Matemática na veia

OBM - Olimpiada brasileira de matematica

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 23 Apr 2012 13:58:00 +0000

PERÍODO DE INSCRIÇÕES PARA AS ESCOLAS

A inscrição para a OBM é até dia 30 de abril, não esqueça de se inscrever. A competição envolve a participação de professores e alunos das redes pública e particular de todo o país. As inscrições são gratuitas.

ÚLTIMA SEMANA PARA SE INSCREVER

• 26 de março a 30 de abril de 2012

INSCRIÇÕES DOS ALUNOS

As inscrições dos alunos interessados devem ser feitas diretamente com o professor responsável em cada escola participante e esta informação não precisa ser repassada para a Secretaria da OBM. O número de participantes é livre.

NÍVEIS DE PARTICIPAÇÃO

• Nível 1: alunos do 6º. e 7º. anos do ensino fundamental.

• Nível 2: alunos do 8º. e 9º. anos do ensino fundamental.

• Nível 3: alunos do ensino médio.

• Nível Universitário: alunos de graduação de qualquer curso e qualquer período.

CALENDÁRIO 34ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA:

NÍVEIS 1 - 2 e 3

• Primeira Fase: sábado, 16 de junho de 2012.

• Segunda Fase: sábado, 22 de setembro de 2012.

• Terceira Fase: sábado, 27 de outubro, [ níveis 1, 2 e 3 ]

domingo, 28 de outubro, para os níveis 2 e 3 [segundo dia de prova ].

NÍVEL UNIVERSITÁRIO

• Primeira Fase: sábado, 22 de setembro de 2012.

• Segunda Fase: sábado 27 e domingo 28 de outubro de 2012

Prepare-se para fazer bonito nesta olimpíada.

Teste seus conhecimentos, invista o seu tempo no que realmente vai lhe trazer lucros.

Boa sorte a todos os que irão participar desta olimpíada, e não esqueça de relaxar bastante antes para não ficar nervoso.

Saiba mais sobre a OBM.

REFERÊNCIA

http://www.obm.org.br/
http://portuguesbrasileiro.istockphoto.com/

Aritmetica da Emilia

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 14 Apr 2012 19:21:00 +0000

Dia Nacional do Livro Infantil

18 de abril é o Dia Nacional do Livro Infantil. O Dia Nacional do Livro Infantil é realizado nesta data para homenagear ao dia de nascimento de ninguém menos do que o escritor Monteiro Lobato.

MONTEIRO LOBATO – UMA HOMENAGEM AO MESTRE

José Bento Renato Monteiro Lobato [Nasceu na cidade de Taubaté, 18 de abril de 1882 – Faleceu em São Paulo, 4 de julho de 1948], considerado um dos escritores brasileiros mais influentes do século XX. Criou diversas obras durante sua carreira, mas foi em 1920 que publicou sua primeira obra infantil “A Menina do Narizinho Arrebitado”, e que deu origem a Lúcia, que se popularizou como a “Narizinho” uma das personagens centrais da obra “Sítio do Pica-pau Amarelo”. O livro foi lançado em dezembro de 1920 aproveitando o ensejo da época de Natal. A capa e os desenhos eram de Lemmo Lemmi, um famoso ilustrador da época.

Um gênio da literatura que amava a matemática.

Monteiro Lobato realmente foi um gênio na escrita, além do mais, uma das características marcantes da sua personalidade, e que chama muito a minha atenção, é o uso da matemática nas obras do autor. Com certeza Lobato era um apaixonado pela história, geografia e pela matemática, e apesar de não ser formado na área, ele conseguia transmitir a essência mágica dos números. Uma das obras geniais do autor que trata do tema, é a “Aritmética da Emília”.

ARITMÉTICA DA EMÍLIA

Aritmética da Emília é um livro infantil escrito por Monteiro Lobato e publicado em 1935. A obra foi Reeditada em 1947 com ilustrações do artista haitiano André Le Blanc, ganha agora sua edição comentada, pois apesar da matemática continuar a mesma, o método ensinado nas escolas sofreu mudanças. A nova edição da Aritmética da Emília foi ilustrada por Osnei e Hector Gómez e está de acordo com a nova ortografia da Língua Portuguesa.

Na história, Monteiro Lobato consegue transformar uma matéria tão árida como a Aritmética em uma linda brincadeira no pomar, onde o quadro-negro em que faziam contas era o couro do Quindim.

Neste livro, as crianças aprendem sobre números decimais, frações, como transformar frações em números decimais, soma, subtração, multiplicação de números decimais, frações e números mistos e comuns. Aprendem também sobre o mínimo múltiplo comum, números romanos, quantidades, dinheiros antigos e de outros países, de onde vieram os números 1, 2, 3..., números complexos como raiz quadrada, entre outros.

É um livro indicado para todas as idades, além de ser uma fonte de informação divertida e prazerosa. Nesta obra Monteiro Lobato transformou a matemática numa divertida brincadeira onde qualquer um, criança ou adulto, terá prazer em aprender.

CAPA DA ÚLTIMA EDIÇÃO -2009

Abaixo, uma prévia do 1º capítulo do livro “Aritmética da Emília”.

“Aquele célebre passeio dos netos de Dona Benta ao País da Gramática havia deixado o Visconde de Sabugosa pensativo. É que todos já tinham inventado viagens, menos ele. Ora, ele era um sábio famoso e, portanto, estava na obrigação de também inventar uma viagem e das mais científicas. Em vista disso pensou uma semana inteira, e por fim bateu na testa, exclamando numa risada verde de sabugo embolorado:...”

Existem várias edições desta obra, e consequentemente as capas eram diferentes. Veja abaixo as [supostas] capas das edições de 1935 e 1947.

Capa da obra de 1935

Companhia Editora Nacional, 1935, 1ª edição. Ilustrações de Belmonte.

Suposta capa da obra reeditada em 1947

Editora Brasiliense. Aritmética da Emília Edição: 1947

Se você tiver estes livros, ajude a confirmar se realmente estas capas pertencem às obras de 1935 e 1947.

Quer saber mais sobre o sítio do pica-pau amarelo, visite o Blog do Sítio do pica-pau amarelo.

Para finalizar deixo para vocês uma frase do próprio Monteiro Lobato.

“um país se faz com homens e livros...”.

Monteiro Lobato, 18 de abril de 1882 – 4 de julho de 1948.

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Em breve mais atualizações, aguarde!

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REFERÊNCIAS:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Lobato_arte.jpg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Monteiro_Lobato

http://pt.wikipedia.org/wiki/

http://lobato.globo.com/biblioteca_InfantoJuvenil.asp

http://mundodositio.globo.com/

http://www.miniweb.com.br/Cantinho/Infantil/38/picapau_amarelo.html

http://todaoferta.uol.com.br/

http://blogdositiodopicapauamarelo.blogspot.com.br/

Aprendendo a dividir

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 07 Apr 2012 02:26:00 +0000

DIVIDIR PARA CONQUISTAR

Algumas operações aritméticas são essenciais em nosso cotidiano, pois as mesmas são ferramentas poderosas que nos ajudam nas operações mais básicas da aritmética. Já tratei aqui no blog do tema “operações e regra de sinais” o qual tratava das quatro operações básicas da matemática, além de regra de sinais. Não menos importante, são as regras de divisibilidade que aprendemos nos primeiros anos de escola.Como a grande maioria dos estudantes não sabe ou esqueceu quando um número dado é divisível por outro número, vamos rever as regras de divisibilidade recordando o que já foi estudado.

