Mekanika Teknik

Mencari Momen Maximum dan Maximum Maximorum di Suatu Titik Pada Gelagar

noreply@blogger.com (Unknown) — Fri, 7 Aug 2015 08:53:00 +0700

Pada kenyataannya, muatan yang melewati suatu jembatan adalah tidak menentu, ada yang lewat sendirian atau merupakan suatu rangkaian muatan, Dalam kondisi tersebut kita tetap harus mencari berapa nilai momen maximum di suatu tempat pada gelagar tersebut.
Misal :

Berapa momen maximum yang terjadi di titik C jika ada suatu rangkaian muatan seperti pada gambar tersebut melewati jembatan seperti pada gambar.

Prinsip dasar perhitungan
-Untuk mencari nilai momen maximum di suatu untuk didalam gelagar maka kita perlu mencari posisi dimana muatan tersebut berada yang menyebabkan momen di titik tersebut maximum.
-Untuk mencari nilai maximum tersebut perlu memakai garis pengaruh dari gaya dalam yang dicari sebagai perantaranya.
-Kemudian nilai maximum tersebut didapat dengan cara mengalikan antara beban yang terletak diatas gelagar dengan ordinat dari garis pengaruh yang dipakai.

Contoh

Mencari Momen Maximum Pada Gelagar

Ada suatu balok terletak diatas 2 perletakan seperti pada Gambar, jika ada rangkaian muatan yang berjalan diatasnya berapa Mc maximum yang terjadi.

Muatan bergerak ke kanan sejauh Dx, dimana ordinat garis pengaruh dinyatakan dengan y1’ s/d y5’ dan Mc = S Py’

(dalam hal ini y berubah menjadi y’)

Jika ditinjau 2 bagian : - bagian kiri titik C dan

- bagian kanan titik C

Di kiri titik C ordinat bertambah y’ dan

Di kanan titik C ordinat berkurang y”

y’ = Dx/c*c1

y” = Dx/(1-c)*c1

Perbedaan nilai momen (DM) dari perpindahan posisi beban adalah sebagai berikut :

Jika ql > qrà DM positif

Jika muatan bergeser terus ke kanan sehingga P2 melampaui C à ql = P1/C

ql menjadi kecil sehingga ql < qr à DM negatif (pergerakan P2 dari kiri C ke kanan C menjadikan tanda D M dari positif ke negatif)

Jadi à Mmax terjadi jika P2 diatas C.

M max terjadi jika salah satu muatan di atas potongan sehinggaà SPl/C = SPr/l-c atau

ql = qr

Mmax di suatu titik untuk muatan terbagi rata

Mencari perkiraan posisi beban dalam mencari momen max supaya beban di kiri dan di kanan potongan seimbang, maka bisa diperkirakan secara grafik sebagai berikut :

Gelagar diatas 2 perletakan A-B, digunakan rangkaian muatan berjalan dengan nomor urut 01, 12, 23,34 dan 45

Cara : buat garis AB dibawah gelagar,- di ujung bagian kanan (B’) buat muatan tumpukan beban dari 45; 34; 23;12; dan 01 (dengan skala)

- Tarik dari titik 0 (ujung dari beban 01) ke ujung garis bagian kiri (A’) sehingga membentuk sudut (a)

- Kalau kita mau mencari dimana letak beban yang mengakibatkan momen di potongan I maksimum, yaitu dengan menarik garis dari potongan I kebawah, sampai memotong garis A’-B’ di I’.

- Tarik dari titik I’ sejajar (//) dengan garis A’0 dan garis tersebut akan memotong tumpukan muatan di beban 01.

- Jadi MI akan maximum jika beban 01 terletak di atas potongan I.

* Bagaimana posisi beban untuk mendapatkan momen di potongan II maximum.

- Dengan cara yang sama, tarik garis dari potongan II ke bawah sampai pada garis A’-B’ dan memotong di potongan II’.

- Dari titik II’ ditarik garis // (sejajar) dengan A’ – O dan memotong tumpukan muatan di beban 12.

- Jadi MII akan maximum jika beban 12 terletak diatas potongan II.

Mencari Momen Maximum Maximorum di Suatu Gelagar

Mencari momen maximum maximorum ini berbeda dengan mencari momen maximum di suatu titik pada gelagar, mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini posisi titiknya tidak tertentu. Jadi dalam hal ini titik letak dimana momen maximum terjadi, serta posisi beban yang menyebabkan terjadinya momen maximum harus dicari. Jadi dalam hal ini yang harus dicari :
- Letak posisi titik dimana momen maximum terjadi.

- Letak posisi beban yang menyebabkan momen maximum.

Prinsip Dasar Perhitungan

-Untuk mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini tidak bisa memakai garis pengaruh karena titik letak momen maximum terjadi harus dicari.

-Dalam mencari momen maximum-maximorum ini harus memakai persamaan.

Contoh

Suatu gelagar diatas 2 perletakan A – B, dan suatu rangkaian muatan dari P1 s/d P5. Berapa dan dimana momen maximum-maximorumnnya ?.

Jawab:

R1 = resultante dari P1 dan P2

R2 = resultante dari P3 dan P4

Rt = resultante dari R1; R2 dan P3 atau resultante P1; P2; P3; P4; P5

r = jarak antara Rt dan P3

a = jarak antara R1 dan P3

b = jarak antara R2 dan P3

Rangkaian muatan terletak diatas gelagar dan dimisalkan momen maximum terletak dibawah beban P3 dengan jarak x dari perletakan A.

Contoh Soal Balok Gerber Mekanika Teknik

noreply@blogger.com (Unknown) — Thu, 5 Feb 2015 15:04:00 +0700

Suatu struktur balok gerber ABC dengan beban seperti pada gambar.

A = rol ; B = sendi

C = rol ; S = sendi gerber

Beban P = 4 ton, dengan jarak 1 m dari A, dan beban terbagi rata q = 2 t/m’ dari B ke C.

Ditanya : Gambar bidang M, N, D.

Jawab: Struktur balok gerber seperti pada gambar (a) kalau diuraikan akan menjadi struktur seperti pada gambar (b).

