Matemática x Curiosidade

Matemática - Propriedades das Funções - Parte 2 - 2

2010-09-23T09:16:00.001-07:00

Matemática - Propriedades das Funções - Parte 1 - 2

2010-09-23T09:15:00.001-07:00

Matemática - Funções do 1º e 2º Graus - Parte 2 - 2

2010-09-23T09:13:00.001-07:00

Matemática - Funções do 1º e 2º Graus - Parte 1 - 2

2010-09-23T09:12:00.000-07:00

Exercícios de Divisibilidade

2010-09-23T08:54:00.000-07:00

Responda sim ou não:

a) 24 é múltiplo de 2?

Resposta:
Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par.

b) 52 é múltiplo de 4?

Resposta:
Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.

c) 50 é multiplo de 8?

Resposta:
Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro.


d) 1995 é múltiplo de 133?

Resposta:
Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro.

Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por que?

Resposta:
Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é multiplo de 4. Já o 72 pode ser.

Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9:

Resposta:
0, 9, 18, 27, 36.

Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12:

Resposta:
0, 24, 48, 72, 96.

Ache o MMC:

a) MMC (9, 18)

Resposta: 18.

b) MMC (20, 25)

Resposta: 100.

c) MMC (4,10)

Resposta: 20.

Complete a tabela:

DIVIDENDO	DIVISOR	QUOCIENTE	RESTO
124	4	31	0
161	5	?	?
31	7	?	?
2020	2	?	?

Resposta:

DIVIDENDO	DIVISOR	QUOCIENTE	RESTO
124	4	31	0
161	5	32	1
31	7	4	3
2020	2	1010	0

Exercícios de Ângulos (parte 2)

2010-09-23T08:45:00.000-07:00

c)

Resposta:

Sabemos que a figura tem 90°.

Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°

4x + 50° = 90°

4x = 40°

x = 40°/4

x = 10°

d)

Resposta:

Sabemos que os ângulos laranja+verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo.

Então, 138°+x = 180°

x = 180° - 138°

x = 42°

Logo, o ângulo x mede 42°.

Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:

Resposta:

Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.

Então, 6x + 4x + 2x = 180°

12x = 180°

x = 180°/12

x = 15°

Os ângulos são: 30°, 60° e 90°.

Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?

Resposta:

Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e portanto a soma deles vale 360º.

Adição e subtração de polinômios

2010-09-16T11:30:00.001-07:00

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:

Adição

Exemplo 1

Adicionar x² – 3x – 1 com –3x² + 8x – 6.

(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.

+(–3x²) = –3x²
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6

x² – 3x – 1 –3x² + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

x² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6

–2x² + 5x – 7

Portanto: (x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) = –2x² + 5x – 7

Exemplo 2

Adicionando 4x² – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:

(4x² – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

4x² – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.

4x² – 10x + 6x – 5 + 12

4x² – 4x + 7

Portanto: (4x² – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x² – 4x + 7

Subtração

Exemplo 3

Subtraindo –3x² + 10x – 6 de 5x² – 9x – 8.

(5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

– (–3x²) = +3x²
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6

5x² – 9x – 8 + 3x² –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.

5x² + 3x² – 9x –10x – 8 + 6

8x² – 19x – 2

Portanto: (5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) = 8x² – 19x – 2

Exemplo 4

Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5

0x³ – 6x² + x + 16

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16

Exemplo 5

Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:

a) A + B + C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45

b) A – B – C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

Exercícios Ensino Fundamental

2010-06-10T09:33:00.000-07:00

ÂngulosÂngulos (Parte 2) Divisibilidade

Exercícios de Ângulos

2010-06-10T09:28:00.000-07:00

As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos:

Resposta: 55º

Resposta: 74º

Resposta: 33º

As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?

Resposta:

Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b".

Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.

Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°

Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:

a)

Resposta:

160° - 3x = x + 100°

160° - 100° = x + 3x

60° = 4x

x = 60°/4

x = 15°

Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°

b)

Resposta:

6x + 15° + 2x + 5º = 180°

6x + 2x = 180° -15° - 5°

8x = 160°

x = 160°/8

x = 20°

Então, 6*20°+15° =135° e 2*20°+5° = 45°

Binômio de Newton

2010-06-01T11:36:00.000-07:00

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b²+ 4ab³ + b⁴

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .

Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Probabilidade

2010-05-25T08:42:00.000-07:00

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo
aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