Dividindo números

a) Divisível por 2 : Todos os números pares são divisíveis por 2, ou seja todos os números que terminam por 0,2,4,6,8. Por exemplo, 2452, 93476. são divisíveis por dois pois terminam em 2 e 6 respectivamente.

b) Divisível por 3 : Se a soma de todos os dígitos do número dado é divisível por 3, então o número dado é divisível por 3.

Por exemplo, 475971. Aqui, a soma dos dígitos 4 + 7 + 5 + 9 + 7 + 1 é de 33 e como 33 é divisível por 3 ou seja 3 x 11 = 33. Assim, 475971 é divisível por 3.

Outro exemplo: 57 é divisível por 3, pois 5+7=12, e como 12 é igual a 3x4 temos que 12 é divisível por 3. [ veja que 12 ⇒ 1+2=3 é divisível por 3]

c) Divisível por 4 : Se os dois últimos dígitos de um número qualquer é divisível por 4, então o número é divisível por 4. por exemplo, 247964. Aqui os dois últimos dígitos 64 é divisível por 4 [4 x 16 = 64]. Portanto, o número 247964 é divisível por 4.

d) Divisível por 5 : Muito fácil de lembrar. Se o número dado termina com um '5' ou '0', então esses números são divisíveis por 5. Por exemplo, 349735, 73254140,1000, 348775...

e) Divisível por 6 : Se o número for divisível por 3 [ver b] e um dado número é um número par, então tais números são divisíveis por '6 '.

Exemplos

1º - 4386 é par e é divisível por 3 , pois 4+3+8+6=21, e 21/3=7

2º - 942 é par e é divisível por 3, pois 9+4+2=15, e 15/3=5

f) Divisível por 8 : Usamos a mesma regra para o divisor '4', mas com uma pequena variação. Se os últimos 3 dígitos de qualquer número é divisível por '8', então esse número é divisível por '8'. Por exemplo, 3745760. Aqui, os últimos 3 dígitos, 760 é divisível por '8'. Então, 3745760 é divisível por "8".

g) Divisível por 9 : Usamos a mesma regra do divisor '3', também com uma pequena variação. Se a soma de todos os dígitos do número dado é divisível por 9 , então o número dado é divisível por 9.

Por exemplo, 749655.

h) Divisível por 10 : Esta considero a mais fácil. Todos os números que terminam com '0 'são divisíveis por '10'. Por exemplo, 10900, 4980,1000.

i) Divisível por 11 : Um número é divisível por 11, se a diferença entre a soma de todos os dígitos de ordem par e a soma dos dígitos de ordem impar for divisível por 1. Alem disso, se o resultado desta operação for igual a "0", então o número é divisível por 11.

Por exemplo, 1386. Vamos verificar.

1 ordem impar

3 ordem par

8 ordem impar

6 ordem par

Somando as ordens temos (3+6) - (1+8) = 0

4895209. Confira!

j) Divisível por 12 : Se um número for divisível por 3 e também por 4, então esse número é divisível por 12. Para divisibilidade de 3 e 4 veja (b) e (c) acima. por exemplo, 3289764. Verifique se esse 3289764 é divisível por 3. É divisível. Agora, verifique se o mesmo número é divisível por 4. É divisível por 4 também. Portanto, o número é divisível por "12".?

Para completar sua aprendizagem com chave de ouro, é só estudar a seguinte proposição que reúne as principais propriedades elementares da divisibilidade:

i) a|a [ a divide a ]

ii) se a|b e b|c , então a|c

iii) se a|b e c|d , então ac|bd

iv) se a|b e a|c , então a|(b+c)

v) se a|b , então para todo m ∈ Z, tem-se que a|mb

vi) se a|b e a|c , então, para todo m,n ∈ Z, tem-se que a|(mb +nc)

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Em breve mais atualizações, aguarde!

REFERÊNCIAS:

Números: Uma introdução à matemática/Francisco Cezar Polcino Milies, Sônia Pitta Coelho. – 3. Ed. 1 reimpr. –São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003. – (Acadêmica; 20)

ISBN: 85-314-0458-4

http://www.baixaki.com.br/

Exemplo de resolucao anagramas

noreply@blogger.com (caco) — Wed, 21 Mar 2012 02:01:00 +0000

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

A procura por exercícios de combinações com anagramas vem crescendo aqui no blog, por este motivo vou escrever uma série de postagens sobre o conteúdo.

Vamos ao primeiro exercício resolvido da série.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ANAGRAMAS

1) Quantos anagramas da palavra “uniformes” começam por consoante e terminam em vogal?

A palavra “UNIFORMES” possui 4 vogais e 5 consoantes. Devemos escolher uma consoante para começar a palavra e uma vogal para terminá-la. Isto pode ser feito de várias maneiras, mas para não deixar a explicação muito extensa, vamos nos ater a dois modos diferentes. Escolha a que melhor se adapta aos seus conhecimentos.

1^a – Nesta primeira forma de resolução vamos usar permutações:

Já foi visto que temos 4 vogais e 5 consoantes na apalavra uniformes, e que a condição para este exercício é que os anagramas tenham consoantes na primeira letra e vogais na última.

Temos 9 posições para distribuir as letras. A primeira posição está reservada para as consoantes e nona para as vogais restando sete para as letras restantes.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
Consoantes	1	2	3	4	5	6	7	vogais
5	PERMUTAÇÃO DAS OUTRAS LETRAS							4

Desta forma temos 5 possibilidades para as consoantes e 4 para as vogais. E 7 possibilidades para as letras restantes, ou seja, 4.5.7! = 4.5. (7.6.5.4.3.2.1) =100.800

2^a – Nesta segunda forma de resolução vamos usar combinações:

Para resumir o texto vamos direto aos cálculos.

Vou presumir que você já tenha visto os artigos que tratam sobre combinações aqui no blog.

Podemos fazer a escolha das vogais de C(1,4) maneiras e as consoantes de C(1,5). As outras 7 letras podem ocupar qualquer uma das sete posições restantes, o que resulta em 7! Maneiras. Portanto temos

C(1,4). C(1,5). 7! = [4! /1! .(4-1)!]. [5! /1! .(5-1)!]. 7! = 5.4.7!=100.800 anagramas da palavra uniformes que começam por consoante e terminam por vogal.

Veja o desenvolvimento detalhado do exercício em uma nova aba em tela cheia.

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

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REFERÊNCIA:

J. Plínio O. Santos – Margarida P. Mello – Idani T C. Murari : Introdução à análise combinatória. Editora Unicamp – 3º edição – Campinas S.P. 2002.

ISBN: 85-268-0592-4

PICME 2012 - Oportunidade para medalhistas

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 03 Mar 2012 20:58:00 +0000

PICME 2012 - Medalhas de matemática valerão bolsa de iniciação científica para universitários.

Se você recebeu uma medalha de ouro prata ou bronze em qualquer edição da olimpíada brasileira de matemática [OBM] ou na olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas [OBMEP], fique atento, pois estão abertas as pré-inscrições para o PICME 2012.

O PICME [programa de iniciação científica e mestrado] oferece aos estudantes universitários que se destacaram em pelo menos uma das edições das Olimpíadas de Matemática [medalhistas da OBMEP ou da OBM] a oportunidade de realizarem estudos avançados nas áreas de Matemática simultaneamente com sua graduação. Os participantes recebem as bolsas através de uma parceria com o CNPq [Iniciação Científica] e com a CAPES [ Mestrado ].

