MaThEmAnIaCoS

SISTEMA DE EQUAÇÃO COM DUAS INCÓGNITAS

2014-11-24T01:41:00.000-03:00

Por: Anderson Silva.

Representem em um mesmo plano cartesiano as soluções de cada um as equações, sabendo que x e y são números reais.

1- Qual o par ordenado é solução das duas equações (as coordenadas onde as retas se tocam)?

Se observarmos a imagem elas estão marcadas pelo ponto A= (4,1). Ou seja, o par ordenado (4,1) é solução das duas equações ao mesmo tempo.

Podemos chegar a solução de um sistema de equação de diversas maneiras e métodos.

· Graficamente: Construído em um plano cartesiano com as duas equações ao mesmo tempo ( como mostra a figura no inicio da postagem);

· Método da adição

· Método da substituição

· Método da comparação e etc...

MÉTODO DA ADIÇÃO.

Resolva o sistema:

1° Passo: Some as equações:

2° Passo: Escolha umas das equações do sistema e substituía o valor de x por 4 (x=4) para encontrar o valor y.

x + y =5

(4)+ y = 5

y= 5-4

y =1

3° Passo: Escreva a solução do sistema.

S= {4,1}

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Resolva o sistema:

1° passo: Escolha a equação mais simples para isolar uma das variáveis, seja x ou y. Neste caso, vamos escolher x na segunda equação.

x –y = 3

x= 3 + y

2° Passo: Substitua x na primeira equação por (3 + y), para encontrar o valor de y

3º Passo: Depois de encontrado o valor de y, substitua na equação x= 3 + y, para encontrar o valor de x.

x= 3 + y

x = 3 + (1)

x= 4

4° Passo: Escreva a solução do sistema.

S= {4,1}

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Resolva o sistema:

1° Passo: Neste modelo de resolução teremos que isolar umas das incógnitas (x ou y) nas duas equações. Observe:

Isolando x na 1ª equação:

x+ y = 5

x= 5 – y

Isolando x na 2ª equação:

x – y =3

x= 3 +y

2° Passo: Após, isolada a incógnita x nas duas equações, realizaremos a comparação.

3° Passo: Agora, iremos escolher umas das equações e substituir o valor de y = 1, para encontrar x.

x= 5 – y

x = 5 – 1

x = 4

4° Passo: Escreva a solução do sistema.

S= {4,1}

Lembrete: Observamos que independente do método de resolução, a solução obtida é sempre a mesma. Neste caso, escolha o caminho mais simples ou método em que você encontrou mais facilidade na interpretação.

Logo, logo estaremos fazendo mais postagens a respeito deste conteúdo.

Bons estudos!!!

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:

Calculo digital, SISTEMA DE EQUAÇÕES Acessado no dia 24/11/2014.

Marcos Noé Pedro da Silva, Sistemas de Equações: Método da Comparação. Acessado no dia 25/11/2014.

RADICIAÇÃO

2014-04-22T00:04:00.000-03:00

Por: Anderson da Silva.

Qual é o número positivo que elevado ao quadrado é igual 25? Basta pensar um pouco para descobrir que esse número é 5.

5²= 5 · 5 = 25

O número 5 é então chamado raiz quadrada de 25, e essa operação, chamada de radiciação, é representada assim:

A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B² = A.

Vejamos, agora, como representar a raiz quadrada exata de outros números. Utilizaremos o processo de fatoração para encontrar as raízes dos números dados.

Observe os exemplos.

Qual a raiz quadrada de 81?

Por definição temos:

Onde:

N = índice

a = radicando

√ = radical

b = raiz

Observações:

Se o índice é igual a dois não é necessário representá-lo.

Se o índice for maior ou igual a 3, este valor deve aparecer na raiz.

Raiz de um radicando com índice par

Observe a seguinte definição de radiciação:

Desse modo temos:

Agora observe quando o radicando é um número negativo.

Vamos tomar como exemplo a raiz de -25.

Qual número que elevado ao quadrado é igual a -25?

Não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo.

Quando o expoente for um número par:

Exemplo:

Obs: Quando o expoente for um número par, o resultado será positivo.

Não existe a raiz de um radicando negativo de índice par (essa afirmação se aplica nos números Reais).

Raiz de um radicando com índice ímpar

Quando o expoente for um número impar:

Exemplo:

Obs: Quando o expoente for um número impar, o resultado será negativo.

Sendo assim:

Existe a raiz de um radicando negativo de índice impar.

