:

Considerando as condições estabelecidas, temos:

4 possibilidades para V₁

3 possibilidades para V_{2 ,}

2 possibilidades para V₃

V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂,V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos

Resp: B

QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π

Solução:

Vamos analisar a figura:

Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:

Sabendo que:

obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:

Resposta: E

Cont. RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS-PROFMAT

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 17 Feb 2011 18:24:58 PST

Solução:

Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²

Fica assim:

(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2

Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a

Temos:

Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

Solução:

Total de abordagens: X

Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X

Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:

56% de 0,75X = 0,42X

Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.

Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:

0,25--------100%

0,18---------y

Resultando em y = 18/0,25=72%

Resposta: D

RESOLUÇÃO LISTA DE EXERCÍCIOS PROFMAT- MESTRADO

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Sun, 13 Feb 2011 09:15:41 PST

Resolverei as questões da lista de exercícios disponibilizada no site http://www.profmat-sbm.org.br/docs/Lista_Problemas.pdf como estudo para a prova do Mestrado em Matemática.

Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução:

Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:

Área Rosácea = 54,5x2=109m²

Portanto, o valor mais próximo está na letra C.

Matemático Daniel Bernoulli

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Tue, 08 Feb 2011 15:02:32 PST

Daniel Bernoulli nascido na Holanda em 08 de fevereiro de 1700, foi um matemático e físico,veio de uma famosa família de matemáticos, físicos e filósofos, que incluía seu pai Joahnn Jakob. Daniel estudou lógica, filosofia e medicina nas universidades de Heidelberg, Estrasburgo, Basileia, mas sua primeira grande obra depois de receber seu mestrado foi Exercitationes quaedam Mathematicae, foi quaedam Exercitationes Mathematicae, um tratado sobre equações diferenciais relacionados à física de água corrente (dinâmica de fluidos).

O trabalho trouxe-lhe um convite para a Academia de Ciências da Rússia em São Petersburgo, onde lecionou na medicina, mecânica e física. Seu nome ficou muito conhecido na Europa, e em 1732 ele aceitou um cargo em Basel para ensinar anatomia e botânica.
Em 1738 foi publicdo um de seus trabalhos mais famosos: Hydrodynamica .

Ele estabeleceu os princípios da dinâmica dos fluidos, ou seja, o movimento de um fluido sob a influência de forças. Nela se desenvolveram as relações nos fluidos: velocidade, pressão e densidade. Estabeleceu o que agora é conhecido como Teorema de Bernoulli, cujo princípio diz que a pressão em um fluido diminui à medida que aumenta a sua velocidade e vice-versa.
Bernoulli desenvolveu a base para a energia cinética dos gases, mostrando que a pressão em um gás pode
ser explicado por colisões aleatórias das moléculas com o recipiente e que a pressão aumentar o movimento da partícula com a temperatura.
Entre 1725 e 1749, ele venceu 10 dos prêmios da Academia Francesa de Ciências com os trabalhos sobre astronomia, gravidade, magnetismo marés e correntes oceânicas. Como resultado a sua nomeação em Basel foi transferida para fisiologia em 1743 e para física em 1750.

O TEOREMA DE BERNOULLI

Esse conhecimento permite-nos entender por que os aviões conseguem voar. Na parte superior da asa a velocidade do ar é maior (as partículas percorrem uma distância maior no mesmo tempo), logo, a pressão na
superfície superior é menor do que na superfície inferior, o que acaba por criar uma força de sustentação de baixo para cima.
Este princípio pode ser aplicado no escoamento de líquido por um tubo de diâmetros diferentes: sendo o diâmetro da parte central do tubo menor que nas duas extremidades, o escoamento é mais rápido na região mais estreita e a pressão menor. É este o princípio do medidor de venturi; um dispositivo que permite calcular a velocidade de um fluido em um tubo horizontal, por meio da diferença de pressão nos tubos verticais.

Que Venha 2011

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 30 Dec 2010 14:26:40 PST

Quero de modo singelo agradecer a todos os amigos, leitores ou não do blog Matemática do Pi, por fazerem parte de minha jornada no ano de 2010, o qual foi de grandes conquistas, alguns deslizes, muitas risadas, trapalhadas, mas que foram necessárias para realização dos meus planos neste ano, e me ajudaram a ser mais amigo, mais solidário, mais parceiro, mais feliz.

Aos estudantes de 2011, desejo muita coragem para enfrentar o rítmo frenético dos vestibulares e a correria dos cursinhos e que tenham dedicação, paciência e calma na hora dos estudos para que não se desanimem e parem no meio caminho!

Que venha 2011 com maiores realizações, mais saúde, mais alegria, menos violência, menos incerteza na economia, menos pobreza, e por aí...

Que dê Tudo Certo Para Todos Nós!

((Prof.Jonas Portal))

Teoria dos Números – RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Tue, 14 Dec 2010 12:58:08 PST

Sejam a e b dois inteiros com a≠0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a.q.

Se a divide b diz-se que a é divisor de b, que a é um fator de b, b é múltiplo de a ou que b é divisível por a.