Balok AS harus diselesaikan lebih dahulu, baru selanjutnya reaksi Rs dari balok As menjadi beban / aksi ke balok SBC

Balok A-S (mencari RA dan RS)

S MS = 0 à RA. 4 – P.3 = 0

RA.= 3t

SMA = 0 à RS. 4 – P.1 = 0

RS = 1t

Reaksi Rs = 1t akan menjadi beban di titik S pada balok S B C (gambar (b))

Balok S B C (mencari RB dan RC)

SMC = 0

RB.6 – RS.8 – q.6.3 = 0

RB.6 – 1.8 – 2.6.3 = 0

RB = 44/6 T

S MB = 0 à RC.6 + RS.2 – q.6.3 = 0

RC.6 + 1.2 – 2.6.3 = 0

RC = 34/6 T

Bidang Momen (M)

Balok A-S

Daerah A à P (P = letak beban P = 4t)

Mx = RA.x = 3.x (linear)

x = 0 à MA = 0

x = 1 à MP = 3 tm (momen dibawah P)

Daerah P à S

Mx = RA.x-P (x-1) = 3.x – 4 (x-1)

x = 1 à MP = 3 tm

x = 4 à MS = 0

Balok SBC

Daerah S à B (dari kiri)

Mx1 = - Rs.x1 = - 1.x1 (linear)

= -x1

x1 = 0 à Ms = 0

x2 = 2 à MB = -2 tm

Daerah C à B (dari kanan)

Mx2 = Rc.x2 - .q x2² (parabola)

Mx2 = 5.667.x2 - .2.x2²

= 5.667 x2 - x2²

Mencari Mmax à dMx2/dx2 = 0 à 5.667 – 2 x2 = 0

= x2 = 2.833 m (lokasi dimana terletak Mmax

Mx2 max =5.667. 2.833 – (2.833)²

= 16.0546 – 8.02589 = 8.0287 tm.

Mencari titik dimana momen = 0

Mx =5,667 x2 – x2² = 0

X2 (5,667-x2 ) = 0

à x2 =5,667 m ( Letak dimana momen = 0 )

Bidang D ( GAYA LINTANG )

Balok A-S

Daerah Aà P ( dari Kiri )

D2 = + Ra = + 3 + ( Konstan )

Daerah Pà S ( Dari kiri )

Dx = + Ra - P = 3 – 4 = -1 t (Konstan )

Balok S – B C

Daerah SàB ( Dari Kiri )

Dx = - Rs = -1 t (Konstan)

Daerah C à B (Dari Kanan)

Dx2 = - Rc + q . x 2

= - 5,667 + 2 . x 2 (Liniear)

X2 = 0 à Dc = - 5,667 t

X2 = 6 à Dbkn = -5,667 + 2.6 = + 6,333 t

Mencari titik dimana D = 0

-5,667 + 2X2 = 0 à X2 = 2,833 m

(Letak D = 0 sama dengan letak Mmax )

Bidang N ( Normal )

Bidang N tidak ada

Balok Gerber

noreply@blogger.com (Unknown) — Thu, 5 Feb 2015 14:56:00 +0700

Didalam kenyataan se-hari-hari jarang dijumpai jembatan yang berbentang Satu.. Untuk mengatasi penyeberangan sungai yang mempunyai lebar penampang cukup besar (>100m) maka dibuatlah suatu jembatan yang berbentang lebih dari satu, sehingga mempunyai perletakan > 2 buah.

Jika dalam persamaan keseimbangan hanya punya 3 buah (SV = 0; SH = 0; SM = 0) berarti untuk bisa menyelesaikan struktur jembatan masih memerlukan 1 buah persamaan baru lagi, supaya bilangan yang tidak diketahui yaitu RAV; RAH; RBV, RCV bisa didapat sedang untuk konstruksi statis tertentu persamaan yang tersedia hanya 3 buah yiatu SV = 0; SH = 0; SM = 0. dalam keadaan tersebut konstruksi jembatan disebut dengan kontruksi statis tidak tertentu.

Kalau 1 (satu) persamaan baru tadi bisa disediakan maka syarat-syarat keseimbangan masih bisa dipakai untuk menyelesaikan konstruksi jembatan tersebut (4 buah bilangan yang dicari yaitu RAV; RAH; RBV, RCV dengan 4 buah persamaan yaitu SV = 0; SH = 0; SM = 0 dan 1 (satu) persamaan baru). Dalam kondisi tersebut konstruksi masih statis tertentu, karena masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan dan konstruksinya dinamakan dengan konstruksi balok gerber.

Jadi konstruksi balok gerber adalah suatu konstruksi balok jembatan yang mempunyai jumlah reaksi perletakan > 3 buah, namun masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan.

Menentukan letak sendi gerber

Jika dalam balok ABC, sendi gerber belum ada, maka konstruksinya masih statis tak tertentu, dan jika diberi beban terbagi rata sebesar q kg/m’, maka gambar bidang momennya (bidang M) seperti gambar dibawahnya. Bagaimana cara mencari bidang momen (bidang M) tersebut, untuk mahasiswa semester I belum bisa mengerjakan, jadi untuk sementara diterima saja. Di titik D dibuat sendi gerber dengan persamaan baru SMD = 0, maka alangkah tepatnya jika untuk menentukan posisi di titik D dicari tempat-tempat yang momennya sama dengan nol = 0.

Dalam hal seperti tersebut diatas, alternatif tempat dimana momennya sama dengan nol adalah titik 1 dan 2 yang posisinya di kiri dan kanan perletakan B. Karena kita hanya membutuhkan 1 (satu) buah persamaan baru, maka kita cukup memilih salah satu dari 2 (dua) alternatif tersebut diatas, sehingga struktur bisa diselesaikan.

Cara memilih : alternatif (1), jika kita memilih titik (1) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti pada Gambar a1 dimana balok AD terletak di atas balok DBC, balok tersebut jika disederhanakan akan seperti pada Gambar a2, dan jika diuraikan strukturnya akan seperti pada gambar a3.

Apakah mungkin ?

Lihat balok AD, perletakan A = sendi dengan 2 reaksi (RAV, RAH) perletakan D = sendi dengan 2 reaksi (RDV, RDH), sehingga jumlah reaksi ada 4 (empat) buah, sehingga strukturnya adalah statis tidak tertentu.

Perhatikan balok DBC; perletakan B = rol dengan 1 buah reaksi (RBV); perletakan C = rol dengan 1(satu) buah reaksi (RCV), sehingga jumlah reaksi hanya ada 2 (dua) buah, karena kedua perletakan B dan C adalah rol, maka struktur balok DBC tidak stabil sendi gerber adalah tidak mungkin.

Jika yang dipilih adalah titik (2) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti gambar (b1) dimana balok DC terletak diatas balok ABD, balok tersebut jika gambarnya disederhanakan akan seperti pada gambar (b2), dan jika diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar (b3) apakah mungkin ?.