PROPRIEDADES

1. Radicando com expoente igual ao índice.

Exemplo:

2. Divisão do radicando e o índice por um mesmo número real.

Exemplo:

3. Produto de raiz enésima.

Exemplo:

4. Quociente de raiz enésima.

Exemplo:

5. Raiz m-ésima de uma raiz n-ésima.

Exemplos:

REFERÊNCIAS

BRASILESCOLA, Radiciação. Disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/radiciacao.htm Acessado no dia 20 de abril de 2014.
INFOESCOLA, Radiciação. Disponível em http://www.infoescola.com/matematica/radiciacao/ Acessado no dia 20 de abril de 2014.
MATEMÁTICA DIDÁTICA, Radiciação. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx Acessado no dia 20 de abril de 2014.

FICAREMOS UM TEMPO SEM POSTAR CONTEÚDO, POIS ESTAMOS ESCREVENDO NOSSO TCC..

2012-10-31T19:27:00.000-03:00

Boa noite!!!!

Bom amigos, estamos sem postar conteúdo a algum tempo pelo fato de estarmos escrevendo nosso TCC. Agradecemos desde já, sua compreensão...
Em breve voltaremos com mais conteúdo e tudo aquilo que você espera de nosso blog...

ats.... MaThEmAnIaCoS

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2012-10-17T16:22:00.000-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Os Números Inteiros estão presentes em nossa vida na medição de temperatura acima ou abaixo de 0 ºC.

Ao situar fusos horários de países.

Identificar saldos bancários com crédito ou débito.

Contagem de gols dos times de futebol em um campeonato, entre outros.

- Apanhado histórico da origem dos sinais: Números Positivos e Negativos.

A origem e a formulação do conceito de Número ocorreu com o próprio desenvolvimento da Matemática. A partir das necessidades diárias do homem, o conceito de Número Natural surgiu naturalmente através da contagem de objetos. Assim, este conceito foi introduzido pelas nações, em conjunto com o desenvolvimento de suas formas próprias de escrita, criando o sistema de contagem.

Os números negativos apareceram pela primeira vez, no decorrer da história da Matemática, na China Antiga, aproximadamente há 4000 anos. Os chineses realizavam cálculos através de duas coleções de barras, sendo a vermelha para números positivos e a preta para números negativos. Já os matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo de resolução para equações quadráticas.

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma: Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}

- NÚMEROS INTEIROS.

O conjunto dos números inteiros e composto pelo conjunto dos números naturais, que receberá o nome de conjuntos dos números inteiros positivos.

Dizemos que os números naturais correspondem aos números inteiros positivos, com o zero.

E os números inteiros negativos.

Podemos representar os números inteiros de diferentes formas.

A representação abaixo é uma representação dos números inteiros em forma de conjunto.

# Note que os números naturais esta contido dentro do conjunto dos números inteiros.

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

- A RETA NUMÉRICA.

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

- MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO.

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max {-x,x}

Exemplos: (a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

- NÚMEROS INTEIROS OPOSTO OU SIMÉTRICOS.

Dois números são opostos quando têm o mesmo módulo e sinais opostos, isto é, estão à mesma distância em relação à origem e em sentidos contrários.

|-6|= 6 Os números -6 e +6 são opostos ou simétricos.

|+6|= 6

|+2|= 2 Os números +2 e -2 também são opostos ou simétricos.

É o sinal menos que simboliza o oposto. O oposto de -2, que é +2, pode então ser escrito –(–2). Lê-se “o oposto de -2.

- COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS.

Por meio da reta numérica também é possível comparar números inteiros. Para isso usamos os sinais > e <. Ao comparar dois números inteiros representados na reta numérica, o maior é o que estiver mais à direita.

Conta a história que o matemático Thomas Harriot criou os símbolos > e <. Eles são usados para substituir as palavras maior que ( > ) e menor que ( < ).

+6 é menor que +12
Por símbolos representamos assim: 6 < 12

-1 é maior que -5
Por símbolos representamos assim: -1 > -5

Observações:

* Qualquer número positivo é sempre maior que qualquer número negativo.
* Na comparação de dois números positivos, o maior deles é o que está mais distantes em relação a origem zero.
* Ao comparar dois números negativos, o maior deles é aquele mais próximo em relação à origem zero.

+5 está à direita do +3. Logo, +5 > +3

-4 está à direita do -5. Logo, -4 > -5

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Guilherme Mendes, Números opostos. Disponível em http://www.professorguilherme.net/aprenda_mat/fundamental/7ano/valor%20absoluto%20ou%20modulo%20%20oposto%20%20simetricos%20%20comparacao.htm. Acessado no dia 17 de outubro de 2012.

MARCOS NOÉ, O Surgimento dos Números Inteiros. Disponível em http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm. Acessado no dia 15 de outubro de 2012.