Notação:

a|b (indica que a divide b)

A relação “a divide b” (a|b) denomina-se relação de divisibilidade em Z.

Se a é divisor de b, então –a também é um divisor de b, pois b = aq => b = (-a).(-q), ou seja, os divisores de um inteiro qualquer são dois a dois iguais em valor absoluto e de sinais contrários.

Vejamos: 4|8 ==>8 = 4x2

-6/12 ==> 12 = (-6)x(-2)

3 11 ==> q / 3q = 11

Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c e d, tem-se:

I) a|0, 1|a e a|a

II) Se a|1, então a = (+-)1

III) Se a|b e se c|d, então ac|bd

DEMONSTRAÇÃO

Consideremos:

portanto, ac|bd

C.Q.D.

VI) Se a|b e se b|c, então a|c ( TRANSITIVIDADE)

Como a|b e b|c, existem q1, q2 ЄZ com b = aq1 e c = bq2.

Assim, c = bq2 = aq1q2 = aq, com q = q1q2 Є Z.

Logo, por definição, a|c.

Outras Demonstrações que podem servir como exercícios:

1- Mostrar que se a | b, então (-a) | b, a | (-b) e (-a) | (-b).

Solução: Se a | b então ∃ q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z.

Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = a(-q). E conforme foi justificado, a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = (-a).q => (-a)|(b). De acordo com (i)

2-Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b, então a | bc.

Solução: a | b => b = aq, q inteiro => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que bc = a(qc) => a | bc.

3– Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b <==>ac | bc (com c ≠ 0).

Solução:
a | b <=> b = aq <=> bc = aqc <=> bc = (ac) q <=>
<=> ac | bc.

C.Q.D.

Energia Cinética

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Sat, 04 Dec 2010 04:54:46 PST

Quando uma pessoa tem energia, supomos que tem grande capacidade de trabalhar. Dizemos, então, que um sistema ou corpo possui energia quando tem a capacidade de realizar trabalho.

A energia que os corpos têm devido ao movimento é chamada Energia Cinética.

A energia é igual ao trabalho realizado pela força, o qual, na direção apresentada, é o produto da força pelo deslocamento:

O deslocamento d é calculado por: S = S_o + V_ot + ½at², sendo S_o e V_o nulos e S = d, temos:

Substituindo (2) em (1):

Da equação horária da velocidade, temos: V = V_o + at , onde V_o = 0:

v = at

Substituindo o produto at pela velocidade, resulta na fórmula da Energia Cinética:

Aplicações:

1- Dois corpos de massas m₁ e m₂ e velocidades v₁ e v₂, respectivamente, movimentam-se horizontalmente sobre uma superfície lisa. A massa do primeiro é 4 vezes maior que a do segundo. Determine a relação entre v₁ e v₂, sendo que suas energias cinéticas são iguais.

Solução:

Dados: Ec₁= Ec₂

m₁= 4m₂

Igualando as energias cinéticas

Substituindo m₁ = 4m₂ e eliminando o dois que está dividindo:

Logo,

LOGARITMOS -Questão Vestibular UEPA 2010

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 18 Nov 2010 08:15:38 PST

Vou resolver uma questão envolvendo logarítmos da Universidade do Estado do Pará (UEPA), do processo seletivo 2010.

Essa questão é resolvida aplicando as propriedades dos logaritmos.

Do expoente 1/n

Do produto

Como os logaritmos tem mesma base, podemos fazer:

Logo,

Letra d)

POEMA GEOMÉTRICO

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 17 Nov 2010 18:06:18 PST

Quero situar teu corpo num plano tridimensional
Encontrar tuas curvas numa definição de integral
Derivar essa saudade que é uma constante na área do meu coração
Nessa pirâmide eqüilátera que se transformou nossa vida
Quero encontrar um lugar comum, só assim poderei estar a tua altura extraindo a raiz quadrada do lado dessa angústia adicionada ao apótema do vício que sinto por ti.
Assim ao término dessa complexa equação finalmente poderei encontrar a área total desse sentimento que transborda o volume da minha sanidade!

(Os devidos créditos a Rossana Monteiro)

Poesia Matemática

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 17 Nov 2010 18:06:18 PST

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

DÚVIDA DE FÍSICA – Queda Livre dos Corpos

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 17 Nov 2010 18:06:41 PST

Vou responder a uma dúvida enviada por um estudante, que me pediu para resolver um problema de Física:

“UM CORPO É LANÇADO DE UMA ALTURA DE 125m. DETERMINE O TEMPO QUE ELE GASTA PARA ATINGIR O SOLO E A VELOCIDADE COM QUE ATINGE. CONSIDERE g = 10m/s^2”

Muito bem, vou tentar explicar-lhe da forma mais clara que puder.

