Matemáticas PSU

Problema 36

2011-07-12T01:02:00.000-04:00

Si el perímetro del rectángulo ABCD es $$8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$, entonces ¿Cuánto es DC?

a) a+2b

b) 2a+b

c) 4a+6b

d) 4a+2b

e) 6a+5b

SOLUCIÓN:

El perímetro de una figura es la suma de la medida de los lados. En la figura, el perímetro será:

$$ P = \overline{AB}+ \overline{BC}+ \overline{CD}+ \overline{DA} $$

Por ser la figura un rectángulo, se tiene que $$\overline{AB}= \overline {CD}$$ y $$\overline{BC}+\overline{DA}$$. Entonces:

$$ P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DA} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AB} + \overline{BC} = $$

$$=2\overline{AB} + 2\overline{BC} $$

Como $$P=8a+8b$$ y $$BC=2a+3b$$ se sigue:

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+2(2a+3b)$$

$$ 8a+8b = 2\overline{AB}+4a+6b$$

$$ 8a+8b -4a-6b= 2\overline{AB}$$

$$ 2\overline{AB}= 4a+2b$$

$$ 2\overline{AB}= 2(2a+b)$$

$$ \overline{AB}= 2a+b$$

Entonces:

$$ \overline{AB}= \overline{CD} = 2a+b$$

Problema 35

2011-07-12T00:37:00.001-04:00

$$\left( 1-0,\bar 6 \right)^2=$$

a) $$\frac{16}{81}$$

b) $$0,\overline{04}$$

c) $$0,\bar 1$$

d) $$0,\bar 2$$

e) $$0, \bar 4$$

SOLUCIÓN:

Escribiendo el número decimal como fracción:

$$0,\bar 6 = \frac{6-0}{9} = \frac{2}{3}$$

Entonces:

$$\left( 1-\frac{2}{3} \right)^2=\left( \frac{3-2}{3} \right)^2 = $$

$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 0,\bar 1$$

Problema 34

2011-07-12T00:29:00.000-04:00

Sea $$2^3-2 =1\cdot 2\cdot 3$$; $$3^3-3 =2\cdot 3\cdot 4$$; $$4^3-4 =3\cdot 4\cdot 5$$.
Entonces, $$20^3-20 =$$

a) $$20\cdot 21\cdot 22$$

b) $$19\cdot 20\cdot 21$$

c) $$18\cdot 19\cdot 20$$

d) $$21\cdot 22\cdot 23$$

e) $$22\cdot 23\cdot 24$$

SOLUCIÓN:

La recursión se puede escribir como:

$$R(n) = n^3-n =(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$$

Por lo tanto:

$$R(20) = 20^3-20 =(20-1)\cdot 20\cdot (20+1) = 19\cdot 20\cdot 21$$

Problema 33

2011-07-12T00:10:00.001-04:00

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot 10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

a) $$18\cdot 10^9$$

b) $$1,8\cdot 10^4$$

c) $$18\cdot 10^4 $$

d) $$6,066\cdot 10^7 $$

e) $$6,66\cdot 10^{12} $$

SOLUCIÓN:

$$0,6\cdot 10^4+6\cdot10^3+0,06\cdot 10^5 = $$

$$=\frac{6}{10}\cdot 10\cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 10^2\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+\frac{6}{100}\cdot 100\cdot 10^3=$$

$$=6 \cdot 10^3+6\cdot10^3+6\cdot 10^3=$$

$$=18\cdot 10^3 = 18\cdot 10^{-1}\cdot 10^4 = $$

$$=18\cdot \frac{1}{10}\cdot 10^4= \frac{18}{10}\cdot 10^4 = 1,8\cdot 10^4$$

Problema 32

2011-07-11T23:52:00.000-04:00

Si han trascurrido $$\frac{2}{5}$$ de los $$\frac{3}{4}$$ del dia, ¿Qué hora es?

a) 7 hr 12 min

b) 7 hr 20 min

c) 7 hr 2 min

d) 7 hr

e) 7 hr 24 min

SOLUCIÓN:

Un día tiene 24 horas. Para calcular los tres cuartos de un día se tiene que multiplicar $$\frac{3}{4}$$ por 24:

$$\frac{3}{4}\cdot 24 = 3\cdot 6 = 18$$

Ahora, han trascurrido dos quintos de 18 horas. Se multiplica $$\frac{2}{5}$$ por 18:

$$\frac{2}{5}\cdot 18 = \frac{36}{5} = 7,2 $$

Entonces, han transcurrido 7,2 horas. Es decir, 7 horas, y 0,2 partes de una hora. Si 1 hora es el 100%, entonces calculamos el porcentaje que le corresponde a 0,2:

$$\frac{1}{100}=\frac{0,2}{x}$$

$$x = 0,2\cdot 100$$

$$x = 20$$

Es decir, ha trascurrido un 20% de una hora. Si una hora son 60 minutos, entonces ¿a cuántos minutos le corresponden el 20% de una hora?

$$\frac{60}{100}=\frac{x}{20}$$

$$60\cdot 20 = 100\cdot x$$

$$x= \frac{1200}{100} = 12$$

Es decir, 0,2 partes de una hora corresponden a 12 minutos. Por lo tanto, han trascurrido 7 horas y 12 minutos del día.

