Multiaprendizaje

INVOP2 Programación Dinámica Probabilística

2014-03-24T22:37:00.001-05:00

PROBLEMA 1

Considere un sistema electrónico con cuatro componentes, cada uno de los cuales debe trabajar para que el sistema funcione. La confiabilidad del sistema se puede mejorar si se instalan varias unidades paralelas en uno o más de los componentes. La siguiente tabla muestra la probabilidad de que los respectivos componentes funcionen si constan de una, dos o tres unidades paralelas:

Unidades paralelas	Probabilidad de funcionamiento
Unidades paralelas	Componente 1	Componente 2	Componente 3	Componente 4
1	0.5	0.6	0.7	0.5
2	0.6	0.7	0.8	0.7
3	0.8	0.8	0.9	0.9

La probabilidad de que el sistema funcione es el producto de las probabilidades de que los componentes respectivos funcionen.

En la siguiente tabla se presenta el costo (en cientos de dólares) de instalar una, dos o tres unidades paralelas en los componentes respectivos:

Unidades paralelas	Costo
Unidades paralelas	Componente 1	Componente 2	Componente 3	Componente 4
1	1	2	1	2
2	2	4	3	3
3	3	5	4	4

Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un máximo de $1000.

Use programación dinámica para determinar cuántas unidades paralelas instalar en cada uno de los cuatro componentes para maximizar la probabilidad de que el sistema funcione.

Solución:

x_n : número de unidades paralelas a instalar del componente n

p_n(x_n) : probabilidad de que el componente n funcione si se le instala x_n unidades paralelas

c_n(x_n) : costo de instalar x_n unidades paralelas del componente n

s_n : cientos de $ que quedan disponibles para gastar en componentes

f_n(s_n,x_n) = max { p_n(x_n) f_n+1^*(s_{n -}c_n(x_n))}

Etapa 4 (componente 4)
s₄	f₄(s₄,x₄) = p₄(x₄)			Solución óptima
s₄	x₄ = 1	x₄ = 2	x₄ = 3	f₄^(s₄)*	x₄^*
200	0.5	-	-	0.5	1
300	0.5	0.7	-	0.7	2
400	0.5	0.7	0.9	0.9	3
500	0.5	0.7	0.9	0.9	3
600	0.5	0.7	0.9	0.9	3

Etapa 3 (componente 3)
s₃	f₃(s₃,x₃) = p₃(x₃) f₄^(s_{3 -}c₃(x₃))}*			Solución óptima
s₃	x₃ = 1	x₃ = 2	x₃ = 3	f₃^(s₃)*	x₃^*
300	(0.7)(0.5)=0.35	-	-	0.35	1
400	(0.7)(0.7)=0.49	-	-	0.49	1
500	(0.7)(0.9)=0.63	(0.8)(0.5)=0.40	-	0.63	1
600	(0.7)(0.9)=0.63	(0.8)(0.7)=0.56	(0.9)(0.5)=0.45	0.63	1
700	(0.7)(0.9)=0.63	(0.8)(0.9)=0.72	(0.9)(0.7)=0.63	0.72	2

Etapa 2 (componente 2)
s₂	f₂(s₂,x₂) = p₂(x₂) f₃^(s_{2 -}c₂(x₂))}*			Solución óptima
s₂	x₂ = 1	x₂ = 2	x₂ = 3	f₂^(s₂)*	x₂^*
500	(0.6)(0.35)=0.210	-	-	0.210	1
600	(0.6)(0.49)=0.294	-	-	0.294	1
700	(0.6)(0.63)=0.378	(0.7)(0.35)=0.245	-	0.378	1
800	(0.6)(0.63)=0.378	(0.7)(0.49)=0.343	(0.8)(0.35)=0.280	0.378	1
900	(0.6)(0.72)=0.432	(0.7)(0.63)=0.441	(0.8)(0.49)=0.392	0.441	2

Etapa 1 (componente 1)
s₁	f₁(s₁,x₁) = p₁(x₁) f₂^(s_{1 -}c₁(x₁))}*			Solución óptima
s₁	x₁ = 1	x₁ = 2	x₁ = 3	f₁^(s₁)*	x₁^*
1000	(0.5)(0.441)=0.2205	(0.6)(0.378)=0.2268	(0.8)(0.378)=0.3024	0.3024	3

El sistema tiene un 30.24% de probabilidad que funcione.

Solución óptima: x₁=3, x₂=1, x₃=1, x₄=3

De los $1000 al colocar 3 unidades del componente 1 (costo=$300), me quedarían $700

De los $700 al colocar 1 unidad del componente 2 (costo=$200), me quedarían $500

De los $500 al colocar 1 unidad del componente 3 (costo=$100), me quedarían $400

De los $400 al colocar 3 unidades del componente 4 (costo=$400), no quedaría dinero.

PROBLEMA 2

Imagine que tiene $5000 para invertir y tendrá la oportunidad de hacerlo en cualquiera de dos inversiones (A o B) al principio de cada uno de los próximos tres años. Existe incertidumbre respecto del rendimiento de ambas inversiones. Si invierte en A, puede perder todo el dinero o (con probabilidad más alta) obtener $10000 (una ganancia de $5000) al final del año. Si invierte en B, puede obtener los mismos $5000 que invierte o (con probabilidad más baja) $10000 al terminar el año. Las probabilidades para que sucedan estos eventos son las siguientes:

Inversión	Cantidad Obtenida ($)	Probabilidad
A	0	0.3
A	10000	0.7
B	5000	0.9
B	10000	0.1

Se le permite hacer (a lo sumo) una inversión al año y sólo puede invertir $5000 cada vez (cualquier cantidad adicional de dinero acumulada es inútil). Utilice programación dinámica para encontrar la política de inversión que maximice la cantidad de dinero esperada que tendrá después de los tres años.

Solución:

Objetivo: maximizar cantidad acumulada (esperada) después de los 3 años

Monto a invertir: solamente $5000

Estados: $ acumulados (no necesariamente se invierte todo)

Etapa 3
s₃			Solución óptima
s₃	A	B	f₃^(s₃)*	x₃^*
0	0	0	0	0
5000	(0.3)(0)+(0.7)(10000)=7000	(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=5500	7000	A
10000	5000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=12000	5000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=10500	12000	A
15000	10000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=17000	10000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=15500	17000	A

Etapa 2
s₂			Solución óptima
s₂	A	B	f₂^(s₂)*	x₂^*
0	0	0	0	0
5000	(0.3)(0)+(0.7)(12000)=8400	(0.9)(7000)+(0.1)(12000)=7500	8400	A
10000	(0.3)(7000)+(0.7)(17000)=14000	(0.9)(12000)+(0.1)(17000)=12500	14000	A

Etapa 1
s₁			Solución óptima
	A	B	f₁^(s₁)*	x₁^*
5000	(0.3)(0)+(0.7)(14000)=9800	(0.9)(8400)+(0.1)(14000)=8960	9800	A

Recuerda:

La cantidad a invertir en cada año es de $5000.

El valor de $9800 es una cantidad referencial que sirve para tomar la decisión de inversión. No es la cantidad de dinero real que se puede obtener.

PROBLEMA 3

Una empresa ha recibido el encargo de fabricar un artículo, que, por las características exigidas por el cliente deberá pasar controles de calidad altos. Esto hace que la empresa estime que la probabilidad de que un artículo producido sea considerado bueno es 2/3 (66.6667%) y de 1/3 (33.3333%) que sea considerado malo sin posibilidad de recuperarlo o arreglarlo. El plazo que tiene la empresa para obtener al menos un artículo bueno es de 3 días, y la producción del artículo implica ocupar el día en hacer andar la línea de producción, fabricarlos y finalmente ver si salieron buenos; por lo que la empresa tiene 3 intentos de fabricación para obtener el artículo bueno.

Por contrato con el cliente se acuerda que si la empresa no obtiene el artículo bueno en los 3 días, en los 3 intentos, la empresa deberá pagar una multa de $200 al cliente por indemnización o pérdida de tiempo.

También la empresa sabe que cada día que decide elaborar ese producto incurre en un costo fijo de $20 por iniciar toda la línea de producción ese día, y tiene un costo de $5 por cada unidad que decida fabricar.

Se pide encontrar la política óptima a seguir por la empresa en cuanto a la producción de este artículo, para hacer mínimo el costo total de producción y obtener al menos un artículo de buena calidad, según lo exigido.

Solución:

Etapas: Días de producción. (3 etapas).

Estados: Número de artículos buenos que se tiene la obligación de obtener.

0 : indica que en esa etapa no se tiene la obligación de obtener un artículo bueno.

1 : indica que en esta etapa sí se tiene la obligación de obtener un artículo bueno.

Decisión: Cantidad de artículos que se deberán fabricar en esa etapa.

Costo por día: = K(x_i)+5x_i , donde: K=0 si x_i=0, y K=20 si x_i>0

Para cada artículo que se produzca la probabilidad de que salga bueno es 2/3, y que salga malo es 1/3 (datos del problema). Por lo que, si produce 2 artículos la probabilidad de que los 2 salgan malos es: (1/3)*(1/3) = (1/3)². Si decide producir 3 artículos, la probabilidad de que los 3 salgan malos es de (1/3)³, Generalizando, si se decide fabricar x_i artículos, entonces la probabilidad de que todos salgan malos es: (1/3)^xi

Función recursiva:

Para cualquiera de las etapas contendrá lo que representa el costo de esa etapa más el costo probable de la etapa siguiente si todos hubiesen salido malos, y más el costo probable de la etapa siguiente si no todos hubiesen salidos malos (al menos uno salió bueno). Y en la etapa n-ésima tendremos el estado 0 y el estado 1. Tomemos el estado 1 para f.

f_n (1,x_n )=K(x_n )+5x_n+(1⁄3)^(x_n ) f_(n+1) (1)+〖(1-(1⁄3)〗^(x_n ))f_(n+1) (0)

donde:

K(x_n) : es el costo de producción fijo de $0 o de $200, según ese día produzca artículos o no.

5x_n : representa el costo de $5 por unidad que se decida producir.

(1/3)^xn : representa la probabilidad de que los x_n artículos salgan malos.

f_n+1(1) : es el costo que se tendrá en la etapa siguiente, si se llega a ella con la obligación de

obtener un artículo bueno. Este valor es: f^*_n+1(1).

(1/3)^xnf_n+1(1) : es el costo probable desde la etapa siguiente en adelante, si todos los de esta etapa

salen malos.

(1-(1/3)^xn) : es la probabilidad de que no todos los x_n artículos salgan malos; alguno sale bueno.

f_n+1(0) : es el costo en que se incurrirá desde la etapa siguiente, si se llega a ella al estado 0, es

decir sin la necesidad de producir un artículo bueno, porque ya se obtuvo. Es f^*_n+1(0)

(1-(1/3)^xn)f_n+1(0) : es el costo probable desde la etapa siguiente, si en esta etapa sale alguno de los

artículos bueno.

En el problema aquí dado, se tiene que f^*_n+1(0) es cero, porque es cero el costo más bajo si no se tiene la obligación de producir un artículo bueno, en cualquiera de las etapas. La etapa 1 tiene como estado inicial: 1; es decir, en la etapa 1 se tiene la obligatoriedad de obtener un artículo bueno.

