M.Barros

ELETROBRAS 2010 – ECONOMISTA PROVA DISCURSIVA Questão no 1

2012-01-23T12:08:00.000-02:00

ANAC – 2007 Especialista em Regulação de Aviação Civil (ESTE) Questão 52

2012-01-23T12:04:00.001-02:00

Banco Central - Analista Área 2 - Prova conhecimentos específicos 2010 - Questão 13 resolvida

2012-01-06T17:53:00.000-02:00

Uma questão conceitual sobre testes de hipótese na prova do BACEN em 2010. Sugiro que você revise as definições básicas - meus comentários sobre as diversas alternativas e algumas "dicas" seguem.

Banco Central - Analista Área 2 - prova 2010 - conhecimentos específicos - Questões 10 e 12 resolvidas

2012-01-06T16:24:00.003-02:00

Duas questões do BACEN em 2010. Acho que são particularmente relevantes para os "concurseiros", pois há a possibilidade de novo concurso do BACEN este ano.

ADVOCACIA GERAL DA UNIÃO – 2006 - NCE/UFRJ – PROVA PARA ESTATÍSTICO QUESTÃO 70 Resolvida

2012-01-02T22:32:00.002-02:00

Outra questão interessante da prova da AGU, e considero até mais difícil que algumas questões da ANPEC (que até agora, nas provas que eu vi, têm um grande grau de repetição).

ADVOCACIA GERAL DA UNIÃO – 2006 - NCE/UFRJ – PROVA PARA ESTATÍSTICO QUESTÃO 68 Resolvida

2012-01-02T21:25:00.000-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 4 Resolvida

2012-01-02T20:36:00.000-02:00

ESAF - Prova para Estatístico do Ministério do Planejamento - 2006 - Questão 29 resolvida

2012-01-02T20:16:00.000-02:00

Esta é uma questão bem fácil, mas confesso que achei as respostas mal formuladas.

ESAF - Prova para Estatístico do Ministério do Planejamento - 2006 - Questão 26 resolvida

2012-01-02T19:31:00.000-02:00

Outra da mesma prova que o "post" anterior.

ESAF - Prova para Estatístico do Ministério do Planejamento - 2006 - Questão 23 resolvida

2012-01-02T19:17:00.001-02:00

Para não ficarmos "bitolados" no concurso da ANPEC, aí vai uma questãozinha de outra banca examinadora (ESAF), e tem tudo a ver com uma questão da ANPEC que eu postei hoje....

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 7 Resolvida

2012-01-02T18:15:00.001-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 6 Resolvida

2012-01-02T16:01:00.000-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 13 Resolvida

2012-01-02T15:33:00.002-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 15 resolvida

2012-01-02T15:15:00.000-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 14 resolvida

2012-01-02T14:44:00.000-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 10 resolvida

2011-12-31T14:35:00.001-02:00

ANPEC 2001 - Prova de Estatística - Questão 1 resolvida

2011-12-31T14:21:00.000-02:00

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 8 resolvida

2011-12-29T19:32:00.002-02:00

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 4 resolvida

2011-12-27T19:15:00.000-02:00

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 15 resolvida

2011-12-26T21:43:00.002-02:00

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 14 resolvida

2011-12-26T20:00:00.000-02:00

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 11 resolvida

2011-12-26T19:41:00.001-02:00

Agora uma questão com um viés um pouco mais econométrico....

QUESTÃO 11

Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)

lnQ_i = b₁ + b₂ lnP_i + u_ii = 1,2,..., 100.

É correto afirmar que:

(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 10b₂%, ceteris paribus.

De jeito nenhum...

Nesta formulação (log Q versus log P), o coeficiente de log P é a elasticidade-preço da demanda, que é constante neste modelo. Se o preço varia em 1%, a quantidade demandada também varia em 1%. A afirmativa é falsa.

Note que este tipo de equação é o caso mais comum de equação de demanda com elasticidade constante (a função de demanda linear Q = a –b.P NÃO TEM elasticidade preço constante) e neste modelo, nos casos usuais (que exclui bizarrices como os bens de Giffen), o coeficiente de P é negativo.

(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas.

Supondo que a lei da demanda funcione, e que o coeficiente do preço seja negativo, e então aumentos do preço levam a reduções da quantidade demandada, se P cresce demais (vai para + infinito) e b2 < 0 então eu teria ln (Q) indo para um número negativo, ou seja, Q tenderia a zero. Incidentalmente, esta é uma das vantagens de um modelo do tipo log-log como esse, evita constrangimentos como Q < 0.

A afirmativa é falsa.