O PICME é coordenado em nível nacional pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA e ofertado por Programas de Pós-Graduação em Matemática de diversas universidades espalhadas pelo país.O programa tem início a partir do 2º semestre e os alunos selecionados recebem uma bolsa de Iniciação Cientifica do CNPq.Os universitários inscritos podem concorrer a bolsas de iniciação científica. As inscrições podem ser feitas até 29 de abril.

É pré-requisito para participar da Iniciação Científica do PICME, estar regularmente matriculado e cursando nível superior em qualquer área de alguma Instituição pública ou privada, além de ter recebido medalha de ouro, prata ou bronze na OBMEP ou na OBM.

Mais informações sobre o programa em PICME

BIBLIOGRAFIA:

MEC em http://picme.obmep.org.br/beta/ Acessado em 01/03/2012.

PICME em http://portal.mec.gov.br/ Acessado em 01/03/2012.

REDE NOTÍCIA em http://www.redenoticia.com.br/ Acessado em 28/02/2012

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Desafios mentais - A origem

noreply@blogger.com (caco) — Sun, 26 Feb 2012 17:47:00 +0000

DeSAFIOS MATEMÁTICOS NO BLOG

O blog Matemática Na Veia está fazendo 5 anos dia 01/06/12, e apesar de todos os problemas enfrentados durante este tempo, está cada vez mais sólido. É claro que falta muita coisa ainda por melhorar, mas acredito que com o tempo e a experiência alcançaremos nossos objetivos. Mas chega de ladainha, vamos ao que interessa! O objetivo da postagem de hoje é para informar-lhes que este blog, de hoje em diante terá um espaço especial para os que curtem um desafio. Se você está pensando em algo do tipo “THE AMAZING RACE”, calma! Não é nada disto. Serão apenas alguns enigmas e truques usando a matemática.

Sabemos que, um seleto número de pessoas são mais capazes do que outras para desenvolver o cálculo mental [ além de outras peripécias ], mas existem truques que permitem a todos nós [ pobres mortais ] calcular mentalmente, melhor e mais rápido do possamos imaginar. Vamos Considerar um exemplo bem simples:

Desafios – O “A Origem”: Tente calcular mentalmente as multiplicações abaixo em menos de 15 segundos:

23 x 11 =?

45 x 11 =?

18 x 11 =?

72 x 11 =?

Conseguiu? Não! Pois é! É claro que eu também não consigo, pois também faço parte do grande número de mortais que não nasceu com o dom do cálculo mental. Por isso temos que aprender certos truques que a matemática nos oferece. Vamos ao primeiro de muitos.

O truque para calcular o produto de um número de dois dígitos por 11 é como se segue:

23 x 11 = 253

Fazer a soma dos dois dígitos do número 23 desta forma, [2 + 3 = 5] e colocamos o resultado obtido entre os dois dígitos do valor que estamos multiplicando por 11, ou seja, 23, ficando desta forma [2,5,3]. O número resultante é o valor do produto 23x11=253.

Faça seus testes e comente.

Para terminar, vou deixar o primeiro desafio. E se o valor da soma for maior que 10? Será que conseguimos calcular mentalmente tão rápido quanto um amigo fazendo os cálculos com uma calculadora? Pense e treine, você vai ver que em pouco tempo você estará calculado números bem maiores.

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Inscricoes : OBMEP 2012

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 20 Feb 2012 16:25:00 +0000

Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – 2012 – Brasil.

As inscrições para as 8º Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas [OBMEP] 2012 começaram dia 13 de fevereiro.

Como acontece anualmente, o Blog “Matemática Na Veia” divulga informações atualizadas sobre a OBMEP para ajudar os estudantes e professores que nos visitam diariamente. Como este ano não será diferente, traremos para você as notícias e novidades sobre provas, exercícios, dúvidas, além de gabaritos das provas.

Veja no quadro abaixo o Calendário para a OBMEP 2012.

Segundo o site oficial da OBMEP “Em 2011, cerca de 18,7 milhões de alunos se inscreveram na competição e mais de 98% dos municípios brasileiros estiveram representados.”

“Os sucessivos recordes de participação fazem da OBMEP a maior Olimpíada de Matemática do mundo.”

Não esqueça para um bom Desempenho nas provas da OBMEP você deve se preparar antecipadamente, organizando e treinando bastante os conteúdos de matemática. Fale sobre o assunto com seu professor e colega, não deixe para estudar na última hora.

Para estudar use o material original das provas dos anos anteriores disponibilizados pela própria entidade da OBMEP.

Acesse o portal no endereço Provas e Soluções e baixe o conteúdo no formato.zip.

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REFERÊNCIAS:

http://www.obmep.org.br/

Novas Ferramentas do blog

noreply@blogger.com (caco) — Thu, 16 Feb 2012 00:23:00 +0000

Atualizações e Ferramentas do Blog

Hoje vou dar ênfase as últimas ferramentas disponibilizadas aqui no [ Matemática Na Veia ].

Primeiro é sobre O Widget Top Comentaristas, criado pelo semnome.net. Este recurso é muito interessante, pois ajuda na divulgação do blog, além de reforçar a interatividade entre os visitantes e o blog. Se você costuma comentar aqui no blog para agradecer, pedir ajuda, ou até mesmo criticar sobre conteúdo ou outra coisa qualquer, fique ligado, seu nome poderá aparecer entre os que mais comentam. Isto é muito legal, principalmente para quem tem um blog ou site.

O segundo é que o sistema de comentários do blog mudou, ficou mais atraente, mais profissional. As ferramentas que este sistema oferece são inúmeras e não ativei nem 10% delas ainda. Com o tempo vou aprendendo a “fuçar” no código e a melhorá-lo ainda mais. O nome deste novo sistema de comentários é DisqUS . O sistema também tem um script Top Comentaristas , mas como já tinha colocado a código citado anteriormente deixei assim por enquanto. Fica aí a dica para quem tem blog ou site.

Só uma observação para os desavisados de plantão:

Os comentários são todos moderados, logo nem pensar comentar com palavras de baixo calão, xingamentos, ofensas e outras “coisinhas” do gênero.

É isso aí, divirtam-se, e deixem seus comentários. É rápido, não dói e ajuda muito na indexação do blog pelo “Profeta” Google.

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Curiosidades da matematica

noreply@blogger.com (caco) — Sun, 12 Feb 2012 14:58:00 +0000

Curiosidades da Matemática

Pense em qualquer número inteiro positivo.

Se o número for par, divida-o por dois.

Se o número for ímpar, multiplique por 3 [três] e some 1 [um].

Exemplos:

Supondo que esta operação seja realizada com um número impar, ou seja, com o número 3, o resultado é 10, pois (3.3)+1=10, concorda? E, se caso for um número par, por exemplo, 28, o resultado será 14, pois 28/2=14.

Agora, suponha que você executa a mesma operação várias vezes, onde o resultado é usado como o valor para a próxima operação.

Então, supondo que você começa com o número par 6, você começa a sequência de 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Veja que, não importa o número [valor] que você use como primeiro número, sempre, ficará preso na sequencia: {... 4, 2, 1, 4, 2, 1...}.

Faça você mesmo o teste!

Pelas minhas pesquisas quanto eu sei que isso não foi provado, mas ele foi testado para todos os valores iniciais até 13 × 2⁵⁸, Mas no momento que você lê este artigo já pode ser muito maior.