Veja bem, trata-se de um lançamento vertical para Baixo e, neste caso, assim como no lançamento para Cima, usamos duas Fórmulazinhas básicas da FÍSICA (as do Movimento Uniformemente Variado):

DA VELOCIDADE:

V = V₀ + gt (V₀ é Veloc. Inicial e g é aceleração da gravidade)

DOS ESPAÇOS:

S = S₀ + V₀t + ½ gt² (S é Espaço Final(altura) e S₀ é Espaço Inicial)

Veja na figura o que está acontecendo nesse lançamento:

Veja que o Espaço Inicial e a Velocidade inicial no lançamento são ZERO. Isso porque o corpo está em repouso antes do lançamento, ok!!!!!

Então depois de ver isso, fica fácil, pois

Da Fórmula dos espaços, resta:

S = ½ gt²

Substituindo a Altura em S e a metade da gravidade, vc obtém:

125 = 5t²

t² = 125/5 ==> t² = 25 ==> t = 5 segundos

Da velocidade, resta:

V = gt ( a veloc inicial não aparece, pois vale zero)

Substituindo o tempo de 5 s encontrado e a gravidade:

V = 10.5 = 50 m/s

Prontinho. O corpo atingiu o solo em 5 segundos e com velocidade de 50 m/s.

MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA e cursos EAD UNIJUÍ

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 27 Oct 2010 11:15:16 PDT

A Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) abriu as inscrições para o curso de Pós-Graduação Strictu Sensu em Modelagem Matemática.

Inscrições
O período de inscrição inicia em 05 de Outubro de 2010 estendendo-se até o dia 16 de Novembro
de 2010. As inscrições devem ser realizadas a partir do preenchimento do formulário eletrônico
disponível na página do Programa em www.unijui.edu.br/ppgmm no link “Processo Seletivo”.

As inscrições são para o provimento de vagas no Curso de Mestrado em Modelagem Matemática, edição 2011.

Público-Alvo
Poderão ser admitidos ao Programa os portadores de diploma de curso superior em Matemática, Física, Engenharias, Ciências Agrárias, Economia, Ciências da Saúde e Meio Ambiente, Biologia, Química, Ciências da Computação e/ou áreas correlatas à matemática.

Mais informações sobre o Edital, visite a página da UNIJUÍ:
http://www.unijui.edu.br/component/option,com_wrapper/Itemid,5369/lang,iso-8859-1/

De Volta às Atualizações.

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Wed, 27 Oct 2010 04:18:39 PDT

Queridos leitores do blog Matemática do Pi, há muito tempo que não apareço para atualizar este espaço que criei com tanto cuidado e dedicação. Não há que se justificar a falta de tempo, e a verdade é que senti um certo esfriamento de coragem para escrever e calcular.No entanto, agora me venho a refletir que devo dar prosseguimento a este passatempo que muitas vezes me tirou do tédio.

A princípio o programa que uso para digitar fórmulas para publicar no blog está desinstalado e não consigo reinstalá-lo. Vou tentar fazer isso e então voltarei a fazer as postagens.

Demonstração Derivada Função Exponencial e Logarítmica

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 05 Aug 2010 04:53:27 PDT

Derivada da Função Exponencial

Da definição de derivada:

Já foi demonstrado aqui neste blog que:

Portanto:

Está provado que

C.q. d.!!

Generalizando:

Quando a^x = e^x, temos:

f’(x) = e^x.ln e = e^x .1 = e^x

DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Aplicando a propriedade da diferença de logaritmos:

O limite Fundamental:

Portanto, temos:

Invertendo o logaritmo, obtemos:

Está provado que:

C.q.d!!!

Generalizando:

Segue o mesmo raciocínio anterior, resultando:

Logo:

Demonstração Derivada do Quociente e da Potência

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 05 Aug 2010 04:53:27 PDT

Derivada do Quociente

Vamos chamar f(x) = y, h(x) = u e g(x) = z.

Temos a função . Provar que

Da definição de derivada, temos:

Fazendo uma análise em zΔz: Δx -->0, Δz-->0, então zΔz = 0

Restando:

Logo, está provado que:

Como Queríamos Demonstrar!!

Existe outra forma mais simples de demonstrar essa derivada. Um exemplo pode ser encontrado no blog “O Baricentro da Mente” http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao_18.html

Derivada da Potência

f(x) = xⁿ

Provar que f’(x) = n.x^n-1

Da definição de derivada:

Para esta demonstração vamos utilizar o Binômio de Newton:

Eliminamos os simétricos xⁿ e colocamos Δx em evidência e também o eliminamos, restando:

Substituindo a tendência Δx, resulta:

Logo, f’(x) = n.x^n-1

Como queríamos demonstrar.

Demonstrações - Derivadas

noreply@blogger.com (Matemátic@ do Pi) — Thu, 05 Aug 2010 04:53:27 PDT

Derivada do Produto

f(x) = h(x).g(x)

Provar que f’(x) = h’(x).g(x) + g’(x).h(x)

Consideremos: y = f(x), u = h(x) e z = g(x)

Então: y + Δy = f(x+Δx), u + Δu = h(x + Δx) e z + Δz = g(x + Δx)

y = u.z => y’ = u’.z + u.z’

u + Δu = h(x + Δx), quando Δx-->0, Δu-->0

temos:

Está provado que y’ = = u.z’ + z.u’ = u’.z + u.z’