(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de b₂ na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.

Por exemplo, multiplique todos os Q´s e P´s por algum número k e obtenha Q^* e P^*. Então ln(Q^*) = ln(k.Q) = ln(k) + ln(Q) e de maneira análoga ln(P^*) = ln(k.P) = ln(k) + ln(P). A equação estimada torna-se: lnQ^*_i = c₁ + c₂ lnP^*_i + u_ionde c₁ e c₂ são, a princípio, diferentes dos parâmetros da equação original. Mas, substituindo Q^* e P^* leva a: ln(k) + lnQ_i = c₁ + ln(k) + c₂ lnP^*_i + u_iou seja,

lnQ_i = c₁ + c₂ lnP^*_i + u_i e então os coeficientes têm que ser iguais aos da equação original. A afirmativa é verdadeira.

Nota (minha) – eu só não vejo o sentido em transformar as quantidades para outra moeda. No enunciado do problema diz-que que Q é quantidade demandada, isso para mim é o número de unidades de qualquer coisa que o consumidor queira.... O que está sujeito a uma mudança de escala de preços é P, que pode ser escrito em reais, dólares, euros, yuans, .....

Supondo que a gente só mude a escala de P (ou seja, escreva os preços em outra moeda), o que acontece? Q^* = Q mas, P^* = k.P. Qual será a equação estimada? Ln(Q) = a₁ + a₂.ln(P^*) + u = a₁ + a₂.ln(k.P) + u = a₁ + ln(k) + a₂.ln(P) e então o “k” será incorporado no termo constante e a elasticidade preço (a₂) será a mesma que no modelo original.

(3) Se a variável ln Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R² desta nova regressão será maior ou igual ao coeficiente R² da regressão original.

Sem dúvida, mas isso não significa que o modelo com mais variáveis seja “melhor”. A afirmativa é verdadeira.

(4) Se o coeficiente R² ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R² ajustado da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bi-lateral.

Duas boas (e não muito complicadas) referências no assunto são os livros do Gujarati e do Wooldridge.

Alguns pontos importantes:

O R² é sempre uma função não decrescente do número de variáveis explicativas do modelo. Quanto mais variáveis você joga no modelo, o R² cresce (ou, na pior das hipóteses, fica igual). Por que? Por definição:

onde RSS é a soma do quadrado dos resíduos da regressão (que é função não crescente do número de variáveis explicativas) enquanto o denominador só depende da variável “dependente” Y, não depende das variáveis explicativas. A definição vale da mesma forma se, ao invés de usarmos Y como variável dependente, usarmos Z = ln(Y).

O R² ajustado foi criado para “penalizar” o modelo se inserirmos variáveis explicativas que não tem “boa” capacidade de explicação. Ele é definido como:

onde k é o número de termos da regressão INCLUINDO a constante. Este R² é chamado de “ajustado” porque corrige cada soma de quadrados pelos seus graus de liberdade.

Pode-se provar que existe uma relação algébrica entre o R² e o R² ajustado, dada por:

Assim, o R² ajustado é sempre menor ou igual ao R² “usual” e a afirmativa é falsa – o resto dela só está aí para confundir a sua cabeça!

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 3 resolvida

2011-12-26T18:31:00.004-02:00

QUESTÃO 03

Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é correto afirmar que:

(0) Se Y* = a + bY² e X* = c + dX², em que a, b, c, d são constantes reais, (b,d)> 0, E(X) = E(Y)=0, então correlação (Y*, X*) = correlação (Y,X).

(1) Se (Y,X) possuem uma distribuição Normal bivariada, então, segue-se que E(Y|X) = a + b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X.

(2) Se X ~ Normal(0,1) então Y= e^X tem distribuição lognormal com E(Y)= e^1/2.

(3) Se (X,Y) possuem densidade conjunta f(x,y) = f² e^-^f^y, f >0, e 0 £ x £ y, então E(X)= 1/f.

SOLUÇÃO

Comentários sobre a teoria subjacente

Quando você estiver tratando de correlação (e de sua versão não padronizada, a covariância), lembre-se que elas são medidas da associação LINEAR entre duas variáveis.

Para isso, vamos às definições:

A covariância entre duas variáveis aleatórias X1 e X2 é definida como:

onde m1 = E(X1) , m2 = E(X2) são as médias das variáveis aleatórias X1 e X2.

A unidade da covariância é o produto das unidades das duas variáveis, e então fica meio complicado saber se a relação (linear) entre X1 e X2 é “forte” ou “fraca”. Assim, é conveniente trabalhar com uma medida padronizada da covariância, esta medida é o coeficiente de correlação, mostrado a seguir:

Isto é, o coeficiente de correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrões das duas variáveis.