Na matemática chamamos isso de "Conjectura de Collatz", ou "sequencia da montanha-russa", ou ainda "Problema de Siracusa". Você pode ler mais sobre isso aqui http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture.

Observação: O matemático alemão Gerhard Opfer publicou em maio de 2011 uma prova da conjectura.

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REFERÊNCIAS:

Calculadora de equacao do segundo grau

noreply@blogger.com (caco) — Wed, 04 Jan 2012 18:14:00 +0000

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equações do segundo grau são utilizadas em vários tipos de problemas, e dependendo da complexidade do problema a ser resolvido podemos acabar errando um sinal no desenvolvimento. Pensando em ajudar você disponibilizamos uma calculadora de equações do segundo grau para conferir os resultados dos seus exercícios.

As equações são da forma a.x² + b.x¹ + c.x⁰= 0, ou melhor, a.x² + b.x + c= 0, pois x= x¹e x⁰= 1.

Com esta calculadora podemos obter vários dados: As soluções da equação, o valor do binômio discriminante, as coordenadas do vértice da parábola e a sua orientação. No caso das raízes serem reais então também se obtém os fatores em que o 1º membro pode ser decomposto

Escreva nos quadrados em branco os valores de a, b e c, depois clique no botão Resolver. Caso queira a resposta para uma equação incompleta do 2º grau coloque o valor zero [0] na respectiva célula,determinando assim a equação a qual você deseja.

Digitar valores nas células abaixo:

a
b
c

x² + x + = 0

RESULTADOS:

x' =

x_'' =

Binômio discriminante

A expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo: Δ = b² − 4ac. Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como:

Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: [Lembrando que todo polinômio de grau n, tem n raízes; Como uma equação do 2º grau é de grau 2, logo ela possui duas raízes.]

- Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.

No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado perfeito, então as raízes são números racionais — em outros casos eles podem ser irracionais quadráticos.

- Se Δ = 0 , a equação tem duas raízes reais e iguais, ou popularmente "uma única raiz", algumas vezes chamada de raiz dupla:

- Se Δ < 0, a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra:

e onde i é a unidade imaginária. Assim as raízes são distintas se e somente se o discriminante é não nulo, e são reais se e somente se o discriminante é não-negativo.

Binômio discriminante =

Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola,que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja,positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Abertura da párabola para

Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

Vértice da parábola:

Em breve atualizaremos a calculadora com mais funções. Se você não encontrou o que procura aqui, visite o blog E-Calc .Além desta calculadora, o blog dispõe de várias calculadoras online para auxiliar nos seus exercícios.

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REFERÊNCIAS:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_segundo_grau

Mini Biografia : Abel, Niels Henrik

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 02 Jan 2012 18:45:00 +0000

Os matemáticos mais brilhantes da história.

As Mini Biografias dos matemáticos mais importantes da história da humanidade pode ser acompanhada nesta série de postagens aqui no blog.

Niels Henrik ABEL: O GAROTO GÊNIO

Matemático norueguês. [Nedstrand, 25 de Agosto de 1802 — Froland, 6 de Abril de 1829] Seu pai, Soren Georg Abel, era licenciado em teologia e filosofia e seu avô foi um ativo ministro protestante em Gjerstad, próximo a Risor. Distinguiu-se por suas contribuições no campo das funções e integrais elípticas, onde estudou profundamente as integrais denominadas “abelianas” e introduziu o conceito de gênero de una função algébrica.

Demonstrou a impossibilidade de resolução por radicais de equações de grau superior a quatro. Em sua honra, se utiliza a expressão "Grupo Abeliano" com o mesmo significado que "Grupo Comutativo".

Veja também outras Biografias no blog.

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REFERÊNCIAS:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk// Abel.html

http://www.kappabel.com/indexfiler/NielsHenrik.htm
http://www.kappabel.com/indexfiler/AbelogFroland.htm

Identidade de Euler

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 26 Dec 2011 09:44:00 +0000

Obra de Leonhard Euller

O artigo de hoje é dedicado à Identidade de Euler – sem sombra de dúvidas esta é a fórmula mais notável de todas as áreas da matemática. De acordo com Richard P. Feynman, “esta seria a identidade mais bela de toda a Matemática”. A equação aparece na obra de Leonhard Euler “Introdução”, publicada em Lausanne em 1748. Pode-se dizer ainda mais, esta beleza é singular, pois a identidade encerra no seu contexto cinco constantes matemáticas não menos envolventes e misteriosas além de três funções aritméticas [ adição, multiplicação e exponenciação].

O Número 0. Zero [0, ou valor nulo — sem representação nos números romanos] é o número que antecede o inteiro positivo um, e todos os números positivos, e sucede o um negativo (−1), e todos os números negativos. Ele é definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

O Número 1. O um (1) é o número inteiro que segue o zero e antecede o dois, sendo o segundo número natural. O um é o elemento neutro do produto, ou seja, qualquer número a multiplicado por 1 resulta em a.

O número e é a base dos logaritmos naturais.

O número i

é a unidade imaginária [número imaginário com a propriedade

i ² = -1 → i = √-1 .]

O número π é a constante de Arquimedes Pi [π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência]. π ≈ 3.14159

Então se você ainda não conhece, apresento-lhe a Identidade de Euler.

IDENTIDADE DE EULER :

Combina 5 constantes matemáticas de diferentes áreas:

Demonstração pela série de Taylor:

Primeiro estabelecemos que: e^iθ = Cos (θ) + i.Sen(θ), usando a série de Taylor para a demonstração.

Agora, fazendo (θ ) = π , e lembrando que sin π =0 e cos π = -1 de modo que eⁱ^π= Cos(π)+ i.Sen(π) = -1 + i.0 = -1 Donde eⁱ^π+ 1=0

O bom entendimento da “Identidade de Euler” auxilia, junto com outras operações matemáticas e estudos de física, e também na compreensão das equações que regem o funcionamento de muitos fenômenos da natureza.

Exemplos de algumas aplicações:

- Física e física matemática em fenômenos harmônicos.

- Engenharia mecânica [mecânica dos fluidos e termodinâmica].

- Engenharia elétrica e eletrônica [eletromagnetismo, teoria dos circuitos etc].

- Engenharia telecomunicações [processamento de sinais, propagação de ondas etc].

- Engenharia civil [hidráulica, cálculo estrutural para estrutura dinâmicas, etc].

- Todas as demais áreas onde ocorrem fenômenos harmônicos.

“Cavalheiros, que isto certamente seja verdadeiro é absolutamente paradoxal; não podemos entender a fórmula, não sabemos o que significa. Mas conseguimos prová-la e, portanto sabemos que deve ser verdade.”

BenjaminPierce, um dos principais matemáticos de Harward no século XIX, a respeito da identidade de Euler, eⁱ^π= -1

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Veja mais sobre Leonhard Euller no blog.

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REFERÊNCIAS:

http://www.titaniumringsforever.com/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_de_Euler

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_identity.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman

http://www-Peirce_Benjamin.html

Feliz Natal - Merry Christmas

noreply@blogger.com (caco) — Thu, 22 Dec 2011 02:00:00 +0000

Merry Christmas

Mais um natal que se aproxima, mais um ano que está findando. As batalhas foram difíceis, mas a necessidade de vencer foi muito maior. O que dizer neste momento quando chegamos ao final de mais uma etapa da nossa vida. Posso dizer com certeza, que esta etapa dependeu, e muito, da participação de todos que aqui estiveram, seja fazendo perguntas, elogiando, ou até mesmo criticando. Por isso deixo meus agradecimentos com este cartão de natal a todos.