Patrícia E. Silva e Ulysses Sodré, Ensino Fundamental: Números Inteiros. Disponível em http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/inteiros/inteiros.htm. Acessado no dia 17 de outubro de 2012.

REGINA CARLA, Matemática e educação. Disponível em http://mateeduc.blogspot.com.br/2010/04/historia-dos-numeros-inteiros.html. Acessado no dia 15 de outubro de 2012.

A ARTE E OS NÚMEROS (vídeo)

2012-10-13T04:57:00.000-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

A ARTE E OS NÚMEROS

A Arte e os Números é um documentário da coleção arte e matemática. Neste documentário podemos observar a relação entre a matemática e a arte, fazendo uma busca na história da arte para mostra onde ocorre essa relação e de maneira os números se relacionam com a arte.

Para fazer download desse vídeo clique no ícone abaixo.

NÚMERO DE OURO (vídeo)

2012-10-13T01:05:00.000-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

Número de ouro e um documentário da coleção matemática e arte. Este vídeo fala sobre o número de ouro sendo utilizado durante a historia, seja ele na arte, na arquitetura, esculturas, pinturas e até na natureza. A partir desse videos podemos ter uma nova visão dessa relação entre os números e o nosso cotidiano. Não deixem de assistir.

A MATEMÁTICA DA MÚSICA (vídeo)

2012-10-12T23:31:00.000-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

A MATEMÁTICA DA MÚSICA

A Matemática da música é mais um vídeo interessante da coleção matemática e arte. Este vídeo é um documentário que mostra a relação entre os números e a música, fazendo uma viagem na historia e mostrando as ideias de grandes gênios, como Pitágoras.

Para fazer download clique no ícone abaixo.

A ARTE É A MATEMÁTICA (vídeo)

2012-10-12T22:13:00.000-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

Do zero ao infinito

Do zero ao infinito é um vídeo muito interessante que fala sobre a matemática na arte, explica de forma muito intuitiva a relação entre ambas. Não deixem de assistirem esse vídeo, pois, ele lhe dará uma ideia de como a matemática esta no nosso cotidiano e mostra uma visão de como grandes matemáticos analisavam o mundo na sua época.

Para fazer download clique no ícone abaixo.

5000 acessos

2012-10-09T20:47:00.000-03:00

Valeu galera pela força!!!!!!

TEOREMA DE TALES (Video)

2012-10-07T10:05:00.001-03:00

Bom dia
Por: Samuel Silva e Anderson Silva

Hoje vou disponibilizar um vídeo para vocês que servirá de apoio para nosso conteúdo sobre "Teorema de Tales".

Neste vídeo vamos aprender um pouco da historia desse matemático incrível e também como seus estudos facilitaram o desenvolvimento de varias áreas da sociedade. Ainda durante o vídeo vamos analisar alguns exemplos de aplicações desse conteúdo.

Bons estudos....

Fonte: http://www.youtube.com

TEOREMA DE TALES

2012-10-07T04:26:00.001-03:00

Por: Samuel Silva e Anderson Silva

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales foi proposto para demonstrar que quando duas retas transversais (ou mais) cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais.

Vamos buscar uma melhor forma de entender esse assunto:

Dadas as retas paralelas a, b e c, cortadas pelas retas a elas transversais r e s, tem-se:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Vamos agora verificar um exemplo:
Aplique o Teorema de Tales no intuito de determinar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas.

Agora vamos a resposta:
De acordo com o Teorema de Tales temos:

Logo, o valor de x de acordo com o Teorema de Tales é 7,5.

Fonte:

http://www.profcardy.com

http://www.brasilescola.com

http://www.youtube.com

RAZÃO E PROPORÇÃO

2012-10-05T23:03:00.001-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

Razão e Proporção são conceitos diretamente relacionados à grandeza.

● Grandeza:

– É uma relação numérica estabelecida com um objeto

– É tudo que se pode contar, medir, pesar, enfim,

enumerar.

– Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas.

Razão

Em uma sala de aula de um certo colégio tinha 25 meninos e 20 meninas.

Vamos comparar o número de meninos com o número de meninas!!!!!

Uma maneira de comparar essa relação é calculando a razão entre o número de meninos e o número de meninas, mas devemos ficar atento a ordem considerada.

Assim, a razão pode ser expressa da seguinte forma:

Podemos ler da seguinte forma a razão entre duas grandezas.

A razão de A para B
A está para B
A:B

Por Exemplo:

A razão entre 12 e 15 é:

A ordem dos números no cálculo de uma razão é importante. Por isso, cada número recebe um nome.

Na razão entre a e b, o a é chamado de antecedente e o b é chamado de consequente.

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

Divisão é a decomposição de um todo em partes iguais.

