MÉTODOS NUMÉRICOS

Raices de ecuaciones

2012-02-09T18:29:00.000-08:00

El cálculo de las raíces de las ecuaciones es un problema que se ha tenido que enfrentar par eso sean elaborado diversos métodos ya que al determinar las raíces de una ecuación también lograremos máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc.

Un método consiste en graficar la función y ubicar el punto donde la grafica intercepta al eje de las abscisas o eje x. El punto ubicado x es el valor de la raíz donde f(x)=0.

Pero el método grafico no es preciso por eso de elaboro otros métodos más efectivos capaces de ayudarnos en el campo de la ingeniería, pues son frecuentes en áreas de diseño, cálculos para la optimización de recursos y otros.

Para el estudio podemos organizar los métodos de la siguiente manera:

Métodos cerrados

Como su nombre lo dice este método encierra la función en un intervalo donde dicha función cambia de signo para tener una raíz dentro de este intervalo y luego empezar reducir por medios de algoritmos el tamaño del intervalo.

Métodos abiertos

A diferencia de los métodos cerrados estos solo necesitan un valor inicial, pues no encierran la raíz. En algunos casos la operación diverge (se aleja de la raíz) y otros converge (se acerca a la raíz) hallando de manera más efectiva la raíz.

Método de punto fijo
Método de Newton – Raphson
Método de la secante
Método de Brent
Raíces múltiple
Sistema de ecuaciones no lineales

Rices de polinomios

Método de Müller
Método de Bairstow

Aplicaciones ala ingeniería

Método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición

2012-01-27T19:34:00.000-08:00

Método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo que a diferencia del método de la bisección, este se basa en una visualización grafica que consiste en unir f(a₀) y f(b₀) con una línea recta, la intersección de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor aproximación de la raíz que por el método de la bisección, aunque no siempre es así.

Hallaremos la pendiente de la grafica de la recta trazada entre los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)), donde la intersección con el eje de abscisas o línea horizontal sera nuestra aproximación a la raíz x_i .

Podremos notar que la regula falsi determina el promedio ponderado de los extremos del intervalo.

Algoritmo de la falsa posición

Paso 1: dada la ecuación f(x)=0 ubicar el intervalo donde exista la raíz r є [a , b]

Paso 2: generar la sucesión {x_i} con la siguiente relación.

Paso 3:

Determinar

Paso 4: si |x-x|≤ є dejar de iterar, caso contrario ir al paso 2

Ejemplo

Sea la función donde x є [0,3] resolver por el método de falsa posición

¿Cuántas cifras significativas tiene la solución en la cuarta iteración?
¿Cuántas cifras decimales tiene la solución en la cuarta iteración?

Solución

Primero buscamos el intervalo donde podemos encontrar al menos una raíz.

f(0).f(1) < 0 entonces el intervalo a trabajar será [0,1]
Iteración inicial

Primera iteración

Segunda iteración

Tercera iteración

Cuarta iteración

Respondiendo a las preguntas planteadas

MÉTODO DE BISECCIÓN

2012-01-25T21:06:00.000-08:00

El método de bisección sirve resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) si f(a) x f(b)<0 entonces existe un numero llamado raiz “r” tal que f(r)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución o raíz de la ecuación f(x)=0. Luego el intervalo se divide en dos, si la función cambia de signo en uno de los nuevos intervalos, este se vuelve a dividir y así sucesivamente hasta obtener una aproximación adecuada.

Algoritmo de bisección

Paso 1: Usando el teorema de Bolzano localizar los intervalos en los que podemos encontrar al menos una raíz f(a) x f(b)<0 y localizamos el valor inferior a_i y el valor superior b_i del intervalo que encierra la raíz

Paso 2: Realizar una aproximación de la raíz mediante la relación:

Paso 3: Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raíz.

Si f(a_i).f(b_i)<0 Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo por lo tanto se hace a_i+1=x_i ; b_i=b_i

Si f(a_i).f(b_i)> 0 Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior derecho por lo tanto se hace a_i+1=a_i ; b_i+1=x_i

Si f(a_i).f(b_i)=0 La raíz es igual a x_i , se termina el calculo

Paso 4:

Entonces se deja de iterar cuando x_i =r, con la cantidad de cifras significativas exactas o de cifras decimales exactas según como se pida caso contrario ir al paso 2.

Ejemplo

Sea la función donde xє[0,3]

a) ¿Cuántas cifras significativas tiene la solución en la cuarta iteración?

b) ¿Cuántas cifras decimales tiene la solución en la cuarta iteración?

Solución

Primero buscamos el intervalo donde podemos encontrar al menos una raíz.

Grafico de la funcíon

f(0).f(1) < 0 entonces el intervalo a trabajar será [0,1]

Iteración inicial

Primera iteración

Segunda iteración

Tercera iteración

Cuarta iteración

TEOREMA DE BOLZANO

2012-01-25T10:14:00.001-08:00

Se la ecuación f(x)=0 , donde f(x) es una función polinómica o trascendente y además está definida en el intervalo [a,b]. Partiremos del intervalo [a.b] iremos tabulando en cada intervalo de longitud 1 para ver en que intervalos encontramos raíces bajo la siguiente condición.

Ejemplo

Localizaremos el intervalo donde se encuentra la raíz de la ecuación:

Ahora tabularemos la función f(x) para un intervalo de x esta dentro de [-1,10] y obtenemos la gráfica.

Observamos que hay raices en los intervalos [0,1], [3,4], [6,7] y [9,10]

Aproximaciones y errores

2012-01-17T23:29:00.000-08:00

Definición de errores

Estos errores surgen al momento de realizar aproximaciones al representar operaciones y cantidades matemáticas debido a la imposibilidad de controlar la influencia de todas las variables.

Error absoluto (Ea): el error absoluto es la es la diferencia del valor de la aproximado (medida) y el valor tomado como exacto, el resultado puede ser negativo o positivo, según se la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa) al cual se le sacara el valor absoluto. El resultado tendrá las mismas unidades del valor exacto o aproximado.

Sea p un valor exacto o verdadero y p1 el valor aproximado

Error relativo (Er): El error relativo resulta de la división entre el error absoluto y el valor exacto. Este error no tiene unidades.

Cifras significativas

Son significativos todos los dígitos distintos de cero.

8723 y 0.04578 tienen cuatro cifras significativas

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

105 y 0.0205 tienen tres cifras significativas

Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

0,005 y 0.06 tienen una cifra significativa
ORDEN DE DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
El orden de una descomposición polinomica viene a ser el exponente máximo de una descomposición polinomica

CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS
Esta esta definida por la relación:
CIFRAS DECIMALES EXACTAS