Como diria o nosso ator principal " É ISSO AÍ VELHINHO..." Até a próxima!

www.cartooes.com

Egeom: Blog de Geometria

noreply@blogger.com (caco) — Wed, 30 Nov 2011 12:05:00 +0000

ATIVIDADES E NOVIDADES NO BLOG

Com o intuito de organizar melhor o conteúdo do “Matemática Na Veia” optei por criar um novo blog com conteúdo de Geometria. A ideia é melhorar a apresentação deste blog e dos que estão por vir, e facilitar o acesso às matérias de geometria plana, espacial e analítica entre outras curiosidades e temas relacionados a esta área da disciplina de matemática.

Logotipo do Blog Egeom - E-Geometria

No blog EGEOM também serão disponibilizadas calculadoras e Mathlets [Java, Flash], além de apostilas tratando do assunto.

O blog já está ativo, apesar de ter apenas dois artigos básicos e um applet em Flash com alguns teoremas fundamentais da geometria.

Visite o blog e avalie. Por enquanto é só, em breve mais novidades sobre este e outros temas do mundo mágico da matemática

Os ensinamentos de Gandhi

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 28 Nov 2011 00:56:00 +0000

Ensinando pelo exemplo

Uma mãe levou seu filho ao Mahatma Gandhi e implorou:

- Por favor, Mahatma, diga a meu filho para deixar de comer açúcar.

Gandhi fez uma pausa e disse:

- Traga seu filho de volta daqui a duas semanas.

Intrigada, a mulher agradeceu e disse que faria como ele ordenara. Duas semanas depois, a mulher voltou com o filho.

Gandhi fitou os olhos do jovem e falou:

- Pare de comer açúcar.

Agradecida, mas perplexa, a mulher perguntou:

- Por que me pediu para trazê-lo em duas semanas? Poderia ter dito a mesma coisa antes.

Gandhi replicou:

- Há duas semanas eu estava comendo açúcar.

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REFERÊNCIA:

Do livro de Dan Milman, O caminho do guerreiro pacífico, Editora Pensamento, São Paulo, 1991.

Mini Biografia: Apolonio de Pergamo

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 26 Nov 2011 12:56:00 +0000

Os matemáticos mais brilhantes da história.

As Mini Biografias dos matemáticos mais importantes da história da humanidade pode ser acompanhada nesta série de postagens aqui no blog.

Apolônio de Pergamo

Apolônio de Pergamo [Pergaeus] [do grego antigo: Ἀπολλώνιος - ca. 262 aC - ca 190 a.C.] matemático grego conhecido pela elaboração do tratado “As Cônicas”, um dos seus oito trabalhos conhecidos. Quando ele era um jovem Apolônio foi para Alexandria, onde estudou com os seguidores de Euclides e, mais tarde ele ensinou na mesma cidade. Da sua vasta obra científica somente dois dos seus trabalhos chegaram aos nossos dias, “As Cônicas” e “Dividir Segundo uma Razão”. Foi Apolônio que deu nome as curvas [a elipse, a parábola, e a hipérbole] da maneira que estamos familiarizados atualmente.

Veja também outras Biografias no blog.

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REFERÊNCIAS:

http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Apollonius.html

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/index.htm

Mini Biografia:al-Khwarizmi

noreply@blogger.com (caco) — Sun, 20 Nov 2011 18:00:00 +0000

Os matemáticos mais brilhantes da história.

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al-Khwarizmi, Muhammad ibn Musa (c. 780-c 850 dC.): matemático árabe de Khiva, no atual Uzbequistão. Através da sua obra Kitab Al-‘jam 'w'al-tafriq ib Hisab al-hind [O Livro de adição e subtração de acordo com o Cálculo Hindu], al-Khwarizmi introduziu os algarismos arábicos no mundo do Ocidente. Ele também escreveu um tratado sobre álgebra, Al-Kitab Hisab al-jabr w'al-muqabala [Cálculo de Restauração e Redução], O termo álgebra é derivado do nome de uma das operações básicas com equações descritas neste livro. O livro foi traduzido em latim como Álgebra Liber et almucabala. Do nome de al-Khwarizmi derivou a palavra "algorism" a partir do qual, por sua vez deriva 'algoritmo'. Sua aritmética sobreviveu apenas em um latim medieval, mas se perdeu no original Árabe. A tradução foi feita provavelmente no século XII por Adelardo de Bath, Que também traduziu as tabelas astronômicas em 1126.

Veja também outras Biografias disponíveis no blog

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REFERÊNCIAS:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Al-Khwarizmi [Português]

http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Al-Khwarizmi.html [Inglês]

http://scienceworld.wolfram.com/biography/Al-Khwarizmi.html [Inglês]

O Teorema de Pitagoras em Grego

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 19 Nov 2011 18:43:00 +0000

O teorema de Pitágoras em grego

Grande parte dos pesquisadores da história da matemática atribuíram a descoberta do “Teorema a Pitágoras” ao próprio Pitágoras de Samos [do grego Ο Πυθαγόρας ο Σαμιος]. Mas várias pesquisas mais recentes demonstram que o teorema já era conhecido muito tempo antes pelos babilônios, cerca de 1500 a.C. [Pitágoras viveu entre 570-500 a.C.]. Os chineses também demonstraram ter tal conhecimento por volta de 1100 a.C. e além destes os hindus também por volta de 500 a.C.

Existem várias demonstrações deste teorema [Veja algumas a partir deste endereço ]

No site do Wikipedia podemos encontrar um argumento semelhante em defesa do matemático Pitágoras de Samos. Veja:

“O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, ^[embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

O Teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.”

Mas Pitágoras era um gênio em sua época, e não podemos desmerecer suas descobertas, mesmo que ele tenha usado informações de outros grandes matemáticos anteriores a sua época. [Veja a Biografia de Pitágoras além de várias curiosidades sobre sua obra ]

Como Pitágoras era grego nada mais justo de que apresentar para o público em geral o teorema na sua escrita materna, ou seja, no idioma grego.

O que é lido da seguinte maneira:

”En tois orthogôniois trigônois to apo tês tên orthên gônian hupoteinousês pleuras tetragônon ison esti tois apo tôn tên orthên gônian periechousôn pleurôn tetragônois.”

Lógico, se estamos falando sobre o Teorema de Pitágoras, em Português é o seguinte:

“Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

Veja também as Biografias de Matemáticos Famosos diponíveis no blog.

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REFERÊNCIAS:

“Le théorème de Pythagore en grec” em:

http://trucsmaths.free.fr/divers.htm#pythagore [Em Frances]

“Pythagoras Theorem” em :

http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html [Imagens adaptadas – Site com explicações e exercícios : Em Inglês]

“Pitágoras" em:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pitágoras [Em Português]

Mini Biografia:al-Haytham

noreply@blogger.com (caco) — Tue, 15 Nov 2011 23:30:00 +0000

Os matemáticos mais brilhantes da história.

