MIPEDES

Decorar é preciso

2025-01-05T20:00:00.049-03:00

Há pessoas que não concordam com o que está proposto no título desta postagem. Acham que é preciso entender e não decorar… Mas em que momento alguém disse ou escreveu que estas coisas são mutuamente excludentes? É preciso entender o que está estudando e muitas vezes e, na sequência, é preciso decorar, memorizar, lembrar a propriedade que está sendo objeto de estudo e é sobre isso que quero discorrer neste texto.

E não há problemas em usar os dedos para ajudar… :-D

Eu iria até um pouco além… O professor Gilberto Garbi publicou na RPM 68 (Revista do Professor de Matemática 68) um artigo cujo título é Decorar é Preciso Demonstrar Também é e você pode encontrar este artigo AQUI. O professor critica a falta de demonstração dos teoremas matemáticos no ensino de matemática e nisso estamos de acordo. Divergimos em relação à matemática ser a Rainha das Ciências, pois, pra mim, matemática não é ciência. ;-) Veja esta postagem em que falo de Matemática NÃO ser uma Ciência.

Nosso foco neste texto não é falar das demonstrações e sim da necessidade de decorar ou seja, de memorizar o estudado. Vou lhe contar uma breve história que aconteceu comigo.

O que aprendi com o Kumon

Um disclaimer inicial: não estou ganhando nada para falar do Método Kumon. Dito isso, quando eu tinha pouco mais de 20 anos (já faz muuitooo tempo… quase 30 anos atrás) eu ouvi de um pai de estudante que o filho tinha muita dificuldade e que ele tinha sido matriculado no Kumon e que tinha tido uma transformação e consequentemente, melhorado muito…

Eu era professor há pouco tempo e em sala de aula eu via estudante com dificuldade para entender matemática e queria entender que método era usado o Kumon, pois eu queria aprender para poder usar com os meus estudantes, mas não conhecia ninguém que sabia me dar esta resposta. Então procurei uma unidade da franquia e me matriculei.

Eu era o único adulto no meio de uma porção de crianças… Era estranho, mas eu queria saber o que havia lá. Bom, no primeiro dia a moça que atendia aos estudantes me deu um caderninho com uma porção de continhas simples:

8+4= 3+7= 5+8= 8+4= 9+5= 8+6=

e assim por diante. Era um caderninho com uma infinidade destas continhas para fazer. Havia um tempo (acho que era 12 min) para fazer todo o caderno. Eu tinha que fazer certo e fazer rápido.

Aqui vou abrir um parênteses para o 8+6 e explicar o caminho mental que eu fazia, mesmo depois de adulto, para encontrar essa soma. Eu não tinha o resultado pronto. Todas as vezes que eu tinha que saber quanto dava 8+6 eu fazia o seguinte caminho mental: adicionava 2 ao 8 para ficar com 10+6 e este sim eu sabia de cabeça que dava 16 e depois eu retirava o 2 que eu tinha adicionado e encontrava 16-2=14 e daí concluía que 8+6=14.

Entretanto, resolvendo um caderninho atrás do outro com várias continhas para fazer eu reconheço que em algum momento eu pude abandonar este caminho mental, pois quando eu via 8+6 em minha frente eu já lembrava do 14. Há quem critique este método de repetição, mas quer saber? Funciona… Eu consegui baixar o meu tempo para menos de 12 min e aí recebi um outro caderninho com outras continhas para fazer… Lembro-me que as continhas já eram com numerais com dois algarismos colocadas na vertical… Algo como

012
+15
——

Não havia um método que eu pudesse transpor para a sala de aula. Não era uma forma de ensinar no sentido de um método que o estudante ouvia, entendia e pronto. Está aprendido. Talvez uma forma de ensinar que consistia no estudante passar tantas vezes por uma mesma situação em que ao longo do tempo as soluções daqueles problemas pudessem ser acessados de forma praticamente automática, sem precisar pensar sobre aquilo. Algo como eu ver 8+6 e o 14 já vir à minha mente automaticamente. Quando ver 5x8 já vem o 40 à mente, isto é, não precisar lembrar que 5x8 é o 8 adicionado com ele mesmo 5 vezes, ou seja, $$8+8+8+8+8=16+16+8=32+8=40,$$ ou que $5x8=8x5$, ou seja 8 vezes o 5, isto é, o 5 adicionado com ele mesmo 8 vezes, como em $$5+5+5+5+5+5+5+5$$ e aí você pode agrupar dois cinco e perceber que é o mesmo que $$10+10+10+10=40.$$ Em algum momento o estudante pode e deve entender o porquê de 5x8=40, mas depois disso, ele precisa lembrar, precisa ter decorado, memorizado que 5x8 é igual a 40 e esta resposta está à sua disposição, mentalmente falando, sem que precise acessar algum caminho mental para chegar até ela.

A tabuada clássica da aritmética deve ser decorada

E a tabuada clássica, das operações básicas da aritmética é algo que precisa estar na cabeça do estudante com os resultados na ponta da língua, como eu ouvia muito quando era criança. É PRECISO DECORAR. Ah, mas hoje tem calculadoras que fazem este cálculo, MAS PRECISA DECORAR todas as tabuadas da aritmética. Eu diria que nem é só a de 0 a 10 e sim de 0 a 12. Você não pode pedir uma calculadora todas as vezes que precisar saber, por exemplo, quanto é 7x8. A propósito, meu pai até fez uma musiquinha para eu lembrar que 7x8 era 56, pois ele me tomava a tabuada e eu sempre errava esta. Meu saudoso pai… :’/ Enfim…

Outras Tabuadas - Ensino Superior

Esta seção é dedicada a pessoas que estudaram, estudam ou pretendem estudar matemática na universidade. Normalmente se tem isso em cursos de matemática, física, química, um pouco em biologia, e nas diversas engenharias, ou… Se você é um entusiasta da matemática, esta seção também é pra você. :-D

Eu não diria que as tabuadas da aritmética são as únicas coisas que precisa decorar. Quem estuda Cálculo Diferencial e Integral, normalmente isso ocorre em cursos superiores,, tem algumas respostas que precisam estar na ponta da língua. Eu diria que há uma Tabuada de Derivadas, por exemplo, que a resposta deve ser memorizada, decorada, estar na ponta da língua.

Se você se deparar com a Derivada da tangente não é para ficar pensando que $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ e aí você pode usar a regra do quociente etc etc. Não não… É preciso saber que derivada da tangente é secante ao quadrado e ponto final. Em um momento da sua vida, sim, você vai escrever o passo a passo para entender o porquê de $$D_x[\tan(x)]=\sec^2(x),$$ mas entendido isso, é preciso que saiba isso de cor1. Eu escrevi algumas tabuadas de Derivadas para ajudá-los a treinar essas derivadas e trazer elas para a memória.

Estas Tabuadas de Derivadas foram escritas de modo que na primeira o estudante deve memorizar as derivadas de seis funções, na segunda acrescentamos mais quatro e na terceira colocamos um número maior de funções que você deve saber de cor (decorado).

Entenda o seguinte: não é que você vai aceitar os resultados antes de uma demonstração. Não é isso… Uma vez na vida, você deve sim ver a demonstração que mostra que D[sen(x)]=cos(x). Entenda a demonstração e depois DECORE que Derivada do Seno é o Cosseno. A seguir estão as funções e suas derivadas que os estudantes de Cálculo Diferencial precisam ter decorado / memorizado / saber de cor.

$$\begin{array}{rcl}
\mbox{Função}&&\mbox{Sua Derivada}\\
D_x[k]&=&0\\
D_x[x^n]&=&n.x^{n-1}\\
D_x[\ln |x|]&=&\frac{1}{x}\\
D_x[\sin(x)]&=&\cos(x)\\
D_x[\cos(x)]&=&-\sin(x)\\
D_x[e^x]&=&e^x
\end{array}$$

Eu também escrevi algumas tabuadas de integrais, mas esta postagem já está um pouco longa e eu posso disponibilizá-las depois.

Conclusão

Eu penso que há resultados que devem estar disponíveis mentalmente, independente de hoje em dia termos tecnologia à disposição para obter eles de prontidão em sua mão. Saber esses resultados lhe dá autonomia para caminhar em raciocínios mais complexos sem ter que parar a todo o momento para saber quanto é o resultado de uma operação aritmética ou a derivada de alguma função básica. Se precisar da derivada, por exemplo, de uma função mais complexa2 use um sistema computacional para agilizar os cálculos.

Entenda que a defesa aqui não é que tudo seja feito de forma manual. Não mesmo e quero escrever sobre isso depois (uso de recursos computacionais no ensino de matemática). A defesa é que se tenha memorizado o básico necessário para construir um raciocínio lógico em que não se tenha que parar a todo instante para se ter respostas de coisas básicas. ;-)

É isso… Um grande abraço.
Luís Cláudio LA

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Rodapé

A expressão "saber de cor" significa saber algo bem, recorrendo à memória, sem precisar fazer esforço ou pensar muito.

A palavra "cor" vem do latim cor, cordis, que significa "coração". Na antiguidade, acreditava-se que o coração era o órgão responsável pelo pensamento e pela memória. Por isso, "saber de cor" significa "saber de coração".

A expressão "saber de cor" surgiu na França, em meados do século XVI, como "savoir par coeur".

Função complexa aqui não está fazendo referência a funções que envolvem unidade imaginária e sim funções que envolvem composição com outras e uma pilha de operações. O complexa é neste sentido, ok? ;-)

Matemática NÃO é ciência

2025-01-02T10:22:00.001-03:00

Em uma publicação na RPM 68 (Revista do Professor de Matemática) o autor do artigo “Decorar é Preciso Demonstrar Também é” faz referência à matemática como “A Rainha das Ciências” (artigo AQUI). Eu, respeitosamente, não concordo com o eminente professor e vou tentar mostrar o porquê neste pequeno texto que segue.

A pergunta primária que precisa ser respondida é: o que é ciência? A pergunta primária que precisa ser respondida é: o que é ciência? Ocorre que há muitas áreas de conhecimento querem ser ciência, pois este é um selo valioso, mas, muitas vezes, não conseguimos concordar em relação a esta definição. Afinal de contas…

O que é Ciência?

Há pessoas que defendem a ideia de que tudo é ciência, isto é, qualquer conhecimento produzido é ciência, mas… Se tudo é ciência, então nada é… É como aquela fala do Síndrome do filme Os Incríveis em que ele diz estar trabalhando para que se tenha um cenário onde todos sejam super-heróis e quando todos forem… Ninguém será…

“Quando todos forem super-heróis… Ninguém será” - Síndrome

Em um cenário em que qualquer conhecimento produzido é ciência então… [conclua] As pessoas sentem que suas áreas ficam menores se aquilo com o que estuda ou trabalha não se encaixar no que se define como ciência, mas esta é apenas uma forma de se produzir conhecimento…

A seguir vamos escrever uma definição de ciências e a partir dela temos como discutir se matemática é ciência ou não.

Ciência é todo o conhecimento produzido utilizando o método científico.

É uma definição bem razoável, não? Uma outra pergunta poderia ser:

No que consiste o método científico?

Como mencionado anteriormente, esse método é apenas uma das formas de se produzir conhecimento e ele pode ser dividido em etapas e estas consiste em:

Observação
Questionamento
Formulação de hipótese
Realização de experimentos
Análise das hipóteses
Conclusão

Quando o conhecimento é produzido ancorado neste método, é possível que outros pesquisadores repliquem o experimento feito e faça as próprias observações, tire suas próprias conclusões, compare com as conclusões já tiradas, veja se há algum ponto de divergência etc.

Este é um método em que a hipótese seja falseável, isto é, o que quer ser investigado precisa ter claro o que se deve verificar caso a hipótese seja falsa. Por exemplo, vamos considerar a seguinte hipótese: todos os cisnes são brancos. O que é preciso que se mostre para que esta hipótese seja falsa? Ah… Basta encontrar um cisne que não seja branco. Este é um ponto de falseabilidade. Então eu tenho uma hipótese que quero investigar se é verdadeira ou não, mas para mostrar que ela é falsa podemos mostrar que ‘tal coisa acontece’…

E a matemática? Ela é ciência?

Quem estuda ou já estudou matemática sabe que neste estudo não se usa o método científico. Então, tomando como ciência o conhecimento que é produzido usando o método científico, matemática não é ciência.

A matemática é dedutiva, pois ela parte de alguns axiomas (verdades que são aceitas sem que sejam necessárias demonstrações) e a partir de manipulações lógicas se conclui outras verdades. Estas novas conclusões/verdades, passam a poder ser hipóteses para se verificar se outras teses são verdadeiras ou não e assim, a construção do conhecimento vai sendo feita, mas ela não usa o método científico em nenhum momento. Então, matemática não é ciência. A matemática é uma LINGUAGEM e eu vou escrever sobre isso em outra postagem. ;-)

Não ser ciência diminui a importância da matemática?

De forma alguma. A matemática não é ciência, mas é um conjunto de ferramental lógico que serve a uma variedade de ciências e isso pra mim é muito relevante (falando pela matemática).

É muito provável que alguém discorde, mas neste caso, precisamos saber se temos um solo em comum. Lá em cima eu disse o que eu considerava como ciência e desenvolvi meu raciocínio a partir daquela definição. Caso outra pessoa tenha como ciência outra coisa, como, por exemplo “qualquer conhecimento produzido é ciência” então não temos um solo em comum para discussão, concorda? :-D

É isso aí minha gente… Quero sempre deixar algum texto por aqui para reflexão, alguns pitacos e como eu vi que esta plataforma suporta LaTeX, eu consigo escrever textos matemáticos e aí dá até para ter textos mais próprios da matemática.

Também são assuntos de meu interesse processos educativos que produzem conhecimento junto aos estudantes, como conduzir este processo, registrar e aprimorar.

Além disso me interessa também falar sobre gestão de pessoas e processos diversos… Vamos nos falando…

Abração pro 6.
Luís Cláudio LA

Notas escolares não são para isso

2024-12-01T10:47:00.001-03:00

Talvez eu precise de mais de uma postagem para escrever sobre este assunto… Eu recebi há pouco um contato de um estudante de doutorado que foi incumbido por sua professora de fazer a correção dos trabalhos dos estudantes da turma dela. Com o retorno das notas, alguns estudantes foram reclamar com a professora a respeito das notas…

Um estudante teria dito para a professora como ele se sentiu mal com a nota porque ele trabalhou por 2 (duas) semanas no projeto e não conseguiu ter uma nota acima da média da turma. Nota: a nota média da turma foi 81 e este estudante ficou com 80 (sim, é uma universidade de altíssimo nível, como se vê). Eu gostaria de pegar esta história real para tecer algumas palavras sobre este assunto.

É função das notas que se tem em escolas e universidades ser uma forma de reconhecimento do esforço do estudante?

Vamos lá… O esforço do estudante pode, por óbvio, resultar em uma boa nota e geralmente resulta, mas o esforço por si só não deve, a meu juízo, ser o definidor da nota do/a estudante.

Imagine que você queira subir uma montanha e para isso você se esforça e dá o seu máximo. Isso é condição necessária (se esforçar na preparação física, mental, escolha e organização dos equipamentos etc.) para conseguir subir a montanha? Penso que para a maioria das pessoas, sim, isso é necessário. Mas isso é suficiente? Penso que não.

Quando o/a professor/a passa um trabalho aos estudante é necessário que se tenha claro a todos os envolvidos no processo (professor/a, estudantes e monitor, no caso) o que se quer com aquele trabalho. A avaliação deve ir ao encontro do que se colocou como objetivo de aprendizagem e se ter claro quais serão os pontos que serão observados, ou seja, se ter claro quais são os critérios que serão utilizados na avaliação do trabalho proposto.

Por exemplo: o trabalho pode consistir em escrever um artigo como se fosse para publicação e é estabelecido que a estrutura do artigo deve contemplar:

Título
Resumo
Palavras-chave
Introdução
Metodologia
Resultados
Discussão
Conclusões e considerações finais e
Referências bibliográficas.

Então, isso deve ser de conhecimento de todos envolvidos no processo e o que se terá de pontuação para cada um destes itens. Dentro destes pode (e deve) deixar claro o que se espera dos estudantes. Por exemplo:

Resumo: o resumo deve conter o objeto de estudo, metodologia e resultados/conclusão (por exemplo). Então, quem está escrevendo sabe o que deve ter no resumo e quem vai corrigir sabe o que deve observar: se o estudante escreveu um texto em que se vê o objetivo do estudo, a metodologia utilizada e os resultados então há uma divergência entre o que foi solicitado e o que foi entregue e a pontuação do item é o que vai indicar ao avaliado o quão próximo ele esteve do esperado/solicitado.

Introdução: a introdução deve ter os seguintes elementos:

Apresentação do tema e da problemática
Contextualização do tema
Justificativa da pesquisa
Descrição do problema
Objetivo geral
Contribuições
Relevância do estudo

Ademais, na introdução não deve conter resultados ou conclusões.

Então, o estudante que vai fazer o trabalho (em nosso exemplo escrever um artigo) deve ter isso em mente e quem vai corrigir deve observar se no texto escrito se tem todos os itens. Tudo deve estar claro para que todos os envolvidos no processo saibam o que se quer e o que foi entregue. A pontuação referente a esta parte do trabalho, assim como dito anteriormente, vai indicar ao estudante avaliado o quão perto do solicitado/esperado ele/a está.

E assim por diante… Colocamos aqui dois itens do que seria observado na construção do artigo, mas você pode escrever o que quer observar em todos os outros. :-D De um modo geral a pontuação atribuída deve ter esse caráter. Quando fazemos um exame médico e depois fazemos um tratamento não há uma avaliação inicial (exames médicos) e quando retorna ao médico não há mais uma bateria de exames? Em todos os exames se leva em conta as suas taxas com as taxas de referência. O que se quer é chegar o mais próximo possível destas taxas de referência, não é? A avaliação de um trabalho também vai em sentido parecido: avaliar o quanto que os/as estudantes chegaram próximos do esperado/ desejado/ solicitado.

Uma sugestão de ferramenta para implementar essa ideia

Talvez não seja possível, em princípio, retirar toda a subjetividade da correção, mas é possível trabalharmos para diminuí-la ao máximo. Uma forma de se fazer isso é colocar esses critérios em uma planilha. Deixaremos uma como exemplo para esta postagem que você pode acessar e fazer uma cópia pra você a partir 👉DESTE LINK👈. Faça uma cópia da planilha pra você e edite os textos.

Você terá acesso a uma planilha em que se pode colocar todos os itens que serão observados no trabalho (Coluna C). Na coluna D você define os pesos de cada observação e nas colunas E até J você marca com um X o que julga que o estudante mostrou em que 0 é algo como “nenhum conhecimento foi observado” e 5 é algo como “conhecimento pleno” ou “o apresentado está totalmente de acordo com o esperado.

Se os estudantes têm acesso a uma descrição do que é esperado deles/as em relação à atividade que eles têm que desenvolver isso é bom (talvez seja ótimo), pois este instrumento também serve como orientação de estudo ou de escrita.

Ademais é sabido também todos os critérios para a correção, tanto para os estudantes que vão fazer o trabalho, tanto para o estudante monitor que vai corrigir os trabalhos quanto para o/a professor/a da disciplina. E se o estudante não achar que algum item está com nota abaixo do que ele/a julga justo, a argumentação deveria ir no sentido de mostrar que no trabalho que ele/a entregou este item está contemplado com excelência e não argumentar que se dedicou duas semanas para o trabalho e que se sente desvalorizado/a ou algo do tipo.

NOTA NÃO É PARA ISSO

Nota não é uma forma de valorização da/do pessoa/estudante. Tentando falar a linguagem dos engenheiros (que foi de onde veio o contexto), veja a nota como um SENSOR. Para que ele funcione bem, eu preciso, antes de tudo, saber o que este sensor vai observar: o nível de luminosidade de um ambiente para decidir se liga ou desliga a luz? Ou é um sensor de umidade para saber se liga ou desliga uma irrigação ou um sensor que acompanha a sua pupila para saber onde está olhando e acionar alguma coisa ou emitir algum sinal sonoro se perceber algo específico (por exemplo, que está com sono…). Enfim, NOTA É COMO UM SENSOR.

E o que este “sensor” chamado NOTA está observando? Basicamente é o quanto o estudante se aproximou do que era esperado em relação ao aprendizado. Para isso, é necessário que os/as professores/as tenham claro: O QUE É ESPERADO DE APRENDIZADO? QUAIS SÃO OS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM DEVEM SER ALCANÇADOS?

De forma simplificada poderia tentar completar a seguinte frase: ao final deste processo é esperado que o/a meu/minha estudante seja capaz de… E os estudantes precisam saber disso também, ou seja, o que é esperado deles/as?

Sobre monitores corrigindo trabalhos de estudantes de um professor

Eu não sei se há algum objetivo claro quando se pede a estudantes de doutorado que corrijam trabalhos dos estudantes de um/a determinado/a professor/a em uma disciplina/ matéria/ componente curricular/ unidade curricular (mudam tanto os nomes que nem sei o que é certo dizer hoje). Pode ser que, com isso, o/a estudante monitor doutorando/a tenha contato com algum conhecimento que seja importante para o desenvolvimento do doutorado dele/a.

Mas mesmo se for assim, eu tenho algumas palavras a dizer sobre este assunto. Eu penso que correção de trabalhos, provas, artigos, etc. seja uma tarefa do/a professor/a regente que não deveria ser terceirizado a estudantes monitores. Faz parte do trabalho do/a professor/a observar e acompanhar o aprendizado dos estudantes. Tudo bem, é um trabalho meio chato, mas é o nosso trabalho como professor/a. Se não corrigirmos esses trabalhos, como saberá no que os estudantes precisam de ajuda? O que os estudantes não entenderam bem, depois da aula expositiva e do trabalho feito?

As avaliações de meio de curso, penso eu, precisam ser formativas, ou seja, devem ser avaliações feitas para promover intervenções pedagógicas posteriores para que possam ‘atacar’ os pontos em que os estudantes não entenderam bem o exposto. Aí, talvez, o monitor pudesse ajudar com uma intervenção com os estudantes ajudando eles/as a melhorar nos pontos em que não foram bem.

No caso específico da história que usei para abrir esse texto, depois do retorno, os estudantes poderiam ter a oportunidade de pegar o resultado da avaliação do artigo e poder reescrever à luz dos feedbacks (retornos) dados. Qual o problema com isso? A média da turma sair de 81 e ir para 95? Mas não é o que nós, professores, deveríamos querer?

Enfim, é isso… Ainda tenho muito a dizer sobre avaliações. Aqui eu me inspirei na história que recebi que envolve estudantes de uma instituição de altíssimo nível (veja só a nota média da turma) em que os estudantes não têm aquelas dificuldades comuns a estudantes de Ensino Fundamental e Médio. Falei aqui sobre o processo que EU julgo ser apropriado, entretanto, é possível que haja outros processos. ;-)

Eis alguns pontos que quero desenvolver em publicações futuras:

Reprovação e aprovação de estudantes: como podemos lidar com isso?
Notas no Ensino Fundamental e Médio
Avaliações: os principais tipos e seus propósitos.
Como podemos avaliar seminários

Algum outro tema? :-D

Abração pro 6.
Luís Cláudio LA

A Alegoria da Caverna e a Religião

2022-04-24T13:00:00.004-03:00

A Alegoria da Caverna é uma metáfora narrada por Platão, que continua bem atual, diga-se de passagem, em que é possível traçar vários paralelos com a vida de hoje e é sobre um desses paralelos que quero falar neste pequeno texto: a religião.

Fonte imagem: https://conhecimentocientifico.com/mito-da-caverna-2/

A referida alegoria está em um livro chamado A República, obra que discute a teoria do conhecimento, linguagem e educação para a construção de um Estado ideal. Um tema bem atual, se parar para pensar.

Veja mais detalhes sobre o livro AQUI.

A Alegoria da Caverna

Neste livro (acima) Platão narra um diálogo travado entre Glauco e Sócrates, em que este conta uma história a Glauco para falar-lhe sobre o conhecimento humano. Para isso ele usa este recurso linguístico que hoje chamamos de alegoria para tentar explicar senso comum do mundo sensível em que muitas pessoas acreditam no que os seus sentidos lhes proporcionam. Na outra ponta estaria o mundo inteligível baseado na razão em que o senso crítico é uma premissa.

Na alegoria narrada por ele, devemos imaginar uma situação em que algumas pessoas são prisioneiras desde sempre e são mantidos acorrentadas em uma caverna. Lá há uma fogueira e eles conseguem ver apenas as sombras projetadas nas paredes de algo que eles nunca viram de fato. Aquilo é o que os olhos deles veem desde sempre e o que eles têm como realidade. Junte a isso os seus outros sentidos, que contribuem para a construção da realidade. O que eles conhecem de realidade é apenas o que eles veem, ouvem, cheiram, sentem na pele (frio, calor...) etc. É o mundo dos cinco principais sentidos [sim, porque há bem mais que cinco sentidos, certo?].

Fonte imagem: https://conhecimentocientifico.com/mito-da-caverna-2/

Entretanto, estas pessoas, que acreditam que apenas o que seus cinco principais sentidos lhes apresentam, não pensam, em um primeiro momento, que estas imagens podem estar, de alguma forma, sendo produzida por outras pessoas com o objetivo de fazer com que creiam em algo que não necessariamente é verdade ou é real. A própria sombra em si já é algo que poderia vir de algo não real. Entretanto, mesmo as sombras de um objeto ou animal não é, de fato, o objeto ou o animal, respectivamente.