Perhatikan balok DC yag terletak diatas balok ABD. Perletakan D = sendi mempunyai 2 (dua) reaksi yaitu RDV dan RDH, sedang perletakan C = rol dengan 1 (satu) reaksi yaitu RCV.

Jumlah letak reaksi adalah 3 (tiga), maka konstruksi balok DC adalah statis tertentu

•Perhatikan balok ABD, perletakan A = sendi, mempunyai 2 (dua) reaksi yaitu RAH dan RAV, perletak B = rol, mempunyai 1 (satu) reaksi yaitu RBV.

Jumlah total reaksi adalah 3 (tiga) buah, jadi konstruksi balok ABD masih statis tertentu.

•Jadi pemilihan titik (2) sebagai sendi gerber adalah mungkin.

Mekanisme Penyelesaian Balok Gerber

Jika ada suatu konstruksi balok gerber seperti pada gambar a, maka yang perlu dikerjakan pertama adalah memisahkan balok tersebut menjadi beberapa konstruksi balok statis tertentu.

Jika konstruksinya seperti pada gambar (a), maka kita bisa memisahkan konstruksi tersebut menjadi beberapa konstruksi tersebut menjadi beberapa konstruksi statis tertentu seperti pada gambar (b) atau (c), dimana gambar (b) terdiri dari gambar (b1) dan (b2), demikian juga gambar (c) terdiri dari gambar (c1) dan (c2).

Tinjauan gambar b1 dan b2

Titik D dari balok ABD (gambar (b1) menumpu pada titik D pada balok DC, dan jika dijabarkan (diuraikan) strukturnya akan menjadi seperti gambar (b2), dimana titik D pada balok ABD menumpu pada titik D balok DC, sehingga reaksi RD dari balok ABD akan menjadi beban (aksi) pada titik D balok DC.

-Perhatikan struktur balok ABD (gambar b2), perletakan A = sendi (ada 2 reaksi); perletakan B = rol (ada 1 reaksi), perletakan D = sendi (ada 2 reaksi). Jadi total perletakan balok ABD ada 5 (lima) buah, jadi balok ABD merupakan balok statis tidak tertentu.

-Perhatikan balok DC (gambar b2), titik D = bebas (tak mempunyai tumpuan), jadi tidak ada reaksi, perletakan, c = rol (ada 1 reaksi), jadi jumlah total reaksi hanya ada 1 buah yaitu RCV di C. Dalam kondisi seperti tersebut diatas balok DC merupakan balok yang tidak stabil atau labil. Sehingga alternatif (b) adalah tidak mungkin.

Tinjauan gambar (c1) dan (2)

Titik D dari balok DC (gambar (C1) menumpu pada titik D balok ABD, dan jika diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar (C2), dimana titik D dari balok DC menumpu pada titik D balok ABD, sehingga reaksi RD dari balok DC akan menjadi beban (aksi) pada titik D balok ABD.

-Perhatikan struktur balok DC gambar (C2), perletakan D = sendi, (ada 2 reaksi), perletakan C = rol (ada 1 reaksi) total jumlah perletakan ada 3 (tiga) buah.

Jadi balok DC adalah balok statis tertentu

-Perhatikan struktur balok ABD (gambar (C2)), perletakan A = sendi (ada 2 reaksi), perletakan B = rol (ada 1 reaksi) jumlah perletakan ada 3 (tiga) buah. Jadi balok ABD adalah balok statis tertentu juga.

Jadi alternatif (C) adalah mungkin.

Tahapan Penyelesaian

Kalau kita mempunyai balok gerber ABC seperti pada gambar (a), yang kemudian diuraikan seperti pada gambar (b), maka tahapan pengerjaannya adalah sebagai berikut :

• Balok DC dikerjakan dulu sehingga menemukan RD dan RC.

• Reaksi RD dari balok DC akan menjadi beban di titik D dan balok ABD.

• Dengan beban yang ada (q) dan beban RD, maka balok AB bisa diselesaikan.

• Bidang-bidang gaya dalam (M, N, D) bisa diselesaikan sendiri-sendiri pada balok DC dan AB.

• Penggambaran bidang M, N, D balok gerber merupakan penggabungan dari bidang M, N, D dari masing-masing balok.

Contoh Soal Kantilever Mekanika Teknik

noreply@blogger.com (Unknown) — Thu, 5 Feb 2015 14:38:00 +0700

Diketahui:

Suatu konstruksi konsol (cantilever) dengan perletkan di D = jepit dengan beban P₁ = 2t (Ô); P₂ = 1t (Ô) dan beban terbagi rata q = 1 t/m’

Ditanya : Gambar bidang M, N, D

Jawab : Mencari reaksi di D dengan syarat

keseimbangan

R_D = ? à Sv = 0 à R_D – P₂ – P₁ – q.₅ = 0

R_D = 2 + 1 + 5.1 = 8 t ()

Untuk menggambar gaya dalam kita bisa dari kiri atau kanan, pilih yang lebih mudah à dalam hal ini pilih yang dari kanan.

Bidang D (dari kanan)

D_A kr = + 2 ton

Daerah A à B

x₁ merupakan variabel yang bergerak dari A ke B

D_x1 = 2 + q. x₁

Untuk x = 3 à D_B kn = 2 + 1.3 = 5 ton (dari kanan potongan arah gaya ke bawah tanda positif (+) ).

x₂ merupakan variabel yang bergerak dari A ke C

Dx₂ = 2 + 1 + q . x₂

Untuk x₂ = 3 à D_B kr = 2 + 1 + 1.3 = 6 ton

Untuk x₂ = 5 à D_C = 2 + 1 + 5 = 8 ton

Bidang M (dari kanan)

: Mx₁ = - P₁ x₁– ½ q x₁²

Untuk x₁ = 3 à MB = -2.3 – ½ .1.3² = - 10.5 tm

Daerah B - C

: Mx₂ = -P₁ x₂ – P₂ (x₂ –3) – ½ q x₂²

: M_C = -2.5 – 1.2 – ½ .1.5² = - 24.5 tm

M_D: - P₁.6 – P₂.3 – 5.1 (2.5 + 1) = -12 – 3 – 5.3,5 = 32,5 t

Contoh Soal Balok Statis Tertentu Mekanika Teknik

noreply@blogger.com (Unknown) — Wed, 4 Feb 2015 09:10:00 +0700

Diminta : Gambar bidang momen, gaya lintang dan bidang normal.(Bidang M, N, dan D)

Jawab : Mencari reaksi vertical

Dimisalkan arah reaksi vertical di A=R_A keatas dan arah reaksi vertical di B = R_B juga keatas.