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al-Haytham, Ali Abu al-Hasan ibn (em árabe: أبو علي الحسن بن الهيثم - c. 965-1038 dC): cientista árabe, nascido no atual Iraque. al-Hasan é mais conhecido por seu trabalho em ótica mais especificamente por medições detalhadas de ângulos de incidência e refração, e uma cuidadosa análise geométrica da formação de imagens em espelhos esféricos e parabólicos. Um dos primeiros a explicar o fenômeno dos corpos celestes no horizonte. Foram-lhe atribuídos aproximadamente cem trabalhos, sendo que o principal deles foi traduzido em latim no 12º século e finalmente foi publicado como Opticae thesaurus (1572), "Tesouro da ótica", que influenciou toda a ótica medieval e moderna

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REFERÊNCIAS:

http://en.wikipedia.org/wiki/Alhazen [Inglês]

http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/Alhazen0.html [Português]

Mini Biografia: Maria Gaetana Agnesi

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 12 Nov 2011 22:38:00 +0000

Os matemáticos mais brilhantes da história.

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Agnesi, Maria Gaetana (1718-1799 dC): foi uma linguista, filósofa e matemática italiana. Agnesi foi um dos vinte e quatro filhos de um professor de matemática em Bologna. Considerada um prodígio aos 11 anos de idade, pois falava pelo menos seis idiomas. Escreveu o primeiro livro que abrangia simultaneamente o cálculo diferencial e integral. Seu livro “Instituzioni Analitiche” [Instituições Analíticas - 1748]; contém uma discussão sobre a curva conhecida popularmente como a bruxa de Agnesi. [ Curva de Agnesi]

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REFERÊNCIAS:

Science Photo Library - http://www.sciencephoto.com/ [Inglês]

Biografia em MacTutor [Inglês]

Mini Biografia: Niels Henrik Abel

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 12 Nov 2011 00:13:00 +0000

Mini Biografias

Os matemáticos mais brilhantes da história

Abel, Niels Henrik [1802-1829 dC]: matemático norueguês conhecido por sua investigação no campo das equações algébricas, área a qual lhe rendeu o primeiro trabalho relevante.Foi publicada em 1824, e consistia na demonstração de que a equação geral de quinto grau é insolúvel algebricamente. Também foi importante seu trabalho no domínio das funções elípticas e transcendentais, e sobre a convergência de séries infinitas, além de sua publicação da primeira prova rigorosa do teorema binomial.

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REFERÊNCIAS:

http://www.rudata.ru/wiki [Russo]

Biografia em MacTutor [Inglês]

Poesia: Limite

noreply@blogger.com (caco) — Wed, 09 Nov 2011 14:00:00 +0000

"Limite"

Pedra após pedra,

cálculo após cálculo,

escalei exponenciais de base maior que um

como se não restasse já tempo algum.

E avancei desprotegido

para além do medo,

- assim me tornava destemido

a vontade de descobrir o segredo.

Naveguei em mares sem fim

sobre agitadas ondas de período 2p .

Noite após noite

sem ajuda de ninguém,

da lua calculei o seno,

do seio a curva extrapolei,

estranhos sinais escutei de faróis de além,

imaginários números reais contei de uma outra margem,

e avancei,

ansioso por desvendar o sentido oculto da mensagem.

Obscuras grutas explorei,

e de axioma em axioma

no encadeado de múltiplas razões me enredei,

da terra rasgando o mais profundo,

das mãos sangrando a demonstração do mundo,

de tudo extraindo a inumerável raiz,

dos números todos buscando a antiga matriz

à procura de um indefinível e raríssimo minério.

E avancei

avancei sempre,

tão forte era a vontade de decifrar esse mistério.

Sem máscara,

sem arma,

sem régua ou compasso,

avancei só

avancei passo a passo

dia após dia,

a rigorosa lógica amando menos

que a quente poesia.

Como uma criança assustada que noite após noite conta sem parar

e adormece mais cansada

sem o último número alcançar,

a todos os perigos sobrevivi

de todas as solidões renasci,

e ao perigo da razão resisti.

Mas para quê se pouco encontrei do que esperava encontrar ?

Para quê ?

- Talvez para compreender

que um limite não se alcança por acumulação de cálculos.

Um limite ... há que pressenti-lo de dentro

e num vôo direto, mais rápido que o da Razão,

identificar sujeito e conhecimento,

como em qualquer sucessão.

-- Talvez para reconhecer,

que muito viajar e conquistar,

não é condição necessária para compreender.

Basta o que se é, ser,

olhar à volta e ver,

ou melhor ainda, ver sem olhar,

e sem chegar a partir, caminhar .

Desejar sem desejo

agir sem ação

beijar sem dar beijo

amar sem contradição;

mover-se e permanecer imóvel,

combater pela Verdade, pelo Primeiro Móvel,

sem algum lucro ambicionar,

e decididamente rejeitar o "para mim"

- pois só se alcança o que se deseja

quando já nada se deseja alcançar enfim.

Luís Madureira - English Version by Isabel Ruivo

REFERÊNCIA:

http://www.geocities.lmadureira/

http://portuguesetranslationsworld.com/

ENEM 2011 - Dicas Para A Prova

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 17 Oct 2011 15:25:00 +0000

ENEM 2011 - Dicas Para A Prova

Muita Calma Nesta Hora! Parece até título de filme, se bem que tem filme com este título, mas como nem tudo é fantasia em nossa vida, agora é a hora de você se agarrar com unhas e dentes a esta oportunidade real de alavancar seus estudos.

Esta preparado para a prova dia 22 e 23 de outubro?

Todos os anos escrevo algo sobre o ENEM, principalmente quando está chegando perto da data das provas, e este ano não será diferente. Vale a pena lembrar que se chegar atrasado, você não faz a prova, então procure estar no local da sua prova meia hora antes, no mínimo.

Leve caneta esferográfica de TINTA PRETA fabricada em material transparente [não existe condição aqui, é obrigatório o uso de caneta esferográfica de TINTA PRETA]

E quando estiver fazendo a prova fique atento, qualquer destes deslizes pode eliminar você de fazer a rova do ENEM 2011.

· Qualquer espécie de consulta ou comunicação com outro participante;

· Utilizar lápis, lapiseira, borracha, livros, manuais, impressos, anotações, óculos escuros e quaisquer dispositivos eletrônicos;

· Deixar a sala de provas antes de decorridas duas horas do início do Exame.

Concentre-se bastante, tenha foco e Boa sorte na Prova!

Mais dicas e detalhes sobre o ENEM 2011 acesse o Portal do ENEM-NEP

Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e sugestões.

Referências:

http://enem.inep.gov.br/

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Biografia de Adrien Legendre

noreply@blogger.com (caco) — Sat, 08 Oct 2011 01:43:00 +0000

Adrien Marie Legendre (1752 - 1833)

Adrien [ Adrian ] Marie Legendre nasceu em Toulouse em 18 de setembro de 1752, e morreu em Paris em 10 de janeiro de 1833. Pertenceu a uma geração de grandes matemáticos a exemplo de Lagrange [1736-1813], Laplace [1749-1827], Monge [1746-1818] e Gauss [1777-1855]. Ele foi educado no Colégio Mazarin, uma das escolas mais avançadas do século XVII, em Paris, durante cinco anos, de 1775 a 1780, trabalhou junto com Laplace, quando ambos lecionavam na École Militaire de Paris.

Colégio Mazarin, também conhecido como “O Collège des Quatre-Nations” - Gravura de Israel Silvestre, ca. 1670.