Adicione a isso que esta sombra poderia estar sendo, propositalmente, projetada a partir de coisas que não são reais por fomentadores de ideias. A ilustração seguinte mostra como seria isso, nesta alegoria.

Na narrativa, um dos prisioneiros consegue se livrar das correntes e ver o mundo tal qual ele é de verdade (se bem que ele ainda estaria usando os cinco sentidos para ver esse novo mundo, mas tudo bem...). Você já deve ter estudado sobre a Alegoria da Caverna em aulas de Filosofia na escola e se não estudou e quer beber na fonte, leia o livro mencionado no início desta postagem ou acesse diversos materiais disponíveis na internet como texto (aqui mesmo foi citado uma fonte - na primeira imagem) e há vídeos no YouTube que falam sobre isso.

Onde podemos ver a Alegoria da Caverna?

Em filmes, eu posso citar alguns em que você verá de forma clara isso como por exemplo:

Matrix (1999, Irmãs Wachowski): Neste filme, a própria Matrix é a sombra na caverna, pois é a projeção da realidade.
O Show de Truman (1998, Peter Weir): Neste filme a vida da personagem principal é a sombra na caverna, pois nada daquilo é real.
Ilha do Medo (2010, Martin Scorsese): Neste filme, nada que a personagem principal vê e vivencia é real e a vida desta pessoa é a própria sombra na caverna.

Esses três filmes eu vi, mas há outros que não vi ainda e que deixo como sugestão que visitem ESTA MATÉRIA em que o autor da postagem elenca 10 filmes em que você pode perceber a Alegoria da Caverna. Quando estiver vendo, tente perceber o que seriam as "sombras na caverna" ali...

Podemos perceber a Alegoria da Caverna no cotidiano de muitas pessoas. Há algum tempo a TV poderia ser vista como a sombra na caverna, pois mostrava algo que não era real para muitas pessoas em teledramaturgias e também em cobertura jornalísticas, haja vista que todas as notícias que chegam ao telespectador foram passadas pelo filtro de vários profissionais e assim, estamos vendo o mundo pela lente (literalmente) deles.

Dependendo do que se está reportando, uma cobertura de um evento por uma rede de notícias ou por outra, verá que parece que falam de coisas completamente diferentes: por exemplo: Bolsonaro na ONU. Procure por notícias veiculadas pela Rede Record e pela Band ou Globo. São as sombras projetadas da realidade. O que é realmente real?

Vou deixar aqui dois vídeos para você ver, se você quiser. O primeiro explica o porquê das notícias serem diferentes em diferentes veículos. Basicamente ele explica que notícia é um produto.

Por que as notícias são diferentes em diferentes veículos? https://youtu.be/Etr5vZPCDYg

O próximo vídeo fala sobre os cinco grandes filtros que as redes de notícias usam. Nele você pode entender como são pautadas as notícias e entender que o que você vê é escolhido para que você veja aquilo. A sombra que cada rede projeta na parede da caverna pode mudar dependendo de uma rede ou outra. Você pode ver, se você quiser, é claro.

Filtros de manipulação: como a grande mídia nos manipula: https://youtu.be/lXXx9pDqtLI

Hoje há também as Redes Sociais em que muitas pessoas enxergam o mundo pelas lentes das redes sociais e lá, a realidade parece ser sempre melhor do que aquela que vivenciamos. É um mundo ficcional em que as pessoas tentam mostrar, em muitas vezes, o que elas não são.

E onde entra a religião?

Pois é... Comecei esse texto pretendendo falar de como a religião é, também, uma sombra projetada no fundo da caverna. Até por não ser algo que se possa comprovar por meio de algum experimento, as pessoas tendem a acreditar no que fala o pastor, padre, guru etc.

A realidade projetada no fundo da caverna pode ser o que as pessoas acreditam como sendo verdades que foram falada pelos seus líderes religiosos (sejam eles quem forem). Algumas pessoas já nasceram dentro de ambientes religiosos e o que elas acreditam é o que ela cresceu ouvindo. Raramente a pessoa dá um passo atrás e questiona se tudo aquilo ali faz sentido e quando fazem isso, se sentem com a consciência pesada. Imagino que seja como se estivesse traindo seus princípios.

Eu acredito que exista pessoas religiosas boas que realmente se preocupam em levar uma mensagem de fé para as pessoas e que veem isso como uma missão de vida. Eu até acredito que a religião teve um papel social ao longo da história. Além disso, ainda hoje, religiões podem trazer, para quem acredita, conforto aos corações dos aflitos, esperança a quem não tem a quem recorrer como por exemplo alguém doente em um estado terminal.

Mesmo que a imagem da sombra projetada no fundo da caverna (religião) não seja algo que venha, necessariamente, de algo real, é reconfortante, em alguns casos (para quem acredita), pensar que há algo maior do que nós. Eu penso que esta "sombra na caverna" será sempre uma sombras porque toda a religião é calcada em dogmas e pela própria definição da palavra dá para se perceber que ninguém pode contestá-los.

Dogma é um termo de origem grega que significa literalmente “o que se pensa é verdade”. Na antiguidade, o termo estava ligado ao que parecia ser uma crença ou convicção, um pensamento firme ou doutrina. (...) Os dogmas proclamados pela Igreja Católica devem ser aceitos como verdades reveladas por Deus através da Bíblia. São irrevogáveis e nenhum membro da Igreja, nem mesmo o Papa, tem autoridade para os alterar. São exemplos de dogmas a Existência de Deus e da Santíssima Trindade, Jesus Cristo é Filho Natural de Deus, a Virgindade e Assunção de Maria, entre outros.

Fonte: https://www.significados.com.br/dogma/

É como se, na Alegoria da Caverna, alguém dissesse que aquela sombra é isso e a outra é aquilo e que ninguém pode questionar porque isso foi revelado por Deus através da Bíblia. Consegue perceber a comparação entre a Alegoria da Caverna e a Religião?

Os fomentadores de ideias dentro da religião

Aqui vamos nos concentrar por um momento nos formadores de ideias. Apesar de haver pessoas que trabalhem para projetar imagens boas no fundo da caverna, sem pedir nada em troca, ou pedindo pouco, não podemos fechar os olhos para aqueles que usam a fé das pessoas como instrumento de manipulação.

É como aquelas pessoas ali atrás da parede (na imagem abaixo que estão, propositalmente, projetando imagens nas paredes que não são reais.

Observe novamente esta imagem...

Quem faz muito isso é a chamada Teologia da Prosperidade em que a imagem projetada é aquela em se tem uma ideia pré-moldada que é 'vendida', literalmente, como verdadeira, mas, assim como no desenho não há um cavalo, homem ou pássaro, não há lastro para o que as pessoas falam: "doe tudo o que você tem para a igreja e receberá em dobro tudo o que doar a Cristo" ou algo do tipo. Isso é uma sombra projetada no fundo da caverna. "Ah, mas fulano ficou bem de vida depois que ele doou seu apartamento para a igreja". Posso lhe garantir que não é nada que a Lei dos Grandes Números não possa explicar. ISSO É UMA GRANDE SOMBRA PROJETADA NO FUNDO DA CAVERNA.

Considerações finais

Religião, de um modo geral, é, pra mim, um conjunto de imagens projetadas na Alegoria da Caverna. Algumas das imagens podem fazer bem a algumas pessoas, algumas podem fazer com que se perca tudo que tem e isso, com certeza, não é bom, mas de qualquer modo, são apenas sombras. Acreditar ou não é do foro íntimo de cada um. Eu não acredito em religiões. Eu não acredito em seres humanos, mas isto sou eu. Cada um é livre para acreditar no que quiser.

Eu queria terminar sugerindo um livro que li e não canso de recomendar porque achei muito, mas muito bom mesmo... O nome do livro é Sapiens do Israelense Yuval Noah HARARI (Capa a seguir).

Veja detalhes do livro AQUI

Em particular, para o tema que estamos discutindo, sugiro que leiam a parir da p. 46 quanto o autor está falando de narrativas ficcionais na história da humanidade... Dá para se ter uma ideia de como podemos ter chegado onde estamos hoje

(...) Quase da mesma forma [ele estava falando sobre a companhia Peugeot e leis criada, em particular na França] como padres e feiticeiros criaram deuses e demônios ao longo da história e como milhares de padres franceses continuam a criar o corpo de Jesus Cristo todos os domingos nas igrejas. Tudo gira em torno de contar histórias e convencer as pessoas a acreditarem nelas. (...)

Sapiens, HARARI, p. 46, logo no começo.

Grande abraço.

Luís Cláudio LA

Aplicaçoes para as funções quadráticas

2022-04-23T16:03:00.004-03:00

Quando estudantes se veem diante de uma função quadrática uma das perguntas é "Onde vou usar isso?" Pois é... É interessante ler um conjunto de postagens que escrevemos tentando responder à pergunta "Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia?" Mas... E falando especificamente da função quadrática? Onde podemos usar?

Caso queira ir diretamente para as aplicações, basta descer no texto até a seção APLICAÇÕES.

Sugiro fortemente que veja os argumentos colocados lá. Sugiro também uma postagem escrita anterior a esta que explica como fazer o esboço do gráfico de funções quadráticas. É interessante saber fazer um rabisco rápido de como é a forma do gráfico da função que está olhando pra você.

Gráficos de funções quadráticas sem atribuir valores a 'x'.

Funções, de um modo geral, são usadas para modelar problemas, ou seja, transformar um problema que poderia ser real, em um problema matemático. Em muitos casos estamos interessados em pontos que produzem o maior valor, como no caso de querer saber o quanto produzir para que o lucro seja máximo, ou o menor valor, como, por exemplo, uma situação que envolva fazer com que o custo de produção seja mínimo. Se por acaso pudermos modelar o meu problema, que poderia ser real, usando uma função quadrática, então, poderemos resolver o problema com o que estudamos na escola. Olha que LeGaL...

Entretanto, devo advertir o leitor que estar, na vida real, diante de um problema desses é algo improvável. Entretanto, devo ressaltar que o que estudamos na escola não é, necessariamente, para usarmos em nosso cotidiano. Pode ser, em algum momento, utilizado, mas o que se estuda, não é para isso.

NESTA POSTAGEM eu converso um pouco com o leitor sobre a diferença entre usar em nosso dia a dia (nosso cotidiano) e ter aplicações. Na verdade, é comum que mostremos onde aquela ferramenta matemática pode ser usada para resolver algum problema, mas, esse problema, quase certamente, não será um problema de seu cotidiano.

NESTA POSTAGEM, por exemplo, mostramos como podemos calcular a largura de um rio ou lago estando apenas em uma das margens fazendo uso de uma trena e um teodolido (aparelho que dá para construirmos com coisas que se compra em papelaria)

São problemas que podem ser resolvidos com ferramentas matemáticas, ou seja, são aplicações, mas... É muito improvável que se depare com um problema desses em seu cotidiano, mas... Pode ser que sim... Vamos voltar ao que nos propomos. Mostrar algumas aplicações para função quadrática.

Antes disso, temos que relembrar algo que estudou na escola. A parábola tem um ponto importante que é chamado de vértice e este ponto é muito importante, pois ele é o ponto em que a imagem (o 'y') é máximo, entre todos os valores de 'x' (caso o coeficiente de $x^2$ seja negativo) ou o ponto que tem a menor imagem (o 'y') para todos os valores possíveis de 'x' (caso o coeficiente de $x^2$ seja negativo) e daí a importância deste ponto para otimização (encontrar máximos e mínimos).

Recorde como encontrar os pontos do vértice da parábola

A função quadrática tem como lei de associação $f(x)=ax^2+bx+c$ em que $a\neq 0$ Para a ilustração seguinte, considere que a função tenha o aspecto mostrado. Caso não tenha este aspecto, garanto que o que vamos fazer se aplica a todos os casos.

Onde as setas apontam, é onde estão as raízes da função quadrática, isto é, onde os pontos têm imagem zero. Também são chamados de zeros da função. Para encontrá-los, basta descobrir onde $y=ax^2+bx+c=0$. Para resolver esta equação, basta usara fórmula de resolução de equação quadrática (ela não foi descoberta por Bhaskara) $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ O $x_v$ é o ponto médio entre $x_1$ e $x_2$. Você pode perceber isso lembrando que os arcos da parábola é simétrica em relação a $x_v$. Uma justificativa mais formal envolve Cálculo Diferencial, mas não vamos nos aprofundar. Assim $$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}{2}=\frac{\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}{2}$$ Se cancelarmos $\sqrt{\Delta}$ ficaremos com $$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\dots =\frac{\frac{-b-b}{2a}}{2}=\frac{-\frac{2b}{2a}}{2}=\frac{-\frac{b}{a}}{2}=-\frac{b}{2a}.$$ Olha que LeGaL... Temos agora temos como encontrar o valor de $x$ que vai produzir o valor mínimo ou o valor máximo da função. E... Qual seria este valor (mínimo ou máximo)? Na verdade, $y_v=f(x_v)$ ou seja, o y do vértice é a imagem, pela função quadrática, do x do vértice. Assim, $$f(x_v)=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=a \frac{b^2}{(2a)^2}-\frac{b^2}{2a}+c= \frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c$$ Note que podemos simplificar 'a' na primeira parcela e assim obter $$y_v=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c.$$ Agora, vamos fazer com que todos os denominadores fiquem sendo $4a$? Podemos fazer isso de diversas formas, mas uma delas é multiplicando numerador e denominador pelos termos apropriados. Assim, ficaremos com $$y_v=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{\color{red}{2.}b^2}{\color{red}{2.}2a}+\frac{\color{blue}{4a}c}{\color{blue}{4a}}==\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}$$Agora, colocando sub um único denominador ficaremos com $$y_v=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}$$Olha vejam só... Como $\Delta=b^2-4ac$ então $-\Delta=-b^2+4ac$ e deste modo, o numerador da fração acima é o $-\Delta$. Isso poderia ser obtido, também, colocando o sinal de $-$ em evidência. De qualquer modo ficamos com $$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$$ e assim temos como encontrar, agora, o valor máximo ou o valor mínimo. E que venham os problemas para serem resolvidos, certo? Podemos resumir o que encontramos na imagem seguinte.

APLICAÇÕES

Situação 1: Considere que tenha ido passear em uma fazenda e chegando lá seu anfitrião mostra um pedaço de muro em sua propriedade e informa que comprou 100 metros de tela e que queria aproveitar o muro para fazer um cercado retangular para criação, mas, como ele se preocupa com os animais, queria que a área fosse a maior possível que ele conseguisse fazer com a tela que comprou, aproveitando o muro que já tem na propriedade. Conseguiu visualizar a situação problema?

Poderíamos pensar um rabisco como segue:

Não sabemos quanto deve medir as laterais do retângulo então, o lado menor, que chega até o muro, podemos chamar de 'x'. O outro lado menor, também tem a mesma medida, certo? Esses dois lados juntos já nos darão um comprimento $2x$. Quanto mede o terceiro lado? Bom, como a tela toda mede 100 m e já temos $2x$ usados, esse terceiro lado medirá $100-2x$. O que estamos fazendo aqui é matematizando o problema, ou seja, transformando o problema dado em um problema matemático. Ficaremos agora com o que está mostrado na figura seguinte.

E como podemos medir a área deste retângulo? Note que a área vai ser uma função, pois ela não é um número fixo. Dependerá de quanto medirá o lado de tamanho 'x'. De qualquer modo, podemos expressar a área como uma função que depende de 'x'. Uma vez que a área do retângulo é o produto da medida da base pela altura, podemos dizer que $$A(x)=x.(100-2x)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, A(x)=100x-4x^2$$Ora vejam só... Uma função quadrática... Se colocarmos ela na forma padrão $y=ax^2+bx+c$ obteremos $$A(x)=-4x^2+100x$$ou seja, temos uma equação do 2º grau em que $a=-4$, $b=100$ e $c=0$ (pois não aparece termos independentes). Agora,, faça um esboço do gráfico da função com estas características. Vimos como fazer este gráfico apenas olhando para 'a', 'b' e 'c' NESTA POSTAGEM. O gráfico

cruza com o eixo Oy em $y=0$ porque $c=0$;
cruza com o eixo Oy em na parte CRESCENTE da parábola, pois $b>0$;
e tem a concavidade voltada para baixo.

Juntando todas estas informações, teremos um esboço de gráfico como o mostrado a seguir:

Hmmm... Então, temos uma situação em que a função admite um valor máximo, correto? Nesta representação, o eixo horizontal está com os valores de 'x' e o vertical está com a área 'A(x)'. O valor de 'x' que vai produzir a área máxima é $$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2.2}=-\frac{100}{4}=25$$Então, $x=25$ é o valor que vai produzir o VALOR MÁXIMO. Assim, já dá para responder ao nosso amigo que para ele aproveitar o muro e construir um cercado retangular com área máxima, os dois lados menores devem ser de 25 metros e o lado maior de 50 metros. Pronto. Problema resolvido.

É um problema problema que pode acontecer? Penso que sim, mas devo reconhecer que é muito improvável. Entretanto, isso é uma APLICAÇÃO das funções quadráticas. Neste caso aqui foi usada para maximizar a área de um retângulo, aproveitando um muro já existente.

Se a pergunta fosse: qual a área máxima que podemos ter aproveitando o muro (mesmas hipóteses). Aí a resposta não seria o $x_v$ e sim o $y_v$. A área máxima seria $$-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{100^2-4.2.0}{4.(-2)}=-\frac{10\,000-0}{-8}=\frac{10\,000}{8}=1250\,m^2$$Compare com a área quando $x=25$. O lado maior não mede $50$? Se multiplicar $25\times 50=1250\,m^2$. A mesma coisa, certo? Veja um resumo do que fizemos na seguinte imagem

Então, função quadrática serve, também para isso: maximizar cercado retangular para animais de criação. ;-)

É possível definir zero elevado a zero [Parte 2]

2022-04-22T19:00:00.001-03:00

Em matemática há algumas perguntas (ou talvez várias) que embora lidemos com coisas semelhantes em nosso cotidiano, essas perguntas específicas não têm uma resposta rápida que podemos dar de imediato. Uma delas é 0/0, outra é 0! (fatorial de zero) e a que vamos tratar aqui hoje é a 0^0 ou seja, zero elevado a zero.

Há pouco tempo, publicamos neste blog um trabalho que se propôs a falar sobre a indeterminação 0^0. Você pode ver esta postagem no arquivo apontado no link seguinte:

Postagem: É possível definir zero elevado a zero? [Parte 1]

Talvez seja interessante ver, primeiro, esta postagem, pois o propósito aqui é termos uma continuação do que está naquela postagem.

Como vimos na outra postagem, este é um assunto que já foi tratado por diversos pesquisadores. O que temos aqui é uma situação em que queremos que algo que vale para potências em que a base é diferente de zero e o expoente é igual a zero, valha, ou possa ser estendido de alguma forma para a situação que envolve $0^0$. Não vejo isso como algo necessariamente possível.

Talvez por conta do que geralmente estudamos, acabo ter um viés, reconheço, olhando a situação por meio de funções, ou seja, se conseguíssemos mostrar que não importa qual sejam as funções, $f(x)$ e $g(x)$ que convergem para zero se x tende a zero, $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{g(x)}=1,$$ seria ótimo. O problema é que se tomarmos $f(x)=0$ e $g(x)$ uma função qualquer que tenda a zero quando x tende a zero. Neste caso, olhando no limite, $$\lim_{x \rightarrow 0}0^x=\lim_{x \rightarrow 0}0=0$$

Se olharmos $0^0$ como esse limite, poderíamos pensar em definir que $0^0=0$. Mas ficamos com uma dúvida: e se a função que estiver na base não for a função nula? E se fosse outra função?

Sugestão de Livro: Os mistérios dos números: Uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver)
Sugestão de Livro: O homem que calculava.

Vejamos alguns exemplos

No exemplo seguinte consideramos a função $f(x)=x^x$. Veja o que acontece na medida que $x$ fica cada vez mais próximo de zero. Aparentemente a potência $x^x$ fica cada vez mais próxima de 1 na medida que x tende a zero e isso é fácil de mostrar com recursos de Cálculo Diferencial

Basta notar que $x\ln(x)$ tem um fator que tende a menos infinito ($\ln(x)$) e outro que tende a zero e outro fator que tende a zero (no caso o fator $x$). Para ficarmos em condições de usar a regra de L'Hopital, podemos fazer a seguinte manipulação algébrica: $$x\ln (x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$$ e assim, $$\lim_{x\rightarrow 0+} x.\ln(x)=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{D_x[\ln(x)]}{D_x\left[\frac{1}{x}\right]}=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}\left(-\frac{x^2}{1}\right)=\lim_{x\rightarrow 0+}(-x)=0$$ Assim, o que acabamos de mostrar nos permite concluir que $$0^0=\lim_{x\rightarrow 0+}x^x=\lim_{x\rightarrow 0+}e^{\ln(x^x)}=\lim_{x\rightarrow 0+}e^{x\ln(x)}=e^{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+}(x\ln(x))}}=e^0=1.$$

Outras possibilidades

Beleza, mas o problema é que $x^x$ não é a única maneira de se aproximar de $0^0$ quando $x\rightarrow 0$. Eis algumas outras formas que vamos apresentar apenas a ideia gráfica, mas não vamos fazer a demonstração, como feito acima. Na próxima figura temos a função $f(x)=(x^2+x)^{\sin(x)}$. Note que aparentemente, para valores próximos de $x=0$ a potência se aproxima de $y=1$.

No exemplo seguinte experimentamos a função $f(x)=(e^x-1)^{\ln(1-x)}$ e, aparentemente, na medida que $x\rightarrow 0$, a potência tende a 1. Note que ela tem a base e o expoente tendendo a zero.

Então aqui temos um pequeno problema. Será que o limite depende das funções que estão na base e no expoente ou será que, basta que a função que está no denominador tenha uma taxa de crescimento muito grande e a outra muito pequena que vamos gerar limites diferentes? Nos dias atuais é muito simples poder experimentar. Nesses experimentos você terá a impressão de que qualquer função que tenha a característica de tender a zero quando x tende a zero, na imagem seguinte está representada pelas funções com gráfico em cor verde e vermelha e verde, ter-se-á, $f(x)^{g(x)}$ representado no gráfico de cor rósea.

Observe que esta abordagem é limitada, pois dependendo do que você coloca na posição de f(x) e g(x) o gráfico pode até não aparecer, como mostramos na figura seguinte em que o gráfico cor rósea, não aparece.

Entretanto, se pedir a um software que calcule o limite (figura acima à esquerda) verá que o limite é 1, embora não esteja aparecendo no gráfico. Você pode experimentar o arquivo do GeoGebra CLICANDO AQUI e para acessar o arquivo do MATHEMATICA na WolframCloude, pode CLICAR AQUI. Para executar o comando, no MATHEMATICA, segure a tecla Shift e aperte o Enter.

Veja, tudo isso é uma ilustração e não uma demonstração. Para mostrar que SEMPRE dará 1 (UM) o limite, é necessário mostrar que se $f$ e $g$ forem funções tais que $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0 \mbox{ e }\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0 $$ com $f(x)\not \equiv 0$ então $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{g(x)}=1?$$

O problema é que se tentarmos calcular o limite acima chegaremos em $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\ln\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{g(x) \ln\left(f(x)\right)}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}}$$ Conseguiremos mostrar que o limite é 1 SE mostrarmos que o numerador tende a zero, certo?

Como $f(x)\rightarrow 0$, então $\ln (f(x)) \rightarrow \infty$ e $\frac{1}{g(x)}\rightarrow \infty$, pois e $g(x)\rightarrow 0^{+}$. Pela regra de L'Hopital passaremos a ter $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{D_x\left(\ln f(x)\right)}{D_x\left(\frac{1}{g(x)}\right)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{-g'(x)}{g^2(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f'(x)}{f(x)}\frac{g^2(x)}{g'(x)}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f'(x)}{g'(x)}\frac{g^2(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f'(x)}{g'(x)}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g^2(x)}{f(x)}$$ Por sorte, o Teorema de L'Hopital garante que $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ e assim, usando esta igualdade da direita para a esquerda, teremos $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{D_x\left(\ln f(x)\right)}{D_x\left(\frac{1}{g(x)}\right)}=\cdots =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f'(x)}{g'(x)}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g^2(x)}{f(x)}$$ $$=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f(x)}{g(x)}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g^2(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{-f(x)}{g(x)} \frac{g^2(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} (-g(x))=0.$$

Olha que LeGaL!!! Agora, olhando par ao caminho percorrido podemos ver o que precisamos para chegar até aí. Precisamos usar a Regra de L'Hopital, precisamos que $f$ e $g$ tenham o limite quando $x\rightarrow 0^+$ e que sejam funções deriváveis, com $f(x)\not \equiv 0$. Se for assim, $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{g(x)}=\cdots =\lim_{x\rightarrow 0}e^{\displaystyle{\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}}}=e^{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\right)}}=e^0=1.$$

Livro: Cálculo - Ilustrado, Prático e Descomplicado

Autores: Geraldo Ávila e este que vos fala ;-)

Considerações finais

Com o que mostramos acima, podemos ficar inclinados a definir $0^0=1$, mas veja que a aproximação que usamos acima é uma aproximação restrita a funções contínuas que possuem derivadas que são contínuas também, ou seja, há uma certa regularidade implícita. Você deve ter visto na OUTRA POSTAGEM que há outras formas de se pensar em como chegar em $0^0$. Note também que se considerarmos a função $0^{g(x)}$ com $g(x)\not \equiv 0$ e neste caso $0^0=0$.