Fração é uma divisão entre dois números

Razão é uma comparação entre duas grandezas

Observe abaixo esses dois retângulos.

a) Calcule a razão entre o perímetro de A com a de B:

b) Calcule a razão entre a área de A com a de B:

Proporção

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões.

Imagine a seguinte situação:

Samuel e Taiana tiveram o mesmo aproveitamento em um curso de perguntas e resposta. Samuel respondeu 30 questões e acertou 24. Taiana respondeu a 35 questões, Quantas questões Taiana acertou?

Se duas rezões são iguais, elas formam uma proporção. Assim, se a razão entre o número a é b é igual à razão entre os números c e dizemos a : b = c : d.

a e d são chamados de extremos.
b e c são chamados de meios.

Exemplos:

é uma proporção, pois, 5 : 10 = 1 : 2

é uma proporção, pois, 5 : 25 = 1 : 5

Propriedade das Proporções

Em toda proporção, o produto do extremos é igual ao produto dos meios.

Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada.

Multiplicação cruzada.

4 x 15 = 6 x 10

60 = 60

Agora vamos resolver a situação citada no começo deste assunto:

Samuel e Taiana tiveram o mesmo aproveitamento em um curso de perguntas e resposta. Samuel respondeu 30 questões e acertou 24. Taiana respondeu a 35 questões, Quantas questões Taiana acertou?

Samuel respondeu 30 questões e acertou 24.
Taiana respondeu 35 questões e acertou X.

Lembrando que o aproveitamento de Samuel e Taiana são iguais.

Logo, Taiana acertou 28 questões.

Exercício

1) Uma pesquisa realizada com 200 pessoas para se conhecer qual é o canal de televisão preferido pelo público mostrou que 120 delas tinham preferência pelo canal X.

• Qual a razão entre as pessoas entrevistadas e as pessoas que preferem o canal X ?

2) A igualdade 6/14 = 9/21 é uma proporção?

3) Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25 kg de farinha?

4) Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco serão obtidos com 25 laranjas?

Referências Bibliográficas

Desirée F. Balielo e Ulysses Sodré, Ensino Fundamental: Razões e Proporções. Disponível em http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes.htm. Acessado no dia 04 de outubro de 2012

Luiz Roberto Dante, Proporcionabilidade. Tudo é matemática. São Paulo: Editora Ártica, 2011. Pg 196-211.

Marcos Noé, Proporção. Disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/ proporcao.htm. Acessado no dia 05 de outubro de 2012

JOGO BEM DIVERTIDO SÓ PRA PASSAR O TEMPO!!!

2012-10-02T23:15:00.001-03:00

Boa noite
Sei que o blog é sobre ensino e tal, mais gosto tanto de jogos que não poderia deixar de postar esse joguinho que suga muito meu tempo. Muito divertido!!!!

Boa diversão a todos....

CALCULADORA DE PORCENTAGEM( PERCENTAGE CALCULATOR )

2012-09-30T00:30:00.000-03:00

Boa noite...

Hoje vamos disponibilizar uma calculadora de porcentagem (software) feito por nós. Ela ajudará você em seus estudos sobre porcentagem.

OBS: Para utilizar a calculadora corretamente, siga as seguintes instruções:
Ao utilizar algum numero com casa decimal, use ponto e não virgula. Pois o software só ler ponto.
Ex: 35,45 deve ser digitado 35.45
0,8 deve ser digitado 0.8

CALCULADORA DE FATORAÇÃO (calculator factorization)

2012-09-29T21:19:00.000-03:00

Boa noite

Hoje vamos disponibilizar uma calculadora de fatoração (software) feito por nós. Essa ferramenta ajudará e muito você em seus estudos tanto na escola quanto nos seus trabalhos de casa.

Para Fatorar um número natural, digite ele aqui:

TRIGONOMETRIA (introdução a Sen, Cos e Tg)

2012-09-22T20:00:00.001-03:00

Por: Samuel Silva e Anderson Silva
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: TRI = TRÊS, GONOS = ÂNGULOS e METRON = MEDIR. Considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre muitas outras.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao matemático grego Hiparco, ele é considerado até hoje o pai da trigonometria. Sendo isso, porque o mesmo foi o principal estudante sobre os assuntos iniciais da trigonometria. Este foi o que relacionou os lados e ângulos de um triângulo retângulo, e também possivelmente foi o primeiro a criar uma tabela de valores trigonométricos.

Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.

Bom, para dar inicio ao nossos estudos, vamos partir da seguinte situação-problema:
Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º).

Vejamos agora a seguinte situação-problema sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas é a mais íngreme???

Situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da trigonometria.