Atenção, atenção:

· Correlação não tem a ver com causalidade! O fato de duas variáveis terem alta correlação não significa que uma “causa” a outra de forma alguma!!!!! Elas apenas “seguem” juntas, e isso pode acontecer devido ao efeito de uma (ou mais) variáveis que não estão sendo consideradas.

· Correlação e covariância são medidas LINEARES! Só medem a associação linear entre duas variáveis, não medem dependência entre as variáveis. Você pode construir um exemplo em que Y = X² (ou seja, as duas variáveis são totalmente dependentes), mas a correlação entre elas é zero.

· Finalmente, correlação (ou covariância) zero só é equivalente a independência no caso de duas variáveis Normais. Ou seja, se X e Y são normais, a condição COV(X, Y) = 0 garante que eles são independentes.

Então podemos começar a examinar as afirmações do texto.

(0) Se Y* = a + bY² e X* = c + dX², em que a, b, c, d são constantes reais, (b,d)> 0, E(X) = E(Y)=0, então correlação (Y*, X*) = correlação (Y,X).

Comece pela covariância para resolver isso....

Note que E(Y^*) = E(a + bY²) = a + bE(Y²) = a +b.VAR(Y) pois E(Y) = 0 por hipótese.

De maneira análoga:

E(X^*) = E(c + dX²) = c + dE(X²) = c +d.VAR(X)

COV (Y*, X*) = E{(a + bY² – a – b.VAR(Y))( c + dX² – c – d.VAR(X))}

=b.d.E{(Y² – VAR(Y)).((X² – VAR(X))} e este valor esperado certamente não é a mesma coisa que a COV(X, Y).

A afirmativa é falsa, mesmo que você divida pelos respectivos desvios padrões para obter o coeficiente de correlação.

(1) Se (Y,X) possuem uma distribuição Normal bivariada, então, segue-se que E(Y|X) = a + b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X.

Você pode até não saber nada sobre a Normal bivariada, mas deve suspeitar que a afirmativa é falsa. Você está calculando uma média condicional de Y dado X. De quem ela vai depender? De X, nunca de Y! Pense em E(Y|X) como a média de Y DADO X. Se eu conheço X, como Y vai se comportar? O que pode confundir nesta afirmação é que a média condicional no caso da Normal bivariada é realmente linear, mas estão mostrando a reta errada.

A afirmativa é FALSA.

(2) Se X ~ Normal(0,1) então Y= e^X tem distribuição lognormal com E(Y)= e^1/2.

Essa é clássica. Vai depender de duas coisas:

1) Que você saiba a definição da distribuição lognormal (e como ela se relaciona com a Normal)

2) Quem é a função geradora de momentos da Normal (e não da lognormal porque ninguém sabe isso de cabeça....) pois isso vai te permitir avaliar se a segunda afirmação é falsa ou verdadeira

Então vamos ao fatos...

Em PRIMEIRO LUGAR – UMA VARIÁVEL LOGNORMAL NÃO É O LOG DE UMA NORMAL!!!!!!!! Preciso escrever com uma letra maior ainda prá você se lembrar?

E por que não? Fácil – qual o intervalo de definição de uma Normal? Os números reais, né? Ou seja, menos infinito a mais infinito. E eu te pergunto: “dá prá tirar log de número negativo??” Se você respondeu sim a esta pergunta ou está na hora de você ir dormir, ou você tem que parar e estudar Cálculo....

Bem, se não dá para tirar log (ou ln ou qualquer outra base que você prefira) de uma variável Normal, então o que pode ser? Adivinhou, a função inversa do log, a exponencial, o que nos leva a esta belíssima e charmosa definição:

Se X é uma variável Normal com média m e variância s² então Y = e^X tem distribuição lognormal.

Agora a parte mais “cascuda” da estória...

Lembre-se da definição da função geradora de momentos (fgm) de uma v.a. (variável aleatória). Vou pensar só no caso de uma v.a. contínua que é o que nos interessa neste momento...

A fgm de uma variável contínua com densidade f(x) é dada por:

Bem, talvez você já tenha suspeitado que esta integral nem sempre converge e é por isso que muitas vezes a gente usa a função característica (que sempre converge) mas tem o inconveniente de ser uma integral nos números complexos.

Voltando agora ao nosso problema, se você quiser fazer umas continhas vai ver que, para uma variável N(0,1), a fgm é dada por: M(t) = exp(t²/2).