Mencari R_AV = dengan SM_B = 0 (jumlah momen-momen terhadap titik B = 0)

Pemberian tanda pada persamaan berdasarkan atas arah momen, yang searah diberi tanda sama, sedang yang berlawanan arah diberi tanda berlawanan.

RBV à S MA = 0

Karena tanda R_BV adalah positif berarti arah reaksi R_BV sama dengan permisalan yaitu (Ó) keatas.

Untuk mengetahui apakah reaksi di A (R_A) dan reaksi di B (R_B) adalah benar, maka perlu memakai kontrol yaitu SV = 0

Mencari Raksi Horizontal

Karena perletakan A = rol à tidak ada R_AH.

Perletakan B = sendi à ada R_BH.

Untuk mencari R_BH dengan memakai syarat keseimbangan (SH = 0)

SH = 0

R_BH = P₁H + P₃ + P₄

= 2 + 2 + 3 = 7 ton (Ñ)

Menghitung dan Menggambar Gaya Lintang (D)

Dihitung secara bertahap

Daerah C à A à lihat dari kiri

Gaya lintang dari C ke A bagian kiri adalah konstan

D_{A kr} = P1_{n =}- 2 ton (gaya lintang (D) di kiri titik A, di kiri potongan arah gaya lintang kebawah (Ô)

D_{A kn} (gaya lintang (D) di kanan titik A)

D_{A kn} = - P₁_{n +}R_A_n= -2 + 13 = 11 ton (di kiri potongan arah gaya lintang ke atas).

Variabel x berjalan dari A ke D (sebelah kiri titik P2), sedang beban yang dihitung dimulai dari titik C.

Dx = -2 + 13 – q1 x = (-P1V + RA – q1x)

Untuk x = 0 à DAkn = -2 + 13 = + 11 ton

Untuk x = 6 m à DD kr= -2 + 13 – (2.6) = - 1ton (di kiri potongan arah gaya lintang ke bawah)

DD kn : sedikit di kanan titik D, melampaui beban P2.

DD kn : -2 + 13 – 12 – 6 = - 7 ton (dikiri potongan arah gaya lintang ke bawah)

Dari titik D s/d B tidak ada beban, jadi Bidang D sama senilai DD kn (konstan dari D sampai B).

Lebih mudah kalau dihitung dari kanan dari E menuju B.

Variabel x2 berjalan dari E ke B.

DE = 0

Dx2 = q2 . x2 = + x2 (persamaan liniear)

DB kn kanan perletakan B (x2 = 2 m)à DB kn = + 2 ton (kanan potongan arah ke

kebawah)

DB kr (kiri titik B) à DB kr = + 2 – 9 = - 7 ton (kanan potongan arah ke atas)

MENGHITUNG DAN MENGGAMBAR BIDANG NORMAL (N)

Daerah C-D à dihitung dari kiri sampai D, P2 tidak termasuk dari C ke D nilai gaya normal konstan.

ND kr = - P1H = - 2 ton (gaya normal menekan batang)

Daerah D-Bàdihitung dari kiri (beban yang dihitung mulai dari titik C, batang dari D ke B nilai gaya normal konstan).

ND kn = (-2 – 2) ton = - 4 ton (gaya normal menekan batang)

NB kr = NDkn = - 4 ton

Daerah B-Eàdihitung dari kanan, dari E ke B nilai gaya normal konstan.

NB kn = + 3 ton (gaya normal menarik batang)

Kalau dihitung dari kiri, dimana gaya normal dihitung dari titik C.

Dari kiri à DBkn = (-4 + 7) t = + 3 ton (gaya normal menarik batang)

Menghitung dan Menggambar Bidang Momen (M)

Variabel x berjalan dari C ke A

Mx = - P_1v . x = - 2 x (linier)

Untuk x = 0 à Mc = 0

x = 2 à M_A = - 2.2 = - 4 tm.

(momen P_1v . x mengakibatkan serat atas tertarik sehingga tanda negatif (-) ).

Gaya-gaya yang dihitung mulai dari titik C

MENCARI MOMEN MAXIMUM

Letak dimana harga Mmax = Letak dimana harga (D = 0)

x1 = 5.5 mà Mmax = - ½ .2 (5.5)² + 11.5.5 – 4

= 26.25 tm.

Mencari titik dimana M = 0

Mx₁=- ½ .q₁.x₁² + 11 x₁ – 4 = 0

= x₁² – 11 x₁ + 4 = 0

x₁ = 0.3756 m (yang dipakai)

x₁’ = 10.62 m (tidak mungkin)

Untuk x₁= 6 à M_D = -36 + 66 – 4 = + 26 tm

Daerah E-B (dihitung dari kanan, titik E ke titik B) variabel x₂ berjalan dari E ke B

Parabola

Mx2 = - ½ q2 x22

Untuk x2 = 0 à ME = 0

Untuk x2 = 2 à MB = - ½ . 1.4 = -2 tm

Gaya Dalam

noreply@blogger.com (Unknown) — Wed, 4 Feb 2015 08:32:00 +0700

Bangunan teknik sipil pada umumnya terbuat dari struktur beton, kayu, baja dan lain-lain. Dalam pembuatan struktur-struktur tersebut perlu diketahui ukruan atau yang lazim disebut dengan demensi dari tiap-tiap elemen strukturnya (balok, kolom, pelat, dansebagainya). Untuk menentukan demensi-demensi dari elemen struktur tersebut, memerlukan gaya dalam.

Macam-macam Gaya dalam

Suatu balok terletak pada 2 perletakan dengan beban seperti pada gambar, maka balok tersebut akan menderita beberapa gaya dalam yaitu :
-Balok menderita beban lentur yang menyebabkan balok tersebut berubah bentuk melentur. Gaya dalam yang menyebabkan pelenturan balok tersebut disebut momen yang bernotasi M.

-Balok tersebut menderita gaya tekan karena adanya beban P dari kiri dan kanan. Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu batang, maka akan menerima beban gaya dalam yang disebut Normal yang diberi notasi N.

-Balok tersebut menderita gaya lintang, akibat adanya reaksi perletakan atau gaya-gaya yang tegak lurus sumbu batang, balok tersebut menerima gaya dalam yang disebut gaya lintang dan diberi notasi D.

Gaya Dalam Momen

a)Pengertian Momen (M)

Suatu balok yang terletak diatas 2 tumpuan dengan beban seperti pada gambar, ada beban terbagi rata q (kg/m’) dan beban terpusat P (kg).

Balok tersebut akan menerima beban lentur sehingga balok akan melendut, yang berarti balok tersebut menerima beban lentur atau momen. (atau menerima gaya dalam momen).