Então, eu, particularmente, não veria problema em definirmos $0^0=1$, mesmo com este último contraexemplo da função $0^x$. Na prática, em alguns momentos, já usamos isso. Quando estudamos Série de Taylor, temos a série desenvolvida em torno de $x=a$ fica do seguinte modo: $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ O polinômio de Taylor é uma soma parcial desta série é o polinômio $$P_n(x)=f(a)+f'(a).\frac{(x-a)^1}{1!}+f''(a).\frac{(x-a)^2}{2!}+\cdots + f^{(n)} (a).\frac{(x-a)^n}{n!}$$ No ponto $x=a$ temos que o polinômio retorna $f(a)$ e no caso o polinômio quando $n=0$ teremos $0^0=1$.

Concluindo... $0^0=1$ não é um consenso, entre os matemáticos, mas não haveria problema, pra mim, definirmos $0^0=1$, mas, no momento é algo indeterminado.

Abração pro 6. :-D

Gráficos de funções quadráticas sem atribuir valores a 'x'

2022-04-21T17:12:00.017-03:00

Você constrói gráfico de funções quadráticas ($y=ax^2+bx+c$) atribuindo diversos valores para 'x'? Você sabia que é possível fazer o esboço do gráfico desta função apenas observando os sinais de 'a', 'b', o valor de 'c' e o $\Delta$? Pode acreditar... ;-) É sobre isso que queremos falar neste postagem. Leia devagar... Certifique-se de que está entendendo o que está sendo explicado. Vamos lá?

Na próxima postagem queremos falar um pouco de aplicações das funções quadráticas, mas para isso seria interessante saber fazer um rabisco rápido do gráfico da função em questão. Então, antes de falarmos sobre onde podemos aplicar funções quadráticas, vamos tentar adquirir a habilidade de fazer esboços de gráficos de funções quadráticas, mas de preferência sem atribuir diversos valores ao 'x'.

Vamos relembrar o que é uma função quadrática. Trata-se de uma função definida por uma lei de associação do seguinte modo: $$f(x)=ax^2+bx+c, \mbox{ com }a\neq 0.$$O gráfico da função é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima (se $a>0$) ou a concavidade voltada para baixo (se $a<0$). É interessante que o leitor tenha isso de forma clara.

Mas além de saber o significado de 'a', é interessante que o leitor saiba também o que 'b' e 'c' representam no esboço do gráfico. A construção acima pode ser acessada por ESTE LINK. A ideia é que o se acompanhe, vendo por si só, o que o que vamos explicar a seguir. O leitor deve se convencer de que

Se $a>0$, (Seta VERDE) a concavidade é voltada para cima. Se mudar o valor de 'a' verá que a parábola muda a abertura, mas enquanto o sinal de 'a' for positivo, ela continua com a concavidade voltada para cima.
Se $a<0$, (Seta VERDE) a concavidade é voltada para baixo.
Se $b>0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy na parte crescente da parábola. Imagine você andando da esquerda para a direita. Quando passar pelo lugar onde cruza com o Eixo Oy, você estará subindo, certo? Dizemos que a parábola cruza com o Eixo Oy na parte CRESCENTE quando $b>0$.
Se $b<0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy na parte DECRESCENTE da parábola. Experimente a construção que está NESTE LINK e se certifique-se de que você entendeu o que acabamos de falar.
Se $b=0$, (Seta VERMELHA) a parábola cruza com o Eixo Oy em seu VÉRTICE.
O valor de 'c' indica ONDE A PARÁBOLA CRUZA COM O EIXO Oy. Novamente: Experimente a construção que está NESTE LINK e se certifique-se de que você entendeu o que acabamos de falar.
As Setas AZUIS mostram os pontos em que o gráfico cruza com o Eixo Ox. Estes são os chamados ZEROS da função e para encontrá-los, basta encontrar os valores de 'x' para os quais $ax^2+bx+c=0$ e para resolver esta equação, basta lembra da fórmula de resolução de equação quadrática:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Bom, saber fazer um rabisco rápido a respeito do gráfico de uma função, é possível fazer este rabisco levando em conta o que significa 'a', 'b' e 'c'. Se atribuir diversos valores para 'x' na função $f(x)=ax^2+bx+c$.

O procedimento para construir este esboço pode ser o seguinte: olhando primeiro 'c', depois marcando o que ocorre com 'b' e finalmente 'a' procedamos do seguinte modo:

Marque o local onde o gráfico cruza com o eixo Oy. Quem indica isso é o valor de 'c'. Por exemplo: em $y=3x^2+5x\color{red}{-4}$, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=-4$, pois $c=-4$, ok? Em $y=-2x^2-3x\color{red}{+2}$, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=2$, pois $c=2$. Pare e certifique-se de que entendeu isso. NESTE LINK você pode movimentar o seletor que controla o valor de 'c' e 'sentir' isso. O 'c' indica onde o gráfico cruza com o Eixo Oy.
Neste ponto onde o gráfico cruza com o eixo Oy, marque uma setinha decrescente se $b<0$, uma setinha horizontal se $b=0$ ou uma setinha crescente se $b>0$. NESTE LINK você pode ver exatamente do que estamos falando. Movimente o seletor que fica com o valor de 'b' e perceba que se $b<0$ a setinha aponta para direita e para baixo, se $b=0$ a setinha aponta na horizontal e se $b>0$ a setinha aponta para direita e para cima. Certifique-se de que tenha entendido isso. Em $y=3x^2\color{red}{+5}x-4$, $b=5$, ou seja $b>0$ e então, o gráfico vai cruzar o eixo Oy no ponto em que o gráfico está CRESCENDO. A setinha vai apontar para a direita e para cima. Em $y=-2x^2\color{red}{-3}x+2$, temos $b=-3$ ou seja, $b<0$ e assim o gráfico cruza com o eixo Oy em sua parte decrescente. A setinha apontará para a direita e para baixo. NESTE LINK você pode ver exatamente do que estamos falando.
Já para o que 'a' significa, este é o que os estudantes menos têm problema. Se $a>0$, a concavidade ficará voltada para cima. Se $a<0$ a concavidade estará voltada para baixo. Novamente, pedimos ao leitor que visite ESTE LINK e experimente, modificando o seletor, os diversos valores de 'a'.

É importante que tenha entendido o significado 'c' (ponto de interseção da parábola com o eixo Oy), 'b' (se a parábola cruza com o eixo Oy em sua parte crescente (se $b>0$) ou decrescente (se $b<0$) ou no vértice (se $b=0$)) e 'a' (concavidade voltara pra cima se a>0 ou para baixo, se 'a<0'). Você entendeu? Conseguiria fazer um esboço do gráfico da função $y=4x-x^2$? Experimente aí... Depois de fazer o seu esboço

clique aqui para conferir se acertou

Tente fazer o esboço do gráfico desta outra função, apenas com o que discutimos acima: $f(x)=3x^2-4x-2$. Observe que: $c=-2$, $b=-4$ e $a=3$. Tente fazer o seu esboço e depois

clique aqui para conferir se acertou

Olha, eu vou lhe contar algo... Se você entender direitinho o significado destes três parâmetros e como eles contribuem para a construção do gráfico, verá que pode fazer um rabisco da forma do gráfico rapidinho, sem precisar atribuir diversos valores pra a variável independente (geralmente 'x') para vários casos. E você pode perguntar: "então há situações que só isso não basta para fazer o esboço do gráfico?" A resposta é sim. Há situações em que isso não basta. Tente fazer o esboço do gráfico da função $y=2x^2+3x+1$. Veja se consegue perceber onde está o ponto que 'não fecha'?

E o Delta? Ajuda em quê?

Vamos entender o papel do $\Delta=b^2-4ac$. Se clicar NESTE LINK acessará a construção mostrada a seguir. Neste ambiente, o estudante pode movimentar os seletores e ver, em tempo real, o que vai acontecendo com o gráfico da função e acompanhar o cálculo, em tempo real, do valor de $\Delta$.

O texto que aparece abaixo é um texto dinâmico e ele vai mudar dependendo do sinal de $\Delta$. Agora, acompanhe a relação entre o número de raízes (aqueles locais em que o gráfico cruza com o Eixo Ox. Repare que temos três opções

Se $\Delta>0$ o gráfico cruzará com o Eixo Ox em dois pontos. Certifique-se de que entendeu isso. Caso queira experimentar o ambiente mostrado na figura acima, basta clicar NESTE LINK.
Se $\Delta=0$ o gráfico cruzará com o Eixo Ox em um único ponto. Experimente a construção no link acima e se convença disso.
Se $\Delta<0$ o gráfico não cruzará o Eixo Ox em nenhum ponto. Certifique-se de ter entendido isso. ;-)

Agora, se juntar todas estas informações, você agora consegue fazer o esboço (um rabisco) do gráfico de qualquer função quadrática, sem atribuir diversos valores para 'x' para construir uma sequência de pontos de modo que possa passar o lápis sobre os pontos e conseguir fazer o gráfico.

Exemplo

Lembra do exemplo que colocamos acima $y=\color{red}{2}x^2+\color{green}{3}x+\color{blue}{1}$ ? Como seria o esboço do gráfico desta função?

Note que

$\color{blue}{c=1}$ e assim, o gráfico cruza com o Eixo Oy em $y=1$;
$\color{green}{b=3}$ e assim, o gráfico cruza com o Eixo Oy na parte CRESCENTE da parábola, pois $b>0$ (setinha para cima, lembra?) Confira NESTE LINK
$\color{red}{a=2}$ e assim, o gráfico tem a concavidade voltada para cima.

O problema é que unindo todas estas informações, nos restam ainda três possibilidades para o esboço do gráfico, concorda? Veja a imagem seguinte. Concavidade voltada para cima, gráfico cruza com o Eixo Oy na parte crescente no ponto $y=1$ restam ainda três possibilidades. Como decidir qual?

Acompanhou o texto na imagem acima? Concluímos que $\Delta>0$ e assim, o formado to gráfico precisa ser o que está em azul. ;-) Simples, não? Com todas estas informações, vocẽ agora tem condições de fazer um esboço do gráfico de qualquer função quadrática e sem atribuir diversos valores para 'x'.

Se você quiser um pouco mais de precisão no esboço do gráfico, pode encontrar onde o gráfico cruza com o Eixo Ox. Neste caso seria encontrar o chamado Zero da função, mas vamos deixar este assunto para outra postagem. Esta aqui já ficou um tiquinho grande. Espero que tenha sido útil a vocês.

Abração pro 6.

Luís Cláudio LA

A divergência da série harmônica

2022-04-20T22:04:00.016-03:00

Eu me lembro de quando ainda estava na graduação e no momento em que fui apresentado à série harmônica: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14\cdots .$$ A ideia era simples e você pode se imaginar fazendo uma caminhada em que no primeiro passo damos o maior passo, 1 metro, por exemplo, no segundo, 1/2 metro, ... , no 100º passo já estaremos andando 1/100 metro ou seja 1 cm, ... , no 1000º passo estaremos andando 1/1000 metro ou seja, 1 mm. Então é natural de se pensar que depois de 1 bilhão de passos estaremos andando uma distância que precisaria de um microscópio (se é que conseguiria) para ver a distância que está se andando. Então, acho que é natural pensar que a distância percorrida é finita, não é?

Gostaria de transformar a sua TV em uma Smart TV?

Pois é... Eu usei este raciocínio prático para concluir que esta série era uma série convergente. Eu estava errado e este pode ser um exemplo de que os nossos sentidos e percepções podem nos enganar. Daí não ser prudente tirar conclusões a partir do que se percebe com os nossos sentidos. Eu me lembro até hoje do professor: Pedrão.

Ele mostrou, de uma forma simples, que na verdade esta série era divergente, ou seja, com esta regra, dá para ir da Terra até a Lua ou dar uma volta pela Via Láctea. Confesso que foi um pouco difícil aceitar, mas... Diante da matemática, fui convencido. Eis a ideia apresentada. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, vamos diminuir um pouco o membro direito do membro direito. Para isso, note que $\frac13>\frac14$ e assim, se retiramos $\frac13$ e colocamos $\frac14$ estamos diminuindo o lado direito, correto? Então ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, como fizemos anteriormente, vamos lembrar que $\frac15>\frac18$, $\frac16>\frac18$, $\frac17>\frac18$ e assim, se trocarmos estas parcelas por $\frac18$ estaremos diminuindo o membro direito novamente e aí ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\color{blue}{\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12}} +\\ +\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16} \cdots .$$ Agora, fazendo o mesmo para as outras frações a partir de $\frac19>\frac{1}{16}$ ... $\frac{1}{15}>\frac{1}{16}$ e assim, trocando estas frações, minuiremos mais ainda o membro direito e ficaremos com $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\color{red}{\underbrace{\frac13+\frac14}_{>\frac14+\frac14=\frac24=\frac12}}+\color{blue}{\underbrace{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18}_{>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12}} +\\ +\color{green}{\underbrace{\frac19+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}}_{>\frac{1}{16}+\cdots \frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}}} \cdots .$$ Então podemos escrever que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>1+\color{red}{\frac{1}{2}}+\color{blue}{\frac{1}{2}}+\color{green}{\frac{1}{2}}+\cdots$$ e a mesma ideia que usamos anteriormente, pode ser usado ad aeternum e assim, vai aparecer a seguinte relação $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>1+\color{red}{\frac{1}{2}}+\color{blue}{\frac{1}{2}}+\color{green}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdots$$ e a soma que aparece à direita, esta sim, é nitidamente divergente para o infinito. Então a série harmônica ela é maior do que a série que aparece do lado direito, que tente a infinito. Então, a série harmônica não pode convergir sob pena de que a relação mostrada acima não ser verdadeira. Então, ela É DIVERGENTE (para infinito).

Em livros de análise na reta, esta demonstração pode ser feita usando uma abordagem mais precisa, mas a ideia por trás é esta apresentada acima. Aqui, queremos fazer uma apresentação que fique mais simples para que as pessoas possam entender.

A vagarosidade da divergência da Série Harmônica

Embora a série harmônica seja divergente, colocar um computador para calcular esta soma, o uso deste artefato não vai lhe ajudar a perceber a divergência desta série. O professor Geraldo Ávila, fez uma palestre na 56ª Reunião Anual da SBPC - Cuiabá, MT - Julho/2004.

O objetivo da palestra é discutir a divergência da série harmônica, um fenômeno bem conhecido e de fácil demonstração. No entanto, essa divergência ocorre de maneira extremamente lenta. Para ilustrar esse fato, sugerimos somar os termos da série de forma a obter sua coma parcial , para diferentes valores de n. Mostramos, com a ajuda do computador, que, por maior que seja o número n, essas somas crescem tão vagarosamente que parecem indicar que a série seja convergente. Isso é interessante por mostrar como o computador pode iludir-nos. Embora seja um instrumento muito útil, mesmo para a descoberta de resultados teóricos na Matemática, precisa ser utilizado com o devido cuidado.

Hoje em dia, o computador vem sendo utilizado para implementar softwares sobre os quais às vezes nada sabemos; as operações são executadas cegamente sem que o usuário tenha a menor ideia do que esteja acontecendo. No caso da série harmônica, imaginamos um computador tão rápido quanto possa permitir a velocidade da luz, e com ele executamos a soma da série harmônica durante bilhões de anos, sem, contudo ultrapassar o valor . Mas como, se não temos como esperar bilhões de anos?! A resposta está nos processos aproximados da Matemática, subjacente ao software apropriado aos cálculos em pauta. Essa Matemática muito simples, baseada na função logarítmica, é devidamente explicada.

Fonte: AQUI.

NESTE ARTIGO, publicado na revista RPM 30, o memo professor, Geraldo Ávila, na última página, mostra que mesmo com um computador moderno calculando a soma parcial desta série, para que a soma parcial chegasse a 94,299, era necessário que este computador ficasse ligado mais 16 bilhões de anos. Então, a série harmônica diverge, mas diverge muuuuuitooooo lentamente.

Livro: Cálculo - Ilustrado, Prático e Descomplicado

Autor: Prof. Geraldo Ávila e este que vos fala

Abração pro 6 ;-)

Luís Cláudio LA

Newton ou Leibniz? Quem descobriu o Cálculo?

2022-01-12T19:00:00.078-03:00

Desde os dias da Grécia antiga, o cálculo foi desenvolvido e refinado ao longo dos séculos, até a época de Newton e Leibniz. Mas quando se trata de quem leva o crédito por “descobrir” um dos conceitos mais revolucionários em toda a matemática, a questão é um pouco obscura.

(Imagem:Christoph Bernhard Francke / Domínio público, Imagem: Dr. Project / Shutterstock, Imagem: Depois de Godfrey Kneller / Domínio público)

Isaac Newton foi um matemático e cientista, e ele foi a primeira pessoa a quem foi creditado o desenvolvimento do Cálculo. É um desenvolvimento incremental, como muitos outros matemáticos tiveram parte da ideia. O professor de Newton, Isaac Barrow, disse que “o Teorema Fundamental do cálculo” estava presente em seus escritos, mas de alguma forma ele não percebeu o significado dele nem o destacou. Como professor de Newton, seu aluno provavelmente aprendeu coisas com ele. Fermat descobriu alguns dos primeiros conceitos associados ao cálculo: encontrar derivadas e encontrar os máximos e mínimos das funções. Muitos outros matemáticos contribuíram tanto para o desenvolvimento da derivada quanto para o desenvolvimento da integral.

Newton era, aparentemente, patologicamente avesso à controvérsia. Ironicamente, a pessoa que era tão avessa a ela acabou envolvida na maior controvérsia da história da matemática sobre uma descoberta na matemática. Foi uma causa e efeito que não foi um acidente; foi sua aversão que causou a polêmica.

Artigos publicados de Newton sobre cálculo

Isaac Newton, o físico inglês (Imagem: https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton)

A controvérsia cerca o desenvolvimento de Newton do conceito de cálculo durante meados da década de 1660. Entre 1664 e 1666, ele afirma que descobriu as ideias básicas do cálculo. Em 1669, ele escreveu um artigo sobre ele, mas se recusou a publicá-lo. Ele escreveu dois artigos adicionais, em 1671 e 1676, sobre cálculo, mas não os publicou. Com o tempo, esses artigos foram publicados. O que ele escreveu em 1669 foi publicado em 1711, 42 anos depois. O que escreveu em 1671 foi publicado em 1736, nove anos após sua morte em 1727. O artigo que escreveu em 1676 foi publicado em 1704. Nenhum de seus trabalhos sobre cálculo foi publicado até o século 18, mas ele os distribuiu a amigos e conhecidos, por isso sabia-se o que ele havia escrito. Isso não foi apenas boato, ele usou as técnicas de cálculo em seu trabalho científico.

Ironicamente, a pessoa que era tão avessa a isso [Newton] acabou se envolvendo na maior controvérsia da história da matemática sobre uma descoberta na matemática.

Artigo de Leibniz sobre cálculo

Gottfried Wilhelm Leibniz, o matemático e filósofo alemão.

(Imagem: https://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz)

Mas Gottfried Wilhelm Leibniz descobriu o cálculo de forma independente. Ele descobriu o cálculo em meados da década de 1670. Ele disse que concebeu as ideias por volta de 1674 e, em seguida, publicou as ideias em 1684, 10 anos depois. Seu artigo sobre cálculo foi chamado de “Um novo método para máximos e mínimos, bem como tangentes, que não são obstruídas por quantidades fracionais ou irracionais”. Eram seis páginas, extremamente obscuras e muito difíceis de entender.

Uma consideração que tomamos como leitores modernos é que, naquela época, o que hoje consideramos absolutamente fundamental para começar a pensar sobre cálculo, era que algumas dessas ideias simplesmente não existiam, como a ideia de função. O conceito em si não foi formulado até a década de 1690, depois que o cálculo foi descoberto, então o entendimento das pessoas sobre ele era um pouco vago.

“Levando a matemática desde o início do mundo até a época em que Newton viveu, o que ele fez é muito melhor.” Leibniz referindo-se a Newton.

Newton e Leibniz não o entendiam de maneira mais formal naquela época. Isso era um problema para todas as pessoas daquele século, porque elas não eram claras sobre conceitos como processos infinitos, e era um grande obstáculo para elas. Eles estavam preocupados com extensões infinitesimais de tempo . Tanto Newton quanto Leibniz pensaram em extensões infinitesimais de tempo. Quão longe algo vai em um período infinitesimal de tempo? Esse tipo de pensamento leva a todos os tipos de paradoxos, incluindo o paradoxo de Zenão.

Um famoso dístico [estrofe mínima, composta de dois versos] de um poema de Alexander Pope ajuda a demonstrar a visão de Newton do século 17, pois esse é o tipo de coisa que alguém gostaria de ter escrito sobre si mesmo. “A natureza e as leis da natureza ficam escondidas à noite; Deus disse: deixe Newton em paz! e tudo estava claro.” Então este era Alexander Pope em Newton.

Alexander Pope, o poeta inglês do século XVIII.
(Imagem: https://pt.wikipedia.org/wiki/Alexander_Pope)

É possível definir zero elevado a zero? [Parte 1]

2022-01-10T12:15:00.022-03:00

Esta postagem é uma tradução do artigo que está disponível AQUI. O objetivo é discutir sobre o que sabemos sobre a potência $0^0$. É possível definir um único valor para esta potência ou ela poderia dar valores diferentes?

Autores: Michael Huber e V. Frederick Rickey

Introdução

Quando os livros de cálculo afirmam que $0^0$ é uma forma indeterminada, eles querem dizer que existem funções $f(x)$ e $g(x)$ tais que $f(x)\rightarrow 0$ e $g(x)\rightarrow 0$ quando $x\rightarrow 0$, e aquele deve-se avaliar o limite de $$\lim_{x\rightarrow 0} f ( x )^{g(x)}.$$ Mas e se $0$ for apenas [mais] um número? Então, argumentamos, o valor está perfeitamente bem definido, ao contrário do que muitos textos dizem. Na verdade, $0^0= 1$.

Livros de álgebra atuais

Pegue um livro de matemática do Ensino Médio hoje e você verá que $0^0$ é tratado como uma forma indeterminada . Por exemplo, o [texto] seguinte foi retirado de um texto atual dos Regentes de Nova York [ 6 ]:

Lembramos a regra para dividir potências com bases semelhantes: $$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} \mbox{ com }x\neq 0.$$ Se não exigirmos $a>b$, $a$ pode ser igual a $b$. Quando $a=b$: $$\frac{x^a}{x^b}=\frac{x^a}{x^a}=x^{a-a}=x^0,$$ mas $$\frac{x^a}{x^a}=1,$$ pois todo número (diferente de zero) dividido por ele mesmo é igual a 1.

Portanto, para que $x^0$ seja significativo, devemos fazer a seguinte definição $$x^0=1 \mbox{ para todo }x\neq 0$$ Uma vez que a definição $x^0 = 1$ é baseada na divisão e a divisão por 0 não é possível, afirmamos que x não é igual a 0. Na verdade, a expressão $0^0$ (0 elevado à potência zero) é uma de várias expressões indeterminadas na matemática. Não é possível atribuir um valor a uma expressão indeterminada.

Formas Indeterminadas

Os livros de cálculo também discutem o problema, geralmente em uma seção que trata da Regra de L'Hopital. Suponha que recebamos duas funções, $f(x)$ e $g(x)$, com as propriedades que $$\lim_{x \rightarrow a} f (x) = 0 \mbox{ e }\lim_{x \rightarrow a} g (x) = 0.$$ Ao tentar avaliar$$f(x)^{g(x)}$$ no limite conforme x se aproxima de a , somos informados corretamente que esta é uma forma indeterminada do tipo $0^0$ e que o limite pode têm vários valores de f e g. Isso levanta a questão: são iguais? Podemos distinguir $0^0$ como uma forma indeterminada e $0^0$ como um número?

O tratamento de $0^0$ tem sido discutido por várias centenas de anos. Donald Knuth [ 7 ] aponta que um conde italiano com o nome de Guglielmo Libri publicou vários artigos na década de 1830 sobre o assunto $0^0$ e suas propriedades. No entanto, em seu Elements of Algebra, (1770) [ 4 ], que foi publicado anos antes de Libri, Euler escreveu,

Como nesta série de potências, [ele fala a respeito desta sequência: $a,a^2, a^3, a^4$] cada termo é encontrado multiplicando-se o termo precedente por a, o que aumenta o expoente por 1; então, quando qualquer termo é dado, também podemos encontrar o termo precedente, se dividirmos por a, porque isso diminui o expoente em 1. Isso mostra que o termo que precede o primeiro termo a 1 deve necessariamente ser $\frac{a}{a}$ ou 1; e, se procedermos de acordo com os expoentes, imediatamente concluímos que o termo que precede o primeiro deve ser um 0 ; e, portanto, deduzimos esta propriedade notável, que a 0 é sempre igual a 1, seja grande ou pequeno o valor do número $a$ possa ser, e mesmo quando $a$ não é nada [ou seja, $a=0$]; ou seja, $a^0=1$.

[Comentário LuCla. Penso que o que o autor escreveu não procede, pois o fato de na sequência $x_n=a^n$ podermos encontrar o termo anterior dividindo por $a$, esse $a$ precisa ser não nulo. O "ou seja" ali no final não é evidente... Ele fala que a relação deve ser válida mesmo quando $a=0$. Entretanto, dividir $a=0$ por zero gera uma indeterminação que não se tem dúvida, pois neste caso, $\frac{a}{a}=\frac{0}{0}$ pode ser qualquer número, pois qualquer número multiplicado por 0 é 0. Então, creio que haja um problema com a conclusão.]

