Matemática ISMEA

6to Año. Propiedades de la radicación

2010-03-17T18:49:00.000-07:00

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo:

Raíz de un producto

La raíz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por la raíz cuadrada de "B"

o tambien se puede hacer de esta forma:

Raíz de un cociente

El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador....

Ejemplo:

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplo:

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

Ejemplo:

6to Año.- Propiedades de la Potenciación

2010-03-17T18:48:00.000-07:00

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

ejemplo:

Multiplicacion de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» y el exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

ejemplos:

Division de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponente = a (cero)

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

6to Año - Números Reales - Simbología y propiedades

2010-03-17T10:52:00.000-07:00

Propiedades de adición en el conjunto de los números reales

Sean entonces (la adicción es conmutativa)

Por ejemplo:

Sean entonces (la adición es asociativa)

Por ejemplo:

Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)

Por ejemplo:

Para cada existe tal que (cada número real posee inverso aditivo)

Por ejemplo: el inverso aditivo de es pues

Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales

Sean entonces (la multiplicación es conmutativa)

Ejemplo:

Sean entonces (la multiplicación es asociativa)

Ejemplo:

Existe tal que para cada ( es el elemento neutro multiplicativo)

Ejemplo:

Para cada , existe tal que (cada número real diferente de 0 posee inverso multiplicativo)

Ejemplo:

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

Si entonces se cumple que:

Ejemplo:

La sustracción definida en el conjunto de los números reales
Sean .

Llamaremos sustracción de y , la denotaremos a la operación definida por:

Ejemplo:

a.
b.

6to Año - 01/03/2010

2010-03-03T18:47:00.000-08:00

Dado que hemos atravesado a todos los campos numéricos es posible ya, resolver cualquier operación matemática inclusive en el campo complejo ya que se fue aprendido en 5to año. A modo de recordatorio tenemos

por lo que este año nos centraremos en el estudio de operaciones que involucren a 2 o mas campos numéricos.

Numeros Racionales
En el conjunto Q son posibles las operaciones de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división.

Es sumamente importarte recordar que

NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO

Otra caracteristica que diferencia al conjunto Q (racionales) del conjunto Z (enteros) es la densidad, puesto que dado 2 numeros racionales a y b, siempre existe otro racional c, tal que:

a < c < b,

luego podemos afirmar que entre 2 números racionales distintos existen infinitos numeros racionales.

Q es denso

El Hotel de Hilbert

Imaginemos que una noche de tormenta llega a un hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.

Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?

Temario 1 - 5to año - Números Complejos

2010-02-14T17:39:00.000-08:00

Apunte de Números complejos o imaginarios: Representación gráfica de un número complejo. Números conjugados y opuestos. Potencia. Producto. Cociente. Inverso. Radicación de un complejo.

Números Complejos

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) a,b Î Â

a = 1ª componente o componente real

b = 2ª componente o componente imaginaria

Z₁ =(a,0) es un número real

Z₂ =(0,b) es un número imaginario

Z₃ =(a,b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es √-1 = i

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a,b) se representa por un vector OP siendo P = (a,b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

z = (a, b) = a + bi = OP

4. Formas de expresar un número complejo

- Forma vectorial o par ordenado Z = (a,b)

- Forma binómica Z = a + b.i

- Forma polar Z = r_α

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

r =

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + bi, su conjugado (Z*) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

Z* = a - bi

El complejo opuesto de Z = a + b.i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

-Z = -a - bi

6. Potencias de la unidad imaginaria

iº = 1

i¹ = i = √-1 i ² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

7. Operaciones con números complejos

1. Suma

Z₁ + Z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

2. Resta

Z₁ - Z₂ = (a + bi) - (c + di) = (a + c) - i(b + d)

3. Producto

Z₁.Z₂ = (a + bi).(c + di) = (a.c - b.d) + i(b.c + a.d)

4. Producto de un número real por un número complejo

k Î Â

kZ₁ = k(a + bi) = ka + kbi

5. Cociente

6. Inverso de un número complejo

7. Potencia de un complejo

Z₁ ² = (a + bi) ² = a ² + (bi) ² + 2abi = a ² + b ²i ² + 2abi = a ² - b ² + 2abi

5to año - Revisión de Números Complejos

2009-12-15T16:46:00.000-08:00

Los números complejos nacen a partir de la necesidad de resolver la radicación de números negativos. Por ejemplo:

En estos casos se necesita de un nuevo operador llamado "unidad imaginaria".
Veamos como trabaja esta unidad imaginaria en la operatoria:
Esta igualdad es muy importante. El simbolo igual indica exactamente eso "IGUALDAD" por lo que debemos tener presente que cuando escribimos "i" nos estamos refiriendo siempre a la raiz cuadrada de menos uno.
Realizando algunas operaciones con la unidad imaginaria tenemos:

Matemática ISMEA

6to Año. Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

Raíz de un cociente

Raíz de una raíz

6to Año.- Propiedades de la Potenciación

Potencia de exponente 1

Multiplicacion de potencias de igual base

Division de Potencias de Igual Base

Potencia de un producto

Potencia de una potencia

Propiedad distributiva

Propiedades que no cumple la potenciación

Potencia de base 10

6to Año - Números Reales - Simbología y propiedades

Propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números reales

6to Año - 01/03/2010

Temario 1 - 5to año - Números Complejos

z = (a, b) = a + bi = OP

Z* = a - bi

Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Z1 - Z2 = (a + bi) - (c + di) = (a + c) - i(b + d)

Z1.Z2 = (a + bi).(c + di) = (a.c - b.d) + i(b.c + a.d)

kZ1 = k(a + bi) = ka + kbi

Z1 ² = (a + bi) ² = a ² + (bi) ² + 2abi = a ² + b ²i ² + 2abi = a ² - b ² + 2abi

5to año - Revisión de Números Complejos

Z₁ + Z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Z₁ - Z₂ = (a + bi) - (c + di) = (a + c) - i(b + d)

Z₁.Z₂ = (a + bi).(c + di) = (a.c - b.d) + i(b.c + a.d)

kZ₁ = k(a + bi) = ka + kbi

Z₁ ² = (a + bi) ² = a ² + (bi) ² + 2abi = a ² + b ²i ² + 2abi = a ² - b ² + 2abi