Matemática, Física e Afins

Potenciação

2012-07-10T18:52:00.001-07:00

Potenciação

Dado um número real “a” qualquer, sendo “n” um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a, n vezes, ou seja,

aⁿ = a . a . a . a .... a

(n vezes)

Casos Particulares:

a⁰ = 1

a^-1 = 1/a (a≠0)

a¹ = a

Propriedades da Potenciação:

a^m . aⁿ = a^{m + n}

a^m : aⁿ = a^{m – n}

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

(a . b)ⁿ = aⁿ . a^m

(a : b)ⁿ = aⁿ : a^m

a^-n = 1/aⁿ

Observação:

(a^m)ⁿ ≠ a^mⁿ

Exemplo:

2³²= 2⁹ = 512

(2³)² = 2⁶ = 64

Potências de 10:

10ⁿ = 100000….0000

n zeros

10 ^–n = 1/100000….00000

n zeros

Conjuntos Numéricos

2012-07-07T13:58:00.000-07:00

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturais:

Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar seus bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos.

ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;...}

Números Inteiros:

Os números inteiros são todos os números naturais e também seus opostos.

ℤ = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}

Observação:

Todo número natural é inteiro.

ℕ ⊂ ℤ

Números Racionais:

Os números racionais são aqueles que podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.

ℚ = { x/x = p/q , onde p ∊ ℤ e q≠0}

Observação:

Todo número natural é racional.

Todo número inteiro é racional.

ℕ ⊂ ℚ e ℤ ⊂ ℚ

Números Irracionais:

Os números irracionais são aqueles que não podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.

Exemplo:

π = 3,1415926...

e = 2,7182818...

Números Reais:

O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.

ℝ = ℚ U I

Visualização:

Observação:

Todo número real pode ser representado por um ponto sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta pode ser associado a um número real.

Intervalo Aberto:

É um subconjunto dos números reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer.

(a; b) = ]a; b[ = {x Є R/ a < x < b}

Intervalo Fechado:

É um subconjunto dos números reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer, podendo assumir os dois extremos.

[a; b] = [a; b] = {x Є R/ a ≤ x ≤ b}

Exemplo:

(2; 4) = ]2; 4[ = {x Є R/ 2 < x < 4}

[2; 4] = [2; 4] = {x Є R/ 2 ≤ x ≤ 4}

Módulo de um Número

O módulo, ou valor absoluto, de um número real qualquer é a distância deste número à origem(zero). O módulo de um número real x pode ser definido também por:

x, se x ≥ 0

|x| = - x, se x < 0

Exemplo:

|-10| = - ( - 10) = 10

|+ 7| = + 7 = 7

Hoje, tempestade solar. Amanhã...

2012-07-04T18:40:00.000-07:00

04/07/2012 03h39 - Atualizado em 04/07/2012 03h39

Tempestade solar deve atingir a Terra a partir desta quarta-feira, prevê Nasa

Nasa mostrou imagens de explosão solar.

Fenômeno viaja a 700 km/seg e pode afetar comunicações na Europa.

Do G1, com informações da Globo News

29 comentários

A Agência Espacial Norte-Americana (Nasa) divulgou imagens de uma explosão solar que ocorreu na segunda-feira (2). Os efeitos do fenômeno, que forma uma série de tempestade, devem ser sentidos na Terra nesta quarta-feira (4).

A tempestade, que segundo a Nasa viaja a uma velocidade estimada de 700 km por segundo, foi causada por uma mudança no campo magnético do Sol. O fenômeno foi considerado pelos cientistas de média intensidade.

Na Terra, as partículas que foram liberadas no espaço podem atrapalhar transmissões de rádio na Europa e intensificar o fenômeno das auroras boreal e austral nos polos do planeta.

Imagens na Nasa mostram explosão solar que ocorreu na segunda-feira (2). (Foto: Nasa)

Essa é a primeira de uma série de tempestades solares previstas para os próximos dias, de acordo com a Nasa.

Fonte:http://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2012/07/tempestade-solar-deve-atingir-terra-partir-desta-quarta-feira-preve-nasa.html

2012-07-04T16:39:00.001-07:00

Teoria dos Conjuntos

Símbolos Importantes:

Os símbolos a seguir são muito utilizados no estudo não só da Teoria dos Conjuntos, como também em outros tópicos de Matemática.