Para cada ponto de partida e ponto de chegado, temos um ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Observe o desenho a seguir:

Para cada um dos pontos , a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por:

Note que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é uma constante (é sempre a mesma).

Até agora, verificamos quanto subida é íngreme usando o ângulo de subida ou então o índice de subida.

Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida.
Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida.

Será que podemos associar esses dois coeficientes numa mesma subida??

É o que veremos a seguir.

A idéia de tangente

Usaremos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida com o índice da mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e o indicaremos por k1.

A idéia de seno

Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número que indicaremos por k2. e chamaremos de seno do ᾱ.

O número k2, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é íngreme.

A idéia de cosseno

Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, que será um número que indicaremos por k3 e chamaremos de cosseno do ᾱ.

O número k3 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, indica-nos quanto a subida é íngreme.

Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos:

Vamos lá, se ABC é um triângulo retângulo em A, temos:

a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);
b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto);

Consideramos agora um ângulo AÔB = θ, 0º < θ < 90º tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. Da semi-reta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., a semi-reta OB.

Para prosseguimos com nossos estudos é preciso que você já tenha estudado sobre semelhança de triângulos. Espero que você já tenha visto esse assunto pelo menos uma vez, pois fica difícil entender os próximos passos.

Como você deve ter percebido os triângulos OCD, OEF, OGH, etc., são semelhantes por terem os mesmos ângulos.

Podemos portanto escrever:

CD/OC = EF/OE = GH/OG = .... (constante)

Essa relação depende apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual θ é um dos ângulos agudos) e é chamado de seno de θ e escrevemos:

De modo análogo, da semelhança dos triângulos obtemos as relações:

OD/OC = OF/OE = OH/OG = .... (constante)

CD/OD = EF/OF = GH/OH = .... (constante)

Que também dependem apenas do ângulo θ e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulo θ e tangente do ângulo θ.

As razões Sen θ = CD/OC, Cos θ = OD/OC e Tg θ = CD/OD são chamadas razões trigonométricas em relação ao ângulo θ.

SÓ PRA DESCONTRAIR....

2012-09-22T16:23:00.000-03:00

Terminado umas postagens aqui no blog, e nessas horas uma boa música é uma boa aliada...
curti o som ae!!

Mas Alla de Tus Ojos - Dread Mar I

MÚSICA SOBRE SENO, COSSENO E TANGENTE(30º, 45º e 60º)

2012-09-21T22:08:00.001-03:00

Assim fica fácil aprender....

Estou fazendo uma postagem sobre trigonometria, e durante minhas pesquisas encontrei alguns videos bem legais que ensinam de forma mais divertida a tabela principal de seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º...

MÚSICA SOBRE SENO, COSSENO E TANGENTE

2012-09-21T22:01:00.000-03:00

Assim fica fácil aprender....

FRAÇÕES

2012-09-19T01:53:00.001-03:00

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

Os primeiros passos rumo às frações deram-se no Egito, pelas mãos do faraó Sesóstris, que teve a ideia de repartir as terras próximas ao Rio Nilo para alguns agricultores. Mas na época de cheia do Nilo a divisória entre o terreno de cada um era perdida, então esses agricultores passaram a marcar uma corda com números fracionados, já que dificilmente um pedaço de terra tinha uma medida inteira, serviço praticado pelos estiradores de cordas. Por exemplo: a corda era estirada ao todo três vezes e meia para abranger todo o terreno.

A matemática com o uso das frações foi se desenvolver anos mais tardes. Os egípcios consideravam a fração como fazendo parte da unidade. No Egito por volta de 1.650 a.C., já existia uma espécie de manual de matemática conhecido como papiro Ahmes, continha 80 problemas de matemática e suas resoluções. Envolviam situações como calcular preço de pão, grãos, alimentação do gado, ou seja, atribulações diárias do cotidiano daquele povo. Sendo o sistema de números dos egípcios baseado em sete números chave.

Posteriormente as frações foram sendo utilizadas por outros povos, de outras maneiras, como em Roma e na Síria. Os gregos também foram povos doutos de muito saber. Entretanto, foi o sistema de numeração hindu que revolucionou o que conhecemos hoje por números racionais, o que simplificou e muito os cálculos com frações.

As frações surgiram da nescessidade de registrar as medidas de forma mais precisa.

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

Vamos imaginar a seguinte situação :

Samuel comprou uma pizza e dividiu para seus dois amigos Anderson e Márcio, de modo que ficassem três partes iguais.

Que parte caberá a cada um?

Dizemos que a pizza ( representada pela figura de um circulo) é a unidade ou o todo ou ainda o inteiro.

Representamos a parte pintada pela fração 1/3.