Em 1792 Legendre se casou com Marguerite-Claudine Couhin com a qual conviveu por 40 anos, sem deixar herdeiros. Em uma carta a Jacobi de 30 de junho de 1832, Legendre revelou que foi a sua tão amada esposa que no final de sua vida o ajudou a restaurar progressivamente os negócios, o que me proporcionou essa tranquilidade de espírito necessária para me dedicar aos meus trabalhos habituais e para produzir novas obras. Conforme Legendre.

Foi membro da comissão anglo-francesa, que em 1787, que, com base nos observatórios de Greenwich e Paris, calculou a medida da circunferência da Terra usando triangulação geodésica, além disso, presidiu à comissão para a normalização do sistema decimal. Este trabalho resultou em sua eleição para a Royal Society de Londres em 1787 e também a uma importante publicação que contém o Teorema de Legendre sobre Triângulos Esféricos.

1. Teorema

Seja um triângulo esférico ABC, de área S e lados α, β, γ cujos comprimentos em relação ao raio da esfera a qual pertence o triângulo são pequenos. Seja também um triângulo plano A', B', C', de área S', e cujos lados são do mesmo comprimento dos correspondentes do triângulo ABC.

1.1. Legendre estabeleceu que, sendo α, β, γ os comprimentos dos lados de um triângulo geodésico ABC no elipsóide e o triângulo plano A'B'C' com lados de mesmo comprimento, ambos tem a mesma área. S=S'

1.2. Os ângulos dos triângulos esféricos ABC são iguais aos correspondentes ângulos do triângulo plano A'B'C'(acrescidos de 1/3 do excesso esférico (ξ).

Em 1782, ganhou um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu trabalho

Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants [Trajetórias de projéteis em meios resistentes] sobre balística exterior. A tarefa real foi dada como segue: "Determine a curva descrita por balas de canhão e bombas, considerando a resistência do ar, e apresente as regras para obter as variações correspondentes às diferentes velocidades iniciais."

O trabalho de Legendre foi motivado pelo movimento de projéteis, levando em conta pela primeira vez novos fatores, tais como resistência do ar e velocidades iniciais. Legendre analisou a curva descrita pelas pesadas bolas [ projéteis] de canhão, levando em consideração a resistência do ar e desenvolveu relações para alcance, dadas as velocidades iniciais. Desenvolveu estas equações baseando-se em seu trabalho avançado em equações diferenciais e cálculo de várias variáveis.

Em 13 maio de 1791, tornou-se um dos seis membros da seção de matemática da Académie des Sciences, que foi fechada em 1793 e reaberta em 1795 como Institut National des Sciences et des Arts e, mais tarde, em 1803, Napoleão Bonaparte reorganizou a Academia e criou um Departamento de Geometria onde Legendre foi escolhido para ocupar o cargo. Em 1824, como resultado de sua recusa a votar no candidato do governo do Instituto Nacional, sua pensão da École Militaire foi cancelada pelo Ministre de l'Intérieur do governo ultra-realista, o conde de Corbière, onde trabalhou de 1799 a 1815 como examinador de matemática de estudantes de artilharia.

Considerando os matemáticos que atuaram na época da revolução francesa, os trabalhos de Legendre eram de uma ordem de excelência e grandeza excepcionais, sendo superados somente pelos produzidos por Lagrange e Laplace. Suas principais obras foram:

Éléments de Géométrie, publicado em Paris, 1794, por Firmin Didot [14 Abril 1764 – 24 Abril 1836].

O livro, além de ter sido adotado no ensino de geometria nas escolas secundárias da França, também o foi em outros países, uma vez que a obra assumiu muito rapidamente o primeiro lugar entre os livros clássicos de geometria. As edições posteriores contêm os elementos de trigonometria, e provas da irracionalidade do π e π² . Um apêndice sobre a difícil questão da teoria de linhas paralelas foi emitido em 1803, e está ligado com a maioria das edições subseqüentes.

Em menos de trinta anos, teve mais de quatorze edições, a primeira atingiu um grande número de tiragens e foi traduzido praticamente em todas as línguas da Europa. Na época, bateu o recorde de mais de cem mil exemplares vendidos, o que assegurou uma fortuna para o seu autor.

O livro foi traduzido para o árabe e adotado nas escolas do Egito estabelecidas pelo vice-rei Méhémet-Ali (BEAUMONT, 1864, p. LIX, LX). Dhombres (1989,p. 628,) ainda ratifica que, anteriormente ressaltamos na biografia de Legendre o sucesso de seus Elementos de Geometria. Sucesso tão extraordinário por causa do rigor euclidiano que trouxe de volta o raciocínio pelo absurdo e a construção axiomática de resultados geométricos. No início do século XX o livro de Legendre, juntamente com os Elementos de Euclides, se tornou uma referência no ensino superior de geometria nos Estados Unidos.

Houve uma tradução em português do texto de Legendre por Manoel Ferreira de Araújo Guimarães, publicada em 1809 pela Regia Officina Typografica, no Rio de Janeiro, mas sem o prefácio. Éléments de Géométrie foi o texto elementar principal sobre o tema durante cerca de 100 anos. Este texto reorganizou e simplificou muitas das proposições dos elementos de Euclides para criar um livro mais eficaz.

Théorie des nombres. A primeira edição foi publicada em 1798, a qual foi adicionada apêndices em 1816 e 1825, a terceira edição foi publicada em dois volumes no ano de 1830, que além de seus próprios estudos, contém trabalhos de Euler e Lagrange sobre resolução de equações e formas quadráticas, teoremas de Pierre de Fermat, tabelas sobre números primos e, sobretudo, a lei de reciprocidade dos resíduos quadráticos que estabelece uma relação particular entre dois números primos ímpares.

O impacto causado por suas obras em Teoria dos Números na comunidade matemática francesa da época e as contribuições do autor à ciência antes e depois da publicação da obra revelou que Teoria dos Números, obra à qual o autor consagrou mais da metade de sua vida no intuito de aperfeiçoá-la, tornou notória a honra que lhe é devida como o primeiro tratado de uma Aritmética superior que tanto inspirou a outros matemáticos para o avanço dessa ciência no século XX.

O primeiro trabalho de Legendre em Teoria dos Números, Estudos sobre a Análise Indeterminada, foi publicado pela Academia de Ciências de Paris em 1785. Composto de 95 páginas, esse trabalho se encontra dividido em quatro artigos, contendo em particular, o seu célebre teorema de reciprocidade quadrática.

O terceiro artigo, Um Teorema sobre a possibilidade das Equações Indeterminadas do Segundo Grau” (LEGENDRE, 1785, p. 507-513), é um estudo sobre as equações do tipo Ax²+ bxy + cy²+dx + ey + f = 0 , reduzidas na forma x² – By² = A, onde x e y são indeterminadas, a, b, c, d, e, f números inteiros, e A, B inteiros positivos sem fatores quadrados com A > B.

Além destes, ele escreveu o tratado Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des cometes [ publicado em 1805], obra fundamentada na Estatística e no sistema de equações do primeiro grau, deu origem ao Método dos Mínimos Quadrados ( moindres carrés ) [ MQO ou OLS - do inglês Ordinary Least Squares). Nela Legendre criou uma régua de cálculos na determinação de pequenas medidas das trajetórias de cometas.

Posteriormente, dois suplementos lhe foram acrescidos em 1810 e 1820, uma sobre a Teoria das atrações, e a outra sobre as Operações Geodésicas.