Momen adalah perkalian antara gaya x jarak.

Balok yang terletak antara tumpuan A dan B menderita (menerima) momen. Momen untuk daerah balok antara perletakan A ke perletakan B dengan variable x bisa ditulis sebagai berikut :

Kalau menghitung besarnya momen di c-c boleh dari kiri potongan seperti pada persamaan (1) ataupun menghitung dari kanan potongan seperti pada persamaan (2) dan hasilnya pasti sama.

Tanda Gaya Dalam Momen

Untuk memberi perbedaan antara momen-momen yang mempunyai arah berbeda, maka perlu memberi tanda terhadap momen tersebut.

Jika momen tersebut mampu melentur suatu balok sehingga serat atas tertekan dan serat bawah tertarik maka momen tersebut diberi tanda (+) = positif. Demikian juga sebaliknya.

Gaya Lintang (D)

Kalau dilihat, balok yang terletak diatas 2 (dua) perletakan A dan B, menerima gaya-gaya yang arahnya (tegak lurus) terhadap sumbu balok. Gaya-gaya tersebut adalah R_A ; q dan R_B à gaya-gaya tersebut yang memberi gaya lintang terhadap balok A-B tersebut.

Gaya lintang adalah gaya-gaya yang dengan sumbu batang.

Kalau kita ambil salah satu potongan antara perletakan A-B yaitu c-c, maka coba gaya-gaya apa saja yang arahnya (tegak lurus) terhadap sumbu AB.

-Kalau dilihat dari C ke kiri potongan, maka

(1)Dc = RA – q x = RA – Q1 (gaya lintang di c yang dihitung dari kiri

potongan)

-Kalau dihitung dari titik c ke kanan potongan, maka

(2)D1 = RB – q (l-x) – P

= RB – Q2 – P (gaya lintang di c yang dihitung dari kanan potongan)

Tanda Gaya Lintang

Untuk membedakan gaya lintang, maka perlu memberi tanda (+) dan (-).

Definisi :

-Gaya lintang diberi tanda positif jika dilihat di kiri potongan titik yang ditinjau, jumlah gaya arahnya ke atas, atau kalau dilihat di kanan potongan, jumlah gaya arahnya ke bawah.

Dilihat dari kiri potongan C, gaya yang ada hanya RA, jadi jumlah gaya-gayanya yang sumbu hanya RA dengan arah (keatas) jadi tanda gaya lintang adalah positif.

Jika dilihat dari kanan potongan c, gaya yang ada terhadap sumbu adalah RB keatas dan P kebawah. Karena RB adalah merupakan reaksi, maka P > RB sehingga jumlah antara P dan RB arah kebawah, jadi tanda gaya lintang adalah positif.

Gaya lintang diberi tanda negatif, jika dilihat di kiri titik potongan yang ditinjau arahnya kebawah dan bila ditinjau di kanan titik potongan yang ditinjau arahnya ke atas.

Dilihat dari kiri potongan D, gaya-gaya yang sumbu hanya RA dan P, karena RA adalah reaksi. Jadi RA < P, maka resultante gaya-gaya antara RA dan P arahnya adalah kebawah , maka gaya lintangnya tandanya negatif.

Jika dilihat di sebelah kanan potongan gaya-gaya yang tegak lurus sumbu hanya RB dengan arah ke atas, Jadi gaya lintangnya tandanya adalah negatif

Jadi untuk menghitung gaya lintang, baik dihitung dari kiri ataupun kanan hasilnya harus sama.

Gaya Normal (N)

Gaya normal adalah gaya-gaya yang arahnya sejajar (//) terhadap sumbu beban balok.

-Jadi kalau kita lihat balok yang seperti pada Gambar yang mana tidak ada gaya-gaya yang sejajar sumbu batang, berarti balok tersebut tidak mempunyai gaya normal (N).

Kalau dilihat pada Gambar dimana ada gaya-gaya yang // (sejajar) sumbu batang yaitu P, maka pada batang AB menerima gaya normal (N) sebesar P.

Tanda Gaya Normal

-Jika gaya yang ada arahnya menekan balok, maka tanda gaya normalnya adalah negatif (-)

-Jika gaya yang ada arahnya menarik balok, maka tanda gaya normalnya adalah positif (+)

Konstruksi Statis Tertentu dan Cara Penyelesaiannya

noreply@blogger.com (Unknown) — Tue, 3 Feb 2015 14:36:00 +0700

Dalam bangunan teknik sipil, seperti gedung-gedung, jembatan dan lain sebagainya, ada beberapa macam sistem struktur, mulai dari yang sederhana sampai dengan yang kompleks; sistim yang paling sederhana tersebut disebut dengan konstruksi statis tertentu.

Contoh : contoh struktur sederhana yaitu balok jembatan diatas 2 tumpuan.

Balok jembatan di atas 2 perletakan A dan B
Perletakan A adalah rol
Perletakan B adalah sendi

Suatu konstruksi disebut statis tertentu jika bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan.

Ada beberapa syarat-syarat keseimbangan

Sesuai dengan materi yang sebelumnya ada 3 (tiga) syarat keseimbangan yaitu :

-SV = 0 (jumlah gaya-gaya vertikal antara aksi (beban) dan reaksi harus sama dengan nol)

-SH = 0 (jumlah gaya-gaya horisontal antara aksi (beban) dan reaksi sama dengan nol)
-SM = 0 (jumlah gaya-gaya momen antara aksi (beban) dan reaksi harus sama dengan nol).

Kalau dalam syarat keseimbangan ada 3 persamaan,maka pada konstruksi statis tertentu yang harus bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan, jumlah bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut maximum adalah 3 buah. Jika dalam menyelesaikan suatu konstruksi tahap awal yang harus dicari adalah reaksi perletakan, maka jumlah reaksi yang tidak diketahui maksimum adalah 3.

Contoh:

Balok diatas dua perletakan dengan beban P seperti pada gambar.

A = sendi dengan 2 reaksi tidak diketahui (RAV dan RAH adalah reaksi-reaksi vertikal dan horizontal di A).

B = rol dengan reaksi tidak diketahui (RBV = reaksi vertikal di B)

Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 3 buah, maka konstruksi tersebut adalah konstruksi statis tertentu.

Suatu konstruksi kolom yang berkonsol dengan perletakan di A adalah jepit.

A = jepit dengan 3 reaksi yang tidak diketahui.

RAV = reaksi vertical di A

RAH = reaksi horizontal di A

RM = momen di A.