Problema 31

2011-07-10T22:22:00.000-04:00

En la figura, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 2 cm y 8 cm ¿Cuál es la medida de GB?

a) 12 cm

b) 10 cm

c) 8 cm

d) 6 cm

e) 5 cm

SOLUCIÓN:

El área de un rectángulo es:

$$A=l\cdot a$$

donde $$l$$ es su largo y $$a$$ es su ancho. En el rectángulo ABCD el largo vale 8cm y el ancho 2cm. Por lo tanto su área será:

$$A=l\cdot a = 8 \cdot 2 = 16\ \text{cm}^2$$

El área de un cuadrado es:

$$A=x^2$$

donde $$x$$ es su lado. El área del rectángulo ABCD es igual al área del cuadrado DEFG. Entonces:

$$A=x^2=16\ \text{cm}^2$$

$$x=\sqrt{16\ \text{cm}^2}$$

$$x=4\ \text{cm}$$

EL lado AG = AD+DG, entonces:

$$\text{AG} = 2+4 = 6 \ \text{cm}$$

Se tiene un cuadrado rectángulo de catetos AG = 6cm y AB = 8cm, la hipotenuza es BG. Por el Teorema de Pitágoras:

$$\text{BG}^2 = \text{AG}^2+\text{AB}^2$$

$$\text{BG}^2 = 6^2+8^2$$

$$\text{BG}^2 = 36+64$$

$$\text{BG}^2 = 100$$

$$\text{BG} = \sqrt {100}$$

$$\text{BG} = 10$$

Problema 30

2011-07-10T21:57:00.000-04:00

En la figura, el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y EBCF es un cuadrado de área 9. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?

a) 10

b) 15

c) 18

d) 24

e) 36

SOLUCIÓN:

Si el lado de un cuadrado mide $$x$$, entonces el área del cuadrado mide $$A=x^2$$.
Entonces, digamos que el lado del cuadrado EBCF vale $$x$$. Entonces para ese cuadrado se tiene la relación:

$$A=x^2=9$$

$$x=\sqrt9$$

$$x=3$$

y por lo tanto, como el lado del cuadrado coincide con el ancho del rectángulo ABCD, entonces el ancho de tal rectángulo mide 3.

El perímetro de un rectángulo es:

$$P=2a+2l$$

donde $$a$$ corresponde al ancho del rectángulo y $$l$$ al largo del rectángulo. Se sabe que el perímetro del rectángulo ABCD es 22, y como su ancho es 3, se sigue por la ecuación de su perímetro:

$$P=2\cdot 3+2 l = 22$$

$$6+2l=22$$

$$2l=22-6$$

$$2l=16$$

$$l=\frac{16}{2}$$

$$l=8$$

El segmento AE = AB-EB, entonces:

$$AE= 8-3 = 5$$

El área de un rectángulo es:

$$A = a\cdot l$$

donde $$a$$ es el ancho y $$l$$ el largo. Así, el área del rectángulo AEFD es:

$$A = a\cdot l = 3\cdot 5 = 15$$

Problema 29

2011-07-10T17:09:00.003-04:00

Si $$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$ , entonces $$a^{-1} =$$

a) 4

b) $$\frac{5}{2}$$

c) $$\frac{3}{5}$$

d) $$-\frac{5}{3}$$

e) $$\frac{5}{3}$$

SOLUCIÓN:

$$a= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+1:\frac{3}{2} = 1+1\cdot \frac{2}{3} =$$

$$=1+\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$$

Por lo tanto

$$a=\frac{5}{3}$$

Ahora, por las propiedades de potencias:

$$a^{1} = \frac{1}{a^{-1}} $$

Entonces:

$$a^{-1}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{1}=\frac{3}{5}$$

Problema 28

2011-07-10T17:00:00.000-04:00

$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16}$$

a) $$10^{-5}$$

b) $$10^{-4}$$

c) 0,001

d) $$10^{-1}$$

e) 0,0016

SOLUCIÓN:

Escribimos los números decimales como fracción:

$$0,16 = \frac{16}{100}$$

Conviene no simplificar la expresión. Ahora, como $$10^2=100$$ entonces:

$$\frac{16}{100}=\frac{16}{10^2}$$

Se sigue entonces:

$$\frac{16\cdot 10^{-3}}{0,16} = \frac{16 \cdot 10^{-3}}{\frac{16}{10^2}}=16 \cdot 10^{-3} : \frac{16}{10^2}=16 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^2}{16} = $$

$$10^{-3+2}=10^{-1}$$

Problema 27

2011-07-10T16:43:00.000-04:00

$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=$$

a) 0,2

b) 0,7

c) 2

d) 7

e) 20

SOLUCIÓN:

Escribiendo los números decimales como fracciones:

$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

$$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Entonces:

$$\frac{0,2+4}{1-0,4}=\frac{\frac{1}{5}+4}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1+20}{5}}{\frac{5-2}{5}}=\frac{\frac{21}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{21}{5}:\frac{3}{5}=\frac{21}{5}\cdot \frac{5}{3}= 7$$

Propiedades de las potencias

2011-07-10T00:54:00.000-04:00

A continuación se expone una lista con las propiedades de las potencias. No olvidar que las ecuaciones se miran tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.

PROPIEDAD 1

Cualquier número elevado a cero es 1.

$$a^0 = 1$$

Ejemplos:

a) $$3^0 = 1$$

b) $$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^0 = 1$$

c) $$\left( \int e^xdx \right)^0 =1$$

PROPIEDAD 2
Si dos números con igual base y distinto exponente se multiplican (no vale para la suma) entonces se mantiene la base y se suman los exponentes.

$$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$$

Ejemplos:

a) $$2^4\cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$

b) $$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+-4} = 5^{-1}$$

c) $$ 3^{1998}\cdot 3^{2000} = 3^{1998+200} = 3^{3998}$$

PROPIEDAD 3
Si dos números con igual base y distinto exponente se dividen entonces se mantiene la base y se restan los exponentes.

$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

Ejemplos:

a) $$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1=2$$

b) $$\frac{5^3}{5^{-4}} = 5^{3--4} = 5^{3+4}= 5^7$$

c) $$\frac{ 3^{1998}}{ 3^{2000}} = 3^{1998-200} = 3^{-2}$$

PROPIEDAD 4
Un conjunto de números multiplicados entre sí elevados a una potencia es igual a cada número elevado a la potencia multiplicándose entre si:

$$\left(a\cdot b \cdot c) ^{x} = a^{x}\cdot b^{x}\cdot c^{x} $$

Ejemplos:

a) $$\left(4 \cdot 3\right)^2 = 4^2\cdot 3^2$$

b) $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\right)^5 =1^5\cdot2^5\cdot 3^5\cdot 4^5 \cdot 5^5 $$

c) $$\left(5xy \sqrt 3\right)^{2} = 5^2x^2y^2\left(\sqrt 3\right)^2= 25x^2y^2\cdot3 =75x^2y^2$$

PROPIEDAD 5
Un número elevado a un número negativo es igual al inverso multiplicativo del número elevado al mismo número pero positivo.

$$a^{-x} = \left(\frac{1}{a} \right)^{x} $$

o también

$$\left( \frac{a}{b}\right) ^{-x} = \left(\frac{b}{a} \right)^{x} $$

Ejemplos:

a) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2=16$$

b) $$7^{-5} = \left( \frac{1}{7}\right)^{5} = \frac{1}{7^5}$$

c) $$\left(\frac{7}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{4}\right)^3$$

PROPIEDAD 6
Un número elevado a una potencia y elevado a otra potencia es igual al número elevado a la multiplicación de las potencias:

$$\left(a^{x}\right)^{y} = a^{x\cdot y} $$

Ejemplos:

a) $$\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 $$

b) $$\left(x^{250}\right)^{2} = x^{250\cdot 2} = x^{500} $$

c) $$\left( \left( 80^{3} \right)^4 \right)^5 = 80^{3\cdot 4\cdot 5} = 80^{60}$$

Problema 26

2011-07-10T00:09:00.000-04:00

$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=$$

a) 2

b) 4

c) $$2\cdot 10^{-10}$$

d) $$4\cdot 10^{-20}$$

e) $$4\cdot 10^{-10}$$

SOLUCIÓN:

Trasformando los decimales a fracción:

$$0,036=\frac{36}{1000} = \frac{9}{250}$$

$$0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

$$0,0036=\frac{36}{10000} = \frac{9}{2500}$$

$$0,04=\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$

Entonces:

$$\left( \frac{0,036}{0,2} \right)^2\cdot \left(\frac{0,0036}{0,04}\right)^{-2}=\left( \frac{\frac{9}{250}}{\frac{1}{5}} \right)^2\cdot \left(\frac{\frac{9}{2500}}{\frac{1}{25}}\right)^{-2}=$$

$$=\left( \frac{9}{250}:\frac{1}{5} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}: \frac{1}{25}\right)^{-2}=$$

$$=\left( \frac{9}{250}\cdot \frac{5}{1} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{2500}\cdot \frac{25}{1}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2} $$

Recordando la propiedad de las potencias:

$$\left( \frac{a}{b}\right)^{-c} = \left( \frac{b}{a}\right)^{c}$$

y la propiedad de las potencias:

$$\left( a^c\cdot b^c \right) = \left( a\cdot b \right)^c$$

entonces se sigue:

$$\left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{9}{100}\right)^{-2}= \left( \frac{9}{50} \right)^2\cdot \left(\frac{100}{9}\right)^2 = \left( \frac{9}{50} \cdot \frac{100}{9}\right)^2= $$

$$\left( 2 \right)^2 = 4 $$

Recordando la proi

Problema 25

2011-07-09T23:35:00.001-04:00

$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,0\bar 9}=$$

a) 18

b) 36

c) 0,36

d) $$\left( \frac{18}{10} \right)$$

e) 1,8

SOLUCIÓN:

Trasformamos los decimales a fracción:

$$1,8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$$

$$1,\bar 9 = \frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2$$

$$0,\bar 9 = \frac{9-0}{9}=1$$

$$0,0\bar 9 = \frac{9-0}{90}=\frac{1}{10}$$

Entonces, se sigue:

$$1,8\cdot \frac{1,\bar 9 \cdot 0,\bar 9}{0,00\bar 9}=\frac{9}{5}\cdot \frac{2\cdot1}{\frac{1}{10}}=\frac{9}{5}\cdot \left( 2 : \frac{1}{10} \right) = \frac{9}{5}\cdot \left( 2 \cdot 10 \right) = $$

$$=\frac{9}{5} \cdot 20 = 9\cdot 4 = 36$$

Retomando el blog

2011-07-09T23:15:00.000-04:00

Estoy retomando las andanzas del blog. La verdad abri este portal para que la gente aprendiera matemáticas, no se estresara tanto para la PSU y además pa ganar un poco de plata con los anuncios. Bueno, seguiré, si necesitan responder algún ejercicio en particular, maándenlo y lo resuelvo.

Problema 24

2010-07-21T13:48:00.005-04:00

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación ?

I) Son iguales.

II) Tienen igual signo.

III) Una es el doble de la otra.

a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d) Sólo II y III
e) Ninguna de ellas.

Solución:

Desarrollando la ecuación:

Recordando el binomio con un término común:

en nuestra ecuación notamos que y . En efecto:

Entonces, resolviendo la ecuación:

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son y .

Las raíces no son iguales, por lo tanto, I es falsa.
Las raíces tienen igual signo, por lo tanto, II es verdadera.
Note que , por lo tanto, una es el doble de la otra, y por lo tanto III es verdadera.

La solución corresponde a la alternativa d).

Problema 23

2010-07-20T03:50:00.003-04:00

Con un cordel de largo se forma un cuadrado, ¿cuánto mide el área del cuadrado?

a)

b)

c)

d)

e)

Solución:

Un cuadrado tiene 4 lados, por lo tanto, el cortel de largo se debe cortar en cuatro partes. Entonces, cada lado del cuadrado medirá .

Un esquema que ayuda a comprender el problema se muestra a continuación:

En efecto:

El área de un cuadrado es su lado al cuadrado. El área de este cuadrado en particular será:

La solución es la aternativa e).

Problema 22

2010-07-20T03:25:00.001-04:00

En la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera (s)?

I) La pendiente de la recta es igual a 5.

II) El punto (1,15) pertenece a la recta.

II) La ecuación de la recta es

a) Sólo I
b) Solo II
c) Sólo II
d) Sólo I y I
e) Sólo I y II

Solución:

Basta conocer dos puntos que pasen por la recta para encontrar su ecuación.

Sean y dos puntos que pasan por una recta . Entonces su ecuación se encuentra a través de la expresión:

donde

En el ejercicio, escogiendo y se sigue:

entonces

La pendiente de la recta es 5, por lo tanto, el ítem I es verdadero.

Reemplazamos la coordenada del punto (1,15) en la ecuación de la recta obtenida:

lo cual nos arroja su coordenada , y por lo tanto, el punto pertenece a la recta, y entonces el ítem II es verdadero.