Pela figura, vemos a pizza dividida em três parte iguais e a parte que ficará para cada um será de 1/3.

De forma simples, pode-se dizer que em uma fração, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

Muitas vezes nesta postagens usaremos a seguinte determinação para fração: a/b onde a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador.

LEITURA DAS FRAÇÕES.

O que determina como se ler uma fração é seu denominador. Vejamos alguns exemplos de diferetes frações e como devemos ler.

FRAÇÕES COM DENOMINADORES DE 2 A 9.

1/2: metade, um meio ou meio.

1/3: Um terço.

2/3: Dois terços.

3/4: Três quartos.

2/5: Dois quintos.

5/6: Cinco sextos.

4/7: quatro sétimos.

3/8: Três oitavos

4/9: Quatro nonos

FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100 OU 1000, CHAMAMOS DE FRAÇÕES DECIMAIS.

1/10: Um décimo

5/100: Cinco centésimos.

30/1000: Trinta milésimos.

Frações com outros denominadores.

Lemos o número do denominador e acrescentamos a palavra avos .

1/11: Um onze avos

5/12; um doze avos

5/33: Um trinta e três avos

TIPOS DE FRAÇÃO.

Frações Próprias:

São aquelas onde o numerador é menor que o denominador.

Frações Impróprias:

São aquelas onde o numerador é maior que o denominador.

Exemplos:

Frações Aparentes:

São aquelas em que o numerador é multiplo do denominador.

Esta fração é aparente pois 10(numerador) é multiplo de 5(denominador).

COMPARAÇÃO DE FRAÇÃO.

Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.

Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores.

Como 5 > 3 > 1, logo a maior fração será aquela com o numerador 5.

A fração 5/8 é maior que 3/8 que é maior que 1/8. Como posso ter certeza?

É simples. Toda fração é uma divisão, portanto, basta dividirmos o numerador pelo denominador. A fração que apresentar o resultado maior será a maior!

5/8 = 0,625 ; 3/8 = 0,375 ; 1/8 = 0,125

Outra maneira de raciocinarmos seria entender que dividir 5 laranjas entre 8 pessoas será um número MAIOR de laranjas (neste caso pedaço de laranja) do que dividir 3 laranjas entre 8 pessoas e assim sucessivamente...

Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores se tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da primeira situação. O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é chamado de redução e consiste em descobrir um número pelo qual iremos multiplicar os membros de uma fração para que os denominadores assumam o mesmo valor. Observe:

As frações dadas possuem denominador 2, 3 e 4. Devemos encontrar o menor multiplico comum entre elas. Para isso, podemos fatorar os denominadores.

Utilizaremos o 12 como denominador comum entre elas.

Em seguida, dividimos o numero doze pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador. Como mostra a operação abaixo.

12/2 = 6
12/3 = 4
12/4 = 3

Logo:

Agora devemos realizar o método de comparação com denominadores iguais.

Sendo assim, 9 > 8 > 6, podemos concluir que a maior fração será 3/4.

FRAÇÕES EQUIVALENTES.

Observe a figura:

As frações 2/3, 4/6 e 6/9 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes.

Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).

Exemplo:

OPERAÇÃO COM FRAÇÕES

ADIÇÃO DE FRAÇÕES.

1) DENOMINADORES IGUAIS

Quando as frações possuem o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominadores.

Exemplos:

2) DENOMINADORES DIFERENTES.

Quando os denominadores são diferentes, devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la.

mmc (2,3) = 6

O MMC entre 4 e 3 é o 12 , sabemos disso pois o 6 é o menor número que pode ser dividido pelos dois denominadores (4,3).

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 6 pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado da divisão pelo numerador.

Vejamos alguns exemplos de adição de fração.

3/4 +2/4 = 5/4

4/7 + 5/7 = 9/7

13/11 + 5/11 = 28/11

5/4 + 1/2 = 7/4

5/6 + 6/5 = 60/30 = 2

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para fazer a subtração de fração devemos utilizar os mesmo métodos da adição.

1) DENOMINADORES IGUAIS

Quando as frações possuem o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominadores.

Exemplo:

2) DENOMINADORES DIFERENTES.

Quando os denominadores são diferentes, devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la.

mmc (2,3) = 6

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 6 pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado da divisão pelo numerador.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por numeradores e denominadores por denominadores, e em alguns casos, se necessário devemos simplificar.

DIVISÃO DE FRAÇÕES.

Observe o problema.

Suzana ganhou 1/2 de uma barra de chocolate. Ela resolveu dividir o que ganhou com sua amiga, em partes iguais. Com que fração da barra de chocolate cada uma delas ficou?

Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em multiplicação. Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo:

Bem, por esse método fica simples a resolução do problema acima.

Então vamos lá!!!

Problema.

Suzana ganhou 1/2 de uma barra de chocolate. Ela resolveu dividir o que ganhou com sua amiga, em partes iguais. Com que fração da barra de chocolate cada uma delas ficou?

Suzane possui metade de uma barra de chocolate. Mas, como ela resolveu dividir a metade da barra com sua amiga, logo ela ficou com a metade da metade da barra de chocolate.

Confuso não é?

Vamos escrever essa operação matematicamente.
Ela possuía 1/2 da barra de chocolate, então ela dividiu esse 1/2 para 2. Como mostra a figura abaixo.

Ou podemos imaginar da seguinte forma:

Primeiramente ela tinha metade.

Dividiu sua metade por 2.

Logo, ela ficou com 1/4 da barra de chocolate.

RESOLVA OS PROBLEMAS

1) Numa excursão de 60 pessoas, 5/6 são homens e o restante são mulheres. Quantos São as mulheres?

2) Uma indústria automobilística produziu 1820 carros em agosto. Em setembro produziu apenas 3/5 dessa quantia. Quantos carros foram produzidos em setembro?

3) Se uma hora tem 60 minutos, quantos minutos são 3/4 da hora?

4) Uma prova de matemática tinha 40 questões. Paula acertou 5/8 delas. Quantas questões ela acertou?

5) Num mês de 30 dias, diga quantos dias correspondem a 5/6 do mês?

6) Uma pizzaria tem uma frota de 12 motos para fazer entregas em domicilio. Dois terços dessa frota são pilotadas por garotas. Nessa frota, quantas motos são pilotadas por garotas?

7) Num tanque de combustível, 35 litros equivalem a 7/8 de sua capacidade. Qual é a capacidade desse tanque?

8) Dois sétimos dos parafusos que estão em uma caixa correspondem a 16 parafusos. Quantos parafusos há nessa caixa?

9) Com o dia de hoje, lá se vão 2/5 deste ano de 2007. Em que mês estávamos quando o professor disse essa frase?

10) Ricardo está com 12 anos e tem um terço da idade de sua mãe. Qual é a idade dela?

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Autor desconhecido, Operações com Frações. Disponível em http://www.colegioweb.com.br/matematica-infantil/operacoes-com-fracoes.html acessado no dia 15 de setembro de 2012

Autor desconhecido, Tipos de Frações. Disponível em http://www.estudamos.com.br/fracao/tipos_de_fracoes.php, acessado no dia 17 de setembro de 2012.

Autor desconhecido, Frações. Disponível em http://files.comunidades.net/profjosecarlos/FRACOES.pdf. Acessado no dia 19 de setembro de 2012

CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

Flávio Coutinho, Frações: O Início da História. Disponível em http://www.culturamix.com/cultura/historia/fracões-o-inicio-da-historia, acessado no dia 11 de setembro de 2012

SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.

JOGO DAS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS

2012-09-14T18:58:00.001-03:00

Por: Samuel Silva e Anderson Silva
Boa tarde...

Obs: O JOGO SE ENCONTRA NO FINAL DA POSTAGEM!!!

Nesse pequeno software você tem três opções para estudar nossas quatro operações básicas, com níveis de conhecimento que vão de (Easy,Normal até nosso querido Hard), vamos ver quais são essas opções:

1 - GAME

Nessa opção você pode jogar um pequeno jogo de tetris em três níveis diferentes(Easy,Normal e Hard), conforme a imagem. Cada nível exige que o jogador faça seus cálculos cada vês mais rápido e com maior precisão para poder passar de fase.

2 - EXAM

Em esta opção você pode jogar um pequeno jogo em forma de prova com questões sobre as 4 operações com um limite de tempo, ele também pode ser jogado em três níveis diferentes(Easy,Normal e Hard), conforme a imagem. Cada nível requer um maior grau de conhecimento e rapidez nas respostas pois você tem um tempo para passar de fase.

3 - TABLE

Nesta opção temos nossa querida tabuada das 4 operações básicas. Nela você pode escolher a tabuada especifica de cada sinal e ainda contar com todas as operações entre 1 e 100.

Após escolher o sinal desejado você pode percorrer por toda a tabuada entre 1 e 100 clicando nos lugares enformados na imagem onde estão as setas vermelha e amarela.

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NÚMEROS PRIMOS

2012-09-13T22:16:00.000-03:00

Por: Samuel silva e Anderson Silva

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

(a) 1 não é primo pois D(1)={1}

(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}

(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}

(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}

(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}

Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Crivo de Eratóstenes

Eratóstenes foi um sábio grego, dos séculos II e III a.C., que desenvolveu um método para encontrar números primos. Esse processo é utilizado para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1 - Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.