Mais de Euler: Em sua Introdução à Análise do Infinito (1748) [ 5 ], ele escreve:

Deixe o exponencial a ser considerado $a^r$ onde $a$ é uma constante e o expoente $r$ é uma variável .... Se $r = 0$, então temos $a^r = 1$. Se $a = 0$, damos um grande salto no valores de $a^r$ . Enquanto o valor de $r$ permanecer positivo ou maior que zero, sempre teremos $a^r = 0$. Se $r = 0$, então $a^0 = 1$.

Euler define o logaritmo de y como o valor da função r, tal que $a^r=y$. Ele escreve que se entende que a base a do logaritmo deve ser um número maior que 1, evitando assim sua referência anterior a um possível problema com $0^0$.

George Baron

A definição de potência costuma ser feita de maneira descuidada. Quase trinta anos antes do primeiro artigo de Libri, George Baron publicou "Uma breve Investigação, sobre a Definição, da palavra Potência, em Aritmética e Álgebra " em The Mathematical Correspondent (1804). Neste artigo [ 1 ], Baron inicia a discussão com a seguinte definição:

As potências de qualquer número, são os produtos sucessivos, surgindo da unidade, continuamente multiplicados, por esse número.

Como exemplo, ele escreve que 1 × 5 = 5, que é a primeira potência de 5, e 1 × 5 × 5 = 25, que é a segunda potência de 5, etc. A primeira, a segunda, etc., as potências são então, convenientemente expresso como 5 1 , 5 2 , etc. Da mesma maneira, as potências de qualquer número x podem ser representadas como x 1 , x 2 , etc., em que x 1 = 1 × x , x² = x¹ × x , etc. Depois de declarar alguns corolários, Baron escreve:

Perguntemos, pois, a seguir, se a mesma definição não nos levará a uma solução clara e inteligível, dos misteriosos paradoxos, resultantes da definição comum, quando aplicada, ao que se denomina, a potência nula dos números.

Baron então aborda as regras para divisão de potência (veja acima para o argumento do texto do Ensino Médio), mas ele desenvolve uma conclusão diferente:

Se a multiplicação por x , ser abstraído da primeira potência de x , por meio da divisão; a potência se tornará nada, mas a unidade permanecerá: para $\frac{x^1}{x} = \frac{1 \times x}{x} = 1, $ e, portanto, é claro que $x^0= 1$, quando x representa qualquer número qualquer. Mas, uma vez que o número x é aqui ilimitado em relação à grandeza, segue-se que a potência nada de um número infinito é igual a uma unidade.

[Comentário LuCla: Aqui novamente eu vejo problema na fala do autor, pois quando ele diz "(...) quando x representa qualquer número qualquer", esse $x$ não é qualquer. O raciocínio anterior só é válido de $x\neq 0$.]

Baron dá crédito a William Emerson (1780) [ 3 ] e Jared Mansfield (1802) [ 9 ] que escreveram sobre o assunto "nada" [a palavra original é "nothing"... não encontrei uma tradução melhor]. Baron leva seus argumentos um passo adiante e postula que o número x pode ser qualquer número, grande ou pequeno:

Para prosseguir com a aplicação de nossa definição à quantidade na extremidade última da pequenez, suponhamos que x represente qualquer quantidade fracionária; ou em outras palavras, deixe x denotar qualquer magnitude, expressa em números, por meio de alguma parte de sua unidade de medida: então, pela definição $x^1 = 1 × x$ . Deixe agora esta multiplicação por x , ser abstraída; e pelas razões até agora avançadas, temos $x^0=1$. Agora, uma vez que $x$ aqui representa uma quantidade fracionária, independente de qualquer limitação, em relação à pequenez; podemos, portanto, supor $x$, por meio de diminuição contínua, ou diminuição, para passar de seu valor presente, através de cada grau de pequenez, até se tornar nada ; então será evidente que, durante essa diminuição ou diminuição de $x$ , $x^0$ continuará igual a uma unidade invariável; e isso precisamente no instante em que x se torna nada, $x^0$ ou $0^0 = 1$.

[Comentário LuCla: Aqui poderíamos até aceitar o raciocínio pensando em definir $$0^0=\lim_{x\rightarrow 0}(0+x)^0=\lim_{x\rightarrow 0}(1)=1,$$ mas essa é uma das aproximações. Será que qualquer aproximação leva ao número 1? Por exemplo: se fosse $$0^0=\lim_{x\rightarrow 0}(0)^{0+x}=\lim_{x\rightarrow 0}(0)=0.$$ O segundo argumento mostra que, pensando na continuidade, $0^0$ poderia ser zero. A pergunta é: $f(x)=0^x$ é a única função em que se tem a extensão contínua para $x=0$ que nos leva a outro número diferente de 1 (neste caso nos leva a $0$)? Vamos continuar com o texto dos autores...]

Baron nunca menciona o termo forma indeterminada , e na verdade ele termina seu tratado com o seguinte:

Além dis $x^0 = 1$, qualquer que seja o valor de $x$ ; de consequência; em cada sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 = 0.

[Comentário LuCla: Aqui eu também discordo do autor, pois não é verdade que $x^0=1$ para qualquer valor de x. É evidente que esta igualdade é válida se $x\neq 0$ e estamos investigando se seria possível estender para $x=0$ a exemplo do que se faz com a função $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ que não está definida para $x=0$, mas é perfeitamente "estendível" para $x=0$ se considerarmos que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ (basta usar a regra de L'Hopital). Entretanto, não creio que podemos já afirmar que $x^0=1$ para qualquer valor de x. Sobre a última fala dele, de fato $0=\log_x 1$, mas esse $x$ não é qualquer. Na definição de logaritmo $0<x\neq 1$. Neste caso $x=1$ até pode acontecer, mas $x=0$ não é permitido pela definição de logaritmos.]

Guglielmo Libri e Augustin Cauchy

De acordo com Knuth, o artigo de Libri de 1833 [ 8 ] "produziu várias inquietações no mundo matemático quando apareceu originalmente, porque gerou uma controvérsia sobre se $0^0$ é definido." A maioria dos matemáticos da época concordava que $0^0 = 1$, embora Augustin-Louis Cauchy tivesse listado $0^0$ em uma tabela de formas indefinidas em seu livro intitulado Cours D'Analyse (1821) [ 2 ]. Evidentemente, o argumento de Libri não foi convincente, então August Möbius veio em sua defesa. Möbius tentou defender Libri apresentando uma suposta prova de $0^0=1$ (em essência, uma prova de que $$\lim_{x\rightarrow {0^+}} x^x = 1.$$ Após confrontos com outro matemático, o artigo "foi discretamente omitido do registro histórico quando as obras coletadas de Möbius foram publicadas". Knuth continua a escrever que o debate terminou com o resultado de que $0^0$ deve ser indefinido, e então ele afirma,

"Não, não, dez mil vezes não!"

Talvez Cauchy estivesse desenvolvendo a noção de $0^0$ como uma forma de limitação indefinida. Então, o valor limite de $f(x)^{g(x)}$ não é conhecido a priori quando cada um de $f ( x )$ e $g ( x )$ se aproximam de 0 independentemente. De acordo com Knuth, "o valor de $0^0$ é menos definido do que, digamos, o valor de $0 + 0$". Ele nos faz lembrar o teorema binomial: $$(x + y)^ n = \sum_{k = 0}^n{n\choose k} x^ky^ {n-k}.$$ Se este teorema for válido para pelo menos um inteiro não negativo, então os matemáticos "devem acreditar que $0^0=1$ ", pois podemos inserir $x = 0$ e $y = 1$ para obter 1 à esquerda e $0^0$ à direita.

Exemplos envolvendo $0^0$

Em 1970, Herbert Vaughan [ 10 ] defendeu o reconhecimento explícito da avaliação de $0^0 = 1$. Ele pretendia mostrar "que há uma grande motivação para definir '$0^0$' como um numeral para 1." Ele forneceu três exemplos.

Exemplo 1. Vaughan deu a progressão geométrica infinita $$\sum_{n = 1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}\mbox{ para }|x|<1.$$ Se $x = 0$, então $\vert x \vert = \vert 0 \vert <1,$ que leva a $$\sum_{n = 1}^{\infty}0^{n-1} =\frac{1}{1-0}=1.$$ A soma infinita pode ser expandida como $$0^0 + 0^1 + 0^2 +\cdots = 1.$$ Conforme declarado por Vaughan, se $0^0$ não for definido, essa soma não tem sentido. Além disso, se $0^0 \neq 1$, a soma é falsa.

Exemplo 2. Este exemplo surge da soma infinita para e x , que pode ser escrita como $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^ x \mbox {, para todos } x.$$ Todos concordam que $0! = 1$, então, no caso em que $x = 0$, a soma torna-se $$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{0^{n-1}}{(n-1)!}=e^ 0 = 1.$$ A soma pode ser expandida como $$\frac{0^ 0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\cdots = \frac{0^0}{1} + 0 + 0 + \cdots = 0 ^ 0.$$ O lado direito da soma é $e^0=1$, então $0^0=1$.

Exemplo 3. Um terceiro exemplo dado por Vaughan envolve o número cardinal de um conjunto de mapeamentos. Na teoria dos conjuntos, a exponenciação de um número cardinal é definida da seguinte forma:

$a^b$ é o número cardinal do conjunto de mapeamentos de um conjunto com b membros em um conjunto com a membros.

Por exemplo, $2^3 = 8$ porque há oito maneiras de mapear o conjunto $\{x, y, z\}$ no conjunto $\{a, b\}$. Para calcular $0^0$, determine o número de mapeamentos do conjunto vazio em si mesmo. Existe precisamente um desses mapeamentos, que é ele próprio, o conjunto do conjunto vazio. "Portanto, no que diz respeito aos números cardinais", escreveu Vaughan, "$0^0=1$".

Quando um matemático pode querer que $0^0$ seja algo que não é indeterminado? Se, por exemplo, estamos discutindo a função $f (x, y) = x^y$, a origem é uma descontinuidade da função. Não importa qual valor possa ser atribuído a $0^0$, a função $x^y$ nunca pode ser contínua em $x = y = 0$. Por que não? O limite de $x^y$ ao longo da linha $x = 0$ é $0$, mas o limite ao longo da linha $y = 0$ é $1$, não $0$. Para consistência e utilidade, uma escolha "natural" seria definir $0^0 = 1$.

Conclusão e Bibliografia

Seguindo a honrada técnica pedagógica de "primeiro diga a eles o que você vai dizer a eles, depois diga a eles e, a seguir, diga a eles o que você lhes disse", resumimos. Se você está lidando com limites, então $0^0$ é uma forma indeterminada, mas se você está lidando com álgebra comum, então $0^0 = 1$.

Bibliografia

George Baron, "A short Disquisition, concerning the Definition, of the word Power, in Arithmetic and Algebra," The Mathematical Correspondent (1804), pages 59 - 66. Available here (pdf download) and from Google Books beginning here.
Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3, available here from Gallica Digital Library.
William Emerson, A treatise of algebra, in two books, 2nd edition, J. Nourse, London, 1780. Title page and pages 208-213, including the problem "To explain the several properties of (0) nothing, and infinity," available here (pdf download), courtesy of United States Military Academy Library.
Leonhard Euler, Elements of Algebra, translated by Rev. John Hewlett, Springer-Verlag, New York, 1984, pages 50 - 51.
Leonhard Euler, Introduction to Analysis of the Infinite, translated by John D. Blanton, Springer-Verlag, New York, 1988, pages 75 - 76.
E. Keenan, A. X. Gantert, and I. Dressler, Mathematics B, Amsco School Publications, Inc., New York, 2002.
Donald Knuth, "Two Notes on Notation," The American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pages 403 - 422. This is available in JSTOR.
Guillaume Libri, "Mèmoire sur les functions discontinues," Journal für die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833), pages 303 - 316. Available here (pdf download), courtesy of Göttingen State and University Library Digitalization Center (GDZ).
Jared Mansfield, Essays, mathematical and physical: containing new theories and illustrations of some very important and difficult subjects of the sciences, W. W. Morse, New Haven, 1802. Title page and pages 12-17, including first five pages of the essay "Of Nothing and Infinity," available here (pdf download), courtesy of United States Military Academy Library.
Herbert E. Vaughan, "The Expression of 0 ⁰ ," The Mathematics Teacher , Volume 63, fevereiro de 1970, página 111.

Meus Comentários ;-)

Façamos assim... Vou escrever outra postagem com algumas considerações minhas sobre o tema. Eu já deixei alguns comentários neste texto, mas quero mostrar alguns gráficos e tecer alguns comentários sobre a possível definição de $0^0$.

Assim que eu escrever, deixo o link aqui. Experimente deixar seu email para receber o aviso. Basta assinar a nossa newsletter.

Abração pro 6.

Luís Cláudio LA (LuCla)

É possível aprender dormindo?

2022-01-08T10:00:00.006-03:00

Esta é uma pergunta que não sei se tem uma resposta certa, mas eu gostaria de falar um pouco sobre isso contando uma experiência pessoal que você pode replicar, caso queira.

Esse rapaz está aqui porque (1) está dormindo e (2) se parece muuuitooo com meu filho. Eu até acho que alguém tirou uma foto do Gabriel enquanto ele dormia. Não é possível tanta semelhança. :-o

Esse texto não tem a pretensão de responder a pergunta do título, mas, talvez, discutirmos um pouco sobre isso. Então, fique à vontade para comentar e expor sua experiência com o assunto.

O que vou dizer aqui é algo que vai, na contramão do que, aparentemente, algumas pesquisas apontam. Isto porque eu não vejo a possibilidade de se aprender algo enquanto se dorme, mas NESTA postagem no Viva Bem do portal UOL é relatado um experimento que teria acontecido na universidade de Berna na Suíça, mas os autores da postagem esqueceram de colocar o link para o estudo e assim ficamos só com a palavra deles. Foi relatado que

(...) para testar esta hipótese os pesquisadores fizeram os voluntários ouvirem duas palavras enquanto estavam na fase de sono profundo, a primeira em um idioma inventado e, em seguida, em sua língua nativa, o alemão. A palavra alemã para "chave" foi associada com o vocábulo "tofer", enquanto a palavra "elefante" foi associada à "guga"(...)

No final eles concluem que a pessoa conseguiu associar a palavra "chave" com "tofer" e "elefante" com "guga", apesar tê-las ouvido quando estavam dormindo profundamente." Eles queriam mostrar que era possível aprender um idioma enquanto dorme. Insisto que não há fonte na postagem que aponte para o artigo publicado. Temos só a palavra de quem escreveu.

Na revista Super Interessante também há uma matéria que fala sobre isso e foi publicado há algum tempo atrás. Eles também relatam

(...) um estudo realizado pela Northwestern University acaba de provar que, sim, é possível aprender dormindo. Voluntários foram expostos a 50 imagens, mostradas em sequência numa tela. Cada imagem tinha um som associado: a foto de um gato era acompanhada por um miado, uma dinamite por uma explosão, e por aí vai. (...)

Essa matéria também padece do mesmo problema que a primeira: fontes. O autor da postagem esqueceu de deixar o link para o artigo científico do estudo. Voltando ao experimento que fizeram, no final eles mudam a associação entre imagem e som e parece que um grupo consegue fazer esta distinção logo depois de acordar. Não sabemos mais, pois o artigo científico não foi apontado na matéria.

Minhas considerações

Você já dormiu com a TV ligada? Se o som da TV estiver alto, aquilo não lhe incomoda? Neste cenário, se você conseguir dormir, o que estiver ouvindo vai acabar entrando em seus sonhos, acredite. Já passei por isso algumas vezes, mas e se me perguntar do que se tratava aquela bagunça que estava nos sonhos? Se alguém desligasse a TV antes de me acordar e me perguntasse logo depois que me acordasse o que eu estava ouvindo eu ia dizer... "Sei lá... Era uma bagunça e não sei o que era...". O interessante é que se acordo e veio o que estava passando na TV eu até consigo entender um pouco a bagunça dos sonhos e ver que aquilo ali influenciou o que estava sonhando.

Entretanto, se o som está baixo eu consigo dormir sem problema, mas aí, não me lembro de nenhum som e isso me leva a formular uma hipótese: os ossos do ouvido (hoje é chamado de orelha) interno, a saber o martelo, bigorna e estribo devem ficar menos sensíveis ao som quando estamos dormindo. Daí eu não me lembrar de nenhum som quando ele está baixo, mas lembrar de um sonho meio que guiado pelo que está no som, caso ele esteja alto. Se é verdade ou não, não sei.

É uma hipótese a partir de uma evidência anedótica (aquela que é pessoal e que não necessariamente é replicável) ou talvez nem tão anedótica assim, pois você pode fazer esse experimento com você mesmo/a. Vamos levar em conta a estrutura do ouvido (hoje chamam de orelha, mas assim como Plutão será sempre um planeta pra mim, as ditas orelhas, pra mim são os ouvidos). ;-)

Veja onde fica cada um dos ossículos mencionados: martelo, bigorna e estribo

O som é uma onda mecânica

Estudamos, ainda lá no Ensino Médio, que a onda sonora é uma onda mecânica, certo? A onda sonora tem a capacidade de vibrar partículas que estão presentes nos gases que nos rodeiam e chegando em nossos ouvidos (as orelhas: externa, média e interna) os ossículos mencionados acima vibram e essas vibrações são transmitidas ao cérebro por meio de sinais elétricos e nós compreendemos isso como som, que é o que nós ouvimos. Em linhas gerais seria mais ou menos isso.

Fonte da figura: https://pt.wikipedia.org/wiki/Som

Sendo um pouco mais preciso

Som é a propagação de uma onda mecânica acústica (frente de compressão mecânica); é uma onda longitudinal que se propaga de forma concêntrica apenas em meios materiais (como sólidos, líquidos ou gasosos).

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Som

Se ao meu redor há algum som, mas essas vibrações chegam nos ossículos do meu ouvido interno [tudo bem, o nome hoje é orelha interna], o martelo, bigorna e estribo e estes não vibram para que estas vibrações sejam transformadas em estímulos elétricos para que sejam enviados ao cérebro, não há como a informação chegar ao cérebro. Eu sinto que não ouço nada... Lembrando que estou falando de som baixo e não um som muito alto. Penso em algo que se ouça com os fones de ouvidos. É como uma tomada desligada: a corrente elétrica não é levada até a lâmpada e ela não acende, não há luz. Se os ossículos não vibrarem, a informação não é levada ao cérebro. Como poderia acontecer algum aprendizado enquanto estou dormindo se meus ouvidos [orelhas, eu sei] estão praticamente desligados?

Minha experiência, que pode não ser tão anedótica

É nesta linha de ouvir um som confortável pelos fones de ouvidos que eu, sem querer, me deparei com esse experimento que em primeira vista pensei que estivesse diante de uma evidência anedótica, ou seja, algo que eu experimentei, mas que outra pessoa não teria como experimentar do mesmo modo, ou seja, que é algo pessoal... Enfim, acabei percebendo que esta experiência não é tão anedótica, isto é, qualquer um pode fazer este pequeno experimento. A seguir eu relato o acontecido...

Eu estava ouvindo um livro (hoje tem uma porção de aplicativos que dá para assinar aplicativos/portais por preços pagáveis e ter trolhocentos livros à disposição). Eu estava ouvindo o livro na cama antes de dormir. Fones de ouvidos em minhas orelhas externas (Viu só? Uma hora eu acostumo) e eu estava ouvindo o livro normalmente, mas... Como você já deve saber o que aconteceu eu acabei dormindo enquanto ouvia o livro.

No dia seguinte eu acordei e adivinha o que tinha ocorrido: todo o livro tinha passado. Eu tinha acordado ainda com os fones de ouvidos em minhas orelhas. Então pensei... Será que eu me lembro de alguma coisa que passou depois que eu dormi? Seria possível eu me lembrar de alguma passagem ou do desfecho do livro... Tentei puxar pela memória memória e não encontrei nada... Não havia ficado nada do livro em minha memória...

Depois de tomar café desci e após entrar no carro coloquei o livro para tocar novamente, mas a partir de onde eu me lembrava (de quando estava acordado). Pensei: vou ouvir e vamos ver se tenho um déjà vu. Vai que eu estou ouvindo e eu tenho a sensação de já ter ouvido aquilo... Pois é, mas não houve sequer um déjà vu. Tudo o que eu ouvi foi inédito. Não me lembrei de nada. Pode acreditar.

Esta foi a minha experiência e, como vê, é possível que você faça a mesma experiência. Diga-me se você se lembra de algo que passou pelas suas orelhas [ainda acho esse nome estranho para os ouvidos] enquanto estava dormindo.

A experiência pode ficar interessante se repetirmos isso dia após dia (alguns dias pelo menos). A ideia é colocar o livro para tocar mais ou menos no mesmo lugar quando já estivesse sonolento/a e deixasse ele tocar a noite toda em suas orelhas e tentasse lembrar no dia seguinte se você se lembra de alguma parte da história do livro. Está vendo que não é algo tão anedótico? É possível você refazer a minha experiência. Se fizer, volte aqui e me conte se conseguiu aprender algo dormindo.

Outra hipótese a considerar

Há uma chance de eu estar errado quando eu digo que não ocorre nenhum aprendizado enquanto durmo, pois há pessoas que dizem o contrário, inclusive, pesquisadores, como fiz a referência no início deste texto. Infelizmente não deixaram o link para acessarmos o estudo que disseram ter feito o que me deixa um pouco com a pulga atrás da orelha. Entretanto, vamos dar uma olhadela em outra hipótese.

Eu me lembrei de um livro que eu li que se chama O Poder do Hábito cujo autor é Charles Duhigg (recomendo a todos que leiam este livro). Nesta obra o autor conta várias histórias interessantes a respeito de hábito (inclusive neste livro eu vi que o que o Google faz hoje de mostrar propaganda direcionada já era feito décadas antes do Google existir).

Veja detalhes sobre o livro AQUI.

Uma das histórias dá para tentarmos fazer uma ligação sobre o que falamos aqui. Ele conta a história de Eugene Pauly (E.P.) que (

Depois de ser diagnosticado com uma doença chamada encefalite viral, uma doença relativamente comum que causa feridas,bolhas e infecções leves na pele, mas em casos raros, no entanto, o vírus pode traçar um caminho até o cérebro, provocando lesões catastróficas conforme devora as delicadas dobras de tecido onde nossos pensamentos sonhos residem.

Trecho do livro O Poder do Hábito.

A doença fez com que Eugene não se lembrasse de nada que ocorreu a alguns minutos do acontecido. Ele tinha lembranças de coisas antigas, como por exemplo, o que fazia na escola quando era pequeno, da época em que trabalhava, mas não se lembrava do que tinha feito há alguns minutos atrás. Penso que já ouviu falar sobre algo do tipo.

No livro o autor conta que depois de mudar com sua esposa para uma casa nova, a pedido dos médicos, Eugene era sempre levado para uma caminhada pela vizinhança. Observe que para ele era tudo novo o tempo todo... Um dia ele desapareceu da casa e saiu por uma porta que tinha ficado aberta. Tente se colocar na pele dele. Dez minutos depois ele estaria em um local totalmente novo (na cabeça dele) e não se lembraria de como chegou ali e nem como voltaria para casa, pois ele não sabia onde era a sua casa. Sua esposa ficou apavorada e procurou ele por toda a vizinhança, mas quanto voltou para casa chorando muito por pensar o que poderia ter acontecido com Eugene, ela o encontrou sentado no sofá da sala.

De algum modo, mesmo sem que ele tivesse memória aquelas repetições dos passeios matinais fizeram com que ele, de alguma forma inconsciente, soubesse onde teria que ir. No livro poderá ter mais informações e outras histórias de perdas de memórias e pessoas passando a dar conta de fazer coisas que elas não conseguiam explicar como conseguiam fazer isso.

Considerações finais

Pode ser que ao dormir se tenha algo deste tipo, ou seja, algo que não passa pela consciência, mas que se repetir bastante aquilo fica gravado em seu cérebro. Esta é uma hipótese, mas eu continuo achando que o fato de que o som ser uma onda mecânica e que ossículos precisam ser 'vibrados' para que a informação que está no som chegue ao cérebro é um argumento forte. Como a informação chegaria até o cérebro para que ele, mesmo de forma inconsciente, memorizasse algo?

Eu não sei... Na verdade eu estou tentando ver se há uma conexão com algo que não sei se existe. O que eu sei é que não consegui lembrar de nada do que havia escutado do livro enquanto eu dormia. Poderia estar gravado sem ter passado pela consciência? Penso que não, pois não tive nenhum Déjà vu.

E você? Já teve alguma experiência envolvendo aprender dormindo? Deixe nos comentários sua experiência. ;-).

Abração pro 6.

Luís Cláudio LA

Qual a relação entre um CD, a Terra, o Disco Planetário e a Via Láctea?