∈	Pertence
∉	Não Pertence
⊂	Está Contido
⊄	Não Está Contido
⊃	Contém
⊅	Não Contém
/	Tal Que ou Tais que
⇒ ou →	Implica ou Então
⇔ ou ↔	Se, e Somente Se
∃	Existe
∄	Não Existe
∀	Para Todo ou Qualquer
∅ ou { }	Conjunto Vazio
ℕ	Números Naturais
ℕ*	Números Naturais Excluindo o Zero
ℤ	Números Inteiros
ℤ _{_}	Números Inteiros Negativos
ℤ ₊	Números Inteiros Positivos
ℚ	Números Racionais
I	Números Irracionais
ℝ	Números Reais
ℝ_{_}	Números Reais Negativos
ℝ₊	Números Reais Positivos
A U B	A União com B
A ∩ B	A Intersecção com B
A – B	Diferença de A com B
B – A	Diferença de B com A
a < b	a menor que b
a ≤ b	a menor ou igual que b
a > b	a maior que b
a ≥ b	a maior ou igual que b
a ^ b	a e b
a v b	a ou b

Conjunto Vazio:

È o conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:

∅ ou { }

Subconjuntos:

Quando todos os elementos de um conjunto B qualquer pertencem a outro conjunto A, diz-se então que B é subconjunto de A, ou seja:

B ⊂ A

Observação:

B ⊂ B e ∅ ⊂ B

União de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como união de A com B ao conjunto A U B formado por todos os elementos que pertencem a A ou B.

A U B = { x / x ∈ A ou x ∈ B}

A U B = A

Observações:

A U A = A

A U ∅ = A

Intersecção de conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como intersecção de A com B ao conjunto A ∩ BBformado por todos os elementos que pertencem a A e a B simultaneamente.

A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}B = { x / x ∈ A e x ∈ B}

A ∩ B = A

OBSERVAÇÃO:

A ∩ A = A A

A ∩ ∅ = ∅

Diferença de Conjuntos:

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B ao conjunto A – B formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

OBSARVAÇÂO:

Exemplo:

A = {2; 3; 4}

B = {1; 2; 4; 7}

· A U B = {1; 2; 3; 4; 7}

· A ∩ B = {2; 4} = {2; 4}

· A – B = {3}

· B – A = {1; 7}

Conjunto das Partes de um Conjunto:

O conjunto das partes de um conjunto qualquer é formado por todos os seus subconjuntos.

Se um conjunto A possuir n elementos, o total de subconjuntos que ele admite é igual a 2ⁿ.

Exemplo:

A = {1; 2; 3} ⇒ n = 3

Subconjuntos de A: 2³ = 8

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

Representação Gráfica

A todo par ordenado (a; b) existe associado um ponto no plano e, reciprocamente, a todo ponto do plano existe associado um par ordenado.

Exemplo:

A = {1, 2}

B = {2, 3}

AxB = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2,3)}

Observação:

Geralmente, AxB ≠ BxA.

Produtos Notáveis e Expressões Algébricas

2012-07-03T19:05:00.001-07:00

Produtos Notáveis

Quadrado da Soma:

O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da Diferença:

O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Produto da Soma pela Diferença:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(a + b).(a – b) = a² - b²

Outros:

(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Expressões Algábricas

Fator Comum:

A fatoração de expressões algábricas é efetuada colocando-se o fator comum em evidência.

a . x + b . x = x . ( a + b) =

= a . x - b . x = x . ( a - b)

Exemplo:

X³ - x² + x = x . (x² - x + 1)

Agrupamento:

Algumas expressões algébricas podem ser fatoradas por agrupamento de dois ou mais termos.

a . x + b . x + a . y + b . y =

= x . (a + b) + y . (a + b) =

= (a + b) . (x + y)

Exemplo:

X³ + x² + x + 1 =

= x² . (x + 1) + (x + 1) =

= (x + 1) + (x² + 1)

http://www.youtube.com/watch?v=tdKkJwmGhSI

http://www.youtube.com/watch?v=H4NHX89MzAk

Sistemas de Equações do 1º Grau

2012-07-03T17:40:00.004-07:00

Sistemas de Equações do 1º Grau

Processo da Substituição:

Este processo consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau numa variável.

Exemplo:
- 2x + y = 1

2x + 3y = 2

- 2x + y = 1 → y = 1 + 2x

2x + 3y = 2

2x + 3 . (1 + 2x) = 2

8x = -1 → y = 1 + 2 . ( - 1/8 )

y = 3 /4

S = {( -1/8 ; 3/4)}

Processo da Adição:

Este processo consiste em deixar os coeficientes de uma mesma incógnita oposto. Desta forma, somando-se membro as duas equações recai-se em uma equação com uma única incógnita.

Exemplo:

- 2x + y = 1

2x + 3y = 2

- 2x + y = 1

2x + 3y = 2
4y = 3

y = 3/ 4 → 2x + 3 . 3/ 4 = 2

x = - 1/8

S = {( -1/8 ; 3/ 4 )}

http://www.youtube.com/watch?v=k-VAIBfHtI8

Números primos, m.m.c. e m.d.c.

2012-07-01T17:32:00.000-07:00

Números Primos

Um número natural é denominado de “número primo” quando apresenta apenas dois divisores naturais: ele mesmo e 1. Existem infinitos números primos. A seguir indicamos os números primos menores que 100:

2	13	31	53	73
3	17	37	59	79
5	19	41	61	83
7	23	43	67	89
11	29	47	71	97

Números Primos entre Si

Dois números naturais são denominados de “números primos entre si” quando apresentam como único divisor comum a unidade (número 1).