Jumlah reaksi yang tidak diketahui ada 3 buah, maka konstruksi tersebut adalah statis tertentu.

Balok diatas 2 perletakan

A = sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui RAV dan RAH (reaksi vertikal dan reaksi horisontal di A).

B = sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui RBV dan RBH (reaksi vertical dan reaksi horizontal di B).

Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 4 buah, sedang persamaan syarat keseimbangan hanya ada 3, maka konstruksi tersebut statis tak tertentu.

Keseimbangan Benda

noreply@blogger.com (Unknown) — Tue, 3 Feb 2015 14:25:00 +0700

Dalam bidang teknik sipil kita selalu diajak berbicara tentang bangunan gedung, jembatan dan lain sebagainya. Bangunan–bangunan tersebut supaya tetap berdiri, maka struktur-strukturnya harus dalam keadaan seimbang, hal itu merupakan syarat utama. Apa saja syarat-syaratnya supaya suatu bangunan tetap seimbang, dan bagaimana cara menyelesaikannya, kita perlu mengetahuinya.
Contoh :

benda dalam keadaan seimbang (tidak bisa bergerak)

Sebuah kotak yang dilem diatas meja, maka kotak tersebut dalam keadaan seimbang, yang berarti kotak tersebut tidak bisa turun, tidak bisa bergeser horisontal dan tidak bisa berguling.

a)Keseimbangan vertikal

Kalau kotak tersebut dibebani secara vertikal (Pv), maka kotak tersebut tidak bisa turun, yang berarti meja tersebut mampu memberi perlawanan vertikal (Rv), perlawanan vertikal tersebut (Rv) disebut reaksi vertikal.

Bandingkan hal tersebut diatas dengan kotak yang berada di atas lumpur. Kalau kotak tersebut dibebani secara vertikal (Pv), maka kotak tersebut langsung tenggelam, yang berarti lumpur tersebut tidak mampu memberi perlawanan secara vertikal (Rv).

b)Keseimbangan horisontal

Kalau kotak tersebut dibebani secara horisontal (PH), maka kotak tersebut tidak bisa bergeser secara horisontal, yang berarti lem yang merekat antara kotak dan meja tersebut mampu memberi perlawanan horisontal (RH), sehingga bisa menahan kotak untuk tidak bergeser. Perlawanan horisontal tersebut (RH) disebut reaksi horisontal.Bandingkan hal tersebut diatas dengan kotak yang berada di atas meja tanpa di lem .

Kalau kotak tersebut dibebani secara horisontal (PH), maka kotak tersebut langsung bergeser, karena tidak ada yang menghambat, yang berarti meja tersebut tidak mampu memberi perlawanan horisontal (RH).

c)Keseimbangan Momen

Kalau kotak tersebut dibebani momen (P_M), maka kotak tersebut tidak bisa berputar (tidak bisa terangkat), yang berarti lem perekat antara kotak dan meja tersebut mampu memberikan perlawanan momen (R_M), perlawanan momen tersebut (R_M) disebut dengan reaksi momen.

Bandingkan hal tersebut diatas dengan kotak yang berada di atas meja tanpa di lem.

Kalau kotak tersebut dibebani momen (PM), maka kotak tersebut bisa terangkat, karena tidak ada lem yang mengikat antara kotak dan meja tersebut, yang berarti meja tersebut tidak mampu memberikan perlawanan momen (RM).

d)Keseimbangan Statis

-Kalau kotak tersebut di lem diatas meja, yang berarti harus stabil, benda tersebut harus tidak bisa turun, tidak bisa bergeser horisontal, dan tidak bisa terangkat.
-Kalau kotak tersebut dibebani secara vertikal (PV), tumpuannya mampu memberi perlawanan secara vertikal pula, agar kotak tersebut tidak bisa turun syarat minimum RV = PV, atau RV - PV = 0 atau SV = 0 (jumah gaya-gaya vertikal antara beban dan reaksi harus sama dengan nol).

-Kalau kotak tersebut dibebani secara horisontal (PH ), maka pada tumpuannya mampu memberi perlawanan secara horisontal (RH ). Agar kotak tersebut tidak bisa bergeser secara horisontal maka syarat minimum RH = PH atau RH – PH = 0 atau SH = 0 (jumlah gaya-gaya horisontal antara beban dan reaksi harus sama dengan nol)
-Kalau kotak tersebut dibebani secara momen (PM ), maka pada tumpuannya mampu memberi perlawanan secara momen (RM ). Agar kotak tersebut tidak bisa terpuntir (terangkat), maka syarat minimum RM = PM atau RM - PM = 0 atau SM = 0 (jumlah gaya-gaya momen beban dan reaksi harus sama dengan nol).
-Dari variasi tersebut diatas, dapat dikatakan bahwa suatu benda yang stabil atau dalam keadaan seimbang, maka harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut :
-SV = 0 (jumlah gaya-gaya vertikal antara aksi (beban) dan reaksi harus sama dengan nol)
-SH = 0 (jumlah gaya-gaya horisontal antara aksi (beban) dan reaksi sama dengan nol)
-SM = 0 (jumlah gaya-gaya momen antara aksi (beban) dan reaksi harus sama dengan nol).

Penggambaran Struktur Dalam Mekanika Teknik

noreply@blogger.com (Unknown) — Tue, 3 Feb 2015 14:10:00 +0700

Dalam disiplin ilmu teknik sipil dimana kita akan diajak bicara tentang bangunan gedung, jembatan dan lain sebagainya, maka kita perlu tahu bagaimana cara penggambarannya dalam mata kuliah mekanika teknik, apa itu beban, balok, kolom, reaksi, gaya dalam dan bagaimana cara penggambarannya dalam mata kuliah mekanika teknik.
Contoh :

Bentuk gedung bertingkat dalam penggambaran di mekanika teknik

Beban

Didalam suatu struktur pasti ada beban, beban yang bisa bergerak umumnya disebut beban hidup misal : manusia, kendaraan, dan lain sebagainya. Beban yang tidak dapat bergerak disebut beban mati, misal : meja, peralatan dan lainsebagainya. Ada beberapa macam beban yaitu beban terpusat dan beban terbagi rata.

a)Beban terpusat

Beban terpusat adalah beban yang terkonsentrasi di suatu tempat.

Notasi beban terpusat = P

Satuan beban terpusat = ton, kg, Newton, dan lainsebagainya,

b)Beban terbagi rata

Beban terbagi rata adalah beban yang tersebar secara merata baik kearah memanjang maupun ke arah luas.