2022-01-07T13:15:00.133-03:00

Eu ouvi durante o episódio Milky Way da série Universo (Netflix) a pesquisadora entrevistada disse que "se o sistema solar tivesse o tamanho de um CD, então a Via Láctea teria o tamanho da Terra". É sobre isso que quero falar neste texto. Vamos checar se vale a proporção que ela sugeriu. ;-)

Ano-luz em Quilômetros

Um ano-luz é a distância percorrida pela luz em 1 ano. Como sabemos que a velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, podemos escrever: $$\mbox{velocidade} = \frac{\mbox{distância}}{\mbox{tempo}}$$ de onde podemos concluir que $$\mbox{distância}=\mbox{velocidade}\times\mbox{tempo}.$$No caso da velocidade da luz temos 299 792 458 m / s em um tempo de 1 ano. Então, substituindo na relação acima teremos $$\mbox{distância}=\mbox{velocidade}\times \mbox{tempo}=299\,792\, 458\, \frac{m}{s} \cdot 1\,\mbox{ano}$$ Hmmm.... Está meio feio esse número, não? Vamos tentar colocar a distância em quilômetros. Para isso, vamos precisar transformar o que está em metro em quilômetro e o que está em ano em segundos. Vamos lá... Sabemos que $1000\,m = 1\,km$, certo? Então se na velocidade da luz multiplicarmos o numerador e o denominador por 1000, teremos $$299\,792\,458\,\frac{m}{s}=\frac{299\,792\,458}{\color{red}{1000}}\,\frac{\color{red}{1000}\,m}{s}\\=299\,792,458\,\frac{\rm{km}}{s}$$ Assim, a distância que a luz percorre em um ano é, até o momento $$299\,792\,458\,\frac{m}{s}\times 1\mbox{ ano}$$ Agora, precisamos transformar 1 ano em segundos. Vamos considerar que 1 ano = 365 dias. Acompanhe o raciocínio$$1\mbox{ ano}=365\mbox{ dias}=365\times 24\mbox{ h}\\=365\times 24\times 60\mbox{ min}=365\times 24\times 60\times 60\mbox{ s}$$ o que finalmente nos dá $$1\mbox{ ano}=31\,536\,000\,s.$$ Deste modo, a distância percorrida pela luz em um ano será, em quilômetros, $$299792,458 \frac{\rm{km}}{s}\times 31\,536\,000\,s=9,454\,254\,955\times 10^{12}\,\rm{km}$$ Assim, se usarmos 'LY' (Light-Year) como símbolo para Ano-luz podemos dizer que$$1\,LY=9,454\,254\,955\times 10^{12}\,\rm{km}.$$

Área da Via-Láctea

Para fonte de informações para os nossos cálculos, usaremos as informações disponível nesta página (para Via Láctea) e nesta (para Sistema Solar). A nossa galáxia, a Via Láctea,tem a forma espiralada que pode ser distribuída em um disco de cerca de 105.700 anos luz de diâmetro e aproximadamente 3000 anos luz de espessura. Aqui vamos nos concentrar no diâmetro e em particular no raio, pois vamos pensar nela como um disco de raio R=105.700/2=53750 anos luz.

Pecisamos do raio da Via-Láctea em Quilômetros, mas a partir do que vimos na seção anterior, não é difícil fazer esta conversão. Para tal, observe que $$53\,750 LY=53750\times 9,454\,254\,955\times 10^{12}\,\rm{km}=508\,166,20383125\times 10^{12}$$ Tudo bem, é um excesso de preciosismo da minha parte não usar logo uma aproximação, mas eu gostaria de deixar as aproximações para depois. Vamos colocar esse último número em notação científica? Ficará assim: $$508\,166,20\,383\,125\times 10^{12}\,\rm{km}=\frac{508\,166,20\,383\,125}{\color{red}{10^5}}\color{red}{\times 10^5}\times 10^{12}\\ =5,0816620383125\times 10^{17},$$ ou seja, o raio da Via-Láctea é de $$R=5,0816620383125\times 10^{17}\,\rm{km}$$ Isso é tão grande que não dá para imaginar uma distância desta.... Assim, a Via Láctea tem uma área de aproximadamente$$\mbox{ÁreaVL}=\pi R^2=\pi\times (5,0816620383125\times 10^{17})^2\,\rm{km}^2=\\ \pi\times 25,823289072\times10^{34}\,\rm{km}^2=81,1263\times 10^{34}$$ isto é, em notação científica temos$$\mbox{ÁreaVL}=8,11263\times10^{35}\,\rm{km}^2.$$ ÁreaVL=Área da Via Láctea

Agora, vamos ao cálculo da área da Terra.

Área da Terra

A Terra é praticamente uma esfera. A rigor é um elipsoide em que a maior distância do centro até a superfície difere em pouco mais de 20 km que em relação ao raio da terra que é de aproximadamente 6.371 km que dá uma diferença de cerca de 0,313%. Há um texto que eu escrevi em que tento mostrar que a Terra é mais lista do que uma bola de bilhar e você pode ler esse texto AQUI, se você quiser. Então, vamos considerar a Terra como uma esfera de raio R=6371 km. Como a área de uma esfera é 4π.R² então teremos $$\mbox{ÁreaTERRA}=4\pi R^2\,\rm{km}^2=4\pi (6371)^2\,\rm{km}^2$$ Fazendo os cálculos e colocando em notação científica concluiremos que $$\mbox{ÁreaTERRA}=5,10064\times 10^8\,\rm{km}^2\approx 5,1\times 10^8\,\rm{km}^2$$ Note que aqui usamos o fato de que o volume da esfera de raio R é 4π.R². Você achou que isso seria inútil e não serviria para nada, certo? Pois é, serve para calcular a área da superfície terrestre. E quanto ao Sistema Solar?

Área do Sistema Solar

Aqui vamos ter que fazer algumas considerações, pois o Sistema Solar pois a forma do Sistema Solar não é algo que se saiba exatamente como é. Veja esta reportagem que fala um pouco sobre isso. Segundo a matéria o Sistema Solar teria a forma de um Croissant amassado

Sistema Solar em forma de croissant: modelo em 3D da heliosfera desenvolvida no novo estudo (Foto: Merav Opher, et. al). Imagem da reportagem.

Grande parte dessas ideias se baseia em informações enviadas pela sonda Cassini, que estudou Saturno entre 1997 e 2007, e em dados provenientes das sondas Voyager 1 e 2, que foram lançadas em 1977 e são as únicas a já terem chegado ao espaço interestelar. (...) Outro equipamento essencial para o estudo foi a sonda New Horizons, lançada em 2006 com objetivo de investigar Plutão.

Ilustração representa a localização das sondas Voyager 1 e Voyager 2 na heliosfera (Foto: NASA). Imagem retirada da reportagem mencionada logo acima.

Como esta forma do Sistema Solar é um tanto "estranha", vamos fazer o seguinte: olharemos para a área de um CD, para a área da Terra e depois até onde teríamos que ir pensando no sistema solar na forma de um disco com o Sol no centro. Tudo bem, não é, como viu logo acima, mas vamos pensar nesta simplificação.

Área de um CD

Um CD (Compact Disc) tem cerca de 12 cm de diâmetro (veja dimensões exatas na figura seguinte).

Naturalmente, a área deste CD é de π.R² cm²=π.6² cm²=π.36 cm²=113,094 cm². Pois bem, agora precisamos da área do CD em km. Isso mesmo... Para transformar cm² em km², basta andar com a vírgula para a esquerda 10 casas decimais, como mostramos na tabela de transformação a seguir

Então vamos lá... Desconsiderando o 094 após a vírgula, a área do CD em km² será 0,0000000113 km² que em notação científica ficará$$0,0000000113\,\rm{km}^2=0,0000000113\times \color{red}{10^8}\,\frac{1}{\color{red}{10^8}}=1,13\times 10^{-8}\rm{km}^2.$$

Vamos encontrar o "Raio" do Sistema Solar de modo que a seguinte proporção seja válida $$\frac{\mbox{Área CD}}{\mbox{Área TERRA}}=\frac{\mbox{Área DISCO PLANETÁRIO}}{\mbox{Área VIA LÁCTEA}}$$ Substituindo os valores que encontramos acima teremos $$\frac{1,13\times 10^{-8}\,\rm{km}^2}{5,1\times 10^8\,\rm{km}^2}=\frac{\pi R^2 \,\rm{km}^2}{8,11263\times 10^{35}\,\rm{km}^2}$$ Note que como as unidades de medidas são as mesmas, não precisaremos escrevê-las e assim ficaremos com $$\frac{1,13\times 10^{-8}}{5,1\times 10^8}=\frac{\pi R^2}{8,11263\times 10^{35}}$$ Agora, vamos resolver esta equação em R. Esse R é o raio do disco planetário, vamos assim chamar, medido a partir do Sol, tomado aqui como centro. Vejamos onde esse disco teria suas bordas. Vamos usar um software para nos ajudar com esse cálculo. Veja os comandos a seguir.

Cálculo feito na WoframCloud: https://www.wolframcloud.com

Então, encontramos que para que esta proporção funcione, precisamos considerar a nossa fronteira do disco planetário a $$R=2,39199 \times10^9\,\rm{km}\approx 2,39\times 10^9\,\mbox{km}.$$ Vamos ver uma tabela com a distância do Sol até os planetas (conhecidos) do Sistema Solar

Fonte: AQUI.

O valor que encontramos para R coloca o nosso disco na metade da distância entre Saturno ($2,87\times 10^9$ e Urano $2,87\times 10^9$

Vamos imaginar que ao invés de um CD, estejamos diante de um Disco de Vinil LP (Long Play). Esse disco possui um diâmetro de 30 cm (12 pol.), como se vê na figura seguinte, logo, seu raio é de 15 cm.

Fonte: http://projetodiscultura.blogspot.com/p/historia-do-vinil.html

A área do Disco de Vinil é $\pi \times 15^2$ cm² ou seja $706,8375$ cm². Transformando em km², como fizemos antes, teremos, descartando 8375 que está à direita da vírgula, $$0,0000000706\,\rm{km}^2=0,0000000706\times \color{red}{10^8}\,\frac{1}{\color{red}{10^8}}=7,06\times 10^{-8}\rm{km}^2.$$

Resolvendo novamente a equação $$\frac{\mbox{Área VINIL}}{\mbox{Área TERRA}}=\frac{\mbox{Área DISCO PLANETÁRIO}}{\mbox{Área VIA LÁCTEA}}$$

usando o WolframCloud novamente para agilizar as contas teremos:

Cálculo feito na WoframCloud: https://www.wolframcloud.com

Neste novo cenário, $R=5,98\times 10^9$ km o disco planetário estaria com a borda depois de Plutão (que não é mais considerado planeta, mas em nossos corações sempre será um planeta. ;-)) aproximadamente $5,91\times 10^9$. Veja que o nosso R é aproximadamente $5,98\times 10^9$.

Considerações Finais

Salvo eu ter errado em alguma conta, a pesquisadora fez menção ao Sistema Solar na comparação que ela fez, mas aqui só conseguimos mostrar que a comparação faz sentido olhando para o disco planetário. Vimos também que a comparação melhor não é com um CD, mas com um Disco de Vinil LP. Entretanto, isso não tira o mérito da comparação que ela fez trazendo para algo que conseguimos ter uma ideia com os sentidos humano algo que sabíamos que era grande, mas essa comparação realmente faz com que percebamos como somos pequenos

Faça um exercício. Pegue um CD em suas mãos. Imagine um disco um pouco maior (raio de 15 cm), pois não temos LPs soltos na natureza para vermos e pegarmos eles... Suponha que que neste CD/Disco você tem todos os planetas conhecidos do Sistema Solar em suas mãos. A área desse disco planetário está em suas mãos, mas esse disco está em um sistema maior chamado Via Láctea em que a área é próximo à área da superfície da Terra. Consegue perceber agora o tamanho da Via Láctea? E ela nem é a maior galáxia... Isso não é fantástico?

Isso suscita outra discussão. Se existisse outra pessoa no outro bairro da sua cidade cósmica, quais as chances de se comunicarem? E se esta outra pessoa estivesse em outra cidade? Lembre-se de que um CD é onde estão todos os planetas conhecidos do Sistema Solar. Você poderia se comunicar com eles? E se esta outra pessoa estivesse em outro país, em outro continente ou do outro lado da Terra? É por isso que eu digo que pode até existir outras civilizações inteligentes na Via Láctea, mas estamos separados pela distância. Mas isso é assunto para outra postagem.

Exercícios para casa: as sondas Voyager 1 e 2 estão a uma distância da Terra que gira em torno das 75 UA (Unidade Astronômica) em que 1 UA corresponde à distância da Terra ao Sol, cerca de 150 milhões de quilômetro ou seja, 1 UA= 1,5.10^8 km. Quantos cm a sonda se afastou da borda do nosso disco planetário (que é o nosso CD)? Lembre-se que foram cerca de 45 anos para percorrer esta distância.

A propósito... Se quiser ver alguém que escreve muito bem sobre um possível contato nesta vastidão do universo, considere ler o livro a seguir

Clique AQUI para ver detalhes do livro.

Último comentário

Aqui você pode notar que usamos algumas coisas que se aprende na escola. Eis os assuntos que você estudou na escola e que estão aqui

Notação Científica
Razão
Proporção
Transformação de Unidades de Medida

Talvez você não use toda a matemática que estuda em seu cotidiano, mas isso não faz dela inútil. Aplicações sempre existem. ;-)

Agradecimento Especial

Na primeira versão desta postagem eu me equivoquei na hora de calcular a área do CD tomando como raio o seu diâmetro. O leitor Astrogildo dos Santos enviou uma mensagem pelo formulário de erro técnico daqui do blog e tão logo tenha visto que procedia o que ele reportava, tirei a postagem do ar para a correção. Então, fica aqui o meu agradecimento.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Relação entre a folha A4 e a raiz de 2

2022-01-01T13:10:00.008-03:00

Às vezes eu digo que matemática é como a massa que fica entre os tijolos ou o ferro e concreto que estão ali em uma construção e que é importante para esta construção, mas que ninguém vê. O fato de você não vê uma aplicação imediata não quer dizer que ela não exista e hoje eu quero mostrar a vocês como a $\sqrt{2}$ está presente em sua vida e você, talvez, não saiba... ;-)

Alguma vez você já parou para reparar nas dimensões da folha A4? Na verdade o que vamos falar aqui não funciona apenas para folhas A4. Também valem para A5, A3, A2, etc. Estas dimensões têm algo em comum. Se você dividir o lado maior pelo lado menor vai encontrar $\sqrt{2}$. Veja um exemplo de tamanho de folhas A4 como mostra na figura seguinte.

Se dividir 29,7 por 21 encontrará 1,414285714, que é um valor aproximado para $\sqrt{2}$. Se usar uma calculadora verá que 1,414213562 é o número obtido quando pede para calcular a $\sqrt{2}$ (que é uma aproximação para este número, pois, como é irracional, não pode ser escrito como um número decimal finito, mas podemos deixar esta discussão mais técnica para outro momento ;-)).

A metade de uma folha A4 é uma miniatura da folha A4 original

O que acontece quando você dobra uma folha A4 no meio? Deverá ter algo como o mostrado na figura abaixo

Folha A4 dobrada ao meio uma vez

Talvez tenha lhe passado despercebido, mas se você olhar para uma folha A4 dobrada ao meio (a metade dela, portanto) é uma miniatura da folha A4 original, ou seja, ela mantém a proporção entre os lados. Em outras palavras, se dividir o lado maior pelo lado menor ainda continuará a encontrar 1,414285714. Se dividir novamente essa folha menor, que já é miniatura da folha A4, encontrará uma folha menor ainda que também será miniatura da maior.

Folha A4 dobrada ao meio duas vezes

Se pegar o lado maior do quarto da folha A4 e dividir pelo lado menor deste quarto obterá...... Isso mesmo 1,414285714 que é um valor aproximado para $\sqrt{2}$.

A matemática por trás do fenômeno

A matemática por trás dessa mágica de dividir ao meio e obter miniaturas da folha original é simples. Essas dimensões foram pensadas para ser assim. Qual deve ter sido a pergunta original quando se pensou em definir a proporção entre lado maior e lado menor? Penso que deve ter sido algo como "Queremos uma proporção entre lado maior e lado menor de tal modo que estas proporções se mantenham quando a folha for dobrada ao meio".

Bom, uma pessoa com um conhecimento básico de matemática (geralmente se estuda proporções no 7º ano?) deve ter feito um cálculo rápido mais ou menos como segue

Lembre-se que a característica que se quer é que a razão entre Lado Maior e Lado Menor seja o mesmo, tanto para a folha inteira quando para a sua metade. Podemos escrever assim $$\frac{\mbox{Lado Maior da folha maior [A]}}{\mbox{Lado Menor da folha maior [B]}}=\frac{\mbox{Lado Maior da folha menor [B]}}{\mbox{Lado Menor da folha menor [A/2]}}.$$ Se isso acontecer teremos a proporção mantida e isso é o que chamamos no início deste texto como uma "miniatura". Se usarmos A para representar a Altura, B para representar a Base podemos "traduzir" para símbolos matemáticos da seguinte forma $$\frac{A}{B}=\frac{B}{A/2}.$$

Como estamos diante de uma proporção, então o produto cruzado deve dar o mesmo resultado, certo? [A fala correta seria: o produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos] e assim teremos $$\frac{A^2}{2}=B^2$$

Uma manipulação algébrica simples nos levará para $$\frac{A^2}{B^2}=2$$

de onde vem que $$\left(\frac{A}{B}\right)^2=2$$

Agora, extraindo a raiz quadrada em ambos os membros obtemos $$\frac{A}{B}=\sqrt{2}.$$

Ou seja, a razão entre a Altura e a Base deve ser... $\sqrt{2}$... Isso mesmo. ;-) Então, veja só... Você tem um número irracional presente quase todos os dias em sua vida e talvez não soubesse ainda...

Outros tamanhos de folhas

Quando você dobra uma folha A4, você encontra duas folhas menores, certo? Cada uma destas folhas é uma folha A5. Veja na ilustração abaixo

E se você dobrar uma folha A5 ao meio, você encontra uma folha A6 e assim por diante... Veja na imagem seguinte uma ilustração.

Seguindo esta lógica, como você encontra uma folha A3? Isso mesmo, colocando duas folhas A4 juntas e encontrará uma folha A2 colocando duas folhas A3 juntas e assim por diante... A imagem seguinte ilustra essas relações a partir do tamanho A0.

Fonte: https://www.significados.com.br/tamanho-de-folha/

Interessante, não? Se o tamanho fosse escolhido de uma forma aleatória, não haveria essas versões em miniatura das folhas maiores. Para que isso aconteça, a razão (divisão) entre as medidas do lado maior e do lado menor deve ser igual a $\sqrt{2}$. ;-)

Abração pro 6
Luís Cláudio LA

Como é possível explicar este aparente paradoxo?

2021-09-19T13:15:00.024-03:00

Segundo a Oxford Languages um paradoxo é um pensamento, proposição ou argumento que contraria os princípios básicos e gerais que costumam orientar o pensamento humano, ou desafia a opinião consabida, a crença ordinária e compartilhada pela maioria.

Vamos ver de que a formiguinha acima está falando... Há um tempo atrás um professor chamado Richard Gagnon me propôs o problema que julgo ser algo que se encaixa na definição acima e eu relatarei o problema a seguir.

Considere uma formiga que está no ponto A=(1,0) e quer ir até um ponto B=(0,1), como mostra a Figura (a) a seguir.

Uma das forma de fazer esse trajeto é ir até a origem (0,1) e depois ir até o ponto B=(1,0), como mostra a Figura (b), logo acima. Neste caso, a distância percorrida seria de 2 unidades, certo?

Excelente... Agora suponha que a formiga faça uma parada em (0,5; 1), vai até o ponto (0,5; 0,5), depois para o ponto (1; 0,5) e depois para o ponto (0,1). Este caminho está marcado na Figura (a) seguinte. Vamos usar vermelho para marcar a caminhada horizontal e azul para a caminhada vertical. Qual foi a distâncias a formiga percorreu em (a) na figura seguinte? Duas unidades, certo? Uma outra escolha poderia ser a seguinte caminhada: (0;1) ⍈ (0,25;1) ⍗ (0,25;0,75) ⍈ (0,50;0,75) ⍗ (0,50;0,50) ⍈ (0,75;0,50) ⍗ (0,75;0,25) ⍈ (1;0,25) ⍗ (1;0). Essa caminhada está representada na Figura (b) a seguir.

Observe que a distância percorrida em (b) na figura anterior continua sendo de duas unidades. A soma dos segmentos azuis e vermelhos são sempre iguais a 2. Se aumentarmos o número de divisões que fazemos no intervalo [0,1] teremos esse caminho cada vez mais próximo de uma reta que liga os pontos (0,1) ao ponto (1,0). Na figura seguinte há uma ilustração em que o intervalo é dividido em 150 partes.

Se clicar na figura ou NESTE LINK poderá interagir com uma construção dinâmica em que pode ver várias outras situações ilustrativas.

Mas, até neste caso, podemos ver a caminhada como uma soma de segmentos azuis com segmentos vermelhos em que a soma dos azuis dará 1 e a soma dos vermelhos dará 1 também e assim a distância percorrida será, novamente de 2 unidades. Entretanto, essa caminhada nos leva, no limite, a uma reta que une os pontos (0,1) e (1,0) e esse comprimento é conhecido, pois é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles em que os catetos medem 1 unidade. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede $\sqrt{2}$.

Ué... Mas como isso é possível? Por um lado a caminhada, vista como segmentos azuis e vermelhos, dará sempre 2 unidades, mas por outro, no limite temos um segmento de comprimento $\sqrt{2}$.

Estranho, não? Bom, eu não vou postar aqui o que já pensei sobre esse problema. Quero ouvir (ler) sugestões para explicar esse aparente paradoxo. ;-)

Abração pro 6

Luís Cláudio LA

Quero propor um projeto educacional ou planejar minha disciplina. No que pensar primeiro?

2021-02-14T16:52:00.004-03:00

Se vamos propor um projeto educacional ou simplesmente um plano de ensino ou de aula, no que devemos pensar primeiro? É sobre isso que quero falar nesta pequena postagem. Era para ser pequena, mas acabou ficando um pouco maior do que pensei inicialmente.

Vamos começar com uma pergunta básica por onde geralmente começamos no início do ano que é: o que será ensinado neste ano, semestre, bimestre neste componente curricular (matéria, disciplina) ou projeto? A resposta mais comum é uma lista de conteúdos que devem ser trabalhados. Algo como uma ementa ou que já vem no documento norteador da Instituição de Ensino ou que se tem no índice de um livro como o conteúdo programático de um componente curricular (matéria, disciplina) que será ministrada. Mas será que uma lista de conteúdos deveria ser a primeira coisa a ser pensada? Talvez a melhor reação ao receber uma lista de conteúdos fosse outra pergunta: o que queremos ao final desse processo? Quais competências devem ser desenvolvidas?

Ao final do processo o professor espera chegar em algum lugar, certo? Então, talvez o primeiro pensamento pudesse ser: onde se quer chegar? Vamos fazer uma analogia para ajudar no raciocínio. Pense que está em uma praia (tudo bem que tem muita pedra ali, e não é exatamente uma praia como normalmente imaginamos 😅), como a mostrada na figura seguinte. Talvez a primeira coisa que deva decidir, seja: para onde quer ir ou para onde quer levar seus estudantes?

Fonte Imagem: https://leandroavila.com/artigos/como-atingir-objetivo.html

Esse local para onde quer ir é o seu OBJETIVO. É para onde estará olhando quando for planejar suas ações. É onde quer que seu estudante chegue. Há algo que pode fazer para ter isso de forma clara: completar a seguinte frase

Ao final desse período (que pode ser uma semana, uma quinzena, um mês, um bimestre, um semestre, um ano...) ou projeto, o meu estudante deve ser capaz de _____________

Vamos retornar para a nossa analogia da praia. Chegamos à praia e primeiro decidimos para onde queremos ir (qual competência deve ser desenvolvida). Suponha que haja um farol ali e queira chegar até ele. Então já temos um objetivo e o próximo passo é pensar em meios para chegar até esse farol. Como faremos para chegar lá, ou seja, qual caminho tomaremos? Qual ESTRATÉGIA será utilizada?

Fonte Imagem: https://leandroavila.com/artigos/como-atingir-objetivo.html

Por exemplo, nosso farol, nosso objetivo, poderia ser: "Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela." Esta é, inclusive, uma das competências do ENEM. Agora, como alcançar esse objetivo?

Note que a figura (acima) mostra vários caminhos para se chegar até o farol, mas alguns podem ser mais demorados, outros mais rápidos, desde que se tenha certas habilidades. O caminho vermelho vai exigir que saiba nadar ou que tenha algum barco para atravessar e saiba usar o barco. O caminho verde será algo a ser considerado se sabemos a hora em que a maré estará baixa ou alta para passarmos em segurança. O caminho amarelo parece um pouco mais longo, mas parece também ser o mais seguro.

Trazendo esta analogia para a sala de aula, para que possa decidir o caminho que tomará, precisará conhecer os estudantes. Uma avaliação diagnóstica poderá lhe ajudar nesta decisão. Aí saberá quais são as habilidades que os estudantes têm, quais precisam de alguns conhecimentos prévios, quais deles poderão ajudar os colegas como monitores etc.

Com certeza algumas habilidades os estudantes ainda não terão e faz parte do trabalho do professor preparar os estudantes para esta jornada. É necessário que todos tenham alguns conhecimentos prévios, mas pode ser que nem todos tenham esses conhecimentos. Por exemplo: pode acontecer de nem todos saibam adicionar frações, ou operações com números decimais ou, no caso do ensino superior, pode ser que nem todos saibam derivadas e integrais. Se estas são habilidades necessárias, temos que pensar em como dar condições para que os estudantes tenham essas habilidades.