Exemplo: 15 e 16

d(15) = {1;3;5;15}

d(16) = {1;2;4;8;16}

d(15) ∩ d(16) = {1}

Portando, 15 e 16 são primos entre si.

http://www.youtube.com/watch?v=dWRt8ZTOQ9U

Máximo Divisor Comum(m.d.c.)

O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tornando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 = 2². 3 . 5

36 = 2² . 3²

m.d.c {120, 36} = 2² . 3 = 12

Mínimo Múltiplo Comum(m.m.c.)

O mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O mmc pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 = 2³ . 3. 5

36 = 2² . 3²

m.m.c {120, 36} = 2³ . 3² . 5 = 360

Observação 1:

O mmc pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.

120; 36 | 2

60; 18 | 2

30; 9 | 2

15; 9 | 3

5; 3 | 3

5; 1 | 5

1; 1 |

m.m.c. {120 , 36} = 2³ . 3² . 5 = 360

Observação 2:

O mdc pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando-se apenas os fatores que dividem os números simultaneamente.

Exemplo: 120 e 36

120; 36 | 2 (*)

60; 18 | 2 (*)

30; 9 | 2

15; 9 | 3 (*)

5; 3 | 3

5; 1 | 5

1; 1 |

m.d.c. {120 , 36} = 2² . 3 = 12

Observação 3:

Existem uma relação entre o mmc e o mdc de dois números naturais a e b, ou seja,

Mmc {a;b} . mdc {a,;b} = a . b

http://www.youtube.com/watch?v=OIP16zihTT8

Pós Graduação à distância em Metodologia do Ensino de Matemática e Física (UNINTER)

2012-07-01T16:50:00.002-07:00

Metodologia do Ensino de Matemática e Física

Aulas no Polo de Apoio Presencial ou via Internet.

Público-alvo: educadores, professores, pedagogos, e demais profissionais que atuam ou desejam atuar no contexto da educação ligada à Matemática ou à Física.

Duração do curso: aproximadamente 9 meses de aula mais 6 meses de TCC*
*O tempo de elaboração do TCC pode ser incorporado ao tempo total do curso.

Duração do encontro: 2h

Dia de exibição no PAP** (horário de Brasília): aos sábados, das 13h às 15h05, Canal 1
** PAP: Polo de Apoio Presencial

O Núcleo Comum será realizado por meio da metodologia e-learning.

Material didático: livros

Coordenador: Rodrigo Braz Martins

Investimento: R$155,00 (1 + 19)

Disciplinas e carga horária
NÚCLEO COMUM (E-LEARNING)
TÓPICOS GERAIS EM EDUCAÇÃO
Teorias da Aprendizagem	30h
Educação Inclusiva	30h
Metodologia de Ensino	30h
Avaliação da Aprendizagem Escolar	30h
Carga horária do Núcleo Comum	120h

NÚCLEO ESPECÍFICO
SABER DOCENTE E PROFESSOR PESQUISADOR
Didática e Avaliação em Física	30h
Didática e Avaliação em Matemática	30h
Professor Pesquisador no Ensino da Física	30h
Professor Pesquisador em Educação Matemática	30h

TÓPICOS ESPECIAIS
Jogos e Modelagem na Educação Matemática	30h
Tópicos Especiais em Tecnologias e Tratamento da Informação	30h
Tópicos Especiais da História da Física e da Matemática e de seu Ensino	30h
Tópicos Especiais em Física Moderna	30h

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO*	60h
Carga horária do Núcleo Específico	300h
CARGA HORÁRIA TOTAL	420h

*A orientação metodológica para o TCC ocorre por meio do Ambiente Virtual de Aprendizagem.

INFORMAÇÕES: http://www.poseaduninter.com.br/cursos-educ_metod-ensino-matemat.php

Critérios de divisibilidade:

2012-06-30T11:37:00.003-07:00

· Divisibilidade por 1:

Todo número é divisível por 1.

· Divisibilidade por 2:

Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar.

· Divisibilidade por 3:

Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

· Divisibilidade por 4:

Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou terminar com zero mas dias casas.

· Divisibilidade por 5:

Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5.

· Divisibilidade por 6:

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

· Divisibilidade por 7:

Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais algarismos, constituindo um número divisível por7.

· Divisibilidade por 8:

Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8.

· Divisibilidade por 9:

Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9.

· Divisibilidade por 10:
Todo número terminado em 0 é divisível por 10:

· Divisibilidade por 11:
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 55,...) são múltiplas de 11.

· Divisibilidade por 12:
S e um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12.

· Divisibilidade por 15:

Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.

Para saber mais:

http://www.youtube.com/watch?v=ii6qpMt_nX8&noredirect=1