Notasi beban terbagi rata = q

Satuan beban terbagi rata = ton/m’, kg/cm,Newton/m’ dan lainsebagainya.

Perletakan

Dalam bidang teknik sipil kita selalu membicarakan masalah bangunan seperti bangunan gedung, jembatan, dan lainsebagainya. Bangunan-bangunan tersebut harus terletak diatas permukaan bumi, hubungan antara bangunan tersebut dengan lapisan permukaan bumi dikaitkan dengan suatu pondasi.

Bangunan yang terletak diatas permukaan bumi disebut bangunan atas, sedang yang masuk pada lapisan permukaan bumi disebut dengan bangunan bawah. Hubungan antara bangunan atas dan bawah melalui suatu tumpuan yang disebut dengan “Perletakan”.

Contoh :

Hubungan antara bangunan atas jembatan dan bangunan bawah pondasi

Macam-Macam Perletakan

Dalam mekanika teknik perletakan berfungsi untuk menjaga struktur supaya kondisinya stabil.

Ada 4 macam perletakan dalam mekanika teknik yaitu : rol, sendi, jepit dan perodel.

a)Rol

Bentuk perletakan rol, pada suatu struktur jembatan yang bertugas untuk menyangga sebagian dari jembatan.

Karena struktur harus stabil maka perletakan rol tersebut tidak boleh turun jika kena beban dari atas, oleh karena itu rol tersebut harus mempunyai reaksi vertical (Rv).

Perletakan rol bila dilihat dari gambar struktur, maka rol tersebut bias bergeser ke arah horizontal. jadi tidak bisa mempunyai reaksi horizontal, bisa berputar jika diberi beban momen jadi tidak mempunyai reaksi momen.

b)Sendi

Bentuk perletakan sendi pada suatu struktur jembatan, yang bertugas untuk menyangga sebagian dari jembatan .

Karena struktur harus stabil, maka perletakan sendi tidak boleh turun jika kena beban dari atas, oleh karena itu sendi tersebut harus mempunyai reaksi vertikal (Rv). Selain itu perletakan sendi tidak boleh bergeser horizontal. Oleh karena itu perletakan sendi harus mempunyai reaksi horizontal (RH), sendi tersebut bisa berputar jika diberi beban momen. Jadi sendi tidak punya reaksi momen.

c) Jepit

Bentuk perletakan jepit dari suatu struktur, bertugas untuk menahan balok sosoran teras supaya tidak jatuh.

Karena struktur sosoran harus stabil maka perletakan jepit tidak boleh turun jika kena beban dari atas, oleh karena itu jepit tersebut harus mempunyai reaksi vertikal (Rv). Jepit tersebut tidak boleh berputar pada sambungannya jika kena beban momen, oleh karena itu jepit tersebut harus mempunyai reaksi momen, selain itu jepit juga tak boleh bergeser secara horizontal.

d) Pendel

Bentuk perletakan jepit dari suatu struktur, bertugas untuk menyangga sebagian dari struktur baja .

Pendel tersebut hanya bisa menyangga sebagian jembatan, hanya searah dengan sumbu pendel tersebut, jadi hanya mempunyai satu reaksi yang searah dengan sumbu pendel.

Gaya –Gaya dan Keseimbangan Gaya

noreply@blogger.com (Unknown) — Tue, 3 Feb 2015 10:25:00 +0700

Gaya serta sifat-sifatnya perlu difahami dalam ilmu Mekanika Teknik karena dalam ilmu tersebut, mayoritas membicarakan tentang gaya, sedang Mekanika Teknik adalah merupakan mata kuliah dasar keahlian yang perlu dimengerti oleh semua sarjana Teknik Sipil. Jadi dengan memahami sifat-sifat gaya, mahasiswa akan lebih mudah memahami permasalahan yang terjadi di pelajaran Mekanika Teknik. Misal pada suatu jembatan, kendaraan yang lewat adalah merupakan suatu beban luar yang ditampilkan dalam bentuk gaya.

Contoh :Suatu kendaraan yang terletak diatas jembatan,beban roda kendaraan pada jembatan tersebut adalah suatu beban atau gaya.

Pengertian tentang Gaya dan Garis Kerja gaya

Gaya adalah merupakan vektor yang mempunyai besar dan arah. Penggambarannya biasanya berupa garis dengan panjang sesuai dengan skala yang ditentukan. Jadi panjang garis bisa dikonversikan dengan besarnya gaya.

Contoh

Jadi 15 kg adalah gaya yang diberikan oleh orang untuk mendorong mobil mogok dengan arah kesamping kanan, yang diwakili sebagai gambar anak panah dengan panjang 1 cm karena 1 cm setara dengan 15 kg.

Garis kerja gaya adalah garis lurus yang melewati gaya

Contoh

Titik tangkap gaya adalah titik awal bermulanya gaya tersebut.

Contoh : mobil mogok diatas jembatan, roda mobil serta tumpuan tangan orang yang mendorong adalah merupakan titik tangkap gaya.

Sifat Gaya

Gaya dan titik tangkap gaya bisa dipindah-pindahkan asal masih dalam daerah garis kerja gaya.

Contoh dalam gambar K dan K1 adalah merupakan gaya.

Penjumlahan Gaya

Penjumlahan gaya bisa dilakukan secara analitis maupun grafis.

Penjumlahan secara grafis

a)Penjumlahan 2 gaya yang mempunyai titik tangkap yang sama, jadi gaya-gaya tersebut sebidang, bisa secara langsung dijumlahkan secara grafis.

Penjumlahan gaya secara grafis

K1, K2 adalah gaya-gaya yang akan dijumlahkan

Urut-urutan penjumlahan:

-Buat urut-urutan penjumlahan garis sejajar dengan K1 dan K2 di ujung gaya, (K1 diujung K2 dan sehingga K2 diujung K1 ) membentuk bentuk jajaran genjang D.A.C.B

-Salah satu diagonal yang panjang tersebut yaitu R adalah merupakan jumlah dari K1 dan K2

b)Penjumlahan 2 gaya yang sebidang, tapi titik tangkapnya tidak sama.

Gaya-gaya tersebut bisa dipindahkan sepanjang garis kerja gaya.

Penjumlahan gaya secara grafis, yang titik tangkapnya tidak sama

-K1 dan K2 adalah gaya-gaya yang akan dijumlahkan.

-2 gaya tersebut tidak mem-punyai titik tangkap yang sama, tapi masih sebidang.

Urutan-urutan penjumlahan

-Gaya K1 dipindah searah garis kerja gaya sampai garis kerja gaya K1 bertemu dengan garis kerja gaya K2, pertemuannya di titik 0.