2 - Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.

3 - Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.

4 - Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.

5 - Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.

6 - Os números que não foram eliminados são os números primos.

EXEMPLO PRÁTICO

Vamos seguir os passos indicados acima para obter todos os números primos até 120:

1 - Reforçando novamente que o número 1 já está riscado, visto não ser primo.

2 - Desenha um círculo à volta do 2, visto ser primo, e risca os restantes múltiplos de 2;

3 - Desenha um círculo à volta do 3, visto ser primo, e risca os restantes múltiplos de 3;

4 - Desenha um círculo à volta do 5, visto ser primo, e risca os restantes múltiplos de 5;

6 - Desenha um círculo à volta do 7, visto ser primo, e risca os restantes múltiplos de 7;

8 - Desenha um círculo à volta de todos os números que ainda não estão riscados, pois eles são números primos.

Agora vamos ver isso acontecendo na tabela abaixo:

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br
http://www.salgadomat.com

DIVISIBILIDADE

2012-09-13T18:29:00.000-03:00

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo:
2 é divisor de 8, pois 8=2×4, logo 8 é múltiplo de 2 e também é múltiplo de 4.

Os divisores de um número a também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(a).

Exemplos:

(1) Divisores de 8: D(8)={1,2,4,8}

(2) Divisores de 16: D(16)={1,2,4,8,16}

(3) Divisores de 20: D(20)={1,2,4,5,10,20}

Observação:

Se aplicarmos essa definição no conjunto dos numero naturais incluindo o 0(zero), o número zero se tornaria múltiplo de todos os números naturais, mais zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.

Vamos Entender melhor:

Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:

6 = 0 x b

Mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:

0 ÷ 0 = X ÷ 1

Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:

0 × 1 = 0 × X = 0

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.

2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:

1800 é divisível por 4, pois termina em 00.

4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.

2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.

3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).

2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).

3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).

4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:

1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.

2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.

4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:

1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.

2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:

1) 87549

Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22

Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11

Si-Sp = 22-11 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087

Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10

Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21

Si-Sp = 10-21

Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:

1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).

2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).

3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:

1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).

2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).

3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:

200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br
http://www.somatematica.com.br
http://www.brasilescola.com

JOGO (corrida da multiplicação).

2012-09-12T13:36:00.002-03:00

Bom dia..

Hoje conversando com um de meus amigos o Thiago ( https://www.facebook.com/thiago.laurindo.52 ). O mesmo me solicitou alguns jogos das quatros operações básicas. Sei que nosso foco é ensino fundamental, mais multiplicação sempre é bem vinda... :)

Nesse jogo você terá que acerta as contas que apareceram na tela, para que seu personagem possa ultrapassar os obstáculos. Bem divertido e de grande importância pra galera que tem certa dificuldade em multiplicar..

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MÚLTIPLOS

2012-09-11T14:42:00.000-03:00

Por: Samuel Silva e Anderson Silva
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:

a = k × b

Exemplos:

(?) a é múltiplo de b, pois a= b x K

(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.

(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.

(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.

Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

35=7×5

Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis.

Por exemplo:

Para obter todos os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:

a=k x 2

0=0×2

2=1×2

4=2×2

6=3×2

8=4×2

10=5×2

12=6×2..........

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:

0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15

Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.

a = 1 × b se, e somente se, a = b

Por exemplo:

Vamos multiplicar o mesmo número por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como:

3=1x3

5=1x5

15=1x15.

Vamos agora aplicar esse conceito em um exemplo prático:

Em uma escola será realizado uma gincana para a qual estão escritos 108 alunos. Se forem formadas equipes de 6 alunos cada, algum aluno ficará de fora????

Ai você me pergunta, vai ou não vai???

Bom, para resolver essa questão, precisamos saber se 108 : 6 é uma divisão exata (resto =0) ou uma divisão não exata (resto ≠ 0).

veja:

Como a divisão é exata, podemos afirmar que:

* 108 É DIVISÍVEL POR 6

* 108 É MÚLTIPLO DE 6

* 6 É DIVISOR DE 108

Então, se forem formadas equipes de 6 alunos, não sobrará aluno. Assim a brincadeira pode acontecer numa boa, sem imprevistos.

Observe que o mesmo não acontece se cada equipe tiver 5 alunos.

Como 108 : 5 não é divisão exata, dizemos que:

* 108 não é divisível por 5

* 108 não é múltiplo de 5

* 5 não é divisor de 108

Dessa forma, se forem formadas equipes de 5 alunos, sobrarão 3 alunos.

Fonte:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica

http://pt.wikipedia.org/wiki