E o que isso tem a ver com a média de Y na lognormal? Fácil!

Note que:

E(Y) = E(e^X) e o lado direito desta equação é igualzinho à fgm de X (que é uma variável N(0,1)), quando a gente substitui t por 1. Ou seja, é a fgm de X avaliada em t = 1.

Logo:

E(Y) = E(e^X) = M(1) = exp(1²/2) = exp(1/2) = e^1/2

A afirmativa é VERDADEIRA.

(3) Se (X,Y) possuem densidade conjunta f(x,y) = f² e^-^f^y, f >0, e 0 £ x £ y, então E(X)= 1/f.

Pare, olhe, pense – só então comece a fazer contas enlouquecidamente....

Note que isso é uma densidade CONJUNTA para X e Y. E cadê o X? Não está claramente na fórmula de f(x,y), está no domínio da densidade conjunta!

E qual a “cara” desse domínio? Ao invés de termos X e Y restritos apenas pelo valor zero, a reta y = x tem um papel importante. Por exemplo, o ponto (x = 1, y = 2) está dentro do domínio da função, mas (x = 2, y = 1) não está.

Então, o domínio da função densidade conjunta é dado pela região hachurada no seguinte gráfico:

Para achar a média de X precisamos achar sua densidade marginal, ou seja, integrar a densidade conjunta para todo Y. Depois disso, é só usar a fórmula habitual da média de uma distribuição de probabilidade (na verdade você poderia fazer as duas coisas numa só etapa a partir da conjunta, mas eu acho que fica mais claro se a gente dividir isso em duas partes...)

A densidade marginal de X é:

Ou seja, a densidade marginal de X é uma exponencial, e pela sua parametrização podemos notar que a média é E(X) = 1/f. Neste caso nem foi necessário calcular a média, pois caímos numa densidade tão conhecida que a gente já reconhece a média “de cara”.

Se você não tivesse notado isso, o que deveria fazer? A conta...

e vai ter um trabalhinho aí tendo que resolver esta integral por partes.

A afirmativa é VERDADEIRA.

ANPEC 2000 - prova de Estatística - Questão 2 resolvida

2011-12-26T18:20:00.002-02:00

QUESTÃO 02

A tabela abaixo apresenta, para os anos de 1994 e 1999, dados hipotéticos sobre preços e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializados por certa companhia. Calcule a variação percentual dos preços dos produtos da companhia neste período, utilizando o índice de Paasche.

	1994		1999
Tipo de pro duto	Preço	Quantidade Vendida	Preço	Quantidade Vendida
A	5	80	20	100
B	7	100	6	1000
C	2	200	5	200
D	3	600	4	500
E	1	300	2	200
F	2	100	3	200

SOLUÇÃO ( a resposta é 20)

Aqui recorro sem pestanejar à Wikipedia…. O link é:

http://en.wikipedia.org/wiki/Price_index

Lembre-se que você quer calcular um indíce que mede a variação dos preços (não importa se por Paasche ou Laspeyres) então o que muda são os preços, as quantidades ficam fixas (seja no período inicial ou final, aí é que você vai ter um índice ou outro – Laspeyres (lááa atrás, ou seja, no período inicial e Paasche no período final).

Da Wikipedia, o índice de Paasche é calculado como:

E o de Laspeyres é dado por:

Onde

P

é a variação do nível dos preços nos dois períodos

t 0

é o período base (em geral o primeiro ano) e

t n

é o

período no qual o índice de preços está sendo calculado.

Então no cálculo do índice de preços de Paasche (que é o solicitado no problema) usamos as quantidades dos produtos no período final.

Uma planilha Excel ajuda a mostrar o cálculo:

	1994		1999
Tipo de produto	Preço	Quantidade Vendida	Preço	Quantidade Vendida	Paasche - Numerador	Paasche - Denominador	Índice Paasche Preços
A	5	80	20	100	2000	500
B	7	100	6	1000	6000	7000
C	2	200	5	200	1000	400
D	3	600	4	500	2000	1500
E	1	300	2	200	400	200
F	2	100	3	200	600	400
				SOMA	12000	10000	1.2

A coluna em amarelo (das quantidades em 1999) é a única que interessa, pois só precisamos multiplicar os preços pela quantidade no ano final. A coluna chamada “Paasche Numerador” contém os preços de 1999 multiplicados pelas quantidades de 1999. A coluna “Paasche Denominador” contém os preços de 1994 multiplicados pelas quantidades de 1999. As linhas correspondentes às somas são, obviamente, os somatórios das colunas indicadas. O índice de Paasche é a razão entre estas somas e é 1,2. Logo, a variação percentual dos preços, segundo este índice, foi de 20% no período.