-Buat garis-garis sejajar gaya K1 dan K2 di ujung-ujung gaya yang berlainan sehingga membentuk suatu jajaran genjang, OABC

-Salah satu diagonal yang terpanjang (R) adalah merupakan jumlah dari K1 dan K2.

c)Penjumlahan 3 gaya yang mempunyai titik tangkap tunggal

Penjumlahan tersebut bisa dilakukan secara bertahap

Penjumlahan 3 gaya secara grafis

K1, K2 dan K3 adalah gaya-gaya yang akan dijumlahkan dengan titik tangkap tunggal.

Urut-urutan penjumlahan:

-Jumlahkan dulu K1, K2 dengan cara membuat garis sejajar dengan gaya-gaya tersebut (K1, K2) di ujung-ujung gaya yang berlainan sehingga membentuk suatu jajaran genjang 0ACB

-Salah satu diagonal terpanjang yaitu R1 adalah merupakan jumlah K1 + K2

-Buat garis sejajar K3 dan R1 di ujung gaya-gaya yang berlainan sehingga membentuk jajaran genjang 0CED

-Salah satu diagonal terpanjang (R2) adalah jumlah dan R1 dan K3 sehingga sama dengan jumlah antara K1, K2 dan K3.

d)Penjumlahan 3 gaya yang tidak mempunyai titik tangkap tunggal

Penjumlahan tersebut dilakukan secara bertahap

Titik tangkap gaya bisa dipindahkan sepanjang garis kerja gaya.

Penjumlahan 3 gaya yang tidak mempunyai titik tunggal, secara grafis

Urut-urutan penjumlahan:

-K1, K2 dan K3 adalah gaya-gaya yang akan dijumlah-kan.

Kerjakan dulu penjumlahan antara K1 dan K2 dengan cara :

-Tarik gaya K1 dan K2 sehingga titik tangkapnya bertemu pada satu titik di O.

-Buat garis sejajar K1 dan K2 pada ujung-ujung gaya yang berlainan sehingga membentuk jajaran genjang OACB

-Salah satu diagonal yang terpanjang yaitu R1 adalah merupakan jumlah dari K1 dan K2.

-Tarik gaya R1 dan K3 sehingga titik tangkapnya bertemu pada titik di 01

-Buat garis sejajar R1 dan K3 melalui ujung gaya yang berlainan sehingga membentuk jajaran genjang 01, D F E, salah satu diagonal yang terpanjang adalah R2 yang merupakan jumlah antara R1 dan K3 berarti jumlah antara K1 dan K2 dan K3.

Polygon Batang Jari-jari Polygon

Polygon batang dan jari-jari polygon

-Gaya K1, K2, K3 dan K4 adalah gaya-gaya yang mau dijumlahkan

-Untuk pertolongan, perlu dibuat jari-jari polygon (lihat gambar) dengan cara sebagai berikut :

-buat rangkaian gaya K1, K2, K3 dan K4 secara berurutan dimana tiap-tiap gaya sejajar dengan gaya aslinya (pada gambar jari-jari polygon).

-pangkal gaya K1 dan ujung gaya K4 merupakan jumlah (resultante) gaya K1, K2, K3 dan K4 yaitu R, yang diwakili oleh garis sepanjang a-e tapi letak titik tangkapnya belum betul.

-Ambil titik 0 sembarang di daerah sekitar R

-Tarik garis dari 0 ke ujung-ujung gaya sehingga ketemu titik a, b, c, d, dan e, garis - garis tersebut diberi tanda titik satu buah (0) sampai lima buah (00000) pada garis tersebut. Garis-garis tersebut dinamakan jari-jari polygon.

-Dari gaya-gaya asal yang akan dijumlahkan ditarik garis sejajar Oa (0) memotong gaya K1 di titik A

-Dari titik A dibuat garis sejajar Ob (00) memotong gaya K2 di titik B

-Dari titik B dibuat garis sejajar Oc (000) memotong K3 di titik C.

-Dari titik C dibuat garis sejajar Od (0000) memotong K4 di D.

-Dari titik D dibuat garis sejajar Oe(00000),perpanjangan garis (0) dan garis(00000) pada polygon batang akan ketemu di titik O’ yang merupakan titik tangkap jumlah (resultante) gaya-gaya K1, K2, K3 dan K4.

-Dari titik O’ dibuat garis sejajar R yaitu garis R’.

Jadi R’ adalah merupakan jumlah (resultante) dari gaya-gaya K1, K2, K3 dan K4 dengan titik tangkap yang betul, dengan garis kerja melewati 0’

Penjumlahan secara analitis

Dalam penjumlahan secara analitis kita perlu menentukan titik pusat (salib sumbu) koordinat, yang mana biasanya sering dipakai adalah sumbu oxy. Didalam salib sumbu tersebut gaya-gaya yang akan dijumlahkan, diproyeksikan.

a)Penjumlahan 2 gaya yang mempunyai titik tangkap tunggal

-K1 dan K2 adalah gaya-gaya yang akan dijumlah-kan dimana mempunyai titik tangkap tunggal di O ; a adalah sudut antara K1 dengan sumbu ox

b adalah sudut antara K2 dengan sumbu ox

-K1 dan K2 diuraikan searah dengan sumbu x dan y

K₁x = K₁cos a ; K₂x = K₂ cos b

K₁y = K₁ sin a ; K₂y = K₂ sin b

Semua komponen yang searah ox dijumlahkan demikian juga yang searah dengan oy.

Rx = K1x + K2x Rx =SKx
Ry = K1y + K2y Ry =SKy

Jumlah gaya total yang merupakan penjumlahan secara analitis dari komponen-komponen tersebut adalah : R =

b)Penjumlahan 2 gaya dengan letak titik tangkap berbeda

Penjumlahan gaya dengan titik tangkap berbeda, secara analitis

-K1 dan K2 adalah gaya-gaya yang akan dijumlah-kan dengan letak titik tangkap berbeda.
K1 membentuk sudut a dengan sumbu ox
K2 membentuk sudut b dengan sumbu ox.
-K1 dan K2 diuraikan searah dengan sumbu x dan y

K₁x = K₁cos a ; K₂x = K₂ cos b

K₁y = K₁ sin a ; K₂y = K₂ sin b

Semua komponen yang searah ox dijumlahkan demikian juga yang searah dengan oy.

Rx = K1x + K2x Rx =SKx
Ry = K1y + K2y Ry =SKy

Jumlah gaya total yang merupakan penjumlahan secara analitis dari komponen-komponen tersebut adalah : R =