La ecuación de la recta

y por lo tanto, el ítem II es falso.

I y II son verdaderas, la alternativa correcta es la e).

Problema 21

2010-07-20T03:06:00.007-04:00

El número de microbios que hay en una herida infectada se triplica casa 15 minutos. Si al producirse la herida había 100 microbios, ¿Cuántos habrá al cabo de una hora?

a) 1.200
b) 5.400
c) 8.100
d) 12.100
e) 18.000

Solución:

Sea la variable que mide el tiempo, donde 1 unidad corresponde a 15 minutos. Es decir quiere decir minutos, quiere decir minutos, es minutos y etc.

Los microbios se triplican cada una unidad de tiempo (15 minutos).

Un esquema que ayuda a comprender la evolción de la multiplicación de los microbios es el siguiente:

Note que inicialmente hay 1 microbio, luego 3, luego 9, luego 27 y etc. Así, una ecuación que cuenta la cantidad de microbios por unidad de medida sería la siguiente:

donde es la cantidad inicial de microbios. Note que para , la ecuación cumple con la condición inicial de microbios:

Al cabo de una hora, habrán trascurrido unidades de tiempo. Entonces el número de bacterias será:

La solución corresponde a la alternativa c).

Problema 20

2010-07-19T13:55:00.002-04:00

Si , entonces :

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Solución:

Veamos que:

Entonces:

La propiedad de las potencias:

nos ayuda para continuar.

La solución corresponde a la alternativa e).

Problema 19

2010-07-19T03:20:00.005-04:00

Las edades de tres personas están en la razón . Si la suma de las tres edades es 180 años, ¿Qué edad tiene el mayor?

a) 15 años
b) 45 años
c) 60 años
d) 75 años
e) 85 años

Solución:

Sea la constante de proporcionalidad. Entonces se cumple que:

Entonces, la edad de los hermanos será:

La edad de primer hermano es ,

la edad del segundo hermano es

y la edad del tercer hermano es

La edad del hermano mayor es años.

La solución corresponde a la alternativa d).

Problema 18

2010-07-19T03:01:00.003-04:00

a) -4,7
b) -0,2
c) -0,47
d) -0,7
e) 4,7

Solución:

En mi opinión es más sencillo operar trasformando todo a fracciones. Puesto que:

entonces:

La respuesta es la alternativa a).

Problema 17

2010-07-19T02:26:00.003-04:00

Si cumple con que , entonces

a) -2
b) 0
c) 6
d) 16
e) 20

Solución:

Se puede llegar a la expresión pedida encontrando el valor de , o bien, desarrollando la ecuación hasta reproducir la expresión pedida.
A través de la segunda formulación:

La solución es la alternativa d).

Problema 16

2010-07-18T17:04:00.004-04:00

Un curso universitario tiene 50 alumnos y al comenzar se retiran 2, ¿Qué porcentaje del curso continúa en él?

a) 90%
b) 92%
c) 94%
d) 95%
e) 96%

Solución:

Para resolver este problema se pueden utilizar las proporcionalidades. Llamemeos a al porcentaje de alumnos que se retiran, entonces:

es decir, el porcentaje de alumnos que se retira dividido el 100% está en proporción con el número real de alumnos que se retiran dividido con el total real. Se sigue en la ecuación:

Es decir, un 4% de los alumnos se retira del curso. El porcentaje restante de alumnos que se queda será:

La alternativa correcta es la e).

Problema 15

2010-07-18T16:46:00.002-04:00

Si , y , entonces, ¿cuál es el valor de ?

a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

Solución:

La proporcionalidades se pueden reescribir de la forma:

Convendría despejar en ambas la letra por ser común en ambas:

Igualando los resultados obtenidos:

Como , entonces se sigue:

La solución es la alternativa c).

Problema 14

2010-07-18T16:33:00.002-04:00

La expresión que corresponde al enunciado: "al doble de le faltan tres unidades para el doble del cuadrado de ", se expresa mediante la ecuación:

a)
b)
c)
d)
e)

Solución:

Este es un ejercicio sencillo. Se trata de traducir lo que se nos dice en palabras. Vamos traduciendo:

Al doble de ...

se escriba sencillamente .

Sigue:

...le faltan tres unidades para el doble del cuadrado de

es decir, si le agrego (le sumo) a tres unidades, entonces, encuentro un número:

Ese número es el doble del cuadrado de , es decir, .

Finalmente:

Si hubiera dicho "el cuadrado del doble de q", entonces sería:

lo cual no va al caso.

La solución es la alternativa c).