As memórias sobre as atrações são analisados e discutidos em History of the Mathematical Theories of Attraction and Figure of the Earth from Newton to Laplace - História da Teoria Matemática da Atração (1873) de Isaac Todhunter [Rye, 23 de novembro de 1820 - Cambridge, 1º de março de 1884].

1º - A mais antiga dessas memórias foi apresentada em 1783, como atração gravitacional de um elipsóide [Recherches sur l'atração des homogeneidade spheroides].

Este contém a introdução dos “Polinômios de Legendre”.

1 – P_n0(Ψ) = P_n0(Ψ) [Polinômios de Legendre de grau n] são chamados de harmônicos esféricos sazonais.

2 - P_nm (θ) cos (mλ) e P_nm (θ) sen (mλ) [Polinômios de Legendre associados de grau n e ordem m] são chamados de:

a) harmônicos esféricos tesserais, se n≠m.

b) harmônicos esféricos setoriais, se n=m.

Essas equações são frequentemente encontrados em física. Em particular, elas aparecem quando nós resolvemos a equação de Laplace [um tipo de equação diferencial parcial] em coordenadas esféricas utilizando o método de separação de variáveis .

Gráficos dos polinômios de Legendre para n até 5:

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em x= ± 1 então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá se |x| < 1. Quando n é um inteiro, a solução P_n(x) que é regular em x=1 é também regular em x = -1, e a série para esta solução é finita [i.e. é um polinômio].

2º - O segundo livro de memórias foi publicado em 1784, e trata sobre a forma de equilíbrio de uma massa de rotação de um líquido, sendo a mesma aproximadamente esférica.

3º - O terceiro livro, escrito em 1786, trata sobre a atração de elipsóides.

4º - O quarto livro é sobre a figura que um planeta fluido assumiria, e sua lei de densidade.

Seus trabalhos sobre geodésica são em número de três, e foram apresentados à Academia em 1787 e 1788. O resultado mais importante é aquele pelo qual um triângulo esférico pode ser tratado como plano, desde que certas correções são aplicadas aos ângulos.

Os princípios fundamentais para as reduções de ângulos e de relacionamento entre triângulos planos e geodésicos são expressos pelo Teorema de Legendre.

Legendre morreu em Paris em 09 de janeiro de 1833, após uma longa e dolorosa doença. Sua esposa fez um culto a sua memória, cuidando de seus pertences. Após sua morte, em 1856, ela partiu da sua última casa no interior do país para a vila de Auteuil, onde o casal viveu e foi enterrado.

Para mais detalhes sobre a vida e obra de Legendre acesse o material disponível em Referências Bibliográficas.

[ Artigo em constante atualização ]

Veja a biografia de outros grandes matemáticos

Notas:

O Método dos Mínimos Quadrados, é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados [ tais diferenças são chamadas resíduos].

Um triângulo esférico é a união de três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes das dos Triângulos Planos e o seu conhecimento é essencial em navegação astronômica, mecânica de precisão e óptica. A parte da matemática que estuda as relações entre seus elementos é a trigonometria esférica.

Em breve mais atualizações, aguarde.

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REFERÊNCIAS:

http://en.wikipedia.org/wiki/Coll%C3%A8ge_des_Quatre-Nations

http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Todhunter

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tododosm%C3%ADnimosquadrados

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres

http://en.wikipedia.org/wiki/Firmin_Didot

http://ecalculo.if.usp.br/historia/legendre.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_esf%C3%A9rico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B4mios_de_Legendre

http://www.cartografica.ufpr.br/docs/metgeod/legendre.pdf

ALMEIDA, R.. Éléments de Géométrie, avec Notes. Par Adrien- Marie Legendre. – O que Afirma o Próprio Autor sobre Sua Obra?. Bolema: Mathematics Education Bulletin = Bolema: Boletim de Educação Matemática, América do Norte, 23, mai. 2010.

Disponível em:

http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/3760/3159.

Acesso em: 16 Set. 2011.

Silvia, Maria Aparecida Roseane Ramos. - Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e suas obras em teoria dos Números / Maria Aparecida Roseane Ramos Silva. – Natal,RN,2010.256f.

Disponível em:

http://bdtd.bczm.ufrn.br/tedesimplificado//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4000

Acesso em: 16 Set. 2011.

WW Rouse Ball. História da Matemática" (4 ª edição, 1908) . Transcrita por DR Wilkins (dwilkins@maths.tcd.ie) Escola de Matemática Trinity College, Dublin.

MathJax : Script Para Notação Matemática

noreply@blogger.com (caco) — Mon, 03 Oct 2011 18:13:00 +0000

Quem visita o blog “Matemática Na Veia” constantemente, já percebeu que tenho feito várias modificações no Template [visual da página], além disso, também venho modificando alguns scripts que estavam deixando a página principal muito pesada para carregar. A maior modificação que pode ser percebida foi o fato de deixar um bloco de resumos grande, e logo abaixo outros 10 pequenos resumos, que a meu ver melhoraram bastante a organização e o acesso aos artigos mais acessados. Porém além destas atualizações também foi adicionado um script que vai facilitar bastante a vida dos internautas que visitam este humilde blog de matemática à procura de ajuda para suas dúvidas.

Este script de que falo, é uma das ferramentas mais importantes para os Professores de Matemática que possuem blogs nas mais diversas plataformas. Eu já estava há aproximadamente dois anos procurando alguma ferramenta que auxiliasse na exibição de fórmulas matemáticas aqui no blog, mas depois de testar várias acabei desistindo. Quase que por coincidência achei no site SPIP o que procurava durante todo este tempo.

MathJax – Script Para Notação Matemática

O MathJax é uma alternativa poderosa que facilita a criação e desenvolvimento de fórmulas baseadas na linguagem HTML na forma de notação MathML ou LaTeX que são apresentadas nos mais diversos Browsers com o uso de JavaScript. O sistema atua independente de plataformas, além de se compatível com os navegores mais modernos de Internet , também pode ser usado nos dispositivos móveis.

O MathJax também é bem flexível; a ferramenta pode ser instalada diretamente do servidor do usuário, ou pode ser usada acessando o serviço através da Rede de Entrega de Conteúdo [ Content Delivery Network – CDN ]. Isso significa que o sistema pode ser integrado a plataformas como o Tumblr, Wordpress , Blogguer, . Os cálculos e desenho final da equação serão sempre realizados no lado do cliente, o que signfica que o MathJax pode ser usado para exibir fórmulas confidenciais.

A equação abaixo é representada no código fonte HTML como expressão LaTeX.

Equações de Lorenz - Clique com o botão direito em cima da imagem e depois em Show Source [ Mostrar Fonte ]

\begin{aligned} \dot{x} & = \sigma(y-x) \\ \dot{y} & = \rho x - y - xz \\ \dot{z} & = -\beta z + xy \end{aligned} Veja outros exemplos em Samples

Para Download da Versão atual acesse: MathJax [15.4 MB]

O projeto é fruto de uma parceria entre a American Mathematical Society, a Design Science Inc. e a Society for Industrial and Applied Mathematics.

Fica a dica para professores,Blogueiros e para todos os visitantes do blog. Isto é só o começo, em breve serão feitas algumas atualizações e melhorias neste script que facilitará as conversas nos comentários:

Faça o teste você também. Poste nos comentários o seguinte código: Clique sobre a imagem e em Show Source, depois cole nos cometários.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Espero um pouco e veja como fica bem melhor para entender a formula do que com caracteres normais.

Em breve mais atualizações, aguarde.

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