Uma imagem ilustrativa poderia ser a apresentada a seguir em que, para o estudante alcançar determinada competência (nosso objetivo, nosso farol) ele precisa desenvolver algumas habilidades e esse kit de conhecimento vai permitir fazer a jornada e chegar ao objetivo (nosso farol na analogia com a praia)

Fonte Imagem (modificada): https://leandroavila.com/artigos/como-atingir-objetivo.html

Esta jornada é muito semelhante quando se quer implementar algum projeto em uma escola ou universidade. A primeira pergunta a ser respondida não é o que será feito, o que será estudado e sim qual o problema que queremos resolver? Qual é o objetivo de todo o trabalho que será desenvolvido? Minhas ações estarão a serviço de chegar em que lugar? Depois de ter isso claro, aí sim vamos para as ações a fim de alcançar esses objetivos.

O físico irlandês do Século XIX chamado William Thomson, também conhecido como Lord Kelvin (sim da escala Kelvin de medida de temperatura lá das aulas de Química e Física) disse o seguinte

Aquilo que não se pode medir, não se pode melhorar

e eu acrescentaria algo para adaptar para a educação:

Aquilo que não se pode medir, não se pode melhorar DE FORMA CONSCIENTE

Pode ser que faça algo que não pode ser medido e que dê super certo, mas... Por que deu certo? Não vai saber... No caso de não alcançar o objetivo é importante ter as medidas do resultado das ações pedagógicas (do aprendizado) para tomada de decisão e correção de rota (ou do roteiro pedagógico).

Retornando para a nossa pergunta inicial: no que pensar antes de iniciar um projeto, uma aula, um módulo, um componente curricular, etc.? Primeiro, penso eu, devemos pensar no OBJETIVO, sempre. Depois nas ações para alcançar esses objetivos, nos conteúdos que deverão ser estudados para que o estudante adquira as habilidades necessárias para alcançar o objetivo (que pode ser uma competência).

Finalizando, eu gostaria de dizer que é óbvio que o que escrevi aqui é o início, mas há outras coisas que precisam ser observadas e que não estão explícitas aqui, como o tempo, os recursos que serão utilizados (embora isso possa ser visto de forma implícita no texto), as metas intermediárias, as avaliações para saber como está a evolução do trabalho em relação ao objetivo que se quer alcançar etc. Eu quis apenas dar um pontapé inicial sobre o que devemos pensar primeiro, em meu ponto de vista, mas é claro que um projeto educacional ou o desenvolvimento de um componente curricular (matéria, disciplina) passa pelo acompanhamento de outras variáveis.

Há mais um registro que gostaria de fazer. Como eu sou professor muitos poderiam indagar se eu já faço tudo isso. Eu diria que no momento eu sou algo como uma (com licença ao Raul Seixas) "Metamorfose Ambulante", ou seja, estou caminhando para esse modelo. Eu devo editar esta postagem colocando aqui um link para uma página minha no Notion em que vou concentrar essa organização para as disciplinas que eu esteja lecionando ou para algum projeto que será desenvolvido na escola em que estou trabalhando.

Sugestão de Leitura

Eu li (na verdade ouvi) um livro que achei muuuitooo bom que fala sobre desenho de um curso em que se pensa em Objetivos de Aprendizagem e várias estratégias para buscar realmente o aprendizado dos estudantes.

Vale a pena ler. ;-)

Abração pro 6.

Como calcular a distância entre as margens? A Lei dos Senos

2020-05-08T20:00:00.003-03:00

Observe a situação mostrada abaixo (capa desta postagem). Como poderíamos calcular a distância entre as margens? Tudo bem, você não encontra isso em seu cotidiano, mas quero falar de uma das aplicações da Lei dos Senos: calcular distâncias, em muitas vezes, inacessíveis.

As ferramentas necessárias serão: uma trena, um teodolito (pode ser um feito em casa mesmo) e um pouco de trigonometria. ;-) A imagem anterior fica no Lago Paranoá em Brasília e você pode ver o local e fazer medidas usando o Google Earth.

Assim como mostra o desenho, vamos supor que estejamos ao lado da piscina (canto esquerdo da imagem) em um ponto que chamaremos ele de ponto A. Escolhamos um ponto de referência do outro lado da margem que pode ser uma das três árvores. Vamos dizer que esta margem fica em um ponto B. Feito isso, vamos andar ali perto da piscina até lado de cima e ali será o nosso ponto C. Teremos algo como mostra a figura seguinte

Se você está na margem esquerda (onde estão os pontos A e C), com a trena você pode medir essa distância, certo? Ao fazer essa medida, você encontrará cerca de 33 metros.

Estando em A, aponte o Teodolito para C e depois gire-o até que ele esteja apontando para B (do outro lado da margem). Quanto mais preciso for essa medida, mais preciso será a distância AB, que procura. O ângulo que encontrará em Ĉ será de aproximadamente 80º.

Dirija-se ao ponto C e aponte o Teodolito para o ponto A e gire-o até que ele esteja apontando para o ponto B. Faça essa medida com muito cuidado. Deverá encontrar um ângulo próximo de 96,5º. Com isso tem agora o ângulo Â. Para encontrar o ângulo B, basta notar que a soma dos ângulos internos de um triângulo plano é de 180º. Não é difícil perceber que como $$80+96,5+B=180$$ então $\hat{B}=3,5^o$.

Carregando a imagem acima no GeoGebra encontramos ângulos mais precisos (ver imagem a seguir), mas com um teodolito caseiro, não conseguirá essa precisão. Vamos ficar com os números apontados, que são aproximações mencionadas anteriormente.

Então, a pergunta é: com esses dados, conseguimos saber a distância entre os pontos A e B? Essa distância nos informará a distância entre as margens que procuramos

Apenas uma pequena observação

Depois que desenvolvermos a ferramenta matemática para fazer esse cálculo, verá que a precisão do resultado dependerá da precisão dos instrumentos que não dão as informações de distância (entre os pontos A e C - isso não é problema) e os ângulos e nosso resultado será cada vez mais preciso na medida em que tivermos a precisão dessas medidas.

A ferramenta matemática que usarmos chama-se Lei dos Senos e vamos entender e deduzir essa lei a seguir. No final da postagem, iremos resolver o problema de calcular a distância apresentado no início desta postagem.

A lei dos Senos

Nestas breves notas eu me proponho a falar sobre o uso do software GeoGebra para estudar a Lei dos Senos e os cuidados que devemos ter a respeito de demonstrações. O software ilustra muito bem, mas ele prova alguma coisa?

Veja com o software pode ajudar o aluno a perceber o que diz a lei dos senos. Diz esta lei que para qualquer triângulo ABC a medida de um lado dividido pelo sendo do ângulo que é oposto a este é igual não importa qual lado você toma e o resultado da divisão é sempre igual ao dobro do raio "R" da circunferência que circunscreve o triângulo.

Em outras palavras o que este resultado diz é que: $$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=\frac{b}{\sin(\hat{B})}=\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$ Note que com palavras isto não diz muito a alguém que está vendo pela primeira vez isto. Entretanto, se este aluno puder ver uma ilustração mostrando isto gravará mais facilmente o resultado (penso eu). Veja um exemplo (clique na imagem para vê-la ampliada).

Agora imagine se ele (ou você) pudesse agarrar um dos vértices e arrastar e automaticamente esta ilustração puder ir sendo atualizada... Isto é o que o GeoGebra permite que se faça... Visualizar centenas de ilustrações em alguns segundos e observar o sentido do que está estudando... A imagem que vê abaixo é uma imagem dinâmica gerada pelo software GeoGebra. Clique sobre um dos vértices e arraste-o. O que pode ver com o texto dinâmico? Imagine seu aluno vendo isto. O que você acha quanto à compreensão do que diz a Lei dos Senos. O texto acima diz o mesmo que a imagem abaixo. Sem dúvidas ele irá lembrar da imagem, concorda?

.

Arraste os pontos A, B ou C e veja o que acontece com a relação $$\frac{a}{\sin(\hat{A})},\;\;\frac{b}{\sin(\hat{B})},\mbox{ e }\frac{c}{\sin(\hat{C})},\;\;$$

Entretanto, não devemos esquecer que imagem não prova nada. Ela apenas ilustra (mesmo esta dinâmica). Softwares como o GeoGebra devem ser usados em sala de aula, mas não como mecanismo de demonstração pois ele não demonstra nada. Entretanto, é fato que ele permite entender melhor as relações que temos.

Este mesmo software pode ser usado para conduzir o estudante para a demonstração deste resultado. Abaixo há uma pequena modificação no arquivo acima e foi preparado para que o aluno percebe o caminho da demonstração. Obs.: na figura seguinte, clique e arraste um dos vértices do triângulo e observe as relações entre os objetos.

Veja como pode ser a condução:

"O" é o centro da circunferência e CD é diâmetro. Isto implica que CDB é retângulo em C. O ângulo em "A" e em "D" têm a mesma medida por estarem em uma circunferência e determinarem o mesmo arco BC

Calculando o seno do ângulo em D encontraremos $$\sin(\hat{D})=\frac{a}{2R}$$ e já que o ângulo em D tem a mesma medida que o ângulo em A $$\sin(\hat{A})=\frac{a}{2R}$$ de onde vem que $$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=2R$$ Refazendo este raciocínio mas considerando os outros pontos B e C encontraremos que $$\frac{b}{\sin(\hat{B})}=2R$$ e $$\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$ de onde vem a fórmula conhecida: $$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=\frac{b}{\sin(\hat{B})}=\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$

Solução do problema proposto

Agora que já temos a ferramenta matemática, podemos tentar resolver o problema. Eis os dados:

A medida do lado AC = 33 metros
O ângulo Â é de 96,5º
O ângulo Ĉ é de 80º
O ângulo B é de 3,5º

Com isso, podemos mostrar a situação assim:

Só necessitamos dos ângulos opostos às medidas que conhecemos ou queremos descobrir, isto é, precismos dos ângulos Ĉ (oposto à medida que queremos descobrir) e B, oposto à medida que temos (33 m). Pela lei dos senos, $$\cfrac{x}{\sin(80^o)}=\cfrac{33}{\sin(3,5^o)}\Rightarrow x=\cfrac{33\cdot \sin(80^o)}{\sin(3,5^o)}\approx 532,34\,\,\mbox{m}$$

Então, esses cálculos nos dizem que a distância de uma margem até outra é de cerca de 532,31 metros. Compare agora com o resultado que a ferramenta Google Earth retorna

Um erro próximo de 12 metros (para mais). Com uma ferramenta que retornasse valores mais preciso dos ângulos (principalmente) teríamos um valor mais próximo do real.

Usamos Lei dos Senos em nosso dia a dia?

NÃO. NÃO USAMOS. Ao menos não é comum o uso. Entretanto, a Lei dos Senos é útil para cálculo de distâncias que podem ser inacessíveis. Lei dos Senos tem aplicação, mas... Não se trata de algo que usará em seu cotidiano. Entenda que o fato de não usar em seu cotidiano não faz desse conhecimento inútil.

Falando nisso, escrevemos três postagem aqui falando sobre isso. Não quer dar uma olhadela?

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Por que menos com menos dá mais?

2020-05-05T20:00:00.003-03:00

Por que o produto de dois números negativos é um número positivo?
Vários estudantes fazem essa pergunta aos seus professores e é o que vamos tentar responder nesta postagem. Como alguns alunos às vezes têm dificuldade em entender uma manipulação algébrica, vamos desenvolver primeiramente uma multiplicação entre dois números inteiros negativos conhecidos e depois veremos um caso geral.

Multiplicação de dois números inteiros negativos

Considere dois números inteiros particulares: $(-2)$ e $(-3)$. Vamos tomar por conhecido o seguinte:

Propriedade Distributiva: $a.(b+c)=a.b+a.c$
Princípio aditivo da igualdade: se $a=b$ então $a+C=b+C$

Primeiro note que $$(-2).3=3.(-2)=(-2)+(-2)+(-2)=-2-2-2=-6$$ ou seja, temos um caso particular de produto de um número positivo com um número negativo dando um número negativo (como era de se esperar).

Perceba agora que $-2\cdot 0=0$ e como $3-3=0$ podemos escrever $-2\cdot (3-3)=0$ de onde vem, pela propriedade distributiva $-2\cdot 3+(-2)(-3)=0$. Como já vimos, $-2\cdot 3=-6$ e desse modo $$-6+(-2)(-3)=0.$$ Adicionando 6 aos dois membros teremos $$-6\color{red}{+6}+(-2)(-3)=0\color{red}{+6}\Leftrightarrow (-2)\cdot(-3)=6$$ Com isso mostramos que o produto desses dois números negativos dará um número positivo.

Caso Geral: dois números reais negativos

Vamos agora a ao caso mais geral. Considere que $x$ e $y$ sejam dois números reais positivos. Queremos mostrar que $(-x)\cdot(-y)=x\cdot y$.

Note primeiramente que $x\cdot (-y)=-xy$, pois como $x\cdot 0=0$ e $y-y=0$, então, pela propriedade distributiva, $x\cdot y+x\cdot (-y)=0$. Agora, pelo princípio aditivo, se subtrairmos o termo $x\cdot y$ em ambos os membros teremos $$x\cdot y\color{red}{-x\cdot y}+x\cdot (-y)=0\color{red}{-x\cdot y}$$ Cancelando os termos opostos no primeiro membro (os dois da esquerda) teremos $$+x\cdot (-y)=-x\cdot y$$ que mostra que o produto de um número positivo com um número negativo é o oposto do produto dos seus módulos (o número sem o sinal... Tudo bem, módulo é algo mais geral, mas vamos pensar desse modo por momento).

Agora, perceba que $-x\cdot 0 = 0$ e desse modo, como $y+(-y)=0$, podemos escrever $-x\cdot (y+(-y))=0$ de onde vem (por conta da propriedade distributiva) $-x\cdot y+(-x)\cdot(-y)=0$. Adicionando nesta última igualdade o termo $\color{red}{x\cdot y}$ ficaremos com
$$-x\cdot y\color{red}{+x\cdot y}-x\cdot(-y)=0\color{red}{+x\cdot y}$$ Cancelando os termos opostos que estão no primeiro membro ficaremos com $$-x\cdot (-y)=x\cdot y$$ ou seja, ao multiplicarmos dois números negativos encontramos um número positivo, pois lá no início da seção a uma das primeiras coisas que dissemos foi que $x$ e $y$ eram números reais positivos. ;-)

Então, o produto de um número negativo com um número positivo é negativo e o produto de dois números negativos é um número positivo. ;-D

Um raciocínio mais simples ainda...

Observe que $(-1)\cdot 0=0$, certo? Então $(-1)(-1+1)=0$ e assim, usando a propriedade distributiva, $(-1)\cdot (-1)+1\cdot (-1))=0$. Como 1 é elemento neutro na multiplicação, $(-1)\cdot (-1)+(-1))=0$. Só há uma forma dessa soma ser zero. Se $(-1)\cdot (-1)=+1$ e temos novamente o resultado pois se assim for, para $x>0$ e $y>0$, $$(-x)\cdot(-y)=(-1)\cdot x\cdot(-1)\cdot y)=(-1)(-1)\cdot x \cdot y=x\cdot y.$$

Grande abraço
Luís Cláudio LA

Como calcular o número de pessoas em uma multidão?

2020-05-01T11:00:00.000-03:00

Você já reparou como quando há algum tipo de manifestação ou outra aglomeração qualquer (carnaval, pessoas na praia) nunca se tem os números oficiais coincidindo com outras estimativas. Do ponto de vista dos organizadores, é interessante inflar o número de participantes e assim, o número oficial geralmente diverge muito do número estimado pelos organizadores. Então, como podemos nós mesmos fazer um cálculo aproximado do número de pessoas em uma aglomeração? É sobre isso que falaremos nesta postagem.

Quantas pessoas você estima que há ali?

Como já mencionado, às vezes há muita discrepância entre os números apresentados e para fazermos nossas estimativas precisamos levar em conta algumas variáveis. Por exemplo: as pessoas nas adjacências foram levadas em conta ou só aqueles que estavam na rua? Qual a densidade está sendo considerada? Sim, isso é importante. O número de pessoas por metro quadrado que está se considerando é importante. Observe as imagens seguintes

É razoável pensar em uma densidade de 5 pessoas por m²? A resposta a isso pode mudar de pessoa para pessoa. Muda também dependendo do evento.. Um concerto de Rock pode ter essa densidade. Uma passeata, uma manifestação ou outra coisa que envolva pessoas em movimento, talvez essa densidade seja alta. Enfim... Será preciso avaliar caso a caso. Para inferirmos sobre essa densidade populacional no evento, poderíamos ter várias fotos da aglomeração e a partir daí faríamos uma estimativa mais perto do que seria o real.

O Google Earth como ferramenta para cálculo de área

Uma vez que foi decidido qual a densidade de pessoas no evento, o próximo passo seria estimar a área ocupada por essas pessoas. Isso pode ser feito pelo Google Earth para Web (não precisa instalar nada em seu computador). Vamos tomar como exemplo a estimativa de pessoas que estão, por exemplo, na praça dos três poderes em Brasilia. Depois de localizar no Google Earth o local, clique na régua na barra lateral esquerda, como mostra a figura seguinte.

Feito isso, aparecerá no canto direito superior uma caixa de texto. Ela mostrará o comprimento da poligonal que construirá. Basta ir clicando na tela para fazer um "cercado" onde você acha que estão as pessoas estão. Veja o exemplo na figura seguinte.

O programa vai mostrando o comprimento da poligonal, mas quando você clica sobre o primeiro ponto, essa poligonal se torna uma poligonal fechada (um polígono) e aí ele mostra a área da região cercada, como se vê na figura seguinte. Pronto. É o que precisamos para fazer a nossa estimativa.

Obs.: o que vê em alaranjado foi colocado com o InkScape. Há um destaque na área dada pelo Google Earth,
mas é um branco transparente bem claro... :-)

Onde estará a poligonal ficará você decidirá. O Google Earth está dizendo que a área cercada é de 79.082,13 m², que você pode arredondar para o inteiro mais próximo ou considerar 79.000 m². Para nossa estimativa vamos considerar a área sendo esse último número. Assim, o número médio de pessoas ali será de

79.000 se considerar a densidade de 1 pessoa por m²
158.000 se considerar a densidade de 2 pessoa por m²
237.000 se considerar a densidade de 3 pessoa por m²

Agora, faça você a estimativa do número de pessoas na manifestação, no comício, na praia, na rua etc. de sua cidade ou da cidade que quiser.

Epílogo

Professor, pra que serve apender a calcular área de figuras planas?

Pois é... Pode servir para várias coisas, mas uma delas é estimar o número de pessoas em uma aglomeração. Depois posso escrever algo sobre isso, ou seja, qual procedimento poderíamos usar para calcular a área da região cercada por um polígono, isto é, como o Google faz esse cálculo? Mas isso fica para outro momento. ;-)

Tudo de bom

Luís Cláudio LA

A Terra é mais lisa que uma bola de bilhar

2020-04-28T14:00:00.000-03:00

A Terra é mais lisa do que uma bola de bilhar

É com esta afirmação que iniciamos esta postagem. Não. A Terra não é Plana. Nosso propósito é mostrar que se colocássemos a Terra do mesmo tamanho da bola de bilhar, então a variação entre o ponto mais distante e mais próximo do centro deste esferoide (algo que se parece com uma esfera) da Terra é menor do que a mesma variação em uma bola de bilhar.

Os cálculos contidos nesta postagem estava dentro de outra postagem que escrevemos em que falamos sobre o fato de ser enfatizado que a Terra é como uma esfera achatada nos pólos. Entendendo que esses cálculos são importantes por si só e decidimos colocar uma luz maior sobre eles.

Algumas características de uma bola de bilhar

Suponha que você esteja em uma posição em que possa ver toda a Terra em seu campo de visão. Afirmo que você verá ao que é mais esférico que uma bola de bilhar

Fonte: http://www.real-billiard.com/en/product/3209/aramith-black-ball-52-4mm.html

O fabricante desta bola (Aramith) garante que a tolerância para o erro na medida do raio é de 0,001 polegada (cerca de 0,0254 mm pois em 1 polegada há 25,4 mm - regra de três simples). Então o erro no diâmetro é no máximo de 0,0508 mm. Essa bola tem um diâmetro oficial de 52,4 mm. Desse modo, o diâmetro dela é no mínimo 52,4 mm - 0,0508 mm = 52,3492 mm e no máximo 52,4 mm + 0,0508 mm = 52,4508 mm

A diferença entre o ponto mais distante o mais próximo do centro da bola de bilhar é R-r em que R é o raio maior e "r" o raio menor, ou seja,

$$R-r=\cfrac{52,4508}{2}-\cfrac{52,3492}{2}=\cfrac{0,1016}{2}=0,0508\,mm$$

A Terra do tamanho de uma bola de bilhar

Para compararmos a Terra com uma bola de bilhar teremos que fazer de duas, uma das alternativas a seguir. Aumentar a bola de bilhar até o tamanho da Terra ou diminuir a Terra até uma bola de bilhar. Vamos diminuir a bola de bilhar até o tamanho da Terra, proporcionalmente.

Vejamos, tomemos por base o diâmetro equatorial da Terra que mede 12.756,3 km. Como vimos nesta outra postagem, a diferença é de apenas 23 km e isso é insignificante diante do raio equatorial ou polar. O diâmetro equatorial da bola de bilhar é 52,3492 mm. Precisamos estar com a mesma unidade de medida. Fazendo a conversão chegaremos que 12.756,3 km (o diâmetro equatorial da Terra) é o mesmo que 12.756.300.000 mm . Com isso em mente já temos como descobrir qual é o fator de escala.

$$52,3492 . x=12.756.300.000\Rightarrow x\approx 243.677.076,25$$

Assim, para trazermos a Terra para o tamanho de uma bola de bilhar precisamos dividir suas medidas por 243.677.076,25 (tomando por base o diâmetro equatorial).

Logo acima mostramos que a diferença entre o ponto mais distante do centro da bola de bilhar e o mais próximo é de apenas 0,0508 mm. Que número é esse em relação a Terra?

Sabemos que o pico mais alto da Terra é o Everest que fica a 8.848 m de altitude e o mais baixo (para quem veria do espaço) fica no Mar Morto, na fronteira entre a Jordânia e Israel, com uma altitude de - 400 m (ou seja, 400 m abaixo do nível do mar). A diferença entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo é, portanto, 8848-(-400)=8848+400=9248 m =9,248 km.

Observação: por que não usamos a Fossa das Marianas? Não usamos porque ela não está na superfície. Estamos falando de locais que você, teoricamente, conseguiria ir ou conseguiria ver de certa altura.

Trazendo esse número para a nossa escala da bola de bilhar teríamos:

$$\cfrac{9.248.000}{243.677.076,25}\approx 0,03795$$

Conclusão

Bola de Bilhar: diferença entre o ponto mais distante e o mais próximo do centro: 0,0508 mm.

Terra reduzida ao tamanho de uma bola de bilhar: diferença entre o ponto mais distante e o mais próximo do centro: 0,0378 mm.

Ou seja, na bola de bilhar há uma variação maior entre os pontos mais distantes e mais próximos do centro do que na Terra reduzida ao tamanho de uma bola de bilhar, ou seja,

A TERRA É MAIS LISA DO QUE UMA BOLA DE BILHAR.

Em tempo: encontrei um vídeo no YouTube do canal Primata Falante em que o Davi Simões fala mais sobre esse assunto com um olhar um pouco mais amplo. Vale a pena conferir. Além da comparação com a bola de bilhar ele ainda mostra outros motivos pelo qual a forma da Terra tem esse formato esférico (e uma esfera quase perfeita) :-)

Epílogo

Professor, por que estudamos escala, números decimais e transformações de unidades de medidas?

Olha, há vários locais em que esses conhecimentos são úteis, mas um deles é você poder ver a Terra em Miniatura e perceber que apesar de você ver vales e montanhas, de uma distância apropriada da superfície, a Terra pode ser vista tão lisa quanto uma bola de bilhar. Por outro lado, se aumentasse uma bola de bilhar até o tamanho da Terra, veria que ela teria muitos vales e o que poderíamos chamar de montes ou montanhas. ;-)

Abração pro 6
Luís Cláudio

Como parametrizar sólidos de revolução com o GeoGebra

2020-04-24T20:00:00.009-03:00

Nesta postagem vamos entender pode fazer para construir sólidos de revolução com o GeoGebra. Como vamos fazer uso de matrizes de rotação na parametrização, acreditamos que seja algo que pode ser usado em aulas de Álgebra Linear ou Geometria Analítica (dependendo de onde é ensinado a trabalhar com matrizes de rotação).

O que é um sólido de revolução?

Em palavras simples, um sólido de revolução é o sólido que se obtém quando giramos a região delimitada por duas curvas (uma delas pode ser uma reta, como o Eixo Ox ou Oy) em torno de um eixo, chamado Eixo de rotação.

Em Álgebra Linear geralmente, em algum momento, estudamos matrizes de rotação e nada melhor do que colocar em prática aquele conhecimento para escrever uma parametrização para uma superfície de revolução (que é o que temos quando olhemos só para a curva que será rotacionada.

É sério... :-) Usar essas parametrizações pode ajudar o estudante a entender melhor o que ele está estudando quando se trata de matrizes de rotação.

Vamos considerar uma situação como a mostrada na figura seguinte.

Considerando O como a origem, o eixo Ox é o vermelho, o Oy é o verde e o Oz é o azul.[/caption]

No caso do exemplo mostrado na figura anterior, temos uma curva no plano yz, logo, a abscissa é 0. Nesse caso em particular estamos usando a função $z=cos(y)+y$ e para produzir esta curva 3D no GeoGebra escrevemos no Campo de Entrada

Curva[0, t, cos(t) + t, t, 0, 4]

Acesse a construção mostrada na figura anterior CLICANDO AQUI.

Note a partir daí que um ponto qualquer sobre esta curva tem a forma (0, t, cos(t)+t). Vamos fazer algumas considerações a respeito da rotação em torno dos eixos.

Matrizes de Rotação

Não vamos entrar no mérito do porquê destas matrizes ser como são. Podemos fazer isso em outro momento. Vamos imaginar que você está estudando esse assunto em Álgebra Linear ou Geometria Analítica e quer ver o que está estudando fazendo, de fato, algo ser rotacionado. Para isso, vamos relembrar como são cada uma das matrizes e ver ao menos uma delas trabalhando a serviço de uma parametrização de uma superfície de revolução.

Então, vamos relembrar que para um t qualquer, (x(t), y(t), z(t)) é um vetor e a matriz da transformação linear que gira esse vetor em torno do eixo Ox um ângulo $\beta$ no sentido anti-horário é

$$\left( \begin{array}{ccc}

1 & 0&0 \\

0 & \cos(\beta)&-\sin(\beta)\\

0 &\sin(\beta)&\cos(\beta)

\end{array} \right)$$

e para girar em torno do eixo Oy

$$\left( \begin{array}{ccc}

\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\

0 & 1&0 \\

\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)

\end{array} \right)$$

e finalmente para girar em torno do eixo Oz a matriz de rotação é

$$\left( \begin{array}{ccc}

\cos(\beta)&-\sin(\beta)&0\\

\sin(\beta)&\cos(\beta) &0\\

0 & 0&1

\end{array} \right)$$

É simples assim... :-)

Rotacão de um ponto em torno de um eixo

É só disso que precisa para a parametrização de uma superfície de revolução. Vamos produzir uma ilustração fazendo com que um ponto específico seja rotacionado. Pense em um ponto A sobre a curva mostrada na figura anterior. Então esse ponto/vetor tem coordenadas (x(A),y(A),z(A)), correto? Se queremos rotacionar esse vetor um ângulo $\beta$ em torno do eixo Oy então no novo vetor terá coordenadas

$$\left( \begin{array}{ccc}

\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\

0 & 1&0 \\

\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)

\end{array} \right).

\left( \begin{array}{c}

x(A)\\

y(A) \\

z(A)

\end{array} \right)$$

Ao multiplicarmos essas matrizes encontraremos

$$(x(A) \cos(\beta) - z(A) \sin(\beta), y(A), x(A) \sin(\beta) + z(A) \cos(\beta))$$

Esse é o comando que deve escrever no Campo de Entrada do GeoGebra para obter um novo ponto obtido girando um ângulo $\beta$ em torno do Eixo Oy.

Ao arrastar o controle deslizante $\beta$ você verá o ponto A girar ao redor do eixo Oy.[/caption]

Veja essa ilustração adicionada do vetor e um seletor para controlar a medida de $\beta$ acessando ESTA CONSTRUÇÃO.

Rotacão de uma curva parametrizada

E o que muda para rotacionar a curva toda? Praticamente nada. Se a curva tem parametrizaçao (x(t), y(t),z(t)) então a parametrização da superfície de revolução para a rotação em torno do eixo Oy pode ser obtida do seguinte modo

$$\left( \begin{array}{ccc}

\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\

0 & 1&0 \\

\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)

\end{array} \right).

\left( \begin{array}{c}

x(t)\\

y(t) \\

z(t)

\end{array} \right)$$

Vamos tomar como exemplo a curva dada no início deste artigo. A parametrização da curva era (0,t,cos(t)+t) e assim, para girar essa curva em torno do eixo Oy precisamos encontrar

$$\left( \begin{array}{ccc}

\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\

0 & 1&0 \\

\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)

\end{array} \right).

\left( \begin{array}{c}

0\\

t \\

\cos(t)+t

\end{array} \right)$$

Multiplicando essas matrizes encontraremos

$$(-\sin(\beta).(\cos(t)+t),\; t\; ,\cos(\beta).(\cos(t)+t))$$

Note que temos duas variáveis. O comando do GeoGebra que gera superfície tem a seguinte estrutura:

Superfície[ <Expressão>, <Expressão>, <Expressão>, <Variável 1>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Variável 2>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ]

Usando $b$ no lugar de $\beta$ a parametrização da superfície ficará assim (digite no Campo de Entrada):

Superfície[-sin(b)*(cos(t)+t),t,cos(b)*(cos(t)+t),t,0,4,b,0,2*pi ]

Note que estamos fazendo $0\leq t\leq 4$ e $0\leq b \leq 2\pi$. O resultado será o que vê a seguir e pode ver e modifica a visualização segurando o botão direito clicado e arrastando. Para acessar a construção mostrada na figura seguinte, basta CLICAR AQUI.

Note que a superfície está "aberta". Podemos considerar também uma parametrização para a tampa e o fundo desta superfície, mas para que esta pequena nota não fique muito extensa, vamos deixar isso para uma outra postagem.

Esse assunto geralmente é estudado em ensino superior em livros de cálculo, como o que vê a seguir, escrito por este que vos fala e pelo saudoso professor Geraldo Ávila

Clique sobre a figura para acessar detalhes do livro

Neste livro não tratamos de sólidos de revolução, mas de vários assuntos que são geralmente estudados no início do curso de Cálculo 1.

Grande Abraço
Luís Cláudio LA

Como programar uma DFTS no Octave (ou Matlab)

2020-04-21T16:00:00.000-03:00

Das quatro representações de Fourier, a DTFS é a que é possível programar sem perdas nem na ida nem na volta pois não lidará com somas infinitas nem integrais, motivo pelo qual se torna interessante para se usar programando um computador para fazer os cálculos e é sobre isso que falaremos nesta postagem.

Referencial Teórico

Considere um sinal x[n] com período fundamental N (natural) então temos
$$x[n]=\sum_{k\in \left\langle N \right\rangle} X[k]e^{jk\Omega_0 n}$$ $$X[k]=\frac{1}{N}\sum_{n\in \left\langle N \right\rangle} x[n]e^{-jk\Omega_0 n}$$ onde $\Omega_0=\frac{2\pi}{N}$ e $X[k]$ são os coeficientes de Fourier (da forma complexa), $j^2=-1$ e $$e^{j\Box}=\cos(\Box)+j.\sin(\Box)$$.

A relação entre $x[n]$ e $X[k]$ permite a representação de um sinal em domínios diferentes. O primeiro no que pode ser chamado de domínio do tempo e o segundo no domínio da frequência. Escrever um programa de computador que faça esse trabalho é interessante do ponto de vista pedagógico pois coloca o estudante para pensar no que está sendo executado, tanto para a ida quanto para a volta. Aqui falaremos da ida, ou seja, sair de um sinal no domínio do tempo e ir para o domínio da frequência mostrando uma saída gráfica de $|X[k]|$ e $Arg\{X[k]\}$, os espectros de magnitude e fase, respectivamente. Em outro momento podemos escrever o programa da volta, ou seja, trazer para o domínio do tempo um sinal representado no domínio da frequência por seus espectros de magnitude e fase.

Uma observação rápida: DTFS não é a forma mais rápida de fazer essa transformação. FFT é mais rápida, mas o objetivo aqui é programar o computador através do Octave ou Matlab para executar essa ação. Essas funções já existem nos respectivos programas. Não se trata de nada novo aqui, mas só de treino mesmo. ;-)

Como sua função será chamada?

O código mostrado abaixo pode ser colocado em um arquivo *.m que rodará tanto no Octave quanto no MATLAB. Ele mostrará os Espectros de Magnitude e de Fase de um sinal x[n] com período N. O procedimento mostra ao final uma janela com os referidos espectros no intervalo [-N+1,N], ou seja, colocarmos o sinal com dois períodos fundamentais para que ficasse mais fácil a visualização.

Para chamar a função basta escrever DTFS( <vetor>). Por exemplo:

n=1:21
xn=cos(2*pi/21*n)
DTFS(xn)

---

Saídas pelo Octave e pelo Matlab

O que o procedimento faz é simples. Você entra com o sinal x[n] e o tamanho do período ele mostra X[k]. Como X[k] não é, necessariamente, real, mostramos o |X[k]| (Espetro de Magnitude) e o Arg{X[k]} (Espectro de Fase).

Como mencionado anteriormente é possível rodar o arquivo *.m tanto no Octave quanto no MATLAB.

No Octave basta clicar no monitor preto entre o botão > e a seta para esquerda azul.

e no MATLAB (figura anterior) basta apertar a tecla F5.

Em ambos a resposta será como mostrado nas figuras seguintes, respectivamente, para o Octave e o MATLAB.

O código que geral esta saída está em azul logo a seguir. Naturalmente que % serve para comentar e que, naturalmente, o código pode ser melhorado.

function DTFS(x)
 N=size(x,2);
 Omega0=2*pi/N;
 Xr=zeros(1,N);
 Xi=zeros(1,N);
 EspMag=zeros(1,N);
 EspFase=zeros(1,N);
for k=1:N
 for n=1:N
   Xr(k)=Xr(k)+1/N*cos(k*Omega0*n)*x(n);
   Xi(k)=Xi(k)-1/N*sin(k*Omega0*n)*x(n);
  end
end
for k=1:N
 if abs(Xr(k))<0.0001
  Xr(k)=0;
 end
  if abs(Xi(k))<0.0001
  Xi(k)=0;
  end
 end
for k=1:N
  if (Xr(k)>0)
   EspFase(k)=atan(Xi(k)/Xr(k));
  elseif (Xr(k)<0 && Xi(k)>0)
   EspFase(k)=atan(Xi(k)/Xr(k))+pi;
  elseif (Xr(k)<0 && Xi(k)<0)
   EspFase(k)=atan(Xi(k)/Xr(k))-pi;
  elseif (Xr(k)==0)&&(Xi(k)>0)
   EspFase(k)=pi/2;
  elseif (Xr(k)==0)&&(Xi(k)<0)
   EspFase(k)=-pi/2;
  else EspFase(k)=0; 
  end 
 end
for k=1:N
 EspMag(k)=sqrt(Xr(k)^2+Xi(k)^2);
 end
Xr2=zeros(1,2*N);
Xi2=zeros(1,2*N);
for k=1:N
 Xr2(k)=EspMag(k);
 Xi2(k)=EspFase(k);
end
for k=N+1:2*N
 Xr2(k)=EspMag(k-N);
 Xi2(k)=EspFase(k-N);
end
subplot(2,1,1);
stem(-N+1:N,Xr2)
 xlabel('k');
 ylabel('|X(k)|');
 
subplot(2,1,2);
stem(-N+1:N,Xi2)
 xlabel('k');
 ylabel('Arg(X(k))');

Grande abraço
Luís Cláudio LA

Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 3]

2020-04-19T10:12:00.011-03:00

"Professor, pra que serve isso que estudo em matemática no meu dia a dia?" Esta é a pergunta que está norteando o que está sendo discutido nesta sequência de postagens. Nas primeira falamos sobre a diferença de usar no cotidiano e ter aplicações. Na segunda mostramos um exemplo de aplicação, mas que não é uma aplicação no dia a dia. Nesta postagem faremos mais algumas considerações sobre isso.

Imagem: www.freepik.com

Uma analogia que poderá ajudá-lo/a a entender melhor a ideia

É importante que você entenda que cada assunto que estuda em matemática é como se fosse uma ferramenta que coloca em um quadro de ferramentas, como a que vê na figura a seguir

Quadro de ferramentas: nessa analogia cada assunto que estuda seria uma ferramenta desse quadro

Esse seria o ferramental matemático que você teria à disposição para resolver N problemas. Entretanto, antes de resolver problemas, é necessário que tenha esse ferramental, ou seja, que domine os "processos", isto é, saber como proceder para... (e você pode completar os pontinhos) :-)

Vamos a um exemplo de possíveis pontinhos (...): como devo proceder para...

... encontrar mínimo múltiplo comum?
... adicionar frações com denominadores diferentes?
... fazer o esboço do gráfico de uma função quadrática?
... encontrar o ponto de mínimo ou máximo de uma função quadrática?
... calcular o lado de um triângulo conhecendo a medida de outro e dois ângulos?
...

e assim por diante. Esses processos geralmente são matemáticos, isto é, não necessariamente estão ligados a um problema real, mas é importante saber como proceder. Esse seria o primeiro nível, o mais básico, ou seja, dominar os processos. A figura seguinte ilustra onde quero chegar.

No primeiro nível o estudante aprende os processos matemáticos (as ferramentas que serão colocadas em nosso quadro) e no segundo nível é onde estão os problemas (que não são necessariamente de seu cotidiano) que serão resolvidos usando esses processos...

O primeiro nível é onde você aprenderá os diversos processos matemáticos, como exemplificados anteriormente (como adicionar frações, como encontrar ponto de mínimo de uma função etc). É nesse momento que vários estudantes querem saber o porquê de terem que aprender isso e é aí onde entra o professor. Não devemos ensinar a matemática pela matemática. Cada processo que o estudante aprende deve ter um porquê, ou seja, deve haver algum problema que aquela ferramenta matemática seja útil (direta ou indiretamente) e é válido a indagação dos estudantes: "pra que serve isso?

O segundo nível é onde estaria as situações problemas que usam o processo estudado para encontrar a solução. Por exemplo: ensinamos aos estudantes, lá no Ensino Fundamental, um procedimento para encontrar Máximo Divisor Comum (MDC), mas penso que não podemos ficar só aí. É necessário que o estudante seja imerso em uma situação problema em que saber encontrar o MDC entre dois ou mais números naturais seja um conhecimento necessário. Tudo bem, isso não é algo que o estudante irá usar em seu cotidiano, mas é uma aplicação (discutimos sobre essa diferença de usar no cotidiano e ter aplicações na Parte 1 e Parte 2 dessa postagem) .

Para concluir a ilustração, no vídeo seguinte um problema envolvendo MDC é resolvido e falo um pouco sobre isso.

Se um estudante trabalhar em uma marcenaria, a situação problema apresentada no vídeo pode até ser algo do seu cotidiano (do seu dia a dia), mas geralmente isso não será. Trata-se de uma situação que mostra que conhecer MDC pode ajudar a resolver esse problema que foi apresentado. ;-)

Os conceitos são estudados com você, estudante, em sala de aula aos poucos pelo seu professor e não aprenderá em uma única aula: construir gráfico de função quadrática, encontrar raízes, encontrar eixo de simetria, vértice da parábola, ponto de máximo, valor máximo etc... Essas coisas são ensinadas aos poucos e você ser imediatista e dizer que não é importante estudar porque não vê utilidade em seu dia a dia não ajuda em nada.

Lembre-se da figura acima que mostra os níveis: o primeiro é o como fazer e o segundo é como resolver problemas usando aquele conhecimento. Se seu professor está só no nível 1, peça a ele que mostre exemplo de prolemas em que aquela ferramenta matemática será útil. ;-)

Uma palavra sobre os diversos assuntos estudados em sala de aula

Para finalizar, vamos voltar à pergunta que vários estudantes fazem e ter um olhar um pouco mais amplo (além da matemática). A pergunta que motivou a escrita dessas três postagens foi: PARA QUE SERVE ISSO NO MEU DIA A DIA? Mesmo fora da matemática, você não usa os conhecimentos obtidos em seu dia a dia. Por exemplo Ciências Biológicas, dificilmente reconhecer se uma planta é Briófitas e Pteridófitas, irá melhorar o seu dia a dia. O que aprendeu sobre colocação pronominal também não melhora o seu dia a dia de imediato. Entender como foi a participação do Brasil na 1ª Guerra Mundial e o episódio que ficou conhecido como A Batalha das Toninhas (esse foi um momento um tanto hilário, mas se quiser ver um pouco mais sobre a participação do Brasil na 1a Guerra Mundial, recomendo o vídeo sobre esse assunto do canal Nerdologia), não melhora o seu dia a dia; saber que o Pico da Neblina fica em Minas Gerais e N outros assuntos vistos na escola.

Entretanto, o fato de você não usar DIRETAMENTE em seu dia a dia não faz disso coisas inúteis. É importante que você conheça um pouco sobre tudo. Conhecer sobre a fauna e a flora, como os organismos funcionam, como se reproduzem, como se alimentam... Saber um pouco de arte, história, filosofia, conhecer sobre a norma padrão do seu idioma nativo, um pouco de outros idiomas... Tudo isso são coisas importantes e fazem parte de um conjunto de conhecimentos que, a longo prazo, pode fazer com que tenha uma vida melhor, que entenda o que está ao seu redor, como as coisas funcionam etc.

Citamos há pouco o episódio da Batalha das Toninhas, mas a História de um modo geral é muito importante; faz você entender como chegamos até onde estamos. É possível ir até um pouco além da história que se vê nas aulas nas escolas. Saber a história da área de conhecimento também é importante. Como chegamos até o que temos hoje em biologia? Por que não usamos hoje a hipótese proposta por Lamarck em biologia? Como chegamos hoje ao que conhecemos em Química? Por que o modelo atômico de Dalton não prosperou? O que houve para mudarmos para o modelo atual? Como Isaac Newton entendia a luz e como ela é entendida hoje? Como os seres humanos tiveram acesso à eletricidade? Como eles a entendiam em seus primórdios? Sobre esse último assunto é interessante ver esse documentário sobre a história da eletricidade: Parte 1, Parte 2 e Parte 3. Enfim... Seria importante em algum momento estudar a história das ciências e de outras áreas de conhecimento, como a Matemática.

A história tradicional também é importante. Ela nos ajuda a entender como chegamos onde estamos. Veja só uma situação para você pensar um pouco. No final da Segunda Guerra Mundial a Alemanha e o Japão estavam aniquilados. Seu parque industrial totalmente destruído. O Brasil não foi bombardeado nem nada e estava relativamente inteiro ao final de 1945. Entretanto, 75 anos depois o Japão e a Alemanha são potências mundiais, estão na ponta na produção de tecnologia (computadores, equipamentos, carros etc.). Saíram praticamente do zero e nos passaram em 60 anos. Por quê? Não é importante entender (também) isso? Claro que sim. O mesmo ocorre com as demais áreas do conhecimento.

Você precisa ter uma base de conhecimento que é comum a todos. Mesmo que pretenda ser advogado, artista, ou político, é interessante conhecer, além da língua portuguesa que todos usamos, um pouco sobre biologia, matemática, física etc. Se pretende ir para a área de exatas e ser um físico, engenheiro, matemático etc., é interessante também conhecer um pouco sobre as áreas de conhecimentos ligados à humanas. Estudar sociologia, filosofia, geografia também é importante.

De volta aos domínios da matemática :-)

Voltando agora aos domínios da matemática, praticamente tudo o que estuda no ensino fundamental ou médio foi concebido em função de algum problema. Pouquíssima coisa (se é que existe) pode ter sido concebido sem ter em mente a solução de algum problema e não ter alguma utilidade. Praticamente qualquer conteúdo estudado na escola PODE SER COLOCADO NO CONTEXTO DE UM PROBLEMA. Não significa, portanto, APLICAR EM SEU DIA A DIA. São coisas diferentes. Uma coisa é você usar em seu dia a dia e a outra é ter aplicação, servir ou ter servido a algum propósito, como estamos falando desde a primeira postagem.

É interessante ressaltar que cada ferramenta do seu quadro (veja imagem no início desta postagem), pode ser usada para resolver mais de um tipo de problema. Por exemplo: calcular a largura de um rio usando um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) e uma trena sem atravessar o rio ilustra uma aplicação de conceitos estudados em trigonometria (mais especificamente a Lei dos Senos). Com esses mesmo conceitos (a mesma ferramenta matemática) podemos descobrir o raio da Terra (SIM A TERRA É REDONDA); com conceitos de semelhança de triângulos podemos calcular a distância da Terra à Lua, da Lua a Sol etc., mas entenda que são situações onde você é colocado diante de um problema e o que aprendeu na escola passa a ser ferramenta para resolver aquele problema, mas aquele problema NÃO É UM PROBLEMA DE SEU DIA A DIA.

Então, pense antes de fazer aquela célebre pergunta: professor, onde eu usarei isso em meu dia a dia? Melhor seria você perguntar:

professor, isso que estamos estudando é ferramenta para resolver que tipo de problema?

Que tal? Que tal mudar um pouco a abordagem? Lembre-se que tudo depende, TAMBÉM, de você. Sabe qual a principal ação para começar a aprender matemática? Querer aprender matemática. Não estou dizendo que é fácil e sim que se você estiver disposto a aprender então seu professor terá uma chance maior de ter sucesso. :-) Ter bons professores também é algo importante.

Um grande abraço a todos
Luís Cláudio LA

Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 2]

2020-04-03T11:31:00.005-03:00

"Professor, pra que serve matemática em meu dia-a-dia?" Vamos continuar a discutir sobre esta pergunta recorrente dos estudantes de Ensino Fundamental e Médio. Como discutido na outra postagem, o mais apropriado seria procurar não por uma aplicação direta no dia-a-dia e sim por aplicações, ou seja, mudar a pergunta "Onde eu aplico isso em meu dia-a-dia?" para "Onde posso ver esse conhecimento aplicado?"

Como comentamos na postagem anterior, a matemática da vida é aquela que se aprende até o 7º ano (antiga 6ª série) em que se aprende a lidar com as quatro operações da aritmética, regra de três, porcentagem, juros simples, talvez um pouco de juros composto. O que vem depois disso, dificilmente será algo que vai usar em seu cotidiano, mas isso não quer dizer que não se tenha aplicações.

Imagem: www.freepik.com

Eu penso que é muito importante também que nós, professores, deixemos isso claro aos estudantes. Algo do tipo: matemática até o 7º ano (antiga 6ª série) é uma matemática que será útil em seu cotidiano. Matemática que se estuda depois disso temos como mostrar aplicações para praticamente tudo, mas essa aplicação não será algo que irá usar em seu cotidiano.

Quer um exemplo? Vamos começar com uma situação bem simples nesta postagem e depois podemos tentar evoluir para outras menos simples em postagens posteriores, ok? Considere a situação problema apresentada e resolvida a seguir, que poderia (e pode até) estar como um exercício de um livro texto de matemática.

Suponha que tenha ido passar um final de semana na chácara de um amigo seu. Chegando lá seu anfitrião lhe colocou a par de um problema. Ele relatou que possuía um muro e 100 metros de uma tela para construir um cercado de tal forma que aproveitasse o muro existente. Além disso, ele quer, também, que a criação tenha o maior espaço possível, ou seja, que a área cercada seja máxima. Como resolveria esse problema?

Você poderia dar diversas soluções para esse problema como fazer um lado de 2 metros e 96 m de comprimento; poderia ser também 4 metros de largura e 92 metros de comprimento ou diversas outras configurações de largura e comprimento. Note que o formato desse cercado ficará muuuitooo comprido com essas medidas e talvez não seja o ideal para colocar alguma criação como galinhas, porcos ou outra qualquer.

Como então resolver esse problema? Resolver o problema aqui é encontrar as dimensões do cercado de tal forma que 100 metros de tela sejam usados aproveitando o muro já existente e além disso, que a área seja máxima.

Passos para a resolução de um problema

Vamos aproveitar para mostrar o que geralmente ocorre (ou deve ocorrer) para a resolução de um problema. Normalmente ela (a resolução do problema) se dá em quatro passos, como mostrado na figura seguinte.

O que estudamos muito na escola é como lidar com o Passo 2, isto é, resolver um problema matemático, mas esta é apenas uma etapa na resolução de um problema. É necessário primeiro transformar um problema real em um problema matemático e aí sim, usamos ferramentas matemáticas para resolver o problema.

Como comentado na outra postagem, é necessário que nós, professores, não fiquemos apenas no Passo 2, que é um dos passos mais importantes, mas só ele deixa a impressão de inutilidade para o que estamos estudando quando não há um problema que se resolva com o objeto de estudo. É necessário dar significância a isso que está estudando, concorda? ;-)

Resolução do Problema Proposto

Estamos diante do PROBLEMA REAL (veja a figura anterior). Em geral estamos diante de um problema no mundo real e precisamos levar esse problema para o mundo matemático. Costumamos chamar isso de "matematização" do problema (Passo 1). Então, como fazer isso?

Um modelo representativo da situação real pode ajudar. Um esboço ou desenho envolvendo os dados principais do problema, o que conhecemos e o que desejamos conhecer é interessante. Veja se a ilustração seguinte ajuda.

O desenho representa o cercado feito com a tela (a parte azul), aproveitando o muro. Como nosso anfitrião disse que havia comprado 100 metros de tela então o comprimento total da parte que está marcada em azul deve ser 100, mas... Quanto deve medir cada lado? Esse é o problema. Eu não sei quanto mede nada. Só sei que tudo (comprimento da parte azulada) deve ser 100 m.

Então, vamos lançar mão de um recurso comum em matemática que são as chamadas variáveis. Usaremos uma letra para representar um número desconhecido. É corriqueiro o uso do "$x$", mas pode ser qualquer símbolo. O importante é saber o que ele significa. Vamos dizer então que o lado menor tenha medida "$x$". Uma rápida inspeção nos leva a concluir que o outro lado menor também deve ser "$x$". Ficamos então com a seguinte situação, mostrada na figura seguinte.

Legal... Agora, como podemos escrever a medida do lado maior do retângulo? Poderíamos chamar de "y"? Claro, mas há alguma relação entre "$x$" e "$y$"? Pense bem. A parte de cor azul deve ter comprimento 100, não? Pois bem, se é assim, $$x+y+x=100$$ Nós podemos escrever o "$y$" em função do "$x$" e encontrar que $$y=100-2x$$ Legal... Agora temos o que está anotado na figura seguinte:

Vamos lembrar o que queremos: determinar as medidas dos lados que fazem com que a área seja máxima. Quando temos números fixos o cálculo da área de um retângulo é muito simples. Estudamos isso na escola, embora muitos acharam bobagem conhecer como se calcula área de regiões planas por não ver onde isso seria útil em seu dia-a-dia.

A área de um retângulo pode ser calculada multiplicando as medidas de dois lados consecutivos, comumente falado: multiplica-se a medida da base pela medida da altura. Temos ali uma porção de letras, mas... não se esqueça que estas letras representam números (no caso os valores possíveis de "x" são de 0 a 50, concorda?). Como seria então a medida da área?

Repare na figura anterior. Vamos usar uma outra letra para "guardar" o valor da área. A letra que será usada é a letra "A". Assim, podemos escrever: $$A=x.(100-2x)$$ Aqui será necessário acessar em sua mente o que seus professores de matemática ensinaram lá no 8º ano (7ª Série) sobre multiplicação de monômios: o que é parte literal e coeficientes; precisa também saber o básico de propriedades de potências que seus professores vêm falando nisso desde o 6º Ano (antiga 5ª Série) e muitos acharam uma bobagem estudar aquilo porque não usariam em seu dia-a-dia.

Supondo assimilou o que viu nas aulas de matemática chegará à conclusão que poderá escrever a expressão anterior assim: $$A=100x-2x^2$$ e mais... Verá que a variável "A" depende da variável "x" e assim terá a função $$A(x)=100x-2x^2=-2x^2+100x$$ Função.... função... Essa palavrinha não é estranha a você, não é? Se já passou do 9º ano (antiga 8ª série) já estudou sobre isso e na época até falou para seu professor que não precisaria de função em seu dia-a-dia. Pois bem, estamos diante de uma função quadrática ( função polinomial do 2º grau).

Vejamos como ficou nosso problema. Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está "matematizado", isto é, transformamos um problema real em um problema matemático. Acompanhe na figura nossa posição. No passo 2 é onde usamos ferramentas matemáticas para resolver o problema matemático.

Agora, esqueça o problema da cerca. Nosso propósito é encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$. Aqui, há alguns conceitos que foram passados pelo seu professor quando estudou funções quadráticas (de 2º grau). Será que deu a devida importância? Veja só alguns assuntos que devem ser dominados para a resolução desse problema.

A função $A(.)$ tem domínio (para esse problema) em $[0,\;50]$
O gráfico da função $A(.)$ é uma parábola convexa, isto é, com a concavidade voltada para baixo e sendo assim naturalmente assume um valor máximo.
O valor máximo da função ocorrerá no vértice da parábola.
A abcissa do vértice de uma parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ pode ser encontrada assim $x_v=\frac{-b}{2a}$ e $y_v=-\frac{\Delta}{4a}$ onde $V=(x_v,\;y_v)$ é o vértice da parábola e $\Delta=b^2-4ac$.

Apareceu uma porção de palavrinhas estranhas aí, não? Parábola? O que é isso? Vértice? Abcissa? Como é mesmo o nome? Domínio? Você já viu essa palavra... Mas o que ela significa mesmo? Pois bem... Aqui vem a questão de você ser "alfabetizado" nesta linguagem. Se falamos: o eixo das abcissas é o horizontal e o das ordenadas é o vertical; no eixo das abcissas vamos marcar os valores de "x" e no eixo das ordenadas vamos marcar os valores de $A(x)$.

Se você não faz ideia do que seja eixo das abcissas e eixo das ordenadas, isto será uma linguagem estranha para você e assim não haverá comunicação, concorda? Entretanto para alguém "alfabetizado" em matemática, deverá vir à sua mente algo como mostramos na figura seguinte.

Para cada valor de "x" há um valor de "y" correspondente. Estes dois valores formarão um par (x,y) que tem uma correspondência biunívoca com os pontos do plano coordenado (outra palavra estranha?). Se você dispusesse de muuuitooo tempo e paciência poderia ir colocando x valendo 0, 1, 2, 3, ... até 50 e depois de marcar os pares (x,y) encontraria algo semelhante ao que está na figura seguinte.

Não temos tempo para fazer isso. Essa seria uma forma pouco inteligente de resolver o problema. Aproveitamos o gráfico anterior e perguntamos: você sabe "ler" o que o gráfico diz? Os números que aparecem na horizontal representam o quê? E os números que aparecem na vertical?

Os números no eixo horizontal representam a medida do lado menor do cercado.
Os números no eixo vertical representam a área.

Vamos então aos assuntos que são vistos em sala de aula e que deverá conhecer para resolver esse problema:

Saber o que significam os números que aparecerão na horizontal e na vertical (medida do menor lado do retângulo e a área, respectivamente)
Saber construir o esboço do gráfico de uma função quadrática de forma rápida. Para isso basta conhecer o que representa os coeficientes "a", "b" e "c" para o gráfico da função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ a saber: o sinal de "a" indica se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo; "b" indica se a parábola cruza com o eixo das abcissas na parte crescente ou decrescente; "c" indica onde o gráfico cruza com o eixo das ordenadas e o sinal de $\Delta$ indica em quantos pontos o gráfico cruza com o eixo das abcissas. Tudo isso é ensinado nas aulas de matemática.
Saber que o valor máximo está na ordenada do ponto chamado Vértice e que esse ponto é o que fica na posição mais alta (falando sem formalismo) da parábola, no caso de ela ter a concavidade voltada para baixo.
Saber que essa ordenada do vértice representa o valor máximo da área.
Saber que o valor de "x" no eixo das abcissas que geral o valor máximo pode ser calculado assim: $x=-\frac{b}{2a}$ (considerando $A(x)=ax^2+bx+c$ a forma genérica).

Então, o valor de "x" que procuramos (aquele que faz com que a área seja máxima) é $$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\cdot (-2)}=\frac{-100}{-4}=25$$ Ora, ora... Acabamos de encontrar o valor de "x" que faz com que a função $A(x)=100x-2x^2$ assuma o valor máximo. Estamos então diante da solução do problema matemático. Acompanhe nossa posição na figura seguinte.

Lembre-se do que escrevemos anteriormente:

Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está "matematizado", isto é, transformamos um problema real em um problema matemático.

Veja se compreende que o valor de "x" que faz com que $A(x)$ seja máximo é $x=25$. Esta é a solução do problema matemático. Agora, vamos ao passo seguinte que vou chamar de "Realização". Inventei o uso desta palavra aqui para representar o sentido de transformar algo do mundo matemático em algo do mundo real. Vamos então ao Passo 3.

A variável "x" representava a medida do lado menor do lado do cercado, correto? Vamos ver a figura novamente.

Então, troque "x" pelo valor que encontrou. Para a expressão $100-2x$, se $x=25$ ficaremos com $$100-2\cdot 25=100-50=50$$ Após a substituição ficaremos com o que pode ver na figura seguinte

O último passo (validação dos dados obtidos) é uma etapa geralmente ignorada pelos estudantes, mas penso que é importante também. No caso, o que precisa verificar nesse caso é apenas se de fato resolveu o problema. Adicionando os números 25; 50 e 25 teremos os 100 metros de tela dados inicialmente. O problema foi resolvido.

Essa etapa (validação) evita que você divida 9001 reais com três pessoas e encontre que cada um deveria receber R$ 300,33 e nem perceba que se multiplicar um pouco mais de 300 por 3 não vai encontrar algo próximo de 9000 e sim de 900.

Epílogo

O problema apresentado aqui é uma ilustração que mostra a matemática de 9º ano (antiga 8ª Série) sendo usada para resolver um problema que até poderia ser um problema na vida prática de alguém, mas convenhamos... O número de pessoas que vai se deparar com esta situação é insignificante. É uma aplicação para funções quadráticas e resolveu aqui um problema de otimização, mas não é uma situação que vai se deparar em seu dia-a-dia. Como esta, é possível mostrar aplicações para N outros assuntos que se estuda na escola. Podemos calcular a altura de uma montanha, a largura de um rio, a distância da Terra à Lua, a distância da Terra ao Sol, idade de um fóssil e várias outras situações, mas nenhuma delas serão situações que precisará da matemática em seu dia-a-dia. Entretanto, não deixa de ser uma aplicação para assuntos estudados na escola.

Na próxima postagem finalizamos esse diálogo sobre a matemática no dia-a-dia.

Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 3]

Já viu a primeira parte?

Professor, pra que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 1]

Um grande abraço.
Luís Cláudio LA

Professor, para que serve a Matemática em meu dia a dia? [Parte 1]

2019-03-25T11:46:00.007-03:00

Mipedes · Professor, para que serve matemática em meu dia a dia? Parte 1

[Logo acima há o áudio desta postagem. Assim, você pode ler ou pode ouvir (às vezes eu faço alguns comentários adicionais). Se você está em um smartphone, terá a opção de reproduzir no aplicativo da SoundCloud ou Reproduzir no Próprio Navegador.]

Professor, pra que servirá matemática em meu dia a dia? Qual o professor que nunca ouviu essa pergunta? É uma pergunta que o estudante tem o direito de fazer, mas será que podemos responder a indagação de forma satisfatória? Nesta postagem vamos falar sobre a relação entre usar no dia a dia (usar no cotidiano) algo que se tenha aprendido na escola e ter aplicação. Em postagens posteriores vamos desenvolver mais essa ideia.

A pergunta sobre a utilidade no cotidiano do estudado na escola não precisa ficar restrito à matemática. Se reparar bem, em que usamos a Química estudada na escola? E a Física, Biologia etc? Você não vai encontrar utilidade direta em seu cotidiano para muitos assuntos estudados na escola, mas não é por isso que eles são inúteis e não deveriam ser estudados.

Imagem: www.freepik.com

Seria interessante que o estudante percebesse que na escola se tem acesso a um pouco do que a mente humana já produziu de conhecimento ao longo da nossa existência. Então, faz sentido estudar um pouco de Química, Física, Biologia, Matemática, Artes, Literatura, História etc. A escolha do que estudar não é, necessariamente, pensando em uma aplicação direta em seu cotidiano, embora parte do estudado seja possível usar em suas vida diária.

Na construção de um Smartphone, por exemplo, está embutido ali, várias áreas de conhecimento trabalhando juntas para produzir este artefato. Há muita Química (a própria bateria é um artefato químico), Física, Matemática (o próprio computador é um artefato matemático), Eletrônica, Programação etc., mas não é exatamente a parte elementar destas áreas de conhecimento.

Algumas matérias estão mais próximas do cotidiano

Algumas componentes curriculares (matérias, disciplinas) conseguem, penso eu, fazer com que os extremos "o que eu estudo" e "o que eu uso em minha vida diária" fiquem mais próximos. Língua Portuguesa e Redação a proximidade é óbvia, mas as línguas estrangeiras também são exemplos que vale a penas citar. Saber o básico de inglês, por exemplo, coloca você em contato com a fronteira do conhecimento humano, pois a ciência fala em inglês. Quer saber o que está sendo produzido em termos de ciência e tecnologias de modo geral? Aprenda inglês. :-)

Em uma escala bem menor poderíamos até colocar o espanhol e acrescentar a facilitação da comunicação e diminuição das gafes com os falsos cognatos (quando se sabe um pouco mais de espanhol). Nós, brasileiros, pensamos que falamos um portunhol de primeira, mas não é verdade. Há várias "pedras" no caminho de uma boa comunicação em espanhol. De modo geral, penso que as Línguas Portuguesa e e as Estrangeiras Modernas são as mais próximas do cotidiano.

Outras componentes curriculares que vejo os estudantes podendo fazer conexões diretas com o cotidiano é a Geografia, História e Sociologia. Vivemos em um mundo que está constantemente se movimentando do ponto de vista Político e Geográfico. Além disso a Geografia se preocupa também com o estudo do Meio Ambiente, População, Urbanização, Fontes de Energia, Agricultura e outros assuntos que estão diretamente ligados ao nosso cotidiano.

A História e a Sociologia permitem que entendamos como chegamos onde estamos hoje. Por que o mundo é como é? Quais escolhas (certas ou erradas) foram feitas no passado que nos trouxeram até os dias atuais? Qual dinâmica de sociedade temos aqui, qual temos ali e acolá? O que há de melhor ou pior em cada uma? Enfim, penso que essas componentes curriculares conseguem colocar mais próximos os extremos "o que eu estudo" do "o que eu uso em minha vida diária".

Eu arriscaria rabiscar um universo de componentes curriculares parecido com o que se vê na figura seguinte em que quanto mais próximo ao centro, mais fácil é para o estudante perceber a conexão entre o que é estudado em sala de aula e a vida cotidiana. Entretanto, isso pode mudar, dependendo de onde uma pessoa vive, com quem convive, suas necessidades diárias, se tem o que comer ou não, etc. É apenas uma ideia e você pode discordar nos comentários abaixo. :-)

Diferença entre usar no dia a dia e ter aplicação

Entenda que não usar no cotidiano, não é sinônimo de ser inútil e isso se aplica à maioria das áreas de conhecimento. Talvez, ao invés de procurar por onde usa em seu dia a dia devesse procurar por aplicações. Para praticamente todos assuntos estudados na escola, há aplicações, mas elas não necessariamente será vista no cotidiano simples da maioria das pessoas.

Talvez fosse interessante mudar o tipo de pergunta. Por exemplo: ao invés de perguntar onde se usa, em seu cotidiano, o que estuda sobre Progressões Geométricas, pergunte onde pode ver Progressões Geométricas (PG) aplicadas? Há muita PG em Matemática Financeira quando, por exemplo, se faz o cálculo do valor das prestações com valores iguais ao pegar um empréstimo no banco.

O crescimento de populações (inclusive a humana) crescem obedecendo a uma Progressão Geométrica (que se olharmos o tempo continuamente se torna uma exponencial). No Brasil a população cresce a uma taxa de 1,26% ao ano. Isso quer dizer que se a população hoje é $P_0$, a população daqui N anos será $P_0.(1+1,26/100)^{N}$, ou seja, daqui N anos, a população será $P(N)= P_0.(1,0126)^{N}$. Com isso o próprio estudante pode fazer algumas previsões como: qual será a população do Brasil no ano de 2050? E no ano de 2100?

Vamos a outro exemplo. Ao invés de perguntar onde usa trigonometria em seu dia a dia, pergunte, onde pode ver trigonometria aplicada? Você verá que a trigonometria é usada, por exemplo, para fazer cálculo de distâncias inacessíveis. Por exemplo: não é possível colocar uma fita métrica do topo de uma montanha até o pé dela para saber a altura, aproximada, desta montanha, mas a trigonometria permite que se faça esse cálculo.

A trigonometria tem várias aplicações (embora não você não vai usar isso para ir à padaria, farmácia, supermercado ou em um banco). Com trigonometria básica conseguimos medir a largura de um rio sem sequer molhar os pés e para isso, precisamos, basicamente, de um Teodolito, um aparelho usado para medir ângulos (que pode ser caseiro) e uma trena ou fita métrica. É possível saber a altura de um prédio, uma montanha e até o raio da Terra.

Poderia citar N outros exemplos. Na verdade, os livros de matemática já trazem essas aplicações. Os itens do ENEM também já cobram conhecimentos matemáticos em problemas que são aplicações para conteúdos estudados na escola. Mesmo assim, vários estudantes insistem em achar que tudo isso é inútil porque não tem aplicação no dia a dia. Como já dito, a matemática do dia a dia é aquela estudada até o 7º ano (antiga 6ª série). Depois disso temos aplicações diversas, mas que não será algo que se usa no cotidiano.

Uma palavra rápida com quem ensina :-)

Agora, é necessário fazer uma meia culpa entre nós professores: precisamos dar contexto ao que se estuda. Estudar um assunto e não colocar esse conhecimento a serviço de resolver algum problema faz com que o que se estuda pareça inútil. Precisamos, penso eu, atentar para esses contextos ou seja, buscar pela significância daquilo que se está estudando.

Outra coisa que pode ser interessante é buscar por contextos históricos. Em que momento esse conhecimento foi desenvolvido? O que estava acontecendo no mundo nesta época? Por que foi importante? Que tipo de problema foi resolvido a partir desse desenvolvimento? Estudar matemática pode ser também entender um pouco de história. =D. Acho que esse assunto merece até uma postagem só para ele. :-)

Voltemos ao ensino, contexto e significância. Se ensinamos o que é uma função, depois o que é uma função quadrática, como encontramos os zeros desta função, ponto de máximo (ou mínimo), valores que geram esses valores máximos (ou mínimo), mas não resolvemos nenhum problema usando isso, aí realmente deixará a impressão de que não é útil. Vamos detalhar melhor esse exemplo na próxima postagem.

Esta publicação ficou muito grande e por isso resolvi separar ela em mais de uma (talvez três) e na continuação (deixarei os links aqui assim que ficarem prontas) vamos falar justamente disso: um contexto para um assunto estudado em sala de aula. Se você é professor, dê uma olhadela NESTA ATIVIDADE envolvendo Teodolito e Cálculo de Distâncias Inacessíveis. É possível dar significado para vários assuntos estudados em trigonometria.

Continuamos essa discussão nas próximas postagens:

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

A Matemática das colmeias

2018-07-16T00:30:00.005-03:00

Os favos construídos pelas abelhas são semelhantes a prismas hexagonais regulares. O que essa forma tem de especial?

Nesse artigo vamos discutir o motivo pelo qual as abelhas "escolheram" (por assim dizer) que os favos em suas colmeias tivessem o formato de um hexágono.

Já encontraram algum favo com o formato de quadrados, triângulos ou algum outro polígono? Que tal uma circunferência? Faz sentido? De alguma forma a natureza levou as abelhas a "escolherem" o formato de um hexágono.

Assista vídeo sobre a Geometria das abelhas.

Alguns fatos

Os polígonos devem ser encaixantes e não é qualquer um que tem essa propriedade. Há apenas três que podem ser encaixados: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular (podemos discutir o porquê em um outro post).

A quantidade de cera que deverá usar em cada caso deverá ser a mesma para que possamos comparar o motivo pelo qual uma forma geométrica é melhor que a outra. Sendo assim, suporemos que a quantidade de cera é suficiente para construir uma "parede" de comprimento "a".

Consideraremos o favo aberto na tampa e no fundo e que cada um dos favos são construídos sem aproveitar as paredes de outro já construídos. Não faremos essa análise aqui. Apenas procuraremos quais dos prismas com mesmo perímetro da base tem maior capacidade.

Verá que para entender esse simples problema vindo da natureza é necessário entender sobre vários conceitos matemáticos. Isso não é algo que você irá usar em seu dia a dia, mas com certeza mostra a matemática como ferramenta para entender um fenômeno natural.

Bom, vamos aos cálculos. A seguir há um applet que deverá ser possível observar através de uma ILUSTRAÇÃO que para polígonos onde o número de lados é maior que 7, não é possível encaixá-los; para aquele de número de lados igual a 5, note que também não é possível encaixá-los, mas é possível com aqueles cujo número de lados são iguais a 3, 4 ou 6 lados.

Applet: Polígonos encaixantes.
Abrir applet

Suponhamos que "a" seja o comprimento da parede do favo que é possível fazer certa quantidade de cera. Veremos em cada caso qual é a área da região cercada por essas paredes. Entenda o modelo matemático que criaremos. A ideia é analisar os três casos (triângulo equilátero, quadrado e hexágono).

Observe a ILUSTRAÇÃO seguinte mostra o que iremos analisar. Observe como a partir de um mesmo comprimento iremos construir um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Observe com calma.

Applet: Polígonos com mesmo perímetro e áreas diferentes.
Abrir applet

Vamos agora analisar cada caso.

Análise do triângulo equilátero

Para o triângulo equilátero, a medida de cada lado será $\cfrac{a}{3}$ onde "a", só lembrando, é o comprimento que temos disponível. Para encontrar essa área você deve saber calcular área de um triângulo, conteúdo estudado na escola.

No caso do triângulo equilátero, suponha que "L" seja uma medida qualquer. Então estaremos com um triângulo ABC como o mostrado na figura seguinte onde H é o pé da altura relativa ao lado AB. Outro fato estudado na escola é que a altura do triângulo equilátero é também bissetriz, mediana e mediatriz. Observe a figura seguinte:

É sabido (também estudado na escola) que a área do um triângulo qualquer é

$$Area=\cfrac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}$$

A medida da base é a distãncia entre os pontos A e B, que no caso mede "L". O que não temos aqui é a medida da altura, que está representado por "h" na figura anterior. Para descobrir "h" você precisa de outro assunto estudado também na escola: teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que

"o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos"

Lembre-se que chamamos de CATETOS aqueles lados que ajudam a formar o ângulo reto (de 90 graus) e a HIPOTENUSA é aquela lado maior que não ajuda a formar esse ângulo reto. Pois bem, olhando para o desenho anterior pode observar que a medida da hipotenusa é "L", um dos catetos mede "$\cfrac{L}{2}$ e o outro cateto mede "h", que queremos descobrir. Por conta do Teorema de Pitágoras, sabe-se que

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2$$

Não se esqueça que queremos saber qual é a medida de "h" em função da medida "L". Vamos resolver a equação anterior em relação a "h". Ficaremos com

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow \left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2=L^2$$

Veja que apenas escrevi a igualdade da direita para a esquerda. Sendo assim, elevando L/2 ao quadrado encontraremos $L^2/4$ e assim,

$$\frac{L^2}{4}+h^2=L^2\Rightarrow h^2=L^2-\frac{L^2}{4}$$

Agora, adicionando os monômios que apareceram no segundo membro ficaremos com (lembre-se que é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para adicionar frações):

$$ h^2=\frac{4L^2-L^1}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3L^2}{4}$$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (pois h>0) ficaremos com

$$h=\sqrt{\frac{3L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3L^2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{L^2}}{2}$$

Como $L>0$, $\sqrt{L^2}=L$ e assim,

$${h=\frac{\sqrt{3}L}{2}=\frac{L.\sqrt{3}}{2}}$$

Assim, já podemos escrever a medida da área do triângulo equilátero. Observe:

$$Area=\frac{base \times altura}{2}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot {h}= \frac{1}{2}\cdot L\cdot {\frac{L.\sqrt{3}}{2}}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Pois bem, acabamos de ver que a medida da área de um triângulo equilátero é igual à medida do lado do triângulo multiplicado por $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Para o caso do favo da colmeia, a medida do lado é $a/3$, ou seja, ${L=\frac{a}{3}}$

e assim a área será

$${Area}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\left({\frac{a}{3}}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}$$$$=\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2$$

Conclusão

Com um comprimento "a" podemos criar um triângulo equilátero de área $$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2$$.

Análise do quadrado

No caso do quadrado, cada lado dela irá medir $\frac{a}{4}$ e como a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado então

$$Area_{{Quadrado}}=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\cdot a^2=0,0625\cdot a^2.$$

Análise do hexágono regular

No caso do hexágono regular você deve lembrar que a área é seis vezes a área do triângulo equilátero que possui o mesmo lado (do hexágono). Para que você nunca mais se esqueça desta propriedade, eu preparei uma ilustração dinâmica que ilustra esse fato. Arraste o seletor ou clique no botão "Play" para ver o que queremos dizer.

[Link para a construção anterior: https://ggbm.at/vrrBCebW]

Sabendo disso, voltamos à fórmula da área do triângulo equilátero cuja medida do lado é "L" e multiplicamos ela por 6. Assim,

$$Area_{{Hexagono Reg.}}=6\cdot {{Area}}_{{Triangulo Equilatero}}=6\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Ou seja,

$$Area_{Hex. Reg.}=6\color{red}{\div 2}\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4\color{red}{\div 2}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot L^2}{2}$$

que finalmente nos dá:

$$Área_{\mbox{Hex. Reg.}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot {L}^2$$

Agora que sabemos a fórmula para calcular a área do hexágono regular, voltemos ao nosso problema. Note que o comprimento "a" deverá ser dividido agora por 6. Assim, a medida do lado do hexágono será ${L=\frac{a}{6}}$ e assim, a área delimitada pelo hexágono feito com cera será:

Área$$_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \left({\frac{a}{6}}\right)^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a^2}{36}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{72}\cdot a^2$$

Simplificando vem,

$$Area_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3\color{red}{\div 3}\cdot\sqrt{3}}{72\color{red}{\div 3}}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,0721687\cdot a^2$$

Conclusão

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2.$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot a^2.$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot a^2$$

Qual dos três tem área maior? Dos números decimais que aparecem logo acima, o maior é o terceiro (0,072168), ou seja, a área do hexágono é a maior entre as três. Se quiser um caso particular, tome $$a=10\,\,\,\mbox{cm}$$ e teremos, em particular:

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot 10^2=0,048112\cdot 100=4,8112\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot 10^2=0,062500\cdot 100.=6,25\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot 10^2= 0,072168\cdot 100= 7,2168\,\,{cm}^2$$

Simples, não? Por incrível que pareça as abelhas sabem que esse é o melhor formato para a construção dos favos.

Observe o seguinte: os conceitos aqui usados são estudados em sua escola (todos eles) e muitos alunos perguntam: mas por que eu devo estudar isso se não irei usar isso em meu dia a dia? O que viu aqui não é algo que irá usar em seu dia a dia, mas com certeza se trata de um conhecimento a mais que conseguiu usando como ferramenta alguns tópicos vistos em sala de aula.

Não seja tão limitado ao ponto de querer estudar apenas o que poderá usar em seu dia-a-dia. Estaríamos ainda no século XV ou antes disso se só estudássemos o que usaríamos no dia-a-dia. SmartPhones, MP3, e outras coisas não existiriam. Pense alto.