B Ç A^cÇ C^c= {K3,K5,R2}

A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Tabela Trigonométrica

2010-05-08T12:15:00.000-07:00

Ângulo	sen	cos	tg
1	0,017452	0,999848	0,017455
2	0,034899	0,999391	0,034921
3	0,052336	0,99863	0,052408
4	0,069756	0,997564	0,069927
5	0,087156	0,996195	0,087489
6	0,104528	0,994522	0,105104
7	0,121869	0,992546	0,122785
8	0,139173	0,990268	0,140541
9	0,156434	0,987688	0,158384
10	0,173648	0,984808	0,176327
11	0,190809	0,981627	0,19438
12	0,207912	0,978148	0,212557
13	0,224951	0,97437	0,230868
14	0,241922	0,970296	0,249328
15	0,258819	0,965926	0,267949
16	0,275637	0,961262	0,286745
17	0,292372	0,956305	0,305731
18	0,309017	0,951057	0,32492
19	0,325568	0,945519	0,344328
20	0,34202	0,939693	0,36397
21	0,358368	0,93358	0,383864
22	0,374607	0,927184	0,404026
23	0,390731	0,920505	0,424475
24	0,406737	0,913545	0,445229
25	0,422618	0,906308	0,466308
26	0,438371	0,898794	0,487733
27	0,45399	0,891007	0,509525
28	0,469472	0,882948	0,531709
29	0,48481	0,87462	0,554309
30	0,5	0,866025	0,57735
31	0,515038	0,857167	0,600861
32	0,529919	0,848048	0,624869
33	0,544639	0,838671	0,649408
34	0,559193	0,829038	0,674509
35	0,573576	0,819152	0,700208
36	0,587785	0,809017	0,726543
37	0,601815	0,798636	0,753554
38	0,615661	0,788011	0,781286
39	0,62932	0,777146	0,809784
40	0,642788	0,766044	0,8391
41	0,656059	0,75471	0,869287
42	0,669131	0,743145	0,900404
43	0,681998	0,731354	0,932515
44	0,694658	0,71934	0,965689
45	0,707107	0,707107	1
46	0,71934	0,694658	1,03553
47	0,731354	0,681998	1,072369
48	0,743145	0,669131	1,110613
49	0,75471	0,656059	1,150368
50	0,766044	0,642788	1,191754
51	0,777146	0,62932	1,234897
52	0,788011	0,615661	1,279942
53	0,798636	0,601815	1,327045
54	0,809017	0,587785	1,376382
55	0,819152	0,573576	1,428148
56	0,829038	0,559193	1,482561
57	0,838671	0,544639	1,539865
58	0,848048	0,529919	1,600335
59	0,857167	0,515038	1,664279
60	0,866025	0,5	1,732051
61	0,87462	0,48481	1,804048
62	0,882948	0,469472	1,880726
63	0,891007	0,45399	1,962611
64	0,898794	0,438371	2,050304
65	0,906308	0,422618	2,144507
66	0,913545	0,406737	2,246037
67	0,920505	0,390731	2,355852
68	0,927184	0,374607	2,475087
69	0,93358	0,358368	2,605089
70	0,939693	0,34202	2,747477
71	0,945519	0,325568	2,904211
72	0,951057	0,309017	3,077684
73	0,956305	0,292372	3,270853
74	0,961262	0,275637	3,487414
75	0,965926	0,258819	3,732051
76	0,970296	0,241922	4,010781
77	0,97437	0,224951	4,331476
78	0,978148	0,207912	4,70463
79	0,981627	0,190809	5,144554
80	0,984808	0,173648	5,671282
81	0,987688	0,156434	6,313752
82	0,990268	0,139173	7,11537
83	0,992546	0,121869	8,144346
84	0,994522	0,104528	9,514364
85	0,996195	0,087156	11,43005
86	0,997564	0,069756	14,30067
87	0,99863	0,052336	19,08114
88	0,999391	0,034899	28,63625
89	0,999848	0,017452	57,28996
90	1	0	-

Ensino Médio

2010-05-08T09:51:00.000-07:00

Tabela Trigonométrica
Teoria dos ConjuntosProbabilidade
Binônio de Newton

Teoria dos Conjuntos

2010-05-08T09:47:00.000-07:00

Símbolos

: pertence	: existe
: não pertence	: não existe
: está contido	: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido	: conjunto vazio
: contém	N: conjunto dos números naturais
: não contém	Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que	Q: conjunto dos números racionais
: implica que	Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se	R: conjunto dos números reais

Mínimo Múltiplo Comum

2010-05-08T09:36:00.000-07:00

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado demínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 2² x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2² x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Máximo Divisor Comum

2010-05-08T09:04:00.000-07:00

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comumdesses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2² x 3²
90 = 2 x 3² x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.

Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3
18 = 2 x 3²
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.

Determinação dos divisores de um número

2010-05-08T09:00:00.000-07:00

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Decomposição em fatores primos

2010-05-08T08:11:00.000-07:00

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2³ x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 3² x 5 x 7.

Números Primos

2010-05-08T07:55:00.001-07:00

Números Primos

2010-05-08T07:50:00.000-07:00

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Divisibilidade

2010-05-08T07:47:00.000-07:00

Números primos
Critérios de DivisibilidadeDecomposição em fatores primosDeterminação dos divisores de um númeroMaximo divisor comum (M.D.C)Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Adição e subtração de polinômios

Critérios de Divisibilidade

2010-05-08T07:44:00.001-07:00

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Potenciação e radiciação de números fracionários

2010-05-08T07:38:00.000-07:00

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Multiplicação e divisão de números fracionários

2010-05-06T13:06:00.000-07:00

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Adição e subtração de números fracionários

2010-05-06T12:24:00.000-07:00

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8

(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Matemática x Curiosidade

Matemática - Propriedades das Funções - Parte 2 - 2

Matemática - Propriedades das Funções - Parte 1 - 2

Matemática - Funções do 1º e 2º Graus - Parte 2 - 2

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Exercícios de Divisibilidade

Exercícios de Ângulos (parte 2)

Adição e subtração de polinômios

Exercícios Ensino Fundamental

Exercícios de Ângulos

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Tabela Trigonométrica

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Teoria dos Conjuntos

Mínimo Múltiplo Comum

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Números Primos

Números Primos

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