ETAPA 3
s₃	f₃(s₃,x₃) = K(x₃)+5x₃						Solución óptima
s₃	x₃=0	x₃=1	x₃=2	x₃=3	x₃=4	x₃=5	f₃*	x₃*
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	200	91.6666667	52.2222222	42.4074074	42.4691358	45.8230453	42.4074074	3

Detalle de los cálculos:

f₃(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)⁰*200 = 200

f₃(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)¹*200 = 91.6666667

f₃(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)²*200 = 52.2222222

f₃(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)³*200 = 42.4074074 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)

f₃(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)⁴*200 = 42.4691358 (no considerar)

f₃(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)⁵*200 = 45.8230453 (no considerar)

ETAPA 2
s₂	f₂(s₂,x₂) = K(x₂) + 5x₂ + (1/3)^x2f₃(1)* + (1-(1/3)^x2)f₃(0)*						Solución óptima
s₂	x₂=0	x₂=1	x₂=2	x₂=3	x₂=4	x₂=5	f₂*	x₂*
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	42.4074074	39.1358025	34.7119342	36.5706447	40.5235482	45.1745161	34.7119342	2

Detalle de los cálculos:

f₂(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)⁰*42.4074074 = 42.4074074

f₂(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)¹*42.4074074 = 39.1358025

f₂(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)²*42.4074074 = 34.7119342 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)

f₂(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)³*42.4074074 = 36.5706447 (no considerar)

f₂(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)⁴*42.4074074 = 40.5235482 (no considerar)

f₂(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)⁴*42.4074074 = 45.1745161 (no considerar)

ETAPA 1
s₁	f₁(s₁,x₁) = K(x₁) + 5x₁ + (1/3)^x1f₂(1)* + (1-(1/3)^x1)f₂(0)*						Solución óptima
s₁	x₁=0	x₁=1	x₁=2	x₁=3	x₁=4	x₁=5	f₁*	x₁*
1	34.7119342	36.5706447	33.8568816	36.2856272	40.4285424	45.1428475	33.8568816	2

Detalle de los cálculos:

f₁(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)⁰*34.7119342 = 34.7119342

f₁(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)¹*34.7119342 = 36.5706447

f₁(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)²*34.7119342 = 33.8568816 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)

f₁(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)³*34.7119342 = 36.2856272 (no considerar)

f₁(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)⁴*34.7119342 = 40.4285424 (no considerar)

f₁(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)⁵*34.7119342 = 45.1428475 (no considerar)

Costo Mínimo Probable: 33.8568816

Solución óptima: x₁ = 2, x₂ = 2, x₃ = 3

PROBLEMA 4

Se debe fabricar un artículo con altas exigencias de calidad y se ha estimado que la probabilidad de que apruebe el nivel de calidad y salga bueno es de sólo 1/5 (20%) y los artículos malos son sin posibilidad de recuperación. Poner en marcha las maquinarias un día para producir tiene un costo de $700 y el costo por unidad que se decida producir es de $50, y se dispone de 3 días.

Si no se logra producir un artículo bueno en los 3 días, por contrato deberá pagarse una multa de $2100. ¿Cuál es la política de producción más conveniente a seguir durante estos 3 días para lograr al menos un artículo bueno? ¿Cuál debe ser el piso para el precio de venta de ese artículo bueno que se produzca?

ETAPA 3
s₃	f₃(s₃,x₃) = K(x₃)+50x₃											Solución óptima
s₃	x₃=0	x₃=1	x₃=2	x₃=3	x₃=4	x₃=5	x₃=6	x₃=7	x₃=8	x₃=9	x₃=10	f₃*	x₃*
0	0	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	0
1	2100	2430	2144	1925.2	1760.16	1638.128	1550.502	1490.402	1452.322	1431.857	1425.486	1425.5	10

ETAPA 2
s₂	f₂(s₂,x₂) = K(x₂) + 50x₂ + (4/5)^x2f₃(1)* + (1-(4/5)^x2)f₃(0)*									Solución óptima
s₂	x₂=0	x₂=1	x₂=2	x₂=3	x₂=4	x₂=5	x₂=6	x₂=7	x₂=8	f₂*	x₂*
0	0	-	-	-	-	-	-	-	-	0	0
1	1425.486	1890.389	1712.311	1579.849	1483.879	1417.103	1373.683	1348.946	1339.157	1339.157	8

ETAPA 1
s₁	f₁(s₁,x₁) = K(x₁) + 50x₁ + (4/5)^x1f₂(1)* + (1-(4/5)^x1)f₂(0)*									Solución óptima
s₁	x₁=0	x₁=1	x₁=2	x₁=3	x₁=4	x₁=5	x₁=6	x₁=7	x₁=8	f₁*	x₁*
1	1339.157	1821.325	1657.06	1535.648	1448.519	1388.815	1351.052	1330.842	1324.673	1324.673	8

Respuesta 1: La política de producción más conveniente a seguir durante estos 3 días para lograr al menos un artículo bueno es: Producir 8 artículos el día 1, y si salen todos malos, el día 2 producir 8 artículos, y si salen todos malos, producir 10 el día 3.

Respuesta 2: El piso para el precio de venta de ese artículo bueno que se produzca es: $1324.673

También podemos responder que:

El Costo Mínimo Probable es: $1324.673, y que la solución óptima es: x₁ = 8 , x₂ = 8 , x₃ = 10

INVOP2 Programación Dinámica Deterministica

2014-03-24T22:31:00.001-05:00

PROBLEMA 1 (Modelo: Volumen de carga)

Un barco de 4 toneladas es cargado con uno o más de tres artículos. La tabla siguiente muestra el peso unitario p_n, en toneladas y el ingreso por unidad i_n , en miles de $, para el artículo n. ¿Cómo se debe cargar el barco para maximizar los ingresos totales?

Artículo n	*p_n*	*i_n*
1	2	31
2	3	47
3	1	14

Tener en cuenta que el barco puede cargar estos artículos en cualquier orden, además, como el peso unitario y el peso permisible son enteros, las variables sólo deben tener valores enteros.

Solución:

Etapa: Cada tipo de artículo hace referencia a una etapa.

Estado: La disponibilidad respecto a la capacidad del barco

Decisión: Cuántas unidades de cada tipo de artículo llevar

Función recursiva: Representa el total de ingreso que se quiere maximizar.

Etapa 3
s₃	f₃(s₃,x₃)=14x₃					Solución óptima
s₃	x₃ =0	x₃ =1	x₃ =2	x₃ =3	x₃ =4	f₃^(s₃)*	x₃^*
0	14(0)=0	-	-	-	-	0	0
1	14(0)=0	14(1)=14	-	-	-	14	1
2	14(0)=0	14(1)=14	14(2)=28	-	-	28	2
3	14(0)=0	14(1)=14	14(2)=28	14(3)=42	-	42	3
4	14(0)=0	14(1)=14	14(2)=28	14(3)=42	14(4)=56	56	4

s₃=0; significa que el barco está lleno, disponibilidad cero.

s₃=4; significa que el barco está vacío, disponibilidad 4 ton.

Etapa 2
s₂	f₂(s₂,x₂)=47x₂+f₃^(s₂-3x₂)*		Solución óptima
s₂	x₂ =0	x₂ =1	f₂^(s₂)*	x₂^*
0	47(0)+0=0	-	0	0
1	47(0)+14=14	-	14	0
2	47(0)+28=28	-	28	0
3	47(0)+42=42	47(1)+0=47	47	1
4	47(0)+56=56	47(1)+14=61	61	1

Etapa 1
s₁	f₁(s₁,x₁)=31x₁+ f₂^(s₁-2x₁)*			Solución óptima
s₁	x₁ =0	x₁ =1	x₁ =2	f₁^(s₁)*	x₁^*
0	31(0)+0=0	-	-	0	0
1	31(0)+14=14	-	-	14	0
2	31(0)+28=28	31(1)+0=31	-	31	1
3	31(0)+47=47	31(1)+14=45	-	47	0
4	31(0)+61=61	31(1)+28=59	31(2)+0=62	62	2

Para obtener la solución óptima, se observa que el máximo ingreso generado en la etapa 1, es decir $62 mil, se produce cuando se decide llevar 2 unidades del artículo 1.

PROBLEMA 2 (Modelo: Fuerza laboral)

Un contratista constructor estima que la fuerza de trabajo necesaria durante las próximas 5 semanas será de 5, 7, 8, 4 y 6 trabajadores, respectivamente. La mano de obra en exceso que se conserve le costará $300 por trabajador semanalmente, y la nueva contratación en cualquier semana tendrá un costo fijo de $400 más $200 por trabajador y por semana. Sugiera un plan de contratación para minimizar los costos en los que se incurren.

Solución:

Sea x_n la mano de obra asignada a cada semana.

Sea r_n la mano de obra requerida para cada semana, entonces: r₁ =5, r₂ =7, r₃ =8, r₄ =4 y r₅ =6

Costo de exceso de mano de obra: 300(x_n – r_n) cuando: x_n > r_n

Costo de contratación: 400 + 200(x_n – s_n) cuando: x_n > s_n

Etapa 5 (r₅ = 6)
s₅	f₅(s₅,x₅)=300(x₅ - 6)+[400+200(x₅-s₅)]	Solución óptima
s₅	x₅ =6	f₅^(s₅)*	x₅^*
4	300(0)+[400+200(2)]=800	800	6
5	300(0)+[400+200(1)]=600	600	6
6	300(0)+[0]=0	0	6

Etapa 4 (r₄ = 4)
s₄	f₄(s₄,x₄)=300(x₄ - 4)+[400+200(x₄-s₄)]+f₅^(x₄)*			Solución óptima
s₄	x₄ =4	x₄ =5	x₄ =6	f₄^(s₄)*	x₄^*
8	300(0)+[0]+800=800	300(1)+[0]+600=900	300(2)+[0]+0=600	600	6

Etapa 3 (r₃ = 8)
s₃	f₃(s₃,x₃)=300(x₃ - 8)+[400+200(x₃-s₃)]+f₄^(x₃)*	Solución óptima
s₃	x₃ =8	f₃^(s₃)*	x₃^*
7	300(0)+[400+200(1)]+600=1200	1200	8
8	300(0)+[0]+600=600	600	8

Etapa 2 (r₂ = 7)
s₂	f₂(s₂,x₂)=300(x₂ - 7)+[400+200(x₂-s₂)]+f₃^(x₂)*		Solución óptima
s₂	x₂ =7	x₂ =8	f₂^(s₂)*	x₂^*
5	300(0)+[400+200(2)]+1200=2000	300(1)+[400+200(3)]+600=1900	1900	8
6	300(0)+[400+200(1)]+1200=1800	300(1)+[400+200(2)]+600=1700	1700	8
7	300(0)+[0]+1200=1200	300(1)+[400+200(1)]+600=1500	1200	7
8	300(0)+[0]+1200=1200	300(1)+[0]+600=900	900	8

Etapa 1 (r₁ = 5)
s₁	f₁(s₁,x₁)=300(x₁ - 5)+[400+200(x₁-s₁)]+f₂^(x₁)*				Solución óptima
s₁	x₁ =5	x₁ =6	x₁ =7	x₁ =8	f₁^(s₁)*	x₁^*
0	300(0)+[400+200(5)] +1900=3300	300(1)+[400+200(6)] +1700=3600	300(2)+[400+200(7)] +1200=3600	300(3)+[400+200(8)] +900=3800	3300	5

PROBLEMA 3 (Modelo: Reposición de equipo)

En el transcurso de los cuatro siguientes años, durante cierto proceso de producción, se desea saber cuándo remplazar una máquina o seguir conservándola con la finalidad de encontrar lo más beneficioso para la empresa. Inicialmente se tiene una máquina con tres años de antigüedad trabajando en la producción. Los datos respecto a la maquina los obtenemos en la siguiente tabla:

t	I(t)	C(t)	R(t)
Tiempo (años)	Ingreso (miles de $)	Costo de operación ( $ )	Valor de Recuperación ( $ )
0	20000	200	-
1	19000	600	80000
2	18500	1200	60000
3	17200	1500	50000
4	15500	1700	30000
5	14000	1800	10000
6	12200	2200	5000

Considerar que:

· El costo de una máquina nueva es $100000.

· Toda máquina con 6 años de antigüedad debe reemplazarse.

· Terminado el horizonte de planeación, la máquina debe venderse.

Como esta es la última etapa, la máquina debe venderse, y no hay contribuciones posteriores.

El estado de la etapa n es la antigüedad t de la máquina al inicio del año n, entonces:

Etapa 4
t s₄	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₄	I(t) - C(t) + R(t +1)	I(0) + R(t) +R(1) - 100000 - C(0)	f₄^(s₄)*	x₄^*
1	19000-600+60000=78400	20000+80000+80000-100000-200=79800	79800	R
2	18500-1200+50000=67300	20000+60000+80000-100000-200=59800	67300	C
3	17200+1500+30000=45700	20000+50000+80000-100000-200=49800	49800	R
6	Se debe reemplazar	20000+5000+80000-100000-200=4800	4800	R

Etapa 3
t s₃	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₃	I(t) - C(t) + f₄(t +1)	I(0) + R(t) - 100000 - C(0) + f₄^(1)*	f₃^(s₃)*	x₃^*
1	19000-600+67300=85700	20000+80000-100000-200+79800=79600	85700	C
2	18500-1200+49800=67100	20000+60000-100000-200+79800=59600	67100	C
5	14000-1800+4800=17000	20000+10000-100000-200+79800=9600	17000	C

Etapa 2
t s₂	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₂	I(t) - C(t) + f₃(t +1)	I(0) + R(t) - 100000 - C(0) + f₃^(1)*	f₂^(s₂)*	x₂^*
1	19000-600+67100=85500	20000+80000-100000-200+85700=85500	85500	C o R
4	15500-1700+17000=30800	20000+30000-100000-200+85700=35500	35500	R

Etapa 1
t s₁	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₁	I(t) - C(t) + f₂(t +1)	I(0) + R(t) - 100000 - C(0) + f₂^(1)*	f₁^(s₁)*	x₁^*
3	17200-1500+35500=51200	20000+50000-100000-200+85500=55300	55300	R

PROBLEMA 4

Una empresa requiere 28, 30, 25, 29 y 20 trabajadores para los próximos 5 años respectivamente. En la actualidad hay 30 empleados en la empresa. Cada trabajador gana 16000 soles al año. Al empezar cada año se puede contratar o despedir trabajadores. Cuesta 1000 soles contratar un trabajador y 15000 soles despedirlo, debido a los seguros y beneficios que se tienen que pagar. Por lo fatigoso que es el trabajo, cada año renuncian 3 trabajadores (los cuales no cobran los 15000 soles de despido). Mediante el uso de programación dinámica encontrar la política óptima definiendo las etapas, estados y variables de decisión; además explicar la función recursiva. Tener en cuenta que, de ser económico, sería ideal tener el número exacto de trabajadores necesarios en cada semana; además, la empresa trata en lo posible de evitar los costos de contratación o despido.

Solución:

r_n: Requerimiento de año n

x_n: Trabajadores asignados el año n

Etapa: año

Estado: trabajadores que quedan al inicio del presente período.

f_n(s_n,x_n)= min{16000(x_n) + 1000(x_n-s_n) + 15000(s_n-x_n) +f_n+1(s_n+1) } o también

f_n(s_n,x_n)= min{16000(x_n) + 1000(x_n-s_n) + 15000(s_n-x_n) + f_n+1(x_n-3) }

teniendo en cuenta que: 1000(x_n-s_n); x_n>s_ny15000(s_n-x_n); s_n>x_n

Por practicidad los costos en las tablas se encuentran en miles de soles

Etapa 5 (r₅ = 20)
s₅	f₅(s₅,x₅)=16000(x₅)+15000(s₅-x₅)	Solución óptima
s₅	x₅ =20	f₅^(s₅)*	x₅^*
29-3=26	16(20)+15(6)=410	410	20

Etapa 4 (r₄ = 29)
s₄	f₄(s₄,x₄)=16000(x₄)+1000(x₄-s₄)+f₅(x₄-3)	Solución óptima
s₄	x₄=29	f₄^(s₄)*	x₄^*
25-3=22	16(22)+1(7)+410 =769	769	29
27-3=24	16(24)+1(5)+410=799	799	29

Etapa 3 (r₃ = 25)
s₃	f₃(s₃,x₃)=16000(x₃)+15000(s₃-x₃)+f₄(x₃-3)		Solución óptima
	x₂=25	x₂=27	f₃^(s₃)*	x₃^*
30-3=27	16(25)+15(2)+769=1199	16(27)+ 799=1231	1199	25

Etapa 2 (r₂ = 30)
s₂	f₂(s₂,x₂)=16000(x₂)+1000(x₂-s₂)+f₃(x₂-3)	Solución óptima
s₂	x₂=30	f₂^(s₂)*	x₂^*
28-3=25	16(30)+1(5)+1199 =1754	1754	30
30-3=27	16(30)+1(3)+1199 =1724	1724	30

Etapa 1 (r₁ = 28)
s₁	f₁(s₁,x₁)=16000(x₁)+15000(s₁-x₁)+f₂(x₁-3)		Solución óptima
	x₁ =28	x₁ =30	f₁^(s₁)*	x₁^*
30	16(28)+15(2)+1754=2232	16(30)+1724=2204	2204	30

PROBLEMA 5

Una empresa requiere tener una máquina que trabaje durante los 5 años siguientes. En la actualidad tiene una máquina nueva. La compañía podría conservar la máquina o venderla al empezar cada año y comprar una nueva. Una máquina nueva cuesta 5000 dólares. Los ingresos obtenidos con la máquina, el costo de mantenimiento y el valor de salvamento que se puede obtener al venderla al final del año, dependen de la edad de la máquina (véase tabla). Puede utilizarse una máquina hasta un máximo de tres años de antigüedad.

Utilice la programación dinámica para maximizar la utilidad neta ganada durante los seis años siguientes.

	AÑO 0-1	AÑO 1-2	AÑO 2-3
Ingresos ($)	4500	3000	1500
Costos de operación ($)	500	700	1100
Valor de salvamento al final del año	3000	1800	500

ETAPAS: Años

ESTADOS: Edad de la máquina

ALTERNATIVAS: Conservar, Reemplazar

Como esta es la última etapa, la máquina debe venderse, y no hay contribuciones posteriores.

El estado de la etapa n es la antigüedad t de la máquina al inicio del año n, entonces:

Etapa 6
t s₆	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₆	I(t) - C(t) + R(t +1)	I(0) + R(t) +R(1) - 5000 - C(0)	f₆^(s₆)*	x₆^*
1	3000-700+1800=4100	4500+3000+3000-5000-500=5000	5000	R
2	1500-1100+500=900	4500+1800+3000-5000-500=3800	3800	R
3	Se debe reemplazar	4500+500+3000-5000-500=2500	2500	R

Etapa 5
t s₅	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₅	I(t) - C(t) + f₆^(t +1)*	I(0) + R(t) - 5000 - C(0) + f₆^(1)*	f₅^(s₅)*	x₅^*
1	3000-700+3800=4100	4500+3000-5000-500+5000=7000	7000	R
2	1500-1100+2500=2900	4500+1800-5000-500+5000=5800	5800	R
3	Se debe reemplazar	4500+500-5000-500+5000=4500	4500	R

Etapa 4
t s₄	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₄	I(t) - C(t) + f₅^(t +1)*	I(0) + R(t) - 5000 - C(0) + f₅^(1)*	f₄^(s₄)*	x₄^*
1	3000-700+5800=8100	4500+3000-5000-500+7000=9000	9000	R
2	1500-1100+4500=4900	4500+1800-5000-500+7000=7800	7800	R
3	Se debe reemplazar	4500+500-5000-500+7000=6500	6500	R

Etapa 3
t s₃	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₃	I(t) - C(t) + f₄^(t +1)*	I(0) + R(t) - 5000 - C(0) + f₄^(1)*	f₃^(s₃)*	x₃^*
1	3000-700+7800=10100	4500+3000-5000-500+9000=11000	11000	R
2	1500-1100+6500=6900	4500+1800-5000-500+9000=9800	9800	R

Etapa 2
t s₂	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₂	I(t) - C(t) + f₃^(t +1)*	I(0) + R(t) - 5000 - C(0) + f₃^(1)*	f₂^(s₂)*	x₂^*
1	3000-700+9800=12100	4500+3000-5000-500+11000=13000	13000	R

Etapa 1
t s₁	Conservar	Reemplazar	Solución óptima
t s₁	I(t) - C(t) + f₂^(t +1)*	I(0) + R(t) - 5000 - C(0) + f₂^(1)*	f₁^(s₁)*	x₁^*
0	3000-700+13000=15300	-	15300	C

PROBLEMA 6

Una empresa tiene los siguientes datos de demanda de su producto:

Mes	Demanda
1	1
2	3
3	2
4	4

¿Cuántas unidades debe fabricar en el mes? Sabiendo que:

o Durante el mes que se producen algunas unidades se incurre en un costo fijo de $30.

o El costo variable es de $10 por cada unidad fabricada.

o Al final de cada mes se genera un costo de almacenamiento de $5 por cada unidad.

o Las limitaciones de capacidad permiten una producción máxima de 5 unidades.

o El tamaño del almacén restringe un inventario final máximo de 4 unidades cada mes.

o Se dispone de 0 unidades al principio del primer mes.

Características:

· Se conoce la demanda de cada mes al principio del mes 1.

· Se debe determinar cuántas unidades deben producirse teniendo en cuenta que la capacidad de fabricación es limitada.

· La demanda de cada período debe satisfacerse a tiempo con el inventario o la producción actual. Durante cada período donde la producción tiene lugar se genera un costo fijo, así como un costo variable por unidad.

· Se tiene capacidad limitada de almacenamiento. Se genera un costo de almacenamiento por unidad al inventario final de cada período.

· El objetivo es minimizar el costo total por cumplir con la demanda de cada período.

Modelo de revisión periódica: El inventario se conoce al final de cada período, y se toma la decisión sobre la producción.

Solución:

Sean: x_n el nivel de producción en el mes n

y_n el inventario inicial en el mes n

d_n la demanda en el mes n

CP(x_n) el costo de producción de x_n unidades, CP(x_n)=30+10x_n

Lo que tenga en almacén el siguiente mes, será:

lo que tenía en inventario + lo que produje - la demanda de dicho mes

es decir: y_i+1= y_i + x_i - d_i

entonces: CI(y_i+1)=5(y_i + x_i - d_i)

Función recursiva: Costo mínimo de cumplir las demandas f_n(s_n,x_n) = min {CI(y_i+1) + CP(x_n) + f_n+1(s_n+1)}

Etapa: Cada mes

Estado: Inventario inicial

Etapa 4 (demanda=4)
s₄	f₄(s₄,x₄)=30+10x₄					Solución óptima
s₄	x₄ = 0	x₄ = 1	x₄ = 2	x₄ = 3	x₄ = 4	f₄^(s₄)*	x₄^*
0	-	-	-	-	30+40	70	4
1	-	-	-	30+30	-	60	3
2	-	-	30+20	-	-	50	2
3	-	30+10	-	-	-	40	1
4	0+0	-	-	-	-	0	0

Etapa 3 (demanda=2)
s₃	f₃(s₃,x₃)= 5(y₃+x₃-d₃)+30+10x₃+f₄^(y₃+x₃-d₃)*						Solución óptima
s₃	x₃ = 0	x₃ = 1	x₃ = 2	x₃ = 3	x₃ = 4	x₃ = 5	f₃^(s₃)*	x₃^*
0	-	-	0+50+70=120	5+60+60=125	10+70+50=130	15+80+40=135	120	2
1	-	0+40+70=110	5+50+60=115	10+60+50=120	15+70+40=125	20+80+0=100	100	5
2	0+0+70=70	5+40+60=105	10+50+50=110	15+60+40=115	20+70+0=90	-	70	0
3	5+0+60=65	10+40+50=100	15+50+40=105	20+60+0=80	-	-	65	0
4	10+0+50=60	15+40+40=95	20+50+0=70	-	-	-	60	0

Etapa 2 (demanda=3)
s₂	f₂(s₂,x₂)= 5(y₂+x₂-d₂)+30+10x₂+f₃^(y₂+x₂-d₂)*						Solución óptima
s₂	x₂ = 0	x₂ = 1	x₂ = 2	x₂ = 3	x₂ = 4	x₂ = 5	f₂^(s₂)*	x₂^*
0	-	-	-	0+60+120=180	5+70+100=175	10+80+70=160	160	5
1	-	-	0+50+120=170	5+60+100=165	10+70+70=150	15+80+65=160	150	4
2	-	0+40+120=160	5+50+100=155	10+60+70=140	15+70+65=150	20+80+60=160	140	3
3	0+0+120=120	5+40+100=145	10+50+70=130	15+60+65=140	20+70+60=150	-	120	0
4	5+0+100=105	10+40+70=120	15+50+65=130	20+60+60=140	-	-	105	0

Etapa 1 (demanda=1)
s₁	f₁(s₁,x₁)= 5(y₁+x₁-d₁)+30+10x₁+f₂^(y₁+x₁-d₁)*						Solución óptima
s₁	x₁ = 0	x₁ = 1	x₁ = 2	x₁ = 3	x₁ = 4	x₁ = 5	f₁^(s₁)*	x₁^*
0	-	0+40+160=200	5+50+150=205	10+60+140=210	15+70+120=205	20+80+105=205	200	1

PROBLEMA 7

Una compañía construye aviones comerciales para varias líneas aéreas de todo el mundo. La última etapa del proceso consiste en la fabricación de los motores de turbina y su instalación en la estructura del avión. La compañía tiene que hacer entrega, próximamente, de un gran número de aviones y, por este motivo, desea programar la producción de los motores de turbina para los próximos cuatro meses.

En la siguiente tabla se muestra, para cada uno de los próximos cuatro meses, la cantidad de motores que deben de estar listos para su instalación, la capacidad de producción máxima de dicho mes, el coste unitario de fabricar cada motor (que puede variar de mes a mes debido a las necesidades de personal, alteraciones en los precios de las materiales, consumos energéticos, etc.), y el coste de almacenar un motor durante un mes (en este caso, el coste siempre es fijo de $15000 por motor).

Mes	Instalaciones programadas	Producción máxima	Costo unitario de producción*	Costo unitario de almacenaje*
1	10	25	1.08	0.015
2	15	35	1.11	0.015
3	25	30	1.10	0.015
4	20	10	1.13

*costo dado en millones de $.

Dada las variaciones de los costos de producción, podría valer la pena fabricar algunos motores antes de su fecha de instalación. Utilice métodos de programación dinámica para determinar la producción óptima de cada mes, teniendo en cuenta que las cantidades producidas deben ser múltiplos de 5.

Solución:

Sean:

x_n el nivel de producción en el mes n

y_n el inventario inicial en el mes n

d_n la demanda en el mes n

Función recursiva: Costo mínimo de cumplir las demandas f_n(s_n,x_n) = min {CP(x_n)+CI(y_i+1)+f_n+1(s_n+1)}

Etapa: Cada mes

Estado: Inventario inicial

ETAPA 4 (Demanda =20)
s₄	f₄(s₄,x₄)= 1.13x₄			Solución óptima
s₄	x₄=0	x₄=5	x₄=10	f₄^(s₄)*	x₄
10	-	-	11.3	11.3	10
15	-	5.65	-	5.65	5
20	0	-	-	0	0

ETAPA 3 (Demanda =25)
s₃	f₃(s₃,x₃)= 1.10x₃ + 0.015(y₃+x₃-d₃) + f₄^(y₃+x₃-d₃)*							Solución óptima
s₃	x₃=0	x₃=5	x₃=10	x₃=15	x₃=20	x₃=25	x₃=30	f₃^(s₃)*	x₃
5	-	-	-	-	-	-	44.45	44.45	30
10	-	-	-	-	-	38.95	38.875	38.875	30
15	-	-	-	-	33.45	33.375	33.3	33.3	30
20	-	-	-	27.95	27.875	27.8	-	27.8	25
25	-	-	22.45	22.375	22.3	-	-	22.3	20
30	-	16.95	16.875	16.8	-	-	-	16.8	15
35	11.45	11.375	11.3	-	-	-	-	11.375	10

ETAPA 2 (Demanda =15)
s₂	f₂(s₂,x₂)= 1.11x₂ + 0.015(y₂+x₂-d₂) + f₃^(y₂+x₂-d₂)*								Solución óptima
s₂	x₂=0	x₂=5	x₂=10	x₂=15	x₂=20	x₂=25	x₂=30	x₂=35	f₂^(s₂)*	x₂
0	-	-	-	-	66.725	66.775	66.825	66.95	66.725	20
5	-	-	-	61.175	61.225	61.275	61.4	61.525	61.175	15
10	-	-	55.625	55.675	55.725	55.85	55.975	56.1	55.625	10
15	-	50.075	50.125	50.175	50.3	50.425	50.55	50.675	50.075	5

ETAPA 1 (Demanda =10)
s₁	f₁(s₁,x₁)= 1.08x₁ + 0.015(y₁+x₁-d₁) + f₂^(y₁+x₁-d₁)*				Solución óptima
s₁	x₁=10	x₁=15	x₁=20	x₁=25	f₁^(s₁)*	x₁
0	77.525	77.375	77.225	77.075	77.075	25

INVOP2 Programación Entera

2014-03-22T22:39:00.001-05:00

EJERCICIOS DE PROGRAMACION ENTERA Y BINARIA

1. Una joven pareja Carlos y Sara quieren dividir las principales tareas del hogar (ir de compras, cocinar, lavar platos y lavar ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos obligaciones y que el tiempo total para hacer estas tareas sea el mínimo. La eficiencia en cada una de las tareas difiere entre ellos; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita para cada tarea:

	Horas necesarias por semana
	Compras (A)	Cocinar (B)	Lavar platos (C)	Lavar ropa (D)
Carlos (1)	4.5	7.8	3.6	2.9
Sara (2)	4.9	7.2	4.3	3.1

Formule un modelo de programación entera binaria y resolver por software.

Variables

Xij: Se realiza o no la actividad “i” por la persona “j” (i = A,B,C,D) (j = 1,2)

Min Z = 4.5*XA1 + 4.9*XA2 + 7.8*XB1 + 7.2*XB2 + 3.6*XC1 + 4.3*XC2 + 2.9*XD1 + 3.1*XD2;

XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 2;

XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 2;

XA1 + XA2 = 1;

XB1 + XB2 = 1;

XC1 + XC2 = 1;

XD1 + XD2 = 1;

Xij>=0, enteros, binarios

@BIN(XA1);@BIN(XA2);@BIN(XB1);@BIN(XB2);@BIN(XC1);@BIN(XC2);@BIN(XD1);@BIN(XD2);

2. Graña tiene seis proyectos a realizar en el próximo semestre, así que ya debe estar preparando al personal para el inicio de las obras, los datos económicos de cada proyecto es:

Proyectos	Camino	Supermercado	Casas	Departamentos	Parques	Puentes
Beneficio (miles de $)	50	60	70	80	90	50

Según las condiciones de la empresa se tiene que cumplir las siguientes condiciones:

· El Camino se hace para que se pueda hacer el Supermercado. Si el supermercado no se hace el camino podría hacerse para beneficiar a las casas aledañas.

· De los proyectos Camino y Departamentos se debe elegir uno a lo más.

· El proyecto Casas podría hacerse si es que se hace el proyecto Departamentos y/o el proyecto Parques.

· De los seis proyectos se debe elegir cuatro proyectos.

· El proyecto Departamentos se puede hacer si es que se hace el proyecto Casa y no el proyecto Puentes.

Elabore un modelo PLB para ayudar a Graña a elegir sus proyectos.

Variables

i: Se realiza o no “i” proyecto (i=CA,SU,CS,DE,PA,PU)

Max Z = 50*CA + 60*SU + 70*CS + 80*DE + 90*PA + 50*PU;

SU – CA <= 0;

CA + DE <= 1;

CS – DE– PA <= 0;

CA + SU + CS + DE + PA + PU = 4;

3*DE – 2*CS + PU <= 1;

@BIN(CA);@BIN(SU);@BIN(CS);@BIN(DE);@BIN(PA);@BIN(PU);

3. Un centro comercial tiene 10000 m2 de espacio para alquilar y se quiere determinar la cantidad de tiendas por tipo de negocio que tendrían que instalarse. En la tabla se dan los números mínimo y máximo de tiendas por cada tipo de negocio (junto con la superficie en m2 que éstas ocupan).

Tipo de Tienda	Superf (m²)	Mín	Máx
Joyería	500	1	3
Zapatería	600	1	3
Electrodomésticos	1500	1	3
Librería	700	0	3
Telefonía	900	1	3

La ganancia anual de cada tipo de negocio dependerá del número de tiendas por tipo instaladas en el centro comercial. Esta dependencia se da en la tabla siguiente:

	Ganancia por número de tiendas (millares de $)
Tipo	1	2	3
Joyería	9	8	7
Zapatería	10	9	5
Electrodomésticos	27	21	20
Librería	16	9	7
Telefonía	17	13	10

Por lo tanto, si hay 2 tiendas de Electrodomésticos en el centro comercial, cada una genera ganancias por $21000 al año. Cada negocio paga 5% de su ganancia como alquiler.

Formule un problema de programación entera cuya solución indicará cómo maximizar el ingreso por alquileres en el centro comercial.

Variables

ij: Número “j” de tiendas “i” a instalar (i=J,Z,E,L,T)(j=0,1,2,3)

Max=0.05*(9*J1+16*J2+21*J3+10*Z1+18*Z2+15*Z3+27*E1+42*E2+60*E3+16*L1+18*L2+21*L3+17*T1+26*T2+30*T3);

J1+J2+J3=1;

Z1+Z2+Z3=1;

E1+E2+E3=1;

L0+L1+L2+L3=1;

T1+T2+T3=1;

500*J1+1000*J2+1500*J3+600*Z1+1200*Z2+1800*Z3+1500*E1+3000*E2+4500*E3+700*L1+1400*L2+2100*L3+900*T1+1800*T2+2700*T3<=10000;

@BIN(J1);@BIN(J2);@BIN(J3);@BIN(Z1);@BIN(Z2);@BIN(Z3);@BIN(E1);@BIN(E2);@BIN(E3);@BIN(L0);@BIN(L1);@BIN(L2);@BIN(L3);@BIN(T1);@BIN(T2);@BIN(T3);

4. Una empresa ha diseñado 3 nuevos productos y dispone de dos plantas que los pueden producir. Sin embargo, para evitar una diversificación excesiva de la línea de productos de la empresa, la administración ha dispuesto en primer lugar que deben producirse como máximo dos de estos tres nuevos productos posibles. Y, en segundo lugar, que solo una de las plantas debe asignarse para la fabricación de los nuevos productos.

Se considera que el costo unitario de fabricación de cada producto sería el mismo en las dos plantas, pero por diferencia de instalaciones, el número de horas de producción por unidad de cada producto puede diferir entre ellas. Estos datos se dan en la tabla adjunta junto con la información del departamento de mercadotecnia del número de unidades de cada producto que se pueden vender a la semana si se producen. El objetivo es seleccionar los productos, la planta y las tasas de producción de los nuevos productos de manera que se maximice la ganancia total. Considerar que las tasas de producción pueden adoptar valores decimales

	Tiempo de producción utilizado por cada unidad producida (horas)			Horas disponibles por semana
	Producto 1	Producto 2	Producto 3	Horas disponibles por semana
Planta 1 Planta 2	3 4	5 6	2 2	30 40
Ganancia unitaria	5	7	3	(miles de $) (unid/sem)
Ventas potenciales	7	5	9	(miles de $) (unid/sem)

Modelo:

!Xi = Unidades a elaborar del producto i (i=1,2,3);

!Yi = Se elabora o no el producto i (i=1,2,3)

!Z = Variable binaria auxiliar para escoger solo una entre dos restricciones;

MAX = 5*X1 + 7*X2 + 3*X3;

X1 <=7*Y1;

X2 <= 5*Y2;

X3 <= 9*Y3;

Y1 + Y2 + Y3 <= 2;

3*X1 + 5*X2 + 2*X3 <= 30 + 10000*Z;

4*X1 + 6*X2 + 2*X3 <= 40 + 10000*(1 - Z);

@BIN(Y1);@BIN(Y2);@BIN(Y3);@BIN(Z);

@GIN(X1);@GIN(X2);@GIN(X3);

5. Una siderúrgica produce unas planchas de metal a partir de aleaciones, cada una de las cuales tienen un porcentaje de agentes contaminantes A, B y C. Los porcentajes máximos aceptables para cada contaminante es de 2.3% de A, 1.7% de B y 3.1 % de C.

El costo y las propiedades de cada aleación aparecen en la siguiente tabla:

	Aleación 1	Aleación 2	Aleación 3
Costo por tonelada($)	190	200	185
% de A	2.2%	2.5%	2.4%
% de B	1.8%	1.5%	1.9%
% de C	3.2%	4.1%	2.9%

Si fuese aceptable con que se cumplan con dos de las restricciones de los agentes contaminantes. Determinar cómo minimizar los costos para una tonelada de producción.

Modelo:

!Xi = Fracción de tonelada a utilizar de la aleación i (i=1,2,3);

!Yj = Variable auxiliar para aceptar o no la restricción j (j=1,2,3)

MIN = 190*X1 + 200*X2 + 185*X3;

0.022*X1 + 0.025*X2 + 0.024*X3 <= 0.023 + 1000*Y1;

0.018*X1 + 0.015*X2 + 0.019*X3 <= 0.017 + 1000*Y2;

0.032*X1 + 0.041*X2 + 0.029*X3 <= 0.031 + 1000*Y3;

X1+X2+X3 = 1;

Y1+Y2+Y3 <= 1;

@BIN(Y1);@BIN(Y2);@BIN(Y3);

6. Alpha Airline no desea programar más de un vuelo desde Chicago a cada una de las siguientes ciudades: Columbus, Denver, Los Ángeles y Nueva York. Las horas de partida disponibles son 8, 10, y 12 de la mañana. Alpha paga alquiler por los aviones, al costo de $5,000 hasta las 10 a.m. inclusive, y de $3,000 después de las 10 a.m., y está en condiciones de alquilar dos aviones como máximo en cada hora de partida. Además, si un vuelo parte de Nueva York a una hora determinada, será necesario que parta también un vuelo hacia Los Ángeles a la misma hora. La aportación esperada en las ganancias por cada vuelo, antes de considerar los costos del alquiler, se presenta en la siguiente tabla. Formule y resuelva un modelo para un programa que permita maximizar las ganancias.

INGRESO POR CADA VUELO (miles de $ )
Horario	8am	10am	12m
Ciudad	8am	10am	12m
Columbus	10	6	6
Denver	9	10	9
Los Ángeles	14	11	10
Nueva York	18	15	10

!VARIABLES:

Xij: Se programa o no el vuelo con destino a i en el turno j

(i=C,D,A,N) (j=1,2,3)

FUNCION OBJETIVO;

MAX = (10-5)*XC1+(9-5)*XD1+(14-5)*XA1+(18-5)*XN1+

(6-5)*XC2+(10-5)*XD2+(11-5)*XA2+(15-5)*XN2+

(6-3)*XC3+(9-3)*XD3+(10-3)*XA3+(10-3)*XN3;

!No más de un vuelo a cada destino;

XC1+XC2+XC3<=1;

XD1+XD2+XD3<=1;

XA1+XA2+XA3<=1;

XN1+XN2+XN3<=1;

!2 aviones como máximo a cada hora de partida;

XC1+XD1+XA1+XN1<=2;

XC2+XD2+XA2+XN2<=2;

XC3+XD3+XA3+XN3<=2;

!Si hay vuelo a NY también a LA en el mismo horario;

XN1<=XA1;

XN2<=XA2;

XN3<=XA3;

@BIN(XC1);@BIN(XC2);

@BIN(XD1);@BIN(XD2);

@BIN(XA1);@BIN(XA2);

@BIN(XN1);@BIN(XN2);

7. Un modelo que una compañía de servicio eléctrico requiere para sus operaciones diarias consiste en una guía para decidir qué generadores debe poner en marcha en cada ocasión. El servicio en cuestión cuenta con tres generadores con las características que aparecen en la tabla siguiente. El día está dividido en dos periodos y en el primero de ellos se necesitan 2900 megavatios. En el segundo periodo se requieren 3900 megavatios. Un generador puesto en marcha en el primer periodo puede usarse en el segundo sin incurrir en un costo adicional de puesta en marcha. Todos los generadores principales (por ejemplo, A, B y C) se apagan al final de cada día. Formule y resuelva este modelo como una PLEM.

GENERADOR	COSTO FIJO DE ARRANQUE ($)	COSTO POR PERIODO POR MEGAVATIO USADO ($)	CAPACIDAD MÁXIMA EN CADA PERIODO (MW)
A	3000	5	2100
B	2000	4	1800
C	1000	7	3000

!VARIABLES

Xij: MW utilizados por el generador i en el período j

Yi: Se utiliza o no el generador i

FUNCION OBJETIVO;

MIN = 5*(XA1+XA2)+4*(XB1+XB2)+7*(XC1+XC2)+3000*YA+2000*YB+1000*YC;

!RESTRICCIONES;

XA1+XB1+XC1>=2900;

XA2+XB2+XC2>=3900;

XA1<=2100*YA;

XB1<=1800*YB;

XC1<=3000*YC;

XA2<=2100*YA;

XB2<=1800*YB;

XC2<=3000*YC;

@BIN(YA);@BIN(YB);@BIN(YC);

8. Una pipa que entrega petróleo tiene 5 compartimientos que transportan hasta 2700, 2800, 1100, 1800 y 3400 galones de combustible (súper, regular y sin plomo) a un cliente. La demanda, penalización por galones no entregados y el faltante máximo admisible se proporcionan en la tabla siguiente:

Tipo de gasolina	Demanda (galones)	Costo por galones no entregados	Faltante máximo admisible
(A) Súper	2900	10	500
(B) Regular	4000	8	500
(C) Sin plomo	4900	6	500

Cada compartimiento puede llevar sólo un tipo de gasolina. Formule un PE cuya solución le indique cómo cargar la pipa de una manera en que se minimicen los costos por los faltantes.

!VARIABLES

Xij: Galones de combustible tipo i en el compartimiento j

Yij: Va o no combustible tipo i en el compartimiento j

Nei: Galones no entregados de combustible tipo i

(i= A-Súper, B-Regular, C-Sin plomo) (j= 1, 2, 3, 4, 5)

FUNCION OBJETIVO;

Min = 10*NeA + 8*NeB + 6*NeC;

!RESTRICCIONES;

XA1 + XA2 + XA3 + XA4 + XA5 + NeA = 2900;

XB1 + XB2 + XB3 + XB4 + XB5 + NeB = 4000;

XC1 + XC2 + XC3 + XC4 + XC5 + NeC = 4900;

NeA <= 500;

NeB <= 500;

NeC <= 500;

XA1 <= 2700*YA1;

XA2 <= 2800*YA2;

XA3 <= 1100*YA3;

XA4 <= 1800*YA4;

XA5 <= 3400*YA5;

XB1 <= 2700*YB1;

XB2 <= 2800*YB2;

XB3 <= 1100*YB3;

XB4 <= 1800*YB4;

XB5 <= 3400*YB5;

XC1 <= 2700*YC1;

XC2 <= 2800*YC2;

XC3 <= 1100*YC3;

XC4 <= 1800*YC4;

XC5 <= 3400*YC5;

YA1 + YB1 + YC1 = 1;

YA2 + YB2 + YC2 = 1;

YA3 + YB3 + YC3 = 1;

YA4 + YB4 + YC4 = 1;

YA5 + YB5 + YC5 = 1;

@BIN(YA1); @BIN(YB1); @BIN(YC1);

@BIN(YA2); @BIN(YB2); @BIN(YC2);

@BIN(YA3); @BIN(YB3); @BIN(YC3);

@BIN(YA4); @BIN(YB4); @BIN(YC4);

@BIN(YA5); @BIN(YB5); @BIN(YC5);

PROBLEMA (Planificación de la producción)

Cierta línea de producción fabrica dos productos. Los datos pertinentes aparecen en la primera tabla adjunta. El tiempo total disponible (para la producción y la puesta en marcha) cada semana es de 80 horas. La firma no tiene inventario de producto alguno al principio de la semana 1, y no se permite que lo tenga al final de la semana 4. El costo de conservar una unidad de inventario de una semana a la siguiente es de $4 para cada producto. Una unidad de demanda no satisfecha cuesta $10 por el producto A y $15 por el producto B. Los datos sobre la demanda aparecen en la segunda tabla adjunta. La línea se cierra para realizar operaciones de limpieza cada fin de semana. Por tanto, si un producto es fabricado en la semana presente, tendrá que pagarse el costo correspondiente al tiempo de arranque del equipo en la siguiente semana, si es que se decide fabricar éste. Sólo un tipo de producto puede fabricarse durante la semana. No puede haber producción durante el tiempo en el cual se pone en marcha la línea. Formule y resuelva este modelo de planeación de 4 semanas. El objetivo es maximizar las ganancias en el periodo de 4 semanas.

DATOS SOBRE LOS PRODUCTOS
	PRODUCTO
	A	B
Tiempo de arranque	5 horas	10 horas
Tiempo de producción por unidad	0.5 horas	0.75 horas
Costo de arranque	$200	$400
Costo de producción por unidad	$10	$15
Precio de venta	$20	$30

DATOS SOBRE LA DEMANDA
PRODUCTO	SEMANA
PRODUCTO	1	2	3	4
A	80	100	75	80
B	15	20	50	30

Solución:

!VARIABLES:

Xijk: Unidades elaboradas del producto i en la semana j para cubrir la demanda de la semana k

Yij: Se fabrica o no el producto i en la semana j

FUNCION OBJETIVO;

MAX = 20*(XA11+XA12+XA13+XA14+XA22+XA23+XA24+XA33+XA34+XA44)+

30*(XB11+XB12+XB13+XB14+XB22+XB23+XB24+XB33+XB34+XB44)-

(200*(YA1+YA2+YA3+YA4)+400*(YB1+YB2+YB3+YB4))-

(10*(XA11+XA22+XA33+XA44)+14*(XA12+XA23+XA34)+18*(XA13+XA24)+22*(XA14))-

(15*(XB11+XB22+XB33+XB44)+19*(XB12+XB23+XB34)+23*(XB13+XB24)+27*(XB14))-

(10*((80-XA11)+(100-XA12-XA22)+(75-XA13-XA23-XA33)+(80-XA14-XA24-XA34-XA44)))-

(15*((15-XB11)+(20-XB12-XB22)+(50-XB13-XB23-XB33)+(30-XB14-XB24-XB34-XB44)));

!RESTRICCIONES DE DEMANDA;

XA11<=80;

XB11<=15;

XA12+XA22<=100;

XB12+XB22<=20;

XA13+XA23+XA33<=75;

XB13+XB23+XB33<=50;

XA14+XA24+XA34+XA44<=80;

XB14+XB24+XB34+XB44<=300;

!UN SOLO TIPO DE PRODUCTO DURANTE LA SEMANA;

YA1+YB1=1;

YA2+YB2=1;

YA3+YB3=1;

YA4+YB4=1;

!RESTRICCIONES DE TIEMPO DISPONIBLE;

5*YA1+10*YB1+0.5*(XA11+XA12+XA13+XA14)+0.75*(XB11+XB12+XB13+XB14)<=80;

5*YA2+10*YB2+0.5*(XA22+XA23+XA24)+0.75*(XB22+XB23+XB24)<=80;

5*YA3+10*YB3+0.5*(XA33+XA34)+0.75*(XB33+XB34)<=80;

5*YA4+10*YB4+0.5*(XA44)+0.75*(XB44)<=80;

!PERMITIR CANTIDADES SOLO CUANDO SE PROGRAMA PRODUCCION;

XA11+XA12+XA13+XA14<=(80+100+75+80)*YA1;

XA22+XA23+XA24<=(100+75+80)*YA2;

XA33+XA34<=(75+80)*YA3;

XA44<=(80)*YA4;

XB11+XB12+XB13+XB14<=(15+20+50+30)*YB1;

XB22+XB23+XB24<=(20+50+30)*YB2;

XB33+XB34<=(50+30)*YB3;

XB44<=(30)*YB4;

@GIN(XA11);@GIN(XA12);@GIN(XA13);@GIN(XA14);

@GIN(XA22);@GIN(XA23);@GIN(XA24);

@GIN(XA33);@GIN(XA34);

@GIN(XA44);

@GIN(XB11);@GIN(XB12);@GIN(XB13);@GIN(XB14);

@GIN(XB22);@GIN(XB23);@GIN(XB24);

@GIN(XB33);@GIN(XB34);

@GIN(XB44);

@BIN(YA1);@BIN(YA2);@BIN(YA3);@BIN(YA4);

@BIN(YB1);@BIN(YB2);@BIN(YB3);@BIN(YB4);

INVOP1 Programación lineal por metas

2014-03-22T22:25:00.002-05:00

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL POR METAS

1. Una empresa productora de maíz puede producir 3 tipos diferentes con 3 granos diferentes de acuerdo a la siguiente tabla:

Ciudad Central	1	2	3	Disponible (kW/h)
A	2	3	4	20000
B	3	1	5	15000
C	5	4	2	25000

Metas:

La ciudad 1 debe recibir por lo menos 10000 Kw/h

La ciudad 3 debe recibir por lo menos 12000 Kw/h

La ciudad 2 debe recibir por lo menos 15000 Kw/h

El costo de transporte de energía a la ciudad 1 debe ser menor a $16000

El costo de transporte de energía a la ciudad 2 debe ser menor a $22000

El costo de transporte de energía a la ciudad 3 debe ser menor a $18000

Min 2F1+2F2+2F3+E4+E5+E6

A1+A2+A3 <= 20000

B1+B2+B3 <= 15000

C1+C2+C3 <= 25000

A1+B1+C1+F1-E1 >= 10000

A2+B2+C2+F2-E2 >= 12000

A3+B3+C3+F3-E3 >= 15000

2A1+3B1+5C1+F4+E4 = 12000

3A2+B2+4C2+F5+E5 = 18000

4A3+5B3+2C3+F6+E6 = 14000

END

2. Se fabrican dos productos que pasan por la máquina 1 y 2. La siguiente tabla muestra los tiempo de maquinado, en minutos por unidad, para cada producto.

Productos	Máquina 1 (min/und)	Máquina 2 (min/und)
Producto 1	5	6
Producto 2	3	2

Las cuotas de producción para los dos artículos son 80 y 60 unidades, respectivamente. Cada máquina trabaja 8 horas por día. Se puede recurrir al tiempo extra, aunque no es deseable, si es necesario, para llenar la cuota de producción. Formule el problema como modelo de programación de metas.

X1: Cantidad de producto 1 und

X2: Cantidad de producto 2 und

Min F1 + F2

X1 + F1 – E1 = 80 ß X1 >= 80, faltante perjudica

X2 + F2 – E2 = 60 ß X2 >= 60, faltante perjudica

5X1 + 3X2 <= 480

6X1 + 2X2 <= 480

END

3. Un productor agropecuario cuenta con tres fincas de cierta extensión cada una y ciertas características específicas de riego, de acuerdo con la región en que cada una de ellas se encuentra. Un resumen de estas características aparece a continuación:

*Finca*	*Hectáreas*	*Agua Disponible (lts)*
1	350	1500
2	700	2000
3	300	900

Se tienen, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden cultivar: yuca, papa y maíz; cada una de ellas tiene restricciones sobre el número de hectáreas que se pueden cultivar y requerimientos sobre el consumo de agua por hectárea, además cada cultivo tiene asociado una utilidad por hectárea cultivada:

*Cultivo*	*Consumo de Agua/Has.*	*Mínimo a producir/Has*	*Costo $/Ha.*
Yuca	5	80	300
Papa	4	100	200
Maíz	3	120	100

Nuestro productor agropecuario se pregunta cuál ha de ser la distribución de cultivos en cada una de las fincas, de manera que cumpla las siguientes metas:

- Producir por lo menos 150 hectáreas de yuca, por cada hectárea de yuca faltante recibe una penalidad de 1.5$

- Producir por lo menos 550 hectáreas de papa, por cada hectárea de papa faltante recibe una penalidad de 1.2$

- Producir por lo menos 300 hectáreas de maíz, por cada hectárea de maíz faltante recibe una penalidad de 0.8$

- Los costos no deben exceder de 120 mil dólares, por cada $ que se exceda recibe una penalidad de 0.1 $

F1Y, F2Y, F3Y: cantidad de hectáreas de yuca en la finca 1, 2 y 3 respectivamente.

F1P, F2P, F3P: cantidad de hectáreas de papa en la finca 1, 2 y 3 respectivamente.

F1M, F2M, F3M: cantidad de hectáreas de maíz en la finca 1, 2 y 3 respectivamente.

Min 0.1E1 + 1.5F2 + 1.2F3 + 0.8F4

300F1Y + 200F1P + 100F1M + 300F2Y + 200F2P + 100F2M + 300F3Y + 200F3P + 100F3M + F1 – E1 = 120000

F1Y + F2Y + F3Y + F2 – E2 = 150

F1P + F2P + F3P + F3 – E3 = 550

F1M + F2M + F3M + F4 – E4 = 300

F1Y + F1P + F1M <= 350

F2Y + F2P + F2M <= 700

F3Y + F3P + F3M <= 300

5F1Y + 4F1P + 3F1M <= 1500

5F2Y + 4F2P + 3F2M <= 2000

5F3Y + 4F3P + 3F3M <= 900

F1Y + F2Y + F3Y >= 80

F1P + F2P + F3P >= 100

F1M + F2M + F3M >= 120

END

4. Formular el problema de planificación de la producción de una fábrica de papel como programación por metas. Suponga la existencia de dos procesos, uno mecánico y otro químico, por los que puede obtener la pulpa de celulosa para la producción de papel.

Se sabe que el proceso mecánico otorga una ganancia neta de $1000 y el proceso químico aporta con $3000, asi mismo tienen una demanda biológica de O2 en una proporción de 1:2 respectivamente. La fuerza laboral es la misma para ambos procesos y se cuenta con 400 horas hombre, siendo la capacidad de producción del proceso mecánico de 300 unidades, y de 200 unidades el proceso químico.

El decisor define las siguientes metas:

- Para la demanda biológica de oxígeno un nivel de aspiración de 300 unidades, pues se desea que sea lo mas pequeña posible.

- Para el margen bruto de utilidad alcanzar un valor lo más grande posible, ojalá mayor a $400,000

- Para el empleo no desea ni quedarse corto ni contratar mano de obra adicional.

- El decisor no desea superar sus capacidades de producción pues ello implicaría recurrir a turnos extras.

5. La asistente del área de distribución de una embotelladora, recibe la siguiente tabla de Km que se recorren de cada almacén hacia cada cliente. Los fletes tiene un valor según la distancia de recorrido, hasta 10km el costo unitario es 12$, hasta 15km es de 20 $ hasta 25km es de 30$, hasta 30km es 40$, hasta 40km es 50$, y de 41 hasta 60km es de 65$. Estos precios varían si el cliente tiene mayor demanda, haciéndole un descuento del 10% si tiene una demanda mayor de 50, de 20% si su demanda es mayor de 100, y de 25% si su demanda es mayor de 150 cajas.

La capacidad y demanda están expresadas en cajas.

	Cliente A	Cliente B	Cliente C	Cliente D	Cliente E	capacidad
Almacen1	15	15	20	20	20	150
Almacen2	20	30	15	30	30	100
Almacen3	30	25	40	55	25	150
demanda	25	115	60	30	170

Encuentre la solución óptima a esta situación

6. Formular el problema de planificación de la producción de una fábrica de papel como programación por metas. Suponga la existencia de dos procesos, uno mecánico y otro químico, por los que puede obtener la pulpa de celulosa para la producción de papel.

Se sabe que el proceso mecánico otorga una ganancia neta de $775 y el proceso químico aporta con $2886, asi mismo tienen una demanda biológica de O2 en una proporción de 3:4 respectivamente. La fuerza laboral es la misma para ambos procesos y se cuenta con 376 horas hombre, siendo la capacidad de producción del proceso mecánico de 237 unidades, y de 356 unidades el proceso químico.

El decisor define las siguientes metas:

- Para la demanda biológica de oxígeno un nivel de aspiración de 278 unidades, pues se desea que sea lo mas pequeña posible.

- Para el margen bruto de utilidad alcanzar un valor lo más grande posible, ojalá mayor a $553,225

- Para el empleo no desea ni quedarse corto ni contratar mano de obra adicional.

- El decisor no desea superar sus capacidades de producción pues ello implicaría recurrir a turnos extras.

7. La asistente del área de distribución de una embotelladora, recibe la siguiente tabla de Km que se recorren de cada almacén hacia cada cliente. Los fletes tiene un valor según la distancia de recorrido, hasta 10km el costo unitario es 15$, hasta 15km es de 23 $ hasta 25km es de 33$, hasta 30km es 43$, hasta 40km es 53$, y de 41 hasta 60km es de 68$. Estos precios varían si el cliente tiene mayor demanda, haciéndole un descuento del 10% si tiene una demanda mayor de 50, de 20% si su demanda es mayor de 100, y de 25% si su demanda es mayor de 150 cajas.

La capacidad y demanda están expresadas en cajas.

	Cliente A	Cliente B	Cliente C	Cliente D	Cliente E	capacidad
Almacen1	15	15	20	20	20	140
Almacen2	20	30	15	30	30	90
Almacen3	30	25	40	55	25	140
demanda	15	105	50	20	160

Encuentre la solución óptima a esta situación

8. La constructora GALILEA está desarrollando una comunidad habitacional en el Distrito de Huanchaco. El mercado principal para los terrenos y las casas que esperan vender incluye todas las familias de ingresos medio de la ciudad de Trujillo. La Gerencia ha contratado a una agencia de publicidad para diseñar la campaña publicitaria. La agencia ha presentado la siguiente información:

Medios de publicidad	Nro de clientes potenciales alcanzados	Costo por anuncio	Nro mínimo de tiempo disponible por mes (min-pag)	Unidades de calidad de exposición
Tv diurna (1 min)	1000	$ 1500	15	65
Tv vespertina (30 seg)	2000	3000	10	90
Periódico diario (una pag. completa)	1500	400	12	40
Revista dominical del periódico (1/2 pag.)	2500	1000	4	60
Radio (30 seg.)	300	100	30	20

GALILEA autorizó un presupuesto de publicidad de 30000 dólares para la campaña y solicitado asignar estos fondos teniendo en cuenta el cumplimiento de 3 metas: utilizar por lo menos 10 comerciales de televisión, se deben alcanzar por lo menos 220 unidades de calidad de exposición, no pueden gastarse más de 18000 dólares en anuncios de televisión y maximizar el número de clientes potenciales. ¿Qué plan de selección de medios debe recomendarse, considerando el cumplimiento de las metas con importancia creciente de razón aritmética?

INVOP1 Programación lineal

2014-03-22T21:51:00.002-05:00

EJERCICIOS BÁSICOS DE PL

CADA EJERCICIO DE DOS VARIABLES DEBE SER CONVERTIDO EN UNO DE 4 VARIABLES, LOS MODELOS MATEMÁTICOS DEBEN SER CORRIDOS EN LOS PROGRAMAS LINDO Y LINGO. REALICE EL ANALISIS DE SENSIBILIDAD RESPECTIVO, HASTA DONDE TENGA CAPACIDAD DE HACERLO.

1. Para cada una de las siguientes restricciones, dibuje una gráfica individual para mostrar las soluciones no negativas que la satisfacen.

a. x1 +3x2 <=6

b. 4x1 +3x2 <=12

c. 4x1 +x2<=18

d. Ahora combine estas restricciones en una sola gráfica para mostrar la región factible del conjunto completo de restricciones funcionales mas las de no negatividad.

2. Considere la siguiente función objetivo para un modelo de programación lineal: Maximizar Z= 2x1 +3x2

a. Dibuje en una gráfica las rectas correspondientes a la función objetivo para Z=6, Z=12, Z=18

b. Encuentre la forma ordenada-pendiente de la ecuación para estas tres rectas de la función objetivo. compare las pendientes y las intercepciones con el eje x2.

3. Utilice el método gráfico para resolver el problema:

Max Z =10x1 +20x2

ST x1 +2x2<= 15

x1 +x2 <=12

5x1 +3x2 <=45

4. Una Pyme tiene 3 operarios de trabajo que hacen 2 tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de S/60 por cada ventana con marco de madera y de S/30 por una con marco de aluminio. El operario 1 hace marcos de madera y puede terminar 6 al día; el operario 2 hace 4 marcos de aluminio por día; y el operario 3 forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y una de aluminio 8 pies cuadrados. La empresa desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total.

a. Formule un modelo de PL

b. Use el método gráfico para resolver el modelo.

c. ¿Cómo cambiaría la solución óptima si cambia la ganancia por ventana de madera disminuyendo de 60 a 40; de 60 a20?

d. El operario 1 piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. ¿Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios?

Rpta.:

Max 60x1 + 30x2

ST x1 <= 6

X2 <= 4

6x1 + 8x2 <= 48

END

5. Una empresa taiwanesa de TV debe decidir el número de TV de 27´´ y 20´´ producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 TV de 27´´ y 10 de 20´´cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es de 500 por mes. Un TV de 27´´ requiere 20 h-hombre, y uno de 20´´ 10. Cada TV de 27´´ produce una ganancia de $120 y cada uno de 20´´ produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los TV producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.

a. Formule un modelo de programación lineal.

b. Use el método gráfico para resolver el modelo.

Rpta.:

Max 120x1 + 80x2

ST x1 <= 40

X2 <= 10

20x1 + 10x2 <= 500

6. Una compañía produce 2 dispositivos para lámparas (pdtos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades e cada pdto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del pdto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del pdto. 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del pdto. 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del pdto. 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del pdto. 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.

a. Formule un modelo de PL

b. Utilice el método gráfico para resolver el modelo.

Rpta.:

Max x1 + 2x2

ST x1 + 3x1 <= 200

2x1 + 2x2 <= 300

X2 <= 60

END

7. Una compañía de seguros está en proceso de introducir dos nuevas líneas de pdtos. : seguros de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son:

DEPARTAMENTO	RIESGO ESPECIAL (HH/UN)	HIPOTECA (HH/UNIDAD)	HH DISPONIBLES
SUSCRIPCIONES	3	2	2400
ADMINISTRACIÓN	0	1	800
RECLAMACIONES	2	0	1200

a. Formule un modelo de PL

b. Use el método gráfico para resolver el modelo

Rpta.:

Max 5x1 + 2x2

ST 3x1 + 2x2 <= 2400

X2 <= 800

2x1 <= 1200

END

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Backus tiene tres nuevos tipos de cerveza, tipo A, B y C que se exportarán muy pronto, vendiéndose a $10, $12 y $9 cada una. Para fabricar cada cerveza de cada tipo se tiene la siguiente información.

Cerveza	Tiempo Máq (min/uni)	Materia Prima (litros/uni)	Costo de Producción ($/unidad)
A	0.50	1	4
B	0.45	0.8	3
C	0.60	1	2.5

Para la siguiente semana se ha solicitado el siguiente pedido: 2000 cervezas de tipo A, 4000 de tipo B y 5000 de tipo C. En Producción, se cuenta con 3 máquinas y cada máquina se encuentra operando 8 horas y se trabaja de lunes a viernes. Además en inventario se cuenta con 15500 litros de materia prima. Se le solicita plantear el modelo de PL que permita determinar la producción óptima para la semana siguiente maximizando el ingreso total.

Max 10A + 12B + 9C

ST 0.5A + 0.45B + 0.6C <= 7200

A + 0.8B + C <= 15500

A >= 2000

B >= 4000

C >= 5000

END

2. La empresa Look Company fabrica varias líneas de faldas, vestidos y chaquetas deportivas. Recientemente, una consultora propuso que la compañía evaluara de nuevo su línea de verano y asignara sus recursos a sus productos capaces de maximizar la contribución a las utilidades. Cada producto requiere de la misma tela de poliéster y tiene que pasar por los departamentos de corte y costura. Se recopilaron los siguientes datos para este estudio:

Productos	Tiempo de procesamiento		Material (yardas)
Productos	Corte	Costura	Material (yardas)
Falda	1	1	1
Vestido	3	4	1
Chaqueta deportiva	4	6	4

El departamento de corte dispone semanalmente de 100 horas de capacidad, el de costura tiene 180 horas de capacidad y cuenta con 60 yardas de material. Cada falta contribuye con 5$ a las utilidades; cada vestido con $17 y cada chaqueta con 30$. Determinar cuánto debe producir de cada producto maximizando la utilidad total.

Max 5x1 + 17x2 + 30x3
ST x1 + 3x2 + 4x3 <= 100
X1 + 4x2 + 6x3 <= 180
X1 + x2 + 4x3 <= 60
END

3. Una empresa cuenta con 1000 tm del mineral metálico, 2000 tm del mineral no metálico y 500 tm de mineral de combustión. A partir de dichos minerales pueden extraerse 3 productos: A, B y C. La empresa desea determinar la cantidad de cada producto que debe fabricar a partir de los minerales aprovechables, para obtener el máximo provecho de la operación.

El producto A requiere 5tm de mineral metálico, 10 de mineral no metálico y 10 de mineral de combustión. El producto B precisa 5tm de mineral metálico, 8 de mineral no metálico y 5 de mineral de combustión. El producto C precisa 10tm de mineral metálico, 5 de mineral no metálico y ninguna de mineral de combustión, para cada tm de producto.

El fabricante obtendrá 100$ de beneficio por cada tm de producto A, 200$ por tm de producto B y 50$ por tm de producto C. Se desea conocer las cantidades a fabricar de cada uno de los productos A, B, C, así como el beneficio que se obtendría.

Productos	Mineral metálico (tm)	Mineral no metálica (tm)	Mineral de combustión (tm)	Ganancia ($)
Producto A	5	10	10	100
Producto B	5	8	5	200
Producto C	10	5	0	50
Disponible	1000	2000	500

Max 2500A + 3600B + 750C
ST 5A + 5B + 10C <= 1000
10A + 8B + 5C <= 2000
10A + 5B <= 500
END

4. Para la fiesta de de su hijo una ama de casa desea hacer unos pastelillos. Sus conocimientos culinarios le permiten hacerlos de tres tipos A, B y C en todos los cuales intervienen como ingredientes mantequilla, nata y crema de los que respectivamente posee 232, 300 y 720 gramos.

Un pastelillo del tipo A precisa 5gr de mantequilla, 8 e nata y 9 de crema. Uno de tipo B: requiere 6, 5 y 8 respectivamente y uno de tipo C: 4 de mantequilla, 6 de nata y 12 de crema. La madre sospecha que le resultaría preferible optimizar la cantidad de pastelillos a hacer antes de cualquier otra consideración. Determine cual es el numero optimo de pastelillos a fabricar?

Productos	Mantequilla (gr)	Nata (gr)	Crema (gr)
Pastelillo A	5	8	9
Pastelillo B	6	5	8
Pastelillo C	4	6	12
Disponible	232	300	720

Max A+B+C
ST 5A + 6B + 4C <= 232
8A + 5B + 6C <= 300
9A + 8B + 12C <= 720
END

5. El avaro Jim Smith se propone realizar una alimentación lo mas económica posible para su ganado, pero el veterinario de la tribu Siux más próxima le ha señalado que obligatoriamente debe contener cuatro tipos de componentes nutritivos: soya, maní, granos y calcio.

La industria alimentaria produce precisamente dos alimentos: Alimento Balanceado Premium (P) y Alimento Balanceado Normal (N) que contienen esos componentes. Un Kg de alimento P contiene 100 gramos de Soya, 100 gramos de Granos y 200 gramos de Calcio. Un Kg de alimento N contiene 100 gramos de Maní, 200 gr de Granos y 100 gr de Calcio.

Un animal debe consumir diariamente al menos 0.4kg de soya, 0.6 kg de Maní, 2Kg de granos y 1.7 kg de Calcio. El compuesto P cuesta 20$ el Kg y el N cuesta 8$ el Kg. ¿Qué cantidades de alimentos P y N deben utilizar diariamente por animal para poder realizar una alimentación en la forma menos costosa?

Productos	Soya (kg)	Maní (kg)	Granos (kg)	Calcio (kg)	Costo ($/kg)
Alimento Balanceado Premium	0.1	-	0.1	0.2	20
Alimento Balanceado Normal	-	0.1	0.2	0.1	8
Requerimiento	0.4	0.6	2	1.7

Min 20P + 8N
ST 0.1P >= 0.4
0.1N >= 0.6
0.1P + 0.2N >= 2
0.2P + 0.1N >= 1.7
END

6. Trujillo Sport SA es un fabricante de calzado deportivo para básquetbol y fútbol. El gerente de marketing tiene que decidir la mejor forma de gastar los recursos destinados a publicidad. Cada uno de los equipos de fútbol patrocinados requiere 120 pares de zapatos. Cada equipo de básquetbol requiere 32 pares de zapatos. Los entrenadores de fútbol reciben 300,000$ por concepto de patrocinio para calzado y los entrenadores de básquetbol reciben 1’000,000$. El presupuesto de la Fábrica para promociones asciende a 30millones de dólares. La empresa dispone de una provisión limitada: 4 litros de flubber (compuesto raro y costoso que se utiliza en la fabricación de calzado deportivo) Cada par de zapatos para básquetbol requiere 3cc de flubber y cada par de zapatos de fútbol requiere 1 cc. La empresa desea patrocinar el mayor nro de equipos de básquetbol y fútbol que sus recursos le permitan.

Equipos	Zapatos (pares/eq)	Patrocinio (millones $/eq)	Flubber (cc/ par zapatos)
Fútbol	120	0.3	1
Básquetbol	32	1	3
Disponible		30	4000

Max X1 + x2
ST 0.3x1 + x2 <= 30
120x1 + 96x2 <= 4000
END

7. Un estudiante de ingeniería industrial necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de la especialidad tendrá que ser mayor o igual que 23. El número de cursos de ciencias y matemáticas deberá ser por lo menos 20. Los cursos de la especialidad requieren un libro de texto que cuesta 60$ e implica 120 horas de estudio. Los cursos de ciencias y matemáticas requieren un libro que cuesta 24$ e implica 200 horas de estudio. El estudiante dispone de 3000 dólares para libros. Determine la mejor forma de utilizar dicho presupuesto.

Cursos	Costo ($/curso)	Horas estudio (hrs/curso)	Requerimiento (curso)
Especialidad	60	120	23
Ciencias y matemáticas	24	200	20
Requerimiento	3000		65

Min 120x1 + 200x2
ST X1 + x2 >= 65
x1 >= 23
x2 >= 20
60x1 + 24x2 <= 3000
END

8. Un fabricante de colorantes puede utilizar dos rutas de procesamiento diferentes para elaborar un tipo particular de colorante. La ruta 1 utiliza la prensa secadora A y la ruta 2 usa la prensa secadora B. Ambas rutas requieren la utilización de la misma tina de mezclado para revolver los ingredientes químicos del colorante antes del secado. La siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y capacidades de estos procesos.

Procesos	Mezclado	Secadora A	Secadora B	Colorante (lt/kg)	Utilidad ($)
Ruta 1 (requisito de tiempo en horas/kg)	2	6	0	20	50
Ruta 2 (requisito de tiempo en horas/kg)	2	0	8	15	65
Capacidad Total (horas)	54	120	180	450

Cada kg de colorante procesado en la ruta 1 requiere 20 litros de productos químicos, en tanto que cada kg de tinte procesado en la ruta 2 requiere solo 15 litros. La diferente se debe a las distintas tasas de producción de las prensas secadoras. La utilidad de cada Kg procesado en la ruta 1 es de50$ y en la ruta 2 es de 65$. Se dispone de un total de 450 litros de ingredientes químicos. Encuentre la producción óptima.

Max 50x1 + 65x2
ST 2x1 + 2x2 <= 54
6x1 <= 120
8x2 <= 180
20x1 + 15x2 <= 450
END

9. Clase SA fabrica ropa fina para hombres de clase alta. Hace unos cuantos años. La empresa incursionó en el mercado de ropa deportiva con su línea Sunset de shorts, pantalones y camisas. La gerencia desea fabricar la cantidad adecuada de cada producto para maximizar las utilidades. La ruta de fabricación de cada tipo de prenda pasa por dos departamentos A y B. Se muestra los datos para cada producto.

Productos	Dpto A (tiempo de procesamiento Hrs/uni)	Dpto B (tiempo de procesamiento Hrs/uni)	Material (metros por unidad)
Camisas	2	1	2
Shorts	2	3	1
Pantalones	3	4	4
Disponible	120	160	90

El departamento A tiene 120 horas de capacidad, el departamento B tiene 160 horas de capacidad y se dispone de 90 metros de material. Cada camisa contribuye con 10$ a los ingresos; cada par de shorts con 10$ y cada par de pantalones con 23$. El costo de cada camisa es de 5$, de cada short 7$ y de cada pantalón es de 15$. Determine la producción adecuada para lograr que las utilidades sean las máximas.

Max 5x1 + 3x2 + 8x3
ST 2x1 + 2x2 + 3x3 <= 120
X1 + 3x2 + 4x3 <= 160
2x1 + x2 + 4x3 <= 90
END

10. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 40 m3 de espacio refrigerado y 20 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. El camión tipo C tiene 25m3 de refrigerado y 35m3 de no refrigerado. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar por lo menos 900 m3 de productos refrigerados y 1200 m3 de no refrigerados. La cantidad de camiones del tipo A debe ser el doble de camiones del tipo B. La cantidad de camiones del tipo C no debe más del 20% del total de camiones a alquilar. El total de espacio refrigerado del camión A no debe exceder a los 400m3. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar sus costos si el tipo A se alquila a 0,3 US$/m3, el B a 0,4 US$/m3 y el C a 0.5US$/m3?

Transportes	Espacio refrigerado (m3)	Espacio no refrigerado (m3)	Costo (US$/m3)
Camión A	40	20	0.3
Camión B	30	30	0.4
Camión C	25	35	0.5
Requerimiento	900	1200

Min 18A + 24B + 30C ST 40A + 30B + 25C >= 900
20A + 30B + 35C >= 1200
A – 2B = 0
0.8C - 0.2A - 0.2B <= 0
40A <= 400
END

11. Mannucci Motors vende automóviles y vagonetas. La compañía obtiene 300$ de utilidad por cada automóvil que vende y 500$ por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 400 automóviles ni más de 250 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 3 horas para cada vagoneta y 4 horas para cada automóvil. La compañía cuenta con 1 000 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles y vagonetas nuevas. Plantee un modelo de PL para determinar la cantidad de automóviles y vagonetas ordenar para maximizar las utilidades.

Productos	Tiempo preparación (hr/und)	Límite (und)	Utilidad ($/und)
Automóvil	4	400	300
Camioneta	3	250	500
Disponible	1000

Max 300x1 + 500x2
ST x1 <= 400
X2 <= 250
4x1 + 3x2 <= 1000
END

12. La empresa Truko fabrica dos tipos de camiones: 1 y 2. Cada camión tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje. Si el taller de pintura tuviera que dedicarse completamente a la pintura de camiones tipo 1, se podrían pintar 800 camiones al día, mientras que si se dedicara enteramente a pintar camiones tipo 2, se podrían pintar 700 camiones al día. Si el taller de montaje se dedicara exclusivamente al ensamble de motores para camiones tipo 1, se podrían ensamblar 1500 motores diariamente, y si se dedicara únicamente a ensamblar motores para camiones tipo 2, se podrían ensamblar 1200 motores diariamente. Cada camión tipo 1 aporta 300 dólares a la ganancia, y cada camión tipo 2 500 dólares. Formule un PL que maximice la utilidad de Truckco.

Productos	Pintura (día/und)	Montaje (día/und)	Ganancia ($/und)
Camión 1	1/800	1/1500	300
Camión 2	1/700	1/1200	500
Disponible	1	1

Max 300x1 + 500x2
ST 7x1 + 8x2 <= 5600
12x1 + 15x2 <= 18000
END

13. Goldilocks tiene que obtener por lo menos 12 lb de oro y por lo menos 18 lb de plata para pagar la renta mensual. Existen dos minas en las cuales Goldilocks puede encontrar oro y plata. Cada día que Goldilocks está en la mina 1, encuentra 2 lb de oro y 2 lb de plata. Cada día que está en la mina 2, encuentra 1 lb de oro y 3 lb de plata. La explotación de la mina puede realizarlo en un mes a lo mucho, para lo cual se ha considerado 28 días. Formule un PL para ayudar a Goldilocks a satisfacer sus requerimientos, minimizando el tiempo que tiene que estar en las minas.

Minas	Oro (lb/día)	Plata (lb/día)
Mina 1	2	2
Mina 2	1	3
Requerimiento	12	18

Min x1 + x2
ST 2x1 + x2 >= 12
2x1 + 3x2 >= 18
X1 <= 28
X2 <= 28
END

14. La empresa GREEN SAC desea conocer la cantidad de productos 1, 2 y 3 debe producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera en utilidad $150, $210 y $130 por unidad respectivamente. Cada producto pasa por 3 mesas de trabajo, restringiendo la cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada mesa y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos):

Productos	Tiempo requerido Mesa 1 (min)	Tiempo requerido Mesa 2 (min)	Tiempo requerido Mesa 3 (min)	Ganancia ($/und)
Producto 1	10	12	8	150
Producto 2	15	17	9	210
Producto 3	7	7	8	130
Disponible	3300	3500	2900

Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente. Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.

Max 150x1 + 210x2 + 130x3
ST 10x1 + 15x2 + 7x3 <= 3300
12x1 + 17x2 + 7x3 <= 3500
8x1 + 9x2 + 8x3 <= 2900
END

15. Auto SAC fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más idóneos son hombres y mujeres de altos ingresos. Para llegar a estos grupos, Auto SAC ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV, y decidió comprar comerciales de un minuto en dos tipos de programas: programas de comedia y juegos de futbol americano. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y 2 millones de hombres también de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegos de futbol. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta 50mil dólares y un comercial de un minutos en el juego de futbol cuesta 100mil dólares. AutoSAC le gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran sus comerciales. Utilice la programación lineal para determinar cómo la empresa puede alcanzar sus objetivos publicitarios al mínimo costo.

Programas	Mujeres (millones)	Hombres (millones)	Costo (miles $/und)
Comedia	7	2	50
Juego de fútbol	2	12	100
Requerimiento	28	24

Min 50x1 + 100x2
ST 7x1 + 2x2 >= 28
2x1 + 12x2 >= 24
END

16. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no más de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos deben hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

Vuelos	Combustible (lt)	Ganancia ($/und)
Avión A	900	300000
Avión B	700	200000

60 < A+B <= 200
120 > A > B -> 120 >= A-B
Max 300000A + 200000B
ST A - B <= 120
A + B > 60
A + B <= 200
END

Min 900A + 700B
ST A - B <= 120
A + B > 60
A + B <= 200
END

17. CASAS S.A. está desarrollando una comunidad habitacional a la orilla de un lago de propiedad privada. El mercado principal para los terrenos y las casas que esperan vender incluye todas las familias de ingresos medio y alto dentro de aproximadamente 100 millas a la redonda del proyecto. La Gerencia ha contratado a una agencia de publicidad para diseñar la campaña publicitaria.
La agencia ha presentado la siguiente información:

Medios de publicidad	Nro de clientes potenciales alcanzados	Costo por anuncio	Nro máximo de tiempo disponible por mes	Unidades de calidad de exposición
Tv diurna (1 min)	1000	$ 1500	15	65
Tv vespertina (30 seg)	2000	3000	10	90
Periódico diario (una pag. completa)	1500	400	25	40
Revista dominical del periódico (1/2 pag.)	2500	1000	4	60
Radio (30 seg.)	300	100	30	20
Disponible/Requerimiento	50000	30000

CASAS S.A. autorizó un presupuesto de publicidad de 30000 dólares para la campaña y solicitado asignar estos fondos de la siguiente forma: utilizar por lo menos 10 comerciales de televisión, se deben alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales y no pueden gastarse más de 18000 dólares en anuncios de televisión. ¿Qué plan de selección de medios debe recomendarse?

Max 65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5
ST 1500x1 + 3000x2 + 400x3 + 1000x4 + 100x5 <= 30000
X1 + x2 >= 10
1000x1 + 2000x2 + 1500x3 + 2500x4 + 300x5 >= 50000
1500x1 + 3000x2 <= 18000
X1 <= 15
X2 <= 10
X3 <= 25
X4 <= 4
X5 <= 30
END

18. Una compañía manufacturera produce un producto final que se ensambla con tres partes diferentes. Las partes se manufacturan dentro de la compañía en dos departamentos. En virtud de la instalación específica de las máquinas, cada departamento produce tres partes a diferentes tasas. La tabla que sigue señala las tasas de producción junto con el número máximo de horas, que los dos departamentos pueden asignar semanalmente a la manufactura de las tres partes.

Departamento	Capacidad semanal Máxima (hrs)	Tasa de producción (unidades/hr)
Departamento	Capacidad semanal Máxima (hrs)	Parte 1	Parte 2	Parte 3
1	100	8	5	10
2	80	6	12	4

Se pide maximizar la producción de unidades ensambladas finales. Formule el problema como un modelo de PL, y analice sus resultados.

Max x1 + x2 + x3
ST 50x1 + 80x2 + 40x3 <= 40000
48 x1 + 24 x2 + 72 x3 <= 23040
14x3 >= 1320
END

19. Una empresa taiwanesa de TV debe decidir el número de TV de 27´´ y 20´´ producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 TV de 27´´ y 10 de 20´´cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es de 500 por mes. Un TV de 27´´ requiere 20 h-hombre, y uno de 20´´ 10. Cada TV de 27´´ produce una ganancia de $120 y cada uno de 20´´ produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los TV producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado.

Max 120x1 + 80x2

ST x1 <= 40

X2 <= 10

20x1 + 10x2 <= 500

END

20. Una compañía produce 2 dispositivos para lámparas (pdtos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades e cada pdto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del pdto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del pdto. 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del pdto. 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del pdto. 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del pdto. 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.

Max x1 + 2x2

ST x1 + 3x2 <= 200

2x1 + 2x2 <= 300

X2 <= 60

END

De vuelta, se podría decir...

2014-03-22T21:04:00.002-05:00

Luego de un largo tiempo veo que hay unas cuantas personas que siguen revisando esta página, no se si serán de mi misma nacionalidad o de otra nacionalidad, pero eso es lo de menos, me tomaré un poco de tiempo y veré que otras cosas más puedo agregar para tenerla actualizada.

INDICE

2012-07-10T21:31:00.001-05:00

ESTADÍSTICA APLICADA

ESTAP PracticaN1
ESTAP DistribucionMuestral
ESTAP DistribucionMuestralLab
ESTAP VariableAleatoriaDiscreta
ESTAP VariableAleatoriaDiscretaLab
ESTAP VariableAleatoriaContinua
ESTAP VariableAleatoriaContinuaLab
ESTAP MuestreoProbabilistico
ESTAP Estimacion de parametros para una población
ESTAP Estimación de parámetros para dos poblaciones
ESTAP Prueba de hipotesis para una población
ESTAP Prueba de hipotesis para dos poblaciones
ESTAP Prueba de independencia y homogeneidad

FÍSICA GENERAL 2

FISI2 Hidrostática
FISI2 Hidrodinámica
FISI2 Fluidos Reales
FIGE2 Hidrostática
FIGE2 Hidrodinámica
FISI2 Temperatura y Calor
FISI2 Propagación de Calor
FISI2 1º y 2º Ley de la termodinámica
FIGE2 Temperatura, Dilatación y Calor
FIGE2 Propagación de Calor y 1º y 2º Ley Termodinámica
FIGE2 Circuitos DC
FIGE2 Circuitos AC

PROCESOS DE MANUFACTURA

PROMAF Punto de equilibrio
PROMAF Mecánica de corte
PROMAF Velocidad de corte y RPM
PROMAF Ejercicios de Medición
PROMAF Tiempo de procesamiento en el torno
PROMAF Ejercicios de tiempo de taladrado
PROMAF Tiempo de procesamiento en el fresado

TERMODINÁMICA

TERMO Trabajo (W)
TERMO Balance de masa y energía
TERMO Propiedades de Sustancias Puras
TERMO Gases Ideales
TERMO Trabajo Frontera móvil - Procesoso politrópicos
TERMO Balance de energía sistemas cerrados
TERMO Problemas de Repaso

FIGE2 Circuitos DC

2012-07-10T21:29:00.000-05:00

FIGE2 Circuitos AC

2012-07-10T21:26:00.000-05:00

TERMO Problemas de Repaso

2012-06-01T23:12:00.002-05:00

TERMO Balance de energía sistemas cerrados

2012-05-26T03:30:00.000-05:00

TERMO Trabajo Frontera móvil - Procesoso politrópicos

2012-05-26T03:26:00.000-05:00

FIGE2 Propagación de Calor y 1º y 2º Ley Termodinámica

2012-05-25T00:59:00.000-05:00

FIGE2 Temperatura, Dilatación y Calor

2012-05-25T00:43:00.001-05:00

FISI2 1º y 2º Ley de la termodinámica

2012-05-21T23:33:00.001-05:00

FISI2 Propagación de Calor

2012-05-21T23:23:00.001-05:00

FISI2 Temperatura y Calor

2012-05-21T23:17:00.001-05:00

TERMO Gases Ideales

2012-05-17T00:46:00.000-05:00

TERMO Propiedades de Sustancias Puras

2012-05-07T07:57:00.001-05:00

TERMO Balance de masa y energía

2012-04-25T21:32:00.004-05:00

TERMO Trabajo (W)

2012-04-25T15:09:00.001-05:00

FIGE2 Hidrodinámica

2012-04-24T22:12:00.005-05:00

FIGE2 Hidrostática

2012-04-22T20:36:00.007-05:00

FISI2 Fluidos Reales

2012-04-22T09:25:00.003-05:00

FISI2 Hidrodinámica

2012-04-22T09:22:00.005-05:00