Apenas para recordar, vamos calcular o índice de preços de Laspeyres nesta mesma situação. Lembre-se que no cálculo do Laspeyres usamos as quantidades “lá atra´s”, ou seja, no ano base...

Note que o resultado é bastante diferente, a variação percentual dos preços é agora cerca de 71% no período.

	1994		1999
Tipo de produto	Preço	Quantidade Vendida	Preço	Quantidade Vendida	Laspeyres - Numerador	Laspeyres - Denominador	Índice Laspeyres Preços
A	5	80	20	100	1600	400
B	7	100	6	1000	600	700
C	2	200	5	200	1000	400
D	3	600	4	500	2400	1800
E	1	300	2	200	600	300
F	2	100	3	200	300	200
				SOMA	6500	3800	1.71

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 1 resolvida

2011-12-23T18:05:00.002-02:00

Promessa é dívida...

Vamos à solução comentada da 1a questão de estatística da prova da ANPEC de 2000. Quero principalmente saber se vou ter problemas ao postar figuras, símbolos, etc...

Como já previa, os símbolos não aparecem, então tenho que fazer umas adaptações, inclusive porque o Blogger não me deixa usar a fonte "Symbol" (na verdade, ele tem vontade própria, pois quando EU quero usar a fonte Symbol ele não deixa, e quando não quero, ele coloca as letras nessa fonte, vai entender!)

Se alguém souber como resolver este imbroglio (sem transformar tudo para figura) agradeço!

QUESTÃO 01

Considere a terna (S,Sigma,P), em que S diferente do vazio é o conjunto Universo, Sigma é o conjunto dos possíveis eventos e, P é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):

(0) Se dois eventos são disjuntos, eles serão também independentes.

(1) Para dois eventos quaisquer A e B, Prob (A) = Prob (A intersecao B^c) + Prob (A intersecao B), em que B^c é o complemento de B.

(2) Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B intersecao A^c) é igual a 1/6.

(3) Sejam os eventos A, B e C, tais que Prob (A intersecao B intersecao C) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes.

SOLUÇÃO

Esta é uma questão simples, que envolve apenas que você conheça as definições de probabilidade, eventos disjuntos e eventos independentes.

Item (0) - FALSO

O que são eventos disjuntos? São aqueles cuja interseção é o conjunto vazio, ou seja, que não têm elementos em comum. E se você se lembrar da definição de probabilidades, sabe que a prob. do conjunto vazio é zero. Então para dois eventos disjunto A e B:

E os independentes? A definição aí já tem uma “cara” mais probabilística e menos matemática .... Independência quer dizer que a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência do outro (e vice-versa). Como escrever isso? A definição é:

A e B são eventos independentes se Prob (A intersecao B) = Pr(A). Pr(B) e não necessariamente este produto é zero.

Item (1) – VERDADEIRO

O que está sendo dito aqui é que B e B^c formam uma partição do espaço amostral, o que sempre ocorre. Então A pode ser escrito como a união de duas interseções que são mutuamente exclusivas (isto é disjuntas). Ou seja, a prob. de A será a soma das probs. destas duas interseções.

Fica muito mais fácil mostrar isso numa figurinha que escrever....

Da figura fica fácil notar que:

Mas, os eventos (A intersecao B^c) e (A intersecao B) são mutuamente exclusivos, então a prob. da sua união é a soma das suas probs.

Daí segue a afirmação (verdadeira) da questão:

Para dois eventos quaisquer A e B,

em que B^c é o complemento de B.

Item (2) – FALSO

Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3.

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B intersecao A^c) é igual a 1/6.

Fica fácil notar que a afirmativa é falsa através de um desenho ou de um exemplo. Faça o desenho, vou usar um exemplo (a jogada de um dado).

O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Seja A = {2,4,6} o evento {saiu número par} e então P(A) = ½

Seja B = {1,3} o evento {saiu o número 1 ou o número 3} e sua prob é P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Por construção, A e B são mutuamente exclusivos.

O complemento de A é o evento A^c = {1, 3, 5} = saiu número impar, com probabilidade ½ também.

O evento B intersecao A^c = A^c intersecao B = {1,3} = B e portanto sua prob. é a mesma que a de B, 1/3 (e não 1/6, como se afirma na questão),

Item (3) – FALSO

A independência para mais de 2 eventos requer mais que a condição mostrada. Para que A, B e C sejam independentes é necessário que TODAS as condições a seguir sejam satisfeitas: